Conjuntos Noção de conjuntos, suas representações e conceitos fundamentais.
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Probabilidade
Probabilidade
Professora Ana Hermınia Andrade
Universidade Federal do AmazonasFaculdade de Estudos Sociais
Departamento de Economia e Analise
Perıodo 2016.2
Probabilidade
Alguns exemplos de experimentos aleatorios
Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar onaipe
Jogar uma moeda e observar sua face
Retirar com ou sem reposicao bolas de uma urna com bolaspretas e vermelhas
Jogar um dado de 6 faces e observar qual o numero obtido
retirar n pecas de um lote e observar o numero de pecasdefeituosas
Probabilidade
Espaco amostral e Eventos
Espaco amostral e Eventos
Seja Ω o conjunto dos possıveis resultados de um experimentoaleatorio, este e chamado de Espaco Amostral.
Evento =⇒ Experimento =⇒ Sub-conjunto de Ω
Definicao: Seja Ω o espaco amostral do experimento. Todosubcojunto A ⊂ Ω sera chamado de evento.
Ω e o evento certo
φ e o evento impossıvel
Probabilidade
Espaco amostral e Eventos
Teoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos =⇒ Eventos
Considere os eventos A e B contidos em Ω
A ∪ B⇔ A OU B
Probabilidade
Espaco amostral e Eventos
Teoria dos Conjuntos
Se A ∩ B = φ entao A e B sao mutualmente excludentes
Probabilidade
Espaco amostral e Eventos
Teoria dos Conjuntos
Para mais de dois eventos:
Se A1, . . . ,An e uma colecao finita de eventos contidos emΩ:⋃ni=1 Ai ocorre se ao menos um Ai ocorre⋂ni=1 Ai ocorre se todos os Ai ocorrem
Probabilidade
Definicao Classica de Probabilidade
Definicao Classica de Probabilidade
Pergunta: A que eventos devemos atribuir probabilidade?
Exemplo: Considere o lancamento de um dado nao-viciado de seisfaces. Seja A um evento contido em Ω, entao podemos atribuiralguma probabilidade a A. Logo:
P(A) =#A
6=
numeros de casos favoraveis a A
numero de casos possıveis
Esta e a Definicao Classica de Probabilidade baseada no conceitode resultados equiprovaveis. Neste caso, comoΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, entao P(i) = 1
6∀i ∈ Ω.
Chamamos de Evento Aleatorio todo evento ao qual se atribui umaprobabilidade.
Probabilidade
Definicao Classica de Probabilidade
Definicao Classica de Probabilidade
Exemplo: Uma carta e selecionada aleatoriamente de um baralhode 52 cartas. Sejam A: a carta e de espadas e B: a carta e umafigura. Calcule: P(A),P(B) e P(A ∩ B).
Solucao:Ω = A, 2, 3, . . . , J,Q,K : 52 cartas
Existem 13 cartas de cada naipe e 12 cartas sao figuras
P(A) =#A
#Ω=
13
52, P(B) =
#B
#Ω=
12
52
e P(A ∩ B) =#A ∩ B
#Ω=
3
52
Probabilidade
Axiomas
Axiomas de Probabilidade
Seja A ⊂ Ω, os axiomas de probabilidade propostos porKolmogorov sao:
Axioma 1: P(A) ≥ 0
Axioma 2: P(Ω) = 1
Axioma 3 (aditividade finita): Se A1, . . . ,An ⊂ Ω e saomutualmente excludentes, entao
P
(n⋃
i=1
Ai
)=
n∑i=1
P(Ai)
Probabilidade
Axiomas
Axiomas de Probabilidade
Exemplo: Tres cavalos A, B e C estao em uma corrida. A e duasvezes mais provavel de ganhar que B e B e duas vezes mais do queC. Quais sao as probabilidades de vitoria de cada um?
Solucao:
P(A) = 2P(B), P(B) = 2P(C) e P(C) = p
P(A) = 2(2p) = 4p e P(B) = 2p
Sabemos que P(A) + P(B) + P(C) = 1. Logo,4p + 2p + p = 1⇒ 7p = 1⇒ p = 1
7Entao, P(A) = 4
7 , P(B) = 27 e P(C) = 1
7 .
Probabilidade
Propriedades
Propriedades de Probabilidade
Sejam os eventos A, B e C ⊂ Ω:
P(φ) = 0
P(Ac) = 1− P(A)
Se A ⊂ B, entao P(A) ≤ P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)− P(A ∩ B)− P(A ∩C)− P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
P(A ∪ B)c = P(Ac ∩ Bc)
P (⋃n
i=1 Ai) ≤∑n
i=1 P(Ai)
Probabilidade
Propriedades
Propriedades de Probabilidade
Exemplo: Em uma selecao para engenheiro de uma empresa, dos100 candidatos 40 tinham experiencia e 30 possuıamespecializacao. 20 dos candidatos possuıam tanto experienciacomo tambem especializacao. Escolhendo um candidato ao acaso,qual a probabilidade de que:
Ele tenha experiencia ou especializacao?
Ele nao tenha experiencia nem especializacao?
Solucao: Sejam A: ter experiencia e B: ter especializacao.Sabemos que P(A) = 40
100 = 0, 4, P(B) = 30100 = 0, 3 e
P(A ∩ B) = 20100 = 0, 2.
P(A ∪ B) = 0, 4 + 0, 3− 0, 2 = 0, 5P(Ac ∩ Bc) = P(A ∪ B)c = 1− P(A ∪ B) = 0, 5
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Probabilidade Condicional
Definicao: Sejam A e B ⊂ Ω. A probabilidade condicional de Adado B e
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
Exemplo: Dois dados nao viciados sao lancados em sequencia aoacaso. Qual a probabilidade da soma das faces ser 6 dado que aprimeira face foi menor que 3?
Solucao:A: soma igual a 6 = (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)B: 1 menor que 3 = (1,1),. . . ,(1,6),(2,1),. . . ,(2,6)Ω = (1, 1), (1, 2), . . . , (6, 5), (6, 6) e (A ∩ B) = (1, 5), (2, 4)
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)=
2/36
12/36=
2
12=
1
6
Probabilidade
Teorema de Bayes
Teorema da Bayes
Definicao: Dizemos que A1, . . . ,An representam uma particao deΩ quando:
Ai ∩Aj = φ ∀i 6= j⋃ni=1 Ai = Ω
P(Ai) > 0 ∀i
Seja B ⊂ Ω, tal que B = B ∩A1 ∪ B ∩A2 ∪ · · · ∪ B ∩An, que saodisjuntos dois a dois.
Probabilidade
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Temos entao
P(B) = P(B ∩A1) + P(B ∩A2) + · · ·+ P(B ∩An)
Pela probabilidade condicional pode ser escrito como
P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + · · ·+ P(B|An)P(An)
Teorema da probabilidade Total: Se a sequencia (finita ouenumeravel) de eventos aleatorios A1, . . . ,An, . . . formar umaparticao de Ω, entao
P(B) =∑i
P(Ai)P(B|Ai), ∀ B ⊂ Ω.
Probabilidade
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Podemos agora calcular a probabilidade de Ai dada a ocorrencia deB.
P(Ai|B) =P(Ai ∩ B)
P(B)=
P(Ai)P(B|Ai)∑j P(Aj)P(B|Aj)
Esse e o Teorema de Bayes, ele e util quando conhecemos asprobabilidades dos Ai e a probabilidade de B dado Ai, mas naoconhecemos P(B).
Probabilidade
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Exemplo: Em uma turma 60% dos estudantes sao homens e 40%sao mulheres. Sabe-se que 1% dos homens e 4% das mulheres temmenos de 1, 60 metros de altura. Dado que um estudante commenos 1, 60 metros de altura foi sorteado ao acaso, qual aprobabilidade de ser mulher?
Solucao:Eventos: H: Ser homem; M: Ser mulher e A: ter menos de 1, 60metros.P(M|A) = P(M∩A)
P(A) = P(M∩A)P(M∩A)+P(H∩A) =
P(A|M)P(M)P(A|M)P(M)+P(A|H)P(H) = 0,04×0,40
0,04×0,40+0,01×0,60 = 0, 727
Probabilidade
Independencia
Independencia
Definicao: Considere dois eventos A e B quaisquer contidos emΩ. Estes sao independentes quando a probabilidade de ocorrer umdeles nao e modificada pela ocorrencia do outro, isto e,P(A) = P(A|B) ou P(B) = P(B|A). Neste caso, dizemos queP(A ∩ B) = P(A)P(B).
Exemplo: Um numero e escolhido ao acaso no conjunto1, 2, 3, . . . , 20. Verifique se os eventos A e B sao independentesquando A: O numero escolhido e par e B: O numero escolhido emultiplo de 3.
Solucao:A : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 e B : 3, 6, 9, 12, 15, 18P(A) = 10
20 = 12 ;P(B) = 6
20 = 310 ;P(A ∩ B) = 3
20 ;P(A)P(B) = 1
2 ×3
10 = 320