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58
1 Ruído
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1
Ruído
2
Ruído:
É definido como um sinal indesejável ou distúrbio que altera um sinal
elétrico ou degrada o comportamento de um sistema.
Algumas fontes de ruído:
• ruídos internos de componentes elétricos (térmico),
• escovas de motores, ignição, imperfeição de conexões elétricas,
• radiação eletromagnética,
• tempestades elétricas,
• radiações extraterrestres.
A principal fonte de ruído que se conhece é o ruído térmico, que está
presente nos componentes elétricos e eletrônicos.
Introdução
3
Os elétrons livres em um material condutor possuem energia cinética
devido à troca de calor entre material e meio ambiente. Assim:
Estes elétrons estão em movimento,
Devido às colisões internas este movimento é aleatório,
A densidade de elétrons através do condutor dá origem a uma tensão
de ruído em seus terminais.
Ruído térmico ou Johnson (primeiro a estudá-lo em 1928).
As seguintes propriedades são observadas:
O valor médio da tensão é nulo.
O valor quadrático médio é finito e vale:
1. Ruído Térmico
fKTRvE N 42
4
fKTRvE N 42
Em que: K = 1.3810-23 [J/ºk] ( constante de Boltzman ),
T: temperatura em graus Kelvin,
R: resistência interna do condutor em ,
f: largura de faixa do dispositivo de medida.
Potência média do ruído:
wattsfKT
R
vEP N
N 4
2
Em analogia com uma fonte elétrica, pode-se definir a “potência média de
ruído“, como a máxima potência que a fonte pode oferecer para uma
resistência de carga RL igual à resistência R da fonte:
5
~ 2NvE
R
Equivalentes de Thevenin e de Norton:
Equivalente de Thevenin:
fKTRvE N 42
6
fKTG
R
vEiE NN 4
2
22
~ 2NiE G=1/R
Em que a corrente
de ruído é dada por:
Equivalente de Northon:
7
Se tivermos M resistores em série:
22
22
1
2 4
NMNN
sN
vEvEvE
fKTRvE
em que Rs = R1 + R2 + . . . + RM
Se tivermos M resistores em paralelo:
fKTRvE pN 42
em que Rp = R1 // R2 // . . . // RM
22
22
1
2 4
NMNN
pN
iEiEiE
fKTGiE
em que Gp = 1/R1 + 1/R2 + . . . + 1/RM
8
Função densidade de probabilidade do ruído térmico:
O número de elétrons livres em um material condutor é extremamente
grande.
seus movimentos aleatórios são estatisticamente independentes.
Em concordância com o teorema do limite central:
A função densidade de probabilidade do ruído térmico é gaussiana com:
Valor médio nulo
Valor quadrático médio 2NvE variância
9
Densidade Espectral de Potência
1
2
kT
|f|hv
e
|f|RhfG
kT
|f|he kT
|f|h
1
HzV
v RkTfG2
2
Utilizando-se a mecânica quântica, determina-se a densidade espectral
de potência do ruído tal que:
Em que: h = 6.6210-34 J.s. ( constante de Plank )
T = temperatura em graus Kelvin
Admitindo f < 1012 Hz, a seguinte aproximação é válida:
substituindo esta equação na acima tem-se que:
10
HzV
v
NfG
2
2
0
HzV
v RkTfG2
2
observe que a densidade espectral de potência é independente da
frequência (plano) ==> ruído branco em analogia com a luz branca.
na literatura ele é representado da seguinte maneira:
100 105 1010 1015
0.5
1
1.5 D.E.P. do Ruído Branco
frequência em Hz
2R
kT
“ Densidade espectral de
potência bilateral “
KRTN 40
11
22
020 Ndfe
N fjx
Função de autocorrelação
Para o ruído branco, duas
amostras quaisquer
são descorrelacionadas
x
2
0N
12
Ruído Branco
Assim, define-se o ruído branco como um processo estacionário cuja função
de autocorrelação é dada por:
20
2xx
N
E cuja densidade espectral de potência é dada por:
HzV
xv
NfG
220
2
13
2. Ruído branco em sistemas lineares
Quando um ruído branco passa por um sistema linear com função
de transferência H(f) a densidade espectral de potência na saída do
sistema será dado por:
20 |fH|fGfG v
0
22020 4
2df|fH|kTRdf|fH|
NvE
Assim, a tensão quadrática média na saída será:
Escrevendo de outro modo tem-se:
NkTRBvE 420
0
2 df|fH|BN
HzV
v
NfG
2
2
0em que:
em que:
Largura de faixa equivalente de ruído
14
fRCj
fH
21
1
0
2 4
1
21
1
RCdf
fRCBN
C
kT
RCkTRvE C
4
142
Exercício 1: Cálculo da largura de faixa equivalente de ruído para uma
rede RC.
~ KTRvN 42
R
C R C
2
2
21
1
fRC|fH|
15
Observe neste exemplo que o valor quadrático médio da tensão de ruído no
capacitor independe de R.
Como:
NkTRBvE 420
0
2 df|fH|BN
Explicação:
• Conforme o resistor R aumenta a largura de faixa do circuito diminui,
mantendo a relação acima constante.
• Assim:
C
kTvE C 2
16
Exercício 2: Cálculo da largura de faixa equivalente de ruído para uma
rede RLC.
R
L
C
R L
C ~ 4kTR
QRCf
fHff
0
02
1
fQBN 2 fkTRQvE C 22 4
17
Apêndice
18
-5 0 5 0
0.1
0.5
0.7
1 PDF Gaussiana
2
2
2
2
1
mx
exp
Função Densidade de Probabilidade
1/
-/2 /2
PDF Uniforme
.c.c,
/|x|,/xp
0
21
Ruído branco gaussiano
Ruído térmico
Ruído de quantização
12
22 x
Ruído de Quantização
Quando um sinal analógico é digitalizado por um circuito ADC, o valor da
amostra é aproximado para um dos 2N valores digitais, denominados níveis
de quantização. A diferença entre o valor original da amostra e o valor
digitalizado é denominada erro de quantização. Desta forma, uma vez
digitalizado, o sinal original não pode mais ser recuperado com exatidão.
Em termos práticos, na etapa em que o sinal digitalizado é reconstruído pelo
DAC, considera-se que foram obtidos dois sinais adicionados
o sinal original sem erros de quantização
um ruído que corresponde ao erro de quantização subtraído de seu
valor médio, denominado ruído de quantização.
A excursão do ruído de quantização está compreendida no intervalo
-/2 < n(t) < +/2, onde é o valor máximo do erro de quantização
(diferença entre dois níveis consecutivos).
19
20
Estimação da Densidade Espectral
de Potência
Periodograma
21
Sinais de informação apresentam comportamento imprevisível, suas
flutuações são complexas e por isso eles são caracterizados como
processos aleatórios.
Assim, para caracterizar um sinal de informação é necessário um
tratamento estatístico.
No domínio do tempo as principais medidas são:
• Média, variância, função de autocorrelação, correlação cruzada, ...
No domínio da frequência a medida principal é o:
• Densidade espectral de potência.
Nesta parte vamos estudar como estimar a densidade espectral de potência
de um sinal aleatório utilizando a transformada discreta de Fourier.
Introdução
22
A densidade espectral de potência
Caracterização dos sinais aleatórios no domínio da frequência:
Sinais aleatórios apresentam energia infinita Não possuem
Transformada de Fourier.
Mas eles apresentam potência finita Densidade Espectral de
Potência.
Definição:
Seja x(n) um processo aleatório discreto. A sua função de
autocorrelação é definida como:
)()()( * knxnxEkxx
A função de autocorrelação é uma medida no tempo que está
diretamente relacionada com as variações do sinal, assim ela contém
informações sobre o conteúdo de frequências do sinal aleatório.
23
A densidade espectral de potência é definida como a transformada de
Fourier da função de autocorrelação do sinal, isto é:
k
fkjxxxx ekf 2)()(
xx(k)
k
sinais lentos – banda estreita
sinais rápidos – banda larga
)()( fk xx
TF
xx
24
Em geral deparamos com a seguinte situação:
Tem-se disponível somente uma função amostra do processo aleatório.
Neste caso definimos a função de autocorrelação temporal:
M
MnM
xx knxnxM
kr )()(12
1lim)( *
A transformada de Fourier da equação acima fornece a densidade
espectral de potência para a função amostra que se tem disponível, isto é,
k
fkjxxxx ekrfP 2)()(
25
Se o processo aleatório é ergódico nos primeiro e segundo momentos
então as médias temporais tendem às médias estatísticas, isto é,
)()(
)()(
ffP
kkr
xxxx
xxxx
Tem-se um outro problema:
Em uma situação prática temos disponível somente um trecho finito do
sinal a ser analisado.
• Neste caso calculam-se as estimativas da função de autocorrelação
e da densidade espectral de potência.
• Para a densidade espectral de potência esta estimativa é conhecida
como periodograma, como será estudado a seguir.
Nesta situação a densidade espectral de potência pode ser calculado a
partir da função de autocorrelação rx(k).
26
O periodograma
Resumindo:
Na prática encontramos dois problemas na determinação da função de
autocorrelação e da densidade espectral de potência:
Temos disponível somente uma realização do processo aleatório:
• portanto, é necessário a suposição de ergodicidade do processo.
A duração do sinal é finita:
• portanto tem-se que fazer uma estimativa da função de
autocorrelação.
Tem-se dois tipos de estimativas:
• A estimativa não polarizada,
• E a estimativa polarizada.
27
Admitindo 0 n N-1 como o intervalo de observação do sinal:
A estimativa não polarizada da função de autocorrelação é dada por:
1,,2,1,)()(1
1,,1,0,)()(1
)(ˆ1
*
1
0
*
NkknxnxkN
NkknxnxkN
krN
kn
kN
n
xx
O fator 1/(N-|k|) fornece uma estimativa consistente da fac.
Problema na estimativa:
Para valores grandes no atraso k (próximos de N) ela apresenta
variância muito grande.
Razão: Poucas amostras do processo x(n) entram no cálculo.
28
1,,2,1,)()(1
1,,1,0,)()(1
)(ˆ1
*
1
0
*
NkknxnxN
NkknxnxN
krN
kn
kN
n
xx
Fórmula mais apropriada para a estimativa polarizada da função de
autocorrelação:
A equação acima apresenta vantagens:
Fornece uma variância menor que a anterior para valores grandes de k.
Mantém a consistência e por isso é mais utilizada.
• Veja o exemplo a seguir.
29
-200 -100 0 100 200 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 50 100 150 200 250 -3
-2
-1
0
1
2
3
EXEMPLO 1: Função de autocorrelação do ruído branco gaussiano com
variância igual a 1.
)()( 2 kk xx
-200 -100 0 100 200 -0.5
0
0.5
1
Polarizada 1/N Não-polarizada (1/N-k)
Função de autocorrelação
teórica do ruído branco:
30
Estimativa da densidade espectral de potência
1
1
2)(ˆ)(ˆN
Nk
fkjxxxx ekrfP
Substituindo a equação anterior na equação acima obtém-se:
2
21
0
2 )(1
)(1
)(ˆ fXN
enxN
fP
N
n
fnjxx
Este resultado é conhecido como PERIODOGRAMA.
Observações importantes:
Não há necessidade de se estimar a função de autocorrelação.
• A d.e.p. pode ser estimada diretamente a partir da transformada de
Fourier do sinal.
Para frequências discretas [ fk ] podemos utilizar a TDF.
31
Utilização da TDF
Admitindo que se tem disponível N amostras { x(0), x(1), ..., x(N-1)}:
21
0
2
)(1
)(ˆ)(ˆ
N
n
nN
kj
xxkxx enxN
kPfP
1,,1,0: Nkqueem
2
1
10
aMAX
aR
aakk
kk
FF
N
Fou
Nf
FN
kFfF
fN
kf
Frequência digital
Frequência analógica
Resolução espectral
Máxima frequência
32
EXEMPLO 2:
0 50 100-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.1 0.2 0.3 0.40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.1 0.2 0.3 0.40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
nnnx 15.02sen5.01.02sen)(
Periodograma de um sinal composto de dois tons senoidais de
frequências 100 Hz e 150Hz e frequência de amostragem 1 kHz.
Sinal N = 32 N = 128
33
EXEMPLO 3: Periodograma de um ruído branco com valor médio nulo e
variância igual à unidade.
0 50 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 0.1 0.2 0.3 0.4-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10Sinal N = 128 N = 512
O aumento no número de pontos não diminui a variância do
periodograma
34
Periodograma médio
O exemplo anterior mostra que o periodograma não é consistente.
A razão para esta conclusão é a retirada do operador esperança no
cálculo da fac temporal.
Solução: utilizar o periodograma médio ou de Bartlett.
No cálculo do periodograma médio admite-se que:
Se tem disponível uma sequência relativamente grande. (N muito
grande).
Se o sinal é estacionário:
Então podemos então dividi-lo em sequências de tamanho menor.
• determina-se o periodograma de cada sequência menor.
• e faz-se a média de todos os periodogramas.
35
Primeiramente a sequência de N (N um valor grande) amostras é
subdividida em M segmentos não superpostos com L < N amostras cada
um, tais que:
L
NM
L,,,n,M,,,i:queem
)iLn(x)n(xi
110110
Para cada segmento calcula-se o periodograma: 2
1
0
2)(
1)(ˆ
L
n
nfjik
ixx
kenxL
fP
1,,1,0: LkeL
kfqueem k
Periodograma médio
36
Finalmente, calcula-se o periodograma médio utilizando a média abaixo:
1
0
)(ˆ1)(ˆ
M
i
kixxkxx fP
MfP
Este procedimento permite uma estimativa do periodograma com
variância reduzida por 1/M em relação ao anterior.
Ele só pode ser aplicado nos trechos onde os sinais são estacionários.
Veja o exemplo a seguir.
37
EXEMPLO 4: Periodograma médio de um ruído branco com valor médio nulo
e variância igual á unidade:
N = 1024 L = 128 M = 8
0 50 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 0.1 0.2 0.3 0.4-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10Sinal Periodograma P. Médio
38
Uso de janelas
Na formulação anterior o sinal foi considerado de tamanho finito. Na
realidade estamos utilizando uma janela retangular para limitar o tamanho
do sinal. Na maioria dos casos o uso de uma janela retangular pode
mascarar algumas componentes de frequência de um sinal.
Por exemplo:
Considerando sinais compostos de tons senoidais embebidos em ruído
pode ocorrer uma situação na qual a componente de menor amplitude
fica mascarada pelos lóbulos laterais da janela retangular.
Nestes casos é recomendável o uso de uma janela de dados diferente
da retangular.
A janela deve ser tal que não exista transições abruptas, como é o caso
da janela retangular.
39
em que w(n) é uma janela do tipo:
• Hamming, hanning, blackman, kaiser, etc.
nxnw .
No caso de uma janela diferente da retangular, os lóbulos laterais no
domínio da frequência, são bem menores, minimizando os efeitos de
mascaramento das componentes senoidais.
Assim, antes de se calcular o períodograma, o sinal é multiplicado por uma
janela de dados tal que:
21
0
2)()(
1)(ˆ
N
n
nfjkxx
kenxnwN
fP
Neste caso o periodograma será dado por:
40
Observe que temos um produto no tempo, isto é,
wX*wWwX w
A convolução tende a “manchar” o espectro:
• portanto deve-se tomar muito cuidado com a escolha da janela e
também com a escolha do seu tamanho:
Como regra prática:
• a janela deve conter de 2,5 a três “períodos” do sinal.
nxnw
Portanto, no domínio da frequência teremos a convolução:
41
Algumas das janelas mais utilizadas:
10
1
4080
1
250420
1
2460540
1
25050
Nn:queem
N
ncos.
N
ncos..)n(w
N
ncos..)n(w
N
ncos..)n(wHanning
Hamming
Blackman
42
Janela Retangular
Nn,
N...,,,n,nw
0
12101
domínio do tempo domínio da frequência
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Frequência em rad/s
Am
plit
ude
em
dB
0 10 20 30 40 50 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
43
Janela de Hanning
.c.c,
Nn,N
ncos..
nw
0
101
25050
domínio do tempo domínio da frequência
0 10 20 30 40 50 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Frequência em rad/s
Am
plit
ude e
m d
B
44
Janela de Hamming
.c.c,
Nn,N
ncos..
nw
0
101
2460540
domínio do tempo domínio da frequência
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Frequência em rad/s
Am
plit
ude
em
dB
0 10 20 30 40 50 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
45
EXEMPLO 5:
nnnx 15.02sen5.01.02sen)(
Periodograma de um sinal composto de dois tons senoidais de
frequências 100 Hz e 150Hz e freqüência de amostragem 1 kHz,
utilizando janela de hamming e N =128.
Sinal retangular hamming
46
Método de Welch
Este método faz duas modificações no periodograma médio:
Os segmentos são permitidos se superporem.
Utiliza janelas diferentes da retangular.
Ele consiste de três passos:
O sinal é segmentado de tal forma que os segmentos permitam uma
superposição de D amostras (em geral 50%).
alsindotamanho:N,L
NM
L,,,n,L
D:queem
)iDn(x)n(xi
1102
Neste caso tem-se 2M-1 segmentos de tamanho L.
47
Finalmente, calcula-se o periodograma médio:
22
0
)(ˆ12
1)(ˆ
M
i
kixxkxx fP
MfP
Cada segmento é multiplicado por uma janela w(n), diferente da
retangular e calcula-se o periodograma:
21
0
2)()(
1)(ˆ
L
n
nfjik
ixx
kenwnxUL
fP
110 L,,,keL
kf:queem k
ãonormalizaçdefatornwL
U
L
n
:)(1
1
0
2
48
EXEMPLO 6:
nnnx 15.02sen5.01.02sen)(
Periodograma de Welch de um sinal do exemplo anterior,
admitindo: N = 1024 e L =128 pontos, janela de hamming e 50%
de sobreposição, dando um total de 16 segmentos.
Sinal Um segmento Welch
49
Melhora na Visualização Gráfica
Pode ser utilização quando o conjunto de dados é pequeno e a resolução
de frequências é baixa.
Neste acrescenta-se zeros ao sinal antes de calcular o periodograma:
1,,1,,0
1,,1,0),()(,
LNNn
Nnnxnx
Em seguida calcula-se o periodograma:
21
0
2, )(1
)(ˆ
L
n
nfjkxx
kenxN
fP
110 L,,,keL
kf:queem k
O acréscimo de zeros não melhora a resolução do periodograma, mas
somente a visualização gráfica.
50
EXEMPLO 7:
nnnx 15.02sen5.01.02sen)(
Aumento da resolução gráfica de um periodograma de um sinal
composto de dois tons senoidais de frequências 100 Hz e 150Hz
e freqüência de amostragem 1 kHz.
Sinal N = 24 L = 512
51
Apêndices
52
Seja um estimador de um parâmetro .
O valor deste estimador varia com as diferentes realizações do processo
aleatório.
Portanto este estimador é uma variável aleatória:
Define-se:
Polarização do estimador: ]ˆ[)( EB
Variância do estimador:
]ˆ[0)ˆ( B
2]ˆ[ˆ)ˆvar( EE
Estimador não polarizado:
Estimador consistente: 0)ˆvar(0)ˆ( eB
A1 - Consistência de um estimador
Erro Quadrático Médio
)ˆ(]ˆ[ˆ)ˆ( 222 BEEEEQM
53
-200 -100 0 100 200 -0.2
-0.1
0
0.1
0.2
polarizada
-200 -100 0 100 200 -0.2
-0.1
0
0.1
0.2
não polarizada
0 50 100 150 200 250 -1
-0.5
0
0.5
1
Exemplo da Função de autocorrelação de um trecho sonoro de um sinal de voz
A2
54
X(x,n)
n1 n2 nn
xn(n)
x3(n)
x2(n)
x1(n)
t
t
t
t
xn x2 x1
x(k)
k
sinais lentos
sinais rápidos
Processo Aleatório
A3
55
A4 - Sinal de Voz - sonoro
0 50 100 150 200 250 300 -1
-0.5
0
0.5
1
-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 -40
-20
0
20
56
A5 - Sinal de Voz
0 50 100 150 200 250 300 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000
-30
-20
-10
0
10
20
57
A6 - Sinal de Voz
0 50 100 150 200 250 300 -0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000
-60
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Bibliografia
Steven M. Kay, Modern Spectral Estimation: Theory and Application,
Prentice-Hall, 1988.
Proakis, J. G. and Manolakis, D. G., Digital Signal Processing: Principles,
Algorithms and Applications, MacMillan, 1992.
Openheim, A. V. and Schafer, R. W. Discrete-Time Signal Processing,
Prentice-Hall, 1989.
National Semiconductor, Power Espectra Estimation, Application Note 255,
nov. 1980.
