Cálculo de Funções de Várias Variáveis - ufrgs.br · Neste sistema, também chamado...

Cálculo de Funções de Várias VariáveisUm Livro Colaborativo

3 de agosto de 2018

Organizadores

Esequia Sauter - UFRGS

Fabio Souto de Azevedo - UFRGS

Pedro Henrique de Almeida Konzen - UFRGS

ii

Licença

Este trabalho está licenciado sob a Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada. Para ver uma cópia desta licença, visitehttps://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ ou envie uma carta paraCreative Commons, PO Box 1866, Mountain View, CA 94042, USA.

iii

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

Nota dos organizadores

Nosso objetivo é de fomentar o desenvolvimento de materiais didáticos pelacolaboração entre professores e alunos de universidades, institutos de educação edemais interessados no estudo e aplicação do cálculo nos mais diversos ramos daciência e tecnologia.

Para tanto, disponibilizamos em repositório público GitHub (https://github.com/reamat/Calculo) todo o código-fonte do material em desenvolvimento soblicença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA-3.0). Ou seja, você pode copiar, redistribuir, alterar e construir um novomaterial para qualquer uso, inclusive comercial. Leia a licença para maiores infor-mações.

O sucesso do projeto depende da colaboração! Participe diretamenta da escritados recursos educacionais, dê sugestões ou nos avise de erros e imprecisões. Todaa colaboração é bem vinda. Veja mais sobre o projeto em:

https://www.ufrgs.br/reamat/Calculo

Desejamos-lhe ótimas colaborações!

iv

https://github.com/reamat/Calculo

https://github.com/reamat/Calculo



https://www.ufrgs.br/reamat/Calculo

Prefácio

Em construção ... Gostaria de participar na escrita deste livro? Veja como em:

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v


Sumário

Capa i

Organizadores ii

Licença iii

Nota dos organizadores iv

Prefácio v

Sumário viii

1 Introdução 11.1 Exercícios finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Álgebra vetorial 22.1 Vetores e escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 O espaço euclidiano tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Ângulo entre vetores e o produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 O produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Os triplos produtos e outras identidades vetoriais . . . . . . . . . . 222.6 Sistema de coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7 Sistema de coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8 Exemplos na física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.9 Notas avançadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.9.1 O que é um espaço linear? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.9.2 Todo espaço linear tem uma base? Axioma da escolha. . . . 302.9.3 Qual amplo é o conceito de norma? . . . . . . . . . . . . . . 312.9.4 E o produto escalar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.10 Exercícios finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

vi

SUMÁRIO vii

3 Seções cônicas 333.1 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Equação canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.3 Forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.1 Equação canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.3 Forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1 Equação canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.3 Forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.1 Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Conexão com seções do cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6 Cônicas em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.7 Exercícios finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Superfícies Quádricas 384.1 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


4.2 Parabolóide elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.1 Equação canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.3 Forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Parabolóide hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.1 Equação canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.3 Forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 Hiperbolóide de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.1 Equação canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.3 Forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5 Hiperbolóide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5.1 Equação canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5.3 Forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6 Cilíndro elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: [email protected]


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viii Cálculo Numérico


4.7 Cilindro hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.7.1 Equação canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.7.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.7.3 Forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.8 Cilindro parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.8.1 Equação canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.8.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.8.3 Forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.9 Cone elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.9.1 Equação canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.9.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.9.3 Forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.10 Exercícios finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Derivadas parciais 445.1 Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.5 Gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.6 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.7 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.8 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.9 Exercícios finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Integrais múltiplas 486.1 Integrais múltiplas e iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2 Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3 Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.4 Integração em coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . 496.5 Integração em coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . 506.6 Mudança de variáveis - O jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.7 Exercícios finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Referências Bibliográficas 52

Índice Remissivo 53



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Capítulo 1

Introdução



Exercícios resolvidosEsta seção carece de exercícios resolvidos. Participe da sua escrita.

Veja como em:


ExercíciosEsta seção carece de exercícios. Participe da sua escrita.

Veja como em:


1.1 Exercícios finaisEsta seção carece de exercícios. Participe da sua escrita.

Veja como em:


1





Capítulo 2

Álgebra vetorial

O objetivo deste capítulo é revisar conceitos básicos do cálculo e da álgebralinear necessários ao entendimento do cálculo vetorial.

2.1 Vetores e escalaresNa álgebra linear, vetores são definidos de forma abstrata como os elementos

de um espaço vetorial. Os vetores são, então, os elementos de um conjunto emque estão definidas duas operações: a soma de vetores e o produto de vetorespor escalares obedecendo as propriedades (2.1). Um escalar é um número real oucomplexo. Quando o corpo de escalares é o conjunto dos números reais, entãodizemos que o espaço vetorial é real. Quando o corpo de escalares é o conjuntodos números complexos, dizemos que o espaço vetorial é complexo. Usaremos umaletra latina com uma seta para denotar vetores (~u, ~v e ~w). Para que um espaçovetorial esteja bem definido, as seguinte propriedades devem ser satisfeitas:

~u+ ~v = ~v + ~u, (Comutatividade da soma) (2.1a)~u+ (~v + ~w) = (~v + ~u) + ~w, (Associatividade da soma) (2.1b)

(α + β) ~u = α~u+ β~v, (Distributividade da multiplicação) (2.1c)α (~u+ ~v) = α~u+ α~v, (Distributividade da soma) (2.1d)α (β~u) = (αβ) ~u, (2.1e)~0 + ~v = ~v, (Existência do vetor nulo) (2.1f)

0~v = ~0, (2.1g)1~v = ~v. (Elemento neutro) (2.1h)

Observação 2.1.1. O vetor nulo ~0 e escalar nulo 0 são entidades matemáticasdistintas e não devem ser confundidas.

2

2.1. VETORES E ESCALARES 3

Observação 2.1.2. Observamos que a propriedade associativa dada por (2.1b)permite que se escreve a soma de três vetores ~u+~v+ ~w sem risco de ambiguidade.A propriedade (2.1e) é algumas vez chamada de associatividade, no entanto, écauteloso observar que ela não estabelece a associatividade de uma operação, jáque o produto de escalares é uma operação distinta do produto de um escalar porum vetor. A propriedade (2.1f) garante a existência de um vetor nulo que funcionacom um elemento neutro da soma vetorial.

A subtração de dois vetores é definida por

~u− ~v = ~u+ (−1)~v. (2.2)

O vetor (−1)~v é também denotado por −~v e tem a seguinte propriedade:

~v + (−~v) = ~v + (−1)~v = (1− 1)~v = 0~v = ~0. (2.3)

Um conjunto de vetores {~v1, ~v2, . . . , ~vn} é dito linearmente dependente (LD),se existem escalares {α1,α2, . . . , αn} com pelo menos um αi 6= 0 tal que

n∑i=1

αi~vi = ~0

Analogamente, um conjunto de vetores {~v1, ~v2, . . . , ~vn} é dito linearmente indepen-dente (LI) se a identidade

n∑i=1

αi~vi = ~0

implica necessariamente que

α1 = α2 = . . . = αn = 0.

Um conjunto de vetores LI B = {~e1, ~e2, . . . , ~en} é dito uma base para um espaçovetorial V se todo vetor ~v ∈ V pode ser escrito como uma combinação linear dosvetores de B:

~v =n∑i=1

αi~ei.

Um espaço vetorial é dito de dimensão finita se admite uma base composta porum número finito de elementos.

Teorema 2.1.1. Seja V um espaço vetorial e E = {~e1, ~e2, . . . , ~en} e F = {~f1, ~f2, . . . , ~fm}duas bases de V . Então n = m. Em outras palavras, todas as bases de espaço linearde dimensão finita têm o mesmo número de elementos.



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4 Cálculo Numérico

A importância deste teorema reside no fato de permitir a definição de dimensãode um espaço vetorial como sendo o número de elementos de uma base. Estadefinição está bem posta, uma vez que este número independe da escolha de base.

Outro conceito importante em espaços reais de dimensão finita é o de orientaçãode uma base. O leitor já deve estar familiarizado com o conceito de orientaçãodextrogira e levogira (regra da mão direita e esquerda) no espaço tridimensional.No entanto este conceito pode ser estendido de forma natural para espaços reais den-dimensões. Formalmente falando duas bases B1 e B2 têm a mesma orientaçãose o determinante da transformação linear que liga B1 a B2 é positivo.

O espaço vetorial real de n dimensões é denotado Rn.

Exercícios resolvidos

Esta seção carece de exercícios resolvidos. Participe da sua escrita.

Veja como em:


Exercícios

Esta seção carece de exercícios. Participe da sua escrita.

Veja como em:


2.2 O espaço euclidiano tridimensionalNossa principal preocupação neste curso é com o espaço euclidiano de três

dimensões, dada sua importância para descrição do espaço na física clássica.O leitor já tem familiaridade com o sistema de coordenadas cartesianas (xyz)

para representar um ponto no espaço euclidiano tridimensional. Neste sistema,também chamado referencial cartesiano, cada ponto é representado por um con-junto de três coordenadas x, y e z. Observamos que existem duas maneiras dis-tintas de orientar tal sistema: usando a regra da mão direita e a regra da mãoesquerda, que recebem o nome de dextrogira e levogira, respectivamente. Nestetexto, daremos preferência pela orientação dextrogira, que convencionaremos comopadrão. Uma vez escolhido um sistema dextrogiro como base, um trio de vetoreslinearmente independentes ~u, ~v e ~w é dito dextrogiro se o determinante

det (~u;~v; ~w) (2.4)





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2.2. O ESPAÇO EUCLIDIANO TRIDIMENSIONAL 5

Figura 2.1: À esquerda, um sistema dextrogiro (regra da mão direita). À direita,sistema levogiro (regra da mão esquerda).

é positivo. Reciprocamente, o trio ~u, ~v e ~w é dito levogiro se o determinando fornegativo. Veja mais detalhes no exemplo (2.2.8).

Um vetor é representado neste sistema como um trio de números reais, deno-minados componentes do vetor ~v e denotados por:

~v = 〈v1,v2,v3〉 . (2.5)

É natural neste momento definir os vetores ~i, ~j e ~k como

~i = 〈1,0,0〉~j = 〈0,1,0〉~k = 〈0,0,1〉

(2.6)

de forma que a expressão (2.5) pode ser escrita como

~v = v1~i+ v2~j + v3~k. (2.7)

O vetor nulo é definido como vetor cujas três coordenadas são nulas:

~0 = 0~i+ 0~j + 0~k = 〈0,0,0〉 . (2.8)

A soma de dois vetores é dada pela soma componente a componente, ou seja, se~u = u1~i+ u2~j + u3~k e ~v = v1~i+ v2~j + v3~k, então

~u+ ~v = (u1 + v1)~i+ (u2 + v2)~j + (u3 + v3)~k. (2.9)

O produto de um vetor por um escalar é definido como a multiplicação componentea componente pelo escalar, ou seja, se ~u = u1~i+ u2~j + u3 ~k, então

α~u = (αu1)~i+ (αu2)~j + (αu3)~k. (2.10)



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Definimos também a norma euclidiana de um vetor ~v como a distância daorigem até o ponto que o vetor representa e a denotamos por ‖~v‖. Pelo Teoremade Pitágoras, da geometria euclidiana, temos:

‖~v‖ =√v2

1 + v22 + v2

3. (2.11)



Veja como em:


Exercícios

E 2.2.1. Mostre que o espaço vetorial assim definido satisfaz as propriedades(2.1).

E 2.2.2. Verifique que a norma euclidiana satisfaz as seguintes propriedades:

‖α~u‖ = |α| ‖~u‖, (Homogeneidade) (2.12a)‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖, (Desigualdade triangular) (2.12b)‖~u‖ = 0 =⇒ ~u = ~0, (Separação) (2.12c)

Dica: Para mostrar a desigualdade triangular, entenda seu significado geomé-trico. Uma demonstração puramente algébrica pode ser feita, embora seja maislaboriosa. Veremos mais adiante que o conceito de produto escalar permite sim-plificar os cálculos.

A fim de simplificar a notação, a norma de um vetor ~v pode ser escrita sim-plesmente como v, ou seja

v = ‖~v‖

Um vetor de norma 1 é chamado de vetor unitário. Todo vetor não nulo podeser escrito na forma

~v = vv (2.13)

onde v é a norma de ~v e v é um vetor unitário dado por

v = ~v

v. (2.14)




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~u+ ~v

~u ~v

Figura 2.2: Representação gráfica da desigualdade triangular: ‖~u+~v‖ ≤ ‖~u‖+‖~v‖

O vetor v é chamado de versor de ~v. v é um vetor unitário que tem mesmo sentidoe direção de ~v.

A identidade (2.13) tem uma importante interpretação geométrica: todo vetornão nulo pode ser representado pelo seu módulo e por seu versor, que traz ainformação de direção e sentido. Os vetores ~i, ~j e ~k são exemplos de versores. Ovetor nulo é o único vetor ao qual não se pode associar direção e sentido únicos.

E 2.2.3. Mostre que a norma de um versor conforme definido em (2.14) ésempre unitária.

E 2.2.4. Considere os vetores dados por ~u =~i+~j, ~v =~i+ 2~j e ~w = 13~i+ 1

2~j.

Represente estes vetores em um referencial euclidiano, calcule suas normas, calculeos versores associados u, v e w e represente-os no mesmo gráfico.

Resp: u =√

2, v =√

5 e w =√

136 . u =

√2

2~i+

√2

2~j, v =

√5

5~i+ 2

√5

5~j, w =

2√

1313~i+ 3

√13

13~j

E 2.2.5. Considere o vetor ~u = cos θ~i + sen ϕ~j. Mostre que este vetor éunitário e represente-o graficamente quando ϕ = 0, ϕ = π

6 , ϕ = π2 e ϕ = π

E 2.2.6. Considere o vetor ~u = sen θ cosϕ~i+ sen θ sen ϕ~j + cos θ~k. Verifiqueque este vetor é unitário e represente-o graficamente quando

a) θ = 0

b) θ = π4 e ϕ = π

4

c) θ = π2 e ϕ = π

4



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d) θ = π

E 2.2.7. Seja ~u = u1~i + u2~j um vetor não nulo fixo no plano xy e ~v =v(cosϕ~i+ sen ϕ~j

)um vetor de norma fixa no plano xy. Considere a função

m(ϕ) = ‖~u + ~v‖ e encontre o valor máximo e mínimo de m(ϕ). Interprete oresultado.

E 2.2.8. Conforme observado no texto, um trio de vetores ~u, ~v e ~w é dextrogirose

det (~u;~v; ~w) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u1 v1 w1

u2 v2 w2

u3 v3 w3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣> 0.

onde ~u = u1~i+ u2~j + u3~k, ~v = v1~i+ v2~j + v3~k e ~w = w1~i+w2~j +w3~k. Faça o quese pede:

a) Verifique que se ~u, ~v e ~w forma um sistema dextrogiro então ~v, ~u e ~w élevogiro.

b) Verifique que se ~u, ~v e ~w forma um sistema dextrogiro então ~v, ~w e ~u e ~w, ~ue ~v são dextrogiros.

c) Verifique que o trio ~u, ~v e ~w é dextrogiro quando ~u = ~i + ~j, ~v = −2~i + ~j e~w =~i+~j + ~k.

d) Verifique que o trio ~u, ~v e ~w é dextrogiro quando ~u = ~i + ~j, ~v = −2~i + ~j e~w =~i. Interprete graficamente.

E 2.2.9. Considere um sistema de coordenadas cartesianas dextrogiro cons-truído da seguinte forma:

• O centro da Terra coincide com a origem do sistema.

• O extremo norte da Terra intercepta o eixo z em valores positivos.

• O observatório de Greenwich está sob plano xz com x > 0.

Considere a superfície terrestre com uma esfera de raio R⊕. Denote a longitudepor λ e a latitude por φ. Convecione como positivas a longitude leste e a latitudenorte. Veja figura 2.3. Seja ~r = x~i + y~j + z~k o vetor que representa um pontosobre a superfície da Terra. Responda:



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Figura 2.3: Representação gráfica do sistema de coordenadas geográficas.



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a) Qual a norma do vetor ~r?

b) Qual é o valor da componentes x, y e z de ~r em termos de λ e φ?

c) Seja d a distância entre dois pontos sobre a superfície terrestre. Use a lei doscossenos1 para mostrar que distância δ sobre a superfície esférica entre essesmesmos dois pontos é dada por

δ = R⊕ cos−1(

1− d2

2R2⊕

)

Interprete os casos particulares d = 0 e d = 2R⊕.

d) Considerando R⊕ = 6378Km e os seguintes valores para as coordenadasgeográficas de Porto Alegre, Londres e Tóquio, construa uma tabela com osvalores de λ e φ e as coordenadas xyz em quilômetros de cada uma dessascidades.

Localidade Latitude Longitude

Porto Alegre 30◦ 01′ 58′′S 51◦13′ 48′′O

Londres 51◦ 30′ 28′′N 0◦ 7′ 41′′O

Tóquio 35◦ 41′ 22′′N 139◦ 41′ 30′′L

Tabela 2.1: Coordenadas geográficas de algumas cidades.

e) Contrua uma tabela com as distâncias em linha reta e sobre a superfície daTerra entre cada uma dessas cidades.

f) As seguintes coordenadas indicam locais de grande importância cultural outurística, identifique-os:

2.3 Ângulo entre vetores e o produto escalarNa seção anterior, começamos a trabalhar com vetores no espaço euclidiano.

No entanto, até o momento não lidamos explicitamente com ângulos entre vetores.Introduziremos primeiramente o conceito de produto escalar ou produto internoentre vetores. O produto escalar é uma operação que liga um par de vetores a um

1Seja um triângulo de lados a, b e c e seja θ o ângulo entre os lados de comprimento a e b,então c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ. Ver também figura 2.4 na página 13.



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2.3. ÂNGULO ENTRE VETORES E O PRODUTO ESCALAR 11

Localidade x y z

1 4192,872Km 168Km 4803,175Km

2 1175,603Km 5550,889Km 2912,813Km

3 3996,282Km -127,418Km 4969,143Km

Tabela 2.2: Coordenadas geográficas de três localidades incógnitas.

escalar. O produto escalar entre os vetores ~u e ~v é denotado por ~u · ~v e é definidano espaço euclidiano tridimensional como:

~u · ~v = u1v1 + u2v2 + u3v3 (2.15)

Considere os vetores ~u, ~v e ~w relacionados por

~w = ~u− ~v.

Este trio de vetores pode ser intepretado como os três lados de um triângulo comona figura 2.4. Da lei dos cossenos, sabemos que a seguinte relação é satisfeita:

w2 = u2 + v2 − 2uv cos θ

supondo u 6= 0 e v 6= 0, temos

cos θ = w2 − u2 − v2

2uv .

Usamos agora a definição de norma de um vetor dada em (2.11):

u2 = u21 + u2

2 + u23

v2 = v21 + v2

2 + v23

w2 = w21 + w2

2 + w23 = (u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + (u3 − v3)2

Simplificando, temos:

cos θ = w2 − u2 − v2

2uv = u1v1 + u2v2 + u3v3

uv= ~u · ~v

uv

Esta última expressão nos permite escrever

~u · ~v = uv cos (~u,~v) = uv cos θ (2.16)

onde cos (~u,~v) indica o cosseno do ângulo entre os vetores ~u e ~v.



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Resp: a) r = R⊕ b) x = R⊕ cosφ cosλ, y = R⊕ cosφ sen λ e z = R⊕ sen φ

Localidade φ λ x y z

Porto Alegre −30,0328◦ −51,23◦ 3457,65 −4305,07 −3192,16

Londres 51,5078◦ −0,0781◦ 3969,71 -5,41 4992,02

Tóquio 35,6894◦ 139,6917◦ 3950,26 3351,05 3720,87

Tabela 2.3: Coordenadas geográficas e cartesianas de algumas cidades - soluçãodo item d.

Localidades Distância em linha reta Distância sobre a superfície esférica

Porto Alegre-Londres 9260Km 10360Km

Porto Alegre-Tóquio 12700Km 18840Km

Tóquio-Londres 8695Km 9570Km

Tabela 2.4: Distância entre as cidades - solução do item e.

Localidade λ φ Identificação

1 48◦51′30′′N 0◦02′24′′L

2 27◦10′27′′N 0◦58′42′′L

3 51◦10′44′′N 0◦01′55′′W

Tabela 2.5: Solução do item f

Observação 2.3.1. Neste momento, o leitor deve observar que a definição quedemos originalmente para o produto escalar em (2.15) dependia fortemente dosistema de coordenadas escolhido. No entanto, a identidade (2.16) mostra que ovalor do produto escalar depende apenas da norma dos vetores envolvidos e doângulo entre esses vetores, ou seja, (2.16) pode ser usado como uma definiçãointrínseca (que não depende da escolha do sistema de coordenadas) de produtoescalar.

Observação 2.3.2. O produto escalar do vetor nulo ~0 por qualquer vetor é zero.



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~u~w

~v

θ

Figura 2.4: Lei dos cossenos: ‖~w‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2 − 2 ‖~u‖ ‖~v‖ cos θ

O produto escalar satisfaz as seguintes propriedades:

~u · ~v = ~v · ~u, (Comutatividade) (2.17a)~u · (α~v + β ~w) = α(~u · ~v) + β(~u · ~w), (Linearidade) (2.17b)

~u · ~u = u2, (Respeito à norma) (2.17c)|~u · ~v| ≤ uv, (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) (2.17d)

As propriedades (2.17a), (2.17b) e (2.17c) podem ser trivialmente demonstradasdiretamente a partir da definição de produto escalar dada em (2.15).

E 2.3.1. Demonstre essas três propriedades.Observe que α(~u · ~v) = (α~u) · ~v pelo que podemos escrever α~u · ~v sem risco de

ambiguidade.

E 2.3.2. Use (2.17a) e (2.17b) para mostrar a seguinte propriedade:

(α~u+ β~v) · ~w = α(~u · ~w) + β(~v · ~w)



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A desigualdade de Cauchy-Schwarz (2.17d) pode ser demonstrada a partir de(2.16) uma vez que

−1 ≤ cos θ ≤ 1.No entanto, uma demonstração puramente algébrica pode ser dada a partir daspropriedades (2.17a), (2.17b) e (2.17c). Dada a beleza desta demonstração e dapossibilidade de generalização, apresentamo-na a seguir:

Consideramos primeiramente os versores u e v definidos em (2.14) e calculamos

‖u+ v‖2 = (u+ v) · (u+ v) = 2 + 2u · v‖u− v‖2 = (u− v) · (u− v) = 2− 2u · v

onde usamos que u · u = v · v = 1 posto que a norma de um versor é sempre 1.Agora observamos que ‖u+ v‖2 ≥ 0 e ‖u− v‖2 ≥ 0, pelo que temos:

−1 ≤ u · v ≤ 1

O que implica |u · v| ≤ 1. Como ~u = uu e ~v = vv, temos

|~u · ~v| ≤ uv

Observamos que com uma demontração puramente algébrica para a desigual-dade de Cauchy-Schwarz, podemos derivar uma demonstração puramente algébricada desigualdade triangular (2.12b). Ver também a discussão do excício 2.2.2. Paratal considere a seguinte identidade:

‖~u+ ~v‖2 = (~u+ ~v) · (~u+ ~v) = u2 + 2~u · ~v + v2

Como ~u · ~v ≤ |~u · ~v| ≤ uv, temos:

‖~u+ ~v‖2 ≤ u2 + 2uv + v2 = (u+ v)2

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

‖~u+ ~v‖ ≤ (u+ v) = ‖~u‖+ ‖~v‖

Dois vetores não nulos ~u e ~v são dito ortogonais se o ângulo entre eles é 90◦,ou seja, se cos (~u,~v) = 0. De (2.16), isto acontece quando ~u · ~v = 0. Usamos osímbolo ⊥ para denotar a ortogonalidade:

~u⊥~v ⇐⇒ ~u · ~v = 0 (2.18)

Em especial os vetores unitários ~i, ~j e ~k são ortogonais, ou seja:~i ·~j =~i · ~k = ~j · ~k = 0.



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Veja como em:


Exercícios

E 2.3.3. Considere os vetores dados por ~u = ~i +~j, ~v = ~i + 2~j e ~w = 13~i + 1

2~j

conforme exercício 2.2.4. Calcule o ângulo entre esses vetores.Resp: 18,43◦, 11,3◦ e 7,13◦

E 2.3.4. Mostre que se α e β são escalares diferentes de zero e ~u e ~v sãovetores não nulos, então

cos (α~u,β~v) = cos (~u,~v) .

Interprete geometricamente esta identidade.

E 2.3.5. Mostre que se ~u = u1~i + u2~j + u3~k então u1 = ~u ·~i, u2 = ~u · ~j eu3 = ~u · ~k. Conclua que

~u =(~u ·~i

)~i+

(~u ·~j

)~j +

(~u · ~k

)~k.

E 2.3.6. Sejam ~u =√

22

(~i+~j

)e ~v =

√2

2

(~i−~j

). Mostre que estes vetores são

unitários e ortogonais entre si. Encontre dois vetores unitários distintos ortogonaistanto a ~u quanto a ~v.

Resp: −~k e ~k.

E 2.3.7. Sejam ~u = 2~i+~j + ~k e ~v = 2~i−~j − ~k. Mostre que estes vetores sãoortogonais entre si. Encontre dois vetores unitários distintos ortogonais tanto a ~ucomo a ~v.

Resp:√

22

(~j − ~k

)e√

22

(−~j + ~k

).

E 2.3.8. Encontre três vetores ~u, ~v e ~w tais que:

a) (~u · ~v) ~w = ~0 mas ~u (~v · ~w) 6= ~0

b) (~u · ~v) ~w 6= ~u (~v · ~w) e ambos não nulos.

Exemplos de respostas: a) ~u =~i, ~v = ~j e ~w = ~j. b) ~u =~i, ~v =~i+~j e ~w = ~j.




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E 2.3.9. Sejam os vetores ~u = cos(θ1)~i + sen (θ1)~j e ~v = cos(θ2)~i + sen (θ2)~jentão

cos (~u,~v) = cos(θ1 − θ2).Conclua que o ângulo θ entre ~u e ~v é dado por

θ =

|θ1 − θ2|, |θ1 − θ2| ≤ 180◦

360◦ − |θ1 − θ2|, |θ1 − θ2| > 180◦

contanto que θ1 e θ2 estejam entre 0 e 360◦. Interprete geometricamente esteresultado.

E 2.3.10. Seja ~u um vetor não nulo fixo e ~v um vetor de norma não nulafixa. Mostre que ‖~u+ ~v‖ tem um ponto de máximo quando u = v e um ponto demínimo quando u = −v. Interprete o resultado geometricamente e compare como problema (2.2.7).

Dica: ‖~u+ ~v‖2 = u2 + v2 + 2~u · ~v e (2.16).

2.4 O produto vetorialAlém do produto escalar entre vetores, definimos também o produto vetorial.

Enquanto o produto escalar de dois vetores é um escalar, o produto vetorial é umterceiro vetor. O produto vetorial entre ~u = u1~i+ u2~j + u3~k e ~v = v1~i+ v2~j + v3~ké denotado ~u× ~v e é definido em coordenadas cartesianas como:

~u× ~v = (u2v3 − u3v2)~i+ (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k (2.19)

A definição de produto vetorial pode parecer à primeira vista arbitrária e forte-mente dependente do sistema de coordenadas escolhido. No entanto, mostraremosque o produto vetorial admite uma formulação intrínseca, ou seja, que não dependedo sistema de coordenadas escolhido. Ademais, veremos que tanto o produto es-calar como o produto vetorial surgem naturalmente no estudo da física clássica.

O produto vetorial possui as seguintes propriedades:

~u× ~v = −~v × ~u, (Anticomutatividade) (2.20a)(α~u+ β~v)× ~w = α (~u× ~w) + β (~v × ~w) , (Linearidade à esquerda) (2.20b)~u× (α~v + β ~w) = α (~u× ~v) + β (~u× ~w) , (Linearidade à direita) (2.20c)

(~u× ~v) · ~u = (~u× ~v) · ~v = 0, (Ortogonalidade) (2.20d)‖~u× ~v‖ = uv sen (~u,~v). (Norma) (2.20e)

det (~u;~v; ~u× ~v) = u2v2 sen 2(~u,~v) > 0. (Orientação dextrogira) (2.20f)



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2.4. O PRODUTO VETORIAL 17

Nas duas últimas propriedades, sen (~u,~v) denota o seno do ângulo entre os vetores ~ue ~v. Observa-se que quando ~u ou ~v é nulo, este ângulo não está bem definido, estasidentidades devem ser então interpretadas como ‖~u× ~v‖ = 0 e det (~u;~v; ~u× ~v) = 0.

A última propriedade significa que o trio ~u, ~v e ~u × ~v forma um sistema dex-trogiro.

E 2.4.1. Mostre as propriedades (2.20a), (2.20b) e (2.20c).A propriedade da ortogonalidade pode ser demonstrada diretamente da defini-

ção de produto vetorial e produto escalar:

(~u× ~v) · ~u =[(u2v3 − u3v2)~i+ (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k

] (u1~i+ u2~j + u3~k

)= (u2v3 − u3v2)u1 + (u3v1 − u1v3)u2 + (u1v2 − u2v1)u3 = 0

igualmente temos:

(~u× ~v) · ~v =[(u2v3 − u3v2)~i+ (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k

] (v1~i+ v2~j + v3~k

)= (u2v3 − u3v2) v1 + (u3v1 − u1v3) v2 + (u1v2 − u2v1) v3 = 0

Para provar a propriedade (2.20e), mostraremos primeiramente a seguinte (inte-ressante) identidade:

‖~u× ~v‖2 + |~u · ~v|2 = u2v2 (2.21)Da definição de norma e de produto vetorial temos:

‖~u× ~v‖2 =∥∥∥(u2v3 − u3v2)~i+ (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k

∥∥∥2

= (u2v3 − u3v2)2 + (u3v1 − u1v3)2 + (u1v2 − u2v1)2

=(u2

2v23 − 2u2u3v2v3 + u2

3v22

)+(u2

3v21 − 2u1u3v1v3 + u2

1v23

)+

(u2

1v22 − 2u1u2v1v2 + u2

2v21

). (2.22)

Da definição de norma e de produto escalar temos:

|~u · ~v|2 = (u1v1 + u2v2 + u3v3)2 = u21v

21 + u2

2v22 + u2

3v23 + 2u1u2v1v2 + 2u1u3v1v3 + 2u2u3v2v3.

Somando estas últimas duas expressões, simplificando e reagrupando termos, che-gamos ao resultado desejado:

‖~u× ~v‖2 + |~u · ~v|2 = (u1v1 + u2v2 + u3v3)2

= u21v

21 + u2

1v22 + u2

1v23 + u2

2v21 + u2

2v22 + u2

2v23 + u2

3v21 + u2

3v22 + u2

3v23

=(u2

1 + u22 + u2

3

) (v2

1 + v22 + v2

3

)= u2v2.

Agora que dispomos da identidade (2.21), usamos (2.16) para escrever

‖~u× ~v‖2 = u2v2−|~u · ~v|2 = u2v2−[uv cos (~u,~v)]2 = u2v2[1− cos2 (~u,~v)

]= u2v2 sen 2 (~u,~v)



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Figura 2.5: Regra da mão direita.

Extraímos a raiz quadrada, observando que sen (~u,~v) ≥ 0 e obtemos o resultadodesejado (2.20e). Um caso particular importante é quando os vetores ~u e ~v estãona mesma direção. Como sen 0 = sen 180◦ = 0, o produto vetorial de dois vetoresparalelos é ~0. Para demonstrar a propriedade (2.20f), calculamos o determinanteenvolvido

det (~u;~v; ~u× ~v) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u1 v1 (u2v3 − u3v2)

u2 v2 (u3v1 − u1v3)

u3 v3 (u1v2 − u2v1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

(u2

1v22 − u1u2v1v2

)+(u2

3v21 − u1u3v1v3

)+(u2

2v23 − u2u3v2v3

)−

(u1u2v1v2 − u2

2v21

)−(u1u3v1v3 − u2

1v23

)−(u2u3v2v3 − u2

3v22

)

Agora basta observar que esta expressão é idêntica a (2.22), ou seja, ‖~u× ~v‖2

e portanto o determinante det (~u;~v; ~u× ~v) é positivo.



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~u

~v

~u× ~v

Figura 2.6: Interpretação geométrica do produto vetorial.

A importância desta propriedade está no fato que se ~w = ~u×~v então o trio devetores ~u, ~v e ~w forma um sistema dextrogiro. Além disso, por causa da proprie-dade (2.20d), ~w deve ser ortogonal tanto aos vetores ~u, ~v. Finalmente, observandoa propriedade da norma (2.20e), podemos estabelecer a seguinte identidade parao produto vetorial de dois vetores não colineares ~u e ~v:

~u× ~v = uv sen (~u,~v) e (2.23)

onde o versor e é ortogonal ao plano gerado por ~u e ~v e forma um sistema dextrogirocom eles.

A norma do produto vetorial entre os vetores ~u e ~v pode ser interpretada comoa área do paralelogramo cujos lados são ~u e ~v (ver figura 2.6. A direção do produtovetorial é então ortogonal ao plano gerado por ~u e ~v e o sentido é dado pela regrada mão direita.

A definição de produto vetorial dada em (2.19) pode ser mais facilmente lem-



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brada através do seguinte determinante formal:

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(2.24)

que pode ser calculado pela regra de Sarrus.O produto vetorial entre os vetores unitários~i, ~j e ~k pode ser obtido da definição

(2.19) ou da caracterização geométrica do produto vetorial:

~i×~i = ~0, ~i×~j = ~k, ~i× ~k = −~j~j ×~i = −~k, ~j ×~j = ~0, ~j × ~k =~i

~k ×~i = ~j, ~k ×~j = −~i, ~k × ~k = ~0 (2.25)


E 2.4.2. Seja ~u =~i+ 2~j e ~v = 3~i− 2~j, calcule o vetor ~w = ~u× ~v.

Solução. Primeira forma: Calcularemos primeiramente usando o determinante(2.24):

~w =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k

1 2 0

3 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= ~i(0− 0) +~j(0− 0) + ~k(−2− 6)= −8~k

Segunda forma: Calcularemos usando as propriedades (2.20) e as relações (2.25):

~w = ~u× ~v =(~i+ 2~j

)×(3~i− 2~j

)= 3(~i×~i)− 2(~i×~j) + 6(~j ×~i)− 4(~j ×~j)= 3~0− 2~k − 6~k − 4~0= −8~k

♦



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Veja como em:



Veja como em:


E 2.4.3. Refaça os exercícios 2.3.6 e 2.3.7 usando o conceito de produtovetorial.

E 2.4.4. Encontre três vetores ~u, ~v e ~w tais que ~u× (~v × ~w) 6= (~u× ~v)× ~w.Exemplo de resposta: ~u =~i, ~v =~i e ~w = ~k.

E 2.4.5. Simplifique as seguintes expressões:

a) ~u× ~u

b) ~u× u

c) ~u · ~u

d) ~u · u

e) (~u+ ~v) · (~u+ ~v)

f) (~u+ ~v)× (~u+ ~v)

g) (~u− ~v) · (~u− ~v)

h) (~u− ~v)× (~u− ~v)

i) (~u+ ~v) · (~u− ~v)

j) (~u+ ~v)× (~u− ~v)

Resp: ~0,~0,u2,u,u2 + 2~u · ~v + v2, ~0, u2 − 2~u · ~v + v2, ~0, u2 − v2, 2~v × ~u

E 2.4.6. Mostre que ~u · (~v × ~w) = det (~u;~v; ~w). Conclua que o trio de vetores~u, ~v e ~w forma um sistema dextrogiro se ~u·(~v × ~w) > 0 e levogiro se ~u·(~v × ~w) < 0.Interprete geometricamente.





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2.5 Os triplos produtos e outras identidades ve-toriais

O triplo produto escalar é definido por um produto vetorial e um produtoescalar, isto é:

~u · (~v × ~w). (2.26)

Em coordenadas cartesianas, podemos escrever o triplo produto vetorial como:(u1~i+ u2~j + u3~k

)·[(v1~i+ v2~j + v3~k

)×(w1~i+ w2~j + w3~k

)].

Agora, usando a definição em cartesianas do produto vetorial dada na equação(2.19), substituindo ~u e ~v por ~v e ~w, respectivamente, isto é:

~v × ~w = (v2w3 − v3w2)~i+ (v3w1 − v1w3)~j + (v1w2 − v2w1)~k.

Obtemos:

~u · (~v × ~w) = u1 (v2w3 − v3w2) + u2 (v3w1 − v1w3) + u3 (v1w2 − v2w1)= (u1v2w3 − u1v3w2) + (u2v3w1 − u2v1w3) + (u3v1w2 − u3v2w1)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= det (~u,~v,~w) (2.27)

Observação 2.5.1. Assim como o produto vetorial possui uma interpretação ge-ométrica importante, a intepretação geométrica do triplo produto escalar está re-lacionado com o paralelepípedo formado pelos vetores ~u, ~v e ~w, ver figura (2.7). Omódulo é o volume do paralepípedo e o sinal é dado pela orientação do trio ~u, ~v e ~w:positivo ou negativo para as orientações dextrogira ou levogira, respectivamente.

O triplo produto escalar pode, portanto, ser calculado pelo determinante damatriz formada pelas componentes dos três vetores envolvidos. A expressão dotriplo produto escalar como o determinante dos três vetores poderia ter sido maisrapidamente obtido usando (2.24) o determinante formal que, alternativamente,define o produto vetorial:

~u · (~v × ~w) =(u1~i+ u2~j + u3~k

)·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(2.28)



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2.5. OS TRIPLOS PRODUTOS E OUTRAS IDENTIDADESVETORIAIS 23

Figura 2.7: Representação do paralelepípedo formado por três vetores.



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Sabemos que quando permutamos duas linhas de uma matriz, seu determinantemuda de sinal, pelo que podemos obter as seguintes relações:

~u · (~v × ~w) = −~v · (~u× ~w) = ~v · (~w × ~u)= −~w · (~v × ~u) = ~w · (~u× ~v) = −~u · (~w × ~v)

Extraindo apenas os termos de ordem ímpar temos:

~u · (~v × ~w) = ~v · (~w × ~u) = ~w · (~u× ~v) (2.29)

Observação 2.5.2. Um caso particular interessante é quando escolhemos ~w =~u× ~v e obtemos:

det (~u,~v,~u× ~v) = (~u× ~v) · (~u× ~v) = ‖~u× ~v‖2.

Assim, retornamos à expressão (2.20f).

Podemos igualmente definir o triplo produto vetorial como o produto vetorialde um vetor pelo produto vetorial de outros dois vetores, isto é:

~u× (~v × ~w) .

Observe cuidadosamente que o produto vetorial não é associativo, isto é, podeacontecer ~u × (~v × ~w) 6= (~u× ~v) × ~w (ver problema 2.4.4), portanto, a ordemdos vetores é relevante.2 Podemos mostrar que o triplo produto vetorial pode serexpresso como:

~u× (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~u · ~v) ~wPara verificar esta identidade, retornamos ao produto vetorial entre ~v e ~w emcoordenadas cartesianas e o escrevemos como a diferença entre dois vetores:

~v × ~w = (v2w3 − v3w2)~i+ (v3w1 − v1w3)~j + (v1w2 − v2w1)~k=

(v2w3~i+ v3w1~j + v1w2~k

)︸︷︷︸

~p1

−(v3w2~i+ v1w3~j + v2w1~k

)︸︷︷︸

~p2

= ~p1 − ~p2.

~u× ~p1 =(u1~i+ u2~j + u3~k

)×(v2w3~i+ v3w1~j + v1w2~k

)= (u2v1w2 − u3v3w1)~i+ (u3v2w3 − u1v1w2)~j + (u1v3w1 − u2v2w3)~k=

(u2v1w2~i+ u3v2w3~j + u1v3w1~k

)−(u3v3w1~i+ u1v1w2~j + u2v2w3

)~k

~u× ~p2 =(u1~i+ u2~j + u3~k

)×(v3w2~i+ v1w3~j + v2w1~k

)= (u2v2w1 − u3v1w3)~i+ (u3v3w2 − u1v2w1)~j + (u1v3w1 − u2v3w2)~k=

(u2v2w1~i+ u3v3w2~j + u1v3w1~k

)−(u3v1w3~i+ u1v2w1~ju2v3w2~k

)Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: [email protected]


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2.5. OS TRIPLOS PRODUTOS E OUTRAS IDENTIDADESVETORIAIS 25

Subtraíndo temos:

~u× (~p1 − ~p2) =[(u2w2 + u3w3) v1~i+ (u1w1 + u3w3) v2~j + (u1w1 + u2w2) v3~k

]−

[(u2v2 + u3v3)w1~i+ (u1v1 + u3v3)w2~j + (u1v1 + u2v2)w3~k

]Agora, somamos u1v1w1 à primeira coordenada de cada um dos dois termos dasubtração; somamos u2v2w2 à segunda coordenada de cada um dos dois termos dasubtração e somamos u3v3w3 à terceira coordenada de cada um dos dois termosda subtração para obter:

~u× (~p1 − ~p2) =[(~u · ~w) v1~i+ (~u · ~w) v2~j + (~u · ~w) v3~k

]−

[(~u · ~v)w1~i+ (~u · ~v)w2~j + (~u · ~v)w3~k

]= (~u · ~w)~v − (~u · ~v)~w.

Lembrando que ~p1 − ~p2 = ~v × ~w, obtemos:

~u× (~p1 − ~p2) = ~u× (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~u · ~v)~w.

O formulário abaixo resume as indentidades que acabamos de demonstrar e listamais algumas sem demonstração:

~u · (~v × ~w) = ~v · (~w × ~u) = ~w · (~u× ~v) , Triplo produto escalar(2.30a)

~u× (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~u · ~v) ~w, Triplo produto vetorial(2.30b)

(~u× ~v)× ~w = (~u · ~w)~v − (~v · ~w) ~u, Triplo produto vetorial(2.30c)

(~u× ~v) · (~w × ~x) = (~u · ~w) (~v · ~x)− (~v · ~w) (~u · ~x) , (2.30d)(~u · (~v × ~w)) ~x = (~u · ~x) (~v × ~w) + (~v · ~x) (~w × ~u) + (~w · ~x) (~u× ~v) , (2.30e)

(~u× ~v)× (~w × ~x) = (~u · (~v × ~x)) ~w − (~u · (~v × ~w)) ~x, (2.30f)(2.30g)


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Figura 2.8: Representação de um ponto de coordenadas cilíndricas.

Exercícios


Veja como em:


2.6 Sistema de coordenadas cilíndricasNo sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P é representado pelas coorde-

nadas ρ, θ e z. A coordenada z é a mesma do sistema de coordenadas retangulares.A coordenada ρ indica a distância entre a origem e a projeção P ′ de P sob o eixoxy. Finalmente θ é o ângulo entre o semi-eixo x > 0 e o ponto P ′. Ver figura 2.8.É fácil ver que

x = ρ cos θ (2.31a)y = ρ sen θ (2.31b)




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2.7. SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS 27

ondeρ =

√x2 + y2 (2.32)

A coordenadas ρ, θ e z são comumente denominadas, respectivamente, de “distân-cia radial”, “azimute” e “altura”.

As equações (2.31) podem ser reescritas como

cos θ = x

ρ= x√

x2 + y2 (2.33a)

sen θ = y

ρ= y√

x2 + y2 (2.33b)

E 2.6.1. Os seguintes pontos são dados em coordenadas cartesianas, encontresuas representações em coordenas cilíndricas:

a) 〈1,1,1〉

b) 〈1,− 1,1〉

c) 〈−1,1,1〉

d) 〈−1,− 1,1〉

Resp:(√

2,π4 ,1),(√

2,5π4 ,1),(√

2,3π4 ,1)e(√

2,7π4 ,1).

E 2.6.2. Encontre uma expressão para distância de um ponto à origem emcoordenadas cilíndricas

Resp:√ρ2 + z2

2.7 Sistema de coordenadas esféricasNo sistema de coordenadas esféricas, um ponto P é representado pelas coorde-

nadas r, θ e ϕ. A coordenada r indica a distância do ponto P até a origem, sendoconsistente com a definição de módulo de um vetor. A coordenada θ é o mesmoângulo do sistema de coordenadas cilíndricas, ou seja, é o ângulo entre o semi-eixox > 0 e o ponto P ′ (projeção de P no plano xy). O ângulo ϕ é o ângulo entrea reta que liga a origem até o ponto P e o semi-eixo z > 0. Ver figura 2.9. Arelação entre a coordenadas no sistema de coordenadas esféricas e no sistema decoordenadas cilíndricas é dada pelas projeções:

z = r cosϕ (2.34a)ρ = r sen ϕ (2.34b)



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Figura 2.9: Representação de um ponto de coordenadas esféricas.



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2.8. EXEMPLOS NA FÍSICA 29

Usando (2.31), encontramos a relação entre o sistema de coordenadas esféricas ecartesianas:

x = r sen ϕ cos θ (2.35a)y = r sen ϕ sen θ (2.35b)z = r cosϕ (2.35c)

Analogamente, pode-se escrever:

r =√x2 + y2 + z2 (2.36a)

cosϕ = z

r= z

x2 + y2 + z2 (2.36b)

cos θ = x

ρ= x

x2 + y2 (2.36c)

sen θ = y

ρ= y

x2 + y2 (2.36d)

E 2.7.1. Os seguintes pontos são dados em coordenadas cartesianas, encontresuas representações em coordenas esféricas (ver também excício 2.6.1):

a) 〈1,1,1〉

b) 〈1,− 1,1〉

c) 〈−1,1,1〉

d) 〈−1,− 1,1〉Resp:

(√3,π4 ,θ

),(√

3,5π4 ,θ),(√

3,3π4 ,θ)e(√

3,7π4 ,θ), onde θ = cos−1

(√3

3

)≈

0,955.

2.8 Exemplos na físicaNa mecânica, o trabalho de uma força constante atuando sobre um corpo que

se move com velocidade constante é dado pelo produto escalar da força pelo des-locamento:

W = ~F · 4~rO torque de uma força em relação a um eixo dado é dado por

~τ = ~r × ~F

onde ~r é o vetor que liga o ponto onde a força é aplicada e o pondo onde o torqueé medido.

A força ~F que uma campo magnético ~B produz em uma partícula de cargaelétrica q em movimento com velocidade ~v é dado pela lei de Lorentz: ~F = q~v× ~B.



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2.9 Notas avançadas

2.9.1 O que é um espaço linear?

A definição de espaço vetorial dada em (2.1) é ampla e engloba conceitos bemmais gerais que os espaços euclidianos de dimensão 2 e 3 com os quais o leitortem maior familiaridade. As funções reais f : R → R, por exemplo, formamespaço vetorial onde os escalares são dados pelos números reais. O vetor nulo,neste caso, é a função f(x) = 0. Este espaço não tem dimensão finita pois ospolinômios Pn(x) = xn para n = 0,1,2,3, . . . formam uma família infinita de vetoreslinearmente independentes (isso é uma consequência do teorema fundamental daálgebra).

2.9.2 Todo espaço linear tem uma base? Axioma da esco-lha.

Um problema importante é descobrir se todo espaço linear admite uma base.Este problema é mais complicado do que pode parecer e conduz a uma profundadiscussão sobre os próprios fundamentos da matemática. De fato, pode-se mostrarque, o axioma da escolha implica que todo espaço linear tenha uma base.

O axioma da escolha é um dos axiomas da teoria de conjuntos padrão quetem diversas consequências contraintuitivas e fisicamente inesperadas. Um exem-plo das bizarrias produzidas pelo axioma da escolha é o chamado paradoxo deBanach-Tarski: Dada uma esfera no espaço euclidiano de três dimensões, é possí-vel cortá-la em um número finito de pedaços e rearranjar esses pedaços de formaa construir duas esferas idênticas à original. Em outras palavras, o axioma da es-colha aplicado ao espaço euclidiano tridimensional traz como consequências a nãopreservação de “volume” frente a translações e rotações. Para definir de formarazoável os conceitos de comprimento, área e volumes, foi necessário o desenvol-vimento da teoria da medida no final do Século XIX e início do Século XX. Asolução encontrada foi construir uma medida apenas em uma família de subcon-juntos chamamos conjuntos mensuráveis.

Vejamos um exemplo de espaço linear de dimensão: é fácil verificar que oconjunto de todos os polinômios P (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . . anxn formam um

espaço linear frente às operações usuais de soma e multiplicação por um escalar.A base deste espaço é dada pelos monômios Pn(x) = xn para n = 0,1,2,3, . . . poiscada polinômio pode ser escrito como uma combinação linear finita de elementosdesse base. No entanto, não é possível mostrar desta forma contrutiva uma basepara o espaço das funções reais ou mesmo para as funções reais contínuas. Aexistência de uma base para estes espaços é um conceito abstrato não contrutivo.



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2.9. NOTAS AVANÇADAS 31

2.9.3 Qual amplo é o conceito de norma?Vimos que o conceito de espaço linear é muito mais amplo e útil que parecia.

E quanto à norma? Estamos familiariados com a norma euclidiana, mas será que épossível definir outras normas no espaço Rn de forma a satisfazer as propriedades(2.12)? A norma euclidiana em um espaço de dimensão n é dada por

‖~x‖ =(x2

1 + x22 + . . . x2

n

)1/2

De fato é possível mostrar que podemos alterar esta expressão para

‖~x‖p = (|x1|p + |x2|p + . . .+ |xn|p)1/p

com p ≥ 1 de forma a preservar todas as propriedades da norma.Mas será que é possível definir uma norma no espaço das funções reais? Esta

é uma pergunta complicada, mas podemos simplificar exigindo um pouco maisdesse espaço. Por exemplo, vamos considerar o espaço das funções reais contínuasdefinidas no intervalo [0,1]. Neste espaço é possível definir a seguinte norma:

‖f(x)‖ = maxx∈[0,1]

|f(x)| (2.37)

ou seja, a norma de uma função contínua é dada pelo máximo de seu módulono intervalo.

No entanto, esta não é a única maneira de definir uma norma neste espaço,outra possibilidade é:

‖f(x)‖p =(∫ 1

0|f(x)|pdx

)1/p(2.38)

onde p ≥ 1.A norma (2.38) é chamada de norma Lp de uma função e a norma (2.37) é

chamada de norma do máximo ou norma infinito ou norma L∞. Isso porque

limp→∞‖f(x)‖p = max

x∈[0,1]|f(x)|.

Esta normas exercem enorme importância na teoria de funções com importantesaplicações no estudo das equações diferenciais.

2.9.4 E o produto escalar?Uma operação com as propriedades (2.17) é um produto escalar. Produtos

escalares não aparecem apenas em espaços de duas ou três dimensões: mesmoespaços de dimensão infinita podem possuir um produto escalar. Tomemos como



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exemplo novamente o espaço das funções contínuas definidas no intervalo [0,1]. Aseguinte operação possui todas as propriedades de um produto escalar:

〈f,g〉 =∫ 1

0f(x)g(x)dx.

Observe o leitor que foi usada a notação 〈,〉 para indicar o produto interno. Esteproduto interno induz a seguinte norma:

‖f‖2 = (〈f,f〉)1/2 =(∫ 1

0f(x)2dx

)1/2

que é o caso particular de (2.38) quando p = 2. A desigualdade de Cauchy-Schwarzadmite a seguinte forma:

∫ 1

0f(x)g(x)dx ≤

(∫ 1

0f(x)2dx

)1/2 (∫ 1

0g(x)2dx

)1/2


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Capítulo 3

Seções cônicas



3.1 Parábola

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3.1.1 Equação canônica


3.1.2 Propriedades


3.1.3 Forma paramétrica


33









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Exercícios


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3.2 ElipseEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:


3.2.1 Equação canônicaEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:


3.2.2 PropriedadesEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:


3.2.3 Forma paramétricaEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:




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3.3. HIPÉRBOLE 35

Exercícios


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3.3 HipérboleEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:










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Exercícios


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3.4 Rotação


3.4.1 Discriminante




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Exercícios


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3.5 Conexão com seções do cone




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3.6. CÔNICAS EM COORDENADAS POLARES 37


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3.6 Cônicas em coordenadas polaresEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:



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Capítulo 4

Superfícies Quádricas



4.1 ElipsóideEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:








4.2 Parabolóide elípticoEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:

38






4.3. PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO 39




4.2.2 Propriedades




4.3 Parabolóide hiperbólicoEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:




4.3.2 Propriedades














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4.4 Hiperbolóide de uma folhaEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:








4.5 Hiperbolóide de duas folhasEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:


















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4.6. CILÍNDRO ELÍPTICO 41

4.6 Cilíndro elípticoEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:








4.7 Cilindro hiperbólicoEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:


















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4.8 Cilindro parabólicoEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:








4.9 Cone elípticoEsta seção (ou subseção) está sugerida. Participe da sua escrita. Veja como em:


















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4.10. EXERCÍCIOS FINAIS 43


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Capítulo 5

Derivadas parciais



5.1 Funções de várias variáveis



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Exercícios


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44




5.2. LIMITES E CONTINUIDADE 45

5.2 Limites e continuidade


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5.3 Derivadas parciais


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5.4 Diferenciabilidade


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Exercícios


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5.5 Gradiente e derivadas direcionais



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Exercícios


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5.6 Regra da cadeia



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Exercícios


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5.7. OTIMIZAÇÃO 47

5.7 Otimização


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5.8 Multiplicadores de Lagrange


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Capítulo 6

Integrais múltiplas



6.1 Integrais múltiplas e iteradas



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Exercícios


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48




6.2. INTEGRAIS DUPLAS 49

6.2 Integrais duplas


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6.3 Integrais triplas


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6.4 Integração em coordenadas curvilíneas


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Exercícios


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6.5 Integração em coordenadas curvilíneas



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Exercícios


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6.6 Mudança de variáveis - O jacobiano



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Exercícios


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6.7. EXERCÍCIOS FINAIS 51


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Referências Bibliográficas

52

Índice Remissivo

álgebra vetorial, 2

cônicas, 33, 36coordenadas polares, 37elípse, 34hipérbole, 35parábola, 33

cilíndro elíptico, 41forma paramétrica, 41propriedades, 41

cilindro hiperbólico, 41forma paramétrica, 41propriedades, 41

cilindro parabólico, 42forma paramétrica, 42propriedades, 42

cone elíptico, 42forma paramétrica, 42propriedades, 42

continuidadede funções de várias variáveis, 45

coodernadas polares, 37coordenadas

cilíndricas, 26esféricas, 27

derivadadirecional, 46

derivadas parciais, 45desigualdade de Cauchy-Schwarz, 14desigualdade triangular, 6determinante

jacobiano, 50dextrogira, 4

diferencialde funções de várias variáveis, 45

discriminantecônicas, 36

Elipsóide, 38, 40, 41elipsóide, 38

forma paramétrica, 38propriedades, 38

elipsepropriedades, 34

equação canônicacilíndro elíptico, 41cilindro hiperbólico, 41cilindro parabólico, 42cone elíptico, 42elípse, 34elipsóide, 38hipérbole, 35hiperbolóide de duas folhas, 40hiperbolóide de uma folha, 40parábola, 33parabolóide elíptico, 39parabolóide hiperbólico, 39

escalar, 2escalares, 2espaço linear, 30espaço vetorial, 2

forma paramétricaelipse, 34hipérbole, 35parábola, 33

funções

53


de várias variáveis, 44

gradiente, 46

hipérbole, 35propriedades, 35

hiperbolóide de duas folhas, 40forma paramétrica, 40propriedades, 40

hiperbolóide de uma folha, 40forma paramétrica, 40propriedades, 40

identidades vetoriais, 22integral

coordenadas curvilíneas, 49, 50em duas variáveis, 49em três variáveis, 49em várias variáveis, 48iterada, 48múltipla, 48

jacobiano, 50

latitude, 8levogira, 4limite

de funções de várias variáveis, 45longitude, 8

matrizjacobiana, 50

mudança de variáveis, 50multiplicadores de Lagrange, 47

norma, 6abstrata, 31

orientação, 4otimização

com restrição, 47em funções de várias variáveis, 47

parábola, 33, 34

propriedades, 33parabolóide elíptico, 38, 39

forma paramétrica, 39propriedades, 39

parabolóide hiperbólico, 39forma paramétrica, 39propriedades, 39

produto escalar, 6, 10, 31produto vetorial, 16

quádricas, 38cilíndro elíptico, 41cilindro hiperbólico, 41cilindro parabólico, 42cone elíptico, 42elipsóide, 38hiperbolóide de duas folhas, 40hiperbolóide de uma folha, 40parabolóide elíptico, 38parabolóide hiperbólico, 39

regra da cadeiaem funções de várias variáveis, 46

regra da mão direita, 4regra da mão esquerda, 4rotação, 36

Sistema de coordenadas cartesianas, 4Sistema de coordenadas cilíndricas, 26Sistema de coordenadas esféricas, 27superfícies

quádricas, 38

trabalho, 29trabalho de uma força, 29triplo produto, 22triplo produto escalar, 22

versor, 7vetor, 2vetor unitário, 6vetores, 2vetores ortogonais, 14



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Cálculo de Funções de Várias Variáveis - ufrgs.br · Neste sistema, também chamado...

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