Produto Cartesiano

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Producto Cartesiano

Se atribuye a René Descartes, filósofo, matemático y científico francés.

Fundamentó su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un "punto de partida" sobre el que edificar todo el conocimiento. En su faceta matemática que le lleva a crear la geometría analítica, también comienza tomando un punto de partida: dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto denominado "origen de coordenadas", ideando así las denominadas coordenadas cartesianas.

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Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B., se representa A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer componente de la pareja pertenece al primer conjunto y el segundo componente al segundo conjunto.

Simbólicamente: A x B = {(a, b) / a A, b B}.∈ ∈El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A; sólo se cumple la igualdad si los conjuntos A y B son coincidentes.

Por ejemplo si: A = {a, b} y B = {1, 2}, A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)} B x A = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)},

Queda claro que los conjuntos tienen elementos (parejas ordenadas) distintos.

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Formas de Representación

Diagrama Cartesiano

Sean los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, su producto cartesiano resulta:A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}

Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a continuación. Cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de valores y viceversa.

En el eje horizontal representamos los elementos del primer conjunto y en el vertical los valores del segundo conjunto.

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Diagrama de flechas

Otra manera de visualizar, es a través de una representación gráfica, donde se destaquen los elementos que pertenecen al conjunto A y los que pertenecen a B (diagrama de VENN).

Se trazan flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su pareja en el conjunto B.

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Diagrama de árbol

Consiste en escribir los elementos según un orden jerárquico partiendo de un punto inicial, al que se subordinan los elementos del primer conjunto y a cada uno de éstos los del segundo.

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Relaciones y Funciones.

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Relaciones.

Se define como relación o correspondencia R entre los conjuntos A y B, a un subconjunto del producto cartesiano A x B, compuesto por pares de elementos que cumplen cierta regla definida. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto:

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Si (x,y) ∈ R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y".

Ejemplo 1:Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.

A B

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En otras palabras una relación es una correspondencia o vinculo que se establece entre elementos de dos conjuntos atendiendo a un enunciado formal o ley de correspondencia.Ejemplo:

Si A= {1,2,4,6} y B= {1,2,4,5}

1) R: A B ‘’X+1=Y’’ X YA=1+1=2 2+1=3 4+1=5 6+1=7 2

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Elementos de una Relación

El conjunto A es el conjunto Inicial o conjunto de Partida. Los elementos de A que forman parte de la relación son el primer componente de las parejas; en el diagrama de flechas es el de donde parten las flechas.

El conjunto B es el conjunto Final o conjunto de Llegada. Los elementos de B que forman parte de la relación son el segundo componente de las parejas; en el diagrama de flechas es al que llegan las flechas.

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Es el conjunto de los primeros elementos de cada par ordenado. De cada elemento del dominio sale por lo menos una flecha. O sea que el Dominio es un subconjunto del conjunto de Partida

A B

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Dominio : (1,2);(3,4);(5,6)

Dominio

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Imagen Es el conjunto de los segundos elementos de cada par ordenado. En una relación, a cada elemento del conjunto Imagen llega por lo menos una flecha.

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Una aplicación Es una ley de asignación entre dos conjuntos, que pueden ser numéricos o no.Usaremos la flecha para indicar el sentido de la aplicación, es decir, cuál es el conjunto origen y cuál el destino. Lo denotaremos s: X→YCon ello queremos expresar que la aplicación se asocia o relaciona los elementos de X (origen) con los elementos de Y (destino)

En este ejemplo, la aplicación relaciona los elementos de X (números) con los de Y (letras).

Las flechas indican los elementosemparejados entre sí:s: 1→ b 2→ c 3→ d 4→ b

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Función matemática Es una aplicación entre dos conjuntos numéricos de forma que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto:

f : X →Yx -→ y = f(x)

Al conjunto X se le llama Dominio y al conjunto Y se le llama Imagen.Se debe cumplir:a)todos los elementos de X están relacionados con elementos de Yb)a cada elemento x le corresponde un único elemento y Y.

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Elementos de una función

Dominio: Conjunto de valores que toma la variable independiente X.

Codominio: Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente Y.

Rango o imagen: Conjunto de valores que efectivamente toma la variable dependiente Y.

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Clasificación de las funciones.

Inyectiva. Cuando no existen del conjunto de partida dos elementos que tengan la misma imagen.

X Y

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DBCA

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SobreyectivaCuando cada elemento del conjunto de llegada es

imagen de al menos un elemento del conjunto de partida

X Y

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DBC

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BiyectivaEs una función que es simultáneamente Inyectiva y Sobreyectiva; es decir, que todos los elementos del conjunto de partida van hacia otros elementos del conjunto de llegada.