Funções de Transferência

Na teoria de controle, funções denominadas “funções de transferência” são usadas para caracterizar as relações entrada-saída de sistemas lineares invariáveis no tempo. O conceito de transferência aplica-se somente a sistemas lineares invariáveis no tempo, embora possa ser estendido a certos sistemas de controle não lineares.A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é definida como sendo a relação da transformada de Laplace da saída (função resposta) para a transformada de Laplace da entrada (função excitação), considerando-se nulas todas as condições iniciais.

Diagrama de blocos. Um diagrama de blocos de um sistema é uma representação das funções desempenhadas por cada componente e do fluxo de sinais. Este diagrama indica a inter-relação que existe entre os vários componentes. Diferentemente de uma representação matemática, puramente abstrata, um diagrama de blocos possui a vantagem de indicar mais realisticamente os fluxos de sinal do sistema real.A Fig. 4.14 mostra um elemento de diagrama de blocos. O segmento orientado (flecha) apontando para o bloco indica a entrada e o segmento orientado saindo do bloco representa a saída. Estas flechas são referidas como sinais.

Fig. 4.14 Elemento de um diagrama de bloco.

Detector de erro. O detector de erro produz um sinal que é a diferença entre a entrada de referência e o sinal realimentado do sistema de controle. No projeto, a escolha do detector de erro é muito importante e deve ser decidida cuidadosamente. Isto é devido ao fato de que quaisquer imperfeições no detector de erros inevitavelmente prejudicaria o desempenho de todo o sistema. O diagrama de bloco de um detector de erro é indicado na fig. 4.14.

Fig. 4.15 Diagrama de bloco de um detector de erro.

Note que um círculo com uma cruz é o símbolo que indica uma operação de soma. Os sinais mais ou menos em cada flecha indicam se aquele sinal deve ser adicionado ou

subtraído. É importante que as grandezas a serem adicionadas ou subtraídas possuam as mesmas dimensões e as mesmas unidades.

Diagrama de blocos de um sistema de malha-fechada. A Fig. 4.16 mostra um exemplo de um diagrama de blocos de um sistema de malha-fechada. A saída C(s) é realimentada ao ponto de soma, onde é comparada com a entrada de referência R(s). A natureza de malha-fechada do sistema é indicada claramente pela figura. A saída do bloco, C(s) neste caso, é obtida pela multiplicação da função de transferência G(s) com a entrada do bloco, E(s).

Fig. 4.16 Diagrama de bloco de um sistema em malha-fechada.

Fig. 4.17 Sistema em malha-fechada

A relação entre o sinal realimentado B(s) e o sinal erro atuante E(s) é denominada função de transferência de malha aberta, isto é:

Função de transferência de malha-aberta =

A relação entre a saída C(s) e o sinal erro atuante E(s) é denominada função de transferência do ramo direto, de modo que,

Função de transferência do ramo direto =

Para o sistema mostrado na figura 4.17, a saída C(s) e a entrada R(s) são relacionadas como segue:

Eliminando E(s) destas equações, resulta

Sistema em malha-fechada sujeito a um distúrbio. A Fig. 4.18 mostra um sistema em malha-fechada sujeito a um distúrbio. Quando duas entradas (a entrada de referência e o distúrbio) estão presentes em um sistema linear, cada entrada pode ser considerada independentemente da outra; as saídas correspondentes para cada entrada sozinha podem ser adicionadas para resultar a saída completa. O modo pelo qual cada entrada é introduzida no sistema é indicado no ponto de soma ou por um sinal mais ou por um sinal menos.

Fig. 4.18 Sistema em malha-fechada sujeito a um distúrbio.

Considere o sistema mostrado na Fig. 4.18. Examinando o efeito do distúrbio N(s), podemos admitir que o sistema está em repouso inicialmente com erro zero; podemos então calcular a resposta CN(s) apenas devido ao distúrbio. Esta resposta é dada por

Por outro lado, considerando a resposta em relação à entrada de referência R(s), podemos supor que o distúrbio é nulo. Então, a resposta CR(s) em relação à entrada de referência R(s) pode ser obtida de

A resposta com a aplicação simultânea da entrada de referencia e do distúrbio pode ser obtida adicionando-se as duas respostas individuais. Em outras palavras, a resposta C(s) devida à aplicação da entrada de referência R(s) e ao distúrbio N(s) é dada por

Procedimentos para construir diagramas de blocos. Para desenhar o diagrama de blocos de um sistema, escreva primeiro as equações que descrevem o comportamento dinâmico de cada componente, tome então as transformadas de Laplace das equações, admitindo condições iniciais nulas, e represente cada equação transformada de Laplace individualmente na forma de bloco. Finalmente, monte os elementos em um diagrama de blocos completo.Como um exemplo, considere o circuito RC indicado na Fig. 4.19(a). As equações para este circuito são:

(4.27)

(4.28)

As transformadas de Laplace das Eqs. (4.27) e (4.28), com uma condição inicial nula, tornam-se

(4.29)

(4.30)

Fig. 4.19 (a) Circuito RC; (b) diagrama de blocos representando a Eq. (4.29); (c) diagrama de blocos representando a Eq. (4.30); (d) diagrama de blocos do circuito RC.

A Eq. (4.29) representa uma operação de soma e o diagrama correspondente é mostrado na Fig. 4.19(b). A Eq. (4.30) representa o bloco indicado na Fig. 4.19(c). Montando

estes dois elementos, obtemos o diagrama de blocos global para o sistema, conforme na Fig. 4.19(d).

Redução de diagramas de bloco. É importante notar que blocos podem ser conectados em série somente se a saída de um bloco não é afetada pelo bloco seguinte. Se houver qualquer efeito de carregamento entre os componentes, é necessário combinar estes componentes em um bloco simples. Em outras palavras, um único bloco representará as duas partes.

Tabela 4.3 Regras da álgebra de diagramas de blocos

Diagrama de blocos original Diagrama de blocos equivalente

1

2

3

4

5

6

Diagrama de blocos originais Diagrama de blocos equivalente

7

8

9

10

11

12

13

Qualquer número de blocos em cascata representando componentes sem efeito de carga podem ser substituídos por um único bloco cuja função de transferência é simplesmente o produto das funções de transferência individuais.Na simplificação de um diagrama de blocos, lembre o seguinte:

1. O produto das funções de transferência no sentido direto deve permanecer o mesmo.

2. O produto das funções de transferência em um laço deve permanecer o mesmo.Uma regra geral para simplificar diagramas de blocos é mover pontos de junção e pontos de soma, permutar pontos de soma e, então, reduzir laços de realimentação internos.Como um exemplo do uso das regras na Tabela 4.3, considere o sistema indicado na Fig. 4.20(a). Movendo o ponto de soma do laço de realimentação negativa contendo H2

para fora do laço de realimentação positiva contendo H1, obtemos a Fig. 4.20(b). Eliminando o laço de realimentação positiva, obtemos a Fig. 4.20(c). Então, eliminando o laço contendo H2/G1, obtemos a Fig. 4.20(e).Finalmente, eliminando o laço de realimentação, obtemos a Fig. 4.20(e).Note que o numerador da função de transferência em malha-fechada C(s)/R(s) é o produto das funções de transferência do ramo direto. O denominador de C(s)/R(s) é igual a

(O laço de realimentação positiva fornece um termo negativo no denominador.)