Apostila - Matemática

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MATEMÁTICA Prof. Sandro Godeiro

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    Nmeros e Operaes

    Operaes com conjuntos: unio, interseo e complementar. Sistemas de numerao e conjuntos numricos: nmeros inteiros, racionais, irracionais e reais. Problemas envolvendo as operaes e seus significados. Divisibilidade, mximo divisor comum e mnimo mltiplo comum. Razo e proporo. Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Regra de Trs simples ou composta. Porcentagem. Juros simples. Equaes, inequaes e sistemas de equaes de primeiro grau. Equaes e inequaes polinomiais de 2 grau. Expresses algbricas: monmios, polinmios, produtos notveis e fatorao. Funes afim e quadrtica.

    CONJUNTOS

    Um conjunto uma coleo de elementos ou de objetos. Para representar um conjunto usamos uma letra maiscula do alfabeto e entre dois parntesis escrevemos os elementos pertinentes ao conjunto.

    Exemplo:

    U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e A = {2, 4, 6}. Um conjunto tambm pode ser representado por uma propriedade que caracteriza os seus elementos. Exemplo:

    U = {x/x um algarismo do sistema de numerao decimal }; A = {x/x um nmero natural maior que 1 e menor que 7}

    e B = {x N/ 4 x 8}. Para indicarmos que um elemento pertence a

    um conjunto utilizamos o smbolo que se l pertence e para indicarmos que um elemento no

    pertence a um conjunto usamos o smbolo que se l no pertence.

    Estes smbolos so usados exclusivamente para relacionar elementos com conjuntos. Exemplo:

    Se A = {2, 3, 4, 5, 6} dizemos que 2 A, 5 A mas 7 A

    e 0 A.

    Um conjunto unitrio aquele que tem apenas um elemento.

    Exemplo:

    A = {5}.

    Um conjunto vazio aquele que no possui nenhum elemento.

    Exemplo:

    A = { } ou A = .

    Dois conjuntos so iguais quando eles possuem exatamente os mesmos elementos. Exemplo:

    Se A = {x N/ x < 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ento A = B.

    Dois conjuntos so disjuntos quando eles no tm nenhum elemento em comum. Exemplo:

    A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 7, 9}.

    Um conjunto A subconjunto de um conjunto B,

    e indicamos A B, que se l A est contido em B, se todos os elementos do conjunto A tambm forem elementos do conjunto B. Quando A subconjunto de B tambm dizemos que B contm A, que indicamos por B

    A. Se um conjunto B no subconjunto de um

    conjunto A dizemos que B no est contido em A e

    indicamos por B A. Exemplo:

    Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ento A

    subconjunto de B, ou seja, A B, mas B no

    subconjunto de A, ou seja B A.

    O conjunto Universo o conjunto que contm os demais conjuntos, ou que os demais conjuntos so subconjuntos dele. Exemplo:

    Se U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8} ento o conjunto U o conjunto universo para os conjuntos A e B, como no diagrama de Venn a seguir:

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    Operaes com conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se UNIO,

    reunio ou juno de A com B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. Exemplo:

    Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8} ento A B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

    Dados dois conjuntos A e B, chama-se INTERSEO de A com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente ao conjunto A e ao conjunto B.

    Exemplo:

    Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8} ento A B = {4, 5, 6}.

    Dados dois conjuntos A e B, chama-se DIFERENA entre os dois conjuntos A e B, nesta ordem, ao conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B, ou seja, pertencem somente ao conjunto A.

    Exemplo:

    Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8} ento A B = {2, 3}.

    Se A qualquer subconjunto do conjunto

    universo U, ou seja se A U, chama-se conjunto complementar do conjunto A em relao ao conjunto U, o conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A mas no pertencem a U. Exemplo:

    Se U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e A = {2, 3, 4, 5, 6} ento

    AUA = {0, 1, 7, 8}. Propriedades bsicas

    As seguintes propriedades so vlidas quando estamos operando com conjuntos:

    I) (A B) = (B A);

    II) (A B) = (B A);

    III) A (B C) = (A B) (A C);

    IV) A (B C) = (A B) (A C);

    V) BABA ;

    VI) BABA ; VII) Nmero de elementos da unio

    n(A B) = n(A) + n(B) n(A B); VIII) Nmero de subconjuntos de um conjunto A com n elemento: P(A) = 2n.

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    OS NMEROS NATURAIS

    Representamos por N o conjunto dos nmeros naturais, ou seja,

    N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Este conjunto fechado apenas para as

    operaes de Adio e Multiplicao pois se adicionarmos ou multiplicarmos dois nmeros naturais quaisquer o resultado tambm um nmero natural. Contudo este conjunto no fechado para as operaes

    de diviso e subtrao pois, por exemplo, 3 5 = 2 e 2 4 = 0,5 que evidentemente no so nmeros naturais.

    Observamos ainda que este conjunto tem

    infinitos elementos, os dez primeiros so os algarismos arbicos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, com os quais formamos qualquer nmero do sistema decimal. Ento os algarismos so smbolos com os quais formamos os nmeros, por exemplo, 10, 2012, 46780, etc. Representao decimal de um nmero natural:

    Para escrever um nmero usamos o Princpio da Posio Decimal, isto , cada algarismo que se escreve imediatamente esquerda de outro ocupa uma posio de ordem 10 vezes maior que esse outro.

    Assim, o nmero 2345 tem a seguinte Representao Decimal: 234 = 200 + 30 + 4 = 1002 + 103 + 4.

    De um modo geral, se abcd um nmero de 4 algarismos, ento:

    abcd = 1000a + 100b + 10c + d.

    As operaes fundamentais

    1) A Adio: Na operao de adio os nmeros que somamos chamam-se parcelas e o resultado final da operao de adio chama-se soma ou total. Exemplo:

    Na adio 32 + 45 = 77 tem-se que 32 e 45 so as parcelas e 77 a soma ou total. 2) A Subtrao: Na operao de subtrao o primeiro nmero chama-se minuendo e o segundo nmero chama-se subtraendo, o resultado da subtrao a diferena ou o resto. Exemplo:

    Na subtrao 77 32 = 45 tem-se que 77 o minuendo, 32 o subtraendo e 45 o resto.

    3) A Multiplicao: Na operao de multiplicao o primeiro nmero chama-se multiplicando e o segundo nmero chama-se multiplicador. O resultado da multiplicao chama-se produto. Exemplo:

    Na multiplicao 32 x 45 = 1440 tem-se que 32 o multiplicando, 45 o multiplicador e 1440 o produto. Numa multiplicao, os nmeros que so multiplicados so chamados fatores. 4) A Diviso: Dados dois nmeros inteiros A e d, sendo d

    0, existe um nico par de nmeros inteiros (q; r) tal que

    A = dq + r e 0 r < |d|. Dizemos que q o quociente e r o resto da diviso de A por d (A o dividendo e d o divisor).

    Algoritmo da diviso Dividendo A d Divisor

    r q Quociente Resto

    A = d.q + r onde 0 r < |d| Em toda diviso o dividendo igual ao produto do divisor pelo quociente mais o resto. Em toda diviso com inteiros positivos o maior resto possvel igual ao divisor menos 1: r = d 1. OS NMEROS INTEIROS

    Representamos por Z o conjunto dos nmeros inteiros relativos:

    Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, ...}, que como vemos formados por todos os nmeros inteiros positivos e negativos, inclusive o zero, e um conjunto infinito esquerda e direita. O valor absoluto, | |, de um nmero inteiro no nulo sempre o seu valor natural correspondente, ou seja,

    independente de sinal, por exemplo: | 5| = |+ 5| = 5. Um nmero inteiro menor (maior) do que outro nmero inteiro se o valor absoluto do primeiro for maior

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    5

    (menor) que o valor absoluto do segundo, por exemplo:

    5 3, pois, 5 3. por esta razo que quando estamos resolvendo uma inequao substitumos, por

    exemplo, 2x 8 por 2x 8, para finalmente

    obtermos x 4. Assim, temos:

    I) O mdulo de um nmero positivo x igual ao prprio x, isto , se x > 0, ento |x| = x.

    II) O mdulo de um nmero negativo x igual ao oposto de x (que positivo), isto , se x < 0, ento |x| = x.

    III) O mdulo de zero igual ao prprio zero: |0| = 0.

    0x se ,x

    0x se ,xx

    Os nmeros inteiros so muito utilizados

    quando resolvemos expresses numricas que envolvem chaves, parnteses e colchetes. Os inteiros relativos tm as seguintes propriedades:

    Na adio de inteiros com sinais iguais, somamos e conservamos o mesmo sinal.

    Exemplo:

    ( 5) + ( 3) = 8.

    Na adio de inteiros com sinais diferentes, subtramos e conservamos o sinal do inteiro que tiver maior valor absoluto.

    Exemplo:

    ( 5) + (+ 3) = 2.

    Na multiplicao de inteiros com sinais iguais, o resultado ser sempre positivo.

    Exemplo:

    ( 5).( 3) = 15.

    Na multiplicao de inteiros com sinais diferentes, o resultado ser sempre negativo.

    Exemplo:

    ( 5).(+ 3) = 15.

    Na potenciao de inteiros prevalecem as regras da multiplicao, pois, por definio, uma potenciao um produto de fatores iguais.

    Exemplo:

    ( 3)4 = ( 3).( 3).( 3).( 3) = 81.

    Toda potncia de expoente inteiro par tem seu resultado sempre positivo.

    Exemplo:

    ( 3)4 = 81.

    E toda potncia de expoente inteiro mpar tem seu resultado sempre negativo.

    Exemplo:

    ( 3)3 = 27.

    Toda potncia de expoente nulo igual a unidade. Exemplo:

    ( 3)0 = 1.

    Toda potncia que vier com o sinal negativo continuar com o sinal negativo.

    Exemplo:

    34 = 81. OS MLTIPLOS

    Chamamos de mltiplo de um nmero inteiro positivo ao produto desse nmero por um nmero inteiro.

    Assim, por exemplo, o conjunto dos mltiplos de 5, M(5), dado por:

    5.0 = 0

    5.( 1) = 5

    5.( 2) = 10

    5.( 3) = 15 M(5) = {0, 5, 10, 15, ...}

    5.( 4) = 20

    Conjunto dos mltiplos de um nmero diferente de zero infinito.

    Zero mltiplo de qualquer nmero.

    Todo nmero mltiplo de si mesmo.

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    OS NMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

    Um nmero natural, diferente de 1, primo, se admite apenas dois divisores naturais diferentes: ele e a unidade.

    So exemplos de nmeros primos:

    2 3 5 7 11 13 17

    19 23 29 31 37 41 43

    47 53 59 61 67 71 73

    79 83 89 97

    Um nmero natural, diferente de 1, composto se ele admite mais de 2 divisores naturais. Exemplo:

    O nmero 4 um nmero composto pois o conjunto de sues seus divisores positivos D = { 1, 2, 4}. Dois nmeros naturais so primos entre si se o nico divisor comum entre eles a unidade. Exemplo:

    15 e 28. OS DIVISORES DE UM NMERO

    Dados dois nmeros inteiros, se a diviso do primeiro pelo segundo exata, dizemos que o primeiro divisvel pelo segundo (tambm podemos dizer que o primeiro mltiplo do segundo) e o (segundo divisor do primeiro) tambm podemos dizer que o (segundo fator do primeiro). Veja que o nmero 20 pode ser dividido

    exatamente por 1, 2, 4, 5, 10 e pelo prprio 20 (divisores de 20). A este conjunto de nmeros damos denominao de conjunto dos divisores de um nmero que pode ser escrita da seguinte forma:

    D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20}. Existe um processo que torna mais prtico a

    determinao do conjunto de todos os divisores positivos de um nmero inteiro. Trata-se do mtodo da decomposio em fatores primos.

    (I) Efetua-se a decomposio do nmero em fatores

    primos;

    (II) direita dos fatores primos encontrados, fazemos um trao vertical, em seguida, direita desse trao e na linha acima, colocamos o nmero 1, que divisor de todos os nmeros;

    (III) Multiplica-se o primeiro fator primo pelo nmero 1 e coloca-se o produto obtido na linha correspondente ao nmero;

    (IV) Em seguida, multiplicam-se cada fator primo

    seguinte por cada um dos divisores j obtidos, colocando os produtos em sua linha correspondente (no necessrio e repetio de produtos);

    (V) Todos os nmeros que se encontram a direita do trao vertical, determinado no item (ii) formam o conjunto dos divisores positivos do nmero.

    Observao: para cada divisor positivo encontrado pelo mtodo acima, h um correspondente inteiro negativo. Exemplo:

    Determinar o conjunto dos divisores positivos de 30: Decompondo 30 em fatores primos, temos:

    30 15 5 1

    2 3 5

    ou seja, 30 = 2. 3. 5

    2.3.5 Com base no que foi dito, temos que:

    1 2 3, 6 5, 10, 15, 30

    30 15 5 1

    2 3 5

    D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

    TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA

    Todo nmero composto pode ser expresso por um produto de potncias de nmeros primos, ou seja, N = ax.by.cz...., onde a, b e c so nmeros primos. Exemplo:

    90 = 21 32 51.

    Propriedade: Se N um nmero natural e N se decompe em fatores primos como N = ax.by cz...., ento o nmero de divisores positivos do nmero N obtido por:

    n[D+(N)] = (x + 1).(y + 1).(z + 1)..... Exemplo:

    Determinar o nmero de divisores positivos do nmero 60:

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    Resoluo: Aplicando o Teorema Fundamental da Aritmtica teremos: Efetuando a decomposio do nmero 60 em fatores primos:

    60 30 15 5 1

    2 2 3 5

    ou seja, 60 = 22. 31. 51

    22.3.5 Para finalizar, temos que:

    n[D+(60)] = (2 + 1).(1 + 1).(1 + 1) n[D+(60)] = 3 . 2 . 2 = 12 divisores

    OS CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE

    De acordo com o conceito de divisibilidade, sabe-se que um nmero divisvel por outro quando a diviso exata, ou seja, deixa resto nulo. No entanto nem sempre a primeira vista, conseguimos perceber se um nmero ou no, divisvel por outro. Existem, algumas regras que nos permitem verificar se um nmero ou no divisvel por outro, so chamados de CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE.

    Um nmero natural N divisvel por:

    2 se seu algarismo da unidade par.

    3 se a soma de seus algarismos divisvel por 3.

    4 se o nmero formado por seus dois ltimos algarismos so zeros ou divisvel por 4.

    5 se seu algarismo da unidade 0 ou 5.

    6 se divisvel por 2 e por 3.

    7 se ao subtrairmos, sucessivamente, o dobro do ltimo algarismo da direita do nmero restante esquerda, obtivermos resto zero ou um nmero divisvel por 7 (Exemplo: 3192)

    Exemplo: 319 (2.2) = 315; 31 (2.5) = 21 divisvel por 7.

    8 se o nmero formado por seus trs ltimos

    algarismos so zeros ou divisvel por 8.

    9 se a soma de seus algarismos divisvel por 9.

    10 se seu algarismos das unidades 0.

    11 se a diferena entre soma dos algarismos de ordem par (SP) pela soma dos algarismos de ordem mpar (SI) resultar em um nmero divisvel por 11.

    Exemplo: 12232 divisvel por 11, pois

    055)122()23(

    IP SS

    . E como foi

    visto, zero divisvel por qualquer nmero, logo tambm divisvel por 11.

    MXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

    Apesar de ser um assunto do domnio de todos, o MDC de dois ou mais nmeros , como o prprio nome sugere, o maior nmero que divisor simultaneamente de todos os nmeros dados. Entre as tcnicas utilizadas para achar o MDC apresentaremos aquela que permite maior rapidez para obt- lo. Exemplo:

    Qual o mximo divisor comum de 40, 60, 80 e 120? Resoluo:

    Dividimos todos os nmeros envolvidos pelo mesmo nmero, de preferncia o maior divisor possvel, e assim sucessivamente com os restos obtidos. Quando no pudermos mais dividir os ltimos restos obtidos por um mesmo nmero o MDC ser o produto dos quocientes encontrados. A saber:

    40, 4, 2,

    60, 6, 3,

    80, 8, 4,

    120 12 6

    10 2

    Logo, o MDC(40, 60, 80, 120) = 102 = 20. O MNIMO MLTIPLO COMUM (MMC)

    Entre os vrios mtodos que existem para calcular o MMC de dois ou mais nmeros, o mtodo das divises sucessivas ainda o mais indicado. Dividimos sucessivamente todos os nmeros dados, de preferncia pelo maior divisor possvel e quando no pudermos dividir simultaneamente todos pelo mesmo nmero continuamos a dividi-los separadamente at obtermos no final, restos iguais a unidade para todas as divises. O MMC ser o produto dos quocientes obtidos.

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    Exemplo:

    Numa corrida o primeiro atleta d a volta completa numa pista em 10 minutos, o segundo em 11 minutos e o terceiro em 12 minutos. Se eles partiram no mesmo instante, qual o tempo que decorrer at que se encontrem novamente? Resoluo:

    Se ao invs de trs atletas nos restringirmos a apenas dois atletas, digamos A e B, entenderemos com mais facilidade a resoluo do problema. Se o atleta A mais rpido que o atleta B ento este passar a ser retardatrio em relao aquele, e isto significa que em um dado instante o atleta A alcanar pela primeira vez, aps o incio da corrida, o atleta B. Porm, como A mais rpido do que B, havero outros instantes em que B ser ultrapassado por A. Logo, aquela primeira vez ser o menor instantes de todos os instantes que venham a ocorrer. Se considerarmos os trs atletas teremos que a resposta ser o MMC de 10, 11 e 12, a saber:

    10, 5, 5, 5, 1, 1,

    11, 11, 11, 11, 11, 1,

    12 6 3 1 1 1

    2 2 3 5 11

    Logo:

    MMC(10, 11, 12) = 223511

    MMC(10, 11, 12) = 43511

    MMC(10, 11, 12) = 660 minutos

    Os trs atletas levaro 223511 = 660 minutos = 11 horas para se encontrarem novamente. AS PROPRIEDADES DO M.D.C. E DO M.M.C. ENTRE DOIS NMEROS INTEIROS POSITIVOS

    (I) Se dois nmeros so primos entre si o M.M.C. o

    produto deles e M.D.C. 1;

    (II) Quando um nmero divisvel por outro, o maior deles o M.M.C. e o menor o M.D.C.;

    (III) O produto de dois nmeros a e b, diferentes de

    zero, igual ao produto do M.D.C. pelo M.M.C. desses nmeros, ou seja:

    MDC(a, b).MMC(a, b) = a.b

    OS NMEROS RACIONAIS

    So nmeros que se escrevem na forma de frao com termos inteiros e denominador diferente de zero. Exemplo:

    10

    5 5,0 ,

    5

    17

    5

    23 , etc. As dzimas peridicas, simples

    ou compostas, so nmeros racionais.

    Para obtermos a frao geratriz de uma dzima peridica simples usamos a seguinte regra: Toda dzima peridica simples igual a uma frao mista cuja parte inteira corresponde a parte inteira da dzima e a parte fracionria tem para numerador o perodo e para denominador tantos noves quantos algarismos formem o perodo. Exemplo:

    a) 0,333... = 3

    1

    9

    3 .

    b) 2,1515... = 33

    71

    33

    52

    99

    152 .

    Para obtermos a frao irredutvel que gerou uma dzima peridica composta usamos a seguinte regra: Toda dzima peridica igual a uma frao que tem

    para numerador a parte no peridica (sem a vrgula), seguida de um perodo, menos a parte no peridica. E para denominador tantos noves quantos algarismos formem o perodo, seguidos de tantos zeros, quantos sejam os algarismos da parte no peridica depois da vrgula. Exemplo:

    2475

    5278

    9900

    21112

    9900

    21321325 . . .13252525,2

    .

    Os nmeros racionais fracionrios se escrevem

    na forma de frao com termos inteiros e denominador

    diferente de zero. Por exemplo: 5

    3,

    3

    2,

    2

    1, etc. Fraes

    como estas representam partes de um inteiro. As operaes com fraes

    As seguintes regras facilitam as operaes com fraes ordinrias: 1) Para compararmos duas ou mais fraes, basta reduzi-las ao mesmo denominador achando o MMC.

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    Exemplo:

    As fraes 5

    3,

    3

    2,

    2

    1 so equivalentes s fraes

    30

    18,

    30

    20,

    30

    15, pois o MMC(5, 3, 2) = 30. Como

    30

    15 7.

    SISTEMAS DO 1 GRAU

    Forma geral:

    222

    111

    cybxa

    cybxa.

    Discusso:

    1 Caso: Se 2

    1

    2

    1

    b

    b

    a

    a , o sistema possvel e

    determinado, apresentando uma nica soluo (x, y).

    Exemplo:

    1y3x5

    13y3x2

    3

    3

    5

    2

    . Logo o sistema tem uma

    nica soluo: S = {( 2, 3)}.

    2 Caso: Se 2

    1

    2

    1

    2

    1

    c

    c

    b

    b

    a

    a , o sistema possvel e

    indeterminado, e neste caso apresenta vrias solues. O conjunto soluo o conjunto dos

    pares ordenados (x, y) S = R R. Exemplo:

    26y6x4

    13y3x2

    26

    13

    6

    3

    4

    2 . Logo o sistema tem

    vrias solues S = R R.

    3 Caso: Se 2

    1

    2

    1

    2

    1

    c

    c

    b

    b

    a

    a , o sistema impossvel,

    e neste caso no tem soluo S = .

    Exemplo:

    17y6x4

    13y3x2

    17

    13

    6

    3

    4

    2 . Logo o sistema no tem

    soluo S = . EQUAES DO 2 GRAU

    toda sentena aberta, em x, redutvel ao tipo

    ax2 + bx + c = 0, com a *, b e c . A sentena ax2 + bx + c = 0 equivalente a

    a2

    bx

    onde ac4b2 .

    Discriminante

    (Delta) o discriminante da equao. Assim, sendo S o conjunto soluo, em ,

    temos:

    I) 0 A equao tem duas razes reais distintas

    obtidas por a2

    bx

    .

    II) 0 A equao tem duas razes reais e iguais

    obtidas por a2

    bx

    .

    III) 0 A equao no tem razes reais, e neste

    caso S .

    Relaes de Girard

    a

    bxxS

    a

    cxxP

    SISTEMA DE EQUAES DO 2 GRAU

    Consiste de sistema de equaes com duas incgnitas x e y que resolvidos por substituio, adio ou comparao, acarretam em equaes do 2 grau. Exemplo:

    Se x + y = 7 e xy = 12, quais os possveis valores de (x, y)?

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    15

    Resoluo:

    Se x + y = 7 y = 7 x, substituindo y na outra equao temos:

    x(7 x) = 12 7x x = 12 x 7x + 12 = 0.

    Como = (7)2 4.1.12 = 49 48 = 1 2

    17x

    x = 3 ou x = 4. Se X = 3 y = 4 e se x = 4 t = 3. Logo o conjunto soluo do sistema S = {(3, 4); (4, 3)}. A FUNO DO 1 GRAU

    Uma funo f: R R definida por f(x) = ax

    + b, onde a e b so nmeros reais, com a 0, denominada funo do 1 grau de varivel real. A funo do 1 grau observa-se que: I) a funo polinomial do 1 grau sempre uma reta.

    II) O grfico de intercepta o eixo de Ox no ponto

    0,

    a

    b ou seja:

    a

    b a raiz ou zero de .

    III) O grfico de intercepta o eixo de Oy no ponto (0,

    b). IV) Se a > 0 ento a funo estritamente crescente. V) Se a < 0 ento a funo estritamente decrescente Vejamos os grficos abaixo:

    Concluses:

    I) Para se obter o grfico da funo polinomial do 1 grau so suficientes, pois, dois pontos. Em geral so

    escolhidos os interceptos:

    0,

    a

    b e (0, b).

    II) A funo polinomial do 1 grau injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta o grfico apenas num ponto. III) A funo polinomial do 1 grau sobrejetora, pois

    Im() = CD() = .

    IV) A funo polinomial do 1 grau de em , portanto, injetora. Estudo do sinal da funo do 1 grau

    Estudar os sinais de uma funo y = (x) significa

    estabelecer, para cada x D(), qual das sentenas verdadeira:

    y = 0 y > 0 ou y < 0

    Para a funo afim (x) = ax + b temos dois casos a considerar. 1 Caso: a > 0:

    Neste caso a funo crescente. Como para

    a

    bx

    temos y = 0

    a

    b

    , vem:

    0ya

    b)x(

    a

    bx

    0ya

    b)x(

    a

    bx

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    16

    2 Caso: a < 0: Neste caso a funo decrescente. Tambm

    para a

    bx

    temos y = 0

    a

    b

    , logo:

    0ya

    b)x(

    a

    bx

    0ya

    b)x(

    a

    bx

    FUNO DO 2 GRAU

    Dados os nmeros reais a, b e c, com a 0, chama-se funo polinomial do 2 grau, ou funo

    quadrtica, a toda funo : definida por y =

    (x) = ax2 + bx + c. Podemos observar que a forma algbrica (y =

    ax2 + bx + c), onde a, b e c Exemplos:

    a) (x) = 2x2 + 3x 10, em que a = 2, b = 3 e c = 10.

    b) (x) = x2 25, em que a = 1, b = 0 e c = 25. c) y = x2 + 5x + 6, em que a = 1, b = 5 e c = 6. d) y = 3x2, em que a = 3, b = 0 e c = 0.

    Grfico O grfico de toda funo do 2 grau da forma

    (x) = ax2 + bx + c uma curva denominada de parbola no plano cartesiano. Graficamente, existem duas situaes a considerar: 1 Situao: a > 0 (concavidade voltada para cima)

    2 Situao: a < 0 (concavidade voltada para baixo)

    Zeros (ou razes) de uma funo do 2 grau Os zeros de uma funo do 2 grau so os valores da varivel x para os quais a funo se anula, ou seja:

    (x) = ax2 + bx + c (x) = 0 ax2 + bx + c = 0 Para obter os zeros da funo do 2 grau, utiliza-se a

    frmula de Bhaskara: a2

    bx

    .

    Exemplo:

    Determine os zeros da funo definida por (x) = 2x2 5x 3. Resoluo:

    Fazemos: (x) = 0, temos 2x2 5x 3 = 0.

    Clculo do discriminante (delta): ac4b2

    492425)3.(2.4)5( 2

    Clculo das razes:

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    17

    2

    1

    4

    2

    4

    75"x

    34

    12

    4

    75'x

    4

    75x

    ,

    3,2

    1S

    Exemplo:

    Obtenha os valores de x que tornam nula a funo (x) = x2 4x + 9. Resoluo:

    Fazemos: (x) = 0, temos x2 4x + 9 = 0.

    Clculo do discriminante (delta): ac4b2

    = ( 4)2 4.1.9 = 16 36 = 20 Clculo das razes:

    2

    204x No existe valor de x real que anule a

    funo .

    A Funo do 2 Grau: : definida por (x) =

    ax2 + bx + c, a 0. Observa-se que: a) A funo polinomial do 2 grau sempre uma

    parbola com eixo de simetria paralelo ao eixo Oy .

    b) Se a > 0 ento a parbola tem a concavidade voltada para cima. c) Se a < 0 ento a parbola tem a concavidade voltada para baixo.

    d) A parbola sempre intercepta o eixo Oy no ponto (0,

    c).

    e) Se 0ac4b2 ento admite duas razes reais.

    A parbola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos.

    f) Se 0ac4b2 ento admite uma raiz real. A

    parbola tangencia o eixo Ox .

    g) Se 0ac4b2 ento no admite razes reais.

    A parbola no intercepta o eixo Ox . Concluso: Graficamente, os zeros da funo polinomial do 2 grau so pontos onde a parbola intercepta o eixo das abscissas. Existem seis situaes a considerar:

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    18

    Vrtice da parbola O vrtice da parbola o ponto extremo da

    funo do 2 grau da forma (x) = ax2 + bx + c o ponto

    a4;

    a2

    bV ou

    a2

    b;

    a2

    bV .

    Este ponto extremo pode representar um ponto

    de mnimo ou um ponto de mximo, dependendo da concavidade da parbola.

    Se a > 0 ento V o ponto de mnimo de .

    Se a < 0 ento V o ponto de mximo de .

    a > 0 O ponto VV y;xV o ponto de mnimo de y = (x) e o yV o mnimo da funo.

    a < 0 O ponto VV y;xV o ponto de mximo de y = (x) e o yV o mximo da funo. Exemplo:

    Obtenha as coordenadas do vrtice da parbola correspondente funo definida por

    (x) = x2 4x + 3.

    2x)1(2

    )4(x

    a2

    bx VVV

    7y)1(4

    28y

    a4y VVV

    Logo, o vrtice V( 2; 7)

    Conjunto imagem

    Im() =

    ;a4a4

    y/y se a > 0

    Im() =

    a4

    ;a4

    y/y se a < 0

    Exemplo:

    Obtenha o conjunto imagem da funo definida por y = 4x2 8x.

    4y)4(4

    64y

    a4y VVV

    Logo, o conjunto imagem da funo :

    Im() = [ 4; + ) ou Im() = 4y/y Observao: y = 4 a imagem mnima da funo. Exemplo:

    Determine o conjunto imagem da funo quadrtica definida por y = x2 + 3x 1.

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    19

    4

    5y

    )1(4

    5y

    a4y VVV

    Logo, o conjunto imagem da funo :

    Im() =

    4

    5; ou Im() =

    4

    5y/y

    Observao: y = 4

    5 a imagem mxima da funo.

    Estudo do sinal da funo do 2 grau Estudar o sinal de uma funo do 2 grau da

    forma y = (x) = ax2 + bx + c obter a variao da imagem, ou seja, de y. A aplicao de estudo do sinal de uma funo a resoluo de inequaes.

    Se a > 0 e > 0, a funo do 2 grau positiva , ou seja, ax2 + bx + c > 0, para x < x ou x > x e negativa, ax2 + bx + c < 0, para x < x < x.

    Se a > 0 e = 0, a funo do 2 grau no negativa,

    ou seja ax2 + bx + c 0, para todo valor de x.

    Se a > 0 e < 0, a funo do 2 grau positiva, ou seja, ax2 + bx + c > 0, para todo valor real de x.

    Se a < 0 e > 0, a funo do 2 grau positiva, ou seja ax2 + bx + c > 0, para x < x < x e negativa, ou seja, ax2 + bx + c < 0, para x < x ou x > x.

    Se a < 0 e = 0, a funo do 2 grau no positiva, ou

    seja ax2 + bx + c 0, para todo valor de x.

    Se a < 0 e < 0, a funo do 2 grau negativa, ou seja , ax2 + bx + c < 0, para todo valor de x.

    Questes Propostas

    Questo 01 (COMPERVE)

    De dois conjuntos A e B, sabe-se que:

    I) O nmero de elementos que pertence a A B 45; II) 40% destes elementos pertencem a ambos os conjuntos; III) O conjunto A tem 9 elementos a mais que o conjunto B. Ento o nmero de elementos de cada conjunto : A) n(A) = 27 e n(B) = 18. B) n(A) = 30 e n(B) = 21. C) n(A) = 36 e n(B) = 27.. D) n(A) = 28 e n(B) = 29. Questo 02 (COMPERVE)

    Uma pesquisa de opinio, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados frequentavam a praia de Ponta Negra, 55% frequentavam a praia do Meio e 15% no iam a praia. De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que frequentavam ambas as praias era de: A) 20%. B) 35%.. C) 40%. D) 25%. Questo 03 (COMPERVE)

    Dos 140 alunos que fizeram uma prova constituda de duas questes, 90 acertaram a primeira, 110 acertaram a segundo e 60 acertaram as duas questes. Sabendo-se que nenhuma questo foi deixada sem resposta, o nmero de alunos que acertaram apenas a segunda foi: A) 60. B) 30. C) 40. D) 50..

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    20

    Questo 04 (COMPERVE)

    No ano de 2008, um posto de sade promoveu uma campanha de vacinao contra a hepatite B e contra a tuberculose. Das pessoas vacinadas, 39 receberam vacina apenas contra hepatite B, 74 contra tuberculose e 29 receberam as duas vacinas. Portanto, pode-se afirmar que, em 2008, ao final da campanha, esse posto de sade vacinou contrar essas duas doenas um total de A) 94 pessoas. B) 113 pessoas.. C) 108 pessoas. D) 84 pessoas. Questo 05 (COMPERVE)

    Uma metalrgica tem 4.000 funcionrios contratados para trabalhar no turno vespertino, 500 funcionrios contratados para trabalhar no turno matutino e 240 para trabalhar no turno noturno. Se 5% dos funcionrios contratados para o turno vespertino tambm foram contratados para trabalhar no turno matutino, se 4% dos contratados para o turno matutino tambm o foram para o turno noturno, se 0,5% dos que foram contatados para o turno vespertino tambm foram para o turno noturno e se somente 4 funcionrios foram contratados para trabalhar em qualquer um dos trs turnos, correto afirmar que o nmero de funcionrios dessa empresa A) 5.020. B) 4.740. C) 4.248. D) 4.504..

    Questo 06 (COMPERVE)

    A figura abaixo representa uma regio de ruas de mo nica. O nmero de carros se divide igualmente em cada local onde existem duas opes de direes conforme a figura. Se 128 carros entram em E, podemos afirmar que o nmero de carros que deixam a regio pela sada S : A) 24.. B) 48. C) 64. D) 72. Questo 07 (COMPERVE)

    Fernando, brincando com uma calculadora, digitou o nmero 897 e em seguida comeou a subtrair sucessivamente o nmero nove, s parando quando obteve um nmero negativo. A quantidade de vezes que Fernando apertou a tecla do nmero nove foi A) 99. B) 100.. C) 85. D) 84. Questo 08 (COMPERVE)

    42713 igual a:

    A) 4.. B) 5. C) 6. D) 7.

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    21

    Questo 09 (COMPERVE)

    Observe os dois termmetros da figura abaixo, os quais expressam valores de temperatura, em graus centgrados: A diferena entre a temperatura indicada no termmetro 1 e a indicada no termmetro 2 de: A) + 8.. B) 8. C) 6. D) + 6. Questo 10 (COMPERVE)

    Conside re x 1 = 9 , x 2 = 4, x 3 = 8 , 32

    31

    xx

    )xx(7

    , 2

    31

    x

    xx e

    1

    21

    x

    x3x2 .

    Calcule os va lore s de , , e , em seg uida,

    ass inale a op o ve rda deira. A) .

    B) .

    C) .

    D) . .

    Questo 11 (COMPERVE)

    Um consumidor faz um balano de seu consumo de gua em relao aos seis meses anteriores e chega seguinte expresso matemtica:

    )26.(2

    )5).(2,1(10X

    O valor de X :

    A)

    2

    1..

    B) 3

    2 .

    C) 3

    2.

    D) 2

    1 .

    Questo 12 (COMPERVE)

    O valor da expresso

    3

    13

    2

    15

    2

    12

    3

    15S na

    sua forma mais simples :

    A) 2

    1.

    B) 2. C) 5..

    D) 3

    1.

    Questo 13 (COMPERVE)

    Um agente de sade visitou 32 residncias durante um ms. No 25 dia j tinha visitado 3/4 das residncias. Aps essas visitas, faltava ainda visitar A) 12 residncias. B) 16 residncias. C) 8 residncias.. D) 10 residncias.

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    22

    Questo 14 (COMPERVE)

    O dono de um stio de 6 hectares decide utilizar 3/5 da rea total para plantio e 2/3 da que sobrou para a criao de animais. A rea do stio, em metros quadrados, que no est ocupada com plantio ou criao de A) 17.600. B) 16.000. C) 8.000.. D) 6.400. Questo 15 (COMPERVE)

    O salrio de um funcionrio pblico 3.600 reais. O funcionrio gasta 1/4 do seu salrio com alimentao e 1/2 com outras despesas. Do que resta, usa 2/3 para o lazer. A quantidade de dinheiro do salrio destinado ao lazer : A) 450 reais. B) 600 reais. C) 150 reais. D) 300 reais.. Questo 16 (COMPERVE)

    A letra que ocupa a 1248 posio na sequncia A, B, C, D, E, A, B, C, D, E, A, B, C, D, E,... : A) D. B) B. C) A. D) C.. Questo 17 (COMPERVE)

    Em uma calculadora, a tecla T transforma o nmero x

    (no nulo), que est no visor, em x

    1, e a tecla V duplica o

    nmero que se encontra no visor. Se o nmero 2 estiver no visor e forem digitadas, alternadamente, as teclas T e V, iniciando-se por T, num total de 1999 digitaes, ser obtido um nmero igual a: A) 21999. B) 1.. C) 2.

    D) 2

    1.

    Questo 18 (COMPERVE)

    Deseja-se cortar 3 peas de material acrlico de comprimentos 240 cm, 270 cm e 300 cm, respectivamente, em partes iguais e de maior comprimento possvel. O comprimento que cada parte dever ter de A) 15 cm. B) 30 cm.. C) 60 cm. D) 90 cm. Questo 19 (COMPERVE)

    A UFRN comprou, para seus laboratrios de Qumica, as seguintes vidrarias: 44 pacotes de Becker com 36 unidades cada; 18 pacotes de tubo de ensaio com 100 unidades cada; 24 pacotes de bureta com 10 unidades cada e 70 pacotes de proveta contendo 12 unidades cada. Para distribuir esse material, ele foi separado em caixas, que ficaram com a mesma quantidade mxima de unidades e, obrigatoriamente, cada caixa ficou com um nico tipo de vidraria. O menor nmero possvel de caixas utilizadas uma quantidade A) maior que 210. B) menor que 150. C) entre 190 e 210. D) entre 150 e 190.. Questo 20 (COMPERVE)

    Para os festejos natalinos, uma fbrica de doces lanar uma caixa de chocolates. O nmero de chocolates poder ser dividido igualmente (sem fracion -los) entre 2, 3, 4, 5 e 6 pessoas, no havendo sobra. O menor nmero de chocolates que essa caixa dever conter ser: A) 180. B) 120. C) 60.. D) 30.

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    23

    Questo 21 (COMPERVE)

    No piso de uma sala com 3,36 m de largura e 4,00 m de comprimento, um construtor deseja colocar peas de granito quadradas, do mesmo tamanho. A menor quantidade dessas peas que ele pode usar para cobrir completamente o piso : A) 500. B) 525.. C) 550. D) 575. Questo 22 (COMPERVE)

    Em um hotel, h comida suficiente para que seus 20 hspedes se alimentem por 10 dias. Ao final do quarto dia, 5 hspedes deixam o hotel. Mantendo-se o mesmo consumo dirio por pessoa, o nmero mximo de dias para os quais ainda h alimento : A) 10. B) 6. C) 8.. D) 12. Questo 23 (COMPERVE)

    Se um carro percorre uma estrada com velocidade mdia de 80 km/h, a reduo do tempo de viagem para percorrer essa mesma estrada com velocidade 50% maior de A) um tero do tempo de viagem.. B) metade do tempo de viagem. C) um quarto do tempo de viagem. D) um quinto do tempo de viagem.

    Questo 24 (COMPERVE)

    Em uma obra, 7 trabalhadores constroem 2.800 m de cerca trabalhando 8 horas dirias durante 5 dias. Mantendo-se o mesmo ritmo de trabalho, para construir outra cerca de 2.160 m, trabalhando 6 horas dirias durante 9 dias, devero ser reduzidos do grupo A) 4 trabalhadores. B) 3 trabalhadores.. C) 5 trabalhadores. D) 6 trabalhadores. Questo 25 (COMPERVE)

    O motorista de um laboratrio costuma percorrer 1.260 km em 5 dias, viajando 6 horas por dia. Para percorrer 3.360 km, viajando 8 horas por dia mantendo a mesma velocidade mdia, ele precisar de A) 15 dias. B) 20 dias. C) 10 dias.. D) 5 dias. Questo 26 (COMPERVE)

    Em um Departamento de Administrao onde cada servidor tem um computador para trabalhar, 10 funcionrios, trabalhando 8 horas por dia durante nove dias, preenchem 650 formulrios. Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, o nmero de funcionrios necessrios para preencher 1300 formulrios em oito dias, trabalhando 6 horas por dia, A) 50. B) 40. C) 30.. D) 60.

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    24

    Questo 27 (COMPERVE)

    A razo entre o nmero de mdicos e de tcnicos em enfermagem em um hospital de 2 para 3. Se esse hospital possui 18 enfermeiros, o nmero de mdicos igual a A) 16. B) 14. C) 12.. D) 10. Questo 28 (COMPERVE)

    Fbia e ngela moram prximas ao Laboratrio de Petrleo onde trabalham, conforme mostra a Figura abaixo: Medindo em linha reta, a casa de Fbia, assinalada por F, est a 550 m do laboratrio (M). A razo entre as distncias FM e AM, nessa ordem, de 3 para 7. A distncia entre a casa de ngela, assinalada por A, e o laboratrio M de aproximadamente A) 1.220 m. B) 1.283 m.. C) 1.457 m. D) 1.340 m. Questo 29 (COMPERVE)

    Um laboratrio em que trabalham trs auxiliares, deve coletar 720 amostras de gua de uma lagoa de captao. Os auxiliares combinam distribuir a coleta das amostras em quantidades diretamente proporcionais aos anos de trabalho de cada um no laboratrio. Considerando-se que um deles tem 10 anos de trabalho, outro tem 8 anos e outro 6 anos, a quantidade de amostras que cada funcionrio deve coletar , respectivamente, A) 300, 240 e 180.. B) 320, 300 e 100. C) 280, 240 e 200. D) 300, 220 e 200.

    Questo 30 (COMPERVE)

    30. No ms de julho, dois funcionrios de uma empresa, Adalton e Jos, devem dividir um bnus de R$ 160,00, de forma que cada um receber um valor inversamente proporcional ao nmero de faltas cometidas naquele ms. Adalton faltou 3 dias e Jos, 2 dias. A quantia em reais que Jos dever receber : A) 64,00. B) 96,00.. C) 55,00. D) 88,00. Questo 31 (COMPERVE)

    Um comerciante aumenta o preo de determinado produto em 15% e, posteriormente, em funo da reduo nas vendas, ele d, nesse mesmo produto, um desconto de 13%. O preo final desse produto ficou, aproximadamente, A) o mesmo que antes das alteraes.. B) um por cento mais caro que antes das alteraes. C) dois por cento mais caro que antes das alteraes. D) um e meio por cento mais barato que antes das alteraes. Questo 32 (COMPERVE)

    Ao iniciar uma viagem, Adailton encheu completamente o tanque de combustvel de seu carro, que estava totalmente vazio, com gasolina, e pagou R$ 155,10 por esse abastecimento. O preo pago pelo litro da gasolina, na ocasio, foi 20% mais caro que o do lcool, que custava R$ 2,35. Na volta, com o tanque totalmente vazio outra vez, optou por abastecer com lcool. Sabendo que no houve aumento no preo dos combustveis, para encher completamente o tanque do carro nessa nova situao, Adailton deve pagar A) R$ 145,50. B) R$ 118,45. C) R$ 129,25.. D) R$ 136,20.

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    25

    Questo 33 (COMPERVE)

    O salrio dos funcionrios administrativos de uma escola composto de duas partes: o vencimento base e uma gratificao que corresponde a um percentual desse vencimento. Em 2010, o vencimento base era de R$ 600,00 e o percentual de gratificao, de 25%. Na negociao salarial de 2011, a categoria obteve duas conquistas: o vencimento base teve um reajuste de 10%, e o percentual de gratificao aumentou para 30%. Com base nesses dados, correto afirmar que, em relao ao ano de 2010, o salrio desses funcionrios teve um aumento de A) 34,5%. B) 12%. C) 43%. D) 14,4%.. Questo 34 (COMPERVE)

    Uma empresa de carto de crdito cobra, de encargos financeiros por atraso no pagamento da fatura, multa de 2% mais juros de 14% ao ms, que incidem, individualmente, sobre o valor original da fatura. Marta atrasou o pagamento de uma fatura no valor de R$ 600,00 por um ms e, em negociao com a empresa, conseguiu reduzir os juros em 8% do valor devido. Portanto, Marta quitou sua dvida no carto de crdito com A) R$ 702,28. B) R$ 688,32.. C) R$ 689,28. D) R$ 703,68. Questo 35 (COMPERVE)

    Um auxiliar de laboratrio comprou uma impressora e pagou-a vista, com um desconto de 25%. Para isso ele usou suas economias, que eram de R$ 300,00, e um emprstimo de R$ 100,00 que fez de sua irm. Sem desconto, o preo dessa impressora seria de, aproximadamente, A) R$ 575,00. B) R$ 612,00. C) R$ 533,00.. D) R$ 678,00.

    Questo 36 (COMPERVE)

    Numa cidade, as tarifas de nibus passaram de R$ 3,50 para R$ 5,00. O percentual de aumento da tarifa foi de, aproximadamente, A) 43%.. B) 57%. C) 63%. D) 27%. Questo 37 (COMPERVE)

    A diferena entre os 3/4 e o 1/3 do preo de um projetor a ser comprado por um departamento da UFS de R$ 2.400,00. O preo do projetor A) R$ 2.900,00. B) R$ 3.300,00. C) R$ 4.840,00. D) R$ 5.760,00.. Questo 38 (COMPERVE)

    Em uma festa em famlia, Miguel, professor de matemtica, brincava com seus dois sobrinhos: Marcos e Marcela, quando props um desafio a Marcos: Descubra minha idade. Miguel passou as seguintes

    informaes: A minha idade hoje igual soma da idade de vocs dois adicionada de 20 anos. Trs anos atrs, a minha idade era o triplo da idade de Marcos e, daqui a trs anos, minha idade ser o quntuplo da idade de Marcela. Baseado nessas informaes, correto

    afirmar que Miguel tem hoje A) 38 anos. B) 45 anos C) 42 anos.. D) 34 anos.

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    26

    Questo 39 (COMPERVE)

    Marta, Maria, Mrcia e Manu foram a uma loja e gastaram juntas R$ 52,00. Marta gastou R$ 2,00 a mais que Maria; Maria gastou R$ 3,50 a mais que Mrcia e Mrcia gastou a metade do valor que Manu gastou. A garota que gastou menos, nessa loja, foi A) Maria. B) Manu. C) Mrcia.. D) Marta. Questo 40 (COMPERVE)

    Todo ms, Gabriela recebe dos pais a sua mesada. No ms de janeiro de 2012, ela verificou que, da mesada recebida, gastou a quarta parte com o pagamento de dvidas, a tera parte com a compra de materiais para a escola e restaram-lhe ainda R$100,00 para outras despesas. O valor da mesada que Gabriela recebeu em janeiro de 2012 foi de A) R$ 230,00. B) R$ 200,00. C) R$ 210,00. D) R$ 240,00.. Questo 41 (COMPERVE)

    Um pequeno investidor aplicou R$ 10.000,00 a uma taxa de juros simples de 2,2% ao ms, com a finalidade de obter um rendimento de R$ 3.300,00 de maneira a poder comprar um equipamento de informtica. Para que ele tenha o rendimento desejado, o tempo mnimo que esse dinheiro deve ficar aplicado de A) 1 ano e 5 meses. B) 1 ano e 4 meses. C) 1 ano e 3 meses.. D) 1 ano e 2 meses.

    Questo 42 (COMPERVE)

    Ana emprestou R$ 1.800,00 para Jos comprar uma televiso de 32 polegadas. Pelo acordo, Jos pagaria, ao final de 10 meses, o valor que tomou emprestado acrescido de juros simples de 30% ao ano. Findo o prazo, ana recebeu de Jos um montante de A) R$ 2.150,00. B) R$ 2.250,00.. C) R$ 2.340,00. D) R$ 2.460,00. Questo 43 (COMPERVE)

    Maria aplicou um capital de R$ 1.000,00 a juros simples, durante trs meses, taxa de 2% ao ms. No final do perodo, Maria recebeu de juros, pela aplicao: A) R$ 160,00. B) R$ 120,00. C) R$ 60,00.. D) R$ 80,00. Questo 44 (COMPERVE)

    Uma garota juntou 53 cdulas de R$ 10,00 e de R$ 20,00, perfazendo o valor de R$ 630,00. O nmero de cdulas de dez reais que ela juntou foi, portanto: A) 43.. B) 48. C) 45. D) 42. Questo 45 (COMPERVE)

    A soma de dois nmeros 180. O dobro do maior igual ao triplo do menor. Os valores dos nmeros maior e menor so, respectivamente: A) 108 e 65. B) 108 e 72.. C) 130 e 72. D) 130 e 65.

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    27

    Questo 46 (COMPERVE)

    No alvo representado pela figura abaixo, uma certa pontuao dada para a f lecha que cai na regio sombreada S e outra para a flecha que cai no crculo central R.

    Diana obteve 17 pontos, lanando trs flechas, das quais uma caiu em R e duas em S. Guilherme obteve 22 pontos, lanando o mesmo nmero de flechas, das quais uma caiu em S e duas em R. Considerando-se o desempenho dos dois arremessadores, pode-se afirmar que o nmero de pontos atribudos a cada flecha que cai na regio S : A) 2. B) 3. C) 4.. D) 5. Questo 47 (COMPERVE)

    Para assistir a um espetculo musical, as pessoas identificadas como estudantes pagam R$ 10,00 e as que no so estudantes, R$ 30,00. Sabe-se que 1.575 pessoas compareceram ao show e que o valor arrecadado foi de R$ 26.950,00. O nmero de estudantes que assistiram ao espetculo foi A) 1.015.. B) 1.030. C) 1.005. D) 1.040.

    Questo 48 (COMPERVE)

    Sendo x e y nmeros inteiros tais que 16yx e

    64y x , ento o valor numrico da expresso 22 yxE igual a:

    A) 128.. B) 512. C) 169. D) 480. Questo 49 (COMPERVE)

    A figura abaixo apresenta dois quadrados de lados x e y. Se a soma das reas desses quadrados 41 e a diferena de seus permetros 4, os valores de x e y, em metros, so, respectivamente A) 5 e 4.. B) 10 e 6. C) 6 e 2. D) 15 e 5. Questo 50 (COMPERVE)

    Na campanha salarial de 2009, os Tcnicos de Enfermagem de um hospital negociaram um plano de cargos e salrios de modo que o vencimento passou a ser composto por um valor fixo de R$ 1.100,00 mais um valor varivel equivalente a 7% da produtividade. Com base nessas informaes, a expresso que melhor representa o salrio y recebido pelo tcnico em funo da produtividade x dada por A) y = 1.100 0,07x. B) y = 1.100 + 0,07x.. C) y = 1.100 0,07x2. D) y = 1.100 + 0,07x2.

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    28

    Questo 51 (COMPERVE)

    Na tabela abaixo, X representa dias, contados a partir de uma data fixa, e Y representa medies feitas em laboratrio, nesses dias, para estudo de um fenmeno. De acordo com a tabela, pode-se afirmar que as grandezas so A) diretamente proporcionais e relacionadas por uma funo quadrtica. B) inversamente proporcionais e relacionadas por uma funo linear. C) diretamente proporcionais e relacionadas por uma funo linear. D) inversamente proporcionais e relacionadas por uma funo quadrtica.. Questo 52 (COMPERVE)

    O Sr. Gilberto, proprietrio da Bolaria Natal, procurou

    seu amigo Eduardo para receber orientao quanto ao nmero mnimo de unidades de bolo que deveria vender para no ficar no prejuzo ao final do ms, ou seja, o valor arrecadado com a venda dos bolos deve ser, no mnimo, igual ao custo total de produo. Para tanto, entregou a ele os seguintes dados anotados em um papel: Eduardo analisou os dados e afirmou para o Sr. Gilberto que, considerando um ms de 30 dias, para no se ter prejuzo, sua venda diria, em mdia, dever ser de, pelo menos, A) 56 bolos.. B) 57 bolos. C) 54 bolos. D) 55 bolos.

    Questo 53 (COMPERVE)

    O grfico abaixo mostra o consumo de combustvel de um carro popular em relao quantidade de quilmetros rodados. Em relao ao grfico, afirma-se: I) O grfico representa duas grandezas que so inversamente proporcionais. II) O consumo de gasolina do carro popular ao percorrer 60 km o dobro do consumido ao percorrer 30 km. III) Mantendo-se o mesmo comportamento entre as variveis, ao percorrer 90 km, o carro consumir 6 litros de gasolina. IV) A funo que melhor representa a relao entre as variveis do grfico apresentado a linear com coeficiente angular positivo. Das afirmativas, A) I, II e IV so corretas. B) apenas I e II so corretas. C) apenas III e IV so corretas. D) II, III e IV so corretas..

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    29

    Questo 54 (COMPERVE)

    Uma aluna do curso de Engenharia gastou R$ 8.000,00 para desenvolver um jogo para telefone celular. Ela estimou que, se cobrasse reais por cada download, conseguiria vender ( ) download desse jogo. Sabendo que lucro a diferena entre o valor arrecadado pela venda e o custo de produo de um produto, o lucro obtido por essa aluna se ela decidir vender cada download do jogo por R$ 2,00 A) R$ 23.986,00. B) R$ 31.996,00.. C) R$ 32.004,00. D) R$ 28.060,00. Questo 55 (COMPERVE)

    Um comerciante decidiu fabricar camisetas de malha para vend-las na praia, ao preo de R$ 8,00 a unidade. Investiu no negcio R$ 320,00. Sabendo que o lucro(y) obtido funo da quantidade de unidades vendidas(x), o grfico que mais se aproxima da representao dessa funo :

    Questo 56 (COMPERVE)

    Uma pedra atirada para cima, com velocidade inicial de 40 m/s, do alto de um edifcio de 100 m de altura. A altura (h) atingida pela pedra em relao ao solo, em funo do tempo (t), dada pela expresso h(t) = 5t2 + 40t + 100. Ento a altura mxima atingida pela pedra A) 100 m. B) 160 m. C) 180 m.. D) 200 m. Questo 57 (COMPERVE)

    O Sr. Joo dispe de 180 metros de tela, para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compe-se de uma parte paralela ao muro e trs outras perpendiculares a ele (veja figura). Para cercar a maior rea possvel, com a tela disponvel, os valores de x e y so, respectivamente: A) 45 m e 45 m. B) 30 m e 90 m.. C) 36 m e 72 m. D) 40 m e 60 m.

    muro

    y

    x x x

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    30

    Questo 58 (COMPERVE)

    Em uma competio de saltos ornamentais, um atleta mergulha na piscina segundo uma trajetria parablica, conforme apresentado na figura abaixo. O ponto A da piscina e o ponto B do trampolim pertencem a uma mesma reta perpendicular superfcie da piscina. O atleta mergulha e sai da piscina, respectivamente, a 1 m e 5 m de distncia do ponto A. Se seu mergulho atinge 4 m de profundidade em relao superfcie dgua da

    piscina, correto afirmar que o trampolim est a uma altura H de A) 5,5 m. B) 4,5 m. C) 4,0 m. D) 5,0 m..

    Questo 59 (COMPERVE)

    Em uma negociao para comprar 20 computadores com o objetivo de equipar um laboratrio de informtica, uma escola conseguiu um preo de R$ 900,00 por computador. Para vender mais, a empresa props baixar em R$ 20,00 o preo de cada computador que fosse comprado alm dos 20 j negociados inicialmente pela escola. A expresso que determina o preo pago em funo do nmero total de computadores comprados dada por A) y = 20x2 + 1.700x 8.000.. B) y = 10x2 850x + 4.000. C) y = 20x2 1.700x + 8.000. D) y = 10x2 + 850x 4.000.

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    31

    Grandezas e Medidas Sistema Mtrico Decimal: medidas de comprimento, de superfcie, de massa, de volume e de capacidade. Medidas de tempo. Problema envolvendo unidades monetrias. Permetro e rea de figuras planas. Teorema de Tales. Teorema de Pitgoras. Razes trigonomtricas no tringulo retngulo: seno cosseno e tangente.

    SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS

    Unidades de comprimento

    quilmetro hectmetro decmetro metro decmetro centmetro milmetro

    km hm dam m dm cm mm

    8 4, 2 8

    1 5, 0 4 8

    2 4, 2

    Unidades de capacidade

    quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

    k h da d c m 3 4, 2 8

    3 4, 2 8

    3 4, 2 8

    Unidades de massa

    quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

    kg hg dag g dg cg mg

    7 3, 2 8

    7 3, 2 8

    7 3, 2 8

    Observao: 1) Qualquer unidade nestas escalas dez vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e dez vezes menor do que a unidade imediatamente superior. 2) 1 kg = 1. Unidades de rea

    quilmetro

    quadrado

    hectmetro

    quadrado

    decmetro

    quadrado

    metro

    quadrado

    decmetro

    quadrado

    centmetro

    quadrado

    milmetro

    quadrado

    km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

    15, 80 12

    1 89, 30

    0, 93 21

    L-se: (15 metros quadrados e 8012 centmetros quadrados) Observaes: 1) Observe que cada grupo de dois algarismos corresponde a uma unidade de reas. 2) Qualquer unidade na escala de rea 100 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes

    menor do que a unidade imediatamente superior. 3) Qualquer quantidade nesta escala deve ter (com exceo, s vezes, dos extremos) apenas dois algarismos correspondentes a uma dada unidade, com a vrgula abaixo da unidade na qual se expressa a quantidade.

    4) Nas medies de grandes lotes de terras, so usadas as medidas agrrias:

    hectare (he) 1 ha = 1 hm2 = 10.000 m2

    are (a) 1 a = 1 dam2 = 100 m2

    centiare (ce) 1 ca = 1 m2

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    32

    Unidades de volume

    quilmetro cbico

    hectmetro cbico

    decmetro cbico

    metro cbico

    decmetro cbico

    centmetro cbico

    milmetro cbico

    km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

    75, 840

    12, 000 006 400

    0, 000 000 002 470

    L-se: (75 metros cbicos e 840 decmetros cbicos) Observaes:

    1) Qualquer unidade na escala de Volume 1000 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e 1000 vezes menor do que a unidade imediatamente superior. 2) Qualquer quantidade nesta escala deve ter (com exceo, s vezes, dos extremos) apenas trs algarismos correspondentes a cada unidade, com a vrgula abaixo da unidade na qual se expressa a quantidade.

    3) Para se mudar de uma unidade para outra, deslocamos a vrgula trs casas para a esquerda ou para a direita, conforme se queira uma unidade inferior ou superior. 4) Relaes importantes:

    dm3 = 1 1 ha = 1 hm2 = 10.000 m2

    1 cm3 = 1m 1 a = 1 dam2 = 100 m2 1 m3 = 1000 1 ca = 1 m2

    PERMETROS E REAS DE FIGURAS PLANAS

    Retngulo:

    Permetro: 2P = 2(b + h).

    rea: S = bh. Quadrado:

    Permetro: 4P2 .

    rea: 2S .

    Trapzio:

    rea: 2

    h).bB(S

    .

    Paralelogramo:

    Permetro: 2P = 2(a + b).

    Altura: h = b.Sen().

    rea: S = b.h.

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    33

    Losango:

    Permetro: 4P2 .

    rea: 2

    dDS

    .

    Frmula geral do tringulo:

    Permetro: 2P = a + b + c.

    rea: 2

    h.bS .

    Tringulo equiltero:

    Permetro: 2P = 3.

    Altura: 2

    3h

    .

    rea: 4

    3S

    .

    Crculo:

    Permetro: 2P = 2R.

    rea: S = R. Coroa circular:

    rea da coroa circular: S = (R r). RAZES TRIGONOMTRICAS NO TRINGULO RETNGULO

    Considere o tringulo retngulo ABC, indicado a

    seguir.

    Hipotenusa: aBC .

    Catetos: bAC e cAB .

    Teorema de Pitgoras: a2 = b2 + c2.

    ngulo reto: = 90.

    ngulos complementares: 90 .

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    34

    Sendo a medida de um ngulo agudo de um tringulo retngulo, definimos as seguintes razes trigonomtricas.

    I) Chama-se seno de ao quociente entre a medida do

    cateto oposto ao ngulo de medida e a medida da hipotenusa.

    a

    b

    H

    O.CSen

    II) Chama-se cosseno de ao quociente entre a medida

    do cateto adjacente ao ngulo de medida e a medida da hipotenusa.

    a

    c

    H

    A.CCos

    III) Chama-se tangente de ao quociente entre a medida

    do cateto oposto ao ngulo de medida e a medida do cateto adjacente a esse ngulo.

    c

    b

    .A.C

    O.Ctg

    ngulos notveis

    30 45 60

    sen

    2

    2

    2

    3

    cos

    2

    3

    2

    2

    2

    1

    tg

    3

    3

    1 3

    Questes Propostas

    Questo 60 (COMPERVE)

    Um reservatrio de gua de um laboratrio tem 5 m3 de volume. A massa de 1 litro de gua de 1 kg. A massa total de gua correspondente capacidade do reservatrio , portanto,

    A) 2,5102 Kg.

    B) 5102 Kg.

    C) 2,5103 Kg.

    D) 5103 Kg.. Questo 61 (COMPERVE)

    Num laboratrio, so lavados, por dia, 200 recipientes. A lavagem de cada recipiente consome, em mdia, 4,5 gramas de sabo em p. Para se formar um estoque suficiente para o consumo de 30 dias, a quantidade mnima de quilogramas de sabo em p a ser comprada ser A) 37 kg. B) 90 kg. C) 54 kg. D) 27 kg.. Questo 62 (COMPERVE)

    No Sistema Mtrico Decimal, so unidades de comprimento, massa e volume, respectivamente, A) polegada, libra e tonelada. B) polegada, grama e decilitro. C) metro, libra e galo. D) metro, grama e metros cbicos.. Questo 63 (COMPERVE)

    O terreno no qual est situado um laboratrio foi cercado com 5 voltas de arame, e, para isso, foram gastos 10 rolos, cada um com 45 metros de arame. O permetro do terreno A) 450 metros. B) 50 metros. C) 225 metros. D) 90 metros..

    2

    1

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    35

    Questo 64 (COMPERVE)

    Em uma reforma das salas de aula de uma instituio de ensino, Antnio foi contratado para pintar uma sala retangular que mede 5 m por 4,5 m. Para no respingar tinta no cho, ele decidiu cobrir o piso com jornal. Se

    uma folha de jornal mede 75 cm 60 cm, o nmero mnimo de folhas utilizadas A) 55. B) 45. C) 60. D) 50.. Questo 65 (COMPERVE)

    Um posto de sade vai ampliar as instalaes fsicas conforme a planta apresentada na figura abaixo: Com base na figura, a rea a ser ocupada pelas duas salas : A) 30 m2. B) 40 m2. C) 36 m2.. D) 42 m2. Questo 66 (COMPERVE)

    Um senhor resolveu fazer caminhadas ao redor de uma praa, em formato circular, que tem 246 m de dimetro. Se ele deu trs voltas completas nessa praa, correto

    afirmar que percorreu, aproximadamente, (Utilize: = 3,14) A) 1.158,66 m. B) 2.317,32 m.. C) 3.089,76 m. D) 4.634,64 m.

    Questo 67 (COMPERVE)

    Um terreno triangular apresenta as dimenses mostradas na figura ao lado. O permetro desse terreno de aproximadamente A) 18,20 m. B) 11,74 m. C) 14,20 m. D) 16,97 m.. Questo 68 (COMPERVE)

    A figura abaixo representa um terreno em forma de trapzio. A rea desse terreno : A) 72 m2. B) 164 m2. C) 84 m2.. D) 120 m2. Questo 69 (COMPERVE)

    Na figura abaixo, existem dois crculos concntricos, de raios 10 cm e 8 cm, respectivamente. A rea do anel circular, parte hachurada no diagrama igual a:

    A) 25.

    B) 50.

    C) 64.

    D) 36..

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    36

    Questo 70 (COMPERVE)

    Um dos prdios de um laboratrio ocupa a rea no pintada (em branco) do terreno representado na figura abaixo. Sabe-se que 1 cm da figura equivale a 2 metros. A rea do terreno no ocupada pelo prdio do laboratrio de A) 240 m2. B) 289 m2. C) 480 m2.. D) 169 m2. Questo 71 (COMPERVE)

    A figura abaixo mostra a representao de um terreno que deve ser cercado com uma tela de proteo. O terreno tem a forma de um quadrado de 121 m2 de rea e, em um dos lados, existe um muro. Sabendo-se que em um dos lados que tem tela ser aberto um porto de 1,5 m de largura, a quantidade de tela utilizada para cercar esse terreno foi de A) 25,5 m. B) 35,5 m. C) 28,5 m. D) 31,5 m..

    Questo 72 (COMPERVE)

    Considerando o tringulo retngulo abaixo, qual das alternativas falsa?

    A) 5

    3cos .

    B) 90 .

    C) 5

    4sen .

    D) 5

    4tg ..

    Questo 73 (COMPERVE)

    Observe a figura abaixo e determine a altura h do

    edifcio, sabendo que AB mede 25 m e cos = 0,6. A) h = 22,5 m. B) h = 20 m.. C) h = 15 m. D) h = 18,5 m. Questo 74 (COMPERVE)

    Pelas normas de acessibilidade, uma rampa deve ter uma inclinao de, no mximo, 8 com a horizontal. Uma instituio pblica decidiu desenvolver um projeto arquitetnico que garanta acessibilidade a pessoas portadoras de necessidades especiais e, para tanto, est construindo uma rampa que tem 1 m de altura. O comprimento dessa rampa deve ser de aproximadamente: Dados: sen(8) = 0,139; cos(8) = 0,99 e tg(8) = 0,14. A) 7 m.. B) 6 m. C) 8 m. D) 10 m.

    B

    A

    h

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    37

    Espao e Forma

    Congruncia e semelhana de tringulos. Noes geomtricas de paralelismo, perpendicularismo e ngulo em figuras bidimensionais e tridimensionais. Clculo de rea e volume de paraleleppedo retngulo e de cilindro.

    CONGRUNCIA E SEMELHANA DE TRINGULOS

    Dois tringulos so congruentes se, e somente se, seus lados e seus ngulos so ordenadamente congruentes. Notao: E'D'C'CDE

    Casos de congruncia

    1) Lado, ngulo, Lado (LAL)

    Dois tringulos so congruentes quando possuem dois lados e o ngulo entre eles, respectivamente congruentes. 2) ngulo, Lado, ngulo (ALA)

    Dois tringulos so congruentes quando possuem dois ngulos e o lado entre eles, respectivamente congruentes.

    3) Lado, Lado, Lado (LLL)

    Dois tringulos so congruentes quando possuem os trs lados respectivamente congruentes. 4) Lado, ngulo e ngulo oposto (LAAo)

    Dois tringulos so congruentes quando possuem um lado, um ngulo e o ngulo oposto a esse mesmo lado, sendo assim respectivamente congruentes. TEOREMA DE TALES

    Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais quaisquer, segmentos proporcionais.

    EF

    DE

    BC

    AB

    DF

    DE

    AC

    AB

    DF

    EF

    AC

    BC

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    38

    NGULOS COMPLEMENTARES

    Dois ngulos so complementares quando a soma de suas medidas for 90. Dizemos que um o complemento do outro. Exemplo:

    Os ngulos que medem 42 e 48 so complementares, pois 42 + 48 = 90. NGULOS SUPLEMENTARES

    Dois ngulos so suplementares quando a soma de suas medidas for 180. Dizemos que um o suplemento do outro. Exemplo:

    Os ngulos que medem 82 e 98 so suplementares, pois 82 + 98 = 180. NGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA RETA TRANSVERSAL

    Quando uma transversal a duas retas distintas intercepta essas retas em dois pontos distintos, os oito ngulos determinados so classificados, conforme a figura, em

    ngulos correspondentes: a e e; b e f; c e g; d e h.

    ngulos alternos internos: b e h; c e e.

    ngulos alternos externos: a e g; d e f.

    ngulos colaterais internos: b e e; c e h.

    ngulos colaterais externos: a e f; d e g.

    Note que:

    ngulos correspondentes so congruentes;

    ngulos alternos internos so congruentes;

    ngulos alternos externos so congruentes;

    ngulos colaterais internos so suplementares;

    ngulos colaterais externos so suplementares.

    Dica importante: Nos oito ngulos, temos: agudo = agudo

    obtuso = obtuso e agudo + obtuso = 180

    REAS E VOLUMES DE SLIDOS GEOMTRICOS

    Paraleleppedo:

    rea total: ST = 2(ab + ac + bc).

    Volume: V = abc. Cilindro:

    rea lateral: AL = 2Rh.

    rea total: AT = 2R(R + h).

    Volume: V = R2h.

    90yx

    180yx

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    39

    Questes Propostas

    Questo 75 (COMPERVE)

    Para garantir a acessibilidade e oferecer um acesso mais seguro e confortvel a seus visitantes, uma prefeitura pretende construir uma rampa de acesso ao lado da escada de entrada de um de seus prdios. Para tanto, vai instalar 3 vigas de sustentao: uma (I) a 10 cm do incio da rampa, outra (II) a 90 cm da primeira e a ltima (III) a 80 cm da segunda, como esquematizado na figura abaixo. O comprimento, em metros, da rampa a ser construda nesse prdio de A) 3,50. B) 2,50. C) 3,25. D) 2,25.. Questo 76 (COMPERVE)

    Dois postes, um de 10 m e outro de 6 m, devem ser sustentados, respectivamente, por cabos de ao de comprimentos a e b, conforme ilustra a figura abaixo. Os pontos de fixao F1, F2 e F3 devem ser determinados de modo que a quantidade de cabo de ao seja mnima. A distncia do ponto F2 at a base do poste menor dever ser: A) 10 m. B) 15 m.. C) 20 m. D) 25 m.

    Questo 77 (COMPERVE)

    A Figura abaixo a representao de seis ruas de uma cidade. As ruas R1, R2 e R3 so paralelas entre si. Paulo encontra-se na posio (A) da rua (R1) e quer ir para a rua (R2) at posio (B). Se a escala de representao for de 1:50.000, a distncia, em metros, que Paulo vai percorrer ser de, aproximadamente, A) 1.333.. B) 750. C) 945. D) 3.000. Questo 78 (COMPERVE)

    Como anexo a um Centro de Pesquisa foi construdo um laboratrio. A forma e dimenses do laboratrio so mostradas na figura abaixo: Deseja-se revestir as quatro paredes com azulejos, at o teto. Sabendo-se que cada porta tem 2,00 m2 de rea e a janela possui uma rea de 1,60 m2, a quantidade de metros quadrados de azulejos necessrios para esse propsito A) 24,80. B) 34,20. C) 32,20.. D) 28,40.

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    40

    Questo 79 (COMPERVE)

    A caixa-dgua, com faces retangulares, de um laboratrio, tem capacidade definida pelas dimenses a seguir: 10 metros de largura, 3 metros de comprimento e 3 metros de altura. Por ms, gasto o volume correspondente a 10 caixas-dgua. Considerando-se que o preo de 1 m3 1,36 reais, o preo total da gua consumida em um ms A) 1.350,00 reais. B) 675,00 reais. C) 1.224,00 reais.. D) 612,00 reais. Questo 80 (COMPERVE)

    Uma caixa de gua tem dimenses de 2 m de largura por 3 m comprimento, por 4 m de altura. A capacidade dessa caixa de gua de

    A) 2,4103 litros.

    B) 4,8104 litros.

    C) 4,8103 litros.

    D) 2,4104 litros.. Questo 81 (COMPERVE)

    Uma caixa dgua em forma de cilindro circular reto, de raio da base igual a 5 m e altura igual a 9 m, est completamente cheia de gua. Se a densidade da gua

    de 1 g/cm3 e considerando igual a 3,14, a massa total de gua contida na caixa dgua A) 314.000 kg. B) 706.500 kg.. C) 352.750 kg. D) 605.500 kg.

    Questo 82 (COMPERVE)

    A piscina de uma escola, cujo formato de um paraleleppedo retngulo, tem as seguintes dimenses: 9,00 metros de largura; 22,50 metros de comprimento e 1,50 metros de profundidade. A escola vai revestir internamente a piscina (paredes e fundo) com azulejos de dois tipos diferentes. O preo do metro quadrado para o revestimento das paredes internas de R$ 27,33 e para o do fundo de R$ 19,90. Os dois tipos de azulejos s so comprados em caixas de 2 metros quadrados, no sendo possvel comprar frao de caixa. O valor mnimo que a escola vai gastar para revestir internamente a piscina ser de A) R$ 6.437,72. B) R$ 6.511,19. C) R$ 6.581,82. D) R$ 6.683,28.. Questo 83 (COMPERVE)

    O relgio ao lado marca 8 horas. O menor ngulo formado pelos ponteiros do relgio : A) 100. B) 125. C) 130. D) 120.. Questo 84 (COMPERVE)

    Para armazenar gua da chuva, um agricultor construiu um reservatrio no formato de paraleleppedo retngulo de dimenses seguintes: 10 m de comprimento por 5 m de largura e 4 m de altura. Em determinado momento, o reservatrio estava com gua at uma altura de 3 m. Com a falta de chuva e o calor, 1/5 do volume existente evaporou-se. Alm disso, o agricultor utilizou 60 m3 para consumo. A gua que ficou no reservatrio atingiu uma altura igual a A) 30% da altura do reservatrio.. B) 40% da altura do reservatrio. C) 45% da altura do reservatrio. D) 55% da altura do reservatrio.

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    41

    Questo 85 (COMPERVE)

    Deve ser construdo um estacionamento num Campus do IFRN, em um terreno que forma um barranco, como mostra a Figura abaixo: Para planificar o terreno, ser removida terra do barranco, usando-se um caminho que carrega 6 m3 de terra em cada viagem. Por cada viagem, deve-se pagar R$ 450,00. O custo mnimo pelo servio de remoo de toda a terra do barranco : A) R$ 5.400,00.. B) R$ 10.350,00. C) R$ 7.237,00. D) R$ 3.240,00.

    Tratamento da Informao

    Leitura e interpretao de tabelas e grficos. Mdia aritmtica simples e ponderada. Clculo da probabilidade de ocorrncia de um evento.

    Grficos

    Os grficos so usados frequentemente em jornais, revistas, emissoras de televiso, e seu objetivo apresentar diversas informaes que envolvam dados numricos. Nesta unidade veremos os grficos de segmentos e de barras, estudaremos e estabelecemos relaes entre os dados apresentados, identificando o que eles querem comunicar e quais so as concluses que podemos tirar quando os analisamos. Grficos de Segmentos:

    Exemplo

    Primeiro observe os grficos, depois responda: a) Quantos telefones fixos existiam no Brasil em 1994? E celulares? b) Qual o crescimento percentual desses dois tipos de telefones no perodo de 1997 a 1998? Resoluo: a) 12 milhes de telefones fixos; 600 mil celulares. b)

    Fixos:

    22:1998

    17:1997

    N

    me

    ro d

    e t

    ele

    fon

    es

    (x 1

    00

    0 0

    00

    )

    O AVANO DOS TELEFONES

    0,6 1,26

    2,4

    4

    9

    15

    1994 1995 1996 1997 1998 1999

    12 13,3 14,9

    17

    22

    28,6

    1994 1995 1996 1997 1998 1999

    Competio acelera expanso dos celulares....

    ... enquanto telefonia fixa manteve ritmo de

    crescimento do ano passado

    N

    me

    ro d

    e t

    ele

    fon

    es

    (x 1

    00

    0 0

    00

    )

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    42

    Crescimento percentual:

    inic ialvalor

    iaovarP 294,0

    17

    5

    17

    1722P

    ou

    29,4%.

    Celulares

    9:1998

    4:199725,1

    4

    5

    4

    49P

    ou 125%.

    Grficos de Barras:

    Exemplo:

    (COMPERVE) Numa pesquisa de opinio, feitas para verificar o nvel de aprovao de um governante, foram entrevistadas 1000 pessoas, que responderam sobre a administrao da cidade, escolhendo uma e apenas uma dentre as possveis respostas: tima, boa, regular, ruim e indiferente. O grfico abaixo mostra o resultado da pesquisa. De acordo com o grfico, pode-se afirmar que o percentual de pessoas que consideram a administrao tima, boa ou regular de: A) 28%. B) 65%. C) 71%. D) 84%. Resoluo:

    tima: %131000

    130 , Boa: %52

    1000

    520 ou Regular:

    %191000

    190 .

    Logo: 13% + 52% + 19% = 84%. MDIAS: ARITMTICA, PONDERADA E GEOMTRICA

    Mdia o valor representativo de um conjunto de valores: Mdia Aritmtica Simples:

    n

    xxxxM n321A

    .

    Mdia Aritmtica Ponderada:

    n321

    nn3312211P

    pppp

    pxpxxpxpxM

    .

    Mdia Geomtrica:

    nn321G xxxxM .

    PROBABILIDADE

    Os experimentos cujos resultados podem ser previstos, isto , podem ser determinados antes mesmo de sua realizao, so chamados experimentos determinsticos. Por exemplo, possvel prever a temperatura em que a gua entrar em ebulio desde que conhecidas as condies em que o experimento se realiza. Alguns experimentos, contudo, no so assim previsveis. Por mais que sejam mantidas as mesmas condies, no podemos prever qual ser o resultado ao lanarmos uma moeda. Esses so chamados experimentos aleatrios (em latim alea = sorte). Experimentos aleatrios

    So aqueles que, repetidos em condies idnticas, no produzem sempre o mesmo resultado. As variaes de resultado devido ao que chamamos de acaso.

    A teoria das probabilidades estuda a forma de estabelecermos as possibilidades de ocorrncia num experimento aleatrio.

    Vamos estudar experimentos aleatrios com resultados equiprovveis ou Laplacianos (mesma chance de ocorrncia). Desta forma, define-se: Espao amostral

    o conjunto de todos os resultados possveis de uma experincia aleatria. Indicaremos o espao amostral pela letra maiscula U. Evento

    qualquer subconjunto do espao amostral U. Indicaremos um evento pela letra maiscula A.

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    43

    Probabilidade de um evento

    Dado um espao amostral equiprovvel U e um evento A U, definimos a probabilidade de ocorrncia

    do evento A como sendo: )S(n

    )A(n)A(P .

    Em que: n(A) = nmero de elementos do evento A. n(U) = nmero de elementos do espao amostral U. Que intuitivamente, pode ser interpretado como:

    possveis casos de nmero

    favorveis casos de nmeroadeProbabilid

    Probabilidade do evento complementar

    Se A um evento e __

    A seu complementar,

    ento 1)AP(P(A)__

    .

    1APAP1n(S)

    )An(

    n(S)

    n(A)

    n(S)

    n(S)__

    Exemplo

    Retirando-se uma carta de um baralho normal de 52 cartas, qual a probabilidade de que a carta retirada seja um rei? Resoluo:

    possveis casos de nmero

    favorveis casos de nmeroP(A)

    %69,713

    1

    52

    4P(A)

    Exemplo

    Em um lanamento de dois dados, um preto e outro branco, qual a probabilidade de que os dois nmeros obtidos sejam iguais? Resoluo: U = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

    n(U) = 6 6 = 36. A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} n(A) = 6.

    Assim, %67,166

    1

    36

    6

    n(S)

    n(A)P(A) .

    Probabilidade do Evento Unio

    Dados dois eventos A e B de um espao

    amostral U, dizemos que ocorrer o evento A B (evento unio) ocorrer pelo menos um dos eventos A ou B.

    n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

    Dividindo ambos os membros da equao por n(U), temos:

    n(U)

    B)n(A

    n(U)

    n(B)

    n(U)

    n(A)

    n(U)

    B)n(A

    Ou seja:

    B)P(AP(B)P(A)B)P(A

    Podemos enunciar essa concluso assim:

    A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B dada pela soma da probabilidade de ocorrer A com a probabilidade de ocorrer B, menos a probabilidade de ocorrer os dois eventos (A e B).

    Caso particular: se os eventos A e B so

    mutuamente exclusivos, isto , A B = , P(A B) = 0 a frmula acima se reduz a:

    P(B)P(A)B)P(A

    Exemplo

    Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o nmero 3 ou um nmero mpar? Resoluo:

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    44

    Espao amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(U) = 6 Evento A: obter o nmero 3. A = {3} n(A) = 1 Evento B: obter um nmero mpar. B = {1, 3, 5} n(B) = 3

    Note que: 13 )BA(n}{BA

    Ento,

    B)P(AP(B)P(A)B)P(A

    %.B)P(A

    6

    1B)P(A

    )U(n

    )BA(n

    )U(n

    )B(n

    )U(n

    )A(nB)P(A

    502

    1

    6

    1

    6

    3

    Portanto, a probabilidade de se jogar um dado e se obter o nmero 3 ou um nmero mpar so de 50%. Probabilidade Condicional

    Seja B um evento arbitrrio em um espao amostral U com P(B) > 0. A probabilidade de evento A ocorrer, uma vez que B tenha ocorrido ou, em outras palavras, a probabilidade condicional de A dado B, escrita P(A/B), definida como:

    P(B)

    B)P(A)B/A(Pou

    n(B)

    B)n(A)B/A(P

    P(A/B) lido como probabilidade de A dado B.

    Exemplo

    No lanamento de dado, sabe-se que ocorreu um nmero de pontos menor que 5 na face voltada para cima. Qual a probabilidade de que esse nmero de pontos seja maior que 2? Resoluo: Vamos resolver esse problema de trs modos diferentes.

    1 modo: No lanamento de um dado, o espao amostral U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

    sabido, porm, que nesse caso ocorreu um nmero menor que 5 e que, portanto, o espao