ANÁLISES ESTATÍSTICAS ANÁLISES ESTATÍSTICAS COMPLEMENTARES DE COMPLEMENTARES DE
EXPERIMENTOS FATORIAISEXPERIMENTOS FATORIAIS
1) Fatores qualitativos e 1) Fatores qualitativos e interação não significativainteração não significativa
Aplicar testes de comparação múltipla Aplicar testes de comparação múltipla entre médias:entre médias:
a)a) Tukey;Tukey;
b)b) Duncan;Duncan;
c)c) Contrastes ortogonais;Contrastes ortogonais;
d)d) Scheffée;Scheffée;
e)e) Dunnett.Dunnett.
Fator A: Fator A:
a)a) Variância de uma média de aVariância de uma média de aii::
b)b) Variância de um contraste de duas médias Variância de um contraste de duas médias de ade aii::
c)c) Variância de um contraste qualquer de Variância de um contraste qualquer de médias de amédias de aii::
JK
QMm̂V̂ E
i
JK
2QMe,m̂m̂V̂ ii
i
2iC
JK
QMeX̂V̂
Fator D: Fator D:
a)a) Variância de uma média de dVariância de uma média de djj::
b)b) Variância de um contraste de duas médias Variância de um contraste de duas médias de dde djj::
c)c) Variância de um contraste qualquer de Variância de um contraste qualquer de médias de dmédias de djj::
IK
QMm̂V̂ E
i
IK
2QMe,m̂m̂V̂ ii
i
2iC
IK
QMeX̂V̂
TUKEY E DUNCANTUKEY E DUNCAN
Tukey:Tukey:
Fator AFator A
Fator D Fator D
Duncan:Duncan:
Fator AFator A
Fator DFator D
JK
QMe)GL(I;qΔ EαA
IK
QMe)GL(J;qΔ EαD
IK
QMe)GLcontr; médias (nZDu E
oαD
JK
QMe)GLcontr; médias (nZDu E
oαA
2) Fatores qualitativos e 2) Fatores qualitativos e interação é significativainteração é significativa
Aplicar testes de comparação múltipla Aplicar testes de comparação múltipla entre médias:entre médias:
a)a) Tukey;Tukey;b)b) Duncan;Duncan;c)c) Contrastes ortogonais;Contrastes ortogonais;d)d) Scheffée;Scheffée;e)e) Dunnett.Dunnett.
Desdobrar a interação
Desdobramento da interaçãoDesdobramento da interação
fator A dentro de Dj (A/Dj) fator A dentro de Dj (A/Dj)
K
QMem̂V̂ ij
, , , ,V m m V m m V m mij i j ij ij ij i j K
2QMe=
i
2iC
K
QMeX̂V̂
Desdobramento da interaçãoDesdobramento da interação
fator D dentro de Afator D dentro de Aii (D/A (D/Aii) )
K
QMem̂V̂ ij
, , , ,V m m V m m V m mij i j ij ij ij i j K
2QMe=
j
2jC
K
QMeX̂V̂
TUKEY E DUNCANTUKEY E DUNCAN
Tukey:Tukey:
A/DA/Djj
D/AD/Aii
Duncan:Duncan:
A/DA/Djj e D/A e D/Aii
ADAD numa única ordenação numa única ordenação
K
QMe)GLcontr; médias (nZDu E
oαA/D j
K
QMe)GL(I;qΔ EαA/Dj
K
QMe)GL(J;qΔ EαD/Ai
K
QMe)GL(IJ;qΔ Eα
3) Um fator é quantitativo e 3) Um fator é quantitativo e interação não é significativainteração não é significativa
Normalmente Fator D = quantitativoNormalmente Fator D = quantitativo
Fator A = qualitativoFator A = qualitativo
JK
QMm̂V̂ E
i JK
2QMe,m̂m̂V̂ ii
i
2iC
JK
QMeX̂V̂
TUKEY E DUNCANTUKEY E DUNCANFator AFator A
Tukey:Tukey:
Duncan:Duncan:
JK
QMe)GL(I;qΔ EαA
JK
QMe)GLcontr; médias (nZDu E
oαA
Fator DFator D
Tabela auxiliar para análise de regressão do fator D
j Xj Y.j. Cj1 Cj2 Cj3 Cj1Y.j. Cj2Y.j. Cj3Y.j. 1 -2 2 -1 2 -1 -1 2 3 0 -2 0 4 1 -1 -2 5 2 2 1
Soma 0 0 0 Cj1Y.j. Cj1Y.j. Cj1Y.j. K 10 14 10 M 1 1 5/6
Tabela suplementar da análise para o fator D quantitativo
C.V. GL SQ QM F(sob H0) Fator D J-1 SQD ------ --------
RL 1 SQRL QMRL QMRL/QME RQ 1 SQRQ QMRQ QMRQ/QME RC 1 SQRC QMRC QMRC/QME Desvios J-4 SQDesv QMDesv QMDesv/QME
Erro GLE SQE QME
j
2j1
2
j jj1
RL CIK
.Y.CSQ
j
2j2
2
j jj2
RQ CIK
.Y.CSQ
j
2j3
2
j jj3
RC CIK
.Y.CSQ
SQ SQ SQ SQ SQDesv D RL RQ RC
Y Y IJK B M P B M P B M P B M P em m m .../ ...1 1 1 2 2 2 3 3 3
Grau 1
Grau 2
Grau 3
j
2j1
j jj1
CIK
.Y.C1B
j
2j2
j jj2
CIK
.Y.C2B
j
2j3
j jj3
CIK
.Y.C3B
P1=x
P xJ
22
2 1
12
P x x
J3
323 7
20
h
XXx
M1, M2, M3 = Tabelados no quadro auxiliar;
Cj1, Cj2, Cj3 = Tabelados.
Despadronizar a equação
4) Um fator é quantitativo e 4) Um fator é quantitativo e interação é significativainteração é significativa
Neste caso Fator D quantitativo Neste caso Fator D quantitativo (preferencialmente);(preferencialmente);
estudar a regressão do fator estudar a regressão do fator DD dentro de dentro de cada nível do fator cada nível do fator AA ( (A1A1, , A2A2, ... , ... AIAI););
Fator A: duas alternativasFator A: duas alternativas
Primeira alternativaPrimeira alternativa
JK
QMm̂V̂ E
i JK
2QMe,m̂m̂V̂ ii
i
2iC
JK
QMeX̂V̂
TUKEY E DUNCANTUKEY E DUNCANFator AFator A
Tukey:Tukey:
Duncan:Duncan:
JK
QMe)GL(I;qΔ EαA
JK
QMe)GLcontr; médias (nZDu E
oαA
Segunda alternativaSegunda alternativaDesdobramento da interaçãoDesdobramento da interação
fator A dentro de Dj (A/Dj) fator A dentro de Dj (A/Dj)
K
QMem̂V̂ ij
, , , ,V m m V m m V m mij i j ij ij ij i j K
2QMe=
i
2iC
K
QMeX̂V̂
TUKEY E DUNCANTUKEY E DUNCAN Tukey:Tukey:
A/DA/Djj
Duncan:Duncan:
A/DA/Djj
K
QMe)GLcontr; médias (nZDu E
oαA/D j
K
QMe)GL(I;qΔ EαA/Dj
Fator DFator D
Fazer uma regressão dos níveis do Fator D Fazer uma regressão dos níveis do Fator D dentro de cada nível do Fator Adentro de cada nível do Fator A
Dentro do A1Dentro do A1Tabela auxiliar para análise da regressão do fator D dentro do nível A1
J Xj Y1j. Cj1 Cj2 Cj3 Cj1Y1j. Cj2Y1j. Cj3Y1j. 1 30 289 -2 2 -1 -578 578 -289 2 35 288 -1 -1 2 -288 -288 576 3 40 308 0 -2 0 0 -616 0 4 45 320 1 -1 -2 320 -320 -640 5 50 267 2 2 1 534 534 267
Soma 200 1472 0 0 0 -12 -112 -86 K 10 14 10 M 1 1 5/6
Tabela suplementar para regressão do fator D dentro do nível 1 do fator A
C.V. GL SQ QM F(sob H0) Fator D/A1 J-1 SQD/A1 ------ ------
RL 1 SQRL QMRL QMRL/QME RQ 1 SQRQ QMRQ QMRQ/QME RC 1 SQRC QMRC QMRC/QME Desvios J-4 SQDesv QMDesv QMDesv/QME
Erro GLE SQE QME
JK
..Y.Y
K
1SQ
21
j
21jD/A1
j
2j1
2
j 1jj1
RL CK
.YCSQ
j
2j2
2
j 1jj2
RQ CK
.YCSQ
j
2j3
2
j 1jj3
RC CK
.YCSQ
RCRQRLADDesv SQSQSQSQSQ 1/
Grau 1
Grau 2
Grau 3
j
2j1
j 1jj1
CK
.YC1B
j
2j2
j 1jj2
CK
.YC2B
j
2j3
j 1jj3
CK
.YC3B
Y Y JK B M P B M P B M P B M P em m m1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ../ ...
P1=x; P xJ
22
2 1
12
;
P x xJ
33
23 7
20
;
h
XXx
M1, M2 e M3 = tabelados
Despadronizar a equação
5) Os dois fatores são quantitativos 5) Os dois fatores são quantitativos e interação não significativae interação não significativa
Regressão para os níveis do Fator A e Regressão para os níveis do Fator A e outra regressão para os níveis do Fator Doutra regressão para os níveis do Fator D
Fator AFator A
Tabela auxiliar para análise de regressão do fator D
i Xj Yi.. Cj1 Cj2 Cj3 Cj1Yi.. Cj2Yi.. Cj3Yi.. 1 0 -2 2 -1 2 50 -1 -1 2 3 100 0 -2 0 4 150 1 -1 -2 5 200 2 2 1
Soma 0 0 0 Cj1Yi.. Cj2Yi.. Cj3Yi.. K 10 14 10 M 1 1 5/6
Tabela suplementar da análise para fator A quantitativo.
C.V. GL SQ QM F(sob H0) Fator A I-1 SQA ---- ------
RL 1 SQRL QMRL QMRL/QME RQ 1 SQRQ QMRQ QMRQ/QME RC 1 SQRC QMRC QMRC/QME Desvios I-4 SQDesv QMDesv QMDesv/QME
Erro GLE SQE QME
i
2i1
2
i ii1
RL CJK
..YCSQ
i
2i2
2
i ii2
RQ CJK
..YCSQ
i
2i3
2
i ii3
RC CJK
..YCSQ
SQ SQ SQ SQ SQDesv A RL RQ RC
Y Y IJK B M P B M P B M P B M P em m m .../ ...1 1 1 2 2 2 3 3 3
Grau 1
Grau 2
Grau 3
i
2i1
i ii1
CJK
..YC1B
i
2i2
i ii2
CJK
..YC2B
i
2i3
i ii3
CJK
..YC3B
P1=x;
P xI
22
2 1
12
;
P x x
I3
323 7
20
h
XXx
M1, M2, M3 = Tabelados no quadro auxiliar;
Ci1, Ci2, Ci3 = Tabelados.
Despadronizar a equação
Fator DFator D
Tabela auxiliar para análise de regressão do fator D
j Xj Y.j. Cj1 Cj2 Cj3 Cj1Y.j. Cj2Y.j. Cj3Y.j. 1 -2 2 -1 2 -1 -1 2 3 0 -2 0 4 1 -1 -2 5 2 2 1
Soma 0 0 0 Cj1Y.j. Cj1Y.j. Cj1Y.j. K 10 14 10 M 1 1 5/6
Tabela suplementar da análise para o fator D quantitativo
C.V. GL SQ QM F(sob H0) Fator D J-1 SQD ------ --------
RL 1 SQRL QMRL QMRL/QME RQ 1 SQRQ QMRQ QMRQ/QME RC 1 SQRC QMRC QMRC/QME Desvios J-4 SQDesv QMDesv QMDesv/QME
Erro GLE SQE QME
j
2j1
2
j jj1
RL CIK
.Y.CSQ
j
2j2
2
j jj2
RQ CIK
.Y.CSQ
j
2j3
2
j jj3
RC CIK
.Y.CSQ
SQ SQ SQ SQ SQDesv D RL RQ RC
Y Y IJK B M P B M P B M P B M P em m m .../ ...1 1 1 2 2 2 3 3 3
Grau 1
Grau 2
Grau 3
j
2j1
j jj1
CIK
.Y.C1B
j
2j2
j jj2
CIK
.Y.C2B
j
2j3
j jj3
CIK
.Y.C3B
P1=x
P xJ
22
2 1
12
P x x
J3
323 7
20
h
XXx
M1, M2, M3 = Tabelados no quadro auxiliar;
Cj1, Cj2, Cj3 = Tabelados.
Despadronizar a equação
6) Os dois fatores quantitativos e 6) Os dois fatores quantitativos e interação significativainteração significativa
Superfície respostaSuperfície resposta
Modelo de regressão linear múltiplaModelo de regressão linear múltipla
Y X X X X X X 0 1 1 11 12
2 2 22 22
12 1 2
~ ~Y X
~Y é o vetor das médias Yij com i = 1,2, ...I e j = 1,2, ... J;
X é a matriz das variáveis independentes =
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~1 1 1
22 2
21 2X X X X X X
;
~
é o vetor dos parâmetros = 0 1 11 2 22 12
''
é o vetor dos desvios das médias estimadas em relação ao modelo.
~
= (X'X)-1 X'Y
Pelo Método dos Mínimos Quadrados
X'X=X'Y
EXPRESSÃO MÁGICA DA REGRESSÃO
I=3 para X1 = [ 0; 10; 20 ] '
J=4, para X2 = [ 0; 4; 8; 12 ]'.
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~Y X X X X X X
1 1 1
22 2
21 2
Y11 1 0 0 0 0 0 0 11
Y12 1 0 0 4 16 0 1 12
Y13 1 0 0 8 64 0 11 13
Y14 1 0 0 12 144 0 2 + 14
Y21 1 10 100 0 0 0 22 21
Y22 = 1 10 100 4 16 40 12 22
Y23 1 10 100 8 64 80 23
Y24 1 10 100 12 144 120 24
Y31 1 20 400 0 0 0 31
Y32 1 20 400 4 16 80 32
Y33 1 20 400 8 64 160 33
Y34 1 20 400 12 144 240 34
Determinação do ponto crítico e Determinação do ponto crítico e da sua naturezada sua natureza
' ' Y X a X AX 0
XX
X 1
2
a
1
2
/
/ A
11 12
12 22
2
2
X A a* 1
21
Aa b
c d A
ad cb
d b
c a
1 1
Natureza do ponto crítico Natureza do ponto crítico
Estimativas dos autovalores característicos da Estimativas dos autovalores característicos da matriz matriz A
A I é igual a zero (I = matriz identidade).
Regra de decisãoRegra de decisão
1 <0 e 2 <0 então o ponto crítico é de máximo;
1 >0 e 2 >0 então o ponto crítico é de mínimo;
1 <0 e 2 >0 ou 1 >0 e 2 <0 então o ponto crítico é de sela
COEFICIENTE DE COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃODETERMINAÇÃO
Para cada tipo de regressão uma fórmula Para cada tipo de regressão uma fórmula específicaespecífica
SQD
ajustado)rau SQmodelo(gr 2
Regressão dos níveis do Fator D
Regressão dos níveis do Fator A
SQA
ajustado)rau SQmodelo(gr 2
Regressão dos níveis do Fator D dentro de cada nível do Fator A
D/Ai
2
SD
ajustado)rau SQmodelo(gr
SQAD)SQD(SQA
SQmodeloR 2
Superfície de resposta (Fatores quantitativos e interação significativa)
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