MA73A-S23 - Calculo 3 2a Avaliacao (10/06/15)
NOME:
1) (2,0 pontos) Discutir a convergencia/divergencia das series numericas abaixo:
a)n=1
13n
Serie p-harmonica (ou p-serie) com p = 1/3 < 1, portanto DIVERGENTE.
b)n=1
1
pin
Serie geometrica com razao q = 1/pi < 1, portanto CONVERGENTE.
c)n=1
sen 2n
1 + 2n
| sen 2n|1 + 2n
11 + 2n
12n
E a serien=1
1
2ne uma serie geometrica de razao q = 1/2 < 1, portanto convergente.
Logo, a serien=1
sen 2n
1 + 2ne (ABSOLUTAMENTE) CONVERGENTE.
d)n=1
n sen(1n
)O termo geral an da serie nao converge para zero:
limn
n sen
(1
n
)= lim
nsen (1/n)
1/n= lim
x0senx
x= 1
Portanto, pelo teste de divergencia, a serie dada DIVERGE.
2) (2,0 pontos) Discutir a convergencia/divergencia das series de potencias abaixo:
a)n=1
n
4n(x+ 1)n
Teste da Raiz:
limn
n|an| = lim
nn
n4n
(x+ 1)n = |x+ 1|
4limn
nn =
|x+ 1|4
,
pois limn nn = 1, e a serie converge se:
|x+ 1|4
< 1 |x+ 1| < 4 5 < x < 3
Nos extremos a serie tambem precisa ser testada:
Se x = 5:n=1
n
4n(x+ 1)n =
n=1
n
4n(4)n =
n=1
(1)nn,
divergente, e se x = 3:
n=1
n
4n(x+ 1)n =
n=1
n
4n4n =
n=1
n,
tambem divergente. Portanto, o intervalo de convergencia e (5, 3), para a seriecentrada em x0 = 1 com raio de convergencia igual a 4.
b)n=2
x2n
n (lnn)2
Teste da Razao:
limn
an+1an = limn
x2(n+1)(n+ 1) (ln(n+ 1))2 n (lnn)2x2n =
= |x2| limn
[n+ 1
n
(lnn
ln(n+ 1)
)2]= |x2|,
pois limnn+ 1
n= 1 e limn
lnn
ln(n+ 1)= 1. A serie converge se |x2| < 1, isto
e 1 < x < 1. Nos extremos, mostra-se pelo teste da integral quen=1
1
n (lnn)2converge:
2
1
x (lnx)2dx = lim
t
[ 1
lnx
]t2
= limt
[ 1
ln t+
1
ln 2
]=
1
ln 2
Portanto, o intervalo de convergencia e [1, 1], para a serie centrada em x0 = 0 comraio de convergencia igual a 1.
3) (2,0 pontos) Obter a serie de potencias das seguintes funcoes. Exibir seu raio e intervalode convergencia.
Nos dois casos partiremos de1
1 x =
n=1 xn , |x| < 1.
a) f(x) =1
1 + x
1
1 + x=
1
1 (x) =n=1
(x)n =n=1
(1)n xn, |x| < 1
b) g(x) =1
2 x31
2 x3 =1/2
1 x3/2 =1
2
n=1
(x3/2)n =n=1
x3n
2n+1,
para |x3/2| < 1 |x| < 32.
4) (2,0 pontos) Obter a serie de Taylor das seguintes funcoes centradas no ponto x0 especi-ficado. Exibir seu raio e intervalo de convergencia.
a) coshx =ex + ex
2, x0 = 0
ex =n=0
xn
n!= 1 + x+
x2
2!+x3
3!+x4
4!+
ex =n=0
(1)nxnn!
= 1 x+ x2
2! x
3
3!+x4
4!+
Somando:
ex + ex = 2 + 2x2
2!+ 2
x4
4!+
Portanto:
coshx =ex + ex
2= 1 +
x2
2!+x4
4!+ =
n=0
x2n
(2n)!
para todo x R.b) cos(x2), x0 = 0
cosx =n=0
(1)n(2n)!
x2n = 1 x2
2!+x4
4! x
6
6!+x8
8!+
Portanto:
cosx2 =n=0
(1)n(2n)!
(x2)2n =n=0
(1)n(2n)!
x4n = 1 x4
2!+x8
4! x
12
6!+x16
8!+ ,
para todo x R.
5) (2,0 pontos) Use a serie de Maclaurin de cosx para estimar cos 0,1 (angulo medido emradianos) com precisao de pelo menos 4 casas decimais.
cosx =n=0
(1)n(2n)!
x2n = 1 x2
2!+x4
4! x
6
6!+
Estimativa de erro: |Rn(x)| M(n+ 1)!
|x|n+1. Como todas as derivadas do cosseno sao sen ou cos, em qualquer um dos casos, M = |f (n)(x)| 1. Assim,
|Rn(0.1)| |0.1|2n
(2n)! 105 102n+5 (2n)!
E o primeiro valor de n para o qual a desigualdade e satisfeita e n = 2. Portanto:
cosx 1 x2
2!= cos 0.1 1 0.1
2
2!= 0.995
6) (2,0 pontos) Use series para calcular o limite
limx0
senx xx3
Como:
senx =n=0
(1)n(2n+ 1)!
x2n+1 = x x3
3!+x5
5! x
7
7!+
Temos:
senx x = x3
3!+x5
5! x
7
7!+ = senx x
x3= 1
3!+x2
5! x
4
7!+x6
9!+
Portanto:
limx0
senx xx3
= limx0
( 1
3!+x2
5! x
4
7!+x6
9!+
)= 1
6