O numero PIO numero PI

O "PI" DA QUESTÃO!O "PI" DA QUESTÃO!

Pi é um Pi é um número irracionalnúmero irracional, isto é, não pode , isto é, não pode ser expresso como a razão entre dois ser expresso como a razão entre dois números inteiros naturais. números inteiros naturais.

“ “História” do PiHistória” do Pi A descoberta deste número magnífico não foi um processo fácil e linear. Muitos foram os A descoberta deste número magnífico não foi um processo fácil e linear. Muitos foram os

matemáticos que dedicaram parte de suas vidas ao seu cálculo. Cada avanço tinha muitas falhas, matemáticos que dedicaram parte de suas vidas ao seu cálculo. Cada avanço tinha muitas falhas, muitos retrocessos, muitos esforços. O cálculo de pi foi levado a cabo durante muitos séculos por muitos retrocessos, muitos esforços. O cálculo de pi foi levado a cabo durante muitos séculos por inúmeras razões, quer práticas quer teóricasinúmeras razões, quer práticas quer teóricas..

Como se sabe p ( pi ), é o número mais famoso da história universal, o qual recebeu um nome Como se sabe p ( pi ), é o número mais famoso da história universal, o qual recebeu um nome próprio, um nome grego, pois embora seja um número, não pode ser escrito com um número próprio, um nome grego, pois embora seja um número, não pode ser escrito com um número finito de algarismos. O p representa a razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro.finito de algarismos. O p representa a razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro.

O número pi tem uma história fascinante, que começou acerca de 4000 anos atrás. Matemáticos O número pi tem uma história fascinante, que começou acerca de 4000 anos atrás. Matemáticos no Egito antigo descobriram que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu no Egito antigo descobriram que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência . Eles definiram o que chamamos hoje de pi diâmetro é a mesma para qualquer circunferência . Eles definiram o que chamamos hoje de pi como um número "um pouco maior que 3". Inúmeros povos andaram à sua procura mesmo como um número "um pouco maior que 3". Inúmeros povos andaram à sua procura mesmo antes que chegassem a ter consciência matemática.antes que chegassem a ter consciência matemática.

Portanto, eles tinham uma noção do valor do pi mas ainda estavam a alguns séculos de distância Portanto, eles tinham uma noção do valor do pi mas ainda estavam a alguns séculos de distância de um resultado mais exato. Os egípcios chegaram ao valor aproximado de 3,16 há 3500 anos de um resultado mais exato. Os egípcios chegaram ao valor aproximado de 3,16 há 3500 anos partindo de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media nove unidades. Eles, partindo de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media nove unidades. Eles, então, dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de oito lados e calcularam a então, dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de oito lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.

Método do clássico para o cálculo de Método do clássico para o cálculo de ππ

A primeira tentativa rigorosa de encontrar A primeira tentativa rigorosa de encontrar ππ deve-se a Arquimedes, um dos deve-se a Arquimedes, um dos mais conhecidos matemáticos da Antiguidade, que viveu por volta do século mais conhecidos matemáticos da Antiguidade, que viveu por volta do século III a.C. na Grécia. Pela construção de polígonos inscritos e circunscritos, III a.C. na Grécia. Pela construção de polígonos inscritos e circunscritos, encontrou que pi seria entre um valor entre 223/71 e 23/7, ou seja, encontrou que pi seria entre um valor entre 223/71 e 23/7, ou seja, aproximadamente 3,14. Tal método é o chamado aproximadamente 3,14. Tal método é o chamado método clássicométodo clássico para para cálculo de pi. Partiu de um hexágono regular e calculou os perímetros dos cálculo de pi. Partiu de um hexágono regular e calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados. Com esse perímetro calculado, ele definiu que o um polígono de 96 lados. Com esse perímetro calculado, ele definiu que o valor de valor de ππ estaria entre estaria entre 3,14083,1408 e e 3,14283,1428..

Formulação matemática do método de ArquimedesFormulação matemática do método de Arquimedes

Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados.um polígono de qualquer número de lados.

Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:do lado expressa pela lei dos cossenos:

aa22 = = bb22 + + cc22 − 2cosα − 2cosα

Significado do Significado do

AA razão entre o razão entre o perímetro de um círculoperímetro de um círculo e o seu e o seu diâmetrodiâmetro produz o número produz o número PIPI. É um número que mobilizou e ainda mobiliza . É um número que mobilizou e ainda mobiliza muitos matemáticos. A principal curiosidade, no caso do PI, é a muitos matemáticos. A principal curiosidade, no caso do PI, é a obtenção de um valor sempre igual e constante, adicionando-se obtenção de um valor sempre igual e constante, adicionando-se também um mistério: o de não podermos conhecer a última casa. também um mistério: o de não podermos conhecer a última casa. Por esse motivo, o PI passou a ser representado pela letra (do Por esse motivo, o PI passou a ser representado pela letra (do alfabeto grego). Foi uma estratégia para simplificar o registro.alfabeto grego). Foi uma estratégia para simplificar o registro.

Voltando ao procedimento matemático, que produziu essa Voltando ao procedimento matemático, que produziu essa misteriosa constante, poderemos igualar as razões entre os misteriosa constante, poderemos igualar as razões entre os perímetros dos círculos e os seus respectivos diâmetros. Essa perímetros dos círculos e os seus respectivos diâmetros. Essa proporcionalidade permite escrever que o perímetro de uma roda proporcionalidade permite escrever que o perímetro de uma roda gigante, dividido pelo seu diâmetro, é igual ao perímetro de uma gigante, dividido pelo seu diâmetro, é igual ao perímetro de uma moeda dividido pelo diâmetro dessa mesma moeda: moeda dividido pelo diâmetro dessa mesma moeda:

Métodos de cálculoMétodos de cálculo

O perímetro de uma moeda com 1,5 cm de diâmetro pode ser calculado O perímetro de uma moeda com 1,5 cm de diâmetro pode ser calculado multiplicando-se o diâmetro dessa moeda pela constante . Poderemos registrar como multiplicando-se o diâmetro dessa moeda pela constante . Poderemos registrar como P = 1,5. cm. E se quisermos conferir esse perímetro, contornando a borda dessa P = 1,5. cm. E se quisermos conferir esse perímetro, contornando a borda dessa moeda com uma linha de costura, teremos que calcular esse perímetro considerando moeda com uma linha de costura, teremos que calcular esse perímetro considerando um determinado valor para pi. Nesse caso, podemos multiplicar 1,5 cm por 3,14, um determinado valor para pi. Nesse caso, podemos multiplicar 1,5 cm por 3,14, fazendo P = 1,5 x 3,14 - que se aproximará bastante do comprimento da linha. E, fazendo P = 1,5 x 3,14 - que se aproximará bastante do comprimento da linha. E, portanto,do perímetro. portanto,do perímetro.

Se o raio de uma roda de bicicleta é igual a 20 cm, então qual é o comprimento do Se o raio de uma roda de bicicleta é igual a 20 cm, então qual é o comprimento do pneu que contorna essa roda? Responderemos pelo perímetro e obteremos um valor pneu que contorna essa roda? Responderemos pelo perímetro e obteremos um valor teórico de P = 2 x (20 cm) x = 40 cm ou valor experimental de P = 2 x (20 cm) x teórico de P = 2 x (20 cm) x = 40 cm ou valor experimental de P = 2 x (20 cm) x 3,14 = 125,6 cm. 3,14 = 125,6 cm.

Valor de Valor de π (Pπ (Pi)i)

Na Babilônia, o valor do pi era considerado igual a três e hoje podemosNa Babilônia, o valor do pi era considerado igual a três e hoje podemos escrevê-lo com muitas casas depois da vírgula, com as reticênciasescrevê-lo com muitas casas depois da vírgula, com as reticências

informando que ele não terminou - e não terminará: informando que ele não terminou - e não terminará:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820973.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132824944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938530664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936073786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715326024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643074956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577892384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689260917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594558707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752834690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766112863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968219590921642019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546375574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707646493931925506040092770167113900984882401285836160356370766010471018194295559619894676783744944825537977472684710404601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569... 75346462080466842590694912933136770289891521047521620569...

Aproximação do piAproximação do pi Nos livros didáticos, esse número é arredondado para 3,1416 ou Nos livros didáticos, esse número é arredondado para 3,1416 ou

3,14, permitindo cálculos aproximados. No entanto, não 3,14, permitindo cálculos aproximados. No entanto, não podemos esquecer que nunca poderemos afirmar que o valor podemos esquecer que nunca poderemos afirmar que o valor do pi é igual a 3,14. Por isso, é essencial que, no cálculo do do pi é igual a 3,14. Por isso, é essencial que, no cálculo do perímetro, a letra grega apareça para evitar erros.perímetro, a letra grega apareça para evitar erros.

Métodos empíricos para cálculo do PIMétodos empíricos para cálculo do PI

MéMétodo I - Usando a circunferênciatodo I - Usando a circunferência

Material necessárioMaterial necessário Uma tira de papel, uma régua, um objeto cilíndrico, por exemplo, uma lata de Leite Uma tira de papel, uma régua, um objeto cilíndrico, por exemplo, uma lata de Leite

em pó. em pó. MétodoMétodo Rodeie a lata com uma tira de papel faça uma marca no local onde uma extremidade Rodeie a lata com uma tira de papel faça uma marca no local onde uma extremidade

toca a outra. Estenda a tira de papel sobre uma superfície horizontal e meça o seu toca a outra. Estenda a tira de papel sobre uma superfície horizontal e meça o seu comprimento (perímetro da lata). Meça o diâmetro da lata. Pode-se colocá-la entre comprimento (perímetro da lata). Meça o diâmetro da lata. Pode-se colocá-la entre dois objetos e assim medir a distância entre eles. O quociente entre as duas medidas dois objetos e assim medir a distância entre eles. O quociente entre as duas medidas é o número pi (aproximado, em virtude da inexatidão das medidas).é o número pi (aproximado, em virtude da inexatidão das medidas).

Método II - Usando a área do círculoMétodo II - Usando a área do círculo

Podemos também calcular o PI, usando um método estatístico. Imagine um círculo Podemos também calcular o PI, usando um método estatístico. Imagine um círculo inscrito em um quadrado. inscrito em um quadrado.

Esforce-se e imagine que a figura abaixo é um alvo, destes em que se pratica "tiro ao Esforce-se e imagine que a figura abaixo é um alvo, destes em que se pratica "tiro ao alvo". Imagine também que na direção desta figura, serão lançados dardos aleatórios. alvo". Imagine também que na direção desta figura, serão lançados dardos aleatórios. A probabilidade de que os dardos atinjam o círculo é de exatamente PI/4. A probabilidade de que os dardos atinjam o círculo é de exatamente PI/4. Estatisticamente, se forem lançados 400 dardos na área delimitada pelo quadrado, Estatisticamente, se forem lançados 400 dardos na área delimitada pelo quadrado, aproximadamente 314 atingirão o círculo (área em azul) e 86 atingirão a área em aproximadamente 314 atingirão o círculo (área em azul) e 86 atingirão a área em vermelho. Conclusão: considerando-se uma circunferência de diâmetro N e um vermelho. Conclusão: considerando-se uma circunferência de diâmetro N e um quadrado com lado N, PI = 4 * (área da circunferência / área do quadrado).quadrado com lado N, PI = 4 * (área da circunferência / área do quadrado).

Grandezas que dependem de Grandezas que dependem de ππ

Várias relações matemáticas dependem do conhecimento Várias relações matemáticas dependem do conhecimento da constante da constante ππ, entre elas:, entre elas:

• Perímetro de uma circunferência: C=2.Perímetro de uma circunferência: C=2.π.rπ.r

• Área do círculo : A= Área do círculo : A= π. r²π. r²

• Volume de uma esfera: V= Volume de uma esfera: V= 44..π.r³π.r³

33

• ππ também está nas fórmulas gravitacionais e do também está nas fórmulas gravitacionais e do eletromagnetismo da física.eletromagnetismo da física.