EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO · cálculos todas as justificações que tiver de efectuar e...

V.S.F.F.435.V1/1

PROVA 435/11 Págs.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto)

Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos

Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE2003 2.ª CHAMADA VERSÃO 1

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA

VERSÃO 1

Na sua folha de respostas, indiqueclaramente a versão da prova.

A ausência desta indicação implicará aanulação de todo o GRUPO I.

435.V1/2

A prova é constituída por dois Grupos, I e II.

• O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla.

• O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta, algumasdelas subdivididas em alíneas, num total de onze.

Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que,para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto daprova, em conjunto com esta folha.

V.S.F.F.435.V1/3

Grupo I

• As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letraseleccionar para responder a cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmoacontecendo se a letra transcrita for ilegível.

• .Não apresente cálculos, nem justificações

1. Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico de uma função

par, de domínio e contradomínio ?‘ Ó �_ß !Ó

(A) (B)

(C) (D)

435.V1/4

2. Na figura está representado, em referencial o.n.BSC EF, um arco de circunferência , decentro na origem do referencial.

O ponto move-se ao longo desse arco.U

Os pontos e , situados sobre os eixosT VSB SC e , respectivamente, acompanham omovimento do ponto , de tal forma que oUsegmento de recta é sempre paralelo aoÒTUÓeixo e o segmento de recta éSC ÒUVÓsempre paralelo ao eixo .SB

Para cada posição do ponto , seja aU Bamplitude do ângulo e seja a áreaESU 2ÐBÑda região sombreada.

Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função ?2

(A) (B)

(C) (D)

3. Indique o valor de limBÄ!�

log#B

/ � "B

(A) (B) (C) (D)! " �_ �_

V.S.F.F.435.V1/5

4. Na figura junta está representada parte dográfico de uma função de domínio ,0 ‘

contínua em todo o seu domínio.

A bissectriz dos quadrantes pares e abissectriz dos quadrantes ímpares sãoassimptotas do gráfico de .0

Indique em qual das figuras seguintespode estar representada parte do gráficoda função definida por1

1ÐBÑ œ0ÐBÑB

(A) (B)

(C) (D)

5. O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é ."* '!!

A soma dos quatro primeiros números dessa linha é .#! )('

Qual é o terceiro número da ?linha seguinte

(A) (B) (C) (D)" #(& " &)" # "*$ # '$%

435.V1/6

6. Um saco contém bolas azuis, brancas e pretas.

Tira-se, ao acaso, uma bola do saco.

Sejam os acontecimentos:

a bola retirada é azulE �

a bola retirada é brancaF �

Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) (B) E F E F e são contrários e são contrários

(C) (D) E F E F e são incompatíveis e são incompatíveis

7. Considere, em , a condição:‚

lDl Ÿ $ • ! Ÿ +<1 D Ÿ • V/ D "1

%

Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto

de pontos definido por esta condição?

(A) (B)

(C) (D)

V.S.F.F.435.V1/7

Grupo II

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos oscálculos todas as justificações que tiver de efectuar e necessárias.

Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o exacto.

1. ‚ é o conjunto dos números complexos; designa a unidade imaginária.3

1.1. Sem recorrer à calculadora, determine Ð $� # 3Ñ # -3=

-3=

È Š ‹#$

1

*

$#1

apresentando o resultado na forma algébrica.

1.2. Seja um número real.!

Sejam e dois números complexos tais que:D D" #

• D" œ -3= !• D# œ �-3= a b! 1

Mostre que e não podem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo númeroD D" #

complexo.

2. Considere a expressão 0ÐBÑ œ + � , Bsen#

Sempre que se atribui um valor real a e um valor real a , obtemos uma função de+ ,domínio .‘

2.1. Nesta alínea, considere e .+ œ # , œ � &

Sabe-se que . , calcule tg ) œ"# Sem recorrer à calculadora 0Ð Ñ)

2.2. Para um certo valor de e um certo valor+

de , a função tem o seu gráfico, 0 parcialmente representado na figura junta.

Conforme essa figura sugere, tem-se:

• o contradomínio de é 0 Ò � $ß "Ó

• e são maximizantes! 1

• e são minimizantes�1 1

# #

Determine e .+ ,

435.V1/8

3. Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, e , distanciadasE Fde 10 metros, como se mostra na figura.

Considere a função definida por2

2ÐBÑ œ "& � % Ð � B � "! B � ""Ñ /ln ln# ( designa logaritmo de base )

Admita que é a altura, em metros, do ponto da rampa situado metros à direita da2ÐBÑ Bparede .E

3.1. Determine a altura da parede Apresente o resultado em metros, arredondadoEÞàs décimas.

: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, noNotamínimo, três casas decimais.

3.2. Sem recorrer à calculadora, estude a função quanto à monotonia e conclua daí2que, tal como a figura sugere, é num ponto equidistante das duas paredes que aaltura da rampa é mínima.

3.3. Mostre, analiticamente, que .2 2Ð& � BÑ œ Ð& � BÑ Interprete esta igualdade no contexto da situação descrita.

4. De uma função , de domínio , sabe-se que a sua derivada é dada por0 ‘

0 ÐBÑ œ ÐB � "Ñ � "! Bw/B

Seja o único ponto de inflexão do gráfico de .E 0

Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto ,Earredondada às décimas.

Explique como procedeu. Inclua, na sua explicação, o(s) gráfico(s) que obteve nacalculadora.

V.S.F.F.435.V1/9

5. O sangue humano está classificado em quatro grupos distintos: , , e .E F EF S

Independentemente do grupo, o sangue pode possuir, ou não, o factor Rhésus.

Se o sangue de uma pessoa possui este factor, diz-se Rhésus positivo (Rh ); se não�

possui este factor, diz-se Rhésus negativo (Rh ).�

Na população portuguesa, os grupos sanguíneos e os respectivos Rhésus estão repartidosda seguinte forma:

E F EF S%! ' * # * $& %' & " # ! % ' (

Rh % % % %Rh % % % %

�

�

, , ,, , , ,

5.1. Escolhido um português ao acaso, qual é a probabilidade de o seu grupo sanguíneonão ser o ? S Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado àsunidades.

5.2. Escolhido um português ao acaso, e sabendo que é Rhésus negativo, qual é aprobabilidade de o seu grupo sanguíneo ser o ?E Apresente o resultado sob aforma de percentagem, arredondado às unidades.

6. Considere o seguinte problema:

Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá,verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com dez lugares consecutivos emcada uma delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente,cinco jovens irão ficar sem bilhete.

Qual é a probabilidade de uma das filas ficar ocupada só com rapazes e a outra só comraparigas?

Uma resposta correcta para este problema é: "# "$

"! "!

#&#!

G ‚ G ‚#‚"! x‚"! xG ‚#! x

Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique .esta resposta Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos:

• referência à Regra de Laplace;

• explicação do número de casos possíveis;

• explicação do número de casos favoráveis.

FIM

435.V1/10

COTAÇÕES

Grupo I 63....................................................................................................

Cada resposta certa .......................................................................... +9 Cada resposta errada......................................................................... - 3 Cada questão não respondida ou anulada ........................................ 0

Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.

Grupo II 137 .................................................................................................

1. ............................................................................................ 21 1.1. ................................................................................11 1.2. ................................................................................10

2. ............................................................................................ 30 2.1. ................................................................................15 2.2. ................................................................................15

3. ............................................................................................ 38 3.1. ................................................................................. 6 3.2. ................................................................................16 3.3. ................................................................................16

4. ............................................................................................ 16

5. ............................................................................................ 16 5.1. ..................................................................................6 5.2. ................................................................................10

6. ............................................................................................ 16

TOTAL 200 ..................................................................................................

435.V1/11

FormulárioÁreas de figuras planas

Losango: H3+198+67+39<‚H3+198+67/89<

#

Trapézio: F+=/7+39<�F+=/7/89<#

‚E6>?<+

Polígono regular: Semiperímetro Apótema‚

Círculo: 1 ( )< <# � <+39

Áreas de superfíciesÁrea lateral de um cone: 1 < 1( )< 1� �raio da base geratriz;

Área de uma superfície esférica: % <1#

( )<� raio

VolumesPrisma: Área da base Altura‚

Cilindro: Área da base Altura‚

Pirâmide: "$‚ Área da base Altura‚

Cone: "$‚ Área da base Altura‚

Esfera: %$

$1 ( )< <� raio

Trigonometriasen sen cos sen cosÐ+ � ,Ñ œ + Þ , � , Þ +

cos cos cos sen senÐ+ � ,Ñ œ + Þ , � + Þ ,

tg Ð+ � ,Ñ œtg tg

tg tg+� ,

"� + Þ ,

Complexosa b a b a b3 ) 3 ) 3 3 ) )-3= Þ -3= œ -3= �w w w w

3 ) 3

3 ) 3

-3=-3=w w wœ -3= �a b) ) w

a b3 ) 3 )-3= œ -3= Ð8 Ñ8 8

È È8 83 ) 3-3= œ -3= ß 5 − Ö!ß ÞÞÞß 8 � "×) 1�#5

8

Progressões

Soma dos primeiros termos de uma8

Prog. Aritmética: ? �?

#

" 8 ‚ 8

Prog. Geométrica: ? ‚""� <

"� <

8

Regras de derivação

Ð? � @Ñ œ ? � @w w w

Ð?Þ@Ñ œ ? Þ @ � ? Þ @w w w

ˆ ‰? ? Þ @ �? Þ @@ @

wœ

w w

#

Ð? Ñ œ 8 Þ ? Þ ? Ð8 − Ñ8 w 8�" w ‘

Ð ?Ñ œ ? Þ ?sen cosw w

Ð ?Ñ œ � ? Þ ?cos senw w

Ð ?Ñ œtg w ??

w

#cos

Ð Ñ œ ? Þ/ /? w w ?

Ð Ñ œ ? Þ Þ + Ð+ − Ï Ö"×Ñ+ +? w w ? �ln ‘

Ð ?Ñ œln w ??

w

Ð ?Ñ œ Ð+ − Ï Ö"×Ñlog +w �?

? Þ +

w

ln ‘

Limites notáveis

limBÄ!

senBB œ "

limBÄ!

/ �"B

B

œ "

limBÄ!

ln ÐB�"ÑB œ "

limBÄ�_

/B

B

: œ �_ Ð: − Ñ ‘

V.S.F.F.435.V2/1

PROVA 435/11 Págs.



Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE2003 2.ª CHAMADA VERSÃO 2


VERSÃO 2

Na sua folha de respostas, indiqueclaramente a versão da prova.

A ausência desta indicação implicará aanulação de todo o GRUPO I.

435.V2/2

A prova é constituída por dois Grupos, I e II.

• O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla.

• O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta, algumasdelas subdivididas em alíneas, num total de onze.

Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que,para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto daprova, em conjunto com esta folha.

V.S.F.F.435.V2/3

Grupo I

• As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letraseleccionar para responder a cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmoacontecendo se a letra transcrita for ilegível.

• .Não apresente cálculos, nem justificações

1. Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico de uma função

par, de domínio e contradomínio ?‘ Ó �_ß !Ó

(A) (B)

(C) (D)

435.V2/4

2. Indique o valor de limBÄ!�

log#B

/ � "B

(A) (B) (C) (D)�_ �_ ! "

3. Na figura junta está representada parte dográfico de uma função de domínio ,0 ‘

contínua em todo o seu domínio.

A bissectriz dos quadrantes pares e abissectriz dos quadrantes ímpares sãoassimptotas do gráfico de .0

Indique em qual das figuras seguintespode estar representada parte do gráficoda função definida por1

1ÐBÑ œ0ÐBÑB

(A) (B)

(C) (D)

V.S.F.F.435.V2/5

4. Na figura está representado, em referencial o.n.BSC EF, um arco de circunferência , decentro na origem do referencial.

O ponto move-se ao longo desse arco.U

Os pontos e , situados sobre os eixosT VSB SC e , respectivamente, acompanham omovimento do ponto , de tal forma que oUsegmento de recta é sempre paralelo aoÒTUÓeixo e o segmento de recta éSC ÒUVÓsempre paralelo ao eixo .SB

Para cada posição do ponto , seja aU Bamplitude do ângulo e seja a áreaESU 2ÐBÑda região sombreada.

Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função ?2

(A) (B)

(C) (D)

5. O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é ."* '!!

A soma dos quatro primeiros números dessa linha é .#! )('

Qual é o terceiro número da ?linha seguinte

(A) (B) (C) (D)# '$% # "*$ " &)" " #(&

435.V2/6

6. Um saco contém bolas azuis, brancas e pretas.

Tira-se, ao acaso, uma bola do saco.

Sejam os acontecimentos:

a bola retirada é azulE �

a bola retirada é brancaF �

Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) (B) E F E F e são incompatíveis e são incompatíveis

(C) (D) E F E F e são contrários e são contrários

7. Considere, em , a condição:‚

lDl Ÿ $ • ! Ÿ +<1 D Ÿ • V/ D "1

%

Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto

de pontos definido por esta condição?

(A) (B)

(C) (D)

V.S.F.F.435.V2/7

Grupo II

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos oscálculos todas as justificações que tiver de efectuar e necessárias.

Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o exacto.

1. ‚ é o conjunto dos números complexos; designa a unidade imaginária.3

1.1. Sem recorrer à calculadora, determine Ð $� # 3Ñ # -3=

-3=

È Š ‹#$

1

*

$#1

apresentando o resultado na forma algébrica.

1.2. Seja um número real.!

Sejam e dois números complexos tais que:D D" #

• D" œ -3= !• D# œ �-3= a b! 1

Mostre que e não podem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo númeroD D" #

complexo.

2. Considere a expressão 0ÐBÑ œ + � , Bsen#

Sempre que se atribui um valor real a e um valor real a , obtemos uma função de+ ,domínio .‘

2.1. Nesta alínea, considere e .+ œ # , œ � &

Sabe-se que . , calcule tg ) œ"# Sem recorrer à calculadora 0Ð Ñ)

2.2. Para um certo valor de e um certo valor+

de , a função tem o seu gráfico, 0 parcialmente representado na figura junta.

Conforme essa figura sugere, tem-se:

• o contradomínio de é 0 Ò � $ß "Ó

• e são maximizantes! 1

• e são minimizantes�1 1

# #

Determine e .+ ,

435.V2/8

3. Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, e , distanciadasE Fde 10 metros, como se mostra na figura.

Considere a função definida por2

2ÐBÑ œ "& � % Ð � B � "! B � ""Ñ /ln ln# ( designa logaritmo de base )

Admita que é a altura, em metros, do ponto da rampa situado metros à direita da2ÐBÑ Bparede .E

3.1. Determine a altura da parede Apresente o resultado em metros, arredondadoEÞàs décimas.

: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, noNotamínimo, três casas decimais.

3.2. Sem recorrer à calculadora, estude a função quanto à monotonia e conclua daí2que, tal como a figura sugere, é num ponto equidistante das duas paredes que aaltura da rampa é mínima.

3.3. Mostre, analiticamente, que .2 2Ð& � BÑ œ Ð& � BÑ Interprete esta igualdade no contexto da situação descrita.

4. De uma função , de domínio , sabe-se que a sua derivada é dada por0 ‘

0 ÐBÑ œ ÐB � "Ñ � "! Bw/B

Seja o único ponto de inflexão do gráfico de .E 0

Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto ,Earredondada às décimas.

Explique como procedeu. Inclua, na sua explicação, o(s) gráfico(s) que obteve nacalculadora.

V.S.F.F.435.V2/9

5. O sangue humano está classificado em quatro grupos distintos: , , e .E F EF S

Independentemente do grupo, o sangue pode possuir, ou não, o factor Rhésus.

Se o sangue de uma pessoa possui este factor, diz-se Rhésus positivo (Rh ); se não�

possui este factor, diz-se Rhésus negativo (Rh ).�

Na população portuguesa, os grupos sanguíneos e os respectivos Rhésus estão repartidosda seguinte forma:

E F EF S%! ' * # * $& %' & " # ! % ' (

Rh % % % %Rh % % % %

�

�

, , ,, , , ,

5.1. Escolhido um português ao acaso, qual é a probabilidade de o seu grupo sanguíneonão ser o ? S Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado àsunidades.

5.2. Escolhido um português ao acaso, e sabendo que é Rhésus negativo, qual é aprobabilidade de o seu grupo sanguíneo ser o ?E Apresente o resultado sob aforma de percentagem, arredondado às unidades.

6. Considere o seguinte problema:

Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá,verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com dez lugares consecutivos emcada uma delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente,cinco jovens irão ficar sem bilhete.

Qual é a probabilidade de uma das filas ficar ocupada só com rapazes e a outra só comraparigas?

Uma resposta correcta para este problema é: "# "$

"! "!

#&#!

G ‚ G ‚#‚"! x‚"! xG ‚#! x

Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique .esta resposta Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos:

• referência à Regra de Laplace;

• explicação do número de casos possíveis;

• explicação do número de casos favoráveis.

FIM

435.V2/10

COTAÇÕES

Grupo I 63....................................................................................................



Grupo II 137 .................................................................................................

1. ............................................................................................ 21 1.1. ................................................................................11 1.2. ................................................................................10

2. ............................................................................................ 30 2.1. ................................................................................15 2.2. ................................................................................15

3. ............................................................................................ 38 3.1. ................................................................................. 6 3.2. ................................................................................16 3.3. ................................................................................16

4. ............................................................................................ 16

5. ............................................................................................ 16 5.1. ..................................................................................6 5.2. ................................................................................10

6. ............................................................................................ 16

TOTAL 200 ..................................................................................................

435.V2/11

FormulárioÁreas de figuras planas

Losango: H3+198+67+39<‚H3+198+67/89<

#

Trapézio: F+=/7+39<�F+=/7/89<#

‚E6>?<+

Polígono regular: Semiperímetro Apótema‚

Círculo: 1 ( )< <# � <+39

Áreas de superfíciesÁrea lateral de um cone: 1 < 1( )< 1� �raio da base geratriz;

Área de uma superfície esférica: % <1#

( )<� raio

VolumesPrisma: Área da base Altura‚

Cilindro: Área da base Altura‚

Pirâmide: "$‚ Área da base Altura‚

Cone: "$‚ Área da base Altura‚

Esfera: %$

$1 ( )< <� raio

Trigonometriasen sen cos sen cosÐ+ � ,Ñ œ + Þ , � , Þ +

cos cos cos sen senÐ+ � ,Ñ œ + Þ , � + Þ ,

tg Ð+ � ,Ñ œtg tg

tg tg+� ,

"� + Þ ,

Complexosa b a b a b3 ) 3 ) 3 3 ) )-3= Þ -3= œ -3= �w w w w

3 ) 3

3 ) 3

-3=-3=w w wœ -3= �a b) ) w

a b3 ) 3 )-3= œ -3= Ð8 Ñ8 8

È È8 83 ) 3-3= œ -3= ß 5 − Ö!ß ÞÞÞß 8 � "×) 1�#5

8

Progressões

Soma dos primeiros termos de uma8

Prog. Aritmética: ? �?

#

" 8 ‚ 8

Prog. Geométrica: ? ‚""� <

"� <

8

Regras de derivação

Ð? � @Ñ œ ? � @w w w

Ð?Þ@Ñ œ ? Þ @ � ? Þ @w w w

ˆ ‰? ? Þ @ �? Þ @@ @

wœ

w w

#

Ð? Ñ œ 8 Þ ? Þ ? Ð8 − Ñ8 w 8�" w ‘

Ð ?Ñ œ ? Þ ?sen cosw w

Ð ?Ñ œ � ? Þ ?cos senw w

Ð ?Ñ œtg w ??

w

#cos

Ð Ñ œ ? Þ/ /? w w ?

Ð Ñ œ ? Þ Þ + Ð+ − Ï Ö"×Ñ+ +? w w ? �ln ‘

Ð ?Ñ œln w ??

w

Ð ?Ñ œ Ð+ − Ï Ö"×Ñlog +w �?

? Þ +

w

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Limites notáveis

limBÄ!

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limBÄ!

/ �"B

B

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limBÄ!

ln ÐB�"ÑB œ "

limBÄ�_

/B

B

: œ �_ Ð: − Ñ ‘

V.S.F.F.435/C/1

PROVA 435/C/28 Págs.



Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE2003 2.ª CHAMADA


COTAÇÕES

Grupo I 63....................................................................................................



Grupo II 137 .................................................................................................

1. ............................................................................................ 21 1.1. ................................................................................11 1.2. ................................................................................10

2. ............................................................................................ 30 2.1. ................................................................................15 2.2. ................................................................................15

3. ............................................................................................ 38 3.1. ................................................................................. 6 3.2. ................................................................................16 3.3. ................................................................................16

4. ............................................................................................ 16

5. ............................................................................................ 16 5.1. ..................................................................................6 5.2. ................................................................................10

6. ............................................................................................ 16

TOTAL 200 ..................................................................................................

435/C/2

CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO

Grupo I

Deverão ser anuladas todas as questões com resposta de leitura ambígua (letraconfusa, por exemplo) e todas as questões em que o examinando dê mais do que umaresposta.

As respostas certas são as seguintes:

Questões 1 2 3 4 5 6 7Versão 1Versão 2

D B C A A C BC A C D D B C

Na tabela seguinte indicam-se os pontos a atribuir, no primeiro grupo, em função donúmero de respostas certas e do número de respostas erradas.

Resp. erradas 0 1 2 3 4 5 6 7Resp. certas

012345

0 0 0 0 0 0 0 0 9 6 3 0 0 0 0 18 15 12 9 6 3 27 24 21 18 15 36 33 30 27 45 42 39 54 51 63

67

Grupo II

Critérios gerais

1. A cotação a atribuir a cada alínea deverá ser sempre um número inteiro, não negativo, depontos.

2. Se, numa alínea em que a respectiva resolução exija cálculos e/ou justificações, oexaminando se limitar a apresentar o resultado final, deverão ser atribuídos zero pontos aessa alínea.

3. Algumas questões da prova podem ser correctamente resolvidas por mais do que umprocesso. Sempre que um examinando utilizar um processo de resolução não contempladonestes critérios, caberá ao professor classificador adoptar um critério de distribuição dacotação que julgue adequado e utilizá-lo em situações idênticas.

V.S.F.F.435/C/3

4. Existem alíneas cuja cotação está subdividida pelas etapas que o examinando devepercorrer para as resolver.

4.1. Em cada etapa, a cotação indicada é a máxima a atribuir.

4.2. Caso a resolução da etapa esteja incompleta, ou contenha incorrecções, cabe aoclassificador decidir a cotação a atribuir a essa etapa, tendo em conta o grau deincompletude e/ou a gravidade dos erros cometidos. Por exemplo:- erros de contas ocasionais devem ser penalizados em um ponto;- erros graves, que revelem desconhecimento de conceitos, regras ou propriedades,

devem ser penalizados em, pelo menos, metade da cotação da etapa.

4.3. No caso de o examinando cometer um erro numa das etapas, as etapas subsequentesdevem merecer a respectiva cotação, desde que o grau de dificuldade não tenhadiminuído, e o examinando as execute correctamente, de acordo com o erro quecometeu.

4.4. Caso o examinando cometa, numa etapa, um erro que diminua o grau de dificuldadedas etapas subsequentes, cabe ao classificador decidir a cotação máxima a atribuir acada uma destas etapas. Em particular, se, devido a um erro cometido peloexaminando, o grau de dificuldade das etapas seguintes diminuir significativamente, acotação máxima a atribuir a cada uma delas não deverá exceder metade da cotaçãoindicada.

4.5. Pode acontecer que o examinando, ao resolver uma questão, não percorraexplicitamente todas as etapas previstas nos critérios. Todos os passos não expressospelo examinando, mas cuja utilização e/ou conhecimento estejam implícitos naresolução da questão, devem receber a cotação indicada.

5. Existem alíneas em que estão previstos alguns erros que o examinando pode cometer. Paracada caso, é indicada a cotação a atribuir. O examinando pode, contudo, utilizar um processonão contemplado nos critérios e/ou cometer um erro não previsto. Cabe ao classificadoradaptar as referências dadas a todas as situações não previstas.

6. Se, na resolução de uma alínea, o examinando utilizar simbologia, ou escrever umaexpressão, inequivocamente incorrecta do ponto de vista formal (por exemplo, se escrever osímbolo de igualdade onde deveria estar o símbolo de equivalência), deve ser penalizado emum ponto, na cotação total a atribuir a essa alínea. Esta penalização não se aplica no casoem que tais incorrecções ocorram apenas em etapas cotadas com 0 (zero) pontos.

7. Se, na resolução de uma alínea, o examinando não respeitar uma eventual instrução, relativaao método a utilizar (por exemplo, se o enunciado vincular o examinando a uma resoluçãoanalítica, sem calculadora, e o examinando a utilizar), a etapa da resolução em que se dá oreferido desrespeito bem como todas as subsequentes que dela dependam devem sercotadas com 0 (zero) pontos.

8. Tudo o que o examinando escrever fora de contexto e que não resulte de trabalho anterior(por exemplo, num exercício de probabilidades, a escrita de uma fracção que não tenha nadaa ver com o problema, ou, num exercício de estudo da monotonia de uma função, aapresentação de um quadro fora do contexto) deve ser cotado com 0 (zero) pontos. Todas asetapas subsequentes que dependam do que o examinando escreveu fora de contexto devemser igualmente cotadas com 0 (zero) pontos.

435/C/4

Critérios específicos

Para cada item são apresentados:

• a cotação total do item;

• para cada processo de resolução apresentado, uma subdivisão da cotação total em cotaçõesparcelares;

• exemplos de possíveis respostas dos examinandos, com a respectiva cotação a atribuir,devidamente explicada.

1.1. .............................................................................................................................. 11

Š ‹È È$ $� # 3 œ � " � % 3#

(ver nota 1)...........................................2 (1+1)

Š ‹# -3= œ ) -3=1 1

* $

$

(ver nota 2).....................................................2 (1+1)

) -3= $1

$ œ % % 3È (ver nota 3)................................................... 3 (1+1+1)

Simplificação do numerador ..................................................................................1

Divisão ............................................................................... 3 (1+1+1) (ver nota 4)

Notas:

1. A subdivisão da cotação indicada entre parênteses corresponde a:

Desenvolvimento do quadrado da diferença ............................... 1

Restantes cálculos .......................................................................1


Módulo ......................................................................................... 1

Argumento ................................................................................... 1


cos 1

$ #"

œ ...............................................................................1

sen 1

$ #$

œ .......................................................................... 1 È


V.S.F.F.435/C/5


Escrever o denominador na forma algébrica................................1

Multiplicar ambos os termos da fracção por ........................... 1 3 Restantes cálculos .......................................................................1

ou

Escrever o numerador na forma trigonométrica...........................1

Efectuar a divisão na forma trigonométrica..................................1

Escrever o resultado na forma algébrica......................................1

Exemplos de possíveis respostas dos examinandos

Exemplo 1

Ð $� # 3 Ñ � # -3=

-3=

È ˆ ‰# $

1

1

*

$

#

œ

œ œŠ ‹È È a b$ � % $ 3 � # 3 � ) -3=

� 3

## 1

$

œ œ

$� % $ 3 � % 3� ) � 3

� 3

È Œ �"

# #

#È

œ œ$� % $ 3 � % 3� %�% # 3

� 3

È È

œ(� % 3� % # 3 � % $ 3

� 3

È È

Cotação a atribuir: "Ð" !Ñ # Ð" "Ñ # Ð" ! "Ñ " " Ð" ! !Ñ œ (

435/C/6

Exemplo 2

Š ‹ Š ‹È Èˆ ‰ a b$� # 3 � # -3= $ � # 3 � ) -3=

-3= 3

# #$ #

1 1

1

* $

$

#

œ œ

œ œ œ

$� %�) � 3

3 3$� %�%�% $ 3

Œ � È"

# #

$È

œ œ œ""� % $ 3

3 3‚ � 3

""� % $ 3 ‚ � 3È Š ‹È a ba b

œ œ � % $ � "" 3�"" 3�% $

� 3

È#

È

Cotação a atribuir: "Ð! "Ñ # Ð" "Ñ $ Ð" " "Ñ " " Ð! " !Ñ œ )

Exemplo 3

Š ‹È ˆ ‰$� # 3 � # -3=

-3=

#$

1

1

*

$

#

œ

œ $ � #3 # -3= œa b Š ‹#$

1 1

* #$

�

œ $ %3 # -3= œŠ ‹ �#&")

1$

œ $ %3 # -3= œ �#&'1

œ $ %3 # 3 œŠ ‹cos sen �#& �#&' '1 1

œ $ %3 # � 3 œŒ �È$# #

"

œ $ %3 $ � 3 œÈœ $ $ $ 3È

Cotação a atribuir: !Ð! !Ñ " Ð! "Ñ $ Ð" " "Ñ " ! Ð! ! !Ñ œ &

V.S.F.F.435/C/7

1.2. .............................................................................................................................. 10

Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, três processos:

1.º Processo:

O examinando deverá referir que

• as representações geométricas das raízes cúbicas de um número complexosão vértices de um triângulo equilátero com centro na origem do referencial (ouafirmação equivalente),

• a diferença entre os argumentos de e é igual a ,D D" # 1

para concluir que e não podem ser raízes cúbicas de um mesmoD D" #

número complexo.

A resposta do examinando deve ser cotada de acordo com o seguinte critério:

O examinando refere os dois aspectos e conclui correctamente opretendido.............................................................................................................10

O examinando refere os dois aspectos, mas não conclui opretendido...............................................................................................................8

O examinando refere apenas o primeiro aspecto.................................................. 5

O examinando refere apenas o segundo aspecto..................................................2

2.º Processo:

D$"œ -3= $a b! ................................................................................................... 3

D$#œ -3= $ $a b! 1 ........................................................................................4

Justificar que e não são iguais ............................................................. 3 D D$ $

" #

3.º Processo:

D$"œ -3= $a b! ................................................................................................... 3

Calcular todas as raízes cúbicas de ................................................. -3= $a b! 5

Concluir que nenhuma delas é igual a ............................................................ D#

2

435/C/8


Exemplo 1

Para e serem raízes cúbicas de um complexo teria de ocorrer um salto de para D D D D" # " # de mas isto não se verifica pois ocorre um salto de #

$1

1

-3= p! 1ª raiz

-3= Š ‹!#$1 ª raizp #

-3= Š ‹!# #$ $1 1 ª raizp $

Com estes cálculos demonstra-se que não são ambos raízes cúbicas de um mesmo número complexo.

Cotação a atribuir (1.º Processo): "! Ð � "Ñ œ *(*)

(*) O examinando utiliza linguagem incorrecta, do ponto de vista formal ( - ver« »)salto de para D D" #

critério geral 6.

Exemplo 2

Se , então não se encontra no mesmo quadrante de e não podem D œ -3= D D# # " a b! 1 ser raízes

cúbicas do mesmo complexo.

Cotação a atribuir (1.º Processo): #(*)

(*) O examinando evidencia, no desenho apresentado, que a diferença entre os argumentos de e D D" # é igual a 1.

Exemplo 3

Não podem pois o facto de se encontrarem num "campo" oposto do outro impossibilita tal coisa.

! ! 1 1Á œ ")!a b e

Cotação a atribuir (1.º Processo): # Ð � "Ñ œ "(*) (**)

(*) O examinando evidencia que .a diferença entre os argumentos de e é igual a D D" # 1

(**) O examinando utiliza linguagem incorrecta, do ponto de vista formal (escreve «1 œ ")! e campooposto») - ver critério geral 6.

V.S.F.F.435/C/9

Exemplo 4

a b a bD œ -3= œ " -3= $ œ -3= $"

$ $ $! ! !

a b a ba bD œ -3= œ " -3= $ $ œ -3= $ #

$ $ $! 1 ! 1 ! 1

-3= $ Á -3= $ ! ! 1

Cotação a atribuir (2.º Processo): $ % # Ð � "Ñ œ )(*) (**)

(*) Justificação incompleta - ver critério geral 4.2.

(**) Falta de parênteses - ver critério geral 6.

Exemplo 5

a b a b a bD œ -3= $ D œ -3= $ $" #

$ $! ! 1

$ œ $ $! ! 1#$1

Ú ÚÝ ÝÝ ÝÛ ÛÝ ÝÝ ÝÜ Ü

$ œ ! œ �# #

$ *

$ $ œ ! œ �

� Á �! !

1 1

! 1 ! 1

1#*1

D D" # e têm módulos iguais mas não representam as raízes cúbicas do mesmo complexo, porque

$ Á $ $! ! 1#$1 , logo os seus argumentos não estão em progressão aritmética.

Cotação a atribuir (2.º Processo): $ % ! œ (

Exemplo 6

È È$$D œ "" -3= ß 5 − !ß "ß #

! 1�#5$ e f

È È$$D œ "# -3= ß 5 − !ß "ß #

a b! 1 1�$ $

# 5� e f

Os complexos D D" # e não podem ser raízes cúbicas do mesmo complexo porque dando valores a k nos

dois complexos eles não são iguais, não dando o mesmo valor.

Cotação a atribuir: !

435/C/10

2.1. ............................................................................................................................... 15

Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos:

1.º Processo:

0 œ # � &a b) )sen# ...........................................................................................1

" œˆ ‰" "#

#

cos# ) ............................................................................................. 5

cos# ) œ %& ........................................................................................................2

sen# ) œ "& ........................................................................................................5

0 œ "a b) ............................................................................................................. 2

2.º Processo:

0 œ # � &a b) )sen# ...........................................................................................1

sencos

)

)œ

"# ......................................................................................................... 2

cos sen) )œ # ....................................................................................................2

sen sen# #) ) % œ " .......................................................................................6

sen# ) œ "& ........................................................................................................2

0 œ "a b) ............................................................................................................. 2

V.S.F.F.435/C/11


Exemplo 1

" tg cos# #) )œ

"cos cos# #) )

Í " œ Í œˆ ‰" " ## $

#

0 œ # � & œa b) Š ‹" �# "$ $

Cotação a atribuir (1.º Processo): " & " & # œ "%(*) (**) (**)

(*) Ver critério geral 4.5.

(**) Ver critério geral 4.3.

Exemplo 2

sen# ) œ " � œˆ ‰" $# %

#

0 œ # � & ‚ œ �a b) $ (% %

Cotação a atribuir (1.º Processo): " ! ! ! # œ $(*) (**)


(**) Ver critério geral 4.3.

Exemplo 3

0 œ # � &a b) )sen tg # ) œsencos

)

)

Cotação a atribuir (2.º Processo): " " ! ! ! ! œ #(*)

(*) O examinando limita-se a escrever a fórmula que relaciona a tangente com o seno e com o co-seno, masnão a utiliza.

Exemplo 4

tg ) )œ œ ! %'$'"# logo , <+.3+89=

0 ! %' œ # � & ! %' œ "a b, ,sen# a bCotação a atribuir: "(*)

(*) A igualdade 0 œ # � &a b) )sen# está implícita e é independente do resto da resolução, quedesrespeita a indicação, expressa no enunciado, de não utilização da calculadora - ver critérios gerais 4.5 e7.

435/C/12

2.2. ............................................................................................................................... 15

Escrever um sistema que permita obter os valores de e de + ,Š ‹por exemplo, ............................................ 5 0Ð!Ñ œ " • 0Ð � Ñ œ � $

1

#

Resolver o sistema .............................................................................................. 10 Obter o valor de ...................................................................... 3 + Obter o valor de .......................................................................7 ,

+ , œ � $ .................................................... 5 Restantes cálculos ............................................2


Exemplo 1

0Ð Ñ œ " • 0Ð Ñ œ � $11

#

+ , œ " • + , œ � $sen sen# #a b Š ‹11

#

+ œ " • + , œ � $

+ œ " • , œ � %

Cotação a atribuir: & "! $ (Ð& #Ñ œ "&Ð Ñ

Exemplo 2

ÚÝ ÝÛ ÛÝ ÝÜ

ÚÝÝÜ

a b

Š ‹

0Ð!Ñ œ "

0Ð � Ñ œ � $#

Í

+ , ! œ "

+ , � œ � $#

1 1

sen

sen

#

#

Í Í Í

+ œ " + œ " + œ "

+ � , œ � $ " � , œ � $ , œ %

Ú Ú ÚÛ Û ÛÜ Ü Ü

Cotação a atribuir: & ' $ $ Ð" #Ñ œ ""Ð Ñ(*)

(*) O examinando comete um erro grave, ao passar de para + , � + � ,sen# Š ‹1

#

Š ‹Š ‹implicitamente, o examinando está a afirmar que - ver critério geral 4.2.sen# � œ � "1

#

V.S.F.F.435/C/13

Exemplo 3

0Ð � Ñ œ � $ Í + , œ � $1

#

# � & œ � $ Proposição verdadeira

+ œ # • , œ � &

Cotação a atribuir: ! & ! & Ð& !Ñ œ &(*) Ð Ñ

(*) O examinando escreve apenas uma equação, o que nunca lhe permitiria obter os valores de e de .+ ,

Exemplo 4

! Ÿ Ÿ "sen# B

! Ÿ , ‚ Ÿ ,sen# B

+ Ÿ + , ‚ Ÿ + ,sen# B

+ œ � $ • + , œ "

+ œ � $ • , œ %

Cotação a atribuir: "!(*)

(*) O examinando utilizou um processo de resolução não previsto nos critérios específicos, pelo que, de

acordo com o critério geral 3, compete ao classificador decidir a cotação a atribuir. O examinando comete

um erro grave, na segunda etapa, pois tais desigualdades só seriam verdadeiras se fosse positivo. As,

restantes etapas estão correctas.

Exemplo 5

+ , B œ ! Í B œ �sen sen# # +,

Cotação a atribuir: !

435/C/14

3.1. ................................................................................................................................ 6

Substituir por ................................................................... 3 B ! (ver notas 1 e 2)

Valor pedido ..............................................................3 ¸ & %, (ver notas 2, 3 e 4)

Notas:1. Se o examinando substituir por , deve ser penalizado em 1 pontoB "!

(no enunciado, não é dito que as duas paredes têm a mesma altura,embora o desenho o sugira).

2. Se o examinando não atribuir a o valor ou B ! "!, deverá ter acotação de 0 (zero) pontos, nas duas etapas.

3. Se o examinando não apresentar o resultado arredondado às décimas,ou não o arredondar correctamente, deve ser penalizado em 1 ponto.

4. Se o examinando, nos cálculos intermédios, não conservar, no mínimo,três casas decimais, deve ser penalizado em 1 ponto. Note-se, noentanto, que não se exige a apresentação de cálculos intermédios, istoé, o examinando pode escrever, simplesmente, 2Ð!Ñ ¸ & %, .

Exemplos de possíveis respostas dos examinandosExemplo 1

2Ð!Ñ ¸ & %,Cotação a atribuir: $ $ œ '

Exemplo 2

2Ð!Ñ œ "& � % Ð""Ñ œ "& � % ‚ # $ œ "& � * # œ & )ln , , ,Cotação a atribuir: $ # œ &(*)

(*) Ver nota 4.

Exemplo 3

2Ð!Ñ œ "& � % Ð""Ñ œ & %ln ,2Ð"!Ñ œ "& � % Ð � "! Ð"! ‚ "!Ñ ""Ñ œ � ' %ln # ,A parede é igual a , logo a altura da parede é 5,4 m2Ð!Ñ E

Cotação a atribuir: $ $ Ð � "Ñ Ð � "Ñ œ %(*) (**)

(*) O examinando escreve «A parede é igual a ».2Ð!Ñ

(**) Apesar de desnecessário (o que o examinando não refere), penalizou-se em 1 ponto o cálculo de2Ð"!Ñ, porque está mal calculado e por ter sido obtido um número negativo.

V.S.F.F.435/C/15

Exemplo 4

Recorrendo à máquina gráfica com a janela: x min x max 12 y min y maxœ � "à œ à œ � "à œ '

concluí que a altura das paredes e eram iguais e que têm E F & %, 7

Cotação a atribuir: $(*)

(*) O examinando utilizou um processo de resolução não previsto nos critérios específicos, pelo que, de

acordo com o critério geral 3, compete ao classificador decidir a cotação a atribuir. O examinando afirma

que utilizou a máquina gráfica e refere a janela utilizada, o que sugere que obteve o gráfico da função na

calculadora. Como o valor está correcto, mas a justificação está muito incompleta, dado que não existe

qualquer referência ao que foi feito com a calculadora (para além da janela utilizada), decidiu-se atribuir

metade da cotação prevista para esta questão.

Exemplo 5

2Ð&Ñ œ "& � % Ð)'Ñ œ ! (7ln ,Cotação a atribuir: ! ! œ !(*) (*)

(*) Ver nota 2.

Exemplo 6

2Ð"! � BÑ œ "& � % Ð � "! � B "! ‚ "! � B ""Ñln a b a b#

2Ð"! � BÑ œ "& � % Ð � $ ") "(ß )$ ""Ñln ,2Ð"! � BÑ œ "& � % Ð#& '&Ñln ,2Ð"! � BÑ œ "& � "#ß *()

2Ð"! � BÑ œ # !##,Cotação a atribuir: ! ! œ !

Exemplo 7

2ÐBÑ œ "& � % Ð � B "! B ""Ñ œ " !'ln # ,

Fórmula Resolvente:

B œ Í B œ�"!„ "!!�%%

�# �#�"!„ "%%È È

B œ "" ” B œ � "

Cotação a atribuir: ! ! œ !

435/C/16

3.2. ............................................................................................................................... 16

Determinar ..............................................................................................5 2 ÐBÑw Evidenciar a intenção de derivar ....................................... 1 2 ÐBÑ

Derivada de .................................... 3 lnŠ ‹� B "! B ""#


Determinar o zero de ......................................................................................5 2 w Escrever a equação ................................................ 1 2 ÐBÑ œ !w

Restantes cálculos ......................................................................4

Estudo do sinal de e consequente conclusão, relativamente à2 w monotonia e extremo de (estudo que pode ser apresentado2através de um quadro) ...........................................................................................4

Primeira linha do quadro (relativa à variável ) ......................... 1 BSinal de ..................................................................................1 2 w

Relação entre o sinal de e a monotonia de ....................... 1 2 2w Referência ao minimizante .......................................................... 1

Conclusão final: Como o ponto procurado é o que tem abcissaigual a 5, confirma-se que é o ponto equidistante das duasparedes (ou equivalente) ....................................................................................... 2


Exemplo 1

2 ÐBÑ œ � % ‚ œw �#B� "! B � %!�B � "! B � "" �B � "! B � ""# #

)

2 ÐBÑ œ ! Í ) œ ! Í B œ &w B � %!

2 Ð%Ñ œ œw ) ‚ % � %! � )�% � "!‚% � "" $&# negativo.

2 Ð'Ñ œ œw )‚' � %! )�' � "!‚' � "" "!(a b# positivo.

B ! _� !

&2 ÐBÑ

2ÐBÑ

w

min

Como a distância entre as paredes é 10 m o ponto que está 5 m afastado da parede A, encontra-se

igualmente afastado da parede B, o que significa que será a abcissa do ponto médio entre as paredes.B œ &

Cotação a atribuir: &Ð" $ "Ñ &Ð" %Ñ $Ð! " " "Ñ # œ "&(*)

(*) A primeira linha do quadro não respeita o domínio da função , que é 2 Ò!ß "!Ó

V.S.F.F.435/C/17

Exemplo 2

2 ÐBÑ œ œwˆ ‰a b a b�B � "! B � ""

�B � "! B � "" �B � "! B � ""�#B� "!

#

# #

w

68 68

2 ÐBÑ œ ! Í � # œ ! Í B œ &w B "!

! & "!2 ÐBÑ � !

2ÐBÑ

w

min

& é a altura mínima

Cotação a atribuir: #Ð" " ! Ñ &Ð" %Ñ $Ð" ! " "Ñ ! œ "!(*) (**) (***) (****)

(*) O examinando comete um erro grave na derivada do logaritmo - ver critério geral 4.2.

(**) O examinando ignora o factor .� %

(***) O sinal da derivada está errado, relativamente à expressão obtida para 2 w.

(****) A relação entre o sinal da derivada e a monotonia da função está correcta.

Exemplo 3

2 ÐBÑ œw �#B� "!�B � "! B � ""# 2 ÐBÑ œ ! Í œ ! Í B œ &w � #B "!

Cotação a atribuir: %Ð" $ ! Ñ &Ð" %Ñ !Ð! ! ! !Ñ ! œ *(*)

(*) O examinando ignora o factor .� %

Exemplo 4

2 ÐBÑ œ ! � % ‚w �#B� "!�B � "! B � ""#

2 ÐBÑ œ ! Í œ ! Í B œ &w � #B "!

B œ & é o mínimo da função portanto esse é o ponto equidistante das duas paredes.

Cotação a atribuir: &Ð" $ "Ñ &Ð" %Ñ !Ð! ! ! !Ñ ! œ "!(*)

(*) O examinando confunde minimizante com mínimo, e a conclusão está mal redigida, para além de não

respeitar completamente o pedido feito no enunciado (de que a conclusão deveria resultar do estudo da

função, quanto à monotonia).

435/C/18

3.3. ............................................................................................................................... 16

Mostrar que ................................................................... 10 2 & � B œ 2 & Ba b a b2 & � B œ "& � % � & � B "! & � B ""a b a b a bˆ ‰ln # ..............1

2 & B œ "& � % � & B "! & B ""a b a b a bˆ ‰ln # ..............1

Desenvolvimento dos quadrados dos binómios .......................... 4 (2+2)

Restantes cálculos ............................................... 4 (2+2) (ver nota 1)

Interpretação .................................................................................. 6 (ver nota 2)

Notas:

1. Se o examinando, ao concluir os cálculos, não tiver obtido umacondição que seja trivialmente universal, deve ser penalizado em 2pontos, nesta etapa.

2. Exemplo de interpretação correcta:

Pontos equidistantes (para a esquerda e para a direita) do meio darampa estão à mesma altura.

A interpretação deve ser cotada de acordo com o seguinte critério:

Nível 1 Nível 2Interpretação completa 6 4 ou 5Interpretação incompleta 3 1 ou 2Interpretação errada ou ausência de interpretação 0 0

Nível 1 - Interpretação bem redigida e sem erros de linguagemmatemática.

Nível 2 - Interpretação mal redigida ou com erros de linguagemmatemática.


Tomando como B &

2 & � B œ 2 & B Í 2 ! œ 2 "! Ía b a b a b a bÍ "& � % � ! "! ‚ ! "" œ "& � % � "! "! ‚ "! "" Íln lna b a b# #

Í "& � % "" œ "& � % "" Í & % œ & %ln lna b a b , ,

O ponto mais baixo da rampa está equidistante dos extremos, logo para um lado e para o outro terá aB

mesma altura.

Cotação a atribuir: ! Ð! ! !Ð! !Ñ !Ð! !ÑÑ % œ %

V.S.F.F.435/C/19

Exemplo 2

2 & � B œ 2 & B Ía b a b

Í "& � % � & � B "! & � B "" œln ˆ ‰a b a b# œ "& � % � & B "! & B "" Íln ˆ ‰a b a b#

Í % � B � "!B � #& &! � "!B ""ln a b# œ

œ % � B "!B � #& &! � "!B "" Íln a b#

Í � "!B "! B Í B œ � B œ

De facto, 2 & � B œ 2 & Ba b a b pois a rampa apresenta uma simetria com cent o no seu ponto mais<

baixo .2Ð&Ñ

Cotação a atribuir: & Ð" " #Ð" "Ñ "Ð# " � # ÑÑ % œ *(*)

(*) Ver nota 1.

Exemplo 3

2 & � B œ "& � % � & � B "! & � B ""a b a b a bˆ ‰ln # œ

œ "& � % � #& "! B � B &! � "!B ""ln a b# œ

œ "& � % � B %"ln a b#

2 & B œ "& � % � & B "! & B ""a b a b a bˆ ‰ln # œ

œ "& � % � #& � "! B � B &! "!B ""ln a b# œ

œ "& � % � B %"ln a b#

2 & � B œ 2 & Ba b a b& é a distância média de A a B.

& � B & B é a distância do meio para a esquerda e é a mesma distância do meio para a direita.

Isto significa que a altura de dois pontos simétricos a , é igual.B œ &

Cotação a atribuir: ) Ð" " %Ð# #Ñ #Ð" "ÑÑ & œ "$

Exemplo 4

Tomando como o ponto médio da distância entre as paredes todos os pontos equidistantes deB œ &

B œ & têm a mesma altura

Cotação a atribuir: ! Ð! ! !Ð! !Ñ !Ð! !ÑÑ & œ &

435/C/20

4. .................................................................................................................................. 16

Explicação do método utilizado para resolver o problemaproposto ....................................................................................10 (ver nota 1)

Abcissa pedida ................................................................ 6 ¸ " #, (ver nota 2)

Notas:

1. Podem ser utilizados, pelo menos, três processos diferentes pararesolver o problema proposto:

:1.º ProcessoDeterminar analiticamente ...................................................5 0 ÐBÑww

Esboçar o gráfico de e assinalar o zero desta função .............. 5 0 ww

:2.º ProcessoReferir a utilização da ferramenta da calculadora que permiteobter o gráfico da derivada de uma função ......................................5 Esboçar o gráfico de e assinalar o zero desta função .............. 5 0 ww

:3.º ProcessoEsboçar o gráfico de e assinalar o mínimo desta função ........ 10 0 w

2. A escrita da abcissa pedida deve ser cotada de acordo com o seguintecritério:

(apresentação do resultado arredondado às décimas, de1.º Casoacordo com o enunciado):

Resposta ............................................................................ 6 " #,

Resposta ............................................................................ 5 " ",

Resposta ou ............................................................. 2 " $ " !, ,Outros resultados ........................................................................ 0

(apresentação do resultado com aproximação superior às décimas):2.º Caso

Valor no intervalo ................................................ 4 Ò " "! " #!Ó, ,à

Valor fora do intervalo anterior, mas pertencente aointervalo ..............................................................1 Ò " !! " $!Ó, ,à

Outros resultados ........................................................................ 0

(apresentação do resultado arredondado às unidades):3.º Caso

Valor igual a .......................................................................... 1 "

Outros resultados ........................................................................ 0

V.S.F.F.435/C/21


O ponto de inflexão do gráfico de é o extremo de 0 0 w

Gráfico de 0 w À

A abcissa do ponto de inflexão do gráfico de é 0 " #,Cotação a atribuir: "! ' œ "'

Exemplo 20 B œ B " / � "!B œ B # / � "!ww B Bwa b a b a bˆ ‰

0 B œ ! Í B ¸ " "&wwa b ,

O ponto de inflexão é " #,Cotação a atribuir: "!Ð& &Ñ ' Ð � "Ñ œ "&(*)

(*) O examinando escreveu uma frase incorrecta, do ponto de vista formal (O ponto de inflexão é ," #) -ver critério geral 6.

435/C/22

Exemplo 3

Introduzi na calculadora, pedi para traçar o gráfico e achei os zeros.0 Bwa bObtive 0 B œ ! B œ ! "$ ” B œ " ))wa b Ä , ,

Tem dois pontos de inflexão.

Cotação a atribuir: ! ! œ !

Exemplo 4

0 B œ B " / � "!B œ " ‚ / � "!ww B Bwa b a bˆ ‰

Fiz o gráfico de na calculadora e determinei o zero de com a ferramenta Root e deu ,0 0 # $ww ww

Cotação a atribuir: $ Ð" # Ñ ' œ *(*) (**) (***)

(*) O examinando comete um erro muito grave no cálculo da derivada - ver critério geral 4.2.

(**) O examinando não esboça o gráfico da função , que obteve, mas evidencia a procura do seu zero.0 ww

(***) Ver critério geral 4.3.

Exemplo 5

ˆ ‰a b a bB " / � "!B œ B # / � "!B Bw

ˆ ‰a b a bB # / � "! œ B $ /B Bw

a bB $ / œ ! Í B œ � $B

Cotação a atribuir: &Ð& !Ñ ! œ &

V.S.F.F.435/C/23

5.1. ................................................................................................................................. 6

Probabilidade pedida % .......................................................................5 œ &( *, Indicar a soma % ..........4 a b%! ' & ' * " # # * ! %, , , , ,Probabilidade igual a % ......................................................1 &( *,

ouTÐSÑ œ " � TÐSÑ ................................................................... 2 TÐSÑ œ &( * , % ....................................................................... 3

Probabilidade pedida % ....................................................... 1 ¸ &) (ver nota)

Nota:O ponto relativo a esta etapa só deverá ser atribuído se a etapa anterior não tiversido cotada com 0 (zero) pontos.


T ÐSÑ œ TÐSÑ œ ! "&*'ß(%#ß" ,

T Ð S Ñ œ " � ! "&* œ !ß )%" T Ð S Ñ œ )%, %

Cotação a atribuir: #Ð# !Ñ " œ $(*) (**)

(*) O examinando utiliza correctamente a fórmula T Ð S Ñ œ " � T ÐSÑ

(**) O examinando não teve a cotação de 0 (zero) pontos, na etapa anterior, e escreveu correctamente o

valor que obteve para pedida - ver nota e critério geral 4.3.T Ð S Ñ, na forma

Exemplo 2

E F EF S

%! ' * # * $& % )& #

' & " # ! % ' ( "% )

% ) " $ $ %# " "!!

Rh % , % , % , % , %Rh , % , % , % , % , %

6,5 % , % , % , % %

�

�

T ÐSÑ œ T Ð S Ñ œ "!! �%# " %# " œ &( *, % , % , %%

Cotação a atribuir: &Ð# $Ñ ! œ &

Exemplo 3

T Ð S Ñ œ %! ' & ' * " # # * ! %% , % , % , % , % , %

T Ð S Ñ œ T Ð S Ñ œ& &6,7 % 7 %

Cotação a atribuir: %Ð% !Ñ " œ &

435/C/24

5.2. ............................................................................................................................... 10

Identificar o pedido com .................................................................5 T E lV2a b�

T E lV2 œa b�'ß&"%ß)

%% ...................................................................................... 4

Probabilidade pedida % ........................................................1 ¸ %% (ver nota)

Nota:O ponto relativo a esta etapa só deverá ser atribuído se a etapa anterior não tiversido cotada com 0 (zero) pontos.


Exemplo 1

TÐV2 lEÑ œ œ œ "%�TÐV2 �EÑ

T ÐEÑ %'ß&'ß&�

%

Cotação a atribuir: ! % " œ &(*) (**)


(**) Ver nota e critério geral 4.3.

Exemplo 2

TÐElFÑ œTÐE�FÑT ÐFÑ

TÐElFÑ œ œ ! %'ß&"% )

%, % , %

Cotação a atribuir: & % ! œ *(*)

(*) Apesar de o examinando não ter referido o significado que atribuiu aos acontecimentos e , osE F

valores apresentados evidenciam uma identificação correcta desses acontecimentos.

Exemplo 3

A

Rh�œ ' & œ "% ), % Rh , em 100 �

Total

T œ œ œ ! % œ %$ *'ß& !ß!'&"% ) !ß"%)

, , , %

Cotação a atribuir: & % ! Ð � "Ñ œ )(*)

(*) Ver critério geral 6.

V.S.F.F.435/C/25

6. .................................................................................................................................. 16

A composição deve contemplar os seguintes pontos:

1. Referência à Regra de Laplace:1.1. Referir a equiprobabilidade dos casos possíveis.1.2. Referir que a probabilidade de um acontecimento é igual ao quociente

entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

2. Explicação da contagem do número de casos possíveis:2.1. Referir que #& #!G é o número de maneiras de escolher o grupo de

vinte jovens que vão ao cinema.2.2. Referir que #! x é o número de maneiras de os jovens se sentarem nos

vinte lugares disponíveis.

3. Explicação da contagem do número de casos favoráveis:3.1. Referir que é o número de maneiras de escolher dez"# "$

"! "!G ‚ G rapazes, entre os doze, e dez raparigas, entre as treze.

3.2. Referir que o factor deriva do facto de existirem as duas#possibilidades seguintes: os rapazes à frente e as raparigas atrás, ouao contrário.

3.3. Referir que dez rapazes"! x ‚ "!x é o número de maneiras de os eas dez raparigas se sentarem nos dez lugares de cada uma dasrespectivas filas.

Na tabela seguinte, indica-se como esta questão deve ser cotada:

FormaConteúdo

Nível 1 Nível 2 Nível 3 ( ) ( ) ( )

A composição contempla 16 15 14os sete pontos. A compos

‡ ‡‡ ‡‡‡

ição contempla 14 13 12seis pontos. A composição contempla 12 11 10cinco pontos. A composição contempla 10 9 8quatro pontos. A composição contempla 7 6 5três pontos. A composição contempla 5 4 3dois pontos. A composição contempla 3 2 1um ponto.

( ) - Redacção clara, bem estruturada e sem erros (de sintaxe, de‡ Nível 1pontuação e de ortografia).

( ) - Redacção satisfatória, em termos de clareza, razoavelmente‡‡ Nível 2estruturada, com alguns erros cuja gravidade não afecte ainteligibilidade.

( ) - Redacção confusa, sem estruturação aparente, presença de‡‡‡ Nível 3 erros graves, com perturbação frequente da inteligibilidade.

435/C/26


Exemplo 1

De acordo com a Regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é igual ao quociente entre onúmero de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis, quando estes são todosequiprováveis.Vejamos o número de casos possíveis: existem #& #!G maneiras diferentes de escolher vinte, dos vinte ecinco jovens, para irem ao cinema; para cada uma destas maneiras, existem maneiras diferentes de#!x

esses vinte jovens ocuparem os vinte lugares disponíveis.Vejamos agora o número de casos favoráveis: existem "# "$

"! "!G ‚ G maneiras diferentes de escolher dez,dos doze rapazes, e dez, das treze raparigas, para irem ao cinema; para cada uma destas maneiras, existem# ‚ "!x ‚ "!x maneiras diferentes de esses jovens ocuparem as duas filas, de acordo com o enunciado (osrapazes podem ficar na fila da frente e as raparigas na de trás, ou ao contrário; para cada uma destas duasmaneiras, existem maneiras diferentes de os dez rapazes ocuparem os dez lugares da sua fila e, de igual"!x

modo, existem maneiras diferentes de as dez raparigas ocuparem os dez lugares da sua fila)."!x

Cotação a atribuir: "'(*)

(*) A composição contempla (correctamente) todos os pontos, numa redacção clara, bem estruturada e semerros.

Exemplo 2

As "# "$"! "!G G e são as diferentes posições que os rapazes e as raparigas podem ocupar dentro de cada

fila, está a multiplicar por porque os rapazes podem estar na fila da frente ou na fila de trás o mesmo#

acontece com as raparigas. Em seguida, multiplicou-se por "! x ‚ "! x porque são as diferentes posiçõesque os rapazes ocupam na mesma fila e as diferentes posições que as raparigas ocupam na outra fila. Istodescrito anteriormente são os casos favoráveis. Os casos possíveis são as #& #!G são as diferentescombinações que eles podem apresentar está a multiplicar por #! x porque são as diferentes posições queeles podem ocupar.Tendo em conta a Lei de Laplace a probabilidade de um acontecimento qualquer é o número de casos

favoráveis sobre o número de casos possíveis, daí a equação "# "$

"! "!

#&#!

G ‚ G ‚#‚"! x‚"! xG ‚#! x

Cotação a atribuir: )(*)

(*) A composição contempla (correctamente) quatro pontos (1.2, 2.2, 3.2 e 3.3), numa redacção confusa ecom erros graves, nomeadamente o designar por equação uma expressão fraccionária.

Exemplo 3Começando com o número de casos possíveis podemos observar que o elemento #& #!G refere-se aonúmero de jovens que tiveram direito a bilhete. Este elemento é multiplicado por pois são#!x consideradas as permutações entre os sujeitos.Quanto ao número de casos favoráveis, o número refere-se ao número de rapazes na mesma fila, o"#

"!G número refere-se ao número de raparigas na mesma fila. Os elementos e são respectivamente"$

"!G # "! x as permutações de filas e as permutações dentro de cada fila.Finalmente segundo a regra de Laplace a probabilidade é igual ao número de casos favoráveis sobre onúmero de casos possíveis.

Cotação a atribuir: '(*)

(*) A composição contempla (correctamente) três pontos (1.2, 3.2 e 3.3), numa redacção satisfatória.

V.S.F.F.435/C/27

Exemplo 4

A solução acima transcrita pode ser explicada da seguinte forma: sabendo que só existem 20 bilhetes para25 pessoas é necessário excluir 5 pessoas mas dessas 5, duas têm que ser rapazes e três raparigas, casocontrário não satisfaz o problema. Assim escolhe-se 10 dos 12 rapazes e 10 das 13 raparigas e chegamos às"# "$

"! "!G G‚ .Agora, tendo em conta que há duas filas com 10 lugares e a escolha da fila também é aleatória, chegamos a# ‚ "! x ‚ "! x. Isto dá-nos a probabilidade de escolher a fila e depois em cada fila ocupar os 10 lugares.Por fim, temos que ter em conta que no início eram 25 jovens e que foram escolhidos ao acaso 5 parasairem. Assim . O que nos dá a escolha dos 20 jovens pelos 20 bilhetes.#&

#!G ‚ #! x

Cotação a atribuir: &(*)

(*) A composição contempla (correctamente) três pontos (3.1, 3.2 e 3.3), numa redacção confusa.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO · cálculos todas as justificações que tiver de efectuar e...

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