ANÁLISES ESTATÍSTICAS COMPLEMENTARES DE EXPERIMENTOS FATORIAIS

ANÁLISES ESTATÍSTICAS ANÁLISES ESTATÍSTICAS COMPLEMENTARES DE COMPLEMENTARES DE

EXPERIMENTOS FATORIAISEXPERIMENTOS FATORIAIS

1) Fatores qualitativos e 1) Fatores qualitativos e interação não significativainteração não significativa

Aplicar testes de comparação múltipla Aplicar testes de comparação múltipla entre médias:entre médias:

a)a) Tukey;Tukey;

b)b) Duncan;Duncan;

c)c) Contrastes ortogonais;Contrastes ortogonais;

d)d) Scheffée;Scheffée;

e)e) Dunnett.Dunnett.

Fator A: Fator A:

a)a) Variância de uma média de aVariância de uma média de aii::

b)b) Variância de um contraste de duas médias Variância de um contraste de duas médias de ade aii::

c)c) Variância de um contraste qualquer de Variância de um contraste qualquer de médias de amédias de aii::

JK

QMm̂V̂ E

i

JK

2QMe,m̂m̂V̂ ii

i

2iC

JK

QMeX̂V̂

Fator D: Fator D:

a)a) Variância de uma média de dVariância de uma média de djj::

b)b) Variância de um contraste de duas médias Variância de um contraste de duas médias de dde djj::

c)c) Variância de um contraste qualquer de Variância de um contraste qualquer de médias de dmédias de djj::

IK

QMm̂V̂ E

i

IK

2QMe,m̂m̂V̂ ii

i

2iC

IK

QMeX̂V̂

TUKEY E DUNCANTUKEY E DUNCAN

Tukey:Tukey:

Fator AFator A

Fator D Fator D

Duncan:Duncan:

Fator AFator A

Fator DFator D

JK

QMe)GL(I;qΔ EαA

IK

QMe)GL(J;qΔ EαD

IK

QMe)GLcontr; médias (nZDu E

oαD

JK


oαA

2) Fatores qualitativos e 2) Fatores qualitativos e interação é significativainteração é significativa

Aplicar testes de comparação múltipla Aplicar testes de comparação múltipla entre médias:entre médias:

a)a) Tukey;Tukey;b)b) Duncan;Duncan;c)c) Contrastes ortogonais;Contrastes ortogonais;d)d) Scheffée;Scheffée;e)e) Dunnett.Dunnett.

Desdobrar a interação

Desdobramento da interaçãoDesdobramento da interação

fator A dentro de Dj (A/Dj) fator A dentro de Dj (A/Dj)

K

QMem̂V̂ ij

, , , ,V m m V m m V m mij i j ij ij ij i j K

2QMe=

i

2iC

K

QMeX̂V̂

Desdobramento da interaçãoDesdobramento da interação

fator D dentro de Afator D dentro de Aii (D/A (D/Aii) )

K

QMem̂V̂ ij


2QMe=

j

2jC

K

QMeX̂V̂

TUKEY E DUNCANTUKEY E DUNCAN

Tukey:Tukey:

A/DA/Djj

D/AD/Aii

Duncan:Duncan:

A/DA/Djj e D/A e D/Aii

ADAD numa única ordenação numa única ordenação

K


oαA/D j

K

QMe)GL(I;qΔ EαA/Dj

K

QMe)GL(J;qΔ EαD/Ai

K

QMe)GL(IJ;qΔ Eα

3) Um fator é quantitativo e 3) Um fator é quantitativo e interação não é significativainteração não é significativa

Normalmente Fator D = quantitativoNormalmente Fator D = quantitativo

Fator A = qualitativoFator A = qualitativo

JK

QMm̂V̂ E

i JK

2QMe,m̂m̂V̂ ii

i

2iC

JK

QMeX̂V̂

TUKEY E DUNCANTUKEY E DUNCANFator AFator A

Tukey:Tukey:

Duncan:Duncan:

JK

QMe)GL(I;qΔ EαA

JK


oαA

Fator DFator D

Tabela auxiliar para análise de regressão do fator D

j Xj Y.j. Cj1 Cj2 Cj3 Cj1Y.j. Cj2Y.j. Cj3Y.j. 1 -2 2 -1 2 -1 -1 2 3 0 -2 0 4 1 -1 -2 5 2 2 1

Soma 0 0 0 Cj1Y.j. Cj1Y.j. Cj1Y.j. K 10 14 10 M 1 1 5/6

Tabela suplementar da análise para o fator D quantitativo

C.V. GL SQ QM F(sob H0) Fator D J-1 SQD ------ --------

RL 1 SQRL QMRL QMRL/QME RQ 1 SQRQ QMRQ QMRQ/QME RC 1 SQRC QMRC QMRC/QME Desvios J-4 SQDesv QMDesv QMDesv/QME

Erro GLE SQE QME

j

2j1

2

j jj1

RL CIK

.Y.CSQ

j

2j2

2

j jj2

RQ CIK

.Y.CSQ

j

2j3

2

j jj3

RC CIK

.Y.CSQ

SQ SQ SQ SQ SQDesv D RL RQ RC

Y Y IJK B M P B M P B M P B M P em m m .../ ...1 1 1 2 2 2 3 3 3

Grau 1

Grau 2

Grau 3

j

2j1

j jj1

CIK

.Y.C1B

j

2j2

j jj2

CIK

.Y.C2B

j

2j3

j jj3

CIK

.Y.C3B

P1=x

P xJ

22

2 1

12

P x x

J3

323 7

20

h

XXx

M1, M2, M3 = Tabelados no quadro auxiliar;

Cj1, Cj2, Cj3 = Tabelados.

Despadronizar a equação

4) Um fator é quantitativo e 4) Um fator é quantitativo e interação é significativainteração é significativa

Neste caso Fator D quantitativo Neste caso Fator D quantitativo (preferencialmente);(preferencialmente);

estudar a regressão do fator estudar a regressão do fator DD dentro de dentro de cada nível do fator cada nível do fator AA ( (A1A1, , A2A2, ... , ... AIAI););

Fator A: duas alternativasFator A: duas alternativas

Primeira alternativaPrimeira alternativa

JK

QMm̂V̂ E

i JK

2QMe,m̂m̂V̂ ii

i

2iC

JK

QMeX̂V̂

TUKEY E DUNCANTUKEY E DUNCANFator AFator A

Tukey:Tukey:

Duncan:Duncan:

JK

QMe)GL(I;qΔ EαA

JK


oαA

Segunda alternativaSegunda alternativaDesdobramento da interaçãoDesdobramento da interação

fator A dentro de Dj (A/Dj) fator A dentro de Dj (A/Dj)

K

QMem̂V̂ ij


2QMe=

i

2iC

K

QMeX̂V̂

TUKEY E DUNCANTUKEY E DUNCAN Tukey:Tukey:

A/DA/Djj

Duncan:Duncan:

A/DA/Djj

K


oαA/D j

K

QMe)GL(I;qΔ EαA/Dj

Fator DFator D

Fazer uma regressão dos níveis do Fator D Fazer uma regressão dos níveis do Fator D dentro de cada nível do Fator Adentro de cada nível do Fator A

Dentro do A1Dentro do A1Tabela auxiliar para análise da regressão do fator D dentro do nível A1

J Xj Y1j. Cj1 Cj2 Cj3 Cj1Y1j. Cj2Y1j. Cj3Y1j. 1 30 289 -2 2 -1 -578 578 -289 2 35 288 -1 -1 2 -288 -288 576 3 40 308 0 -2 0 0 -616 0 4 45 320 1 -1 -2 320 -320 -640 5 50 267 2 2 1 534 534 267

Soma 200 1472 0 0 0 -12 -112 -86 K 10 14 10 M 1 1 5/6

Tabela suplementar para regressão do fator D dentro do nível 1 do fator A

C.V. GL SQ QM F(sob H0) Fator D/A1 J-1 SQD/A1 ------ ------


Erro GLE SQE QME

JK

..Y.Y

K

1SQ

21

j

21jD/A1

j

2j1

2

j 1jj1

RL CK

.YCSQ

j

2j2

2

j 1jj2

RQ CK

.YCSQ

j

2j3

2

j 1jj3

RC CK

.YCSQ

RCRQRLADDesv SQSQSQSQSQ 1/

Grau 1

Grau 2

Grau 3

j

2j1

j 1jj1

CK

.YC1B

j

2j2

j 1jj2

CK

.YC2B

j

2j3

j 1jj3

CK

.YC3B

Y Y JK B M P B M P B M P B M P em m m1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ../ ...

P1=x; P xJ

22

2 1

12

;

P x xJ

33

23 7

20

;

h

XXx

M1, M2 e M3 = tabelados


5) Os dois fatores são quantitativos 5) Os dois fatores são quantitativos e interação não significativae interação não significativa

Regressão para os níveis do Fator A e Regressão para os níveis do Fator A e outra regressão para os níveis do Fator Doutra regressão para os níveis do Fator D

Fator AFator A


i Xj Yi.. Cj1 Cj2 Cj3 Cj1Yi.. Cj2Yi.. Cj3Yi.. 1 0 -2 2 -1 2 50 -1 -1 2 3 100 0 -2 0 4 150 1 -1 -2 5 200 2 2 1

Soma 0 0 0 Cj1Yi.. Cj2Yi.. Cj3Yi.. K 10 14 10 M 1 1 5/6

Tabela suplementar da análise para fator A quantitativo.

C.V. GL SQ QM F(sob H0) Fator A I-1 SQA ---- ------

RL 1 SQRL QMRL QMRL/QME RQ 1 SQRQ QMRQ QMRQ/QME RC 1 SQRC QMRC QMRC/QME Desvios I-4 SQDesv QMDesv QMDesv/QME

Erro GLE SQE QME

i

2i1

2

i ii1

RL CJK

..YCSQ

i

2i2

2

i ii2

RQ CJK

..YCSQ

i

2i3

2

i ii3

RC CJK

..YCSQ

SQ SQ SQ SQ SQDesv A RL RQ RC


Grau 1

Grau 2

Grau 3

i

2i1

i ii1

CJK

..YC1B

i

2i2

i ii2

CJK

..YC2B

i

2i3

i ii3

CJK

..YC3B

P1=x;

P xI

22

2 1

12

;

P x x

I3

323 7

20

h

XXx


Ci1, Ci2, Ci3 = Tabelados.


Fator DFator D


j Xj Y.j. Cj1 Cj2 Cj3 Cj1Y.j. Cj2Y.j. Cj3Y.j. 1 -2 2 -1 2 -1 -1 2 3 0 -2 0 4 1 -1 -2 5 2 2 1

Soma 0 0 0 Cj1Y.j. Cj1Y.j. Cj1Y.j. K 10 14 10 M 1 1 5/6

Tabela suplementar da análise para o fator D quantitativo

C.V. GL SQ QM F(sob H0) Fator D J-1 SQD ------ --------


Erro GLE SQE QME

j

2j1

2

j jj1

RL CIK

.Y.CSQ

j

2j2

2

j jj2

RQ CIK

.Y.CSQ

j

2j3

2

j jj3

RC CIK

.Y.CSQ

SQ SQ SQ SQ SQDesv D RL RQ RC


Grau 1

Grau 2

Grau 3

j

2j1

j jj1

CIK

.Y.C1B

j

2j2

j jj2

CIK

.Y.C2B

j

2j3

j jj3

CIK

.Y.C3B

P1=x

P xJ

22

2 1

12

P x x

J3

323 7

20

h

XXx


Cj1, Cj2, Cj3 = Tabelados.


6) Os dois fatores quantitativos e 6) Os dois fatores quantitativos e interação significativainteração significativa

Superfície respostaSuperfície resposta

Modelo de regressão linear múltiplaModelo de regressão linear múltipla

Y X X X X X X 0 1 1 11 12

2 2 22 22

12 1 2

~ ~Y X

~Y é o vetor das médias Yij com i = 1,2, ...I e j = 1,2, ... J;

X é a matriz das variáveis independentes =

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~1 1 1

22 2

21 2X X X X X X

;

~

é o vetor dos parâmetros = 0 1 11 2 22 12

''

é o vetor dos desvios das médias estimadas em relação ao modelo.

~

= (X'X)-1 X'Y

Pelo Método dos Mínimos Quadrados

X'X=X'Y

EXPRESSÃO MÁGICA DA REGRESSÃO

I=3 para X1 = [ 0; 10; 20 ] '

J=4, para X2 = [ 0; 4; 8; 12 ]'.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~Y X X X X X X

1 1 1

22 2

21 2

Y11 1 0 0 0 0 0 0 11

Y12 1 0 0 4 16 0 1 12

Y13 1 0 0 8 64 0 11 13

Y14 1 0 0 12 144 0 2 + 14

Y21 1 10 100 0 0 0 22 21

Y22 = 1 10 100 4 16 40 12 22

Y23 1 10 100 8 64 80 23

Y24 1 10 100 12 144 120 24

Y31 1 20 400 0 0 0 31

Y32 1 20 400 4 16 80 32

Y33 1 20 400 8 64 160 33

Y34 1 20 400 12 144 240 34

Determinação do ponto crítico e Determinação do ponto crítico e da sua naturezada sua natureza

' ' Y X a X AX 0

XX

X 1

2

a

1

2

/

/ A

11 12

12 22

2

2

X A a* 1

21

Aa b

c d A

ad cb

d b

c a

1 1

Natureza do ponto crítico Natureza do ponto crítico

Estimativas dos autovalores característicos da Estimativas dos autovalores característicos da matriz matriz A

A I é igual a zero (I = matriz identidade).

Regra de decisãoRegra de decisão

1 <0 e 2 <0 então o ponto crítico é de máximo;

1 >0 e 2 >0 então o ponto crítico é de mínimo;

1 <0 e 2 >0 ou 1 >0 e 2 <0 então o ponto crítico é de sela

COEFICIENTE DE COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃODETERMINAÇÃO

Para cada tipo de regressão uma fórmula Para cada tipo de regressão uma fórmula específicaespecífica

SQD

ajustado)rau SQmodelo(gr 2

Regressão dos níveis do Fator D

Regressão dos níveis do Fator A

SQA

ajustado)rau SQmodelo(gr 2

Regressão dos níveis do Fator D dentro de cada nível do Fator A

D/Ai

2

SD

ajustado)rau SQmodelo(gr

SQAD)SQD(SQA

SQmodeloR 2

Superfície de resposta (Fatores quantitativos e interação significativa)

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