Transparências de apoio às aulas teóricas Capítulo 12 ... · Mestrado Integrado em Engenharia...

Projecto de controladoresMestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)

CONTROLOCONTROLO3º ano – 1º semestre – 2007/2008

Transparências de apoio às aulas teóricas

Capítulo 12 (Parte A) – Projecto de CompensadoresMaria Isabel Ribeiro

Pasc

oal

Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

Setembro de 2001Revisões em Março de 2002, Setembro 2003, Novembro 2005, Maio de 2007

©M

. Isa

bel R

Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 1/Cap.12-ParteANovembro.2007

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

Projecto de controladoresProjecto no domínio da frequência

ControladorSistema a controlar

EXEMPLO

0>K 21s

+

Controlador controlar

s_

C(s) G(s)Diagrama de Bode da f.t.ca.=1/s2

K=1K=1

frequência de cruzamento

s/rad.c 01=ω

Pasc

oal

º)j(Garg c 180=ω

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

margem de fase

ºM 0=Φ

©M

. Isa

bel R


M

sistema marginalmente estável

Projecto de controladoresEXEMPLO

1+


0>K 21s

+_

C(s) G(s)C(s) G(s)Critério de Nyquist

Contorno dede Nyquist

A A imagem do contorno

xxpólo

A

-1

de Nyquist passa pelo ponto crítico -1

Pasc

oal

pduplo

º*)j(C*)j(Garg*)j(C*)j(G:* 180 1 =ωω∧=ωωω∃

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

01 =ωω+ *)j(C*)j(G

©M

. Isa

bel R


*jω é um pólo em malha fechadasistema marginalmente estável


1+


0>K 21s

+_

C(s) G(s)C(s) G(s)Root-Locus

Estratégia de ControloEstratégia de Controlo

zzsK)s(C +

=

xpólo

x

zefeito estabilizador(PD)

Pasc

oal

pduplo

2 ól d

xxo

Rib

eiro

, Ant

ónio

P2 pólos da f.t.c.f. no eixo imaginário

Introdução de amortecimento artificial

devido ao termo derivativo

©M

. Isa

bel R


sistema marginalmente estável

imaginário devido ao termo derivativo


s 1+


zzsK +

21s

+_

C(s) G(s)exemplo C(s) G(s)K=1, z=0.1rad/s

º90Φ ºM 90=Φsistema em c.f. estável

Pasc

oal-1

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

∞=MGP d t h

©M

. Isa

bel R


Pode aumentar-se o ganho indefinidamente sem que se perca estabilidade

Projecto de controladoresAnálise do compensador PD

zzsK)s(C +

=arg C(s)

45º

90º

benefício de

)s/rad(ω

avanço de fase

z )(

compensador por avanço de fase

Pasc

oal

sistema original

Diagrama de Nyquist

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

-1

i t nova

O compensador de avanço de fase afasta o diagrama do ponto -1

©M

. Isa

bel R


sistema compensado

nova margem de fase

p

Projecto de controladoresCompensador PD Compensador de avanço de fase

zzsK)s(C +

=

sistema realizável (com um pólo e um zero)

pszs

zpK)s(C

++

=

zero)

Sistema a

Pasc

oal

zspK +2

1+

Controlador controlar

Rib

eiro

, Ant

ónio

Ppsz + 2s_

C(s) G(s)avanço de fase

©M

. Isa

bel R


Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase

)j(Clim ω

Ts + 1

1

∞→ω

Ts

TK)s(C

β+β

=1

1 dB

K⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

Tβ

1 <β 1 1

Ganho estático = K

1/T

T Tβ

Pasc

oal

zero = - 1/T

pólo = - 1/βΤ

o90

maxφ

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

x 1 1maxω

©M

. Isa

bel R


xT Tβ


?max =φ?=ω

Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE

11 +ω+ TjTs? =ωmax1

1 1

1 +ωβ+ω

=+β+

=ωω= Tj

TjKTsTsK)j(C

js

)T(arctg)T(arctg)()j(Carg c ωβ−ω=ωφ=ω

TT)(d c βωφ

( ) ( )22 11 TTd)(c

ωβ+

β−

ω+=

ωφ

Pasc

oal

Cálculo de

⇔ωφ

0)(d c ⇔=

β 0TT maxω

=ω2 1

Rib

eiro

, Ant

ónio

P⇔=ω

0dc

( ) ( )⇔=

ωβ+−

ω+ 0

11 22 TT β=ω 2T

1

©M

. Isa

bel R


β=ω

TmaxEm escala logarítmica, equidistante das

frequências de corte do zero e do pólo


?max =φβ

=ωT

1 max

)T(t)T(t)( βφφ

βT

)T(arctg)T(arctg)( maxmaxmaxcmax βω−ω=ωφ=φ

⎟⎞

⎜⎛ 1 )(arctgarctg β−

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ β

=1

Pasc

oal

⎟⎞

⎜⎛ β−

φ1t ⎟

⎞⎜⎛ β−

φ1i

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ β

β=φ

2arctgmax ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β

=φ1

arcsinmax

©M

. Isa

bel R



)( maxc ωφ Máximo AVANÇO DE FASE

90º

β1

1β

Pasc

oal

1<β

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

Tz 1

−=Tp

β−=

1x 0→β zp >>

©M

. Isa

bel R


Tβ

º)( maxc 90→ωφ


K⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β dB⎠⎝ β

?)j(C Kmax =ω=1 Porque é importante

conhecer ?

T1

Tβ1

o90

φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β−

=φ11arcsinmax

Pasc

oal

maxφ

maxω • O compensador de avanço de fase usa se

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

T1

Tβ1

max

1

• O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou seja somar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário.

• Ao somar fase em wmax, também se aumenta

©M

. Isa

bel R


β=ω

Tmax o ganho. De quanto?

• É o preço a pagar pelo avanço de fase


K⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β 1+ωTjK)j(CdB⎠⎝ β

11 +ωβ+ω

=ωTj

TjK)j(C?)j(C Kmax =ω=1

T1

Tβ1

1j

maxω=ω

o90

φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β−

=φ11arcsinmax

1

11

+β

+β

=ωj

jK)j(C max

Pasc

oal

maxφ

maxω

βj

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

T1

Tβ1

max

1 1 K)j(C max

β=ω

©M

. Isa

bel R


β=ω

Tmax

β

Projecto de controladoresEXEMPLO 1

Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)

motor com cargaamplificadorcontrolador

)s(K100

100+s 36

1+s s

1+posição angular

100+s 36+s s_

Obj ti ti i

velocidade

Pasc

oal

1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador0250)(

Objectivos a atingir

Rib

eiro

, Ant

ónio

P2. Erro de seguimento a rampa unitária3. Margem de fase4. Margem de ganho

0250.)(eramp ≤∞o

M 48≈ΦdBGM 6≥

©M

. Isa

bel R


g g M


)s(K 100+

G(s)a projectar

)s(K )s)(s(s 10036 ++_

)s(K~K)s(K =

ganho estático unitário

10 =)(K~


2. Erro de seguimento a rampa unitária 0250.)(eramp ≤∞

Pasc

oal

401

1

0s

≤=∞→

)s(K)s(sGlim)(eramp

1440≥K

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

40 0s

≥→

)s(K)s(sGlim

100 KK

escolha-se

©M

. Isa

bel R


403610036

1000s

≥=++→

K)s)(s(

Klim 1440=K


~ x 1440 100+

a projectar )s(GK

)s(K )s)(s(s 10036 ++_

)s(GKdiagrama de Bode de

ºM 34≅Φs/rad.dB 5290 =ω

dBGM 610≅

Pasc

oal

dB.GM 610≅s/rad.959=ωπ

Rib

eiro

, Ant

ónio

POs valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico

Só com este ganho, o sistema em

©M

. Isa

bel R


cadeia fechada é estável, embora não satisfaça a margem de fase pretendida


~ x 1440 100+

a projectar )s(GK

)s(K )s)(s(s 10036 ++_

Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist

1=)s(K~com

Contorno de Nyquist

xxx

Pasc

oal

xxx-100 -36

-134º

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

P=0 N=0

©M

. Isa

bel R


módulo=1

Z=P+N=0


~ x 1440 100+

a projectar )s(GK

)s(K )s)(s(s 10036 ++_

3. Margem de fase oM 48≈Φ

Aumento nominal de ºM 34≅ΦPara 1=)s(K~ 48º - 34º = 14º

No entanto é necessário “dar” FASE ADICIONAL

0 db

sistema original

Compensador de avanço

nova frequência de cruzamento

Pasc

oal

0 db cruzamento

figura não à escala. Apenas ilustrativa

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

-180º

Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso

+ aumento de fase34º

©M

. Isa

bel R


sistema original

Não basta um aumento de 14º


~ x 1440 100+

a projectar )s(GK

)s(K )s)(s(s 10036 ++_

3. Margem de fase oM 48≈Φ

Aumento nominal de ºM 34≅ΦPara 1=)s(K~ 48º - 34º = 14º

Aumento total de fase = Nominal + “Factor de Segurança” = 14º + 10º = 24ºAumento total de fase = Nominal + Factor de Segurança = 14 + 10 = 24

Determinação das características do compensador de avanço de fase

Pasc

oalºmax 24=φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β−

=φ11arcsinmax

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

avanço 420.=β

©M

. Isa

bel R

Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 19/Cap.12-ParteANovembro.2007maxω

O parâmetro β define o afastamento entre o zero e o pólo do compensador


5411 541.=β

dB.dB

7731=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β

preço a pagar pelo avanço de fasedB⎠⎝ ç

Ganho estático do compensador unitárioTodo o ganho necessário já foi considerado

ºmax 24=φ

?

foi considerado

Pasc

oal

?max =ω

onde se coloca ?maxω • Conhecendo β

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

1 1maxω =ω

1max

β

• Escolhendo wmax

• Calcula-se T

©M

. Isa

bel R


T Tβmaxω

wmax é a frequência a que o avanço de fase é maiorβ

ωT

max

Projecto de controladores

onde se coloca ?maxωEXEMPLO 1

maxω

+3.77dB

maxω

-3.77dB

f.t.c.a sistema compensado

3.77dBf.t.c.a sistema original

maxω Frequência à qual o ganho de malha

Pasc

oal

dB.)s(GKjs

773−=ω=

/d39

Rib

eiro

, Ant

ónio

Ps/radmax 39=ω

391 s/radT

max =β

=ω s/rad.T max 325 1

=ωβ=

©M

. Isa

bel R


420.T

=β

βs/rad.

T 2601

=β


)(K x 1440 100+

a projectar )s(G

)s(K )s)(s(s 10036 ++_

Ts

K)s(K~K)s(K+

==

11 f.t. do compensador com

ganho estático unitáro

Ts

K)s(KK)s(K

β+β 1

325s +f.t.c.a. do sistema compensado

ganho estático unitáro

2603253821440

.s

.s.)s(K++

××= f.t.c.a. do sistema original*1440

Pasc

oal

2.603.252.3427)(

++

×=sssK

Rib

eiro

, Ant

ónio

P©

M. I

sabe

l R



)s(K )s)(s(sx

100361440 100++

+_

f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador

f.t.c.a. do sistema compensado

g p

dBdB.GM 6511 >=

Pasc

oal

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

ºoM 4846 <≈Φ

Se não for satisfatório, f

©M

. Isa

bel R


refaça os cálculos


)s(K )s)(s(sx

100361440 100++

+_

ºM 34≈ΦM

Pasc

oal

oM 46≈Φ

nova margem de fase

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico

©M

. Isa

bel R


p

Projecto de controladores

Compensador de avanço - Sumário

I d f i i i i h d f ê i d• Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa

• Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência

• O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no p ç qintervalo de frequências em que o efeito do pólo é pouco significativo

O d d é t ã i li t d

Pasc

oal

• O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador

Rib

eiro

, Ant

ónio

P©

M. I

sabe

l R


Projecto de controladoresCompensador de Atraso de Fase

)s(K~K)s(K = 1 0 =)(K~

Ts

)(K~+

11 0 dB

Diagrama de Bode de )s(K~

Ts

T)s(K

α+α

=1

0 dB

α− 1020 logO compensador que vai ser apresentado

1 >α

Ganho estático = 1

α1020 logptem ganho estático unitário

Pasc

oalzero = - 1/T Tα

1T1

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

pólo = - 1/αΤ

x

©M

. Isa

bel R


x

Projecto de controladoresCompensador de atraso – Princípio de utilização

• Tirar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para adeslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada.

Preço a pagar é ma dimin ição da fase na ona de• Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador– Até uma década após o zeroAté uma década após o zero

• Procura-se que a característica de fase original não seja significativamente alterada na vizinhança da nova

Pasc

oal

significativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB.– Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes

Rib

eiro

, Ant

ónio

PZero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes da frequência de cruzamento a 0dB desejada.

©M

. Isa

bel R


Projecto de controladoresCompensador de Atraso de Fase

Ts

)s(K~+

=

11

Ts

)s(K

α+α

=1

0 dB

Diagrama de Bode de )s(K~

0 dB

α− 1020 log α1020 log

Pasc

oalTα

1T1

Rib

eiro

, Ant

ónio

P©

M. I

sabe

l R



Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)

motor com cargaamplificadorcontrolador

)s(K100

100+s 36

1+s s

1+posição angular

100+s 36+s s_

Obj ti ti i

velocidade

Pasc

oal

1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador21621/)(

Objectivos a atingir

Rib

eiro

, Ant

ónio

P2. Erro de seguimento a rampa unitária3. Margem de fase4. Margem de ganho

21621 ./)(eramp ≤∞º.M 259≥ΦdBGM 12≥

©M

. Isa

bel R


g g M


)s(K 100+

G(s)a projectar

)s(K )s)(s(s 10036 ++_

)s(K~K)s(K =


10 =)(K~


2. Erro de seguimento a rampa unitária 21621 ./)(eramp ≤∞

Pasc

oal

21621

1

0s.)s(K)s(sGlim

)(eramp ≤=∞→

5839≥K

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

2162 0s

.)s(K)s(sGlim ≥→

100 KK

escolha-se

©M

. Isa

bel R


21623610036

1000s

.K)s)(s(

Klim ≥=++→ 5839=K


~ x 8395 100+

a projectar )s(GK

)s(K )s)(s(s 10036 ++_


Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB paracruzamento a 0dB para ter a margem de fase pretendida?

714 s/rad.=ω

Pasc

oaldB)j(GK,ºM 20 59 =ω=Φ

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

Chegará diminuir o ganho de 20dB nesta frequência com um

©M

. Isa

bel R


frequência com um compensador de atraso?


~ x 8395 100+

a projectar )s(GK

)s(K )s)(s(s 10036 ++_


º.ºº.desejadaM 26910259 =+=Φ

factor defactor de segurança

Porque é necessário o factor de segurança?

Pasc

oal

s/rad.º.M 789 para 269 =ω≅Φ

24dB 9 78 d/

=ω)j(GK

Rib

eiro

, Ant

ónio

P9.78rad/s=ω

O compensador de t d id i

©M

. Isa

bel R


atraso deve providenciar um ganho de -24dB à frequência de 9.8rad/s

Projecto de controladoresEXEMPLO 2 Dimensionamento do

compensador de atraso

11= 1

8415 2420 10 .dBlog =α⇒−=α−

0 dB

-24dB

T.T 8415α T

-24dB

define o afastemento entre o pólo e o zero

Pasc

oal

-90ºFase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

Onde “colocar” o compensador?

©M

. Isa

bel R


Onde colocar o compensador?

Projecto de controladoresEXEMPLO 2 Estratégia de “colocação” do

compensador de atraso

Zero do compensador 1 década abaixo da frequência de cruzamento desejada

1 s/rad.T

9801=s/rad.

T 06201

=α

Na frequência de cruzamento d j d f

0 dB T.T 841511

=α T

1 desejada, a fase negativa introduzida pelo compensador já é

-24dBp j

pequena, embora não nula

Pasc

oal

Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da

Rib

eiro

, Ant

ónio

P

90ºFase negativa =

l

cálculo da margem de fase desejada

©M

. Isa

bel R


-90º preço a pagar pela diminuiçãode ganho


)(K 100+

a projectar )s(G

)s(K )s)(s(s 10036 ++_

11 s

T+

f.t.c.a. do sistema original*5839

Bode Diagram

50

100

System: sysf.t.c.a. do sistema

original*58391( ) ( ) 1TK s K K s K

sT

αα

= =+

%

f.t. do compensador0

50 System: sysFrequency (rad/sec): 10Magnitude (dB): -0.175

agni

tude

(dB

)

f.t. do compensador

g


1 0.98( ) 583915 84 0 062

sK s += ×


-100

-50M

a

0

Pasc

oal

15.84 0.062s +

0.98( ) 368 6 sK s += ×

-90

0

deg)

System: sysFrequency (rad/sec): 10Phase (deg): -116

Rib

eiro

, Ant

ónio

P( ) 368.60.062

K ss

= ×+

dBGº MM 2264 ==Φ

-180Pha

se (

©M

. Isa

bel R


dBG, MM 22 64Φ

especificações verificadasFrequency (rad/sec)

10-2

10-1

100

101

102

10

-270

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