Estudos de Factores de Simultaneidade em Redes de ...paginas.fe.up.pt/~ee93074/doc/FUSIMUL.pdf ·...

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores PSTFC- Projecto, Seminário ou Trabalho Final de Curso

Estudos de Factores de Simultaneidade em Redes Estudos de Factores de Simultaneidade em Redes Estudos de Factores de Simultaneidade em Redes Estudos de Factores de Simultaneidade em Redes

de Distribuição de Energia de Distribuição de Energia de Distribuição de Energia de Distribuição de Energia

Alunos: José Manuel Moreira Costa

Docente: Cláudio Monteiro (Orientador FEUP)

Maria Teresa Ponce de Leão (Orientador Local)

Data: 16 / 07 / 2004

Gostava de agradecer a todos aqueles que de alguma forma contribuíram para a realização deste

trabalho, em especial:

Ao Professor Cláudio Monteiro pelo apoio e tempo dispensado na orientação;

À Professora Maria Teresa Ponce de Leão por ter aceite ser orientadora deste projecto;

Ao INESC Porto pela disponibilização das instalações;

Ao PRODEPIII pelo apoio financeiro.

Estudo de Factores de Simultaneidade em redes de Distribuição de Energia 2003/2004

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO 1 / 44

ÍNDICE

1. Introdução................................................................................................................................................ 2

2. Construção da base de informação.......................................................................................................... 4

2.1 Análise de Agrupamentos............................................................................................................. 5

3. Agregação de diagramas de carga ........................................................................................................ 16

3.1. Identificação .............................................................................................................................. 16

3.2. Convolução ................................................................................................................................ 17

3.3 Modelação Probabilística................................................................................................... ......... 21

3.4 Considerações para a Agregação e Índices do diagrama .......................................................... 24

4. Descrição da ferramenta desenvolvida para a agregação de diagramas .............................................. 28

4.1 Interface e utilização .................................................................................................................. 30

4.2 Utilização ................................................................................................................. ................... 32

5. Estudos de factores de simultaneidade ................................................................................................. 32

6. Conclusões .................................................................................................................. ........................... 32

Referências.................................................................................................................... ............................. 32

Anexos……………………………………………………………………………………45



1. Introdução O objectivo deste trabalho é estudar os factores de simultaneidade para um dado tipo de agrupamento

de consumidores, com base na classificação de diagramas de carga típicos para consumidores de

energia eléctrica, através de uma amostra de registos de consumo, e na correspondente informação

comercial dos mesmos.

Estes consumidores apresentam diagramas de cargas diários diferentes, que variam com o dia da

semana, com a potência contratada e com a própria identificação do consumidor.

Pretende-se, com isto, um processo funcional que permita obter um diagrama típico para um dado

consumidor, e a correspondente medida de incerteza, usando apenas informação comercial.

No decorrer deste trabalho, os consumidores serão assim representados por um conjunto de atributos

relacionados com a informação comercial.

Para isto, serão utilizados métodos de agrupamento (clustering), estes métodos consistem na divisão de

um conjunto de dados em grupos.

Os métodos de clustering baseiam-se na medição da distância entre registos, e da distância entre

clusters, para que, cada registo seja atribuído a um cluster, de forma a minimizar a distância entre

registos pertencentes ao mesmo cluster.

A partir de um conjunto inicial (amostra), agrupar-se-ão os dados, isto é, juntar estes em diferentes

grupos ou conjuntos. Cada grupo é denominado cluster e inclui objectos similares entre si e dissimilares

dos objectos incluídos nos grupos restantes.

Esta filosofia aplicada à amostra de registos de consumo e à correspondente informação comercial

permitirá agrupar os clientes cujos padrões de consumo sejam similares, de modo a que essa

similaridade (padrão) possa ser estudada e avaliada, podendo ser posteriormente comprovada ou

rejeitada. Para isso serão utilizados algoritmos de agrupamentos difusos Fuzzy C-means, existindo a

possibilidade de sobreposição de agrupamentos (um diagrama pode pertencer a várias classes

diferentes).

Para obter formas de diagramas típicos obtidos por técnicas de agrupamento, não basta agrupar os

dados com base no tipo de consumidor e no dia da semana, terá que se reformular os agrupamentos de

forma a ser possível identificá-los segundo uma informação comercial sendo necessário optimizar ao

máximo o nosso processo de partição, para isso tem-se que considerar uma nova classe para as

diferentes potências contratadas.



Com esta nova classificação das potências contratadas e com o intuito de avaliar esta reclassificação

será necessário recorrer a uma análise probabilística, e com esta análise obter os histogramas das fdp

(função densidade de probabilidade) da carga, para cada hora e para cada classe.

Depois de ter conseguido caracterizar os diferentes diagramas para os vários tipos de consumidores

estamos em condições de realizar a agregação para um conjunto de consumidores de baixa tensão, de

modo a obter um diagrama de cargas agregado que englobe este conjunto de consumidores. Tendo já

referido anteriormente, serão utilizados os histogramas representativos da fdp da carga, onde a

agregação será conseguida à custa da operação de convolução de duas fdp: os diagramas serão

agregados uns de cada vez, usando a convolução numérica de duas distribuições, obtendo uma terceira

fdp para a soma dos diagramas hora a hora.

Assim, foi desenvolvida uma ferramenta em VBA (Visual Basic for Applications) para obter uma

caracterização detalhada de diagramas agregados partindo apenas de informação comercial dos

consumidores para os quais se pretende agregar os diagramas.

Esta ferramenta, através de uma interface permite ao utilizador inserir um conjunto de dados comerciais,

para diferentes tipos de consumidores a agregar, e assim, observar graficamente as diferentes

agregações para os diferentes tipos de consumidores, bem como informação sobre o factor de

simultaneidade.

O factor de simultaneidade é calculado através do valor esperado máximo para os diferentes tipos de

consumidores e para o diagrama final da agregação.

O valor esperado é calculado através de uma abordagem probabilística, isto é, cada diagrama é

representado por uma matriz, sendo calculada a probabilidade máxima para cada ponto em relação aos

outros pontos da matriz, isto irá dar uma informação sobre qual o ponto com maior probabilidade de ser

máximo numa determinada hora.

A partir desta informação podemos obter o valor médio para um dado diagrama obtendo assim o valor

esperado do mesmo.

Numa das partes deste trabalho será caracterizada a incerteza associada aos diagramas de carga, visto

que não se está a representar uma das horas do diagrama por um ponto, mas sim por uma série de

pontos dando origem a uma incerteza.

Por último será feito uma série de estudos de factores de simultaneidade, para vários tipos e conjuntos

de consumidores. Estes estudos serão comparados com valores existentes em tabelas de regulamentos.



2. Construção da base de informação Os atributos que podem ser usados para introduzir no modelo são a informação de como varia o

consumo ao longo de um determinado período de tempo, como um dia, uma semana ou um mês. Estes

atributos relacionados com os dados comerciais são obtidos através de dados históricos de cada cliente.

Neste trabalho, tem-se um diagrama de carga diário, onde é representada a evolução do consumo ao

longo das 24 horas de um dia. Esta informação permite distinguir o padrão de consumo de cada

consumidor.

Os atributos relacionados com os dados comerciais são:

� NNíívveell ddee tteennssããoo:: os níveis de tensão a que os clientes podem ser alimentados, são em alta

tensão (AT), média tensão (MT), baixa tensão especial (BTE) e baixa tensão (BT). Neste

trabalho e perante a informação comercial que está disponível serão utilizados consumidores

de baixa tensão.

� CCóóddiiggoo ddee aaccttiivviiddaaddee:: este código designa o tipo de actividade (tipo de consumidor) com que

os clientes estão associados. Neste trabalho, o tipo de actividade é designada através de um

conjunto de letras sendo tratado como um atributo categórico, de domínio alfanumérico.

Tabela 1

� PPoottêênncciiaa ccoonnttrraattaaddaa:: esta potência será diferente consoante o nível de tensão, indicando assim

o valor da potência disponibilizada pela rede de distribuição para cada cliente. Esta potência

para os consumidores de BT deverá ser pré-estabelecida por cada cliente e não poderá ser

ultrapassada.

� DDiiaa ddaa sseemmaannaa:: este atributo categórico irá influenciar o comportamento dos consumidores,

visto o consumo ao longo da semana não ser o mesmo, como por exemplo, o consumo na

segunda-feira ao longo das 24 horas do dia, não será o mesmo que na sexta-feira, em igual

período.

A

B

C

E

G

H

Uso industrial de Baixa tensão

Iluminação Pública de Baixa tensão

Consumidores especiais de Baixa tensão

Tipo de co nsumid o r de Baix a tensãoTipo de co nsumid o r de Baix a tensãoTipo de co nsumid o r de Baix a tensãoTipo de co nsumid o r de Baix a tensão

Uso doméstico de Baixa tensão

Uso não doméstico de Baixa tensão

Iluminação Estado/Autarquias



Estes atributos e os respectivos consumos registados durante um período de 24 horas nos diferentes

dias da semana, serão utilizados como dados de entrada para a caracterização de diagramas de cargas

para os diversos consumidores.

Alguns destes dados encontram-se representados na tabela do Anexo A.

A primeira tarefa consiste em normalizar os dados da amostra (dividindo os consumos de cada hora pelo

somatório da energia consumida). Esta operação é necessária para que se possam comparar os

diferentes diagramas, uma vez que a possibilidade de existência de desproporção entre os diagramas de

diferentes tipos de consumidores pode resultar em dominância entre dimensões.

Repare-se no exemplo da figura 1, comparando os diagramas de carga de três tipos de consumidores de

baixa tensão: uso doméstico, uso industrial cuja potência contratada é de 13,2kVA e iluminação pública

de baixa tensão, notamos que existe uma grande desproporção entre os diagramas de uso doméstico e

uso industrial, mas se compararmos estes dois diagramas com o diagrama de cargas da iluminação

pública da área, a ausência de proporcionalidade é ainda mais notória.

Figura 1

A normalização dos dados da amostra é necessária para que se possam comparar os diferentes

diagramas.

2.1 Análise de Agrupamentos Uma definição utilizada para clustering óptimo será uma partição que minimize as distâncias entre os

elementos de um cluster e maximize a distância entre clusters diferentes. Um aspecto importante para a

análise de agrupamentos (clusters) será o reconhecimento de padrões dentro da amostra seleccionada,

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Horas (h)

Potê

ncia

(W)

Uso Industrial de BT Uso Doméstico de BT Iluminação Pública



logo, a primeira tarefa a realizar quando se parte de uma amostra de dados consiste em separá-los de

acordo com as características que pretendemos reconhecer nos dados que iremos agrupar.

Visto não existir um método universal para definir um clustering óptimo (uma vez que as distâncias

podem ser definidas de diferentes formas) existem vários tipos de algoritmos para o reconhecimento de

padrões:

� Algoritmo hierárquico (BIRCH, CURE, ROCK);

� Algoritmo por partição (k-means, k-mode, PAM);

� Algoritmos Difusos (Fuzzy C-means, Fuzzy ISODATA).

O primeiro, consegue fazer agrupamentos sucessivos através de uma sequência interligada de partições

(de grupos mais pequenos para grupos maiores), estas podem ser representadas numa estrutura em

árvore conhecida como dendograma. No segundo algoritmo (partição), o agrupamento é conseguido à

custa da separação dos dados em conjuntos distintos, através da atribuição de índices de pertença

(medidas de proximidade) a esses dados, para depois alterar esses índices de modo a obter melhores

partições, de acordo com uma função objectiva pré-definida.

O terceiro algoritmo, o tipo de agrupamento difuso permite a possibilidade de sobreposição, isto é, um

diagrama pode pertencer a várias classes diferentes.

Existe assim a necessidade de implementar um algoritmo eficaz, que permita agrupar cada conjunto de

pontos da forma mais eficiente possível.

Neste trabalho é considerado o agrupamento difuso Fuzzy C-means.

No processo de agrupamento, a informação de alguns dos diagramas pode-se perder ou tornar-se

redundante durante o processo se não existir uma separação da componente energética dos diagramas

(normalização mencionada anteriormente).

O conceito do Fuzzy C-means traduz-se na minimização de uma função objectiva específica que se

apresenta a seguir:

),(),( 2

1 1cP

k

c

n

p

mpcm VXdUVUJ ×=∑∑

= =

Os dados de entrada constituem n pontos e cada ponto é caracterizado por um conjunto de dimensões

h, Xp = {x1, x3, …, xh}, que correspondem à discretização do diagrama de cargas em horas.

Na equação o parâmetro k representa o número de agrupamentos que é também especificado como um

dos dados de entrada.

Vc é o centro de cada agrupamento, a partir do qual se constrói o diagrama típico da classe.

Upc é a função de pertença do ponto Xpp ao conjunto c (traduz a probabilidade de um determinado ponto

pertencer ao cluster).

(Equação 1)



A variável d2(Xp,Vc) é a distância entre o ponto p e o centro do agrupamento c, medida segundo uma

determinada métrica.

A figura 2 pretende ilustrar estes conceitos, nela estão representados dois agrupamentos, constituídos

por pontos de apenas duas dimensões, de modo a simplificar a nossa análise. Cada agrupamento tem o

seu centro geométrico e cada ponto tem uma determinada distância a esse centro. Todavia, os

diagramas sobrepõem-se e há alguns pontos cuja pertença ao cluster não pode ser facilmente avaliada.

É aqui que se torna necessária a inclusão da função de pertença Upc de modo a que este objectivo possa

ser atingido.

Na equação 1 existe ainda um parâmetro mmmm o qual representa o peso atribuído à pertença, isto é, quanto

maior o mmmm, menor será a contribuição dos pontos Xp mais afastados dos centros Vc .

Os resultados da minimização da função objectiva são os centros de cada agrupamento Vc e a pertença

de cada ponto a cada agrupamento Upc, sendo estas também as variáveis da minimização.

Figura 2- Representação de dois clusters (agrupamentos)

Uma vez escolhido o método de agrupamento e normalizados os dados da amostra inicial, utiliza-se uma

ferramenta computacional (Matlab) que através de uma linha de comando, obtém-se uma matriz inicial

de pertenças e a matriz dos centros.

A primeira dá-nos as pertenças de cada diagrama a cada protótipo (interessa-nos o valor máximo para

cada caso), isto é, relaciona em cada ponto o consumo por hora de cada consumidor, com o consumo

total das 24 horas, e o somatório dos diferentes pontos ao longo das 24 horas deverá ser 1, ao passo

que a segunda permite- nos construir os diagramas de cargas associados aos protótipos.

Neste trabalho, partiu-se dos consumos horários ao longo de várias semanas dos consumidores de uma

determinada rede e para um número de clusters k igual a 20, sendo possível obter as correspondentes

matrizes das pertenças e dos centros, encontrando-se esta última no Anexo B. A partir dela, construiu-se

os diagramas de cargas associados aos 20 protótipos que se apresentam na figura 3.

VVVVcccc

VVVVcccc

dddd2222(Xp,Vc)(Xp,Vc)(Xp,Vc)(Xp,Vc)



0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9 h10

h11

h12

h13

h14

h15

h16

h17

h18

h19

h20

h21

h22

h23

h24

c1c2c3c4c5c6c7c8c9c10c11c12c13c14c15c16c17c18c19c20

Figura 3

Nesta figura pode-se observar os diagramas obtidos, podendo verificar se estes correspondem aos

diferentes tipo de consumidores. Por exemplo, o cluster 16 (c16) corresponde claramente à iluminação

pública visto o valor máximo do mesmo se encontrar no período nocturno.

Para os clusters 5 (c5), 8 (c8), 17 (c17) pode-se observar que apresentam um comportamento típico de

um consumidor industrial visto a valor máximo (ponta do diagrama) ocorrer de manhã, a mesma análise

pode ser feita para consumidores domésticos os quais são representados pelos clusters 9 (c9), 11

(c11), 20 (20) o valor máximo (ponta do diagrama) ocorre depois da hora de jantar.

Na mesma figura, podemos ainda observar que existem clusters que não se consegue ver um

comportamento que o possa relacionar a um certo tipo de consumidor, podendo corresponder a

diagramas de cargas industriais ou a outros tipos de consumidores.

A partir deste ponto, começa a tornar-se interessante verificar a validade dos clusters obtidos, ao mesmo

tempo que reduzimos o número de clusters. Para tal, há que testar a validade das pertenças obtidas,

testando diversas combinações entre tipos de consumidores, dias da semana e potência contratada.

Para cada dia da semana, através de uma folha de cálculo como o Excel e de um filtro de variáveis é

possível fazer um gráfico representativo das pertenças de cada ponto a cada cluster, para cada dia da

semana. Variando no filtro os tipos de consumidores e os dias da semana é possível inferir acerca da

validade da nossa primeira classificação, e se necessário proceder a uma reclassificação dos dados em



novos agrupamentos. Para cada caso, o novo cluster será determinado pelo valor máximo dos índices de

pertença que lhe estão associados, isto é, a classificação obtida à custa da matriz de pertenças.

Na figura 4.a, pode-se observar que para um consumidor de tipo G, que representa a iluminação pública

de baixa tensão, o novo agrupamento dado pelo Fuzzy C-means pertence ao cluster 16, isto significa que

todos os consumidores desse tipo estão associados a este novo agrupamento.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 300 600 900

Clu

ster

Figura 4.a

Consumidor Tipo G

0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0 5 10 15 20 25 30

Figura 4.b

E como comprova a figura 4.b, este agrupamento está correcto visto só existir um diagrama de carga

para este tipo de consumo (iluminação pública de baixa tensão).

Existem outros valores retirados deste método que não irão relacionar um dado consumidor a uma única

classe de consumo, mas sim a várias, isto quer dizer, que existem consumidores que não se enquadram

num determinado padrão de consumo. Um exemplo desta situação está representado na figura 5.a.



0123456789

1011121314151617181920

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Clu

ster

s

Figura 5.a

Consumidor Tipo A

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Figura 5.b

Podemos observar nos gráficos apresentados anteriormente, que a maior parte dos consumidores estão

associados ao cluster 2, outros, encontram-se associados ao clusters 3, 6, 11 e 16, como neste caso

trata-se de um consumidor de tipo A (uso doméstico de baixa tensão) e observando o diagrama de

carga deste tipo de consumidor (figura 5.b), podemos reagrupar os consumidores que pertencem ao

clusters 3, 6, 11 e 16 no cluster 14. Com este novo agrupamento, está-se a considerar que existem

consumidores “especiais” mas, com características que o permitem associar a um consumidor de tipo A.

Este tipo de raciocínio será feito para os valores de todos os tipos de consumidores, tendo assim um

novo agrupamento, um novo grupo de diagramas (cluster), isto é, temos diagramas típicos de

consumidores obtidos por técnicas de agrupamento.

Regra geral, a tendência é que os vários pontos de um dado tipo de consumidor e para gamas de

potência contratada semelhantes possam ser inseridos no mesmo cluster para os vários dias da semana

(Segunda a Sexta). Tal não se verifica no entanto aos fins-de-semana, dado que as tendências de



consumo se alteram nestes períodos. No caso de não ser possível reclassificar num cluster já existente,

cria-se um novo cluster.

Mas, para obter formas de diagramas típicos obtidos por técnicas de agrupamento, não basta agrupar os

dados com base no tipo de consumidor e no dia da semana, terá que se reformular os agrupamentos de

forma a ser possível identificá-los segundo uma informação comercial. Para optimizar ao máximo o nosso

processo de partição, é necessário ainda considerar uma nova classe para as diferentes potências

contratadas.

Nova ClassePc1 0 72 7 153 15 304 30 605 60 856 85 1707 170 4508 450 7009 700 2000

10 2000 10000

Pcmin (kW) Pcmáx (kW)

Tabela 2 – Novas classes para a Potência

Isto reveste-se porém de uma dificuldade acrescida: o intervalo (gama) de potências contratadas pode

ter uma amplitude muito grande, o que pode complicar o processo de análise computacional quando o

número de casos (pontos) for muito elevado. A solução consiste, em reagrupar os dados em diferentes

classes de forma a que a cada classe corresponda um sub-intervalo do intervalo inicial de potências

contratadas.

Como já fizemos o agrupamento dos diagramas de acordo com a informação comercial, podemos

calcular o valor médio do factor de utilização (fu) para cada classe, o que nos permitirá recalcular a

energia dos diagramas.

A título de exemplo: se queremos saber qual a energia associada a um consumidor do tipo E só temos

que ir à tabela onde se encontram o factor de utilização (fu) para cada classe para a respectiva potência

contratada e aplicar a equação 2 obtendo a valor da respectiva energia.

fuPW c ××= 24

Desta forma será possível quantificar a energia de cada classe, de modo a que seja possível construir um

diagrama de cargas típico.

(Equação 2)



Surge aqui a necessidade de avaliar a reclassificação obtida, através de uma análise probabilística dos

novos diagramas reclassificados, identificando e tabelando os parâmetros da fdp (função densidade de

probabilidade) da carga, para cada hora e para cada classe. Para esta análise probabilística utilizou-se

um programa estatístico (S.P.S.S.).

Existem três tipos de distribuições possíveis para este efeito: as distribuições Weibull, LogNormal e

Normal. Porém as duas últimas não são adequadas para fornecer a probabilidade da carga ser negativa.

Vejamos um exemplo: para um consumidor industrial a fdp da sua carga para as 13h pode ser

representada pelo histograma da figura 6. Para comparação, visualiza-se a forma da curva de

distribuição normal associada. Esta análise pode ser muito útil no âmbito da previsão dos consumos de

uma rede que se pretende construir, ou simplesmente reforçar, já que a posse destes dados por parte

de qualquer empresa de distribuição que precise de tomar uma decisão neste domínio pode ser

determinante ao nível da solução a adoptar. Repare-se que, além da média e do desvio padrão da

distribuição, também o número de clientes agrupados é incluído nos resultados, o que permite definir

margens de incerteza e intervalos de confiança para os consumos.

H13

,263,238

,213,188

,163,138

,113,088

,063,038

,013

200

100

0

Std. Dev = ,02 Mean = ,070

N = 785,00

Figura 6 – Histograma representativo da fdp da carga.

Em seguida, é necessário avaliar os parâmetros A e k da fdp obtida (para cada hora e para cada

diagrama). Para tal recorremos a gráficos P-P (probability plots), que nos indicam até que ponto é que a

distribuição de uma determinada variável pode ser aproximada por uma distribuição conhecida (quanto

mais possível, mais os pontos do gráfico seguirão uma linha recta). As Figura 6.a, 6.b e 6.c ilustram os

resultados obtidos para cada uma das três distribuições possíveis referidas anteriormente.



Figura 6.a – Gráfico P-P (dist. Normal).

Weibull P-P Plot of H13

Observed Cum Prob

1,0,8,5,30,0

Expe

cted

Cum

Pro

b

1,0

,8

,5

,3

0,0

Figura 6.b – Gráfico P-P (dist. LogNormal). Figura 6.c – Gráfico P-P (dist. Weibull). Como se pode observar nos gráficos anteriores, a Distribuição de Weibull para H13 dá uma maior

aproximação aos pontos a analisar (“mais linear”). Podemos ainda concluir que numa distribuição

normal, o valor médio será afectado com a variação do desvio padrão e da média, para o caso da

distribuição de Weibull o valor médio será afectado só pelo factor de escala e não pelo factor de forma,

também esta distribuição não considera valores negativos, o mesmo não acontece para a distribuição

normal.

Este tipo de análise é realizado para os diferentes consumidores e para as diferentes horas, da

distribuição de Weibull obtém-se dois parâmetros AAAA e K K K K, onde AAAA representa o factor de escala e KKKK

representa o factor de forma.

Lognormal P-P Plot of H13

Observed Cum Prob

1,0,8,5,30,0

Expe

cted

Cum

Pro

b

1,0

,8

,5

,3

0,0

Normal P-P Plot of H13

Observed Cum Prob

1,0,8,5,30,0

Expe

cted

Cum

Pro

b

1,0

,8

,5

,3

0,0



De notar, que estes valores são tirados individualmente para um consumidor e para uma determinada

hora, formando assim uma tabela final que dará uma informação do tipo de consumidor para um

determinado dia da semana, para as diferentes horas do dia.

Nesta fase, pode-se ter já o diagrama de carga associado a um determinado consumidor, isto é, se for

dada uma certa informação comercial sobre um tipo de consumidor teremos as condições necessárias

para obter o diagrama. A título de exemplo pode-se considerar a seguinte informação comercial:

Consumidor do tipo E com uma potência contratada de 20 kW. Qual será o diagrama de carga para este

consumidor, para o sábado?

Com esta informação, tiramos o factor de utilização da seguinte tabela:

PC_min PC_max Tipo DS FU15 30 E Sábado 0,001

Com o factor de utilização calculamos a energia 48,0fuP24W c =××= , com esta energia multiplica-

se o parâmetro de escala AAAA, para cada hora do diagrama, obtendo-se assim, o diagrama para este

consumidor a partir dos dados comerciais.

Figura 7 – Diagrama de carga para um consumidor de tipo E

A utilização do factor de escala A e o factor de forma K é uma das possibilidades para obter diagramas

representativos para consumidores através da informação comercial dos mesmos, no decorrer deste

trabalho serão utilizados (em vez destes parâmetros) os histogramas representativos da fdp de carga,

isto significa que em vez de ter o diagrama representado por um ponto, para cada hora, estará sim

representado por vários pontos por cada hora (matriz). Isto deve-se ao facto de ao utilizar os

parâmetros A e K da distribuição de Weibull poderia acontecer o caso da própria distribuição estar a

eliminar certos comportamentos relevantes para o cálculo dos factores de simultaneidade. Na figura 8

está representada esta situação.

00,0050,01

0,0150,02

0,0250,03

0,0350,04

0,045

0 5 10 15 20 25 30



,325,300

,275,250

,225,200

,175,150

,125,100

,075,050

,0250,000

70

60

50

40

30

20

10

0

S

Figura 8 Nesta figura, pode-se também observar que a distribuição pode “cortar” informação relevante que se

encontra no histograma, visto este ser aproximado ao comportamento da distribuição.

Os novos diagramas de cargas para os diferentes consumidores serão dados por duas matrizes, uma

matriz de escala e uma matriz de histogramas (normalizados) para as diferentes horas, a dimensão da

matriz de escala será de n x m, onde n será as 24 horas do diagrama e m será a incerteza do diagrama,

no Anexo C encontram-se representadas estas matrizes para o consumidor industrial (Tipo E). Na figura

9 está representado o novo diagrama de carga para um consumidor industrial de baixa tensão dado pela

informação comercial.

Consumidor do Tipo E

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Figura 9

fdp Histograma



De seguida, temos um esquema que representa as fases de processo para a construção da base de

dados utilizada neste trabalho, dando origem a obtenção de diagramas de cargas para os diferentes

tipos de consumidores de baixa tensão partindo apenas da informação comercial dos mesmos. Esta base

de dados irá ser utilizada para obter a agregação de um grupo de consumidores através de uma

ferramenta desenvolvida para este efeito, tratada num outro capítulo deste trabalho.

Figura 10 – Fases do processo.

3. Agregação de diagramas de carga

3.1. Identificação Para a identificação dos diagramas a agregar temos que ter em conta a caracterização da forma dos

diagramas bem coma a caracterização da energia dos mesmos.

De seguida serão mencionados os passos para a caracterização da forma dos diagramas:

- Obter formas de diagramas típicos através de técnicas de agrupamento;

- Reformular os agrupamentos de forma a serem identificáveis por informação comercial (no nosso

exemplo usamos a potência contratada, o tipo de consumidor e o dia da semana);

- Com a nova reclassificação fazer uma análise probabilística dos diagramas, identificando os parâmetros

da ddp para cada hora e cada classe (utiliza-se os histogramas da fdp);

- Tabelar os parâmetros da ddp.

Consumidor do Tipo E

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Informação comercial e

tipos de consumo

Normalizar

Clustering Excel Filtro

Nova Classe de Potência Contratada

Avaliação e reclassificação probabilística

Valores prontos para

comparar diagramas diferentes

Agrupamentos (GRUPOS)

Novos Agrupamentos

(GRUPOS) Energia

factor de

utilização

Valores para:

Histogramas/ incerteza

Diagramas de carga típico para um dado

consumidor



No que se refere a caracterização da energia dos diagramas temos que:

- Calcular o factor de utilização da potência contratada fu=W/(24*Pc) para cada diagrama;

- Agrupar os diagramas segundo a informação comercial;

- Calcular o valor médio de fu para cada classe;

- Tabelar o fu função da informação comercial;

Neste momento está-se em condições de identificar o diagrama típico e o factor de utilização médio com

base na informação comercial dos diferentes tipos de consumidores.

A partir dos dados disponíveis para os diferentes consumidores (nº de consumidor, potência contratada,

tipo de consumidor e dia da semana), e usando tabelas de referência pode-se identificar os histogramas

da fdp para cada hora do diagrama, bem como a escala associada a cada histograma.

Utilizando ainda tabelas de referência podemos identificar o factor de utilização e calcular a energia (W) :

24××= cPfuW

Esta energia irá multiplicar a escala associada a cada histograma para cada hora do diagrama.

De notar que não se está a falar de um ponto do diagrama, mas sim de um conjunto de pontos

(matrizes) que representam a incerteza para cada hora do diagrama.

3.2. Convolução Depois de terminada a fase de caracterização dos diagramas de carga é chegada a altura de passar à

sua agregação, de modo a obter um diagrama de cargas agregado que englobe vários consumidores

cujas características de consumo sejam semelhantes. Tendo já referido anteriormente, irão ser utilizados

os histogramas representativos da fdp da carga, onde a agregação será conseguida à custa da operação

de convolução: os diagramas serão agregados uns de cada vez, usando a convolução numérica de duas

distribuições, obtendo uma terceira fdp para a soma dos diagramas hora a hora.

O princípio aplicado é o seguinte: se uma variável aleatória X for descrita por uma fdp fx(x) e uma variável

aleatória Y for descrita por uma segunda fdp fy(y), podemos obter fy(y) em que U=X+Y, em que U é a

variável aleatória descrita pela fdp fu(U):

dyyufyfdxxufxfuf yyyxu )()()()()( −=−= ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

(Equação 4)

As convoluções são comutativas, associativas e distributivas, permitindo as operações necessárias na

agregação de diagramas.



Tendo ainda em conta que:

� a convolução de duas distribuições normais com média 0 e variâncias σ12 e σ12 é uma

distribuição normal com média zero e variância σ12 + σ12;

� a convolução de uma distribuição normal com uma distribuição exponencial é aproximadamente

uma distribuição exponencial.

Ou seja, com o auxílio de uma ferramenta computacional em VBA (Visual Basic for Applications)

desenvolvida para este trabalho, podemos agregar os diagramas de carga, desde que tenhamos

tabelado devidamente os valores dos histogramas e das escalas associadas a cada classe e também

para realizar a agregação de diferentes diagramas de carga, uma das partes do desenvolvimento foi

arranjar e desenvolver um código para realizar a convolução de duas fdp da maneira mencionada

anteriormente.

Nesta fase, e com auxílio de uma folha de cálculo do Excel, estudou-se um caso de dimensões mais

pequeno, para testar e desenvolver o mesmo. Numa primeira fase, tem-se o valor de escala bem como a

probabilidade para as duas funções de distribuições, de notar que a probabilidade é representada pelos

valores dos histogramas sendo estes já normalizados.

O problema desta abordagem é arranjar uma distribuição de probabilidade para uma nova fdp de U,

sendo este U a variável que irá conter o valor da agregação das outras duas funções X e Y.

Vamos partir deste exemplo para explicar a maneira como foi realizada a agregação através da

convolução, na tabela 3.2.1 estão representados os valores de escala do X e do Y utilizados.

escala Probabilidade escala Probabilidade0 0 0 0

0,5 0,4 5 0,31 0,3 10 0,3

1,5 0,3 15 0,42 0 20 0

X Y

Tabela 3.2.1 – Escalas e probabilidade para as fdp de X e Y.

Através dos valores da escala do X e Y calculamos o valor máximo e mínimo da escala, com as equações

5 e 6 obteve-se o valor máximo e mínimo da escala do U e fazendo a descretização destes valores para

obter a escala do U para a agregação das duas fdp.

máxmáxmáx YXU += (Equação 5)



minminmin YXU += (Equação 6)

Sabendo esta informação para as variáveis a agregar, faz-se outra tabela para obter uma nova escala

para U (U = X + Y) esta é obtida através de intervalos das escalas, isto é, para cada valor de X e de Y

temos um limite superior e outro inferior onde estará associado um valor de probabilidade para esse

intervalo (figura 3.2.1).

Figura 3.2.1 – Escalas e probabilidade para as fdp de X e Y.

Da figura 3.2.2 pode-se observar como é obtida a distribuição da probabilidade para a nova

probabilidade de U através dos dois intervalos de X e Y e respectivas probabilidades, isto significa que se

irá ter dois limites para U, um inferior e outro superior com uma dada probabilidade de estar dentro

desse intervalo.

Figura 3.2.2 – Intervalo e probabilidade para as fdp de X , Y e U.

Depois de ter encontrado os diferentes intervalos para a nova escala de U, as quais terão informação

sobre as probabilidades associadas a estas, fixa-se um dos valores iniciais da escala U inicial, obtida

através das equações 5 e 6, e percorre-se todos os valores da nova escala de U para obter as várias

probabilidades associada a esse valor.

Valor a procurar de U

Novos intervalos de Uonde se encontam os

Umin Umáx

valores a procurar

Probinf Probsup

0 0,5 1 1,5 2

0,4

0,3 0,3

0,0

Escala do X

Prob

abilid

ade

0 5 10 15 20

0,4

0,3 0,3

0,0

Escala do Y

Prob

abilid

ade

Primeiro intervalo de U

0,12

0 0,5

0,4

Prob

abilid

ade

0 5

0,3

0 5,5

Primeiro intervalo de X Primeiro intervalo de Y

0,4 x 0,3

0+0 0,5+5



Figura 3.2.3

Na figura 3.2.3 pode-se observar que o valor a procurar encontra-se associado a um intervalo com uma

certa probabilidade, pode-se então calcular a probabilidade desse valor se encontrar do lado inferior da

nova escala de U e a respectiva probabilidade dele se, encontrar do lado superior da nova escala, esta

análise é feita para todos os valores da escala obtendo assim a agregação final, a qual será dada pela

soma das diferentes probabilidades do lado inferior do valor da escala de U a procurar com a

probabilidade do lado superior do intervalo anterior do valor da escala de U.

Na tabela 3.2.2 pode-se observar os valores obtidos para a agregação das fdp X e Y.

Escala Agregação0 0

5,5 0,28636363611 0,345454545

16,5 0,36818181822 0

U

Tabela 3.2.2 – Escalas e Agregação final das fdp de X e Y.

Na figura 3.2.4 observa-se os resultados obtidos para a agregação U através das respectivas fdp X e Y,

de notar que os valores das probabilidades para X e Y deverão estar normalizados e o resultado da

agregação também será um valor normalizado.

00,050,1

0,150,2

0,250,3

0,350,4

0,45

1 2 3 4 5

Probabilidade de X

Probabilidade de Y

Agregação final

Figura 3.2.4

Nesta figura pode-se observar que à agregação obtida ira distribuir os valores das probabilidades de X e

Y por a escala do U, obtendo assim uma nova distribuição para esta agregação.



3.3 Modelação Probabilística

Como foi descrito na secção anterior a convolução realizada para agregar duas fdp tem uma grande

componente probabilística a qual está associada uma incerteza, na figuras 3.3.1a e 3.3.1b encontra-se

representada a incerteza associada à nossa agregação final obtida.

Figura 3.3.1a – Incerteza para a agregação de consumidores do tipo A

A agregação representada na figura 3.3.1a para os consumidores domésticos de baixa tensão (Tipo A),

foi obtida através do valor médio para os diferentes pontos associados a uma determinada hora, a titulo

de exemplo repare-se que para a hora 1 existe uma faixa em torno da agregação dada pela incerteza

relacionada a essa hora, esta terá uma informação sobre a qual a probabilidade de um dado ponto

dessa incerteza ser o máximo para essa hora, repare-se ainda que existe uma probabilidade de outros

pontos serem máximos (mesmo com uma probabilidade pequena em certos casos).

Para a hora 6 pode-se observar que a incerteza é mais apertada que para as outras horas do diagrama,

repare-se ainda que existem certas horas que irão ter uma incerteza maior, pelo que esta análise

probabilística utilizada é importante.

0

20

40

60

80

100

120

140

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Histograma de incertezaAgregação Incerteza

Pot

ênci

a (k

W)

Horas (h)



Figura 3.3.1b – Incerteza para à agregação de consumidores do tipo G

Na agregação apresentada na figura 3.3.1b pode-se observar que a incerteza associada a este tipo de

consumidor não é muito grande em certas horas do diagrama, para as horas 3 e 7 pode-se observar

que existem pontos onde há uma probabilidade ainda que pequena de ser máximo mas a maior parte

dos pontos onde pode ser máximo encontra-se mais próximo do meu “limite” inferior da incerteza. Na

hora 20 como a incerteza é mais apertada, qualquer ponto do intervalo de incerteza tem uma

probabilidade de ser máximo, isto quer dizer, que quando a minha incerteza é mais apertada existem

mais pontos do meu intervalo que podem ser máximos.

Na ferramenta de cálculo implementada para obter a agregação de diferentes tipos de consumidores

existe um parâmetro que merece uma especial atenção, que é o valor esperado máximo para os

diferentes diagramas de consumidores e para o diagrama da agregação de um conjunto de

consumidores.

Este valor esperado máximo é calculado através de uma matriz de probabilidade máxima a qual nos dará

informação sobre qual a probabilidade de cada ponto ser maior que os outros pontos do diagrama, isto

significa que como se tem para cada diagrama duas matrizes que irá representar um dado tipo de

consumidor, sendo uma delas os histogramas para cada hora e a outra matriz a respectiva escala,

pretende-se saber através destas duas qual é a probabilidade máxima associada a cada ponto da matriz.

Na figura 3.3.2 está representado este processo de cálculo.

Histograma de incertezaAgregação Incerteza

Pot

ênci

a (k

W)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Horas (h)



somar estas probabilidades

Escala da fdp Histograma da fdph1 h2 h3 h4 h1 h2 h3 h4 h1 h2 h3 h4

Escala minima

Escala máxima

ponto a partir do Σ Σ Σ = Probabilidade máxima desse ponto qual tenho que somar em relação aos outrosas probabilidades

Valor para o qual se quer saber a Probabilidade máxima em relação aos outros

Último valor da escala que é inferior ao valor a procurar

Valores a somar para obter a probabilidade minima

Probabilidade máxima

x x x

Figura 3.3.2

Nesta figura, pode-se observar o método utilizado para calcular as diferentes probabilidades máximas

para todos os pontos da matriz, sabe-se que cada diagrama a agregar é representado por uma matriz

que contém a escada (descretização) do diagrama e por uma segunda matriz que contém a informação

sobre os histogramas (probabilidades) para cada hora do diagrama.

Partindo de um valor da escala para o qual se pretende saber a probabilidade desse ponto ser máximo,

para uma determinada hora em relação aos outros pontos da escala que representam as restantes

horas, percorre-se todos os pontos para as diferentes horas, até encontrar o último ponto que seja

inferior ao procurado e soma-se as probabilidades até esse ponto, para cada hora será obtida a

probabilidade desta ser inferior àquela que é procurada. Multiplica-se as probabilidades mínimas

encontradas para cada hora com a probabilidade que está no histograma na posição que é pretendida

(equação 7).

(X)Prob(X)Prob(h24)Prob......(h2)Prob(h1)Prob nova

maxhminminmin =×××× (Equação 7)

onde:

Probmin(h1) - representa a probabilidade mínima para uma determinada hora (somatório dos diferentes

pontos do histograma para uma determinada hora).

Probh(X) - representa o valor da probabilidade que está no histograma para esse ponto.

(X)Probnovamax - representa o valor máximo da probabilidade desse ponto em relação aos outros pontos.



Depois de encontrada a nova matriz das probabilidades máximas estamos em condições de encontrar o

valor esperado máximo do diagrama. Tendo a escala e a nova probabilidade calcula-se o valor esperado

para cada hora e soma-se estes valores esperados das diferentes horas obtendo-se assim o valor

esperado máximo para o diagrama.

Este procedimento também é aplicado para a agregação final de um conjunto de consumidores obtendo

assim informação sobre o valor esperado máximo para o diagrama final da agregação.

3.4 Considerações para a Agregação e Índices do diagrama Resolvida a questão do método a utilizar para a agregação, chegamos ao problema central da

classificação de diagramas: agregar “como” e “o quê”. De um ponto de vista estritamente intuitivo,

parece lógico agregar os diagramas de carga por tipo de consumidor ou por classe de consumo, ou

ainda por dia da semana. Mas o que interessa realmente não é tanto a agregação específica dos

consumidores com base apenas nas suas semelhanças, mas sim a sua agregação geográfica.

Consideremos por exemplo a rede esquematizada na figura 3.4.1; supondo que desejamos dimensionar

qualquer uma das artérias que divergem da saída principal da subestação. Nesse caso estamos

interessados em agregar os consumidores servidos pela artéria e não um tipo específico ou uma classe

específica de consumidores. Ou seja, interessa-nos agregar x consumidores de um certo tipo com y de

outro tipo, para várias classes de consumo e para diversos períodos (dias da semana). Por outras

palavras, queremos que a agregação transcenda tanto quanto possível as fronteiras da similaridade

entre as características dos consumidores agregados, e agregar tantos diagramas de consumidores

diferentes quanto pudermos.

Figura 3.4.1 – Rede de distribuição típica.



É claro que uma agregação feita com base nestas premissas irá ser afectada por uma incerteza que será

absolutamente necessário quantificar. Não podemos simplesmente agregar os diagramas de carga de

consumidores que não tenham nada de semelhante entre si, ou cuja agregação não faça sentido dada à

ausência de simultaneidade entre eles. É neste contexto que surgem as medidas de incerteza, que nos

permitem quantificar até que ponto é que a nossa agregação é válida. Uma dessas medidas é o factor de

utilização da potência contratada. Porém, há ainda mais grandezas que podem ser de grande utilidade

como medidas de incerteza:

• Factor de Utilização da Potência Contratada

∑

∑

∑=

=

=

== n

kkscontratada

ii

n

kkinstaladas

media

P

W

P

Puf

1

24

1

1

24.. (Equação 5)

• Factor de Vazio (representa a ordem de grandeza relativa da potência de vazio

relativamente à ponta):

máxPPf min

0 = (Equação 6)

• Factor de Carga (representa a ordem de grandeza relativa da potência média

relativamente à ponta):

max

ii

max

mediacarga P

W

PPf 24

24

1∑

=

== (Equação 7)

• Factor de Simultaneidade:

∑=

= n

i

agregados

iP

Pf

1max

max (Equação 8)

• Factor de Simultaneidade Probabilístico:

∑=

= n

ii

agregados

MáxE

MáxEf

1)(

)( (Equação 9)



Dos índices mencionados anteriormente o que vai ter mais destaque no ponto 5 deste trabalho será o

factor de simultaneidade probabilístico, no qual se irá comparar os resultados deste índice com os

resultados existentes em tabelas de simultaneidade existente para consumidores de baixa tensão. Este factor de simultaneidade probabilístico é calculado através do valor esperado máximo para a

agregação final e pela soma dos valores esperados máximos para cada um dos diagramas de entrada

que representa um tipo de consumidor.

Vamos portanto, fazer a nossa análise supondo que pretendemos dimensionar uma artéria da nossa rede

de distribuição. Para maior clareza e compreensão do processo, o ideal será começar por agregar primeiro

consumidores de tipos e classes de potência semelhantes e só depois passar a agregar também outros,

estas últimas agregações serão feitas com mais detalhe no ponto 5. Para cada agregação, tabelamos as

suas medidas de incerteza de modo a poder comparar as diferentes agregações à medida que elas forem

sendo feitas. Arbitrariamente, começamos por considerar consumidores de Baixa Tensão de uma rua (caso

base). A tabela 3.4.1 ilustra as suas características. No final do processo de agregação, obtemos o gráfico

da figura 3.4.2 e os valores da tabela 3.4.2. Repare-se ainda que a forma do diagrama final corresponde

tipicamente à forma de um diagrama de carga de um consumidor doméstico, como seria de esperar.

N Potência Contratada TIPO FU W (kWh)15 3,3 A 0,0899 7,1175 6,6 A 0,0899 14,2343 9,9 A 0,0899 21,351

10 3,3 B 0,4152 32,887

Tabela 3.4.1 – Características dos diagramas agregados.

Agregação de Diagramas

0

10

20

30

40

50

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Horas

Potê

ncia

(kW

)

Figura 3.4.2 – Resultados da agregação dos diagramas da tabela 2



Valor Esperado Pmáx Pmed Pmin fsW (kwh) (kW) (kW) (kW) Probabilistico576,67 45,165 24,028 5,441 0,640 49,196 0,120 0,532 1,0 0,165

E(Máx) fo fcarga fuPCfs

Tabela 3.4.2 – Parâmetros da distribuição final e medidas de incerteza.

Obtivemos um factor de vazio baixo, isto porque os consumidores domésticos de pequena potência

contratada quase não consomem energia durante a noite, o que se traduz num grande desnível entre a

ponta e o vazio. O factor de utilização da potência contratada dá-nos a informação sobre o aproveitamento

da potência instalada. Já o factor de simultaneidade será igual a 1, o que é de esperar dadas as

características particulares dos consumidores domésticos (perfis de consumo semelhantes e variações de

carga ao longo do tempo moderadamente acentuadas), pode-se observar que o factor de simultaneidade

probabilístico irá ter um valor mais baixo visto este considerar o valor esperado de cada diagrama e não

um ponto do diagrama. De salientar ainda que a inclusão dos 10 consumidores não – domésticos de Baixa

Tensão não alterou significativamente a forma do diagrama final, mas terá influência no cálculo do factor de

simultaneidade probabilístico.

Vamos agora complicar um pouco o nosso caso base: desta vez vamos supor que em vez de apenas uma

rua, temos um bairro inteiro (vamos caminhando progressivamente para a subestação). Podíamos por

exemplo fazer a agregação do resultado anterior com diagramas novos, o que seria interessante do um

ponto de vista de análise sistemática, mas ao invés, vamos antes supor uma amostra mais complexa, com

consumidores cuja potência contratada é mais elevada e considerar também a iluminação pública, de modo

a testar outras combinações de consumidores:

N Potência Contratada TIPO FU W (kWh)15 13,2 A 0,0899 28,46810 9,9 A 0,0899 21,35115 3,3 B 0,4152 32,88710 9,9 C 0,4465 106,079

Tabela 3.4.3 – Características dos diagramas agregados.

Agora a forma do nosso diagrama já não é tão clara como no caso anterior. Os factores de vazio e de

utilização da potência contratada subiram, como aliás era previsível, já que o facto de incluirmos a

iluminação atenua as diferenças ponta/vazio do diagrama de carga, conduzindo também a um melhor

aproveitamento da potência instalada. Já no que respeita ao factor de simultaneidade, o seu decréscimo é

explicado pelo maior número de diagramas a agregar relativamente ao caso anterior e também à evidente



ausência de simultaneidade entre diagramas diurnos e nocturnos (todos os diagramas são tipicamente

diurnos exceptuando os diagramas da iluminação).

Agregação de diagramas

020406080

100120140160

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Horas

Potê

ncia

(kW

h)

Figura 3.4.3 – Resultados da agregação dos diagramas da tabela 2

Valor Esperado Pmáx Pmed Pmin fsW (kwh) (kW) (kW) (kW) Probabilistico2220,37 133,954 92,516 33,119 0,448 135,787 0,247 0,691 0,8 0,208

E(Máx) fo fcarga fuPCfs

Tabela 3.4.4 – Parâmetros da distribuição final e medidas de incerteza.

Neste último exemplo e visto que já se está a agregar um número mais elevado de consumidores de

diferentes tipo (50 consumidores), comparamos o valor do factor de simultaneidade probabilístico com o

valor existente nas tabelas dos mesmos (50 e mais o fs=0,40) e pode-se observar que eles estão

dentro da mesma grandeza. No ponto 5 deste trabalho encontram-se mais resultados para diferentes

tipos de agregações.

4. Descrição da ferramenta desenvolvida para a agregação de diagramas Nesta fase do trabalho, apresenta-se com algum detalhe a ferramenta desenvolvida para a agregação

dos diferentes tipos de consumidores, apenas com a informação comercial dos mesmos.

Na figura 4.1 podemos observar os diferentes procedimentos que fazem parte do programa.

Um destes procedimentos é a interface visual com o utilizador, a qual é de uso muito simples. Os

parâmetros disponíveis por defeito permitem que os utilizadores façam um bom uso da ferramenta. Outro



parâmetro que fica ao mesmo nível deste é a Base de Conhecimento que não é mais do que a

informação sobre a energia, factor de utilização e a própria forma do diagrama.

Existem mais três blocos importantes, o primeiro que será a identificação individual feita pela programa

através do utilizador e da base de conhecimento, o qual terá um diagrama de carga representativo do

comportamento do consumidor em causa. O segundo, não faz mais do que a agregação dos diferentes

conjuntos de consumidores já estudados noutro ponto do trabalho.

O terceiro será aquele que terá a informação sobre os diferentes índices da agregação.

Figura 4.1 – Procedimentos do programa.

NC PC Tipo 10 6,6 A 2 3,3 B 1 13,2 E 1 9,9 G

Energia fu 7,117 0,090

14,234 0,090 21,351 0,090 0,000 0,000

UTILIZADOR

Informação Comercial

BASE DE CONHECIMENTO

Informação sobreEnergia

Informação sobre forma

0

0,1

0,2

0,3

0,4

05

1

1 ,5

2

2 ,5

3

3 ,5

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

IDENTIFICAÇÃO INDIVIDUAL

AGREGAÇÃO

INDICES / FACTORES

05

101520253035404550

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23



1

2 3 4 5

6

7

8

9

1011 12

4.1 Interface e utilização

O utilizador interage com esta ferramenta através de uma interface visual, sendo de salientar que todas as

funções disponíveis por esta ferramenta estão personalizadas através de botões e da análise gráfica

disponível. Na figura 4.1.1 está representada esta interface.

Figura 4.2 – Interface visual.

1.1.1.1. Deve-se introduzir os dados comerciais dos diferentes tipos de consumidores. O primeiro

parâmetro a introduzir será o número de consumidores, o segundo será a potência contratada e

o terceiro o tipo de consumidor;

2.2.2.2. Onde aparece as informações comerciais introduzidas no ponto anterior;

3.3.3.3. Para este ponto encontra-se representado uma série de botões.

Neste botão está criado um exemplo para um determinado conjunto de

consumidores que pretende agregar.

Este botão irá conter um número de linhas que se irão agregar, este

número de linhas resulta do número de consumidores introduzidos no ponto 1. Se pretender

eliminar o número de linhas introduzidas no ponto 1111, temos que carregar neste botão e elas serão

eliminadas com a confirmação do utilizador.

Este botão insere uma nova linha por baixo da linha seleccionada nesse



momento, depois de abrir o programa o primeiro botão a carregar será este, isto deve-se ao facto

de este criar a primeira linha do ponto 1111.

Este botão fará exactamente o contrário do anterior, isto é, insere uma

linha antes da linha seleccionada nesse momento.

Este elimina a linha que estiver seleccionada.

De notar que quando uma linha está seleccionada (uma linha do ponto 1) ela fica a azul, e passa

para cinzento quando está a ser alterada, ou simplesmente quando o programa esta em fase de

cálculo.

Este ultimo serve para seleccionar o dia da semana a agregar.

4.4.4.4. Neste gráfico estará representado o diagrama de carga depois da identificação dos dados

comerciais para os consumidores a agregar.

5.5.5.5. Este ponto terá os valores para representação das diferentes agregações, isto é, quando se

carrega cada linha ira aparecer no ponto 12 o gráfico da agregação.

6.6.6.6. Ao carregar neste botão e depois de ser verificado pelo programa se todos os parâmetros se

encontram bem inseridos, proceder-se-à à agregação do conjunto de consumidores criados

pele utilizador.

7.7.7.7. Neste espaço aparecerá os valores probabilísticos calculado pelo programa. O valor de

simultaneidade probabilístico bem como o valor esperado máximo e o factor de carga associado

ao valor máximo esperado, de notar que estes parâmetros refere-se à ultima agregação.

8.8.8.8. Depois de efectuar a agregação esta célula irá dar a possibilidade de escolher uma dada hora

do diagrama para ser possível analisar e observar o comportamento dos histogramas para as

diferentes agregações.

9.9.9.9. Apresenta os histogramas escolhidos pelo utilizador para as diferentes horas escolhidas no

ponto 8.

10.10.10.10. Neste espaço aparecerá uma série de índices da agregação, estes índices são o factor de

simultaneidade, o factor de carga, o factor de vazio e o factor de utilização da potência

contratada.

11.11.11.11. Este ponto dará as características dos diagramas, isto é, a potência máxima, média e mínima do

diagrama apresentado no gráfico 12, bem como o seu valor de energia.

12.12.12.12. Apresenta o gráfico da agregação final bem como o gráfico das diferentes agregações.



4.2 Utilização4.2 Utilização4.2 Utilização4.2 Utilização

Para utilizar correctamente esta ferramenta é necessário introduzir em primeiro lugar os dados

comerciais dos consumidores a agregar, estes dados deverão ser introduzidos carregando em primeiro

lugar o botão de adiciona, este irá criar a primeira linha para a qual será introduzida a informação

comercial do primeiro consumidor.

De notar que sempre que se pretenda introduzir uma nova informação comercial e necessário adicionar

uma linha ou inserir uma linha antes da célula seleccionada neste caso.

Se por qualquer motivo os parâmetros não forem correctamente introduzidos e se pretender efectuar a

agregação o programa dará uma mensagem de erro (figura 4.2.1).

Figura 4.3 – Mensagem de erro.

Quando esta mensagem aparecer o utilizador deverá ver qual o parâmetro que está mal inserido.

5. Estudos de factores de simultaneidade O estudo dos factores de simultaneidade será realizado através de uma ferramenta computacional

desenvolvida para o efeito. Esta ferramenta dará informação sobre os diferentes índices do diagrama da

agregação bem como o factor de simultaneidade probabilístico o qual é calculado através dos valores

esperados para os diagramas de entrada e do diagrama de agregação.

De seguida serão apresentados uma série de resultados obtidos para as diferentes agregações, de

diferentes conjuntos de consumidores.

Numa primeira fase, vamos observar a evolução do factor de simultaneidade com o aumento do número

de consumidores, para cada tipo de consumidor. A agregação será feita para consumidores de tipos e

classes de potências semelhantes.

A tabela 5.1 ilustra as características para um consumidor doméstico de Baixa Tensão para um dia de

semana e os respectivos valores obtidos das agregações com o aumento do número de consumidores. A

figura 5.1 representa o forma do diagrama associado a este tipo de consumidor.



Diagrama de carga tipico

0

0,5

1

1,5

2

h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9 h10

h11

h12

h13

h14

h15

h16

h17

h18

h19

h20

h21

h22

h23

h24

horas (h)

Potê

ncia

(kW

)Tipo A

Figura 5.1 – Diagrama de carga para um consumidor doméstico.

Tipo de PC Energia Pmáx Pmed Pmin fs Consumidor (kW) (kwh) (kW) (kW) (kW) Probabilistico

2 A 9,9 44,358 3,582 1,848 0,763 0,724 1,05 A 9,9 110,100 8,858 4,588 1,913 0,606 1,07 A 9,9 153,106 12,317 6,379 2,675 0,576 1,0

10 A 9,9 217,774 17,565 9,074 3,805 0,555 1,020 A 9,9 434,597 35,066 18,108 7,598 0,537 1,030 A 9,9 651,582 52,574 27,149 11,396 0,532 1,050 A 9,9 1085,491 87,606 45,229 18,991 0,529 1,060 A 9,9 1302,441 105,127 54,268 22,789 0,528 1,0

NC fs

Tabela 5.1 – Características dos diagramas agregados.

Pode-se observar que os resultados obtidos para o valor de simultaneidade probabilístico são diferentes

do factor de simultaneidade (“normal”), isto é, com o aumento do número de consumidores com as

mesmas características e de esperar que o factor de simultaneidade calculado através da equação 1 seja

igual a 1.

∑=

= n

i

agregados

iP

Pf

1max

max (Equação 1)

Onde a Pmax agregado representa o valor da potência máxima para a ponta do diagrama agregado e o Pmaxi

representa o valor da potência máxima para a ponta de cada um dos diagramas representativos de cada

consumidor.

Para o factor de simultaneidade probabilístico não são considerados os valores das potências máximas

das pontas do diagrama mas sim o valor esperado de esse ponto do diagrama ser máximo. Não pode-

mos esquecer que se está a trabalhar com uma certa incerteza, relacionada a cada gráfico que

representa um dado consumidor, o valor da potência máxima da ponta para este é um valor médio dos



diferentes pontos que representam uma dada hora do diagrama, o mesmo não acontece para o factor de

simultaneidade probabilístico visto este estar associado a uma probabilidade de ser máximo nessa hora

do diagrama em relação as outras horas.

A figura 5.2 representa o comportamento do factor de simultaneidade com o aumento do número de

consumidores.

0,500

0,550

0,600

0,650

0,700

0,750

0 10 20 30 40 50 60 70

Numero de Consumidores

Fact

or d

e Si

mul

tane

idad

e

Figura 5.2 –Factor de simultaneidade / aumento numero de consumidores

Foi analisado outro caso para um consumidor do tipo C (Iluminação Estado/Autarquias), o qual se

obteve os resultados apresentados na tabela 5.2 bem como a sua forma do diagrama de carga (figura

5.3).

Diagrama de carga tipico

0

2

4

6

8

10

h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9 h10

h11

h12

h13

h14

h15

h16

h17

h18

h19

h20

h21

h22

h23

h24

horas (h)

Potê

ncia

(kW

)

Tipo C

Figura 5.3 – Diagrama de carga para um consumidor

doméstico.



Tipo de PC Energia Pmáx Pmed Pmin fs Consumidor (kW) (kwh) (kW) (kW) (kW) Probabilistico

2 C 9,9 218,352 17,180 9,098 4,063 0,658 1,005 C 9,9 549,038 43,092 22,877 10,235 0,552 1,007 C 9,9 767,106 60,251 31,963 14,216 0,520 1,00

10 C 9,9 1094,358 85,970 45,598 20,164 0,499 1,0020 C 9,9 2184,216 171,838 91,009 39,963 0,472 1,0030 C 9,9 3274,465 257,707 136,436 59,866 0,459 1,0050 C 9,9 5454,395 429,446 227,266 99,673 0,448 1,0060 C 9,9 6544,225 515,316 272,676 119,576 0,446 1,00

NC fs

Tabela 5.2 – Características dos diagramas agregados.

Pode-se observar, através da figura 5.4. que o factor para este caso também ira descer com o aumento

do número de consumidores bem como a partir de um dado valor tende a estabilizar.

0,420

0,470

0,520

0,570

0,620

0,670

0 10 20 30 40 50 60 70

Numero de Consumidores

Fact

or d

e Si

mul

tane

idad

e

Figura 5.4 –Factor de simultaneidade / aumento numero de consumidores

No Anexo D pode-se observar os diferentes resultados obtidos para os diferentes tipos de consumidores.

Na tabela 5.3 encontram-se os diferentes factores de simultaneidade para os diferentes tipos de

consumidores obtidos para um dia da semana e uma segunda tabela para o fim de semana.



A C E G H2 0,724 0,658 0,568 0,946 0,6585 0,606 0,552 0,532 0,892 0,5507 0,576 0,520 0,521 0,878 0,521

10 0,555 0,499 0,499 0,866 0,50020 0,537 0,472 0,472 0,851 0,47230 0,532 0,459 0,459 0,845 0,45950 0,529 0,448 0,448 0,841 0,44860 0,528 0,446 0,445 0,840 0,445

A C E G H2 0,724 0,698 0,698 0,947 0,6985 0,608 0,603 0,604 0,893 0,6037 0,579 0,579 0,580 0,878 0,579

10 0,557 0,557 0,555 0,866 0,55520 0,537 0,533 0,532 0,851 0,53230 0,532 0,524 0,523 0,845 0,52350 0,529 0,516 0,516 0,841 0,51660 0,528 0,514 0,514 0,840 0,514

NCTipo de Consumidor

Dia da Semana

NCTipo de Consumidor

Fim de Semana

Tabela 5.3 – Factores de simultaneidade

Na tabela 5.3 estão representados os factores de simultaneidade calculados de uma maneira

probabilística, obtidos através da ferramenta desenvolvida neste trabalho, podendo-se observar que o

factor mais elevado nestas duas tabelas é aquele que representa a iluminação pública de baixa tensão

(tipo G) visto o consumo ser feito sempre nas mesmas horas, isto é, tem um comportamento “repetitivo”,

mesmo não acontece para os outros tipos de consumidores, por exemplo para os consumidores

domésticos existe uma grande diversidade dos comportamentos destes porque não consomem todos ao

mesmo tempo, não têm os mesmos comportamentos às mesmas horas isto irá influenciar, sem dúvida, o

meu factor de simultaneidade.

Nesta fase estuda-se a incerteza associada à agregação para um dos exemplos anteriores, o exemplo

utilizado e a agregação de 5 consumidores do tipo A para o qual o estudo será feito para duas horas do

diagrama, para hora 1 e para a hora 11.

A figura 5.7 tem como finalidade mostrar o que irá acontecer à incerteza ao longo da agregação para a

hora 1 do diagrama.



Distribuição de Probabilidade H1

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 0,5 1 1,5 2

Agregação1-H1

Agregação2-H1

Agregação3-H1

Agregação4-H1

Figura 5.7 –Analise de incertezas

Pode-se observar através do gráfico que a distribuição vai apertando, isto é, a variância vai diminuindo,

neste caso a distribuição de probabilidade tende para uma normal. A figura 5.8 tem como finalidade

mostrar o que vai acontecer à incerteza ao longo da agregação para a hora 11 do diagrama.

Distribuição de Probabilidade H11

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 0,5 1 1,5

Agregação1-H11

Agregação2-H11

Agregação3-H11

Agregação4-H11

Figura 5.8 –Analise de incertezas

00,0010,0020,0030,0040,0050,0060,0070,0080,0090,01

0 0,5 1 1,5 2

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6



Neste gráfico pode-se observar que a variância irá diminuir pelo facto da agregação se aproximar de

uma distribuição normal, isto é, a escala vai apertando e a fdp cresce no valor médio da distribuição.

Ainda se pode observar que nesta hora do diagrama e depois da agregação existe ainda um pequeno

pico, isto significa que ainda existe uma probabilidade pequena de aqueles pontos serem máximos.

De seguida são apresentadas duas simulações efectuadas para um grupo de consumidores com base

nas tabelas 5.4 e 5.5 que apresentam a informação relativa à distribuição percentual dos consumidores

em função do tipo de USOS e em função das potências contratadas (parte desta informação tirada da tese de

Mestrado de Vera Figeiredo sobre “Caracterização de Perfis de Consumidores de Energia Eléctrica usando Técnicas de Data Mining”).

A 39,42%

B 17,24%

C 1,72%

E 26,60%

G 11,50%

H 2,30%

F 0,60%

0,60%

Distribuição dos ConsumidoresDistribuição dos ConsumidoresDistribuição dos ConsumidoresDistribuição dos Consumidores

Informação em falta

Tipo de ConsumidorTipo de ConsumidorTipo de ConsumidorTipo de Consumidor

Uso doméstico

Uso não doméstico

Iluminação Estado/Autarquias

Usos Agrícolas

Uso industrial

Iluminação Pública

Consumidores especiais

Tabela 5.4 – Distribuição percentual dos consumidores em função do tipo de Usos

4,60%

28,70%

21,30%

23,00%

7,50%

1,70%

6,30%

0,60%

0,60%

5,80%

19,8

33

39,6Informação em falta

6,6

9,9

13,2

16,5

Potência Contratada (kW)Potência Contratada (kW)Potência Contratada (kW)Potência Contratada (kW) Distribuição dos ConsumidoresDistribuição dos ConsumidoresDistribuição dos ConsumidoresDistribuição dos Consumidores

1,13,3

Tabela 5.5 – Distribuição percentual dos consumidores em função da Potência Contratada.

Com a informação desta tabelas obteve-se várias distribuições de diferentes tipos de consumidores para

a comparação e estudo dos factores de simultaneidade associados a este.

Na tabela 5.6 está representado o primeiro caso de estudo para um dia da semana.



Total = 20

1 6,6 G1 9,9

3 13,2 E3 19,8

B0 9,9 C

1 13,34 3,3

Numero de comsumidor Potência Contratada(kW) Tipo de Consumidor

3 3,3

A2 6,62 9,9

Tabela 5.6– Distribuição de vários tipos de consumidores.

Na figura 5.9 estão representados os diferentes diagramas a agregar pare estes tipos de consumidores,

no final do processo da agregação obtemos o gráfico da figura 5.10 e os respectivos valores da

agregação na tabela 5.7.

Diagramas tipicos

0

2

4

6

8

10

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23Horas

Potê

ncia

(kW

)

3 x A

2 x A

2 x A

1 x A

4 x B

3 x E

3 x E

1 x G

1 xG

Figura 5.9 –Diagramas típicos a agregar



Agregação Final

05

101520253035

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Horas

Potê

ncia

(kW

(

Figura 5.10 –Agregação final para os vários consumidores.

Valor Esperado Pmáx Pmed Pmin fsW (kwh) (kW) (kW) (kW) Probabilistico

529,452 32,890 22,060 15,583 0,425 28,030 0,119

E(Máx) fuPC

Tabela 5.7– Parâmetros da agregação final.

O valor obtido para o factor de simultaneidade para este conjunto de consumidores está numa ordem de

grandeza muito próxima dos factores existentes nas tabelas existentes no regulamento.

De seguida será representado o mesmo exemplo com a particularidade que este estudo será feito para o

fim de semana, visto o comportamento dos vários tipos de consumidores serem diferentes ao fim de

semana.

Diagramas Tipicos

0

2

4

6

8

10

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Horas

Potê

ncia

(kW

)

3 x A2 x A2 x A1 x A4 x B3 x E3 x E1 x E1 x G

Figura 5.11 –Diagramas típicos a agregar



Agregação Final

05

101520253035

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Hora

Potê

ncia

(kW

)

Figura 5.11 –Agregação final para os vários consumidores.

Valor Esperado Pmáx Pmed Pmin fsW (kwh) (kW) (kW) (kW) Probabilistico

433,824 32,226 18,076 8,714 0,577 31,696 0,098

E(Máx) fuPC

Tabela 5.7– Parâmetros da agregação final.

Nestes dois exemplos podemos observar que no caso de se considerar este conjunto de consumidores

ao fim de semana ou num dia da semana dará valores de simultaneidade diferentes. Este resultado deve-

se ao facto dos diagramas a agregar terem ou não um comportamento linear do ponto de vista do valor

do ponto do diagrama, isto significa que se comprarmos os diagramas individuais dos consumidores por

exemplo figura 5.9, observa-se que existe um consumidor (tipo E) que esta a “equilibrar” a agregação

obtendo assim factores de simultaneidade mais baixos quando comparados com a agregação feita para

o fim de semana visto este consumidor ter comportamento diferente.

No Anexo E pode ser observado as diferentes agregação para conjunto de consumidores diferentes.



6. Conclusões

Existem muitos processos e critérios diferentes de agrupar a informação comercial em clusters de pontos

para posterior análise estatística. Mas o fundamental neste domínio é que no final do processo de

agrupamento sejamos capazes de analisar de forma crítica a informação contida em cada cluster, de modo

a podermos proceder à sua reclassificação, se necessário e se vantajoso. A constituição de classes obtidas

a partir da informação comercial pode ser uma tarefa morosa e extremamente complicada do ponto de

vista computacional se não forem escolhidas estratégias de agrupamento que nos permitam averiguar de

forma mais ou menos exacta a qualidade da informação agrupada. Uma das questões pertinentes para o

estudo dos Fuzzy c-Means que não foi abordada neste trabalho é a questão da robustez da solução

encontrada: deve haver um critério de avaliação do desempenho da ferramenta computacional utilizada,

crtitério esse que pode ser conseguido através de índices de robustez.

Poderá também ser vantajoso dividir uma parte da informação da amostra inicial em classes (como fizemos

no caso da potência contratada), de modo a reduzir o número e casos a analisar a níveis que possam ser

tratados em tempo útil. Um dos problemas que se coloca, hoje em dia, às empresas não é tanto encontrar

soluções óptimas para os seus problemas, mas sim encontrar soluções económicas que possam ser

implementadas dentro de um período de tempo determinado (prazo).

Relativamente à agregação, é bastante interessante o facto de utilizarmos a convolução de fdp’s para

conseguirmos um diagrama de cargas final, dado que este processo nos permitir estabelecer

probabilidades de carga para o diagrama final obtido. Qualquer empresa de distribuição de energia tem

interesse em prever a carga para determinadas alturas do dia e da semana, tendo em conta o tipo de

utilizador, a sua potência contratada e a área geográfica em que está inserido. Este conhecimento

determina a sua competitividade (factor cada vez mais importante na tendência crescente de

implementação de mercados de electricidade), dado o conjunto de cenários possíveis que permite

quantificar.

Também neste capítulo é necessário que os critérios de agregação sejam tão inteligentes quanto possível,

de modo a que os diagramas classificados possam reflectir casos reais de exploração.

Pode-se indicar como contributo importante deste trabalho, a criação de uma ferramenta eficiente para

efectuar a agregação de duas fdp, permitindo assim o estudo dos factores de simultaneidade e as

respectivas incertezas associadas a estes estudos. Esta ferramenta também será importante pela

informação visual que transmite ao utilizador, do ponto de vista gráfico consegue-se mostrar de que

forma é feita a agregação e para cada consumidor agregado qual e a influência que este irá causar na

agregação.



Foi possível concluir que o estudo de factores de simultaneidade de uma maneira probabilística ira dar

valores da mesma ordem de grandeza dos valores existentes em tabelas, isto deve-se ao facto de que,

como se está a trabalhar com uma incerteza não se pode calcular o factor de simultaneidade com base

na ponta máxima do diagrama, mas sim trabalhar com o valor esperado máximo para esse diagrama.

Quando se está a trabalhar com um valor médio de uma série de pontos para uma dada hora do

diagrama não se tem em conta se esse ponto tem uma probabilidade de ser máximo em relação aos

outros pontos do diagrama logo, neste trabalho foi considerado este facto probabilístico.

Foi possível concluir, por observação das diferentes curvas de agregação, o comportamento das fdp para

uma dada hora do diagrama, observando assim a aproximação destas funções para uma distribuição

normal, diminuindo a variância e aumentando a probabilidade de um dado ponto do diagrama ser

máximo para uma dada hora em relação as outras horas do diagrama.

Como conclusão final deste trabalho pode-se acrescentar que os objectivos foram conseguidos.



Referências J. N. Fidalgo, Manuel Matos, Maria Teresa Ponce de Leão, "Estimação De Consumos Energéticos", Actas de ELAB'96 - 3º Encontro Luso-Afro-Brasileiro de Planeamento e Exploração de Redes de Energia, 1996. J. N. Fidalgo, Manuel Matos, Maria Teresa Ponce de Leão, "Assessing Error Bars in Distribution Load Curve Estimation", Lecture Notes on Computer Science, vol.1327, pp.1017-1022, 1998. Vera Figueiredo; Data Mining for defining clusters of consumers and electricity contracts; Master in Electrical and Computer Engineering; Faculty of Engineering – Oporto University; to finish during 2003

Estudos de Factores de Simultaneidade em Redes de ...paginas.fe.up.pt/~ee93074/doc/FUSIMUL.pdf ·...

Documents

Transcript of Estudos de Factores de Simultaneidade em Redes de ...paginas.fe.up.pt/~ee93074/doc/FUSIMUL.pdf ·...