Serres-hermes Capitulo 2

8/12/2019 Serres-hermes Capitulo 2

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Aqu se relata el nacimiento de la ielea ele comunicacin,su emergencia ciega a travs ele una serie de artwlos sobrediversos temas, dispersados a lo largo ele seis ai.os. Dis-persados, no disparatados, y con una perspectiva recurrente:su conjunto J su lectura constituyen una variacin s induda incompleta pero sistemtica- sobre el tema de Hermes.Partiendo ele las matemticas y de una hiptesis sobrela gnesis intersubjetiva del milagro griego, tesis perceptibleen eLjuego elel dilogo platnico, volvemos a ellas para cerrarun primer ciclo, demostrando el rigor de a organizacinleibnitziana princeps: la comunicacin de Las sustancias. Laabstraccin ms alta nace de una aguda exigencia respectoele la mejor cOl1wnicacin posible; en la poca clsica, stase establece sobre un soporte matemtico. As disei.ado, elcircuito no poda evitar la historia del milagro contempo-rneo, ese nuevo dilogo que fue la querella de los antiguosanalistas contra los algebristas modernos; circuito que, porlo general, se reencuentra en el milagro perpetuo queconstituye la comunicacin histrica ele las matemticas. Dela pregunta qll se pierde en el juego ele laspregllntas ylas respuestas? se pasa a qu se olviela a lo largo ele esacaelena casi pelfecta, una vez que se encuentra montada sinposibilidad de retorno? El cartesianismo da un paradigmaparticlllar de esas interrogaciones; resllltaba interesantereexaminar el modelo de la cadena, la operacin intuitiva Jla afirmacin del cogito seg.n las mismas normas: examen


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CaptuloFILOSOFA

Descartes la cadena sin eslabonesTodos conocen la tercera Regla para la direccin del

pensamiento: Descartes da cuenta ah de dos operacio-nes del entendimiento, la intuicin y la deduccin; esosnicos actos permiten llegar al conocimiento de lascosas, sin temor a equivocarse. Despus de haberplanteado una definicin de la intuicin, sobre la quevolveremos, da de esta ltima cuatro ejemplos: Ital U1usquisque animo potest intuer, se existere, se cogitare,trangulum terminari tribus lineis tantum globl Lm l U1icasupeificie, et similia:2 as cada uno puede percibir, porintuicin intelectual, que existe, que piensa, que untringulo est limitado por slo tres lneas, que uncuerpo esfrico lo est por una superficie nica y cosassemejantes. Nos proponemos explicar estas palabras.

Primera hiptesis: los ejemplos en cuestin soncualesquiera y estn dados arbitrariamente y sin orden.

1 l comienzo de esta Regla, Descartes pronuncia dos veces eltrmino mezcla admiscendas, permiscentesJ, trmino que retomaen la Primera Meditacin. Publicaremos un estudio sobre el GenioMaligno, organizado en torno a este tema: sabemos que la fsicacontempornea volvi a encontrar simultneamente la idea deDemonio y la de mezcla.

2 Reglllae , edicin Gouhier, Vrin, 1959.


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136 MICHEL SERRESEntre las cosas que se pueden intuir inmediatamenteexisten tales y cuales en particular esto y aquello. Enel seno de ese conjunto de paradigmas figuran loselementos del cogto junto a elementos geomtricos; enesa hiptesis los primeros pierden su lugar de excelen-cia son alineados junto a otros cogtata. En cierto modoestamos ac en pleno leibnizianismo: vara a mecogtantur. En Descartes no encontramos tales varieda-des sin orden ni tales variedades de orden y esa hip-tesis debe ser rechazada.

l considerar atentamente esos cuatro ejemplospodemos distinguir dos tipos: por un lado existo pienso;por el otro el tringulo y la esfera. Primero examinemoslos dos ltimos. Se dice que el tringulo est limitadodeterminado por tres lneas solamente: qu quieredecir? Que el tringulo es una Jgura limitada deter-minada por bordes, y que esos bordes son lneas. Peroadems: que el tringulo es una superficie interrumpidapor lmites lineales. y por ltimo: que el tringulo es unente de dos dimensiones 3 limitado por entes de unadimensin. Es decir que el tringulo se comporta respectode la lnea como dos se comporta respecto a la undad.Sin duda como veremos continuamente esos nmerosno tienen ningn carcter aritmtico o mtrico. Sinembargo caracterizan perfectamente las figuras evoca-das y esto de tal modo que su asociacin es necesariasuficente, lo que indica el empleo de tantum: eltringulo necesita lneas y slo necesita lneas por estardetermnado a ser la figura que intuimos bajo ese vo-cablo. En consecuencia existe la misma relacin denecesidad y de suficiencia entre los nmeros dos y uno.Prosigamos: un cuerpo esfrico una bola globwnJ,est limitado determinado por una superficie nica.

3 La Regla XIV Cibid. define la dimensi6n como la condici6nprevia a la medida.


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LA COMUNICACION 137Que quiere decir esto? Que la bola es una figura delespacio, limitada, determinada por una superficie solamente, por un borde nico. Pero adems: que la bolaes un volumen interrumpido por un lmite superficial.por ltimo: que la bola es un ente de tres dimensioneslimitado por un ser de dos dimensiones. Es decir, otravez (con la misma restriccin que hasta ahora conrespecto a la mtrica) la bola se comporta con respectoa a supecficie como tres se comporta respecto a dos.ese comportamiento es del mismo orden de necesidadde suficiencia que el precedente, porque al trminotantum corresponde el trmino unica. La bola necesitade una superficie slo necesita una superficie por estardetermlada a ser la figura que intuimos tras ese voca-blo.Abara bien, la consideracin exclusiva de los bordeso lmites y la forma misma de la frase que no utilizams que un verbo. termlar para los dos ejemplos- nosautoriza a reunir los dos paradigmas en un solo orden:la lnea se comporta respecto al tringulo como la superficie respecto de la bola. En otras palabras, e ser enun dimensin es a ser de dos dimensiones o que steltimo es a ser de tres dimensiones cada uno es el bordede siguiente en e orden. No hace falta engaarse sobreesas relaciones sucesivas: de ninguna manera sonmtricas, no son proporciones; son reLaciones de nece-sid d y de suficiencia en e orden exclusivo de a intuicinespaciaL Por otra parte, la Regla XIV define la dimensincomo la relacin bajo la cual un sujeto es consideradomensurable : escapa entonces a la jurisdiccin de lamedida, ms bien es su condicin. En consecuencia, losdos ejemplos dados en la Regla III son ordenables como1 2 3, insistiendo sobre el hecho patente de que 1 2,3 no son ms que un orden sin medida orden no obstanteriguroso por necesidad y suficiencia. En suma 1 2 3 noson nmeros en sentido aritmtico.Tal vez el lector se asombre ante la afirmacin de que


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138 MICHEL SERRESdichos ejemplos no son matemticos stricto sensu Enefecto, ningn teorema de la Geometra contemporneade Descartes, o anterior a l, demuestr tales hechos. -Significa simplemente que las consideraciones de lmites, de terminaciones y bordes no estn inmersas en unorganon demostrativo establecido, sino que, por el contrario son previ s a ese org non terico. En cierto modo,son ejemplos prematemtlcos pregeomtricos as comola dimensin es previa a la medida. por 1 tantopertenecen a un terreno exterior a los enc den mientosdeductivos de l teora suj etos a la teora. Pertenecenconsecuentemente al terreno exclusivo de l intuicin. Laintuicin tiene algo para conocer esos fenmenos espa-ciales. Ahora bien, sa es la cuestin capital, es posibledescubrir un orden en a intuicin pura y un orden riguroso, que compone progresivamente las variedadesespaciales cada vez ms extendidas a partir de variedades inferiores que forman su terminacin, composicinque se establece por necesidad y suficiencia, a partir deuna unidad la lnea que desempea el papel de intuicinirreductible al menos aqu). Entonces obtenemos en laintuicin espacial, un orden cuyo rigor se burla de lamedida, de la proporcin mtrica, de todas las deter-minaciones que, tradicionalmente constituyen el modelodel orden cartesiano: ah se trata de un modeloprematemtico, de un modelo pregeomtrico de orden.4

4 Para hablar de manera moderna, queremos admitir queDescartes es un precursor del intuicionismo, en la medida en quehace desempear a la intuicin cierto papel regulador general enel funcionamiento del pensamiento; pero aqu no se trata de eso: eldescubrir un orden riguroso en la intuicin espacial privada demedicla en la medida en que es previa a los encadenamientosdeductivos de la geometra, lo hara ms bien el precursor delAnalYsis Sitas Otro ejemplo estara dado por su famoso teoremade los poliedros, donde el nmero desempea ms bien un papel deinvmiante topolgica que no est investida de una funcin demedicla. De hecho, Descartes, en ese texto, no dice recta sino lnea,


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LA COMUNICACION 139ms precioso es esto en la medida en que se

establece una cadena donde los eslabones sucesivos slose deben a la intuicin. Cuando algunas lneas msabajo, Descartes quiere dar un modelo realmente matemtico del orden discursivo, elige los mismos nmeros1,2,3, hacindoles desempear un papel aritmtico,profundamente diferente del que analizamos. Ahora 1,2Y 3 no se suman ni se componen cuantitativamente.Conforman un orden cualitativo.Ahora est abierto el camino para considerar los dosprimeros ejemplos, que son los elementos mismos delcogito: existo pienso elementos irreductiblementeintuicionables tiles. Decimos: as como hay un orden enlos dos ltimos, hay un orden en los dos primeros. estopor dos razones, extradas del texto mismo:1 El orden tradicional pienso, existo est invertido;lo cual no se explica no puede explicarse- sino es porla inversin de los ejemplos pregeomtricos mismos.Efectivamente, el tringulo est enunciado ah antes quela lnea, Ja bola antes que la superficie. Si se restablecen las enunciaciones segn el orden 1,2,3, serianecesario enunciar: lnea, superficie, bola. Entonces seenunciara: pienso, existo. La inversin es, tal vez,utilizada a sabiendas en la medida en que Descartesdistingue, ms adelante, enunciatio discursus.

2 Evocando otros ejemplos posibles, Descartes nodice et caetera, sino et similia. Ese matiz remite, por unlado, a ejemplos tan fciles de intuir como los cuatroindicados expresamente. Pero cuando se examina elsentido preciso que ese trmino reviste en matemticasuno se ve irresistiblemente llevado a pensar que existeun vnculo de similitud entre los dos paradigmas

no dice esfera sino globo, que tradujimos por bola. Pensamos quese deben rectificar las traducciones habituales (cf. Gomtrie livreII, de la edicin de Auguste Comte Leibniz: Definiciones ma-


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140 MICHEL SERRESpregeomtricos, los dos elementos del cogito y otrosejemplos posibles.

Desde entonces, yo pienso y yo existo estnvinculados en los dos sentidos, es decir, por necesidadsuficiencia, en un orden que no apunta a las deter-minaciones tradicionales de la deduccin, a la medidao a la cantidad, sino que se instaura en el terrenoexclusivo de la intuicin pura, de l mism m ner queel orden pregeomtrico 1,2,3 se instauraba en el terrenoexclusivo de la intuicin espacial. Es necesario y sufi-ciente que el yo pienso y el yo e:A isto sean intuidos paraque su vinculacin rigurosa sea intuida al punto, conla misma certidumbre que son intuidos los bordes de labola o los lmites del tringulo. Ahora, si se quiere, elcogito es a la intuicin de mi existencia, 1 que laintuicin de la lnea es a la del tringulo, la de lasuperficie a la de la bola, et similia. De nuevo se entiendeque aqu no hay proporcin, en el sentido mtrico, sinouna analoga de comportamiento sobre la necesidad lasuficiencia. El ergo del cogito no pertenece entonces a lacadena deductiva propiamente dicha, es una vinculacinintraintuitiva. Como consecuencia, es equivalente decirpienso, luego existo pienso, existo , Descartesutiliza, de hecho, esas dos enunciaciones como si fueranequivalentes. Slo la aprehensin de los dos ltimosejemplos como modelos de los dos primeros podaconducir a solucionar esa vieja dificultad.


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LA COMUNICACION

Cogito, sumocogito ergo sum

Paradigmaspregeomtricosde intuicinespacial

uadro

Orden riguroso enla intuicin pura

Orden rigurosode la intuicin

espacial

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~ ~ . ~ < ~ > ~ ~ .

bola

tringulo super-t ficielnea

3t211,2,3 no arit-mticos

La lnea inferior es la lnea de los modelos prematemticos:a la izquierda, del contenido intuitivo, a la derecha, del ordenen la intuicin. De izquierda a derecha se pasa del ejemplo alorden. a columna de la derecha es la columna de los rdenes:del modelo de orden en la parte inferior, de la estructurageneral de orden en la parte superior. De abajo hacia arriba,se pasa de los modelos a la mosofia.


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42 MICHEL SERRESInsistimos en el carcter pregeomtrico de dichos

modelos: lnea, superficie, bola son formas inmediata-mente presentes en la intuicin espacial, antes de quedefiniciones mtricas precisen las nociones de recta ycurva, plano y superticie alabeada, esfera. La intuicinespacial de esas formas precede in subjecto e in objectoa la intuicin espacial de las figuras medib1es; afortioriprecede a todo el discurso deductivo de la geometra mtrica o algebraica), toda la cadena terica. Esa antecesines a la vez metdica, lgica, subjetiva y objetiva: es unacondicin absoluta. Desde entonces, si se descubre unorden rigoroso en ese terreno preliminar de la intuicinespacial, ese orden in intuitu desempea, con respectoa las cadenas tericas de la ciencia, el mismo papel queel orden riguroso de los elementos del ogito en la intuicin pura con respecto a la cadena de las razones dela filosofa deductiva: en relacin a la filosofa, es unacondicin absoluta, lgica, metdica, subjetiva y objetiva. No slo el paradigma matemtico nos hace concebirun orden original en la intuicin pura, sino que nosindica el carcter absoluto de la condicin.

Ese paralelismo de estructura entre dos rdenes ydos fundamentos es ms instructivo de lo que parece.Adems de organizar exactamente los orgenes delpensamiento, est ligado a distinciones familiares delracionalismo cartesiano en general. La misma Regla IIIda como criterio de distincin, entre la intuicin y ladeduccin, el movimiento continuo y sin interrupcin. alo largo de una cadena y, ms all, motus sive successioquaedam No hay movimiento en la intuicin;subjetivamente, hayo no hay memoria.Ahora bien, el examen del modelo pre-geomtrico dela intuicin nos lleva a la consideracin de formas, -guras no mtricas. y entonces, todo ocurre como si elpar intuicin-deduccin fuera reductible al famoso parfigura -movimiento. Se confirma perfectamente con elmodelo geomtrico en general. Por un lado, existe una


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LA COMUNICACION 143condicin que consiste en intuicin de formas; por otraparte, se establece progresivamente un discurso tericoconsistente en transformaciones mtricas. Esas transformaciones. Son, en general, expresadas por series deproporciones, son senes de similitudes:5 la geometracartesiana -como la de los griegos- puede ser caracterizada as, sin riesgo de error. A nivel del modelogeomtrico, la distincin en cuestin puede enunciarsecomo intuicin deformas-senes continuas de simiLitudes.Este ltimo par es una clave de la reduccin del parintuicin-deduccin afigura-movimiento. El ejemplo arit-mtico dado por la Regla III consiste, por otra parte, endecir que 2 + 2 = 4 Y 3 + 1 = 4, por 1 tanto 2 +2 = 3l. Efectivamente, aqu hay un movimiento de pensamiento, movimiento que llamamos transtividact estapalabra, que Descartes no utiliza, es la ms apropiadapara caracterizar su pensamiento. Las matemticas con-temporneas conocen relaciones no transitivas (la rela-cin de interseccin, por ejemplo); pero el ejemploprematemtico , analizado ms arriba, es igualmente notransitivo: 1 es lmite de 2, 2 de 3, pero no 1 de 3 (almenos en forma suficiente). Por lo tanto, Descartesestaba absolutamente autorizado para decir que haymovimiento en el discurso deductivo transitivdad) , y queno hay movimiento en el orden riguroso intraintuitivo notransitividad , sino que slo hay igura. De donde se siguela reduccin propuesta, cuya idea de transitlvidad es unasegunda clave, ms. potente que la primera.

Pero eso no es todo: hay que tomar seriamente elejemplo de la cadena, como ya se hizo con los otrosejemplos. Gracias a ella, definimos un modelo mecnico.Una mquina simple y, a Jortiori, una mquina

temticas , en Couturat, Opuscules .5 Es fcil generalizar a n rangos el teorema cartesiano de lasescuadras mviles. Ese teorema da un excelente modelo de talesseries (cf. Vuillemin, Matemticas Y metafsica en Descartes, nota


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144 MICHEL SERREScartesiana puede definirse como una topografa (des-cripcin de formas de rganos) sobre la que se aplica unaserie de trasmisiones mecnicas. El par figura-movimiento se traspone a una maquinaria a la cartesianacomo topografia-trasmisn. Y, otra vez, la geometra nodesdeara tal distincin, las escuadras mviles enparticular, distincin reductible a su vez aformas-seriesde similitudes. Planteado esto, se podra llegar a unpunto en que la mquina ms simple6 sera aquelladonde la form fuer siempre la misma donde atransmisin se hiciera sin prdida o a similitud fueseidentidad: la cadena es entonces la mquina lmite, lams simple y la ms fcil como figura-movimiento. Seentiende ahora perfectamente la invocacin del ejemplo,en ocasin del anlisis de la intuicin y de la deduccin:la primera enfrenta la forma pura de los eslabones, lasegunda trasmite un movimiento a lo largo de laconcatenacin. Se trata de la mquina analgica delmtodo descrito por los Regulae y retomado ms tarde?Hay evidencia intuitiva y traspaso de evidencia, de ahel paralelismo estructural resumido en el cuadro n.

XIII).6 En la segunda parte del Discurso Descartes invoca esoslargos encadenamientos de razones, tan simples y fciles ... . Evi-

dentemente son los encadenamientos los que son simples y fciles,y no las razones.7 En la teora de la maniobra de los buques, se dice que una

cadena tiene la fuerza equivalente a la del eslabn ms dbil. Eseprincipio podra servir de crtica para la cadena de las Meditacionesen la que se propondra descubrir el eslabn ms dbil. Michel


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LA COMUNICACION 145uadro

Mtodo Intuicin DeduccinOrden previo Orden discursivointratntuitivo ransitlvidad(intransitividad)

Modelo mecnico, Topografa rasmisinla cadena mquina eslabn encadenamientoms simple)Modelo geomtrico Intuicin espacial Series de simili-Ej: Orden riguroso tudes. Ej: teore-y previo a las forma de las escua-mas topolgicas. dras mviles.

Trans:folma-clones)Modelo general Figura MovimientoTransporte)Filosofia Orden riguroso y Orden de lasprevio en la in- razones.

tuicin pura.Cogito, sumoLos cuatro ejemplos de intuicin que da la Regla

no son cualesquiera. Por el contrario, conforman unafamilia estrictamente organizada de elementos, cuyaestructura comn es la nocin de orden n 1tuitl LFormas geomtricas, no sumergidas en el discurso demostrativo, pero previas a la cadena, presentan un tipode orden como 1,2,3 cuyo vnculo no es deductivo, sinode necesidad y suficiencia en la intuicin: vnculo. restrictivo por la evidencia. Esos nmeros son tan pocoaritmticos que lnea y bola no son recta y esfera. Esaestructura de orden se vuelve a encontrar, dentro delterreno metafsico, en el ergo del cogito.Por el contrario, los mismos nmeros 1,2,3 realmente


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146 MICHEL SERRESaritmticos e inmersos en el proceso aditivo, presentanun tipo de orden transitivo. Esta nueva estructura seencuentra otra vez, dentro del terreno metafsico, en elorden de las razones. Sealamos al pasar que el modelomecnico puede reducirse formalmente al mismo par loque pone de manifiesto el caso lmite de la cadena;mquina simple de transporte transitividad o trasmi-sin) de evidencia.As procede un anlisis estructural: examina uno ovarios modelos particulares que reduce a una forma ovarias): orden previo, orden transitivo. Enseguida en-cuentra analgicamente, esa forma o estructura enotros terrenos, y similia tamJacilia De donde resulta supoder de comprensin, de clasificacin y de explicacin:geometra, aritmtica, mecnica mtodo, filosofa.

En la novena Regla para la direccin del pensa-miento 8 Descartes retoma la antigua comparacin entreconocer y ver. Ya la Primera Regla9 haba utilizado estaimagen, con diferencias notables respecto de la tradicinproveniente de Platn, San Agustn y Plotino: y laTerceralO haba subrayado que el vocablo intuicin debaser tomado en su estricto sentido latino. Precisamente,la analoga del ver y del conocer sirve, en la Novena, parahacer girar la pareja intuicin-deduccin en tomo a laparej a perspicacia-sagacidad es decir para hacemospasar de las operaciones del entendimiento a sus aptitu.des. Dado que el pasaje de la deducccin a la sagacidadest reservado a la Regla siguiente, sta nos indica cmoes posible mejorar la capacidad intuitiva de la misma

Foucault lo encontr6 en su istoria de la locura8 Adam-Tannery X 400-404. Alqui-Brunschwig I, 123-126.Diremos AT, AB).9 AT. X, 360 - AB. I, 78.


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LA COMUNICACION 147manera en que se adiestra la vista. Para Descartes comose sabe, la inteligencia no es extensiva del saber: hay unsujeto cognoscente puro; como consecuencia, la edu-cacin de la primera su higiene y su gimnstica nodependen de los objetos del segundo; pueden consistiren un ej ercicio sostenido en trminos fciles, hastainsignificantes mnima res . La inteligencia no estvinculada con recetas se libra en una actividad disciplinada dndose con tranquilidad el correlato mnimopara asegurarse 10 mej or posible de que no haya dudasobre el logro. De ah el modelo de concentracin y dediscernimiento realizado por el artesano en el trabajo deprecisin, que dirige su vista sobre cada punto res-pectivamente para evitar la dispersin y la confusin.Pocos lo evitan porque es un defecto comn a la hu-manidad: preferir las tinieblas a la luz . Cuando se tienemal la vista se est ms a gusto en la penumbra que ala luz del da. Por el contrario, la mirada educada esdecir, perspicaz, tiene en la luz su medio naturalY

Todas estas cosas resultaran banales pareceranestirar demasiado la metfora de la mirada, si Descartesno propusiera de golpe, como programa de ejercicio, dosproblemas, en apariencia inextrincables y de hechoresolubles de un modo simple. El primero es el de lapotencia natural que se propaga en un instante. Ese poderes la luz, como todos saben. Pero como hasta ese puntono haba aparecido, puede ser que haya un vnculo entrelas primeras recomendaciones de la Regla losparadigmas que la limitan. Cabe examinar el sentido destos, inmersos en su contexto.

10 AT. K 369 - AB. I 88.Leibniz distingue entre los miopes los prsbitas Opuscules)a propsito de la misma cuestin que la de la novena Regla: sepuede ver multa simul? Los miopes, dice Leibniz, son los Analistas(los artesanos minuciosos de Descartes), los prsbitas son losCombinadores. Es sabido que De rte combinatoria. resuelve ri-


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148 MICHEL SERRESIntuer es ver. La intuicin es una operacin de la

mente que nace de la ltl nica de la razn . 12 Se efectainmediatamente e s decir que es simple y en ella estsuprimida la distancia de la ingerencia deductiva--. Lavisin, que le sirve de modelo, es una operacin sensorialque supone tambin la ltl y que tambin pauta unacuestin de distancia: el objeto que veo est permanentemente ms o menos alejado y sin embargo lo veo enel instante e inmediatamente. Cmo se concibe que lavisin suprima ese alejamiento Esta cuestin estjustamente planteada y resuelta por el problema de laNovena Regla, que resulta isomorfo al conjunto de sudesarrollo.La Regla precedente13 recomendaba calurosamente,en ocasin del problema del anac1stico, el mtodo perimitationem es decir, por analoga o modelo. Ese procedimiento de resolucin se utiliza en la Doptrquel 4donde las leyes de reflexin y de refraccin se desprenden de esquemas que transponen la propagacin del rayoluminoso a la trayectoria de una bala: se trata de unmodelo mecnco. Los problemas de la luz son susceptibles de una solucin con figuras y movimientos, esdecir, de una solucin mecanicista y, por 10 tanto,geomtrica, porque el movimiento es instantneo , envirtud de la transposicin per mtatonem.Ahora bien, la visin es el modelo per mtatonem dela intuicin. La analoga tiene los siguientes elementosanalticos de correspondencia: luz-luz natural, distanciade la mirada-objeto-inmediatez de la evidencia. El segundo elemento presenta un inconveniente. Para resolverlo,es preciso suprimir la distancia de la mirada-objeto; una

guros amente problemas planteados por el multa simulo12 Regla IlI, AT. X 368, AB. 1 87.13 Regla VIII, AT. X 395; AB. 1 117.14Dioptrique Discollrs Premier: AT.VI, 88-93. Alqui 1,658-664


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LA COMUNICACION 149vez conseguido la analoga es una imitacin adecuada.Para lograrlo, Descartes vuelve a transponer el problemay propone e modelo de modeLo: e tacto es e modeLo dela visin que es e modelo de la intuicin. En efecto, parahacer desaparecer la distancia es preciso que la luz sepropague instantneamente. Ahora bien esto escomprensible si se analiza 10 que sucede cuando intentoapreciar los objetos en torno a m por intermedio de unbastn. 15 Ah hay comunicacin sin traspaso propagacinsin transitividad Mi tacto se ubica inmediatamentedespus de la extremidad del bastn y distingue rbolesy piedras agua y arena hierba y barro. El fenmeno noes de ningn modo comparable a la trayectoriacinemtica de una piedra o de una bala, que ocupasucesivamente los lugares intermediarios entre un puntoy otro: ese movimiento local es de algn modo partitivo,es una propagacin transitiva un transporte que necesita tiempo. Por el contrario, el movimiento del bastnes tal que todas sus partes estn concentradas en un soloy nico instante. La vista se traspone al tacto y de talmodo que ste sirve de sustituto completo en el caso delos ciegos de nacimiento: Este tipo de sentimiento es unpoco confuso y oscuro, en aquellos que no lo hanexperimentado durante mucho tiempo, pero en los ciegosde nacimiento, que se han servido de l durante toda suvida, es tan perfecto exacto que casi se podra decirque las manos ven, o que su bastn es el rgano de seissentidos que les ha sido dado en lugar de la vista 16 Ahtambin el ejercicio agudiza la perspicacia. Pero sobretodo es en este caso, donde el modelo del tacto reemplazacompletamente la visin, porque la luz es transpuesta ala ausencia de luz l7 Hay dos analogas sucesivas com-

(Rflexion) Discou/ s Second. AT. VI, 93; A. I 664 (Rfraction).15 Regla IX: AT. X 402; AB. I, 125.6 Diopt/ ique, ibdem.

17 Es interesante constatar que pe/ imitationem se pasa de la


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150 MICHEL SERRESpI etas: visin-luz-distancia tacto-oscuridad-proximidad, y la segunda resuelve la primera. La operacinintelectual es traspuesta a una operacin sensorial quese explica por una segunda operacin sensorial.La visin es el modelo de la intuicin, y el tacto adistancia o no) es el modelo de la visin. Con ese doblemovimiento, Descartes llega a dar un modelo mecnicode la intuicin. Por cierto, esa expresin pone al descubierto la distincin radical entre pensamiento y ex-tensin. Justamente la visin plantea cuestiones que elmecanismo no puede resolver: comunicacin a distanciasin transporte, propagacin sin intermediario. Por lotanto, hay que suprimir en el modelo mecnico cualquiermovimiento es decir, cualquier transitividad segn unadistancia, para conservar slo la figura Ya mostramoscmo la Regla III proporcionaba el modelo figura-mo-.vimiento a partir de la pareja intuicin-deduccin. Espreciso ahora encontrar una figuracin que suprima ladistancia como tal para no dejar concebir ms que lainmediatez. Suprimir el movimiento supone la propagacin instantnea de la luz; suprimir la distancia, esreemplazar la visin por el tacto, y el rayo visual por elbastn; el tacto es el contacto. La doble analoga conducea un modelo mecnico: ese bastn, que 90munica inmediatamente un poder natural de la mano a la piedra,es una mquina simple comparable a una palanca quecomunique inmediatamente cualquier potencia naturalintuici6n al contacto, es decir, de la evidencia a la ceguera. Leibnizvolens nolens?) toma en serio ese pasaje, y supera la metforadefiniendo una cogitatio caeca. Que el ciego ayudndose del bast6nsirva de modelo al clarividente es una observaci6n bastante rica,porque involucra la teora cartesiana del tiempo: las intuiciones seconstituyen en cadena lagunar por elementos separados, como elbast6n que tantea y se desplaza de objeto en objeto; la intuici6n noresiste mult simul, como le sucede a la vista y al tacto que explorapartes extra partes. El tiempo se descompone como el espacio tctil.Bergson no har ms que invertir y no inventar) el conjunto de la


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LA COMUNICACION 151de un punto a oiro;18 modelo mecnico, no en el sentidode la teora, sino en el sentido prctico y artesanal delas mquinas simples. En el ejemplo del bastn lapropagacin inmediata manifiesta una potencia, idnticao proporcional a aqulla; pero puede existir otro tipo depalanca a travs de la cual la comunicacin instantneainvierta la potencia, de lo idntico a 10 opuesto: es labalanza ejemplo del final de la Regla, y que podra servirde modelo mecnico para la inversin de las imgenesen el fondo del ojO.9 De manera que 1tueri es ver, peroes ver como tacto, en la abolicin de la distancia y delmovimiento, segn un modelo mecnico en el que lafigura suprime el movimiento, el contacto la figura y lafigura la distancia. o Y mecnicamente el contacto esfcil de conseguir.El bastn es as la imagen mecnica de la comuni-cacin sin transporte intermediario: simboliza lainmediatez de la visin intuitiva. En cuanto a la deduccin, es una propagacin transitiva a travs deeslabones distantes: es mediata. Ahora bien, cuandohemos recorrido con bastante frecuencia y velocidad unacadena deductiva, el movimiento del pensamiento tiendehacia una visin simple y unificada. Entonces la deduccin tiende a la intuicin, la sagacidad a la pers-picacia, lo mediato hacia lo inmediato, l c den h ci

argumentaci6n.8 Explication des engins par l aide desquels on pellt avec unepetite f orce leve,. un fardeau fort pesant: AT. I 435-447. e levier,ibdem, 443 y A. pp.8100-814.

19 Dioptrique. Discollrs Cinquieme: AT. VI 123-124; A. I, 694(figura p.696) y sobre todo Discollrs Sixieme: AT. VI, 135-136; A. I704-705. Y la figura de la pgina 136 del primero y la de la pgina704 en el segundo. En torno al punto E de la figura se distribuyenlos efectos opuestos , AC en un sentido, DB en el otro.20 Berkeley cuenta con una serie de este predominio dado altacto: Ensayo de una nueva teora de la visin (con el paradigma delciego de nacimiento operado); cf. la teora de la aproximaci6n


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152 MICHEL SERRESeL bastn. El orden de razones que simboliza la cadenaslo es preparatorio; conduce finalmente a la evidenciaglobal inmediata, simbolizada con una mquina simple.L bastn es una cadena sin eslabones.

Descubierta la palanca, queda por descubrir unpl.mto li o sobre el que apoyarla: Para quitar al globoterrestre de su lugar y transportarlo a otro, Arqumedesslo pretenda un punto que estuviese [:ljo y asegurado.Por lo que yo tendra derecho a concebir grandes es-peranzas, si soy lo bastante afortunado como paraencontrar una sola cosa que sea cierta e indudable.Mditation Seconde). Hablaremos en otra parte de esepunto [:ljo

uadro n

Intuicin Visin TactoAbolicindel movimiento

Luz natural Luz PropagacininstantneaBastn

Inmediatez Distancia Abolicin de ladistanciaContacto


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LA COMUNICACION 153l dilogo entre escartes Leibniz

Comprender la filosofa cartesiana; reconstruir elsistema de Leibniz; analizar la refraccin de aqulla enste; ubicar esa comprensin, esa construccin y eseanlisis en la atmsfera del siglo XVII a la luz de unameditacin sobre la historia de la ciencia y de las ideas;tal programa de erudito, de cientfico y de filsofo fuerealizado por Belaval en Leibniz critique de Descartes;con rigor, coherencia y c1aridad.21

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1- Efectivamente, este libro es en principio la obrade un erudito que defini perfectamente su visin de lahistoria. La informacin no falta en ningn momento, ysiempre est ubicada en el contexto temporal preciso.Be1aval tiene constantemente la preocupacin de nohablar de Descartes como 10 hara un postkantiano. nide Leibniz como 10 hara un sucesor de Hegel. Asimismo,de no traducir nunca una tesis o una demostracincientfica allenguje de 10 que Bachelard llama la historiarecurrente. Porque hay dos historias de las ciencias. Laque nos ayuda a comprender la ciencia actual y rechazaconsiderar la escoria que sta abandona en su evolucin,es la historia de los cientficos. La que nos hace entenderel pensamiento profundo de los autores de ls pocas,a travs de la justificacin interna tanto de los xitoscomo de los errores no se trata slo de una larga seriede triunfos), es la historia de los filsofos. De manera quela ceguera de Descartes ante los nmeros imaginariosno tiene importancia alguna desde la primera pers-pectiva; se explica a travs de la segunda. Olvidar un

microscpica en Dilogo entre Hilas y Filn


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154 MICHEL SERRESerror, o justificarlo como tal Uustificacin instructiva enciencia, pero que slo vuelve coherente un pensamientofilosfico). Belaval elige la segunda via. Adems de per-mitirle considerar a Desartes como lo haca Leibnizmismo, obtiene numerosas ventajas por ejemplo, poderrefutar en forma brillante a Auguste Comte y su juiciorecurrente sobre la Geometra o analizar con fortuna loscontrasentidos en la obra de Cavalieri.Pero tambin hay dos historias de la filosofa. O setienen en cuenta, sin tener siempre conciencia de ello,los sedimentos recientes en el anlisis de los sedimentosantiguos, y entonces se comprende una gnesis remontando la historia -despus de todo, Descartes tiene unsentido despus de Kant- pero ya no se comprende elconjunto de un pensamiento o se tiene en cuenta esepensamiento puro. En la segunda perspectiva, que esotra vez la de nuestro autor la obra cartesiana ya no estcentrada en el Cogto y las Meditaciones sino en losPrincipios lo que tiene una importancia considerable.Belaval nos 1 advierte: todos somos postkantianos; elesfuerzo del historiador del siglo XVII debe abocarse alevantar esa hipoteca. Existe el riesgo de que Descartescontra Leibniz signifique para nosotros Kant contraAristteles. Nuestro punto de vista est as doblementealterado; es recurrente en el sentido indicado, pero seinvierte en un nuevo sentido: estamos habituados apensar que un filsofo de la conciencia es ms modernoy ms profundo que un filsofo del sery que, por 1 tanto,aqul tiene fundamentos para criticar a ste. Esta doblealteracin nos impide comprender las crticas queLeibniz dirige a Descartes, y consideramos que, despusde todo, no dice algo distinto a ste. Ms an, nos impidecomprender el cartesianismo. Ahora bien, el historiadordice que ste no es, a pesar de 1 que pueda parecer,el primer paso de una filosofa trascendental. Para supoca y para Leibniz- en primer lugar, es un mtodo,sobre todo una fsica. Los preceptos, el mecanismo, los

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LA COMUNICACION 155meteoros, la diptrica, los remolinos .. Descartes es unprenewtoniano antes de ser un prekantiano. La fatalidadha querido que seamos ms poskantianos queposnewtonianos.A la inversa, no es preciso transformar a Descartesen un positivista; las interpretaciones de Liard y de Adamtambin son recurrentes y poscomtianas. Descartes noestablece el corte entre la ciencia y la metafsica, sinoentre una ciencia de fundamento metafisico y la teologa.Belaval obtiene un cartesianismo histricamente verda-dero, equilibrado, donde el filsofo no devora al cientfico(ni a la inversa).2- Obra de erudito, obra de historiador, este libro estambin un libro de cientfico. Se abordan con muchasoltura las tcnicas matemticas y la arquitectnica delmundo. Pienso particularmente en el excelente captuloen el que se compara la geometra algebraica con elclculo infinitesimal. La exposicin se desarrolla con elmximo de claridad y a veces con extraos aciertos,como en el brillante ej emplo del clculo de lasubtangente y de la subnormal en Fermat y Descarteso en todo lo dicho sobre el clculo de las series y de laaritmtica de los infinitos. Ah, la competencia tcnicase ala a la visin histrica: y se agradecer a Belavalel hecho de llamar a la geometra de Descartes, geometra gebraica y no ana tica como lo ha hecho la tradicin.El trmino ana tico impone la idea de una geometrainstruida en el clculo infinitesimal, en suma que haoperado una sntesis con el anliSiS; idea moderna almenos muy posterior a Descartes. Doble ventaja deltrmino utilizado: se trata de una sntesis del lgebra,y no del anlisis (a menos que se hable, como Fontenelle,del anlisis ordinario ), con la geometra, pero muchoms. Descartes no supera la descripcin de las curvasque representan una ecuacin algebraica. Planteadoesto, es una pena que el autor no haya hecho caso a sudescubrimiento: expresa mejor 1 que en cierto sentido


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156 MICHEL SERRESya saban los griegos.

La competencia tcnica no se ala slo con la visinhistrica, sino tambin con la investigacin histrica. Alrespecto, deben releerse las pginas donde se comprender al fin con toda claridad la difcil cuestin dela gnesis histrica y epistemolgica de la nocininfinitesimal (volver ms adelante a esta cuestin concierto detenimiento, porque la explicacin de Belaval eneste punto es definitiva). Por ltimo y hablando entrminos ms generales, la competencia del cientficobrilla en la idea, difundida a travs de todo el libro, deque la nocin de orden es matemticamente ms profunda que la nocin de medida; que si Leibniz prevaleceen este punto sobre Descartes, no es tanto porque elclculo infinitesimal sea ms slido que la geometraalgebraica, sino porque las nociones cualitativas son unaesencia donde 1 cuantitativo es el accidente. Tal vez seme dir que las matemticas modernas ayudan muchoa comprender esto, as como nuestra lgica nos incitaa concebir con perfeccin el dilogo intuicionismo-formalismo. Sin duda pero, en ese caso, se puede pensarde manera recurrente. Descartes y Leibniz se oponen enestas dos cuestiones exponindolas realmente y noimplcitamente. Tal vez expresan dos estructuras primordiales de la athesis perennis dos maneras fundamentales de concebir las matemticas en su conjunto.Por la misma razn, Belaval trasciende la tcnica haciala idea general de la ciencia matemtica, y el dilogo deuna poca hacia una oposicin intemporal.3- Ese doble anlisis despeja dos sistemas derecurrencias. Al primero se 1 critica y rechaza. Elrechazo y la crtica reviven el cartesianismo, volvindolea dar una autntica perspectiva histrica. Era necesarioen la medida en que se buscaba un Descartes tal comolo vea Leibniz y, por 1 tanto, tal como se presentabaen su poca. El esclarecimiento progresivo de una fi-losofa a travs de los pensamientos posteriores es


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LA COMUNICACION 157categricamente suprimido, y la historia de la filosofasaca provecho de eso.Por el contrario, el segundo sistema de recurrenciase acepta y analiza. Para definirlo mejor, conviene re-mitirse a la leccin ms general que, sobre el sabercientfico, nos da cada uno de ambos filsofos. Ahorabien, la historia al desarrollarse descubre poco a pocoesa leccin. Tomemos un ej emplo: los siglos XV1II y XIXcentran las matemticas en el anlisis. Elleibnicianismose encuentra centrado entonces de la misma manera yaque contiene de esa ciencia la invencin tcnica y laelaboracin filosfica: la interpretacin de Brunschvicges, en cierto sentido, contempornea de esa idea.Hagamos ahora variar ese centro y profundicemos la ideageneral de las matemticas; el leibnicianismo se pro-fundizar conjuntamente con esa variacin en la medida,evidentemente, en que la involucra. Couturat y Russelldescubren as un Leibniz logicista. Belaval sigue aten-tamente ese movimiento retrgrado, esa recurrencia.Couturat va ms lejos que Brunschvicg, porque ellogicismo es ms profundo que la concepcin analista.Belaval profundiza ms desde el momento en quedescubre en Leibniz al primer formalista, al primermatemtico del orden y de la cualidad. Es el mismomovimiento en lo que concierne al cartesianismo. Se-guramente se trata de cierto geometrismo, mejor an esintuicionismo. Se comprende as como Belaval supera asus predecesores incluyndolos. Leibniz es analista,logicista e incluso, formalista. Descartes es un gemetragriego. Pero adems es algebrista (en el sentido clsico),y ms an es intuicionista. Al desarrollarse, la historiaconfiere a los matemticos una dimensin reflexiva que,a p rte post ilumina con una luz nueva y cada vez mayorlas refelexiones de ambos autores sobre esa ciencia. Seha de notar la misma doble recurrencia en el captulosobre la fsica. Comprender la cosmologa del siglo XVIIimpone olvidar el espritu positivo, pero juzgarla y


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158 MICHEL SERRESmostrar de qu manera prepara el espritu modernoimplica la referencia a los rincipia de Newton.De manera que el rechazo se explica por la preocupacin de reubicar el dilogo considerado bajo suverdadera luz histrica y la de no ser infiel a las ideasde los autores. Mientras que la aceptacin obedece alproyecto de descubrir en ellas estructuras intemporalesy fecundas.J

1- Reconstruir el sistema leibniciano .. El autor nosadvierte que ello permancece como un ideal inaccesibleuna tarea infinita. Brunschvicg 1 afirma Mahnke 1pone de manifiesto. Existen demasiados puntos de vistabajo los que se puede recomponer exhaustivamente. Esomismo hace al sistema: en cierta forma estamos enpresencia del sistema de todos los sistemas posibles.Segn los comentadores se puede ver sucesivamente elpapel desempeado por la lgica la dinmica la historiala jurisprudencia. Un hilo extrado de ese laberintodevuelve todo el ovillo. Dar cuenta sintticamente delconjunto de esas posibilidades de recomposicin es unode los problemas ms elevados del leibnicianismo elideal inaccesible. Pero el programa de Belaval no imponede ninguna manera tan larga ni exhaustiva labor. Lebasta con definir el rea precisa de ese sistema dondelas tesis cartesianas encuentran un eco. Es un realimitada. La filosofa leibniciana es ms amplia y msgeneral que aqulla. Todo lo cual ya permite ver queDescartes limita a Leibniz. La sombra del primero definesobre el segundo una regin especfica.

2- Planteado as es preciso entrar en el detalle detal especificacin. Si no es solicitada la comprensinglobal del leibnicianismo no obstante lo es para elcartesianismo. De ah la obligacion: comprender la fi-

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LA COMUNICACION 159losofa cartesiana. Descartes obra como emancipacinlibera la filosofa de la teologa obra como mtodo yfsica. Las Regulae el Discurso los Pr1cipes antes delas Mditations. As lo ver el siglo XVII as lo verLeibniz que raramente cita los ltimos. Cuando Newtonpublique sus Pr1cipia ya no habr ms cartesianos.Recprocamente la lectura de Leibniz esclarece singularmente esa idea del cartesianismo y la confirma.

3- He aqu el conjunto de la refraccin y su descomposicin. Cada siglo tiene su ideal enciclopdico. Siel nuestro no lo tiene y parece desesperado por constituirse uno el siglo XVII por el contrario est segurodel suyo: el mtodo el ideal matemtico; su enciclopediaes la athesis W1iversaUs: pero una athesis donde latcnica cientfica es hija de la doctrina metafsica. Dedonde se sigue que la filosofa ordena pero siguiendo unmtodo abrazando ella misma un modelo matemtico yque as deduce. sin ver ni entender demasiado suespectculo una visin flSica del universo.As la interseccin de dos filosofas se examinar enel curso de tres investigaciones cuya distincin es ndicedel espritu de poca. Epoca prekantiana es verdad dedonde se toma la orgullosa ingenuidad de construir unmundo a partir de certidumbres racionales en lugar deindagar los fundamentos de estas ltimas pero sobretodo poca prenewtoniana donde el mundo imaginadotiene ms evidencia y realidad que el mundo experimentado.

JLa visin filosfica ordena desde la construccin

misma del libro. Efectivamente a lo largo de los tresanlisis van a jugar principios rectores que convieneconsiderar inicialmente. El dilogo Leibniz-Descartes serefiere sin cesar a stos los cuales dominan esos


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160 MICHEL SERRESanlisis. Al menos hay tres que corresponden a tresrdenes diferentes. Conciernen a la metafsica el mtodoy la historia. Diferentes pero concurrentes y mutuamente aceptados se los encuentra en forma difusa oexplcita en todas partes. Para mostrar mejor esa concurrencia dar de cada principio una consecuenciarelevante en un dominio prximo.1- Una vez ms qu es el cartesianismo? Es lasupresin deL mundo inteLigibLe Es Dios solo omnipotente -cuya voluntad detiene cualquier imperio amo dela Laguna Estigia y de los destinos. Crea el mundo perotambin la lgica las verdades eternas los teoremas yaxiomas. Su decisin pudo haber hecho que dos y dosfuesen cinco y que nuestro espacio vivido tuviese cuatrodimensiones o ms. Frente a esta revolucin filosficaLeibniz y con l todos los cartesianos- no habrn deparar hasta restablecer ese mundo. Frente a la voluntaddivina el entendimiento divino retoma imprescriptiblesderechos. As tanto para Dios como para nosotros eltodo es ms grande que la parte no existe el nmero tangrande como se quiera dos y dos son cuatro. euscaLcuLat sometido al principio de contradiccin y a losaxiomas de la artirmtica. Por un lado la voluntadprecede el juicio por otra el juicio preordena la voluntad. Voluntarismo o intelectualismo con respecto aDios y con respecto al hombre. En suma a la creacinde las verdades eternas se opone la eXistencia de unalgica increada La creacin concierne a las esenciaslas existencias o a las existencias solas. Primer principio de orden metafsico que sin cesar subyace a lasrplicas del dilogo. No puedo enumerar todas lasconsecuencias que Belaval saca de la comparacin de losmtodos de las ciencias o de las cosmologas as comode la comparacin de las reflexiones filosficas de ambosautores. Sin embargo un ejemplo muy particular y deorden epistemolgico. Se sabe que para Leibniz nopuede haber el mayor nmero ni el mayor espacio ni


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LA COMUNICACION 6la mayor velocidad. Un trmino actual infinitocuantitativamente contradice las leyes de la lgica. Estose sigue de una demostracin siempre posible, con todoslos requisitos. En opinin de Descartes es el problemamismo y su demostracin los que estn en tela de juicio:mi entendimiento se termina y slo puedo concluir ensu imposibilidad de decidir si existe o no un trmino msgrande que todos los trminos. Desde entonces habla-mos de indefinido. Para uno la demostracin concluye,para el otro, es, decimos, indecidib1e. Por qu? ConLeibniz el entendimiento alcanza esa lgica increada;porque concordamos con Dios en las mismas relaciones;porque con respecto a Descartes y dado que Dios escreador de verdades eternas y superior a ellas, no puedoaplicar al infinito el principio de contradiccin; recprocamente si no puedo hacerlo Dios crea verdadeseternas. La critica leibniciana est centrada en el escn-dalo de que un principio lgico pueda tener valor dehecho, no de derecho.2- Segundo plano de divergencia, esta vez de tipometodolgico. Descartes es intuicionista, Leibniz formalista. Hasta hace poco se deca indecidible para designarp rte nte que el mismo ejemplo se poda deducir de estasegunda distincin. La demostracin leibniciana ya es dendole formalista. y la decisin cartesiana con respecto aeste problema es de ndole intuicionista. Como Brouwer,Weyl y Lebesgue, Descartes rechaza la intervencin deltercero excludo en el infinito. El dilogo moderno, queexpresa dos concepciones fundamentab1es e irreductiblesdel pensamiento matemtico, tiene profundas races en eldilogo aqu analizado.22

21 Gallimard, 1960.Los lectores de ritique podrn remitirse al N 67 de esapublicacin Cdiciembree de 1952), donde a propsito de la obra deJ.Cavailles, M.R.Campbell define rpidamente las escuelas encuestin, y pone a Bolzano en oposicin a Descartes-Leibniz. La


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162 MICHEL SERRESQue no haya equvoco: no se estn utilizando los

trminos de intuicionismo e informalismo con el sentidoespecfico tcnico que reciben en nuestros das, sinoque aquellos retocan ese sentido, en diversas oportu-nidades, como en los ej emplos brillantes del infinito delcontinuo. En general, tienen uno ms amplio mstradicional. Por un lado, la visin como dira J eanLaporte, por otro, la confianza, bajo ciertas condicionesen la cogitatio caeca. La cosa misma el signo de la cosa.De ah se partir, esta distincin es tan importantepara Belaval, que ubica el analisis como encabezamientode su libro. De hecho, 10 domina, constantementeproducir sus frutos. Por ejemplo, el orden metafsico,que se deducir de aqul rigurosamente, la existencia deuna lgica increada la creacin de verdades eternas.a Qu quiere decir intuiconismo? En principio, queno puede haber otro criterio otro fundamento de laverdad que la evidencia, que cualquier otra cosa seremite a eso. Esta evidencia actual no es formalizable,ni enseable. Por lo tanto, requiere una reforma, unaconversin del espritu: el primer precepto del mtodo dasu sentido a los otros tres. Al respecto, se podrcomparar provechosamente el presente estudio con ellibro de Vuillemin, athmatiques et mtaphysique chezDescartes; se oponen en este punto preciso; uno es-clarece los tres ltimos preceptos a travs del primero,el otro aisla el cuarto otrorgndole un alcance reflexivo).Lo que es intuido es conocido en su verdad su realidad,

obra de Belaval da el ltimo toque a la introducci6n histrica de latesis de Cavailles. Hay divergencias considerables entre los auto-res: Cavailles habla de la tendencia aritmetista de Descartes y desu fsica relativista y dice de Leibniz que su matemtica perma-nece en el nivel de la intuici6n . En una ptica completamentedistinta de la de Belaval, Cavailles sostiene que se trata de laprehistoria del pensamiento matemtico, mientras que para elprimero, se trata de su historia


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LA COMUNICACION 163pero slo esto es conocido sin confusin, asociacinntima y exclusiva de la certidumbre y la evidencia. Deah, el dogmatismo restrictivo y crtico. Belaval yVuillemin estn de acuerdo en este punto. Se puedecomparar cmo Belaval y Vuillemin enuncian la mismaley: conocer claramente dnde termina la juridiccin delas ideas claras y discernibles.) El intuicionismo poresencia es restrictivo en un sentido amplio: todo 1 queescapa a lajuridiccin de la evidencia queda excludo ensu sentido especfico. En este punto retocamos las tesisde la escuela brouweriana. Como dijo Heyting, la po-sibilidad de conocimiento slo se manifiesta por el actode conocer. La asociacin de esos dos sentidos se en-cuentrajustificada de la siguiente manera: si la tentativade Brouwer nos ayuda a comprender p rte post laextraa decisin cartesiana de excluir de las matem-ticas procedimientos y mtodos cuyo rigor nos parecesuficiente. recprocamente. el estilo de dogmatismo queimpone el criterio intuitivo de la evidencia introducedesde el fondo de la historia la explicacin profunda dela decisin brouweriana. Fiel a su criterio de la certi-dumbre, Descartes no se pronuncia por los trascen-dentes y los infinitamente pequeos, no pone en cir-culacin el mecanismo evita las probabilidades. Elintuicionismo es el secreto profundo de los lmites delcartesianismo. pero tambin el de su fuerza. Dando laespalda a lo no intuido de hecho y a lo no intuicionablede derecho, Descartes no puede estr absolutamenteseguro de un dominio tan circunscripto y atravesado departe a parte por las luces de la evidencia. Excluyemucho y as se limita, pero lo que conserva est fundadoy es inatacable; ah no puede haber relativismo. Es ascomo el intuicionismo fundamenta y esclarece elgeometrismo. De todo eso, Leibniz tendr una concienciaaguda y no dejar de atacar justamente esa rea central.Sera infidelidad al espritu profundo del cartesianismo.buscar en el Mtodo lo que en l se puede encontrar. una


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164 MICHEL SERRESva llena de huellas de los intentos por llegar a lasdemostraciones, una tcnica operativa, un ars inveniendicompuesto por recetas, criterios, seales, razonamientosen forma tpica, en suma, un inventario de procedimientos: cada uno por fraguar.

b Se ve muy bien la oposicin a Leibniz. Conversindel espritu, duda? Clusulas de estilo, retrica deornamento. Intuicin, evidencia? Visin subjetivapropia de los visionarios. El Mtodo? Conviene compararlo con el irnico precepto de cierto qumico: toma lonecesario, opera como es necesario, obtendrs lo quedeseas; un discurso de circunstancia , la menor de lascortesas , se dir ms tarde. Y de hecho, una carta aMersenne nos 10 advierte: . No acab con el Tratado delMtodo, sino slo el Discurso ... para mostrar que notengo intencin de ensear, sino solamente de hablar del, porque, tal como se desprende de lo que de alrespecto, se trata ms de prctica que de teora. Alcontrario de Descartes, la certidumbre de Leibniz, disociada de la evidenica, slo se conquista por la fuerzaprobatoria de los razonamientos en forma ordenada .Estos se ensean y se aprenden. para suprimir lasubjetividad de la apreciacin, es preciso encontrarfrmulas independientes de su contenido. El clculodebe reemplazar la evaluacin, la opinin, la discusinapasionada. Una demostracin independiente de sumateria, que se desarrolla segn normaspreestablecidas, es a fortiori autnoma con respecto aquienes la piensan analgicamete, la lgica increada esindependiente de la voluntad divina. De ah, la excelentedeinicin de Belaval, tomada de Gonseth : el formalismo,es la lgica del objeto cualquieraConviene detenerse un instante en este punto ysubrayar la fidelidad de Leibniz a esa idea general delmtodo, fidelidad que es tal vez uno de los secretos desu sistematismo, del que se dice que sus claves estnocultas. En efecto, hay en l diversas formas de demos-


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LA COMUNICACION 165tracin, que aplica continuamente cualquiera sea elproblema que enfrenta. Estructuras operatoriasais1ab1es corren anlogicamente a 1 largo de su sistema.Razn por la cual ste es independiente de los problemas razn adems por la que, dado un problema entreotros, arrastre a todos los otros, por intermedio delformalismo del que se reviste. Be1aval percibi muy bienese matematismo profundo, que proporciona a Leibnizestructuras vacas en el interior de las cuales el contenido de las nociones puede variar de manera determinada. Es el formalismo en su pureza, en un sentidoamplio confianza en la cogit tio c eca y en el sentidoespecfico que puede tener para los modernos. Muyimportante es esa idea general de las matemticas y delarte de pensar segn la cua11a analoga de las relacioneshace olvidar la naturaleza de las nociones. Sin duda esporque, desde la perspectiva de Leibniz, el objeto ma-temtico es una abstraccin en la que considerasistemticamente las relaciones. A la inversa, si eseobjeto es una realidad como para Descartes elintuicionismo es norma: somos as reenviados al dilogoPlatn-Aristteles. Pero tambin de un pensador del sigloXVII nos viene la primera idea de las tentativas modernas. Estas se encuentran insertas en una tradicin, yasimismo echan luz sobre esa tradicin. Nos encontramos en presencia de dos visiones profundas de la cienciay del pensamiento en general, profundas y sin ningunaduda irreductibles. El filsofo tiene todo para ganar almeditar esa irreductibilidad. Dos mtodos dosdogmatismos. Uno va a la evidencia y se cierra voluntariamente a cualquier otra va. El segundo se precaveviform e contra las trampas de esa evidencia. Uno aClarauna verdad primera y fundamental en el orden y en elcontenido, a partir de la que construir una cadenairreversible de razones. El otro lanza smbolos racionalesque se determinan entre s, arquitecto de una totalidadde encadenamientos reversibles cuyo eslabn central es


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166 MICHEL SERRESel principio de identidad. En el origen de uno una verdadsimple y transparente en el centro del otro, un principioformal. Si el dogmatismo cartesiano es restrictivo yextensivo, el dogmatismo leibniciano es intensivo ygeneralizador. A la confianza en un dominio cerrado ylimitado, confianza que excluye las regiones donde aveces un elemento se nos escapa opone la confianza endominios donde la verdad est involucrada pero sinmanifestarse actualmente. El ideal formal por un lado,el virtual por el otro, reemplazan al actual. Entre 10verdadero y 10 incomprensible, Descartes plantea unasuerte de barrera natural Leibniz un velo que puedelevantarse gradualmente. De ah, una valorizacin de 10confuso, virtualmente claro, y del anlisis en el que sepuede progresar indefinidamente hay que comparar esteanlisis con el captulo sobre la epistemologa de 10sensible -cap; VII sptima parte- que es su aplicacinen el orden del conocimiento del mundo). Leibniz sacaprovecho de aquello a 10 que Descartes da vuelta laespalda. Mientras ms confundido est, ms realmentesabr: optimismo sobre el poder de conocer, que da alleibnicianismo otra aptitud motriz para la universalidad.Finalmente un mtodo conduce a la evidencia. El otro,a un conjunto virtual de conclusiones simblicas. Yentonces es natural que un dogmatismo recalquenuestra finitud y la nocin de indefinido, y que el otroeche hacia atrs indefinidamente nuestra juridiccinintelectual, conformando as la nocin de infinito virtualy volviendo contradictoria la de infinito actual. Entredichos definitivos en materia gnoseolgica o posiilidad deprogreso sin fin.

3- Nuevo principio de distincin; ste concierne a lahistoria. Primero los hombres: un solitario en exiliovoluntario desconfiado y altanero rechazando portemperamento y por decisin metdica los libros de losotros, cerrando sus ojos y tapndose los odos para noestar atento ms que a su propio pensamiento. Del otro


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LA COMUNICACION 167lado, un alma de mil voces, eco de su poca, quefrecuenta a las grandes mentalidades mundano y llenode palinodias. A continuacin las obras: un hroe ocupado en liberarse, en rechazar toda tradicin, todaescolstica, la erudicin, as como su cultura y suinfancia. Del lado contrario un conciliador enciclop-dico, vido de todo saber y de consultas: frenes deinventario, cualesquiera sean la idea y el hecho inventariados que es todava la historia en el sentidobaconiano o ya en el sentido de la historia natural; perotambin ser la historia en un sentido' ms moderno,cuando Leibniz se haga fillogo, jurista poltico,genealogista, gelogo. Esa atencin centrada en la crticaerudita histrica, frecuente en los aos en que florece elanticartesianismo de Bayle, es tan importante que cier-tos comentadores no dudaron en encontrar ah un nuevogermen que desarrolla el conjunto del leibnicianismo ,un nuevo punt.o de vista desde donde el sistema seordena. Un revolucionario y un tradicionalista.. No obstante algunas crticas l a s de Leibniz- noencontraron dificultades en recomponer los textoscartesianos con elementos de inspiracin antigua; otraspensaron que l renovaba la crtica histrica, y queBayle, en ese sentido, era cartesiano. Por el contrario,se ha demostrado -Dilthey por ejemplo- que el mundode la historia estaba ausente del sistema leibniciano.Be ava se libra de la dificultad definindola y distinguindola. De hecho, qu rechaza Descartes? Preci-samente la historia en el sentido baconicano, coleccinde hechos pintorescos y de opiniones agudascompilacin a lo Digenes Laertes. Por qu? Porque estprivada de orden, de poder demostrativo y de fecundidad,proque se apoya en la memoria y no en la intuicin, enel onsensus y la autoridad. Leibniz recomienda, alcontrario de la erudicin, la descripcin de verdades dehecho naturales y humanas. Educado en el estilo liberalde la Reforma, vuelve a la tradicin, mientras el discpulo


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168 MICHEL SERRESde los J esutas reniega de ella. Esto se relaciona con laidea que los dos filsofos se hacen de 10 probable. Parauno lo probable es lo dudoso lo falso, 10 que debe serexcludo: slo hay un tipo de certidumbre. Para el otro,hay varios tipos de certidumbres muchos grados. Podrentonces hacerse una ciencia de 10 verosmil, bajo lanorma de la caracterstica: habr un clculo de lasverosimilitudes, una lgica de lo probable, que debepermitir integrar a la ciencia verdadera un montn deconocimientos, desde la lingstica a la jurisprudenciacomprese el anlisis con el texto -captulo VII partex- donde ste se aplica al concocimiento del mundofsico, con el beneficio de la distincin entre lo probabley 10 verosmil). Uno se encuentra aqu con el idealenciclopedista que adopta las verdades de hecho y enfrente, las restricciones crticas que prescriben no ir msall de la certidumbre matemtica. O el saber es intuicin y excluye la memoria o esta ltima subyacecontinuamente a las actividades racionales. Establecidosesos fundamentos Leibniz se plantea problemas realmente histricos, como el del progreso, o el del cariz delas leyes de desarrollo y de involucin: al respecto damodelos geomtricos e imgenes algebraicas: series deseries que constituyen la inteligibilidad del mundo. Eneste punto es necesario sealar dos cosas: primero, queel mtodo de comprensin del hecho histrico es de tipomatemtico lo que muestra que el modelo leibnicianopermite aplicaciones ms amplias que el que utilizaDescartes. En segundo lugar si en Leibniz ese mundoy su historia tienen un sentido, es debido a que, conforme con la teora de la expresin, explicitan poco a pocoen el tiempo las verdades eternas la teora de la ex-presin que matematiza la relacin entre la lgicaincreada y la creacin): el mundo creado es el espejo delmundo inteligible, la historia el espejo de la hilosophiaperennis como las lenguas variables, expresan nocionesinmutables de las que la lengua universal, en su


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17 MICHEL SERRESla conciencia y no del ser Descartes libera la concienciafilosfica el cogito ya no expresar un mundo inteligiblela filosofa ya no trendr por objeto ms que las esenciasexistentes: Que llegue el .siglo XVIII y las ideas ya nosern humanas: La teora del progreso expresada por elqfklarung reenviar sin cesar a la fuente cartesiana. Porel contrario a pesar de la erudicin minuciosa con la que

Leibniz coloca de nuevo cada problema en medio de susantecedentes histricos no dar ningn impulso particular a la historia de la filosofia. Pero es al menos elprecursor de la filosofa de la historia? Precursor tal vezno fundador. De hecho es ms bien telogo de lahistoria. As es necesario todava pasar por la revolucincartesiana para devolver a esa disciplina toda su pureza.Es decir que nos hace falta en ambos casos pagarnuestra deuda al filsofo y a sus discpulos que recha-zando toda anterioridad teolgica cultural histricafinalmente dieron a cada cuestin un estatuto humanoautnomo. La crtica universal se convierte en huma-nismo.

4- Suprimir el mundo inteligible despreciar la escolstica y su formalismo y ms all de ese desprecio todatradicin y todo orden diferente del que instaura paraDescartes significa abrir su ruta de conocer a ser. Esaes la novedad profunda y la causa de las revoluciones.Entonces en ese sentido Descartes anuncia a Kant yfunda la filosofa moderna. Reestablecer ms tarde lacadena de la tradicin la lgica increada y el mundo delos signos. Con eso Leibniz quiere rehacer los caminosaristotlicos de ser a conocer y abre en cierto modola via hegeliana. El orden de las razones aqu slo sedescubre en su simplicidad a fin de cuentas de enciclopedia o al menos mientras sta se desarrolla y noen un comienzo absoluto donde se conoce desde unprincipio. Distincin mayor que Belaval enlaza a lafiligrana de su texto.


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LA COMUNICACION 7V

El modelo matemtico en Descartes es restringido y,en esto, es tambin modelo de restriccin); en Leibniz,al contrario, se encuentra ampliamente generalizadopermite una acogida ms amplia a problemas msnumerosos. El anlisis de ese modelo nos conduce alcentro de la obra.1- Revolucionario es Descartes en lo que conciernea la situ cin de las matemticas: su fecundidad esindependiente de la estril lgica escolstica. El modeloes autnomo con respecto a una disciplina que serechaza tal como el orden filosfico se libera de unateodicea de donde desapareci el mundo inteligible, o talcomo el proceso del sujeto cognoscente est desligado deun sistema del saber formal preestablecido. Pero larevolucin no tiene lugar en cuanto al ontenido de esemodelo. Las matemticas cartesianas siguen siendohelnicas es decir, mtricas reductibles, en ciertosentido a una teora de las proporciones. En efecto, ellasse componen de una aritmtica que no interesa a suautor) de una geometra mtrica generalizada de tipogriego, empalmadas por el espaldarazo de un lgebraque, lejos de formar un algoritmo independiente, sereduce a una teora de las ecuaciones. El estilo crticorestrictivo del esfuerzo cartesiano es visible en amboscasos. El revolucionario oculta a un severo conservador.De esos dos puntos de vista, el modelo leibniciano seopone en quiasmo a ste. En efecto, con l las mate-mticas quedarn como una promocin de la lgicaaristotlica, su desarrollo permanecer analtico; ciertologicismo retomar la tradicin rota por Descartes. Pero,por otra parte aunque Leibniz se declare pertenecientea la tradicin de Arqumedes, el contenido se generaliza

alcanza dominios prohibidos o inditos. El innovadoraparece bajo el tradicionalista.Esta oposicin puede sostenerse en pocas palabras:


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172 MICHEL SERRESes sabido que Descartes, despus de Aristteles, definilas matemticas como ciencia del orden y de la medida.Pero para l son sobre todo ciencia de la medida; y paraLeibniz del orden passim). De aqu se pueden sacarvarias consecuencias. Por ejemplo, que Descartes lasconsidera desde el punto de vista cuantitativo de lo igualy 10 desigual; que privilegia as la geometra y la nocinde ecuacin. Inversamente, que Leibniz adopta la con-sideracin cualitativa, de 10 semej ante y 10desemejante, de manera que da privilegio a la artitmticay a la nocin de funcin. En el ltimo hay un verdaderoanlisis en formacin clculo infinitesimal y teora de lasfunciones); y ese anlisis se apoya en un formalismoaritmtico ya elaborado porque conoce la combinatoriay comprende la congruencia y los determinantes), que,a su vez, encuentra su fundamento en una cienciageneral y abstracta de las formas y del orden, casi unlgebra, en el sentido moderno de esta palabra, y quepreve el nalysis situs. Era difcil centrar mejor lacomparacin.1 bis- Sin embargo, antes de entrar en l detalle desta, digamos algo de esa nocin de orden que lasostiene. Tal vez produzca asombro que Belaval d aLeibniz el privilegio, frente a Descartes, de haber cen-trado su pensamiento en la nocin de orden. Pero,adems de que es irrebatible desde el punto de vistapuramente epistemolgico, se lo verifica de un modo msgeneral.

Es cierto que Descartes tiene una filosofa del ordeno ms bin, una prctica del orden. En primer lugar,del orden matemtico como tal, en el seno del cual dosideas sucesivas A y B lo son porque estan ligadas porun tercer trmino, su relacin de tamao. De donde seve que el orden matemtico est dominado por la medida,es decir, por la proporcin. Luego, el orden matemticoes el modelo del orden filosfico. Pero no se reducen enmodo alguno el uno al otro. Son diferentes en el sentido


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de que, entre los pensamientos A y B Descartes nuncaintroduce un tercer trmino; los considera solamente ens mismos Comprese con la nota XIII del apndice dela obra de Vuillemin ya citada y con la introduccin allibro de Gueroult sobre Descartes). Pero son compara-bles porque uno da ocasin de imaginar que tal movi-miento ordenado del pensamiento conducira en filo-sofa, a la certidumbre. De esa manera para Gueroult,la fuerza probatoria del orden adoptado en lasditations se debe a la irreversibilidad de la deduccin,irreversibilidad que sera el nexo profundo entre elmodelo y su aplicacin. Es imposible comprender B sin

antes haber comprendido A. Y recprocamente nopuedo prescindir de B y la serie para comprender A. Peroaqu hay que explayarse, porque, estrictamente hablan-do, la irreversibilidad no es de esencia matemtica. Oms bien, hay dos rdenes matemticos; el que descubreuna solucin y que entonces es irreversible, porque seva de lo conocido a 10 desconocido, y se trama poco apoco lo complejo a partir de 10 simple, lo dificil a partirde lo fcil: es la va de la invencin; no se trata del orden

~ as matemticas es el del ejercicio del matemtico.Pero el de las matemticas es, efectivamente, indefini-damente reversible. Muchos caminos, por no decir todos,conducen a una nocin, a una idea dada. Leibniz lo sabel que es el filsofo de los puntos de vista y delsistematismo plurvoco. De maner,a ms restringida, estambin la consideracin del ncleo del que parto y delelemento constante que es la relacin, una vez msentre dos trminos sucesivos cualesquiera. Lahorriogeneidad total introducida en el orden por esa dobleconsideracin debilita la nocin de irreversibilidad hastavolverla intil. Igualmente, Leibniz lo sabe l que es elfilsofo de las leyes de series. As, de acuerdo con losintrpretes citados la irreversibilidad del ordencartesiano es la de la ratio cognoscend no la de la ratioessendL Esto confirma otra vez las distinciones iniciales


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174 MICHEL SERRESde Belaval concernientes a la va del conocer al ser o suinversa, por un lado, al mundo inteligible, por el otro.Pero tambin sus actuales conclusiones: Descartes sesirve del orden matemtico y st:0eta su pensamiento aun orden anlogo, aunque diferente. Leibniz piensa esanocin y la generaliza como tal. Para uno, sta esinstrumento hilo de Ariadna, mtodo. Para el otro, esun objeto fundamental del pensamiento formal. AsDescartes es el filsofo s gn el orden irreversible delst: eto que conoce, Leibniz el de orden infinitamentereestructurable de las cosas. La irreversibilidadcartesil-na de la cadena gnoseolgica se volver enLeibniz el s tus cualitativo e irreductible de cada ser.Pero, en 1 que concierne estrictamente al madeJamatemtico la distincin de antes -orden y medidapermanece y es suficiente.

2- Llegado a este punto Belaval precisa la comparacin en dos tiempos: primero describe las doctrinas yllega enseguida a las tcnicas Para las doctrinas, el autorelige un ndice privilegiado, la idea de nmero es evidente, cmo este paradigma reflej a las concepciones deconjunto). A 1 largo del anlisis, vamos a reencontrarefectivamente, los principales criterios de la diferenciacin: intuicin extensin espacial medidadiscontinuidad todas caractersticas que confieren suestilo propio a la matemtica cartesiana y que enconjunto van a participar de la solucin sobre la que yadije algo) del problema final del nmero mayor. Siguiendo el mismo ndice y culminando en el mismoproblema, la doctrina leibniciana aparece ms complejay con ms niveles, por la simple razn de que en ella laidea de nmero es fundamental mientras que en la otraera marginal. As como el orden precede a la medida elaritmetismo reemplaza al geometrismo, la muLtitudofunda la magnitudo el continuo subyace a 1 contiguo,que no es ms que su lmite; asimismo, lo intensivo esms profundo que la extensin, el situs cualitativo, ms


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LA COMUNICAClON 75que la m teri sve quanttas. El nmero cartesiano erainstrumento de medida se vuelve operacin; era espa-cial se vuelve elemento ideal; tena el caracter extrinsecode un signo tiene ahora una relacin intrinseca con lonumerado y con la operacin intelectual de la enume-racin dos relaciones que expresa en una. Esa identidadentre la operacin y su resultado es el privilegio msconsiderable de la artimtica su profundidad y sufecundidad. As Descartes se sirve del nmero Leibnizlo analiza y lo generaliza: entonces pueden entrar en lacaracteristica con el mismo derecho que los enteros losquebrados los sordos los trascendentes los calificadoslos algebraicos y los imaginarios; esto slo es posibledebido a que el nmero formalizado es una coleccin ala vez que una operacin. Doble provecho: se extiendeas el dominio de los nmeros pero se admiten ope-raciones que Descartes habra rechazado por ejemplo elpaso al lmite.Conviene detenerse aqu porque estas ideas tienenuna importancia primordial. En efecto si el nmero esoperacin tal vez podemos encontrar los que funden elpaso de lo discreto a lo continuo. Sin duda estamos enel origen de la solucin de un problema importante delleibnicianismo. En Pour comprendre l pens de LeibnizBelaval mismo sealaba no sin profundidad que ladificultad central del sistema era el empleo simultneodel principio de los indiscemibles y del principio decontinuidad. Ahora bien en el nivel del formalismoaritmtico vamos a descubrir ese pasaje de lo discretoa lo continuo que debe justificar lgicamente esasimultaneidad: el principio de similitud o de la mismarazn la iteracin virtualmente interminable de unaoperacin va a ser la fuente del infinito. Se entiende demanera muy precisa cmo se realizan: la aritmetizacindel anlisis la distincin entre operacin terminable einterminable entre verdad de razn y verdad de hechoentre necesidad y libertad... Se podra decir que el


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76 MICHEL SERRESconjunto delleibnicianismo se refiere a dos principios oa dos nociones que, en primer lugar no parecenconciliables: la nocin de similitud y la nocin de infinito.Ahora bien estas observaciones tienden a poner demanifiesto que la primera es la fuente de la otra en laimagen del formalismo aritmtico. El mundo leibnicianoretoma entonces su coherencia y ya no [arma del todoun sistema cuya sntesis es inaccesible. Es precisomeditar estas pginas que estn, a mi modo de ver entrelas ms importantes de la obra y entre las ms profundas de las que se hayan escrito sobre Leibniz.

Por ltimo as se entiende cmo la solucin delproblema del nmero mayor deber utilizar la virtualidadde la iteracin intelectual fuente del infinito potencialdel clculo, y finalmente interdicin del infinitocuantitativo actual.

3- El conjunto de los problemas doctrinales ligadosa la idea del nmero desemboca, en ocasin de lasdificultades presentadas por el ms grande entre ellosen la cuestin del infinito. Sobre sta Descartes no sepronuncia y rechaza abordar ese dominio. El hecho deque Leibniz se pronuncie, incluso negativamente noshace ver que al menos consiente en explorarla. Nopodramos estar mejor conducidos al examen de lastcnicas algebraicas del primero y a las audaciasinfinitesimales del segundo. Se me permitir atJ:aer laatencin del lector sobre este examen que aportaefectivamente una claridad definitiva sobre muchascuestiones.En primer lugar el marco general de la comparacin.El dilogo matemtico descrito repite en cierto sentido,la antigua oposicin de los mtodos de Arqumedes y losde Apolonio. Se sabe que el primero es conocido sobretodo por haberse adelantado a las rectificaciones ycuadraturas que suponen ya el carcter infinitesimal; elsegundo por haber pensado la sntesis espacial de losproblemas de segundo orden. Que el parecido sea gran-


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LA COMUNICACION 177de, nadie puede negarlo, y Leibniz mismo, que gustabade las herencias no dej a de recoger sta. Pero Belaval,citando un texto de Chasles nos advierte que el paraleloes insuficiente. Es cierto que Leibniz est abierto amtodos de Arqumedes que Descartes rechaza; pero sila ndole de esos mtodos lo lleva a la tradicin deApolonio, a 1 que ms tarde se convertir en el anlisis,el estilo de Apolonio supera a su vez la problemtica deArqumedes, en el sentido de que una geometra de laforma y de la posicin funda por s misma el anlisis.Entonces no hay paralelo, sino quiasmo. Leibniz sebeneficia simultneamente de las dos tradiciones, esmatemtico del infinito y de la cualidad; Descarteshereda las dos restricciones, la de 1 finito y de lacantidad.De todas maneras el genio propio del espritumatemtico habita en ambos; y ese genio es siempre elde la generalizacin nexo entre esos dos dilogos his-tricos. En cada caso hay generalizacin algortmica dela tradicin helnica: las notaciones algebraica y dife-rencial de las que se enorgullecen nuestros dos autoresson expresin lingstica de eso. De ah el amor deDescartes por el lgebra y su desprecio por la artimtica;no sospecha en sta poder formal, no percibe ah msque una herramienta de medida corno ya vimos. Surelacin con el lgebra es entonces el vnculo de 1general con 1 particular. A travs de ese vnculo, ellgebra clarifica ideas que los nmeros compendiabanconfusas; la teora de las proporciones resume simplificaordena y pone en evidencia vnculos que la aritmtica nopercibe. El lgebra va a realizar ese trabajo de unificaciny esclarecimiento tambin a travs de la geometra; debellegar a hacer con las figuras 1 que logr con losnmeros: dos generalizaciones de los problemashelnicos en una sola disciplina; y la ltima slo esposible cuando se generaliza la nocin de dimensin.Pero sucede que las extensiones cartesianas no van ms


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178 MICHEL SERRESall de un cierto lmite; sin duda porque el proyectogeneral sigue siendo el de un gemetra; entonces lasraces negativas son admitidas porque tienen un sentidosobre un ej e no las imaginarias porque sus propiedadesespaciales paradojales) no son reconocidas; la invencinalgebraica se encuentra limitada por la intuicin; demarcada el algebra no se comprometer con exponentescualesquiera; en consecuencia ya su vez, se rechazarel anlisis de los trascendentes. La restriccin es dobley recproca, cada disciplina limita a la vecina.4- As planteadas las cosas la critica leibniciana esde las ms fciles de comprender. El nimo generalizadordebe suprimir los lmites definidos de tal manera. Entonces, la aritmtica encuentra la dignidad de unalgoritmo formal: el nmero utilizado en 10 ql,le es ya unateora de los determinantes recibe un valor abstracto deorden y de posicin; a continuacin el lgebra secompromete con el estudio de exponentes cualesquieray, en particular irracionales o variables; por ltimo, lageometra debe presentar un clculo directo de lasformas, y superar as la exclusiva consideracin de 10igual y lo desigual. Todas las extensiones posibles sonsistemticamente pensadas por Leibniz; de ellas el Arscombinatoria representa la ltima y fundamental expresin: ser ciencia de las formas y de las cualidadesin universum Generalizaciones pensadas no todasrealizadas, pero de las que la historia de las matemticashasta nuestros das se acordar fielmente y de muchasmaneras. Es cierto que, comparado con esas sublimesprefiguraciones, el clculo infinitesimal es un descubrimiento de importancia relativa. La riqueza de lasmatemticas leibnicianas justifica eljuicio recurrente delque hemos hablado.

Y sin embargo desde una perspectiva estrictamentehistrica e s decir, la que rechaza ese juicio- es elclculo 10 que opone a los dos filsofos. Por otra parte,en 10 que hace a la originalidad profunda de Leibniz, ste


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LA COMUNICACION 179se ubica desde }iter de la ptica cartesiana y anticipael carcter general de las matemticas del siglo XVIIAqu, al contrario, y aunque se opone a su antecesordescubre ciertos resultados que completan la obra deDescartes y le dan una fuerza y un sentido nuevo: lageometra slo es realmente analtica despus de que espuesta en su sitio la notacin infinitesimal. Ese es elcentro de la comparacin, respecto a unas obras y enel espritu de la poca.

Se recupera entonces el problema del infinito y susespecificaciones: series, convergencia, paso al lmite,funcin. Belaval da ejemplos excelentes del tratamientode problemas idnticos por medio de mtodos que uti-lizan o rechazan el instrumento infinitesimal: determi-nacin de las tangentes y clculo de la subnormal reade la ruleta, problema de Florimond de Beaune. Nopuedo analizarlos en detalle. Me basta con sealar laadmiracin que se experimenta por el genio matemticode Descartes que, en esto comparable a los griegos,privado o falto de mtodos slidos , llega no obstantea las solucion,t1s; por ejemplo, evita la consideracin delinfinito por el descubrimiento de correspondencias recprocas. Es una excelente manera de discernir el genioparticular comparar la debilidad de los mtodos con lafuerza de los problemas resueltos por stos. 3 Quien-quiera que sea, va a plantearse en lo sucesivo unacuestin que ya no concierne a las operaciones y losmtodos, sino al ente mismo del que se habla en elclculo. Qu es infinitesimaL5- En respuesta a esta dificil pregunta Belaval des-cribe la evolucin histrica y la gnesis epistemolgicaen el curso de las cuales se elabor la nocin. Deben

23 Por otra parte, esta observacin puede tener un alcance msprofundo; no se aplica slo a una psicologa de la invencin.


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180 MICHEL SERRESrecorrerse cuatro etapas que son: indivisibles incompa-rables homgonas diferenciales.

Es preciso comenzar por Cavalieri y por los errorescometidos con respecto a l. Efectivamente susindivisibLes no son diferenciales: son elementosasignables finitos invariables tres caractersticascontrarias a la ndole del clculo. Esa es la razn por lacual Descartes se atiene a Cavalieri que lo libera del pasoal lmite operacin que rechaza; admitir 10 contrariosera liberarse de los indivisibles. Es evidente el contrasentido en quienes los interpretan como entesevanescentes caso de Pascal y de Roberval. Pero a favorde ese conrasentido la ndole del clculo comienza atriunfar. Entonces Leibniz coloca a Descartes del lado deCavalieri y por el estudio de las sumas e series llegaa pensar la evanescencia de una cantidad inasignable.Sealamos de paso que la tradicin arquimdea pasacomo es normal por la mecnica: el elemento consi-derado tiene un estatuto dinmico.

Tambin era normal que aquella pasara por el es-tudio de las cuadraturas que introduce clculos deprogresiones y de aproximaciones. En esto Leibniz va asustituir el desorden de la aproximacin de los decima-les por la exactitud de la ley de orden serial; y la sumade esas series nos introduce naturalmente en la doctrinade los incomparabLes Para comprenderla es precisoadmitir una escala de rdenes donde un elemento cual-quiera es infinitamente pequeo o infinitamente grandeen relacin al elemento que lo precede o le sigue; en elinterior de un mismo orden rige el principio de conti-nuidad o axioma de Arqumedes: los elementos de eseorden todos homogneos se pueden superar unos aotros por multiplicaciones convenientes lo que no esevidentemente el caso en los elementos de dos ordenesdiferentes. Entonces y rigurosamente se puede eliminarsin error todo elemento de segundo orden en un clculolineal y as sucesivamente. Pero lo incomparable no es


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LA COMUNICAClON 181todava infinitesimal, porque, con toda exactitud, elgrano de arena con respecto a la esfera de los fijos, tienesu peso y su gravedad, por ms insignificantes que sean.

Por eso hay que pensar una vez ms la operacin delpaso al lmite. Todava se trata del estudio de las seriesy de su convergencia, que nos proporciona un tipo depaso libre de toda intuicin espacial. As la suma de unaserie va a tender hacia un lmite sin que sea imposiblela intercalacin de un trmino entre la suma y el lmite.No hay homogeneidad, en el sentido de Arqumedes,entre el lmite y lo que est limitado: son, como diceLeibniz homgonos Este trmino permite comprendercmo la igualdad es lmite de desigualdades, el reposodel movimiento, etctera. Es evidente que esta doctrinadel paso al lmite, suspende por un lado la jurisdiccindel principio del tercero exclu do, pero por otro introduceen matemtica consideraciones que escapan en ciertomodo de la mtrica.Recorridas las tres primeras etapas hagamos ba-lance: nuestros infinitesimales son cantidadesevanescentes, inasignables que pueden estar organizadas segn ordenes incomparables a los que se puedeaplicar la operacin del paso al lmite.6- Pero esos tres anlisis tambin pusieron de ma-nifiesto el papel capital del estudio de las series en lagnesis de las nociones del nuevo clculo. Adems P.Boutroux declaraba en su IdaL s ientifique desmathmaticiens que la teora de los desarrollos en serieera la parte ms importante y la ms fecunda de estanueva matemtica. Es verdad que los que ahora llamamos los clsicos consideraban la Teora de lasfunciones como 10 esencial de su ciencia. Entonces elclculo y los desarrollos, sobre los que se apoya estateora, adquieren una importancia considerable y enLeibniz, uno se ve tentado a privilegiar uno y otro. Ennuestra poca, como ya seal, minimizaramos esteaporte, y valoraramos otros aspectos de su obra. 10


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182 MICHEL SERRESmismo hicieron Russell y Couturat cuando naca ellogicismo. El mrito de la obra de Belaval es llevar lacuenta rigurosa de esas tendencias: muestra perfecta-mente lo que hace de Leibniz el primer clsico (y deDescartes el ltimo griego) y, a travs de pinceladashbiles y penetrantes lo que lo convierte en el ancestrode los modernos.

Pero volvamos a nuestras series. Sealar la impor-tancia es decir que la nocin de diferencial, si tiene unevidente origen geomtrico, debe mucho tambin a laariimtica; y, precisamente Leibniz alcanza la idea defuncin del otro lado de los resultados destacables ob-tenidos por Wallis sobre las series numricas; y estaltima idea es en adelante fundamental en anlisis,como se acaba de ver. La nueva matemtica se organizaen tomo a tres nociones concurrentes: la ley de serieque deja atrs a Wallis, la funcin que va ms all dela ecuacin cartesiana y por ltimo el nfmitesim l queaventaja a Cavalieri. As est conformado el ncleo dela organizacin llamada clsica : basada en relacionesde orden y situacin; debern pasar dos siglos paraesclarecer perfectamente esta anticipacin leibniciana.Completada la gnesis y descrito el cuadro, no obs-tante subsisten algunas dificultades; y la querella sobre10 infinitesimal se polongar durante mucho tiempo. Setrata de una cantidad evanescente: convergencia arit-mtica y transicin continua en geometra, paso al lmiteen ambos casos; por otro lado, el lenguaje funcionalimpone la reciprocidad de la integracin y de la dife-renciacin, y deja atrs como consecuencia la idea deincomparable. Pero si ese lenguaje se concibe formal-mente la evanescencia permanece como inexactitud; deah la querella sobre la realidad de un ente que no esni intuicionable ni representable y que Leibniz mismono admite ms que como un ente ideal y au, Ciliar. Nopuedo retomar en detalle la discusin, ni esa famosateora del error compensado en la que Poincar mismo


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LA COMUNICACION 83confirma a Berkeley, Carnot y Comte. Digamos simple-mente que dos tendencias profundas explican la acogidade a diferenciaL en el leibnicianismo: primero el formalismo y la confianza en la cogitatio caeca que la Convierten en smbolo operatorio; en segundo lugar, laconcepcin del infinito como actividad de la mente, poderdinmico de la inteligencia. La nocin est objetivamente fundada en el seno de un algoritmo que se dabien, y subjetivamente, en una concepcin general delconocimiento.

v1- Estamos munidos de instrumentos convenientespara la construccin del mundo. A tiles diferentes,

mundos distintos.Sin ninguna duda, esta parte de la obra es la msdifcil: porque si las matemticas de estos autores para

nosotros estn siempre vivas, en cierto modo, su fsicanos es extraa.) La fsica prenewtoniana forma part

Serres-hermes Capitulo 2

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