Experimentos Fatoriais · Em geral, os experimentos fatoriais s~ao mais e cientes para este tipo de...

Esquema Fatorial

Experimentos Fatoriais

Lucas Santana da Cunhahttp://www.uel.br/pessoal/lscunha

12 marco de 2020

1 / 23

Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Introducao

Nos experimentos mais simples comparamos nıveis (tratamen-tos) de apenas um fator;

Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devemser estudados simultaneamente para que possam nos conduzira resultados de interesse;

Em geral, os experimentos fatoriais sao mais eficientes paraeste tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, osefeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou maisnıveis.

2 / 23

Esquema Fatorial


O fatorial e um tipo de esquema, ou seja, uma das maneirasde organizar os tratamentos e nao um tipo de delineamento;

Os experimentos fatoriais sao montados segundo um tipo dedelineamento experimental;

Nos experimentos fatoriais, os tratamentos sao obtidos pelascombinacoes dos nıveis dos fatores.

3 / 23

Esquema Fatorial


Exemplo 1

Num experimento fatorial pode-se combinar 2 doses de um an-tibiotico com 2 diferentes nıveis de vitamina B12.

Neste caso tem-se um fatorial 2 × 2, com os fatores Antibioticos(A) e Vitamina (V ), que ocorrem em 2 nıveis (A1 e A2) e 2 nıveis(V1,V2), respectivamente, e os 2× 2 = 4 tratamentos seriam:

A1V1 A1V2 A2V1 A2V2.

4 / 23

Esquema Fatorial


Exemplo 2

Num experimento fatorial pode-se combinar 3 doses de uma drogacom 2 idades distintas.

Neste caso tem-se um fatorial 3 × 2 pode-se combinar 3 Doses deuma droga (D1, D2 e D3), 2 Idades (I1 e I2) e tem-se 3 × 2 = 6tratamentos, que seriam:

D1I1 D1I2

D2I1 D2I2

D3I1 D3I2

5 / 23

Esquema Fatorial


Tipos de efeitos avaliados

Efeito Principal: e o efeito de cada fator, independente doefeito dos outros fatores;

Efeito de Interacao: e o efeito simultaneo dos fatores sobrea variavel em estudo. Dizemos que ocorre interacao entre osfatores quando os efeitos dos nıveis de um fator sao modificadospelos nıveis do outro fator.

6 / 23

Esquema Fatorial


Exemplo 1

Consideremos um experimento fatorial 2 × 2, com os fatores, An-tibiotico (H) e Vitamina B12 (V) nos nıveis:

H1 (sem antibiotico) e H2 (com antibiotico);

V1 (sem vitamina B12) e V2 (com vitamina B12),

adicionados a uma dieta basica. Suponha os seguintes resultados deganho de peso (kg), para os 2 × 2 = 4 tratamentos, nas seguintessituacoes:

7 / 23

Esquema Fatorial


Nao ha interacao entre os fatores

Fator H Fator B – Vitamina B12Totais

Dose do antibiotico V1 V2

H1 20 40 50

H2 30 52 92

Totais 60 82 142

8 / 23

Esquema Fatorial


Ha interacao entre os fatores

Fator H Fator B – Vitamina B12Totais

Dose do antibiotico V1 V2

H1 20 50 70

H2 40 10 50

Totais 60 60 120

9 / 23

Esquema Fatorial


Vantagens

As principais vantagens dos experimentos fatoriais em relacaoaos experimentos simples sao:

1 Pode-se estudar dois ou mais fatores num unico experimento.

2 Pode-se, por meio dos efeitos das interacoes, verificar se umfator e independente ou dependente do(s) outro(s).

10 / 23

Esquema Fatorial


Desvantagens

As principais desvantagens dos experimentos fatoriais sao:

1 O numero de tratamentos ou combinacoes de nıveis de fatorescresce, rapidamente, com o aumento do numero de nıveis, emcada fator, ou mesmo com o aumento do numero de fatores.

2 A interpretacao dos resultados se torna mais difıcil a medida queaumentamos o numero de nıveis e de fatores no experimento.

11 / 23

Esquema Fatorial


Tabulacao com dois fatores

Seja yijk a resposta observada para o i-esimo nıvel (i = 1, 2, . . . , a) do fator

A e j-esimo nıvel (j = 1, 2, . . . , b) do fator B, para a k-esima repeticao

(k = 1, 2, . . . , n). Em geral, os dados serao apresentados na forma da

Tabela 1.

Tabela 1: Arranjo geral para um experimento fatorial.

Fator B

1 2 . . . b

1 y111, y112, . . . , y11n y121, y122, . . . , y12n . . . y1b1, y1b2, . . . , y1bn

2 y211, y212, . . . , y21n y221, y222, . . . , y22n . . . y2b1, y2b2, . . . , y2bn

Fator A

......

......

...

a ya11, ya12, . . . , ya1n ya21, ya22, . . . , ya2n . . . yab1, yab2, . . . , yabn

12 / 23

Esquema Fatorial


Modelo estatıstico

As observacoes podem ser descritas pelo modelo estatıstico li-near:

yijk = µ+ τi + βj + (τβ)ij + εijk

{i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , bk = 1, 2, . . . , n

em que

µ e o efeito da media geral;

τi e o efeito do i-esimo nıvel do fator A;

βj e o efeito do j-esimo nıvel do fator B;

(τβ)ij e o efeito da interacao entre τi e βj ;

εijk e o componente de erro aleatorio.

13 / 23

Esquema Fatorial


No experimento fatorial, em geral, deseja-se testar primeiramente asignificancia da interacao entre os fatores. Isto e:

H0 : (τβ)ij = 0 para todo i , j

H1 : Pelo menos um (τβ)ij 6= 0

Caso a interacao nao seja significativa, testa-se os efeitos principais:

H0 : τ1 = τ2 = . . . τa = 0

H1 : Pelo menos um τi 6= 0

H0 : β1 = β2 = . . . βb = 0

H1 : Pelo menos um βj 6= 0

14 / 23

Esquema Fatorial


Do modelo estatıstico

yijk = µ+ τi + βj + (τβ)ij + εijk

{i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , bk = 1, 2, . . . , n

Tem-se que os estimadores de mınimos quadrados para µ, τi ,βj e (τβ)ij sao

µ = y ;τi = yi − y , i = 1, 2, . . . , a;

βj = yj − y , j = 1, 2, . . . , b;

ˆ(τβ)ij = yij − yi − yj − y ,i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , b

15 / 23

Esquema Fatorial


ANAVA

Tabela 2: Analise de variancia para um experimento fatorial com 2fatores.

C.V. G.L. S.Q. Q.M. Fcal

A a− 1 SQA QMA = SQA

a−1 Fcal = QMA

QMRes

B b − 1 SQB QMB = SQA

b−1 Fcal = QMB

QMRes

A× B (a− 1)(b − 1) SQA×B QMA×B = SQA×B(a−1)(b−1) Fcal = QMA×B

QMRes

Resıduo ab(n − 1) SQRes QMRes = SQRes

ab(n−1)

Total abn − 1 SQTotal

16 / 23

Esquema Fatorial


Soma de quadrados

Assim, tem-se:

SQTotal = SQA + SQB + SQA×B︸︷︷︸+SQRes ,

de forma que a soma de quadrados total e dada por:

SQTotal =a∑

i=1

b∑j=1

n∑k=1

y2ijk −

(∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 yijk

)2

abn

As somas de quadrados para os efeitos principais sao:

SQA =a∑

i=1

T 2Ai

bn−

(∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 yijk

)2

abn

SQB =b∑

j=1

T 2Bj

an−

(∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 yijk

)2

abn

17 / 23

Esquema Fatorial


Para o calculo da soma de quadrados da interacao, SQAxB , deve-se, ini-cialmente, calcular a soma de quadrados do efeito conjunto de A e B,denotada por SQA,B . Logo,

SQA,B =a∑

i=1

b∑j=1

T 2AiBj

n−

(∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 yijk

)2

abn

Esta soma de quadrados contem SQA e SQB . Portanto, a soma de qua-drados da interacao e:

SQAxB = SQA,B − SQA − SQB ,

e, a soma de quadrados de resıduos, obtem pela diferenca:

SQRes = SQTotal − SQA − SQB − SQAxB .

Obs.: Nos experimentos fatoriais com 2 fatores, a soma de quadrados do

efeito conjunto e sempre igual a soma de quadrados de tratamentos.

18 / 23

Esquema Fatorial


Exemplo 1Consideremos um experimento para avaliar tres tipos de silagens e dois tipos de manejo a variacao do ganho diariode peso para bovinos em confinamento. Para tanto, utilizou-se um esquema fatorial duplo, em um delineamentointeiramente casualizado, com tres repeticoes. Os dados encontram-se abaixo:

Tipos de SilagemTipos de Manejo

Milho Sorgo Polpa

890 750 700A 870 760 730

1000 780 720

870 740 730B 890 760 740

850 780 710

Ao nıvel de 1% de significancia, pede-se no R:a) Ha efeito da interacao entre os fatores Manejo e Silagem no ganho medio de peso diario dos bovinos.b) Ha efeito do fator principal Tipos de Silagem? Se sim, ha um melhor tipo para o ganho medio do peso dosbovinos?

c) Ha efeito do fator principal Tipos de Manejo? Se sim, ha um melhor tipo de manejo para o ganho medio do peso

dos bovinos?

19 / 23

Esquema Fatorial


Interacao Significativa

Quando a hipotese H0 para a interacao entre os fatores e re-jeitada, entao dizemos que a interacao e significativa.

Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de formadependente, ou seja, o efeito de um fator depende do nıvel dooutro fator.

Assim, nao e recomendado realizar o teste F para cada fatorisoladamente tal como foi apresentado para o caso da interacaonao significativa.

20 / 23

Esquema Fatorial


O procedimento recomendado e realizar o desdobramento doefeito da interacao.

Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova analisede variancia em que os nıveis de um fator sao comparados den-tro de cada nıvel do outro fator.

21 / 23

Experimentos Fatoriais · Em geral, os experimentos fatoriais s~ao mais e cientes para este tipo de...

Documents

Transcript of Experimentos Fatoriais · Em geral, os experimentos fatoriais s~ao mais e cientes para este tipo de...