Teste de Hipóteses Paramétricos - CInrmcrs/ESAP/arquivos/TestesHip... · 2007-11-21 · Teste de...

Teste de HipótesesParamétricos

Como construir testes de hipóteses para diferenças entre duas médias.

Como construir testes de hipóteses para diferenças entre duas proporções.

Como construir testes de hipóteses para diferenças entre duas variâncias.

Motivação

Estudo relatado no Journal of American Medical Association.É possível concluir que houve uma proporção significativa maior de depressão, ansiedade e abuso?

Condição Proporçãoestimada

Depressão O,045

Ansiedade 0,049

Abuso 0,137

Veteranos do exército americanoque serviram no Vietnã (n=7924)

Condição Proporçãoestimada

Depressão O,023

Ansiedade 0,032

Abuso 0,092

Veteranos do exército americanoque não serviram no Vietnã (n=7364)

Uma visão geral de testes de hipóteses entre médias

Parâmetro para ser testado μ1- μ2.Qual a distribuição da diferença entre duas médias amostrais?

População A

Amostra

1

1

1

nsx

População B

Amostra

2

2

2

nsx

Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 conhecidos

SuposiçõesAmostras aleatórias e independentes.Pelo menos uma das condições é satisfeita: as duas populações são normais ou n1 >30 e n2 >30

Testes UnilateraisH0: μ1 - μ2 ≥ 0 H0: μ1 - μ2 ≤ 0

Ha: μ1 - μ2 < 0 Ha: μ1 - μ2 > 0

Testes BilateralH0: μ1 - μ2 = 0Ha: μ1 - μ2 ≠ 0

Exemplo: seja:H0: μ1 - μ2 ≥ 0Ha: μ1 - μ2 < 0

),(2

22

1

21

2111nn

NXX σσμμ +−− ~


Unilateral a esquerda

0

(1- α) = 0,95

α = 0,05

Rejeitar H0 Não rejeitar H0

2164,1 XX −− σ

Região Crítica

0

(1- α) = 0,95

α = 0,05P(Z≤z)=0,05

Rejeitar H0 Não rejeitar H0

Rejeitar H0 se 64,1)()(

2

22

1

21

2121 −≤

+

−−−=

nn

xxzσσ

μμ

Convertendo para normal padrão21 XX −


Unilateral a esquerda

64,1−


Unilateral a direita

0

(1- α) = 0,95

Rejeitar H0Não rejeitar H0

α = 005

Exemplo: seja:H0: μ1 - μ2 ≤ 0Ha: μ1 - μ2 > 0

),(2

22

1

21

2111nn


2164,1 XX −σ

P(Z≤z)=0,05

Rejeitar H0 se

Convertendo para normal padrão

0

(1- α) = 0,95

RejeitarH0

Não rejeitar H0

64,1

α = 0,05


Unilateral a direita

64,1)()(

2

22

1

21

2121 ≥

+

−−−=

nn

xxzσσ

μμ

21 XX −


Bilateral

α /2 = 0,025 α/2 = 0,0,25

0,452

0

1- α = 0,95

RejeitarH0

Não rejeitar H0RejeitarH0

2164,1 XX −σ

2164,1 XX −− σ

Exemplo: seja:H0: μ1 - μ2 = 0Ha: μ1 - μ2 ≠ 0

),(2

22

1

21

2111nn


Convertendo para normal padrão

α /2 = 0,025 α /2 = 0,0,25

0,452

0

1-α = 0,95

96,196,1−

RejeitarH0

RejeitarH0

Rejeitar H0 se ou

Não rejeitar H0


Bilateral

96,1)()(

2

22

1

21

2121 −≤

+

−−−=

nn

xxzσσ

μμ 96,1)()(

2

22

1

21

2121 ≥

+

−−−=

nn

xxzσσ

μμ

21 XX −

Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 desconhecidosUsar a distribuição t com os seguintes graus de liberdade.

Se σ1 = σ2• g.l.=n1+n2-2.

Se σ1 ≠ σ2• g.l.=min{n1- 1, n2- 1}

Suposições:Amostra aleatórias e independentesPelo menos uma das condições seguintes satisfeitas:

• Populações normais ou• n1 > 30 ou n2 > 30

Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 desconhecidos

Testes UnilateraisH0: μ1 - μ2 ≥ 0 H0: μ1 - μ2 ≤ 0

Ha: μ1 - μ2 < 0 Ha: μ1 - μ2 > 0

Testes BilateralH0: μ1 - μ2 = 0

Ha: μ1 - μ2 ≠ 0


Estatísticas do teste tSe σ1 = σ2

Se σ1 ≠ σ2

21

)()( 2121

XX

xxt−

−−−=

σμμ

2

2

1

2

21 ns

ns pp

XX +=−σ

2

22

1

21

21 ns

ns

XX +=−σ

2)1()1(

21

222

2112

−+−+−

=nn

snsnsponde

Variância Combinada


Exemplo: Um publicitário alega que há uma diferença entre a renda média das famílias portadores de cartões de crédito Visa e Master Card. Os resultados amostrais estão na tabela abaixo. Suponha que as variâncias populacionais são diferentes. Esses resultados confirmam a alegação do publicitário com α=5%?

Visa Master

60900$1 USx =

12000$1 USs =

1001 =n

64300$2 USx =

15000$2 USs =

1002 =n

Solução

H0: μ1 - μ2 = 0

Ha: μ1 - μ2 ≠ 0 onde μ1 é a renda média da população Visa e μ2 é a renda média da população Master.

Como o teste é bilateral com α=5%, os valores da tabela t com 99 graus de liberdade são -1,98 e 1,98

77,119213400)()(

21

2121 −=−

=−

−−−=

XX

xxtσσ

μμ

921,1100

)15000(100

)12000( 22

21=+=−XXσ

Como t = -1,77 ∈[-1,98,1,98], não rejeitamos a hipótese que as rendas médias são iguais.

Considerações

Se desejamos usar o método que supõe que as variâncias são iguais, como determinamos que σ1 = σ2?Uma abordagem consiste em usar o teste para igualdade de variâncias. Triola não recomenda esta abordagem alegando que no artigo Homogenity of variancein the two-sample means os autores afirmam que raramente sabemos que σ1 = σ2.. Um caminho é realizar diferentes testes considerando tamanhos de amostrais e poderes do teste.

Teste de hipóteses entre médias com amostras dependentes

Duas amostras são dependentes se cada membro de uma amostra corresponde ao mesmo da outra amostra.Para empregar esta técnica énecessário obter a diferença para cada par de dados.A variável aleatória é uma diferenças entre médias

21 XXd −=


SuposiçõesAmostras aleatóriasAmostras dependentes (emparelhadas) Populações normais ou n > 30Estatística do teste (padronizada)

ns

dtd

dμ−=

Distribuição t-Student com n-1 graus de liberdade


Exemplo: Um projetista de campos de golfe alega que os golfistas podem diminuir ou permanecer iguais as suas pontuações se usarem campos recém construídos. Oito golfistas foram selecionados ao acaso e foi pedido que revelasse a sua pontuação mais recente. Após usar os novos campos por mês, cada um disse outra vez sua pontuação mais recente. As pontuações estão na tabela abaixo. Supondo que as pontuações sejam normais, há evidência suficiente para confirmar a alegação do projetista com α=10%?

SoluçãoAntigo Novo d89 83 6

84 83 1

96 92 4

82 84 -2

74 76 -2

92 91 1

85 80 5

91 91 0

soma 13

H0: μd ≥ 0

Ha: μd < 0

Como α=0,10 g.l.=8-1 =7e o teste éunilateral o valor da tabela t é -1,44.

50,1

807,3

625,1==

−=

ns

dtd

dμ

Como t > -1,44, Não rejeita H0. Isto é existe evidência suficiente para não rejeitar alegação do projetista.

Teste de hipóteses entre proporçõesSuposições:

Amostras aleatórias e independentesCondições satisfeitas para distribuição binomial

Notação:p1, p2 - proporções populacionais

Teste de hipóteses para diferença entre proporções

Testes UnilateraisH0: p1 - p2 ≥ 0 H0: p1 - p2 ≤ 0

Ha: p1 - p2 < 0 Ha: p1 - p2 > 0

Testes BilateralH0: p1 - p2 = 0Ha: p1 - p2 ≠ 0


Satisfeitas as condições anterioresA diferença (amostral) segue uma distribuição normal com média p1-p2 e desvio padrão

Como p1 e p2 não são conhecidos na hipótese nula, usa-se uma proporção combinada

21 ˆˆ pp −

2

22

1

11ˆˆ 21 n

qpnqp

pp +=−σ

21

21

nnxxp

++

=x1 = números de sucessos da amostra 1x2 = números de sucessos da amostra 2


Condição satisfeita para usar aproximação normal.

Estatística de teste⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−−=

21

2121

11

)()ˆˆ(

nnqp

ppppz

pqnnxxp −=

++

= 1,21

21

qnpn ,5>


Exemplo: um estudo entre 200 mulheres e 250 homens adultos usuários da Internet, 30% das mulheres e 38% dos homens disseram fazer compras pela rede pelo menos uma vez no mês. Sendo α=10%, teste a alegação que não hádiferença na proporção de homens e mulheres.

Solução

HipótesesH0: p1 – p2 = 0Ha: p1 – p2 ≠ 0

656,0,344,02502009560

==++

= qp

775,1

2501

2001656,0344,0

38,03,0

11

)()ˆˆ(

21

2121 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−−=

nnqp

ppppz

Como os valores críticos da normal com α=10% são -1,64 e 1,64, deve-se decidir Rejeitar a hipótese que não existe diferença entre as proporções de homens e Mulheres.

Teste de hipóteses para diferença entre variâncias

Suposições:Populações independentesPopulações normais.

Testes UnilateraisH0: σ2

1 - σ22 ≥ 0 H0: σ2

1 - σ22 ≤ 0

Ha: σ21 - σ2

2 < 0 Ha: σ21 - σ2

2 > 0

Testes BilateralH0: σ2

1 - σ22 = 0

Ha: σ21 - σ2

2 ≠ 0


Estatística de teste

S21 é a maior das duas variâncias

amostrais.A estatística de teste tem distribuição F.

A distribuição F não é simétrica.Valores de F não podem ser negativos.A distribuição depende de dois parâmetros: dois diferentes graus de liberdade.

22

21

ssF =


Graus de liberdade do numerador= n1-1.Graus de liberdade do denominador= n2-1.Como s2

1 é a maior variância, só precisamos encontrar o valor crítico à direita.Se duas populações são iguais a razão s2

1 / s22 tende a

se aproximar de 1. Duas populações tem variâncias radicalmente diferentes a razão s2

1 / s22 será um número

grande.Um grande valor de F é evidência contra σ2

1=σ22.

Encontra-se o valor crítico cruzando os graus de liberdade do numerador com os graus de liberdade do denominador.

Exemplo

Considere as seguintes estatísticas amostrais para os pesos da coca-cola e pepsi.s2

1= (0,007507)2 (coca) e s22= (0,005701)2

(pepsi), n1=36 e n2=36.Estatística de teste O valor de crítico da cauda direita está entre 1,8752 e 2,0739.Como F=1,7339, não rejeitamos a hipótese de igualdade variâncias.

7339,1005701,0007507,0

2

2

==F

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