APOSTILA MATEMTICA FINANCEIRAADMINISTRAO DE EMPRESAS, INFORMTICA ECINCIAS CONTBEIS PROF.: MRIO S. TARANTO1SUMRIO CAPTULO 1 - MATEMTICA FINANCEIRA1.1 O OBJETIVO DA MATEMTICA FINANCEIRA1.2 MOEDA1.2.1 INFLAO1.2.2 TAXA DE CMBIO1.2.3 CONVERSO DE MOEDAS1.2.4 OPERAO CAMBIAL 1.3 CONCEITOS-CHAVE DA MATEMTICA FINANCEIRA 1.3.1 PERCENTAGEM1.3.2 TAXA PERCENTUAL1.3.3 DESCONTOS SUCESSIVOS1.3.4 ACRSCIMOS SUCESSIVOS1.4 REGIMES DE CAPITALIZAOCAPTULO 2 - CAPITALIZAO SIMPLES2.1 FLUXO DE CAIXA2.2 JURO2.2.1 ELEMENTOS BSICOS DO CLCULO DE JUROS2.3 JUROS SIMPLES2.3.1 FRMULA GERAL2.3.2 JURO COMERCIAL E JURO EXATO2.3.3 TAXAS PROPORCIONAIS (EQUIVALNCIA DE TAXAS)2.4CLCULODOMONTANTE, DOPRINCIPAL, DATAXADEJUROSEDONMERODE PERODOS DE CAPITALIZAO 2.5DESCONTO SIMPLES2.5.1DESCONTO COMERCIAL SIMPLES2.5.2TAXA DE JUROS EFETIVA2.5.3EQUIVALNCIA DE CAPITAIS2.5.4DESCONTO RACIONAL SIMPLES2CAPTULO 3 - JUROS COMPOSTOS3.1 - EXPRESSO DA CAPITALIZAO3.1.1 - FATOR DE CAPITALIZAO (FPS)3.2 - CLCULO DA APLICAO INICIAL3.2.1 - FATOR DE DESCAPITALIZAO (FSP) 3.3 - RELAO DE EQUIVALNCIA ENTRE TAXAS 3.3.1- TAXA EFETIVA OU REAL3.3.2- TAXA PROPORCIONAL3.3.3- TAXA NOMINALCAPTULO 4 - DESCONTO COMPOSTO4.1 - VALOR ATUAL DO TTULO4.2 - DESCONTO COMPOSTO4.3 - CAPITAIS EQUIVALENTES 4.3.1- EQUIVALNCIA DE CAPITAIS APLICADOS4.3.2- TAXA INTERNA DE RETORNOCAPTULO 5 - SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS5.1 - CAPITALIZAO COMPOSTA ATRAVS DE UMA SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS5.1.1 - SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS POSTECIPADOS5.1.2 - SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS ANTECIPADOS5.2 - AMORTIZAO COMPOSTA ATRAVS DE UMA SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS5.2.1- AMORTIZAO COM UMA SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS POSTECIPADOS5.2.2- AMORTIZAO COM UMA SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS ANTECIPADOS5.2.3- AMORTIZAO COM UMA SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS DIFERIDOS 5.3 - SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE5.4 - SISTEMA FRANCS DE AMORTIZAO 5.5 - TABELAS FINANCEIRAS31 MATEMTICA FINANCEIRA1.1 O OBJETIVO DA MATEMTICA FINANCEIRA A Matemtica Financeiratem por objetivo o manuseio de fluxos de caixa(entradas e sadasdedinheirodeumempresaoudeumapessoafsicarelativasaumcertointervalode tempo), visando suas transformaes emoutros fluxos equivalentes quepermitamas suas comparaes de maneira mais fcil e segura.A manipulao desses fluxos de caixa s pode ser feita com a fixao dos juros, e pode-se ainda dizer que a existncia da matemtica financeira, com todas suas frmulas e fatores, se prende, exclusivamente a existncia dos mesmos. Assim, conclumos que o objetivo bsico da matemticafinanceiraoclculodovalor dodinheironotempoeojurooconceitomais diretamente associado a este clculo.1.2 MOEDAChamamos de valor da moedaou poder aquisitiva da moeda, aquele representado pela quantidade de bens ou servios que podem ser adquiridos com uma unidade monetria.Dizemosqueumamoedaestvelquandomantm,nodecorrerdotempo,sempreo mesmo poder aquisitivo.1.2.1 INFLAOA depreciaodovalor da moeda ou areduodoseu poder aquisitivo,identificada comoinflao. Observamos, porm, queoaumentodospreosdealgunsbenseservios,resultante, por exemplo, de uma escassez tpica das entressafras, no o bastante para caracterizarumprocessoinflacionrio. Estesficacaracterizadosetodososbenseservios acusam uma tendncia de alta generalizada e contnua.Assim, podemoscaracterizara inflao comouma contnua,persistente e generalizada expanso dos preos.1.2.2 TAXA DE CMBIOAoimportamos algodeoutropas, efetuamos opagamentocomarespectivamente moeda. Esse procedimento d origem ao cmbio, que a operao de troca de moedas de diferentes pases. Para ser possvel a realizao dessa troca, necessrio estabelecermos uma relaodeequivalnciaentreasvriasmoedas. Essarelaodeequivalncia, queemltima anlise o preo da moeda estrangeira em termos de moeda nacional, o que denominamos taxa de cmbio. Assim, se um dlar custa hoje R$ 2,05, por exemplo, a taxa de cmbio do dlarseria de R$ 2,05, ou seja:US$ 1,00 = R$ 2,05As taxas de cmbio so agrupadas em tabelas de cotaes, que contm dois valores para a moeda estrangeira: um de compra, que o preo que o agente cambialpaga na compra da moeda; e outro de venda, que o preo que o agente cambialcobrar na venda da moeda. A diferena entre esses valores o lucro do agente cambial.1.2.3 CONVERSO DE MOEDASUma vez fixada a taxa de cmbio, o problema de converso se reduz a um problema deregra de trs simples e direta.Nota: Vendemospelopreodecompraecompramospelopreodevendadatabelade cotaes.4Exemplo 1: Tenho US$ 250 para dispor. Quantos reais irei apurar, recorrendo ao cmbio de R$ 2,10133?Sabendo que o valor de compra do dlar americano de R$ 2,10133, recorrendo a regra de trs simples e direta,temos que:2,10133 x 250 = 525,3325Logo, poderei apurar R$ 525,33.Exemplo2: Quantosdlaresamericanospoderei adquirir comR$50.000,00, Recorrendoao cmbio de R$ 2,09549? Sabendo que o valor de venda do dlar americano de R$ 2,09549, recorrendo a regra detrs simples e direta, temos que:50 0002 0954923 860 76765.,. , Logo, poderei adquirir 23.860,77 US$.Exemplo 3: Com 2.000 US$ um turista comprou R$ 4.107,60. Qual foi a taxa de cmbio?Recorrendo a regra de trs simples e direta, temos que:4108 72 0002 05435. ,., Logo, a taxa de cmbio foi de R$ 2,05435. 1.2.4 OPERAO CAMBIALA transferncia de dinheiro sem a necessidade de efetivamente transportarmos moedas quesefazempor intermdiodebancosdomesmopasedepasesdistintoschamadade operao cambial. Quando o cmbio se faz entre bancos do mesmo pas, chamado interior; quando se realiza entre bancos de pases distintos, exterior. costume dizer que o importador (ou devedor) efetua uma remessae o exportador (ou credor), um saque.Exemplo: Um industrial brasileiro acaba de receber um aviso de um banco alemo do direito de saque no valor de 10.000 euros e um segundo aviso da necessidade de uma remessa de dlarespara uma firma americana. O industrial vai ao banco, realiza uma operao de cmbio e cobre o saque do exportador americano, utilizando seus euros. Qualo valor de seu dbito, em dlares,para com o exportador americano, sabendo que osaque feito pelafirma americana igual ao depsito feito pelo banco alemo?Dados: EURO 1,00 = R$ 2,54657 para compra e R$ 2,63764 para venda; US$ 1,00 = 2,04832 para compra e R$ 2,09531 para venda.Sabendo que o valor de compra do euro R$ 2,54657, recorrendo a regra de trs simples e direta, temos que:10.000 x 2,54657 = 25.465,705Da:R$ 25.465,70.Como o valor de venda do dlar americano de R$ 2,09531, temos: 25 465 702 0953112 153 667. ,,. , Logo, o dbito de US$ 12.153,67.EXERCCIOSUtilizando a tabela de cotaes abaixo, resolva os exerccios seguir:Nome Smbolo Compra VendaDlar americano US$ 1,84832 1,85131Euro 2,54657 2,55764Libra esterlina2,21473 2,23085Franco suo Sw.Fr. 2,19367 2,21447Iene japons0,02193 0,02211Dados fictcios.1 Converta 21.230 US$ em moeda nacional. 2 Um industrial necessita comprar letras de cmbio no valor de 1.500. Quanto ele pagar?3 Calcule o cmbio na compra de 1.800 Sw.Fr. por R$ 3.790,00. 4 Desejo adquirir Iene japons para fazer uma viagem a Tquio. Quanto poderei adquirir se a quantia que disponho de 1.400 ?5 Tenho em um banco um crdito de 4.600 US$ e desejo fazer uma remessa para Madri a fim de cobrir um saque de um exportador espanholno valor de 4.250 . Sem considerar as despesas decorrentes da operao, verifique se posso realizar essa remessa com o saque que tenho direito.1.3 CONCEITOS- CHAVE DA MATEMTICA FINANCEIRADefinimos como juro a remunerao, a qualquer ttulo, atribuda a um capital no decorrer do tempo. Para se determinar o valor do juro a ser cobrado ou recebido, utiliza-se a taxa percentual,referida a um intervalo de tempo, denominada taxa de juro. Sempre que falamos em juro relativo a um capital, estamos nos referindo remunerao desse capital durante um intervalo de tempo que denominamos perodo financeiroou perodo de capitalizao.1.3.1 PERCENTAGEMPercentagem o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa.61.3.2 TAXA PERCENTUALTaxa o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 unidades.Uma razo x100, chamado de razo centesimal ou taxa percentual. Uma outra forma de representarmos as razes centesimais, substituir o conseqente 100 pelo smbolo %. Exemplos 1: Um vendedor tem 3% de comisso nos negcios que faz. Qual sua comisso numa venda de R$ 3.600,00?Soluo: Comisso = 0,03 x 3.600 = R$ 108,00. Exemplo 2: Um automvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00.Qual a percentagem do lucro?Soluo: Taxa =000 . 5400 = 0,08 = 8%.1.3.3 DESCONTOS SUCESSIVOSBasta calcularmos os lquidos parciais correspondentes efetuando os descontos oferecidos, respeitando a ordem das taxas, at obtermos o valor lquido final.VFinal= P (1 i1) (1 i2) (1 in)Exemplo: Uma mercadoria que custava R$ 980,00 foi vendida com dois descontos sucessivos, de 5% e 7%. Qual o preo final da venda?VFinal= 980 (1 0,05) (1 0,07) VFinal= 980 0,95 0,93VFinal= RS 865,831.3.4 ACRSCIMOS SUCESSIVOSBasta calcularmos os valores parciais correspondentes aos referentes acrscimos,respeitando a ordem das taxas, at obtermos o valor lquido final.VFinal = P (1 + i1) (1 + i2) (1 + in)Exemplo: Uma fatura de R$ 5.000,00 por motivo de atraso em seu pagamento, sofre aumentos sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? VFinal= 5.000 (1 + 0,10) (1 + 0,15)VFinal= 5.000 1,10 1,15VFinal= RS 6.325,00EXERCCIOS 76 Uma pessoa gasta por semana para se deslocar para o trabalho R$ 25,00. Se o transporte sofreu um aumento de 14%, de quanto ser seu gasto semanal?7 Uma certa mercadoria custava R$ 1.250,00, teve um aumento passando a custar R$ 1.350,00.Qual a majorao sobre o preo antigo?8 Numa compra vista uma mercadoria teve um desconto de 25%. Sabendo que o preo da mercadoria sem o desconto de R$ 284,00, por quanto saiu a mercadoria?9 UmtelevisorcustaR$420,00eestsendovendidocomdescontode15%. Por quantoo televisor est sendo vendido?10 Uma casa foi comprada por R$ 160.000,00 e vendida por R$ 179.200,00. De quanto foi a taxa de lucro? 11 Um terreno foicomprado vista com abatimento de 20% equivalente a R$ 5.000,00. Porquanto foi comprado o terreno?12 Um corretor recebe R$ 3.200,00 pela venda de duas casas, relativos sua comisso de 5%.Sabendo que a razo dos valores das casas de 35, quanto custou cada casa?13 Um produto que custava R$ 780,00 teve um aumento de 25% e, depois sobre o novo valor,um aumento de 30%. Qual o seu preo final? Qual o percentual total de aumento?14 Uma mercadoria custa R$ 25,00 e ter 4 aumentos consecutivos mensais: dois de 10% e dois de 15%. Qual o novo preo ao final desses 4 meses? Qual o percentual total de aumento?15 Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor inicial da fatura de R$ 48.000,00, qual o valor lquido finalda mesma? Qual o percentual de desconto obtido?1.4 REGIMES DE CAPITALIZAOEntendemos por regime de capitalizao o processo de formao do juro. Existem dois tipos de regimes de capitalizao: a juro simples e a juro composto.No regime de capitalizao a juro simples, por conveno, apenas o capital inicial rende juro, isto , o juro formado no fim de cada perodo a que se refere a taxa no incorporado ao capital para, tambm, render juro no perodo seguinte; dizemos, nesse caso, que os juros no so capitalizados.J no regime de capitalizao a juro composto, o juro formado no fim de cada perodo incorporado ao capital que tnhamos no incio desse perodo, passando esse montante a render juro no perodo seguinte; dizemos, ento, que os juros so capitalizados.2 CAPITALIZAO SIMPLES82.1 FLUXO DE CAIXA o conjunto de entradas e sadas de dinheiro de um empresa ou de uma pessoa fsica relativas a um certo intervalo de tempo.O fluxo de caixa esquematizado por um diagrama onde se convencionou: Colocar numa escala horizontal o perodo considerado (dias, meses, semestres, anos, etc...) Indicar as entradas e sadas de dinheiro por setas: As que indicam entradas so voltadas para cima, tendo ao lado o sinal (+); As que indicam sadas so voltadas para baixo, tendo ao lado o sinal (-). (-) pag(+) receb (-) pag(+) receb2.2 JUROComo j foi dito, a quantia que se paga a ttulo de compensao pelo uso de um dinheiro emprestado. Designa, tambm, a remunerao paga pelas instituies financeiras, quando nelas fazemos uma aplicao. 2.2.1 ELEMENTOS BSICOS DO CLCULO DE JUROS Capital - Chama-se capital ao valor de aplicao do dinheiro ou bem os quais recaem os juros. denominado Principal e representado pelo smbolo P ou C. Juros - Representa o valor da remunerao do capitalnum determinado perodo de tempo.Tem como smbolo J. Taxa de juros - D-se o nome de taxa de juros ao nmero que expressa os juros relativos a 100 unidades monetrias, por uma unidade de tempo. A taxa de juros deve ser expressa em funo de dois parmetros: taxa de porcentagem e intervalo de tempo durante o qual essa taxa computada. representada pelo smbolo i. Prazo- o nmero de unidades de tempo em que o capital est para receber os juros. Tem como smbolo n. Montante- Denomina-se montante, relativo a um perodo financeiro, a soma do valor de uma aplicao comos juros computados sobre essa mesma aplicao, durante o perodo considerado. Tem como smbolo S.S = P + J2.3 JUROS SIMPLES9Juros simples a operao financeira onde os juros so calculados unicamente sobre a aplicao inicial (Capital ou Principal) em qualquer que seja o nmero de perodo de capitalizao.2.3.1 FRMULA GERALOs problemas de juros simples podem ser resolvidos por meio de uma frmula na qual o Capital ouPrincipal, ataxa, otempoeosJuros, sorepresentadospelasletrasP, r, neJ,respectivamente.Aplicao: Calculando os juros simples produzidos em n anos pela aplicao P com a taxa r ao ano, temos:JPr100 JPx r1 0 0

Sendo n o nmero de perodos de capitalizao: JPx r x n1 0 0Fazendo i =r100, temos: J = Pin r taxa de juros dada em porcentagem. i taxa de juros dada em nmero decimal.Obs.: preciso que r e n se refiram a uma mesma unidade de tempo. Assim se r for % ao ano, n tem que ser expressa em anos.Exemplo: Calcule os juros de uma aplicao de R$ 60.000,00 taxa de 6% ao ano, pelo prazo de 2 meses. Dados:Pr a o a n o a o m e s in m e s e s '6 00 0 06 %6 %1 20 5 % 0 0 0 52., ,Soluo: J = Pin J = 60.000 x 0,005 x 2J = 600. 10Logo: Juros da aplicao = R$ 600,00.2.3.2 JURO COMERCIAL E JURO EXATOA tcnica mais utilizada no clculo do juro simples denominada juro simples comercial (1 ano = 360 dias). Entretanto, podemos obter o juro fazendo o uso do nmero exato de dias do ano (365 dias ou 366 dias, se o ano for bissexto). Neste caso, o resultado denominado juro simples exato. Normalmente utilizamos a taxa do juro simples comercial para o nmero exato de dias; a que proporciona o juro mximo em qualquer transao.Podemos obter o nmero exato de dias entre duas datas pela contagem direta dos dias em um calendrio, lembrando que um ano bissexto quando seu nmero divisvel por 4.2.3.3 TAXAS PROPORCIONAIS (EQUIVALNCIA DE TAXAS)Duastaxassoproporcionaisquando, aplicadassucessivamentenoclculodejuros simples de um mesmo capital, durante o mesmo prazo, produzem juros iguais.As taxas proporcionais so: i ao ano = 2 i ao semestre = 4 i ao trimestre = 12 i ao ms = 360 i ao diaEXERCCIOS 16 Calcule os juros de uma aplicao de R$ 12.000,00 taxa de 3% ao ms, pelo prazo de um semestre.17 Que principal, que aplicado a 2% ao ms durante 2 anos e 6 meses, produzir R$ 2.400,00 de juros?18 O capital de R$ 500.000,00, taxa de 12% ao ano, rendeu R$ 120.000,00 de juros. Quantos anos este capital esteve aplicado?19 Calcule os juros de uma aplicao de R$ 35.000,00, a taxa de 4% ao ms, pelo prazo de 72 dias.20 Que quantia se deve investir taxa de 3% ao ms, paraquese tenha ao final de 84 dias uma renda de R$ 9.720,00?21 Calcule os juros de um investimento de R$ 2.500,00, taxa de 3% ao ms, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias.22 Um investimento de R$ 2.800,00 rendeu em 1 ano, 5 meses e 3 dias a importncia de R$ 2.873,00. Calcular a taxa mensal dessa rentabilidade.23 Calcule os juros de uma aplicao de R$ 40.000,00 taxa de 33,6% ao ano pelo prazo de 2 anos, 5 meses e 12 dias.24 Que quantia se deve aplicar durante 1 ano, 6 meses e 24 dias, taxa de 42% ao ano, paraobter R$ 18.424,00 de juros?1125 Um investidor aplica 2/5 do seu capitala 3,5% ao ms e o restante a 24% ao semestre.Decorrido 2 anos 3 meses e 15 dias recebe um total de R$ 313.500,00 de juros. Calcule o seu principal.2.4CLCULODOMONTANTE, DOPRINCIPAL, DATAXADEJUROSEDONMERODE PERODOS DE CAPITALIZAOSabendo que o montante a soma do principal com os juros, onde:S = P + Jsendo S o montante, P o Principal e J os juros e J = Pin. Substituindo o valor de J na expresso, temos:S = P + Pin S = P ( 1 + in ) Nota: O binmio (1 + in) chamado de fator de capitalizao simples e o binmio 11+

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in fator de descapitalizao simples. Exemplo: Calcule o montante de uma aplicao de R$ 5.000,00 a 30% ao ms, pelo prazo de 9 meses. Dados:Pr a o m e s in m e s e s '50 0 03 0 % 0 39.,Soluo: S = P ( 1 + in )S = 5.000 ( 1 + 0,3 x 9 )S = 5.000 ( 1 + 2,7 )S = 5.000 x 3,7S = 18.500Logo: Montante = R$ 18.500,00. EXERCCIOS26 Qual o montante acumulado em 24 meses, a uma taxa de 2% ao ms no regime de jurossimples, a partir de um Principal de R$ 2.000,00?27 Que montante receber um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 durante 15 meses, taxa de 3% ao ms?28 Qual o capital inicial necessrio para se ter um montante de R$ 14.800,00 daqui a 18 meses,a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juros simples?1229 Quanto se deve investir taxa de 3,5% ao ms, para que no final de 135 dias se tenha um montante de R$ 5.678,00?30 Um aparelho de som custa R$ 230,00. Como vou compra-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrar juros simples de 3,5% ao ms. Quanto vou pagar por esse aparelho?31 A que taxa anual esteve aplicada a quantia de R$ 3.082,60 para acumular em 2 anos, 1 ms e 6 dias o montante de R$ 3.500,00?32 Uma pessoa consegue um emprstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, aps 10 meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro anual cobrada.33 Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00, taxa de juro de 16% ao ano,para obtermos um montante de R$ 8.320,00?34 Uma concessionria vende um automvel por R$ 15.000,00 vista. A prazo, vende por R$ 16.540,00, sendoR$4.000,00deentradaeorestanteaps4meses. Qual ataxadejuro simples mensal cobrada?35 Um investidor aplicou R$ 200.000,00 no dia 06/01/04, taxa de 27% ao ano, no regime de juro simples. Em que data esse capital elevar-se- a R$ 219.500,00? 2.5DESCONTO SIMPLESNuma dvida em dinheiro em uma data futura, normal que o devedor d ao credor um ttulo de crditocomo comprovante dessa dvida. Entretanto, se o devedor deseja resgatar sua dvidaantecipadamente, eletemdireitoderesgat-lacomumabatimentoquedenominado desconto.Os ttulosdecrdito mais utilizados emoperaes financeiras so anotapromissria (comprovante da aplicao de um capital em determinada data de vencimento), a duplicata (ttulo emitido pelapessoajurdica aocliente a ser pagono futuro firmado emcontrato) e aletrade cmbio(comprovanteda aplicaodeum capitalemdeterminada data de vencimento emitido exclusivamente por uma instituio financeira).O Desconto a quantia a ser abatida do valor nominal de um ttulo e valor nominal a importncia a ser paga na data do vencimento desse ttulo.O desconto pode ser sobre o valor nominal (desconto comercial) ou valor atual (desconto racional) de um ttulo, que o valor antes de seu vencimento.2.5.1DESCONTO COMERCIAL SIMPLESChamamos de desconto comercialsimples o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal do ttulo em determinado perodo de tempo com uma taxa fixa.Para o clculo do valor comercial a ser descontado, temos:d N i n 13N valor nominal do ttulo.i taxa de desconto.n tempo.Nota: Para calcular o valor atual do ttulo, basta fazer: A = N - d.EXERCCIOS36 Um ttulo de R$ 6.000,00 vaiser descontado 45 dias antes de seu vencimento, taxa de 2,1% ao ms. Determine o valor do desconto comercial e o valor atual comercial.37UmaduplicatadeR$6.900,00foi resgatadaantesdeseuvencimentopor R$6.072,00.Calcule o tempo de antecipao, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao ms.38Umaduplicata, cujoovalornominal deR$2.000,00, foi resgatada2mesesantesdo vencimento, taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial?39 Um ttulo de R$ 4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipao do resgate.40 Um ttulo, no valor nominal de R$ 8.400,00,com vencimento em 18/10/05, foi resgatado em 20/07/05. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual o valor comercial descontado?2.5.2TAXA DE JURO EFETIVA ataxaquerealmenteestsendocobradanaoperaodedesconto. Essataxa denominada taxa de juro efetiva.Sed Ai n , para o clculo da taxa de juro efetiva, temos:n AdiEFEXERCCIOS41 Um ttulo de R$ 5.000,00 foi descontado faltando 75 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de R$ 125,00, calcule a taxa de juro efetiva.1442UmaduplicatadeR$23.000,00foi resgatada111diasantesdeseuvencimentoporR$21.068,00. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva.2.5.3 EQUIVALNCIA DE CAPITAISDizemosquedoisoumaiscapitaisdiferidossoequivalentesemdeterminadadata,quando seus valores atuais so iguais nesta data.No regime de juro simples, essa data de equivalncia deve ser a data que foi contrada a dvida. EXERCCIOS43 Quero substituir um ttulo de R$ 5.000,00,vencvel em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses ttulos podem ser descontados taxa de 3,5% ao ms, qual o valornominal comercial do novo ttulo?44 Um ttulo de valor nominal igual a R$ 6.300,00 para 90 dias dever ser substitudo por outro para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo ttulo, sendo taxa de desconto comercial simples de 2,5% ao ms.45 Uma pessoa deseja trocar dois ttulos, um de valor nominal de R$ 3.000,00 e o outro de R$3.600,00, vencveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um nico ttulo vencvel em 4 meses. Sendo a taxa de desconto comercial simples igual a 3% ao ms, qual ser o valor do novo ttulo?46Umindustrial devepagardoisttulos: umdeR$14.400,00para2meseseoutrodeR$ 19.200,00 para 3 meses. Entretanto, no podendo resgat-los no vencimento, prope ao credorsubstitu-los por um novo ttulo para 4 meses. Qual o valor nominal do novo ttulo, sendo a taxa de desconto comercial simples igual a 3,8% ao ms?47 Queremos substituir dois ttulos, um de R$ 5.000,00 para 90 dias e outro de R$ 12.000,00 para 60 dias, por trs outros, com o mesmo valor nominal, vencveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transao de 3% ao ms.48 Substitua trs ttulos, um de R$ 4.000,00 para 30 dias, outro de R$ 10.000,00 para 60 dias e outro de R$ 16.000,00 para 90 dias, por dois outros ttulos de iguais valores nominais, vencveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos ttulos, sabendo que a taxa de desconto comercial da transao de 3,5% ao ms?1549 Um indivduo tem uma dvida a ser paga em trs parcelas: uma de R$ 10.000,00 de hoje a seis meses, outra de R$ 20.000,00 de hoje a nove meses e a terceira de R$ 30.000,00 de hoje a doze meses. O credor aceita o pagamento da dvida em duas parcelas iguais, no 6 ms e no 12ms, a partir de hoje, utilizando-se uma taxa de juros simples de 45% ao ano. Calcule o valor de cada pagamento, adotando-se desconto comercial e a data zero como referncia.2.5.4 DESCONTO RACIONAL SIMPLESChamamosdedescontoracionalsimplesoquocienteencontradoentreodesconto comercial simples e o fator de capitalizao para uma taxa fixada, durante umtempo correspondente.n in i Ndr + 1Para determinar o valor atual racional fazemos r rd N A .Na prtica para determinar o valor nominal de um ttulo devemos capitalizar o valor atualracional usando: N A i n + ( ) 1 , e para determinar o valor atual racional devemos descapitalizar o valor nominal usando:A Ni n +

_,

11.Exemplo 1: Sendo dr = 2% ao ms e n = 3 meses, calcule a taxa de desconto racional.Dados: d a ome sn me s e sir'2 %3?di nr+ 110 021 3, + iii = 0,02 x ( 1 + 3i )i = 0,06i + 0,02 i - 0,06i = 0,02 0,94i = 0,02i 0 020 94,,

i = 0,02127 i = 0,0213Logo: r = 2,13% ao ms.16Exemplo2: Umcidadoaplicou, nestadata, umprincipal deR$1.000,00, parareceber R$ 1.900,00 daqui a 36 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal no regime de juros simples? Quala taxa de desconto racional correspondente?Dados: NAn m e s e si r '19 0 010 0 03 6..?1 passo:N A i n + ( ) 1

1.900 = 1.000 ( 1 + i 36 )1,9 = 1+ 36i36i = 1,9 - 136i = 0,9i 0 936,

i = 0,025

Portanto: r = 2,5% ao ms.2 passo: dii nr+ 1 dr +0 0251 0 9,, dr 0 0251 9,, =0,01315 Logo:dr = 1,32% ao ms. EXERCCIOS50 Um ttulo de R$ 13.000,00 vai ser descontado taxa de 2,5% ao ms 90 dias antes do seu vencimento. Determine o valor atual racional do ttulo.51Determineovalordodescontoedovaloratual racionaisdeumttulodeR$50.000,00,disponvel dentro de 40 dias, taxa de 3% ao ms.52 Um ttulo tem desconto comercial simples de R$ 212,40 a trs meses do seu vencimento. Se a taxa da operao de 6% ao ms, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.53 Uma empresa descontou uma duplicata em um banco que adota uma taxa de 8% ao ms e odescontocomercial simples. Ovalor dodescontofoi deR$1.344,00. Senaoperaofosse adotado o desconto racional simples, o valor do desconto seria reduzido em R$ 144,00. Nessas condies, determine o valor nominal da duplicata.54 Dois ttulos como mesmo valor nominal foramdescontados cinco meses antes do vencimento, aplicando-se uma taxa simples de desconto de 2% ao ms. O primeiro foi descontado pela modalidade de desconto racional simples, e o segundo pelo desconto comercial simples. Se o desconto sofrido totalizou R$ 23.100,00, qual o valor nominal de cada ttulo?55 Um indivduo dever liquidar duas dvidas, expressas por dois ttulos, um de R$ 37.000,00 e outro de R$ 49.800,00, vencveis, respectivamente, em 8 e 11 meses, a partir de hoje. A taxa atual17de juros simples de 6% ao ms. Utilizando-se o crdito do valor atual racional, para que uma promissria de R$ 59.950,00 seja equivalente, hoje, aos dois ttulos especificados, calcule o prazo de vencimento da promissria. 3 JUROS COMPOSTOS

No regime de juros compostos, a capitalizao cresce exponencialmente, pois os juros de cada perodo financeiro so incorporados ao montante do perodo anterior.No exemplo da tabela abaixo observamos a capitalizao de R$ 1.000,00 num perodo de 6 meses, taxa de 5% ao ms, no regime de juros compostos: n aplicao juros1 1.000,00 50,002 1.050,00 52,503 1.102,50 55,1341.157,63 57,885 1.215,51 60,786 1.276,29 63,81Total de juros: R$ 340,10 Observando a tabela notamos que os juros incorporados tambm passam a produzir juros,o que no acontece no regime de juros simples.3.1 EXPRESSO DA CAPITALIZAOSendo S o montante gerado em uma aplicao P (valor principal) e i a taxa, temos: S1 = P x ( 1 + i )S2 = P x ( 1 + i ) x ( 1 + i ) S1 = P x ( 1 + i )2S3 = P x ( 1 + i )2 x ( 1 + i ) S1 = P x ( 1 + i )3S4 = P x ( 1 + i )3 x ( 1 + i ) S1 = P x ( 1 + i )4 fcilverificar que esse processo se repete quantas vezes forem necessrias, e que o que ocorre uma multiplicao de potncia de mesma base, onde o expoente a quantidade de meses da aplicao.18Logo:Sn = P ( 1 + i )n3.1.1 FATOR DE CAPITALIZAOA expresso ( 1 + i)n o binmio que denomina o fator de P para S, ou seja, fator de capitalizao, indicado por: FPS ( r; n ) = ( 1 + i )n Substituindo o valor desse binmio em Sn = P ( 1 + i )n resulta: Sn = P FPS ( r; n ) Exemplo: Calcule o montante de uma aplicao de R$ 500,00 por um prazo de 8 meses, no regime de juros compostos, a taxa de 4% ao ms. Dados: SPn m e s e sr a o m e sn'?5 0 084 %Sn =P ( 1 + i )n

S8 = 500 ( 1 + 0,04 )8S8= 500 1,048S8 = 500 x 1,36856S8 = 684,28Logo: Montante = R$ 684,28.Para calcular o montante tambm poderamos utilizar a frmula Sn = P FPS ( r; n ).3.2 CLCULO DA APLICAO INICIAL Sn = P ( 1 + i )n P = Sinn( ) 1+ P = Sn 11 ( ) +in ou P = Sn 11+

_,

in3.2.1 FATOR DE DESCAPITALIZAO A expresso 11+

_,

in denominada fator de S para P, ou seja, fator de descapitalizao,indicado por: FSP ( r; n ) = 11+

_,

in

19 substituindo o valor desse binmio em P = Sn 11+

_,

inresulta:P = Sn FSP (r; n ) EXERCCIOS56 Calcular o montante de uma aplicao de R$ 850,00, a juros compostos e taxa de 3,5% ao ms, capitalizados durante 9 meses.57Calcularaaplicaoinicial queno prazode3meses, a 4%aoms,a juros compostos,produzir o montante de R$ 1.349,83?58 Calcular o montante de uma aplicao de R$ 420,00 a juros compostos, taxa de 42% ao ano, durante 3 anos e 4 meses.59Quantodevemosaplicar, noregimedejuroscompostos, taxade36%aoano, para obtermos em 2 anos, 3 meses e 20 dias a importncia de R$ 4.368,37?60Quantodevemosaplicar taxade2,5%aoms, noregimedejuroscompostos, para obtermos em 1 ano e 4 meses a importncia de R$ 2.000,00?61Em que prazoa quantiadeR$120.000,00a 4%aoms,render dejuroscompostos a importncia de R$ 90.535,71?62 Por quanto tempo (dias, meses e anos) se deve empregar R$ 6.000,00 taxa de 30% ao ano,para obter o montante de R$ 11.394,00?63 Determine:a) FPS (5,5%; 8 ) =b) FSP (3%; 4 ) =c) FPS (2,5%; 6 ) =d) FSP (15%; 3 ) =203.3 RELAO DE EQUIVALNCIA ENTRE TAXASO montante Snde uma aplicao P,relativoas taxasmensaise anuais obtido pelas frmulas: Sn = P ( 1 + i )12eSn = P ( 1 + i ), onde igualando os dois segundos membros dessas expresses e simplificando, obtemos:( 1 + i )12 = ( 1 + i )Por analogia, com as outras taxas equivalentes, temos:( 1 + i ) = ( 1 + i )2 = ( 1 + i )4 = ( 1 + i )12 = ( 1 + i )360 Exemplo: Calcule a taxa mensal equivalente a 36% ao ano.( 1 + i ) = ( 1 + i ) 12 ( 1 + 0,36 ) = ( 1 + i )121,36 =( 1 + i )121 + i =13612 ,i =13612 , - 1 i = 1,02595 - 1i = 0, 02595Logo: r = 2,595% ao ms.3.3.1 TAXA EFETIVA OU REALUma taxa efetiva ou real quando a sua unidade de tempo coincide com a unidade de tempo do perodo de capitalizao.Exemplos: a) 5% ao ms capitalizados mensalmente.b) 10% ao trimestre capitalizados trimestralmente.3.3.2 TAXA PROPORCIONALDuastaxassoproporcionaisquandoseusvaloresformaremumaproporocomos tempos a elas referidos, reduzidos a mesma unidade.Exemplos: a) 48% ao ano proporcional a 4% ao ms. b) 36% ao ano proporcional a 3% ao ms.3.3.3 TAXA NOMINALSe a unidade de tempo da taxa diferente da unidade de tempo do perodo de capitalizao, dizemos que a taxa nominal.Exemplo: a) 18% ao ano capitalizados mensalmente. b) 24% ao ano capitalizados trimestralmente.21Observaes:1 - Em geral a taxa nominal dada com o perodo em anos. 2 - Nos clculos de capitalizao composta no se opera com a taxa nominal e sim com a taxa efetiva correspondente.3 - Para converter uma taxa nominal em taxa efetiva, basta reduzir o seu perodo ao perodo de capitalizao. A reduo da taxa nominal taxa efetiva anual feita de acordo com o seguinte procedimento: converte-seataxanominal emtaxaefetiva ecalcula-seemseguida a taxa equivalente taxa efetiva encontrada.Exemplo: Calcule a taxa efetiva anual equivalente taxa nominal de 36%ao ano, com capitalizao trimestral. 1 passo:Converter a taxa nominal em taxa efetiva, com capitalizao trimestral.r 3649% ao trimestre.

2 passo: Calcular a taxa equivalente de acordo com o solicitado. ( 1 + i ) = ( 1 + i )4( 1 + i ) = ( 1 + 0,09 )4( 1 + i ) = ( 1,09 )4 1 + i= 1,41158i= 1,41158 - 1i= 0,41158r = 41,16% ao ano.EXERCCIOS64 Qual a taxa mensal que proporcional taxa de 7,5% ao semestre?65 Qual taxa diria proporcional taxa de 24% ao ano?66 Calcule a taxa anual equivalente a 3% ao ms.67 Calcule a taxa trimestral equivalente a 12% ao semestre.68Calculeataxaefetivamensal equivalentetaxanominal de24%aoano, capitalizados mensalmente.2269 Qual a taxa diria equivalente taxa de 12% ao semestre? 70Calculeataxaefetivaanual equivalentetaxanominal de48%aoano, capitalizados mensalmente.71 Uma loja de eletrodomsticos financia as mercadorias que vende. Sua taxa de juros de 42% ao ano, capitalizados mensalmente. Determine a taxa efetiva anual equivalente neste caso.4 VALOR DE UM TTULO E DESCONTO COMPOSTO4.1 VALOR ATUAL DE UM TTULOChama-sevaloratual deumttulo, resgatvel emnanos, aaplicaoPqueajuros compostos durante n anos, adquire Sn( valor nominal).Sn = P ( 1 + i )n P = nnSi ( ) 1+ P = Sn FSP (r; n)Substituindo P por VA e Sn por, temos: VA = N FSP (r; n) ouVA = N 11+

_,

inconseqentemente, N = VA (1 + i)nonde:VA valor atualNvalor nominalVn FSP (r; n) ou FNVA (r; n)4.2 DESCONTO COMPOSTO a diferena entre o valor nominal e o valor atual do ttulo.Utilizando a definio dada acima para desconto composto, temos:D = N - VAD = N - N 11+

_,

in D = N 111+

_,

1]1in23Exemplo: Calcule o desconto composto de um ttulo de R$ 30.000,00 resgatado 4 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de 9,5% ao ms.Dados:N = 30.000n = ao ms.R = 9,5% ao ms.I = 0,095FSP (r; n) = 11+

_,

in = 11 0954,

_,

= 0,69557D = N 111+

_,

1]1in D = 30.000 x ( 1 - 0,69557 ) = 30.000 x 0,30443 = 9.132,9Logo: Desconto = R$ 9.132,90.EXERCCIOS72 Determine o valor atual e o desconto de um ttulo de R$ 25.000,00 resgatado 7 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 3,5% ao ms.73 Determine o valor atuale o desconto de um ttulo de R$ 9.500,00 resgatado 4 trimestresantes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 10% ao trimestre.74 Deseja-se resgatar um ttulo com valor nominal de R$ 8.000,00, faltando ainda 3 anos para seu vencimento. Calcule o valor atual e o desconto, sabendo que a taxa de desconto de 2,5% aoms.75 Um ttulo cujo o valor nominal de R$ 7.000,00 foiresgatado por R$ 3.110,61, com umaantecipao de 1 ano e 4 meses. Calcule a taxa de desconto.76UmapromissriadeR$15.000,00foi resgatadacomdescontode20%aoano, por R$ 9.567,00. Calcule o tempo de antecipao do resgate.4.3 CAPITAIS EQUIVALENTES Dois ou mais capitais so equivalentes, numa certa poca, se nessa poca seus valores atuais so iguais, quando calculados com a mesma taxa.4.3.1 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS APLICADOS24Para substituir dois ou mais ttulos com vencimentos diferentes por um nico, pode ocorreros seguintes problemas: Clculo do valor nominal do ttulo nico, dado o seu vencimento. Determinao do vencimento quando nele fixado um valor nominal. Se o valor nominal do ttulo nico N e os dos ttulos a serem substitudos N1, N2, N3, ... ,etc, respectivamente, podemos resolver esses problemas com o emprego da frmula:

Nin( ) 1+=Nin111 ( ) ++ Nin221 ( ) + + ... + Nixnx( ) 1+Exemplo: Um negociante deseja substituir dois ttulos, um de R$ 180,00 e outro de R$ 320,00, com vencimentopara10/07/06e15/08/06, respectivamente, por umnicocomvencimentopara 25/11/06. Calcule o valor nominal deste ultimo, considerando a operao concluda no dia 25/06/06, a taxa de desconto composto de 2,4% ao ms.Utilizando a relao de equivalncia entre taxas, temos que:r = 24% ao ms r = 0,079 ao dia i = 0,00079 N( , ) 1 0 00079150+ = 1801 0 0007915( , ) + + 3201 0 0007950( , ) +N112575 , = 1801 011923201 04027 , ,+N112575 , =177,87967 + 307,61245N112575 , = 485,49212N = 485,49212 1,12575N = 546,54Logo o valor nominal do novo ttulo de R$ 546,54.EXERCCIOS77 Um comerciante deseja substituir duas promissrias por um ttulo nico. O valor nominal da primeirapromissriadedeR$4.000,00eaindarestam1anoe3mesesparaoseu vencimento. O da segunda que deve vencer daqui a 8 meses, de R$ 6.000,00. Calcule o valordesse ttulo nico, sabendo que a taxa de desconto de 4,5% ao ms e o prazo de 6 meses.2578 Uma firma deve a um banco a importncia de R$ 9.000,00, representados por 3 ttulos: Um de R$ 5.200,00, outro de R$ 1.800,00 e o terceiro de R$ 2.000,00, vencveis respectivamente em 1 ano e 2 meses,1 ano e 6 meses e 2 anos. Calcule o valor nominal do ttulo nico que exprime o valor da divida, com vencimentos para 1ano e 4 meses. A taxa de toda transao a mesma: 22% ao ano.79DetermineovencimentodeumttulodeR$8.000,00, quedeversubstituir, apartir de 17/06/07, um de R$ 2.500,00 e outro de R$ 4.000,00, com vencimentos respectivos para 20/07/07 e 12/10/07. A taxa de desconto de 3% ao ms.80 Um agricultor contraiu um emprstimo de R$ 50.000,00, pagveis em 3 anos, taxa de 18% ao ano, capitalizados mensalmente. Decorrido 1 ano resolve saldar a dvida. Calcule o valor do resgate, sabendo que a taxa de desconto de 12% ao ano. 81 Dois ttulos, um de R$ 3.000,00 e outro de R$ 4.000,00, com vencimentos para 20/07/07 e 25/08/07, respectivamente, devem ser substitudos por um nico, com vencimento para 30/11/07.Calcule o valor nominal deste ltimo, considerando a operao concluda no dia 30/06/07 e com taxa de desconto de2,4% ao ms.4.3.2 TAXA INTERNA DE RETORNOAtaxa interna deretorno a taxa que equaliza ovalor presente deumou mais pagamentos com o valor presente de um ou mais recebimentos. Como normalmente temos um fluxo de caixa inicial que representa o valor do investimento,oudoemprstimooudofinanciamento, ediversosfluxosfuturosdecaixarepresentandoos valores das receitas, ou das prestaes, a equao que nos d a taxa interna de retorno (TIR) a mesma da equivalncia de capitais aplicados.Asoluodosproblemasde TIRsomente podeserobtidapeloprocessointerativo, ou seja, por tentativa e erro utilizando o processo de interpolao linear.EXERCCIOS82 Determine a taxa interna de retorno correspondente a um emprstimo de R$ 1.000,00 a serliquidado em trs pagamentos mensais de R$ 300,00, R$ 500,00 e R$ 400,00.83Umadvidanovalor deR$3.000,00deverser quitadanoprazodenovemeses, em prestaes mensais, de acordo com o seguinte plano: a primeira de R$ 400,00, a segunda de R$ 790,00, trs iguais de R$ 620,00 cada uma a serem pagas do quarto ao sexto ms, e a ltima de R$880,00aser liquidadanofinal dononoms. Determineataxadejuroscobradanessaoperao.2684 Um terreno no valor de R$ 70.000,00 integralmente financiado, para pagamento em sete parcelas mensais; as trs primeiras de R$ 10.000,00, as duas seguintes de R$ 15.000,00, a sexta de R$ 20.000,00 e a stima de R$ 30.000,00. Determine a taxa interna de retorno dessa operao.85Umemprstimonovalor deR$2.000,00deverser quitadoemtrsprestaesdeR$550,00, R$ 670,00 e R$ 940,00,com vencimentos a 42, 57 e 84 dias, respectivamente. Calcule a taxa mensal de juros cobrada nessa operao, de acordo com o critrio de juros compostos.5 SRIE DE PAGAMENTOS IGUAISQuando fazemos um investimento, como por exemplo: construir um capital com depsitos peridicosdedeterminadaquantiaoupagar prestaesmensalmente, podemosconstruir um capital ou resgat-lo depositando ou pagando certas quantias nesses perodos.Nassriesdepagamentosiguais, chamamosdecapitalizaoofatodeconstruirum capital com depsitos peridicos e de amortizao as prestaes pagas tambm periodicamente.Quanto a data do vencimento da primeira prestao, pode ser postecipada, antecipada ou diferida:I -Postecipada:ocorrequandoovencimentodaprimeiraprestaosednofimdoprimeiro perodo a contar da data zero (data da assinatura do contrato).Exemplo: A compra de um bem a prazo, em prestaes mensais, pagando a primeira prestao um ms aps a assinatura do contrato. II - Antecipada: ocorre quando o vencimento da primeira prestao se d na data zero. Exemplo: Os depsitos mensais de uma mesma quantia em caderneta de poupana, durante um prazo determinado.III - Diferida: ocorre quando o vencimento da primeira prestao se d no fim de um determinado nmero de perodos, a contar da data zero.Exemplo: A compra de um bem a prazo, em prestaes mensais, pagando a primeira prestao no fim de um determinado nmero de meses. Notas: Sempre que o tipo de srie de pagamentos no for especificado, deveremos supor que se trata de uma srie postecipada, por ser o tipo mais comum.5.1 CAPITALIZAO COMPOSTA ATRAVS DE UMA SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS a determinao do montante constitudo por depsitos peridicos de quantias constantes sobre as quais incide a mesma taxa. 5.1.1 SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS POSTECIPADOS27 a determinao de ummontante atravs da soma de depsitos capitalizados periodicamente no final do perodo.Exemplo 1: Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de dada ms, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao ms, capitalizados mensalmente.O que se pede no problema a determinao do montante desses depsitos na data final,sendo que o ltimo depsito no ter rendimento.Partindo da frmula: Sn = P (1 + i)n , temos:0 1 2 3 4 5100 100 100 100 100100 (1 + 0,02) =100x 1,02100 (1 + 0,02)2= 100x 1,022100 (1 + 0,02)3 = 100x 1,023100 (1 + 0,02)4 = 100x 1,024Representando o montante de uma renda antecipada por ]Sn i, e pela definio, temos:]S5 0 02 , = (100) + (100x 1,02) + (100x 1,022) + (100x 1,023) + (100x 1,024)]S5 0 02 , = 100 (1 + 1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024)]S5 0 02 , = 100 (1 + 1,02 + 1,0404 + 1,06121 + 1, 08243) ]S5 0 02 , = 100 x 5,20404]S5 0 02 , = 520,40Logo, o montante da renda de R$ 520,40.A frmula que nos d o montante de uma srie de pagamentos postecipados sem que necessitemos da utilizao desses clculos dada utilizando as seguintes denotaes:28T o v a l o r d o s d e p o s i t o s p e r i o d in o n u me r o d ep e r i o d o si a t a x a d e j u r o s'c o s

]Sn i = T ( ) 1 1 +

_,

iin Se utilizarmos a frmula no mesmo problema dado como exemplo, confirmamos que:]S5 0 02 , = 100x ( , ),1 0 02 10 025+ ]S5 0 02 , = 100x 1 02 10 025,, ]S5 0 02 , = 100x 110408 10 02,, ]S5 0 02 , = 100x 0 104080 02,, ]S5 0 02 , = 100x 5,204 ]S5 0 02 , = 520,4Logo, confirmamos atravs da frmulaque o montante realmente de R$ 520,40.EXERCCIOS86 Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada ms. Sabendo que seu ganho de 1,5% ao ms, quanto possuir em 2,5 anos?2987 Qual a importncia constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, taxa de6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o dcimo depsito, forme o capitalde R$ 400.000,00?88 Calcule o depsito anual que produzir um montante de R$ 200.000,00, taxa de 25% ao ano, no perodo de 6 anos.89 Quantas prestaes mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser colocadas, taxa de 2% ao ms, a fim de se constituir o montante de R$ 6.706,00?90 Quantas mensalidades postecipadas de R$ 2.000,00 sero necessrias para, a 0,5% ao ms,constituirmos um capital de R$ 16.283,00?91 A que taxa uma pessoa, realizando depsitos mensais imediatos no valor de R$ 8.093,00,forma um capital de R$ 135.000,00 ao fazer o dcimo quinto depsito?92 Desejamos fazer aplicaes mensais imediatas de R$ 12.000,00, de modo que na data do dcimo depsito constituamos o montante de R$ 125.547,00. A que taxa devemos aplicar essas importncias?5.1.2 SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS ANTECIPADOSNa capitalizao de uma srie de pagamentos antecipados, o depsito ocorre no incio do perodo, fazendo com que ao final desse, j se origine um montante. Para a frmula desse tipo de capitalizao, utilizamos as denotaes abaixo:]Sn i= T ( ) 1 111+

_,

+iin

Exemplo 1: Uma pessoa deposita em uma financeira, no incio de cada ms, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante sabendo que essa financeira paga juros de 2% ao ms,capitalizados mensalmente.Utilizando a frmula ]Sn i= T ( ) 1 111+

_,

+iin, temos:]S5 0 0 2 ,= 100x ( , ),1 0 02 10 0216+

_,

30]S5 0 0 2 ,= 100x 1 02 10 0216,,

_,

]S5 0 0 2 ,= 100x 112616 10 021,,

_,

]S5 0 0 2 ,= 100x 0 126160 021,,

_,

]S5 0 0 2 ,= 100x( ) 6 308 1 , ]S5 0 0 2 ,= 100x 5,308]S5 0 0 2 ,= 530,8Logo, o montante da renda depositada de R$ 530,80.Exemplo 2: Qual o montante de uma srie de pagamentos antecipados no perodo de 10 meses,para uma aplicao mensal de R$ 500,00, taxa de 1,5% ao ms?]S1 0 0 01 5 ,= 500x ( , ),1 0 015 10 015111+

_,

]S1 0 0 01 5 ,= 500x 1015 10 015111,,

_,

]S1 0 0 01 5 ,= 500x 117795 10 0151,,

_,

]S1 0 0 01 5 ,= 500x 0 177950 0151,,

_,

]S1 0 0 01 5 ,= 500x( , ) 11 86333 1 ]S1 0 0 01 5 ,= 500x 10,86333]S1 0 0 01 5 ,= 5.431,665Logo, o montante de R$ 5.431,67.31

EXERCCIOS93Umapessoarealizou10depsitosbimestraisantecipadosdeR$10.000,00eobteveum montante de R$ 128.412,00. Qual a taxa de juro?94 Quanto se deve depositar no incio de cada semestre, numa instituio financeira que paga 18%aoano, paraconstituir ummontantedeR$5.000,00nofimde3anos, sendoosjuroscapitalizados semestralmente?95 Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 depsitos de R$ 7.000,00, sendo de 2,5% ao trimestre a taxa de juros compostos.96Umapessoadesejadepositar bimestralmenteumamesmaimportncianumainstituio financeira, taxa de 1,5% ao ms, de modo que com 8 depsitos antecipados constitua o capitalde R$ 150.000,00. Calcule a importncia.97 Quantos depsitos mensais antecipados de R$ 15.614,00 sero necessrios para constituir o montante de R$ 200.000,00, taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente?98 Calcule o nmero de depsitos de uma renda anual antecipada, taxa de 10% ao ano, de R$ 20.000,00, cujo montante de R$ 169.743,00.99 A que taxa se deve depositar em uma instituio financeira, no incio de cada trimestre, a importncia de R$ 16.756,00, para no fim de 4 anos possuir o montante de R$ 500.000,00?5.2 AMORTIZAO COMPOSTA ATRAVS DE UMA SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS o pagamento de prestaes peridicas em quantias constantes, sobre as quais incide a mesma taxa.5.2.1 AMORTIZAO PARA UMA SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS POSTECIPADOSa determinao da soma dos valores dessas prestaes na data zero (data da assinatura do contrato).Exemplo 1: Que dvida pode ser amortizada por 5 prestaes mensais de R$ 100,00, sendo de 2% ao ms a taxa de juro?Temos:32Tn mi a m'1 0 052 %. .Assim, cada prestao (T = 100) representa o valor futuro individual de um valor atual que no conhecemos, aplicado a 2% ao ms e por prazos que vo de 1 a 5 meses.Analogamente, utilizando a frmula: Sn = P (1 + i)n , encontramos a frmula que nos d o valor atual: An = N (1 + i)-n.Temos, ento:0 1 2 3 4 5100 100 100 100 100100 (1 + 0,02) -1 =100x 1,02 -1100 (1 + 0,02) -2= 100x 1,02 -2100 (1 + 0,02) -3 = 100x 1,02 -3100 (1 + 0,02) -4 = 100x 1,02 -4100 (1 + 0,02) -5 = 100x 1,02 -5Pela definio para amortizao de uma renda imediata e representando seu montante por]An i, temos:]A5 0 02 , = 100x 1,02-1 + 100x 1,02-2 + 100x 1,02-3 + 100x 1,02-4 + 100x 1,02-5]A5 0 02 , = 100 (1,02-1 + 1,02-2 + 1,02-3 + 1,02-4 + 1,02-5)]A5 0 02 , = 100 (0,98045 + 0,96123 + 0,94238 + 0,92392 + 0,90579) ]A5 0 02 , = 100 x 4,71377]A5 0 02 , = 471,37733Logo, a dvida para a amortizada de uma renda imediata de R$ 471,38.A frmula que nos d o valor atual para esse tipo de amortizao sem que necessitemos da utilizao desses clculos dada utilizando as seguintes denotaes:Temos ento, para o valor atual desse tipo de amortizao a frmula:]An i = T ( )( )1 11+ +

_,

ii innSe a utilizarmos no mesmo problema dado como exemplo, confirmamos que:]A5 0 02 , = 100x ( , ), ( , )1 0 0 2 10 0 2 1 0 0 255+ + x ]A5 0 02 , = 100x 1 0 2 10 0 2 1 0 255,, ,x ]A5 0 02 , = 100x 11 0 4 0 810 0 2 11 0 4 0 8,, ,x ]A5 0 02 , = 100x 0 104080 02208,, ]A5 0 02 , = 100x 4,71377 ]A5 0 02 , = 471,377Logo, tambm confirmamos atravs da frmula da amortizao de uma renda imediata que a dvida realmente de R$ 471,38.Exemplo 2: Qual o valor atual de uma renda imediata em 12 pagamentos mensais iguais de R$ 15.000,00 cada um, taxa de 6% ao ms?Utilizando a frmula ]An i = T ( )( )1 11+ +

_,

ii inn, temos:34]A120 06 , = 15.000x ( , ), ( , )1 0 0 6 10 0 6 1 0 0 61 21 2+ + x]A120 06 , = 15.000x 2 0 1 2 210 0 6 2 0 1 2 2,, ,x]A120 06 , = 15.000x 101220 12073,,]A120 06 , = 15.000x 8,384]A120 06 , = 125.760Logo, o valor atual a importncia de R$ 125.760,00.EXERCCIOS 100 Que dvida pode ser amortizada por 15 prestaes mensais de R$ 800,00 cada uma, sendo de 2% ao ms a taxa de juro?101 Determine o valor da prestao mensal para amortizar, com 10 prestaes, um emprstimo de R$ 15.000,00 a juros de 2,5% ao ms.102 Quantas prestaes mensais de R$900,00 sero necessrias para,a 3,5%ao ms,se pagar uma dvida de R$ 12.791,00?103 O preo de um carro de R$ 17.700,00. Um comprador d 40% de entrada e o restante financiado taxa de 5% ao ms em 10 meses. Calcule o valor da prestao mensal.104 O valor atual de uma renda anual e imediata de prestaes de R$ 900,00, a taxa de 6% aoano, de R$ 6.624,10. Calcule o nmero de prestaes.105 Uma motocicleta custa vista R$ 3.422,00. Comprando-a dando uma entrada no ato de 20% e financiando o restante em 12 prestaes mensais de R$ 275,00, quala taxa efetiva do financiamento?35106 A que taxa foi contrada a dvida de R$ 67.952,00, se ela deve ser paga em 20 prestaes mensais de R$ 5.000,00?5.2.2 AMORTIZAO PARA UMA SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS ANTECIPADOSNocasodaamortizaoatravsdeumasriedepagamentosantecipados, aprimeira prestao paga no ato da assinatura do contrato. Seu valor atual determinado pela soma dos valores das prestaes incluindo a da data zero. (data da assinatura do contrato).Assim, a frmula que nos d o valor atual desse tipo de amortizao dada utilizando as mesmas denotaes j vistas:Temos ento, para o valor atual desse tipo de amortizao a frmula:]An i = T ( )( )1 11111+ ++

_,

ii innExemplo 1: Calcule o valor atual de uma anuidade antecipada de 12 prestaes mensais de R$ 250,00, taxa de 3% ao ms.Tn m e s e s n m e s e si a o m e s '2 5 01 2 1 1 13 % 0 0 3 ,Utilizando a frmula, temos:]A1 2 0 0 3 , = 250x ( , ), ( , )1 0 0 3 10 0 3 1 0 0 311 11 1+ ++

_,

x36]A1 2 0 0 3 , = 250x 10 3 10 0 3 1 0 311 11 1,, ,+

_,

x]A1 2 0 0 3 , = 250x 1 3 8 4 2 3 10 0 3 1 3 8 4 2 31,, ,+

_,

x]A1 2 0 0 3 , = 250x 0 384230 041531,,+

_,

]A1 2 0 0 3 , = 250x( ) 9 25187 1 , +]A1 2 0 0 3 , = 250x 10,25187]A1 2 0 0 3 , = 2.562,9675Logo, o valor atual da anuidade antecipada de R$ 2.562,97.Exemplo 2: Qual o valor de uma prestao mensal antecipadapara amortizar, com 6 pagamentos,uma compra de R$ 6.500,00, com juro de 2,5% ao ms?]An m e s e si a o m e s6 0 0 2 5 65 0 062 5 % 0 0 2 5,., , ' Se ]An i = T ( )( )1 11111+ ++

_,

ii inn, temos:376.500 = T x ( , ), ( , )1 0 0 2 5 10 0 2 5 1 0 0 2 5 16 16 1+ ++

_,

x6.500 = T x 1 0 2 5 10 0 2 51 0 2 5155,, ,+

_,

x6.500 = T x 11 3 1 4 1 10 0 2 511 3 1 4 11,, ,+

_,

x6.500 = T x 0 131410 028281,,+

_,

6.500 = T x( ) 4 64675 1 , +6.500 = T x 5,64675T 65005 64675.,= 1.151,1046Logo, o valor da prestao mensal antecipada de R$ 1.151,10.EXERCCIOS107 Calcule o valor atual de uma srie de 15 prestaes antecipadas iguais a R$ 200,00 cada uma, taxa de 2,5% ao ms.108 Que dvida pode ser amortizada por 12 prestaes bimestrais antecipadas de R$ 1.000,00 cada uma, sendo de 5% ao bimestre a taxa de juro?38109 Determine o valor da prestao mensal para amortizar, com 6 prestaes antecipadas, um emprstimo de R$ 8.000,00 a juros de 3% ao ms.110 Quantas prestaes anuais antecipadas de R$ 48.831,00 sero necessrias para pagar uma dvida de R$ 165.000,00 com taxa de juros de 40% ao ano?111 Quantas prestaes bimestrais antecipadas de R$ 23.000,00 so necessrias para pagaruma dvida de R$ 202.080,00, taxa de 3% ao bimestre?112 Jos contraiu uma dvida de R$ 95.660,00 que dever ser paga em 10 prestaes mensaisantecipadas de R$ 10.000,00. Qual a taxa de juro?113 Um comerciante pe em oferta um eletrodomstico com preo vista de R$ 499,00, ou em 16prestaesmensaisiguaiseantecipadasdeR$48,00. Qual ataxaefetivacobradapelo comerciante?5.2.3 AMORTIZAO PARA UMA SRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS DIFERIDOAssriesdepagamentosiguaisdiferidosoaquelasemqueoprimeiropagamento exigvel a partir de um certo perodo de carncia. Assim, essasriedepagamentos, com nprestaesequeapresenteumdiferimento (perodo de carncia) igual a m tem a seguinte representao esquemtica:012(m - 1)m (m + 1)(m + 2) (m + n - 2) (m + n - 1) (m + n) T1 T2Tn - 2 Tn - 1Tn

Para efeito de raciocnio, consideramos os pagamentos postecipados hipotticos desde a poca 1 at a poca m. Assim, a srie de pagamentos iguais em questo passa ser formada de (m + n) prestaes:012(m - 1)m (m + 1)(m + 2) (m + n - 2) (m + n - 1) (m + n)(T) (T)(T)(T) T TT T T T O valor atual, na poca zero, :]Am n i += T ( )( )1 11+ +

_,

++ii im nm nSe desse valor subtrairmos o valor atual da renda hipottica, que evidentemente:39]An i= T ( )( )1 11+ +

_,

ii innficaremos com o valor atual da renda diferida. Exemplo: Qual o valor atual de uma renda de 15 prestaes mensais de R$ 700,00, com 3 meses de carncia, a taxa de 1,5% ao ms?Tm m e s e sn m e s e si a o m e s '7 0 031 515 % 0 0 1 5 , ,Utilizando as frmulas]Am n i += T ( )( )1 11+ +

_,

++ii im nm n e ]An i= T ( )( )1 11+ +

_,

ii inn,temos:18A=700 x

,_

+ +1818) 015 , 0 1 ( 015 , 01 ) 015 , 0 1 (x 18A=700 x,_

01961 , 030734 , 0 = R$ 10.970,833A =700 x

,_

+ +33) 015 , 0 1 ( 015 , 01 ) 015 , 0 1 (x3A =700 x ,_

01568 , 0 04568 , 0 R$ 2.039,2918A 3A= 8.931,54Logo, o valor atual de R$ 8.931,54.EXERCCIOS114 Calcule a dvida assumida por uma pessoa que pagou 10 prestaes mensais de R$ 500,00,a juros de 3% ao ms, com uma carncia de 6 meses.115 Que dvida pode ser amortizada com 8 prestaes bimestrais de R$ 1.000,00, sendo de 7% aobimestreataxadejuroedevendoser pagaaprimeiraprestao3bimestresdepoisde realizado o emprstimo?40116 Uma dvida de R$ 20.000,00 foi amortizada com 6 prestaes mensais. Qual o valor dessas prestaes, sendo a taxa de juro igual a 1,5% ao ms e tendo havido uma carncia de 2 meses?117 Uma dvida de R$ 16.000,00 deve ser amortizada com4 pagamentos bimestrais consecutivos, sendode4%aobimestreataxadejuro. Calculeovalor dessasprestaes,sabendo que o pagamento da primeira delas deve ser efetuado 3 bimestres aps a realizao do emprstimo.5.3 SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTENo Sistema de Amortizao Constante o muturio paga a dvida em prestaes peridicas e imediatas que englobam juros e amortizaes. A amortizao constante em todos os perodos e os juros so sobre o saldo devedor,portanto as prestaes so decrescentes.Exemplo: Uma financeira faz um emprstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo sistema de AmortizaoConstanteem4prestaesanuais, taxade15%aoano. Monteaplanilhade amortizao.Temos:Dn a n o si a o a n o01 0 0 0 0 041 5 %'.Inicialmente calcula-se o valor da amortizao constante:ADnA A R 01 0 0 0 0 042 5 0 0 0 0 0.$ . ,1 Perodo:J1 = i x D0 = 0,15 x 100.000 = R$ 15.000,00T1 = A + J1 = 25.000 + 15.000 = R$ 40.000,00D1 = D0 - A = 100.000 - 25.000 = R$ 75.000,002 Perodo:J2 = i x D1 = 0,15 x 75.000 = R$ 11.250,00T2 = A + J2 = 25.000 + 11.250 = R$ 36.250,00D2 = D1 - A = 75.000 - 25.000 = R$ 50.000,003 Perodo:J3 = i x D2 = 0,15 x 50.000 = R$ 7.500,00T3 = A + J3 = 25.000 + 7.500 = R$ 32.500,00D3 = D2 - A = 50.000 - 25.000 = R$ 25.000,004 Perodo:J4 = i x D3 = 0,15 x 25.000 = R$ 3.750,00T4 = A + J4 = 25.000 + 3.750 = R$ 28.750,00D4 = D3 - A = 25.000 - 25.000 = R$ 0,0041Logo:PERODO PRESTAO JURO AMORTIZAO SALDO DEVEDOR01234R$ 40.000,00R$ 36.250,00R$ 32.500,00R$ 28.750,00R$ 15.000,00R$ 11.250,00R$ 7.500,00R$ 3.750,00R$ 25.000,00R$ 25.000,00R$ 25.000,00R$ 25.000,00R$ 100.000,00R$ 75.000,00R$ 50.000,00R$ 25.000,00R$ 0,00TOTAL R$ 137.500,00 R$ 37.500,00 R$ 100.000,00 5.3.1 - DETERMINAO DO SALDO DEVEDORPara calcular o saldo devedor no Sistema de Amortizao Constante, subtrai-se do valorda dvida o produto do valor da amortizao constante pelo nmero de prestaes pagas. EXERCCIOS118 Um emprstimo de R$ 200.000,00 ser saldado em 8 prestaes semestrais pelo Sistema de Amortizao Constante, tendo sido contratada a taxa de juros de 10% ao semestre. Construa a planilha de amortizao.119UmafinanceirafazumemprstimodeR$100.000,00paraser pagopeloSistemade AmortizaoConstanteem4prestaesanuais, taxade15%aoanoecomumprazode carncia de 3 anos. Construa a planilha de amortizao.120UmadvidadeR$600.000,00vai ser amortizadaatravsdoSistemadeamortizao Constante em 12 prestaes anuais taxa de 20% ao ano. Calcule o saldo devedor aps ter sido paga a oitava prestao.5.4 SISTEMA FRANCS DE AMORTIZAONo Sistema Francs de Amortizao o muturio paga a dvida em prestaes constantes,peridicas e imediatas. Nesse sistema, como as prestaes so constantes, medida que so pagasadvidadiminui eosjurospassamaser menoresenquantoascotasdeamortizao aumentam.42para calcular o valor de cada prestao, dividi-se o valor a ser amortizado pelo fator de amortizao do financiamento.Exemplo: UmafinanceirafazumemprstimodeR$100.000,00paraser pagopeloSistema FrancsdeAmortizaoem4prestaesanuais,taxa de15%aoano.Monte aplanilhade amortizao.Temos:Dn a n o si a o a n o01 0 0 0 0 041 5 %'.Primeiramente calcula-se o valor da prestao:TDaT T R 04 0 1 51 0 0 0 0 02 8 5 4 9 83 5 0 2 7 0 0] ,.,$ . ,1 Perodo:J1 = i x D0 = 0,15 x 100.000 = R$ 15.000,00A1 = T - J1 = 35.027 - 15.000 = R$ 20.027,00D1 = D0 - A = 100.000 - 20.027 = R$ 79.973,003 Perodo:J3 = i x D2 = 0,15 x 56.942 = R$ 8.541,00A3 = T - J3 = 35.027 - 8.541 = R$ 26.486,00D3 = D2 - A = 56.942 - 26.486 = R$ 30.456,002 Perodo:J2 = i x D1 = 0,15 x 79.973 = R$ 11.996,00A2 = T - J2 = 35.027 - 11.996 = R$ 23.031,00D2 = D1 - A = 79.973 - 23.031 = R$ 56.942,004 Perodo:J4 = i x D3 = 0,15 x 30.456 = R$ 4.568,00A4 = T - J4 = 35.027 - 4.568 = R$ 30.459,00D4 = D3 - A = 30.456 - 30.459 = - R$ 3,00Logo:PERODO PRESTAO JURO AMORTIZAO SALDO DEVEDOR012R$ 35.027,00R$ 35.027,00R$ 15.000,00R$ 11.996,00R$ 20.027,00R$ 23.031,00R$ 100.000,00R$ 79.973,00R$ 56.942,004334R$ 35.027,00R$ 35.024,00R$ 8.541,00R$ 4.568,00R$ 26.486,00R$ 30.456,00R$ 30.456,00R$ 0,00TOTAL R$ 140.105,00 R$ 40.105,00 R$ 100.000,005.4.1 DETERMINAO DO SALDO DEVEDORPara calcular o saldo devedor no Sistema Francs de Amortizao, multiplica-se o valor da prestao calculada pelo fator de amortizao do perodo da dvida restante. EXERCCIOS121 Um banco empresta a uma empresa R$ 180.000,00 pelo prazo de 5 anos, taxa de 8% ao ano. SabendoqueseradotadooSistemaFrancsdeAmortizao, construaaplanilhade amortizao.122 Uma financeira faz um emprstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo Sistema Francs de Amortizao em 4 prestaes anuais, taxa de 15% ao ano e com um prazo de carncia de 3 anos. Construa a planilha de amortizao. 123 Uma dvida de R$ 50.000,00 vai ser amortizada atravs do Sistema Francs de Amortizao em 8 prestaes anuais taxa de juro de 20% ao ano. Calcule o saldo devedor aps ter sido pagaa terceira prestao.124 Umbanco empresta R$ 200.000,00 para serempagos pelo Sistema Francs de Amortizao em 20 prestaes anuais taxa de 25% ao ano. Calcule o saldo devedor aps o pagamento da dcima segunda prestao.5.4.1 SISTEMA PRICEo Sistema Price um caso particular do SFA onde a taxa do financiamento dada ao ano e para o clculo das prestaes utiliza-se a taxa mensal proporcional.EXERCCIOS125 Uma financeira emprestou R$ 100.000,00 taxa de 18% ao ano para ser pago em seis prestaes mensais pelo Sistema Price de Amortizao. Construa a planilha.44126 Uma financeira emprestou R$ 80.000,00 sendo a taxa cobrada de 18% ao ano para ser liquidado em oito meses pelo Sistema Price de Amortizao. Construa a planilha.5.5 TABELAS FINANCEIRAS o instrumento que nos d os valores de (1 + i)n para vrias taxas relacionadas ao tempo eparalocaliz-los, procuramosatabeladataxapercentual correspondenteai enaprimeira coluna, o valor de n. O valor procurado de (1 + i)n aquele que se encontra na interseo da coluna com a linha (nmero de perodos).Nessa tabela, o nmero de perodos j dado na unidade de tempo da taxa. Veremos,agora, alguns exemplos de tabelas em funo de suas taxas: i = 0,5% i = 1%n (1+ i)n(1+i)-nan] i sn] i n (1+ i)n(1+i)-nan] i sn] i1 1,00500 0,99502 0,99502 1,00000 1 1,010000,99010 0,99010 1,000002 1,01002 0,99007 1,98510 2,00500 2 1,020100,98030 1,97040 2,010003 1,01508 0,98515 2,97025 3,01502 3 1,030300,97059 2,94099 3,030104 1,02015 0,98025 3,95050 4,03010 4 1,040600,96098 3,90197 4,060405 1,02525 0,97537 4,92587 5,05025 5 1,051010,95147 4,85343 5,101016 1,03038 0,97052 5,89638 6,07550 6 1,061520,94205 5,79548 6,152027 1,03553 0,96569 6,86207 7,10588 7 1,072140,93272 6,72819 7,213548 1,04071 0,96089 7,82296 8,14141 8 1,082860,92348 7,65168 8,285679 1,04591 0,95610 8,77906 9,18212 9 1,093690,91434 8,56602 9,3685310 1,05114 0,95135 9,73041 10,22803 10 1,104620,90529 9,47130 10,462214511 1,05640 0,94661 10,67703 11,27917 11 1,115670,89632 10,36763 11,5668312 1,06168 0,94191 11,61893 12,33556 12 1,126830,88745 11,25508 12,6825013 1,06699 0,93722 12,55615 13,39724 13 1,138090,87866 12,13374 13,8093314 1,07232 0,93256 13,48871 14,46423 14 1,149470,86996 13,00370 14,9474215 1,07768 0,92792 14,41662 15,53655 15 1,160970,86135 13,86505 16,0969016 1,08307 0,92330 15,33993 16,61423 16 1,172580,85282 14,71787 17,2578617 1,08849 0,91871 16,25863 17,69730 17 1,184300,84438 15,56225 18,4304418 1,09393 0,91414 17,17277 18,78579 18 1,196150,83602 16,39827 19,6147519 1,09940 0,90959 18,08236 19,87972 19 1,208110,82774 17,22601 20,8109020 1,10490 0,90506 18,98742 20,97912 20 1,220190,81954 18,04555 22,0190021 1,11042 0,90066 19,88798 22,08401 21 1,232390,81143 18,85698 23,2391922 1,11597 0,89608 20,78406 23,19443 22 1,244720,80340 19,66038 24,4715923 1,12155 0,89162 21,67568 24,31040 23 1,257160,79544 20,45582 25,7163024 1,12716 0,88719 22,56287 25,43196 24 1,269730,78757 21,24339 26,9734625 1,13280 0,88277 23,44564 26,55912 25 1,282430,77977 22,02316 28,2432026 1,13846 0,87838 24,32402 27,69191 26 1,295260,77205 22,79520 29,5256327 1,14415 0,87401 25,19803 28,83037 27 1,308210,76440 23,55961 30,8208928 1,14987 0,86966 26,06769 29,97452 28 1,321290,75684 24,31644 32,1291029 1,15562 0,86533 26,93302 31,12439 29 1,334500,74934 25,06579 33,4503930 1,16140 0,86103 27,79405 32,28002 30 1,347850,74192 25,80771 34,78489 i = 1,5% i = 2%n (1+ i)n(1+i)-nan] i sn] i n (1+ i)n(1+i)-nan] i sn] i1 1,01500 0,98522 0,98522 1,00000 1 1,020000,98039 0,98039 1,00000462 1,03022 0,97066 1,95588 2,01500 2 1,040400,96117 1,94156 2,020003 1,04568 0,95632 2,91220 3,04522 3 1,061210,94232 2,88388 3,060404 1,06136 0,94218 3,85438 4,09090 4 1,082430,92385 3,80773 4,121615 1,07728 0,92826 4,78264 5,15227 5 1,104080,90573 4,71346 5,204046 1,09344 0,91454 5,69719 6,22955 6 1,126160,88797 5,60143 6,308127 1,10984 0,90103 6,59821 7,32299 7 1,148690,87056 6,47199 7,434288 1,12649 0,88771 7,48593 8,43284 8 1,171660,85349 7,32548 8,582979 1,14339 0,87459 8,36052 9,55933 9 1,195090,83676 8,16224 9,7546310 1,16054 0,86167 9,22218 10,70272 10 1,218990,82035 8,98259 10,9497211 1,17795 0,84893 10,07112 11,86326 11 1,243370,80426 9,78685 12,1687212 1,19562 0,83639 10,90751 13,04121 12 1,268240,78849 10,57534 13,4120913 1,21355 0,82403 11,73153 14,23683 13 1,293610,77303 11,34837 14,6803314 1,23176 0,81185 12,54338 15,45038 14 1,319480,75788 12,10625 15,9739415 1,25023 0,79985 13,34323 16,68214 15 1,345870,74301 12,84926 17,2934216 1,26899 0,78803 14,13126 17,93237 16 1,372790,72845 13,57771 18,6392917 1,28802 0,77639 14,90765 19,20136 17 1,400240,71416 14,29187 20,0120718 1,30734 0,76491 15,67256 20,48938 18 1,428250,70016 14,99203 21,4123119 1,32695 0,75361 16,42617 21,79672 19 1,456810,68643 15,67846 22,8405620 1,34686 0,74247 17,16864 23,12367 20 1,485950,67297 16,35143 24,2973721 1,36706 0,73150 17,90014 24,47052 21 1,515670,65978 17,01121 25,7833222 1,38756 0,72069 18,62082 25,83758 22 1,545980,64684 17,65805 27,2989823 1,40838 0,71004 19,33086 27,22514 23 1,576900,63416 18,29220 28,8449624 1,42950 0,69954 20,03041 28,63352 24 1,608440,62172 18,91393 32,03030i = 2,5% i = 3%n (1+ i)n(1+i)-nan] i sn] i n (1+ i)n(1+i)-nan] i sn] i1 1,02500 0,97561 0,97561 1,00000 1 1,030000,97087 0,97087 1,000002 1,05062 0,95181 1,92742 2,02500 2 1,060900,94260 1,91347 2,030003 1,07689 0,92860 2,85602 3,07562 3 1,092730,91514 2,82861 3,090904 1,10381 0,90595 3,76197 4,15252 4 1,125510,88849 3,71710 4,18363475 1,13141 0,88385 4,64583 5,25633 5 1,159270,86261 4,57971 5,309146 1,15969 0,86230 5,50813 6,38774 6 1,194050,83748 5,41719 6,468417 1,18869 0,84127 6,34939 7,54743 7 1,229870,81309 6,23028 7,662468 1,21840 0,82075 7,17014 8,73612 8 1,266770,78941 7,01969 8,892349 1,24886 0,80073 7,97087 9,95452 9 1,304770,76642 7,78611 10,1591110 1,28008 0,78120 8,75206 11,20338 10 1,343920,74409 8,53020 11,4638811 1,31209 0,76214 9,51421 12,48347 11 1,384230,72242 9,25262 12,8078012 1,34489 0,74356 10,25776 13,79555 12 1,425760,70138 9,95400 14,1920313 1,37851 0,72542 10,98318 15,14044 13 1,468530,68095 10,63496 15,6177914 1,41297 0,70773 11,69091 16,51895 14 1,512590,66112 11,29607 17,0863215 1,44830 0,69047 12,38138 17,93193 15 1,557970,64186 11,93794 18,5989116 1,48451 0,67362 13,05500 19,38022 16 1,604710,62317 12,56110 20,1568817 1,52162 0,65720 13,71220 20,86473 17 1,652850,60502 13,16612 21,7615918 1,55966 0,64117 14,35336 22,38635 18 1,702430,58739 13,75351 23,41444RESPOSTAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 48101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS DE APOIO:BRUNI, A., FAMA, R., Matemtica Financeira, Editora ATLAS S. 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