MATEMÁTICA - Apostila de Matemática Financeira 1

IEBP - INSTITUTO EDUCACIONAL O BOM PASTOR www.iebp.pro.br

Professor V. Filho

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Centro de Ciências Exatas Ano LetivoDepartamento de Matemática 2012

PLANO DE CURSO DA DISCIPLINACódigo Nome

MAT 002 Matemática Financeira

Curso Período Administração de Empresas 3°

Carga Horária Oferta Semestre Habilitação(ões)T P Total Anual 1º

20 40 60 Semestral 1º xxxxx

1. EMENTAOperações Comerciais: Porcentagem; acréscimos; descontos e taxa de lucro. Operações Financeiras: Juros simples e compostos; Descontos simples e compostos; taxa de juros real–inflação; Séries de Pagamentos; Sistemas de Amortizações; Depreciação.

2 - OBJETIVO(S)Ao final desta disciplina os alunos serão capazes de lidar com os conteúdos listados na ementa em situações práticas, solucionando problemas dentro do curso; utilizar o conteúdo aprendido de forma a facilitar a aprendizagem em situações de mercado.

3 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO / CRONOGRAMA1. Operações comerciais 1.1. Porcentagem.1.2. Acréscimos.1.3. Descontos.2. Operações financeiras (abril)2.1. Juros simples.2.2. Juros compostos. 2.3. Descontos simples.2.4. Descontos compostos.

3. Taxa de juros real

4 METODOLOGIA

4.1 Procedimentos de Ensino1. Aulas expositivas, teóricas com recursos de quadro e giz.2. Aulas práticas com recursos de planilhas e a calculadora HP12C.3. Listas de exercícios – resolução.

4.2 Atividades DiscentesParticipação em sala, freqüência, resolução de atividades propostas sobre cada assunto.

Professor. V. Filho - Matemática Financeira Curso Administração/ Ciências Contábeis |

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5 FORMAS E CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO1. Duas avaliações.2. Resolução de exercícios.3. A média será M=(N1+N2+N3)/3 onde N1 e N2 é a primeira e segunda nota N3 a

terceira nota.4. Poderá ser realizada uma prova substitutiva, dependendo de acordo que possa

ser feito com a turma.

6 BIBLIOGRAFIASODRÉ, Ulysses Matemática Comercial e Financeira Departamento de Matemática, UEL, 2008.Estudar a área Financeira na Página Matemática Essencial localizada no link: http:/www.mat.uel.br/matessencial/

Prof. V. FilhoProfessor responsável pela disciplina

Assinatura do Chefe do Departamento Assinatura do Professor


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SUMÁRIO

1.RAZOES E PROPORÇÕES...........................................................................................03

2.GRANDEZAS PROPORCIONAIS................................................................................05

2.1.diretamente proporcionais............................................................................................05

2.2.inversamente proporcionais.........................................................................................06

3.DIVISÃO PROPORCIONAL.........................................................................................07

3.1.Divisão em partes diretamente proporcionais..............................................................07

3.2.Divisão em partes inversamente proporcionais...........................................................08

3.3.Divisão proporcional composta...................................................................................09

4.REGRA DE SOCIEDADE.............................................................................................10

4.1.Regra de sociedade simples.........................................................................................10

4.2.Regra de sociedade composta......................................................................................11

5.REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA..............................................................12

6.PORCENTAGEM...........................................................................................................15

7.OPERAÇÕES COMERCIAIS QUE UTILIZAM PORCENTAGENS..........................17

7.1.Vendas com lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda...........................17

7.2.Vendas com prejuízo sobre o preço de custo e sobre o preço de venda......................18

8.DESCONSTOS E AUMENTOS SUCESSIVOS E SIMULTÂNEOS...........................20

9.CÂMBIO: OPERAÇÃO CAMBIAL, ÁGIO E DESÁGIO............................................23

10.Sistemas de capitalização..............................................................................................24

10.1.Sistema de capitalização simples...............................................................................25


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1.RAZÕES E PROPORÇÕES:

Revisar o estudo de proporções é neste momento muito importante, já que todos os temas a serem trabalhados neste semestre se baseiam nas grandezas proporcionais. Mas para compreendermos o que é uma proporção, necessitamos, primeiramente, recordar o conceito de razão em Matemática.

1.1.Razão:

Você já deve ter ouvido expressões como: “De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos”, “De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática”, “Um dia de sol para cada dois dias de chuva”. Em cada uma dessas frases está sempre clara a comparação entre dois números. No primeiro caso, destacamos 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2. Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado razão.Temos, então:

1) De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. Razão = =

2) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão = =

3) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = 1/2

Portanto, razão entre dois números a e b (com b ≠0) é o quociente entre a e b.

Indica-se: ou a : b e lê-se a para b.

O número a é chamado antecedente e o número b, conseqüente.

Exemplos:

1. A razão de 3 para 12 é: = 1/4

2. A razão de 20 para 5 é: = 4

3. A razão de 5 e 1/2 é = 5 . = 10

ATIVIDADES:

1.Calcule a razão entre as grandezas:

a) 256 e 960 b) 1,25 e 3,75 c) 5 e 1/3 d) 1/2 e 0,2 e) 27 m³ e 3 l de álcool

f) 24 Kg e 80 000 g g) 40 g e 5 cm³ h) 20 cm e 4 dm i) 20 d e 2 me 15 d


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2.No vestibular de 2010 do IEBP concorreram, para 50 vagas da opção Administração,150 candidatos.

Qual a relação candidato vaga para essa opção?

3.Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 1 116 litros de água. A segunda contém 1 155 litros de álcool e 5 775 litros de água. Qual das duas soluções tem maior teor alcoólico?

4.Numa prova de matemática, um aluno acertou 20 questões e errou 5. Escreva a razão entre:a) o número de acertos e o número de questõesb) o número de acertos e o número de erros

1.3.Proporção:

Existem situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser expressas por razões com antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o mesmo quociente. Assim, ao dizer que de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em 80.

Escrevemos: =

A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção.Portanto:

Dadas duas razões a/b e c/d com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se a/b = c/d

A proporção também pode ser representada como a : b : : c : d * Lê-se: a está para b assim como c está para d

* a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios.

Propriedade fundamental das proporções:

Exemplo:

= 2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36

Transformações de uma proporção:

Transformar uma proporção é escrever seus termos em uma ordem diferente de modo que a

igualdade dos produtos dos meios e extremos não sofra alteração.


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Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e vice-versa.


Exemplo:

Dada a proporção 5/8 = 20/32, podemos transformá-la :

alternando os extremos: 32/8 = 20/5 32 . 5 = 8 . 20 160 = 160 alternando os meios: 5/20 = 8/32 5 . 32 = 20 . 8 160 = 160 invertendo os termos; 8/5 = 32/20 8 . 20 = 5 . 32 160 = 160 transpondo as razões: 20/32 = 5/ 8 20 . 8 = 32 . 5 160 = 160

Propriedade fundamental para série de razões iguais ( ou proporção múltipla):

Exemplo:

= ou ou ou

ATIVIDADES:

1.Verificar se são ou não proporções as seguintes igualdades:

a) 4/15 = 72/270 b) 0,75/ 0,25 = 3 c) = d) =

2.Encontrar o valor de x nas proporções:

a) x/20 = 4/10 b 12/121 = 6/x c) =

3.Escreva quatro proporções utilizando os números 3,4, 6 e 8.

4.Calcular x e y na proporção x/7 = y/12, sabendo que x + y = 76.

5.Na série de razões x/10 = y/120 = z/14, calcular x, y e z, sabendo que x + y + z = 88.


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Em uma série de razões iguais , a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente.


2. GRANDEZAS PROPORCIONAIS:

A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas de tal forma que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra.

Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo numa construção depende do número de operários empregados. O salário está relacionado aos dias de trabalho.

A relação entre duas grandezas estabelece a lei de variação dos valores de uma em relação à outra. Existem dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: a proporção direta e a proporção inversa.

2.1. PROPORÇÃO DIRETA OU GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:

Se analisarmos duas grandezas como trabalho e remuneração, velocidade média e distância percorrida, área e preço de um terreno, altura de um objeto e comprimento da sombra projetada ..., veremos que aumentando ou diminuindo uma delas a outra também aumenta ou diminui.

Então:

Exemplo 1:

Um grupo de pessoas se instalou num acampamento que cobra R$ 10,00, a diária individual. Veja na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária.

Número de pessoas 1

2

4 5 10

Despesa diária 10,00 20,00 40,00 50,00 100,00

Percebemos que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa. É, portanto, uma proporção direta. As grandezas número de pessoas e despesa diária são diretamente proporcionais, ou seja, a razão entre o número de pessoas e despesa diária são iguais:


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Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão. As razões de cada elemento da primeira por cada elemento correspondente da segunda são iguais, ou seja, possuem o mesmo coeficiente de proporcionalidade.


1/10 = 2/20 = 4/40 = 5/50 = 10/100 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10

Exemplo 2:

Os números 3, 10 e 8 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessa ordem, porque possuem a mesma razão ou o mesmo coeficiente de proporcionalidade:

3/ 6 = 10/20 = 8/16

1/2 = 1/2 = 1/2

2.2. PROPORÇÃO INVERSA OU GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:

Se analisarmos duas grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a mesma tarefa, velocidade média e tempo de viagem, número de torneiras e tempo para encher um tanque..., veremos que aumentando uma grandeza , a outra diminuirá.

Então:

Exemplo 1:

Suponhamos que no exemplo analisado na folha anterior (razão direta), a quantia gasta pelo grupo de pessoas seja sempre R$ 200,00. Então, o tempo de permanência do grupo dependerá do número de pessoas. Analise a tabela:

Número de pessoas 1 2 4 5 10

Tempo de permanência (dias) 20 10 5 4 2


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Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo ) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão. As razões de cada elemento da primeira pelo inverso de cada elemento correspondente da segunda são iguais. Em outras palavras, duas grandezas são inversamente proporcionais quando os elementos da primeira grandeza forem diretamente proporcionais ao inverso dos elementos da segunda grandeza.


Percebemos que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá à metade. É, portanto, uma proporção inversa. As grandezas número de pessoas e número de dias são inversamente proporcionais. A razão entre o número de pessoas é igual ao inverso da razão do tempo de permanência:

= 20

Exemplo 2:

Os números 9, 6 e 2 são inversamente proporcionais aos números 4, 6 e 18, nessa ordem, porque a razão entre cada elemento da primeira sucessão e o inverso do elemento correspondentes na segunda sucessão são iguais.

= 16

ATIVIDADES:

1.Verificar se os números 18, 6 e 3 são ou não diretamente proporcionais aos números 6, 2 e 1.

2.Verificar se os números da sucessão (30,24,20) são ou não inversamente proporcionais aos números da sucessão (4,5,6)

3.Encontrar x e y, sabendo que os números 20, x, y são diretamente proporcionais aos números 4, 2 e 1.

4.Encontrar x, y e z sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente proporcionais com coeficiente de proporcionalidade igual a 36.

5.O número de dias gastos na execução de uma obra é direta ou inversamente proporcional ao número de máquinas empregadas na obra? Por que?

3.DIVISÃO PROPORCIONAL:

3.1.Divisão em partes diretamente proporcionais:

Duas pessoas, A e B, trabalharam numa determinada tarefa, sendo que A trabalhou durante 6 horas e B durante 5 horas. Como elas irão dividir com justiça R$ 660,00 que serão pagos por essa tarefa?

Na verdade, o que cada uma tem a receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto durante a realização da tarefa. Portanto:


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Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número.


No problema acima, devemos dividir 660 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5, que são

as horas que as pessoas A e B trabalharam.Chamamos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. Então:x + y = 660 e x/6 = y/5Aplicando as propriedades de proporção que vimos em aulas anteriores, podemos resolver :

= = =

Onde:

= =

x = 360 y = 300

Concluindo, A deve receber R$ 360,00, enquanto B receberá R$ 300,00.

3.2.Divisão em partes inversamente proporcionais:

E se tivéssemos que efetuar uma divisão em partes inversamente proporcionais?

Por exemplo: Duas pessoas A e B trabalharam durante um mesmo período para fabricar e vender por R$ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, como efetuar essa divisão com justiça?

O problema agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, pois deve ser levado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receber menos.

Nesse problema, temos que dividir 160 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, que são os números de atraso de A e B. Para realizar essa divisão, chamaremos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber.

x + y = 160

= = x = 100 = y = 60

Concluindo, A deve receber R$ 100,00 e B receberá R$ 60,00.

ATIVIDADES:

1.Dividir 720 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 8. (160,240,320)

2.Dividir o número 260 em parte inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. (120, 80 e 60)


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Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos desses números dados.


3.Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de trabalho? (84 e 96)

4.A Federação Brasileira de futebol resolveu distribui prêmios num total de 320.000,00 para os quatro

jogadores brasileiros que tiveram o melhor ataque durante a Copa do Mundo, ou seja, para aqueles que

fizeram o maior número de gols na razão direta desses gols. Os jogadores premiados fizeram 9, 6, 3 e 2

gols. Quanto recebeu cada jogador? (144 000, 96 000, 48 000 e 32 000)

5.Um pai deixou R$ 2 870 00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa de suas

idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? ( 1 470, 980, 420)

6.Um número foi dividido em partes diretamente proporcionais a 4 e 3. Sabendo que a parte

correspondente a 4 era 2 000, encontre esse número. (3 500)

4.REGRA DE SOCIEDADE:

Quando duas ou mais pessoas se juntam, formando uma sociedade numa atividade com fins lucrativos, é justo que os lucros ou prejuízos, sejam divididos entre elas, proporcionalmente ao capital que cada uma empregou e ao tempo que o capital esteve empregado.

Na resolução de situações-problema dessa natureza, usa-se a chamada regra de sociedade, que consiste em dividir a quantia considerada em partes diretamente proporcionais ao capital empregado, ao tempo de aplicação ou a outras grandezas. É, portanto, uma das aplicações da divisão proporcional, que tem como objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre sócios que formam uma sociedade. Uma sociedade pode ser classificada em simples ou composta, dependendo dos capitais aplicados e dos períodos de tempo de aplicação que podem ser iguais ou diferentes para cada sócio.

4.1.REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES

1º caso: Os capitais são iguais e aplicados durante o mesmo tempo:

O lucro ou o prejuízo é dividido pelo número de sócios.

Exemplo:

Três sócios obtiveram um lucro de R$ 222.600,00. Sabendo que seus capitais eram iguais qual a parte de cada um dos sócios?


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Neste caso, basta dividir o lucro pelo número de sócios.

= 74 200 Logo, a parte de cada sócio é de R$ 74 200,00

2º caso: Os capitais são diferentes e empregados durante o mesmo tempo: Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em parte diretamente proporcionais aos capitais dos sócios.

Exemplo: Por ocasião do balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se um

prejuízo de R$ 27 000. Qual a parte correspondente a cada sócio se os seus capitais são de R$ 54 000,

R$ 45 000 e R$ 36 000.

= = = = =

x = 10 800 y = 9 000 z = 7 200

Logo, o prejuízo correspondente a cada sócio é, respectivamente, de : R$ 10 800 , R$ 9 000 e R$ 7 2000.

3º caso: Os capitais são iguais e empregados durante tempos diferentes: Os lucros e os prejuízos são divididos em partes diretamente proporcionais aos períodos de tempo em que os capitais ficaram investidos.

Exemplo:

Três amigos A, B e C, juntaram-se numa sociedade com idêntica participação no capital inicial. A deixou seu capital durante 4 meses, B por 6 meses e C por 3 meses e meio. Sabendo que, ao final de um ano, houve um lucro de R$ 162 000, 00, como dividir essa quantia entre os três?

= = = = =

A = 48 00 B = 72 000 C = 42 000

Na prática este caso não ocorre, porque , em uma sociedade, os sócios não podem permanecer por tempo desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é admitido, procede-se a uma reforma do contrato social, após o balanço.


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4.2.REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA

Na sociedade composta, tanto os capitais quanto os períodos de investimento são diferentes para cada sócio. Trata-se, portanto, de dividir os lucros ou os prejuízos em partes diretamente proporcionais, tanto ao capital quanto ao período de investimento.

Então:

Quando os capitais e os períodos de tempo forem diferentes, os lucros ou os prejuízos serão divididos em parte diretamente proporcionais ao produto dos capitais pelos períodos de tempo respectivos. É uma divisão proporcional composta estudada no capítulo anterior.

Exemplo:

Uma sociedade teve um lucro de R$ 11 700,00. O primeiro sócio entrou com R$ 1 500,00 durante 5 meses, e o outro, com R$ 2 000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um?

= e x + y = 11 700

= 4 500 e y = 7 200

ATIVIDADES:

1. Três sócios sofreram um prejuízo de R$ 14 400,00. Os três entraram para a sociedade com o mesmo

capital, ficando o primeiro durante 11 meses, o segundo12 e o terceiro 13 meses. Qual foi o prejuízo

de cada um? ( 4 400,00; 4 800,00; 5 200,00)

2. Um investimento total de R$ 60 000,00 foi feito por três amigos. Sabendo que o tempo foi o mesmo e que o segundo sócio ganhou o dobro do primeiro, e o terceiro o triplo, quanto investiu cada um?

3. Jonas e Paulo se associaram para jogar na loteria. Jonas deu R$ 1,80 e Paulo R$ 1,20. Tendo acertado um terno, eles ganharam R$ 1 600,00. Quanto receberá cada um? (960,00 e 640,00)

4. Três pedreiros, ganhando o mesmo salário-hora, trabalharam , respectivamente, 24, 18 e 20 horas. Na hora do pagamento, o dono da obra tinha em mãos um envelope com R$ 3 100,00. Como foi feita a divisão do dinheiro?( 1 200, 900 e 1 000)

5. Uma sociedade entre dois amigos, A e B, foi estabelecida com as seguintes características:


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CAPITAL TEMPO DE APLICAÇÃO SÓCIO A 2 500,00 1 ano e 6 meses SÓCIO B 3 000,00 1 ano e 9 meses

Divida o lucro de R$ 18 000,00 entre os sócios. ( 7 500 e 10 500)

6. Marcos e Antonio montaram uma locadora de vídeo empregando respectivamente, capitais de R$

50 000,00 e R$ 30 000,00. Em um determinado mês, a loja obteve um lucro de R$ 3 200,00. Quanto

coube a cada um? (2 000,00 e 1 200,00)

7. Dois sócios lucraram, em um determinado período, R$ 28 200,00. O primeiro aplicou

R$ 80 000,00,

durante 9 meses, e o segundo RS 20 000,00, durante 11 meses. Qual foi o lucro de cada um? (21 600 e

6 600)

5. REGRA DE TRÊS:

Chamamos de regra de três uma regra prática que permite, através da comparação de grandezas

proporcionais, a resolução de diferentes situações-problema do dia-a-dia. Essas grandezas formam

uma proporção em que, conforme o nome já diz, três termos são conhecidos e busca-se encontrar o

quarto termo.

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a

composta, que envolve mais de duas grandezas.


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5.1.REGRA DE TRÊS SIMPLES:

A regra de três simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezas diretamente

ou inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabela colocando em cada

coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação através da

aplicação da propriedade fundamental das proporções. Quando as grandezas forem diretamente

proporcionais, essa equação terá a mesma forma da tabela.

No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feita

invertendo-se a razão de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais

dizemos que a regra de três é direta. Quando forem inversamente proporcionais, dizemos que a

regra de três é inversa.

Procedimentos para resolver problemas por regra de três simples:

1º) Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas

sempre na mesma unidade de medida

Comprimento(m) Preço(R$)

5 80,009 x

2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais:

- Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, na direção dele, e uma seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados.

- Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma na coluna do x, invertendo o sentido da seta na outra coluna.

3º) Determinar o valor de x, que é o termo procurado, através da propriedade fundamental das

proporções.


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Exemplo: Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por 9 metros do mesmo

tecido?

Nesse exemplo temos uma regra de três simples e direta. Observe os procedimentos acima:

Comprimento(m) Preço(R$)

5 _______________ 80,00

9_______________ x

= x = x = 144,00

ATIVIDADES:

1. Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?

2. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam necessários

para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 Km por dia?

3. Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantas torneiras de

mesma vazão seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54min?

4. Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$ 100,00. Quanto deverá ser pago por um corte do mesmo

tecido de 3m x 5 m?

5.2.REGRA DE TRÊS COMPOSTA:


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A regra de três composta envolve três ou mais grandezas relacionadas entre si. Os procedimentos de

resolução serão os mesmos da regra de três simples. Quando há dependência inversa entre a grandeza

que contém a variável com as demais grandezas, invertemos os elementos da respectiva coluna. A

equação será montada, relacionando a grandeza que contém a variável com as demais grandezas.

Exemplo:

Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo

produzirão sete operários, trabalhando 9 dias?

Nº de operários Nº de dias Nº de peças

3 6 400

7 9 x

Comparando a grandeza que contém o x com as outras duas grandezas, verificamos que são

diretamente proporcionais. Então:

= = = 2x = 2 800 x = 1 400 peças

ATIVIDADES:

1. Um ciclista percorre 120 Km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500

Km, viajando 5 horas por dia?

2. Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar 8 cavalos,

durante 10 diais, quantos quilos de alfafa serão necessários?

3. Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma

capacidade, prepararão 800 páginas?


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4. Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer

certo percurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o

mesmo percurso?

5. Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com uma vazão de 1 litro por minuto. Quanto tempo

será necessário para que duas torneiras, com vazão de 2 litros por minuto, encham o mesmo tanque?

6. Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes.

Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15

dias?

7. Um livro de 120 páginas, com 25 linhas, é impresso em 4 horas. Quantas horas seriam necessárias

para imprimir um livro de 100 páginas com 30 linhas por página?

8.Uma pessoa que viajará para os Estados Unidos dispõe de R$ 2 500,00 para a viagem.Quantos

dólares conseguirá comprar?

6. PORCENTAGEM:

Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expressões do tipo“ O índice de

reajuste salarial de maio é de 9,8%.” “ O rendimento da poupança foi de 1,58%.” “ Liquidação de

inverno com 30% de desconto”...

Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem,

portanto, pode se definida como uma razão cujo conseqüente é 100 ou ainda como uma razão

centesimal, onde o conseqüente é substituído pelo símbolo %, chamado “ por cento “.


19


= 0,80 = 80%

6.1.CÁLCULOS DE PORCENTAGEM:

Existem vários recursos para resolver cálculos que envolvem porcentagens:

1º) POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES:

Exemplo: Quanto é 20% de 800?

20% de 800, é o mesmo que dividir 800 em 100 partes iguais e tomar 20 delas.

20 % de 800 = 20/100 de 800 800 : 100 . 20 = 160

ou usando taxa unitária:

20% de 800 = 2 0/100 = 0,20 800 . 0,20 = 160

2º) POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA:

Exemplo 1. Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quanto

passou a ser o seu novo salário?

Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos:

1ª). 2000________________ 100%

x ________________ 5% x = x = 100,00

Salário= 2 000,00 + 100,00 = 2 100,00

2ª) 2 000 _______________ 100%


20


x _________________ 105% x = x = 2 100,00

Salário: 2 100,00

Exemplo 2: Ao comprar um automóvel por R$ 15 000,00, obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual

foi a taxa de desconto?

15 000_____________ 100%

1800______________ x x = x = 12%

Taxa de desconto: 12%

Exemplo 3: Uma taxa de 13% é aplicado num determinado capital, produzindo um valor porcentual

de 5 200,00. De quanto era o capital?

13% ________________ 5 200

100%_______________ x x = x = 40.000

Capital: R$ 40 000,00

6.2.ELEMENTOS DO CÁLCULO PORCENTUAL:

Pelos exemplos anteriores observamos que são três os elementos envolvidos no cálculo de

porcentagem:

Principal: valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem (P)

Taxa porcentual: valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 (i).

Porcentagem: resultado que se obtém quando se aplica a taxa de porcentagem ou taxa

porcentual (p)

Concluímos também que a resolução por regra de três permite chegarmos ao seguinte

raciocínio:


21


Porcentagem = p = , onde P = e i =

É mais prático usarmos a taxa unitária: 25% = 25/100 = 0,25

ATIVIDADES:

1.Calcular:

a) 20 % de 32 b) 3,5% de R$ 4 500 c) 4% de 550

2.Qual a taxa unitária de 20%?

3.Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05?

4.Qual é o número principal em que 20 representa 3%?

5.Qual o número principal em que 800 representa 3/5%?

6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40?

7.Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% . Quanto ganhou?

8.Em um escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total?

9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados num concurso

público com 6 500 inscritos?

10.Walter pediu aumento salarial na empresa em que trabalha, alegando que um simples reajuste (que

naquele dissídio seria 7,5% ) não cobriria suas reais necessidades. Na ocasião, seu salário era

de

R$ 2 850,00 e sua proposta foi uma correção de 9 %. No final do mês, ele recebeu R$ 3 092,

25. Calculando qual o índice de correção aplicado pela empresa, responda se o pedido foi atendido.


22


11.Um comerciante comprou um automóvel de R$ 84 000,00 com desconto de 2%. Em seguida,

vendeu o automóvel por um valor 3% acima desse preço(valor inicial do automóvel). Qual foi a taxa

de lucro total, desde a venda até a compra, usada pelo comerciante?

12.Dois postos de abastecimento misturam água ao álcool que vendem. No primeiro deles foram

encontrados 7,5 l de água em 300 l de álcool e, no segundo, 13,5 l de água em 500 l de álcool. Quanto

por cento o álcool de um posto é mas aguado que o do outro/

13.Do que eu recebo, 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação,

restando-me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário?

14.Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessa cidade se

nela residem 60 500 mulheres?

15.Uma certa quantia y tornou-se 2y após 1 ano e 3y após 2 anos. Com relação a quantia inicial,

calcule a taxa aplicada no primeiro e no segundo ano.

16.Que taxa devemos utilizar para transformar uma quantia x em 3x?

17.Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00 de

comissões, qual o total vendido por ele?

18.Comprei uma casa cujo preço era R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos e 3%

de comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar?

19.Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia,

compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia?

Qual a porcentagem (taxa) que compareceu às aulas nesse dia?

20.Ao comprar uma automóvel por R$ 15 000,00 obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa

de desconto?


23


7. OPERAÇÕES COMERCIAIS QUE UTILIZAM PORCENTAGENS:

Chamamos de operações comerciais as operações de compra, venda, permuta, etc. de

mercadorias, feitas com o objetivo de obter lucro, sendo o lucro a diferença entre o preço de venda e

o preço de custo.

Em situações diversas, envolvendo operações comerciais, é comum ouvirmos: “Vendi uma

mercadoria com 20% de lucro”. “Vendi uma mercadoria com 30% de prejuízo.” Frases como estas,

muitas vezes, são motivo de dúvidas: 30% de prejuízo sobre o que?

A venda de mercadorias pode oferecer lucro ou prejuízo e estes podem ser “sobre o preço de

custo” ou “sobre o preço de venda”.

7.1.VENDAS COM LUCRO:

- Sobre o preço de custo (ou sobre a compra):

Exemplo: Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00, a fim de obter um

lucro de 20% sobre a compra .

Podemos considerar o preço de venda como 120%

Resolvendo por regra de três temos:

4 000 ______________ 100%

x ________________ 120% x = 4 000 . 120 : 100 ou 1, 20 . 4 000 = 4 800

Então:


24

Preço de venda = ( 1 + taxa unitária do lucro sobre a compra) . preço de compra


Ou

onde, V = preço de venda

i = taxa unitária do lucro

C = preço de compra

- Sobre o preço de venda:

Exemplo: Calcular por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00 para

ganhar 20% sobre o preço de venda.

Devemos considerar o preço de venda que é desconhecido como 100% e, conseqüentemente, o

preço de compra como 80%, já que o lucro será de 20%

Por regra de três temos;

4 000 80%

x 100% x = 4 000 . 100 : 80 = 5 000 ou 4 000 : 0,80 = 5 000

Então:

Ou


25

V = C(1 + i)

Preço de custo Preço de venda =

1 – taxa unitária do lucro sobre a venda

C V =

1 - i


onde, V = preço de venda

C = preço de custo

i = taxa unitária do lucro

7.2.VENDAS COM PREJUÍZO:

- Sobre o preço de custo (ou sobre a compra):

Exemplo: Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo

que esse objeto custou R$ 300,00, qual foi o preço de venda?

Como preço de venda = preço de custo – prejuízo, consideramos o preço de venda como 60%

e o preço de custo 100%.

Por regra de três temos:

300 ___________ 100%

x ____________ 60% x = 300 . 60 : 100 ou 0,60 . 300 = 180,00

Então:

Ou

Onde, V = preço de venda

i = taxa unitária de prejuízo


26

Preço de venda = ( 1 – taxa de prejuízo sobre a compra) . preço de compra

V = ( 1 – i) C


C = preço de compra

- Sobre o preço de venda:

Exemplo: Calcular o preço de venda de uma casa que comprei por 30 000,00, tendo perdido

25% do preço de venda.

Como o preço de custo = preço de venda + prejuízo, o preço de custo será de 125%, já que o

prejuízo foi de 25%. A quantia desconhecida será 100%.

Por regra de três temos:

125% ______________ 30 000

100% ______________ x x = 30 000. 100 : 125 ou 30 000 : 1,25 = 24 000

Então:

Ou

ATIVIDADES:

1. Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o

preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.

2. Por quanto devo vender um carro que comprei por R$ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a

compra?


27

Preço de custoPreço de venda =

1 + taxa unitária sobre a venda

CV =

1 + i


3. Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de

venda, qual deve ser este último?

4. Uma mercadoria custou R$ 160,00. Pretendo vendê-la com 20% de lucro sobre o preço de venda. A

que preço devo vendê-la?

5. Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 6 000,00, tendo uma

perda de 30% sobre o preço de compra.

6. Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 800,00, tendo

perdido 25% do preço de venda.

7. Uma casa que custa R$ 96 000,00 foi vendida com um prejuízo de 20 % sobre o preço de venda.

Calcule o preço de venda.

8. Um terreno foi vendido por R$ 50.600, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto

havia custado?

Entraremos em conceitos Básicos

JurosIntrodução

Ouvimos constantemente frases como estas:

“Vou depositar meu dinheiro em uma caderneta de poupança, pois ele renderá juros”

“Vou emprestar meu dinheiro, pois ele renderá juros”O estudo que vamos iniciar agora – Matemática Financeira -, como todas as suas fórmulas e

fatores, é feito em função do crescimento de certa quantia em dinheiro aplicada com o tempo, isto é, dos juros.

Designando por Capital a quantia emprestada, teremos:

R$ 100 são o capital (também denominado Principal)R$ 36 são o juro


28


Assim, podemos dizer que:

Juro é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao Capital

Como determinar, na prática, o valor do juro a ser cobrado ou recebido?A resposta é simples: por meio de uma taxa percentual, referida a um intervalo de tempo,

determinada taxa de juro. No exemplo, podemos dizer que a taxa de juro considerada foi de:

Podemos dizer que a taxa de juro também pode ser representada por duas formas equivalentes:

36% ao ano (a.a.) e 0,36 ao ano (a.a.)

Como no estudo de percentagem, a primeira representação recebe o nome de forma percentual e a segunda, de forma unitária (decimal).

Sempre que falamos de juro relativo a um Capital, estamos nos referendo à remuneração desse Capital durante um intervalo de tempo que denominamos Período Financeiro ou Período de Capitalização.

Regime de Capitalização

Entendemos por Regime de Capitalização o processo de formação do Juro. Há dois Regimes de Capitalização: a Juros Simples e a Juros Compostos.No regime de Capitalização de Juros Simples, por convenção, apenas o Capital Inicial rende

juro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporada ao Capital Inicial para, também, render juro no período seguinte, dizemos, neste caso, que os juros não são capitalizados.

No regime de Capitalização de Juros Compostos, o juro formado no fim de cada período é incorporado ao Capital Inicial no início desse período, passando esse montante a render juro no período seguinte, dizemos, então, que os juros são capitalizados.

Juros Simples

Juro Simples é aquele calculado unicamente sobre o Capital Inicial.

Cálculo do Juro Simples

Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa por período o fator de proporcionalidade.


29


Assim, sendo:

- C e o capital inicial.- j é o juro simples.- n é o tempo de aplicação.- i é a taxa de juro unitária.

Podemos escrever:

Ou J = C . i . n

Que é a fórmula de cálculo de juro simples.

É importante observar que essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação (n) é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa (i) considerada.

Exemplo:

1 – Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago?

Solução:

Temos:

Como:

J = C * i * n

Temos:

J = 1.200 * 0,3 * 2 = 720

Logo, o juro a ser pago é de:

R$ 720,00


30


2 – Aplicou-se a importância de R4 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber?

Solução:

Temos:

Como:

J = 3.000 * 0,012 * 3 = 108

Logo o juro a receber é de:

R$ 108,00

Resolva:

1 – Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00, à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestres.

Solução:

Temos:

Como:

J = 9.200 0,05 3 = 1.380

Logo, o juro a receber é de:

R$ 1.380,00

2 – Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o Juro produzido.

Solução:

Temos:


31


Como:

J = 56.800 * 0,0075 2,5 = 1.065

Logo, o juro a receber é de:

R$ 1.065,00

Cálculo do Montante, conhecidos o Principal, a Taxa de Juros e o Número de Períodos

Exemplo 1 = Possui-se um capital “C” disponível para ser aplicado por “n” períodos, a uma taxa de juros “i” por período, qual o montante “M” que terei ao final?

M = C + C * i * n ou M = C * (1 + i * n).

Para fins de demonstração, utilizaremos esta fórmula no exemplo 1, apresentado:

Substituindo-se os valores na fórmula anterior, obteremos:

M = 100.000 + (100.000 * 0,012 * 4)M = 100.000 + 4.800M = 104.800

Ou

M = 100.000 (1 + 0,012 * 4)M = 100.000 (1 + 0,048)M = 100.000 * 1.048M = 104.800

Cálculo do Capital, conhecidos o Montante, a Taxa de Juros e o Número de Períodos.


32


A determinação do capital a partir das demais variáveis é possível prosseguindo-se a partir da fórmula vista acima para o valor do Montante. Podemos desenvolvê-la e obter uma segunda equação, que nos possibilite determinar o capital inicial ou valor Presente.

Exemplo 2 = A Indústria de Sorvetes Gelinho Ltda. Ampliou as suas instalações e negociou com o Banco de Financiamento Nacional um empréstimo no valor de R$ 3.900.000,00, valor já com os juros incorporados e com vencimento para 5 anos. O Sr. Epaminondas, gerente financeiro da Gelinho, estudou as taxas de alguns bancos e constatou que, caso desejasse aplicar na modalidade de juros simples, obteria uma taxa de 6% ao ano. Qual o capital que a gelinho precisaria aplicar hoje para dispor do montante necessário para quitar o empréstimo, por ocasião do seu vencimento?

Solução:

Temos:

Substituindo-se os valores na fórmula temos:

Logo, a Gelinho deveria aplicar R$ 3.000.000,00, hoje, para poder dispor de R$ 3.900.000,00 daqui a cinco (5) anos.

Cálculo do Período, conhecidos o Capital, o Montante e a Taxa de Juros.

De modo semelhante ao que realizamos para os parâmetros anteriores, é possível desenvolver mecanismos de determinação do período a partir das demais informações, quando conhecidas:

Exemplo 3 = A Lojas Cabral de Sobradinho Ltda. Permite que os clientes possam efetuar o pagamento das suas compras com um determinado prazo. Sabendo-se que uma compra de valor R4 1.000,00, para pagamento imediato, corresponde a um montante de R4 1.030,00, para pagamento a prazo, determine o período oferecido, uma vez que a taxa de juros da Cabral é de 2,0% ao mês.


33


Solução:

Temos:

Como todos os demais fatores são conhecidos, basta aplicar a fórmula acima para identificarmos o prazo concedido.


Note que, como a taxa de juros esta determinada em um percentual ao mês, a aplicação da equação propiciará a obtenção do período em meses.

Cálculo da Taxa de Juros, conhecidos o Capital, o Montante e o Período.

Um desenvolvimento dos procedimentos anteriores nos oferece a forma de determinar a taxa de juros na modalidade de juros simples:

Exemplo 4 – O diretor financeiro da Indústria de Embalagens Papel Maravilha S.A. estuda a operação de desconto de duplicatas oferecidas pelo Banco Excelente. Ele dispões de R$ 1.045.000,00 em títulos. Caso realize a operação, o banco efetuará a retenção dos juros antecipadamente, e ele receberá, hoje, em valores líquidos, a importância de R$ 1.000.000,00. Sabendo que os títulos vencerão em 45 dias, determine a taxa de juros que o Banco Excelente cobra. Considere a modalidade de juros simples.

Solução:

Temos:


34



Taxas Equivalentes

Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.

Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$ 2.000,00

- à taxa de 4% a.m. durante 6 me.- à taxa de 12% a.t., durante 2 t.

No primeiro caso, temos:

Logo:

Isto é, o juro produzido é de:

R$ 480,00

No segundo caso, temos:


35


Logo:

Isto é, o juro produzido é de:

R$ 480,00

Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% a.m. e 12% a.t. são taxas equivalentes.

Nota:- Dadas as taxas de juros i, relativa a 1 período, e , relativa a períodos, temos:

E

Supondo i e taxas equivalentes, vem:

Isto é:

O que nos diz que as taxas i e são proporcionais.

Assim, podemos concluir que:

Em regime de juros simples, duas taxas proporcionais são equivalentes.

Exercício

1 – Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido.

Solução:

Temos:


36


Como o tempo é dado em meses e a taxa é dada ao ano, antes de aplicarmos a fórmula devemos determinar a taxa mensal proporcional à dada:

Logo:

Isto é, o juro é de: 500,00

2 – Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00, aplicado durante 2 anos, 4 me4ses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano.

Solução:

Como o tempo foi dado sob a forma de numeral complexo, a primeira coisa a ser feita é a obtenção do número de dias correspondente, lembrando que:

1 a = 360 d e 1 me = 30 d.Assim:

2 a 4 me 10 d = (2 * 360 + 4 * 30 + 10) d + 850 d.

Temos então:

Daí:

J = 18.500 * 0,001 * 850 = j = 15.725

Isto é, o juro é de: R$ 15.725,00

Resolva:

1 – Calcule o juro resultante de aplicação de R$ 32.500,00, à taxa de 18% ao ano, durante 3 meses.


37


Resposta: R$ 1.463,00

2 – Calcule o juro de um capital de R$ 5.000,00 em regime de juros simples, durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24% ao ano.

Resposta: R$ 2.800,00

Juro Comercial e Juro Exato

A técnica que estamos empregando no cálculo do juro simples (1 ano = 360 dias) nos dá o que denominamos Juro Simples Comercial. Entretanto, podemos obter o juro fazendo uso do número exato de dias do ano (365 d, ou 366 d, se o ano for bissexto). Neste caso, o resultado é denominado Juro Simples Exato.

Além disso, temos que levar em consideração o modo de obtenção do número de dias. Admitindo que cada mês tenha 30 dias, obtendo o tempo aproximado; ( no Brasil contamos apenas uma das datas extremas).

Assim, tanto no juro simples exato como no juro simples comercial o tempo pode ser exato ou aproximado.

Nota:- A técnica mais comumente usada é a do cálculo do juro simples comercial para o número exato de dias; é a que proporciona o juro máximo em qualquer transação.

Determinação do Número Exato de Dias entre Duas Datas

Podemos obter o número exato de dias entre duas datas de três maneiras diferentes:

1ª Pela contagem direta dos dias em um calendário, lembrando que apenas um dos dias extremos deve ser incluído.

2ª Considerando o número exato de dias de cada mês, lembrando que janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias; fevereiro tem 28 dias (29 dias no ano bissexto ( um ano é bissexto quando o número é divisível por 4)). Podemos por exemplo, determinar o número exato de dias de 11 de março a 18 de maio do mesmo ano do seguinte modo:

11 de março a 11 de abril: 31 dias11 de abril a 11 de maio: 30 dias11 de maio a 18 de maio: 18 – 11 = 7 dias

Logo: 11 de março a 18 de maio: 31 + 30 + 7 = 68 dias.

3ª Pelo uso da Tabela para Contagem de Dias.

No caso do exemplo anterior, procuramos na coluna relativa a dias do dia 18 e na linha relativa a meses o mês de maio, e anotamos o número que se acha na intersecção (linha do dia 18 com a coluna do mês de maio): 138

Em seguida, fazemos o mesmo para a data de 11 de março e encontramos 70


38


O número exato de dias é dado por:

138 – 70 = 68 dias.

Vamos, também, determinar o número exato de dias de 20 de outubro a 15 de março do ano seguinte. Inicialmente, calculamos o número de dias entre 20 de outubro e 31 de dezembro.

365 – 293 = 72 dias.

Em seguida, somamos 72 com 74 dias que vão de 1º de janeiro até 15 de março.

72 + 74 = 146 dias.

Nota:- Se o ano é bissexto, somamos 1 ao número de dias.

146 + 1 = 147 dias.

Exercícios:

1 – Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 no mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago?

Solução:

Inicialmente, temos de determinar o número de dias. Consultando a Tabela para Contagem de Dias, vemos que:

á data 25/11 correspondem a 329 dias;à data 20/07 correspondem a 201 dias.

Logo, o número de dias procurado é:

329 – 201 = 128 dias.

Assim:

Daí:

J = 8.500 * 0,00125 * 128 = 1.360

Isto é, o juro a ser pago é de: R$ 1.360,00

Resolva:


39


1 – Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obtermos R$ 441,00 de juros.

Solução:

Temos:

Como:

J = C * i * n portanto C * i * n = j

Então:

Logo, a quantia a ser aplicada é de: R$ 9.800,00

2 – Qual o valor do principal que, aplicado durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 1,2% ao mês, rendeu R$ 19.008,00?

Solução:

Temos:

Como:

C * i * n = j

Então:

Logo, o valor do principal é de R$ 88.000,00.

3 – A que taxa foi empregado o Capital de R$ 12.000,00, que no prazo de 2 anos, rendeu R$ 8.400,00


40


de juro?

Solução:

Temos:

Como:

J = c * i * n, portanto c * i * n = j

Então:

Logo, a taxa é de 0,35 a.a. ou 35% a.a.

Nota: a taxa resultante será sempre referida à mesma unidade de intervalo de tempo dado.

4 – Uma aplicação de R$ 8.000,00, pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de R$ 1.680,00. Qual a taxa anual correspondente?

Solução:

Temos:

Então:

Isto éI = 0,035 a.m ou 3,5% a.m

Como, porém, o problema pede a taxa anual, temos:


41


Logo, a taxa é de 42% a.a.

Nota: às vezes é mais conveniente transformarmos a unidade do intervalo de tempo para a mesma unidade da taxa. É o que faremos no exercício seguinte.

5 – A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, em 3 meses e 10 dias, renda um juro de R$ 11.000,00?

Solução:

Temos:

Fizemos a transformação em meses porque o problema pede taxa mensal.

Isto é a taxa é de 0,05 a.m ou 5% a.m

6 – Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12.800,00 que, à taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896,00?

Solução:

Temos

Então:

Isto è, o período financeiro é de 7 meses.


42


Montante

Já vimos que o montante (ou valor nominal) é igual à soma do capital inicial (valor atual ou presente) com o juro relativo ao período de aplicação, isto é:

Montante = Capital Inicial + Juro.

Ou

Valor Nominal = Valor Atual + Juro

Assim, designando o montante por M, temos:

M = C + J

Lembrando que:

J = C * i * n

A fórmula pode ser escrita assim:

M = C + C * i * n

Ou, colocando C em evidência:

M = C(1 + i*n)

Exercícios:

1 – Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês?

Solução:

Temos:

Lembrando que:


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M = C(1+i *n)

Então:

M = 28.000 (1 + 0,0 * 15) = 28.000 * 1,45 = 40.600

Isto é: M = R$ 40.600,00

Nota: A solução deste problema também pode ser obtida do seguinte modo:J = 28.000 * 0,03 * 15 = 12.600

Como:

M = C + j

Então:

M = 28.000 + 12.600 = 40.600

Isto é:

M = R$ 40.600,00

2 – Qual é o capital inicial necessário para ter um montante de R$ 14.800,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juros simples?

Solução:

Temos:

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

14.800 = C (1 + 18 * 0,04)

Ou C (1 + 18 * 0,04) = 14.800

Então:

Isto é: C = R$ 8.604,65


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3 – Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro anual cobrada.

Solução:

Temos:

Substituindo esses valores obteremos:

116.640 = 86.400 (1+10 i)

Ou

86.400 (1+10 i) = 116.640

Então:

Isto é:

I = 0,035 a.m ou 0,035 * 100 = 3,5 % a.m .

Porém, o que se pede é a taxa anual então:

I = (0,035 * 12) a.a. portanto i = 0,42 a.a. ou 0,42 * 100 = 42% a.a.

Nota: Podemos, ainda, obter esse resultado do seguinte modo:

J = M – C

Logo:

J = 116.640 – 86.400 = j = 30.240

Lembrando que:

Daí:


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4 – Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00, à taxa de juro de 16% ao ano, para obtermos um montante de 8.320,00.

Solução:

Temos:

Substituindo em (4), temos:

8.320 = 8.000 (1+0,16 * n)

Ou

8.000 (1 + 0,16 * n) = 8.320

Daí:

Isto é:

N = 0,25 a

Ou

N = 3 meses

Nota: Outra maneira de se resolver o problema é:

Lembrando que:

Isto é:


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5 – Uma concessionária vende um automóvel por R$ 15.000,00 à vista. A prazo, vende por R$ 16.540,00, sendo R$ 4.000,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juro mensal cobrada?

Solução:

Se o cliente resolver comprar a prazo, receberá financiamento para apenas R$ 11.000,00 (15.000 – 4.000,00 ). O fato se passa então, como se o cliente tivesse recebido R$ 11.000,00 emprestados com o compromisso de devolver R$ 12.540,00 (16.540,00 – 4.000,00) após o prazo de 4 meses.

Temos então:

Como:

M = C ( 1 + i n )

Vem:

12.540 = 11.000 ( 1 + 4 i )

Ou

Isto é:

I = 0,035 a.m

Logo, a taxa de juros cobrada é de:

0,035 * 100 = 3,5% a.m

JUROS COMPOSTOS

Estudamos, nos capítulos anteriores, o regime de capitalização simples, no qual o juro produzido por um capital é sempre o mesmo, qualquer que seja o período financeiro, pois ele é sempre calculado sobre o capital inicial, não importando o montante correspondente ao período anterior.


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Assim, um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de juros simples:

ANO JURO MONTANTE

0 - 100,00 1 100,00 * 0,02 * 1 = 2,00 102,00 2 100,00 * 0,02 * 1 = 2,00 104,00 3 100,00 * 0,02 * 1 = 2,00 106,00

O regime de capitalização que vamos estudar neste capítulo é o mais comumente usado. Nele, o juro, a partir do segundo período, é calculado sobre o montante do período anterior. Daí afirmamos que neste regime “o juro rende juro”.

Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.

Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte.

Cálculo do Montante

Tomando o exemplo anterior, de acordo com a definição, temos:

Ano Juro Montante

0 0 100,00 1 100,00 * 0,02 * 1 = 2,00 102,00 2 102,00 * 0,02 * 1 = 2,04 104,04 3 104,04 * 0,02 * 1 = 2,08 106,12

Isso nos permite concluir que o montante no regime de juro composto é maior que no regime de juro simples (a partir do segundo período).

Consideremos, agora, um capital inicial “C”, aplicado em regime de juros compostos à taxa de “i”.

Temos:

Período Juro Montante

1º

2º


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3º

O que nos permite escrever para enésimo período:

(1)

Esta é a fórmula do montante em regime de juro composto. Também chamada fórmula fundamental do juro composto, para um número inteiro de períodos.

O fator é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.

Nota:- Ainda aqui, como em juros simples, a unidade para a resolução de um problema é determinada pelo período financeiro a que se refere.

Exercícios

Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00, aplicados em regime de juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses.

Solução:

Temos:

Substituindo esses valores na fórmula, vem

Logo:


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Isto é, o montante é: R$ 2.205,00

Determinação do Fator de Capitalização

A única dificuldade que existe no cálculo do montante em regime de juro composto é a determinação do valor de capitalização .

Se dispusermos de uma calculadora científica que apresente como tecla, o cálculo é facílimo. Caso contrário deve fazer uso da Tábua Financeira.

Calculadora Eletrônica

Fazemos uso da tecla

Exemplos:

Suponhamos problemas que envolvam:

1º Taxa de 20% ao ano e um período de 5 anos, Temos:

Queremos determinar

Introduzimos na calculadora o valor pressionamos a tecla de elevação à potência , introduzimos o valor e finalmente pressionamos a tecla =, Assim:

Logo:2º Taxa de 3% ao mês e um período de 1 ano e 4 meses. Temos:

Queremos determinar , Assim:

Logo:

3º Taxa de 9% ao trimestre e um período de 15 meses. Temos:


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Queremos determinar . Assim:

Logo:

BIBLIOGRAFIASODRÉ, Ulysses Matemática Comercial e Financeira Departamento de Matemática, UEL, 2008.Estudar a área Financeira na Página Matemática Essencial localizada no link: http:/www.mat.uel.br/matessencial/


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MATEMÁTICA - Apostila de Matemática Financeira 1

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