PLANO CARTESIANO - Nobel gerais.pdf · PRODUTO CARTESIANO Dados os conjuntos A e B, chamamos de...
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PLANO
CARTESIANO
x
y
O (0, 0)
1º quadrante 2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
eixo das
abscissas
eixo das ordenadas
Origem
P
x
y
O
4
3
P(3, 4)
abscissa do
ponto P
ordenado do
ponto P
No caso, 3 e 4 são as
coordenadas de P.
x O
y
A
B
C
D
E
F
G
H
A (4, 0)
B (1, 5)
C (0, 3)
D (–2, 2)
E (–1, 0)
F (–3, –3)
G (0, –3)
H (–1, 3)
RELAÇÕES BINÁRIAS
PRODUTO CARTESIANO
Dados os conjuntos A e B, chamamos de produto
cartesiano de A por B (A X B) o conjuntos de todos os
pares ordenados (x, y) que podem ser formados com
primeiro elemento de A e segundo elemento de B.
A X B = { (x, y) / x ∈ A e y ∈ B}
Onde x é a abscissa do par e y é a ordenada.
Os elementos x e y são as coordenadas do par.
(1, 4),
EX1 DA PAG. 1
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, determine: A
X B, B X A e B2.
A X B = { (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) }
B X A = { (4, 1), (4, 3), (4, 2), (5, 1), (5, 2), (5, 3) }
B2 = B X B = { (4, 4), (5, 4), (4, 5), (5, 5) }
REPRESENTAÇÃO
DO PRODUTO CARTESIANO
1
2
3
4
5
AXB
DIAGRAMA DE “FLECHAS”
A B
x
y
O
AXB REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
1 2 3
4
5
EXEMPLO
Dados os conjuntos A = { x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 3 } e
B = { x ∈ R / 1 < x ≤ 2 }, determine A X B.
x 0 1 3
1
2
EX2 DA PAG.2
Dados os conjuntos A = { x ∈ R / 2 ≤ x < 5 } e
B = { x ∈ R / 1 < x ≤ 4 }, determine A X B.
x 0 2 5
1
4
OBS: A = { x ∈ R / 2 ≤ x < 5 } A = [ 2 , 5) e B = { x ∈ R / 1 < x ≤ 4 } B = ( 1 , 4 ]
RELAÇÕES
RELAÇÃO
Chama-se relação R de A em B a qualquer subconjunto de
A X B.
R é uma relação de A em B ⇔ R ⊂ (A X B).
EXEMPLO Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, construir o
conjunto R dos pares ordenados de A X B, tais que o
primeiro e o segundo termos sejam ímpares.
1
2
3
4
5
A B
R
R = { (1, 5), (x, y) ∈ A X B / x e y são
impares
(3, 5) } = { }
(1, 4), A X B = { (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) }
EX 3 PAG. 2 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, construir o
conjunto R dos pares ordenados de A X B, tais que o
segundo termo seja o dobro do primeiro mais um.
1
2
3
4
5
A B
R
R = { (2, 5) (x, y) ∈ A X B / y= 2x + 1 } = { }
(1, 4), A X B = { (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) } (1, 5),
x
y
O
VEJA O GRÁFICO DA RELAÇÃO R: A → B
1 2 3
4
5
FUNÇÕES
CONCEITO E ELEMENTOS
CONCEITO DE FUNÇÃO
Analisar um fenômeno natural, econômico ou social, por
exemplo, significa relacionar as variáveis envolvidas nele.
A ciência ocupa-se da representação e da análise dessas
relações de dependência, às quais damos o nome de
funções.
EXEMPLO
Um corpo se move sobre um eixo com velocidade inicial de 6 m/s,
mantendo uma aceleração constante de 3 m/s2. Sua velocidade v
(em metros) está relacionada com o tempo t (em segundos).
Obter a fórmula da velocidade e construir o gráfico v x t.
12 2
9 1
6 0
v(m/s) t(s)
t (s)
v (m/s)
0
12
6
1 2 v = 6 + 3.t
9
CONCEITO DE FUNÇÃO
O conceito de função sofreu muitas mudanças ao longo
do tempo.
Alguns historiadores creditam ao babilônios (2000 a.C.,
aproximadamente) as primeiras idéias sobre funções.
Mas foi René Descartes (Século XVII) quem primeiro
usou a palavra função. Para ele função era qualquer
potência de uma variável (x2, x3, x4, etc.).
CONCEITO DE FUNÇÃO
De maneira geral, se a variável x assume valores
em um conjunto A e a variável y assume valores
em um conjunto B, podemos definir:
Função de A em B é toda relação f de A em B que, a cada elemento x de A, associa um único elemento y de B.
CONCEITO DE FUNÇÃO
Suponha que 5 alunos fizeram uma prova de
múltipla escolha. Ela tinha 8 questões. Cada uma
valia um ponto. Vamos considerar os conjuntos
dos alunos A = {1, 2, 3, 4, 5};
dos pontos B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
CONCEITO DE FUNÇÃO
Vamos representar o resultado da prova de três
formas diferentes
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
Por uma tabela
Aluno 1 2 3 4 5
nota 6 3 7 8 7
Por um conjunto de pares ordenados
{(1, 6), (2, 3), (3, 7), (4, 8), (5, 7)};
CONCEITO DE FUNÇÃO
Vamos representar o resultado da prova de três
formas diferentes
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
Por um diagrama de conjuntos
1 2
3 2
A B
0 1 3
4 5
4 5
6 7
8
(x) (y) f
CONCEITO DE FUNÇÃO
O diagrama ilustra uma função f de A em B.
f: A→B x y
A B
f
O conjunto A é o domínio da função;
O conjunto B é o contradomínio da função;
x é a variável independente;
y é a variável dependente;
y é a imagem de x, pela função. y = f(x)
CONCEITO DE FUNÇÃO
No exemplo anterior temos:
1 2
3 2
A B
0 1 3
4 5
4 5
6 7
8
(x) (y) f
a imagem de 1 é 6: f(1) = 6
a imagem de 2 é 3: f(2) = 3
a imagem de 3 é 7: f(3) = 7
a imagem de 4 é 8: f(4) = 8
a imagem de 5 é 7: f(5) = 7
Im(f) ou f(A) = {3, 6, 7, 8}
Im(f) B (contradomínio)
Mostrar que o diagrama a seguir representa uma função f de A em B. Em seguida, determinar
1. seu domínio e contradomínio;
2. f(1), f(2) e f(3);
3. Seu conjunto imagem;
4. O conjunto-solução da equação f(x) = 7.
1
2
3 8
A B
5
7
9
f(1) = 5; f(2) = 7 e f(3) = 7
D(f) = A = {1, 2, 3}
CD(f) = B = {5, 7, 8, 9}
Im(f) = {5, 7}
Exemplo
S = {2, 3}
Exemplo
Mostrar que o diagrama abaixo não representa uma função
de A em B.
3
4
5 6
A B
8
7
9
um único elemento de A (o 4) está associado a dois
elementos em B.
Além disso, um elemento de A (o 5) não está
associado a nenhum elemento de B.
EX 4 – PAG. 2
Dados os conjuntos A = {0,1,9} e B = {0,1,2,3,4},
determine se a relação f: { (x,y) E AXB/y=√x + 1}
é função
0
1
A B
0
1
9
2
3
4
(x) (y) f
a imagem de 0 é 1: f(0) = 1
a imagem de 1 é 2: f(1) = 2
a imagem de 9 é 4: f(9) = 4
Im(f) ou f(A) = {1, 2, 4 }
Im(f) B (contradomínio)
FUNÇÕES REAIS
Vamos dar ênfase a funções que tem como domínio e
contradomínio, subconjuntos de R. Elas se chamam
funções numéricas ou funções reais.
Em geral, a lei que define uma função real é expressa por
uma fórmula, ou seja, a variável dependente y é obtida por
meio de um conjunto de operações sobre a variável
dependente x.
Funções reais
y = f(x) = x2 + x – 3.
x = –2 ⇒ y = f(–2) = (–2)2 + (–2) – 3
x = 0 ⇒ y = f(0) = (0)2 + (0) – 3
x = 1 ⇒ y = f(1) = (1)2 + (1) – 3
x = 2 ⇒ y = f(2) = (2)2 + (2) – 3
Im(f) = {–3, –1, 3}
f = {(–2, –1), (0, –3), (1, –1), (2, 3)}
Exemplo
É dada a função real f:{–2, 0, 1, 2} → R definida pela lei
y = f(x) = x2 + x – 3. Determinar suas imagens, conjunto imagem e gráfico
cartesiano.
= –1
= –3
= –1
= 3
x 0 1 2
1
3
y
–2 –1
–1
–3
f = {(–2, –1), (0, –3), (1, –1), (2, 3)}
Veja o gráfico da função
y = g(x) = 2x – 1.
x = 0 ⇒ y = g(0) = 2.0 – 1
x = 1 ⇒ y = g(1) = 2.1 – 1
x = 3 ⇒ y = g(3) = 2.3 – 1
Obtivemos os pontos A(0, –1), B(1, 1) e C(3, 5).
Construir o gráfico cartesiano da função real g:R+→R, dada por
y = g(x) = 2x – 1. A partir do gráfico determinar o seu conjunto imagem.
Exemplo
= –1
= 1
= 5
Veja o gráfico da função
x
y
–1 1
1
3
5
A(0, –1), B(1, 1) e
C(3, 5).
A
B
C
Im(f) = [–1, +∞[
g:R+→ R
RECONHECENDO GRÁFICO
DE FUNÇÕES REAIS
x
y
0
Analise se o gráfico abaixo representa uma função real, de
domínio [1, 4].
1 2 3 4
Exemplo
x
y
0 1 2 3 4
Analise se o gráfico abaixo representa uma função real, de domínio [1, 4].
Exemplo
x
y
0 1 2 3 4
1
2
3
–1
Vamos analisar agora se o gráfico a seguir representa uma função real, de
domínio [–1, 4].
Exemplo
OS GRÁFICOS ANALISADOS SUGEREM UMA REGRA
GERAL. COMO IDENTIFICAR SE UM DADO GRÁFICO É
UMA FUNÇÃO Y = F(X), DE DOMÍNIO D?
Imaginamos todas as retas paralelas ao eixo y, por um
ponto x do domínio D.
Temos uma função só se todas elas interceptam o gráfico
num único ponto.
DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM A
PARTIR DO GRÁFICO
CARTESIANO
DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM
O domínio é obtido projetando todos os pontos do gráfico
da função no eixo das abscissas;
O conjunto imagem é obtido projetando os pontos do
gráfico da função no eixo das ordenadas.
x
y
0
1
2 5
4
ANALISE O GRÁFICO DA FUNÇÃO ABAIXO E DETERMINE O
SEU DOMÍNIO E O SEU CONJUNTO IMAGEM.
D = [2, 5[
Im = [1, 4[
x
y
0 –1
2
D = [–1, [
Im = ]– , 2 ]
ANALISE O GRÁFICO DA FUNÇÃO ABAIXO E DETERMINE O
SEU DOMÍNIO E O SEU CONJUNTO IMAGEM.
y = g(x) =
Calcular g(0), g(√2) e g(4).
x – 1, se x ≤ 1
x = 0 ⇒ y = g(0) = 0 – 1 = –1
x = √2 ⇒ y = g(√2) = 3
Na função real g: R → R definida por.
Exemplos
(1)
3, se 1 < x ≤ 2 (2)
(3) x3 + 1, se x > 2
x = 4 ⇒ y = g(4) = 43 + 1 = 65
a) Qual é a imagem de 1. b) 1 é imagem de qual número? c) Determine x tal que g(x) = –3. d) Existe algum valor do domínio cuja imagem é 0.
x = 1 g(1) = 2.1 + 5 =
Dada a função g: ℤ ℝ definida por g(x) = 2x + 5.
Pergunta-se:
Exemplos
7
g(x) = 1 2x + 5 = 1 2x = –4 x = –2
g(x) = –3 2x + 5 = –3 2x = –8 x = –4
g(x) = 0 2x + 5 = 0 2x = –5 x = –5/2
a) f:ℝ ℝ sendo f(x) = x + 3.
b) g:A B sendo f(x) = –x + 3, com A = {–2, 1, 3} e B =
{0, 2, 3, 5, 7}.
c) h:ℕ ℝ sendo h(x) = x2 – 4.
Determine as raízes das funções abaixo, se existirem.
Exemplos
f(x) = 0 x + 3 = 0 x = –3
–3 é a raiz da função f. Logo f(–3) = 0.
a) f:ℝ ℝ sendo f(x) = x + 3.
b) g:A B sendo f(x) = –x + 3, com A = {–2, 1, 3} e B =
{0, 2, 3, 5, 7}.
c) h:ℕ ℝ sendo h(x) = x2 – 4.
Determine as raízes das funções abaixo, se existirem.
Exemplos
g(x) = 0 –x + 3 = 0 x = 3
3 é a raiz da função g. Logo g(3) = 0.
a) f:ℝ ℝ sendo f(x) = x + 3.
b) g:A B sendo f(x) = –x + 3, com A = {–2, 1, 3} e B =
{0, 2, 3, 5, 7}.
c) h:ℕ ℝ sendo h(x) = x2 – 4.
Determine as raízes das funções abaixo, se existirem.
Exemplos
h(x) = 0 x2 – 4 = 0 x2 = 4
–2 não pertence ao domínio (ℕ) da função h, assim,
somente 2 é raiz da função.
x = 2
RAÍZES E SINAIS DE UMA FUNÇÃO – ANÁLISE GRÁFICA
O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura T(em
ºC) de uma substância em função do tempo t(em s).
Raízes e sinais de uma função
A tempera é zero nos instantes de tempo: t = 15 s, t =
40 s e t = 50 s. Dizemos que 15, 40 e 50 são as raízes ou
zeros da função.
t(s)
T(ºC)
A
B
C D
E
10
20
–10
–20
5 10 15
20 25 30 35 40
45
50 55 60
O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura T(em
ºC) de uma substância em função do tempo t(em s).
Raízes e sinais de uma função
A tempera é positiva (T > 0) nos trechos AB e CD. São as
partes do gráfico cujos pontos estão acima do eixo das
abscissas.
t(s)
T(ºC)
A
B
C D
E
10
20
–10
–20
5 10 15
20 25 30 35 40
45
50 55 60
O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura T(em
ºC) de uma substância em função do tempo t(em s).
Raízes e sinais de uma função
A tempera é negativa (T < 0) nos trechos BC e DE. São
as partes do gráfico cujos pontos estão abaixo do eixo
das abscissas.
t(s)
T(ºC)
A
B
C D
E
10
20
–10
–20
5 10 15
20 25 30 35 40
45
50 55 60
O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura T(em
ºC) de uma substância em função do tempo t(em s).
Raízes e sinais de uma função
Em símbolos,
T > 0 0 ≤ t < 15
ou 40 < t < 50 T < 0
15 < t < 40
ou 50 < t ≤ 60
t(s)
T(ºC)
A
B
C D
E
10
20
–10
–20
5 10 15
20 25 30 35 40
45
50 55 60 + + +
– – – –
Analisar as raízes e os sinais da função cujo gráfico é a
linha vermelha da figura.
Exemplos
y
x
–2
4
+ + + +
– –
Raízes: x = –2 ou x = 4
Sinais: y > 0 –2 < x < 4 ou x > 4
y < 0 x < –2
Analisar as raízes e os sinais da função cujo gráfico é a
linha vermelha da figura.
Exemplos
y
x 0
+ + + + + + + +
A função não tem raízes reais, porque o gráfico não corta o eixo x.
O gráfico está todo situado acima do eixo x. Por isso, y > 0 para todo x real.
O gráfico abaixo representa a função y = f(x). Determine:
Exemplos
y
x 0 –2 –1 1 3 4
5
6 7
–1
1
3
a) As raízes de f.
b) Os valores de x/ f(x) > 0.
c) Os valores de x/ f(x) <0.
x = 4 ou x = 6
–2 ≤ x < 4 ou 6 < x ≤ 7
4 < x < 6
RAÍZES, CRESCIMENTO,
DECRESCIMENTO, MÁXIMO E
MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO
VEJA O GRÁFICO ABAIXO
A partir do gráfico de y = f(x) vamos determinar o máximo,
o mínimo, as raízes, os sinais de f e os intervalos em que a
função é crescente, decrescente ou constante.
x
y
0 1 2 3
–3 –2 –1 4
–2
2 D = [–3, 4[
Im = [–2, 2]
o mínimo é –2.
o máximo é 2.
VEJA O GRÁFICO ABAIXO
A partir do gráfico de y = f(x) vamos determinar o máximo,
o mínimo, as raízes, os sinais de f e os intervalos em que a
função é crescente, decrescente ou constante.
x
y
0 1 2 3
–3 –2 –1 4
–2
2 x =–2 ou x = 0 ou x =
3. f(x) > 0 para:
–2 < x < 0 ou 3 < x <
4. f(x) < 0 para:
–3 < x < –2 ou 0 < x <
3.
f(x) = 0 para:
VEJA O GRÁFICO ABAIXO
A partir do gráfico de y = f(x) vamos determinar o máximo,
o mínimo, as raízes, os sinais de f e os intervalos em que a
função é crescente, decrescente ou constante.
x
y
0 1 2 3
–3 –2 –1 4
–2
2
f(x) é crescente para:
–3 ≤ x ≤ –1 ou 2 ≤ x < 4
f(x) é decrescente
para: –1 ≤ x ≤ 1
f(x) é constante para:
1 ≤ x ≤ 2