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Conselho editorial solange moura; roberto paes; gladis linhares
Autora do original denise candal reis fernandes
Projeto editorial roberto paes
Coordenação de produção gladis linhares
Projeto gráfico paulo vitor bastos
Diagramação bfs media
Revisão de conteúdo vinícius akira
Imagem de capa peshkova | dreamstime.com
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip)
C216f Candal, Denise
Fundamentos de Matemática / Denise Candal
Rio de Janeiro : SESES, 2015.
240 p. : il.
isbn: 978-85-5548-113-0
1. Álgebra. 2. Aritmética. 3. A Função. I. SESES. II. Estácio.
cdd 510.7
Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento
Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa
Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063
Sumário
1. Conjuntos 9
Objetivos 10
1.1 Introdução 11
1.2 Conceitos primitivos (não-definidos) – conjunto e elemento 11
1.3 Representação de um conjunto 13
1.3.1 Representação tabular ou por enumeração 14
1.3.2 Representação através de diagramas de Venn 15
1.3.3 Representação através de uma propriedade 16
1.4 Relação de pertinência 17
1.5 Tipos de conjuntos 18
1.5.1 Conjunto unitário 18
1.5.2 Conjunto vazio 18
1.5.3 Conjunto finito 19
1.5.4 Conjunto infinito 20
1.5.5 Conjuntos Iguais 20
1.5.6 Conjuntos Diferentes. 20
1.5.7 Conjunto Universo (U) 21
1.5.8 Conjuntos Disjuntos 22
1.6 Subconjunto 22
1.6.1 Conceito 22
1.6.2 Definição formal. 23
1.6.3 Propriedades 24
1.7 Conjunto cujos elementos são conjuntos 25
1.8 Conjunto das partes de um conjunto 25
1.9 Operações com conjuntos 27
1.9.1 Número de elementos de um conjunto 27
1.9.2 Interseção de conjuntos (∩) 27
1.9.3 União (ou reunião) de conjuntos (∪) 28
1.9.4 Diferença de conjuntos (–) 30
1.9.5 Conjunto complementar (C) 32
1.9.6 Número de elementos da união de conjuntos 33
1.9.7 Propriedades das Operações entre Conjuntos 34
1.10 Conjuntos numéricos 42
1.11 Números naturais 42
1.11.1 Conceito 42
1.11.2 Propriedades do conjunto dos números naturais 43
1.11.3 Operações sobre o conjunto dos números naturais. 43
1.11.4 Propriedade das operações sobre o
conjunto dos números naturais 44
1.12 Números inteiros 45
1.12.1 Conceito 45
1.12.2 Subconjuntos de destaque 46
1.12.3 Operando em Z 47
1.13 números racionais 48
1.13.1 Conceito 48
1.13.2 Propriedades dos números racionais. 48
1.13.3 Frações 49
1.13.4 Forma fracionária e forma decimal. 49
1.14 Números irracionais 50
1.14.1 Conceito 50
1.14.2 Exemplos de números irracionais 51
1.15 Números reais 51
1.15.1 Propriedades dos Números Reais 52
1.15.2 Intervalos Numéricos 52
1.15.3 Centro e raio de um intervalo 53
1.15.4 Formas de representação numérica 53
1.15.5 Simplificação de frações 54
1.15.6 Redução de frações nas operações de adição e
subtração através do MMC 54
1.15.7 Regra de sinais 55
1.15.8 Operações numéricas 56
1.15.9 Precedência dos operadores 56
1.15.10 Técnicas de arredondamento (de acordo com o IBGE) 56
Referências bibliográficas 58
2. Conceitos Fundamentais De Álgebra e Aritmética 59
objetivos 60
2.1 Radiciação e potenciação 61
2.2 Potência de expoente natural 61
2.2.1 Conceito 61
2.2.2 Propriedades 62
2.3 Potência de expoente inteiro negativo 63
2.4 Raíz enésima e expoentes racionais 63
2.4.1 Conceito 63
2.4.2 Índice n é um número natural ímpar, n ≥ 1 64
2.4.3 Índice n é um número natural par, n ≥ 2 64
2.4.4 Propriedades 65
2.5 Potência de expoente racional 66
2.6 Expressões algébricas 72
2.6.1 Conceito 72
2.6.2 Valor numérico de uma expressão algébrica 72
2.6.3 Monômio ou termo algébrico. 72
2.6.4 Polinômios 74
2.7 Produtos notáveis 76
2.8 Fatoração de expressões algébricas 77
2.8.1 Conceito. 77
2.8.2 Fator comum em evidência 77
2.8.3 Agrupamento 78
2.8.4 Trinômio quadrado perfeito 78
2.8.5 Diferença de dois quadrados 78
2.9 Razão e proporção 79
2.10 Razão 79
2.11 Proporção 81
2.11.1 Conceito 81
2.11.2 Algumas propriedades das proporções 81
2.12 Grandezas direta e inversamente proporcionais 86
2.12.1 Grandezas Diretamente Proporcionais 86
2.12.2 Grandezas Inversamente Proporcionais 87
2.13 Regra de três simples 87
2.13.1 Conceito 87
2.13.2 Procedimento 87
2.14 Regra de três composta 90
2.14.1 Conceito 90
2.14.2 Procedimento 91
2.15 Porcentagem 93
2.16 Operações com porcentagem 97
Gabarito 100
Referências bibliográficas 101
3. Introdução ao Estudo de Função 103
objetivos 104
3.1 Plano cartesiano 105
3.1.1 Conceito 105
3.1.2 Coordenadas de um ponto no plano cartesiano 105
3.1.3 Propriedade fundamental dos pares ordenados 108
3.1.4 Escalas dos Eixos 108
3.1.5 Aplicações do Plano Cartesiano 109
3.1.6 Produto cartesiano 110
3.2 Relações 110
3.2.1 Introdução 110
3.2.2 Conceito 112
3.2.3 Conjunto de Partida e Contradomínio ou Conjunto de Chegada 112
3.2.4 Domínio 112
3.2.5 Imagem 113
3.3 Função 114
3.3.1 Introdução 114
3.3.2 Variável Independente 115
3.3.3 Variável Dependente 115
3.3.4 Função Real de Variável Real 116
3.3.5 Domínio e Imagem 116
3.3.6 Valor de uma Função num Ponto 117
3.3.7 Gráfico de uma Função 117
3.3.8 Imagem de um elemento através do diagrama de flechas 118
3.3.9 Imagem de um elemento através da regra y = f(x) 119
capítulo • 7
3.3.10 Imagem de um elemento através do gráfico de uma função 119
3.3.11 Reconhecimento de uma função através de seu gráfico 120
3.3.12 Função Crescente 120
3.3.13 Função Decrescente 121
3.3.14 Função Constante 121
4. Funções de Primeiro Grau e de Segundo Grau 131
Objetivos 132
4.1 Função afim ou polinomial do primeiro grau 133
4.1.1 Introdução 133
4.2 Definição 133
4.3 Casos particulares de uma função afim 134
4.4 Determinação de uma função afim a partir de duas coordenadas 136
4.5 Gráfico de uma função afim 137
4.6 Interseção do gráfico de uma função afim com o eixo x 138
4.7 Intersecção do gráfico de uma função afim com o eixo y 139
4.8 Coeficientes angular e linear de uma função afim 140
4.9 Função afim crescente e decrescente 142
4.10 Estudo do sinal de uma função afim 143
4.11 Função quadrática ou polinomial de segundo grau 162
4.11.1 Introdução 162
4.12 Gráfico de uma função quadrática 163
4.13 Concavidade 163
4.14 Raízes ou zeros 164
4.15 Interseção com o eixo y 168
4.16 Máximo e mínimo 168
4.17 Vértice 171
4.18 Imagem 173
4.19 Soma e produto das raízes 175
4.20 Construção do gráfico de uma função de segundo grau 177
4.21 Estudo dos sinais da função quadrática 178
Referências bibliográficas 187
8 • capítulo
5. Função Exponencial e Funções Logarítmicas 189
Objetivos 190
5.1 Função exponencial 191
5.1.1 Introdução 191
5.2 Definição 191
5.3 Gráfico de uma função exponencial 192
5.4 Equação exponencial 196
5.5 Inequação exponencial 200
5.6 Logaritmos e funções logarítmicas 210
5.6.1 Introdução 210
5.7 Logaritmo 210
5.8 Definição 210
5.9 Propriedades imediatas dos logaritmos 211
5.10 Propriedades com operações de logaritmos 213
5.11 Sistemas de logaritmos na base a 217
5.12 Função logaritmica 219
5.13 Gráfico de uma função logaritmica 219
5.14 Equação logaritmica 225
5.15 Inequação logaritmica 227
Referências bibliográficas 238
10 • capítulo 1
OBJETIVOS
• Descrever e representar conjuntos.
• Estabelecer a relação de pertinência ou não entre um elemento e um conjunto.
• Estabelecer a relação de inclusão ou não entre dois conjuntos.
• Resolver problemas envolvendo conjuntos e operações.
• Determinar o conjunto das partes de um conjunto.
• Determinar a união, interseção, diferença entre conjuntos.
• Resolver problemas envolvendo conjuntos e operações.
• Resolver problemas envolvendo Diagrama de Venn.
• Resolver problemas envolvendo conjuntos e operações.
• Reconhecer os diversos tipos de intervalos de números reais;
• Representar e reconhecer subconjuntos de números reais na forma de intervalos;
• Operar com os diversos tipos de intervalos.
capítulo 1 • 11
1.1 Introdução
O matemático russo George Cantor (1845-1918) desenvolveu e introduziu as
ideias básicas da Teoria dos Conjuntos no fim do Século XIX. Esta teoria, que
trata do estudo das propriedades dos conjuntos, relações entre conjuntos e re-
lações entre os elementos e o próprio conjunto, foi responsável pela influência
e enriquecimento de diversos ramos da Matemática e de outras Ciências.
1.2 Conceitos primitivos (não-definidos) – conjunto e elemento
As noções de conjunto e elemento são noções, conceitos ditos primitivos, isto é,
são conceitos assumidos como ponto de partida da teoria e que servem de base
para a definição de outros conceitos subsequentes.
A ideia de conjunto é a mesma de coleção. Um conjunto pode ser encarado
como um grupo de itens, uma coleção de objetos de natureza qualquer. Estes
itens, objetos, são denominados elementos e possuem características bem
definidas.
Convém destacar que este grupo de elementos depende do contexto em que
um problema é definido. Eventualmente, um objeto pode ser encarado como
um elemento de um conjunto maior, no entanto, em outro contexto, pode ser
um conjunto.
Exemplos Iniciais:
a) Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento
desse conjunto.
b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento
desse conjunto.
c) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; cada aluno é um
elemento desse conjunto.
d) As turmas de um campus formam um conjunto; cada turma é um ele-
mento desse conjunto.
12 • capítulo 1
Outros Exemplos Contextualizados
Sobre a população brasileira, por exemplo, podem ser definidos conjuntos
de pessoas que compartilham uma determinada característica e que podem
ser utilizados para algum tipo de processo decisório. Eis alguns conjuntos que
podem ser definidos, em função de um contexto estabelecido para uma ação
governamental ou empresarial:
a) Conjunto de pessoas com mais de 65 anos.
Este conjunto pode ser importante para serem definidas diversas estraté-
gias de benefícios (gratuidade no transporte público, por exemplo), com seus
impactos econômicos correspondentes. Se uma empresa deve oferecer esse be-
nefício em seus serviços, deve considerar seu impacto na formação de preços
- considerando quantos elementos do seu conjunto de clientes possuem essa
característica.
b) Conjunto de pessoas do sexo masculino que completarão 18 anos de
idade em determinado ano.
Este conjunto representa o grupo de pessoas que terão que fazer o alista-
mento militar obrigatório, e é a partir deste grupo que as Forças Armadas defi-
nirão suas estratégias de emprego destes jovens (quantos realmente prestarão
o serviço militar, quantos serão dispensados por excesso de contingente, etc.).
c) Conjunto de pessoas que possuem uma determinada faixa de
rendimentos.
Esta informação pode ser muito importante ao se definir as estratégias
comerciais e de marketing relacionadas ao lançamento de um determinado
produto. E isso também se aplica a áreas de negócios como gestão financei-
ra, de seguros e negócios imobiliários. Pode ser útil também aos profissionais
de Ciências Econômicas, ao analisar suas influências e impactos no cenário
econômico.
d) O conjunto de contas a serem pagas mensalmente por uma empresa.
Este conjunto de itens ou elementos interessa diretamente a administrado-
res, contadores e gestores comerciais.
e) O conjunto de profissionais aptos a exercer determinadas funções em
uma empresa
Este conjunto de itens ou elementos interessa diretamente a gestores de re-
cursos humanos.
capítulo 1 • 13
f) O conjunto de médicos de cada especialidade disponíveis no quadro de
profissionais de um hospital.
Este conjunto interessa diretamente a gestores hospitalares.
g) O conjunto de países com os quais o Brasil possui relações comerciais.
Este conjunto interessa diretamente aos profissionais de comércio exterior,
relações internacionais e secretários executivos trilíngue.
h) O conjunto de rotas possíveis para se transportar um determinado pro-
duto de uma fábrica ou depósito a um centro consumidor.
Este conjunto interessa diretamente aos profissionais de logística.
i) conjunto de processos que devem ser otimizados em uma empresa.
Este conjunto interessa diretamente aos profissionais de processos
gerenciais.
j) Um Corretor de Seguros trabalha com um conjunto de Empresas
Seguradoras através das quais pode apresentar diversas cotações a um cliente.
k) Em um jogo de futebol cada equipe forma um conjunto de onze ele-
mentos que são os jogadores.
l) Em uma produção cinematográfica, cada ator é um elemento de um
conjunto chamado Elenco.
m) Em política, cada candidato é um elemento de um conjunto chamado
Partido.
A teoria dos conjuntos, eventualmente apresentada de uma forma pura-
mente matemática, pode ter aplicações em diversas áreas profissionais. Muitas
vezes, mesmo sem que percebamos, trabalhamos e pensamos em conjuntos.
Quando uma pessoa deseja saber que ônibus deve usar para sair de um local
para outro, está na verdade em busca do conjunto de linhas que percorre aque-
le trajeto.
Usualmente, nomeamos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ...
1.3 Representação de um conjunto
Em nosso estudo, utilizaremos três tipos de representação de conjuntos e seus
elementos:
14 • capítulo 1
REPRESENTAÇÃO TABULAR.
Nesta representação, enumeram-se todos os seus elementos, ou seja, apresentam-se
explicitamente cada um dos elementos pertencentes ao conjunto. Todos os elementos
do conjunto são apresentados em uma lista, separados por vírgula e são envolvidos por
um par de chaves.
REPRESENTAÇÃO ATRAVÉS DE DIAGRAMA DE VENN
Nesta representação, os elementos do conjunto são representados por pontos interio-
res a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que
não se entrelaça.
REPRESENTAÇÃO ATRAVÉS DE UMA PROPRIEDADE
Nesta representação, os elementos são definidos por meio de uma propriedade comum
a todos os seus elementos, não havendo, neste caso, a necessidade de se apresentar
cada elemento de forma explícita.
A enumeração é mais adequada quando o número de elementos do conjun-
to é pequeno. A sua evidenciação através de uma propriedade é, por sua vez,
mais adequada quando o número de elementos é razoavelmente grande ou até
infinito, como veremos em alguns casos, principalmente de conjuntos numé-
ricos, em que se torna impossível a enumeração de todos os seus elementos.
1.3.1 Representação tabular ou por enumeração
A definição de um conjunto através da enumeração de todos os seus elementos
consiste simplesmente em apresentá-los de forma explícita e direta.
capítulo 1 • 15
Normalmente a enumeração é feita colocando-se todos estes elementos en-
tre chaves e separados por vírgula.
EXEMPLOO conjunto cujos elementos são as vogais do alfabeto:
{a, e i, o, u}
O conjunto cujos elementos são as consoantes:
{b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}
Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elemen-
tos. A mudança na ordem dos elementos não altera o conjunto e os elementos
podem aparecer mais de uma vez no conjunto, fato que também não altera tal
conjunto.
No caso do conjunto das vogais de um alfabeto, tanto faz indica-lo como {a,
e, i, o ,u} ou {e, u, i, o, a}.
1.3.2 Representação através de diagramas de Venn.
Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma
região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não
se entrelaça.
EXEMPLO
a
e
i
o
u
A B
1
2
3
4
16 • capítulo 1
1.3.3 Representação através de uma propriedade
Eventualmente, não é conveniente escrever todos os elementos do conjunto,
principalmente por conta da elevada quantidade de elementos. Neste caso,
podemos descrever tal conjunto por uma propriedade comum a todos os seus
elementos.
A definição de um conjunto pela evidenciação de uma propriedade comum
aos seus elementos consiste em apresentá-los de forma indireta, através de
uma sentença que os defina.
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A,
e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser
descrito por:
A = {x | x tem a propriedade p}
(Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a
propriedade p”.)
EXEMPLOSa) A = {x | x é país da Europa}
O conjunto A é formado por todos os países da Europa
b) B = {x | x é mamífero}
O conjunto B é formado por todos os mamíferos
c) {x | x é um Estado da Região Sudeste do Brasil}
Lê-se: “x” tal que “x” é um Estado da Região Sudeste do Brasil
Repare que este mesmo conjunto poderia ser definido pela enumeração direta dos seus
elementos:
{Rio de janeiro, São Paulo, Espírito Santo, Minas Gerais}
Repare que este mesmo conjunto poderia ser definido pela enumeração direta dos seus
elementos: {Rio de janeiro, São Paulo, Espírito Santo, Minas Gerais}
Axioma da Extensão: Dois conjuntos são iguais se e somente se eles têm os
mesmos elementos.
capítulo 1 • 17
Repare que o Axioma da Extensão nos diz que não se distingue dois conjun-
tos formados pelos mesmos elementos.
EXERCÍCIO RESOLVIDOConstrua o diagrama de Venn dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}:
Resolução:
A
1 5
B
U
4
6
2
3
1.4 Relação de pertinência
Quando estamos trabalhando com conjuntos utilizamos símbolos matemáti-
cos para demonstrar situações e/ou operações entre conjuntos e elementos.
Observe os exemplos:
A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B.
Indicamos estes fatos respectivamente por:
u ∈ A (lê-se “u pertence a A”) e u ∉ B (lê-se “u não pertence a B”)
A relação entre um conjunto e itens que podem ou não estar entre seus ele-
mentos é denominada relação de pertinência.
∈ (pertence) e ∉ (não pertence)
Assim, para indicar que um elemento pertence a um conjunto usa-se o
símbolo∈.
Para indicar que um elemento não pertence a um conjunto usa-se o símbolo ∉.
18 • capítulo 1
Assim, a relação de pertinência indica se um dado elemento pertence ou
não a um determinado conjunto. Quando utilizamos a relação de pertinência,
estamos relacionando um elemento a um conjunto, nesta ordem.
“elemento” ∈ “conjunto” ou “elemento” ∉ “conjunto”
Podemos dizer que um elemento pertence a um conjunto se ele está listado,
se é “visualizado” no conjunto.
EXEMPLOConsidere o conjunto A={0; 2; 4; 6; 8} . Podemos dizer que:
2 ∈ A : O elemento 2 pertence ao conjunto A.
3 ∉ A O elemento 3 não pertence ao conjunto A.
1.5 Tipos de conjuntos
1.5.1 Conjunto unitário
Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
EXEMPLOa) C = {5}
b) B = { x | x é estrela do sistema solar}
1.5.2 Conjunto vazio
Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento, ou seja, é definido de
tal maneira que não é possível encontrar qualquer elemento que pertença a ele.
Um conjunto vazio é representado pelos símbolos Ø ou { }.
capítulo 1 • 19
EXEMPLO
a) D = {x | x é número e x . 0 = 5} = Ø
b) E = {x | x é computador sem memória} = { }
c) {x | x é um número ímpar múltiplo de 4}, pois não existe múltiplo de quatro que seja ím-
par, uma vez que quatro é um número par, que multiplicado por qualquer outro inteiro resulta
em um número par.
ATENÇÃOQuando os símbolos { } ou Ø aparecerem dentro de um conjunto, listados, visíveis, o conjunto
vazio deve ser tratado como elemento desse conjunto.
EXEMPLOConsidere o conjunto A={ Ø ,1, 2, 3}.
Temos que Ø ∈ A , pois Ø é um elemento do conjunto A.
1.5.3 Conjunto finito
Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim” da contagem de
seus elementos.
EXEMPLOa) B = {1, 2, 3, 4}
b) D = {x | x é brasileiro}
c) H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}
20 • capítulo 1
1.5.4 Conjunto infinito
Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais
chegaremos ao “fim” da contagem.
EXEMPLOa) N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b) A = { x ∈ N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}
1.5.5 Conjuntos Iguais
Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos.
Pode-se, na realidade, dizer que representam o mesmo conjunto, ainda que de-
nominados de maneira distinta.
EXEMPLOa) Considere os conjuntos A e B assim definidos.
A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e} e
B é o conjunto das letras da palavra “reta”: B = {r, e, t, a}.
Temos que A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a
ordem em que os elementos foram escritos.
b) o conjunto dos jovens brasileiros do sexo masculino que completam 18 anos este ano
e o conjunto de jovens brasileiros que devem fazer o alistamento militar obrigatório este ano
são, na verdade, o mesmo conjunto. São iguais, pois possuem os mesmos elementos, ainda
que denominados de maneira distinta.
1.5.6 Conjuntos Diferentes.
Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B (lê-se “A é diferente de B”).
capítulo 1 • 21
1.5.7 Conjunto Universo (U)
O conjunto universo contém todos os elementos que possam vir a pertencer a
conjuntos definidos no contexto considerado, é o conjunto que possui todos os
elementos com os quais se deseja trabalhar.
EXEMPLOa) Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo
considerado.
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta o
conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}.
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares, teremos como con-
junto solução S = {0, 2, 4}.
b) O conjunto formado pelos brasileiros com mais de 65 anos e o conjunto formado pelos
que deveriam fazer o alistamento militar em determinado ano são conjuntos definidos a partir
de um grupo mais amplo, composto por toda a população brasileira.
A população brasileira, portanto, forma um grupo geral, universal, a partir do qual po-
demos definir conjuntos menores. Por isso, no contexto da criação de conjuntos formados
por grupos de indivíduos da população brasileira, o conjunto formado por toda a população
pode ser considerado como o conjunto Universo a partir do qual, no contexto de indivíduos
que a formam, pode-se criar conjuntos menores e formados por indivíduos com determinada
característica.
O conjunto Universo é simbolizado pela letra U.
No contexto das letras que compõe o alfabeto de um idioma, podemos definir como Uni-
verso o conjunto que contém todas as letras do alfabeto, vogais e consoantes, apresentado
a seguir.
{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}
22 • capítulo 1
1.5.8 Conjuntos Disjuntos
Dois conjuntos são chamados disjuntos quando não possuem nenhum ele-
mento em comum. Ou seja, não é possível encontrar um elemento que perten-
ça, ao mesmo tempo, aos dois conjuntos.
EXEMPLOa) Consideremos os conjuntos apresentados anteriormente, sendo o primeiro formado por
idosos e o segundo formado por pessoas que deverão fazer o alistamento militar no presente
ano. Não existe elemento comum a estes dois conjuntos, consequentemente os mesmos
são disjuntos.
b) Considere os conjuntos das vogais e das consoantes de um alfabeto. Como não existe
uma letra que seja, simultaneamente, uma vogal e uma consoante, pode-se afirmar que estes
dois conjuntos são disjuntos.
1.6 Subconjunto
1.6.1 Conceito
A relação de inclusão relaciona conjuntos, indicando se um conjunto está con-
tido ou não em um outro conjunto. Se todos os elementos de um conjunto A
pertencerem a outro conjunto B, então o conjunto A está contido no conjun-
to B. Se um único elemento do primeiro conjunto A não pertencer ao segundo
conjunto B, temos que o conjunto A não estará contido no conjunto B.
EXEMPLOConsidere o conjunto das letras do nosso alfabeto:
A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y, z}
Temos que A é formado pelo conjunto de vogais (V) e pelo conjunto de consoantes (C).
V = {a, e, i, o, u}
C = { b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, x, y, z}
capítulo 1 • 23
O conjunto das vogais é um subconjunto do conjunto das letras do nosso alfabeto.
Simbolicamente, temos
V ⊂ A ( lê-se: V está contido em A)
ou
A ⊃ V (lê-se: A contém B)
Um subconjunto de um conjunto é qualquer outro conjunto cujos elementos são, neces-
sariamente, elementos do conjunto original.
1.6.2 Definição formal.
Assim, sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somen-
te se, todo elemento de A pertence a B.
Indica-se que A é subconjunto de B por: A ⊂ B (lê-se “A está contido em B”),
ou ainda, por B ⊃ A (lê-se “B contém A”).
A ⊂ B(∀ x) (x ∈ A → x ∈ B)
Para todo x, se x pertence a A, então x pertence a B.
A
B
EXEMPLOa) Consideremos o conjunto B, formado por todos os brasileiros. Com os elementos de B
podemos formar o conjunto A, dos homens brasileiros, e o conjunto C, das mulheres brasilei-
ras. Dizemos que os conjuntos A e C são subconjuntos de B.
b) Considere o conjunto de jovens brasileiros que farão o alistamento militar obrigatório
este ano. Este é um subconjunto do conjunto de jovens brasileiros que completam 18 anos
de idade no presente ano.
24 • capítulo 1
c) {2, 5, 3} ⊂ {2, 5, 3, 8, 9}
d) {6, 9, 6, 5} ⊃ {9, 6}
e) {2, 8} ⊂ {2, 8}
1.6.3 Propriedades
1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: ∅ ⊂ A, ∀ A.
EXEMPLOa) ∅ ⊂ {1, 2, 3}
b) ∅ ⊂ ∅
2. O conjunto A está contido no próprio A, isto é, todo conjunto é subcon-
junto de si mesmo.
A ⊂ A, ∀ A
3. Todo conjunto é um subconjunto do conjunto Universo, no contexto
considerado.
Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se:
A ⊄ B ( lê-se “A não está contido em B”) ou B A ( lê-se “B não contém A”)
EXEMPLO(a) {a, b, c} ⊄ {a, b, d}
ATENÇÃO
1 – A relação de inclusão (⊂) é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B com
um conjunto A que contém B: B ⊂ A.
capítulo 1 • 25
2 – A relação de pertinência (∈) é usada exclusivamente para relacionar um elemento x com
um conjunto A que possui x como elemento: x ∈ A.
1.7 Conjunto cujos elementos são conjuntos
Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos. Considere, por
exemplo, o conjunto:
P = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
∅ é elemento de P e, portanto, escrevemos ∅ ∈ P. Além disso, temos tam-
bém que
{a} ∈ P, {b} ∈ P, {a, b} ∈ P.
Vejamos alguns subconjuntos de P:
{∅} ⊂ P: Todos os elementos de {∅}, no caso só há o elemento ∅, é ele-
mento de P.
{{a}} ⊂ P: Todos os elementos de {{a}}, no caso só há o elemento{a}, é
elemento de P.
{{a, b}} ⊂ P: Todos os elementos de {{a, b}}, no caso só há o elemen-
to{a,b}, é elemento de P.
{{a}, {b}} ⊂ P: Todos os elementos de {{a}, {b}} , no caso os elementos {a}
e {b}, são elementos de P.
1.8 Conjunto das partes de um conjunto
Considere o conjunto A = {1, 2}. Vamos escrever os subconjuntos de A:
• com nenhum elemento: ∅• com um elemento: {1}, {2}
• com dois elementos: {1,2}
26 • capítulo 1
Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, e indica-se por P(A) (lê-
se P de A) ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
EXEMPLOa) No exemplo acima,
P(A) = {∅, {1}, {2}, {1,2}}.
b) Dado um conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B):
P(B) = {∅, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}
Observe que, no primeiro exemplo (a), o conjunto A tem dois elementos e obtivemos P(A)
com 4 (22) elementos, isto é, A tem 4 subconjuntos.
No segundo exemplo (b), B tem três elementos e obtivemos 8 (23) subconjuntos.
De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, o números de elementos de P(A) é 2n.
Exemplo:
Se A = {2, 4, 7, 9, 3}, então P(A) terá 25 = 32 elementos.
EXERCÍCIO RESOLVIDODetermine os 32 subconjuntos do conjunto cujos elementos são as vogais do alfabeto.
Resolução:
{ }, {a}, {e}, {i}, {o}, {u}, {a, e}, {a, i}, {a, o}, {a, u},
{e, i}, {e, o}, {e, u}, {i, o}, {i, u}, {o, u}, {a, e, i}, {a, e, o}, {a, e, u}, {a, i, o},
{a, i, u}, {a, o, u}, {e, i, o}, {e, i, u}, { e, o, u}, {i, o, u}, {a, e, i, o}, {a, e, i, u}, {a, i, o, u}, {e, i, o, u}, {a,
e. i. o. u}`
capítulo 1 • 27
1.9 Operações com conjuntos
Quando se fala em “operações”, lembramos de operações entre números: adição,
subtração, divisão, multiplicação. Podemos também, e muitas vezes precisamos,
operar conjuntos. As operações definidas sobre conjuntos resultarão sempre em
outro conjunto no mesmo contexto em que os conjuntos originais foram definidos.
1.9.1 Número de elementos de um conjunto
O número de elementos de um conjunto é definido como a quantidade de ele-
mentos que este conjunto possui. Em conjuntos pequenos, este número pode
ser obtido por simples contagem. Em conjuntos maiores (mas não infinitos),
deve-se estabelecer, quando possível, uma expressão matemática que permita
obter este número.
1.9.2 Interseção de conjuntos (∩)
Dados dois conjuntos A e B, definimos a intersecção de A com B como o con-
junto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B.
A intersecção entre A e B é indicada por A ∩ B (lê-se ”A intersecção B”).
Simbolicamente:
A ∩ B = {x /| x ∈ A e x ∈ B}
EXEMPLOa)
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {3, 5, 8, 9}
A ∩ B = {3, 5, 8}
b)
A = {3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
A ∩ B = {3, 5} = A
c)
A = {2, 3, 5}
B = {4, 6}
A ∩ B = ∅
Propriedades da interseção de conjuntos:
I. B ⊂ A ⇔ A ∩ B = B, ∀ A, B
II. A ∩ B = B ∩ A, ∀ A, B
III. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), ∀ A, B, C
28 • capítulo 1
Caso estes conjuntos sejam disjuntos sua interseção será um conjunto vazio.
Nos diagramas de Venn a seguir, representamos a interseção entre dois conjuntos A e
B hachurada:
A B A B AB
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Faça o diagrama de Venn que representa a interseção entre três conjuntos A, B e C;
Solução:
A
B
C
1.9.3 União (ou reunião) de conjuntos (∪)
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B ao con-
junto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
A união de dois ou mais conjuntos é um conjunto cujos elementos per-
tencem a pelo menos um dos conjuntos. Observe que os elementos podem
capítulo 1 • 29
inclusive pertencer a mais de um conjunto ou, até mesmo a todos os conjuntos
cuja união se deseja obter.
A união de A com B é indicada por A ∪ B (lê-se ”A união B”).
Simbolicamente:
A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}
EXEMPLOa)
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {3, 5, 8, 9}
A ∪ B = {2, 3, 5, 6, 8, 9}
b)
A = {3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} = B
c)
A = {2, 3, 5}
B = {4, 6}
A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}
Propriedades da união de conjuntos:
I. B ⊂ A ⇔ A ∪ B = A, ∀ A, B
II. A ∪ B = B ∪ A, ∀ A, B
III. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), ∀ A, B, C
Nos diagramas de Venn a seguir, representamos a união de dois conjuntos A e B ha-
churada:
A B A B AB
30 • capítulo 1
EXERCÍCIO RESOLVIDOFaça o diagrama de Venn que representa a união entre três conjuntos A, B e C;
Solução:
A
B
C
1.9.4 Diferença de conjuntos (–)
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B ao conjunto forma-
do pelos elementos de A que não pertencem a B.
Assim, a diferença entre dois conjuntos é definida como sendo o conjunto
cujos elementos pertencem ao primeiro conjunto, mas não ao segundo.
A diferença entre A e B é indicada por A – B (lê-se ”A menos B”).
Simbolicamente:
A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}
EXEMPLO
a)
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {3, 5, 8, 9}
A – B = {2, 6}
B – A = {9}
capítulo 1 • 31
b)
A = {3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
A – B = { } = ∅
B – A = {2, 4, 6}
c)
A = {2, 3, 5}
B = {4, 6}
A – B = {2, 3, 5} = A
B – A = {4, 6} = B
d) Considere dois conjuntos, sendo o primeiro formado por todos os jovens brasileiros que
completam 18 anos de idade neste ano, e o segundo formado pelos jovens que devem fazer
o alistamento militar obrigatório este ano. É fácil verificar que o primeiro conjunto, que reúne
todos os homens e mulheres que completam 18 anos este ano, contém todos os elementos
do segundo conjunto – composto por todos os jovens do sexo masculino que completam 18
anos no presente ano.
Logo, a diferença entre o primeiro e o segundo conjuntos fornece como resultado um
terceiro conjunto, formado por jovens brasileiros do sexo feminino que completam 18 anos
de idade no presente ano.
e) Por outro lado, a diferença entre o segundo e o primeiro conjuntos fornece como resul-
tado o conjunto vazio. Repare, como ilustrado por este exemplo, que para obter a diferença
entre dois conjuntos não é necessário que o primeiro conjunto contenha todos os elementos
do segundo conjunto.
Nos diagramas de Venn a seguir, representamos a diferença entre dois conjuntos A e B
hachurada:
A-B
A B A B AB
32 • capítulo 1
Propriedades da diferença de conjuntos:
I. B ⊂ A ⇔ B – A = ∅, ∀ A, B
II. A ∩ B = ∅ ⇔ B – A = B, ∀ A, B
III. A ≠ B ⇔ (A – B) ≠ (B – A) , ∀ A, B
1.9.5 Conjunto complementar (C)
O complemento de um conjunto A em relação a outro conjunto B é um con-
junto C, formado pelos elementos que pertencem ao conjunto B, mas não ao
conjunto A, e desde que A seja um subconjunto de B.
Assim, se A e B são conjuntos tais que A ⊂ B, então a diferença B – A é chama-
da complementar de A em B.
O complementar de A em B é indicado por CB A (lê-se “complementar de A
em B).
Simbolicamente:
CB A = B – A = {x | x ∈ B e x ∉ A}, onde A ⊂ B
EXEMPLOa)
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {3, 5, 8, 9}
Como A ⊄ B, então não existe CB A
b)
A = {3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
Existe CB A , pois A ⊂ B. CB A = {2, 4, 6}
c) O complemento do conjunto de jovens brasileiros obrigados a fazer o alistamento militar
no presente ano (conjunto A) com relação ao conjunto dos jovens brasileiros que completam
18 anos no presente ano (conjunto B), é o conjunto dos jovens brasileiros do sexo feminino
que completam 18 anos no presente ano (conjunto C).
capítulo 1 • 33
d) O complemento do conjunto de vogais de um alfabeto (conjunto A) com relação ao con-
junto de todas as letras do alfabeto (conjunto B), é o conjunto de consoantes deste mesmo
alfabeto (conjunto C).
Complementar de A em relação a um universo
Quando tivermos um conjunto universo previamente fixado, indicaremos o complementar
de A em relação a U simplesmente por A’ (ou A ) no lugar de CU A.
Propriedades do complementar:
I. CA A = ∅, ∀ A
II. CA ∅ = A, ∀ A
III. (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ , ∀ A, B
IV. (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ , ∀ A, B
Nota: As propriedades III e IV são conhecidas como “leis de De Morgan”.
Outra forma de se obter o complemento de um conjunto A em relação a outro conjunto
B consiste em se obter a diferença entre os conjuntos B e A, desde que A seja um subcon-
junto de B.
No diagrama de Venn a seguir, representamos o complementar do conjuntos A em rela-
ção ao Universo hachurada:
U
A
1.9.6 Número de elementos da união de conjuntos
O número de elementos da união de dois conjuntos A e B será:
n(A∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
34 • capítulo 1
Considere o Diagrama de Venn representando os conjuntos A e B e seus
elementos.
A
X Y Z
B
n (A) = x + y
n (B) = y + z
n (A∪ B) = x + y + z .
Repare que, se somarmos o número de elementos do conjunto A (x + y) com
o número de elementos do conjunto B (y+z), os elementos da interseção (y) se-
rão contados duas vezes, por isso precisamos retirar o número de elementos da
interseção (y), quando estamos calculando o número de elementos da união.
1.9.7 Propriedades das Operações entre Conjuntos
a) Fechamento
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a união de A e B (A ∪ B) e a interse-
ção de A e B (A ∩ B) ainda são conjuntos no mesmo universo.
b) Associativa
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, vale a propriedade associativa
em relação a união e em relação a interseção.
A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ CA ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C
c) Comutativa
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, vale a propriedade comutativa em
relação a união e em relação a interseção.
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
capítulo 1 • 35
d) Elemento neutro para a operação de união entre conjuntos
O conjunto vazio é o elemento neutro das operações de união entre conjun-
tos. De fato:
A∪ ∅ = A
(e) Elemento neutro para a operação de interseção entre conjuntos
O conjunto universo é o elemento neutro das operações de interseção entre
conjuntos. De fato:
A ∩ U=A
f) Distributiva
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, têm-se:
A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
EXERCÍCIO RESOLVIDO01. Faça o Diagrama de Venn representativo dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}
e enumere os conjuntos:
a) L = A U B b) M = A ∩ B c) N = A – B d) O = B – A
Resolução
A
1 5
B
U
4
6
2
3
a) L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) M = {2, 3}
36 • capítulo 1
c) N = {1}
d) O = {4, 5, 6}
02. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Preencha os
campos abaixo com a simbologia adequada:
a) 3___A
b) 7___C
c) A___B
d) B___C
e) C___A
f) C___B
Resolução.
a) 3 ∈ A
b) 7 ∉ C
c) A ⊄ B
d) B ⊄ C
e) C ⊃ A
f) C ⊄ B
03. Descreva o conjunto das partes do conjunto A = {2, 5, 7}:
Resolução.
P(A) = {Ø, {2}, {5}, {7}, {2, 5}, {2, 7}, {5, 7}, {2, 5, 7}}
04. Faça o diagrama dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e C = {11,
12, 13} e escreva por extenso
a) X = A U B
b) Y = A ∩ B
c) Z = A U C
d) W = A ∩ C
e) P CBA=
f) U CAB=
g) K = (A U C) – B
h) T = B – (A ∩ C)
capítulo 1 • 37
Resolução.
B
CA
1113
6
8
75
24
12
13
U
Resolução
a) X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
b) Y = A
c) Z = {1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13}
d) W = { }
e) P = {6, 7, 8}
f) U = { }
g) K = C
h) T = B
05. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, {1,2}, 3, {3,4}}, assinale V para as afirmativas verdadeiras
e F para as falsas.
( ) ∅ ∈ A
( ) 4 ∈ A
( ) { } ⊂ A
( ) {{1,2}} ⊂ A
( ) {3,4} ⊂ A
Resolução.
(F) ∅ ∈ A (conjunto vazio está contido, pois a relação é de inclusão).
(F) 4 ∈ A (4 não é um elemento isolado de A).
(V) { } (conjunto vazio está contido em todos os conjuntos).
(V) {{1,2}} ⊂ A (é um dos subconjuntos de A com um elemento).
(F) {3,4} ⊂ A (é um elemento único de A, logo a relação é de pertinência).
38 • capítulo 1
06. (FATEC) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe influenza A, a Anvisa
(Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os voos procedentes do Reino
Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma equipe da agência e
por médicos da Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero).
Inicialmente, apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram inspecio-
nados. A decisão foi tomada durante reunião da Anvisa com representantes das companhias
aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional
de Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo.
Disponível em: <http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5772u3774.jhtm>.
Acesso em: 09. mai 2009. Adaptado
UP A
M
Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou que entre todas as pessoas a bor-
do (passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do México.
No diagrama, U representa o conjunto das pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto
dos passageiros; M o conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade do México e A
o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A. Considerando verdadeiro esse
diagrama, conclui-se que a região sombreada representa o conjunto das pessoas que, de
modo inequívoco, são aquelas caracterizadas como
(A) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.
(B) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
(C) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
(D) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.
(E) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
Resolução:
A região sombreada no Diagrama de Venn não pertence ao conjunto P, dos passageiros,
assim, esta região não representa passageiros, mas sim tripulantes.
capítulo 1 • 39
Observe que essas pessoas estão dentro do conjunto A e do conjunto M, então, a região
sombreada representa tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do Mé-
xico (alternativa C).
07. (PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou
que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e auto-
móvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?
Resolução
C A N
8%9% 14% x
Lembrando que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então
9% + 8% + 14% + x = 100 %.
31% + x = 100%.
O percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.
08. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Se-
nhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada
1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora;
200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e
Helena; 20 leram as três obras; Calcule:
a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.
Resolução:
M H
S
N
270
130 80
120180
20
70 x
40 • capítulo 1
Sempre começamos indicando o número de elementos da interseção.
Não esqueça de descontar os elementos da interseção, caso contrário, estaremos con-
tando os elementos em duplicata.
200 – 20 = 180
150 – 20 = 130
100 – 20 = 80
600 – 180 – 20 – 130 = 270
400 – 180 – 20 – 80 = 120
300 – 130 – 20 – 80 = 70.
270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870
a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 – 870 = 130
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410
09. Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se
que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e
3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de apare-
lhos que apresentavam somente problemas de imagem é:
a) 4 000
b) 3 700
c) 3 500
d) 2 800
e) 2 500
Resolução:
I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem,
S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e
N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado.
I SN
x4000 – x 2800 – x 3500
capítulo 1 • 41
4000 – x + x + 2800 – x + 3500 = 10000,
onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois proble-
mas citados.
Temos então que x = 10300 – 10000 = 300.
O número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem será
4000 – x = 4000 - 300 = 3700.
10. (PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV fa-
voritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas
assistem a esses programas.
PROGRAMAS E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum
NÚMERO DE TE-LESPECTADORES
400 1220 1080 220 180 800 100 x
Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não
assistem a qualquer dos três programas é:
a) 200
b) os dados do problema estão incorretos
c) 900
d) 100
Resolução:
Começando sinalizando no diagrama de Venn a interseção, que tem 100 elementos.
E N
H
Nenhum
x200
120100 300
700100
80
100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800.
1600 + x = 1800.
42 • capítulo 1
O número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas
é:
x = 1800 – 1600 = 200.
Assim, (A) é a opção correta
1.10 Conjuntos numéricos
Os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números
que possuem características semelhantes.
Inicialmente será apresentado o conjunto dos números naturais, o mais
simples e intuitivo, e o primeiro a ser utilizado pelo ser humano, ainda que de
uma maneira intuitiva.
Em seguida serão apresentados, nesta ordem, os conjuntos dos números
inteiros, racionais, irracionais e reais.
1.11 Números naturais
1.11.1 Conceito
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade primária de contagem
pela civilização humana. Dizem os historiadores que a ideia da contagem teve
início quando pastores de ovelhas precisavam conferir se a quantidade de ove-
lhas que levavam para pastorear era a mesma quantidade que retornava.
Desta forma, para cada uma das ovelhas que saía do cercado onde eram con-
finadas o pastor colocava uma pedra em um pequeno saco de pano. Quando
retornavam, a cada ovelha que reingressava no cercado ele retirava uma pedra
do saquinho. Esta era uma forma de controle, mesmo que os algarismos numé-
ricos ainda não houvessem sido definidos.
capítulo 1 • 43
Percebe-se, no entanto, que uma contagem de objetos animados ou inani-
mados sempre começa em um e é sempre positiva. E a ausência de qualquer
quantidade representa a ausência de objetos, ou nenhum objeto.
Os números naturais são capazes de definir estas quantidades e formam
um conjunto simbolizado pela letra N.
N = {0, 1, 2, 3, 4,...}
1.11.2 Propriedades do conjunto dos números naturais
Com relação ao conjunto dos números naturais, (N) são válidas as seguintes
propriedades:
• Cada número possui um sucessor, que no processo de contagem repre-
senta uma unidade a mais na contagem de objetos.
• O número de elementos deste conjunto é infinito, pois para qualquer nú-
mero natural, sempre se pode definir o seu sucessor.
1.11.3 Operações sobre o conjunto dos números naturais.
Definimos as operações de adição e multiplicação sobre o conjunto dos núme-
ros naturais.
ADIÇÃO
A soma de dois números a e b, representada por a
+ b, é um terceiro número c, de tal maneira que, no
processo de contagem, o número de objetos repre-
sentados por c resulte da reunião de todos os objetos
representados por a e por b.
Assim, a quantidade de objetos representados por c
resulte da quantidade de objetos resultante da reunião
de todos os objetos representados por a e por b.
Exemplo: Se a = 2 e b= 3 então c = a + b = 5.
44 • capítulo 1
MULTIPLICAÇÃO
A multiplicação consiste numa operação repetida da
operação de adição. Pode-se representar a adição de
duas vezes um mesmo número a, indicada por a + a,
como 2 * a. A adição de três vezes um mesmo número
por 3 * a e assim por diante...
A multiplicação pode, portanto, ser considerada como
uma forma compacta de se representar a adição repe-
tida de um mesmo número.
1.11.4 Propriedade das operações sobre o conjunto dos números naturais
São válidas as seguintes propriedades com relação às operações entre números
naturais:
• Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c)
• Comutativa da adição: a + b = b + a
• Elemento neutro da adição: a + 0 = 0 + a = a
• Associativa da multiplicação: (a * b) * c = a * (b * c)
• Comutativa da multiplicação: a * b = b * a
• Elemento neutro da multiplicação: a * 1 = 1 * a = a
EXEMPLOa) Exemplos atuais de uso dos números naturais em processos de contagem são o censo
demográfico populacional – quando se determina o número de habitantes em uma região, a
contagem de veículos em uma rodovia e a de passageiros que usaram um ônibus (contagem
esta processada por uma roleta).
b) Os números naturais também podem ser usados para medir distâncias em uma de-
terminada direção, sendo esta distância medida através de uma quantidade positiva de um
valor usado como padrão de medida – como, por exemplo, um certo número de passos de
tamanho fixo de uma pessoa.
capítulo 1 • 45
Um subconjunto importante de N é o N*: N* = {1; 2; 3; 4; 5; ...} ou N* = N - { 0 }.
As operações de adição e multiplicação são fechadas em N, ou seja, pode-
mos sempre efetuar a adição e a multiplicação, e a soma e o produto de dois
números naturais resultam sempre em um número natural.
No entanto, repare que a divisão ou subtração entre dois números naturais
nem sempre é um número natural. Por exemplo, a subtração 2 -3, não é possível
em N. Desta forma, surge a necessidade de ampliar o conjunto dos naturais,
introduzindo os números negativos.
1.12 Números inteiros
1.12.1 Conceito
O conjunto dos números inteiros expande os números naturais, incorporando
números negativos.
O conjunto dos números inteiros surgiu da necessidade de se considerar,
em transações comerciais, ainda que de forma primitiva, uma representação
de débito ou falta de uma determinada quantidade, uma forma de controlar
seus pertences, valores ou objetos sob sua guarda.
EXEMPLOa) Em análises contábeis, por exemplo, há a necessidade de se lançar um débito (ou
gasto) de uma forma diferente da usada para se lançar um crédito (Na contabilidade das
empresas, por exemplo, há necessidade de controlar o patrimônio investido nos negócios,
analisando seus acréscimos e reduções).
b) Em uma conta bancária, quando um correntista faz uma retirada superior ao saldo dis-
ponível na conta, fica em débito com o banco (admitindo-se que o banco lhe ofereça este
tipo de crédito).
O conjunto Z dos números inteiros, portanto, é composto de quantidades
positivas e negativas e é simbolizado pela letra Z:
Z = {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
46 • capítulo 1
Além das operações de adição e multiplicação, os números inteiros permi-
tem a inclusão de mais uma operação, chamada de subtração.
Sejam a e b dois números inteiros. A subtração é definida da seguinte
maneira:
a – b = c, ou seja, permite uma operação inversa fornecendo como resultado
um terceiro número inteiro c, de tal maneira que a = b + c. Repare que esta ope-
ração não seria definida no conjunto dos números naturais, se b for maior que a.
Pode-se interpretar o valor de c como sendo o “troco” a ser dado por um
cobrador de ônibus a um passageiro que paga uma passagem de valor b com
uma quantia maior a. É muito comum que o cobrador, para conferir o troco,
adicione a este o valor da passagem, comparando o valor obtido com a quantia
entregue pelo passageiro (que devem ser iguais).
1.12.2 Subconjuntos de destaque
Alguns subconjuntos do conjunto dos inteiros merecem destaque:
– Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}, conjunto dos inteiros não negativos.
– Z– = {...,-4, -3, -2, -1, 0}, conjunto dos inteiros não positivos.
– Z*+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}, conjunto dos inteiros positivos.
– Z*– = {...,-4, -3, -2, -1, 0}, conjunto dos inteiros negativos.
Com a inclusão dos números negativos surge o conceito de oposto ou simé-
trico de um número inteiro a, indicado por –a, tal que a + (–a) = 0.
Podemos encarar os números inteiros geometricamente como:
–3 –2 –1 0 1 2 3
Note que há uma simetria em relação ao zero.
O oposto ou simétrico de 2 é –2 e o oposto ou simétrico de –2 é o 2 e vale a
operação 3 + ( - 3) = -3 + 3 = 0.
capítulo 1 • 47
1.12.3 Operando em Z
O conjunto dos números inteiros é fechado em relação a adição, multiplicação
e subtração, isto é, em Z, a soma, o produto e a diferença de dois números intei-
ros resultam sempre um número inteiro.
Além disso, todas as propriedades das operações em N continuam válidas
em Z.
ADIÇÃO EM Z
Quando os números têm o mesmo sinal basta conser-
var o sinal e adicionar os números; quando os sinais
são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal
que prevalece é o do maior número.
O sinal mais (+) antes de um parêntese não alterará o
sinal do número que está entre parênteses, no entanto,
quando o sinal antes do parêntese for o de (–), altera-
mos o sinal do número que está entre parênteses.
Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará
implícito que o sinal será o de mais (+).
MULTIPLICAÇÃO EM Z
Quando multiplicamos números de mesmo sinal obte-
mos sempre resultado positivo, enquanto que quando
multiplicamos números de sinais contrários obtemos
como resultado números negativos.
DIVISÃO EM Z
A divisão de dois números inteiros nem sempre resulta
um número inteiro.
Exemplos:
A divisão (-8) : (+2) = -4 é possível em Z.
Já a divisão (-7) : (+2) não é possível em Z.
Dessa forma, observamos a necessidade de ampliar o
conjunto Z.
48 • capítulo 1
1.13 NÚMEROS RACIONAIS
1.13.1 Conceito
Considere uma pizza circular dividida em oito partes iguais, das quais são
retiradas duas partes. A mesma quantidade seria selecionada caso a pizza fosse
dividida em quatro partes, das quais fosse selecionada uma única parte.
Este conceito pode ser estendido para qualquer razão entre dois números
inteiros, positivos ou negativos, de tal maneira que para qualquer par de núme-
ros inteiros a e b, b ≠ 0, a / b representa uma fração ou elemento do conjunto dos
números racionais, simbolizado pela letra Q. Nesta fração, a e b são chamados,
respectivamente, de numerador e denominador da fração.
Os números racionais representam, portanto, um conjunto de números da
forma a / b que inclui, inclusive, o conjunto dos números inteiros (bastando
que se faça b = 1).
1.13.2 Propriedades dos números racionais.
Os números racionais apresentam as propriedades apresentadas a seguir:
• Igualdade: ab
cd
ad bc= ↔ =
• Soma: ab
cd
ad bc
bd+ =
+
• Subtração: ab
cd
ad bc
bd− =
−
• Multiplicação: ab
cd
acbd
⋅ =
• Inverso multiplicativo: O inverso multiplicativo de ab
é o número ba
O inverso multiplicativo de ab
é o número cd
de tal forma que: ab
cd
⋅ = 1 .
Dessa forma, cd
ba
=
Exemplo: O inverso multiplicativo de 3/5, por exemplo, é 5/3.
capítulo 1 • 49
1.13.3 Frações
As frações usadas para representar os números racionais podem ser classifica-
das como:
• própria: Quando o numerador é menor que o denominador. Exemplo: 2/3
• imprópria: Quando o numerador é maior que o denominador. Exemplo: 5/3
• mista: Quando constituída por uma parte inteira e uma fracionária.
Exemplo: 2 2/3 = 8/3
• aparente: Quando o numerador é múltiplo do denominador. Exemplo:
6/3 = 2
• equivalentes: São aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fra-
ção. Exemplo: 2/3 = Exemplo: 2/3 = 4/6
• irredutível: Quando o numerador e o denominador são primos entre si,
não permitindo simplificação. Exemplo: 2/3
• decimal: Quando o denominador é uma potência de 10. Exemplo: 100/3
1.13.4 Forma fracionária e forma decimal.
Definimos os números racionais como aqueles que podem ser escritos sob a
forma de fração. Pois bem, dessa forma, precisaremos trabalhar com frações,
ou seja, precisaremos transformar um número decimal, um número inteiro,
uma dízima periódica em número fracionário.
Os números decimais originam-se nas frações decimais (são aquelas cujo
denominador é uma potência de 10).
Exemplos de frações decimais: 1/10, 3/100, 23/103
Exemplo. A fração 1/2 equivale à fração 5/10, que, por sua vez, equivale ao
número decimal 0,5.
Podemos representar uma fração decimal por um número decimal, isto é,
um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma
vírgula.
Exemplo: 127/100 = 1,27
50 • capítulo 1
Podemos também transformar um número decimal em uma fração decimal.
Basta tomarmos como numerador o número decimal sem a vírgula e como
denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas de-
cimais do número dado.
Exemplos:
a) 0,5 = 5/10
b) 0,05 = 5/100
c) 2,41 = 241/100
d) 7,345 = 7345/1000
e) 0,3=3/10
f) 0,25 = 25/100 = ¼
g) –0,75 = -75/100 = -3/4
Até agora, vimos números decimais com finitas ordens decimais ou de ex-
tensão finita. Repare que estes números têm a forma a/b com a e b sendo nu-
meros inteiros e b ≠ 0.
As dizimas periódicas simples ou compostas são números decimais com in-
finitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica.
Exemplos:
a) 1/3 = 0,333...
b) 4/11 = 0,363636...
c) 23/90 = 0,2555...
Repare que as dizimas periódicas também têm a forma a/b com a e b sendo
numeros inteiros e b ≠ 0.
1.14 Números irracionais
1.14.1 Conceito
O surgimento dos números irracionais teve origem em uma discussão de um
antigo problema de Pitágoras, sobre o cálculo da diagonal de um quadrado de
lado 1. Esta diagonal mede 2 .
capítulo 1 • 51
Os números irracionais (I) formam um conjunto de valores que não podem
ser expressos na forma de uma fração. Estes números formam um conjunto
cuja interseção com o conjunto dos números racionais Q é o conjunto vazio,
pois os elementos do conjunto dos números racionais podem ser expressos na
forma de uma fração.
A necessidade de calcular o comprimento de uma circunferência eviden-
ciou também a existência de um número que se repetia para qualquer que
fosse a circunferência, número este denominado de número pi (π). O núme-
ro π é um exemplo de número irracional. Ele representa a divisão entre o pe-
rímetro de uma circunferência e o seu diâmetro, com o valor aproximado de
3,14159265359
A parte decimal dos números irracionais não possui nenhuma estrutu-
ra que possa ser fundamentada em forma de fração, como ocorre em frações
periódicas.
1.14.2 Exemplos de números irracionais
Número Pi: π =3,141592653589793284...
Número de Ouro: ϕ = 1,61803398874989...Constante de Euler: e = 2,7182818...
2 = 1,4142135623730950488016887242097...3 = 1,7320508075688772935274463415059...
Nunca saberemos o valor da última casa decimal destes números irracionais.
Os números irracionais são aqueles que, sob sua forma decimal, são núme-
ros decimais infinitos e não periódicos, ou seja, possuem infinitas casas deci-
mais nas quais não há um período de repetição.
1.15 Números reais
Os números reais formam um conjunto numérico que compreende os núme-
ros racionais e irracionais.
Sobre este conjunto estão definidas as operações de adição, subtração, mul-
tiplicação e divisão.
52 • capítulo 1
1.15.1 Propriedades dos Números Reais
Para os números reais podemos definir ainda as propriedades denominadas lei
do cancelamento e lei do anulamento:
a) Leis de cancelamento da soma e do produto
Se a + c = b + c então a = b
Se a * c = b * c, sendo c ≠ 0 então a = b
b) Lei de anulamento do produto
Se a * b = 0 então a = 0 ou b = 0.
1.15.2 Intervalos Numéricos
Os números reais podem ser representados sobre uma reta com as seguintes
características:
• Apresentar um ponto especial, denominado origem, a partir do qual se
define uma orientação positiva (convencionada como sendo para a direita).
• A cada ponto desta reta está associado um número real, que define a dis-
tância deste ponto à origem e seu sentido (positivo ou negativo).
Ainda sobre esta reta podem ser definidos intervalos numéricos com as se-
guintes características:
a) Intervalo aberto definido pelos números reais a e b, sendo b > a: Neste
intervalo, simbolizado por ]a, b[, estão definidos todos os números reais que
são maiores que a e menores que b.
a b
b) Intervalo semiaberto à direita (ou semifechado à esquerda) definido pe-
los números reais a e b, sendo b > a: Neste intervalo, simbolizado por [a, b[, estão
definidos todos os números reais que são maiores ou iguais a a e menores que b.
a b
capítulo 1 • 53
c) Intervalo semiaberto à esquerda (ou semifechado à direita) definido
pelos números reais a e b, sendo b > a: Neste intervalo, simbolizado por ]a, b],
estão definidos todos os números reais que são maiores que a a e menores ou
iguais a b.
a b
d) Intervalo fechado definido pelos números reais a e b, sendo b > a: Neste
intervalo, simbolizado por [a, b], estão definidos todos os números reais que
são maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b.
a b
1.15.3 Centro e raio de um intervalo
O centro de um intervalo pode ser definido pelo ponto equidistante dos seus
extremos, o ponto médio, cujo valor numérico é igual à média aritmética dos
valores numéricos associados aos seus extremos.
Logo, em um intervalo cujos pontos extremos estão associados os valores
reais a e b (a < b), o centro é definido pelo ponto associado ao resultado (a +
b)/2. O raio deste intervalo, portanto, será igual à distância de qualquer um dos
extremos ao centro do intervalo, ou seja:
r ba b a b
ab a
= −+( )
=+( )
− =−( )
2 2 2
1.15.4 Formas de representação numérica
Um número real pode ser representado em uma forma decimal ou, no caso de
ser racional, também em uma forma fracionária.
a) Forma Fracionária
A forma fracionária de representação de um número real e racional consiste
em expressá-lo na forma de uma fração, composta por dois números inteiros a
e b, sendo b ≠ 0, chamados numerador e denominador.
54 • capítulo 1
Notação: a/b ou ab
b) Forma Decimal
A forma decimal de representação de um número real (racional ou irracio-
nal) consiste em expressá-lo na forma de uma parte inteira e uma parte deci-
mal. Nesta representação decimal, cada algarismo tem um valor associado à
sua posição.
an...a4a3a2a1a0,a-1a-2a-3a-4...a-n
Desta maneira, o número anterior vale:
an10n + .. + a4104 + a3103 + a2102 + a1101 + a0100 + a-110-1 + a-210-2 + ... + a-n10-n
Conforme pode ser verificado, cada algarismo é multiplicado pela potência
de dez correspondente à sua posição, somando-se em seguida os resultados ob-
tidos para todos os algarismos.
1.15.5 Simplificação de frações
A simplificação de uma fração consiste em dividir seu numerador e denomina-
dor por um mesmo número inteiro, de tal maneira que os mesmos se tornem
inteiros primos entre si.
1.15.6 Redução de frações nas operações de adição e subtração através do MMC
Ao se realizar a soma e a subtração de frações, deve-se coloca-las sob o mesmo
denominador, de maneira que ambas representem partes de um todo que foi
dividido em uma mesma quantidade de partes iguais.
A forma mais simples de se fazer esta operação consiste em se determinar o
mínimo múltiplo comum entre os denominadores e multiplicar o numerador
e o denominador de cada fração pela razão entre este mínimo múltiplo comum
e o seu denominador.
Lembre-se que o mínimo múltiplo comum é obtido a partir da fatoração de
cada um dos denominadores, sendo igual ao número obtido a partir do pro-
duto dos fatores comuns e não comuns destes denominadores elevados aos
capítulo 1 • 55
maiores expoentes.
Considere, por exemplo, a soma:
S = +475
790
Neste caso os denominadores são 75 = 3 * 52 e 90 = 2 * 32 * 5.
Seu mínimo múltiplo comum será, portanto, 2 * 32 * 52 = 450.
Logo, a primeira fração terá o seu numerador e denominador multiplicados
por 450/75 = 6 e a segunda fração terá o seu numerador e denominador multi-
plicados por 450/90 = 5.
S = + = + = + =475
790
6 46 75
5 75 90
24 35450
59450
..
..
Mesmo raciocínio poderia ser aplicado para a subtração de frações:
S = + = + = − = − = −475
790
6 46 75
5 75 90
24 35450
11450
11450
..
..
1.15.7 Regra de sinais
Para os números reais são válidas as seguintes regras de sinais:
• o produto e a divisão de dois números reais positivos fornece, como resul-
tado, um número real positivo.
Exemplo: 2*2 = 4 e 2 /2 = 1
• o produto e a divisão de dois números reais negativos fornece, como resul-
tado, um número real positivo.
Exemplo: (-2)*(-2) = 4 e (-2)/(-2) = 1
• o produto e a divisão de dois números reais, sendo um positivo e o ou-
tro negativo (em qualquer ordem) fornece, como resultado, um número real
negativo.
Exemplo: (-2)*(2) = -4 e (-2)/(2) = 01
56 • capítulo 1
1.15.8 Operações numéricas
As operações numéricas básicas são conhecidas como soma, subtração, multi-
plicação e divisão, já descritas anteriormente, e as operações de potenciação e
radiciação, que serão descritas a seguir.
1.15.9 Precedência dos operadores
Uma convenção define a precedência de operadores, segundo a qual, as opera-
ções presentes em uma mesma expressão numérica, envolvendo números re-
ais, devem ser realizadas, de forma que não haja dúvida em relação ao resultado
correto a ser produzido. Caso se queira que as operações sejam executadas fora
da ordem estabelecida nesta convenção de precedência de operadores, devem-
se usar parênteses para que a ordem de execução das operações seja estabele-
cida de forma explícita. Neste caso, operações presentes em parênteses mais
internos serão executadas antes das situadas externamente aos parênteses.
A precedência de operadores estabelece que, quando em uma mesma ex-
pressão, sejam executados na seguinte prioridade (desde que não haja parênte-
ses que alterem esta prioridade).
• Primeiramente a potenciação e a radiciação.
• Em seguida, a multiplicação e a divisão.
• Por fim, a soma e a subtração.
Desta forma, a expressão 7 + 3 x 5 resulta no valor 22 (pois a multiplicação é
executada antes da soma) ao passo que a expressão (7 + 3) x 5 resulta no valor 50
(pois a precedência dos operadores foi alterada com o emprego de parênteses).
1.15.10 Técnicas de arredondamento (de acordo com o IBGE)
Em relatórios técnicos em que a apresentação de números deve ser limitada a
uma determinada quantidade de casas decimais, deve-se estabelecer uma re-
gra segundo a qual números obtidos com uma quantidade maior de casas deci-
mais devem ser arredondados.
A regra comumente adotada é apresentada a seguir:
capítulo 1 • 57
• Se o algarismo a ser eliminado for maior ou igual a cinco, acrescenta-se
uma unidade ao primeiro algarismo situado à sua esquerda.
• Se o algarismo a ser eliminado for menor que cinco, mantém-se o algaris-
mo situado à sua esquerda.
Exemplos de arredondamento para duas casas decimais:
10,334 é arredondado para 10,33
7,467 é arredondado para 7,47
2,365 é arredondado para 2,37
EXERCÍCIO RESOLVIDO01. Considere os conjuntos de números reais A x R x= ∈ < <{ | }0 2 e
B x R x= ∈ − < <{ | }3 1 .
Determine o conjunto .
Resolução.
Os conjuntos A x R x= ∈ < <{ | }0 2 e B x R x= ∈ − < <{ | }3 1 são intervalos:
A = ]0 2[ e B = ]-3 1[.
–3 –3 –1 0 1 2A
B
A ∪ B
A ∩ B
(A ∪ B) – (A ∩ B)
A B
A B
A B A B x R x x R x
∪ = −∩ =
∪ − ∩ = ∈ − < ≤ ∪ ∈ ≤ <
[ ; [
] ; [
( ) ( ) { / } { / }
3 2
0 1
3 0 1 2
02. Represente os seguintes subconjuntos de IR na reta numérica:
a) A = {x ∈ |R / x > –3/2} b) B = {x ∈ |R / 2 < x < 5}
Resolução.
a) A = {x ∈ |R / x > -3/2} –1,5
58 • capítulo 1
b) B = {x ∈ |R / 2 < x < 5}
2 5
03. Considere os conjuntos: A = {x ∈ IR, x > 0}, B = {x ∈ IR, x ≤ 1} e C = {x ∈ IR, –3 < x ≤ 2},
determine:
a) A ∩ B
b) A ∪ C
c) (A ∪ C) – (A ∩ B)
Resolução.
a) A ∩ B = ]0 1]
b) A ∪ C = ] – 3 ∞)
c) (A ∪ C) – (A ∩ B) = ] – 3 0] ∪ ]1 ∞)
04. Considere os conjuntos D = ] –∞, –1[, E = ] –5, 2 [ e F = ] –1, 4], determine
a) D ∩ E
b) E ∪ F
c) (E∪ F) – (D ∩ E)
Resolução.
a) D ∩ E = ]– 5 – 1[
b) E ∪ F = (– ∞ 2[
c) (E ∪ F) – (D ∩ E) = (– ∞ – 5] ∪ [– 1 2[
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS1. Manoel Paiva, “Matemática”, Vol. 1, Editora Moderna.
2. Edwaldo Bianchini, Herval Paccola, “Matemática”, Vol. 1, Editora Moderna.
60 • capítulo 2
OBJETIVOS
• Associar a potência de números inteiros à operação de multiplicação de fatores iguais;
• Efetuar o cálculo de potências em que a base é um número real diferente de zero e de um
qualquer e o expoente inteiro;
• Resolver expressões numéricas com potências;
• Reconhecer as propriedades da potenciação e aplicá-las em cálculo simples.
• Calcular a raiz de um número racional;
• Aplicar as propriedades dos radicais na resolução de exercícios;
• Simplificar radicais;
• Simplificar expressões com radicais.
• Compreender o significado dos produtos notáveis;
• Compreender e aplicar as diferentes técnicas de fatoração de expressões algébricas;
• Compreender o conceito de razão entre duas grandezas;
• Reconhecer os termos de uma razão;
• Reconhecer razões inversas;
• Identificar proporções como igualdade de duas razões;
• Identificar meios e extremos de uma proporção;
• Determinar o termo desconhecido de uma proporção, aplicando a propriedade fundamen-
tal das proporções;
• Aplicar as propriedades de proporções nas diversas situações;
• Resolver problemas que envolvam duas grandezas direta e inversamente proporcionais;
• Resolver problemas que envolvam três ou mais grandezas diretamente ou inversamente
proporcionais.
• Compreender a ideia de taxa de porcentagem;
• Identificar e representar porcentagens;
• Representar porcentagens em frações e em decimais, e vice-versa;
• Resolver problemas, envolvendo porcentagens em sua vida prática.
capítulo 2 • 61
2.1 Radiciação e potenciação
As operações de potenciação e radiciação são ferramentas importantíssimas
em diversos campos. Inúmeras são as aplicações no cotidiano que requerem o
cálculo de potencias.
O estudo e os cálculos que envolvem juros compostos são baseados na po-
tenciação das taxas de juros. A função exponencial também é um exemplo onde
utilizamos potências; além da notação científica, que representa números mui-
to grandes ou pequenos.
Cálculos que muitas vezes apresentam certa complexidade podem se tornar
mais elementares e compreensíveis através da aplicação de certas proprieda-
des de potenciação e radiciação. São propriedades relativamente simples de
serem usadas.
O estudo de potencias e raízes servem como base para entender outros con-
ceitos dentro da própria matemática e dentro de outras ciências.
2.2 Potência de expoente natural
2.2.1 Conceito
Dados um número real a e um número natural n, diferente de zero, chama-se
potência de base a e expoente n o número que é igual ao produto de n fatores
iguais a a, ou seja:
an = a · a· a · ...· a
O número natural n é chamado de expoente, o número a é chamado de base.
Lemos an como “a elevado à enésima potência”.
Para qualquer número real não nulo a, definimos, para n = 0, a0 = 1
No caso de n = 1, temos que a1 = a
EXEMPLOc) 32
Pela definição, temos que a = 3 e n = 2. Portanto, o número 32 é igual ao produto de 2
fatores iguais a 3, ou seja, 32 = 3 • 3 = 9.
62 • capítulo 2
d) 40
Pela definição, temos que, para qualquer valor de a ≠ 0, o valor a0=1. Então, com
a = 4: 40 = 1
e) 51
Temos, por definição, que a1 = 0. Neste caso, a = 5. Portanto: 51 = 5
f) 04
Aqui, temos que a = 0 e n = 4. Portanto, o número 04 é igual ao produto de 4 fatores
iguais a 0, ou seja, 04 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0
2.2.2 Propriedades
Sendo a e b números reais e m e n números naturais, valem as seguintes
propriedades
3. Multiplicação de potências de mesma base
⋅ = +
4. Divisão de potências de mesma base
= ≠− ,
5. Potência de potência
( ) = ⋅
6. Multiplicação de potências de mesmo expoente
⋅ = ⋅( )b
7. Divisão de potências de mesmo expoente
=
≠,
capítulo 2 • 63
As restrições impostas para a e b nas propriedades 2 e 5, respectivamente, de-
vem-se ao fato de não podermos efetuar a divisão quando o denominador é zero.
Na propriedade 2, de¬vemos ter m ≥ n para obtermos no valor do expoente
um número natural (0, 1, 2, ...).
2.3 Potência de expoente inteiro negativo
Dados um número real a, não nulo, e um número natural n, chama-se potência
de base a e expoente –n o número a–n, que é o inverso de an, ou seja:
=
As propriedades enunciadas para potencias de expoente natural continuam
válidas para quaisquer expoentes e inteiros (positivos ou negativos).
EXEMPLOVamos calcular as potências abaixo:
g) 3–2
Pela definição, temos que o número 3–2 é o inverso de 32, ou seja, 33
19
22
−−
= = .
h) (–4)–2
O número (–4)–2 é o inverso de (–4)2.
Sabendo que (–4)2 = (–4) (–4) = 16, então −( ) =−( )
=−−4
1
4
116
22
2.4 Raíz enésima e expoentes racionais
2.4.1 Conceito
Um processo relacionado ao de calcular potências é o de extrair raízes. Por
exemplo, quando buscamos a raiz cúbica do número 27, ou seja, 278 , esta-
mos procurando um número cujo cubo seja igual a 27. Este número é o 3, pois
33 = 27 e, então, 278 = 3
64 • capítulo 2
A expressão an é chamada radical, em que é o símbolo da raiz, a é o
radicando e n é o índice.
Quando nenhum índice for indicado, o valor de n será 2 e a expressão será
chamada raiz quadrada.
2.4.2 Índice n é um número natural ímpar, n ≥ 1
Quando estamos resolvendo uma expressão an , com a ∈ ℝ, e n sendo um
número natural ímpar, n ≥ 1, estamos procurando um valor b de forma que
bn = a, com b ∈ ℝ.
Simbolicamente, an = b ⇔ bn = a
EXEMPLO
− = −8 23
Pois −( ) = −( ) −( ) −( ) = −2 2 2 2 83
2.4.3 Índice n é um número natural par, n ≥ 2
Quando estamos resolvendo uma expressão an, com a ∈ ℝ, a não negati-
vo, e n sendo um número natural par, n ≥ 2, estamos procurando um valor b de
forma que bn = a, com b ∈ ℝ.
Simbolicamente, an = b ⇔ bn = a
EXEMPLO
100 10=
Pois 10 10 10 10 1003 = ⋅ ⋅ =
Se a for negativo, não existe nenhum número real igual a an .
capítulo 2 • 65
Por exemplo, não conseguimos calcular a −9 , pois não existe nenhum nú-
mero real b tal que b2 = –9. Neste caso, temos que an não é um número real.
ATENÇÃOMuito cuidado com a raiz de índice par. Por exemplo, temos que 4 2= e não 4 2= ± .
Na verdade, temos como resposta ±2 , quando estamos lidando com equações . Se
desejamos resolver a equação
x2 = 4,
estamos procurando para que valores de x teremos o quadrado destes valores iguais a 4.
Agora sim, podemos pensar nos dois valores: ±2
2 · 2 = 4 e (–2) · (–2) = 4
2.4.4 Propriedades
Sendo a e b números reais não negativos, m inteiro e n e p números naturais
não nulos, valem as seguintes propriedades
1. Mudança de índice
a a para a ou mmn m pn p= ≠ ≠⋅⋅, 0 0
2. Produto de radicais de mesmo índice
a b a bn n n= = ⋅
3. Divisão de radicais de mesmo índice
a b a bn n n= = ⋅
4. Potência de uma raiz
a
b
ab
bn
nn= ≠, 0
66 • capítulo 2
5. ℝaiz de uma raiz
a a para a ou mn m n( ) = ≠ ≠, 0 0
EXEMPLOCalcular as raízes:
a) 169
Usando a definição, temos que 169 = 13, pois 132 = 169.
b) 07 = 0, pois 07= 0
c) 325 = 2, pois 25 = 32
d) −64 não é um número real, pois sendo an = b, não existe nenhum número real b
tal que b2 = –64
2.5 Potência de expoente racional
Dados um número real positivo a, um número inteiro p e um número natural
q, com q ≥ 1, chama-se potência de base a e expoente pq
a raiz q -ésima de ap,
ou seja,
a apq pq=
As propriedades enunciadas para potencias de expoente natural continuam
válidas para quaisquer expoentes racionais.
EXEMPLOVamos calcular o valor de y = −4 16
82
84
Resolução
Podemos efetuar este cálculo de duas maneiras: escrevendo as potências em forma de
raiz ou usando as propriedades das potências.
capítulo 2 • 67
1ª maneira: escrevendo as potências em forma de raiz (utilizando a definição de potência
de expoente racional).
y
y
y
y
y
= −
= −
= −= −=
4 16
4 16
64 4096
8 8
0
82
84
3 34
4
Os cálculos de 64 e de 40964 podem ser feitos fatorando-se os números 64 e
4096, mas também poderíamos utilizar propriedades de potência e radiciação para simplifi-
car as raízes.
4 4 4 4 4 4 2 83 2 2= = ⋅ = ⋅ =
2ª maneira: usando as propriedades de potência.
y
y
y
y
y
= −
= ( ) − ( )= ( ) − ( )= ( ) − ( )=
4 16
2 2
2 2
2 2
0
82
84
232 4
34
62
124
3 3
EXERCÍCIO RESOLVIDO
05. Escreva os itens abaixo como potência de base 2:
b) 14
c) 325 d) 22
e) 828 f) 64
82
−g) 2
5( )a) 16
68 • capítulo 2
Resolução
a) 16 = 24
b) 41
12
22
2= = −
c) 32 2 25 55= =
d) 22
22
2 2
12 1
21
12= = =
− −
e) 8 2 2 228 3
28
68 2= ( ) = =
f) 64 26 2 282
82
188 9− − − −= ( ) = =
g) 2 2 25 1
2
5 52( ) =
=
06. Simplifique as expressões
a) 10 10 1010
2 2 3
4
⋅ ⋅( )
b) ( )( )
2 2 22
4 2 5 3
5 5
⋅ ⋅ −
Resolução
a) 10 10 1010
10 10 1010
1010
102 2 3
4
2 6
4
9
45⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =( )
b) ( )( )
2 2 22
2 2 22
22
24 2 5 3
5 5
8 5 3
25
10
2515⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
− −−
ESTUDO DE CASO APLICADOS
01. Se um capital inicial C for investido por t anos a uma taxa de juros compostos i (em de-
cimal) ao ano, o valor futuro resultante, ou seja, o montante resultante será dado por M = C
(1 + i)t, e o rendimento ganho é J = M – C. Determine o valor futuro (montante) quando se
capítulo 2 • 69
aplica R$ 1.200,00, por 5 anos, com taxa de 12% ao ano, a juros compostos.
Resolução
Para efetuarmos o cálculo do M (valor futuro ou montante), basta substituir na fórmula os
valores dados no problema. Portanto:
M = C 1 + i t( )= +( )= ( )= ⋅
M
M
M
1200 1 0 12
1200 1 12
1200 1 7623416
5
5
,
,
, 8832
2114 81M = ,
O rendimento ganho é calculado através da fórmula J = M – C.
Então, J = 2.114,81 – 1.200,00 = 914,81.
Portanto, um capital inicial de R$ 1.200,00, quando aplicado a uma taxa de 12% ao ano,
por um período de 5 anos, resulta em um valor futuro de R$ 2.114,81 e em um rendimento
ganho de R$ 914,81.
02. Determine o montante resultante quando se aplica R$ 2.500,00, por 12 anos, com taxa
de 11,5% ao ano, a juros compostos.
Resolução
Para efetuarmos o cálculo do M (valor futuro ou montante), basta substituir na fórmula os
valores dados no problema. Portanto:
M = C 1 + i t( )= +( )= ( )= ⋅
M
M
M
2500 1 0 115
2500 1 115
2500 3 692
12
12
,
,
, 3312
9230 78M = ,
J = 9.230,78 – 2.500,00 = 6.730,78
Então, um capital inicial de R$ 2.500,00, aplicado a uma taxa de 11,5% ao ano, por um
período de 12 anos, resulta em um valor futuro de R$ 9.230,78 e em um rendimento de R$
6.730,78.
70 • capítulo 2
Observação.
É muito comum, no cálculo de potências e raízes, o resultado final apresentar uma dízima
infinita não periódica. Neste caso, devemos trabalhar fixando uma quantidade de casas deci-
mais. Quando maior esta quantidade, mais preciso será o resultado obtido
03. De acordo com Morettin et al. (2004, p. 93), “denomina-se função de produção a relação
entre a quantidade física dos fatores de produção, tais como capital, trabalho e outros, e a
quantidade física do produto na unidade de tempo. Se considerarmos fixos todos os fatores
menos um, a quantidade produzida será função desse fator. Chamando de a quantidade pro-
duzida na unidade de tempo e x a quantidade do fator variável utilizada na unidade de tempo,
teremos a função de produção P = f(x). Chamamos de produtividade média do fator variável
o valor indicado por Pm dado por PPxm = .”
Vamos considerar a seguinte função de produção P x= ⋅1235 , em que P é o número de
cadeiras produzidas por semana numa marcenaria (com certo número fixo de empregados)
e x, o número de serras elétricas utilizadas.
a) Quantas cadeiras serão produzidas por semana se forem utilizadas 7 serras? E se o
número de serras for igual a zero?
b) O que acontecerá com a quantidade produzida se o número de serras ficar 32 vezes
maior?
Resolução
a) Quantas cadeiras serão produzidas por semana se forem utilizadas 7 serras? E se o
número de serras for igual a zero?
Neste caso, temos x = 7 cadeiras. Substituindo na fórmula, obtemos:
P x
P
= ⋅
= ⋅
12
12 7
35
35
Podemos reescrever esta fórmula escrevendo a potência em forma de raiz (utilizando a
definição de potência de expoente racional):
P
P
P
P
= ⋅
= ⋅= ⋅=
12 7
12 343
12 3 2141
38 5692
35
5
,
,
capítulo 2 • 71
Portanto, quando forem utilizadas 7 serras elétricas, serão produzidas aproximadamente
38,57 cadeiras.
No caso de x = 0, temos:
P x
P
P
= ⋅
= ⋅=
12
12 0
0
35
35
Portanto, quando não forem utilizadas serras elétricas, a marcenaria logicamente não
produzirá nenhuma cadeira
b) O que acontecerá com a quantidade produzida se o número de serras ficar 32 vezes
maior?
Se o número de serras ficar 32 vezes maior, teremos uma nova fórmula para a produção,
que é dada por:
P x= ⋅ ( )12 3235
Podemos reescrever esta fórmula decompondo o número 32 e utilizar propriedades de
potencias. Com isso, obtemos:
P x
P x
P x
P x
P
= ⋅ ( )= ⋅ ( ) ( )
= ⋅ ( ) ( )
= ⋅ ⋅ ( )
=
12 2
12 2
12 2
12 8
96
535
535
35
335
35
⋅⋅ ( )x35
Valor original:
Valor com o número de serras ficar 32 vezes maior:
Então, se o número de serras ficar 32 vezes maior, a quantidade produzida ficará 8 vezes
maior
72 • capítulo 2
2.6 Expressões algébricas
2.6.1 Conceito
Uma expressão algébrica é uma expressão matemática que contém números
e letras ou somente letras. As letras da expressão algébrica são chamadas de
variáveis.
2.6.2 Valor numérico de uma expressão algébrica
O valor numérico de uma expressão algébrica é o número real que obtemos
quando substituímos todas as variáveis da expressão pelos valores dados e efe-
tuamos as operações indicadas na expressão.
EXEMPLODetermine o valor numérico da expressão 5 8
54
5x
x xx
+−
+ =, para .
5 85
4 5 5 8
5 545
330
45
xx x
+−
+ =( )+
−+ = +
2.6.3 Monômio ou termo algébrico.
Monômio é produto entre incógnitas ou produto entre números e incógnitas.
Nos monômios não se encontra o uso da adição ou da subtração, pelos menos
explicitamente.
Exemplo:
a) 2
b) x
c) 2x
d) –3xy4
Denominador nulo. A expressão
não representa um número real.
capítulo 2 • 73
Partes de um monômio
Consideramos um monômio dividido em duas partes:
• um número – coeficiente do monômio e
• uma variável ou o produto de variáveis (letras), inclusive suas potências,
caso existam – parte literal
Exemplos.
a) 5x: 5 é o coeficiente do monômio e x é sua parte literal;
b) –3xy4: –3 é o coeficiente do monômio e xy4 é sua parte literal;
c) xz: 1 é o coeficiente desse monômio e xz é sua parte literal.
Grau de um monômio
O grau de um monômio é definido quando todos os expoentes são números
inteiros é dado pela soma dos expoentes.
Exemplo.
2x2y5z grau 2 + 5 + 1 = 8
Monômios semelhantes.
Monômios semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal.
Exemplos.
a) 2xy e 32
são semelhantes, pois possuem a mesma parte literal xy.
b) 7a3b2 e 0,32a3b2 são semelhantes, pois possuem a mesma parte literal a3b2.
Operações Com Monômios
a) Adição e Subtração (monômios semelhantes): repete-se a parte literal e
somam-se/ subtraem-se os coeficientes
Exemplo.
2 x2 y + 14 x2y + 5 x2y = 21 x2y
74 • capítulo 2
b) Multiplicação e Divisão: multiplicam-se/ dividem-se as partes literais e
os coeficientes.
Exemplos
a)
16 2 8
16 2 85 4
5 4
÷ =
( )÷( ) =
÷ =
x x x
x x x
b) 57
103
57
103
1
5
710
10
2
5 2 5 2x x x x
÷
= ÷
⋅ ÷( ) = ÷
⋅ = ⋅x x3 3314
c) 6 2 3 6 2 3 362 4 2 4 6 2x y x y x x y y x y⋅ ⋅ = ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅ ⋅( ) =
2.6.4 Polinômios
Polinômio é toda expressão racional inteira composta de um ou mais termos,
consiste na adição ou subtração algébrica de monômios
Exemplos:
a) 4x
b) 3x = 5
c) 34
15
3 64 3 2x x x x− + − +
Operações com polinômios
Adição e subtração de polinômios
Calcule a soma dos polinômios:
4 7 2 3 2 3
4 7 2 3 2 3
2 2
2 2
x x x x
x x x x
− +( )+ + +( ) =
= − + + + + = (eliminando os parr nteses)
(agrupando os termos semelhan= + − + + + =4 3 7 2 2 32 2x x x x ttes)
(reduzindo os termos semelhantes)= +( ) + − +( ) + =
=
4 3 7 2 52x x
77 5 52x x− +
capítulo 2 • 75
Multiplicação de polinômios
Multiplicamos os coeficientes numéricos e multiplicamos as partes literais
aplicando, sempre que possível, a propriedade do produto de potências de
mesma base a a am n m n⋅ =( )+
Exemplos:
d)
x x x
x x x
2 3 5
2 3 55 6 30
5 6 30
⋅ =
( )⋅( ) =
⋅ =
e) −
⋅
= − = −32
89
2418
43
3 2 2 3 5 5 5 5y x y x y x y x
f) 2 3 4 3 6 8 62 2 4 3 2x x x x x x⋅ − +( ) = − +
g) 4 3 3 4 12 16 9 12 12 7 122 2x x x x x x x+( )⋅ −( ) = − − − = − −
Divisão de polinômios
A primeira providência para dividirmos polinômios é reduzir os termos seme-
lhantes e ordená-los. A divisão de polinômios é muito semelhante à divisão de
números naturais utilizando o método da chave.
Dividendo Divisor
ℝesto Quociente
Exemplo: (6x2 + 2x – 20) ÷ (2x + 4)
6 2 20 2 42x x x+ − +
• 1º passo: Dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do
divisor para determinar o primeiro termo do quociente.
62
32x
xx=
76 • capítulo 2
• 2º passo: Multiplicar o divisor pelo resultado da divisão do 1º passo.
3 2 4 6 122x x x x⋅ +( ) = +
• 3º passo: Subtrair do dividendo o resultado do 2º passo.
6 2 20 6 122 2x x x x+ −( )− +( )
Na chave, temos:
6 2 20 2 4
6 12 3
10 20
2
2
x x x
x x x
x
+ − +
− −− −
Seguindo os mesmos passos, temos:
6 2 20 2 4
6 12 3 5
10 20
10 20
0
2
2
x x x
x x x
x
x
+ − +
− − +− −− −
Portanto, o resultado dessa divisão é 3x – 5 com resto 0.
2.7 Produtos notáveis
Algumas expressões envolvendo dois números reais distintos a e b são tão im-
portantes, observadas, notadas com tal frequência que são denominadas pro-
dutos notáveis.
• Quadrado da soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• Quadrado da diferença: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
• Diferença entre dois quadrados: a2 – b2 = (a + b) (a – b)
capítulo 2 • 77
• Cubo da soma: (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
• Cubo da diferença: (a – b)3 = a3 - 3.a2.b + 3.a.b2 – b3
• Soma entre dois cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 – a.b + b2)
• Diferença entre dois cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + a . b + b2)
EXEMPLO
3 4 3 4 3 4 9 12 12 16 9 24 16
3 4 3
2 2 2
2
x x x x x x x x
x x
+( ) = +( )⋅ +( ) = + + + = + +
−( ) = − 44 3 4 9 12 12 16 9 24 16
8 8 8
2 2
2 2
( )⋅ −( ) = − − + = − +
−( )⋅ +( ) = ( ) −( )x x x x x x
x x x == −64 2x
2.8 Fatoração de expressões algébricas
2.8.1 Conceito.
O termo fatorar significa decompor uma expressão ou número em fatores ou
parcelas, de modo que o produto destas parcelas resulte na expressão ou nú-
mero original.
A fatoração de um número inteiro consiste na sua decomposição em um
produto de números inteiros primos, sendo os números que aparecem repeti-
das vezes agrupados na forma de potência.
2.8.2 Fator comum em evidência
Esse caso é aplicado a expressões algébricas que possuem um fator comum a
todos os termos.
Exemplo:
a) Fatorar a expressão 2 4 6x y z+ − .
1. O fator comum entre os termos é 2.
2. Dividimos cada termo da expressão pelo fator comum 2.
2 4 6 2 2 3x y z x y z+ − = ⋅ + −( )
78 • capítulo 2
2.8.3 Agrupamento
A expressão x ax bx ab2 + + + não possui um fator comum a todos os seus ter-
mos. No entanto, agrupando os dois primeiros e os dois últimos termos, perce-
bemos que existem fatores comuns a cada um dos grupos, ou seja:
x ax bx ab x x afator comum x fator comum b fator comu
2 + + + = ⋅ +( )��� ��� ��mm fator comum
b x a x a x b��� ���+ ⋅ +( ) = +( )⋅ +( )
Exemplo:
6 9 4 6 3 2 3 2 2 3 2 3 3 22x ax bx ab x x a b x a x a x b− + − = −( )+ −( ) = −( ) +( )
2.8.4 Trinômio quadrado perfeito
a b a ab b
a b
+( ) + +
−( )
2 2 2
2
2 a forma fatorada de
a forma fatoorada de a ab b2 22− +
Exemplo:
a) Fatorar 4x2 + 12x + 9.
4 12 9 2 32
4 2 9 3
2
2
x x xx x= =
+ + = +( )� �
2.8.5 Diferença de dois quadrados
a2 – b2 = (a – b) (a + b)
Exemplo:
Fatorar x x xx x
2
2 9 32
9 3 3= =
− = −( ) +( )� �
capítulo 2 • 79
2.9 Razão e proporção
Utilizamos as noções de razão e proporção muitas vezes em situações cotidia-
nas, seja em situações científicas, seja em situações envolvendo negócios.
Na culinária, temos um exemplo de utilização de razão e proporção. Se te-
mos 3 ovos para cada duas colheres de farinha de trigo, e precisamos aumentar
ou diminuir a receita, estamos usando a noção básica de proporção. Quando
são ministrados medicamentos, temos também um exemplo de utilização de
proporção de quantidades. Temos outras tantas utilizações de razões e propor-
ções, tais como, quando construímos a planta de uma casa, utilizamos escalas;
para encontrar a velocidade média de um automóvel; no cálculo da densidade
demográfica etc. Numa sociedade, a divisão dos lucros deve ser proporcional ao
tempo em que cada sócio pertence a ela e ao capital empregado por cada um.
Quem aplica mais tem direito a uma fatia maior do lucro. Não é justo?
Em nosso dia a dia, comumente nos deparamos com informações do tipo
“um a cada 5 consumidores dessa região prefere o produto A”. Esta frase tem
o mesmo significado que “20% dos consumidores dessa região preferem o pro-
duto A”? Lembre-se de que a razão 1 para 5 é igual à razão 20 para 100 e que essa
igualdade determina uma proporção.
A utilização do conceito de razão é a maneira mais comum de se proceder a
comparação relativa entre duas grandezas.
Quando dividimos uma grandeza por outra, estamos comparando a primei-
ra grandeza com a segunda, que passa a ser a base da comparação.
2.10 Razão
ℝazão significa o quociente ou a divisão entre dois números X e Y, com Y ≠ 0.
Indica-se: XY
ou X : Y e lê-se: X para Y.
O numerador (X) é denominado antecedente e o denominador (Y) é deno-
minado consequente.
Também podemos expressar a razão na forma de divisão entre duas grande-
zas de algum sistema de medidas. Vejamos alguns exemplos:
80 • capítulo 2
EXEMPLO1. Numa partida de futebol entre Brasil e Argentina, havia 80.000 torcedores, sendo
50.000 brasileiros e 30.000 argentinos. Podemos dizer que a razão entre o número de ar-
gentinos e o número de brasileiros é 30 00050 000
35
.
.= , o que significa que para cada 3 argenti
nos há 5 brasileiros assistindo à esta partida.
2. Em uma empresa de seguros de automóveis, 150 novos seguros são feitos por mês
e 30 sinistros são registrados no mesmo período. Deseja-se saber qual a razão de sinistros
desta empresa com relação ao número de seguros feitos no mesmo período.
Resolução
Para descobrirmos a razão de sinistros desta empresa com relação ao número de se-
guros feitos no mesmo período, fazemos: 30150
15
= , o que significa que a empresa registra
1 sinistro para cada 5 automóveis segurados no período estudado.
3. Uma montadora de automóveis testou um novo motor para seus carros populares. Esse
motor foi testado em um carro popular, o qual percorreu 270 km em 3 horas. Qual foi a velo-
cidade média do veículo nesse percurso?
Resolução
2703
90kmh
km h= /
Isso significa que a velocidade média do automóvel com o novo motor foi de 90 km/h; ou
podemos dizer que o automóvel percorreu 90 km a cada hora, em média.
4. Numa determinada cidade do interior de São Paulo, foi realizada uma pesquisa sobre
o número de leitores que leem regularmente determinados jornais. A cidade tem 200.000
habitantes, sendo que 2.000 pessoas leem o Jornal X, 8.000 leem o Jornal Y e 190.000 não
leem nenhum jornal. Pergunta-se:
a) qual a razão entre o número de leitores do Jornal Y com relação ao do Jornal X?
b) qual a razão de habitantes da cidade que têm o hábito de ler jornal?
capítulo 2 • 81
Resolução
a) Para se descobrir a razão entre o número de leitores do Jornal Y com relação ao do
Jornal X, basta fazer o quociente entre os dois valores, ou seja: 8 0002 000
4..
= . Isso significa que
o jornal Y tem 4 vezes mais leitores do que o Jornal X.
b) A razão de habitantes da cidade que têm o hábito de ler jornal é dada por 10 000200 000
120
..
=
ou seja, apenas 1 em cada 20 habitantes desta cidade tem o hábito de ler jornal.
2.11 Proporção
2.11.1 Conceito
A igualdade entre duas razões XY
e ZW
(com X, Y, Z e W ≠ 0) é chamada de
proporção.
Na proporção XY
ZW
= (lê-se: X está para Y assim como Z está para W), os
valores X e W são chamados de extremos, enquanto os números Y e Z são cha-
mados meios.
2.11.2 Algumas propriedades das proporções
a) Propriedade Fundamental das Proporções
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e
vice-versa.
Se XY
ZW
= então, X · W = Y · Z
Por exemplo:
De fato, temos que 23
69
= , pois 2 · 9 = 3 · 6 ⇒ 18 = 18
b) Soma dos termos de uma proporção
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º)
termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Se XY
ZW
= então, X YY
Z WW
+ = + ou X YX
Z WZ
+ = +
82 • capítulo 2
Exemplo:
Se 23
69
= , então 2 33
6 99
53
159
+ = + → = ou ainda, 2 32
6 96
52
156
+ = + → = .
c) Soma dos antecedentes e dos consequentes
Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos conse-
quentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Se XY
ZW
= então X ZY W
XY
++
= ou X ZY W
ZW
++
= .
Exemplo.
Se 23
69
= , então 2 63 9
23
1812
123
++
= → = ou ainda, 2 63 9
69
812
69
++
= → =
d) Produto dos antecedentes e dos consequentes
Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos con-
sequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do
seu consequente.
Se XY
ZW
= então XZYW
XY
=2
2 ou XZ
YWZW
=2
2
Exemplo.
Se 23
69
= , então 2 6
3 923
1227
49
2
2
⋅⋅
= → = ou ainda, 2 6
3 969
1227
3681
2
2
⋅⋅
= → =
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Determinar o valor de X para que a razão X5
esteja em proporção com 610
.
Resolução
Temos que X5
610
= . Como sabemos que o produto dos meios é igual ao produto dos ex-
tremos, temos:
10X = 30
X = 3
Portanto, para que a razão X5
esteja em proporção com 610
., o valor de X deve ser igual
a 3.
capítulo 2 • 83
ESTUDO DE CASO APLICADOS01. Na escolha de um profissional para ocupar o cargo de gerente de marketing de uma
grande empresa, o setor de Recursos Humanos contou com um processo seletivo composto
de 3 fases. Na primeira fase deste processo, sabe-se que a razão entre o número de homens
e o número de mulheres era 46
. Se o total de inscritos era 2.400 pessoas, determine:
a) o número de mulheres que participaram da seleção;
b) a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, sabendo que 312
dos
homens foram aprovados e 1220
das mulheres não foram aprovadas.
Resolução
a) Como o número total de inscritos era de 2.400 pessoas e a razão entre o número de
homens e o número de mulheres era de 46
, ou seja, quatro partes do todo eram com
postas por homens e 6 partes do todo eram compostas por mulheres, desta forma, basta
dividirmos o total de pessoas (2.400) por 10 (4 + 6) para sabermos quanto corresponde
a uma parte 2 40010
240. = .
Se uma parte corresponde a 240 pessoas, então o número de mulheres que participaram
da seleção é 240 · 6 = 1.440 mulheres.
b) Como queremos encontrar a razão entre o número de aprovados e o número total de
inscritos, precisamos encontrar cada uma destas quantidades. O número total de inscri-
tos já foi fornecido pelo problema e corresponde a 2.400 pessoas. Agora, precisamos
determinar qual o número de aprovados.
Por meio do item (a), sabemos que o número de mulheres que participaram da se-
leção é de 1.440, de um total de 2.400 inscritos; portanto, o número de homens é
2.400 – 1.440 = 960. Agora, precisamos determinar a quantidade de homens e de mulheres
que foram aprovados.
Se 312
dos homens foram aprovados (o que significa que 3 em cada 12 homens foram
aprovados), podemos obter a quantidade de homens aprovados dividindo o total de homens
por 12 e pegando 3 partes deste valor, ou seja: 96012
3 240⋅ = homens aprovados.
84 • capítulo 2
O mesmo raciocínio deve ser usado para encontrar o número de mulheres aprovadas;
porém, devemos notar que o problema forneceu a proporção de mulheres que não foram
aprovadas.
Para encontrarmos a proporção de mulheres que foram aprovadas, devemos ver o que
“falta” para termos um inteiro nesta proporção, ou seja, 11220
820
− = das mulheres foram
aprovadas.
Isso significa que 8 em cada 20 mulheres foram aprovadas. O valor 1 utilizado nesse
cálculo representa o inteiro da proporção (corresponde a 100%).
Dividindo o total de mulheres por 20 e pegando 8 partes deste valor, teremos o número
de mulheres aprovadas, ou seja: 1 440
208 576
. ⋅ = mulheres aprovadas.
Somando 240 com 576, teremos o número total de aprovados, que é igual a 816.
Então, a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos é dada por: 816
240051
150= .
Isso significa que 51 pessoas, a cada 150 que prestaram o concurso, passaram na pri-
meira fase do processo seletivo.
02. Uma empresa quer dividir uma parte de seus lucros, mais precisamente R$ 12.000,00,
com 3 gerentes. O critério utilizado para fazer a divisão será proporcional ao tempo de serviço
de cada um na empresa. O gerente X trabalha na empresa há 12 anos, o gerente Y trabalha
há 5 anos e o gerente Z há 3 anos. Quanto cada um deve receber?
Resolução
Está muito claro que se trata de um problema que envolve proporção, pois cada gerente
deve receber uma quantidade proporcional ao seu tempo de serviço (justo!).
Vamos montar uma tabelinha para visualizar melhor o problema:
GERENTES X Y ZTempo de serviço (anos) 12 5 3
Valor a receber (R$) x y z
Para resolver este problema, devemos encontrar três valores, x, y, e z, que são diretamen-
te proporcionais a 12, 5 e 3 anos, respectivamente.
capítulo 2 • 85
Então, dizemos que x está para 12, assim como y está para 5 e assim como z está para
3. Utilizando a linguagem matemática, podemos escrever da seguinte forma:
x y z x
x
x
x
+ ++ +
=
=
=
=
12 5 3 1212 000
20 12
60012
7200
.
Usa-se o mesmo raciocínio para determinar y e z.
x y z y
y
x
+ ++ +
=
=
=
12 5 3 5
6005
3 000.
x y z z
z
x
+ ++ +
=
=
=
12 5 3 3
6003
1 800.
Concluímos, então, que, para dividir o lucro de R$ 12.000,00, de forma proporcional ao
tempo de serviço de cada um, o gerente X deverá receber R$ 7.200,00, o gerente Y, R$
3.000,00 e o gerente Z, R$ 1.800,00.
ESTUDO DE CASOS APLICADOS PROPOSTOS01. Em uma empresa de telemarketing, a razão do número de homens para o número de
mulheres é 2/3. Se nesta empresa existem 60 mulheres, qual é o número de homens? Quan-
tos funcionários tem a empresa?
Gabarito: 40 e 100
02. Numa propaganda de supermercado, um anúncio dizia: “Leve 3 cremes dentais e pague
2”. Se um freguês resolve levar 15 cremes dentais, por quantos ele, efetivamente, pagou?
Gabarito: 10
86 • capítulo 2
03. Determine dois números positivos, x e y, sabendo que a razão entre eles é 5/4 e a dife-
rença dos seus quadrados é 81.
Gabarito: x = 15 e y = 12
04. A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma
é 35 anos.
Gabarito: 14 e 21 anos
05. Três pessoas (A, B e C) formaram uma sociedade. O sócio A investiu R$ 60.000,00, o B
investiu R$ 90.000,00 e o sócio C investiu R$ 30.000,00. No final de um ano, registraram um
lucro líquido de R$ 360.000,00 e querem reparti-lo de forma proporcional ao investimento
inicial de cada um. Quanto deve receber cada sócio? O que este valor representa em relação
ao investimento inicial de cada sócio?
Gabarito: Sócio A = R$ 120.000,00; sócio B = R$ 180.000,00; sócio C = R$ 60.000,00.
Cada um recebeu o dobro do que investiu inicialmente.
06. Ângelo e Carlos formaram uma microempresa com capitais iguais. No final de um ano,
registraram um lucro de R$ 75.000,00. Sabe-se também que Carlos entrou
Gabarito: Ângelo deve receber R$ 47.368,42 e Carlos R$ 27.361,58.
2.12 Grandezas direta e inversamente proporcionais
2.12.1 Grandezas Diretamente Proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais variam na mesma razão. Quando uma
delas aumenta, a outra aumenta na mesma razão. Ainda, duas grandezas são
diretamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma delas por um
número positivo, o valor da outra fica multiplicado por esse mesmo número
positivo.
Considere que um produto custa 40 reais a unidade.
Se quisermos comprar duas unidades, pagaremos 80.
Se quisermos comprar três unidades, pagaremos 120, e assim por diante.
capítulo 2 • 87
Dobrando a quantidade de unidades de produtos que compramos, dobrará
o valor a ser pago, se triplicarmos a quantidade, pagaremos o triplo.
2.12.2 Grandezas Inversamente Proporcionais
Grandezas inversamente proporcionais variam segundo razões inversas. Quan-
do aumentamos uma delas, a outra diminui na mesma razão. Ainda, duas gran-
dezas são inversamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma
delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo nú-
mero positivo.
Se estamos percorrendo um trecho em uma rodovia que consiste em 240
km, com velocidade média de 24 km/h, com os conceitos de velocidade, espaço
e tempo conhecidos, levaremos 10 horas para percorrê-lo.
Se percorrermos este mesmo trecho, com velocidade média de 48 km/h, le-
varemos 5 horas para percorrer.
2.13 Regra de três simples
2.13.1 Conceito
Os problemas de regra de três simples envolvem duas grandezas direta ou in-
versamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporção em que
são conhecidos 3 valores (por isso o nome regra de três) e o quarto valor é o
procurado.
2.13.2 Procedimento
Para montarmos a regra de 3 simples, podemos seguir o roteiro abaixo:
1. Organizamos os dados em colunas e linhas. Nas colunas, colocamos os
valores de mesma grandeza.
2. Verificamos se as grandezas são diretamente ou inversamente propor-
cionais utilizando setas como referência. Se as grandezas forem diretamente
proporcionais, colocamos ao lado de cada coluna flechas com o mesmo sentido
(↓↓ ou ↑↑) e, se as grandezas forem inversamente proporcionais, indicaremos
com flechas no sentido contrário (↓↑ ou ↑↓).
88 • capítulo 2
GℝANDEZA 1 GℝANDEZA 2
a c
b x
As letras indicam os valores conhecidos e x é o valor procurado.
3. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, escrevemos uma
proporção tomando os elementos da mesma maneira que estão escritos nas
colunas, ou seja:
ab
cx
=
4. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, escrevemos uma
proporção invertendo os termos de uma só das razões:
ab
xc
=
5. Aplicamos a propriedade fundamental da proporção e encontramos o va-
lor da incógnita (valor procurado).
Exemplo. A produção de uma tecelagem era de 10.000 m de tecido/dia. A in-
dústria admitiu 500 novos funcionários e a produção passou para 15.000 m de
tecido/dia. Qual era o número de funcionários antes da contratação dos novos?
Resolução
Vamos seguir o roteiro proposto no texto:
1. Estamos trabalhando com duas grandezas: número de operários e pro-
dução (metros/dia). Colocando as informações de mesma grandeza nas colu-
nas, obtemos:
Número de operários
x
x + 500
Produção (metros/dia)
10.000
15.000
capítulo 2 • 89
2. As grandezas são diretamente proporcionais, pois, aumentando o nú-
mero de funcionários, aumenta também a produção (metros/dia). Então, as fle-
chas são colocadas no mesmo sentido.
3. A proporção obtida é:
xx +
=500
10 00015 000
.
.
4. Aplicando a propriedade fundamental da proporção e isolando a incóg-
nita, temos:
15 000 10 000 500
15 000 10 000 5 000 000
15 000 10 00
. .
. . . .
. .
x x
x
x
= +( )= +− 00 5 000 000
15 000 5 000 000
5 000 0005 000
==
=
. .
. . .
. ..
x
x
Portanto, a indústria tinha 1.000 funcionários antes das novas contratações.
Exemplo. Um automóvel com velocidade de 90 km/h percorre certa distân-
cia em 4 horas. Quanto tempo este automóvel gastará para percorrer a mesma
distância com velocidade de 110 km/h?
Resolução
Seguindo o mesmo procedimento proposto, temos:
1. As grandezas são: velocidade (km/h) e tempo (horas).
2. Estas grandezas são inversamente proporcionais, pois, aumentando a
velocidade, o tempo para percorrer a mesma distância é menor. Então, as fle-
chas são colocadas em sentido contrário:
Velocidade (km/h)
90
110
Tempo (horas)
4
x
90 • capítulo 2
3. Para escrevermos a proporção, devemos inverter os termos de uma das
razões, ou seja:
90110 4
= x
4. Aplicando a propriedade fundamental da proporção e isolando a incóg-
nita, temos:
110 360
3601103 27
x
x
x horas
=
=
= ,
O automóvel levará aproximadamente 3 horas, 16 minutos e 12 segundos
para percorrer a mesma distância com velocidade de 110 km/h.
ATENÇÃOPara convertermos um valor decimal referente em horas, minutos e segundos, devemos, em
primeiro lugar, separar a parte inteira que se refere às horas. Nesse caso, 3,27 correspon-
dem a 3 horas mais a porção referente a 0,27 da hora. Como uma hora tem 60 minutos,
então podemos escrever que 0,27 da hora é igual a 0,27 × 60 minutos = 16,2 minu-
tos. Da mesma forma, se quisermos estabelecer a quantidade de segundos, fazemos
0,2 × 60 segundos = 12 segundos. Portanto, 3,27 horas correspondem a 3 horas, 16 minu-
tos e 12 segundos.
2.14 Regra de três composta
2.14.1 Conceito
Os problemas de regra de 3 composta envolvem mais de duas grandezas. Segun-
do Teixeira e Netto (1998, p. 17), “em problemas deste tipo devemos considerar
que quando a variação de duas ou mais grandezas é diretamente proporcional
à variação da grandeza que contém a incógnita, então o produto das razões des-
tas grandezas também é diretamente proporcional à variação da grandeza que
contém a incógnita”.
capítulo 2 • 91
2.14.2 Procedimento
O procedimento para análise de problemas de regra de 3 composta é o mesmo
que o utilizado para resolução de regra de 3 simples, ou seja:
1. Organizamos os dados em colunas e linhas. Nas colunas, colocamos os
valores de mesma grandeza.
2. Verificamos, separadamente, se as grandezas que não contêm a incóg-
nita são direta ou inversamente proporcionais à grandeza da incógnita. Nesta
análise, supomos constan-tes as demais grandezas. Indicamos o tipo de pro-
porcionalidade por meio de flechas de mesmo sentido ou sentido contrário.
3. Se as grandezas analisadas forem proporcionais à grandeza da incógni-
ta, o produto das razões destas grandezas será proporcional à razão que contém
a incógnita.
4. Se alguma das grandezas analisadas não for diretamente proporcional
à grandeza da incógnita, invertemos os valores desta grandeza na coluna cor-
respondente. Desta forma, todas as grandezas passam a ser diretamente pro-
porcionais à grandeza da incógnita. Após este procedimento, fazemos o cálculo
descrito no item 3.
Exemplo. Cinco operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 600 pe-
ças. Quantas peças desse mesmo tipo pro¬duzirão sete operários, trabalhando
8 dias?
Resolução
Este exemplo é um caso de regra de 3 composta, pois envolve 3 grandezas.
Vamos seguir o procedimento sugerido para a resolução de problemas deste
tipo:
1. Colocando os valores das grandezas nas colunas, obtemos:
Número de operários
5
7
Número de dias
6
8
Número de peças
600
x
92 • capítulo 2
2. Analisando as grandezas que não contêm a incógnita com a grandeza
“número de peças” (que contém a incógnita), concluímos que, se aumentar-
mos o número de operários, aumentaremos também o número de peças produ-
zidas. Portanto, essas duas grandezas são diretamente proporcionais.
Se aumentarmos o número de dias trabalhados, também aumentaremos o
número de peças produzidas. Neste caso, as duas grandezas também são dire-
tamente proporcionais. Então, todas as flechas têm o mesmo sentido.
3. O produto das razões 57
68
⋅ é proporcional à razão 600x
, ou seja, 600 5
668x
= ⋅ .
4. Fazendo a multiplicação, aplicando a propriedade fundamental da pro-
porção e isolando a incógnita, obtemos:
600 3060
30 33 600
33 60030
1 120
xx
x
x
=
=
=
=
.
.
.
Portanto, sete operários, trabalhando 8 dias, produzirão 1.120 peças
Exemplo. Quinze operários, trabalhando 9 horas por dia, fazem 72 metros
de muro em 32 dias. Quantos dias serão necessários para 18 operários fazerem
180 metros do mesmo muro, trabalhando 8 horas por dia?
Resolução
Número de operários
15
18
Horas/dia
9
8
Metros (muro)
72
180
Nº de dias
32
x
1. Não importa o sentido que você escolhe para a seta da grandeza que
contém a incógnita (x). Você pode colocá-la para cima ou para baixo. O impor-
tante é estabelecer o sentido correto das demais setas, tomando como base o
sentido da seta dessa grandeza.
capítulo 2 • 93
2. Analisando as grandezas que não contêm a incógnita com a grande-
za “número de dias”, concluímos que, se aumentarmos o número de operá-
rios, diminuiremos o número de dias necessários para a construção do muro.
Portanto, são grandezas inversamente proporcionais.
Se diminuirmos a quantidade de horas trabalhadas por dia, precisaremos
de mais dias para a construção do muro. Então, essas duas grandezas são inver-
samente proporcionais.
Se aumentarmos o tamanho do muro, precisaremos de mais dias para a sua
construção. Portanto, são grandezas diretamente proporcionais.
3. Deveremos inverter os valores das grandezas “número de operários” e
“horas” nas suas respectivas colunas para que estas grandezas passem a ser di-
retamente proporcionais à grandeza “número de dias”.
4. O produto das razões 1815
89
72180
⋅ ⋅ é proporcional à razão 32x
. Então:
32 1815
89
72180
32 10 36824 300
10 368 32 24 300
777 60
x
xx
x
= ⋅ ⋅
=
= ⋅
=
.
.. .
. 0010 368
75.
x =
Serão necessários 75 dias para que 18 operários, trabalhando 8 horas por
dia, façam 180 metros de muro.
2.15 Porcentagem
Em várias situações do dia a dia nos deparamos com cálculos percentuais: des-
conto no preço de determinado produto, aumento salarial, queda no nível de
desemprego, intenção de voto na próxima eleição presidencial etc. Nas ques-
tões de matemática financeira, que tratam fundamentalmente do cálculo do
dinheiro ao longo do tempo, as operações envolvendo porcentagens também
são bastante comuns.
A porcentagem é uma razão cujo denominador é igual a 100. Esta razão tam-
bém é chamada de razão centesimal.
94 • capítulo 2
Podemos substituir, nas razões centesimais, o denominador 100 pelo sím-
bolo % (“por cento”). Quando fazemos isso, obtemos a taxa de porcentagem.
Por exemplo, a razão centesimal 5100
pode ser expressa como 5%, que é de
nominada taxa de porcentagem. Esta razão também pode ser expressa na for-
ma decimal (dividindo-se o numerador pelo denominador).
Exemplos:
• 55
1000 05% ,= =
• 1515
1000 15% ,= =
• 5050
1000 5% ,= =
• 125125100
1 25% ,= =
Nos exemplos que se seguem, estudaremos métodos para a resolução de
problemas envolvendo porcentagem.
Exemplo. Um corretor de imóveis vendeu um apartamento por ℝ$
350.000,00. Sua corretagem é de 4%. Quanto ele ganhou?
Resolução
Podemos resolver este problema de duas maneiras:
1ª maneira: usando a regra de três simples:
Valores (R$)
350.000
x
Taxa percentual (%)
100
4
Escrevendo a proporção, obtemos:
350 000 1004
100 1 400 000
14 000
.
. .
.
xx
x
=
==
capítulo 2 • 95
O vendedor ganhou ℝ$ 14.000,00 com a venda do apartamento.
2ª maneira: podemos calcular diretamente 4% de 350.000:
4 350 0004
100350 000 14 000% . . .de = ⋅ =
Exemplo. Uma calça é vendida por ℝ$ 110,00. Se o seu preço fosse aumenta-
do em 15%, quanto passaria a custar?
Resolução
O aumento seria 15% de 110 = 0,15 · 110 = ℝ$ 16,50.
Portanto, o novo preço seria 110,00 + 16,50 = ℝ$ 126,50.
Ou poderíamos fazer simplesmente:
110 + 0,15 · 110 = 110 (1 + 0,15) = 110 · 1,15 = 126,50
Isso quer dizer que o preço final fica multiplicado por 1,15. Portanto, se ti-
véssemos um aumento de:
20%, multiplicaríamos o preço original por 1,2;
35%, multiplicaríamos o preço original por 1,35;
7%, multiplicaríamos o preço original por 1,07, e assim por diante.
Se, num outro momento, a loja estivesse liquidando suas peças e a calça es-
tivesse com um desconto de 15% sobre o preço original, o cálculo seria:
110 – 0,15 · 110 = 110 (1 – 0,15) = 110 · 1,15 = 93,50
Ou seja, o preço final fica multiplicado por 0,85. Portanto, se tivéssemos um
desconto de:
20%, multiplicaríamos o preço original por 0,8;
35%, multiplicaríamos o preço original por 0,65;
7%, multiplicaríamos o preço original por 0,93, e assim por diante.
Exemplo. Uma bolsa que custava ℝ$ 45,00 passou a custar ℝ$ 54,00. Qual a
taxa percentual de aumento?
96 • capítulo 2
Resolução
Este problema também pode ser resolvido de duas maneiras:
1ª maneira: devemos primeiramente encontrar o valor do aumento:
54 – 45 = 9 (valor do aumento)
Agora, devemos dividir 9 por 45:
945
0 2 20= =, % (taxa percentual do aumento)
2ª maneira: podemos simplesmente dividir o preço novo da bolsa (ℝ$ 54,00)
pelo preço antigo (ℝ$ 45,00), obtendo:
5445
1 2 1 0 2 100 20= = + = +, , % % (20% de aumento)
Exemplo. Coloque na forma de razão centesimal, número decimal e porcen-
tagem as seguintes razões: 3100
, 12100
, 145100
e 2 5100
, .
Solução:
As razões sugeridas já se encontram em sua forma de razão centesimal.
Convertendo em número decimal e porcentagem, temos:
• 3
1000 03 3= =, %
• 12
1000 12 12= =, %
• 145100
1 45 145= =, %
• 2 5100
0 025 2 5,
, , %= =
RAZÃO CENTESIMAL NÚMERO DECIMAL PORCENTAGEM
3100
0,03 3%
12100
0,12 12%
capítulo 2 • 97
RAZÃO CENTESIMAL NÚMERO DECIMAL PORCENTAGEM
145100
1,45 145%
2 5100
,0,025 2,5%
2.16 Operações com porcentagem
O conceito de porcentagem é bastante utilizado nas mais diversas atividades
produtivas. Sua aplicação tem por objetivo básico comparar grandezas e por
isso seu uso ocorre com frequência no comércio, no mercado financeiro, no
cálculo de lucros, prejuízos, empréstimos, prestações, juros ou ao se fazer al-
gum tipo de negócio, ao se exprimir quanto de um trabalho já foi realizado ou
já evoluiu, no processo inflacionário, na estatística, dentre outras aplicações.
Exemplo. Em uma eleição para prefeito de uma cidade com 300 mil eleito-
res, os candidatos A, B e C receberam res¬pectivamente 110 mil, 95 mil e 80 mil
dos votos válidos. Os demais votos foram brancos ou nulos. Calcule o porcentu-
al de votos brancos ou nulos nesta eleição.
Resolução 1:
Cálculo de todos os votos válidos: 110.000 + 95.000 + 80.000 = 285.000
Cálculo de porcentual dos votos válidos:
Votos %300.000 100285.000 x
300 000 285 000 100
28 500 000300 000
95
. .
. ..
x
x
x
= ⋅
=
=
Portanto, temos 95% de votos válidos.
Cálculo de todos os votos brancos ou nulos: 100% – 95% = 5%
Logo, o percentual de votos brancos ou nulos na eleição é de 5%.
98 • capítulo 2
Resolução 2:
Cálculo de todos os votos válidos: 110.000 + 95.000 + 80.000 = 285.000
Cálculo de votos brancos ou nulos: 300.000 – 285.000 = 15.000
Cálculo do percentual de votos brancos ou nulos:
Votos %300.000 10015.000 y
300 000 15 000 100
1 500 000300 000
5
. .
. ..
y
y
y
= ⋅
=
=
Portanto, temos 5% de votos brancos ou nulos.
Exemplo. Um cliente em uma determinada loja, deseja adquirir dois produ-
tos, sendo um no valor de ℝ$100,00 (produto A) e outro no valor de ℝ$ 250,00
(produto B). No caso do pagamento à vista, a loja oferece descontos de 15% e de
10%, respectivamente, para cada produto. Calcule o valor que o cliente econo-
mizará na compra à vista.
Resolução:
Cálculo do valor total da compra sem desconto:
ℝ$ 100,00 + ℝ$ 250,00 = ℝ$ 350,00
Cálculo do valor de cada produto com desconto (à vista):
• Valor do desconto do produto A (15%) = 15% de ℝ$ 100,00 = ℝ$ 15,00
• Valor do produto A com desconto (à vista) =
ℝ$ 100,00 – ℝ$ 15,00 = ℝ$ 85,00
• Valor do desconto do produto B (10%) = 10% de ℝ$ 250,00 = ℝ$ 25,00
• Valor do produto B com desconto (à vista) =
ℝ$ 250,00 – ℝ$ 25,00 = ℝ$ 225,00
Cálculo do valor total com desconto (à vista):
ℝ$ 85,00 + ℝ$ 225,00 = ℝ$ 310,00
capítulo 2 • 99
Cálculo da economia no pagamento à vista:
Valor sem desconto – valor com desconto = ℝ$ 350,00 – ℝ$ 310,00 = ℝ$ 40,00
Economia de ℝ$ 40,00 no pagamento à vista.
ESTUDO DE CASOAplicado em Logística
O armazenamento de 100 caixas de um produto ocupa uma área de 5 metros quadrados
de um galpão. A empresa possui dois galpões para armazenamento deste produto, sendo
um de 2.000 metros quadrados e outro de 1.250 metros quadrados. Quantas caixas destes
produtos poderão ser armazenadas nesse galpão?
Resolução:
Neste caso a área total para armazenamento é de 3250 metros quadrados. Como cada
metro quadrado armazena 100
520= caixas, poderão ser armazenadas 3250 × 20 = 65000
caixas.
EXERCÍCIO PROPOSTOS01. Uma costureira pagou R$ 70,00 por 2 metros de tecido. Quanto ela pagaria se tivesse
comprado 5 metros do mesmo tecido?
02. Sabe-se que 4 máquinas de uma pequena confecção, todas de igual eficiência, são ca-
pazes de produzir 400 peças em 4 dias, se operarem 4 horas por dia. Se 8 máquinas iguais às
primeiras operassem 8 horas por dia durante 8 dias, qual seria o número de peças produzidas?
03. Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h, percorre a distância entre duas ci-
dades em 4 horas e 15 minutos. Qual velocidade média ele deverá desenvolver para fazer o
mesmo trajeto em 3 horas e 30 minutos?
04. Maria aplicou R$ 1.500,00 durante seis meses e obteve uma renda de R$ 2.000,00.
Considerando que a renda é proporcional ao valor investido e ao tempo de investimento,
quanto obteria de renda no mesmo negócio se aplicasse R$ 5.000,00 durante 4 meses?
100 • capítulo 2
05. Um consumidor obteve 5% de desconto na compra de um televisor de R$ 2.500,00.
Quanto ele pagou pelo produto?
06. Atualmente, 30% do salário de Cláudio são destinados ao pagamento do aluguel da
casa onde mora que é de R$ 360,00. Qual é o valor do salário de Cláudio?
07. Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total
investido e, no segundo mês, ela recuperou 15% do que havia perdido.
a) Com quanto ela ficou após os dois meses?
b) Qual foi seu prejuízo após os dois meses, em porcentagem, sobre o valor do investimen-
to inicial?
08. O preço de venda de um bem de consumo é de R$ 150,00. O comerciante tem um ga-
nho de 20% sobre o preço de custo deste bem. Qual o preço de custo deste bem?
09. Um determinado setor de serviços é taxado em impostos a 22,5% do seu faturamento.
Determine o valor a ser pago em impostos ao se prestar um serviço por R$ 15.000,00 neste
setor.
GABARITO01. R$ 175,00
02. 3.200
03. 109,29 km/h, aproximadamente
04. R$ 4.444,44
05. R$ 2.375,00
06. R$ 1.200,00
07.
a) R$ 2.235,00
b) 25,5%
08. R$ 125,00
09. R$ 3.375,00
capítulo 2 • 101
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASBEZERRA, M. J.; PUTNOKI, J. C. Novo Bezerra – Matemática 2º grau: volume único. 4. ed. São Paulo:
Scipione, 1996.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005.
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JR, J. R. Matemática completa. São Paulo: FTD,
2002.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZANJ, D.; PÉRIGO, R. Matemática: volume único. 4. ed. São Paulo:
Atual, 2007.
PARENTE, E.; CARIBÉ, R. Matemática comercial & financeira. São Paulo: FTD, 1996.
SANTOS, A., A., M. Matemática para concursos – Aritmética. 2. ed. Rio de Janeiro: Editora Ciência
Moderna Ltda., 2006.
SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N.; GRECO, S. E. Matemática – vol. Único. São Paulo: Ática, 2002.
TEIXEIRA, J.; NETTO, S. P. Matemática financeira. São Paulo: Makron Books, 1998.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005.
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Moderna Ltda., 2006.
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SANTOS, A., A., M. Matemática para concursos – Aritmética. 2. ed. Rio de Janeiro: Editora Ciência
Moderna Ltda., 2006.
TEIXEIRA, J.; NETTO, S. P. Matemática financeira. São Paulo: Makron Books, 1998.
104 • capítulo 3
OBJETIVOS
• Representar pontos no plano cartesiano;
• Formalizar o conceito de função;
• Reconhecer uma função em relações do cotidiano;
• Reconhecer o domínio, o conjunto imagem e o contra-domínio de uma função;
• Identificar funções crescentes, decrescentes e constantes;
• Analisar e interpretar gráficos.
capítulo 3 • 105
3.1 Plano cartesiano
3.1.1 Conceito
O plano cartesiano é um sistema de coordenadas ou sistema gráfico de coor-
denadas formado por dois eixos perpendiculares entre si, sendo o horizontal
chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. Estes eixos
possuem direção e sentido a partir da origem que se estabelece no ponto de
cruzamento dos eixos. Esta origem torna-se o referencial que permite uma lo-
calização organizada e gráfica das coordenadas nos quatro planos ou regiões
que surgem a partir do cruzamento dos eixos. Estas quatro regiões, chamadas
de quadrantes, são numeradas no sentido anti-horário. O primeiro quadrante
possui abscissas e ordenadas com valores positivos.
x
y
O
1º quadrante 2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
(Ordenadas)
(Abscissas)
O eixo y (ordenadas) possui sentido crescente de baixo para cima e o eixo x
(abscissas) possui sentido crescente da esquerda para a direita.
A origem do nome Plano Cartesiano é uma homenagem ao matemático
francês nascido na Idade Média, René Descartes.
3.1.2 Coordenadas de um ponto no plano cartesiano
As coordenadas de um ponto nesse sistema são representadas por meio de pa-
res ordenados (x, y). Os valores de x e y referem-se, respectivamente, às proje-
ções ortogonais do ponto sobre os eixos das abscissas e das ordenadas.
106 • capítulo 3
Por exemplo, no ponto P(5, 3) a abscissa é 5 e a ordenada é 3.
–2 –1 1 2 3 4 5 6 7 x
–1
1
2
3
4
y
O
P(5, 3)
Exemplo: Assinale no gráfico os pares ordenados e coordenadas A(4, 2); B(1,
–1); C(–3, 4); D(–1, –4); E(2, 0).
Resolução:
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
y
O
A
B
C
D
E
capítulo 3 • 107
Exercício. Identifique os pares ordenados cujos pontos estão representados
no plano cartesiano abaixo.
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 x
–3
–2
–1
1
2
3
y
O
A
B
C
D
E
F
Resolução: A(0, 1); B(–3, –2); C(–4, 0); D(4, –1); E(2, 2); F(–2, 3).
Observações.
Um ponto P pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada for zero.
Um ponto T pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa for zero.
Identificando os sinais dos elementos do par ordenado e relacionando-os
aos quadrantes, temos:
• P(a, b) ∈ 1º Quadrante ⇔ a > 0 e b > 0;
• P(a, b) ∈ 2º Quadrante ⇔ a < 0 e b > 0;
• P(a, b) ∈ 3º Quadrante ⇔ a < 0 e b < 0;
• P(a, b) ∈ 4º Quadrante ⇔ a > 0 e b < 0.
Exemplos:
e) O ponto A(5, 0) pertence ao eixo das abscissas;
f) O ponto B(0, 4) pertence ao eixo das ordenadas;
g) O ponto C(3, 4) pertence ao primeiro quadrante;
h) O ponto D(–2, 5) pertence ao segundo quadrante;
i) O ponto E(–4, –6) pertence ao terceiro quadrante;
j) O ponto F(5, –2) pertence ao quarto quadrante.
108 • capítulo 3
3.1.3 Propriedade fundamental dos pares ordenados
Dois pares ordenados são iguais se e somente se suas coordenadas correspon-
dentes são iguais, isto é,
(a, b) = (c, d) ↔ ( a = c e b = d )
Assim, para que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) de números reais sejam
iguais, devem estar associados ao mesmo ponto do plano cartesiano.
Exemplo
x yx
y, ,4 7
7
4( ) = ( ) ⇔
==
3.1.4 Escalas dos Eixos
Cada eixo do plano cartesiano é uma reta numerada que segue uma escala como
unidade de medida. Assim, considerando um segmento de reta como padrão
de unidade em um eixo, os números consecutivos do eixo devem ser separados
por este padrão de unidade estabelecido, que pode ser diferente para cada eixo.
O eixo x pode ter um padrão de unidade u1 e o eixo do y pode ter um padrão
u2 sendo u1 ≠ u2 ou u1 = u2 (mais utilizado).
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
10
–1
–2
–3
–4
2
3
4
0
Eixos x e y com divisões iguais (u1 = u2)
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
50
–5
–10
–15
–20
10
15
20
0
Eixos x e y com divisões diferentes (u1 ≠ u2)
capítulo 3 • 109
3.1.5 Aplicações do Plano Cartesiano
A aplicação do Plano Cartesiano na vida cotidiana cresceu em importância ao
longo do tempo. Com o aumento dos deslocamentos da população mundial,
tornou-se ainda mais necessária a segurança nas rotas aéreas, marítimas, ferro-
viárias, rodovias e metroviárias tornando evidente a necessidade da utilização
de um sistema de coordenadas confiável no mundo atual. Sem informações
confiáveis e seguras de posicionamentos aéreos, marítimos e terrestres, qual-
quer deslocamento acarretaria em um grande risco.
Os principais meios de transportes necessitam de um sistema de localiza-
ção no tempo e no espaço. Não haveria a possibilidade da existência simultâ-
nea de diversos voos e navegações pelo mundo sem um sistema de coordena-
das utilizado internacionalmente que permitisse o controle de todas as rotas.
Em vias urbanas, a circulação de trens e metrô no mundo seria arriscada e in-
viável se os controladores que organizam os trajetos e os horários não tivessem
informações precisas da localização exata dos vagões. Seria impossível também
chegar a algum lugar sem uma correta coordenada longitudinal e latitudinal.
Levantamentos cartográficos e a própria construção organizada de cidades
e prédios seria tarefa muito difícil sem as devidas coordenadas geográficas.
Todas estas atividades baseiam-se em um sistema de coordenadas cartesianas.
No passado, usava-se a bússola como principal instrumento que permitia a
localização, por exemplo, em alto mar. Hoje, modernamente, fazemos uso de
alguns sistemas de localização na qual o mais difundido no momento é o GPS,
Sistema de Posicionamento Global (Global Positioning System), que através de
um sistema de satélites, permite saber, dentre muitas outras informações, a
localização de qualquer coisa ou pessoa no planeta. Para que isso possa acon-
tecer, há a necessidade de um sistema de coordenadas que tem sua origem no
sistema de coordenadas cartesianas (Plano Cartesiano). Os automóveis mais
modernos já possuem GPS permitindo que qualquer pessoa possa se deslocar
pelo mundo com extrema facilidade. Outra aplicação bem cotidiana está na
aviação que faz também uma ampla utilização do GPS.
Neste capítulo será apresentado o conceito matemático de função, que per-
mite analisar, de forma gráfica, comportamentos entre variáveis relacionadas
por uma expressão matemática.
110 • capítulo 3
3.1.6 Produto cartesiano
Considerando A e B conjuntos, o conjunto {(x, y) / x ∈ A e x ∈ B} é o produto
cartesiano de A por B e escrevemos A x B (lê-se A cartesiano B)
Geometricamente, o produto cartesiano pode ser encarado como a região:
A
B A x B
Exemplo.
Considerando A = {1, 2, 3} e B = {5, 8}, o produto cartesiano A x B será:
A x B = {(1, 5), (1, 8), (2, 5), (2, 8), (3, 5), (3, 8)}
3.2 Relações
3.2.1 Introdução
Suponha que se deseje analisar a variação de temperatura, durante sete dias,
em uma determinada região. Após a medição das temperaturas, registrou-se a
temperatura média diária, em cada um dos sete dias, obtendo a seguinte tabela:
DIA DA SEMANA TEMPERATURA (OC)
1 18
2 19
3 16
4 16
5 16
6 13
7 15
capítulo 3 • 111
Em termos matemáticos, podemos dizer que estabelecemos uma relação
do conjunto de dias da semana A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} no conjunto das medidas
das temperaturas B = {18, 19, 16, 13, 15}. Associamos a cada dia da semana, a
temperatura média correspondente.
Podemos representar essa relação de algumas maneiras: através do diagrama
de flechas, através do gráfico cartesiano, através do conjunto de pares ordenados.
a) Diagrama de flechas
A B1
2
3
4
5
6
7
18
19
16
13
15
b) Gráfico cartesiano
201816141210
86420
1 2 3 4Tempo (dias)
5 6 71
Tem
pera
tura
(ºC
)
c) Conjunto de pares ordenados
R = {(1, 18), (2, 19), (3, 16), (4, 16), (5, 16), (6, 13), (7, 15)}
Observe que o primeiro elemento de cada par ordenado pertence ao conjun-
to A (dos dias) e o segundo elemento pertence ao conjunto B (das medidas de
temperatura).
Note que R é um subconjunto do produto cartesiano A X B.
112 • capítulo 3
3.2.2 Conceito
Seja R um conjunto. Suponhamos que todos os elementos de R são pares orde-
nados. Dizemos então que R é uma relação.
Se (x, y) ∈ R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) atra-
vés de R.
Exemplo:
Relação R de A em B, dada por R = {(x, y) ∈ A x B | y < x};
R é o subconjunto de A x B formado pelos pares ordenados em que o segun-
do elemento (y) de cada par é menor do que o primeiro elemento (x). Assim,
temos:
A B1y < x
2
3
1
2
4
6
10
3.2.3 Conjunto de Partida e Contradomínio ou Conjunto de Chegada
Considere A e B conjuntos e suponha que a relação R seja um subconjunto do
produto cartesiano de A por B: R ⊂ A x B.
Dizemos que R é uma relação de A em B e que A é o conjunto de partida de R
e B é o conjunto de chegada ou contradomínio de R.
3.2.4 Domínio
Considere uma relação R relação e considere o conjunto formado pelas primei-
ras coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é o domínio de R e
escrevemos D(R).
capítulo 3 • 113
3.2.5 Imagem
Considere a relação R e consideremos o conjunto formado pelas segundas co-
ordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é a imagem de R e escre-
vemos I(R) .
Exemplo. Considere a relação R de A em B, descrita pelo diagrama abaixo.
A B1
2
3
4
5
6
9
10
R
12
15
18
O domínio da relação R é o conjunto formado por todos os elementos de A
que estão relacionados com elementos de B, através de R: D(R) = {1, 2, 3}.
O conjunto imagem da relação R é o conjunto formado por todos os
elementos de B que estão relacionados com elementos de A, através de
R: Im(R) = {9, 10, 12, 15} .
A B1
2
3
4
5
6
10
R
12
9
15
18
D(R)Im(R)
CP CD
114 • capítulo 3
3.3 Função
3.3.1 Introdução
Em matemática, uma função representa a dependência de certa quantidade
(variável) em relação a outra. Considere dois conjuntos não-vazios A e B e uma
lei f que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B. Temos então
uma função f de A em B.
Uma função é uma regra que associa a cada valor de entrada um único resul-
tado de saída, denominado valor da função. A entrada é chamada de variável in-
dependente e a saída, de variável dependente. O conjunto de todos os números
de entrada é chamado de domínio da função e o conjunto de todos os números
de saída é chamado de imagem da função.
A notação f : A → B indica que f é função de A em B.
Exemplos.
M N1
2
3
4
f
4
2
6
8
P Q4
6
8
g
5
3
7
9
Esta relação é uma fun-
ção, pois todo elemento
de M está associado a um
único elemento de N.
Esta relação não é uma
função, pois o elemento 4
de P está associado a mais
de um elemento de Q.
capítulo 3 • 115
Na matemática, esta regra pode ser definida por uma expressão em que o va-
lor de entrada é representado por uma variável ou incógnita. A função também
pode ser simbolizada por outra variável, ou por outro tipo de designação especial.
Como exemplo, considere a regra que associa a um número real o dobro do
seu valor.
Esta regra pode ser representada, matematicamente, como:
f (x) = 2x
O símbolo f (x) indica que a variável da função é representada pela letra x.
Pode-se ainda representar a função usando outra incógnita ou variável, dife-
rente daquela usada na expressão que define a regra pela qual se calcula o valor
da função.
No exemplo anterior pode-se, alternativamente, usar y = 2x ao invés de
f(x) = 2x.
Desta maneira, pode-se estabelecer, a cada valor de x, um valor para a fun-
ção f(x), como a seguir:
• f(1) = 2(1) = 2,
• f(2) = 2(2) = 4,
• f(3,5) = 2(3,5) = 7.
3.3.2 Variável Independente
A incógnita ou variável usada na expressão que define a representação mate-
mática da função é conhecida como variável independente, pois a ela pode-se
atribuir um valor qualquer, sem que ele dependa de qualquer resultado calcu-
lado anteriormente.
Na expressão y = 2x, a variável independente é o x.
3.3.3 Variável Dependente
A variável dependente é aquela que simboliza o valor da função para cada dado
de entrada. É chamada de variável dependente, pois seu valor depende do atri-
buído a variável independente.
Na expressão y = 2x, a variável dependente é o y.
116 • capítulo 3
3.3.4 Função Real de Variável Real
Uma função real de variável real é justamente aquela que associa, a um valor
real da variável independente, um valor real para a variável dependente.
3.3.5 Domínio e Imagem
Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), con-
tradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam
válidos.
O Domínio de uma função corresponde ao conjunto de valores da variável
dependente para os quais a função é definida.
Para as funções F(x) = 2x e F(x) = x2 o domínio corresponde a todo o conjunto
de números reais, pois para qualquer valor real x estas funções são definidas.
Já para a função f x x( ) = o domínio corresponde a todo o conjunto de nú-
meros reais não negativos, pois no conjunto de números reais a raiz quadrada
de um número negativo não é definida.
A figura a seguir apresenta o gráfico de f x x( ) =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0
2
3
4
x
y
A imagem de uma função é definida como o conjunto de todos os valores
que a função pode assumir, considerando-se todos os valores possíveis da vari-
ável independente (ao conjunto de todos os valores possíveis da variável inde-
pendente denomina-se domínio da função).
Considere, por exemplo, a função y = x2, em que a variável independente
pode assumir qualquer valor no conjunto dos números reais (ou seja, o seu
capítulo 3 • 117
domínio é todo o conjunto dos números reais). A variável dependente y, obtida
pela regra que define o seu valor como sendo igual ao quadrado do valor da va-
riável independente, só terá valores reais não negativos.
Consequentemente, a imagem desta função será o conjunto dos números
reais não negativos.
1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
y
x
3.3.6 Valor de uma Função num Ponto
O valor de uma função num ponto da reta real representa justamente o valor
calculado para a função quando a variável independente assume o valor corres-
pondente a tal ponto.
3.3.7 Gráfico de uma Função
O gráfico de uma função consiste em representar, no plano cartesiano, todos os
pontos cujas coordenadas (x, y) correspondem a valores das coordenadas inde-
pendente e dependente da função representada.
118 • capítulo 3
As figuras a seguir representam os gráficos das funções y = 2x e y = x2.
1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
y
x
y = x2
y = 2x
1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
0 x
y
–5
–4
–3
–2–1
3.3.8 Imagem de um elemento através do diagrama de flechas
Consideremos a função descrita no diagrama de flechas abaixo.
A B1
2
3
4
5
2
4
f
6
8
10
Observe que cada elemento y do conjunto B está associado a um elemento x
do conjunto A, através de f.
Dizemos então que y é a imagem de x, através de f.
Simbolicamente: y = f (x).
Lê-se: “y é igual a f de x” ou “y é a imagem de x através de f”.
f (1) = 2 f (2) = 4 f (3) = 6 f (4) = 8 f (5) = 10
capítulo 3 • 119
3.3.9 Imagem de um elemento através da regra y = f(x)
Sejam os conjuntos A = [–3, 8], B = [–10, 20] e a função
f : A → B
f (x) = 2x + 1.
Por exemplo, a imagem do elemento 4, através de f, é
f (4) = 2 ∙ 4 + 1
f (4) = 9
Assim, (4, 9) ∈ f
O símbolo f (x) representa a ordenada do ponto de abscissa x. Assim, em vez
de escrevermos f(x) = 2x + 1, podemos escrever y = 2x + 1, ou seja, o símbolo f(x)
pode ser substituído por y e vice-versa.
3.3.10 Imagem de um elemento através do gráfico de uma função
Consideremos o gráfico de uma função y = f(x) abaixo.
y
–5 –4 –3 –2 –1
–2
–1
1
2
3
4
5
O x1 2 3 4 5
Interpretamos cada ponto (x, y) do gráfico de f como (x, f(x)): A ordenada é a
imagem da abscissa através de f.
120 • capítulo 3
Exemplos:
(–1, 0) é ponto do gráfico; logo f(–1) = 0;
(0, –2) é ponto do gráfico; logo f(0) = 2;
(1, –2) é ponto do gráfico; logo f(1) = –2;
(2, 0) é ponto do gráfico; logo f(2) = 0;
(3, 4) é ponto do gráfico; logo f(3) = 4.
3.3.11 Reconhecimento de uma função através de seu gráfico
Eventualmente precisamos verificar se uma relação é ou não uma função, atra-
vés de seu gráfico. Se uma reta paralela ao eixo y interceptar o gráfico de uma
relação R em mais de um ponto, então R não é função.
No gráfico abaixo a reta vermelha, paralela ao eixo y, intercepta o gráfico em
dois pontos. Neste caso, para x = 2 temos dois valores de y associados. Portanto,
o gráfico não representa uma função.
x
y
3
–3 –2 –1 1 2 3
2
1
0
–1
–2
0a
3.3.12 Função Crescente
Dizemos que uma função é crescente em um intervalo numérico se os valores
de f(x) aumentam quando x aumenta. Assim, para dois valores quaisquer x1 e x2
deste intervalo, com x2 > x1, têm-se f(x2) ≥ f(x1).
capítulo 3 • 121
Exemplo:
y
y2
y1
x2
1
0 xx1
3.3.13 Função Decrescente
Dizemos que uma função é decrescente em um intervalo numérico se os valo-
res de f(x) diminuem quando x aumenta. Assim, para dois valores quaisquer x1
e x2 deste intervalo, com x2 > x1, têm-se f(x2) ≤ f(x1).
y2
xx1
y
x2
y1
0
3.3.14 Função Constante
Uma função f(x) é constante em um intervalo numérico no qual é definida se,
para dois valores quaisquer x1 e x2 deste intervalo, com x2 ≠ x1, têm-se f(x2) = f(x1).
122 • capítulo 3
Isto só ocorre se f(x) = c, onde c é um número real constante, ou seja, não se ve-
rifica, na definição da função, a variável independente x.
Exemplo: f(x) = 2
y
–4 –3 –2 –1
–2
–1
1
2
3
4
0 x1 2 3 4
EXERCÍCIO RESOLVIDO
10. Observe o gráfico de f abaixo. Determine f(0); f(2); f(4); f(–2); f(–4); f(–6); f(–8).
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x
–1
1
2
3
4
5
6
0
y
Resolução
f(0) = 3
f(2) = 4
f(4) = 5
f(–2) = 2
f(–4) = 1
f(–6) = 0
f(–8) = –1
capítulo 3 • 123
11. Considere o gráfico abaixo que representa uma função f do intervalo [1,3] em IR. Quanto
à imagem é SOMENTE correto afirmar:
1 3 x
y
0
1
2
3
4
a) Im(f) = [1,4];
b) Im(f) = [2,3];
c) Im(f) = ]1,4];
d) Im(f) = ]2,3];
e) Im(f) = [1,3].
Resolução
O menor valor para imagem é y = 1 e o maior é y = 4. Assim, o conjunto Imagem será
Im(f) = [1,4].
1 3 x
y
0
1
2
3
4
12. (UFRJ) No gráfico mostrado a imagem do intervalo [-1, 2) é:
21
2
1
–1
–1
x
y
12
a) [1/2, 1[ ∪ ]-2, 1].
b) ]1/2, 1] ∪ [-2,1[.
c) [-1/2, 1] ∪ ]1, 2[.
d) [-1, 1/2] ∪ ]1, 2[.
e) [-1, 1/2] ∪ [1, 2].
124 • capítulo 3
Resolução
Observe que o domínio considerado é [–1, 2[, a abscissa x = 2 não faz parte do domínio.
Assim, na imagem o elemento f(2) também não estará.
O valor y = 1 é imagem para um valor x > 2, fora do domínio [– 1, 2[.
Assim, f(1) não será elemento da imagem nesse domínio.
Observe a função com a imagem e o domínio sinalizados.
21
2
1
–1
–1
x
y
12
13. Identifique no gráfico abaixo, quando a função é crescente, decrescente e constante.
–2 –1
–2
–1
1
2
3
0 x
1 2
3 4
y
Resolução
Crescente: [–2. 1] e [2,3]
Decrescente: [3,4]
Constante: [1,2]
capítulo 3 • 125
14. (FGV) Seja uma função y = f(x), cujo gráfico está representado na figura. Assinale a
afirmação correta.
x1
x2
x3 x4
x5
x
y
a) f(0) = 0
b) f(x1) = f(x3) = f(x5) = 0
c) a função é crescente no intervalo [x3; x5]
d) a função é decrescente no intervalo [x3; x5]
e) f(x2) = f(x4) = 0
Resolução
Analisaremos cada uma das opções.
a) Falsa. Para que f(0) = 0, o gráfico precisaria passar na origem (0, 0), o que não acontece.
b) Verdadeiro. f(x1) = f(x2) = f(x3) = 0, ou seja, x1, x3 e x5 são zeros da função. Graficamente,
são os pontos onde o gráfico corta o eixo x.
c) Falsa. A função é decrescente no intervalo [x4, x5] .
d) Falsa. A função é crescente no intervalo [x3, x4].
e) Falsa. O gráfico não corta o eixo x nas abscissas x2 e x4 . Além disso, f(x2) ≠ f(x4).
15. (UFF) O gráfico da função f está representado na figura.
x
3
864
y
0
126 • capítulo 3
a) Determine o domínio de f.
b) Determine a imagem de f.
c) Analise o crescimento e decaimento da função.
d) Determine os intervalos onde f > 0, f = 0 e f < 0.
e) Calcule f f f0 2 26 8( )− ⋅ ( )+ ( )
Resolução
a) Determine o domínio de f. D(f) = [0, 8]
b) Determine a imagem de f. Im(f) = [0, 4]
c) Analise o crescimento e decaimento da função. Crescente: [0, 4]; Decrescente: [6, 8]
d) Determine os intervalos onde f > 0, f = 0 e f < 0.
A função não assume valores negativos.
A função é positiva (f > 0) no intervalo ]0, 8[.
A função se anula nos valores onde o gráfico intersecta o eixo X. f = 0 nos pontos {0, 8}.
e) Calcule f f f0 2 26 8( )− ⋅ ( )+ ( )A raiz de 26 é maior que a raiz de 5 e menor que a raiz de 6.
f f f0 2 26 8 0 4 0 4( )− ⋅ ( )+ ( ) = − + = −
16. (UFF) Considere a função real de variável real f e a função g tal que e g(x) = f(2x) – 1.
O gráfico de g é representado na figura a seguir.
a) Determine a Im(g).
b) Calcule os valores de g g g015
( )
( ), , π
c) Determine o elemento negativo do domínio de g(x) cuja imagem vale 1.
d) Determine f(0) e f(4).
e) Analise os intervalos de crescimento e decaimento da função g(x).
Resolução
O cálculo de g(x) depende de f(x).
a) Im(g) = [0, 2].
b) g
g g
g
0 0
15
0 5 0
2
( ) =
= ( ) =
( ) =
,
π
capítulo 3 • 127
c) O ponto (– 1, 1) significa que f(– 1) = 1.
Assim, x = – 1 é o elemento do domínio que atende a essa condição.
d) Para calcularmos f(0), precisamos calcular f[2.(0)].
Para x = 0, substituindo esse valor na expressão que associa g(x) e f(x), buscamos a
imagem de g(0) no gráfico.
x g f
g
f
f
= ⇒ = ( ) −=
= −=
0 0 2 0 1
0 0
0 0 1
0 1
( ) ( . )
( )
( )
( )
Analogamente, faremos o cálculo de f(4) = f[2.(2)]. Assim, para x = 2.
x g f
g
f
f
= ⇒ = ( ) −=
= −= + =
2 2 2 2 1
2 2
2 4 1
4 2 1 3
( ) ( . )
( )
( )
( )
17. (UERJ) O gráfico abaixo representa o consumo de oxigênio de uma pessoa que se exer-
cita, em condições aeróbicas, numa bicicleta ergométrica. Considere que o organismo libera,
em média, 4,8kcal para cada litro de oxigênio absorvido.
A energia liberada no período entre 5 e 15 minutos, em kcal, é:
1,4
0
y
(min)00 20155
1,0
Con
sum
o de
O2 (L
/min
)
a) 48,0 b) 52,4 c) 67,2 d) 93,6
128 • capítulo 3
Resolução
Entre 5 e 15 minutos, passaram-se 10 minutos.
Com o consumo constante de 1,4L/min, temos que foram consumidos (10) ∙ (1,4) = 14
litros de oxigênio.
Se o organismo libera 4,8kcal por litro, liberará (14) ∙ (4,8) = 67,2kcal.
18. (UFPE) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao
longo de três anos. O nível de 40m foi atingido quantas vezes neste período?
100
Nível (m)
9080
10
Tempo
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resolução
Determinando a interseção da reta y = 40 com o gráfico, obtemos dois valores.
40
100
Nível (m)
9080
10
Tempo
capítulo 3 • 129
19. (Enem 2011). O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois
as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para
a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos.
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
30
25
201998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
25,31
28,28
27,79
25,83
23,92 24,74
26,46
23,26
21,3322,24 22,87
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). Almanaque abril 2010. São
Paulo: Abril, ano 36 (adaptado)
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da parti-
cipação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em
termos percentuais.
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de
a) 1998 e 2001.
b) 2001 e 2003.
c) 2003 e 2006.
d) 2003 e 2007.
e) 2003 e 2008.
Resolução
O período de queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro se deu no período
entre 2003 e 2006.
Esta informação é obtida através de leitura direta do gráfico: em 2003 a participação era
de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005, chegando a 23,92% em 2006
– depois deste período, a participação volta a aumentar.
Resposta: C
130 • capítulo 3
20. (ENEM). Após a ingestão de bebidas alcoólicas, o metabolismo do álcool e sua presença
no sangue dependem de fatores como peso corporal, condições e tempo após a ingestão.
O gráfico mostra a variação da concentração de álcool no sangue de indivíduos de mesmo
peso que beberam três latas de cerveja cada um, em diferentes condições: em jejum e após
o jantar. Tendo em vista que a concentração máxima de álcool no sangue permitida pela
legislação brasileira para motoristas é 0,6g/L, o indivíduo que bebeu após o jantar e o que
bebeu em jejum só poderão dirigir após, aproximadamente,
Tempo após ingestão1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
765432
horas
Ingestão de álcool
em jejum
após o jantar
g/L
Álc
ool n
o sa
ngue
a) uma hora e uma hora e meia, res-
pectivamente.
b) três horas e meia hora, respectiva-
mente.
c) três horas e quatro horas e meia,
respectivamente.
d) seis horas e três horas, respectiva-
mente.
e) seis horas, igualmente.
Resolução
Observando o gráfico e identifi-
cando os pontos, temos as abscissas
(horas) correspondentes.
Resposta: c) três horas e quatro
horas e meia, respectivamente.
Tempo após ingestão1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
765432
horas
Ingestão de álcool
em jejum
após o jantar
g/L
Álc
ool n
o sa
ngue
132 • capítulo 4
OBJETIVOS
• Definir uma função afim e estudar suas particularidades.
• Esboçar o gráfico de uma função afim.
• Identificar os pontos notáveis do gráfico de uma função afim.
• Resolver equações e inequações envolvendo funções afins.
• Identificar uma função de segundo grau ou quadrática.
• Definir uma parábola e determinar seus pontos notáveis.
• Esboçar e analisar o gráfico de uma função quadrática.
• Identificar o domínio e a imagem de uma função quadrática.
• Resolver situações-problema envolvendo funções quadráticas.
• Resolver inequações quadráticas.
capítulo 4 • 133
4.1 Função afim ou polinomial do primeiro grau
4.1.1 Introdução
As aplicações são empregos das noções e teorias da matemática para obter resulta-
dos, conclusões e previsões em situações que vão desde problemas triviais do dia-a-dia
a questões mais sutis que surgem noutras áreas, quer científicas, quer tecnológicas,
quer mesmo sociais. As aplicações constituem a principal razão pela qual o ensino da
matemática é tão difundido e necessário, desde os primórdios da civilização até os dias
de hoje e certamente cada vez mais no futuro. Como as entendemos, as aplicações do
conhecimento matemático incluem a resolução de problemas, essa arte intrigante que,
por meio de desafios, desenvolve a criatividade, nutre a auto-estima, estimula a imagi-
nação e recompensa o esforço de aprender.
Elon Lages Lima em Conceituação, Manipulação e Aplicações: Os três componen-
tes do ensino da Matemática. Disponível em: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.
br/bitstream/handle/mec/20082/pdf/rpm41.pdf>.
Inúmeras são as aplicações interessantes e úteis das funções de maneira
geral. Para compreendermos bem estas aplicações, devemos, a princípio, do-
minar a teoria que embasa o estudo das funções e seus gráficos. Começaremos
nossos estudos com a função afim, ou função polinomial do primeiro grau.
4.2 Definição
No estudo das funções matemáticas, toda função do tipo f(x) = ax + b, com a, b ∈ �
e a ≠ 0, é denominada função afim ou função polinomial do 1º grau. Ou ainda,
podemos expressar f por
f
x f x ax b
÷ →→ ( ) = +� �
Note que a, b são parâmetros e x é variável, enquanto que f(x) é o valor da
função afim na variável x.
Podemos usar qualquer letra para representar parâmetros, variáveis e valo-
res da função.
134 • capítulo 4
EXEMPLOc) y = 6x + 9 é uma função afim, em que a = 6 e b =9
d) y = 5x é uma função afim, em que a = 5 e b =0
e) y = 2x – 4 é uma função afim, em que a = 2 e b =–4
f) y = –0,8x –0,7 é uma função afim, em que a = –0,8 e b =–0,7
g) Uma empresa da área de vendas paga um salário fixo de R$ 900,00 mais uma co-
missão de R$ 4,00 por cada produto vendido. Podemos representar esta situação por uma
função afim da seguinte forma:
y = 4x + 900
Neste caso, podemos dizer que o salário recebido pelo empregado y depende da varia-
ção de x (quantidade de produto vendida).
4.3 Casos particulares de uma função afim
Função constante é a função f ÷ →� � , definida por f(x) = b, onde a = 0
Observe o gráfico da função constante f(x) = –3
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
y
O
capítulo 4 • 135
Função linear é a função f ÷ →� � , definida por f(x) = ax, onde b = 0
–4–5 –3 –2 –1 1 2 3 4 x
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
y
O
–5
Função Identidade é a função f ÷ →� � , definida por f(x) = x, onde a = 1 e
b = 0.
Observe o gráfico da função f(x) = x.
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
y
O
136 • capítulo 4
4.4 Determinação de uma função afim a partir de duas coordenadas
Uma função afim f(x) = ax + b pode ser determinada através de duas coorde-
nadas (x1, y1) e (x2, y2) quaisquer, com x1 ≠ x2. Lembre-se que uma função afim é
determinada pelos valores de seus parâmetros.
Exemplo
Determine a função afim sabendo que f(2) = 5 e f(3) = 7
Resolução
Sabe-se que as coordenada são (2, 5) e (3, 7), então substituímos esses valo-
res diretamente na função f(x) = ax + b, obtemos o seguinte sistema:
2 5
3 7
2 5
3 7
,
,,
( ) →( ) →
− =+ =
a b
a bem que os par metros precisam sser determinados
Da primeira equação do sistema, temos que b = 5 – 2a. Inserindo este resul-
tado na segunda equação, temos que
3a + b = 7
3a + 5 = 7
1a + 5 =7
a= 7 5
a= 2
−
−
2a
Substituindo a = 2 na primeira equação, verifica-se que
2a + b = 5
2 2 + b = 5
4 + =5
b = 5
b= 1
( )
−b
4
Resposta A função afim é dada por f(x) = 2x + 1
capítulo 4 • 137
4.5 Gráfico de uma função afim
De acordo com a tabela a seguir, vamos construir um gráfico correspondente
aos valores registrados. Observe que para cada valor na coluna de tempo em x
existe um valor correspondente na coluna de temperatura em y.
TEMPO (MINUTOS) TEMPERATURA (º C)X Y0 151 302 453 604 75
Assim, poderemos construir o gráfico interligando os pontos no eixo das
abscissas (eixo x) aos pontos correspondentes nas ordenadas (eixo y). Verifica-
se que para esta tabela o gráfico correspondente é de uma semirreta, pois so-
mente os valores não negativos são considerados para o tempo e a temperatura.
y (°C)
75
60
45
30
15
1 2 3 4 x (min)
Note que a variação dos valores de y, que indicaremos por Δy, é diretamente
proporcional à variação dos valores correspondentes de x, que indicaremos por
Δx. Portanto, quando x varia de 0 a 4, a variação correspondente para y é de 15
a 75, isto é, Δy = 75 – 15 = 60 e Δx = 4 – 0 = 4, sendo ∆∆
= =yx
604
15 . Podemos con
cluir então que a cada variação de 1 minuto em x corresponderá a uma variação
de 15 graus Celsius em y.
138 • capítulo 4
Se em uma função y = f(x) as variações de x e y são diretamente proporcio-
nais, então podemos concluir que o gráfico da função sempre será uma reta e
postular o seguinte resultado: o gráfico de toda função afim é uma reta.
Observações:
d) Como consequência do resultado anterior, para construir o gráfico de
uma função afim precisamos representar dois pontos distintos da função no
plano cartesiano e traçar a reta que passa por eles.
e) Devemos observar que, se b = 0, a função será definida por y = ax, e, por-
tanto, o gráfico será uma reta que passará sempre pelo ponto (0,0) dos eixos das
abscissas e ordenadas, pois quando x = 0, temos que y =0.
4.6 Interseção do gráfico de uma função afim com o eixo x
Seja a função afim y = ax + b com, a, b ∈ � e a ≠ 0. Sendo o gráfico de toda função
afim uma reta, teremos sempre a reta cruzando o eixo x em um único ponto.
Para determinar a abscissa desse ponto, substituiremosm y = 0 na expressão da
reta, obtendo
0 = + ⇒ =− ⇒ = −ax b ax b xab
Logo, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo x é
−
ab
, 0 . Este ponto também é conhecido por raiz ou zero da função afim.
Exemplo
Determine a abscissa do ponto de interseção da reta y = 2x – 6 com o eixo 0x.
Resolução
Se a reta cruza o eixo x, significa que o ponto de interseção tem y = 0, e subs-
tituindo esse resultado na expressão da reta, obtemos: 0 2 662
3= − ⇒ = =x xVeja, a seguir, o gráfico da função afim y = 2x – 6
capítulo 4 • 139
–6
3 x
y
Resposta: A abscissa do ponto de interseção é 3.
4.7 Intersecção do gráfico de uma função afim com o eixo y
Seja a função afim y = ax + b com, a, b ∈ � e a ≠ 0. Sendo o gráfico da função uma
reta, esta cruzará o eixo y em um único ponto. Para determinar a ordenada des-
te ponto, substituiremos x =0 na expressão da reta, obtendo:
y = a · 0 + b ⇒ y = b
Logo, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo y é
(0, b).
Exemplo
Determine a ordenada do ponto de intersecção da reta y = – 5x + 15 com o
eixo y.
Resolução
Se a reta cruza o eixo y, significa que o ponto de interseção temn x = 0, e subs-
tituindo esse resultado na expressão da reta, obtemos: y = –5(0) + 15 ⇒ y = 15.
Portanto, a reta corta o eixo y no ponto (0,15). Veja, a seguir, o gráfico da
função y = – 5x + 15.
140 • capítulo 4
y
3
15
x
Resposta A ordenada do ponto de interseção é 15.
4.8 Coeficientes angular e linear de uma função afim
Seja a função afim y = ax + b com, a, b ∈ � e a ≠ 0. Vamos voltar ao tópico já men-
cionado sobre taxa de variação de uma função afim. Começaremos observando
o gráfico a seguir.
Considere dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) quaisquer nessa reta. Assim, sabemos
que y1 = ax1 + b e y2 = ax2 + b. Observe que, isolando o parâmetro b nas duas igual-
dades, temos b = y1 – ax1 e b = y2 – ax2.
Portanto, y1 – ax1 = y2 – ax2
Isolando o parâmetro a, temos:
ax ax x x
a x x x x
ay y
x x
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
− = −
−( ) = −
=−−
Ou seja, em uma função afim, a taxa de variação é constante e igual ao parâ-
metro a, ou seja,
ayx
y y
x x
y y
x x
y y
x x= ∆
∆=
−−
=−−
=−−
3 2
3 2
2 1
2 1
3 1
3 1
capítulo 4 • 141
Geometricamente, o parâmetro a é chamado de coeficiente angular, en-
quanto que o parâmetro b é chamado de coeficiente linear.
Convém observar que o coeficiente angular é a tangente do ângulo de
inclinação
ayx
= ∆∆
Exemplo
Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (–1, 3) e (–2, 4)/
Resolução
Temos que calcular a taxa de variação dada por esses dois pontos, assim:
ayx
= ∆∆
= −− − −( )
= −4 32 1
1
Note que alcançamos o mesmo resultado se fizermos:
ayx
= ∆∆
= −− − −( )
= −3 41 2
1
Exemplo
Considere a função y = 4x + 12. Indique a raiz e a taxa de variação.
Resolução
Sabendo que a raiz da função afim é o valor x correspondendo a y = 0, fazemos
0 = 4x + 12 ⇒ 4x = –12 ⇒ x = –3
Para calcularmos a taxa de variação devemos ter, pelos menos, dois pontos
da reta. Vamos calculá-los:
1. Se escolhemos x1 = 1 teremos o respectivo valor de y1 = 4(1) + 12 = 16,
portanto (x1, y1) = (1, 16)
2. Se escolhemos x2 = 3 teremos o respectivo valor de y2 = 4(3) + 12 = 24,
portanto (x2, y2) = (3, 24)
Assim, temos , como era esperado, pois já sabemos que a taxa de variação e
a = 4 e esse valor nos é informado na própria expressão da função afim.
142 • capítulo 4
Propriedade importante
Se duas ou mais funções afins têm a mesma taxa de variação y = x + 3, y = x – 1 e
y = x – 4, com a =1.
–4
3
–3 1 4–1
y
x
4.9 Função afim crescente e decrescente
Seja a função afim y = ax + b com, a, b ∈ � e a ≠ 0. Dizemos que uma função
afim é
I. crescente se, e somente se, o valor de a for positivo (a > 0
II. decrescente se, e somente se, o valor de a for negativo(a > 0)
Exemplo
Determine se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes.
a) y = 7x – 12
b) y = –6x + 9
Resolução
a) Como o valor de a é igual a 7, esta função é denominada crescente.
b) Como o valor de a é igual a –6, esta função é denominada decrescente.
capítulo 4 • 143
4.10 Estudo do sinal de uma função afim
Para estudarmos o sinal de uma função afim f(x) = ax + b, teremos que deter-
minar os valores de x para os quais f(x) se anula, é positiva ou é negativa. Este
estudo pode ser realizado através do gráfico ou da raiz da função.
Exemplo
Estude o sinal da função f(x) = 4x – 8
Resolução
Vamos calcular primeiramente a raiz da função, ou seja, queremos determi-
nar x tal que o valor da função se anula:
f x x x( ) = − = ⇒ = =4 8 082
4
Agora, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta
valores negativos, ou seja,
f x x x x( ) = − < ⇒ < ⇒ <4 8 0 4 8 2
Finalmente, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apre-
senta valores positivos, ou seja,
f x x x x( ) = − > ⇒ > ⇒ >4 8 0 4 8 2
Graficamente, temos a semirreta
em vermelho, indicando o intervalo
de x em que a função apresenta valo-
res negativos e a semirreta em roxo,
indicando o intervalo de x em que a
função apresenta valores positivos. Já
na raiz x = 2, em que a função apresen-
ta valores positivos. Já na raiz –8
+–
y
2
144 • capítulo 4
Exemplo
Estude o sinal da função f(x) = –5x + 15.
Resolução
Vamos calcular primeiramente a raiz da função, ou seja, queremos determi-
nar x tal que o valor da função se anula:
f x x x x( ) = − + = ⇒ − = − ⇒ =5 15 0 5 15 3
Agora, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta
valores negativos, ou seja,
f x x x x( ) = − + < ⇒ − < − ⇒ <5 15 0 5 15 3
Finalmente, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apre-
senta valores positivos, ou seja,
f x x x x( ) = − + > ⇒ − > − ⇒ >5 15 0 5 15 3
Graficamente, temos a semirreta em vermelho, indicando o intervalo de x
em que a função apresenta valores negativos e a semirreta em roxo, indicando
o intervalo de x em que a função apresenta valores positivos. Já na raiz x = 3,
temos que a função se anula.
15
y
3 x
+ + – –
capítulo 4 • 145
EXERCÍCIO RESOLVIDO21. Nos gráficos apresentados abaixo, assinale o ângulo cuja tangente é o coeficiente an-
gular (α).
x
y
x
y
x
y
x
y
Solução
x
y
x
y
x
y
x
y
α α α α
22. Dadas as equações indique o valor do coeficiente linear L.
a) y = 3x + 2
b) y = 4x + 5
c) y = x – 2
d) y = 7
e) 3y = 5x
f) –2y = –x + 1
g) 5y = 3x + 15
h) –3y = x – 6
Solução:
a) L = 2
b) L = 5
c) L = –2
d) L = 7
e) L = 0
f) L = –1/2
g) L = 15/5 = 3
h) L = –6/–3 = 2
146 • capítulo 4
23. Construa o gráfico da função f(x) = 2x – 4
Resolução
Como podemos observar f(x) = 2x – 4 é uma função afim, cujo gráfico é uma reta. Para
traçar uma reta precisamos escolher pelo menos dois pontos. Nesse caso, vamos atribuir
dois valores arbitrários para x e calcular os respectivos valores de y, da seguinte forma.
Escolha:
x = 0 ⇒ f(0) = 2(0) – 4 = ⇒ (0, –4) é um ponto da reta,
x = 2 ⇒ f(2) = 2(2) – 4 = ⇒ (2, 0) é outro ponto da reta.
Passamos então para a construção do gráfico, marcando os pontos obtidos no plano
cartesiano e traçando a reta que une esses dois pontos. Veja a figura abaixo.
4
2
y
x
24. Determine a raiz da função f(x) = 3x + 9 e construa seu gráfico.
Resolução
Para calcular o zero ou a raiz da função afim, substituímos f(x) = 0 na expressão da
função, ou seja, fazemos
0 = –3x + 9 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3
Agora, precisamos de dois pontos para traçarmos o gráfico da função afim que é uma
reta. Já sabemos que (3,0) é um ponto da reta, agora vamos escolher um outro ponto. Por
exemplo, faça x = 0 neste caso, temos
f(0) = –3(0) + 9 ⇒ f(0) = 9
capítulo 4 • 147
25. Determine a raiz da função f(x) = 5x + 7 e construa seu gráfico.
Resolução
Vamos primeiramente calcular a raiz da função, determinando x tal que f(x) = 0, ou seja,
0 = 5x + 7 ⇒ 5x = –7 ⇒ x = –1,4
Já sabemos que (–1,4; 0) é um ponto da reta. Para determinar o segundo ponto, fazemos,
por exemplo,
f(0) = 5(0) + 7 ⇒ f(0) = 7
ou seja, (0, 7) é outro ponto da reta. Marcando esses dois pontos no plano cartesiano e
traçando a reta que os une, obtemos o seguinte gráfico.
3
9
y
x
26. Sabendo-se que o gráfico a seguir é de uma função polinomial do 1° grau (afim) do tipo
y = ax + b, representada pela reta que passa pelos pontos M e N, determine os valores de
a e b
–1,4
7
y
x
148 • capítulo 4
Resolução
Tendo em vista que os pontos M e N estão sobre a reta que representa a função afim,
queremos determinar o coeficiente angular a e o coeficiente linear b. Para isso, montamos o
seguinte sistema com as variáveis a e b.
0 6
4 2
6 0
2 4
6
4 22 6
,
,,
( ) →−( ) →
= ( ) +− = ( ) +
⇒
=+ =−
⇒ = − =a b
a b
b
a ba b
Com isso, a expressão da função afim representada pela reta que passa nos pontos M e N é
y = –2x + 6
27. Dada a equação y = 2x + 1
a) Identifique o coeficiente angular;
b) Identifique o coeficiente linear;
c) Construa o gráfico no Plano Cartesiano.
Resolução
Em uma equação do tipo Ay + Bx + C = 0, temos: B/A = coeficiente angular
C/B = coeficiente linear
Logo,
y = 2x + 1 → coeficiente angular = 2
coeficiente linear = 1
No Plano Cartesiano, para cada valor de x obtemos um valor de y, assim temos:
X Y0 11 3
Graficamente, temos:
y = 2x + 1
x
y
(1,3)
(0,1)
capítulo 4 • 149
ESTUDO DE CASO APLICADOS01. O custo para se produzir um determinado produto em uma indústria depende de valores
fixos e variáveis. Independentemente da quantidade produzida, o custo mensal para a manuten-
ção do parque industrial destinado à sua fabricação é de R$ R$ 50.000,00. Quando as máqui-
nas entram em funcionamento, o custo para produzir cada unidade do produto é de R$ 400,00.
a) Determine a equação que representa o custo em função da quantidade produzida.
Resposta: Se chamarmos o custo de C de x a quantidade produzida, o valor será igual a
C = 50.000 + 400x
b) Qual será o custo para a produção de 600 unidades?
Resposta: Fazendo x = 600 teremos que o custo será igual a
C = 50.000 + 400x
C = 50.000 + 400 ∙ 600
C = 50.000 + 240.000
C = 290.000,00
c) Quantas unidades poderão ser produzidas com um custo de R$ 470.000,00?
Resposta: Neste caso temos o valor a ser gasto e queremos obter a quantidade x a ser
produzida. Logo:
C = 50.000 + 400x
470.000 = 50.000 + 400x
400x = 420.000
x = 1050 unidades
02. Um empregado contratado para trabalhar 180 horas mensais recebe um salário de R$
40,00 por hora, e deve receber o dobro no caso de horas extras. Se ao fim do mês este fun-
cionário recebeu R$ 9.200,00 de salário, quantas horas extras trabalhou?
Resolução
Como cada hora extra custa R$ 80,00, o dobro da hora normal, então:
9.200 = 40∙180 + 80x
9.200 = 7.200 + 80x
80x = 2000
x = 25 horas extras
150 • capítulo 4
03. O custo do tempo de exibição de um anúncio num canal de televisão é definido pela
seguinte regra:
• R$ 100,00 por segundo, até o limite de 30 segundos.
• R$ 200,00 por cada segundo que exceder os trinta segundos iniciais.
a) Determine o custo correspondente a um anúncio de 25 segundos.
Resposta: 100 ∙ 25 = 2500
b) Determine o custo correspondente a um anúncio de 75 segundos.
Resposta: 100 ∙ 30 + 200 ∙ (75 – 30) = 100 – 30 + 200 ∙ 45 = 12.000,00
04. Um vendedor precisa alugar um carro para visitar vários clientes, e a locadora cobra uma
diária de R$ 250,00 mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. Se ele vai alugar o carro por três
dias e vai percorrer 600 km, qual será o valor a ser pago?
Resolução
Como serão 3 dias, pagará 250 ∙ 3 = 750,00 de diária e como percorrerá 600 km, pa-
gará mais 1,5 ∙ 600 = 900,00.
Logo, pagará o valor total de R$ 1.650,00.
05. O custo de energia para uma empresa é de R$ 0,5 por kWh, até 200 kWh, e R$ 1,20 para
cada kWh que exceder 200 kWh. Qual será o valor a ser pago por um consumo de 800 kWh?
Resolução
0,5 ∙ 200 + 1,20 ∙ 600 = R$ 820,00
06. Uma empresa paga aos seus vendedores um salário mensal fixo de R$ 800,00, mais
5% de comissão por venda. Qual será o valor a ser pago a um vendedor que vender R$
10.000,00? Determine a função que associa o salário mensal às vendas do vendedor. Esbo-
ce o gráfico desta função.
Resolução
800,00 + 0,05 ∙ 10000 = R$ 1.300,00
F(x) = 800,00 + 0,05x, cujo gráfico é reproduzido a seguir.
capítulo 4 • 151
1600
1400
1200
1000
800
0 5000 10.000 15.000
07. Uma empresa compra resmas de papel a R$ 10,00 a unidade e cartuchos de impressão
a R$ 40,00 a unidade. Se os recursos disponíveis para esta compra são de R$ 1.200,00 e
serão comprados 20 cartuchos de tinta, quantas resmas de papel serão adquiridas? Deter-
mine a função que associa a quantidade de resmas à quantidade de cartuchos comprados.
Esboce o gráfico desta função.
Resolução:
10x + 40 ∙ 20 = 1.200
10x + 800 = 1.200
10x = 400
x = 40 resmas de papel
Como o valor total é de 1.200 e cada cartucho custa R$ 40,00 o recurso que sobra após
a compra de x cartuchos será 1.200 – 40x. O número de resmas será esta quantidade dividi-
da por 10, ou seja, F(x) = 120 – 4x, cujo gráfico é reproduzido a seguir.
100
50
10 20 30 40
08. Uma peça publicitária será publicada em um jornal durante uma semana completa. Nos
dias úteis, a publicação custa R$ 7.000,00 por dia e nos finais de semana e feriados R$
12.000,00 por dia. Determine o valor a ser pago em uma semana comum, sem feriados, e
numa semana em que ocorra um feriado no meio da semana. Determine a função que asso-
cia o valor a ser pago em função da quantidade de feriados em dias úteis.
152 • capítulo 4
Resolução:
Numa semana comum temos cinco dias úteis e dois dias no final de semana, logo o
valor será 5 ∙ 7000 + 2 ∙ 12000 = 59000,00. Já no caso em que há um feriado no meio da
semana, teremos 4 ∙ 7000 + 3 ∙ 12000 = R$ 64.000,00.
Numa semana comum, seria pago o valor de 5 ∙ 7000 + 2 ∙ 12.000 = 59.000,00.
Para cada feriado em dia útil, há um acréscimo de R$ 5.000,00. Logo, a função será
F(x) = 59.000 + 5.000x, reproduzida no gráfico a seguir.
120.000
100.000
80.000
60.000
0 5 10 15
09. Um executivo ao fazer a locação de um veículo por um dia, recebeu duas opções da
locadora: Pagar R$ 350,00 sem limite de quilometragem ou R$ 200,00 mais R$ 1,50 por
quilômetro rodado. A partir de que quilometragem passa a ser vantajosa a primeira opção?
Esboce os gráficos que associa o valor à quilometragem x.
Resolução
Na primeira opção, o valor independe da quilometragem, logo é uma função constante
F(x) = 350. No segundo caso, será o valor fixo de 200,00 adicionado de 1,50 por quilômetro,
ou seja, F(x) = 200 + 1,5x.
A primeira opção será mais vantajosa quando custar menos que a segunda, ou seja,
quando 350 < 200 + 1,5x, onde x representa a quantidade de quilômetros a serem percor-
ridos. Logo:
1,5x > 350 – 200
1,5x > 150
x > 100
capítulo 4 • 153
Ou seja, se for percorrer mais do que 100 quilômetros, a primeira opção será mais van-
tajosa.
y
x80 100 120 140
300
320
340
360
380
400
420
Veja no gráfico que se o executivo for percorrer mais do que 100 quilômetros, a primeira
opção será mais vantajosa.
10. Uma administradora de imóveis administra 400 imóveis sendo 100 para venda e 300
para locação. Sua equipe é formada por 35 funcionários dentre os quais 10 são corretores
de imóveis profissionais e 5 são administradores e os demais trabalham na infraestrutura da
empresa. Supondo que a relação ideal em uma administradora é de 1 corretor para cada 15
imóveis para venda e de 1 administrador para cada 30 imóveis para locação. Nestas condi-
ções, calcule o número ideal de corretores e administradores que a empresa deve possuir
em seu quadro de funcionários.
Resolução
Para o corretor a relação ideal é:
1 corretor → 15 imóveis para venda
10 corretores → 150 imóveis para venda
Número ideal → 100 imóveis para venda / 15 = número ideal de corretores = 6,6 ≈ 7
Para o administrador a relação ideal é:
1 administrador → 30 imóveis para locação
Número ideal → 300 imóveis para locação / 30 = número ideal de administradores = 10
154 • capítulo 4
11. O armazenamento de 100 caixas de um produto ocupa uma área de 5 metros quadrados
de um galpão. Determine uma função que calcula a metragem quadrada a partir do número
de caixas a serem armazenadas.
Resolução
Como são 100 caixas em 5 metros quadrados, temos que uma caixa consome 0,05
metros quadrados.
Logo a função será F(x) = 0,05x ou F(x) = x/20, cujo gráfico é reproduzido a seguir.
0,15
0,10
0,05
–0,05
–0,10
–0,15
–3 –2 –1 1 2 3
12. Um hospital recebe R$ 400,00 diários por cada leito ocupado por um paciente de um
determinado convênio. Esboce o gráfico da função que associa o valor que o hospital recebe
ao número de pacientes internados pelo convênio.
Resolução
Neste caso, F(x) = 400x, cujo gráfico é reproduzido a seguir:
200.000
100.000
–200.000
–100.000
–400 –200 200 400
capítulo 4 • 155
13. Um contador precisa atualizar o patrimônio de uma empresa e deve atualizar o valor de
um veículo que foi comprado por R$ 50.000,00 e sofre uma depreciação anual de 8% do
valor inicial (e não do valor atual). Esboce o gráfico que associa o valor do veículo ao tempo
de uso (em anos).
Resolução
Como a depreciação anual é de 8% do valor inicial, ela será de R$ 4.000,00 por ano.
Desta forma, após x anos o valor será de F(x) = 50.000 – 4000x como mostra o gráfico a
seguir.
2 4 6 8 10 12 14
10.000
20.000
30.000
30.000
50.000
EXERCÍCIO PROPOSTOS DE CONCURSOS01. (UFRN 2013) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um produto do qual, hoje, 60%
das peças são fabricadas no Brasil, e o restante é importado de outros países. Para aumentar
a participação brasileira, essa empresa investiu em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos
(considere que o ano de partida seja o de 2012), produzir, no Brasil, 85% das peças empre-
gadas na confecção do produto.
Com base nesses dados e admitindo-se que essa porcentagem varie linearmente com o
tempo contado em anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação desse produto será
superior a 95% a partir de
a) 2027.
b) 2026.
c) 2028.
d) 2025.
156 • capítulo 4
Resolução
Partindo do ano de 2012 (t=0) e sabendo que a variação do percentual com o tempo é
linear, considere a função definida por p(t)=at+b em que p(t) afere o percentual de peças
fabricadas no Brasil daqui a t anos.
A taxa de variação da função p é dada por a = −−
=85 6010 0
52
Logo, p t t( ) = +52
60
Os valores de t para os quais o percentual de peças brasileiras na fabricação do produto
é superior a 95% são tais que
52
60 95 14t t+ > ⇔ >
Portanto, o percentual de peças produzidas no Brasil superará 95% a partir do ano de
2012 + 15 – 2027.
Resposta: A.
02. (UEL 2013) Na cidade A, o valor a ser pago pelo consumo de água é calculado pela
companhia de saneamento, conforme mostra o quadro a seguir.
QUANTIDADE DE ÁGUA CONSUMIDA (EM M3) VALOR A SER PAGO PELO CONSUMO DE ÁGUA (EM REAIS)Até 10 R$18,00
Mais do que 10 R$18,00 + R$2,00 por m3 que excede 10 m3
Na cidade B, outra companhia de saneamento determina o valor a ser pago pelo con-
sumo de água por meio da função cuja lei de formação é representada algebricamente por
B x17
2 1x 4
se x 1
se x 1( ) =
−≤>
,
0
0
em que x representa a quantidade de água consumida (em m3) e B(x) representa o valor
a ser pago (em reais).
a) Represente algebricamente a lei de formação da função que descreve o valor a ser pago
pelo consumo de água na cidade A.
b) Para qual quantidade de água consumida, o valor a ser pago será maior na cidade B do
que na cidade A?
capítulo 4 • 157
Resolução
a) De acordo com a descrição do enunciado, A x18
x
x 1
x 1( ) =
+ −( )≤>
18 2 10
0
0cujo gráfico é dado por:
x
A(x)
22
18
1210
b) 2 1x 4 18 2x 2
2 1x 4 2x 2
1x 2
x 2
,
,
,
> +( )>
>>
0
0
0
O valor a ser pago será maior na cidade B para quantidades superiores a 20 m3.
03. (UFSM 2013) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600
mil turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil.
Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visi-
tantes e atender a uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira.
Fonte: Disponível em: <http://www.copa2014.gov.br>.
Acesso em: 7 jun. 2012. Adaptado.
Pas
sage
iros
(em
milh
ões)
8,07,26,7
4,0
2010 2014 Ano
DC
158 • capítulo 4
O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a
expectativa/projeção para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo
dados da lnfraero – Empresa Brasileira de lnfraestrutura Aeronáutica.
De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a
demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a
a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos.
b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos.
c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil.
d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos.
e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil.
Resolução
Função da demanda é dada por:
D x( ) =−−
+ = +7 2 6 7
2014 201018
, ,x b x bD D
Temos que bD ficará determinado quando a reta D(x) passar por um ponto conhecido, por
exemplo, (2014, 7,2). Nesse caso, temos
7,2 = ( ) + ⇒ = −18
2014 244 55b bD D ,
Portanto,
D x( ) = −18
244 55x ,
Função da capacidade é dada por:
Cx = 8 – 42014 – 2010x + bC = x + bC
Temos que bC ficará determinado quando a reta C(x) passar por um ponto conhecido, por
exemplo, (2014, 8). Nesse caso, temos
8 = x + bC ⇒ bC = –2006
capítulo 4 • 159
Portanto,
C(x) = x – 2006
Queremos que C(x) = D(x). Para isso temos que calcular primeiramente x, como
18
244 55 2006 2013 085x x x− = − ⇒ =, ,
Agora, substituindo x em C(x) ou em D(x), obtemos
C(201,085) = 2013,085 – 2006 = 7,085
ou seja, o número de passageiros é igual a 7,085 milhões
Cuidado para não tomar bD = 6,7 em D(x), nem bC = 4 em C(x). Lembre-se que coeficien-
tes lineares têm sempre abscissa igual a zero!
Resposta: B.
04. (Unioeste 2013) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para
seus clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00
e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa
de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o
cliente,
a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A.
b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A.
c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B.
d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos
sejam cobrados.
e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos
sejam cobrados.
Resolução
Preço da ligação do plano A: PA = 27 + 0,5t
Preço da ligação do plano B: PB = 35 + 0,4t em que t é o tempo da ligação em minutos.
Fazendo PA = PB, temos: 27 + 0,5t = 35 + 0,4t ⇒ 0,1 · t = 8 ⇒ t = 80 min
160 • capítulo 4
Graficamente temos:
x
67
y
35
27
80
PA PB
Analisando o gráfico concluímos que a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais
vantajoso que o plano A.
Resposta: B
05. (G1 - CFTMG 2013) Os preços dos ingressos de um teatro nos setores 1, 2 e 3seguem
uma função polinomial do primeiro grau crescente com a numeração dos setores. Se o preço
do ingresso no setor 1 é de R$ 120,00 e no setor 3 é de R$ 400,00, então o ingresso no
setor 2, em reais, custa
a) 140
b) 180
c) 220
d) 260
Resolução
Taxa de variação do preço: 400 1203 1
140−−
= .
Temos que o preço do ingresso em cada setor x é dado pela função y = 140x + b.
Para obter o valor de b, substituímos na expressão da função um ponto, por exemplo,
(1, 120), e obtemos 120 =140(1) + b, o que implica que b = -20. Portanto, a expressão será
y = 140x – 20. Nesse caso, o preço de um ingresso no setor 2 tem valor y = 260.
Resposta: D
capítulo 4 • 161
06. (Insper 2013) Num restaurante localizado numa cidade do nordeste brasileiro são servi-
dos diversos tipos de sobremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restaurante registrou
numa tabela as temperaturas médias mensais na cidade para o horário do jantar e a média
diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno.
MÊS JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZTEMPERATURA MÉDIA MENSAL
(GRAUS CELSIUS)
29 30 28 27 25 24 23 24 24 28 30 29
BOLAS DE SORVETE
980 1000 960 940 900 880 860 880 880 960 1000 980
Ao analisar as variáveis da tabela, um aluno de Administração, que fazia estágio de férias
no restaurante, percebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo y = ax + b sendo x a
temperatura média mensal e y a média diária de bolas vendidas no mês correspondente. Ao
ver o estudo, o dono do restaurante fez a seguinte pergunta:
“É possível com base nessa equação saber o quanto aumentam as vendas médias diárias
de sorvete caso a temperatura média do mês seja um grau maior do que o esperado?”
Das opções abaixo, a resposta que o estagiário pode dar, baseando-se no estudo que
fez é:
a) Não é possível, a equação só revela que quanto maior a temperatura, mais bolas são
vendidas.
b) Não é possível, pois esse aumento irá depender do mês em que a temperatura for mais alta.
c) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de a na equação.
d) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de b na equação.
e) Serão 400 bolas, pois esse é o valor de a na equação.
Resolução
Da tabela, temos que
JAN FEV29 30
980 1000
Resposta: C.
ayx
bolas= = −−
=∆∆
1000 98030 29
20
162 • capítulo 4
4.11 Função quadrática ou polinomial de segundo grau
4.11.1 Introdução
A função quadrática modela uma variedade de problemas tanto na própria matemática
como nas ciências físicas e em muitas outras áreas. Isto faz com que este modelo de
função tenha certo destaque na Educação Básica, aparecendo no final do Ensino Fun-
damental, assim como no Ensino Médio.
No entanto, ao contrário do que é comum se observar nas abordagens de função qua-
drática, sua importância não exige do cidadão apenas habilidade na manipulação de
fórmulas prontas que descrevem a representação algébrica. Para o uso de tal modelo
de função, assim como para os demais, é necessário que ele compreenda as caracte-
rísticas peculiares deste tipo de função. Entenda quais as características de uma rela-
ção entre duas grandezas de uma situação que faz com que ela possa ser modelada
por uma função quadrática.
SILVA, César Thiago José da; GITIRANA, Verônica. Função Quadrática e Progressões
Aritméticas - Uma Abordagem com Auxilio de Softwares. Anais do XI Encontro Na-
cional de Educação Matemática – ISSN 2178-034X Página 2. Disponível em: <http://
sbem.esquiro.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf/2728_911_ID.pdf >.
Dizemos que uma função f de � em � é uma função do segundo grau ou
quadrática quando associa a cada número real x o número real ax2+ bx + c em que
a, b e c são números reais dados, com a ≠ 0. Ou ainda podemos expressar f por:
f
x f x ax bx c
÷ →→ ( ) = + +� �
2
Exemplos
1. f x x x em que a b e c( ) = + + = = =13
43
53
13
43
53
2 , ,
2. f(x) = –2x2 + x, em que a = –2b = 1 e c = 0
3. f(x) = x2 – 4, em que a = 1, b = 0 e c = –4
4. f(x) = x2 – 4x + 3, em que a = –2b = –4 e c = 3
capítulo 4 • 163
4.12 Gráfico de uma função quadrática
O gráfico de uma função de segundo grau ou quadrática é uma parábola.
Podemos visualizar de forma concreta uma parábola, por exemplo, dirigin-
do um jato de água de forma obliqua para cima.
Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidis-
tantes de uma reta r e de um ponto F, não pertencente à reta, no plano dado.
Por exemplo, na próxima figura, podemos observar que qualquer ponto P da
parábola dista igualmente da reta r e do ponto F.
P
F
r
4.13 Concavidade
A parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo. Na prática, para de-
terminarmos a concavidade observamos a expressão da função de segundo
164 • capítulo 4
grau. Para isso, basta identificar o sinal do coeficiente do termo x2, ou seja, o
valor de a na expressão
f x ax bx c( ) = + +2
Se a > 0, a parábola possui concavidade para cima.
Se a < 0, a parábola possui concavidade para baixo.
a > 0
a < 0
Exemplos
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
f(x) = x2 – 3x + 2
2
2
4
6
0,5 1,0 1,5–0,5–1,0–1,5
f(x) = – 3x2 + 6
4.14 Raízes ou zeros
As raízes ou zeros da função de segundo grau são os valores de x que anulam a
função f, ou ainda, são os valores reais de x tais que
f x ax bx c( ) = + + =2 0
capítulo 4 • 165
Graficamente, as raízes são os pontos onde a parábola corta o eixo dos x.
Exemplo
Seja a função quadrática f(x) = x2 –4x + 3
Pelo gráfico podemos perceber que a função possui duas raízes: x = 1 e x =3
2
1 2 3 4 5
4
6
8
–2
Algebricamente, para determinarmos as raízes da equação do segundo
grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
ax bx c
b ac
xb
a
2
2
0
4
2
+ + =∆ = −
= − ± ∆
Caso1. Δ > 0
Nesse caso, a raiz do discriminante existe, e assim a função quadrática tem
duas raízes reais e distintas, a saber:
xb
ae x
ba1 22 2
= − + ∆ = − − ∆
Observamos que a parábola corta o eixo dos x em dois pontos distintos.
x
a > 0 e Δ > 0
x
a < 0 e Δ > 0
166 • capítulo 4
Caso2. Δ = 0
Como a raiz quadrada de zero é zero, neste caso, a função quadrática tem
duas raízes reais e iguais, a saber:
xb
a
x xba
= − ± ∆
= = −2
21 2
Observamos que a parábola apenas tangencia o eixo dos x.
x
a > 0 e Δ = 0
x
a < 0 e Δ = 0
Caso3. Δ < 0
Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, neste
caso, dizemos que a função quadrática não tem raízes reais, já que ∆ ∈� .
Observamos que, a parábola não corta o eixo dos x.
x
a > 0 e Δ < 0
x
a < 0 e Δ < 0
Exemplo
Determine as raízes reais de f(x) = x2 – 3x + 4
Resolução
Primeiramente, calculamos
Δ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4(1) (4) = 9 – 16 = –7
Como Δ < 0, f não tem raízes reais.
capítulo 4 • 167
Exemplo
Determine as raízes reais de f(x) = x2 – 3x + 2
Resolução
Temos Δ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4(1) (4) = 9 – 8 = 1
Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes:
xb
a
x
x= − ± ∆ =
±=
= + = =
= − = =
2
3 1
2
3 12
42
2
3 12
22
1
1
2
Exercício
Determine os valores de m para que a função de segundo grau
f(x) = (m + 1)x2 + (2m + 3)x + m possua dois zeros reais e distintos.
Resolução
Para que a função quadrática possua dois zeros reais e distintos, é necessá-
rio que Δ > 0.
Partindo desta condição, temos
∆ = − = +( ) − −( )( ) >
+ + − + >+ >> −
b ac m m m
m m m m
m
m
2 2
2 2
4 2 3 4 1 0
4 6 9 4 4 0
10 9 0
10 9
mm > − 910
Precisamos, além disso, nos assegurar que a função realmente seja de se-
gundo grau. Para isso, o coeficiente do termo x2 precisa ser diferente de zero
(a ≠ 0).
Logo, é preciso verificar que m – 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1
(Lembre que o símbolo matemático "⇒" significa “implica em”.)
Assim, os valores de m procurados são: m e m> − ≠910
1
168 • capítulo 4
4.15 Interseção com o eixo y
Uma vez que todo ponto localizado em cima do eixo dos y possui abscissa igual
a zero, para determinarmos o ponto de interseção da parábola com o eixo dos
y precisamos fazer x = 0 na função quadrática f x ax bx c( ) = + + =2 0 , ou seja,
f(0) = a02 – b0 + c = c
Assim, a parábola interceptará o eixo y em c.
Exemplo
Seja f(x) = x2 – 4x + 3
Como c = 3, verifica-se que esta parábola intercepta o eixo y em y = 3, confor-
me o gráfico a seguir.
–1
1
2
3
4
5
1 2 3 4
4.16 Máximo e mínimo
Teorema. Se a < 0, a função quadrática y = ax2 + bx + c admite valor máximo
yaM − ∆
4, para x
baM −
2.
O gráfico a seguir ilustra o ponto de máximo da parábola, xM, e o valor máxi-
mo correspondente yM.
capítulo 4 • 169
YM
y
Valormáximo
Ponto demáximo
V
XM x
Teorema. Se a > 0, a função quadrática y = ax2 + bx + c admite valor máximo
yaM − ∆
4, para x
baM −
2.
O gráfico a seguir ilustra o ponto de mínimo da parábola xM e o valor mínimo
correspondente yM.
y
Ponto demínimo
V
XM
x
YMValormínimo
170 • capítulo 4
(ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada
rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pes-
soas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também
ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a ra-
pidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o
boato, tem-se: R(x) = kx (P – x), em que k é uma constante positiva característica
do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000
pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for
conhecido por um número de pessoas igual a:
a) 11000
b) 22000
c) 33000
d) 38000
e) 44000
Resolução
Como o público-alvo é de 44000 pessoas, temos P = 44000
Substituindo o valor de P em R(x) = kx (P – x), temos:
R(x) = kx (44000 – x) = –kx2 = 44000kx
Como k é uma constante positiva, o coeficiente de x2 em R é negativo.
Portanto, o valor máximo de propagação R será alcançado quando o número
de pessoas x corresponder ao ponto de máximo de R. Sabemos que o ponto de
máximo é
xba
kkM = − = −
−( )=
2440002
22000
Resposta: b
Você deve ter notado que o ponto de máximo tem a mesma fórmula do pon-
to de mínimo, assim como a fórmula do valor máximo é igual a fórmula do valor
mínimo. Vamos ver a explicação para isso a seguir.
capítulo 4 • 171
4.17 Vértice
Chamamos por vértice da parábola o ponto Vba a
= − − ∆
2 4
, associado à fun-
ção quadrática y = ax2 + bx + c.
O gráfico da função quadrática possui um eixo de simetria que passa pelo vér-
tice da parábola e é perpendicular ao eixo dos x. O eixo de simetria funciona como
um espelho, dividindo a parábola em duas partes, veja os gráficos a seguir.
x0
y
Δ4a
–
b2a
–
Veixo de simetria
x0
y
b2a 4a
, –
eixo de simetria
V Δ
172 • capítulo 4
Exercício
Determine os intervalos onde a função f(x) = x2 + x + 2 é crescente e
decrescente.
Resolução
Como a = –1, sabemos que a concavidade de f é para baixo, sendo o vértice o
ponto que delimitará a mudança da inclinação da parábola:
Vba a
= − − ∆
2 4
,
Esboçando o gráfico da função, percebemos que a função é crescente para
os valores de x menores que 0,5, e será decrescente para os valores de x maiores
de 0,5.
x
y3
2
1
–1
–3
–2
–3 –2 –1 1 2
intervalo de crescimento
V (0,5; 2,25)
x
y3
2
1
–1
–3
–2
–1 1 2 3 4
intervalo de crescimento
V (0,5; 2,25)
(ENEM 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é redu-
zida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de
acordo com a expressão T tt( )= − +
2
4400 com t em minutos.
Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quan-
do o forno atinge a temperatura de 39ºC.
capítulo 4 • 173
Resolução
Lembre-se que a trava do forno só é liberada para abertura quando o for-
no atinge a temperatura de 39°C. Assim, o tempo mínimo de espera, em mi-
nutos, após se desligar o forno será quando a temperatura atingir os 39°C.
Substituindo T =39 na expressão da temperatura do forno, temos:
T tt
t
t
t
t
( )= − +
= − +
= − + =
= ⋅ ==
2
2
2
2
4400
394
400
439 400 361
361 4 1444
38
4.18 Imagem
Seja a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c. Se a concavidade da parábola é para
cima, ou seja, a > 0, o menor valor de y corresponde à ordenada do vértice da
parábola.
A imagem da função, quando a > 0, será Im( ) ,fa
= − + ∞
∆4
Analogamente, no caso em que a < 0, o maior valor de y corresponde
à ordenada do vértice da parábola, e, portanto, a imagem da função será
Im( ) ,fa
= −∞ −
∆
4
Exemplo
Seja f(x) = x2 – 4x + 3. Como a = 1 > 0, o menor valor de y é dado por
ya
b ac
aV = − ∆ =−
=−( ) − ( )( )
( )= −
4
4
4
4 4 1 3
4 11
2 2
a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39,0
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para
que a porta possa ser aberta?
174 • capítulo 4
Nesse caso, Im( )f = − −∞] ]1 , como se pode ver no gráfico a seguir.
1
2
3
1 2 3 4
4a– = –1Δ
Exemplo
Seja f x x x( ) = − + +13
43
53
2 . Temos que a = –1/3 < 0, então o menor valor de y
é dado por
yaV = − ∆ =
− −
−
=4
43
413
53
413
3
2
Portanto, Im( ) ,f = −∞] ]3 , como se pode ver no gráfico a seguir.
1
2
2 4
–1
–2
6 –2
4a– = 3Δ
capítulo 4 • 175
4.19 Soma e produto das raízes
Conforme já vimos, as raízes da função de segundo grau f(x) = ax2 + bx + c são
xb
ae x
ba1 22 2
= − + ∆ = − − ∆
A soma das raízes desta função de segundo grau é dada por:
S x xba
= − + = −1 2
O produto das raízes desta função de segundo grau é dado por:
P x xca
= − + =1 2
(ENEM 2010) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica,
é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em
muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado,
para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.
Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a tempe-
ratura ao longo do tempo de acordo com a função em que T é o valor da tempe-
ratura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decor-
rido desde o instante em que o forno é ligado.
T tt para t
t t para t( ) =
+ ≤ <
− + ≥
75
20 0 100
2125
165
320 100
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e
retirada quando a temperatura for 200 °C.
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a
a) 100
b) 108
c) 128
d) 130
e) 150
176 • capítulo 4
Resolução
Temos duas situações:
(I) Para 0 100≤ <t , a função a ser considerada é T t t( ) = +75
20
Determinamos a temperatura T para t = 0 e T = 100, fazendo
T
T
075
0 20 20
10075
100 20 140 20 160
( ) = + =
( ) = + = + =
Dessa forma, quando 0 100≤ <t , teremos 20 160≤ <T
(II) Para t ≥ 100, a função a ser considerada é T t t t( ) = − +2125
165
320
Precisaremos determinar o valor de t quando a peça for colocada e retirada
do forno, de modo a podermos precisar o tempo de permanência dessa peça
neste forno.
Quando a temperatura for 48 °C, a peça entra no forno. Neste caso, determi-
namos o valor de t correspondente, fazendo
T t t
t
t
t
t
( ) = +
= +
= − =
= ⋅= ⋅ =
75
20
4875
20
75
48 20 28
7 28 5
4 5 20 min.
Quando a temperatura for 200 °C, determinamos o valor de t, fazendo
T t t t
t t
t t
( ) = − +
= − +
= − + −
2125
165
320
2002
125165
320
02
125165
320 200
21125
165
120 0
2 400 15000 0
200 7500 0
2
2
t t
t t
t t
− + =
− + =− + =
capítulo 4 • 177
Podemos resolver esta equação de segundo grau utilizando a fórmula de
Bhaskara. Temos que Δ = (200)2 – 4(1) (7500) = 40000 – 30000 = 10000. Então,
as raízes são:
t
t
1
1
200 10000
2 1200 100
250
200 10000
2 12
=− −( )−
( )= − =
=− −( )+
( )=
min.
000 1002
150+ = min.
Uma vez que estamos trabalhando com uma temperatura de 2000, sabemos
que t ≥ 100. Assim, a peça é retirada do forno no tempo t = 150 min.
150 – 20 = 130 minutos.
Resposta: Letra d.
4.20 Construção do gráfico de uma função de segundo grau
1. Concavidade da parábola: coeficiente a;
2. Onde a parábola corta o eixo dos y: coeficiente c;
3. Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x: raízes;
4. Ponto de mínimo (a > 0), ou máximo (a < 0): vértice V
5. Eixo de simetria da parábola: reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y.
Exemplo
Esboce o gráfico da função f(x) = –x2 –4 x –3
Resolução
1. Concavidade da parábola: coeficiente a;
Como a = –1 < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
2. Onde a parábola corta o eixo dos y: coeficiente c;
Como c = –3, a parábola corta o eixo dos y em (0, –3)
178 • capítulo 4
3. Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x: raízes;
∆ = − = −( ) − −( ) −( ) = − =
= − + ∆ = ±−
=−−
b ac
xb
a
2 2
2
4 4 4 1 3 16 12 4
24 2
2
3
1
Como a = –1 < 0, teremos um ponto de máximo: sendo o vértice
Δ =−b2, −Δ 4a = − (−4) 2 (−1), − 44 (−1) = −2, 1.
Desse modo, o gráfico de f é dado a seguir.
–2
–4
–6
–8
–5 –4 –3 –2 –1 1
4.21 Estudo dos sinais da função quadrática
Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos de x nos
quais esta função possui imagem positiva (f(x) > 0), imagem negativa (f(x) < 0) e
imagem nula (f(x) = 0)
O estudo do sinal de uma função quadrática depende da concavidade desta
função e a mudança de sinal da função quadrática está intimamente ligada às
raízes desta função.
Podemos resumir o estudo dos sinais de uma função quadrática com o au-
xílio dos gráficos abaixo.
capítulo 4 • 179
a > 0 a < 0
Δ > 0
x0
y
x1 y < 0
y < 0y < 0
x2
y
x1 y < 0
y < 0y < 0
x2
0 x
Δ < 0
x0
y
y < 0
y
y < 0 x0
Δ = 0
x0
y
x1 = x2
y > 0 y > 0
y
x0 x1 = x2
y > 0 y > 0
180 • capítulo 4
Exemplo
Estude o sinal da função quadrática f(x) = x2 –4 x 9 + 3.
Resolução
Ao montar o gráfico de f, apresentado abaixo, determinamos suas raízes
x1 = 1 e x2 = 3. Então, verificamos de imediato que f(x) = 0 quando x = x1 e x = x2. .
A imagem de f é positiva, ou seja, f(x) > 0, no intervalo x < 1 e x > 3, Já a imagem
de f é negativa, ou seja, f(x) < 0, no intervalo 1 < x < 3.
1
–1
2
3
1 2 3 4
4
5
Repare que, entre as raízes x1 = 1 e x2 = 3, o valor da função é negativo (está
abaixo do eixo dos x), enquanto para valores de x menores e maiores do que as
raízes, o valor da função é positivo.
Exercício
Resolva a inequação
x x x
x x
2
2
6 5 4
11 240
− +( ) −( )− −
≥
Resolução
Para resolver a inequação precisamos estudar o sinal de cada uma das fun-
ções envolvidas. São elas:
capítulo 4 • 181
I. f(x) = x2 – 6x + 5. Temos que a = 1 > 0 e suas raízes são x = 1 e x = 5.
Podemos agora identificar o sinal de imagem de f no esquema a seguir, que
tem como orientação o eixo dos x.
x2 – 6x + 5 + – – – + +
1 5Raízes
II. g(x) = (x – 4). Sabemos que g é uma função linear crescente com raiz x = 4.
x – 4 – – – + + +
4Raízes
I. g(x) = x2 – 11x – 24. Temos que a = 1 > 0 e suas raízes são x = 3 e x = 8.
x2 – 11x + 24 + + – – – +
3 8Raízes
Como a função h está no denominador, ela não pode assumir valor zero.
Assim, as raízes desta equação não podem pertencer à solução.
Para analisar a inequação, montamos um quadro com os sinais da imagem
das funções f, g e h, e estudamos o sinal do produto do numerador junto com o
sinal do denominador, lembrando de excluir as raízes de h, já que o denomina-
dor não pode ser nulo.
x2 – 6x + 5 + – – – + +
x – 4 – – – + + +
x2 – 11x + 24 + + – – – +
Inequação – + – + – +
3 4 51 8Raízes
Representamos a solução da inequação por:
S x x x x x x= ∈ ≤ <{ }∪ ∈ ≤ ≤{ }∪ ∈ >{ }� � �/ / /1 3 4 5 8
182 • capítulo 4
ESTUDO DE CASO APLICADOS01. Sabe-se que, mensalmente, um fabricante vende x unidades de um determinado artigo
por R(x) = x² – x. Sabe-se ainda que o custo da produção é dado por C(x) = 2x² – 7x +
8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro
máximo?
Resolução
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8)
L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8
L(x) = – x² + 6x – 8
xba
x
x
V
V
V
= −
= −−
=
262
3
02. Uma fábrica vendo determinado produto cuja função lucro, dada em reais, é dada por
L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos. Determine:
a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.
b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo.
Resolução
a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.
Função lucro da fábrica: L(x) = – 5x2 + 100x – 80.
É uma função do 2º grau, com a = – 5 < 0.
A parábola que representa essa função possui concavidade voltada para baixo. Dessa
forma, possui um ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola.
O lucro máximo da empresa será dado pela coordenada y do vértice.
yaV = −∆ =
− − ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( )
=− −( )
−= −
4
100 4 5 80
4 5
10000 1600
208402 00
20420
−=
Lucro máximo da fábrica será de R$ 420,00.
capítulo 4 • 183
b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo.
O número de produtos a serem vendidos para obtenção do lucro máximo será dado pela
coordenada x do vértice.
xbaV = − =
− − ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( )
= −−
=2
100 4 5 80
2 510010
102
A fábrica precisa vender 10 produtos para obter o lucro máximo desejado.
03. Um fabricante de calçados pode produzir calçados ao custo de R$ 20,00 o par e estima
que, se cada par for vendido por x reais, ele venderá por mês 80 – x (0 ≤ x ≤ 80) pares de
sapatos. Considerando então o lucro mensal do fabricante como uma função do preço de
venda, determine o preço de venda, de forma que o lucro mensal seja máximo?
Resolução
Custo: C(x) = 20*(80 – x)
Receita: R(x) = (80 – x) * x
Lucro: L(x) = (80 – x) * x – 20*(80 – x)
L(x) = 80x – x² – 1600 + 20x
L(x) = – x² +100x – 1600
O lucro de uma fábrica possui um valor máximo ( a < 0 ) .
L(x) = – x² +100x – 1600
a = – 1
b = 100
c = – 1600
xba
x xV V V= − ⇒ = −⋅ −( )
⇒ =2
1002 1
50
Para que se obtenha lucro máximo, o preço de venda do par de sapatos deve ser R$
50,00.
184 • capítulo 4
EXERCÍCIO RESOLVIDOS DE CONCURSOS01. (UERJ 2009) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo
nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais:
0
y (m)
x (m)A
C
B35
D
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D.
A equação de uma dessas parábolas é yx x= − +
2
7525
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:
a) 38 b) 40 c) 45 d) 50
Resolução
As raízes de yx x= − +
2
7525
são x = 0 e x = 30.
Podemos resolver utilizando a fórmula de Bhaskara ou fatorando a expressão:
yx x x x= ⇒ − + = ⇒ − −
=075
25
05 15
2 02 2
Assim, temos que
− = ⇒ = − = ⇒ = ⇒ =xx ou
x xx
50 0
152 0
152 30
Isto implica que a equação dada se refere à parábola de raízes em 0 e em A, sendo a
abscissa do ponto A é igual a 30.
Sabemos que os pontos A e B são simétricos em relação ao eixo que passa no vértice D.
Como a distância do ponto A à abscissa do vértice D mede 5m, então a abscissa do
ponto B será igual a 40m.
Resposta: Letra b.
capítulo 4 • 185
02. (PUC – SP) Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo.
Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão
h = – 25t2 + 625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?
Resolução
Quando a bola atingir o solo, sua altura será zero. Substituindo na expressão de h temos:
h = – 25t2 + 625
0 = – 25t2 + 625
25t2 = 625
t2 = 25 ⇒ t = ± 5
Considerando que a bola foi largada no instante t = 0, temos que a solução t = –5 deve ser
descartada, restando t = 5. Veja a seguir o gráfico da função para visualizar a trajetória da bola.
600
400
200
–200
1 2 3 4 5 6
Resposta. A bola levará 5 segundos para atingir o solo.
03. (PUC – Campinas – SP) A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesia-
no por yx x= − +
2
64 16 com uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura
máxima que o projétil atingiu.
Resolução
Para saber a altura máxima do projétil temos que calcular a ordenada do vértice da parábola:
yaV = −∆ =
− ⋅ −
( )
⋅ −
=
4
116
41
160
41
64
116
4
2 2
⋅⋅ −
=−
= ⋅ = =1
64
2256
116
1256
116
116
0 0625, km
Resposta. O projétil atingiu a altura máxima de 0,0625 km = 62,5 m.
186 • capítulo 4
04. (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendi-
cularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m
de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola des-
creveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se
encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conse-
guiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano
está sugerida na figura. A equação da parábola era do tipo Sx
c= − − +2
36. O ponto onde a
bola tocou pela primeira vez foi:
9 m
16 mx
y
2,3 m
a) na baliza
b) atrás do gol
c) dentro do gol
d) antes da linha do gol
Resolução
A altura máxima da bola é 9m. Isto significa que a ordenada do vértice da parábola é
9. Da figura, temos que a abscissa do vértice é 0. Então, o vértice da parábola é V = (0,9).
Substituímos este ponto na equação Sx
c= − − +2
36, temos:
9036
92
= − + ⇒ =c c
Ficamos então com a equação Sx= − +
2
369
Em baixo da linha do gol, a abscissa é x=16. Para determinar a altura da bola na linha do
gol, devemos calcular a ordenada para x=16:
Sx
S
= − +
= − + = − + =− +
= ≅
2
2
369
1636
925636
9256 324
366836
1 9,
capítulo 4 • 187
Assim, temos que a altura da bola na linha do gol é de 1,9m, sendo menor que a altura da
baliza do gol que é 2,3m, significando que a bola consegue entrar no gol.
Resposta: Letra c.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASIEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1: Conjuntos e
Funções. 9. ed. São Paulo: Atual. 2013.
PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 1. São Paulo: Moderna. 2013.
PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 2. São Paulo: Moderna. 2013.
190 • capítul0 5
OBJETIVOS
• Identificar uma função Exponencial.
• Analisar o gráfico de uma função Exponencial.
• Resolver equações e inequações exponenciais.
• Resolver problemas que envolvam função exponencial.
• Definir Logaritmo.
• Utilizar as propriedades de Logaritmo.
• Identificar uma função Logarítmica.
• Analisar o gráfico de uma função Logarítmica.
• Resolver equações e inequações Logarítmicas.
• Resolver problemas que envolvam função Logarítmica.
capítulo 5 • 191
5.1 Função exponencial
5.1.1 Introdução
As funções exponenciais são de grande importância e utilidade para diversas
áreas das engenharias e ciências de modo geral. São inúmeras as aplicações
que envolvem crescimento e decrescimento exponencial. Para que possamos
estudar estas aplicações precisamos estudar as noções função de exponencial
e seus resultados.
Um exemplo importante de função exponencial é o sistema de juros
compostos.
5.2 Definição
A função f : *� �→ + definida por f x ax: ( ) = , com a a> ≠0 1, é chamada de
função exponencial. O número real a é chamado de base da função exponencial.
EXEMPLO8. f(x) = 3x
9. y = (0,4)x
10. f(x) = ( 5 )x
Observação:
Por que a base a tem que ser maior que zero e diferente de 1?
II. Se a base fosse igual a 1, teríamos uma função constante, pois
f x x( ) = =1 1 para todo x;
III. Se a base fosse igual a zero, teríamos uma indeterminação quando x = 0,
pois 00 ∉� e também quando x < 0, pois, por exemplo, 01
010
55
− = =
IV. Se a base fosse um número negativo teríamos valores da imagem
de ax não pertencentes ao conjunto dos números reais. Por exemplo, para
a e x= − =312
f x( ) = −( ) = −3 312 não pertence ao conjunto dos números reais.
192 • capítul0 5
5.3 Gráfico de uma função exponencial
Por meio de alguns exemplos, vamos mostrar como construir o gráfico de
uma função exponencial.
EXEMPLO1. f x x( ) = 2
Inicialmente, vamos construir uma tabela com os valores da função para alguns valores
de x, e em seguida marcar seus pontos no plano cartesiano.
X 2X
–3
–2
–1
0 1
1 2
2 4
3 8
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
0 x
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
0
capítulo 5 • 193
2. f x x( ) = 2
X12
x
–3 8–2 4–1 20 1
112
214
318
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
0 x
Observações:
1. No exemplo 1, note que: D f f R( ) = ( ) = −�,Im * e a função é crescente em
todo seu domínio.
2. No exemplo 2, note que: D f f R( ) = ( ) = +�, Im * e a função é decrescente
em todo seu domínio.
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
0
194 • capítul0 5
Esboços gráficos de função exponencial
1º CASO A > 1
2º CASO]0 < A < 1
1
0
y
x x
1
0
y
Em ambos os casos o gráfico da função f (x) = ax não toca o eixo-x (eixo das
abscissas) e, além disso, a função exponencial sempre toca o eixo-y (eixo das or-
denadas) no ponto em que y = 1. Isso ocorre porque a0 = 1, para todo a > 0, a ≠ 0.
Lembretes
1. Uma função real f é crescente num intervalo contido no domínio da
função se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do intervalo, aconte-
ce x x f x f x1 2 1 2< ⇒ ( ) < ( ) . Ou seja, quando o valor de x aumenta, f (x) também
aumenta.
2. Uma função real f é decrescente num intervalo contido no domínio da
função se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do intervalo, acontece
x x f x f x1 2 1 2< ⇒ ( ) > ( ) . Ou seja, quando o valor de x aumenta, f (x) diminui.
Propriedades
P1) Sendo a a> ≠0 1, , tem-se que:
a a x yx y= ⇔ =
capítulo 5 • 195
P2) A função exponencial é crescente em todo seu domínio quando a > 1.
Assim:
a a x yx y= ⇔ >
P3) A função exponencial é decrescente em todo seu domínio quando 0 < 1
< 1. Assim:
a a x yx y= ⇔ <
EXERCÍCIO RESOLVIDO1. Faça um esboço gráfico das funções abaixo:
a) yx
=
−12
4
Resolução
1º) Como a base está entre 0 e 1, a função é decrescente.
2º) Quando x = 0, y = –3 . Logo, o gráfico corta o eixo y no ponto (0, –3).
3º) Quando y = 0, temos que
12
4 2 2 2 2 21 2 2
= ⇔ ( ) = ⇔ = ⇔ = −− −x
x x x
Note que desenvolvemos a equação de modo a usar a propriedade P1 descrita acima.
Logo, o gráfico corta o eixo x no ponto (–2, 0).
4º) Esboço gráfico:
–3 –2 –1 1 2 3 4
–4
–3
–2
–1
1
0
y
x
196 • capítul0 5
b) f x x( ) = +2 2
Resolução
1º) Como a base é maior que 1, a função é crescente.
2º) Quando x = 0 f (0) = 3. Logo, o gráfico corta o eixo y no ponto (0, 3).
3º) Repare que a imagem de f (x) é positiva em todo o domínio.
4º) Esboço gráfico:
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
y
x
5.4 Equação exponencial
Toda equação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potências
de bases positivas e diferentes de 1 é denominada equação exponencial.
É muito comum usar propriedades de potências de mesma base quando re-
solvemos uma equação exponencial.
EXERCÍCIO RESOLVIDO1. Resolva as equações exponenciais abaixo:
a) 2x+1 = 16
Resolução
Para fazer uso da propriedade P1 descrita anteriormente, temos que colocar primeira-
mente as potências com a mesma base:2 2 1 4 31 4x x x+ + ⇔ + = ⇒ =
capítulo 5 • 197
b) 4x+2 = 32
Resolução
Usando a propriedade P1, obtemos:
4 2 2 2 2 2 2 4 512
2 5 2 2 5 2 4 5x x x x x+ + ++ ⇔ ( ) = ⇔ = ⇔ + = ⇒ =
c) 13
243
=x
Resolução
Sabendo que13
3 1
= ( )−x
x, resolvemos facilmente a equação:
3 3 3 3 51 5 5− −( ) = ⇔ = ⇒ = −x x x
d) 625 1253 = x
Resolução
Como 625 5 53 4343= = , resolvemos a equação usando a propriedade I:
5 5 5 543
349
43 343 3= ( ) ⇔ = ⇔ = ⇒ =
x x x x
e) 9 10 3 9 0x x− ⋅ + =
Resolução
Observe que este tipo de equação não pode ser resolvido como as anteriores, pois não
conseguimos chegar numa igualdade de duas potências. Neste tipo de exercício será ne-
cessário fazer uso de mudança de variável (parecido com o que é feito na resolução das
equações biquadradas). Para isso, verifique que a equação pode ser escrita como:
3 10 3 9 0
3 10 3 9 0
2
2
( ) − ⋅ + =
( ) − ⋅ + =
x x
x x
Fazendo a mudança de variável t =3x, segue que:
t t2 10 9 0− + =
198 • capítul0 5
Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos t = 9 ou t = 1. Temos que voltar para a
variável original x. Assim:
3 9 3 1
3 3 3 3
2 0
2 0
x x
x x
ou
ou
x ou x
= == =
= =
2. Seja f x a bx( ) = ⋅3 , onde a e b são constantes reais. Dados f e f0 900 10 300( ) = ( ) =
calcule k tal que f k( ) =100 .
Resolução
Temos que
f a a ab0 900 3 900 1 900 9000( ) = ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇒ =⋅
Substituindo o valor de a em f (x), obtemos f x b x( ) = ⋅ ⋅900 3
Ainda, temos que
f bb b b10 300 900 3 300 313
3 31
1010 10 10 1( ) = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ = ⇒ = −⋅ ⋅ ⋅ −
Queremos determinar k tal que f k( ) =100 , então fazemos
f k kk k k
( ) = ⋅ = ⇔ = ⇔ = ⇒ =− − −
−900 3 100 319
3 3 2010 10 10 2
3. (UFSM) A figura mostra um esboço do gráfico da função f k a bx( ) = + , com
a b a a b, , , ,∈ > ≠ ≠� 0 1 0 . Então, o valor de a b2 2− é:
x
y
5
20
2
a) –3
b) –1
c) 0
d) 1
e) 3
capítulo 5 • 199
Resolução
O gráfico passa pelo ponto (0,2). Logo, f (0) = 2. Assim:
a b b b0 2 1 2 1+ = ⇒ + = ⇒ =
Substituindo o valor de b em f, obtemos
f x ax( ) = +1
Note que o gráfico da função passa pelo ponto (2,5). Logo, f (2) = . Assim:
a a a2 21 5 4 2+ = ⇒ = ⇒ = ±
Porém, sabemos que a > 0, logo a = 2.
Portanto,
a b2 2 2 22 1 3− = − =
Resposta: E
4. (UFF) A automedicação é considerada um risco, pois, a utilização desnecessária ou
equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeri-
das difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico.
Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos, verificou-
se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alterava-se em função do
tempo decorrido (t), de acordo com a expressão: y y t= ⋅ − ⋅0
0 52 , em que y0 é a concentração
inicial e t é o tempo em horas.
Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a
quarta parte da concentração inicial após:
a) 1/4 de hora
b) meia hora
c) 1 hora
d) 2 horas
e) 4 horas
Resolução
Temos que a expressão da concentração é dada por y y t= ⋅ − ⋅0
0 52 , . Queremos saber
quando essa concentração chega ao valor y0
4, ou seja,
yy t0
00 5
42= ⋅ − ⋅,
200 • capítul0 5
y
y
t t
t
t
t
0
0
0 5
0 5
2 0 5
42
14
2
2 2
0 5 2 4
=
=
=⋅ = ⇒ =
− ⋅
− ⋅
− − ⋅
,
,
,
,
Resposta: E
5.5 Inequação exponencial
Toda inequação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potên-
cias de bases positivas e diferentes de 1 é denominada inequação exponencial.
Ao resolver uma inequação exponencial a ideia é encontrar potências de
mesma base para que os expoentes possam ser operados como inequações,
através da propriedade P2 ou da propriedade P3 descritas anteriormente.
EXERCÍCIO RESOLVIDO1. Resolva as inequações abaixo:
a) 32 82 3 4x x− +<
Resolução
Como são reduzíveis a potências de base igual a dois, obtemos:
32 8 2 2 2 22 3 4 5 2 3 3 4 10 15 3 12x x x x x x− + − + − +< ⇔ ( ) < ( ) ⇔ <
Como a base é maior que 1, as funções exponenciais são crescentes. Então, pela
propriedade P2, temos que:
2 2 10 15 3 12 7 27277
10 15 3 12x x x x x x− +< ⇒ − < + ⇒ < ⇒ <
b) 18
14
3 4 2 6
≥
− +x x
capítulo 5 • 201
Resolução
Tendo as potências a base comum a = 12
, fazemos:
18
14
12
12
3 4 2 6
3 3 4 2
≥
≥
− +
−
x x
x
≥
+
− +
2 6
9 12 4 1212
12
x
x x
Como a base é um número real entre 0 e 1, as funções exponenciais são decrescentes.
Então, pela propriedade P3, temos que:
9 12 4 12 5 24245
x x x x− ≤ + ⇒ ≤ ⇒ ≤
c) 51
1252 4x − <
Resolução
Nesta inequação, notamos que a base comum das potencias será a = 5, então
51
1255
15
5 52 2 24 43
4 3x x x− − − −< ⇔ < ⇔ <
Como a base é maior que 1, as funções exponenciais são crescentes. Então,
pela propriedade P2, obtemos:
x x2 24 3 1 0− < − ⇒ − <
Resolvendo a equação do 2º grau (consulte o capítulo sobre função do
segundo grau), e estudando o sinal da sua imagem, encontramos:
− < <1 1x
ESTUDO DE CASO APLICADOS05. O montante M é a quantia a ser recebida após a aplicação de um capital C, a uma taxa
i, durante certo tempo t. No regime de juros compostos, esse montante é calculado pela
relação M C i t= +( )1 .
Considerando um capital de R$ 10.000, a ser aplicado a uma taxa de 12% ao ano, durante
4 anos, determine o montante ao final deste tempo, dessa aplicação.
202 • capítul0 5
Resolução
M
M
M
M
= +( )= ( )= ⋅=
10 000 1 0 12
10 000 1 12
10 000 1 57352
15 735 2
4
4
. ,
. ,
. ,
. ,
Logo, serão resgatados, após a aplicação, R$ 15.735,20.
06. Em um depósito a prazo que foi efetuado em um banco, a juros compostos, o capital
acumulado ao fim de determinado tempo é dado pela fórmula M C i t= +( )1 , no qual M
representa o montante, o capital acumulado, C o valor do depósito, i a taxa de juros ao mês e
t o tempo de meses em que o dinheiro está aplicado. Nesse sistema, os juros são compostos,
ou seja, ao final de cada mês os juros capitalizados são incorporados ao depósito. Pede-se
a) Quando se efetua um depósito de R$ 1 000,00, com taxa de 2% ao mês, qual o mon-
tante acumulado ao fim de 6 meses? E de 1 ano?
Ao fim de 6 meses:
M C i
M
M
M
t= +( )= +( )= ( )= ⋅
1
1 000 1 0 02
1 000 1 02
1 000 1 126162419
6
6
. ,
. ,
. , 22
1 126 16M = . ,
O montante será de R$ 1.126,16.
Ai fim de 1 ano = 12 meses
M C i
M
M
M
t= +( )= +( )= ( )= ⋅
1
1 000 1 0 02
1 000 1 02
1 000 1 2682417
12
12
. ,
. ,
. ,
MM = 1 268 24. ,
O montante será de R$ 1.268,24.
capítulo 5 • 203
b) Quando se efetua um depósito de R$ 5 000,00, a uma taxa de 5% ao mês, qual será o
montante durante 4 meses?
M C i
M
M
M
M
t= +( )= +( )= ( )= ⋅
1
5 000 1 0 05
5 000 1 05
5 000 1 21550625
4
4
. ,
. ,
. ,
== 6 077 53. ,
O capital acumulado, o montante será de R$ 6.077,53.
c) Quando se efetua um depósito de R$ 2 500,00, a uma taxa de juros de 10% ao ano,
qual será o capital acumulado durante 10 anos?
M C i
M
M
M
M
t= +( )= +( )= ( )= ⋅=
1
2 500 1 0 1
2 500 1 1
2 500 2 593742
6
10
10
. ,
. ,
. ,
.. ,484 36
O capital acumulado em 10 anos será de R$ 6.484,36.
07. (UERJ) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno
pode ser representado por uma função exponencial do tipo f x abx( ) = , conforme o gráfico
abaixo.
x (anos)
y = f(x)
0 4 7
7,5%
960%
Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.
204 • capítul0 5
Resolução
Antes de determinar f (4), temos que determinar os valores de a e b da expressão
f x abx( ) =
Do gráfico de f sabemos que f 0 960( ) = , ou seja,
f a b a a0 960 1 960 9600( ) = ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Substituindo o valor de a na expressão de f, sabemos
f x bx( ) = ⋅960
Agora, para calcular b fazemos
f b
b b b b
7 960 7 5
7 5960
1128
12
12
7
7 77
7
( ) = ⋅ =
⇒ = ⇔ = ⇔
= ⇒ =
,
,
Substituindo então o valor de b na expressão da função, temos
f xx
( ) = ⋅
96012
Assim, calculamos
f 4 96012
604
( ) = ⋅
=
Resposta: 60%
EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE CONCURSOS01. Numa população de bactérias há P t t( ) = ⋅10 49 3 bactérias no instante t medido em ho-
ras (ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 109 bactérias, quantos minutos
são necessários para que se tenha o dobro da população inicial?
capítulo 5 • 205
Resolução
Temos P t t( ) = ⋅10 49 3 e queremos P t( ) = ⋅2 109 , então fazemos:
2 10 10 4 2 2 6 116
9 9 3 6⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇒ =t t t t
Resposta: 1/6 h ou 10 min.
02. (PUC – RIO) Determine uma das soluções da equação abaixo:
101
10002 4x − =
Resolução
Podemos verificar que a base comum das potências será a = 10, então
101
100010 10 4 3 1 12 24 4 3 2 2x x x x x− − −= ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = ⇒ = ±
Resposta: x ou x= = −1 1
03. (UFMG) Observe a figura.
12
x
y
–3
32
Nessa figura, está representado o gráfico de f x k x( ) = ⋅α , sendo k e α constantes po-
sitivas. O valor de f (2) é:
a) 3/8
b) 1/2
c) 3/4
d) 1
206 • capítul0 5
Resolução
Sabemos que f x k x( ) = ⋅α e f (0) = 3/2 , então para determinar o valor de k, fazemos:
32
32
0= ⋅ ⇒ =k kα
Sabendo que f x x( ) = 32
α e ainda f −( ) =3 12 , podemos calcular o valor de α:
1232
812
12
3 33
3= ⋅ ⇔ = ⇔
= ⇒ =− −−
−α α α α
Com a expressão da função conhecida, podemos avaliar f (2):
f x fx
( ) = ⋅
⇒ ( ) = ⋅
=32
12
232
12
38
2
Resposta: A
04. (UNICAMP) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja
dado pela função: f t a b t( ) = ⋅ − ⋅2 , onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1024 indiví-
duos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial?
Resolução
a) Sabendo que f t a b t( ) = ⋅ − ⋅2 e f (0) = 1024 , então determinamos o valor de a, assim:
1024 2 10240= ⋅ ⇒ =a a
Para determinar o valor de b, fazemos f em f t b10 512 1024 2 10( ) = ( ) = ⋅ − ⋅ ou seja,
512 1024 2 10= ⋅ − ⋅b
12
2 2 2
1 101
10
10 1 10= ⇔ =
− = − ⋅ ⇒ =
− ⋅ − − ⋅b b
b b
b) Queremos t tal que f t( ) = ⋅18
1024 , para isso fazemos:
f t
tt
t
t t
( ) = ⋅
⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇒ =
−
−−
−
1024 2
18
1024 1024 2 2 210
3 30
10
10 3 10
capítulo 5 • 207
Resposta:
a) a = 1024 e b = 1/10
b) t = 30 anos
05. Resolva as equações abaixo:
a) 8 · 2x = 128
b) 2x+1 · 22x+3 = 64
c) 92x + 81x+1 = 82 · 27–1
d) 4x – 6 · 2x + 8 = 0
e) 81 275 5=x
Resolução
a) 8 2 128 2 2 2 2 2 3 7 43 7 3 7⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ + = ⇒ ( )+x x x x
b) 2 2 64 2 2 3 4 623
1 2 3 3 4 6x x x x x+ + += = ⇔ = ⇔ + = ⇒ =
c) 9 81 82 27 9 9 821
279
8227
81 9 9
2 1 1 2 2 1 2 2
2 2
x x x x x
x x
= = ⋅ ⇔ +( ) = ⋅ ⇔ =
⇔ ⋅ +
− − − −
== ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔ ⇒ =82 3 82 9 82 3 9 3 314
2 2 4x x x x
d) 4 6 2 8 0 2 6 2 8 0 2 6 2 8 02 2x x x x x x− ⋅ + = ⇔ − ⋅ + = ⇔ ( ) − ⋅ + =
Fazendo t = 2x, a equação fica
t t2 6 8 0− ⋅ + =Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos t = 2 ou t = 4. Voltando agora à variável
original x, temos:
2 2 2 4
2 2 2 2
1 2
1 2
x x
x x
ou
ou
x ou x
= == =
= =
e) 81 27 3 3 3 345
35
3 443
5 5 45 3 5
45
35= ⇔ = ( ) ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇒ =
x x x xx x
208 • capítul0 5
06. Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminui em função do tempo devido à
desintegração radioativa. Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por
m m k t= ⋅ − ⋅0 2 . Nessa sentença, m é a massa (em gramas) no tempo t, (em anos), m0 é a
massa inicial e k é uma constante real.
Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 1/8 da massa inicial, o valor k é:
a) – 3 b) 1/3 c) – 22 d) 1/22 e) 1/8
Resolução
Sabendo que m m k t= ⋅ − ⋅0 2 , queremos determinar k, tal que m0/8 e t = 66, ou seja,
mm k kk k0
066 3 66
82 2 2 66 3
122
= ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇒ =− ⋅ − − ⋅
Resposta: D
07. Resolva a inequação 9 273 4 4 5x x− +≥
Resolução
Vamos reduzir as potências a base igual a 3 na inequação:
9 27
3 3
3 3
3 4 4 5
2 3 4 3 4 5
6 8 12 15
x x
x x
x x
− +
− +
− −
≥
( ) ≥ ( )≥
Como a base é maior que 1, a função exponencial é crescente. Então
6 8 12 15
6 23 6 23236
x x
x x x
− ≥ +
− ≥ ⇔ ≤ − ⇔ ≤ −
08. (FGV-SP) O conjunto solução da inequação 0 3 1 02 2,( ) − ≥−x x
é:
a) x x∈ ≤ ≤{ }� 0 2
b) x x ou x∈ ≤ ≥{ }� 0 2
c) x x∈ ≤{ }� 2
d) x x∈ ≤{ }� 0
e) x x∈ ≤ ≤{ }� 0 1 2/
capítulo 5 • 209
Resolução
Temos que
0 3 1 0
0 3 1
0 3 0 3
2
2
2
2
2
2 0
,
,
, ,
( ) − ≥
( ) ≥
( ) ≥ ( )
−
−
−
x x
x x
x x
Como a base está entre 0 e 1, a função exponencial é decrescente. Então
x x2 2 0− ≤
Resolvendo a inequação do 2º grau (consulte o capítulo anterior), segue que
0 2≤ ≤x
Resposta: A
09. (FATEC-SP) Se x é um número real tal que 2 4 8 1− +⋅ <x x x , então:
a) –2 < x < 2
b) x = 1
c) x = 0
d) x < 3/2
e) x > –3/2
Resolução
Vamos reduzir as potências à base comum igual a 2:
2 4 8 2 2 2 2 21 2 3 3 3 3− + − + +⋅ < ⇔ ⋅ < ⇔ <x x x x x x x x
Como a base é maior que 1, a função exponencial é crescente. Então
x x x x x< + ⇔ − < ⇔ > − ⇒ > −3 3 2 3 2 3
32
Resposta: E
210 • capítul0 5
5.6 Logaritmos e funções logarítmicas
5.6.1 Introdução
As propriedades envolvendo Logaritmos são ferramentas poderosas na resolução
de problemas de crescimento e decrescimento exponencial. As funções exponen-
cial e logarítmica caminham juntas e muitos problemas reais podem ser modela-
dos como uma destas funções, necessitando da outra função para suas resoluções.
A utilidade dos logaritmos para realizar cálculos complexos é bem extensa,
ajudando a prever resultados, como no caso do resfriamento dos corpos, por
exemplo. Os peritos que investigam um crime devem ser hábeis com os núme-
ros, gráficos e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.
Além disso, na Economia, elas auxiliam na representação de várias funções de
custos (lucros e prejuízos) e produção, sendo também utilizadas para modelar o cres-
cimento populacional, processos de desintegração ra¬diativa e curvas de aprendiza-
gem, nas quais educadores e psicólogos avaliam o grau de aprendizado dos alunos.
5.7 Logaritmo
Para entender o que é logaritmo, considere uma potência de base positiva e di-
ferente de 1. Por exemplo:
34 = 81
Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Dizemos que 4 é o
logaritmo de 81 na base 3. Em notação:
34 = 81 ↔ log81 = 4
Observe que para o estudo de logaritmo é comum o uso de propriedades de
potências.
5.8 Definição
Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1 . Chama-se logaritmo de a na
base de b ao expoente x tal que bx = a . Em notação: bx = a ↔ logba = x, em que a
é chamado de logaritmando.
capítulo 5 • 211
EXEMPLO1. O valor log216 é o expoente x tal que 2x = 16. Sabemos que 24 = 16, portanto x = 4.
Assim log216 = 4.
2. O valor log51
25 é o expoente x tal que 5
125
x = . Sabemos que
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
0
, portanto
x = – 2. Assim 51
252− = .
5.9 Propriedades imediatas dos logaritmos
Considerando a e b números reais positivos com a ≠ 1, temos a seguir as pro-
priedades que surgem da aplicação imediata da definição de logaritmo.
P1) loga a = 1
Prova.
De fato, fazendo loga a = x, por definição de logaritmo, temos que ax = a = a1.
Logo, x = 1 e loga 1 = 1
P2) loga 1 = 0
Prova.
De fato, fazendo loga 1 = x, por definição de logaritmo, temos que ax = 1 = a0.
Logo, x = 0 e loga 1 = 0
P3) loga am = m
Prova.
De fato, fazendo loga am = x, por definição de logaritmo, temos que ax = am.
Logo, x = m e loga am = m
P4) a bablog =
Prova.
De fato, fazendo loga b = x, por definição de logaritmo, temos que ax = b.
Logo, x = loga b. Assim a bablog =
212 • capítul0 5
Exemplo
Calcule log16 64
Resolução
Por definição, temos que log16 64 = x ↔ 16x = 64
Para determinar o valor do expoente x é preciso transformar 16 e 64 em po-
tências de mesma base. Sabemos que 16 = 24 e 64 = 26. Assim,
16x = 64
(24)x = 26
24x = 26
Igualando os expoentes, temos:
4 6
64
32
x
x
=
= =
Portanto, log16 6432
=
Exemplo
Calcule log243 3
Resolução
Por definição, temos que log243 3 = x ↔ 243x = 3
Assim,
243 3
3 3
5 1
15
5
x
x
x
x
=
( ) =
=
=
Portanto, log243 315
=
capítulo 5 • 213
Exemplo
Calcule o valor da expressão E = + + −4 7 1 34 57 0 8 3
4log,log log log
Resolução
Vamos encontrar o valor de cada termo da expressão.
1. 4 4 54 45 5log log. .Pela propriedade P4, temos =2. log . log .7 77 7 1Pela propriedade P1, temos =3. log . log ., ,0 8 0 81 1 0Pela propriedade P2, temos =4. log . log .3
43
43 3 4Pela propriedade P3, temos =Portanto, E = 5 + 1 + 0 – 4 = 2.
Exemplo
Para que valores de x existe log2 2x – 8
Resolução
Por definição o logaritmando tem que ser maior que zero e a base tem que
ser maior que zero e diferente de um. Assim,
2 8 0
2 8
824
x
x
x
x
− >>
>
>
A base é 2, que é maior que zero e diferente de um. Portanto, para que exista
log2 2x – 8 devemos ter x > 4.
5.10 Propriedades com operações de logaritmos
Considere a, b e c números reais positivos e a ≠ 1, temos mais algumas proprie-
dades que envolvem as relações entre os valores dos logaritmos de dois ou mais
números.
214 • capítul0 5
P5) Logaritmo do produto
Em uma mesma base, o logaritmo do produto de dois ou mais números po-
sitivos é igual a soma dos logaritmos de cada um desses números. Em notação:
loga bc = loga b + loga c
Prova
Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por:
x = loga b; y = loga c e z = loga bc
Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que ax = b , ay = c e az = bc.
Então, substituindo os valores de b e c na terceira expressão, temos: az = b · c
ax · ay = ax + y ⇒ z = x + y.
Assim, substituindo as expressões de x, y e z na última equação, temos:
loga bc = loga b + loga c.
P6) Logaritmo do quociente
Em uma mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos
é igual a diferença dos logaritmos de cada um desses números. Em notação:
log bc
= log b log ca a a−
Prova
Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por
x = log b, y = log c log bca a ae z =
Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que a = b, = cbc
x ya e az =Então, substituindo os valores de b e c na terceira expressão, temos:
a
a
a z x y
z
z
z
=
=
= ⇒ = −
bcaa
a
x
y
x-y
capítulo 5 • 215
Assim, substituindo as expressões de x, y e z na última equação, temos:
log bc
= log b log ca a a−
P7) Logaritmo da potência
O logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoen-
te pelo logaritmo da base da potência. Em notação:
loga bm = m · loga b
Prova
Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por x = loga b e y = loga bm.
Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que ax = b e ay = bm
Então, substituindo o valor de b, temos:
ay = bm
ay = (ax)m
ay = am · x ⇒ y = mx
Assim, substituindo as expressões de x e y na última equação, temos:
loga bm = m · loga b
P8) Mudança de base
Em alguns casos, precisamos realizar cálculos com logaritmos de bases di-
ferentes. Muitas vezes é conveniente fazer uma mudança de base. Então, po-
demos transformar um logaritmo numa base a (a > 0, a ≠ 1) em um logaritmo
numa base c (c > 0, c ≠ 1). Em notação:
1. Em notação:
loglog
logac
c
bb
a=
Prova
Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por
x = loga b; y = logc b e z = logc a
216 • capítul0 5
Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que ax = b , cy = b e cz = a.
Então, ax = b = cy, e substituindo o valor de a, temos:
a
c
c zx y xyz
x
z x
zx
=
( ) =
= ⇔ = ⇒ =
c
c
c
y
y
y
Assim, substituindo as expressões de x e y na última equação, temos:
loglog
logac
c
bb
a=
Exemplo
Considere que log10 2 = 0,30 e log10 3 = 048. Calcule
a) log10 6
b) log10 1,5
c) log10 108
Resolução
a) Como sabemos os logaritmos de 2 e de 3 na base 10, podemos escrever 6
como sendo o produto de 2 por 3. Assim, log10 6 = log10 2 · 3 Pela propriedade P5,
log10 6 = log10 2 + log10 3 = 0,30 + 0,48 = 0,78
b) Como sabemos os logaritmos 2 e de 3 na base 10, podemos escrever 1,5
como sendo a razão de 3 por 2. Assim, log , log10 101 532
= Pela propriedade P6,
log10 1,5 = log10 2 – log10 3 = 0,30 – 0,48 = 0,18
c) Como sabemos os logaritmos de 2 e de 3 na base 10, podemos escrever
108 = 22 · 33. Assim, log log102 310810
2 3
= ⋅ Pelas propriedades P5 e P7, temos
log10 108 = log10 22 + log10 33, log10 108 = log10 2 + log10 3
Logo,
log10 108 = 2 · 0,30 + 3 · 0,48 = 2,04
capítulo 5 • 217
Exemplo
Determine o valor da expressão log8 625 · log5 64
Resolução
Inicialmente, vamos colocar todos os logaritmos envolvidos na base 5.
Utilizando a propriedade P8, temos que
log loglog
loglog
log
loglog8 5
8
55
54
55
2625 64625
864
5
88= = ⋅ = ⋅
Pela propriedade P7, segue que
log
loglog
log
loglog log log5
4
55
2 5
58 2 5 5
5
88
4 52 8 4 5 2 8 5⋅ =
⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
E da propriedade P1, temos que Image Assim,
log8 625 · log5 64 = 8 · 1 = 8
5.11 Sistemas de logaritmos na base a
Chamamos de sistema de logaritmos na base a (em que Image) ao conjunto de
todos os logaritmos na base Image. Os dois principais sistemas são o logaritmo
decimal e o logaritmo natural.
I. Sistema de logaritmo decimal
É um sistema de logaritmo na base 10. A preferência pelos logaritmos de-
cimais se deve ao fato de usarmos um sistema de numeração de base 10. Em
notação:
log10 b = log b
II. Sistema de logaritmo natural ou logaritmo neperiano
É um sistema de logaritmo na base e = 2,718283... (chamado Número de
Euller), que é um número irracional. O nome “natural” se deve ao fato de, no
218 • capítul0 5
estudo de fenômenos da natureza, geralmente aparecer uma lei exponencial
na base e. Em notação:
loge b = In b
Exemplo
Resolva a expressão EIne In
Ine=
+ 12
Resolução
Colocando as bases de forma explícita, temos
EIne In
Ine
e
ee e
e
=+
=+1 1
2 2
log log
log
Pelas propriedades P1, P2 e P3, sabemos respectivamente que loge e = 1,
loge 1 = 0 e loge e2 = 2loge e = 2.
Substituindo esses valores em Image temos
E ee
e
ee
=+
=+
=log log
log
1
2
1 10
212
Exemplo
Encontre o valor de log 1035 .
Resolução
Sabemos que log log log10 10 103535
10
35= = .
Então, pela propriedade P3,
log 1035
35 =
Exemplo
Dada a expressão S = log 0,001 + log 100, o valor de S é:
a) –3 b) –2 c) –1 d) 0 e) 1
capítulo 5 • 219
Resolução
Usando a propriedade P3, temos que:
log 0,001 + log 10–3 = log10 10–3 = –3
e
log 100 = log 102 = log10 102 = 2
Logo, S = –3 + 2 = –1
Resposta: C.
5.12 Função logaritmica
Considere a > 0 e a ≠ 1. Estudamos no capítulo anterior a função exponencial
f : *� �→ + definida por f x ax: ( ) = . Esta função é bijetora e, portanto, admite
função inversa. A função inversa da exponencial é denominada função logarít-
mica f : *� �+ → definida por
f(x) = loga x
Exemplos
1. f x x( ) = log8 é a função inversa de f(x) = 8x.
2. y x= log 15
é a função inversa de f xx
( ) =
15
5.13 Gráfico de uma função logaritmica
O gráfico da função f(x) = loga x é uma curva posicionada no primeiro e no quar-
to quadrante (pois x > 0), ou seja, o gráfico da função f(x) = loga x não toca o eixo-y
(eixo das ordenadas).
Além disso, ela passa pelo ponto (1,0), pois, se x =1, temos que
f(1) = loga 1 = 0
220 • capítul0 5
Exemplo
Faça o gráfico da função f(x) = log2 x
Resolução
Para auxiliar no desenho da curva que representa f(x), vamos construir uma
tabela com alguns de seus pontos.
x f(x) = log2 x
18
–3
14
–2
12
–1
1 02 14 28 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
–3
–2
–1
1
2
3
0
y
x
Exemplo
Faça o gráfico da função y x= log 12
Resolução
Para auxiliar no desenho da curva que representa , vamos construir uma ta-
bela com alguns de seus pontos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
–3
–2
–1
1
2
3
4
0
–4
capítulo 5 • 221
xy x= log 1
2
18
3
14
2
12
1
1 02 –14 – 28 – 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
–3
–2
–1
1
2
3
0
y
x
Observações:
1. No primeiro exemplo, temos a > 1 Note que D(f) = �+* , Im(f) = � e a
função é crescente em todo seu domínio.
É fácil verificar que, ao utilizarmos valores de x cada vez maiores (x = 100,
1000, 100000, ....), os valores de f(x) também serão cada vez maiores. Ou seja,
quando x “tende” a infinito, f(x) também “tende” a infinito:
x f x→ + ∞ ⇒ ( ) → + ∞
Por outro lado, quando utilizamos valores de x cada vez mais próximos de
0 (x = 0,1; 0,001; 0,00001; ...), os valores de f(x) serão cada vez menores, e mais
negativos. Ou seja, quando x tende a 0, f(x) também tende a menos infinito:
x f x→ ⇒ ( ) → −∞0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
–3
–2
–1
1
2
3
4
0
–4
222 • capítul0 5
Esboço do gráfico:
0
y
x
2. No segundo exemplo, temos 0 , a < 1. Note que D(f) = �+* , Im(f) = � e a
função é decrescente em todo seu domínio.
É fácil verificar que, ao utilizamos valores de x cada vez maiores (x = 100,
1000, 100000, ....), os valores de f(x) serão cada vez menores e mais negativos.
Ou seja, quando x tende a infinito, f(x) também tende a menos infinito:
x f x→ + ∞ ⇒ ( ) → −∞
Por outro lado, quando utilizamos valores de x cada vez mais próximos de
0 (x=0,1; 0,001; 0,00001; ...), os valores de f(x) serão cada vez maiores. Ou seja,
quando x tende a 0, f(x) também tende a infinito:
x f x→ ⇒ ( ) → + ∞0
Esboço do gráfico:
0
y
x
capítulo 5 • 223
3. Como a função logarítmica e a função exponencial são inversas entre
si, seus gráficos são simétricos em relação a função Identidade (bissetriz dos
quadrantes ímpares), conforme esboços abaixo.
• Se a > 1:
–4
–3
–2–1
12
3
4
56
7
89
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7
y = loga x
y = xy = ax
90
y
x8
• Se 0 < a < 1:
–4
–3
–2–1
12
3
4
56
7
89
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7
y = loga x
y = xy = ax
90
y
x8
224 • capítul0 5
Lembretes
1. Uma função f : A → B é sobrejetora se, e somente se, para todo y ∈ B,
existe x ∈ A tal que f(x) = y. Em outras palavras, podemos dizer que uma função
é sobrejetora quando seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem.
2. Uma função f : A → B é injetora se, e somente se, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) para
quaisquer x1 e x2 pertencentes ao domínio A.
Em outras palavras, podemos dizer que uma função é injetora quando ele-
mentos quaisquer do domínio de f, distintos entre si, tiverem imagens também
distintas entre si, através de f.
3. Uma função f : A → B é bijetora se, e somente se,f é sobrejetora e injeto-
ra. Apenas as funções bijetoras admitem função inversa.
Exemplo
Dada a função f(x) = log3 x, calcule f(81).
Resolução
f(81) = log3 81 = log3 34 ⇒ f(81) = 4, pela propriedade P4.
Exemplo
Determine o domínio da função f(x) = log7 (4x – 12)
Resolução
Existe loga b se, e somente se, b > 0 e a > 0, a ≠ 1, conforme vimos na definição
de logaritmo. Assim, a base 7 é maior que zero e diferente de um. Basta, então,
analisarmos o logaritmando, que deve ser maior que zero. Portanto, devemos ter:
4x – 12 > 0 ⇒ x . 3
Logo, o domínio da função é {x ∈ � / x > 3}
capítulo 5 • 225
Exemplo
Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) = log4 x.
y
2
0 x16
O valor de f(128) é:
a) 52
b) 3 c) 72
d) 7
Resolução
Do gráfico, temos que f(16) = 2. Assim,
logn 16 = 2 ⇒ n2 = 16 ⇒ n = 4
pois a base do logaritmo não pode ser negativa. Portanto, f(x) = log4 x.
Queremos calcular f(128) = log4 128 = y, então, por definição de logaritmo,
temos:
4 128 2 2 2 772
2 7y yy y= ⇒ ( ) = ⇒ = ⇒ =
Logo, f 12872
( ) = .
Resposta C.
5.14 Equação logaritmica
Chama-se equação logarítmica a toda equação que apresentar a incógnita no
logaritmando ou na base de um logaritmo.
226 • capítul0 5
Exemplo
Resolva a equação 3x = 5.
Resolução
A solução é obtida diretamente da definição de logaritmo, ou seja, x = log3 5.
(Esta equação foi deixada como exercício no capítulo anterior.)
Exemplo
Resolva log2 (4x + 24) = 5.
Resolução
1. Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior que zero.
Logo:
4x + 24 > 0 ⇒ x > –6
Cabe observar que, sendo a base maior que zero e diferente de um, não pre-
cisamos impor nenhuma condição de existência para a base.
2. Solução da equação: da definição de logaritmo, temos que
25 = 4x + 24 ⇒ 4x + 24 = 32 ⇒ x = 2
3. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o
conjunto solução da equação: x > –6 e x = 2. Portanto, S ={2}
Exemplo
Resolva a equação log3 (x + 1) + log3 (x –7) = 2
Resolução
1. Condição de existência: os logaritmandos têm que ser maiores que
zero. Logo:
x x
x x
+ > → > −− > → >
1 0 1
7 0 7
Portanto, a condição de existência é x > 7
capítulo 5 • 227
2. Solução da equação: pela propriedade P5, temos
log3 (x + 1) + log3 (x –7) = 2 ⇔ log3 (x + 1) (x –7) = 2
Por definição de logaritmo,
32 (x + 1) · (x –7) ⇒ x2 – 6x – 7 = 9 ⇒ x2 – 6x – 16 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, temos x1 = 8 e x2 = –2
3. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar
o conjunto solução da equação: x 7 e (x1 = 8 e x2 = –2). Portanto S = {8}
5.15 Inequação logaritmica
Chama-se inequação logarítmica a toda inequação que apresentar a incógnita
no logaritmando ou na base de um logaritmo.
Exemplo
Resolva a inequação log2 (3x – 1) > 3
Resolução
1. Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior que zero.
Logo:
3x – 1 > 0 ⇒ x > 1/3
2. Solução da inequação: para comparar dois logaritmos, vamos escrever
o número 3 como um logaritmo na base 2:
log2 (3x – 1) > 3 ⇒ log2 (3x – 1) > log2 23
Como a base é maior que 1, a função logarítmica é crescente, e portanto:
3x – 1 > 23 ⇒ x > 3
228 • capítul0 5
3. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o
conjunto solução da equação: x e x> >13
3 Portanto, {x ∈ � / x > 3}
Exemplo
Resolva a inequação log 13
4 2x −( ) ≥
Resolução
1. Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior que zero.
Logo:
3x – 4 > 0 ⇒ x > 4
2. Solução da inequação: para comparar dois logaritmos, vamos escrever
o número 2 como um logaritmo na base log 1
2
4 2x −( ) ≥
através da propriedade P3:
log log log12
12
12
2
4 2 412
x x−( ) ≥ ⇔ −( ) ≥
Como a base está entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e portanto:
x x x− ≤
⇒ ≤ + ⇒ ≤412
414
174
2
3. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o
conjunto solução da inequação: x e x> ≤4174
. Portanto, S x x= ∈ < ≤
� / 4174
.
ESTUDO DE CASO APLICADOS01. Expresse o número de períodos t de uma aplicação, em função do montante M e da taxa
de aplicação i por período.
Resolução
M C i
MC
i
t
t
= +( )
= +( )
1
1
capítulo 5 • 229
Aplicando log, poderemos escrever:
log log
log log log
log log
log
MC
i
M C t i
tM C
i
t= +( )− = ⋅ +( )
=−
+( )
1
1
1
02. Sabe-se que um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de
2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
Dados: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860
Resolução
M = C(1 + i)t
O capital inicial estará duplicado quando M = 2C.
2C = C(1 + 0,02)t
2 = (1 + 0,02)t
2 = 1,02t
IOu ainda,
t
t
t
t
=
=
=
=
log
log
log ,
,,
,1 02 2
2
1 02
0 301030 0086035
O capital estará duplicado após 35 meses ou 2 anos e 11 meses.
Resposta: 2 anos e 11 meses.
03. Um banco europeu oferece a seus clientes uma taxa de juros 6% ao ano, em regime de
juros compostos. Considerando este cenário, determine
230 • capítul0 5
a) o capital acumulado ao fim de 7 anos, por um cliente que depositou 50.000 euros.
b) quantos anos este cliente terá de esperar, para obter um capital acumulado de 100.000
euros?
c) qual deveria ser o depósito inicial efetuado por este cliente, para ele obter 85.000 euros
ao fim dos mesmos 7 anos?
Resolução
M = C (1 + i)n
C = 50000;
i = 0,06
n = 7
a) M = capital acumulado.
M = 50000 · (1 + 0,06)7
M = 75181,51 (euros)
b) Determinando t:
100000
10000050000
2
21 06
=
=
==
(1 + 0,06)
(1,06)
(1,06)
7
7
7
t log ,
Mudando a mudança de base 1,06 para a base 10, obtemos
t =
≈ ( )
log
log ,
,
2
1 06
11 9t anos
c) Determinando C:
85000 =
C
C
C eur
⋅ +( )
=+( )
≈ =
1 0 06
85000
1 0 06
850001 5036
56529 85
7
7
,
,
,, oos( )
capítulo 5 • 231
EXERCÍCIO PROPOSTOS01. Se log123 = 2,09, o valor de log 1,23 é:
a) 0,0209
b) 0,09
c) 0,209
d) 1,09
e) 1,209
Resolução
Pela propriedade P6,
log , log log log , ,1 23123100
123 100 2 09 2 0 09= = − = − =
Resposta: B
02. Se log2 = a e log3 = b, escrevendo log(32/27) em função de a e b obtemos:
a) 2a + b
b) 2a – b
c) 2ab
d) 2a/b
e) 5a –3b
Resolução
Da propriedade P6, temos que
log log log log log log log3227
32 27 2 3 5 2 3 35 3= − = − = − ⋅
Substituindo Image obtemos:
log3227
5 3= −a b
Resposta: E
232 • capítul0 5
03. (UFSCAR) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produ-
ção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o modelo matemático:
h(t) = 1,5 + log3 (t + 1)
com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco
atingiu 3,5m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do
corte foi de:
a) 9.
b) 8.
c) 5.
d) 4.
e) 2.
Resolução
Queremos determinar Image tal que Image isto é, se
h(t) = 1,5 + log3 (t + 1)
3,5 = 1,5 + log3 (t + 1) ⇒ log3 (t + 1) = 2 ⇒ t + 1 = 9 ⇒ t = 8
Resposta: B
04. (UNIRIO) Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de uma determi-
nada cidade, com idades que variavam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula,
h i= ⋅log ,100 7
onde h é a altura (em metros) e i é a idade (em anos). Pela fórmula, uma criança de
10 anos desta cidade terá altura:
a) 120 cm
b) 123 cm
c) 125 cm
d) 128 cm
e) 130 cm
capítulo 5 • 233
Resolução
Queremos determinar h(10) ou seja, se
h i i
h
( ) = ⋅( )( ) = ⋅( ) = ⋅( ) =
log
log log log
,
, , ,
10
10 10 10 10 10 1
0 7
0 7 0 7 0 5 00 1 2 1201 2, ,= m ou cm
Resposta: A
05. As indicações R1 e R2 de dois terremotos, na escala Richter, estão relacionadas pela fór-
mula R1 – R2 = log (E1/E2) em que E1 e E2‚ medem as respectivas energias, liberadas pelos
terremotos em forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Nessas condições, se
R1 = 8,5 e R2 = 7,0, é correto afirmar que a razão entre E1 e E2, nessa ordem, é igual a:
a) 0,5 b) 1,5 c) 10 0,5 d) 10 1,5
Resolução
R
R
R RE
E
E
E
1
2
1 21
2
1
2
1 5
8 5
7 0
8 5 7 0 1 5 1 5 10
==
− = − = ⇒ = ⇒ =
,
,
, , , , log ,
06. Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 4%
ao ano. (Meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento, metade dos
átomos de uma substância radioativa se desintegre.). A expressão para a situação descrita
pode ser representada por: Q(t) = Q0 · e–rt.
Resolução
QQ e e
t t
t
t t00
0 04 0 04
212
0 0412
0 04 0 6931
0 69
= ⋅ ⇒ =
− = ⇒ − = −
≈ −
− −, ,
, ln , ,
, 3310 04
17 3−
≈,
,t anos
234 • capítul0 5
07. (FUVEST) A figura a seguir mostra o gráfico da função logaritmo na base b.
O valor de b é:
y
–1
x
0,25
1
a) 1/4.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 10.
Resolução
Sendo a função uma função logarítmica f(x) = logb x, queremos determinar o valor de b.
Pelo gráfico, temos que f(0,25) = –1, assim
− = ⇒ = ⇒ = ⇒ =−1 0 25 0 251 1
441log , ,b b
bb
Resposta: D
08. (UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é representado por log x. Então, a
soma das raízes de log2 x – log x3 é igual a:
a) 1
b) 101
c) 1000
d) 1001
Resolução
Da propriedade P5,
log2 x – log x3 = 0 ⇒ log2 x – 3 · log x = 0 ⇒ log x · (log x – 3) = 0
⇒ log x = 0 ou log x =3
Por definição de logaritmo, x = 100 ou x = 103, isto é, x = 1 ou x = 1000 Logo,
S = 1 + 1000 = 1001
Resposta: D
capítulo 5 • 235
09. (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40cm de profundidade, a intensi-
dade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação
I Ih
= ⋅ ( )0 400 8,
na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e I0 é a intensi-
dade na superfície.
Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P,
é de 32% daquela observada na superfície.
A profundidade do ponto P, em metros, considerando log 2 = 0,3, equivale a:
a) 0,64
b) 1,8
c) 2,0
d) 3,2
Resolução
Queremos determinar h tal que I h I( ) = ⋅32100 0 , isto é,
32100
0 80 0 40⋅ = ⋅ ( )I Ih
,
Dividindo por I0 e aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação, temos:
log log , log log log
log log
32100
0 8 32 10010
810
2 10
40
5 2
= ( ) ⇒ − = ⋅
⇒ − =
h h
hh
h
h
108 10
5 2 210
2 1
5 0 3 210
3
3
⋅ −( )
⇒ ⋅ − = ⋅ −( )
⇒ ( ) − = ⋅
log log
log log
, log 22 1 0 510
0 1
12 10
110
200 2 0
−( ) ⇒ − = ⋅ −( )
= ⋅ ⇒ =
, ,
, .
h
hh ou m
Resposta: C
236 • capítul0 5
10. Resolva a inequação: log3 (3x + 6) < log3 x.
Resolução
Temos a seguinte inequação
log3 (3x + 6) < log3 x
2. Condição de existência: os logaritmandos têm que ser maiores que zero, ou seja,
log3 (3x + 6) > 0 e x > 0 ⇒ x –2 e x > 0
Logo, a condição de existência é x > 0.
3. Solução da inequação: como a base é maior que 1, a função é crescente. Assim:
log3 (3x + 6) < log3 x ⇒ 3x + 6 < x ⇒ x < –3
4. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solu-
ção da inequação: x > 0 e x < –3. Portanto, S = Ø.
11. Suponhamos que uma cidade tenha hoje 15.000 habitantes e que haja um crescimento
populacional de 1,5% ao ano.
a) Determine o número de habitantes daqui a 8 anos.
b) Se daqui a 8 anos o número de habitantes for igual a 18.000, qual terá sido a taxa de
crescimento anual?
Resolução
Neste exemplo, vamos utilizar o modelo de crescimento exponencial, pois temos como
objetivo calcular o tamanho da população daqui a 8 anos.
a) Hoje, a cidade tem uma população de 15.000. Portanto, y0 = 15.000.
A taxa de crescimento é k =1,5% ao ano. Para t = 8 anos, o número de habitantes será de:
y = y0 (1 + k)t
y = 15.000 (1 + 0,015)8
y = 15.000 · (1,015)8
y = 15.000 · 1,126493
y = 16.897,39
capítulo 5 • 237
b) Neste item, estamos interessados em calcular o valor de k para y = 18,000, y0 = 15.000
e t = 8 anos. Então:
18.000 = 15.000(1 + k)8
(1 + k)8 = 1,2
Para que consigamos isolar k, devemos elevar ambos os membros da igualdade ao ex-
poente 1/8 e aplicar a propriedade de potência.
1 1 2
1 1 2
1 1 023052
1 023052 1
818
18
118
+( )
= ( )
+( ) = ( )+ == −
k
k
k
k
,
,
,
,
kk
k
==
0 023052
2 3052
,
, %
Portanto, a taxa de crescimento seria de 2,31% ao ano.
Não se esqueça de que, para efetuarmos cálculos com taxas percentuais, devemos
primei ramente transformá-las em taxas unitárias. Nesse exemplo, temos k = 1,5%, que é o
mesmo que considerar k = 0,015.
Então, daqui a 8 anos o número de habitantes da cidade será de 16.897
12. Um automóvel vale hoje R$ 22.500,00. Sabendo que ele sofre uma desvalorização de
15% ao ano, faça o que se pede abaixo.
a) Determine o valor do carro daqui a 7 anos.
b) Considere o valor do carro daqui a t anos. Esboce o gráfico de y em função de t.
Resolução
a) Neste exemplo, devemos considerar k = – 15%, pois há uma desvalorização no preço
do veículo com o passar dos anos. Então
y = y0 (1 + k)t
y = 22.500 (1 + 0,15)7
y = 22.500 · (0,85)7
y = 22.500 · 0,320577
y = 7.212,98
Daqui a 7 anos, o valor do veículo será de R$ 7.212,98.
238 • capítul0 5
b) Para a construção do gráfico da função y = 22.500(0,85)t, devemos atribuir alguns
valores para t e encontrar os respectivos valores de y. Vale lembrar que o valor de t tem
de ser maior ou igual a zero, pois a variável t indica tempo. Dessa forma, t = 0 indica o
valor do carro hoje
t = 0 y = 22.500 · (0,85)0= 22.500
t = 1 y = 22.500 · (0,85)1= 19.125
t = 2 y = 22.500 · (0,85)2= 16.256,25
t = 3 y = 22.500 · (0,85)3= 13.817,81
t = 4 y = 22.500 · (0,85)4= 11.745,14
t = 5 y = 22.500 · (0,85)5= 9.983,37
t = 6 y = 22.500 · (0,85)6= 8.485,86
t = 7 y = 22.500 · (0,85)7= 7.212,98
Colocando os pontos do quadro no plano cartesiano, obtemos o seguinte gráfico:
Tempo
R$
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
0
1 2 3 4 5 6 70
O gráfico é decrescente, pois o valor do carro vai diminuindo conforme aumenta seu
tempo de uso (em anos).
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASIEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 2:
Logaritmos. 10. ed. São Paulo: Atual. 2013.
PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 2. São Paulo: Moderna. 2013.
SOUZA, Joamir. Novo olhar. Volume 1.São Paulo: FTD, 2010.
GALVÃO, Lauro César Matemática Aplicada. UTFPR Disponível em: <http://www.lce.esalq.usp.br/
arquivos/aulas/2013/LCE0176/mat_aplicada_a.pdf>, Acesso em: 04 mar. 2014.