APOSTILA MATEMÁTICA

C.E.B.M.M. - CURSO PREPARATÓRIO /2009.

Prof. ª: Karina Soares 3

MÓDULO I- Conjuntos;- M.D.C. e M.M.C

Conjuntos

A noção de conjuntos é intuitiva. Primitivamente, entende-se por conjuntos todo agrupamento bem determinado de coisas, objetos, pessoas, etc.Ex.: Conjunto das vogais.

Elementos

São os componentes do conjunto.Ex.: No conjunto das vogais, os elementos são: a, e, i, o, u

Tipo de conjuntos

a) Finito: Quando possui um número limitado de elementos:Ex.: a, e, i, o, u 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9b) Infinito: Quando possui um número ilimitado de elementos:Ex.: 1, 3, 5, ... x / x é impar 0, 1, 2, 3, ... x / x é natural

Conjunto Unitário

É o conjunto que possui apenas um elemento.Ex.: Conjunto dos antecessores do número 1.

Formado, apenas, pelo zero.

Conjunto Vazio

È o conjunto que não possui elementos.Ex.: Conjunto do números naturais entre 5 e 6.

ou B=

Conjunto Universo

É o conjunto que admitimos existir para o desenvolvimento de certo assunto em matemática. È representado por U. Ex.: segunda-feira, sexta-feira, sábado é o conjunto dos dias da semana que começam com a letra “s”. Neste caso, o conjunto universo é: U= x/x é dia da semana.

Para relacionar subconjuntos com conjuntos, usaremos os símbolos: (está contido); (não está contido); (contém); (união); (interseção);


Matemática

Exercícios:01. Por extensão o conjunto equivale a:

a) b) c) d)

02. Coloque V ou F e marque a letra que faz a associação correta. Dados os conjuntos:

e :

I- 1C II- 2 B III- 3 A IV- 1 A e 1 B V- 4 C, 4 B e 1 Ba) V, V, F, F, V b) V, F, F, F, V c) V, F, V, F, F d) V, V, V, F, V

03. Se ; , a afirmação correta é:

a) b) c) d)

04. (Col. Naval – 1997) De um grupo de n alunos reprovados, sabe-se que:

12 foram reprovados em Matemática

5 foram reprovados em Física

8 foram reprovados em Química

2 foram reprovados em Matemática e Física simultaneamente

6 foram reprovados em Matemática e Química simultaneamente

3 foram reprovados em Física e Química simultaneamente

1 foi reprovado em Matemática, Química e Física simultaneamente.

Então o número n de alunos desse grupo é:

05. (Col. Naval – 1997) Numa Universidade com x alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55

Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 nas três faculdades. Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade?

a) 304 b) 162 c) 171 d) 154 e)146

Múltiplos de divisores de um Número

DivisibilidadeMúltiplos e divisores de um número.

Dados dois números naturais, se a divisão do primeiro pelo segundo é exata, dizemos que:

o primeiro é divisível pelo segundo (também podemos dizer que o primeiro é múltiplo do segundo);

o segundo é divisor do primeiro ( também podemos dizer que o segundo é fator do primeiro).

Ex.: 12 é divisível por 3 ou múltiplo de 3.

3 é divisor de 12 ou fator de 12.

Critérios de Divisibilidade1)Por 2

Quando o número for par.


Ex.: 350, 1432, 3684, 12956, 136548, etc.

Matemática

2)Por 3 e Por 9

Quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos der um número divisível por 3 ou 9 respectivamente.

Ex.: 504 é por 3 e 9

834 é por 3 mas não é por 9

25434 é por 3 e por 9.Obs . : Todo número divisível por 9 é divisível por 3, mas nem todo número divisível por 3 é divisível por 9.

3)Por 4

Quando terminar em 00 ou quando os dois últimos algarismos da direita formarem um número divisível por 4.

Ex.: 500 é divisível por 4

6532 é divisível por 4

4) Por 5

Quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.

Ex.: 56.320, 136.455, 1.951.300, etc.

5) Por 6

Quando for por 2 e 3 ao mesmo tempo.

16746 é por 2 e 3 , logo também é por 6.

5812 é por 2 mas não é por 3, logo não é por 6.

6) Por 8

Quando terminar em 000 ou quando os três últimos algarismos da direita formarem um número múltiplo de 8.

Ex.: 18000, 1440, 9160, etc.

7) Por 10

Quando terminar em 0

Ex.: 50, 860, 3500, 72000, etc.

9) Por 11

Quando diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par for um número divisível por 11.

Ex.: a) 95568 Si - Sp = 22 - 11 = 11

Si = 8+5+9 = 22 11 é divisível por 11

Sp = 6+5 = 11

b) 2574 Si - Sp = 9 - 9 = 0

Si = 4+5 = 9 0 é divisível por 11

Sp = 7+2 = 9

Decomposição de um número em fatores primos


O processo prático consiste em dividirmos o número por um de seus divisores primos.

Matemática

Ex.:

60 2 30 2 Portanto: 15 3 5 5 1

Divisores de um número

Escreve-se 1 um pouco acima do primeiro fator primo (2).Os divisores são obtidos, a partir de 1, multiplicando-se cada um dos fatores primos pelos

números que vêm à direita do traço, e situados acima dele. Os divisores obtidos, mais de uma vez, não são repetidos. 1 (divisor de todos os números)60 2 230 2 3,6,1215 3 5,10,20,15,30,60 5 5 1Conjunto dos divisores de 60: {1, 2, 3, 4, 6, 12, 5, 10, 20, 15, 30, 60}

Quantidade de divisores de um númeroA quantidade de divisores de um número é obtida somando-se uma unidade aos expoentes de

seus fatores primos e multiplicando os resultados:

Exemplos:

1) Determinar o número de divisores de 72

72 = 23 x 32 (3+1) x (2+1) = 4 x 3 = 12 divisores

2) Determinar o número de divisores de 120.

120 = 23 x 3 x 5 (3+1) x (1+1) x (1+1) = 4 x 2 x 2= 16 divisores

Quantidade de divisores ímpares de um númeroA quantidade de divisores ímpares de um número é obtida somando-se uma unidade aos

expoentes dos fatores primos ímpares e multiplicando os resultados.

Exemplo: 120 = 23 x 3 1 x 5 1

n.º de divisores ímpares = (1 + 1) . (1 + 1) = 4

Logo, 120 tem 4 divisores ímpares.

Quantidade de divisores pares de um númeroA quantidade de divisores pares de um número é obtida somando-se uma unidade aos expoentes

dos fatores primos ímpares e depois multiplicando o resultado pelo expoente do fator primo par.

Exemplo: 120 = 23 x 31 x 51


Matemática

N.º de divisores pares = (1 + 1) . (1 + 1). 3 = 12

Logo, 120 tem 12 divisores pares.

Cálculo da soma dos divisores de um númeroSeja o número composto N = ap x bq x cr, com a, b e c números primos. Podemos calcular a

soma dos divisores de N por:

S = a p+1 – 1 x b q+1 – 1 x c r+1 – 1 a - 1 b – 1 c - 1

Exemplo: 24 = 23 x 31

S = 2 3+1 – 1 x 3 1+1 – 1 = 2 – 1 3 – 1

S = 2 4 – 1 x 3 2 – 1 = 16 – 1 x 9 - 1 1 2 1 2

S = 15 x 4 = 60

S = 15 x 4 = 60

Cálculo do produto dos divisores de um númeroSeja o número composto N. O produto dos divisores naturais de N é obtido extraindo-se a raiz

quadrada de N, e elevando-se o resultado do número de divisores positivos de N:

Exemplo: 12 = 22 x 3

n.º de divisores = (2 + 1) . (1 + 1) = 3 . 2 = 6

P = = 123 = 1728

Máximo Divisor Comum (M.D.C.) e Mínimo Divisor Comum (M.M.C.)

I. Máximo Divisor Comum (M.D.C) em

Determinemos todos os divisores de 60:

D(60) = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}

II. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) em

Determinemos os múltiplos de 9 em - {0}:

M(9) = {9,18,27,36,45,54,63,72,81,...}

Exercícios:01. Um quitandeiro resolveu distribuir 36 laranjas, 60 abacates e 84 cajus, a várias crianças, de modo que cada uma recebesse o mesmo e o menor número possível de frutas de cada espécie. Pergunta-se o número de crianças aquinhoadas, e o número de frutas de cada espécie que recebeu cada criança.


Matemática

02. Três reservatórios têm capacidades de: 1350 litros, 1764 litros e 4356 litros. Para encher cada um deles, uma mesma vasilha foi usada em número exato de vezes. Qual a maior capacidade da vasilha? (em litros)

a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 28

03. De um aeroporto partem três aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro avião faz a rota de ida e volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em 10 dias. Se, num certo dia, os três aviões partirem simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões partirão novamente no mesmo dia?

a) 10 b) 20 c) 25 d) 30

04. João, Antônio e Luís viajam regularmente para Brasília. João viaja de 15 em 15 dias, Antônio, de 12 em 12 dias e Luís, de 6 em 6 dias. Eles viajaram juntos dia 29/12/1997. A viagem seguinte dos três juntos a Brasília foi em:

a) 26/02/1998 b)27/02/1998 c) 28/02/1998 d) 29/02/1998


Matemática

MÓDULO II- Frações;- Razão e proporção (Dízimas);- Números diretamente e inversamente proporcionais

FraçõesUma fração indica uma parte do inteiro. E é representada por dois números separados por um traço. Esses

números são chamados de termos. O termo inferior é o denominador, ele indica em quantas partes o inteiro será dividido e o superior é o numerador e indica quantas partes iremos usar.

Frações Equivalentes São frações que representam a mesma quantidade. Com termos diferentes. Para encontrar frações

equivalentes devemos multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número.

Ex: e são frações equivalentes.

Operações com frações

1) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃOSó podemos somar ou subtrair frações que tenham o mesmo denominador. Se elas não tiverem o mesmo denominador, temos que encontrar frações equivalentes a elas que tenham denominadores iguais.Exs:

a)

b)

2) MULTIPLICAÇÃOPara multiplicar frações devemos multiplicar numerador por numerador de denominador por denominador.Exs:

a)

b)

3) DIVISÃOPara dividir duas frações repetimos a primeira fração e a multiplicamos pelo inverso da segunda.

Ex:

Matemática


4) FRAÇÕES DECIMAISSão frações que tem como denominador 10 ou uma potência de 10.Ex:

; ;

5.1) TRANSFORMAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS EM FRAÇÕES:

a)

b)

c)

5.2) TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÕES DECIMAIS EM NÚMEROS:

a)

b)

c)

Operações com números decimais

1) ADIÇÃO

a) 1,28 + 2,6 + 0,088

+

b) 35,4 + 0,75 + 47

2) SUBTRAÇÃOa) 3,97 – 2,013

-

Matemática

b) 17,2 – 5,146


-

3) MULTIPLICAÇÃOa) 3,49 x 2,5 b) 1,842 x 0,013

4) DIVISÃOa) 1,4 0,05 b) 6 0,015

Dízimas Periódicas

Dízimas Periódicas SimplesA geratriz de uma dízima periódica simples, com parte inteira nula, é uma fração que tem para

numerador o período e para denominador um número formado de tantos noves, quantos são os algarismos do período.Ex:

, ,

Obs: Se o decimal tem parte inteira diferente de zero, soma-se a parte inteira com a geratriz do periódica.Ex:

Dízimas Periódicas Composta A geratriz de uma dízima periódica composta (de parte inteira nula) é uma fração que tem para

numerador a diferença entre o número formado pela parte não-periódica, acompanhada do período e a parte não-periódica, e, para denominador, um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não-periódica.Ex:

Matemática

Exercícios:


I

01. Os do que eu possuo equivalem a R$ 60,00. Qual a quantia que eu tenho?

02. (VUNESP-SP) se uma construção tem 800 de área construída e 1 000 de área livre, então a razão da área construída para a área livre é de:

a) b) c) d)

03. (UF-RJ) Leia a notícia abaixo:

De acordo com essa notícia, o número de mortes no trânsito do Rio, em uma semana, equivale a:a) 18 b) 19 c) 20 d) 21

04. (CEFET-SP) O corpo humano é considerado harmonioso, se a razão entre o comprimento das pernas

e o tronco for . As alternativas abaixo relacionam as medidas de quatro pessoas. Qual é a que

representa uma pessoa de corpo harmonioso?

Razão e proporção

RazõesRazão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo, numa mesma unidade de

medida, com o segundo número diferente de zero.

Escrevemos:

Razão entre a e b;a

b; ou a : b

Lemos:

a está para b (a e b são os termos da razão)

Duas ou mais frações que representam a mesma parte do inteiro são chamadas de frações equivalentes.

Ex.: 1

2 =

2

4,

3

4 =

9

12

Matemática

Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um mesmo número natural diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração considerada:


Uma morte a cada 8 horas no trânsito do Rio.Fonte: Jornal O Globo, edição de 27/1/2002.

Duas razões formam uma proporção quando são equivalentes. Assim: a

b =

c

d (bo e d0) formam

uma proporção. Onde os termos a e c são os antecedentes e os termos b e d são os conseqüentes, a e d são os extremos e b e c são os meios.

Algumas propriedades das Proporções:

1) Propriedade Fundamental das Proporções

a

b =

c

d O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

a d = b c

2)a

b =

c

d a b

a

=

c d

c

3)a

b =

c

d

a b

b

=

c d

d

4)a

b =

c

d a b

b d

= a

b =

c

d

5)a

b =

c

d a c

b d

= a

b =

c

d

6)a

b =

c

d a c

b d

= a

b

2

2 =

c

d

2

2

7) = c

d = = = ...

Quarta ProporcionalDado três números racionais, a, b e c, denomina-se quarta proporcional desses números um

número x, tal que:

a

b=

c

x

Matemática

Exemplo:

Calcular a quarta proporcional dos números 3,10 e 6

Prof. ª: Karina Soares

Ex.:

2

3 =

4

6

2 3

2

=

4 6

4

5

2 =

10

4Ex.:

2

3 =

4

6

2 3

3

=

4 6

6

5

3 =

10

6

Ex.:

2

3 =

4

6

2 4

3 6

= 2

3 =

4

6

6

9 =

2

3 =

4

6

Ex.: 8

12 =

2

3 8 12

12 3

= 8

12 =

8

12 =

2

3

6

9 =

8

12

= 2

3

Ex.:

2

3=

4

6

24

36

.

.=

22

32 =

42

62

8

18=

4

9 =

16

36

= a

b =

c

d = =

14

3

10 =

6

x pela definição de 4a proporcional

3 x = 10 6

3x = 60

x = 20

Terceira ProporcionalDados dois números racionais, a e b, denomina-se terceira proporcional desses números um

número x, tal que:

a

b =

b

x

Exemplo: Calcular a terceira proporcional dos números 2 e 6

2

6=

6

x pela disposição de 3 a proporcional

2 x = 6 6

2x = 36

x = 36

2

x = 18

Nota: Quando os meios são iguais a proporção é chamada contínua. Nesta proporção os meios iguais

recebem o nome de Média Proporcional ou Geométrica, a

b

b

x

Números Proporcionais

Sucessões Diretamente ProporcionaisAs sucessões {3, 4, 5} e {6, 8, 10} são chamadas diretamente proporcionais porque a razão entre

os termos e os termos correspondentes das sucessões é a mesma:

= = =

A razão 1/2 recebe o nome de fator de proporcionalidade.

Sucessões Inversamente ProporcionaisAs sucessões {2, 3, 4} e {18, 12, 9} são chamadas inversamente proporcionais porque o produto

de seus elementos correspondentes é o mesmo.

2 x 18 = 36 3 x 12 = 36 4 x 9 = 36

O número 36 é o Fator de Proporcionalidade. Observe que os elementos de uma sucessão são diretamente proporcionais aos inversos dos termos correspondentes da outra.

Matemática

Exercícios:


01. Resolvendo a proporção 3

4x

=

5

68

12

a) x = 6

5 b) x =

3

5 c) x =

5

3d) x =

1

2 e) x =

2

302.Numa lanchonete, a cada 27 pastéis de carne vendidos, vendem-se 9 de palmito. Num certo dia, foram

vendidos 30 pastéis de carne. Quantos pastéis de palmito foram vendidos nesse dia?

03. (Mack-SP) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior, enquanto a menor dá 100 voltas?

04. João precisa pagar uma dívida de R$ 30,00, outra de R$ 40,00 e uma terceira de R$ 50,00. Como só tem R$ 90,00, resolve pagar quantias proporcionais a cada débito. Quanto receberá o maior credor?

05. Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?

Matemática


MÓDULO III- Porcentagem;

Porcentagem

A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. São exemplos de razões centesimais:

, , ,

Podemos representar as razões centesimais na forma decimal e também em taxas percentuais, como é mostrado a seguir:

Ex. 1.: Vamos calcular 20% de R$ 800,00

800100 x

20

100 x = 20 800

100 x = 16000

x = 16000

100

x = 160

Ex.2: Numa classe de 40 alunos, 36 foram aprovados. Calcule a porcentagem de alunos reprovados.

40

100 =

36

x

40 x = 100 36

40x = 3600

x = 90

aprovados = 90%

reprovados = 100% - 90% = 10%

Ex.3: Na compra de um objeto tive um desconto de R$ 45,00, correspondente a 15% do seu preço. Calcule por quanto estava sendo vendido o objeto.

x100 45

15

Matemática

100

x=

15

45

15 x = 100 45


15x = 4500

x = 4500

15

x = 300

Exercícios:

01. Comprei uma camisa que custava R$ 50,00 e obtive um desconto de 15%.

a) De quanto foi o desconto?

b) Quanto paguei pela camisa?

02. O salário de uma pessoa era R$ 250,00. Quando promovida, passou a ganhar 19,5% a mais. Qual é o novo salário dessa pessoa?

03. Um aparelho de TV de R$ 420,00 fica 38% mais caro se for pago em 8 prestações iguais. O valor de cada prestação é:

a) R$ 19,95 b)R$ 72,45 c) R$ 52,50 d) R$ 92,40

04. Uma mercadoria custava, em outubro R$ 12,00. A partir de novembro do mesmo ano, seu preço sofreu um acréscimo de 23%. Qual foi o valor do aumento e qual o novo preço dessa mercadoria?

05. Na saída de um cinema, 300 pessoas foram entrevistadas para dar sua opinião sobre o filme. Verificou-se que 28% das pessoas não gostaram do filme. Quantas gostaram do filme?

06. (Pedro II – 2007) Observe a matéria a seguir, extraída da Revista Veja, edição 1978, de 18 de outubro de 2006.

UM EXÉRCITO SEM ESTUDO

Quarenta e três milhões de crianças estão sem estudar em todo o mundo por causa de guerras em seu país, segundo relatório divulgado pela ONU. Nos conflitos, escolas são destruídas, muitos professores morrem e, em alguns lugares, alunos são recrutados para a guerra.

Com base nos dados apresentados, responda:a) Qual é o número de habitantes que corresponde à população infantil de Angola?

07. (CEFET) Uma pesquisa do IBOPE ouviu 2.400 telespectadores a fim de saber como estava a audiência do domingo, as 20 horas. O resultado foi o seguinte 5/12 viam o canal A, 11/30 viam o canal B, 7/60 viam o canal C e os restantes estavam com o aparelho desligado. O número de pessoas que não viam televisão naquele horário corresponde aproximadamente a:

Matemática

08. (CEFET) Num concurso com 10.200 candidatos inscritos registraram-se 1.300 ausências as provas e 3.471 reprovações. A porcentagem das aprovações sobre o número de candidatos que efetivamente participaram das provas foi de aproximadamente:


a) 39% b) 45% c) 50% d) 61% e) 75%

09. (Colégio Naval) Certa pessoa pesava 65 kg no dia 1o de setembro. Durante esse mês seu peso diminuiu de 20%. Todavia, durante o mês de outubro, seu novo peso aumentou de 20%. Esta pessoa pesará no dia 1o de novembro quantos quilos?

a) 62 kg b) 61 kg c) 62,4 kg d) 62,3 kg e) 52 kg

10. (CEFET) A produção brasileira de petróleo foi de 200.000 barris diários em 1980, de 240.000 em 1981 e de 300.000 em 1982. Mantendo-se o mesmo crescimento no percentual, a produção de 1983 será:

a) 348.000 b)380.000 c) 390.000 d) 450.000 e)480.000

11. (Pedro II – 2006) enquanto o número total de cheques utilizados no Brasil caiu nos últimos oito anos, o uso de cartões de crédito cresceu cada vez mais. Nas compras dos consumidores domésticos, o cartão já superou o cheque como meio de pagamento e sua participação vem crescendo.

Observe o gráfico sobre o uso de cheques e cartões desde 1996 e sua previsão de uso até 2014.Baseado nos dados apresentados, responda:a) Em que ano o percentual de transações realizados com cheques foi igual ao de realizados com cartões?b) “A utilização de cheques, em números percentuais, sempre diminui ao longo do período observado.” Isto é verdade? Justifique sua resposta. c) Márcia, que prefere usar cheques, comprou um computador no valor R$ 3 500,00 e vai efetuar o pagamento com cheques pré-datados, dividindo este valor em cinco parcelas crescentes. Cada parcela deve sempre exceder a anterior em R$ 200,00.Determine o valor da terceira parcela.

Matemática


MÓDULO IV- Equação do 2º grau;- Inequação

Equação do 2º grau

Dada uma equação na forma , em que a, b e c são números reais, com a 0.A fórmula que permite obter o valor (ou mais valores) de x a partir dos coeficientes a, b e c é

conhecida por Fórmula de Bháskara. Bháscara foi um matemático hindu que, apesar de não a ter descoberto, foi o grande divulgador dessa fórmula.

Exercícios:

01. Resolva as equações do 2º grau, sendo U = R:

a) x2 + 7x = 0b) –3x2 + 9x = 0c) 2x2 + 3x = 0d) (a – 3)2 = 9e) (x + 2)2 = 4

02. A equação de 2º grau que, em R, apresenta 4 e -6 como raízes é:

a) b) c) d)

03. O quíntuplo de um número aumentado do seu quadrado dá 36. Qual é esse número?

04. A soma de um número inteiro com o seu quadrado é igual a 42. Qual é esse número?

InequaçãoAnalise a seguinte situação: “O triplo de um número real somado com 2 é maior do que o dobro

desse número menos 3.”Quais seriam os possíveis valores para esse número? Vamos descobrir.Representando esse número real por x, podemos escrever a desigualdade: 3x+2>2x-3.Dizemos que essa desigualdade é uma inequação.Vamos transformar essa inequação em outra, mais simples, equivalente a ela.

3x+2>2x-33x-2x+2>2x-2x-3 x+2>-3 x+2-2>-3-2 x>-5 S=x>-5

Matemática

Exercícios:


01. O número 3 é solução de qual dessas inequações?

a) 2x-3<3 b) 3x+7<-2 c) x+3>0 d) –x+1>x-1

02. Vamos determinar as soluções da inequação 4x-67x+3, considerando x um número real.

4x-67x+34x-7x3+6-3x9 .(-1)3x-9x-9 3x-3

a) -3x-4-5x+8 b) 3x+12<5(x+1) c) 7x-2(2x+3)5x-3

03. O conjunto verdade em U=R da equação:

04. O valor de x que satisfaz a igualdade é?

Matemática


Lembre-se: quando multiplicamos os dois ‘lados” de uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte.

MÓDULO V- Sistemas;- Expressões

Sistemas de Equações do 1º grau

Exercícios:01. Aplicando o processo de adição, resolva os sistemas R x R:

a)x y

x y

9

5 b) 3 15 4

5 4 17

x y

x y

02. Aplicando o método de substituição, resolva os sistemas em R x R:

a)x y

x y

1

3 2 17 b) 3

2 3 11

x y

x y

03. Um trabalhador foi admitido ao serviço nas seguintes condições: o trabalhador devia receber R$ 100,00 por dia que trabalhasse e pagar a multa de R$ 20,00 cada dia que faltasse. No fim de 30 dias o trabalhador recebeu R$ 2.400,00. Quantos dias trabalhou?

04. Em um supermercado, há pacotes de sabonetes e de xampus, totalizando 650 pacotes. Sabe-se que os sabonetes estão contidos em pacotes com 10 unidades, e os xampus em pacotes com 6 unidades e que o número de sabonetes excede o de xampus em 100 unidades. Quantos sabonetes e xampus existem no total?

05. (Pedro II – 2006) Em 1998, surgiu o primeiro projeto de um carro “bicombustível”, movido a álcool, gasolina ou até mesmo uma mistura dos dois combustíveis. A idéia não foi á frente, na época, devido a preferência pelos carros à gasolina. A partir de 2003, o governo definiu que os usuários de biocombustíveis pagariam menos impostos, tendo os mesmos incentivos dos veículos a álcool. Isso estimulou o projeto e, hoje, mais da metade dos carros são “Total Flex”, ou seja, saem das fábricas com o sistema bicombustível. Agora, é hora da resposta do consumidor aos veículos “inteligentes”, pois ainda há controvérsias sobre o desempenho desses carros.

a) Um carro “Total Flex” foi abastecido com 30 litros de álcool e 10 litros de gasolina, num posto onde o preço do litro de álcool é R$ 1,9*1 e do litro de gasolina é R$2,67. Qual o preço médio da mistura do combustível utilizado?

b) Considere-se o feliz proprietário de um “Total Flex”. Abastecendo-o no posto da esquina, você colocou 25 litros de álcool e 10 litros de gasolina e gastou R$71,00. Na semana seguinte,s em reajuste de preços, você volta ao mesmo posto e coloca 20 litros de álcool e 15 litros de gasolina, gastando R$ 75,00. Qual é o preço do litro de gasolina nesse posto?

Matemática

Sistemas de Equações do 2º grau

01. Resolva os seguintes sistemas:

a) b) c)


02. Achar dois números cuja diferença é 28 e cujo produto é 52.

03. A soma de dois números é 18 e a soma de seus quadrados é 194. Quais são esses números?

04. A soma entre dois números naturais é 10. Se o dobro do maior aumentado do quadrado do menor é igual a 23, calcular os dois números.

Expressões

01. Fazendo o cálculo algébrico de , encontra-se?

02. Fatorando e simplificando a expressão obtemos:

03. A expressão (a + b)(a + b) + ( a – b )(a + b ) é equivalente a:

a) 2a(a + b) b)2a(a – b) c) 2b(a + b) d) 2b(a – b) e) 2a(a + b)2

04. Efetuar e simplificar

05. Simplificar :

06. A expressão onde a b 0, é equivalente a:

Matemática


MÓDULO VI- Circunferência e Círculos;- Triângulos;- Quadriláteros;- Polígonos

Circunferência e círculos

Circunferência – É o lugar geométrico dos pontos, do plano, eqüidistantes a um ponto fixo chamado de

centro.

Raio – Segmento de reta que liga o centro a um ponto da circunferência. (ilustração acima)

Arco – Porção da circunferência limitada por dois de seus pontos distintos.

Corda – Segmento de reta que une dois pontos distintos da circunferência.Diâmetro – É a maior corda da circunferência. Passa pelo centro e é igual a duas vezes o raio.

ou

Flecha – Segmento de reta que é perpendicular à corda e liga o ponto médio do arco correspondente. Seu

prolongamento passa pelo centro da circunferência.

Matemática

Secante - É a reta que corta a circunferência em dois pontos distintos. Se a secante passar pelo centro da

circunferência ela é chamada secante diametral.


Posições relativas entre duas circunferências

1- Interna

é interna a

2- Tangente Interna

é tangente interna a

3- Secantes

é secante a

Matemática

4- Tangente externa


é tangente externa a

5- Externa

é externa a

6- Comprimento de um arco de circunferência

, onde:

em graus

R é o raio do círculo

7- Reta tangente à circunferência

É a reta que toca a circunferência em apenas um de seus pontos (ponto de tangência)

Obs: O raio é sempre perpendicular à tangente, no seu ponto de tangência.

Matemática

8- Segmentos tangentes


Por um ponto P exterior a uma circunferência traçamos as tangentes e . Teremos então

que:

9- Quadriláteros circunscritíveis

Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois de seus lados

opostos é igual à soma dos outros dois.

Exercícios:01. Calcule o comprimento da circunferência cujo raio mede 5cm.

02. Os raios das rodas de um veículo medem cm. Quantas voltas completas uma das rodas dará num

percurso de 1500 m?

Triângulos

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos Acutângulo - possui todos os ângulos internos agudos (I). Obtusângulo - possui um ângulo interno obtuso (II). Retângulo - possui um ângulo interno reto (III).

Matemática

Classificação dos triângulos quanto aos lados

Prof. ª: Karina Soares 27III

A

B C

I

CB

A

CatetoCateto

Hipotenusa CB

A

II

Equilátero - possui os três lados congruentes (I). Isósceles - possui dois lados congruentes (II). Escaleno - possui os três lados com medidas diferentes (III).

Obs1: O triângulo eqüilátero também é eqüiângulo.

Obs2: Em todo triângulo isósceles os ângulos adjacentes a base são congruentes.

Relações Métricas no Triângulo retângulo

Seja o triângulo retângulo ABC , retângulo em Â.

Elementos do Triângulo Retângulo

ÂNGULOS { Â = 900 e B e C agudos. B + C = 900 ---- são complementares

LADOS: AB = c, AC = b (catetos) e BC = a (hipotenusa) h ----- altura relativa à hipotenusa m ----- projeção do cateto c sobre a hipotenusa n ----- projeção do cateto b sobre a hipotenusa

1ª) Em todo o triângulo retângulo o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto entre a medida da hipotenusa e a medida da projeção desse cateto sobre ela.

2a) Em todo o triângulo retângulo o quadrado da medida da altura é igual ao produto entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

3a) Em todo o triângulo retângulo o produto entre as medidas dos catetos é igual ao produto entre as medidas da hipotenusa e da altura relativa à hipotenusa.

Matemática Obs : A hipotenusa a = m + n.


Teoremas de Pitágoras

“Em todo o triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

Se b2 = a.n e c2 = a.m temos que:

b2 + c2 = a.n + a.m ou b2 + c2 = a(m + n) e como m + n = a teremos que:

b2 + c2 = a.a ou

Aplicações do Teorema de Pitágoras

1- Cálculo da diagonal do quadrado

2- Cálculo da altura de um triângulo equilátero

Matemática

OBS: Todo triângulo inscrito numa semi circunferência é retângulo.


A hipotenusa BC é igual a D ( diâmetro),onde r é o raio da circunferência .

Exercícios:

01. Os catetos de um triângulo retângulo medem m e m. Calcular a hipotenusa.

02. A que altura uma escada de 13m de comprimento toco um muro, se o pé da escada está a 5m do pé do muro?

03. Calcule x, sabendo que ABC é um triângulo eqüilátero e que .

Polígonos

Linha poligonal é a linha formada por segmentos consecutivos e não colineares.

Polígono é a região do plano limitada por uma linha poligonal fechada.

Elementos do polígono:

Vértices: A1, A2, ...,An

Lados: A1A2, A2A3, ...,An-1An

Ângulos internos: i1, i2, ..., in

Ângulos externos: e1, e2, ...,en

Diagonal: É o segmento que une dois vértices não consecutivos.

Matemática

NOMES DOS POLÍGONOS


lados Nome

3 Triângulo

4 Quadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

11 Undecágono

12 Dodecágono

15 Pentadecágono

20 Icoságono

Números de diagonaisO número de diagonais de um polígono pode ser determinado pela combinação de n vértices

tomados dois a dois excluindo-se os lados:

, ou seja,

Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de um polígono é determinada pela quantidade de triângulos que

cada polígono pode ser dividido, isto é, unindo-se um único vértice aos outros não adjacentes, em quantos triângulos dividimos um polígono.

No caso do quadrilátero (n=4) temos: ,

porque podemos dividir em dois triângulos.

No caso do pentágono (n=5) temos: ,

porque podemos dividir em três triângulos.

Desta forma podemos generalizar que a soma dos ângulos internos de qualquer polígono poder ser expressa por:Matemática


Soma dos ângulos externosA soma dos ângulos externos de um polígono pode ser determinada utilizando o fato de que em

cada vértice o ângulo interno e o externo são suplementares.

+_______________

, ou seja,

, daí podemos concluir que,

Ou seja, em qualquer polígono a soma dos ângulos externos é sempre igual a 360º.

Polígono RegularÉ o polígono que possui:

Todos os ângulos internos são iguais. Todos os lados congruentes.

Hexágono Regular

Ângulo interno de um polígono regularComo todos os ângulos internos de um polígono regular são iguais, para se determinar a medida

de apenas um deles, basta dividir a soma dos ângulos internos deste polígono por n, ou seja:

, portanto

Ângulo externo de um polígono regular

Matemática


Como a soma de todos os ângulos externos de um polígono é igual a 360º, e no polígono regular todos esses ângulos são iguais, então basta dividir 360º por n para determinar cada ângulo externo de um polígono regular.

Área de polígonos

a) Triângulo.

b) Paralelogramo.

c) Trapézio.

d) Polígono regular.

Exercícios:

01. Calcule o número de diagonais de um decágono.

02. Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.

03. Quanto mede a soma dos ângulos internos de um polígono de 34 lados?

Matemática


a

h 2

h.aS

b

h S = b.h

B

b

h h 2

bBS

.a

, onde:p →é o semi-perímetro

a→ é o apótema

apS

04. Se polígono do exercício anterior for regular, quanto mede o seu ângulo interno?

05. Determine o número de diagonais de um polígono regular convexo cujo ângulo externo vale 24º.

06. A soma dos ângulos internos de um polígono vale 1800º. Qual é esse polígono?

07. (Pedro II – 2008) O quadrilátero abaixo ABCD representa um terreno plano, onde os Ângulos B e D são retos eos lados AD, DC, CB medem, em metros, 30, 40 e 10, respectivamente.

a) Calcule o valor aproximado do perímetro deste terreno. (use )

b) Deseja-se cercar este terreno com um arame inextensível que custa R$ 32,00 o metro. Calcule o custo para cercar este terreno, sabendo que será contornado uma única vez pelo arame.

Matemática


MÓDULO VII- Médias;- Tabelas e gráficos

Médias Média Aritmética (M. A.)

A Média Aritmética entre vários números obtemos adicionando-as e dividindo esta soma pela quantidade de números existentes.

Ex.: A média aritmética entre os números 2; 8 e 5 é:

MA = 2 8 5

3

=

15

3= 5

Média Aritmética PonderadaA média aritmética ponderada é o quociente da soma de dois ou mais valores multiplicados por

determinados valores (pesos) respectivamente para cada termo:

Ex.: Determinemos a média aritmética ponderada entre os números 2, 3 e 6 com pesos 5, 1 e 4, respectivamente:

( ) ( ) ( )2 5 3 1 6 4

5 1 4

x x x

= 10 3 24

10

=

37

10= 3,7

Média geométrica ou Média Proporcional (M. G.)Para calcular a média geométrica de n números devemos multiplicá-los e calcular a raiz índice n

deste produto.

Ex.: A média geométrica ou proporcional entre 4 e 9 é:

4 9x = 36 = 6

Média Harmônica (M. H.) A média harmônica de vários números é o inverso da média aritmética dos inversos desses

números.

Ex1: 3 e 7

11

3

1

72

= 2

1

3

1

7 =

27 3

21

= 2

10

21= 2 x

21

10=

42

10 = 4,2

Ex2.: 2, 3 e 5

11

2

1

3

1

53

= 3

1

2

1

3

1

5 =

315 10 6

30

=331

30= 3 x

30

31=

90

31

Matemática

Obs.: Para calcular a média harmônica entre dois números apenas, podemos utilizar a fórmula:

2. .a b

a b


Exemplo: A média harmônica entre 4 e 6 é:

2 4 6

4 6

x x

=

48

10= 4,8

Obs: Sendo dados os números a, b, c, podemos calcular a média harmônica entre eles, pela expressão:

m.h =

Exercícios:

01. Determine a média aritmética entre 2, .

02. Determine a média aritmética entre e 6.

03. Calcule a média geométrica entre 9 e 16.

04. (Colégio Naval) Achar a média aritmética de dois números, sabendo que a média geométrica entre esses números é 5 e a média harmônica é 4.a) 12,5 b) 16 c) 6,5 d) 6,25 e) 25

05. Na cantina de uma escola, o suco de maracujá é feito misturando-se 30 copos de polpa de maracujá, a R$ 0,60 o copo, com 120 copos de água mineral, a R$ 0,40 o copo. O preço de custo de cada copo de suco de maracujá é:

a) R$ 0,40 b) R$ 0,50 c) R$ 0,44 d) R$ 1,00

Tabelas e Gráficos

Em jornais e revistas, os resultados numéricos referentes a uma reportagem ou a uma pesquisa são representados aos leitores por meio de gráficos estatísticos. Esses gráficos evidenciam de forma visual atraente os dados e informações que contém ou que querem transmitir.

Gráfico de colunas:

No Informe Estatístico do MEC representado no gráfico de colunas ao lado, fica evidente o crescimento do número de jovens que concluíram o ensino fundamental e médio no Brasil.

Matemática

Gráfico de Linhas ou segmentos:


O gráfico ao lado representa o faturamento de uma microempresa ao longo do 1º semestre de um ano.

Gráfico de setores:

O gráfico de setores ao lado representa a marca de carro que mais está sendo vendida no Brasil.

Exercícios:

01. Observe o gráfico abaixo:

a) Que tipo de gráfico é esse?b) Os dados estão em números absolutos ou percentuais?

Matemática


02. Foi feita uma pesquisa com 4000 pessoas sobre preferência por cinema, teatro ou concertos musicais. Cada participante só podia ter uma opção. Tabulados dos dados, veja o resultado da pesquisa em um gráfico:

Com base nos dados do gráfico, responda:a) Quantas pessoas escolheram cinema?b) Quantas pessoas optaram por teatro?c) Quantas pessoas preferiram concertos musicais?d) Quais são os ângulos dos setores correspondentes a cada percentual?

03. Utilizando o gráfico de setor do exercício anterior, construa:

a) tabela;b) gráfico de barras;c) gráfico de colunas.


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