LA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

Departamento de Estruturas

Exercícios Propostos de

Resistência dos Materiais

Fascículo II

Dagoberto Dario Mori e Outros

São Carlos, · 1978 Reimpressão

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

,, ,,

Fascículo li

DAGOBERTO DÁRIO MORI e outros

1.ª Edição

Janeiro - 1978

INTRODlJC' ÃO

Esta coletânea vem comple~entar o fascículo I,

"Exercícios Propostos de Resistência dos Materiais". Aqui

estão selecionados os exercicios referentes i segunda Pª! te das disciplinas de Resistência dos Materiais ministra­

das na Escola de Engenharia de São Carlos.·

Esta publicação, do Departamento de Estruturas,

se deve ao trabalho do Prof, Dagoberto Dari.o Mori na cole

ta e revisão dos exerc!cios utilizados nas aulas priticas

ou arguições daquelas disciplinas,

Esses exerclcios foram elaborados pelos seguin­

tes professores:

Dagoberto Dario Mori

Eduardo José Pereira Coelho

Eloy Ferraz Machado Júnior

João Carlos Barreiro

José Elias Laier

Munir Rachid

Walter Libardi

Esta 2a. edição foi revisada pelo Prof. Mareio

Antonio Ramalho e os trabalhos de datilografia e desenho

foram executado,s por funcionários do Departamento de Es-

1truturas.

são Carlos, abril de 1981

Departamento de Estruturas

/

. · Ij 1()·

109 LISTA DE EXERCÍCIOS ( L 10) RESI STÊN CIA DOS MATE RIAIS

-

p_ ,-

q

-

-

-P

-

,-

I

ESTA DOS DE TENSÕES

Um corpo está submetido ... as tensoes normais p e q.

No corte Ia tensão tan­

gencial tem o sentido i�

-' dicado no desenho, e seu

valor ê 0,8 tf/cm 2 . No

corte II a tensão normal I �de tração e seu valor i

21,6 tf/cm

Calcular as ten$Ões principais, a tensao tangencial no cor

te II e a tensão normal no corte I.

Uma caldeira de diâmetro lm e espessura 2cm está sujei ta a

uma pre�são interna p • 50 kgf/cm 2 • Sabendo-se que a cal­

deirai constitufda de chap�s de aço soldadas de tal ma-- o neira que a costura de solda forma um angulo de 30 com a

horizontal (vide figura), calcular as tensoes que agem no

fio de solda.

Da 100 PI

TJm t·ubo de oarede fina estâ submeti do a um momento torçor constante (M = 1,0 tfm) em todas as secç5es e a uma pre�

t 2 sao externa constante (p = 0,2 tf/cm ) conforme esquema

(secção do tubo),

Calcular:

1) Tensões principais, indicando, ela

ramente as direções onde elas ocor

rem.

2) T indicando a direção do cortemax onde ele ocorre

10 .. ,

p

-·

O cilindro de diimetro lrn e espessura 2cm, esti sub~etido a '.)

uma pressão interna p = 40 kgf/crn- e a um momento torçor

M"' 157 tf•m, Calcular as tensoes principais indicando as

direções onde elas ocorrem.

p = 40 Kgf/c:m2

Qual é a expressão da máxima

tensao de cisalhamento no es

tado de tensão representado

na figura?

___ t

r Calcular as tensões principais no ponto A situado na alma

do perfil. A seção que contêm o ponto A está submetida a:

momento fletor:+1000 kgf/m

força cortante:+1000 kgf

O plano de carregamento é o plano yy.

Dados:

J 907 4

1 cm XX

4 J = 7 5 cm

8, 5 Cffl

y

YY _______ .,

A

x--·-0,58

., med idg1 ,m c:m

� A caldeira de seçao circular de diâmetro lm e espessura 1cm

está engastada em dois "gigantes" e sujeita a uma pressão

interna de 20 kgf/cm2• Se o "gigante"@sofre um recalque

com giro a• 0,01 rad, calcular as tensões principais e in

clicar&' direçÕes·onde elas ocorrem. G • 800tf/cm

2

, li

'Gigante 11 Gigonte"

----·-- --·-- ---·

P1 = 20 I< gf,k;rrl' !

� -�8.--...00� rn�l.A-� ©

-

As duas peças da figura sao colo

cadas como ê indicado. A cola não

pode ser tracionada e suporta

tensão de cisalhamento de no mâxi

mo 0,4 tf/cm2 , O conjunto está

submetido iis tensões (principais)

indicadas. Entre qu·e valores pode

variar a tensão a para que a soli

citação na cola �eja admisslvel?

CORTE A-A

o, 1 tt/em1

----

O tubo de parede grossa, cuja seção ê representada na figu­

ra, é solicitado por um momento torçor de 6 tf•m e uma for­

ça normal longitudinal de compressão N.

Determinar o valor de N para que, nos pontos situados a 10

cm do centro da seçio, cr2 = 2 cr1,

/1·

"

Urr.a paral('lepÍpeJo d.e lados a/2, a, 2a

aos esfor~os transri tiJos pelas sapatas

(cm) foi sut~etirlc

(fig. 2) su; osta

sern atrito, do aparelho da.fig. 1. I)eterrninar a TT'âxi·:a ten

sao de cisalhamento no paralelepfpedo.

~ p(t 1

P(t)

)(

a a/2 FIG. 2 ,( FIG. 1 ....

:,o estado de tensao dado, entre que valores pode varLir

par a iu"' as terc,oes

pecti.vatr-ente;

? c

2~ -r',4 tf/c111~·

-µrincipais 0 1 e 0 2 nao ultrapasse•

(j

t y

o,stt/om2 1 l 0,8tf/cm2

L1 T = 0,4tf /cm2

y

.ara a estrutura da figura, calcular, para os pontos

da seção S-S, as tensoes principais.

( SE.ÇÃO TRANSVERSAL - CORTE S S )

42cm

A

6cm

,, ' r f' .

e

~p = U/m ~~~~-~~~~-~~~_._~~ •---­B ,s

1 1 1

i l&! ~ t-4so,sm

------t 2 m_t ~ 5 ___ 4 m _ __ ·-+

1

42 cm

6cm

Para o estado de tensao indicado,' sabe-se que a tensão nor

mal no corte I ide tração igual a 1,25 tf/cm 2 ,

Calcular a tensão tangencial

no corte II e a máxima tensão

normal, indicando o corte on­

de ela ocorre.

/ 1:/

r -p

A chapa, triangular da figura está submetida, em suas faces,

às tensões normais e tangenciais que a equilibram.

0,8tf/cm 2a =

a

1, 6 tf/cm 2ªb =

0,23 tf/cm 2T =

a

T O, 46 tf/cm =

Pedem-se:

a) Calcular as ten­

soes a e Te c

b) Calcular as t ensoes

40 cm·

( 30cm 30cm

principais. 1------------------------------------------------

Na caldeira da fi6ura foi feito o seguinte reparo: retirou­

-se um certo material avariado recortando-se a chapa da cal

deira sob a forma de uma superf[cie de lados a (ver fig.).

Finalmente recolocou-se na mesma posição uma chapa com as

mesmas dimensões de recorte e soldou-se. Determinar a for­

ça de cisalhamento por unidade de comprimento de soldA, sa

bendo que a pressão interna na caldeira é de 5 kgf/cm�.

/

/

/ :30º

l

2 b

')

1

_ _....::;._j__ _____ l

p

1 1

t

-Numa certa viga, num ponto P, sao conhecidas as tensoes

nas direções indicadas. Sabendo-se que a viga, devido a

cargas verticais, esti submetida a momento fletor (M) e

força cortante (Q), pede-se o valor dos esforços solici­

tantes.

Da d os: a a

-t--1 16cm 1

+ f3 cm

-+--

6 cm ~ -+-m

750 kgf/cm 2

=

b

1

~

--=~ ~--~·

\ '

""

/

2 crb = SOO kgf/cm

o

; /

Calcular os valores máximos da tensao normal e de cisalha

menta, indicando as direções onde· el~s ocorm~m, para o

carregamento indicado.

0,5U

A jA B C i:=::=======t=====::::;:===:::f

'-"-..._,,;_..,;_,;_--'-,/.~'-J -+-SECÇÃO A-A

a) Calcular t/cr para que a relação, em módulo, entre a

mixima e a mínima tensão normal seja igual a 2.

b) Para esta relação indicar os planos onde ocorrem O e 1

OBS.: Adotar para a e T os sinais indicados na figura.

Dl 't

1 1

Calcular as tensoes principais no ponto D situado na

transversal à direita do apoio B.

seçao

Dado: E= 2000 tf/crn 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

P: 0,6 t/m /.

,

r1 1 1 1 ! 1

1 - -+-o! :3'

--�1

�. � +o. s cm �

9 pm

�

1

1 mrmmrr

2m t

Dado o estado de

tensio, mostrad6

na figura ao la­

do, pede-se de­

terminar as ten­

sões principais.

2m

/

Para o estado de tensao in�

clicado, calcular as tensoes

principais, Indicando os

cortes onde elas ocorrem.

2 T = 0,5 tf/cm

+

4 O em t

-

i

-t--+ 6cm

//�. 1,0 tf/cm2

//�)'V ·.� </, .. --� ··/� ·····

0 '�

·� � v 0,5 tf/ cm2

�

4,0 c:m - �

--=--,:45

°

Determinar os valores de T para o estado de tensão(E)que

se pode acrescentar ao estado (A) de modo que as tensoes

p r i n c i p a i s , d o e s t a d o · r e s u 1 ta n t e · ( A ) + ( B ) , não u 1 t r a p a s s e rr.

o valor de 0,8 tf/cm 2 •

0.4 -.-

. 'º·'

,: .,._ __

1 1

. (110121)

lt · o,stf/cm ,,

t ~ ~"'. i_ ,~

. ' ,~ 3,0 ctn 1 ,"-."-

1 '""----

' '"' ~~-> ' ! , 1/.,

3;0cmw· 0 ~

. 1, o y /Cm2 ',y-/ ·

'~----­-1

"C .

...--~ 't

![~]!

1 1 . ...

/

Calcular as tensoes principais indicando os cortes onde

elas ocorrem,

a) _L · 0,6

~1or:. 0,6

0,6 0,:5

to.e tcJ

~os cortes indicados ocorrem as seguintes tensoes normais

respectivamente:

2 a 1 "" 1,0 tf/cm

ªrr = 0

2 ªrrr = -1,0 tf/cm

Calcular:

a) A tensão tangencial

no corte II,

b) os ângulos que os cortes

principais formam com o

corte I.

I

Para a viga da figura, determinar as tensoes principais,

indicando os planos onde elas ocorrem, nos pontos Q) e

@ da seção mais solicitada do apoio B.

111111111ifi111111111 ]'._I 1111

'1 2,0 m ;0,5m j 20cm

I

ç

�cter�inar as tensoes principais nos pontos A e R situados

na alma do perfil.

----

------- --- ---- --------

50 cm ______ �,-----+

Dada a viga sobre 2 apoios, cuja seçio transversal� com­p o s t a d e 2 m a t e r i a i s d e t e n s Õ e s a d mi s s Í v e i s d i f e r e n t e s , p � d e-se:

a) as tensões principais nos pontos 1, 2 e 3 da seçaotransversal mais solicitnda,

b) o máximo valor da carga r (t ensio de estado duplo).

M eriol

lig çõo

OBS.: Os materiais I e II po

de. 0

1'

dem ser colocados em cima ou em baixo, quando da cons trução da viga,

MATERIAL 1 -

=

ªe = 8 Oíl kgf/crn

50 30cm z

lp 3m f 3m t

y MATERIAL DE LIGAÇÃO: = 400 kgf/cm

Sendo dados:

a e X l f o

Qual deve ser o valor de a y

para que as direcÕes princ�

pais façam ângulo de 45 ° com

as direções de a e aX y pectivamente.

r es- )

i!ATERIAL

o - o T C

II

=

SP 2 = 600 kgf/cm

J = 12,2 dm4

z

..,_ _______ t

!

2

:X. ~ \li\'I'!

+-2

l

[ 11 o/ 2 sJ t cr,

't

O'x O"x .....

~ ~\

~ ~m

são dados·

t=?

Calcular o e T y

Uma caldeira feita com chapa de espessura t estâ submetida

ã pressão interna P, Estabelecer fórmulas para cr 1 , 0 2 e

T -max

-·-·-11 Calcular as tensoes principais, indicando no círculo de

-MOHR os planos onde ocorrem, nos pontos A e B da seçao

do ponto de aplicação da carga concentrada.

6 ta ~-+2~

11tf '. 8

2._ 1

---h-

,!-~

,ííiím - -f-:tm ~/· l3!zi3~ Medido111 em ~

f

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

ti� LISTA DE EXERCICIO S ( LII)

ESTADOS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES

Qual a relação entre as leituras nos extensômetros A e B,

Dados: EXTENSOMETROS

1 tf/cm 2

p =

E 100 tf/cm 2 2 =

µ = 0,25

Numa placa, num ponto, foram medidos, com extensÔmetros

e+étricos de resistência, os alongamentos em quatro dire-

çoes.

e: = 1000 µcm/cm a

e:b= 250 µcm/cm

e: = 500 µcm/cm e

e: d= 750 µcm/cm

a) As leituras dosPorque?

b

Cl

extensômetros si? sao coerentes entre

b) Se as leituras forem incoerentes, é possível descobrirqual a leitura errada? Porque?

Qual deve ser o ângulo e para que a leitura no extensôme­

tro seja nula.

Características do

Mate ri a 1 : E , µ

p

p/2

iillillil exn:NSÕMURO

8

1

p/2

p

tf /em2

140cm t

e:

Um cubo de aço estâ colocado dentro de uma câmara de pres­

são. Qual deve ser a pressão na câmara para que as arestas

tenham seu comprimento diminuído de 0,01%.

Dados: E = 2000 tf/cm 2

µ = 0,3

No ponto O da viga indicada

na figura foram medidas as

deformaç~es nas direç~es a

e b, encontrando respectiv~ -5 mente e: = 7,14 10 e

a -5 = 16,07 10 • Sabendo-se

e: "" b

que esta viga estã solicita

da apenas por momento f.le

tor e força cortante, calcu

lar os valores destes esfor

ços, sendo dados:

E= 2100 tf/cm 2

G = 800 tf/cm 2

M

Um cilindro de um certo material

Q

A Viga

'·º

\~c~l secção do Vigo

2 (E= 200 tf/cm

j Q M

e JJ =

= 0,4), com 19,99 cm de diâmetro e 80 cm de altura é colo

cado dentro de um tubo de parede fina (E= 2000 tf/cm2

)

com diâmetro interno de 20cm e espessura de 0,2cm e carre

gado atê a carga P atingir 200 tf.

Completar o grifico de P x 61

P '"' 200 tf

ao cm p l!? 1

P(U>

3 extensômetros colocados em uma chapa da maneira indicada

deram as seguintes leiturijs: € = - 0,001, € 1 = 0,001, e"=

0,003. Pede-se calcular as tens;es principais. Usar as se­

guintes constantes e·listicas do material:

E= 2100 tf/cm2

1 µ = 3

1 ºI

f: 2,00 em l

Para o tubo de parede fina da figura -

sao dados:

e: ªª

E ==

= -1,40 X 10-4

22100 tf/cm

Pede-se calcular N e Mt

""4,80 X 10-4

µ = 0,3 (coef.de Poisson)

1

Calcular o máximo valor da distorção (y) para o estado pla-

no de deformação indi_cado. A direção@é uma direção prin­

cipal de deformação, sendo€ = e: •a 2

l)ados:

e: a

-sE:b = 1,75 X 10

/ 45º /

/

Eli~I~- 45,

[·111/91

-5 1 10 m: X 1

1 so• ..,,,,

~ l( -

= 200 X 10- 6 e Eb = 300 X 10- 6 E

a são deformações nas dire

çoes a e b de um certo ponto de uma chapa, das quais E - - a

-e

deformação principal e igual a E2

, Sabendo-se que l = :::rinr

t f / cm 2

e u = O , 3 , p .e d e - s e c a 1 c u 1 a r a , a e T , i n d i c a d o s , X y

para o ponto,

-------,;

A chapa da figura esta carregada com as tensoes indicadas,

dentro do regime elâstico.

Calcular o ingulo 8, em que deve ser localizado o extens~-

metro, para que a tensao a seja dada diretamente pelA lei X -

tura (E) do extensÔmetro. Ou seja

O = R E X X

Calcular R em função das

características elâsticas

do material.

t, A chapa ABCD esta submetida a um estado plano de tensoes

a, a e T. X y

ERsas tensoes causam uma variação de 0,03% na diagonal BC

(aumento de comprimento), e de 0,07% na diagonal.AD (tam­

bém aumento).

Sabendo-se que a = 2a , X y

Material:

E= 200 tf/cm 2

µ = 0,3

calcular as ten~oes ªx' a e T, y

-

Um corpo de prova de secçao 20 x 20 cm e comprimento 30 cm

ê colocado dentro de uma caixa rígida, com as folgas indi­

cadas na figura, e submetido a um ensaio de compressão.

Sabendo-se que nio existe atrito entre o corpo de prova e

a parede da caixa, pede-se completar o diagrama P x 6t,

Dados: Constantes elásticas do material do corpo de prova,

2 E .. 100 tf/cm µ = 0,4

0,01 emH 20cm ii 0.01cm

Planto

/'30<:m

1

11 ,,

p

p

�

at,

e,

Ca

e,

�

�

Ai

A ia ..

.. tg a, =

::tg ª2

..

"tg<&, :a

~.02cm

t·i

ª,

+-

Calcular o 61 para uma carga P = 120 tf.

E = 100 tf/cm2

\J = 0,5

P::: 120 tf

T corte A A 100cm r· r~ 7

\Lll/15]

A N A

0,02 t t 40 cm t ~0,02cm

O paralelepfpedo indicado na figura fica submetido a uma

pressão p na direção y e impossibilitado de se expandir

na direçio x, embora livre na direção z.

Sendo:

E= M~dulo de elasticidade µ = Coeficiente de Poisson

Calcular o m~dulo de elasticidade apaxente (E )

çao y.

Define-se como E em uma direção o quociente: a

E a

= tensão normal naquela direção alongamento especifico naquela direçao

elevação

tttttJt

planta

a na di r e

Num ponto, submetido a um estado plano de tensões, são--=-12 2 -�

nhecidas: o "' 0,8 tf/cm ; a = 1,0 tf/cm ; e: = 0,8 x 10 ·X y . a (E i deformaçio de uma direçio que forma com x um ingulo

a

a tal que cos a= 0,8 e sen a = 0,6).

:Sab�ndo-se que E = 2500 tf/cm2 e µ = 0,25 pedem-se as ten­

s�es.pormais e tangenciais nos cortes dados pelas direç;es

a e ó. .,

t ª'

---1»"!11,o ·,: O/

Q

,,,. ...... r ........ ª.:.

Calcular o deslocamento do ponto de aplicação da carga

P .. 40 11:f.

OBS.: No corpo II, nas faces sem contato com as chapas

r!gidas, aplica-se, segundo a direçio z, uma tensio

de traçio a = 1 tf/cm 2 . z

DADOS:

e orpo E 200 tf/cm 2=

I 0,3µ1 =

30em ) 30cm j

Corpo E2 II

µ2

-

-

-

-

-

7,f,�!� -o, 'J

ito-S-CORTE AA

400 tf/cm

= 0,4

(h J ~- /

a

A C:MilPA IIÍ61 Oil ,. azcltf /cm

L •• 20 ...

....,_ ., CHArA/ r 10 cm R{IIM ·' .

1

+

Qual deve ser o momento fletor (tração em cima), para que

o alongamento específico na direção AB, ao nível do ponto -4

P, seja igual a 5 x 10 , conhecendo: Mt ""momento torçor =

= 18 tf•cm; µ = 0,3; cosa= 0,8.

8 Mt Mt

Para o estado plano de tensões da figura são conhecidos:

E = 10- 4 E = 3,5 10- 4 E = -0,25 10-4

X y a

Sabendo-se que E= 2000 tf/cm 2 eµ= 0,25 pede-se determ~

nar as tensoes principais e os planos onde ela$ ocorrem.

Uma peça composta de dois materiais (materiais I e II, ver

figura) é colocada entre duas paredes indeformâveis. Alem

disso o material I estã envolvido por um "anel" também in­

deformãvel, que foi confeccionado com uma das dimensdes di

minuÍda de um valor"a"em rel!_

PLANTA ção às dimensões deste mate­

rial. Determinar o valor da

pressão de contato entre os J.

CORTE 1· 1

.1!J

ma t e r i a i s I e I I , em f u n ç ão d e I', f, a, sendo dados:

10 6 kgf/cm 2

EI 1:1:

EI r"' 5 5. 10 kgf/cm

2

40 -a µ =

I O, 3

\µ II '"' O' 4

Um pilar cilíndrico de concreto estâ envolvido por um tubo

de aço de 0,5 cm de espessura. Sabendo-se que a ruptura do

concreto se verificará quando houver uma deformação lon�i­

tudinal unitária de 10-3 pede-se:

a) a maior carga P para qué nio se

verifique a ruptura quando o tu

bo de aço for resfriado de 30°

C.

b) as tensoes principais no aço no

mesmo caso anterior,

DADOS: aço - E "' 10a c

2 10-5/º ca =a

µa "" O, 3

.�mH 50cm

Concret:o E 200 tf/cm 2 0,2 - =µ "'c e

A fim de se realizar um ensaio num corpo de prova de con-

ereto ,. . I 01. realizado um sistema composto de

.. . 2 placas r1.g2:_

das e de 4 parafusos com passo de 0,2mm por volta, sendo o

cilindro a ser ensaiado colocado entre as placas, conforme

mostra a figura. As porcas são apertadas simultineamente e

para se romper o concreto foi necessário se dar 6 voltas

em cada porca.

o o- --

º o

PORCA

PLACA RIGIDA

CORPO D E PROVA

RÍGIDA

PARAFUSO

CORPO DE PROVA

OBS.: Considerar o comprimento dos parafusos igual ao do corpo de prova.

Pergunta-se:

a) Qual a tensão e a defor

maçao da ruptura do cor

po de prova?

b) Qual a variaçio de volu

me do corpo de prova no

instante da ruptura?

são dados:

Parafuso:

E a6 2 = 2,1 x 10 k�f/cm

A a

µa

= 5 cm 2

= 0,3

Coq?,o de prova:

D = 15 cm

µ = 0,18 c

p

E

X

PARAFUSO

PLACA

... ~----PARAFUSO

5 2 Ec = 2 x 10 kgf/cm

Dada a tensao de cisalhamento T = 0,649 tf/cm 2, a deforma-- ... -4 çao medida no extensometro A,€A = + 5,473 10 ,e a deforma

ção medida no extensômetro B,€B

""

-3,807 10-4, do modo indi-

cado na figura, ped,-se o

/

�11 tado .çle tensão (a , cr ) ,

X ysendo dados ainda:

0,649 tlk;r ·

/ 2 -E= 2100 tf cm (modulo de

elasticidade)

µ = 0,3 (Coeficiente de

Poisson).

LI

Calcular o T que ocorre no corpo lmax

E"" 2100 tf/cm2

µ = 0,3

P = 100 tf

,.._ ______ �.,.-,o,649.tf /cm

01111"0 l!ÍilOO

Obs: não hã folga entre 10 cm

Dado o esquema da figura, pergunta-se qual o miximo valor

da tensão dé compressão cr aplicada no corpo, para que não z 2

seja ultrapassada a tensão admissível cr = 1,0 tf/cm nas

barras que prendem as chapas rlgjdas.

DADOS:

[LEVAÇÃO 11ittfA Para o corpo:

1� r1

., ., 5cm

LATERAL

=r·� �

., 40.cm

� .

PLANTA

E 210 tf/cm 2

li "" 1/3

0,9 tf/cm 2

Para as barras:

E "'

(J ...

s "'

22100 tf/cm 21,0 tf/cm

3 cm 2

S = ãrea da seção

transversal

I

...

(J = y

Determinar a relação entre o a e a

comprimento, na direção do corpo B

para que a variação de

' 2 X l 0- 4seJa a

Dados: (::J •1tfA::m1 (1:1tf/J (1_ 11 lt'WCR12

z z z

= 150() tf/ cm

]J = O, 1 5

caill.o r(glda

+�---+ 20 + 1.50

ªº O'c

yr 'ªº . O'c

Urna peça composta de dois materiais de diferentes módulos

de elasticidade, ê colocada entre duas paredes supostas i�

deformáveis e, em seguida, a parte central (material II) é

comprimida por um êmbulo (de material indeformãvel), como

mostra a figura, com a carga P = 40,0 tf,

Pedem-se: a) as pressoes de contato entre os materiais I

e II;

b) o estado de tensoes no material II;

e) o estado de deformação do material II.

DADOS: µI

= 0,3

µII= 0,4

EI

12 10 5 kgf/cm X

Eir= 6 10

5 kgf/cm X

b.4BOLO r

ÊMBOLO

....,._t _50-"-'-c:m ----..-f 4

_0 �-: --+-t --=:...c:...50 �_

Êt,480LO ,V� I' l 40 cm

VISTA SEÇÃO TRANSVERSAL

1f1tl/21) 1

w o LtJ a: :.

2

e

ll

t t

2

2

Dado um elemento sujeito ao estado plano de deformação 5 que E = 0,001, E = 0,005 e o material de E= 21 x 10

x2 y

er

kgf/cm eµ= 0,25, determinar:

a ) As -tensoes pri nci pais,

:so 0 ;© ---i------r~ !

sabendo-se - direções 1 que X e y sao 1

principais. - ------ ------1

--+--------~ /

b) o estado de tensões (módulo, di-I

-sentido) (DG) 1 J

reçao e do corte I

indicado fi::1,ura. :d :D na

Para o estado plano de tensões indicado, determinar entre

que valores pode variar cr de modo que: y

a) em nenhum corte a tensao normal seja negativa, e

b) a deformação específica na

de no máximo -4 1,4 X 10 ,

2 DADOS: E= 2000 tf/cm

direção de y seJa, em módulo

µ = 0,25

r ____ ,,..,... 0,4 tf / cm2

o,•o,s1~1

0,4tf/ errF ...ii----

LI Na chapa de aço indicada foi desenhado um círculo de 50cm

de diametro. Apôs o carregamento, o círculo transforma-se

em uma elipse. Quais são os comprimentos dos diâmetros m~

ximo e mínimo da elipse?

E= 2.100,000kgf/cm 2 i 600 •oi/cm'

µ ""0,3

1200 ~f/em2

t 600tof/cm1

No estado de tensões (I), a variação específica de área. é 6S/S. Qual deve ser o estado de tensões (II) somado a (I)

para que 6S/S no estado III seja igual i encontrade em (I)?

A chapa trabalha em regime elãs�ico.

2 l,2tf/em

DADOS.

0,6tf/c:m2

I 2

l,2U/em

O,Gtfkm 2

(II)

E= 2100 tf/crn 2

OBSERVAÇÕES:

Oa l,2+cJ0

JJ = 1 / 3

·,.a) No estado de tensoes (III), para qualquer valor de a·,-s a b e - s e q· u e . não o e o r r e d i s t o r ç ão ( y = O ) ,

b) Desprezar o produto EaEb em confronto com Ea ou Eb.

No esquema da figura, os corpos tim seçio 10x20cm e o

corpo @) deve ser encaixado entre os corpos @ e ® P!:,

la aplicação das tensões a • Apôs o encaixe, pedem-se� o a) a relação entre as tensões cr1 e cr0, sendo cr1 a tensao

,que solicita o corpo © após o encaixe.

b) Qual a variação de comprimento do corpo @

0

t40cm

t§Oçm

t

jocm ®

©

• 40,04 cm +

Para o estado plano de tensão da figura, foram medidos E =

-6 - (, ' X

= 350xl0 e 'cy = -300xl0 . Sabe-se ainda que a distor-

ção máxima mo plano xy(y - )'' 325xl0-6. Determinar o estamax d o d e t e n sã o • y

l t Oy llor

----l 0-)t

Dados: E ,,

= 2000 tf/cm ...

µ = 0,3

y

)(

-0-t (Tb

013 +O'b

ª, D - -i l (Jb 0,6+0'b

100 crn

Determinar as deformações especfficas nas direç;es a, b e

e, no ponto O da viga da figura,

.3Qcm

+ 14

---------+ IOm

e ---'-o

----·---.·---"' '20m 10cm

·+---"2""-'-'-m'------~l~mc:..:...... _ _,.__ IOm

DADOS: I = 2100 tf/cm2

µ = 0,3

-6 E:

8 = 150xl0 , E:b = 300xl0- 6 e E = 150xl0-6 são deforma~

e çoes específicas nas direções a, b e e, respectivamente,

de um certo ponto de uma chapa, Sabendo-se que E= 2000

tf/cm 2 eµ= 0,3, pede-se caluclar as tensões principais

indicando os planos onde elas ocorrem.

b lZO" o

' -;,o.

o

iO

/~ / '

e

Na barra da figura foram medidas, nas direções e pontos in

clicados, as deformações específicas. Determinar os esfor­

ços aplicados N,Nfte Ht, sabendo-se que o momento fletor ~

tua no plano xy,

-4 E = -0,Sxlü

y E:

X

-4 = 4xl0

E= 2000 tf/cm2

N

-4 E = 3,3xl0

e

µ = 0,25

l

y

2

1(111/381 1

Num corpo, submetido a um estado plano de tensao, foram me­

didas as deformaç;es E e e; e sabe-se que a �orna das ten -a a

2 s;es principais� igual a 2,0 tf/cm. Determinar as tensoes

principais, indicado, os planos onde elas ocorrem,

( '"' 2 , 5 X 10-4a

10-4= 7,0 X

a 2

E = 2000 tf/cm

µ = 0,25

Num ponto, submetido a

cidas duas deformações

não atuam as tensões e

/

/

J ,? U)

oi /

_l I/ e:a

1- --º·ª o .. j

um estado plano

específicas (e; aa deformação na

de tensao, sao conhe

e €b) no plano onde

direção perpendicu -

lar a este plano (e;). Pede-se o estado de tensão e as ten­c

soes principais, indicando-se os planos onde elas ocorrem.

E a

e:b

E e

E

µ

=

-

= 2 X

"' 10-4

2000

0,25

10-4e

\ / 2

� tf/cm -\, o

Quatro corpos elásticos sao colocados em uma caixa rígida

conforme mostra a figura. Determinar o deslocamento ót .

E= 2000 tf/cm2

caixa rígida µ = O, 3

m lI

-4 = 2 X 10

0,01~. i.0,7 ~~:M 1

~ 40 crn -~2-+----~

/

/

-

A barra mostrada figura estâ solicitada por uma força nor­

mal N de tração da maneira indicada. Sabendo-se que as defor­

mações específicas nas direções A e B indicadas são respecti­

vamente e= -0,00015 e Eb= +0,000425,pede-se determinar ova a 2 -

lor da carga aplicada N, sendo dados E= 100 tf/cm e ~=0,1

Se a seçio onde sia lido& os valores de E8

e Eb fosse solici­

tada também por força cortante, ped·e-se indicar e justifica!.

qual das afirmativas abaixo ê correta.

a) A leitura de E8

ê modificada.

b) A leitura de eh ê modificada.

c) são mod icadas as leituras de E8

e eb.

d) As leituras de e8

e Eb não são modificadas.

t· '50cm

t·

$ 1 1

N

IN '

toem -+= f? m

-Os corpos I e II sao colocados, sem folgas, entre duas pare -

des r!gidas. são aplicadas: a carga P e a tensão e ,conforme - z

a figura. A parte com 20 cm de comprimento do corpo II ê colo

cada entre duas paredes rigidas na direção do eixo Z. Pede-s

o valor da tensao entre os corpos e a variação de compri~enm

da direção x do corpo I. Dados:

'I x0,8tf/cm1

,, t f f t ' f f t t f t t t t +

lI lC I

llUHilHlt,HHU ; o.e tf /cm 1

1

40cm 10cm

n § o -

20cm

Corpo r·

E1

.. 500tf/cm2

µ 1 = 0,3

Corpo·II

2 EII"" lOOtf/cm

µII.,. 0,4

) •

RESIS TÊNCIA DOS MATERIAIS

--- --· __... ,._ - � -- ' -

12� LI STA DE EXERCÍCIOS ( L 12) I �

CRI TE R I O S D E RESISTE N CI A

Os parimetros que definem a zona sem ruptura do material

que segue o critério de Coulomb são:

Coesão: T = � kgf/cm2

Ângulo de atrito interno: � = 20 °

2 Dadas as tensões de compressão: p1 = 14 kgf/cm e

Pz = 80 kgf/cm 2

dizer se o estado ê de ruptura ou não. Justificar.

A caldeira da figura, de diâmetro d e espessura t (t << d)

estâ submetida a uma pressão interna p, Dar as expressões

de:

1) o e ºba

2) o. (critério 1

ª energia de distorção)1

em função de p, t e d.

P11 t~ pi ,:e

. ---(j

P2 elevação

..

r 11111111111 1111 ! li [ l l l l l l l l 1111 [h p

E (.)

0,79 cm ~

[ in N

_J_ -r. --.--

1 1,25 X B lc

Pl!fll'I L l: 10~ 1 :n. so kgl/ m l +_j/3 l 1

Verifica-se a carza P, que pode ser colocada no meio -· C:o v ao 9

ou no ponto A, ~ admissivel, usando o crit;rio da energia de

distorçio com~= 1,4 tf/crn 2 .

p = O, 7 t f / ['.

t = 6m

p = 2 tf

Calcular o v a J or admissivel da carga P. A viga ~

e de ferro fun

<lido com tensoes admisslveis:

p

1

10 cm

Sabendo-se que um determinado material segue o crit~rio de re

sistincia indicado, verificar se o estado de tens;o ~ admis -

sível. y 1

1 1

0,3 tt /m

s

J

í{

Sabendo-se (:ue a = 1,2 tf/cm 2 e ç9e o material serue o

criterio de Lnergin e Distorçio, �erificar se o carre��

�ento dadq ê admissível.

11.�tf r,5tf

f �n,

0.5 t

!=-· ·-·· =+fc·�� ! 'º ... t �t-

• 1

1,5 tf

l/5tf

Num certo material �:ec,ue o critêrio de "lohr ·indicado na

figura. tum det�rminado ponto de um corpo deste material,

as tensoes principais são:

= o

o 2 •-3

Provar

2tf/cm

que este estado

e admissível.

1,0

No sistem� espacial �a figura t;das as barras

vazada.

ten seçao

Pede-se: a) os diagramas de esforços solicitantes;

b) a maior tensão ideal CJ. (critério de enerria1

de distorção)30cm

Dados: 111 0,5 Cffl

= 15,7 cm 2 30cm

= 196, cm XX l(

37,3 cm XX '·º t

10 cm

01S: No cilculo de CJ,, pode-s� 1

desprezar o efeito de f;rça cor

\

1~ 1 i i 1

! : 1

!

=

tante e fOrça

4

3

norma 1 e

40cm

-~ Um material segue o critério de resistência representado

graficamente na figura.

1) Qual o valor crt para o estado de tensão A.

2) O estado de tensão B não é admissível.

-Somando-se a B o estado C, pretende-se que nao haja ruptura.

Calcular p.

Calcular a tensão ideal

do engastatnento.

(O', ) 1

-nos pontos 1, 2 e 3 da seçao

A barra da figura esti submetida a uma força normal N = 3tf

e um momento torçor Mt. Calcular o valor admisslvel do ho­mento torçor. O material segue o crit iode Tresta (caso

particular do critêrio de Coulomb), sendo:

-a - • a - = traçao compressao

= 0,5 tf/m 2 . 4cm

/

!L 12; 12}

p

Um determinado material segue o critério de ruptura indica

do na figura. Dizer entre que valores pode variar a tensão

de -

haja compressa.o p , sem que ruptura.

A secção mais solicitada de uma viga estâ sujeita a um mo­

mento fletor: de 20 tf•cm e a um momento torçor de 40 tf•cm.

O material segue o critério da energia

·de distorção. Dimensionar' a viga admi­

tindo tubo de parede fina com d = SOe,

- 2a • 1,4 tf/cm

J

Achar p para os casos indicados, o material segue o crité

rio da figura. Todos os casos são estados planos de tensão.

-

p D p- --

J.

,,01 ..

f ktf )

20 " ::::r cm

·o

. , ' 6 1 • P/2 ~ .~

~2 .

f,, ,·

. 2)

s, tp . ,...__ __,.. p D,,,

ip

Ferro

Verificar a viga de ferro fuftdido cuja seçio abaixo esti

sub~etida a u~ momento fleto~,pTovoeado por cargas vewti­

caí~, iaual e. 65 tf•em ~ a Yffla co:rt,ante de 5,S tf,

fundido { :: :

J . = 820cm viga

2 0,4 tf/cm

2 0,8 tf/cm

4

------h ·1

6

t 5 t2~t--5---fl,- Medidos em cm

Um certo material segue o critério indicado na figura,

Achar p para os casos indicados.

parábola do 29 grau

--""""41----""""""!1---...... ---.... a ( tf /crf)

Calcular a pressão axial de ruptura Pa para o ensaio abai­

xo esquematizado. O material segue o critério de resistên­

cia indicado.

t

tOkgf/cm 2

10 kQ1'/cm2

2 10 kgf/cm

Dado o pilar com seccao aberta �ubrn�tido ao esforço P in­

di cado na figura, achar a mi�ima terysio idaal,

P;: 40 tf

. +.�--

(\j (\J

6 cm 6 cm

P= 40 tf

e-.

_.....__ ___ 1_2_c_m _ __ �

No eQ.saio ã compressão tri-axial d e um solo coesivo (fig u­

ra), verif icouM se, para dois corpos de prova, no instante

da ruptura, os seguintes valores de pa e P9,

•

Ensaio I

Ensaio II

{pª = 5

P 9, =

{pª. p ""

9,

1

8

2

kgf/cm 2

kgf/cm

kgf/cm 2

kgf/cm

Sabendo-se que o material segue o

critério de Coulomb, calcular as

tensões máximas de tração e com-

pressao.

Pe

E o

2

2

o

~ 1

A figura indica a zona sem ruptura de um certo critério de

resistência, Sabe-se que os estados de tensões A e B estão

na eminência de provocar ruptura no corpo, Calcular os va­

lores a e b que definem a zona sem ruptura,

Estado A

2 o1

= -2,0 tf/cm

= o

Estado B

0,25 tf/cm 2 a =

X

0,25 tf/cm 2

a = y

a = o z

T = 0,75 tf/cm 2

Uma viga de ferro fundido, -cuja seçao transversal e mostra

da na figura, é submetida a um momento fletor M = 50tf,cm

e a um esforço cortante Q = 10 tf, provenientes de um car-

regamente vertical. Verificar se esses esforços provocam

estados de - admissÍvei s. tensao nao

0,4 tf/cm 2

1cm O'T =

0,8 tf/cm 2

a = c

l( ---· 6 o N

~ 14 cm .. ,

O material de que ê feita a viga de seção circular da fig~

ra segue o critério da energia de distorção com - 2 a "" 1, 5 t f / cm •

Calcular o valor admissível de T (T = ?).

!ST T T

t2cm 4tf ·-- --· --· -- -- -4tf

Q,2m l 0,2m t 0.2m f

lm

e

p

e

A viga da figura ê consti­

tuída por um material que

segue o critério da eneria

de distorção. Sabendo-se

que o = 1,4 tf/cm calcu-

lar o valor admissível da

carga P.

* Despreza r a influincia

d e Q.

Calcular a máxima tensao ideal (o. - ) da viga-calha bi-1.max _apoiada da figura, sabendo-se que o material da viga se

gue o critério da energia de distorção.

t 1 O _ffl ___ -4t

,-

. _

Medidos em cm

Verificar a seção do engastamentb

material segue o critério da

energia 'de distorção Õ = 1,4

tf/cm 2•

nos pontos 1 ' 2 e 3 • o

Il0"(37,8kgf/m)

J "' 5140 cm4

W '"" 405 cm3

i

14H

íl, 8 cm

t . 2 1,25cm

O 79cm li, 45an

,.fl$)HI IH

2

t

d •40 .• _ _..__

,A;,

,·

2Õe ....

p

Um certo material segue o critério 4e resisti~cia indicad~.

O estado A ê suposto não admissível. Qual dev~ ser o mínimo

valor de E do estado B tal que (A+B) seja admissível?

~ ~ 2ei:

p 2kg/cm2

® p

O cilindro da figura está subrn~

tido a uma pressão lateral P 2 = 2 -= 0,5 tf/crn e a urna pressao lon

gitudinal P1 . Sabendo-se que o

material do cilindro segue o

critirio da energia de distor­

ção e admitindo urna tensão ad­

missível a= 1,0 tf/crn 2 , pede­

-se calcular o valor máximo ad­

missível da pressão P 1 .

Dimensionar o eixo

indicado na figura, 'L:: ltf y

2tf

/ 1 \

o P1

neio. 11leo

Medidas em cm

o

a= l,4tf/cm2 - O materiàl segue o critério

da energia de distorção.

e:,

Sabendo-se que o corpo0resiste ao ca!W?egamento aplicado e que

o corro@ segue o c.r.n,, deterrrdnar a margem de serurança com

LJ u e e s t ã t r a b a l h a:

d o o c o r l 'O e; + at q em •

po@ em relação a sua ten I··

são e, quando se aplica no . � - CORTE A•A corfo �' na direçao z

uma tensao z de compressão.

OBS.: 1) entre os corpos G) e@ e o corpo rígido não

existem folgas.

2) Desprezar atrito entre

os corpos.

DADOS:

l' = l 00 t f

a e = 2,4 tf/m 2

a = 0,6 tf z

µ = 0,3

2 E= 2 100 tf/cm

cm

I,

:·�.· . .',ci>�PO :'.RÍGID�·.

1 I • •

PLANTA

\ r I , 1 , ", '/ ,' ..... � ,' , ' : .. ,1,., ; •: •

'. . ,CORPO RIGlOO :· . : ·,: .'·. •, :" · : , 1 • ' ....

' • ...... .,f 1 " • ·' •• •,: • ', ·',, ••

/'

. ,. ';

•,, • • I,'. ' • \' 'ti ,._ '

,". ·:{ ,;·_::.:_,,_ ...... :' ..

p

O corpo de prova (E 2 00 tf/cm 2

c e u = 0,2),c metro 20 cm estâ envolvido por um tubo de aço

cilÍndr\CO de diâ

2 (E

A= 2 000 tf/cE e

µA

= 1/3) de espessura t= 0,5 cm. Sabendo-se que o material do

corpo de prova segue o critério de Coulomb com Õ = 50 kgf/crn 2 e - ·2 - T

p ªe= 200 kgf/cm, determinar P

CT

(50;50)

(50,0)

CRIT!RIO O! COULO•& ( UTAOO PLANO)

11tfe1!112

10 10cm

20cm

o lt')

Um ponto de uma chapa estâ submetido ao estado de tensao indici

do. O mateiial segue o critério da energia de distorçio com a=

2 O 9 tf/cm2 • Determinar o estado de tensão (o' • 0·1 e T' )

9 X' y xy que deve ser acrescentado ao estado indicado para que a tensac

f •6tf/cM1

12ttd�'

l QSU/4m1

ideal se iguale ao valor admissivel e, ao

mesmo tempo, a tensao tangencial se anule

em qualquer corte.

YL

2

-200.-200) ___ ;..;;;;;::::.:...~ J ( !5 i - 200)

!li •

. . • 1.

,. ~ . . -

· 10cm .,.P

"'· ...

-t--.-----1_,-=...--=...:._j_: 1 ..,.--,-

E (.)

, .,

••

li t

Numa viga de ferro fundido ensaiada à flexão, atê a i~inên

eia de ruptura, encontrou-se na situação mais desfavorável

a seguinte tensão principal:

r Sabendo-se que as tensões admissíveis p~9

- - 2 ra o ferro fundido sao a= -0,Btf/crn e 2 . e -

crT=0,4tf/cm , determinar as tensoes de

ruptura ã tração (crT) e à compressão(crc),

admitindo-se o mesmo coeficiente de segu

rança para ambas.

'IJ

X

\.-'ºª 0,5t f/em2

\ \{ 4inçlo principal

\

Para o ei~o da figura calcular a mixima distincia b, de mo

do que não seja ultrapassada a tensão admissivel Õ = 1,2

tf/cm 2. O material segue o critirio da energia de dist~r-

-çao,

O material da

= 0;8 tf/cm 2 e

s iv el da carga

gura.

.. , 1 :1 t l 1 1

2~ -~

10 tf. cm ( Momento Fletorl

8cm

viga segue o critério de Coulomb com Jã J = - 2 c crT = 0,6 tf/cm . Determinar o valor admis-

p uniformemente distribuída na viga da fi-

tem

26Ufi

f

t 12•m t

A chapa da figura (ferro fundido) ê submetida a um estado

de tensões em suas faces. Sabendo que, na iminência de ruE

tura ocorre uma distorção y = 0,001 no elemento interno,

solicitado por um "cisalhamento puro", pedem-se:

IOOU

n

a) determinar a solicitação externa da cha-

pa.

b) determinar as deformai�es E e E • X y

c) determinar as máximas tensões de ruptura

ã tração e compressão e o coeficiente de

segurança utilizado se forem usados ªT

:2 - 2 = 0,4 tf/cm e o = 0,8 tf/cm e o critê

.c

rio de Coulomb.

F: = 1000 tf/cm2 ·µ = O, 2 5

Um determinado material segue o critério da

energia de distorção e tem os seguintes va­

lores para as constantes elásticas: E = 200

tf/cm e µ = 0,4. Uma carga axial de 100 tf

atuando sobre um corpo de prova cilíndrico

de 20cm de diâmetro apresenta urna segurança

em relação ã ruptura de 1,875. Pretende-se

aumentar esta segurança para 3 colocando o

corpo de prova dentro de um cilindro, ríii­

do, vazado, com diâmetro interno de (20+6.)

cm. Qual é o máximo 6 que se pode admitir?

O cubo de 20x2 ¼20cm ê de um material que segue o critério

da energia de distorção. Determinar P sabendo-se que o ma-- 2 2 terial tem: o = 1,2 tf/cm ; E = 200 tf/cm e JJ = 0,4

A· e ______ _

o-------

0.02

0.02

20cm 0.02 e

p ers !)·ec tiva

2

1 [Ll2/40]

Para o estado plano indicado

deduzir uma fórmula para a ten

são ideal, pelo critério da

ener a de distorção.

t

Uma viga de secção retangular esta su­

jeita, na secção máxima solicitação, a

uma força cortante O e a um momento

fletor M = 3•Q•h. Calcular, demonstran

do, o máximo valor da tensão ideal pe

lo critério da energia de distorção,

indicando em que ponto da seção ela o­

corre.

-1 ,·2 t f / cm 2 Sendo a = , M

Plono Oe c:orreg mento

M 4M

h

-F f 1,f ~ j2,·· calcular o valor ad-

mi ss!vel .. , ..

do momento 5tf

Q critério M pelo da

t 1

~ energia de distorção, o +

o ~ o 1

A barra de aço, de seção circular constante, ê carregada

conforme figura. Sabendo que o material segue o cr:J tério

da energia de distorção (cr 1,2 tf/cm2 ), calcular P.

p

f

A viga da figura, constitu!da por um petfil de aço I 10" x

(37, 80kgf/m) com; = 1, 2 tf/cm 2 , ; submetida i açio si­

m u 1 t â n e a d e 2 c ar g a s c o n c e n t r a d a s i g u a� s a P •

a) Calcular P, O critéri o a ser usado io da energi� de

distorção.'

b) A tltulo de comparação, verificar a iesistincia da vi-

ga, com o P calculado, usando o critêiio da maior ten-

sao de cisalhamento,

!pi 1 O 11 (37, 8kgf/m)

l A

! i0.5mf

11111//1

Z,Om 2.0m t

A v iga da figura ê consti tuída por um perfil de aço I 10 11

( 3 7', 80kgf/m); a o q u a 1 se s o 1 d a m d u a s chapas d e 1 5 , O x 1 , 5 cm ,

do mesmo aço, em determinado trecho CD para aumentar a sua

resistência, Calcular o maior valor P e os valores a e B

(comprimento no trecho CD, onde é exigido o reforço), são

dados: o = 1,4 tf/cm 2 • - Critério da energia de distorção -

: o

25,4

't- I?

� 2,0ffl ,sem

A estrutura da figura esti sujeita is cargas indicadas.

-2

1-a 1 Sabendo-

se que ºt = 0,4 tf/crn e e =

o material segue o cri tério de Coulomb,

que valor pode variar a ca!ga axial N,

OBS.: desprezar o efeito da cortante.

2 0,6 tf/cm e que

calcular entre

-�

r m1t

,,_------,-t,Q""'. _.,, N=?

' 100 cm �1 Mt = ao tf/cm

o; -+------i�-+----9"

r 16 cm � (0.6 i O, 6)

""

- - --~-----------

---------=-·'""'--,·ra•,,-._,_"'''=-~-·-·--------

- ~ Para a ví~a ata~xo, calcular ~t sa~endo-se ~ue a= 1,4 tf/crn·

O materiPl seRUP o crit;rio da ener~ia de dístorçio.

Traçar (em escala) o grifico da tPnsao ideal a. pelo Gltimo ti , l

rode FRRFCA en funçio da tenRio r, no intervalo indicado,

Esboçar (aproximadamente em escala) o grifice corres~onrle~te ~e

ra o crit;rio da energia de <l{storç;o.

F~rmulas para a tensio ideal:

FRESCA: a.=(tensio principal J. 2

EnergiR de distorçio: ai= a 1

mixirna)-(tensio príncíoal rn!ni~a)

+02 - c-1°2 2

-1,0 , ..

estado plano de

tensão (o-3:0)

- 2.0

Calcular~ máxima tensão ideal que ocorre no eixo. o eixo da

figura está submetido ao momento torçor e ã força normal in­

dicados.

Mt = 40 tf/cm

N .., 30 tf

d= 8 cm

1 - -~~I N

Fara o estado de tensão ;p~ic~dns calcular o valor ~dnissÍvel

da tensio de cisalhsmento. n ~aterial segue o crit;rio aa ener

gia de distorçio com~= 1,n tf/cm 2 •

tº·3 1:

J?,6 j 1 06

1: -

!Q3tf/cm2

0,5

- 2 Sabendo-se que a = 1,2 tf/cm e que o material segue o cri

terio da energia de distorção, verificar se o carregamento

dado ê admissível.

·etf'/cm_ !!'Hf

=�, 1�=1 =, =i=,=i:=, =, =i =i =i =i=1=1::

Para um certo material, a representação do critério da re­

s istência ê dado por:

IOkgf /cm2)

10

Pede-se:

- O valor de ªr

do ensaio de tra­

ção sirnples,

- O valor de a do ensaio de com­e pressao simples.

- O valor de T � do ensaio de ci­max salhamento puro.

O material se gue o critério da energia de distorção. O es­

tado a) e admissfvel no limite, Calcular o valor admissI­

vel de p no estado b).

Para este valor de p, calcular entre que valores pode va­

riar a tensão principal o3

aplicada per.penrlâc_u'113'rm:etrte , a:0

planó·indicado. a)

0,5

Df-'(5

J 0,5

( estados pio nos de

tensão )

f 112/49] -

·«- __,.} =fü,i i

lçm - - aocm

.A; -· ~ - ~4.i-~ 4m ~ i 1 l

tm Í 12 cm -, 1•6 °"'

---

(112/SQ_j

1 l ---------- r-.

" " ,, / a /

/ --------- v ' 1

J 10 kt;if /cm 11

f112/s1j

1)) 1\ -----..... 1

)01~ - u 1'5tf/cm2 p ...

.-.,._ p l p

Verificar se o carregamento na viga de ferro fundido ê admissI­

v e 1.

DADOS:

2 a= 0,8 tf/cm e

- 2 a= 0,4 tf/crn 1

2i z ,... :sm ·I· lm

! 5t1'

=I

J_

T acm T

tem 1

1

140cm

l_ 1

2cm _j_ 4 1

1 1. -1 -Ll2/53 U1ua vira de ferro fundido com seçao transversal conforme a fi2u-

12/54

ratem peso pr;prio g de 200 kgf/m. uando a rnontage~ ê feita~

forme o esquema CD • ela admite urna sohrecarea admissível F ,.?_

ra aumentar a capacidade da viga em receber sobrecarga, pode-se

proceder conforme esquema @. Deterr.1inar entre quais limites

pode variar t para que a ca~acidade da viga no esquema o

o dobro da do esquema G) , ~ DADOS: f 4m f CD Õ = 800 kgf/cm 2

e

Õ1

= 400 kgf/cm 2 4m

Calcular o valor admissível da carga P, sendo dados o = tf/crn 2 , l

Õ = 0,8 tf/cm 2 e sabendo-se que o Material da viga segue o cri-

t~rio de Coulomb, ~ 2ocm 1

p

1 ! l l l l l l l l li l l l l 11Í111[ f 111111111 _J[ X

t 4m j I m j

Determinar o ângulo entre os planos, ?ara os quais o par de ten­

s~es (o T) esti na imin~ncia de ruptura, pelo criterio dado.

Cf

0,5 p

0,5 p

RESISTE N C IA DOS MATE RI A l S

13° LISTA DE EXERCICIOS ( L 1�)

F LE XAO GERAL

�- A vig,a da figura fica sujeita ao carregamento indicado,con

tido em um plano vertical que passa pelo centro de gravid;j

de µa seção transversal. Os trechos BC e AB da seção s�o,;

respectivamente, horizontal e vertical. Sendo M • 40tf.cm, 1

, calcular a tensao normal no ponto A.

i _; n:i:ii=11=====*=, -�fi1 �I

-i-A

tem

Sem

E' ' y

� -,-. a:):

NI -

]/

)

Para a seçao da figura,

calcular os momentos 1

principais de inercia e'

indicar os eixos onde e

les ocorrem.

E]- Calcular os momentos pri,ncipais de inércia, indicando os

eixos onde ocorrem�

! 14 cm 1

:t•l t 24 em l

t 12 ~IV)-~- l

1 !

///, /

E o

@

Calcular o momento fletor admissível, sabendo-se que o pla­

no das cargas é vertical e passa pelo CG da seção transver­

sal.

M = ?

DADO:

2 ci = 1,4 tf/cm

1.0

t t

Medidas em cm

1

16,0

...-,...,j.....----" --=+1º 1 6,0

17 --+d- 1

1

- plano deu cargos

Um pilar com a seçao in

clicada estâ submetido a

uma força axial excên-

trica. Sabendo-se que

a linha neutra é a li-

nha AB, determinar a p~ Sem

sição da carga.

/

·~ . 1

/

6 cm j

/

/L.N.

6 cm ! ( Ll3/6j Calcular a tensao normal no ponto mais solicitado de uma ca

toneira de abas desiguais de 6" x 4" x 3/4", solicitada por

uma força normal excêntrica de -10 tf, sabendo-se que:

a) O ingulo do plano de carga com o eixo x é igua( a 45°

(sentido anti-horário).

b) A excêntricidade e= 6,0 cm do ponto de aplicação da car

ga ê medida com relação ã origem do sistema de coordena­

das e no sentido positivo de x e y.

OBS.: Utilizar Tabela de Perfis. (fase. II).

1, 1

i 'I

_E3- Calcular a tensao norinal

no ponto mais solicitado

da seçao ao lado, solici

tada por uma força normal

de compressão excêntrica

de 50 tf• conforme a fi­gura .. - ..

P = 50tf -

�- Calcular os momentos princi­

pais de inércia e indicar as

direções principais.

Qual deve ser o ângulo do plano de cargas com a vertical (0) p� ra que a linha neutra tenha a posição indicada na figura.

* As medidas foram tomadas com relação à linha do esqueleto._

* L.N. paralela aos lados inclinados da secção.

20cmJ

L \ \

\

l

10 1 10 j

p

12 cm

t 9 cm

20 i

1 :s o

-r

1 10

-b1

30

t --+-

19 cm

-+-

12CM

+-

112cm

- - ---t-

1

,f r 1

+

i

-1

+9çm

(113/10] A carga� de compressao pode percorrer o segmento de reta

indicado na figura. Determinar as coordenadas do ponto de�

se segmento até o qual a carga P pode se deslocar, a par­

tir do CG, sem provocar tensões de tração na viga.

OBS.: As coordenadas do ponto procurado saem em função de

a•

Determinar os momentos

principais de inércia,

i n d i c ar\. d o a p o s i ç ão d os

eixos respectivos.

Desprezar a contribui­

ção da solda.

p

24

t o f 20 + . o t

/[2>d:tr-40

CORTE A-A

1.0

Calcular a máxima tensao normal para um carregamento conti

do em um plano cuja intersecção com o plano da seção trans

versal ê o eixo z-z. Este carregamento produz um

fletor de 100 tf.cm que traciona os pontos A e B.

P' o

B

z z

24

A

i IY

18 cm

momento

1

-4- 112

1

Para a seçao discreta

indicada na figura ,d�

terminar os momentos

principais de inércia,

indicando a posição

dos eixos principais.

Para uma força normal

de compressão (N=30tf)

aplicada no ponto A,

d e s e n h ar o d i a grama de

tensões normais.

Calcular os eixos pri�

cipais de inércia da

seçao transversal indi

cada.

o

�1 '3

1

·toem

2

12 cm

1

�

Uma chapa de _seção (2b x t ), onde t << b, deve ser dobrada

conforme a figura. Pede-se calcular o valor do ângulo a pa­

ra que a elipse central de inércia se transforme num círcu­

lo.

A vigá de concreto da figura e constitufda de uma seção em

"T" assimétrico, conforme figura, e recebe cargas uniform~

mente distribuidas devidas: 3 a) ao peso próprio (y = 2,.5 tf/m ) • concreto

b) a um carregamento àtuando segundo a mesma direção do p~

so próprio e iguàl a 1,35 tf/m.

Calcular os momentos principais de inércia e os planos on­

de eles ocorrem.

li I l l l l l l lJ I J J 11 l II i l :E)totol 8cm ti JI~ 1 1

1

1 t 13 10.om,, .

] 1

-

1 e rnmm

1

u

i .. l co

1

\

)20.,201 60cm l 1

1 ' ÍL13/171 Calcular a mãxima tensao normal, indicando o ponto onde e-

la ocorre (tomar cr em mÓdtllo), referente à mesma viga do

exercício anterior.

1113/18} Qual o ângulo que a linha neutra da seção composta da fi­

gura deve fazer com a vertical para que o plano de cargas

seja vertical?

d ,. t IY b L1=1

1 üit,y !h 1

b - a~-1Xd x+-- -i--- ___ jl

1 d 1 . _., ri-_lJL,_ 'JI l b 1

,. ' 4=-t IY

\~ V plano de cargos

\ _,_ ___ ..., \ 1

\ ~ 1 \. ~C.G.

\ i \ é:=::::'..et~

U4" ( 10.78 kgf/ m )

Obs: consultar tabelas de

perfis metálicos pa-

ra as dimensões.

(113/1� - A viga da figura estã submeti�a apenas ao peso próprio.

3cm

p

13cm

A seçio i constitu!da de uma canton•ira de abas iguais,

L 4"x4"x3/8". Sabendo-se que ã = 1,2 tf/cm2 calcular o

comprimento! admissível.

(Consultar Tabela de Perfis, f4sc. II).

OBS.: Desprezar o efeito das tensões de cisalhamento,

.- 1 1 1 1 1 : ! 1 t : I

-L--L.....I.-..I.-..L-..L-.L....1....J......i.--1-_,i..-1-....._.,__

........ ,··· ""'"'"'

2c:l'l'I

�--'-,._,,,,,..,,......._.__-+

+�---4---+---------d1t 2 em� ·--4 em--+-

CORTE A- A

1

Calcular o valor admissível

3cm da carga P, na estrutura da

figura, sabendo-se que 3cm

!1.1:i/21] - Numa determinada seçao conhece-se

a) o ângulo (30° ) que o eixo princi

pal 2-2 faz com o eixo y,

b) momento principal de inércia J =4

l = 1000 cm ,

c) J + Jy z

= 1280 cm •

- ,., cr = 1,0 tf/cm ...

'I

,o•\,. \

\2

... T

8 ---t - ,__

1 ' 1 1

1 1 :

-- - - -- - -...--...--.---., ...... -

r--A ! I · '

1 ' 1

1 1

4

e J' • yz

-'' i ,

.... p ...

{113;2d- Determinar e indicar as

direções dos eixos

principais de inércia,

para o perfil da figura,

constituído de chapa do

brada.

--:;;;,

f 113 / 2 3) - Numa viga

uni momento

função de

solicitada

fletor N,

H, sabendo

� flexão atravésa

calcular jcrmaxlque esse reemento

de

em

tra

ciona as fibras inferiores e ê contido num

plano vertical que passa pelo centro de

gravidade da seção,

fa viga, cuja seção estâ na figura, está sujeita M, produzido por cargas

. tidas no.plano passando gravidade da seção.

representada a um momento verticais con pelo centro de

1) Achar os momentos principais deinércia.

2) Achar a tensão normal no� pontosind icaào�.

0.1 a

-' -G

D

.e 1 30

1

+ 1C,G, 1

1 Plano de

'(B

tA

B

E

Ola

H

.\,

10

t F

-y

A

3) Desenhar a linha neutra e calcular a maior tensão normal, indicando oponto onde ela ocorre. 0,1 ª

+!--A ___

G13;2sj- -Determinar:

a) Momentos principaisde inêrcia.

b) Eixos principais esua direção.

c) Linha neutra,

d) Tensões máximas ,

e) Diagrama das tensõesnormais.

p,i 10 tf

1 /

8

20 y

.. p 1

� =r t,t 3 l,f 3 \

1 -,-2 _,_

Calcular o valor da carga P (de tração) admissível, sendo

2 O= 1,5 tf/cm

L 3 11 X 3 11

X 3/8"

S = 13,6

b = 7,62

g = 0,953

2 cm

cm

cm

J = J = 74,9 X y

1 1 = 2,92 cm

12 = 1,47 cm

x = 2,26cm

cm

-Uma carga P de compressao

faz com que a L.N. tenha

a posição indicada na fi­

gura. Determinar a posi­

ção de mais uma carga P

de compressão, de tal mo­

do que a nova L.N. passe

por AB.

b ! X

--t· xi

24cm

1 1 cm

t

8J v, N !

B

f 113/28} O material de que é feita a viga segue o critério da ener­

gia de distorçio.

A seção ê indicada ao lado, Calcular P, sabendo que

1,2 tf/cm 2 e que Pé de compressão.

a. = 1

DADOS:

U 4" (10,79 kgf/m)

L 1 1/2" X 1 1/2 11 X 1/8"

J y

y e

= 31,25 cm 4

4 "'226,12 cm

z = eixos auxiliares

J = 19,84 cm yz 4

d '. d tPonto e op ICOFO\ do corga P

�cm�-­f�-� +-1

3,81

\

4,37em

! 5,1 cmi

cs� \ 15,1 cm

\

0,85 cm

4

1

--+-1

(113/2~ - Sabendo-se que a carga Pê de tração, calcular o seu maxi­, 2

mo valor admiss1vel com Õ = 1,2 tf/cm. 4

p

med Idas em cm

A seção de uma viga ê composta por dois perfis U, conforme

mostra a figura. são supostos dois tipos de carregamento,

sobre ela:

I) momento fletor contido num plano que forma um ân~ulo

de 30° com o eixo 11T. t"'t-T'\+- .... VT1ô ..ç:~ f"Ytt'i"'"".I ,J J, '- \.J LL ,.l.. V .L l.'I C J.. .J... :..__:., V. ..L 1(,.,1. O

II) carga excintrica P de traçio aplicada conforme a figura.

z

Pede-se:

a) calcular os momentos principais de inércia e os eixos

principais de inercia.

b) obter a posiçao da linha neutra para os carrega~efitos

(I) e (II),

- 2 e) calcular N e P sendo dado o= l tf/cm ,

e.IM

/ / -+

6cm 12cm

CI _,_, CI : :-·-iSem

L----1----' =p em

cargo P ) 1 11 b l ~

(±) /'\. plano de coroo do / memento fletor

DADOS'. 4 Ja= 89 6 em

.Jt>=272cm4 ------------'

(113/31) - A seção da figura está submetida a um momento fletor (M)

provocado por cargas verticais, que passam pelo CG da se­

ção. Sabendo-se que o material da referida seção tem a •

1,0 tf/crn 2, calcule o M (momento admissível).

N o n

.,. oo

40

p ()1

()

Medidas em cm

j 113/3 2 - Sendo dado cr = 1,4 tf/cm 2 , calcular P, cuja direção contém

o C.G. da seção transversal,, 10 cm t t

1

,

1

,

�.

-r : � CORTE A- A

1

E CG t t:: 1 cm(,)

� 1

1

) plano de / 1 1

5cm 1 i

cargo

�- Para a viga da figura, com carregamento indicado P (tra-� - -

/ 2 çao), pede-se o valor desta carga dado: a "'0,8 tf cm

118cm

1 9 cm

4 cm

6cm

p p -

--t --=---� 9cm

1~-~:·~· -----------------! 1

1

l

1

1

1

•

1

ICJ

1 _µ>,:Sm

i

j

3 3

2m +-A . 1

~

----+-i

-~n----· l _l_

4 cm

1

- 2 Dado a= 1,2 tf/cm , pode-se calcular o valor admissível da

carga excêntrica P,

-! 1 1 1

~I s;t-1

1 1

1

D /

p'-

-=r----------+-

EI u v

~ p -

E u s:t

1

2,5 1 2,5 2,5 cm

Determinar P para o pilar (solicitado por compressão -excen-

trica) com seçio indicada na figura.

OBS.: 1) Não hâ flambagem

2) Dado: a= 1,2 tf/crn 2

D E /

Cantoneira: 3" x 3" x 3/8"

Perfil U: 6" (12,20kgf/m)

ponto de aplicação da

carga P (compressão).

,

14f:I LISTA DE EXERCICIOS I L 14)

1 RESISTÊNCIA DOS M ATERIAIS TORCÃO GERAL E CENTRO OE CISALHAMENTO

� � S a b e n d o q u e a = 1 , O t f / em 2 , c a 1 cu 1 ar o v a 1 o r d a d i me n s ão a

para que o carregamento da figura seja admissível, Para es­

se valor de�, calcular a rotação da seção onde estâ o mo­

mento MT.

20 cm

+

+

to em

10 cm

""{-� ----L .... --4)_:. 1 � 1 /

G 11 800 tf/cm2

�- Determinar a relação entre os módulos de resistência ã tor­

ção, e entre as rigidezes relativas à torção das vigas A e

B cujas seções são dadas na figura. Sabendo-se que a viga

B � submetida a um momento torçor de 100 tfcm, pede-se cal­

cular o esforço no cordão de solda,

soldo 2 1t1lda

1, 2 2

40 � �

40 t ( medidas e1TI cm )

�-Calcular as tensoes principais no ponto A da seção do en-

gastarnento, indicando as direções dos planos onde elas o-

correm.

p

50 em t

50 em

21 ffl'I

~- Uma barra ê constituida de duas peças de seção retangular

(20x2cm) soldadas como indica a figura. Estando as extremi

dades da barra engastadas, calcular Tmax em cada peça qua~

do se aplica um momento torçor Mt na emenda,

Sitçõo A-A /soldo rª koem ~~=============!~2=c=m==~',==~~ f ~t•l5tf.m L.e

1 m t 2m __ .,..12_ocm

~- Calcular o momento de inércia e o módulo de resistência

torção da barra cuja se~ão está indicada na figura.

1

1

-11,,,--,.,-- ~

0100

. -

(114/6)- Dar a expressão da constante c da mola, em função de E, a e

t, para que na viga da figura só haja flexão.

p

D N

�- Uma barra de 4m de �om;,rirr1ento tem a seção indicada ao lado.

Sendo T = 0,8 tf/cm , calcular o m@rnento torçor admissível.

Para esse valor do momento,calcular @ �iro relativo das duas

extremidades. ?

'faterial: G = -SO') tf/cm�

._____. _ ___ __ 4_0_c_m ___ __ _ ----+--r.::

==========;:l

º=·=:5 =c=m========::::;-,

i + 1

\ !

0,2 cm 30cm - >-- 0,4c��._

r 1 1114/8)-

1 1

1 o.s cm

Traçar diagramas de momento

fletor, momento torçor e EoE

ça cortante da viga abaixo,

DADO: E= 2100 tf/cm-

25cm

C= 500 Kgf/cm

l 150Cmr

[g- A viga da figura esta sub­

metida a, um momento �orçor

Mt = 1,5 tf.cm. Calcular o

deslocamento vertical do

ponto A. 2 G == 800 tf/cm

__ -+'1.L3'--'3 cm 2tf

,__,.._,,,__""'""- =±cm

10cm

6C:lltl

CORTE A-A

i ) i 15cm

\ 15cm Mt __ +-

®

l

?

X

-~~----------ºMt ·~ ____ / í@

t 2Dm t

·­ ·--

1.

1

X•.ocm

1,0 • •

11~;10 - 3 barras de aço (G = 800 tf/crn2

) de mesmo comprimento -sao

submetidas ã torção conforme indicado. Suas seções t rat).s

versais são, respectivamente, as indicadas nas figuras A,

B e C. Calcular para cada secção:

M = valor admissivel do momento aplicado. t

~=máximo valor do ângulo de que urna secção extrema pode

girar em relação ã outra sem que seja ultrapassada a

tensao admissivel de cisalhamento.

,C,tnt t 0,5cm =F .... e_::=_-_____ ...,._;_t! ........ + .... : ; ____ -__.3

® t IO cm t 0,5!f"-- _

JE Ili o,s~

@

~ • A viga da figura, cuja seção ê mostrada ao lado, e submetida,

em sua extremidade livre, a um

momento torçor Mt• Sabendo-se - 2 que t = 1,0 tf/cm e G = 800

t f / e rn 2 p e d e- s e ~

a) o valor de Mt admissível

b) com esse~, o valor do gi i' t -roda extremidade livre.

1 1 o.s , __ - - _J

j 7,5 un -t ©

~ 1.112,om

-h-~Oem 1 em

40cm 2cm

3cm

t 10 em f

{114/12) - Determinar a expressão de P em função de x.

9- = 30 cm a = 80 kgf/cm.2

Usàr o critério de energia de distorção.

p 1(

pl

t t t T0,5 cm

10 em seçéJo do vlgo

()Mf +-

X

I, 114/lJ-

1 ..__ __ _

Dadas as constantes elásti­

cas da barra de aço:

E= 2100 tf/cm2

'l "' O, 3

?ede-se:

.ACalcular a relação� ' ')

para que o Donto � nao

se desloque,

20

tA

borr-o do aço

( medidas em cm l

ao

a

\

r

Is

� Calcular os módulos de resistência à torção e os momentos de

inêrcia à torção das seções indicadas.

50 em

[Ll4/ls)- Calcular a máxima tensão ideal na viqa da fi�ura pelo crité­rio de energia de distorção. Calcular·tambêm a força por unidade de comprimento na soldada viga onde estâ aplicada a carga.

DADOS: J 4 4 2 = 00cm , P = 500 kgf , G = 800.00C kof/cm , XX ,::,

60 cm

p

20 cm

20cm

espessura da chaoa = ô,2cm

n

-.......

10 cm

[Ll4/lr,]- Calcular o desloce.nento vertical

DADOS: 20 f' r = c rn \J =

p = 80 kgf c =

~ p flp e.e.

1

t lm

i 1

(114/171- Ut1a viga

indicada

.,.. com seçao

na figura

está submetida a um

momento torçor

= 200 tf,cm.

' (

" :e

t

Calcular o valor de

T max

Sabendo-se que T 2 = 0,8 tf/cm ,

calcular a relação entre os mo

mentas torçores (Nt) e os ei­ros da e~tremidade B nos se­

guintes-casos:

a) - fechada secçao

b) - aberta A. seçao em H dJ

Pede-se: a ·a Nb

e - . <bb

soo 4r T;

A

e

f. t) ponto A•

tf/cm 2

lt T = 0,4-cm

F>

1 p

20 cm

40 m t

0,1 cm

I! ..

!i 1

0,2 cm 1

4 O em

\ / \ / \ / \ . I \ 1 /

e ... 30° 1 2 =============ª· e 'IA t

l \JI /

\ / G .. 800 tf/cm t 1,5 m o

1

t= cte.~ 1 cm

(Ll4/l� - Para a viga cuJa seção ê mostrada abaixo, determinar a po­

sição do centro de cisalhamento,·Sabendo-se que o material

da viga segue o crit;rio da energia de distorçio, com a. = l.

= 1,4 tf/cm2 e que o máximo giro permitido é �2 (15 ° ) de-

terminar a carga admissivel �' sendo dado G = 800 tf/cm2 .

rzzmtt:

22,, ,z"1 1je

't . . cm f

P 5,0cm P

(Ll4/20I- Para a seçao indi

cada ao lado (A),

calcular J� e W 1. t

nos casos: -

a) secçao fechada-b) secçao aberta

em A,

Para a se_ção da

questão anterior(A),

acrescentando nervu

ras (casos B e C)

quais são os novos

Jt e Wt?

.j

30 c.m

secção

A

....... ---

5,0 t

( B)

t=cte. = 0,1 c m

e= ct e : o, l cm

( A)

�- �- ----

20 cm t 5.0

t " e te " O, 1 cm

- - iJI'

+

"-1 \

1,0 cm

10cm

-��

---, o-,o-c_m ___

l o-.-o-c

_m _ ___,l,__s_,

_o __

(C)

20,0 cm

t11 ct.e : 0,1 cm

10cm

• s ' • • • • • . A a • • li ..

---------- 1 . t ~5,ocmf

t, 111 •íl lf n 11

C~ª z I z z z z z 1 ;:;;Jtc-

"

1 __ ,_

/

G14/21j - Para a viga horizontal da figura as cargas

próprio e o peso do enchimento indicado.

-sao: o seu peso

Calcular cr. na borda superior. Desprez~r o efeito da for irnax 3 -

ça cortante. p . = 7,e tf/rn p = 1,0 tf/m 3 viga enchimento

,.~

~ ,120 cm j f

12cm j toem -

f 10 cm j

12cm

l

l

10 cm

2

j

10cm

(1 1 4 / 2 2 j - D e t e r mi na r o v a l o r m ã xi mo a d mi s s Í v e 1 d a c ar g a P u t i i i z a n d o

o critério da energia de distorção.

Calcular o deslocamento vertical do ponto A, iuando se apl!

ca a carga do item anterior.

DADOS: -1, 4 tf/cm 2 a = ,.,

E 210() tf/cm t'.. = ?

G = 8()0 tf/cm~

t = 1

1 , O cm

t = 2

1,0 cm

h = 20cm

b = 10cm

9, = 1,0cm

OBS.: Desprezar o efeito da força cortante.

t b l

i p

- - ==tt, ~ -12 h -

1

J. 1 '+ - - tr

(114/2� - Uma superfície ABCD serã revestida de 10 placas de argama�

sa armada prê-fabricadas. Calcular a mãxima tensio de ci�­

salhamento causada pela adaptação das placas planas i su-

f<? • ,er 1c1e reversa.

D

1-toem

-10� /

/

// 1_······ ..... fa>d.-,

/A5.,

/ e• so{=

j......_ _______l 7-�---------=:...----,---7---+- 1,2 cm -=f=-c:::==========::::::::1

E ir t 50 ooo Kgf/em2

}J x 1/6 /

� m f

f 114 / 2 4] - D e t e r mi na r a p o s i ç ão d o e e. n t r o d e e i s a 1 h ame n t o d a s e ç ão i n

clicada na figura. A seção ê obtida com chapa dobrada de es

pessura constante (t=2cm). As cotas se referem ao esquele-.· -

to da seçao.

oem

Determinar a posi­

ção do centro de

cisalhamento,

em 20cm

h::: 10cm

b 111 10cm

J114 / 2sf -

------

________ __))

1 1

~ 1 -t•m 2· ~-+-- l 40

ftl4/26J - Achar o centro de cisalhamento para a secçao indicada na fi gura.

espessura constante

o, re o e== a/20

0,?5 o

(114/27)- Determinar o valor da carga admissível P) na viga em bal~n­

ço esquematizada ao lado, usando o critério da energia de 2 distorção com cr. ~ 1,4 tf/cm.

l

VI 90 eo, Oolonço r 0,2cm

rr- ---' 1 1

íl-3 em

a- Dada a viga e o carregamento (vide

figura ao lado) determinar a dimen

são da aba (dimensão~ indicada)

para não ocorrer torção.

OBS.: Desprezar o peso próprio da

viga,

LO m t

1 ·:: +p

1

L 1

--+ se1=io do Vigo

--r,: ----1 1 t=cte=0.9cm 1

l ... _____________ ...,_ i2cm l4Cm f o= ? 1

(114/2� - Para a montagem da estrutura que vai receber o esforço to�

çor de 100 ttcm, estão dispon!veis barras de aço de diime­

tro 3/4", 1 11 e 1 1/2 ". Sabendo-se que o material segue o- - 2 critirio da energia de distorça-0 com a= 1,4 cf/cm , per-

gunta-se:

a) Qual o menor diâmetro que pode ser utilizado,

b) Qual i entao a mixima tensão ideal na estrutura e onde

ela ocorre.

E 111 2100 tf/cm 2

ISc:m

12

IOOtf/m 15

50 cm i ,ocmt

µ = 1 /3

15 cm O.Sem

0.5 12cm

5cm

Sem l 115,cm

�// -i-

{Ll4/3� - Na seção do engaste (ponto A), calcular as tensoes princi­

pais no ponto Ida seção transversal, sendo P = 0,6 tf.

C.8.

2 em 12cm

2cm PERSPECnVA

t 6 cmt

SEÇÃO TRANSVERSAL

(114/31] - Calcular:

1) Momento torçor admissível:

a= 1,0 tf/cm 2 (usar e.E.D.)

2) Giro por unidade de comprimento:

G = 800 tf/cm 2

80 CM

40cm

?S)lffl'l _ __,_2'> m 55cm

40cm

12,0mm

r~l4/3~ - Dada a viga da figura abaixo, calcular:

1) O valor admissível de P.

2) O deslocamento total do ponto de aplicação de P,

DADOS:

a= 1,4 tf/cm 2

perfil U 10"(22,77kgf/m)

E= 2100 tf/cm 2

G = 800 tf/cm 2

O material segue o critério da energia de distorção.

OBS.: Levar em conta o peso próprio e desprezar o efeito da

força cortante,

t---- ____ ] 'l 2,0 m 1 P

[ L 14 / 3 3) - P ar a o eixo

TI a) - e

TII

da figura pede�se, para os casos I e II:

b) A força cortante exercida sobre cada um dos 12 rebites,

desprezar wperpo1icõo

supondo

30cm

T

<

t= constante= 0,2cm

re blte

CASO n

O• •t 30cm

( L 14 / 3 4} - C a 1 eu 1 ar W t e J t par a a se c ç a o e 1 ma x e cp p or uni d a d e d e

comprimento, quando se aplica um momento torçor de 4 tfcm.

1--- -- - - --

1

1

1

a/20

+

1 ! a

_L __ -=-:::::---=-=::---.::::---__ -_=-i_.l 20

T = 6 tfc ( . m caso

t 20 cm ~

[114/35) - Comparar/a resistência ·e a rigidez ã torção das secções indi

cadas.

1 ---·-li 1 1

-l ..!Y'º 1

1 1 1

1 ----- -----'

o

+- 2 o

r;----::::;;----1 '-----------... 1- - - - - - ' - - - - -1

o li -~: li o/10 JEJ/10 11 ...... ,,,_e... -,

1 1 1

·:o: ~ 1 1 o/10 o/10 1 - -1

1 1

T -li . jt l!:! - - - - - - - -~

r 1 ,

I_ - - _L ____ IJ. : • 1 :

~ - - - J - - - - - - -'

t 2·Q o t o

[114/33 - Para os perffs :baixo, o c~lculo exa~o indicou respectivame~

te JT = 28,5 cm; 120,0 cm; 51,6 cm • Determinar, utiliza~

do a espessura média das abas, o erro (%) no cãlculo dos mo

mentos de inercia ã torçao.

30~

• mEid Idos ~ mm·

(114/37} - Dado o pilar com

s,ção aberta sub

metido aos esfor

ços P e Mt indi­

cados na figura,

achar a máxima

tensão ideal.

t 139

7.5

mE1didas em cm

t !

251 17.1

22 2 p:: 40 tt

2

(1i4/38I - Calcular P pelo e.E.D.

- 2a .. 1,4 tf/cm

Desprezar o efeito da força cortante.

dtepruor efeito

40 co rtante

6 cm

(�'i4/391- O material da viga da figura se­

gue o critério da energia

distorção. Sabendo-se que 2 -

• 1,4 tf/cm, calcular P.

de

(J ..

Com es

se valor de P calcular o desloca

mento vertical do ponto D.

OBS.: as cotas se referem ã li­

nha do esqueleto.

r 1

1

[�14/401 - Determinar a posição �o centro de ci

salhamento para a seçao abaixo.

t = constante = 0,5 cm

f114/41) - Calcular wt

30cm

li 'Cffi

·- ".., 1 _J 1 t= l R..J ·,.o m

f 114/42] - Dadas as seções abaixo (A e B), de duas vigas com lm de com

primento, solicitadas apenas por momento torçor, calcular:

a) Mt admissível nos dois casos, sabendo-se que o

segue o critério da energia de distorção e ã =

material 2 1,4tf/cm ;

b) A força na solda, por unidade de comprimento, quando se

aplica, no caso B, o Mt do item anterior;

c) Os giros relativos entre as seções extremas, quando se a

plicam, nos dois casos, Mt = 1 tfm,

DADO: G = 800 tf/cm 2

Medidos em cm

1114/43) - Calcular o valor admissível de P e o deslocamento vertical

do ponto A, localizado ao nível da seção E-E da viga,

6,0cm

2 T = 0,8 tf/cm

G = 800 tf/cm 2

t =constante= 0,5 cm

10,5cm

60cm 6,0cm

IE ~ 2 em t 2 em t 2 cm

(114/44) - Uma barra de seção celular,

cuja seção esti mostrada ao

lado, serâ solicitada por

um momento torçor de 4,8tfcm,

Determinar o mínimo valor da

dimensão�' sabendo-se que

o material da barra segue

1-

1

1

1 0,1cm 1 1 �-

t 2a

0,1cm O,lem

- .r

t 1

1 l-0.2.

1 0,1cm 011cm 1

0,1

_\_ 1

f ª, o critirio de Coulomb cbm:

2 cr = 0,8 tf/cm (tensão admissível de compressão simples)c

crt = 0,4 tf/cm 2

(tensão admissível de tração simples).

2a

(114/451- Para a viga em balanço da figUra, determinar a carga P ad-

missível, sabendo-se que o material segue o critêrio da e­

nergia de distorção.

cr. = 1, 2 tf/cm 2

l

t g • 50 cm

t =constante= 0,1 cm

�14/461 - Qual o máximo valor de�, sabendo-se que o ponto B pode se

deslocar na vertical, de no máximo 0,6 2 5 cm, e a tensao de 2 cisalhamento admissível do material ê T = 1,0 tf/cm .

t == constante = 1, O cm G = 800 tf/cm 2

rt

: 1

r

i!

� o

1 ® /

40cm

l u

400 cm_--+

t!Oem

t t t 4 0 em 30 cm

-4

p

[114/47) - Determinar o centro de Torção

da seção ao lado,em função do

momento de inércia ã flexão e

das caracterfsticas geométri­

cas mostradas,

t = ete.

-t--R --------..----R-

(114/481.:. Calcular o centro de cisalhamento para as seções abaixo.

t = espessura constante

~14/49)- Calcular o valor admissfvel da carga P pelo critêrio da

gia de distorção.

1

l

2 a= 1,5 tf/cm

2,0 m

1

p ! ~

espessura constante= 0,1 cm

TT I~2cm J p

R

la 1

'ª

ener

(ii4/Sol - Para a viga mostrada na figura abaixo, cuja seção e vista

em detalhe, pede-se determinar o momento torçor admissível

pelo critério da energia de distorção com ã, = 1,4 tf/cm 2 • l

Sabendo-se que o material da viga tem G = 800 tf/cm2, ped�

-se tambêm o giro da extremidade livre para aquele momento,

4,0cm

]VIGA

�$º=

4.0cm

f Mt � i 3,0cm '4.0 cm t

o.som------------ -i-

[L14/511- Uma peça componente de uma estrutura é solicitada conforr.1e

a figura e deveri ser dimensionada com urn material que se­

gue o critério da energia de distorção, com Õ = 1,5 tf/cm 2 .

Se para a montagem da peça não for encontrado aquele ma­

terial, pergunta-se se ê possível construir tal peça utili

zando ferro fundido, com diimetro 2 vezes maior. Justifique.

�-

f 30cm

T = 2, 5 d N

Ferro fundido: = c

T

= 30

O, 8

t

tf / cn12ot = 0,4 tf/cm

Calcular o valor admissível de T pelo critério da energia

de distorção, sendo dado cr 1, 5 tf/cm 2 = .

t'5 cm )T T

� \

r- f" '

I

=�+·,m t l 1 �

\

/ 15cm

__i_ tem �. -4- ,-r

3·0cm l 30cm �

:SO cm 1. 5

7,0cm

2 a

~14/53)- Calcular l\ e Jt

o/20

!._J> a/40 - · • · f

o

i

[114/54]- Estabelecer, utilizando e.E.D., uma fórmula prática para

diMensionar barras de secção quadrada solicitada por mom~n

to fletor e momento de torção.

(114/551- Calcular o mâxiJ110 valor da carga P, de ,,modo que a tensao

de cisalhamento seja igual a 1,0 tf/cm~ e o deslocamento

vertical do ponto A seja no miximo igual a 1/500.

1 4 cm f2"crm · p

1 --+ PHP ~ \4cm

0,!3 llffl -·t- ~

14cm

--+-

·! "

, --i~m

{114/5~ - A viga da figura tem secção retangular vazada, obtida pela

soldagem de uma chapa dobrada. Determinar o ~iximo coDpri--mento sem solda, no trecho indicado, de modo que nao seja

')

ultrapassada a tensao T = 1 tf/cm~

solda ucão do trecho

a D + A

J-A~ ~ D ~ t = 0,5 cm cm --+

t 30 cm ~ 60 cm 1

t 6 cmf f 6 cm f

(Ll4/571- Para a viga de seçao celular da figura abaixo, pede-se dete.E_

minar o valor de P pelo critério da energia de distorção sen

do dados:

----

CJ o

"' X

-.......

5 o

ln

--

cr. = 1,2 tf/cm 2

1.

4 J = 262,66 cm XX

100,0 cm 1 p

l

r-1T

-- -,- 1

1

1

1 -�-. -- ·-

1 1

5,0 cm

1

1 t = cte =, ..._. 0.4ar

�-------1 CG -1

1

1

1 1 1

�

5,0 cm

1 1 1 !e 1 f()'

f/=seqão =f:I:. 1 1

X ·--·1 1 �------1 1

1

1 li) 1 1

1

1 ,-t----· 5,0 cm-+-

fL14/5� - Determinar o deslocamento vertical do ponto de aplicação da

carga P = 5 tf.

E = 2 ,100 tf/crn 2

G = 800 tf/crn 2

OBS.: As chapas ABCDEF e GHIJKL são rígidas.

t = lc m(ch l

secõo"O"

o li")

secõo"Q"

pB G

A----+---��--+-----.._-�L

�

I

. t QJ 1(

j.,, 60 cm + 60cm l

,-

i E' (.) 1

01

21 !

i 11

r F

. -

]_ l 1

~ 1

1

! _J_ ..

{114/59) - Uma ponte ferroviária tem a seçao transversal mostrada na fi gura. A máxima força cortante Q correspondente a um trem ti­

po passando sobre a ponte, em uma certa seçao, vale 690 tf.

Para essa seçao pergunta-se:

a) Qual o valor de Jt

b) Qual a máxima tensão de cisalhamento que ocorre devido

torção e em que trecho ocorre.

1,3 cm 1,3 cm

1,6cm E CJ

1,6cm 8 li)

2,5cm 2,5cm 2,5cm

_ ____,,___3_5_0_c_m _____ 3_00 cm pso_ cm --.-----

1114/60 - Sendo a= 1,5 t/cm2 , calcular o valor admissível de T pelo

critério da energia de distorção. Para este valor de T, cal­

cular o valor de máximo ângulo de rotaçao, sendo dado C =

800 t/cm 2 .

2T

T

50 cm 50cm 1 1 1

~- No cálculo de eixos de máquinas

ção, é costume substituir esses

momento ideal que e considerado

espessura " 0,5cml solicitados à flexão e tor 1

esforços solicitantes por u: 1

como momento fletor. Usando

o critério da energia de distorção, deduzir uma fórmula para

o momento ideal no caso de seção quadrada.

OBSERVAÇÕES:

1) As cargas que produzem momento fletor estao

contidas num plano perpendicular ao lado qu~

drado.

2) Desprezar as tensoes de cisalhamento produzi

das pela força cortante.

(114 /6 2) - Qual a relação entre os coeficientes das molas k1/k2

para

que a estrutura da figura só esteja sujeita a momento tor­

çor.

z -

b

b

t (cte.)

,,--Mt

CC

h

se�ão tra nsver11al

(1

o

a "" b/2

h = 2b

b ·t =

2Q

t == O, 5 cm

,�14/631- Calcular o valor admissível de T pelo critério da energia de

distorção e o ângulo de rotaçao da extremidade livre.

Dados: cr :::: 1, 5 t / cm 2

G 800 t/cm =

1(2T

30cm l !50 c m

(114/64)- Para a estrutura da figura -3seja igual a 6,5,10

Dados: E 2100 t/cm 2=

µ

espessura o, 5 cm

determinar Mt de modo que o E max

== O , 5

(e= constante l

2

f_ . -

~14/6~ - Calcular o Centro de Cisalhamento da seção transversal indi­

cada.

3a 4a 3a

--~-~-:::--~7:;i f.osa r----1 1 1 1

~ - 2 ~- Dado T = 1,0 tf/cm ,

Para este valor de P

to A.

1 1 1 I 0,03 o 40 1 1 1 1 , ....... _....., ___ 1

'------- __ 1

0,030

calcular o valor admiss{vel da carga P.

calcular o deslocamento vertical dopo~

P p P/2

~1------,o-o_c_m ___ ----1i P/2

A

t = espessura= cte = 0,5 em

G = 800 tf/em 2

~ ~">

7 (,,~

,,a.,

RESISTENCIA DOS MATERIAIS 159 LISTA DE EX E R C Í C I os ( L 15)

FLAMBAGE M

§]- Seja a coluna da figura. Calcular Pft (carga de Euler), saben

do-se que E= 2100 tf/cm2•

p (caroo cêntrlco l

, ,,

24 cm

;

t a

em

i �- A lâmina de aço indicada na figura faz parte

de um sistema regulador de refrigeração. O

projeto requer que, para um aumento de temp�

ratura de 40°, a lâmina dê contacto com um

dos dois terminais A ou B. Por razões cons­

trutivas a lâmina deve ter seção O,lxO,S(cm).

Avaliar qual deve ser o comprimento da lâmi­

na para satisfazer as condições do projeto.

Coeficiente de expansão térmica: 2xl0-S ºc-l

E= 2100 tf/cm 2

Secõo A A 1

e

� - Um certo material segue o diagrama ªft x À indicqdo. Calcu­

lar Pfl para a coluna da figura,

1 ;;;, õ1e

l Kof/em 2 >

i 2cmj 1 "°" jf

m

1100

u r 7

2,5m 6cm A A

2cm

100 ----+--SEÇÃO A-A

1

40 À

___,_

B e

0,1 cm

_1 _

~- Determinar o máximo comprimento (i) do pilar. Utilizar a NB-

14.

l '°t' p

t

5"X S' x 3/4'11

Obs: utilizar tabela dosperfís metálicos para as dimensões,

~-Calculara carga admissível P para a coluna de aço,

Obs: Usar as f6rmulas da NB-14.

p secçao da Coluna

~- Calcular a carga admissível para a coluna de

material considerado ·é aço 37. 10 cm

r p

E u

N

E v

Secção

j /

aço

E \1

ui IO 1

-~t 51

IO i 1

indicada. o

10cm Li ~1

---t --Í

12 cm j

� - Para a coluna de ferro fundido com seção indicada, calcular o

máximo Vqlor de P. Supor coeficiente de segurança igual a 4.

Obs: Usar as fórmulas de TETMAJER.

l

..:

l 6 l l jO circuito elétrico da figura deve entrar em funcionamento

o quando houver um aumento de temperatura de 50 C.

A lâmina é de aço e deve ter as seguintes dimensões:

9, = 10cm a == 0,5cm

Avaliar qual deve ser a dimensão b da seção para que o sis­

tema funcione conforme re-Bateria

b

b

querido,

Coeficiente de Expansão ter

mica da lâmina:

ct =

2 E= 2100 tf/cm

6

-~li>-----

·-

-p

6 o -1 2.10- ( C)

- Calcular a carga P de flambagem,

Dados:

PERFIL U:

d= 1,2cm

J = 158cm4

Jy = 13,3cm4 ... x 2 area = 10,1cm

E A A

PERFIL I:

J = 250cm 4 X 4

J = 32,1cm _Y 2 area = 14,3cm

E= 2000 tf/cm 2

sec:,õo A-A

t0.2 cm

V

E u

"!. 2

[ 11snoj- O escoramento de vala esquematizada ê feito com madeira pero­

ba rosa. Sabendo se que os perfÍs disponíveis para as escoras

são de 6x12 cm e 6x16 cm, escolher a mais conveniente.

200kgf/

-~.

6m

2m

200 kgf /m2 V AÇÃO" ( pressão do solo)

E = (peroba rosa

= 94250 kgf/cm 2

a = 85 kgf/cm 2 e

{11s/11) - Para o pilar de peroba rosa mostrado na figura, determinar a

mínima dimensão "d" de modo que a viga resista ã máxima car­

ga possível. Com esta dimensão, determinar a carga admissí-- 2 2 vel, sendo dados: ª� = 85kgf/cm , E= 94250kgf/cm

Desprezar a contribuição da alma no J , J e S da seção. y z

···- d?t,

1,0,11111

y

3,0

l(

y

otma ( VISTA f'lE LADO)

[115/12]- Na estrutura da figura a barra BCD ê rígida e as barras AB e I

A

r·f 3m

B

º:iml 1 1

2,5m 1 2.,5 m

E

E 1D

D

\

DE tim se�s circulares de,

respectivamente, Sem e 2cm de

diâmetro, Sabendo-se que o

material dessas barras é aço - 2

(at

= 1,2 tf/cm), calcular

o valor admissível da carga

p •

1115/131- A barra, cuja seção ê indicada, é de um material que segue o

diagrama ºfe x À da figura. Para À < À

l ocorre a flambagern

plástica segundo uma parábola, cuja tangente para À= O ê ho

rizontal, Para X> A1 ocorre flambagem elástica segundo a hi

pêrbole de Euler, com coeficiente de segurança 2. Sendo E=

2000 tf/cm , calcular P com À= 80.

"'ht Oo = o. 8tflem2

SECÃO 6

ªº I

ÕIOO

2 2

t 2 !2 i 4- t 2 i 1 p p

À,= 100 À --:� I �

l - -

2

1,

---

(1{s;14) - Para a coluna da figura,

determinar o valor de P , cr sendo dado:

E ... 100 tf/cm2

(medidos em cm)

e N

e N

{115/15]- Determinar o comprimento 9.- admissível pAr 0 a "'"trutura de

ferro fundido da figura.

Adotar: Coef~ciente de segurança= 4 E= 1000 tf/cm

P• IOOtf +4,621 g j l 15,24 cm

t secõo da viga

1 y,

Medidos em em.

,

chapo de aço

[115/16} - A care:a P indicada cresce lentanente de P =

Sejam:

O até P=P r

61

: deslocamento horizontal do ponto C.

6 2 : deslocamento vertical do ponto R.

E 0 hocar o~ gráficos:

õl X p

tA 1

/J.2 e B X p • A ' ~

J/2 1Hf00

1 1 . ' CI p

..b-......,_ !'f'l17i/1'/

circular de

t dia metro d.

[11s/1d- A NB-14 fixa a tensao admissível de flambagem

gião de flambagem no regime plástico (O < À <

para o aço,na re

105), pela rela -

çao seguinte:

(1 2 -

fe = 1200-0,023 (tensao em

kgf / cm 2)

Se a relação acima (equação

de uma parábola do 29 grau)

for substituída por uma rela

ção linear (equação de uma

reta), calcular o maior erro

(%) cometido no t recho cita­

do.

�-1)

O < À < 10 5

� Supondo que o numero de

contraventamentos seja tal

que a capacidade da colu­

na seja mâxima, calcular

a cérga P �dmis�ivel.

2) Qual ê o numero mínimo des

ses contraventamentos para

que a carga admissível se­

ja a do item 1 ?

OBS,: Fazer o cálculo pela

NB-11.

Pinho do Paraná

a = 51 kgf/cm 2

e

2 E = 1052 2 5 kgf/cm

NB·l4

-relo f:1io

propctto

.L-.-----.1-----� 106

-·

flambegam --+-� flaabas•• no regime ao regimeplástico elã1tieo

p

�;\ ��

o

e, o

i o

o

contraventomento

-

-, o

- .. CI

.---, '

2,s_±: i

t

[115/1� - Duas vigotas de madeira de 6xl6cm (peroba rosa), foram co­

ladas de modo a constituírem uma coluna que deve ser capaz

16cm

.,

-

de resistir uma carga de compressao P. Calcular o valor de

P admissivel nos casos I e II,

Peroba Rosa: E= 94 2 50kgf/cm 2

t 6cm

16 em

a= 85kgf/cm2

c

CASO I

�;;::

2,om

2,0 m

CASO Il

1

""-Contraventamento lateral (segundo

d1 reções y .y e z. z)

� 6cm ,li///

� - Para a coluna da figura ao lado pede-se determinar o valor

da carga admiss!vel � nos casos A e B, sabendo-se que a

mesma ide aço 37 (utilizar �B-14),

Coluna

/ I

'-

I 10"(37,8 kgf/m)

300cm

Secões

-

solda

) -

- A -

't.,I 10"

soldoO"

--z---I10"'2-:r 1

B­ob&. medidos em cm

CARACTFFÍSTICAS DO

PERFIL

2 S = 48,1 cm

J = 5140,0 XX

cm

J yy

4= 282,0 cm

1 ·y

4

TIO"

-( (

1115/2� - � coluna, cuja seção é dada na figura,

e. articulada nas duas extremidades. Sa

bendo-se que a seção transversal e cons

tituída por úma chapa de aço de 0,5 cm

de espessura, dobrada conforme a figu­

ra, e que a colu�a esti sujeita a uma

carga cêntrica de 10 tf, pede-se o com

primento miximo da coluna.

(115 / 2 2] - e a 1 cu 1 ar o raio de giração

-

., . m1n1mo, i . 'min

see6o transversal

( medidas em cm l

-

da seçao da figura.

2 (medi dos em cm 1

1

2

t12

1115/23] - Na montagem da estrutura

de aço foi cometido um

erro na barra AB de 0,10

cm (esquema I). Calcular

o valor admissível do car

regamento aplicado sobre

a estrutura (esquema II).

E = 21 O O ·t f / cm 2

2 a= 1,2 tf/cm

Seção circular de�= 4 cm

c:,squemo I

1

t

E 1()

11:t'

euquemolI..

_fit ,__ ---

A

;,_! .,.;

�15/2 � - A coluna da figura é de peroba rosa e tem seçao circular com

d = 20 cm.

Fixando-se a esbeltez em À = 100, calcu

lar:

a) o comprimento l e a respectiva carga

admissível P,p .

cri t b) o coeficiente de segurança s= p

,

sendo P 't o calculado pela teoria cri

de Euler.

DADOS: NB-11 E= 94 250 khf/cm 2

<J = 85 kgf/cm 2

c

[115/25)- Para a estrutura da figura pede-se determinar a carg.:i. admissí

vel q, sabendo-se que E= 2100 tf/cm 2 e a = 1, 2 tf/cm2 . N:

caso de flambagem, usar as fórmulas da NB-14, pois a estrutu-

ra é de aço 37.

Para a viga AB

4 J = 5140 cm

3 W = 405 cm

DADOS

Para as b a.rras:

BC-+ Seção circu

lar,qi =1,0cm

BD e BE-+ Seção

circular,c/>= 2 ,0cm

e

q

[li 1111111111111l1Í111111111111111 II

A

2,70m l 0,30 ! 0,30

EoIO

o

--

ô

e ~ . •

l

J. =?

1

-+

[LlS/26) - Dada a seção do pilar da figura _e sabendo-se que À = 100 pe­

de-se calcular o comprimento de flambagem tf.

120

l40

1 20 1 1� 'p

i ·-·-·+

40 !f

(medidos em cm)

f11s/27] - Quai o máximo

normal esteja

t do pilar BC (aço 37) de forma que a tensão

na iminência de atingir ªft' Usar NB-14.

ttf / m _.......,.........,..�-r-,---,-r-,--r-,----r,-.-T-.----i,.----.-,-,-r-,-,-.--,-r,:-,-.-r.--r-.---r-rr,m '--1111 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 � li 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 li, 1

tlm 2m 3m

� 10cm +

r:: - - - -1

1 1 1

( secão do , pltor)

o N

1 t = constante = t cm

1,

e ,------�

f 10cm

t

----·

A 1

--

T

- = ---

[115/281. - Qual o máximo valor da distância a para que a carga de 30 tf seja admissível?

DADOS

Seção das colunas AB, CD

10cm

2,4m

t 1 1

10 l I t

B D Material = aço

3m Usar dados da NB-14.

(115/29]- Escolher o perfil I adequado para cons­

truir a coluna da figura.

Observação:

1) Usar fÕrmula de Euler com coeficiente de segurança 2.

2) Verificar a validade da fÕrmula de Euler,

3) Tendo escolhido o perfil, fazer uma verificaçio pela KB-14,

Determinar a carga admissível na treliça,

~/2

1') aço: 37

2 2) a= 1,2 tf/cm

3) - da barra seçao

com ~ = 8,0 cm

-

Q = 4 m

sendo dados:

BC -+ circular,

4) seçao das outras barras -+

i/2 s 9 2

= cm

5) ,Q, = 3, 00 m

OBS.: Usar as fórmulas da NB-14.

Calcular o valor de a para que- a coluna esquematizada na figura tenha a mâximã capacidade de carga possível. Devi­do a problemas construtivos e outros, devemos ter O<a<40e. Para esse valor_ de a calcular a carga admiss!vel usando f;rmulas da NB-14. -

Seção tronBVtrsol.

4,0m

Uma coluna de peroba rosa com a seção dada abaixo, estã su jeita a uma carga P e � articulada em ambas as extremida-­des. Pede-se esta carga sabendo-se que:

1) o comprimento total da coluna =

= 12 m.

2) na direção do eixo yy a colunaesta contraventada ao meio.

3) na direção do eixo xx a colunaesta contraventada de 3 em 3m.� 2

4 ) ·a == 8 5 k g f / cm c

2 E = 94250 kgf/cm

[115/33] - A coluna da figura, contraventada 1�

teralmente e articulada em suas ex­

tremidades, recebe uma carga de 24t.

Determinar o comprimento da coluna,

sabendo que ela i feita de ferro fun

dido. Utilizar coeficiente de segura�

ça 1igual a 4,

OBS.: O < À < 80 utilizar TETr�JER

À > 80 utilizar EULER

X

oontrovtntomtn t@

StpÕo 4 x 12 em

.! -��rn...it _!. __

T y

--

Dim~nsionar a barra AB de seção

circular, para que o sistema es

trutural resista ã máxima carga

P possível de ser aplicada.

A barra CD ê de seção quadrada

de 6,0 x 6,0 cm.

OBS.: Utilizar as fÔrmulas

NB-14.

B

o

D

e .. -

,\

As barras AB e CD -sao de aço com~= 1200 kgf/cm 2

[115/35] - A barra cuja seção ê mostrada abaixo, e constituída de un, material com as seguintes características:

1) Diagrama tensão

2) Valor do !ndice haver flambagem

x deformação

de esbeltez a partir do qual começa a (À= 50).

3) No trecho onde ocorre flambagem plástica a relação en­tre crf~xÀ ê linear.

______________ e

+- 6 em -+----h 1 cm

Determinar P para~ =

= 80 com coeficiente

de seguranças= 2.

0 e

0 p

= tensão de escoamen 2 to= 2000 kgf/crr

= tensão de propor

cionalidade = 2

= 1600 kgf/cm

E= 2.000 000 kgf/crn 2

(Ll5/3~ - Os extensômetros A e B estao colados na

superf!cie da barra da figura corno indi~

cado. A carga P cresce desde zero atê

seu valor crítico. 1

Esboçar os gráficos das deformações me­

didas por A e Bem função de P. A 1 1 1 a

1 .

1

p

t1° ~

[115/37] - Para a coluna da figura abaixo, determinar o ângulo ex de modo

que a perda da estabilida-

de ocorra do mesmo tempo

----

segundo as direç5es princi

pais.

Para esse a, determinar o

..l:5m P,

1115/38] - 1) As colunas da figura serão de um material elástico,

E= 1,500,000 kgf/cm2. qual o coeficiente de segurança

do em relação à tensão crítica de flambagem.

com

usa

2) Se as colunas forem de aço (NB-14), qual a margem extra de

segurança, em relação às tens6es admissíveis (de flambage�.

. p=lôtf/m

l 1 ! 1 1 1 r 11 1 l PI I l 1 1 1 1 1 i 1 1 1 11 11111

IOlC 10 cm 015cm

2 4m 4m

Urna coluna ê construida com 3 tâbuasde peroba rosa, formando a seção dáfigura. Considerando a coluna articulada nas duas extremidades:

-

1) a partir de qual comprimento hãperigo de flambagern? Qual ê a carga admissível para uma coluna desse comprimento?

2) a partir de qual comprimento pas­sa a valer a fórmula de EULER? Qual é a carga admissível então?

OBS.: Usar as fórmulas da NB-11.

IOx 10cm

2m

2,20m

1

14,00m 1

1

-ij l __?,

5

2 ·-·,-·-· 2

1

1

-t- 30 ______ t_ ?fe = 8 5 kgf/em2

E = 94 250 kof /cnf

r

---~---- ----------------

lL15/39J-~ I' --- 1 -~-s o ,..,

1

{115/40]- Pede-se .determinar o valor da carga 1' aplicada na viga de

peroba rosa da figura, nos seguintes casos:

1) A carga t. ê de tração e estâ aplicada no ponto A da se

ção transversal.

2) A carga N ide compressão e esti aplicada no centro de

gravidade da secção transversal.

são dados: E == 94250 J,gf/cp, 2

ªe = (tensão admissível de tração) = 200 kff/cm 2

a = (tensão admissi~el de compressão)=85kgf/cm2 c

1 t

plano de 1 slmttrlo

1 80 cm ' i. 11,25

(1.15/41) - Consi<lera~do várias barras de aço com a

mesma seçao da figura, mas diferentes

comprimentos 1ft' çual ê o valor li~ite

de tf! no qual a f;rmula de Euler perde

sua aplicabilidade,

(115/42}- Quantos contr'aventos devem ser

usados para que a carga P seia a

máxima possivel? Qual ê a carga

P nesse caso? (a~o 37).

1 1

10cm

1 10 cm 1

E , u : 1

... 1c_m_,,_~ _,._f __ 20_c_m_~--t--: l_c_m

-+-

(115/431 - Determinar a carga máxima admissível para a estrutura abaixo.

E= 2000 tf/cm2

2 a= 1,2 tf/cm

Obs.: Utilizar,para as barras comprimidas, os valores de a dados pela

NB-14.

O ponto D está contraventado lateralmente.

[115/44) - Calcular o máximo valor de P nas seguintes situações:

_._._2=-c m

z p CG

'----+----' �. rz cm

y

�.,_+

a) 9, = 2 m

b) ,Q, = 4 m

Obs.: a cantoneira ê

de aço 37.

[115/45] - Uma certa liga de alumínio tem o regime plástico de flambagem no intervalo 18,5 < À < 64. Nesse intervalo a tensão crítica ê dada por:

ªft = 3150 - 22 À (kgf/cm)

A coluna da figura tem a seção indicada e ê feita com o mate­rial citado. Usando fator de segurança 4, determinar a carga axial admissível (P).

2.5ct-

t4 cm

/ 2 j 4 em

1

2..5 5 em .5

4 em

250 cm

1'

5cm

l 1 - [

~,__ 1 .....

__ ,...,._

7

1

2

[115/4aj - Dada a coluna de pinho do paraná,

E= 105225 kgf/cm 2

sendo cr = 51 kgf/cm 2 c

15 em

a) Calcular p para

b) A partir de qual

c) Abaixo de qual 9,

flambagem

9, = 2m

9, vale - hâ nao

p ~-1

Euler ,..... __ ~,5Cffl

25 cm 15 cm

{115/47) - Calcular a carga admissível P. DADOS:

a= 1,2 tf/cm 2

E= 2100 tf/cm 2

Barra BC: circular com d=3,&cm

Obs: Estrutura em aço

Medidas em cm

'A ; ;+---------...-tg ~

1 e ~êt----------.... , D

(115/48] - Calcular o valor da carga admissível P da estrutura abaixo.

Dados: a= 50cm

flecha na porta do balanço: f 3 = p,\>, /3EJ

Barras AB e CD Barra BD

21x~6 -21~0 6 2. / . 2 E N/cm E = N cm =

15xl0 3 ') 3 2 N/cm t.. N / cm a .- a = 21xl0 4 e

J1= 11500cm Àl. = 100 i m

s = coef. de segurança = 3

A i p

Barras BD Barras AB e CD

z 34 cm

1cm

D e 1 cm1l6cm H, cm

t o +

2g t yi

{LlS/49)- Sobre a viga prisniatica da figura(!) seção indicada na

figura® está aplicada uma carga P no meio do vão. Pre­

tendendo-se aumentar o valor da carga P, ê coloGada uma

escora metálica conforme figuraG)

ta.o

I.S Cffl

Pede-se determinar:

a) O valor da carga P sem escora para que não sejam ultra - - 2 passadas as tensões admissíveis da viga - cr = 12 00kgf/cm

b) ô valor da carga P com escora, para que o coeficiente

de segurança da escora seja 3. Seçao transversal da es­

cora também figura 2.

c) O deslocamento vertical do ponto c (item b).

d) As tensões máximas na viga no caso do item b.

são dados:

v''º"º de

carga

1 1

1 2 cm

E = 21000 tf/cm 2 t = 4,0 w h = 4, Or.-:aço

Para À< 105 + ªft = 1 2 00 - 0,023 A 2

À > 105

Al t12

+ ªu,

=

(t; '2.

e

FIG.

2 2 TI E/3�

FIG. 2

-- -----------"-�- --- --

(11 s Is o] - Calcular a carga admissível P, sendo dado:

- 2 2o= 1,2 tf/cm e E= 2 100 tf/cm

Para a barra comprimida usar as da NB-14.

1/)1

-1_,

1 1 f() U)

--

B

8

10

me-d idas em cm

t

h ,;escora

FIG. 3

- ~· ----------

1

1

f ~

il ,] ~ ~ A T

1

~ - A carga Pê admissível. Determinar uma forma de contraventa­

mento, a fim de que se possa dobrar a carga P. A seção da barra ê composta de quatro perfis "U" iguais, con

forme a figura 1. Este perfil "U" ê mostrado na figura 2.

DADOS DO PERFIL "U":

h = 30,5 cm

J = 5370 x-x cm 4

b = 7,47 cm

J = 161,1 y-y

OBS.: Utilizar a NB-14

1

1 l 1

4 cm

1!5 m 11 1 1 . l

figura 1

obs:Utillzor o NB-14

S = 39, 1

X= 1,77

)(

figuro j 2

2 cm

cm

(ârea)

~15/52)- A coluna de aço da figura será cravada no terreno atraves da

aplicação de uma carga crescente P (a partir do valor zero),

aplicada centrada na extremidade superior. Sabendo-se que o

terreno reage linearmente ã penetração segundo a expressão

K~x (K = 500 kgf/cm), determinar o máximo comprimento a ser

cravado óx para que esteja garantida a segurança contra a

flambagem segundo a NB-14.

E o IJ)

o f()

CORTE B-8

t = con st.

1,0cm

30cm

(115/53] - Para a estrutura da figura, a carga N pode ser de compressao

ou tração em relação à chapa ABC. Pede-se os máximos valores

de N de tração e compressão de modo que as tensões na estru­

tura sejam admissíveis.

N j_ D

1 1m

1 B

3m lm

1

17m E : 2 100 tf

E 1

1 cm

2cm

20cm

2om

4cm

2cm

seçcfo transversal

coluna BE

Hcão transvenal

chapa ABCD

2Obs,: O material da coluna BE segue a NB-14 +a= 1200 kgf/cm

O material da chapa (ABCD) tem tensao admissível a = 1400kgf/crn '.i

i�lS/541- Para�= 1,5 m, calcular o valor admissível da carga P.

Para que a carga admissível seja o dobro da calculada, qual

deve ser o comprimento�?

Fazer o cálculo pela NB-14.

Material: aço

lf)

1

-+-------f--------,1-

E e.>

-1 \,f,.,Lf,~LI

(11s/ss) - Calcular o valor admissível da carga P, nos dois casos:

a) R- = O, 7 5 m

b) R- = 1,25 m

Fazer o cilculo pela NB-11

Material: madeira

r a = 126 kg/cm 2

c E ==

t

2 141000 kg/cm

15 cm

15

~15/561 - Determinar o valor admissível da carga P (uniformemente dis­

tribuída) sabendo-se que:

1) A chapa BCDF ê rígida.

2) As barras AB e DE tem seção transversal retangular de

3 x 4 cm.

3) A barra FG tem s~çao transversal circular de diâmetro 1-

gual a 7 cm.

4) O material das barras ê o aço (CA-24 ou 37) e segue a

NB-14.

E N

E D

\ 1,5 m j

1,5

4.0 m

G

-4~ 1

el 1

+

16� LISTA DE EXERCICIOS (L 16) DOS MA TE�IAIS RESISTENCIA

CALCULO DE DESLOCAMENTOS

�- Dada a estrutura ao lado,

pede-se:

1) Traçar os diagramas de

M, N, Q,

2) Calcular o deslocamen­

to do ponto A,

DADOS: EJ = constante

= 4, O m

OBS: A barra AB e inexten

sivel.

+--

2tf/m

ltf/m

EJ: cte.

D

� A estrutura da figura irá receber carga vertical uniforme­

mente distribuida p = 0,5 tf/m na barra BCD. Após esse car

regamento pretende-se anular a flecha no ponto C através

de um esforço horizontal no apoio móvel. Pede-se calcular

esse esforço.

B

A

�- Catcular o deslocamento

horizontal do apoio B,

sabendo-se que:

L

E = 2000 tf/cm2

Área da barra de S =2 = 10,0 cm

Chapas ACE e BCD

EJ • 2 ,0 108 tf/cm2

e

EJ = cte

4m

D

+-

E

D E

2,0m

4,o m

3,0m 3,0 m

1 1

,2 m "

1

,

+. -r

,

borro li

~- Para a estrutura abaixo, calcular o giro relativo da

barra 8-9

E 11 2100 tf/cm2

2tf

1,5 m 1,5 m 1,5 m

(Ll6/5J- As chapas AB e BCD for­

mam, entre si, inicial­

mente, um ângulo de 90°.

Apôs a aplicação da car

ga de 2 tf em e, qual

s~rã o novo ângulo entre

1,5 .m

as duas chapas? 6 m

EJ • 2 x 10 7 tf/cm2

2 S .. 2,0 cm

l,Sm

t e

2,0 m

4m

e

[116/6 )- Calcular o deslocamento vertical na extremidade E, e o

giro no apoio A.

DADO: 2 E'"' 100 tf/cm

2tf

J .. l 80000 4 cm J2 .. 40000 cm

ltf/m o.eu

J1

,. 1 I •

1 3,00m i

1

1

3,0om

1

·1

e

: 1

E

; 1 1 ' _ r--2, OOm -t--~~ 4,00 m --~ ---r-- 2, OOm _1 _ 1

1 1

1 1

2tf

4

-4-t-----•�.a.!,IO�ffi!!._._---+t---4..'...111L=.O..:.:.;m'---:---

---:-..,--�tf

h; @ -t---1 �--�----:-74U

� m 1

!

Calcular o giro da barra 2-3

sabendo-se que

2 S • 1 O cm

E .,. 2000 tf/cm ..

ltf/m

e j l t j j j j l v6 1 j ] D,-----_.,_____

e

Para o pórtico da figura,

calcular o deslocamento

horizontal do ponto Q e

4,0m

P= 3tf

4,0 m

__... ____ A

2.0m 4,0 m.

E}--+--- ---- - -- &ffi..

3,0

3,0

j 4.0m

4,0m

E

o giro relativo entre as

chapas ABC e CDE.

E .,. 200 tf/cm2

J '"' 105 crn4

Calcular o deslocame�

1to do apoio B, sendo,

dadas as cargas (ver

figura) e

J .. cm

2·10 cm

E ... 2000 tf/cm2

')

____ ".'." __ _

~ 1

4

~16/10)- A treliça foi montada com diagonais ri\'edindo 2,S2 m. QtÚ;il

a flecha no meio do vão? Indicar claramente o sentido da

flecha.

~50 11,50. j 1 t 1,50 1 1,50 t !._~O

t

- Determinar o deslocamento total

1,5 m

, 1,5cm

~ 1,50 t 1,50 1

t

)< /\

\ 2,50 m \

do ...

9. no p: 3 tf

E; .,. 2100 tf/cm 2

* Área de todas as barras 2 S = 3,0 cm

~16/l~ - Determinar o deslocamento horizontal do ponto D.

EJ,., constante

A o

B

p

i -~---- .,..c ___ o

1 '

a 1 :

-ª+ª-~-+-

\.1tf/m

[116/13} - Calcular o giro da

eli�tica no apoio A.

2tf

ll11llllJlll611'

®

---t--1 1

®

4m

4m

4 m

(116/141- A estrutura da figura, quando solicitada por um momento de

6 tfm no ponto B, apresenta no ponto A uma flecha de 6 mm.

Calcular a flecha no ponto B quando se aplica no ponto A

uma carga de 5 tf.

�.O m

-�----... A _________ .._,,:;;.-_-__ ..-)

6tf.m

,.A; ... - &mm-7<- 1 - - - - - - -,#::;:. 1

1 A'

:5,0 m 4, Om I l, 5 m --------.--------- +·-----

t 5tf f3'.__+__

i - --

f:? ....a.:.:lf' _________________ -::zL_�..::.......,-- -- -+-

/Ili//!//,;- - - - _ _ _ _ -� 8

/EJ • cte

Calcular o deslocamento

de aplicação da carga.

DADOS: J • 10000 cm4

vertical do ponto

E • 2100 tf/cm2

EJ • constante

-t-- - -- t------------------....,J' 2 t1

( ,,

-t----1

1 ....

------------ ... ------------- -- l

EJ Ili 2 X 10 7 tfcm 2

-- 1-) f 7/rtm

1

,

y rmrtr,1

~----~ ~-

'®'

1 -

----1

--- T :

-- ---~i- .

' r----~~

1

1

1

r.

/

1 'f#t'r,, ..J.l_

"iil7177

t \

.. - ~3.iOm_ 1.0 m '

j 1

J116/l6j - Determinar o deslocamento do ponto

B e a rotaçio em B,

DADOS: EJ • constante

2 sen cf>d<P • 1/2 (cj>- 1/2 sen2<f>)

2 sencf> cos<l> d cf> • 1/2 sen <f>

A

r

p ___.,. 18

1

t r 1

-+-1

[Ll6/1~ - D~terminar o deslocamento horizontal do ponto B e a rota­

çao em E.

DADOS: E• 2100 tf/cm2

ltf

B e

J .. 10 000 0,25 tf/m

o

4 cm

4m

1

3m 4m 4m t--t-----+--------+--------+- 1

!Ll6/laj - Calcular o deslocamento vertical do ponto c.

E .. 200 tf/cm2 J = 3,Sxl05cm4 EJ = constante

~A I

:Xe

+--2;. T --t -- 2m_

E16/19]- Calcular o desloca

mento horizontal

do ponto A (apoio

mÕvel).

E .. 2000 tf/cm2

J "" 10 6 cm4

. 2 S • 10 cm

1

t 2m

M = l ltf.m. o

5m

-1>-

, 3 m

ft16/20j - Calcular: a)

b)

DADOS:

deslocamento vertical do ponto 5

deslocamento vertical do ponto 3

3tf

5

E,.. 2100 tf/cm 2

Secção das barras ""

Cl:"'-------r.r------"""iJ

2 "" 5 cm

f116/2� - Calcular o deslocamen

to total do ponto e.

Desprezar o afeito da

força normal

10 7 2EJ ,.. 3 tfcm

� 2,0m

4

2,0m

2m

B

j 2,0m l 2,0 m

2m

e

�5 m

1,5m

º-t-

14m

\ '"

[116/2� - Determi�ar a distância vertical DF apôs a aplicação do

carregamento indicado.

8

2 E= 2000 tf/cm

J .. 20 000 cm4

E

4m f

2 m

tt f ,h;i

A

~

A

O. tf/m ~~,,

llfL '7'l'?7'mt'

j ,

l

E .,.

--,,-

Calcular o giro

ticulação B)

relativo entre as chapas AB e BCDÊ (na ar-

3 DADOS: E ,.. 2 • 10 2 tf/cm 4 cm 2s 1111 1, O tm

· Lôtt/m 2 tf i 1 1 t 11 l 1 I 11 1 1 t I f 1 11 i 1 1 11 t 1 1 11 11 11 111 f I l • i 111-t-"'

B

!5.0 m 3,0m

e o

EJ·

2,0

E o

vi

f16/24] - Calcular as tensões máximas no pÕrtico e no tirante da fig.

30cm t

15cm

--- -

P "" 0,3 tf

Desprezar o efeito da força

normal, no pórtico, no cál­

culo da deformação.

(Ll6/251- Calcular o deslo.camento vertical e o horizontal do ponto C

e� constante da mola

OBS.: O trecho BC i um quarto da circunferincia de raio a.

e

f:J CONSTANTE 1'1

� A <

l I

j l a a

11•:;,." ____ ,.,,,

_____ :::---·--------~-------- ------- -~------

--

· .... ~1-; _ _.I

· ~-6-cm·-'-l· --

o

1116/26)- Calcular o deslocamento vertical do ponto B.

7 2Para o trecho AB: EJ • 10 tf.cm

Para o trecho BC: EJ • 105 tf.cm 2

IOOthm '-

'

4ffl 1 +

1

2m ____f

(116/27) - Calcular o deslocamento horizontal nos casos I e II, do

ponto B.

r

G)

3m

E .,. 2 000 tf/cm 2

J"' 20000cm 4

t @

......... l------+-�m- - � .. E• 2000 tf/cm 2

S • .1 O cm 2

f116/2a} - D�terminar o deslocamento horizontal do ponto B e a rota­

çao em E.

DADOS: E• 2 100 tf/cm 2 J • 10 000 cm

0,25tf/m 1 tf

e D

4m

E

'\\\ 1

4m 4

, 4m

+ T

4

rn

~16/2~ - Calcular o deslocamento do nó 5.

· 2 2 E·• 2 000 Cf/cm. S • fO cm

4tf ~

1,5m

l,Sm

2

' 13u ---2~,0_m ~·-~

f116/3~ - Traçar diagramas de Momento Fletor.

P = 1tf/m

EJ = cte. 4m

2m 2m

[116/31]- Calcular a relação entre os deslocamentos verticais do poE_

to C das estruturas (D e @, sendo C o ponto médio de

BD

3m

0

e S= 10

2 em2

J = 2~104cm4

E= 2.100tf/em2

4m t 3m t i Jm

® l 2tl

e 10 em2

102 em4

2tf

E = 2..100 tf/em2

i 3m

(Ll6/32l- Calcular: a) deslocamento vertical do ponto D

b) deslocamento vertical do ponto E

2 EJ 1111 31250 tfcm P • 2tf K • 1 tf/çm

-1-. _50_cm _ __.j.-c-5_0_em -----i

0�50_c_m___,ld"""' I(

E IJ

o liO

l� l 6 / 3 31 T Calcular o giro em A.

4

4m

J "' 4000 cm

E .., 2100 tf/cm 2

/ ltf/m 12U

l�t�l-I ........ l ........ l ·· ........ 1 --,.-• -r.-tla(-.-t ....-l ...-+ �l -.--+ -.--1 .,......,* I_ ll!lllllllllilillllllllli1lllllll!lllllllllllillllillllllllllllillllllll-llllll!l!!lllllillllllllllillllllll-

2J 2J

2m 2m 2m

D

E

N

0,51.f/m

Traçar o diagrama de Momento

Fletor.

Â

4m i 2 m

A e B

1

l T T

(116/35]- Calcular o momento nó · engastam_entt> �

lp l· EJ= cte.

1

t 11

to o a 1 Q

t

(116/3� - Determinar o deslocamento total do ponto G.

E 2 000 tf/cm 2 r ...

J 103 4cm

s .. 1 2 R cm EJ= cte

p .. 2, O tf e E

R .. 100 cm R

A � F..,......-:

R 'R

'

fl6137j - Determinar o coeficiente k da mola para que o deslocamento

horizontal do ponto C seja nulo.

2 E ,.. 2 000 tf/cm

J ,.. 104 cm 4

�&_!n-��

4 Otf I O, 75m__,J..... -+-

i 2,om

o 10,75m

i 1, 5 m

J

1

D -

G i------1-,., t

_1 r

{116/3� - Determinar o valor admissível da carga P, sabendo que a

flecha máxima não deve ultrapassar 2 cm e que cr • l,4tf/cm

OBS.: 1) Utilizar NB-14 para a análise das barras comprimi

das. 2) Todas as barras possuem ... (S•4,64a mesma area

(2100 e mesmo E tf/cm)

3) Todos .. -impedidos de movimentarem os nos sao se

L,O m

4)

t,Om

ra do plano. J "" 6 ,60 cm 2

X

I.Om 1,0m

J • 14,53y

,JT 1,0 m

-+-

2 cm

y

y, l

f 1 16 / 3 9) - C a 1 eu lar o g ir o no a p o i o D •

EJ ""2 x 10 6 tfcm2 n/'l,2tf/m

r-rl l -rrl l"J l"J rrl l TT'7l l l'f

B e

0,6 tf

A Q_

2m 1 4m -+------+-- -�--+�

�16/40] - Determinar o_

deslocamento horizontal do ponto E

O trecho CD e rígido.

7.A;,,:

;,

2 cm

� l, Om

B

e

ts- 1 ..

E• 2 000 tf/cm 2

cm

E l,Otf

D

2,0m

3m

2 cm)

fo-

2 cm

2

L li/2~ ,112"x l/811

,-----<1) -- •

L O,B tf ----- .

4

/

/

r

Calcular o deslocamento horizontal do ponto F,

DADOS: EJ = 2 x 10 7 tfcm 2

,.,

ES = 4 x 10 .) tf

-

mesma seçao transversPl,

A

3,0m

(116/421 Dados EJ = 10 7 tfcm

para toda a viga e

a constahte el3sti

ca e da mola.

Determinar o giro

da estrutura no po�

to A.

OBS.: Desprezar a

cortante e a normal

_na chapa A BCDE.

e

0,5 tf/m

2tf

j N O,S U/m

6,0m -Jlf

0,4tf/m

2,0m

E ,..... __ ... D

3,0m

e

0,4tf

Determinar o desloca 4m 4m ------------+-

menta vertical do

ponto e.

2 E = 2000 tf/cm ;

J = cte para a� colunas

AB e DE = 10 4 crn

4

S = cte para todas as

barras da treliça = 25cm

B cJ 3,6 tf

1 ! 1

/ I

/