Petry - Transferencia de Calor e Massa Em Meios Granulares
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMTICA
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MATEMTICA APLICADA
DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO
PARA A TRANSFERNCIA DE CALOR E
MASSA EM MEIOS GRANULARES
por
Vitor Jos Petry
Tese submetida ao Programa de Ps-Graduao em Matemtica Aplicada
do Instituto de Matemtica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul,
como requisito parcial para a obteno do ttulo de Doutor em Matemtica
Aplicada.
Prof. Dr. lvaro L. De Bortoli
Orientador
Prof. Dr. Oleg Khatchatourian
Co-Orientador
Porto Alegre, maio de 2007.
-
CIP - CATALOGACO NA PUBLICACO
Petry, Vitor Jos
Desenvolvimento de um modelo para a transferncia de calor emassa em meios granulares / Vitor Jos Petry, Porto Alegre:PPGMAp/UFRGS, 2007
93 p.: il.
Tese (doutorado) Universidade Federal do Rio Grande do Sul,Programa de Ps-Graduao em Matemtica Aplicada, PortoAlegre, 2007.Orientador: Dr. lvaro L. De BortoliCo-Orientador: Dr. Oleg A. Khatchatourian
Tese: Matemtica AplicadaModelo matemtico, tranferncia de calor e massa, meios granu-lares
i
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DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO
PARA A TRANSFERNCIA DE CALOR E
MASSA EM MEIOS GRANULARES
por
Vitor Jos Petry
Tese submetida ao Programa de Ps-Graduao em Matemtica Aplicada
do Instituto de Matemtica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul,
como requisito parcial para a obteno do ttulo de
Doutor em Matemtica Aplicada.
Linha de Pesquisa: Anlise Numrica
Orientador: Prof. Dr. lvaro L. De Bortoli
Co-Orientador Prof Dr. Oleg A. Khatchatourian
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Antnio Jos da Silva Neto - IPRJ/UERJ
Profa. Dra. Lgia D. F. Marczak - PPGEQ/UFRGS
Prof. Dr. Leonardo Fernandes Guidi - PPGMAp/UFRGS
Tese apresentada e aprovada em 23 de maio de 2007.
Profa. Dra. Maria Cristina Varrialle - Coordenadora
Porto Alegre, maio de 2007
ii
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Sumrio
1 Introduo 1
1.1 Motivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 O problema fsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Alguns modelos de transferncia de calor e massa para secagem . . . 6
1.4 Objetivos do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Objetivos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Objetivos especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Roteiro do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Equaes Governantes 18
2.1 Deduo das equaes governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Equao de conservao de massa para o ar . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Equao de conservao de massa para as esferas . . . . . . . 22
2.1.3 Equao de conservao de energia para o ar . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Equao de conservao de energia para as esferas . . . . . . . 23
2.1.5 Equaes para o fluxo do ar no meio granular . . . . . . . . . 25
2.2 Adimensionalizao das equaes governantes . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Condies iniciais e de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Procedimento de soluo 30
3.1 Esquema numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1 Algumas definies e teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 Aproximaes em diferenas finitas . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.3 Anlise da consistncia, estabilidade e convergncia . . . . . . 35
3.2 Soluo analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
iii
-
3.2.1 Algumas solues analticas para problemas de transporte na
literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2 Definies e teoremas teis na resoluo . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3 Obteno da soluo analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Resultados 59
4.1 Comparao entre valores numricos e dados experimentais de secagem
em leito profundo para o caso 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Comparao entre valores numricos e dados experimentais de secagem
em camada fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Comparao entre valores numricos e dados experimentais para a
secagem intermitente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 Simulaes numricas de secagem para o caso 2-D . . . . . . . . . . . 74
4.5 Avaliao da influncia de parmetros adimensionais . . . . . . . . . . 79
5 Concluses e contribuies 82
5.1 Contribuies do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Referncias Bibliogrficas 85
iv
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Lista de Figuras
1.1 Esquema de um secador de leito fixo em forma de silo (corte vertical) 3
2.1 Esquema da cmara de Secagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Volume de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Esquema da extrapolao em x = 0 e x = 1 . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Esquema de aproximaes em diferenas finitas para o tempo e o
espao no caso 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Regio de estabilidade para a = 1/4, b = 1, c = 1/2 e x = 1/20 . 393.3 Regio de estabilidade para a = 1/10000, b = 1, c = 1 e x = 1/40 393.4 Regio de estabilidade para a = 1/10000, b = 1, c = 1 e x = 1/100 403.5 Representao grfica dos autovalores para a = 1/4, b = 1 e c = 1/2 523.6 Solues analtica e numrica de como funo do tempo (adimen-
sional) para 0 = 1 = 1, a = 1/4, b = 1, c = 1/2, f(x, t) dadapela equao (3.62) com k1 = 0.03 e k2 = 0.1 . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Valor do erro relativo entre as solues analtica e numrica de
como funo do tempo (adimensional) para 0 = 1 = 1, a = 1/4,
b = 1, c = 1/2, f(x, t) dada pela equao (3.62) com k1 = 0.03e k2 = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8 Solues analtica e numrica de como funo do tempo (adimen-
sional) para 0 = 0, 1 = 1, a = 1/4, b = 1, c = 1/2, f(x, t) dadapela equao (3.63) e k1 = 0.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.9 Valor do erro relativo entre as solues analtica e numrica de como
funo do tempo (adimensional) para para 0 = 0, 1 = 1, a = 1/4,
b = 1, c = 1/2, f(x, t) dada pela equao (3.63) e k1 = 0.03 . . . 57
v
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4.1 Esquema do equipamento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Distribuio da temperatura dos gros de soja no interior da cmara
para Tar = 65oC, Tamb = 18oC, X0 = 0, 31, U0 = 4, 75ms1 e UR =
85% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Distribuio do teor de umidade dos gros de soja no interior da
cmara para Tar = 65oC, Tamb = 18oC, X0 = 0, 31, U0 = 4, 75ms1 e
UR = 85% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Distribuio da temperatura dos gros de soja no interior da cmara
para Tar = 55oC, Tamb = 16oC, X0 = 0, 21, U0 = 4, 61ms1 e UR =
80% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Distribuio do teor de umidade dos gros de soja no interior da
cmara para Tar = 55oC, Tamb = 16oC, X0 = 0, 21, U0 = 4, 61ms1 e
UR = 80% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Distribuio do teor de umidade dos gros de soja no interior da
cmara para Tar = 80oC, Tamb = 22oC, X0 = 0, 24 e UR = 68% . . . 66
4.7 Distribuio do teor de umidade dos gros de soja no interior da
cmara para Tar = 110oC, Tamb = 20oC, X0 = 0, 24 e UR = 68% . . . 66
4.8 Distribuio da temperatura do ar no interior da cmara para Tamb =
23oC, Tar = 70oC, X0 = 0, 214 e U0 = 1, 25ms1 com 3 horas de
secagem seguidas de 50 minutos de aerao . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.9 Distribuio do teor de umidade dos gros de soja no interior da
cmara para Tamb = 23oC, Tar = 70oC, X0 = 0, 214 e U0 = 1, 25ms1
com 3 horas de secagem seguidas de 50 minutos de aerao . . . . . . 69
4.10 Distribuio da temperatura dos gros de soja no interior da cmara
para Tamb = 23oC, Tar = 70oC, X0 = 0, 214 e U0 = 1, 25ms1 com 45
minutos de secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . . . 69
4.11 Distribuio da temperatura do ar no interior da cmara para Tamb =
21oC, Tar = 70oC, X0 = 0, 227 e U0 = 2, 5ms1 com 3 horas de
secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . . . . . . . . . . 70
vi
-
4.12 Distribuio do teor de umidade dos gros de soja no interior da
cmara para Tamb = 21oC, Tar = 70oC, X0 = 0, 227 e U0 = 2, 5ms1
com 3 horas de secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . 71
4.13 Distribuio da temperatura dos gros de soja no interior da cmara
para Tamb = 21oC, Tar = 70oC, X0 = 0, 227 e U0 = 2, 5ms1 com 3
horas de secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . . . . . 72
4.14 Distribuio da temperatura do ar no interior da cmara para Tamb =
13oC, Tar = 50oC, X0 = 0, 227 e U0 = 2, 5ms1 com 3 horas de
secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.15 Distribuio do teor de umidade dos gros de soja no interior da
cmara para Tamb = 13oC, Tar = 50oC, X0 = 0, 227 e U0 = 2, 5ms1
com 3 horas de secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . 73
4.16 Distribuio da temperatura dos gros de soja no interior da cmara
para Tamb = 13oC, Tar = 50oC, X0 = 0, 227 e U0 = 2, 5ms1 com 3
horas de secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . . . . . 74
4.17 Malha para a simulao numrica no caso 2-D . . . . . . . . . . . . . 75
4.18 Distribuio da temperatura (adimensional) dos gros para t = 0, 5h 75
4.19 Distribuio da temperatura (adimensional) dos gros para t = 1h . 76
4.20 Distribuio da temperatura (adimensional) dos gros para t = 1, 5h 76
4.21 Distribuio da temperatura (adimensional) dos gros para t = 2h . 77
4.22 Distribuio da umidade (adimensional) dos gros para t = 0, 5h . . 77
4.23 Distribuio da umidade (adimensional) dos gros para t = 1h . . . . 78
4.24 Distribuio da umidade (adimensional) dos gros para t = 1, 5h . . 78
4.25 Distribuio da umidade (adimensional) dos gros para t = 2h . . . . 79
4.26 Influncia do nmero de Reynolds na distribuio da umidade dos
gros ao longo do tempo, Re = 200 a 2000. . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.27 Influncia do nmero de Eckert na distribuio da temperatura dos
gros ao longo do tempo, Ec = 105 a 5x105. . . . . . . . . . . . . . 81
4.28 Influncia do nmero de Schmidt na distribuio do teor de umidade
dos gros ao longo do tempo, Sc = 0.7 a 2.0 . . . . . . . . . . . . . . 81
vii
-
Lista de Tabelas
1.1 Composio mdia dos gros de soja em condies ideais para a es-
tocagem [72] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.1 Domnios e condies de contorno em que foram obtidas solues para
a equao (3.29) em [69] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Autovalores do problema (3.47) para os dez primeiros valores de n,
com a = 1/4, b = 1 e c = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
viii
-
Lista de Smbolos
a razo entre a rea e o volume de um gro
a, b, c coeficientes
A coeficiente
An coeficiente de normalizao das autofunes
As rea da superfcie de um gro
bn(t) coeficientes de Fourier com dependncia do tempo
C concentrao de gua em massa
C0 espao das funes contnuas
Ci concentrao mssica da espcie i
Cp calor especfico a presso constante
D coeficiente de difuso de massa de vapor de gua no ar
D(L) domnio do operador L
ER erro relativo
Ec nmero de Eckert
h coeficiente convectivo de tranferncia de calor entre o ar e o gro
H espao de Hilberthm coeficiente convectivo de tranferncia de massa entre o gro e o ar
jx,i, jy,i fluxo de difuso da espcie i na direo x e na direo y
k1, k2 parmetros
L operador diferencial
L operador adjunto
l2 espao das seqncias cuja soma dos quadrados de seus termos converge
L2 espao das funes de quadrado integrvel
Lc comprimento caracterstico
Lv calor latente de vaporizao da gua
ix
-
m taxa de gerao de massa por unidade de volume
m massan vetor normalO(x, t) ordem de aproximao no espao e no tempo
P presso
Pr nmero de Prandtl
q quantidade de calor gerada por unidade de volume
q taxa de gerao de energia por unidade de volume
Re nmero de Reynolds
Sc nmero de Schmidt
S() smbolo de Fouriert tempo
T temperatura
u componente da velocidade na direo xu vetor velocidadeU0 velocidade do ar na entrada da cmara de secagem
UR umidade relativa do ar
v componente da velocidade na direo y
V volume
x, y, z coordenadas cartesianas
X teor de umidade dos gros em base seca
Xe teor de umidade de equilbrio entre o ar e o gro
Y teor de umidade do ar em base seca
w componente da velocidade na direo z
x
-
Lista de Smbolos Especiais
difusividade trmica
n(t) coeficientes de Fourier com dependncia do tempo
C variao de concentrao de massa
, n autovalores
, parmetros
viscosidade cintica
massa especfica
porosidade da massa granular
(L) espectro de L
tempo de relaxao trmica
n(x) autofunes normalizadas
transformada discreta de Fourier para a seqncia {k}0, 1 constantes
(x, t) funo
, produto internoL(H) espao dos operadores lineares contnuos de H em H norma euclidiana H norma no espao de Hilbert H L(H) norma no espao L(H)
Sobrescritos
varivel adimensionaln ndice de discretizao temporal
xi
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Subscritos
0 valor inicial
amb ambiente
ar ar de secagem
atm atmosfrica
c referente ao volume de controle
g gs (ar)
i referente espcie i
i, j, k ndices de discretizao espacial
l lquido (gua)
s slido (gro)
v vapor
xii
-
Resumo
Problemas de transferncia de calor e de massa em meios granulares so
encontrados em inmeras situaes de interesse tecnolgico. Particularmente, o
processo de secagem de gros envolve esses dois fenmenos. Nesta tese desenvolvido
um modelo matemtico que descreve os balanos de energia e de massa para o ar
e os gros baseado nas equaes de Navier-Stokes. O coeficiente convectivo de
transferncia de massa entre o gro e o ar obtido a partir de dados experimentais
para a secagem de gros de soja.
As equaes governantes do modelo so resolvidas numericamente por um es-
quema em diferenas finitas. A anlise de consistncia, estabilidade e convergncia
tambm realizada para o caso unidimensional. Uma soluo analtica da equao
diferencial parcial com a forma das equaes de balano da energia e da massa para
o ar (caso unidimensional) obtida, fazendo-se comparaes entre dados numricos
e a soluo analtica, para funes testes no termo fonte, com o objetivo de avaliar
o esquema numrico utilizado.
Resultados so apresentados fazendo comparaes dos valores numricos calcula-
dos atravs do modelo com dados experimentais encontrados na literatura. Avalia-se
tambm a influncia de parmetros adimensionais envolvidos nos processos de trans-
ferncia de calor e massa.
Estes resultados contribuem para obter um melhor entendimento da transferncia
de calor e massa em meios granulares, cujas aplicaes so encontradas em muitas
situaes de interesse prtico.
xiii
-
Abstract
Problems of heat and mass transfer in granular media are found in count-
less situations of technical interest. Particularly, the grain drying process involve
those two phenomena. In the present work we develop a mathematical model that
describes the energy and the mass balance for the air and the grain based on the
Navier-Stokes equations. The convective mass transfer coefficient between the grain
and the air is obtained from experimental data for the soy grain drying process.
The governing equations of the model are approximated by means of a finite
differences scheme. The analysis of consistency, stability and convergence is also
made for the unidimensional case. An analytical solution for a partial differential
equation with the form similar to the energy and mass balance equations for the
air (in the unidimensional case) is obtained; comparisons are realized between the
numerical data and the analytical solution for chosen test functions in the source
term, with the objective of evaluating the numerical scheme used.
Numerical results are presented and compared with the experimental data found
in the literature. We evaluate the influence of dimensionless parameters involved in
the heat and mass transfer processes as well.
These results contribute to obtain a better understanding of the heat and mass
transfer in a granular medium, whose applications are found in many situations of
technical interest.
xiv
-
Captulo 1
Introduo
Neste captulo apresentamos a motivao para a realizao da presente tese e
fazemos uma descrio do problema fsico a ser abordado, seguido de uma rpida
reviso bibliogrfica, que ir recordar alguns dos principais modelos matemticos
desenvolvidos para descrever os processos de transferncia de calor e massa. Aps
indicamos os principais objetivos traados para a realizao do trabalho. Para encer-
rar o captulo apresentamos um roteiro que foi seguido na organizao e elaborao
da presente tese.
1.1 Motivao
Em inmeras situaes de interesse tecnolgico nos deparamos com problemas
de transferncia de calor e massa em meios granulares. Dentre esses problemas
destacamos o da secagem de gros, dentre eles os gros de soja. Neste casos, torna-
se necessrio o conhecimento de modelos matemticos capazes de prever a evoluo
da temperatura e da umidade, tanto do ar que envolve o meio granular, como dos
prprios gros.
Atualmente o Brasil, especialmente nas regies Sul e Centro Oeste, um dos
grandes produtores de gros, principalmente de soja, que destinada na sua maioria
para as indstrias de produo de leos e de alimentao humana e animal, tanto
no mercado interno como no exterior. J se verifica tambm o desenvolvimento de
tecnologias para a reduo do consumo de petrleo, tentando utilizar leos de origem
1
-
2
vegetal.
Para se ter maior segurana na secagem, garantindo a conservao da qualidade
dos gros e para evitar desperdcios, importante que se tenha, no momento da
secagem, controle das temperaturas do ar e dos gros, das trocas de calor e massa
entre os gros e o ar, bem como dos teores de umidade no interior de todo o secador
[72]. Tais necessidades, associadas aos elevados custos da construo de prottipos
baseados em modelos tericos, tm aumentado a importncia do desenvolvimento
de pesquisas de modelos matemticos, com simulaes das condies de secagem e
armazenamento, baseadas em dados experimentais.
Muitos trabalhos sobre processos de transferncia de calor e massa so apresen-
tados na literatura. Dos trabalhos encontrados nesta linha de pesquisa, a maioria se
refere a processos de secagem. Na seqncia, faremos uma exposio do problema
fsico de secagem artificial (objetivo desta pesquisa) a ser resolvido, seguido de um
breve apanhado dos principais trabalhos encontrados na literatura sobre esse tema.
1.2 O problema fsico
Os gros de cereais em geral, entre eles os de soja, so formados por um composto
de matria seca e mida. De acordo com Puzzi [72], a composio qumica de um
gro varia com vrios fatores, tais como as condies ambientais, a variedade do
produto e o prprio teor de umidade. Uma composio mdia de um gro de soja
em condies ideais para a estocagem e/ou comercializao, segundo este autor,
dada na tabela 1.1.
Quando a quantidade de gua est muito acima dos 10% (base mida), necessrio
que os gros passem por um processo de secagem antes do armazenamento com o
objetivo de retirar a gua excedente.
Para uma boa conservao dos gros estocados, evitando oscilaes muito brus-
cas nos preos de mercado, devem ser tomados alguns cuidados de forma que sua
composio qumica seja conservada em seu estado natural. Segundo Puzzy [72],
os principais fatores que alteram as caractersticas dos gros, comprometendo o seu
-
3
Tabela 1.1: Composio mdia dos gros de soja em condies ideais para a es-
tocagem [72]
Componente % em massa (base mida)
matrias proteicas 35%
carboidratos 26%
matrias graxas 19%
gua 10%
celulose 5%
cinzas 5%
valor comercial e nutritivo, so de ordem fsica e biolgica. Os principais fatores
fsicos so a temperatura elevada e a umidade da massa de gros armazenados. J
como fatores biolgicos destacam-se a ao de microorganismos, insetos e caros.
Evidentemente, o desenvolvimento dos fatores biolgicos depende em grande parte
dos fatores fsicos. Da a necessidade de manuteno de temperaturas no muito
elevadas e, principalmente, da secagem dos gros antes de seu armazenamento.
Figura 1.1: Esquema de um secador de leito fixo em forma de silo (corte vertical)
-
4
Existem no mercado inmeros tipos de secadores, dentre os quais os de leito fixo
(figura 1.1), no interior do qual uma grande massa de gros midos depositada
para iniciar a secagem. A secagem artificial dos gros ocorre devido a um fluxo de ar,
geralmente quente, que forado atravs de um sistema de ventilao a passar pelo
meio granular, absorvendo a umidade contida na superfcie do gro e provocando um
gradiente de umidade no interior do mesmo, alm do gradiente de energia (no caso
do fluxo de ar quente); este provoca um fluxo de gua do centro para a superfcie do
gro. Essa massa de gua que aparece na superfcie novamente removida pelo ar
quente que passa por entre os gros. Assim, quanto maior a temperatura do ar de
secagem, maior ser o gradiente de temperatura provocado, o que tende a acelerar
o processo de secagem, podendo gerar trincas devido s tenses que provocam a
rachadura da casca dos gros [72].
A gua no interior do gro pode estar na forma de molculas de gua ligadas a
grupos moleculares de matria biolgica ou, ento, na forma de grupos moleculares
de gua lquida ou na forma de vapor no interior de pequenos poros existentes nos
gros [72]. A gua na forma de molculas ligadas matria biolgica muito difcil
de ser removida. J a forma de grupos moleculares de gua lquida ou a forma
de vapor permite uma remoo mais fcil, e acredita-se que seja essa gua que
retirada dos gros durante os processos de secagem.
Quando a distribuio de gua no interior do gro no uniforme, formam-
se gradientes de concentrao, fazendo com que a gua se desloque dos pontos de
maior concentrao para os de menor concentrao. Nos processos de secagem com
ar aquecido, o calor transferido para o gro e provoca a mudana de fase da gua,
alm do aquecimento de toda a massa do gro. Formam-se, assim, gradientes de
presso de vapor que tambm so responsveis pelo deslocamento de gua no interior
dos gros. Assim, quando a presso de vapor parcial na superfcie do gro maior
que a presso parcial do vapor no ar, ocorre a transferncia de vapor de gua do
gro para o ar, o que caracteriza a secagem. Quando as presses parciais de vapor
no ar e na superfcie do gro so iguais, ocorre o equilbrio e o teor de umidade do
gro, neste caso, chamado de teor de umidade de equilbrio [36].
A secagem de produtos agrcolas pode ser definida como um processo simultneo
-
5
de transferncia de calor e massa entre o produto e o ar de secagem. De fato, quando
ocorre o fluxo de ar quente por entre a massa de gros contidos no interior da cmara
de secagem, ocorre a transferncia de energia do ar para os gros pelo processo de
conveco. Essa energia rapidamente distribuda para o interior do gro, aque-
cendo toda a matria e vaporizando parte da gua contida no gro, aumentando a
presso parcial de vapor no interior do mesmo e provocando, conseqentemente, um
gradiente de presso entre o gro e o ar.
Por outro lado, o ar aquecido possui maior poder de absoro de vapor de gua.
Devido ao gradiente de presso parcial de vapor e a diferena de concentrao de
vapor de gua entre a superfcie do gro e o ar, ocorre a transferncia de vapor
de gua entre o gro e o ar. Na seqncia, o vapor levado juntamente com o ar
para fora da cmara. Uma vez retirada a umidade da superfcie do gro, acentua-
se novamente o gradiente de presso e de concentrao de vapor entre o interior
e a superfcie do gro, provocando nova migrao da umidade do centro para a
superfcie, dando continuidade ao processo.
No incio do processo de secagem a quantidade de calor e massa transferida mais
acentuada, diminuindo ao longo do tempo. A transferncia de calor diminui medida
que a temperatura dos gros se aproxima da temperatura do ar de secagem na
entrada da cmara, tornando o gradiente de temperatura pequeno. J a diminuio
do teor de umidade dos gros ao longo do tempo, faz com que o gradiente de umidade
e de presso de vapor entre os gros e o ar tambm diminua, de forma que quando
o teor de umidade se aproxima da umidade de equilbrio, a transferncia de massa
se torna praticamente desprezvel.
Nos experimentos realizados e apresentados em Khatchatourian et al. [34] verificou-
se que na abertura da cmara de secagem, imediatamente aps cessado o processo
de secagem, a superfcie dos gros encontrava-se sem gua lquida e, aps um curto
intervalo de tempo, apareceram gotas de gua ao redor dos gros. Isso refora a idia
de que a gua sai do gro na forma de vapor e que ela condensou posteriormente,
uma vez que neste momento no havia mais o fluxo de ar quente que a transportasse.
O processo de secagem intermitente consiste em submeter os gros a um fluxo
de ar aquecido por um determinado perodo de tempo, seguido de outro perodo de
-
6
tempo de secagem com ar no aquecido (temperatura ambiente), que pode ter sua
passagem forada por entre a massa de gros por um sistema de ventilao, ou ento
pela conveo natural, uma vez que ao fim do perodo de secagem com ar quente,
os gros encontram-se a uma temperatura superior temperatura do ar ambiente
que est sobre o secador. A vantagem desse tipo de secagem, est na reduo do
consumo de energia.
Apesar do modelo apresentado poder ser til em outras aplicaes, o presente tra-
balho se deter nos processos de secagem de gros de soja, uma vez que a literatura
(Borges [9], Katchatourian [34] e Weber [92]) fornece mais dados experimentais, o
que facilita a comparao e a conseqente validao do modelo usado.
Compreendido o problema fsico, na seo que segue sero enumerados alguns
modelos que descrevem o processo de secagem de diversos produtos encontrados na
literatura.
1.3 Alguns modelos de transferncia de calor e massa
para secagem
A secagem artificial de gros ocorre pela passagem de um fluxo de ar por entre
a massa de gros. De acordo com Parry [61], os modelos matemticos dos proces-
sos de secagem podem ser classificados como modelos logartmicos e exponenciais,
modelos simplificados de balano de calor e massa e modelos baseados em equaes
diferenciais parciais.
Os modelos logartmicos e exponenciais foram os primeiros a serem desenvolvidos
devido a simplicidade na obteno de solues. Na seqncia foram desenvolvidos di-
versos modelos empricos e semi-empricos baseados em balanos de massa e de calor,
porm com grandes simplificaes com o objetivo de facilitar a obteno de solues
com recursos computacionais ainda no muito avanados. J com a evoluo da
computao cientfica, os modelos de secagem baseados em equaes diferenciais
parciais com menor nmero de restries tem ganho fora [61].
Existem vrios tipos de modelos dos processos de secagem, sendo a maioria de-
les em regime permanente. Segundo Borges [9], os modelos que no consideram a
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7
alterao das propriedades fsicas nas variveis espaciais so conhecidos por mode-
los de camada fina, sendo as grandezas envolvidas, como temperatura e umidade,
consideradas uniformes em todas as posies do secador a cada instante. J os que
consideram essas variaes so chamados de modelos de leito profundo. Alm disso,
os modelos tambm podem ser classificados em empricos, semi-empricos e tericos
[61]. Os primeiros so resultado do ajuste de curvas a partir de valores experimen-
tais, os tericos so baseados unicamente nas equaes de transporte de calor e de
massa e os semi-empricos so uma mescla dos outros dois.
Diversos modelos empricos e semi-empricos tm surgido nos ltimos anos ten-
tando explicar os fenmenos de transporte de massa e de calor envolvidos na secagem
[63]. Uma das limitaes de vrios desses modelos que eles geralmente so aplicveis
somente a pequenas faixas das grandezas envolvidas, como a temperatura do ar de
secagem dentro das quais foram obtidos.
Brooker et al. [12] afirmaram que a secagem de produtos agrcolas em camadas
finas apresenta duas fases distintas: uma com taxa constante de secagem e outra
com taxa decrescente de secagem. A fase de taxa constante pode ser observada na
secagem de produtos biolgicos com umidade inicial acima de 70% em base mida.
Normalmente, acima dessa faixa de umidade, a resistncia interna ao transporte de
gua muito menor que a resistncia externa remoo de umidade da superfcie.
A fase de taxa decrescente, por outro lado, caracteriza-se pela descontinuidade do
fluxo de gua na superfcie de evaporao. A resistncia interna ao transporte de
umidade torna-se maior que a resistncia externa. O segundo caso teria maior
interesse prtico, visto que praticamente todos os produtos chegam aos secadores
com percentuais de umidade bem abaixo dos 70% [12].
Uma classificao das abordagens da modelagem dos fenmenos de transporte
em meios porosos encontrada no trabalho de Laurindo e Prat [38], segundo a qual
temos abordagens contnuas e discretas. As primeiras consideram o meio como uma
massa contnua. Segundo esses autores, algumas situaes ainda so impossveis de
serem simuladas usando essa hiptese, mas admitem a razovel concordncia dos
resultados desses mtodos com os dados experimentais. As abordagens discretas
usam a teoria de fractais e mtodos da fsica estatstica. Ainda, segundo esses
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8
autores, essas abordagens, apesar de detalharem mais os fenmenos que ocorrem na
transferncia de calor e massa, ainda esto em desenvolvimento e no so adequadas
para o uso em softwares de controle ou em projetos de secadores industriais.
Simmonds et al., em 1953, conforme Borges [9], propuseram um modelo para
descrever o teor de umidade do gro onde este teor dado por uma funo expo-
nencial, ou seja, consideram que a variao da umidade do gro proporcional
diferena entre a umidade no momento atual e o teor de umidade de equilbrio.
O teor de umidade de equilbrio definido como sendo o limite admitido por um
material sujeito a um meio ambiente estvel [36]. Em outras palavras, a umidade
final que o gro atingiria caso ficasse tempo suficiente em contato com o ar a uma
determinada temperatura e umidade. Assim, seu valor determinado como funo
dessas duas grandezas.
Boyce, em 1965 [10] [11], considerou o aquecimento dos gros durante a secagem
apresentando um modelo semi-emprico estacionrio de leito profundo subdividido
em vrias camadas finas, no interior das quais as propriedades como temperatura e
umidade eram calculadas.
Em 1966 Luikov [44] apresentou um modelo baseado nas equaes de trans-
porte de calor e massa e da quantidade de movimento. Devido complexidade
de sua soluo, na poca foi sugerido por vrios autores o desprezo dos gradientes
de presso, gradientes de difuso trmica e a evaporao interna, tornando-o um
modelo bem simples com apenas duas equaes diferenciais parciais autnomas.
Em 1973 Morey e Cloud [55] apresentaram um modelo matemtico para avaliar
o desempenho de secadores de fluxo cruzado com mltiplas colunas de secagem.
Neste tipo de secador o ar forado perpendicularmente em todas as colunas, sendo
que os gros entram midos na terceira coluna e so recirculados na segunda e na
primeira coluna simultaneamente.
Nellist em 1987 [56] desenvolveu um modelo matemtico para secadores de fluxo
cruzado com o objetivo de analisar o teor de umidade dos gros, a temperatura do ar
e dos gros e o consumo de energia no processo de secagem, levando em considerao
as condies para a germinao das sementes.
Em 1991 Courtois et al. [19] propuseram um modelo unidimensional em leito
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9
profundo baseado nas equaes de balano de massa e de energia para a secagem de
gros de milho. Para descrever a variao da umidade o gro foi dividido em trs
partes: a primeira formada pelo ncleo, a segunda a parte intermediria e a terceira
a parte perifrica do gro, sendo a transferncia de massa de uma parte para outra
por difuso, com coeficientes obtidos empiricamente. J para a transferncia de
calor foi considerada uma camada uniforme. Negligencia-se, nesse modelo, o termo
difusivo nas equaes de energia e de massa para o ar.
Ahrens e Villela, em 1996 [2], usaram dois modelos de secadores comerciais, um
intermitente lento, com a temperatura do ar de secagem a 60oC e a 65oC e outro
rpido a 50oC, para avaliar a reduo do grau de umidade de 20 para 13% e sua
influncia na qualidade fisiolgica das sementes de tremoo azul. Foram realizados
testes de germinao e envelhecimento artificial, aps a secagem, aos trs e seis meses
de armazenamento. Segundo os autores desse trabalho, os testes de germinao e
envelhecimento artificial no detectaram diferenas significativas entre a qualidade
das sementes secadas nos secadores artificiais e daquelas secadas sombra, sendo
que a qualidade fisiolgica das sementes de tremoo no afetada pela secagem nos
diferentes secadores.
Em trabalho mais recente, Ahrens et al. [3] avaliaram a qualidade fsica e fisi-
olgica das sementes de trigo em funo da utilizao de gs liquefeito de petrleo
(GLP) na secagem estacionria e determinaram a curva de secagem em comparao
secagem estacionria em estufa. Sementes de trigo, com teor de gua inicial de
15, 3%, foram secas at 12, 6% em um secador. De acordo com a concluso dos
autores, os resultados dos testes de germinao e vigor mostram a possibilidade de
utilizao do gs liquefeito de petrleo como combustvel na secagem estacionria
de sementes de trigo.
Liu et al., em 1997 [41] [42] [43], apresentaram um modelo estocstico para
secagem de gros em fluxo cruzado para avaliar a distribuio da umidade, a tem-
peratura do ar e a taxa do fluxo de ar em uma amostra de milho. Em trabalho
posterior, os mesmos autores apresentam um controlador automtico do processo de
secagem [40].
Oliveira e Haghighi em 1998 [57] [58] usaram um modelo baseado nas equaes
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propostas por Luikov para descrever a transferncia de calor e massa dentro do gro
e as equaes de Navier-Stokes para o escoamento externo. Resolveram o sistema de
equaes obtido, usando elementos finitos, considerando o fluxo convectivo externo
laminar, escala de comprimento caracterstico da secagem mdia muito menor que
a do fluxo externo, a interface entre os dois domnios sem espessura e com equi-
lbrio instantneo em toda a interface para cada espao de tempo. Nas simulaes
apresentadas nestes trabalhos, os autores consideraram duas situaes, a de um e
de dois gros esfricos sujeitos a um escoamento de ar, analisando a influncia da
velocidade do ar sobre a variao do teor de umidade do gro.
Marinos-Kouris et al. [48] abordam a secagem de gros como um sistema com-
plexo, considerando o planejamento e o projeto de sistemas de secagem. Em seu
trabalho utilizam modelos matemticos com a finalidade de obter o controle da tem-
peratura e da umidade do ar, anlise do dimensionamento da estrutura, condies
de operao, custos de operao e o desempenho dos equipamentos. Um software
foi desenvolvido para fornecer informaes sobre cada bloco do sistema, isto , sobre
o funcionamento do secador, dimensionamento e custos, avaliao econmica, etc,
na tentativa de otimizar cada solicitao do projetista.
Reis e Carroci [75] fizeram uma anlise do consumo de energia para diferentes
tipos de secadores. Fizeram tambm comparaes de resultados obtidos atravs de
modelos matemticos com dados experimentais medidos em secadores de laboratrio
para secagem de amido de mandioca.
Mhimid et al., em 1999 [51] [52], analisaram a secagem em leito profundo em
uma dimenso com fluxo vertical de ar quente, estando as paredes do secador su-
jeitas s condies de Neumann e de Dirichlet. Consideraram, ainda, dois modelos
matemticos para a transferncia de calor: o modelo de equilbrio local, onde o ar
e o gro so considerados ter a mesma temperatura para um mesmo volume de
controle, e o modelo de no equilbrio local, onde considerada a variao entre a
temperatura do ar e do gro. As equaes so resolvidas com o mtodo de volumes
finitos.
Zhihuai e Chongwen [97] fizeram simulaes buscando otimizar secadores de
gros com fluxo cruzado. Um sistema de equaes diferenciais parciais foi usado
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para simular a variao da temperatura e da umidade do gro e a otimizao da
funo de consumo de energia. Em seu trabalho os autores concluram que nas
condies de operao, pequenas mudanas na estrutura e nas dimenses do secador
resultam em efeitos significativos na performance do equipamento.
Cavalcanti et al. [15] desenvolveram um programa computacional para a simu-
lao de secagem de vrios produtos em secadores de camada estacionria. Segundo
os autores, o programa desenvolvido apresentou uma simulao satisfatria do pro-
cesso de secagem no intervalo de temperatura entre 40 e 80oC, em secador de camada
estacionria para arroz, caf, feijo, milho, milho branco, soja e trigo.
Rumsey e Rovedo, em 2001 [79], usaram um modelo dinmico bidimensional
para secagem de arroz em secador de fluxo cruzado para avaliar as contribuies de
mudanas na umidade inicial do produto, da temperatura do ar de secagem e do
fluxo dos gros. O modelo matemtico foi resolvido usando um mtodo preditor-
corretor. Analisaram tambm o efeito que a variao da umidade do produto no
incio da cmara de secagem provoca nos valores da umidade no final da cmara ao
longo do tempo.
Khatchatourian et al. [33] [34] adaptaram o modelo de Courtois et al. [19]
para o problema de secagem de gros de soja em leito profundo, considerando o
gro como uma massa homognea. Esse modelo constitudo de um conjunto de
quatro equaes diferenciais parciais, onde o termo de transferncia de massa
obtido a partir de dados experimentais. Consideraram, neste modelo, que a taxa
de variao do teor de umidade ao longo do tempo proporcional a um termo
definido pelo fluxo de massa, calculado com funo da temperatura a partir de
dados experimentais com aproximaes por polinmios de segundo grau. Ainda
neste trabalho foram feitas simulaes com vrios esquemas numricos em diferenas
finitas e os resultados foram comparados com dados experimentais de secagem em
secadores de leito profundo, obtendo uma aproximao razovel para a faixa de
temperaturas avaliada, ou seja, at 65oC, faixa para a qual foi obtida a expresso
de m.
Weber et al. [92] [93] apresentam uma srie de dados experimentais para a
secagem intermitente de gros de soja, comparando-os com simulaes feitas pelo
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modelo apresentado por Khatchatourian et al. [33] [34].
Borges, em 2002 [9], fez novas simulaes usando o mesmo modelo sugerido em
[33]. Alm disso apresenta dados experimentais, com temperaturas do ar de secagem
chegando at 110oC com secagem em camadas finas. O modelo usado apresenta boa
concordncia com os dados experimentais para temperaturas baixas, porm para
temperaturas elevadas surgem diferenas significativas entre os valores calculados e
os experimentais.
Srivastava e John, em 2002 [86], adaptaram as equaes de um modelo de
secagem em camadas finas para obter os valores da umidade do ar e a temperatura
do ar e dos gros em leito profundo considerando variaes da altura do secador. Um
esquema numrico implcito e o mtodo de Runge-Kutta foram usados na soluo
das equaes envolvidas.
Em 2003, Hao e Tao [29] apresentaram um modelo matemtico tridimensional
para descrever a transferncia de calor devido a um fluxo de ar em um meio granular.
Eles consideraram a conveco forada na direo horizontal. Simulaes numricas
tambm foram apresentadas para a soluo das equaes governantes. O modelo
prev transferncia de calor em duas fases (lquido e slido) e caractersticas de
mudana de fase. A soluo das equaes do modelo foi feita por um esquema em
diferenas finitas.
Tirawanichakul et al. [89] usaram um modelo baseado no balano de energia e
massa, com uma equao emprica exponencial para descrever o teor de umidade
dos gros de arroz. O modelo foi aplicado para temperaturas do ar de secagem em
torno de 30oC. Neste trabalho tambm foram realizados testes experimentais para
verificar a influncia da temperatura de secagem e da umidade na manuteno da
qualidade do produto.
Cunha et al. [22] [49] estudaram a viabilidade de secar caf cereja descascado
pela aplicao de microondas para auxiliar na secagem convencional a ar quente, a
fim de reduzir o tempo de processamento, com o aumento do rendimento industrial e
da qualidade do produto perante os mtodos tradicionais de secagem. Dois ciclos de
secagem foram testados: o processo em secador rotativo convencional a ar quente,
com umidade do produto reduzida de 45 50 a 11 13% (base mida) e o processo
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13
subdividido em uma primeira etapa de pr-secagem convencional a ar quente de
45 50 a 30%, seguida de etapa de secagem final por ar quente e microondas,com reduo de 30 para 11 13% de umidade do produto. Segundo os autores dotrabalho, o tempo global do primeiro para o segundo ciclo de secagem foi reduzido
significativamente.
Aguerre e Suarez [1], em 2004, afirmaram que a secagem de slidos midos en-
volve processos simultneos de transferncia de calor e massa bastante complicados e
que uma srie de simplificaes normalmente so usadas para reduzir a complexidade
dos modelos que envolvem esses fenmenos. Eles usaram um modelo unidimensional
isotrmico baseado na equao de difuso de gua em gros e outros produtos com
amido. A variao do teor de umidade foi dada pela Lei de Fick, onde o coeficiente
de difuso de massa era calculado como funo do teor de umidade.
Resio et al. [76] tambm usaram um modelo de secagem onde a variao do
teor de umidade era dado pela Lei de Fick. Eles apresentaram uma outra expresso
para o coeficiente efetivo de difuso. Segundo os autores, este coeficiente funo
da temperatura e da energia de ativao para a difuso, que calculada a partir da
equao de Clausius-Clapeyron. Os resultados apresentados por eles referem-se a
temperaturas de secagem na faixa de 40oC at 70oC.
Gastn et al. [27] fizeram simulaes com o modelo baseado na equao de
difuso de massa como nos trabalhos citados de Aguerre e Suarez [1] e Resio et
al. [76] para os casos de secagem de gros de trigo a temperaturas constantes e
variveis. Avaliaram tambm a influncia da geometria considerada para o gro
(esferas e elipsides) e a influncia de variaes nas condies de contorno. As
equaes do modelo foram resolvidas numericamente pelo esquema em diferenas
finitas por Crank-Nicolson. Propuseram uma expresso para o clculo do coeficiente
efetivo de difuso como funo da temperatura e do teor de umidade inicial dos gros
para temperaturas na faixa de 35oC at 70oC.
Fregolente et al. [26] apresentaram um estudo com a finalidade de estimar a
condutividade trmica efetiva radial e o coeficiente efetivo de transferncia de calor
entre a parede e o leito de secagem de vrios gros. Para evitar a interferncia do
transporte de massa, os autores estimaram os parmetros trmicos efetivos no final
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14
da secagem, quando o teor de umidade dos gros que compem o leito alcana valores
de equilbrio, deixando de existir a transferncia de massa, persistindo apenas a
transferncia de calor em regime permanente. Em seu trabalho, os autores afirmam
que dentre os gros estudados - soja, feijo, milho e trigo - a soja apresenta os
menores valores de condutividade efetiva radial, enquanto o trigo apresenta o maior
valor do coeficiente de transferncia de calor parede-leito.
Meng e Hu, em 2005 [50], propuseram um modelo para avaliar o resfriamento
natural de uma camada de um meio poroso e mido depositado num telhado, bem
como o processo de vaporizao envolvido.
Prachayawarakorn et al. [71], num trabalho em que discutem a manuteno
da qualidade na secagem a altas temperaturas, tambm apresentam uma expresso
para o coeficiente efetivo de difuso como funo apenas da temperatura.
Sarat e Sakamon [80] investigaram experimentalmente os efeitos de parmetros
envolvidos no processo de secagem de gros de soja, tais como a velocidade e a
temperatura do ar na entrada do leito de secagem, altura do leito, durao do aque-
cimento, no processo de secagem e na manuteno das caractersticas do produto.
Marini et al. [47] avaliaram os efeitos imediatos resultantes da combinao da
temperatura do ar na secagem intermitente e da relao de intermitncia sobre
a estabilidade de gros de aveia armazenados pelo sistema convencional por doze
meses. As avaliaes foram realizadas periodicamente a partir da instalao dos ex-
perimentos sendo determinados o teor de lipdios, o ndice de acidez, a composio
em cidos graxos, a atividade residual das enzimas lipase e peroxidase. Os autores
concluram que a secagem intermitente com temperaturas do ar de at 105oC no
provoca inativao enzimtica em gros de aveia. Ainda de acordo com este tra-
balho, a diminuio do teor de lipdios e o aumento do ndice de acidez durante o
armazenamento so maiores em gros secos em condies mais drsticas.
Ribeiro et al. [77] avaliaram o efeito da secagem nas propriedades fsicas dos
gros de soja, tais como a massa especfica real e aparente e a contrao volumtrica
dos gros durante o processo de secagem. Com base em dados experimentais, os
autores afirmaram que a reduo do teor de gua na faixa entre 0, 31 e 0, 15 (base
seca) provoca diminuio linear da porosidade e aumento das massas especficas
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15
aparente e real.
Petry et al. apresentam, em seus trabalhos [62] a [68], um modelo para descrever
os processos de transferncia de calor e massa em meios granulares baseado nas
equaes de Navier-Stokes. Os termos fonte foram obtidos a partir do balano de
massa e de energia para o ar e para os gros. Para o termo fonte da equao de
transporte de massa considerou-se um coeficiente de difuso de massa entre o gro e
o ar e obteve-se uma expresso para o clculo desse coeficiente de difuso a partir de
dados experimentais. O coeficiente de difuso de massa entre o gro e o ar proposto
calculado como funo da velocidade do ar, da temperatura e da diferena entre
o teor de umidade do gro e o teor de umidade de equilbrio. Estes trabalhos esto
relacionados ao estudo apresentado nesta tese.
Uma boa parte dos trabalhos encontrados na literatura sobre transferncia de
calor e massa usam modelos baseados em um conjunto de equaes diferenciais
parciais. Muitas simplificaes ou modelos semi-empricos so utilizados no intuito
de facilitar a soluo dos sistemas.
Para resolver numericamente um conjunto de equaes diferenciais parciais, es-
tas podem ser discretizadas por inmeros mtodos, dentre eles: diferenas finitas,
volumes finitos e elementos finitos. Nesta tese, a soluo numrica do problema ser
feita em diferenas finitas.
Feita uma breve reviso bibliogrfica sobre os processos de transferncia de calor
e massa, apresentamos, na prxima seo, os objetivos para o desenvolvimento da
presente tese.
1.4 Objetivos do trabalho
Nesta seo apresentamos os principais objetivos norteadores do trabalho. Eles
foram subdivididos em objetivos gerais e especficos.
1.4.1 Objetivos gerais
Como objetivos gerais para o desenvolvimento desta tese destacamos:
apresentar um modelo matemtico para descrever os processos de transferncia
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de calor e massa em meios granulares;
fazer um comparativo entre solues analticas e numricas para um problemafsico to prximo quanto possvel do problema real;
validar o modelo atravs de comparaes com dados experimentais;
verificar a influncia de alguns parmetros adimensionais nos processos detransferncia de calor e massa.
Esses objetivos gerais sero alcanados atravs da realizao de outros objetivos
mais especficos, que so apresentados na seqncia.
1.4.2 Objetivos especficos
Como objetivos especficos para a realizao do trabalho nos propomos a:
obter um sistema de equaes governantes para o modelo;
obter uma expresso para calcular o coeficiente convectivo de transferncia demassa entre o ar e os gros;
desenvolver cdigos computacionais em FORTRAN 90 para a obteno dassolues numricas;
encontrar uma soluo analtica para o problema de transferncia de calor e/oumassa no homogneo com os termos convectivo e difusivo e condies iniciais
e de contorno no homogneas;
comparar valores numricos com dados experimentais para temperaturas doar de secagem na faixa de 55oC a 110oC e velocidade do ar de secagem na
faixa de 0, 5ms1 a 4, 75ms1;
comparar valores numricos com dados experimentais para o processo de secagemintermitente;
fazer simulaes numricas para vrios valores dos parmetros adimensionaisenvolvidos no problema;
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fazer simulaes do problema de secagem para o caso bi-dimensional com afinalidade de verificar a influncia da posio horizontal dos gros nos valores
da temperatura e do teor de umidade dos gros.
1.5 Roteiro do trabalho
Apresentamos nesta seo um roteiro do que ser discutido nos prximos cap-
tulos.
No captulo 2 define-se o problema a ser abordado e as principais hipteses ou
simplificaes usadas. Obtm-se as equaes governantes do modelo atravs de um
balano de massa e de energia para o ar e as esferas slidas. Uma equao proposta
para o clculo do coeficiente de difuso de massa entre o ar e os gros. Faz-se tambm
a adimensionalizao das equaes governantes e as condies iniciais e de contorno
do problema so apresentadas.
Formulado o problema, no captulo 3 apresenta-se o esquema a ser usado para
a obteno da soluo numrica. Faz-se um estudo da consistncia e da ordem no
tempo e no espao do esquema usado para as equaes de balano de energia e umi-
dade do ar para o caso unidimensional. Usando a transformada discreta de Fourier,
as condies de estabilidade e de convergncia do esquema so estabelecidas. Ainda,
neste captulo, apresenta-se uma soluo analtica para essa equao comparando-a
com a soluo numrica para uma funo teste no termo fonte.
No captulo 4 so apresentados os resultados numricos. Comparaes com dados
experimentais de secagem de gros de soja para amplas faixas de variao da tem-
peratura, da velocidade do ar de secagem e da umidade inicial dos gros tambm so
realizadas. Simulaes do processo intermitente de secagem de gros de soja tam-
bm so realizadas neste captulo, comparando-se os valores resultantes do modelo
com dados experimentais encontrados na literatura. Na seqncia, apresentamos
simulaes para o processo de secagem, considerando o caso em duas dimenses.
Faz-se ainda uma avaliao da influncia de parmetros adimensionais envolvidos
nos processos de transferncia de calor e massa, como os nmeros adimensionais de
Reynolds e de Eckert.
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Captulo 2
Equaes Governantes
Neste captulo apresentado o conjunto de equaes governantes do modelo de-
senvolvido, juntamente com suas respectivas demonstraes. Na seqncia, so
introduzidas as variveis adimensionais que permitem a adimensionalizao das
equaes governantes. Por fim, so estabelecidas as condies iniciais e de contorno
para o problema.
A cmara de leito fixo considerada nesta tese consiste de um prisma reto de
base retangular dentro do qual esto depositadas esferas porosas, conforme mostra
a figura 2.1. Considera-se que o processo de transferncia de calor e massa inicia
quando comea a passagem de ar, geralmente quente, no sentido vertical entre as
esferas. Nesta situao, ocorre transferncia de calor do ar para os gros (no caso
dos processos de secagem de gros) e transferncia de massa (de gua na forma de
vapor) das esferas para o ar.
O modelo matemtico aqui apresentado consiste de num conjunto de equaes
diferenciais parciais que descrevem a distribuio de temperatura e da umidade do
ar e das esferas no interior da cmara. Para a formulao matemtica algumas
hipteses so adotadas, conforme segue:
a porosidade no interior da cmara uniforme;
no h equilbrio trmico entre as esferas e o ar no interior da cmara;
a temperatura no interior de cada esfera uniforme;
a transferncia de calor do ar para as esferas ocorre por conveco;
18
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19
Figura 2.1: Esquema da cmara de Secagem
a transferncia de massa das esferas para o ar acontece por conveco na formade vapor;
a transferncia de calor no ar ocorre pelos processos de conduo e de adveco;
a transferncia de massa de vapor no ar ocorre por difuso e por adveco;
as paredes da cmara esto termicamente isoladas;
a velocidade e a temperatura do ar so constantes na entrada da cmara.
Com base nas hipteses acima expostas, as equaes governantes do problema
proposto so apresentadas na seo que segue.
2.1 Deduo das equaes governantes
Para descrever os processos de transferncia de calor e massa num meio granular
importante lembrar alguns conceitos referentes s variveis envolvidas no problema.
Esses conceitos so apresentados nas definies que seguem.
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Definio 2.1 Define-se por teor de umidade da esfera em base seca (X) a razo
entre a massa de gua presente na esfera e a massa de matria seca da esfera, isto
:
X =mlms
(2.1)
Definio 2.2 Define-se por teor de umidade do ar em base seca (Y ) a razo entre
a massa de gua presente no ar e a massa de gs (ar) seco, isto :
Y =mlmg
(2.2)
Por motivo de simplificao das notaes, faremos a demonstrao das equaes
para o caso bidimensional; elas podem ser estendidas para o caso tridimensional.
Para a deduo do modelo matemtico cosidera-se um volume de controle conforme
mostra a figura 2.2.
Figura 2.2: Volume de controle
O conjunto de equaes governantes do presente modelo inclui a conservao de
massa, para o ar e o slido, e a conservao de energia para o ar e esferas contidas no
interior da cmara. Alm disso, o fluxo do ar descrito pela equao da continuiade,
pelas equaes da quantidadedo movimento e pela equao de Poisson.
-
21
2.1.1 Equao de conservao de massa para o ar
A equao de conservao de massa segue do balano de massa no interior do
volume de controle (Figura 2.2). Consideremos u = ui + vj . Assim resulta paraa espcie i:
it
= (uii)x
(vii)y
+ mi (2.3)
o que equivale a:
it
= (jx,i + iu)x
(jy,i + iv)y
+ mi (2.4)
onde mi representa a taxa de gerao de massa da espcie i e (uiu) a velocidadede difuso de espcie i na direo x. O produto i(ui u) o fluxo mssico porunidade de volume da espcie i na direo x relativo ao movimento da mistura.
Denominando essa quantidade por fluxo de difuso [7] podemos escrever:
jx,i = i(ui u) e jy,i = i(vi v) (2.5)
Fazendo ji = jx,ii + jy,ij temos:it
= i .u u .i .ji + mi (2.6)
Substituindo a equao (2.2) em (2.6) podemos escrever:
(gY )
t= gY .u u .(gY ) .ji + mi (2.7)
ou
gY
t+ Y
gt
= gY .u gu .(Y ) Yu .(g) .ji + mi (2.8)
o que pode ser escrito na forma:
gY
t+ Y
[gt
+ g .u +u .(g)
]= gu .(Y ) .ji + mi (2.9)
Considerando a equao de conservao de massa a equao (2.9) resulta em:
gY
t= gu .Y .ji + mi (2.10)
Da Lei de Fick segue que ji = Di [7], onde D a difusividade mssica e ia concentrao mssica da espcie i. Segue, portanto, que jl = D(gY ) e assima equao (2.10) toma a forma:
Y
t= u .Y + D2Y + m
g(2.11)
-
22
para D e g considerados constantes.
Do princpio da conservao de massa, temos que a massa de gua transferida
ao ar igual massa que sai das esferas. Portanto, a taxa de gerao de massa por
unidade de volume dada por:
m = 1Vc
mlt
(2.12)
o que equivale a:
m = ahm(1 )
C (2.13)
onde a a razo entre a rea e o volume de uma esfera, hm o coeficiente convectivo
de transferncia de massa entre o gro e o ar, a porosidade do meio granular, Vc
o volume e C = (sX gY ) a variao de concentrao mssica entre as esferase o ar.
Finalmente, a equao de balano da umidade do ar, para D, hm e g constantes,
toma a forma:
Y
t= u .Y + D2Y + a(1 )
ghm(sX gY ) (2.14)
2.1.2 Equao de conservao de massa para as esferas
Das equaes (2.12) e (2.13) segue que:
mlt
= Vcahm (1 ) C (2.15)
Substituindo (2.1) na equao (2.15) resulta a equao de balano de massa para
as esferas:X
t= a
shm(sX gY ) (2.16)
onde os subscritos s, l e g representam o slido, o lquido e o gs (ar), respectiva-
mente.
2.1.3 Equao de conservao de energia para o ar
De forma semelhante ao que foi feito para a obteno da equao de conservao
de massa para o ar, o balano de energia para o volume de controle da figura 2.2
-
23
resulta em:Tgt
= u .Tg + 2Tg + qgCpg
(2.17)
onde Tg a temperatura do ar, a difusividade trmica e Cpg o calor especfico do
ar presso constante. A taxa de gerao de energia por unidade de volume, no
interior do volume de controle, q, dada por:
q =1
Vc
dq
dt(2.18)
Supondo que toda energia na forma de calor que deixa o ar contido no interior do
volume de controle seja transferida para as esferas atravs do processo de conduo
trmica, segue da lei de resfriamento de Newton que:
dq
dt= hAs(Ts Tg)Vc
Vs(1 ) (2.19)
onde h o coeficiente convectivo de transferncia de calor entre o ar e as esferas,
As a rea da superfcie de uma esfera, Ts a temperatura das esferas e VcVs (1 ) onmero de esferas contidas no interior do volume de controle. Assim, temos:
q = a1
h(Ts Tg) (2.20)
Substituindo (2.20) na equao (2.17) resulta a equao de balano de energia
para o ar, na forma:
Tgt
= u .Tg + 2Tg + agCpg
1
h(Ts Tg) (2.21)
2.1.4 Equao de conservao de energia para as esferas
Uma vez que o calor que entra na esfera usado para vaporizar a gua que deixa
o gro na forma de vapor e para o aquecimento da esfera (massa seca + gua),
podemos escrever: [34]:
hAs(Ts Tg) = mlCpldTsdt
+ msCpsdTsdt
+ hmCAsLv (2.22)
onde o termo hmCAs representa a massa de gua que est saindo pela superfcie
do gro e Lv o calor latente de vaporizao.
Note que ml = msX e ms = sVs, o que implica em:
dTsdt
=Ash(Ts Tg) AsLvhmC
sVs(XCpl + Cps)(2.23)
-
24
Considerando que as esferas encontram-se estticas no interior da cmara, temosdTsdt
= Tst
e, como conseqncia, a equao (2.23) toma a forma:
Tst
=ah(Ts Tg) aLvhm(sX gY )
s(XCpl + Cps)(2.24)
Os valores da difusividade mssica D, do coeficiente convectivo de transferncia
de massa entre o gro e o ar hm e do coeficiente convectivo de transferncia de calor
entre o ar e o gro h foram considerados constantes na deduo das equaes; porm,
eles so recalculados a cada iterao quando da aplicao do esquema numrico,
considerando D T 1.5g [31].Para o coeficiente convectivo de transferncia de massa entre as esferas e o ar
desenvolvemos a expresso:
hm =A
|u | T 1.5s X(X Xe)n
H(2.25)
onde A e n foram calculados a partir de dados experimentais. Para obter esses
termos foram feitas simulaes e seus valores ajustados at conseguir a aproximao
desejada. Xe o teor de umidade de equilbrio dos gros, sendo calculado como
funo da temperatura e da umidade relativa do ar e H a altura do leito.
Para desenvolver a equao (2.25) considerou-se, inicialmente, a proporcionali-
dade do coeficiente de difuso com o termo T 1.5, conforme sugerido em [31]. O fato
da transferncia de massa ser maior no incio do processo, quando o teor de umidade
dos gros mais elevado, associado com a definio do teor de umidade de equilbrio,
segundo a qual o processo de transferncia de massa cessa quando o gro atinge a
umidade de equilbrio, sugere uma proporcionalidade do coeficiente de difuso com
o termo (X Xe)n, ficando o expoente n (n 1) para ser obtido a partir de dadosexperimentais.
Para o termo de dependncia da velocidade usa-se a analogia de Chilton-Colburn
[18] [17], uma generalizao da analogia de Reynolds, segundo a qual em processos
convectivos de transferncia simultnea de calor e de massa temos:
h
Cp00U0Pr2/3 = jH = jM =
hmU0
Sc2/3
sendo esta expresso vlida para 0, 6 < Sc < 2500 e 0, 6 < Pr < 100, faixas nas
quais nosso problema se encaixa. Na expresso anterior jH e jM so os fatores de
Colburn para a transferncia de calor e massa, respectivamente.
-
25
Alm disso, segundo Sissom e Pitts [83] , o fator de Colburn em um meio granular
proporcional a Re, com 0, 41 0, 51. Assim, como Pr e Sc independemda velocidade e Re proporcional velocidade do ar, segue que o coeficiente de
transferncia de massa proporcional a | u |(1). As comparaes dos valoresobtidos numericamente com dados experimentais mostraram que = 0, 5 aproxima
bem essa expresso. J a constante de proporcionalidade A tambm definida
experimentalmente.
Analogamente ao coeficiente convectivo de transferncia de massa, o coeficiente
convectivo de transferncia de calor entre o ar e os gros tambm considerado
proporcional a| u |.
2.1.5 Equaes para o fluxo do ar no meio granular
Para descrever o fluxo do ar entre as esferas consideramos o conjunto de equaes
de movimento conforme segue:
Equao de continuidade: .u = 0 (2.26)
Equao da quantidade de movimento na direo x:
u
t= u .u 1
g
P
x+ 2u (2.27)
Equao da quantidade de movimento na direo y:
v
t= u .v 1
g
P
y+ 2v (2.28)
Equao da quantidade de movimento na direo z:
w
t= u .w 1
g
P
z+ 2w (2.29)
Uma vez obtido o conjunto de equaes que compe o modelo ser feita, na prx-
ima seo, a adimensionalizao dessas equaes. As foras de campo nas equaes
acima so desconsideradas, devido a pouca influncia das mesmas nos processos
estudados.
-
26
2.2 Adimensionalizao das equaes governantes
Com o objetivo de obter os parmetros adimensionais envolvidos nos problemas
de transferncia de calor e de massa, bem como de reduzir o domnio do problema
para o intervalo [0, 1] ser feito, na seqncia, a adimensionalizao das equaes
governantes do modelo. Para tal procedimento usa-se as seguintes variveis adimen-
sionais:
u = uU0, v = v
U0, w = w
U0, x = x
Lc, y = y
Lc, z = z
Lc, T = TTamb
TarTamb , t = tU0
Lc,
X = XX0
, Y = YY0, g =
g0, s =
s0, D = D
D0, hm =
hmLcD0
, = 0, Cpw =
CpwCp0
,
Cps =CpsCp0
, h = hLcK0
, Lv =LvU20
, a = aLc e P = PPatm0onde Lc o comprimento caracterstico, Tamb a temperatura do ar ambiente, Tar a
temperatura do ar na entrada da cmara, X0 o teor de umidade inicial das esferas,
Y0 o teor de umidade inicial do ar, 0 a massa especfica do ar seco e U0 a velocidade
do ar na entrada da cmara.
Dessa forma, as equaes (2.14), (2.16), (2.21), (2.24), (2.26), (2.27), (2.28) e
(2.29) podem ser escritas, respectivamente, conforme segue:
Y
t= uY + D
ReSc2Y + a
(1 )gY0ReSc
hm(sX0X
gY0Y )
(2.30)
X
t= a
sX0ReSchm
(sX0X
gY0Y )
(2.31)
T gt
= uT g +
RePr2T g +
a(1 )gCpgRePr
h(T s T g
)(2.32)
T st
= EcReSc
aLvs(X0XCpw + Cps
)hm
(sX0X
gY0Y )
1RePr
a
s(X0XCpw + Cps)
h(T s T g
)(2.33)
.u = 0 (2.34)
u
t= u.u P
x+
1
Re2u (2.35)
-
27
v
t= u.v P
y+
1
Re2v (2.36)
w
t= u.w P
z+
1
Re2w (2.37)
Para avaliar a presso no interior da cmara usa-se a equao de Poisson:
2P = t
(u
x+
v
y+
w
z
)
x
(u.u
)
y(u.v
)
z(u.w
)
+1
Re
[
x(2u
)+
y(2v
)+
z(2w
)](2.38)
onde temos os seguintes parmetros adimensionais ou nmeros de:
Reynolds:
Re =U0Lc
Schmidt:
Sc =
D0
Prandtl:
Pr =
0
Eckert:
Ec =U20
Cp0(Tar Tamb)As faixas para as quais esses parmetros so considerados nesta tese so: Re =
200 a 2000, Sc = 0.7 a 2, Pr = 0.7 a 2 e Ec = 105 a 5x105. Essas faixas
correspondem aos valores referentes s variaes da temperatura do ambiente e
do ar de secagem, da velocidade do ar na entrada da cmara, do comprimento
caracterstico adotado (dimetro mdio de um gro) e das propriedades fsicas do ar
obtidas na literatura [31].
Note que nas equaes (2.30-2.38) foram usadas as notaes que seguem:
u = u
i + v
j + w
k
. =
x+
y+
z
-
28
2 = 2
x2+
2
y2+
2
z2
Para a soluo das equaes diferenciais anteriormente obtidas necessrio esta-
belecer as condies iniciais e de contorno para as variveis envolvidas, o que feito
na prxima seo.
2.3 Condies iniciais e de contorno
A implementao apropriada de condies iniciais e de contorno de suma im-
portncia para resolver um conjunto de equaes diferenciais. Neste trabalho algu-
mas hipteses so adotadas para a obteno dessas condies.
No incio das simulaes a temperatura do ar e das esferas, o teor de umidade
do ar e das esferas, as componentes do vetor velocidade e a presso so consideradas
conforme segue:
T s (x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) [0, 1] [0, 1] [0, 1]
T g (x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) (0, 1] [0, 1] [0, 1]
X(x, y, z, 0) = 1 para (x, y, z) [0, 1] [0, 1] [0, 1]
Y (x, y, z, 0) = 1 para (x, y, z) [0, 1] [0, 1] [0, 1]
u(x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) (0, 1] [0, 1] [0, 1]
v(x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) [0, 1] [0, 1] [0, 1]
w(x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) [0, 1] [0, 1] [0, 1]
P (x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) (0, 1] [0, 1] [0, 1]
Para as condies de contorno na direo x considera-se:
T g (0, y, z, t) = 1 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0
T gx
(1, y, z, t) = 0 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0
Y (0, y, z, t) = 1 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0Y
x(1, y, z, t) = 0 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0
-
29
u(0, y, z, t) = 1 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0v(0, y, z, t) = 0 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0w(0, y, z, t) = 0 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0P (1, y, z, t) = 0 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0
Nas paredes da cmara, isto , para y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1, as variveis
T g , Y e P satisfazem as condies de contorno do tipo Neumann, ou seja:
n = 0
onde n o vetor normal superfcie em questo; ainda nas paredes as componentesdo vetor velocidade so:
u = v = w = 0
A presso P em x = 0 obtida por extrapolao usando a aproximao que
segue:
P n+10,j,k = 0.75Pn+11,j,k + 0.25P
n+12,j,k
conforme mostra a figura 2.3.
Figura 2.3: Esquema da extrapolao em x = 0 e x = 1
J as componentes do vetor velocidade u, v e w em x = 1 so obtidas por
extrapolao usando a expresso:
n+1I,j,k = 0.75n+1I1,j,k + 0.25
n+1I2,j,k
Esta extrapolao feita de forma que as distribuies da presso e da velocidade
vo se ajustando por toda a cmara, uma vez que seus valores no eram conhecidos
nestes pontos.
Uma vez obtido o modelo, a adimensionalizao das equaes governantes e o
estabelecimento das condies iniciais e de contorno, passa-se para o procedimento
de soluo, o que feito no prximo captulo.
-
Captulo 3
Procedimento de soluo
Neste captulo ser apresentado um esquema numrico para a soluo das equaes
que compem o modelo apresentado no captulo anterior, acompanhado da verifi-
cao da ordem de convergncia do mesmo na discretizao do tempo e do espao.
Discute-se ainda a consistncia, a estabilidade e a convergncia do esquema apresen-
tado para o caso unidimensional. Por fim, obtm-se uma soluo analtica para as
equaes de balano de energia e de massa no ar. Usando funes teste para o termo
fonte, faz-se comparaes entre a soluo exata e a soluo numrica dessas equaes
com o objetivo de aumentar a confiabilidade ao esquema numrico utilizado.
3.1 Esquema numrico
Para resolver numericamente as equaes do modelo matemtico apresentado,
optou-se pelo mtodo de diferenas finitas, que um dos mtodos mais antigos apli-
cados soluo numrica de equaes diferenciais, tendo assim literatura bastante
ampla, onde destacamos as obras de Batchelor [6], Hirsch [30], Ozisik [59], Richtmyer
[78], Sod [84] [85], Strikwerda [87], Thomas [88], Zeidler [96] e De Bortoli [24]. Para
avaliar melhor o esquema numrico usado apresentaremos, inicialmente, algumas
definies clssicas da literatura.
30
-
31
3.1.1 Algumas definies e teoremas
Seja H um espao de Hilbert e seja o problema de evoluo da forma:
encontrar u C0 ([0, T ] ; H ) satisfazendo no sentido fraco (ou forte, se u D(A)):du(t)
dt+ Au(t) = f(t) (3.1)
com condio inicial u(0) = u0, onde u0 H, f L2 ([0; T ] H), por exemplo, e A um operador diferencial com D(A) H [39].
A obteno de um esquema numrico para o problema (3.1) consiste em aproxim-
lo no espao e no tempo. De um lado, quando H um espao de dimenso infinita
devemos substituir A por operadores Ah em um espao de dimenso finita Vh H,onde h > 0 representa o passo de discretizao no espao, tal que dim(Vh) quando h 0.
Por outro lado, devemos discretizar o tempo, isto , escolher uma seqncia
de instantes tn com tn = nt, onde calcularemos a aproximao da soluo. O
problema (3.1) semi-discretizado (no espao) fica ento da forma:
encontrar Uh C0 ([0, T ] ; Vh ) tal que:dUh(t)
dt+ AhUh(t) = fh(t) (3.2)
com condio inicial Uh(0) = u0,h.
Neste trabalho, opta-se pelo operador Ah do mtodo de diferenas finitas, como
j mencionado. Um esquema capaz de calcular Uh Vh como aproximao de Uh(tn)de nvel dois pode ser escrito como:
Un+1h = Ch(t)Unh + tf
nh (3.3)
com condio inicial U0h = U0,h, onde o operador Ch(t) pertence ao espao dos
operadores lineares contnuos em Vh e fnh aproxima fh(tn).
Definio 3.1 O problema (3.1) dito bem posto se sua soluo satisfaz:
suptu(t)H C
[u(0)2H +
t0f(s)2H ds
] 12
(3.4)
e se existe uma projeo Rh de H sobre Vh tal que
limh0
Rhu uH = 0, para todo u H (3.5)
-
32
Na aplicao de um esquema numrico tambm muito importante a verificao
de sua convergncia quando h e t tendem a zero, isto , se a seqncia {Umh }de solues de (3.3) tende soluo u(t) de (3.1). As definies e resultados a
respeito desse tema, encontrados na literatura [39] e [96], referem-se praticamente
aos casos homogneos, isto , para f(t) 0 o que implica em fnh 0. As definiesapresentadas a seguir consideram essa situao.
Definio 3.2 O esquema (3.1) dito convergente se a condio U0,h u0 quandoh 0; implica em Unh u(t) quando t 0 e n com nt t para todot (0, T ) onde Unh definido em (3.3) e u(t) a soluo de (3.1) para u0 arbitrrio.
O estudo da convergncia de um esquema numrico envolve tambm o estudo da
estabilidade e da consistncia, que so definidos no que segue.
Definio 3.3 O esquema definido em (3.3) dito estvel se existe uma constante
K 1 independente de h e de t tal que :
(Ch(t))n RhL(H) K (3.6)
para todo n e t satisfazendo nt T .
Sendo Rh uma projeo do espao de Hilbert H sobre Vh segue que:
(Ch(t))n Rh = [Ch(t)Rh]
n
Quando um esquema satisfaz as condies de estabilidade independentemente
de h e t dizemos que ele incondicionalmente estvel. Quando a condio de
estabilidade satisfeita apenas mediante algumas condies para h e t, o esquema
dito condicionalmente estvel. Caso contrrio, o esquema considerado incondi-
cionalmente instvel.
Definio 3.4 O esquema (3.3) dito consistente com o problema se existe um
subespao Y H, com Y denso em H tal que para toda u(t), que soluo de(3.1), com u0 Y temos:
limh0
t0sup
t
1
t[u(t + t) Ch(t)Rhu(t)]
H
= 0 (3.7)
-
33
A expresso (3.7) conhecida como sendo o erro de truncamento. Quando o
operador Ch(t) dado em termos de diferenas finitas, como ser o nosso caso,
podemos verificar o erro de truncamento a partir da expanso em sries de Taylor.
Observao 3.1 Se a soluo u(t) de (3.1) regular ela satisfaz:
limh0
u(t + t) u(t)
t+ Au(t)
H
= 0 (3.8)
Assim, a condio de consistncia pode ser definida por:
limh0
t0
Ch(t)Rhu(t) u(t)
t+ Au(t)
H
= 0 (3.9)
Definio 3.5 O esquema definido por (3.3) de ordem q1 em relao a h e de
ordem q2 em relao a t, se q1 e q2 so os maiores inteiros tais que podemos
encontrar um subespao Y H com Y denso em H com:
supt
u(t + t) Ch(t)Rhu(t)
t
H
= O (hq1 + tq2) (3.10)
para toda u(t) soluo de (3.1) com u0 Y .
Teorema 3.1 (Teorema de Equivalncia de Lax) Suponha que o problema (3.1)
bem posto e aproximado pelo esquema (3.3) que assumimos ser consistente. En-
to o esquema convergente se e somente se ele estvel.
A demonstrao do Teorema de Equivalncia de Lax encontra-se nas referncias
Lions [39] e Zeidler [96]. Para analisar a estabilidade do esquema usado para a
soluo numrica do modelo matemtico usamos o mtodo de anlise de Fourier.
Para tanto usaremos a transformada discreta de Fourier, definida conforme segue
[88]:
Definio 3.6 A transformada discreta de Fourier de uma seqncia {uk} l2 afuno u L2([, ]) definida por:
u() =12
k=eikuk (3.11)
onde l2 e L2([, ]) so os espaos de Hilbert definidos por:
l2 = {{uk} :(
k
|uk|2) 1
2
< }
-
34
e
L2([, ]) ={
u :(
u2 dx
) 12
< }
Lema 3.1 A sequncia {unk} estvel em l2 se e somente se a sequncia {un} estvel em L2([, ]).
A demonstrao desse lema encontrada em Thomas [88].
Os esquemas que sero usados na soluo numrica do problema so baseados em
discretizaes em diferenas finitas. As aproximaes usadas para essas discretiza-
es so apresentadas na seo que segue.
3.1.2 Aproximaes em diferenas finitas
Para fazer a discretizao temporal usaremos diferenas upwind, isto , a derivada
parcial de em relao ao tempo aproximada usando o valor de nos instantes
tn e tn+1, conforme mostra a figura 3.1:
Figura 3.1: Esquema de aproximaes em diferenas finitas para o tempo e o espao
no caso 1-D
Assim, a aproximao da derivada em relao ao tempo fica, de acordo com
Anderson et al. [4] e Mitchell [54]:
t
n+1i,j,k ni,j,k
t
J para a discretizao espacial usamos diferenas centradas, isto , a derivada
parcial de em relao x, por exemplo, aproximada usando o valor de nas
-
35
posies xi1 e xi+1. Assim temos para as derivadas de primeira ordem:
x
ni+1,j,k ni1,j,k
2x
y
ni,j+1,k ni,j1,k
2y
z
ni,j,k+1 ni,j,k1
2z
e para as derivadas de segunda ordem:
2
x2
ni+1,j,k 2ni,j,k + ni1,j,k
(x)2
2
y2
ni,j+1,k 2ni,j,k + ni,j1,k
(y)2
2
z2
ni,j,k+1 2ni,j,k + ni,j,k1
(z)2
Dessa forma, a equao (2.30) para o caso unidimensional, por exemplo, pode
ser aproximada conforme:
Y n+1i = Yni
ut2x
(Y ni+1 Y ni1
)
+Dt
(x)2ReSc
(Y ni+1 2Y ni + Y ni1
)
+at(1 )gY0ReSc
Ds(sX0X
ni gY0Y ni
)(3.12)
Embora alguns autores afirmem que para problemas hiperblicos no se deva
usar diferenas centradas, neste trabalho estas foram usadas obtendo sucesso na
convergncia, conforme ser mostrado na prxima seo.
3.1.3 Anlise da consistncia, estabilidade e convergncia
Nesta seco apresenta-se um estudo do comportamento do esquema obtido
ao substituir as diferenas finitas definidas na seco anterior. Com o objetivo de
simplificar as notaes considera-se o caso unidimensional no momento dessa anlise.
Note que, assim, as equaes (2.30) e (2.32) podem ser escritas na forma:
t= a
2
x2+ b
x+ c + f(x, t) (3.13)
com = (x, t), onde temos que a > 0, b < 0 e c < 0.
-
36
J as equaes (2.31) e (2.33) tomam a forma:
t= c1 + f1(x, t) (3.14)
com c1 < 0.
Substituindo as aproximaes da seco anterior na equao (3.13) temos o es-
quema que segue:
n+1i nit
=a
(x)2[ni+1 2ni + ni1]
+b
2x[ni+1 ni1] + cni + f(xi, tn) (3.15)
onde ni representa a aproximao de (xi, tn) para xi = ix e tn = nt. Expandindo
n+1i em uma srie de Taylor em torno do ponto (xi, tn) temos:
n+1i = ni + t
nit
+t2
2!
2nit2
+ ...
Isso implica em:
n+1i nit
=1
t
[t
nit
+ O(t2
)]=
nit
+ O (t) (3.16)
A expanso de ni+1 em torno do ponto (xi, tn) toma a forma:
ni+1 = ni + x
nix
+x2
2!
2nix2
+x3
3!
3nix3
+x4
4!
4nix4
+ ...
enquanto que ni1 em torno do ponto (xi, tn) fica:
ni1 = ni x
nix
+x2
2!
2nix2
x3
3!
3nix3
+x4
4!
4nix4
...
Das duas ltimas expanses segue que:
ni+1 ni12x
=1
2x
[2x
nix
+2x3
3!
3nix3
+ O(x5
)]
=nix
+ O(x2
)(3.17)
eni+1 2ni + ni1
x2=
1
x2
[x2
2nix2
+ O(x4
)]
=2nix2
+ O(x2
)(3.18)
-
37
Substituindo as equaes (3.16), (3.17) e (3.18) em (3.15), temos:
nit
+ O (t) a[2nix2
+ O(x2
)] b
[nix
+ O(x2
)]
cni f(xi, tn) = O(x2, t
)
uma vez que ni soluo de (3.15), de onde segue pela definio (3.4) e pela
observao (3.1) que o esquema consistente. Pela definio (3.5) segue que o
esquema de primeira ordem no tempo e de segunda ordem no espao.
Para fazer a anlise de estabilidade do esquema numrico sugerido usaremos o
mtodo de Fourier. Esse mtodo consiste na aplicao da transformada discreta de
Fourier em ambos os lados da equao (3.15), que define o esquema, com o objetivo
de encontrar o Smbolo de Fourier S() do problema e, em seguida, requerer a
condio |S()| 1. Consideramos aqui o caso homogneo (f(x, t) 0); assim oesquema (3.15) pode ser escrito da forma:
n+1i =
[t
(x)2+
bt
2x
]ni+1 +
[1 + ct 2 at
(x)2
]ni
+
[at
(x)2 bt
2x
]ni1 (3.19)
Para evitar possveis confuses entre a unidade imaginria, quando da aplicao
da transformada discreta de Fourier, com o ndice de discretizao da varivel x,
trocamos momentaneamente esse ndice pela letra l. Aplicando a transformada
discreta de Fourier (3.11) em ambos os lados da equao (3.19), segue que:
12
k=eikn+1l =
[at
(x)2+
bt
2x
]12
k=eiknl+1
+
[1 + ct 2 at
(x)2
]12
k=eiknl
+
[at
(x)2 bt
2x
]12
k=eiknl1
Fazendo um ajuste dos ndices nos somatrios e rearranjando os termos podemos
escrever:
n+1 =
[(at
(x)2+
bt
2x
)ei +
(1 + ct 2 at
(x)2
)]n
-
38
+
[(at
(x)2 bt
2x
)ei
]n (3.20)
Assim, o smbolo de Fourier dado pela equao:
S () =
(at
(x)2+
bt
2x
)ei +
(1 + ct 2 at
(x)2
)
+
(at
(x)2 bt
2x
)ei
= (1 + ct) 2at(x)2
[1 cos()] + ibtx
sen() (3.21)
Usando a condio de estabilidade do esquema numrico, |S ()| 1, para todo [, ] e o lema 3.1 segue que o esquema usado estvel se e somente se t ex satisfazem a condio (3.22) para todo [, ], ou seja:
2ct + (ct)2 4(1 + ct) at(x)2
[1 cos()]
+4
(at
(x)2
)2[1 cos()]2 +
(bt
x
)2sen2() 0 (3.22)
Para ilustrar a regio de estabilidade, denotamos inicialmente = x, t = y e
assumimos a, b, c e x fixos. Assim, seja a funo:
F (x, y) = 2cy + (cy)2 4(1 + cy) ay(x)2
[1 cos(x)]
+4
(ay
(x)2
)2[1 cos(x)]2 +
(b
y
x
)2sen2(x)
A regio de estabilidade corresponde aos valores de y para os quais temos
F (x, y) 0, x [, ]
Para o caso particular em que a = 1/4, b = 1, c = 1/2 e x = 1/20 temosgarantia de estabilidade para t 0, 005, como mostra a figura 3.2. J para o casoem que a = 1/10000, b = 1, c = 1 e x = 1/40, o valor do passo de integraotemporal a fim de temos garantia de estabilidade diminui para t 0, 0015. Isto ilustrado na figura 3.3.
Mais uma simulao mostrada na figura 3.4 que indica a regio de estabilidade
para a = 1/10000, b = 1, c = 1 e x = 1/100. Neste caso, o esquema passa aser estvel para t 0, 0005.
-
39
Figura 3.2: Regio de estabilidade para a = 1/4, b = 1, c = 1/2 e x = 1/20
Figura 3.3: Regio de estabilidade para a = 1/10000, b = 1, c = 1 e x = 1/40
Note que essas simulaes foram realizadas com a inteno de ilustrar a variao
da regio de estabilidade como consequncia dos parmetros envolvidos. Assim,
antes de realizar as simulaes numricas do problema proposto neste trabalho,
foram avaliadas as possveis variaes dos parmetros a, b, c e fixado o valor de x,
permitindo, dessa forma, a escolha adequada do passo de integrao temporal. Evi-
tamos, assim, disperdcio de tempo computacional (no caso de t muito pequeno),
mantendo a garantia da estabilidade do esquema.
Sendo o problema (3.13) bem posto e o esquema estvel, segue do Teorema de
-
40
Figura 3.4: Regio de estabilidade para a = 1/10000, b = 1, c = 1 e x = 1/100
Equivalncia de Lax que o esquema convergente quando t e x satisfazem (3.22)
para todo [, ].Uma soluo analtica para as equaes de transporte de massa e de calor no ar
apresentada na prxima seo.
3.2 Soluo analtica
Com o objetivo de obter maior confiabilidade no esquema numrico, quando se
trabalha com sistemas de equaes complexos como os problemas de transferncia
de calor e de massa, comum procurar uma soluo analtica de uma situao que
se aproxima o suficiente do problema fsico em questo. Isso torna possvel uma
comparao entre os dados calculados pelo esquema numrico usado e uma soluo
analtica de um problema fisicamente to prximo quanto possvel ao que se pretende
resolver. Se para uma situao fisicamente prxima original o esquema numrico
funcionar bem, provvel que ele funcione tambm para a situao real. Neste
intuito, buscamos uma soluo analtica para a equao diferencial parcial
t= a
2
x2+ b
x+ c + f(x, t), x (0, 1) e t > 0 (3.23)
-
41
com a > 0, sujeita condio inicial
(x, 0) = 0 para x [0, 1] (3.24)
e as condies de contorno
(0, t) = 1 e
x(1, t) = 0 para t 0 (3.25)
Buscamos solues analticas para problemas de transferncias de calor e/ou de
massa na literatura. Vrias solues para problemas de calor foram encontradas,
porm nenhuma com as condies do problema aqui exposto. Na seo que segue,
apresentamos algumas dessas solues que mais se assemelham ao nosso problema
ou que trazem alguma idia que possa ser aproveitada neste trabaho.
3.2.1 Algumas solues analticas para problemas de trans-
porte na literatura
Solues analticas para muitas formas de equaes diferenciais so encontradas
na literatura, algumas das quais para equaes de transferncia de energia, que sero
enumeradas na seqncia. Em todas as solues encontradas para essa equao
temos algumas simplificaes na equao propriamente dita e/ou nos domnios para
os quais as solues so obtidas, de forma que estas no representam fielmente o
problema real. Apesar disso, algumas idias e conceitos utilizados foram teis para
a obteno de uma soluo analtica para o nosso problema.
As equaes apresentadas, na seqncia, referem-se ao problema de transferncia
de calor, porm no modelo apresentado nesta tese, as equaes diferenciais parciais
que descrevem os fenmenos de transferncia de calor e de massa possuem a mesma
forma (veja as equaes (3.13) e (3.23)). Assim, encontrando uma soluo analtica
para a equao do calor tambm a teremos para a equao de transferncia de massa.
Cherniha [16] apresenta algumas solues analticas para a equao
u
t=
x
(A(u)
u
x
)+ B(u)
u
x+ C(u) (3.26)
em casos particulares onde A(u), B(u) e C(u) so funes especialmente escolhidas
de forma a permitir a obteno das solues, usando o mtodo de reduo de ordem
-
42
e trans