1. 1. Cincias Contbeis Disciplina : Matemtica Bsica para Contadores Professora Maria Ester Domingues de Oliveira
2. 2. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Parte I 2009/1 2
3. 3. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Unidade 1 - Nmeros Reais: representaes O principal motivo para que a maioria dos cursos de Clculo comecem por um breve estudo dos nmeros reais o fato de no Clculo e na Anlise, estuda-se o comportamento de funes e o comportamento de uma funo depende dos trs elementos importantes que a compem: nmeros Reais, nmeros Racionais e nmeros irracionais. Representao do conjunto dos nmeros reais Para entendermos os nmeros Reais, deveremos primeiro estudar os nmeros, racionais e os nmeros irracionais, uma vez que o mesmo composto por estes dois conjuntos numricos. R = Q U I Os nmeros reais so nmeros usados para representar uma quantidade contnua (incluindo o zero e os negativos). Nmeros Naturais (N) O conjunto de nmeros naturais representado pela letra N e compostos por nmeros inteiros e positivos, alm do zero. indicado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} O smbolo N* usado para indicar o conjunto de nmeros naturais, sem o zero: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} Nmeros Inteiros (Z) O conjunto dos nmeros inteiros, representado pela letra Z, o conjunto dos nmeros naturais acrescido dos seus opostos negativos. Pode-se dizer que os nmeros inteiros expressam quantidades (inteiros positivos) e a "falta" de quantidades (inteiros negativos). 2009/1 3
4. 4. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira O Conjunto dos Nmeros Inteiros indicado por Z: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, ...} O smbolo Z* usado para indicar o conjunto de nmeros inteiros, sem o zero, ou seja: Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Como todos os nmeros naturais tambm so nmeros inteiros, dizemos que N um subconjunto de Z ou que N est contido em Z: N Z Alguns nmeros inteiros apresentam uma srie de caractersticas que os diferenciam de outros inteiros e que torna possvel agrup-los em subconjuntos. Veja alguns exemplos: Nmeros Primos So chamados de primos os inteiros diferentes 1 que s so divisveis por 1 e por ele mesmo ex: 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, etc. Nmeros Racionais (Q) Quando dividimos um nmero inteiro (a) por outro nmero inteiro (b) obtemos um nmero racional. Todo nmero racional sempre representado por uma parte inteira e por uma parte fracionria, a / b, Por exemplo: Se a=6 e b=2, obtemos o nmero racional 3,0. Se a=1 e b=2, obtemos o nmero racional 0,5. Ambos tm um nmero finito de casas aps a vrgula e so chamados de racionais de decimal exata. Existem casos em que o nmero de casas aps a vrgula infinito. Por exemplo, a=1 e b=8 nos d o nmero racional 0,666666... a chamada dzima peridica. Podemos considerar que os nmeros racionais englobam todos os nmeros inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os nmeros inteiros. Q = {a/b | a Z e b Z*}, ou seja, o denominador deve sempre ser diferente de zero. O smbolo Q* usado para indicar o conjunto dos nmeros racionais sem o 2009/1 4
5. 5. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira zero: Q* = Q - {0} Como todos os nmeros inteiros tambm so nmeros racionais, dizemos que Z um subconjunto de Q ou que Z est contido em Q: Z Q E, como j foi visto acima, todos os nmeros naturais tambm so nmeros inteiros. Ento, N Z Q Nmeros Irracionais (I) Quando a diviso de dois nmeros tem como resultado um nmero com infinitas casas depois da vrgula que no se repetem periodicamente, obtemos um nmero chamado de irracional. No possvel situar um nmero irracional como um ponto numa reta. O nmero irracional mais famoso o pi (), inicial da palavra grega que significa periferia, circunferncia. Nos dias de hoje, j so conhecidos mais de 1 bilho de casas aps a vrgula para este nmero graas aos computadores e matemticos de nossa poca ( = 3.1415926535897932384626433832795...) Nmeros Reais (R) Como j foi dito anteriormente, o conjunto formado por todos os nmeros racionais e irracionais o conjunto dos nmeros reais, indicado por R. Como todo nmero natural inteiro, como todo nmero inteiro racional e como todo nmero racional real, temos: N Z Q R Indicamos por R* o conjunto de nmeros reais sem o zero, ou seja, R* = R - {0} 2009/1 5
6. 6. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Unidade 2 - Expresses Literais Expresses Literais, tambm chamadas de expresses algbricas, so expresses matemticas que apresentam letras e podem conter nmeros. Por exemplo: A = 5a+3b B = (8c+4)-2 C = 15c+4a As letras nas expresses so chamadas variveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituda por um valor numrico. Prioridade das operaes numa expresso Literal Observaes quanto prioridade: 1 Deve-se sempre realizar a operao que estiver dentro dos parnteses, colchetes ou chaves. 2 A multiplicao pode ser indicada por ou por um ponto ou s vezes sem sinal, desde que fique clara a inteno da expresso. Muitas vezes devemos utilizar parnteses quando substitumos variveis por valores negativos Tambm devem ser obedecidas algumas propriedades em uma expresso Literal, onde devemos obedecer a seguinte ordem das operaes: 1 Resolver primeiro Potenciao ou Radiciao; 2 a seguir, as Multiplicaes ou Divises; 3 ento ser a vez das Adies ou Subtraes. Exemplo 1 Consideremos : T=2B+15 e tomemos B=5. Assim, T = 2.5+15 = 10+15 = 25 2009/1 6
7. 7. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Aqui B a varivel da expresso, 5 o valor numrico da varivel e 25 o valor numrico da expresso indicada por T. Observe que ao mudar o valor de B para 15, teremos: T = 2.15 + 15 = 30 + 15 = 45 Se B=15, o valor numrico de T=2B+15 igual a 45. Exemplo 2 Seja P = 3C-5+B+7 e tomemos C=5 e B=2. Assim: P = 3.5- 5+2+7 = 15-5+2+7 = 19 Se C=5 e B=2, o valor numrico de P = 3C-5+B+7, muda para 19. Exemplo 3 Seja Y=20-W+10+Q+8W, onde W = -2 e Q=1. Ento: Y = 20-(-2)+10+1+8(-2) = 20+2+10+1-16 = 33-16 = 17 Se W = -2 e Q=1, o valor numrico de Y=20-W+10+Q+8W 17 Exemplo 4 Consideremos Q=2T+10 e tomemos T=5. Assim Q = 2(5) + 10 Q = 10 + 10 Q = 20 Aqui T a varivel da expresso, sendo 5 o valor numrico da varivel e 20 o valor numrico da expresso indicada por Q. Observe que ao mudar o valor de Q para 9, teremos: Q = 2(9) + 10 Q = 18 + 10 Q = 28 Quando T=9, o valor numrico de Q=2T+10 igual a 28. Concluso: O valor numrico de uma expresso algbrica o valor obtido na expresso quando substitumos a varivel por um valor numrico. 2009/1 7
8. 8. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Unidade 3 - Funo do 1 Grau Definio Chama-se funo do 1 grau, ou funo afim, a qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0. Tambm podemos representar a funo de 1 grau da seguinte forma: y = f(x) , portanto y = ax + b Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chamado de coeficiente angular ou coeficiente de x e o nmero b chamado termo constante ou coeficiente linear. Veja alguns exemplos de funes do 1 grau: f(x) = 8x - 2, onde a = 8 e b = - 2 f(x) = -5x - 4, onde a = -5 e b = - 4 f(x) = 9x, onde a = 9 e b = 0 Exemplo 1 A relao entre o preo de venda e a quantidade vendida de um produto dada pela equao: Q = 100 4p. Determinar a quantidade de produtos vendidos para p = R$ 15,00. Soluo: Q = 100 4p para p=R$15,00 Q = 100 4(15) Q = 40 ou seja, quando o preo estabelecido pelo produto do modelo for de R$15,00, a quantidade de produtos vendidos ser de 40 unidades. E Exemplo 2 A relao entre o preo de venda e a quantidade vendida de um produto dada pela equao: Q = 80 2p. Determinar a quantidade de produtos vendidos para p = R$ 10,00. Soluo: 2009/1 8
9. 9. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Q = 80 2p para p = R$ 10,00 Q = 80 2(10) Q = 60 ou seja, quando o preo estabelecido pelo produto do modelo for de R$10,00, a quantidade de produtos vendidos ser de 60 unidades. Exemplo 3 O custo total de produo de um determinado bem consiste em um custo fixo de R$ 300,00 somado a um custo varivel de R$ 120,00 a unidade produzida. A lei, frmula ou modelo que representa a relao existente entre o custo total de produo (C) e a quantidade de bens produzidos (q) desta produo: C = 300 + 120.q Qual o Custo Total de produo deste bem se forem produzidos 80 bens? Soluo: C = 300 + 120q C = 300 + 120(80) C = 300 + 9600 C = R$ 9900,00 Grficos de uma funo de 1 grau crescente e decrescente Funo Crescente Quando na funo y = ax+ b o coeficiente angular a > 0, ou seja, for positivo, teremos um grfico chamado crescente, onde quando x aumenta de valor, y tambm aumenta de valor .y = x+1 ( a> 0 ) ; 2009/1 9
10. 10. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira A funo considerada crescente, pois conforme os valores de x crescem, os valores de y crescem tambm. Funo Decrescente Porm, quando na funo y = ax+ b o coeficiente angular a < 0, ou seja, for negativo, teremos um grfico chamado decrescente, onde quando x aumenta de valor, y diminui de valor. y = -x+1 ( a R$ 5,52 X --------> R$ 126,96 5,52x = 126,96 X = 126,96 / 5,52 2009/1 23
11. 24. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira X = 23 m Cenrio 2: 1m --------> R$ 4,60 X ---------> R$ 126,96 4,60x = 126,96 X = 126,96 / 4,60 X = 27,60 Temos ento: 23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preo maior) 27,6 ---------> x (Total do metro encontrado com preo menor) 23x = 100 x 27,6 23x = 2760 X = 2760 / 23 X = 120% Desta forma: 120% - 100% = 20% Ento a resposta correta da questo acima a letra b. Exemplo 4 Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 2009/1 24
12. 25. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Exemplo 5 Se eu comprei uma ao de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equao, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relao a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. 2009/1 25
13. 26. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Unidade 7 Progresso Geomtrica Definio: Entenderemos por progresso geomtrica - PG - como qualquer seqncia de nmeros reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razo toda seqncia em que cada termo, a partir do segundo, igual ao seu antecessor multiplicado por um nmero constante q (razo). Uma progresso Geomtrica pode ser chamada tambm pelo apelido de P.G. Veja a sucesso de nmeros abaixo. Dica: esta sucesso uma Progresso Geomtrica. Vejamos o que um P.G: 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, ...,2621440 Observe o seguinte: Cada nmero o dobro do nmero que vem antes. Veja: 10 o dobro de 5 20 o dobro de 10 40 o dobro de 20 80 o dobro de 40 160 o dobro de 80 e assim por diante. A diviso de qualquer um dos nmero da Sucesso pelo nmero que vem antes (que se chama antecessor), d como resultado o mesmo nmero que neste nosso caso o nmero 2. 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, ..., 2.621440 Quando temos uma sucesso onde ocorre esta propriedade, dizemos que esta sucesso uma Progresso Geomtrica ou, como j vimos, simplesmente uma P.G Obs: O resultado da diviso de qualquer um dos termos pelo seu antecessor (o que vem antes) a razo da P.G Exemplos: (2, 4, 8, 16) 4 = 2.2 8 = 4.2 a razo 2. 16 = 8.2 (3, 9, 27, 81) 2009/1 26
14. 27. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira 9 = 3.3 27 = 9.3 a razo 3. 81 = 27.3 (1, 2, 4, 8, 16, 32,...) uma PG de razo 2 (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,...) uma PG de razo 1 (100, 50, 25,...) uma PG de razo 1/2 (2, -6, 18, -54, 162, ...) uma PG de razo -3 Frmula do Termo Geral: A frmula do termo geral da P.G. assim como da P.A. permite-nos determinar um termo qualquer da P.G., sem precisar escrev-la completamente, conhecendo apenas o primeiro termo e a razo da progresso geomtrica. an = a1 . qn - 1 Na frmula: an = termo geral; a1 = primeiro termo; q = razo; n = nmero de termos. 10 20 40 80 160 320 ... 2.621440 a1 a2 a3 a3 a4 a5 a6 ... an Observe que cada termo da sucesso tem um uma posio. Assim, o 5 o primeiro elemento que chamamos de a1. O 10 o segundo elemento, que chamamos de a2 O 20 o terceiro elemento, que chamamos de a3 e assim por diante. O ltimo elemento o 2.621440 que chamamos sempre de an Propriedades Principais 2009/1 27
15. 28. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira P1 - em toda PG, um termo a mdia geomtrica dos termos imediatamente anterior e posterior. Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G) Temos ento: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc. P2 - o produto dos termos eqidistantes dos extremos de uma PG constante. Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G) Temos ento: A . G = B . F = C . E = D . D = D2 Exemplo 1 Achar o sexto termo da PG (1, 4...). Soluo: a1 = 1, q = 4 e n = 6 an = a1 . qn-1 a6 = 1 . 46 - 1 a6 = 1 024 Exemplo 2 Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o dcimo termo. Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o dcimo termo, ou seja, a10, utilizamos a frmula Geral: a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024 INTERPOLAO GEOMTRICA 2009/1 28
16. 29. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Da mesma forma que em P.A., inserir k meios geomtricos entre dois termos extremos a e b de uma P.G. significa obter uma P.G. com k + 2 termos. Exemplo 3 Interpole quatro meios geomtricos entre 4 e 128. Exemplo 4 Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente igual a 20 e o oitavo termo igual a 320. Qual a razo desta PG? Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Da, vem: 320 = 20.q4 Ento q4 =16 portanto q = 2. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA A soma dos termos de uma progresso geomtrica de n termos dada por: 2009/1 29
17. 30. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Observao Para uma P. G. constante (q = 1), a soma dos n termos dada por: Sn = n . a1 Exemplo 5 Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (1, 3, 9, 27, 81...). SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA Neste tpico, observaremos que para um nmero infinito de termos, o ltimo termo tender a se anular. A soma dos infinitos termos dessa P. G. dada por: Exemplo 6 Calcule a soma dos termos da P. G. (2, 1, 1/2, 1/4...). 2009/1 30
18. 31. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Soluo: Temos: a1 = 2 , q = 1/2 A soma dos termos dessa P. G. infinita : Referncias bibliogrficas: 2009/1 31
19. 32. Matemtica para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira BONORA JR, D. ; BARONE, M. A. et al. Matemtica: Complementos e Aplicaes nas reas de Cincias Contbeis, Administrao e Economia. 4 Edio So Paulo: cone 2006 SILVA, S. M. , E. M. Matemtica: para os cursos de economia, administrao, cincias contbeis. Vol 1. So Paulo: Atlas, 1999. SILVA, S. M. , E. M, SILVA. Matemtica Bsica para Cursos Superiores. Editora Atlas, So Paulo, 2002 HARIKI, S., ABDOUNUR, O.J. Matemtica Aplicada: Administrao, Economia, Contabilidade. So Paulo Saraiva 1999 SILVA, S. M. , E. M. Matemtica Bsica para Cursos Superiores. So Paulo: Atlas, 2002. ABDONOUR, O Joo. Matemtica Estudo e Ensino I. So Paulo ABDONOUR, O Joo, HARIKI,S. - Matemtica Aplicada administrao , economia e Contabilidade. Editora Saraiva, 2003 - So Paulo Teixeira, J; Pierro, S. Matemtica Financeira Makron Books 1998IFRAH, Georges. Histria Universal dos Algarismos, tomo 2. Ed. Nova Fronteira, Rio de Janeiro 1997. ISBN 85-209-1046-7 SILVA, S. M. , E. M. Matemtica: para os cursos de economia, administrao, cincias contbeis. Vol 1. So Paulo: Atlas, 1999SILVA, S. M. , E. M. Matemtica Bsica para Cursos Superiores. So Paulo: Atlas, 2002 ZANINI, R. lista de exerccios de Matemtica. So Paulo, 2007GIOVANNI, J.R.;BONJORNO, J.R. Matemtica: uma nova abordagem.Vol. 1: verso progresses. So Paulo: FTD, 2000ZANINI, R. Apostila SEPI (Administrao de Empresas): Matemtica. So Paulo,2007 Danielle de Miranda Graduada em Matemtica-Equipe Brasil Escola - www.brasilescola.com Wikipedia - http://pt.wikipedia.org www.somatematica.com.b http://pessoal.sercomtel.com.br/ www.exatas.mat.br/ www.portaltosabendo.com.br www.colegioweb.com.br http://www.interaula.com 2009/1 32