MOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EXPERIMENTOSrodrigo/Disciplinas/MOQ14/S11.pdf · 11 Experimentos...

MOQ-14

PROJETO e ANÁLISE de

EXPERIMENTOS

Professor: Rodrigo A. Scarpel

[email protected]

www.mec.ita.br/~rodrigo

mailto:[email protected]

http://www.mec.ita.br/~rodrigo

Programa do curso:

Semana Conteúdo

1 Apresentação da disciplina. Princípios de modelos lineares de regressão. Correlação amostral.

2 Regressão linear simples: hipóteses do modelo, estimação de parâmetros, propriedades e inferência dos estimadores.

3 Análise de variância (ANOVA) em regressão. Intervalos de confiança e de previsão. Análise dos resíduos.

4 Diagnósticos e reparação de problemas em regressão. Transformações.

5 Regressão linear forma matricial: estimação dos parâmetros, inferência dos estimadores, intervalos de confiança.

6 Prova

7Princípios de regressão linear múltipla. Diagnósticos e reparação dos problemas em regressão linear múltipla.

Multicolinearidade e seus efeitos.

8 Seleção de variáveis. Modelos polinomiais. Modelos com variáveis qualitativas.

9Introdução ao projeto de experimentos: estratégia de experimentação, princípios básicos e aplicações típicas.

Experimentos inteiramente casualizados. Análise de variância.

10 Experimentos fatoriais com dois ou mais fatores.

11 Experimentos fatoriais 2k. Pontos centrais.

12 Experimentos em blocos casualizados. blocagem em experimentos 2k.

13 Prova

14 Experimentos fatoriais fracionados.

15 Experimentos com fatores quantitativos. Métodos de superfície de resposta.

16 Otimização de produtos e processos. Projetos robustos.


[email protected]


EXPERIMENTOS

FATORIAIS 2k



Processo de experimentação:

A experimentação é feita de forma seqüencial:

1. O primeiro experimento em um sistema complexo (possui muitas

variáveis de controle) é um piloto (screening experiment). É utilizado

na identificação das variáveis mais importantes.

2. Experimentos subseqüentes são feitos para refinar a informação e

determinar quais ajustes nas variáveis críticas são necessários para

melhorar o sistema.

3. Otimização: é o objetivo final da experimentação. Consiste em

determinar os níveis ótimos das variáveis críticas (resultarão no sistema

com a melhor performance possível).

Os experimentos fatoriais 2k são empregados no primeiro experimento

(screening experiment) na identificação das variáveis / efeitos mais

significativos, quando há muitos fatores a serem analisados.

Quando, em um experimento, há vários fatores de interesse, um

experimento fatorial 2k deve ser usado.

Nesse tipo de experimento, os níveis dos fatores são binários (comumente

denotados por “baixo” e “alto”).

Desta forma, é realizado um experimento fatorial completamente

casualizado (em cada replicação, todas as combinações dos k fatores são

realizadas 2k combinações).

Exemplo: (k=2 fatores, n=4 replicações)

Introdução:

OBS: a ordem de coleta deve ser completamente casualizada

x1

2

ídax

1

2

Fatores Controláveis ídax

1

2

ída y : viscosidade do produtoProcesso Químico

x : Concentração de reagente1

x : Taxa de alimentaçãoSaída 1

Baixo Alto

Baixa 145, 148, 147, 140 158, 152, 155, 152

Alta 135, 138, 141, 139 150, 152, 146, 149

Concentração de reagente

Taxa de

alimentação

Baixa Alta

Baixa 580 617

Alta 553 597


Taxa de

alimentação

TOTAL

Após o planejamento do experimento e da coleta dos dados, o próximo

passo é fazer a análise dos dados.

Procedimento de análise (experimentos 2k):

1. Estimar os efeitos (principais e interações) dos fatores

2. Fazer o teste estatístico (ANOVA) para verificar quais efeitos são

significativos

3. Criar um modelo tomando apenas os efeitos significativos

4. Fazer a análise dos resíduos (graficamente)

5. Interpretar os resultados

Introdução:

No caso em que há apenas k=2 fatores, temos que:

Experimento fatorial 22 :

A

B

BAIXO

(-)

BAIXO

(-)

ALTO

(+)

ALTO

(+)

(1) a

abb Tratamento A B AB

(1) – – +

a + – –

b – + –

ab + + +

12

1

2

1

2

12

1

2

1

2A

principaisEfeitos

ababnn

a

n

bab

By

ByB

baabnn

b

n

aab

Ay

Ay

contraste

baab

nn

ba

n

ab

1

2

1

22

1AB:interaçãoda Efeito

contraste

Exemplo:


(1)=580 a= 617

ab= 597b= 553

A: Concentração de reagente

Baixa:15% Alta:25%

B: T

axa de alim

entação

Alta:3

0 lb

/h

Baixa:2

0 lb

/h

Baixa Alta

Baixa 580 617

Alta 553 597


Taxa de

alimentação

TOTAL

875,558061755359742

1

125,1058055361759742

1A

principaisEfeitos

By

ByB

Ay

Ay

875,0553617580597

42


Efeito Principal: Taxa de alimentação

140,00

141,00

142,00

143,00

144,00

145,00

146,00

147,00

148,00

149,00

150,00

151,00

Baixa Alta

Taxa de alimentaçãoR

esp

so

ta M

éd

ia

Efeito Principal: Concnetração de reagente

136

138

140

142

144

146

148

150

152

154

Baixa Alta


Resp

osta

Méd

ia

Gráfico de Interação

130,00

135,00

140,00

145,00

150,00

155,00

160,00

Baixa Alta


Resp

osta

Méd

ia

Taxa de alimentação = Baixa Taxa de alimentação = Alta


Cálculo das somas de quadrados:

SQT = SQA + SQB + SQ(AB) + SQE

Decomposição dos graus de liberdade:

Cada efeito principal e o efeito de interação têm um grau de

liberdade único.

Desta forma, os quadrados médios dos efeitos principais e do

efeito de interação é igual as respectivas somas de quadrados.

n

baab

n

abab

n

baabyySQE

i j

n

l

ijl

4

1

4

1

4

1

22

22

2

1

2

1 1...

Análise de variância:

Efeito A será significativo se

Efeito B será significativo se

Efeito AB será significativo se


Fonte de

variação

Soma dos

quadrados

Graus de

liberdade Quadrado médio f calculado

Fator A SQA 1 SQAsA 2 2

2

E

AA s

sf

Fator B SQB 1 SQBsB 2 2

2

E

BB s

sf

Interação AB SQ(AB) 1 ABSQsAB 2 2

2

E

ABAB s

sf

Resíduos SQE 22n – 1 – 3

4232

nSQE

sE

Total SQT 22n - 1

44,1,2

2

nE

AA f

s

sf

44,1,2

2

nE

BB f

s

sf

44,1,2

2

nE

ABAB f

s

sf

Exemplo:


25,1000625,30625,1380625,4104375,651

0625,13844

47

0625,41044

81

2

2

SQE

SQB

SQA

4375,651...

0625,344

7

2

1

2

1 1

2

...

i j

n

l

ijl yySQT

SQAB

Fonte de

variação

Soma dos

quadrados

Graus de

liberdade

Quadrado

médiof calculado Valor -P

A 410,0625 1 410,0625 49,08 0,0000142

B 138,0625 1 138,0625 16,53 0,0016

AB 3,0625 1 3,0625 0,37 0,5562

Resíduo 100,2500 12 8,3542

Total 651,4375 15


Análise do experimento por regressão:

É simples converter os efeitos estimados por projetos fatoriais 2k em um

modelo de regressão que pode ser utilizado para:

Avaliar a significância dos efeitos (principais e de interações)

Prever a variável resposta em qualquer ponto do espaço de atributos.

Modelo de primeira ordem sem interação:

Modelo de primeira ordem com interação:

Como o experimento é ortogonal, temos que:

22110 xxy

21322110 xxxxy

I

nXXInXX

k

k

2

1´2´

1F

st

ns

YXIn

k

k

2

ˆ

2

ˆ

ˆ

2ˆ

´2

1ˆ


Análise do experimento por regressão:

Sem interação: Com interação:

n

n

y

abba

abba

abba

n

B

A

4/

4/

..

ˆ

1

1

1

4

1ˆ

contraste

contraste

111

111

111

1111

X

ab

b

aY

1111

1111

1111

11111

X

ab

b

aY

n

n

n

y

abba

abba

abba

abba

n

AB

B

A

4/

4/

4/

..

ˆ

1

1

1

1

4

1ˆ

contraste

contraste

contraste


No exemplo:

2

2

2

2

2

875,5

2

125,106875,146ˆ

TxAlimTxAlim

TxAlimTxAlimTxAlim

ConcConc

ConcConcConcqueem

2

1

21

baixaalta

altabaixa

baixaalta

altabaixa

x

x

xxy

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P

Interseção 146,6875 0,72259 203,0026 1,37302E-22

Concentração Reagente 5,0625 0,72259 7,0061 0,0000142

Taxa de alimentação -2,9375 0,72259 -4,0652 0,0015669

Interação 0,4375 0,72259 0,6055 0,5561505

Fonte de

variaçãof calculado Valor -P

A 49,08 0,0000142

B 16,53 0,0016

AB 0,37 0,5562

Resíduo

Total

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores

Interseção 146,6875 0,70477 208,1365 2,741E-24 145,16495 148,21005

Concentração Reagente 5,0625 0,70477 7,1832 7,121E-06 3,53995 6,58505

Taxa de alimentação -2,9375 0,70477 -4,1681 1,103E-03 -4,46005 -1,41495


O modelo de regressão:

R2 = (SQA + SQB)/ SQT = (410,0625+138,0625)/651,4375 = 0,8414

Como em todo modelo de regressão, a análise dos resíduos é

necessária:

➯ Desta forma, é possível considerar o modelo apropriado

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

136 138 140 142 144 146 148 150 152 154 156

Valores Preditos

Re

síd

uo

s p

ad

ron

iza

do

s

130

135

140

145

150

155

160

0 20 40 60 80 100

Percentil

Re

sp

os

ta


A superfície de resposta:

220

2309375,2

2%15

2%250625,56875,146ˆ

30

20TxAlim

25%

15%ConcSendo y

No caso em que há k = 3 fatores, temos que:


Tratamento A B C AB AC BC ABC

(1) – – – + + + –

a + – – – – + +

b – + – – + – +

ab + + – + – – –

c – – + + + – +

ac + – + – + – –

bc – + + – – + –

abc + + + + + + +

A

C

-1(1) a

acc

b ab

bc

B

abc

-1

-1

+1

+1

+1

n

bcacab

n

abccba

n

bccb

n

abcacaba

ABC

A

4

1

4

4

1

4

de Efeito

de Efeito

Efeitos no experimento 23:


A

C

-1(1) a

acc

b ab

bc

B

abc

-1

-1

+1

+1

+1


Cálculo das somas de quadrados:

SQT = SQA + SQB + SQC + SQ(AB) + SQ(AC) + SQ(BC)+

SQ(ABC)+ SQE

efeitosi j k

n

l

ijkl

i j k

n

l

ijkl

n

contrasteyySQE

n

ababcacbcabc

n

bcabccacbabayySQE

3

22

2

1

2

1

2

1 1

2

22

2

1

2

1

2

1 1

2

8

1

8

1

....

....

Análise de variância:


Fonte de

variação

Soma dos

quadrados

Graus de

liberdadeQuadrado médio f calculado

Fator A SQA 1 SQAsA2

2

2

E

AA s

sf

Fator B SQB 1 SQBsB2

2

2

E

BB s

sf

Fator C SQC 1 SQCsC2

2

2

E

CC s

sf

Interação AB SQ(AB) 1 ABSQsAB2

2

2

E

ABAB s

sf

Interação AC SQ(AC) 1 ACSQsAC2

2

2

E

ACAC s

sf

Interação BC SQ(BC) 1 BCSQsBC2

2

2

E

BCBC s

sf

Interação

ABCSQ(ABC) 1 ABCSQsABC

22

2

E

ABCABC s

sf


823

2

nSQE

sE

Total SQT 23n - 1

Fonte de

variação

Soma dos

quadrados

Graus de



2

2

E

AA s

sf


2

2

E

BB s

sf


2

2

E

CC s

sf


2

2

E

ABAB s

sf


2

2

E

ACAC s

sf


Fonte de

variação

Soma dos

quadrados

Graus de



2

2

E

AA s

sf


2

2

E

BB s

sf


2

2

E

CC s

sf


2

2

E

ABAB s

sf


2

2

E

ACAC s

sf


2

2

E

BCBC s

sf

Interação

ABCSQ(ABC) 1 ABCSQsABC

22

2

E

ABCABC s

sf


823

2

nSQE

sE

Total SQT 23n - 1

No caso em que há k fatores, teremos:

Experimento fatorial geral 2k :

fatoresdosinteraçãodeefeitos

fatores3deinteraçãodeefeitos

fatores2deinteraçãodeefeitos

principaisefeitos

3

2

kk

k

k

k

k

Quando k é grande, a replicação de cada combinação dos fatores não

costuma ser realizada (quantidade proibitiva).

Assim, se todos os efeitos principais e de interação forem incluídos no

modelo do experimento, não sobram graus de liberdade para o resíduo.

Uma alternativa para este caso é empregar os gráficos de probabilidade

Normal (Q-Q Normal) para determinar a importância relativa dos efeitos.

Procedimento:

1. Calcule os efeitos: efeito = contraste / 2k-1

2. Construa um gráfico de probabilidade Normal com todos os efeitos

3. Os efeitos que caírem fora de uma linha reta devem ser considerados

relevantes

4. Faça a análise de variância para verificar a significância dos efeitos

avaliados como relevantes.

Experimento fatorial 2k não replicado:

Exemplo:

Um experimento fatorial 24 foi usado na investigação dos efeitos de 4

fatores na taxa de filtração de uma resina. Os fatores são: A = temperatura,

B = pressão, C = razão molar, D= velocidade de agitação


Exemplo:

Desta forma, os efeitos relevantes são: A (temperatura), C (razão molar), D

(velocidade de agitação), AC (temperatura x razão molar) e AD

(temperatura x velocidade de agitação)


Exemplo:



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PONTOS CENTRAIS em

EXPERIMENTOS 2k



Introdução:

Uma preocupação potencial no uso de experimentos 2k é a suposição de

linearidade nos efeitos dos fatores (como se trata de um projeto piloto, a

linearidade perfeita é desnecessária).

Nos casos em que a protação contra curvatura é necessária, a replicação de

pontos centrais (nc replicações no ponto xi = 0, i=1,…,k) é recomendada.

Exemplo:

(1)=39,3 a= 40,9

ab= 41,5b= 40,0

A: Tempo de reação (min)

Baixa:30 Alta:40

B: T

emp

eratura ( oC

)

Alta: 1

60

Baixa:1

50

40,3

40,5

40,7

40,2

40,6

35

155

-1 10-1

10

x : temperatura (o C)ídaFatores Controláveis: ída

2

ída y : rendimento do processo (%)Processo Químico

x : tempo de reação (min)1 Saída 1

Pontos Centrais - Avaliação:

As replicações são feitas nos pontos centrais pois desta forma não

repercutem nas demais estimativas de efeitos (principais e de interações):

Avaliação da linearidade: sejam yF a média das observações nos pontos

fatoriais e yC a média das nc observações no ponto central. Se a diferença

yF – yC não for significativa, então o ponto central estará próximo do plano

que passa através dos pontos fatoriais não havendo, portanto, curvatura.

Estatística do teste:

12

1

12

1A

:principaisEfeitos

ababnB

yB

yB

baabnA

yA

y

baabn

12


Cn

FnC

yF

y112ˆt

curvatura


Exemplo:

Como tcurvatura < 2,306, não há evidência de curvatura na resposta, na região

de exploração (=5%).

252,0

5

1

4

1043,0

46,40425,40tcurvatura

425,404/5,419,400,403,39y

043,04

46,40

1ˆ

46,405/6,402,407,405,403,40y

F

5

1

22

2

C

i

i

C

centraispontos

Ci y

n

yy

(1)=39,3 a= 40,9

ab= 41,5b= 40,0

A: Tempo de reação (min)

Baixa:30 Alta:40

B: T

emp

eratura ( oC

)

Alta: 1

60

Baixa:1

50

40,3

40,5

40,7

40,2

40,6

35

155

-1 10

-11

0


De forma alternativa, é possível testar a curvatura por análise de regressão:

Modelo:

Se os efeitos jj não forem significativos, diz-se que não há curvatura.

Exemplo:

k

j

jjj

ji

jiij

k

j

jj xxxxy1

2

1

0

RESUMO DOS RESULTADOS

Estatística de regressão

R múltiplo 0,97093208

R-Quadrado 0,942709104

R-quadrado ajustado 0,885418209

Erro padrão 0,207364414

Observações 9

ANOVA

gl SQ MQ F F de significação

Regressão 4 2,830222222 0,707555556 16,4547804 0,009470654

Resíduo 4 0,172 0,043

Total 8 3,002222222

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores

Interseção 40,46 0,09274 436,29140 0,00000 40,20252254 40,71747746

A: Tempo reação 0,775 0,10368 7,47476 0,00171 0,487131448 1,062868552

B: Temperatura 0,325 0,10368 3,13458 0,03503 0,037131448 0,612868552

AB -0,025 0,10368 -0,24112 0,82132 -0,312868552 0,262868552

Curvatura = A2 = B

2-0,035 0,13910 -0,25161 0,81374 -0,42121619 0,35121619

Para casa:

• Laboratório 8 (site: www.mec.ita.br/~rodrigo/)

• Lista de exercícios 3 (site: www.mec.ita.br/~rodrigo/)

• Leitura: Walpole et al. – cap. 15 (15.1 a 15.6): Experim. fatoriais 2k e frações

Montgomery e Runger – cap.14 (14.7): Desing of experiments ...

http://www.mec.ita.br/~rodrigo/

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