MA73A-S23 - Calculo 3 2a Avaliacao (10/06/15)

NOME:

1) (2,0 pontos) Discutir a convergencia/divergencia das series numericas abaixo:

a)n=1

13n

Serie p-harmonica (ou p-serie) com p = 1/3 < 1, portanto DIVERGENTE.

b)n=1

1

pin

Serie geometrica com razao q = 1/pi < 1, portanto CONVERGENTE.

c)n=1

sen 2n

1 + 2n

| sen 2n|1 + 2n

11 + 2n

12n

E a serien=1

1

2ne uma serie geometrica de razao q = 1/2 < 1, portanto convergente.

Logo, a serien=1

sen 2n

1 + 2ne (ABSOLUTAMENTE) CONVERGENTE.

d)n=1

n sen(1n

)O termo geral an da serie nao converge para zero:

limn

n sen

(1

n

)= lim

nsen (1/n)

1/n= lim

x0senx

x= 1

Portanto, pelo teste de divergencia, a serie dada DIVERGE.

2) (2,0 pontos) Discutir a convergencia/divergencia das series de potencias abaixo:

a)n=1

n

4n(x+ 1)n

Teste da Raiz:

limn

n|an| = lim

nn

n4n

(x+ 1)n = |x+ 1|

4limn

nn =

|x+ 1|4

,

pois limn nn = 1, e a serie converge se:

|x+ 1|4

< 1 |x+ 1| < 4 5 < x < 3

Nos extremos a serie tambem precisa ser testada:

Se x = 5:n=1

n

4n(x+ 1)n =

n=1

n

4n(4)n =

n=1

(1)nn,

divergente, e se x = 3:

n=1

n

4n(x+ 1)n =

n=1

n

4n4n =

n=1

n,

tambem divergente. Portanto, o intervalo de convergencia e (5, 3), para a seriecentrada em x0 = 1 com raio de convergencia igual a 4.

b)n=2

x2n

n (lnn)2

Teste da Razao:

limn

an+1an = limn

x2(n+1)(n+ 1) (ln(n+ 1))2 n (lnn)2x2n =

= |x2| limn

[n+ 1

n

(lnn

ln(n+ 1)

)2]= |x2|,

pois limnn+ 1

n= 1 e limn

lnn

ln(n+ 1)= 1. A serie converge se |x2| < 1, isto

e 1 < x < 1. Nos extremos, mostra-se pelo teste da integral quen=1

1

n (lnn)2converge:

2

1

x (lnx)2dx = lim

t

[ 1

lnx

]t2

= limt

[ 1

ln t+

1

ln 2

]=

1

ln 2

Portanto, o intervalo de convergencia e [1, 1], para a serie centrada em x0 = 0 comraio de convergencia igual a 1.

3) (2,0 pontos) Obter a serie de potencias das seguintes funcoes. Exibir seu raio e intervalode convergencia.

Nos dois casos partiremos de1

1 x =

n=1 xn , |x| < 1.

a) f(x) =1

1 + x

1

1 + x=

1

1 (x) =n=1

(x)n =n=1

(1)n xn, |x| < 1

b) g(x) =1

2 x31

2 x3 =1/2

1 x3/2 =1

2

n=1

(x3/2)n =n=1

x3n

2n+1,

para |x3/2| < 1 |x| < 32.

4) (2,0 pontos) Obter a serie de Taylor das seguintes funcoes centradas no ponto x0 especi-ficado. Exibir seu raio e intervalo de convergencia.

a) coshx =ex + ex

2, x0 = 0

ex =n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+x3

3!+x4

4!+

ex =n=0

(1)nxnn!

= 1 x+ x2

2! x

3

3!+x4

4!+

Somando:

ex + ex = 2 + 2x2

2!+ 2

x4

4!+

Portanto:

coshx =ex + ex

2= 1 +

x2

2!+x4

4!+ =

n=0

x2n

(2n)!

para todo x R.b) cos(x2), x0 = 0

cosx =n=0

(1)n(2n)!

x2n = 1 x2

2!+x4

4! x

6

6!+x8

8!+

Portanto:

cosx2 =n=0

(1)n(2n)!

(x2)2n =n=0

(1)n(2n)!

x4n = 1 x4

2!+x8

4! x

12

6!+x16

8!+ ,

para todo x R.

5) (2,0 pontos) Use a serie de Maclaurin de cosx para estimar cos 0,1 (angulo medido emradianos) com precisao de pelo menos 4 casas decimais.

cosx =n=0

(1)n(2n)!

x2n = 1 x2

2!+x4

4! x

6

6!+

Estimativa de erro: |Rn(x)| M(n+ 1)!

|x|n+1. Como todas as derivadas do cosseno sao sen ou cos, em qualquer um dos casos, M = |f (n)(x)| 1. Assim,

|Rn(0.1)| |0.1|2n

(2n)! 105 102n+5 (2n)!

E o primeiro valor de n para o qual a desigualdade e satisfeita e n = 2. Portanto:

cosx 1 x2

2!= cos 0.1 1 0.1

2

2!= 0.995

6) (2,0 pontos) Use series para calcular o limite

limx0

senx xx3

Como:

senx =n=0

(1)n(2n+ 1)!

x2n+1 = x x3

3!+x5

5! x

7

7!+

Temos:

senx x = x3

3!+x5

5! x

7

7!+ = senx x

x3= 1

3!+x2

5! x

4

7!+x6

9!+

Portanto:

limx0

senx xx3

= limx0

( 1

3!+x2

5! x

4

7!+x6

9!+

)= 1

6