A FIacuteSICA DO MAGNETISMO

1 CAMPOS MAGNEacuteTICOS

11 Campo de uma forccedila

Na fiacutesica o campo de uma forccedila eacute frequumlentemente mais importante que a magnitude

absoluta da forccedila Pode-se definir campo de uma forccedila como sendo a forccedila que age um

uma unidade de material Por exemplo o campo eleacutetrico produzido por um corpo de carga

qo em determinada posiccedilatildeo eacute a forccedila que age em uma carga unitaacuteria naquele local

O campo eleacutetrico em um ponto do espaccedilo a uma distacircncia r da carga qo eacute dado por

E π ε (11)

εo eacute a constante de permissividade (885 x 10-12 faradm)

Assim a forccedila que atua em uma segunda carga q eacute dada por

middot (12)

Do mesmo modo o campo gravitacional nas vizinhanccedilas de uma massa M eacute a forccedila

que ela exerce em uma unidade de massa Pela segunda lei de Newton a forccedila de atraccedilatildeo

gravitacional (F) que atua em um segundo corpo de massa m eacute representada pelo produto

da massa m pela aceleraccedilatildeo gravitacional (ag) imposta ao corpo

middot (13)

Se a massa m for unitaacuteria entatildeo podemos deduzir que a proacutepria aceleraccedilatildeo

gravitacional corresponde ao campo gravitacional Por outro lado a lei de gravitaccedilatildeo de

Newton diz que a forccedila de atraccedilatildeo gravitacional (F) entre dois corpos de massas m e M eacute

proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia

entre eles

G M (14)

onde G eacute a constante de proporcionalidade denominada de Constante Gravitacional

Universal e ŕ eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo da reta que une os centros de massa dos dois

corpos

Igualando as expressotildees (13) e (14) teremos para a aceleraccedilatildeo gravitacional a

expressatildeo G M (15)

O campo de uma forccedila eacute representado por linhas de campo Em qualquer lugar do

espaccedilo a forccedila eacute tangencial agrave linha de campo e a intensidade da forccedila eacute representada pelo

nuacutemero de linhas de campo por unidade de aacuterea da seccedilatildeo transversal O campo

gravitacional e o campo eleacutetrico satildeo radiais A Figura 11 mostra a representaccedilatildeo do campo

eleacutetrico para cargas positivas e negativas

Figura 11 Representaccedilatildeo esquemaacutetica das linhas de campo eleacutetrico produzidas por

cargas de prova positivas e negativas respectivamente

Jaacute o campo magneacutetico eacute mais complexo Gauss mostrou que natildeo existem poacutelos

magneacuteticos livres ie natildeo existem monopolos Haveraacute sempre um poacutelo magneacutetico positivo

formando par com um poacutelo magneacutetico negativo O mais importante campo magneacutetico eacute o

de um dipolo magneacutetico o qual representa a componente dominante do campo

geomagneacutetico O dipolo magneacutetico mais simples eacute formado por duas cargas magneacuteticas de

sinais opostos infinitamente proacuteximas uma da outra

A Figura 12 mostra trecircs sistemas fiacutesicos que apresentam campo dipolar uma barra

de iacutematilde uma espira de corrente e uma esfera uniformemente magnetizada Todos estes

sistemas apresentam representaccedilotildees de campos magneacuteticos similares como pode ser visto

na figura

Figura 12 Linhas de campo caracteriacutesticas de um dipolo magneacutetico satildeo encontradas em

torno de uma barra de iacutematilde (a) de uma espira passando uma corrente eleacutetrica (b) e de uma

esfera uniformemente magnetizada (c) (Fonte Lowrie 1997)

Os experimentos de Coulomb em 1875 estabeleceram que a forccedila exercida entre

poacutelos magneacuteticos de iacutematildes eacute proporcional ao inverso do quadrado da distacircncia de separaccedilatildeo

entre eles Gauss expandiu as observaccedilotildees de Coulomb e atribuiu as forccedilas de atraccedilatildeo e

repulsatildeo a cargas ou poacutelos magneacuteticos fictiacutecios A lei que governa a forccedila (F) entre dois

poacutelos magneacuteticos p1 e p2 situados a uma distacircncia r entre si pode ser formulada por

K (16)

onde K eacute uma constante de proporcionalidade e eacute o vetor unitaacuterio paralelo a reta que une

os dois poacutelos

Embora poacutelos magneacuteticos livres natildeo existam muitas propriedades magneacuteticas

podem ser resolvidas em termos de poacutelos magneacuteticos fictiacutecios De forma similar agrave definiccedilatildeo

de campo eleacutetrico e campo gravitacional podemos definir o campo magneacutetico B(r)

exercido por um poacutelo magneacutetico de intensidade p em um poacutelo magneacutetico unitaacuterio situado a

uma distacircncia r como sendo igual a

K (17)

eacute o vetor unitaacuterio paralelo a reta que une os dois poacutelos saindo do poacutelo p Se

colocarmos o valor de K = 1 (adimensional) a unidade de campo magneacutetico teraacute dimensotildees

de dyna12 cm-1 no cgs e eacute chamada de Gauss No sistema internacional (SI) de unidades

K natildeo eacute adimensional sendo definido por

K micro (18)

onde microo eacute a constante de permeabilidade (4π x 10-7 NA-2)

12 Potencial de um poacutelo magneacutetico

O potencial gravitacional eacute definido como sendo a energia potencial de uma unidade

de massa em um campo gravitacional Calcula-se o potencial gravitacional a uma distacircncia

r do centro de gravidade do corpo que produz um campo gravitacional determinando-se o

trabalho gasto para levar a massa unitaacuteria do ponto r ateacute o infinito

Vimos que a forccedila de atraccedilatildeo gravitacional (F) exercida em uma unidade de massa eacute

igual agrave aceleraccedilatildeo gravitacional

G M (19)

Assim o trabalho (dU) realizado contraacuterio agrave forccedila F para deslocar a massa unitaacuteria

da distacircncia dr eacute dada por

dU F dr (110)

de (19) e (110) podemos escrever que

dU G M dr (111)

dU G M dr U G M (112)

U corresponde ao trabalho para levar a massa unitaacuteria da distacircncia r ateacute o infinito e

corresponde ao potencial gravitacional nesse ponto

Podemos definir o potencial magneacutetico W a uma distacircncia r de um poacutelo magneacutetico

de intensidade p da mesma maneira

W B dr micro dr W micro (113)

13 Potencial de um dipolo magneacutetico

A Figura 13 mostra dois poacutelos magneacuteticos um positivo (p+) e outro negativo (p-)

separados por uma distacircncia d infinitamente pequena A linha pontilhada define o eixo do

dipolo em torno do qual o campo magneacutetico tem simetria rotacional

Figura 13 Geometria para o caacutelculo do potencial de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1997)

O potencial magneacutetico W a uma distacircncia r em relaccedilatildeo ao ponto meacutedio do par de

poacutelos eacute a soma dos potenciais dos poacutelos p+ e p- em relaccedilatildeo agraves distacircncias r+ e r-

W micro (114)

W micro middot ) (115)

Como d ltltlt r podemos fazer algumas aproximaccedilotildees

r r cos θ (116)

r r cos θ (117)

Podemos escrever tambeacutem que θ asymp θrsquo Assim

r r cos θ cos θ d cos θ (118)

r middot r r d2 cos θ r d2 cos θ

r middot r r r d2 cos θ r d2 cos θ d4 cos θ cos θ

r middot r r cos θ r (119)

Substituindo (118) e (119) em (115) teremos

W micro ou W micro (120)

onde m = d p eacute definido como sendo o momento magneacutetico do dipolo Note que

o potencial magneacutetico do dipolo diferentemente do potencial gravitacional eacute inversamente

proporcional ao quadrado da distacircncia r e tem uma variaccedilatildeo dependente do acircngulo θ como

mostrado na Figura 13

14 Campo de um dipolo magneacutetico

O campo magneacutetico do dipolo pode ser determinado pela derivada em r e em θ do

potencial magneacutetico definindo a componente radial (Br) e a componente tangencial (Bθ) do

campo dipolar

B W micro micro (121)

B W micro micro (122)

Note que nos poacutelos (θ = 0) temos somente a componente radial (Bθ = 0)

B micro (123)

No equador (θ = π2) temos somente a componente tangencial (Br = 0)

B micro (124)

Note tambeacutem que o campo magneacutetico nos poacutelos eacute duas vezes maior do que o campo

magneacutetico no equador

Em qualquer lugar do espaccedilo proacuteximo ao dipolo a componente total B do campo

(Figura 13) forma um acircngulo I (inclinaccedilatildeo magneacutetica) com a horizontal local (direccedilatildeo de

Bθ) Da Figura 13 podemos escrever que

tan I BB micro micro

tan I 2 cot θ tan λ (125)

onde λ = (90 - θ)

Em 1600 Gilbert verificou que o campo geomagneacutetico eacute predominantemente

dipolar representado por um dipolo centrado na Terra Entretanto verificou-se que o

dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra natildeo eacute axial Ele depende do modelo de

campo utilizado do meacutetodo de medidas e da eacutepoca considerada Os pontos em que o eixo

do dipolo intercepta a superfiacutecie da Terra satildeo chamados de poacutelos (norte e sul)

geomagneacuteticos (Figura 14) Para 1995 estes poacutelos estavam localizados em 793degN

2886degE e 793degS 1086degE Embora a maior parte do campo da Terra possa ser

representada por um campo dipolar uma parte dele eacute representada por campos natildeo

dipolares Os pontos da superfiacutecie da Terra em que a inclinaccedilatildeo magneacutetica eacute plusmn90deg (ie

onde o campo eacute vertical com sinal positivo ou negativo) satildeo denominados de poacutelos

magneacuteticos (Figura 14) Para o ano de 1980 as posiccedilotildees dos poacutelos magneacuteticos norte e sul

estavam localizadas respectivamente em 773degN 2582degE e 656degS 1394degE Note que

estes poacutelos natildeo satildeo exatamente opostos Isto se deve ao fato de o campo natildeo poder ser

representado somente pelo campo de um dipolo

O torque exercido por um campo magneacutetico em um iacutematilde (a agulha de uma buacutessola

por exemplo) eacute proporcional ao momento magneacutetico associado ao iacutematilde O torque pode ser

calculado atraveacutes das forccedilas exercidas por um campo uniforme B em um par de poacutelos

magneacuteticos de intensidade p separados por uma distacircncia d (Figura 15) A forccedila que age

em cada poacutelo eacute dada por

F = B p (126)

Figura 14 O dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra estaacute inclinado de 117deg em

relaccedilatildeo ao eixo de rotaccedilatildeo da terra Os poacutelos norte e sul magneacuteticos satildeo os pontos onde a

agulha da buacutessola se inclina de 90deg

Figura 15 Definiccedilatildeo do momento magneacutetico m de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1996)

As direccedilotildees das forccedilas que atuam em cada poacutelo satildeo opostas definidas pelo sinal do

poacutelo magneacutetico O torque atua no sentido de alinhar o eixo do iacutematilde na direccedilatildeo do campo

magneacutetico B Se o eixo do iacutematilde faz um acircngulo θ com a direccedilatildeo do campo a distacircncia

perpendicular agraves linhas de accedilatildeo das forccedilas em cada poacutelo eacute igual a d sin θ Assim o torque

(τ) sentido pelo iacutematilde eacute dado por

τ = B p d sin θ (127)

Como m = p sdot d podemos escrever

τ = m B sin θ ou

τ = m x B (128)

15 Campo magneacutetico originado por uma corrente eleacutetrica

Uma carga eleacutetrica q movendo-se a uma velocidade v em um campo magneacutetico B

(Figura 16a) sofre uma forccedila F definida pela equaccedilatildeo formulada por Lorentz em 1879

F = q (v x B) (129)

A unidade de B eacute o Tesla que equivale a NAm de acordo com a equaccedilatildeo (129)

Considere agora cargas eleacutetricas se movimentando em um elemento dl de um fio

condutor de aacuterea transversal A (Figura 16b) A corrente (I) seraacute igual a quantidade de

carga que atravessa a aacuterea da seccedilatildeo transversal do condutor na unidade de tempo

∆Q (130)

Figura 16 Ilustraccedilatildeo da (a) lei de Lorentz para a forccedila de deflexatildeo F experimentada por

uma carga eleacutetrica que se move com velocidade v atraveacutes de um campo magneacutetico B e (b)

a lei de Biot Svart para a forccedila experimentada por um elemento dl de um fio condutor

passando uma corrente I sob a accedilatildeo de um campo magneacutetico B (Fonte Lowrie 1997)

Agora considere N como sendo o nuacutemero de cargas por unidade de volume Entatildeo

o nuacutemero de cargas no elemento dl eacute igual a NAdl e a carga total (∆Q) seraacute

∆Q = N A dl q (131)

Se cada carga tem velocidade v entatildeo para atravessar o espaccedilo dl ela levaraacute um

tempo t definido por

t (132)

De (130) (131) e (132) tiramos que

I = N A q v (133)

Agora cada carga sofreraacute uma forccedila dada pela equaccedilatildeo (129) e a forccedila total

transmitida para o elemento dl seraacute

dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (134)

Mas de acordo com a equaccedilatildeo (133) N A v q = I Logo

dF = I (dl x B) (135)

A equaccedilatildeo (135) representa a Lei de Biot-Savart que determina a forccedila

experimentada pelo elemento dl do condutor passando uma corrente I em um campo

magneacutetico B (Figura 16b) O campo magneacutetico B pode ser originado por outro fio

condutor (Figura 17) Por analogia com o campo eleacutetrico foi proposto que

d K (136)

onde ur eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo de r (Figura 17) e K micro 4π Note que a

direccedilatildeo de dB eacute definida pela regra da matildeo direita No caso da Figura 17 o campo tem

direccedilatildeo perpendicular ao plano da figura com sentido para dentro

Figura 17 Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P O

siacutembolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB eacute para dentro no plano da figura

(Fonte Halliday et al 2007)

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia

entre eles

G M (14)

onde G eacute a constante de proporcionalidade denominada de Constante Gravitacional

Universal e ŕ eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo da reta que une os centros de massa dos dois

corpos

Igualando as expressotildees (13) e (14) teremos para a aceleraccedilatildeo gravitacional a

expressatildeo G M (15)

O campo de uma forccedila eacute representado por linhas de campo Em qualquer lugar do

espaccedilo a forccedila eacute tangencial agrave linha de campo e a intensidade da forccedila eacute representada pelo

nuacutemero de linhas de campo por unidade de aacuterea da seccedilatildeo transversal O campo

gravitacional e o campo eleacutetrico satildeo radiais A Figura 11 mostra a representaccedilatildeo do campo

eleacutetrico para cargas positivas e negativas

Figura 11 Representaccedilatildeo esquemaacutetica das linhas de campo eleacutetrico produzidas por

cargas de prova positivas e negativas respectivamente

Jaacute o campo magneacutetico eacute mais complexo Gauss mostrou que natildeo existem poacutelos

magneacuteticos livres ie natildeo existem monopolos Haveraacute sempre um poacutelo magneacutetico positivo

formando par com um poacutelo magneacutetico negativo O mais importante campo magneacutetico eacute o

de um dipolo magneacutetico o qual representa a componente dominante do campo

geomagneacutetico O dipolo magneacutetico mais simples eacute formado por duas cargas magneacuteticas de

sinais opostos infinitamente proacuteximas uma da outra

A Figura 12 mostra trecircs sistemas fiacutesicos que apresentam campo dipolar uma barra

de iacutematilde uma espira de corrente e uma esfera uniformemente magnetizada Todos estes

sistemas apresentam representaccedilotildees de campos magneacuteticos similares como pode ser visto

na figura

Figura 12 Linhas de campo caracteriacutesticas de um dipolo magneacutetico satildeo encontradas em

torno de uma barra de iacutematilde (a) de uma espira passando uma corrente eleacutetrica (b) e de uma

esfera uniformemente magnetizada (c) (Fonte Lowrie 1997)

Os experimentos de Coulomb em 1875 estabeleceram que a forccedila exercida entre

poacutelos magneacuteticos de iacutematildes eacute proporcional ao inverso do quadrado da distacircncia de separaccedilatildeo

entre eles Gauss expandiu as observaccedilotildees de Coulomb e atribuiu as forccedilas de atraccedilatildeo e

repulsatildeo a cargas ou poacutelos magneacuteticos fictiacutecios A lei que governa a forccedila (F) entre dois

poacutelos magneacuteticos p1 e p2 situados a uma distacircncia r entre si pode ser formulada por

K (16)

onde K eacute uma constante de proporcionalidade e eacute o vetor unitaacuterio paralelo a reta que une

os dois poacutelos

Embora poacutelos magneacuteticos livres natildeo existam muitas propriedades magneacuteticas

podem ser resolvidas em termos de poacutelos magneacuteticos fictiacutecios De forma similar agrave definiccedilatildeo

de campo eleacutetrico e campo gravitacional podemos definir o campo magneacutetico B(r)

exercido por um poacutelo magneacutetico de intensidade p em um poacutelo magneacutetico unitaacuterio situado a

uma distacircncia r como sendo igual a

K (17)

eacute o vetor unitaacuterio paralelo a reta que une os dois poacutelos saindo do poacutelo p Se

colocarmos o valor de K = 1 (adimensional) a unidade de campo magneacutetico teraacute dimensotildees

de dyna12 cm-1 no cgs e eacute chamada de Gauss No sistema internacional (SI) de unidades

K natildeo eacute adimensional sendo definido por

K micro (18)

onde microo eacute a constante de permeabilidade (4π x 10-7 NA-2)

12 Potencial de um poacutelo magneacutetico

O potencial gravitacional eacute definido como sendo a energia potencial de uma unidade

de massa em um campo gravitacional Calcula-se o potencial gravitacional a uma distacircncia

r do centro de gravidade do corpo que produz um campo gravitacional determinando-se o

trabalho gasto para levar a massa unitaacuteria do ponto r ateacute o infinito

Vimos que a forccedila de atraccedilatildeo gravitacional (F) exercida em uma unidade de massa eacute

igual agrave aceleraccedilatildeo gravitacional

G M (19)

Assim o trabalho (dU) realizado contraacuterio agrave forccedila F para deslocar a massa unitaacuteria

da distacircncia dr eacute dada por

dU F dr (110)

de (19) e (110) podemos escrever que

dU G M dr (111)

dU G M dr U G M (112)

U corresponde ao trabalho para levar a massa unitaacuteria da distacircncia r ateacute o infinito e

corresponde ao potencial gravitacional nesse ponto

Podemos definir o potencial magneacutetico W a uma distacircncia r de um poacutelo magneacutetico

de intensidade p da mesma maneira

W B dr micro dr W micro (113)

13 Potencial de um dipolo magneacutetico

A Figura 13 mostra dois poacutelos magneacuteticos um positivo (p+) e outro negativo (p-)

separados por uma distacircncia d infinitamente pequena A linha pontilhada define o eixo do

dipolo em torno do qual o campo magneacutetico tem simetria rotacional

Figura 13 Geometria para o caacutelculo do potencial de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1997)

O potencial magneacutetico W a uma distacircncia r em relaccedilatildeo ao ponto meacutedio do par de

poacutelos eacute a soma dos potenciais dos poacutelos p+ e p- em relaccedilatildeo agraves distacircncias r+ e r-

W micro (114)

W micro middot ) (115)

Como d ltltlt r podemos fazer algumas aproximaccedilotildees

r r cos θ (116)

r r cos θ (117)

Podemos escrever tambeacutem que θ asymp θrsquo Assim

r r cos θ cos θ d cos θ (118)

r middot r r d2 cos θ r d2 cos θ

r middot r r r d2 cos θ r d2 cos θ d4 cos θ cos θ

r middot r r cos θ r (119)

Substituindo (118) e (119) em (115) teremos

W micro ou W micro (120)

onde m = d p eacute definido como sendo o momento magneacutetico do dipolo Note que

o potencial magneacutetico do dipolo diferentemente do potencial gravitacional eacute inversamente

proporcional ao quadrado da distacircncia r e tem uma variaccedilatildeo dependente do acircngulo θ como

mostrado na Figura 13

14 Campo de um dipolo magneacutetico

O campo magneacutetico do dipolo pode ser determinado pela derivada em r e em θ do

potencial magneacutetico definindo a componente radial (Br) e a componente tangencial (Bθ) do

campo dipolar

B W micro micro (121)

B W micro micro (122)

Note que nos poacutelos (θ = 0) temos somente a componente radial (Bθ = 0)

B micro (123)

No equador (θ = π2) temos somente a componente tangencial (Br = 0)

B micro (124)

Note tambeacutem que o campo magneacutetico nos poacutelos eacute duas vezes maior do que o campo

magneacutetico no equador

Em qualquer lugar do espaccedilo proacuteximo ao dipolo a componente total B do campo

(Figura 13) forma um acircngulo I (inclinaccedilatildeo magneacutetica) com a horizontal local (direccedilatildeo de

Bθ) Da Figura 13 podemos escrever que

tan I BB micro micro

tan I 2 cot θ tan λ (125)

onde λ = (90 - θ)

Em 1600 Gilbert verificou que o campo geomagneacutetico eacute predominantemente

dipolar representado por um dipolo centrado na Terra Entretanto verificou-se que o

dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra natildeo eacute axial Ele depende do modelo de

campo utilizado do meacutetodo de medidas e da eacutepoca considerada Os pontos em que o eixo

do dipolo intercepta a superfiacutecie da Terra satildeo chamados de poacutelos (norte e sul)

geomagneacuteticos (Figura 14) Para 1995 estes poacutelos estavam localizados em 793degN

2886degE e 793degS 1086degE Embora a maior parte do campo da Terra possa ser

representada por um campo dipolar uma parte dele eacute representada por campos natildeo

dipolares Os pontos da superfiacutecie da Terra em que a inclinaccedilatildeo magneacutetica eacute plusmn90deg (ie

onde o campo eacute vertical com sinal positivo ou negativo) satildeo denominados de poacutelos

magneacuteticos (Figura 14) Para o ano de 1980 as posiccedilotildees dos poacutelos magneacuteticos norte e sul

estavam localizadas respectivamente em 773degN 2582degE e 656degS 1394degE Note que

estes poacutelos natildeo satildeo exatamente opostos Isto se deve ao fato de o campo natildeo poder ser

representado somente pelo campo de um dipolo

O torque exercido por um campo magneacutetico em um iacutematilde (a agulha de uma buacutessola

por exemplo) eacute proporcional ao momento magneacutetico associado ao iacutematilde O torque pode ser

calculado atraveacutes das forccedilas exercidas por um campo uniforme B em um par de poacutelos

magneacuteticos de intensidade p separados por uma distacircncia d (Figura 15) A forccedila que age

em cada poacutelo eacute dada por

F = B p (126)

Figura 14 O dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra estaacute inclinado de 117deg em

relaccedilatildeo ao eixo de rotaccedilatildeo da terra Os poacutelos norte e sul magneacuteticos satildeo os pontos onde a

agulha da buacutessola se inclina de 90deg

Figura 15 Definiccedilatildeo do momento magneacutetico m de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1996)

As direccedilotildees das forccedilas que atuam em cada poacutelo satildeo opostas definidas pelo sinal do

poacutelo magneacutetico O torque atua no sentido de alinhar o eixo do iacutematilde na direccedilatildeo do campo

magneacutetico B Se o eixo do iacutematilde faz um acircngulo θ com a direccedilatildeo do campo a distacircncia

perpendicular agraves linhas de accedilatildeo das forccedilas em cada poacutelo eacute igual a d sin θ Assim o torque

(τ) sentido pelo iacutematilde eacute dado por

τ = B p d sin θ (127)

Como m = p sdot d podemos escrever

τ = m B sin θ ou

τ = m x B (128)

15 Campo magneacutetico originado por uma corrente eleacutetrica

Uma carga eleacutetrica q movendo-se a uma velocidade v em um campo magneacutetico B

(Figura 16a) sofre uma forccedila F definida pela equaccedilatildeo formulada por Lorentz em 1879

F = q (v x B) (129)

A unidade de B eacute o Tesla que equivale a NAm de acordo com a equaccedilatildeo (129)

Considere agora cargas eleacutetricas se movimentando em um elemento dl de um fio

condutor de aacuterea transversal A (Figura 16b) A corrente (I) seraacute igual a quantidade de

carga que atravessa a aacuterea da seccedilatildeo transversal do condutor na unidade de tempo

∆Q (130)

Figura 16 Ilustraccedilatildeo da (a) lei de Lorentz para a forccedila de deflexatildeo F experimentada por

uma carga eleacutetrica que se move com velocidade v atraveacutes de um campo magneacutetico B e (b)

a lei de Biot Svart para a forccedila experimentada por um elemento dl de um fio condutor

passando uma corrente I sob a accedilatildeo de um campo magneacutetico B (Fonte Lowrie 1997)

Agora considere N como sendo o nuacutemero de cargas por unidade de volume Entatildeo

o nuacutemero de cargas no elemento dl eacute igual a NAdl e a carga total (∆Q) seraacute

∆Q = N A dl q (131)

Se cada carga tem velocidade v entatildeo para atravessar o espaccedilo dl ela levaraacute um

tempo t definido por

t (132)

De (130) (131) e (132) tiramos que

I = N A q v (133)

Agora cada carga sofreraacute uma forccedila dada pela equaccedilatildeo (129) e a forccedila total

transmitida para o elemento dl seraacute

dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (134)

Mas de acordo com a equaccedilatildeo (133) N A v q = I Logo

dF = I (dl x B) (135)

A equaccedilatildeo (135) representa a Lei de Biot-Savart que determina a forccedila

experimentada pelo elemento dl do condutor passando uma corrente I em um campo

magneacutetico B (Figura 16b) O campo magneacutetico B pode ser originado por outro fio

condutor (Figura 17) Por analogia com o campo eleacutetrico foi proposto que

d K (136)

onde ur eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo de r (Figura 17) e K micro 4π Note que a

direccedilatildeo de dB eacute definida pela regra da matildeo direita No caso da Figura 17 o campo tem

direccedilatildeo perpendicular ao plano da figura com sentido para dentro

Figura 17 Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P O

siacutembolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB eacute para dentro no plano da figura

(Fonte Halliday et al 2007)

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

de um dipolo magneacutetico o qual representa a componente dominante do campo

geomagneacutetico O dipolo magneacutetico mais simples eacute formado por duas cargas magneacuteticas de

sinais opostos infinitamente proacuteximas uma da outra

A Figura 12 mostra trecircs sistemas fiacutesicos que apresentam campo dipolar uma barra

de iacutematilde uma espira de corrente e uma esfera uniformemente magnetizada Todos estes

sistemas apresentam representaccedilotildees de campos magneacuteticos similares como pode ser visto

na figura

Figura 12 Linhas de campo caracteriacutesticas de um dipolo magneacutetico satildeo encontradas em

torno de uma barra de iacutematilde (a) de uma espira passando uma corrente eleacutetrica (b) e de uma

esfera uniformemente magnetizada (c) (Fonte Lowrie 1997)

Os experimentos de Coulomb em 1875 estabeleceram que a forccedila exercida entre

poacutelos magneacuteticos de iacutematildes eacute proporcional ao inverso do quadrado da distacircncia de separaccedilatildeo

entre eles Gauss expandiu as observaccedilotildees de Coulomb e atribuiu as forccedilas de atraccedilatildeo e

repulsatildeo a cargas ou poacutelos magneacuteticos fictiacutecios A lei que governa a forccedila (F) entre dois

poacutelos magneacuteticos p1 e p2 situados a uma distacircncia r entre si pode ser formulada por

K (16)

onde K eacute uma constante de proporcionalidade e eacute o vetor unitaacuterio paralelo a reta que une

os dois poacutelos

Embora poacutelos magneacuteticos livres natildeo existam muitas propriedades magneacuteticas

podem ser resolvidas em termos de poacutelos magneacuteticos fictiacutecios De forma similar agrave definiccedilatildeo

de campo eleacutetrico e campo gravitacional podemos definir o campo magneacutetico B(r)

exercido por um poacutelo magneacutetico de intensidade p em um poacutelo magneacutetico unitaacuterio situado a

uma distacircncia r como sendo igual a

K (17)

eacute o vetor unitaacuterio paralelo a reta que une os dois poacutelos saindo do poacutelo p Se

colocarmos o valor de K = 1 (adimensional) a unidade de campo magneacutetico teraacute dimensotildees

de dyna12 cm-1 no cgs e eacute chamada de Gauss No sistema internacional (SI) de unidades

K natildeo eacute adimensional sendo definido por

K micro (18)

onde microo eacute a constante de permeabilidade (4π x 10-7 NA-2)

12 Potencial de um poacutelo magneacutetico

O potencial gravitacional eacute definido como sendo a energia potencial de uma unidade

de massa em um campo gravitacional Calcula-se o potencial gravitacional a uma distacircncia

r do centro de gravidade do corpo que produz um campo gravitacional determinando-se o

trabalho gasto para levar a massa unitaacuteria do ponto r ateacute o infinito

Vimos que a forccedila de atraccedilatildeo gravitacional (F) exercida em uma unidade de massa eacute

igual agrave aceleraccedilatildeo gravitacional

G M (19)

Assim o trabalho (dU) realizado contraacuterio agrave forccedila F para deslocar a massa unitaacuteria

da distacircncia dr eacute dada por

dU F dr (110)

de (19) e (110) podemos escrever que

dU G M dr (111)

dU G M dr U G M (112)

U corresponde ao trabalho para levar a massa unitaacuteria da distacircncia r ateacute o infinito e

corresponde ao potencial gravitacional nesse ponto

Podemos definir o potencial magneacutetico W a uma distacircncia r de um poacutelo magneacutetico

de intensidade p da mesma maneira

W B dr micro dr W micro (113)

13 Potencial de um dipolo magneacutetico

A Figura 13 mostra dois poacutelos magneacuteticos um positivo (p+) e outro negativo (p-)

separados por uma distacircncia d infinitamente pequena A linha pontilhada define o eixo do

dipolo em torno do qual o campo magneacutetico tem simetria rotacional

Figura 13 Geometria para o caacutelculo do potencial de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1997)

O potencial magneacutetico W a uma distacircncia r em relaccedilatildeo ao ponto meacutedio do par de

poacutelos eacute a soma dos potenciais dos poacutelos p+ e p- em relaccedilatildeo agraves distacircncias r+ e r-

W micro (114)

W micro middot ) (115)

Como d ltltlt r podemos fazer algumas aproximaccedilotildees

r r cos θ (116)

r r cos θ (117)

Podemos escrever tambeacutem que θ asymp θrsquo Assim

r r cos θ cos θ d cos θ (118)

r middot r r d2 cos θ r d2 cos θ

r middot r r r d2 cos θ r d2 cos θ d4 cos θ cos θ

r middot r r cos θ r (119)

Substituindo (118) e (119) em (115) teremos

W micro ou W micro (120)

onde m = d p eacute definido como sendo o momento magneacutetico do dipolo Note que

o potencial magneacutetico do dipolo diferentemente do potencial gravitacional eacute inversamente

proporcional ao quadrado da distacircncia r e tem uma variaccedilatildeo dependente do acircngulo θ como

mostrado na Figura 13

14 Campo de um dipolo magneacutetico

O campo magneacutetico do dipolo pode ser determinado pela derivada em r e em θ do

potencial magneacutetico definindo a componente radial (Br) e a componente tangencial (Bθ) do

campo dipolar

B W micro micro (121)

B W micro micro (122)

Note que nos poacutelos (θ = 0) temos somente a componente radial (Bθ = 0)

B micro (123)

No equador (θ = π2) temos somente a componente tangencial (Br = 0)

B micro (124)

Note tambeacutem que o campo magneacutetico nos poacutelos eacute duas vezes maior do que o campo

magneacutetico no equador

Em qualquer lugar do espaccedilo proacuteximo ao dipolo a componente total B do campo

(Figura 13) forma um acircngulo I (inclinaccedilatildeo magneacutetica) com a horizontal local (direccedilatildeo de

Bθ) Da Figura 13 podemos escrever que

tan I BB micro micro

tan I 2 cot θ tan λ (125)

onde λ = (90 - θ)

Em 1600 Gilbert verificou que o campo geomagneacutetico eacute predominantemente

dipolar representado por um dipolo centrado na Terra Entretanto verificou-se que o

dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra natildeo eacute axial Ele depende do modelo de

campo utilizado do meacutetodo de medidas e da eacutepoca considerada Os pontos em que o eixo

do dipolo intercepta a superfiacutecie da Terra satildeo chamados de poacutelos (norte e sul)

geomagneacuteticos (Figura 14) Para 1995 estes poacutelos estavam localizados em 793degN

2886degE e 793degS 1086degE Embora a maior parte do campo da Terra possa ser

representada por um campo dipolar uma parte dele eacute representada por campos natildeo

dipolares Os pontos da superfiacutecie da Terra em que a inclinaccedilatildeo magneacutetica eacute plusmn90deg (ie

onde o campo eacute vertical com sinal positivo ou negativo) satildeo denominados de poacutelos

magneacuteticos (Figura 14) Para o ano de 1980 as posiccedilotildees dos poacutelos magneacuteticos norte e sul

estavam localizadas respectivamente em 773degN 2582degE e 656degS 1394degE Note que

estes poacutelos natildeo satildeo exatamente opostos Isto se deve ao fato de o campo natildeo poder ser

representado somente pelo campo de um dipolo

O torque exercido por um campo magneacutetico em um iacutematilde (a agulha de uma buacutessola

por exemplo) eacute proporcional ao momento magneacutetico associado ao iacutematilde O torque pode ser

calculado atraveacutes das forccedilas exercidas por um campo uniforme B em um par de poacutelos

magneacuteticos de intensidade p separados por uma distacircncia d (Figura 15) A forccedila que age

em cada poacutelo eacute dada por

F = B p (126)

Figura 14 O dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra estaacute inclinado de 117deg em

relaccedilatildeo ao eixo de rotaccedilatildeo da terra Os poacutelos norte e sul magneacuteticos satildeo os pontos onde a

agulha da buacutessola se inclina de 90deg

Figura 15 Definiccedilatildeo do momento magneacutetico m de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1996)

As direccedilotildees das forccedilas que atuam em cada poacutelo satildeo opostas definidas pelo sinal do

poacutelo magneacutetico O torque atua no sentido de alinhar o eixo do iacutematilde na direccedilatildeo do campo

magneacutetico B Se o eixo do iacutematilde faz um acircngulo θ com a direccedilatildeo do campo a distacircncia

perpendicular agraves linhas de accedilatildeo das forccedilas em cada poacutelo eacute igual a d sin θ Assim o torque

(τ) sentido pelo iacutematilde eacute dado por

τ = B p d sin θ (127)

Como m = p sdot d podemos escrever

τ = m B sin θ ou

τ = m x B (128)

15 Campo magneacutetico originado por uma corrente eleacutetrica

Uma carga eleacutetrica q movendo-se a uma velocidade v em um campo magneacutetico B

(Figura 16a) sofre uma forccedila F definida pela equaccedilatildeo formulada por Lorentz em 1879

F = q (v x B) (129)

A unidade de B eacute o Tesla que equivale a NAm de acordo com a equaccedilatildeo (129)

Considere agora cargas eleacutetricas se movimentando em um elemento dl de um fio

condutor de aacuterea transversal A (Figura 16b) A corrente (I) seraacute igual a quantidade de

carga que atravessa a aacuterea da seccedilatildeo transversal do condutor na unidade de tempo

∆Q (130)

Figura 16 Ilustraccedilatildeo da (a) lei de Lorentz para a forccedila de deflexatildeo F experimentada por

uma carga eleacutetrica que se move com velocidade v atraveacutes de um campo magneacutetico B e (b)

a lei de Biot Svart para a forccedila experimentada por um elemento dl de um fio condutor

passando uma corrente I sob a accedilatildeo de um campo magneacutetico B (Fonte Lowrie 1997)

Agora considere N como sendo o nuacutemero de cargas por unidade de volume Entatildeo

o nuacutemero de cargas no elemento dl eacute igual a NAdl e a carga total (∆Q) seraacute

∆Q = N A dl q (131)

Se cada carga tem velocidade v entatildeo para atravessar o espaccedilo dl ela levaraacute um

tempo t definido por

t (132)

De (130) (131) e (132) tiramos que

I = N A q v (133)

Agora cada carga sofreraacute uma forccedila dada pela equaccedilatildeo (129) e a forccedila total

transmitida para o elemento dl seraacute

dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (134)

Mas de acordo com a equaccedilatildeo (133) N A v q = I Logo

dF = I (dl x B) (135)

A equaccedilatildeo (135) representa a Lei de Biot-Savart que determina a forccedila

experimentada pelo elemento dl do condutor passando uma corrente I em um campo

magneacutetico B (Figura 16b) O campo magneacutetico B pode ser originado por outro fio

condutor (Figura 17) Por analogia com o campo eleacutetrico foi proposto que

d K (136)

onde ur eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo de r (Figura 17) e K micro 4π Note que a

direccedilatildeo de dB eacute definida pela regra da matildeo direita No caso da Figura 17 o campo tem

direccedilatildeo perpendicular ao plano da figura com sentido para dentro

Figura 17 Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P O

siacutembolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB eacute para dentro no plano da figura

(Fonte Halliday et al 2007)

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

de campo eleacutetrico e campo gravitacional podemos definir o campo magneacutetico B(r)

exercido por um poacutelo magneacutetico de intensidade p em um poacutelo magneacutetico unitaacuterio situado a

uma distacircncia r como sendo igual a

K (17)

eacute o vetor unitaacuterio paralelo a reta que une os dois poacutelos saindo do poacutelo p Se

colocarmos o valor de K = 1 (adimensional) a unidade de campo magneacutetico teraacute dimensotildees

de dyna12 cm-1 no cgs e eacute chamada de Gauss No sistema internacional (SI) de unidades

K natildeo eacute adimensional sendo definido por

K micro (18)

onde microo eacute a constante de permeabilidade (4π x 10-7 NA-2)

12 Potencial de um poacutelo magneacutetico

O potencial gravitacional eacute definido como sendo a energia potencial de uma unidade

de massa em um campo gravitacional Calcula-se o potencial gravitacional a uma distacircncia

r do centro de gravidade do corpo que produz um campo gravitacional determinando-se o

trabalho gasto para levar a massa unitaacuteria do ponto r ateacute o infinito

Vimos que a forccedila de atraccedilatildeo gravitacional (F) exercida em uma unidade de massa eacute

igual agrave aceleraccedilatildeo gravitacional

G M (19)

Assim o trabalho (dU) realizado contraacuterio agrave forccedila F para deslocar a massa unitaacuteria

da distacircncia dr eacute dada por

dU F dr (110)

de (19) e (110) podemos escrever que

dU G M dr (111)

dU G M dr U G M (112)

U corresponde ao trabalho para levar a massa unitaacuteria da distacircncia r ateacute o infinito e

corresponde ao potencial gravitacional nesse ponto

Podemos definir o potencial magneacutetico W a uma distacircncia r de um poacutelo magneacutetico

de intensidade p da mesma maneira

W B dr micro dr W micro (113)

13 Potencial de um dipolo magneacutetico

A Figura 13 mostra dois poacutelos magneacuteticos um positivo (p+) e outro negativo (p-)

separados por uma distacircncia d infinitamente pequena A linha pontilhada define o eixo do

dipolo em torno do qual o campo magneacutetico tem simetria rotacional

Figura 13 Geometria para o caacutelculo do potencial de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1997)

O potencial magneacutetico W a uma distacircncia r em relaccedilatildeo ao ponto meacutedio do par de

poacutelos eacute a soma dos potenciais dos poacutelos p+ e p- em relaccedilatildeo agraves distacircncias r+ e r-

W micro (114)

W micro middot ) (115)

Como d ltltlt r podemos fazer algumas aproximaccedilotildees

r r cos θ (116)

r r cos θ (117)

Podemos escrever tambeacutem que θ asymp θrsquo Assim

r r cos θ cos θ d cos θ (118)

r middot r r d2 cos θ r d2 cos θ

r middot r r r d2 cos θ r d2 cos θ d4 cos θ cos θ

r middot r r cos θ r (119)

Substituindo (118) e (119) em (115) teremos

W micro ou W micro (120)

onde m = d p eacute definido como sendo o momento magneacutetico do dipolo Note que

o potencial magneacutetico do dipolo diferentemente do potencial gravitacional eacute inversamente

proporcional ao quadrado da distacircncia r e tem uma variaccedilatildeo dependente do acircngulo θ como

mostrado na Figura 13

14 Campo de um dipolo magneacutetico

O campo magneacutetico do dipolo pode ser determinado pela derivada em r e em θ do

potencial magneacutetico definindo a componente radial (Br) e a componente tangencial (Bθ) do

campo dipolar

B W micro micro (121)

B W micro micro (122)

Note que nos poacutelos (θ = 0) temos somente a componente radial (Bθ = 0)

B micro (123)

No equador (θ = π2) temos somente a componente tangencial (Br = 0)

B micro (124)

Note tambeacutem que o campo magneacutetico nos poacutelos eacute duas vezes maior do que o campo

magneacutetico no equador

Em qualquer lugar do espaccedilo proacuteximo ao dipolo a componente total B do campo

(Figura 13) forma um acircngulo I (inclinaccedilatildeo magneacutetica) com a horizontal local (direccedilatildeo de

Bθ) Da Figura 13 podemos escrever que

tan I BB micro micro

tan I 2 cot θ tan λ (125)

onde λ = (90 - θ)

Em 1600 Gilbert verificou que o campo geomagneacutetico eacute predominantemente

dipolar representado por um dipolo centrado na Terra Entretanto verificou-se que o

dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra natildeo eacute axial Ele depende do modelo de

campo utilizado do meacutetodo de medidas e da eacutepoca considerada Os pontos em que o eixo

do dipolo intercepta a superfiacutecie da Terra satildeo chamados de poacutelos (norte e sul)

geomagneacuteticos (Figura 14) Para 1995 estes poacutelos estavam localizados em 793degN

2886degE e 793degS 1086degE Embora a maior parte do campo da Terra possa ser

representada por um campo dipolar uma parte dele eacute representada por campos natildeo

dipolares Os pontos da superfiacutecie da Terra em que a inclinaccedilatildeo magneacutetica eacute plusmn90deg (ie

onde o campo eacute vertical com sinal positivo ou negativo) satildeo denominados de poacutelos

magneacuteticos (Figura 14) Para o ano de 1980 as posiccedilotildees dos poacutelos magneacuteticos norte e sul

estavam localizadas respectivamente em 773degN 2582degE e 656degS 1394degE Note que

estes poacutelos natildeo satildeo exatamente opostos Isto se deve ao fato de o campo natildeo poder ser

representado somente pelo campo de um dipolo

O torque exercido por um campo magneacutetico em um iacutematilde (a agulha de uma buacutessola

por exemplo) eacute proporcional ao momento magneacutetico associado ao iacutematilde O torque pode ser

calculado atraveacutes das forccedilas exercidas por um campo uniforme B em um par de poacutelos

magneacuteticos de intensidade p separados por uma distacircncia d (Figura 15) A forccedila que age

em cada poacutelo eacute dada por

F = B p (126)

Figura 14 O dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra estaacute inclinado de 117deg em

relaccedilatildeo ao eixo de rotaccedilatildeo da terra Os poacutelos norte e sul magneacuteticos satildeo os pontos onde a

agulha da buacutessola se inclina de 90deg

Figura 15 Definiccedilatildeo do momento magneacutetico m de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1996)

As direccedilotildees das forccedilas que atuam em cada poacutelo satildeo opostas definidas pelo sinal do

poacutelo magneacutetico O torque atua no sentido de alinhar o eixo do iacutematilde na direccedilatildeo do campo

magneacutetico B Se o eixo do iacutematilde faz um acircngulo θ com a direccedilatildeo do campo a distacircncia

perpendicular agraves linhas de accedilatildeo das forccedilas em cada poacutelo eacute igual a d sin θ Assim o torque

(τ) sentido pelo iacutematilde eacute dado por

τ = B p d sin θ (127)

Como m = p sdot d podemos escrever

τ = m B sin θ ou

τ = m x B (128)

15 Campo magneacutetico originado por uma corrente eleacutetrica

Uma carga eleacutetrica q movendo-se a uma velocidade v em um campo magneacutetico B

(Figura 16a) sofre uma forccedila F definida pela equaccedilatildeo formulada por Lorentz em 1879

F = q (v x B) (129)

A unidade de B eacute o Tesla que equivale a NAm de acordo com a equaccedilatildeo (129)

Considere agora cargas eleacutetricas se movimentando em um elemento dl de um fio

condutor de aacuterea transversal A (Figura 16b) A corrente (I) seraacute igual a quantidade de

carga que atravessa a aacuterea da seccedilatildeo transversal do condutor na unidade de tempo

∆Q (130)

Figura 16 Ilustraccedilatildeo da (a) lei de Lorentz para a forccedila de deflexatildeo F experimentada por

uma carga eleacutetrica que se move com velocidade v atraveacutes de um campo magneacutetico B e (b)

a lei de Biot Svart para a forccedila experimentada por um elemento dl de um fio condutor

passando uma corrente I sob a accedilatildeo de um campo magneacutetico B (Fonte Lowrie 1997)

Agora considere N como sendo o nuacutemero de cargas por unidade de volume Entatildeo

o nuacutemero de cargas no elemento dl eacute igual a NAdl e a carga total (∆Q) seraacute

∆Q = N A dl q (131)

Se cada carga tem velocidade v entatildeo para atravessar o espaccedilo dl ela levaraacute um

tempo t definido por

t (132)

De (130) (131) e (132) tiramos que

I = N A q v (133)

Agora cada carga sofreraacute uma forccedila dada pela equaccedilatildeo (129) e a forccedila total

transmitida para o elemento dl seraacute

dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (134)

Mas de acordo com a equaccedilatildeo (133) N A v q = I Logo

dF = I (dl x B) (135)

A equaccedilatildeo (135) representa a Lei de Biot-Savart que determina a forccedila

experimentada pelo elemento dl do condutor passando uma corrente I em um campo

magneacutetico B (Figura 16b) O campo magneacutetico B pode ser originado por outro fio

condutor (Figura 17) Por analogia com o campo eleacutetrico foi proposto que

d K (136)

onde ur eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo de r (Figura 17) e K micro 4π Note que a

direccedilatildeo de dB eacute definida pela regra da matildeo direita No caso da Figura 17 o campo tem

direccedilatildeo perpendicular ao plano da figura com sentido para dentro

Figura 17 Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P O

siacutembolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB eacute para dentro no plano da figura

(Fonte Halliday et al 2007)

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

de (19) e (110) podemos escrever que

dU G M dr (111)

dU G M dr U G M (112)

U corresponde ao trabalho para levar a massa unitaacuteria da distacircncia r ateacute o infinito e

corresponde ao potencial gravitacional nesse ponto

Podemos definir o potencial magneacutetico W a uma distacircncia r de um poacutelo magneacutetico

de intensidade p da mesma maneira

W B dr micro dr W micro (113)

13 Potencial de um dipolo magneacutetico

A Figura 13 mostra dois poacutelos magneacuteticos um positivo (p+) e outro negativo (p-)

separados por uma distacircncia d infinitamente pequena A linha pontilhada define o eixo do

dipolo em torno do qual o campo magneacutetico tem simetria rotacional

Figura 13 Geometria para o caacutelculo do potencial de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1997)

O potencial magneacutetico W a uma distacircncia r em relaccedilatildeo ao ponto meacutedio do par de

poacutelos eacute a soma dos potenciais dos poacutelos p+ e p- em relaccedilatildeo agraves distacircncias r+ e r-

W micro (114)

W micro middot ) (115)

Como d ltltlt r podemos fazer algumas aproximaccedilotildees

r r cos θ (116)

r r cos θ (117)

Podemos escrever tambeacutem que θ asymp θrsquo Assim

r r cos θ cos θ d cos θ (118)

r middot r r d2 cos θ r d2 cos θ

r middot r r r d2 cos θ r d2 cos θ d4 cos θ cos θ

r middot r r cos θ r (119)

Substituindo (118) e (119) em (115) teremos

W micro ou W micro (120)

onde m = d p eacute definido como sendo o momento magneacutetico do dipolo Note que

o potencial magneacutetico do dipolo diferentemente do potencial gravitacional eacute inversamente

proporcional ao quadrado da distacircncia r e tem uma variaccedilatildeo dependente do acircngulo θ como

mostrado na Figura 13

14 Campo de um dipolo magneacutetico

O campo magneacutetico do dipolo pode ser determinado pela derivada em r e em θ do

potencial magneacutetico definindo a componente radial (Br) e a componente tangencial (Bθ) do

campo dipolar

B W micro micro (121)

B W micro micro (122)

Note que nos poacutelos (θ = 0) temos somente a componente radial (Bθ = 0)

B micro (123)

No equador (θ = π2) temos somente a componente tangencial (Br = 0)

B micro (124)

Note tambeacutem que o campo magneacutetico nos poacutelos eacute duas vezes maior do que o campo

magneacutetico no equador

Em qualquer lugar do espaccedilo proacuteximo ao dipolo a componente total B do campo

(Figura 13) forma um acircngulo I (inclinaccedilatildeo magneacutetica) com a horizontal local (direccedilatildeo de

Bθ) Da Figura 13 podemos escrever que

tan I BB micro micro

tan I 2 cot θ tan λ (125)

onde λ = (90 - θ)

Em 1600 Gilbert verificou que o campo geomagneacutetico eacute predominantemente

dipolar representado por um dipolo centrado na Terra Entretanto verificou-se que o

dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra natildeo eacute axial Ele depende do modelo de

campo utilizado do meacutetodo de medidas e da eacutepoca considerada Os pontos em que o eixo

do dipolo intercepta a superfiacutecie da Terra satildeo chamados de poacutelos (norte e sul)

geomagneacuteticos (Figura 14) Para 1995 estes poacutelos estavam localizados em 793degN

2886degE e 793degS 1086degE Embora a maior parte do campo da Terra possa ser

representada por um campo dipolar uma parte dele eacute representada por campos natildeo

dipolares Os pontos da superfiacutecie da Terra em que a inclinaccedilatildeo magneacutetica eacute plusmn90deg (ie

onde o campo eacute vertical com sinal positivo ou negativo) satildeo denominados de poacutelos

magneacuteticos (Figura 14) Para o ano de 1980 as posiccedilotildees dos poacutelos magneacuteticos norte e sul

estavam localizadas respectivamente em 773degN 2582degE e 656degS 1394degE Note que

estes poacutelos natildeo satildeo exatamente opostos Isto se deve ao fato de o campo natildeo poder ser

representado somente pelo campo de um dipolo

O torque exercido por um campo magneacutetico em um iacutematilde (a agulha de uma buacutessola

por exemplo) eacute proporcional ao momento magneacutetico associado ao iacutematilde O torque pode ser

calculado atraveacutes das forccedilas exercidas por um campo uniforme B em um par de poacutelos

magneacuteticos de intensidade p separados por uma distacircncia d (Figura 15) A forccedila que age

em cada poacutelo eacute dada por

F = B p (126)

Figura 14 O dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra estaacute inclinado de 117deg em

relaccedilatildeo ao eixo de rotaccedilatildeo da terra Os poacutelos norte e sul magneacuteticos satildeo os pontos onde a

agulha da buacutessola se inclina de 90deg

Figura 15 Definiccedilatildeo do momento magneacutetico m de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1996)

As direccedilotildees das forccedilas que atuam em cada poacutelo satildeo opostas definidas pelo sinal do

poacutelo magneacutetico O torque atua no sentido de alinhar o eixo do iacutematilde na direccedilatildeo do campo

magneacutetico B Se o eixo do iacutematilde faz um acircngulo θ com a direccedilatildeo do campo a distacircncia

perpendicular agraves linhas de accedilatildeo das forccedilas em cada poacutelo eacute igual a d sin θ Assim o torque

(τ) sentido pelo iacutematilde eacute dado por

τ = B p d sin θ (127)

Como m = p sdot d podemos escrever

τ = m B sin θ ou

τ = m x B (128)

15 Campo magneacutetico originado por uma corrente eleacutetrica

Uma carga eleacutetrica q movendo-se a uma velocidade v em um campo magneacutetico B

(Figura 16a) sofre uma forccedila F definida pela equaccedilatildeo formulada por Lorentz em 1879

F = q (v x B) (129)

A unidade de B eacute o Tesla que equivale a NAm de acordo com a equaccedilatildeo (129)

Considere agora cargas eleacutetricas se movimentando em um elemento dl de um fio

condutor de aacuterea transversal A (Figura 16b) A corrente (I) seraacute igual a quantidade de

carga que atravessa a aacuterea da seccedilatildeo transversal do condutor na unidade de tempo

∆Q (130)

Figura 16 Ilustraccedilatildeo da (a) lei de Lorentz para a forccedila de deflexatildeo F experimentada por

uma carga eleacutetrica que se move com velocidade v atraveacutes de um campo magneacutetico B e (b)

a lei de Biot Svart para a forccedila experimentada por um elemento dl de um fio condutor

passando uma corrente I sob a accedilatildeo de um campo magneacutetico B (Fonte Lowrie 1997)

Agora considere N como sendo o nuacutemero de cargas por unidade de volume Entatildeo

o nuacutemero de cargas no elemento dl eacute igual a NAdl e a carga total (∆Q) seraacute

∆Q = N A dl q (131)

Se cada carga tem velocidade v entatildeo para atravessar o espaccedilo dl ela levaraacute um

tempo t definido por

t (132)

De (130) (131) e (132) tiramos que

I = N A q v (133)

Agora cada carga sofreraacute uma forccedila dada pela equaccedilatildeo (129) e a forccedila total

transmitida para o elemento dl seraacute

dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (134)

Mas de acordo com a equaccedilatildeo (133) N A v q = I Logo

dF = I (dl x B) (135)

A equaccedilatildeo (135) representa a Lei de Biot-Savart que determina a forccedila

experimentada pelo elemento dl do condutor passando uma corrente I em um campo

magneacutetico B (Figura 16b) O campo magneacutetico B pode ser originado por outro fio

condutor (Figura 17) Por analogia com o campo eleacutetrico foi proposto que

d K (136)

onde ur eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo de r (Figura 17) e K micro 4π Note que a

direccedilatildeo de dB eacute definida pela regra da matildeo direita No caso da Figura 17 o campo tem

direccedilatildeo perpendicular ao plano da figura com sentido para dentro

Figura 17 Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P O

siacutembolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB eacute para dentro no plano da figura

(Fonte Halliday et al 2007)

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

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4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

O potencial magneacutetico W a uma distacircncia r em relaccedilatildeo ao ponto meacutedio do par de

poacutelos eacute a soma dos potenciais dos poacutelos p+ e p- em relaccedilatildeo agraves distacircncias r+ e r-

W micro (114)

W micro middot ) (115)

Como d ltltlt r podemos fazer algumas aproximaccedilotildees

r r cos θ (116)

r r cos θ (117)

Podemos escrever tambeacutem que θ asymp θrsquo Assim

r r cos θ cos θ d cos θ (118)

r middot r r d2 cos θ r d2 cos θ

r middot r r r d2 cos θ r d2 cos θ d4 cos θ cos θ

r middot r r cos θ r (119)

Substituindo (118) e (119) em (115) teremos

W micro ou W micro (120)

onde m = d p eacute definido como sendo o momento magneacutetico do dipolo Note que

o potencial magneacutetico do dipolo diferentemente do potencial gravitacional eacute inversamente

proporcional ao quadrado da distacircncia r e tem uma variaccedilatildeo dependente do acircngulo θ como

mostrado na Figura 13

14 Campo de um dipolo magneacutetico

O campo magneacutetico do dipolo pode ser determinado pela derivada em r e em θ do

potencial magneacutetico definindo a componente radial (Br) e a componente tangencial (Bθ) do

campo dipolar

B W micro micro (121)

B W micro micro (122)

Note que nos poacutelos (θ = 0) temos somente a componente radial (Bθ = 0)

B micro (123)

No equador (θ = π2) temos somente a componente tangencial (Br = 0)

B micro (124)

Note tambeacutem que o campo magneacutetico nos poacutelos eacute duas vezes maior do que o campo

magneacutetico no equador

Em qualquer lugar do espaccedilo proacuteximo ao dipolo a componente total B do campo

(Figura 13) forma um acircngulo I (inclinaccedilatildeo magneacutetica) com a horizontal local (direccedilatildeo de

Bθ) Da Figura 13 podemos escrever que

tan I BB micro micro

tan I 2 cot θ tan λ (125)

onde λ = (90 - θ)

Em 1600 Gilbert verificou que o campo geomagneacutetico eacute predominantemente

dipolar representado por um dipolo centrado na Terra Entretanto verificou-se que o

dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra natildeo eacute axial Ele depende do modelo de

campo utilizado do meacutetodo de medidas e da eacutepoca considerada Os pontos em que o eixo

do dipolo intercepta a superfiacutecie da Terra satildeo chamados de poacutelos (norte e sul)

geomagneacuteticos (Figura 14) Para 1995 estes poacutelos estavam localizados em 793degN

2886degE e 793degS 1086degE Embora a maior parte do campo da Terra possa ser

representada por um campo dipolar uma parte dele eacute representada por campos natildeo

dipolares Os pontos da superfiacutecie da Terra em que a inclinaccedilatildeo magneacutetica eacute plusmn90deg (ie

onde o campo eacute vertical com sinal positivo ou negativo) satildeo denominados de poacutelos

magneacuteticos (Figura 14) Para o ano de 1980 as posiccedilotildees dos poacutelos magneacuteticos norte e sul

estavam localizadas respectivamente em 773degN 2582degE e 656degS 1394degE Note que

estes poacutelos natildeo satildeo exatamente opostos Isto se deve ao fato de o campo natildeo poder ser

representado somente pelo campo de um dipolo

O torque exercido por um campo magneacutetico em um iacutematilde (a agulha de uma buacutessola

por exemplo) eacute proporcional ao momento magneacutetico associado ao iacutematilde O torque pode ser

calculado atraveacutes das forccedilas exercidas por um campo uniforme B em um par de poacutelos

magneacuteticos de intensidade p separados por uma distacircncia d (Figura 15) A forccedila que age

em cada poacutelo eacute dada por

F = B p (126)

Figura 14 O dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra estaacute inclinado de 117deg em

relaccedilatildeo ao eixo de rotaccedilatildeo da terra Os poacutelos norte e sul magneacuteticos satildeo os pontos onde a

agulha da buacutessola se inclina de 90deg

Figura 15 Definiccedilatildeo do momento magneacutetico m de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1996)

As direccedilotildees das forccedilas que atuam em cada poacutelo satildeo opostas definidas pelo sinal do

poacutelo magneacutetico O torque atua no sentido de alinhar o eixo do iacutematilde na direccedilatildeo do campo

magneacutetico B Se o eixo do iacutematilde faz um acircngulo θ com a direccedilatildeo do campo a distacircncia

perpendicular agraves linhas de accedilatildeo das forccedilas em cada poacutelo eacute igual a d sin θ Assim o torque

(τ) sentido pelo iacutematilde eacute dado por

τ = B p d sin θ (127)

Como m = p sdot d podemos escrever

τ = m B sin θ ou

τ = m x B (128)

15 Campo magneacutetico originado por uma corrente eleacutetrica

Uma carga eleacutetrica q movendo-se a uma velocidade v em um campo magneacutetico B

(Figura 16a) sofre uma forccedila F definida pela equaccedilatildeo formulada por Lorentz em 1879

F = q (v x B) (129)

A unidade de B eacute o Tesla que equivale a NAm de acordo com a equaccedilatildeo (129)

Considere agora cargas eleacutetricas se movimentando em um elemento dl de um fio

condutor de aacuterea transversal A (Figura 16b) A corrente (I) seraacute igual a quantidade de

carga que atravessa a aacuterea da seccedilatildeo transversal do condutor na unidade de tempo

∆Q (130)

Figura 16 Ilustraccedilatildeo da (a) lei de Lorentz para a forccedila de deflexatildeo F experimentada por

uma carga eleacutetrica que se move com velocidade v atraveacutes de um campo magneacutetico B e (b)

a lei de Biot Svart para a forccedila experimentada por um elemento dl de um fio condutor

passando uma corrente I sob a accedilatildeo de um campo magneacutetico B (Fonte Lowrie 1997)

Agora considere N como sendo o nuacutemero de cargas por unidade de volume Entatildeo

o nuacutemero de cargas no elemento dl eacute igual a NAdl e a carga total (∆Q) seraacute

∆Q = N A dl q (131)

Se cada carga tem velocidade v entatildeo para atravessar o espaccedilo dl ela levaraacute um

tempo t definido por

t (132)

De (130) (131) e (132) tiramos que

I = N A q v (133)

Agora cada carga sofreraacute uma forccedila dada pela equaccedilatildeo (129) e a forccedila total

transmitida para o elemento dl seraacute

dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (134)

Mas de acordo com a equaccedilatildeo (133) N A v q = I Logo

dF = I (dl x B) (135)

A equaccedilatildeo (135) representa a Lei de Biot-Savart que determina a forccedila

experimentada pelo elemento dl do condutor passando uma corrente I em um campo

magneacutetico B (Figura 16b) O campo magneacutetico B pode ser originado por outro fio

condutor (Figura 17) Por analogia com o campo eleacutetrico foi proposto que

d K (136)

onde ur eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo de r (Figura 17) e K micro 4π Note que a

direccedilatildeo de dB eacute definida pela regra da matildeo direita No caso da Figura 17 o campo tem

direccedilatildeo perpendicular ao plano da figura com sentido para dentro

Figura 17 Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P O

siacutembolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB eacute para dentro no plano da figura

(Fonte Halliday et al 2007)

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

onde m = d p eacute definido como sendo o momento magneacutetico do dipolo Note que

o potencial magneacutetico do dipolo diferentemente do potencial gravitacional eacute inversamente

proporcional ao quadrado da distacircncia r e tem uma variaccedilatildeo dependente do acircngulo θ como

mostrado na Figura 13

14 Campo de um dipolo magneacutetico

O campo magneacutetico do dipolo pode ser determinado pela derivada em r e em θ do

potencial magneacutetico definindo a componente radial (Br) e a componente tangencial (Bθ) do

campo dipolar

B W micro micro (121)

B W micro micro (122)

Note que nos poacutelos (θ = 0) temos somente a componente radial (Bθ = 0)

B micro (123)

No equador (θ = π2) temos somente a componente tangencial (Br = 0)

B micro (124)

Note tambeacutem que o campo magneacutetico nos poacutelos eacute duas vezes maior do que o campo

magneacutetico no equador

Em qualquer lugar do espaccedilo proacuteximo ao dipolo a componente total B do campo

(Figura 13) forma um acircngulo I (inclinaccedilatildeo magneacutetica) com a horizontal local (direccedilatildeo de

Bθ) Da Figura 13 podemos escrever que

tan I BB micro micro

tan I 2 cot θ tan λ (125)

onde λ = (90 - θ)

Em 1600 Gilbert verificou que o campo geomagneacutetico eacute predominantemente

dipolar representado por um dipolo centrado na Terra Entretanto verificou-se que o

dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra natildeo eacute axial Ele depende do modelo de

campo utilizado do meacutetodo de medidas e da eacutepoca considerada Os pontos em que o eixo

do dipolo intercepta a superfiacutecie da Terra satildeo chamados de poacutelos (norte e sul)

geomagneacuteticos (Figura 14) Para 1995 estes poacutelos estavam localizados em 793degN

2886degE e 793degS 1086degE Embora a maior parte do campo da Terra possa ser

representada por um campo dipolar uma parte dele eacute representada por campos natildeo

dipolares Os pontos da superfiacutecie da Terra em que a inclinaccedilatildeo magneacutetica eacute plusmn90deg (ie

onde o campo eacute vertical com sinal positivo ou negativo) satildeo denominados de poacutelos

magneacuteticos (Figura 14) Para o ano de 1980 as posiccedilotildees dos poacutelos magneacuteticos norte e sul

estavam localizadas respectivamente em 773degN 2582degE e 656degS 1394degE Note que

estes poacutelos natildeo satildeo exatamente opostos Isto se deve ao fato de o campo natildeo poder ser

representado somente pelo campo de um dipolo

O torque exercido por um campo magneacutetico em um iacutematilde (a agulha de uma buacutessola

por exemplo) eacute proporcional ao momento magneacutetico associado ao iacutematilde O torque pode ser

calculado atraveacutes das forccedilas exercidas por um campo uniforme B em um par de poacutelos

magneacuteticos de intensidade p separados por uma distacircncia d (Figura 15) A forccedila que age

em cada poacutelo eacute dada por

F = B p (126)

Figura 14 O dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra estaacute inclinado de 117deg em

relaccedilatildeo ao eixo de rotaccedilatildeo da terra Os poacutelos norte e sul magneacuteticos satildeo os pontos onde a

agulha da buacutessola se inclina de 90deg

Figura 15 Definiccedilatildeo do momento magneacutetico m de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1996)

As direccedilotildees das forccedilas que atuam em cada poacutelo satildeo opostas definidas pelo sinal do

poacutelo magneacutetico O torque atua no sentido de alinhar o eixo do iacutematilde na direccedilatildeo do campo

magneacutetico B Se o eixo do iacutematilde faz um acircngulo θ com a direccedilatildeo do campo a distacircncia

perpendicular agraves linhas de accedilatildeo das forccedilas em cada poacutelo eacute igual a d sin θ Assim o torque

(τ) sentido pelo iacutematilde eacute dado por

τ = B p d sin θ (127)

Como m = p sdot d podemos escrever

τ = m B sin θ ou

τ = m x B (128)

15 Campo magneacutetico originado por uma corrente eleacutetrica

Uma carga eleacutetrica q movendo-se a uma velocidade v em um campo magneacutetico B

(Figura 16a) sofre uma forccedila F definida pela equaccedilatildeo formulada por Lorentz em 1879

F = q (v x B) (129)

A unidade de B eacute o Tesla que equivale a NAm de acordo com a equaccedilatildeo (129)

Considere agora cargas eleacutetricas se movimentando em um elemento dl de um fio

condutor de aacuterea transversal A (Figura 16b) A corrente (I) seraacute igual a quantidade de

carga que atravessa a aacuterea da seccedilatildeo transversal do condutor na unidade de tempo

∆Q (130)

Figura 16 Ilustraccedilatildeo da (a) lei de Lorentz para a forccedila de deflexatildeo F experimentada por

uma carga eleacutetrica que se move com velocidade v atraveacutes de um campo magneacutetico B e (b)

a lei de Biot Svart para a forccedila experimentada por um elemento dl de um fio condutor

passando uma corrente I sob a accedilatildeo de um campo magneacutetico B (Fonte Lowrie 1997)

Agora considere N como sendo o nuacutemero de cargas por unidade de volume Entatildeo

o nuacutemero de cargas no elemento dl eacute igual a NAdl e a carga total (∆Q) seraacute

∆Q = N A dl q (131)

Se cada carga tem velocidade v entatildeo para atravessar o espaccedilo dl ela levaraacute um

tempo t definido por

t (132)

De (130) (131) e (132) tiramos que

I = N A q v (133)

Agora cada carga sofreraacute uma forccedila dada pela equaccedilatildeo (129) e a forccedila total

transmitida para o elemento dl seraacute

dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (134)

Mas de acordo com a equaccedilatildeo (133) N A v q = I Logo

dF = I (dl x B) (135)

A equaccedilatildeo (135) representa a Lei de Biot-Savart que determina a forccedila

experimentada pelo elemento dl do condutor passando uma corrente I em um campo

magneacutetico B (Figura 16b) O campo magneacutetico B pode ser originado por outro fio

condutor (Figura 17) Por analogia com o campo eleacutetrico foi proposto que

d K (136)

onde ur eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo de r (Figura 17) e K micro 4π Note que a

direccedilatildeo de dB eacute definida pela regra da matildeo direita No caso da Figura 17 o campo tem

direccedilatildeo perpendicular ao plano da figura com sentido para dentro

Figura 17 Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P O

siacutembolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB eacute para dentro no plano da figura

(Fonte Halliday et al 2007)

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

tan I BB micro micro

tan I 2 cot θ tan λ (125)

onde λ = (90 - θ)

Em 1600 Gilbert verificou que o campo geomagneacutetico eacute predominantemente

dipolar representado por um dipolo centrado na Terra Entretanto verificou-se que o

dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra natildeo eacute axial Ele depende do modelo de

campo utilizado do meacutetodo de medidas e da eacutepoca considerada Os pontos em que o eixo

do dipolo intercepta a superfiacutecie da Terra satildeo chamados de poacutelos (norte e sul)

geomagneacuteticos (Figura 14) Para 1995 estes poacutelos estavam localizados em 793degN

2886degE e 793degS 1086degE Embora a maior parte do campo da Terra possa ser

representada por um campo dipolar uma parte dele eacute representada por campos natildeo

dipolares Os pontos da superfiacutecie da Terra em que a inclinaccedilatildeo magneacutetica eacute plusmn90deg (ie

onde o campo eacute vertical com sinal positivo ou negativo) satildeo denominados de poacutelos

magneacuteticos (Figura 14) Para o ano de 1980 as posiccedilotildees dos poacutelos magneacuteticos norte e sul

estavam localizadas respectivamente em 773degN 2582degE e 656degS 1394degE Note que

estes poacutelos natildeo satildeo exatamente opostos Isto se deve ao fato de o campo natildeo poder ser

representado somente pelo campo de um dipolo

O torque exercido por um campo magneacutetico em um iacutematilde (a agulha de uma buacutessola

por exemplo) eacute proporcional ao momento magneacutetico associado ao iacutematilde O torque pode ser

calculado atraveacutes das forccedilas exercidas por um campo uniforme B em um par de poacutelos

magneacuteticos de intensidade p separados por uma distacircncia d (Figura 15) A forccedila que age

em cada poacutelo eacute dada por

F = B p (126)

Figura 14 O dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra estaacute inclinado de 117deg em

relaccedilatildeo ao eixo de rotaccedilatildeo da terra Os poacutelos norte e sul magneacuteticos satildeo os pontos onde a

agulha da buacutessola se inclina de 90deg

Figura 15 Definiccedilatildeo do momento magneacutetico m de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1996)

As direccedilotildees das forccedilas que atuam em cada poacutelo satildeo opostas definidas pelo sinal do

poacutelo magneacutetico O torque atua no sentido de alinhar o eixo do iacutematilde na direccedilatildeo do campo

magneacutetico B Se o eixo do iacutematilde faz um acircngulo θ com a direccedilatildeo do campo a distacircncia

perpendicular agraves linhas de accedilatildeo das forccedilas em cada poacutelo eacute igual a d sin θ Assim o torque

(τ) sentido pelo iacutematilde eacute dado por

τ = B p d sin θ (127)

Como m = p sdot d podemos escrever

τ = m B sin θ ou

τ = m x B (128)

15 Campo magneacutetico originado por uma corrente eleacutetrica

Uma carga eleacutetrica q movendo-se a uma velocidade v em um campo magneacutetico B

(Figura 16a) sofre uma forccedila F definida pela equaccedilatildeo formulada por Lorentz em 1879

F = q (v x B) (129)

A unidade de B eacute o Tesla que equivale a NAm de acordo com a equaccedilatildeo (129)

Considere agora cargas eleacutetricas se movimentando em um elemento dl de um fio

condutor de aacuterea transversal A (Figura 16b) A corrente (I) seraacute igual a quantidade de

carga que atravessa a aacuterea da seccedilatildeo transversal do condutor na unidade de tempo

∆Q (130)

Figura 16 Ilustraccedilatildeo da (a) lei de Lorentz para a forccedila de deflexatildeo F experimentada por

uma carga eleacutetrica que se move com velocidade v atraveacutes de um campo magneacutetico B e (b)

a lei de Biot Svart para a forccedila experimentada por um elemento dl de um fio condutor

passando uma corrente I sob a accedilatildeo de um campo magneacutetico B (Fonte Lowrie 1997)

Agora considere N como sendo o nuacutemero de cargas por unidade de volume Entatildeo

o nuacutemero de cargas no elemento dl eacute igual a NAdl e a carga total (∆Q) seraacute

∆Q = N A dl q (131)

Se cada carga tem velocidade v entatildeo para atravessar o espaccedilo dl ela levaraacute um

tempo t definido por

t (132)

De (130) (131) e (132) tiramos que

I = N A q v (133)

Agora cada carga sofreraacute uma forccedila dada pela equaccedilatildeo (129) e a forccedila total

transmitida para o elemento dl seraacute

dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (134)

Mas de acordo com a equaccedilatildeo (133) N A v q = I Logo

dF = I (dl x B) (135)

A equaccedilatildeo (135) representa a Lei de Biot-Savart que determina a forccedila

experimentada pelo elemento dl do condutor passando uma corrente I em um campo

magneacutetico B (Figura 16b) O campo magneacutetico B pode ser originado por outro fio

condutor (Figura 17) Por analogia com o campo eleacutetrico foi proposto que

d K (136)

onde ur eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo de r (Figura 17) e K micro 4π Note que a

direccedilatildeo de dB eacute definida pela regra da matildeo direita No caso da Figura 17 o campo tem

direccedilatildeo perpendicular ao plano da figura com sentido para dentro

Figura 17 Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P O

siacutembolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB eacute para dentro no plano da figura

(Fonte Halliday et al 2007)

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

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4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Figura 14 O dipolo que melhor se ajusta ao campo da Terra estaacute inclinado de 117deg em

relaccedilatildeo ao eixo de rotaccedilatildeo da terra Os poacutelos norte e sul magneacuteticos satildeo os pontos onde a

agulha da buacutessola se inclina de 90deg

Figura 15 Definiccedilatildeo do momento magneacutetico m de um par de poacutelos magneacuteticos (Fonte

Lowrie 1996)

As direccedilotildees das forccedilas que atuam em cada poacutelo satildeo opostas definidas pelo sinal do

poacutelo magneacutetico O torque atua no sentido de alinhar o eixo do iacutematilde na direccedilatildeo do campo

magneacutetico B Se o eixo do iacutematilde faz um acircngulo θ com a direccedilatildeo do campo a distacircncia

perpendicular agraves linhas de accedilatildeo das forccedilas em cada poacutelo eacute igual a d sin θ Assim o torque

(τ) sentido pelo iacutematilde eacute dado por

τ = B p d sin θ (127)

Como m = p sdot d podemos escrever

τ = m B sin θ ou

τ = m x B (128)

15 Campo magneacutetico originado por uma corrente eleacutetrica

Uma carga eleacutetrica q movendo-se a uma velocidade v em um campo magneacutetico B

(Figura 16a) sofre uma forccedila F definida pela equaccedilatildeo formulada por Lorentz em 1879

F = q (v x B) (129)

A unidade de B eacute o Tesla que equivale a NAm de acordo com a equaccedilatildeo (129)

Considere agora cargas eleacutetricas se movimentando em um elemento dl de um fio

condutor de aacuterea transversal A (Figura 16b) A corrente (I) seraacute igual a quantidade de

carga que atravessa a aacuterea da seccedilatildeo transversal do condutor na unidade de tempo

∆Q (130)

Figura 16 Ilustraccedilatildeo da (a) lei de Lorentz para a forccedila de deflexatildeo F experimentada por

uma carga eleacutetrica que se move com velocidade v atraveacutes de um campo magneacutetico B e (b)

a lei de Biot Svart para a forccedila experimentada por um elemento dl de um fio condutor

passando uma corrente I sob a accedilatildeo de um campo magneacutetico B (Fonte Lowrie 1997)

Agora considere N como sendo o nuacutemero de cargas por unidade de volume Entatildeo

o nuacutemero de cargas no elemento dl eacute igual a NAdl e a carga total (∆Q) seraacute

∆Q = N A dl q (131)

Se cada carga tem velocidade v entatildeo para atravessar o espaccedilo dl ela levaraacute um

tempo t definido por

t (132)

De (130) (131) e (132) tiramos que

I = N A q v (133)

Agora cada carga sofreraacute uma forccedila dada pela equaccedilatildeo (129) e a forccedila total

transmitida para o elemento dl seraacute

dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (134)

Mas de acordo com a equaccedilatildeo (133) N A v q = I Logo

dF = I (dl x B) (135)

A equaccedilatildeo (135) representa a Lei de Biot-Savart que determina a forccedila

experimentada pelo elemento dl do condutor passando uma corrente I em um campo

magneacutetico B (Figura 16b) O campo magneacutetico B pode ser originado por outro fio

condutor (Figura 17) Por analogia com o campo eleacutetrico foi proposto que

d K (136)

onde ur eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo de r (Figura 17) e K micro 4π Note que a

direccedilatildeo de dB eacute definida pela regra da matildeo direita No caso da Figura 17 o campo tem

direccedilatildeo perpendicular ao plano da figura com sentido para dentro

Figura 17 Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P O

siacutembolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB eacute para dentro no plano da figura

(Fonte Halliday et al 2007)

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

As direccedilotildees das forccedilas que atuam em cada poacutelo satildeo opostas definidas pelo sinal do

poacutelo magneacutetico O torque atua no sentido de alinhar o eixo do iacutematilde na direccedilatildeo do campo

magneacutetico B Se o eixo do iacutematilde faz um acircngulo θ com a direccedilatildeo do campo a distacircncia

perpendicular agraves linhas de accedilatildeo das forccedilas em cada poacutelo eacute igual a d sin θ Assim o torque

(τ) sentido pelo iacutematilde eacute dado por

τ = B p d sin θ (127)

Como m = p sdot d podemos escrever

τ = m B sin θ ou

τ = m x B (128)

15 Campo magneacutetico originado por uma corrente eleacutetrica

Uma carga eleacutetrica q movendo-se a uma velocidade v em um campo magneacutetico B

(Figura 16a) sofre uma forccedila F definida pela equaccedilatildeo formulada por Lorentz em 1879

F = q (v x B) (129)

A unidade de B eacute o Tesla que equivale a NAm de acordo com a equaccedilatildeo (129)

Considere agora cargas eleacutetricas se movimentando em um elemento dl de um fio

condutor de aacuterea transversal A (Figura 16b) A corrente (I) seraacute igual a quantidade de

carga que atravessa a aacuterea da seccedilatildeo transversal do condutor na unidade de tempo

∆Q (130)

Figura 16 Ilustraccedilatildeo da (a) lei de Lorentz para a forccedila de deflexatildeo F experimentada por

uma carga eleacutetrica que se move com velocidade v atraveacutes de um campo magneacutetico B e (b)

a lei de Biot Svart para a forccedila experimentada por um elemento dl de um fio condutor

passando uma corrente I sob a accedilatildeo de um campo magneacutetico B (Fonte Lowrie 1997)

Agora considere N como sendo o nuacutemero de cargas por unidade de volume Entatildeo

o nuacutemero de cargas no elemento dl eacute igual a NAdl e a carga total (∆Q) seraacute

∆Q = N A dl q (131)

Se cada carga tem velocidade v entatildeo para atravessar o espaccedilo dl ela levaraacute um

tempo t definido por

t (132)

De (130) (131) e (132) tiramos que

I = N A q v (133)

Agora cada carga sofreraacute uma forccedila dada pela equaccedilatildeo (129) e a forccedila total

transmitida para o elemento dl seraacute

dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (134)

Mas de acordo com a equaccedilatildeo (133) N A v q = I Logo

dF = I (dl x B) (135)

A equaccedilatildeo (135) representa a Lei de Biot-Savart que determina a forccedila

experimentada pelo elemento dl do condutor passando uma corrente I em um campo

magneacutetico B (Figura 16b) O campo magneacutetico B pode ser originado por outro fio

condutor (Figura 17) Por analogia com o campo eleacutetrico foi proposto que

d K (136)

onde ur eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo de r (Figura 17) e K micro 4π Note que a

direccedilatildeo de dB eacute definida pela regra da matildeo direita No caso da Figura 17 o campo tem

direccedilatildeo perpendicular ao plano da figura com sentido para dentro

Figura 17 Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P O

siacutembolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB eacute para dentro no plano da figura

(Fonte Halliday et al 2007)

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Figura 16 Ilustraccedilatildeo da (a) lei de Lorentz para a forccedila de deflexatildeo F experimentada por

uma carga eleacutetrica que se move com velocidade v atraveacutes de um campo magneacutetico B e (b)

a lei de Biot Svart para a forccedila experimentada por um elemento dl de um fio condutor

passando uma corrente I sob a accedilatildeo de um campo magneacutetico B (Fonte Lowrie 1997)

Agora considere N como sendo o nuacutemero de cargas por unidade de volume Entatildeo

o nuacutemero de cargas no elemento dl eacute igual a NAdl e a carga total (∆Q) seraacute

∆Q = N A dl q (131)

Se cada carga tem velocidade v entatildeo para atravessar o espaccedilo dl ela levaraacute um

tempo t definido por

t (132)

De (130) (131) e (132) tiramos que

I = N A q v (133)

Agora cada carga sofreraacute uma forccedila dada pela equaccedilatildeo (129) e a forccedila total

transmitida para o elemento dl seraacute

dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (134)

Mas de acordo com a equaccedilatildeo (133) N A v q = I Logo

dF = I (dl x B) (135)

A equaccedilatildeo (135) representa a Lei de Biot-Savart que determina a forccedila

experimentada pelo elemento dl do condutor passando uma corrente I em um campo

magneacutetico B (Figura 16b) O campo magneacutetico B pode ser originado por outro fio

condutor (Figura 17) Por analogia com o campo eleacutetrico foi proposto que

d K (136)

onde ur eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo de r (Figura 17) e K micro 4π Note que a

direccedilatildeo de dB eacute definida pela regra da matildeo direita No caso da Figura 17 o campo tem

direccedilatildeo perpendicular ao plano da figura com sentido para dentro

Figura 17 Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P O

siacutembolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB eacute para dentro no plano da figura

(Fonte Halliday et al 2007)

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Agora cada carga sofreraacute uma forccedila dada pela equaccedilatildeo (129) e a forccedila total

transmitida para o elemento dl seraacute

dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (134)

Mas de acordo com a equaccedilatildeo (133) N A v q = I Logo

dF = I (dl x B) (135)

A equaccedilatildeo (135) representa a Lei de Biot-Savart que determina a forccedila

experimentada pelo elemento dl do condutor passando uma corrente I em um campo

magneacutetico B (Figura 16b) O campo magneacutetico B pode ser originado por outro fio

condutor (Figura 17) Por analogia com o campo eleacutetrico foi proposto que

d K (136)

onde ur eacute o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo de r (Figura 17) e K micro 4π Note que a

direccedilatildeo de dB eacute definida pela regra da matildeo direita No caso da Figura 17 o campo tem

direccedilatildeo perpendicular ao plano da figura com sentido para dentro

Figura 17 Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P O

siacutembolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB eacute para dentro no plano da figura

(Fonte Halliday et al 2007)

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

O moacutedulo de dB seraacute dado por

(137)

Para encontrarmos o campo B originado por toda a distribuiccedilatildeo de corrente

devemos integrar sobre todos os elementos de corrente (i ds)

d micro (138)

Figura 18 Caacutelculo do campo magneacutetico produzido por uma corrente i em um fio retiliacuteneo

infinito O campo dB produzido no ponto P pelo elemento de corrente i ds aponta para

dentro no plano da figura como indica o siacutembolo x (Fonte Halliday et al 2007)

Para o caso de um condutor retiliacuteneo infinito podemos usar a equaccedilatildeo (138) para

determinar o campo a uma distacircncia R do fio (Figura 18)

B dB micro ds (139)

s θ e r natildeo satildeo independentes

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

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4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

r s R (140)

sin θ = sin (π - θ) = R (s2 + R2)12 (141)

Assim de (139) (140) e (141) podemos escrever que

B micro R R ds micro R R (142)

B micro R (143)

Note que as linhas de campo em torno do fio condutor retiliacuteneo infinito formam

ciacuterculos concecircntricos no plano normal ao fio (Figura 19)

Figura 19 Pequenas agulhas de compasso mostram que as linhas de campo magneacutetico

em torno de um fio retiliacuteneo infinito passando uma corrente eleacutetrica I formam ciacuterculos

concecircntricos em um plano normal ao fio (Fonte Lowrie 1997)

16 Momento magneacutetico de uma espira

A lei de Biot-Savart pode ser aplicada para determinar o torque exercido em uma

espira retangular PQRS (Figura 110) sob a influecircncia de um campo magneacutetico B Os

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

comprimentos dos lados da espira satildeo a e b e definimos o eixo x na direccedilatildeo paralela ao lado

a da espira A aacuterea da espira eacute A = ab A normal ao plano da espira eacute representada pelo

vetor unitaacuterio n na Figura

Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magneacutetico B eacute normal

ao eixo x fazendo um acircngulo θ com a normal ao plano da espira Aplicando a equaccedilatildeo

(135) a forccedila Fx eacute igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ na direccedilatildeo positiva de x Seu efeito

eacute cancelado pela forccedila Fx que age no lado RS a qual tem mesma intensidade e direccedilatildeo

oposta (-x) Forccedilas iguais a (IaB) agem em direccedilotildees opostas nos lados QR e SP (Figura

110a) A distacircncia perpendicular entre as linhas de accedilatildeo da forccedila F em cada seguimento a

da espira eacute (d sen θ) (Figura 110b) de modo que o torque τ que a espira experimenta eacute

dado por

τ = (Iab) B sen θ (144)

τ = m x B (145)

m = IA eacute definido como sendo o memento magneacutetico da espira e eacute representado por um

vetor com direccedilatildeo paralela agrave normal (n) ao plano da espira de corrente O momento

magneacutetico eacute definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela aacuterea (A) para todo tipo de

espira qualquer que seja a sua forma

Quando comparamos a equaccedilatildeo (145) com a equaccedilatildeo (128) que define o torque

em um dipolo fica evidente que m corresponde ao momento magneacutetico da espira A

definiccedilatildeo de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magneacutetico tem

unidade de corrente multiplicado por aacuterea Am2

A energia potencial magneacutetica (Em) de um momento magneacutetico (m) em um campo

magneacutetico B (Figura 111) eacute definida pela expressatildeo

Em = - m B cos θ = -m sdot B (146)

onde θ eacute o acircngulo entre o momento magneacutetico m e o campo B

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Figura 110 (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magneacutetico

uniforme B (b) caacutelculo do torque exercido na espira

Figura 111 Momento magneacutetico m fazendo um acircngulo θ com um campo magneacutetico B

A equaccedilatildeo (146) mostra que a energia potencial magneacutetica eacute miacutenima quando o

momento magneacutetico m eacute paralelo a B (θ = 0deg) e maacutexima quando o momento magneacutetico m

eacute antiparalelo a B (θ = 180deg)

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

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4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Um grande nuacutemero de sistemas fiacutesicos tem momento de dipolo magneacutetico a Terra

os iacutematildes as espiras de corrente os aacutetomos os nuacutecleos os eleacutetrons e as partiacuteculas

elementares

17 Definiccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo

A magnetizaccedilatildeo de um material estaacute associada aos momentos magneacuteticos de spin

(intriacutensecos) dos eleacutetrons Em uma visatildeo simplificada o momento magneacutetico total (mt) de

um material eacute a soma vetorial de todos os momentos magneacuteticos associados ao volume do

material (Figura 112)

Figura 112 Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos momentos magneacuteticos dentro de um

material (Fonte Lowrie 1997)

sum (147)

A magnetizaccedilatildeo (M) eacute definida como sendo o momento magneacutetico por unidade de

volume

sum V (148)

Atraveacutes da equaccedilatildeo (148) podemos verificar que a unidade de magnetizaccedilatildeo eacute Am

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Eacute interessante notar que a unidade do campo magneacutetico (B ndash induccedilatildeo magneacutetica) eacute

NAm e da constante de permeabilidade microo = NA2 (microo = 4π 10-7 NA2) Assim

Bmicro N AN A A (149)

Assim vemos que magnetizaccedilatildeo e Bmicroo tecircm a mesma unidade Entretanto dentro de

um material a magnetizaccedilatildeo M natildeo eacute igual a Bmicroo a diferenccedila eacute representada pelo campo

magneacutetico H o qual apresenta a mesma unidade de magnetizaccedilatildeo (Am)

micro (150)

Para M = 0 rArr B = microo H (151)

Originalmente H foi definido como campo magnetizante e B eacute o campo de induccedilatildeo

magneacutetica Podemos entender melhor a diferenccedila entre B e H se olharmos para a

magnetizaccedilatildeo M induzida em um material magneacutetico atraveacutes de um campo magneacutetico

originado por um solenoacuteide passando uma corrente I dentro do qual o material estaacute

inserido Em qualquer ponto do espaccedilo o campo magneacutetico seraacute a soma do campo aplicado

(Bo originado pelo solenoacuteide) e o campo originado pelo material magnetizado (BM)

B = Bo + BM (152)

Pode-se mostrar que BM = microo M (campo de induccedilatildeo magneacutetica) Se o campo

magnetizante eacute Bo = microo H da equaccedilatildeo (152) podemos escrever que

B = microo M + microo H ou

B = microo (H + M) (153)

ou ainda

H = Bmicroo - M (154)

Na equaccedilatildeo 154 H indica como B eacute modificado em decorrecircncia da magnetizaccedilatildeo

induzida (M)

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

18 Suscetibilidade magneacutetica (χ) e permeabilidade magneacutetica (micro)

Como vimos acima a aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico H em um material induz

uma magnetizaccedilatildeo M neste material A magnetizaccedilatildeo induzida eacute proporcional ao campo

aplicado a qual pode ser expressa pela relaccedilatildeo

M = χ H (155)

onde a constante de proporcionalidade χ eacute uma propriedade fiacutesica do material e eacute

denominada de suscetibilidade magneacutetica Ela representa uma medida da facilidade com

que um material eacute magnetizado Como M e H tecircm a mesma unidade a suscetibilidade

magneacutetica eacute adimensional Das equaccedilotildees (153) e (155) podemos escrever

B = microo (H + M) = microo (H + χ H) = microo (1 + χ) H e

B = microo micro H (156)

onde micro = (1 + χ) eacute denominado de permeabilidade magneacutetica do material

A permeabilidade magneacutetica eacute uma medida da habilidade que um material tem de

transportar as linhas de campo magneacutetico (fluxo magneacutetico) Materiais magneacuteticos

apresentam alta permeabilidade magneacutetica Certas ligas de alta permeabilidade satildeo

produzidas industrialmente para concentrar as linhas de campo em seu meio Este eacute o caso

do material Permalloy uma liga composta por 785 de niacutequel e 215 de ferro e do

material micrometal (mumetal) uma liga composta por 77 de niacutequel 16 de ferro 5 de

cobre e 2 de cromo Cilindros concecircntricos constituiacutedos de chapas de micrometal satildeo

utilizados para eliminar o campo geomagneacutetico em seu interior formando escudos

magneacuteticos Estes escudos satildeo usados em magnetocircmetros para medidas da magnetizaccedilatildeo da

rocha para a realizaccedilatildeo das desmagnetizaccedilotildees teacutermica e por campos magneacuteticos alternados

ou mesmo para guardar amostras de rocha para evitar a induccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo viscosa

pelo campo magneacutetico da Terra Minerais e rochas apresentam baixa permeabilidade

magneacutetica (micro cong 1)

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

19 Origem do Magnetismo nos materiais

Mostramos acima que vaacuterios sistemas fiacutesicos apresentam momento magneacutetico Este

eacute o caso de uma espira de corrente onde o momento magneacutetico (m = i A) eacute representado

por um vetor perpendicular ao plano da espira

O eleacutetron estaacute tambeacutem associado a um momento magneacutetico em decorrecircncia de seu

movimento orbital em torno do nuacutecleo (Figura 113)

Figura 113 Desenho esquemaacutetico mostrando a oacuterbita de um eleacutetron com velocidade ve

massa me e carga qe em torno do nuacutecleo de carga qn m eacute o momento magneacutetico associado

o qual eacute perpendicular ao movimento orbital do eleacutetron

Se o eleacutetron de massa me e carga qe estaacute a uma distacircncia r do nuacutecleo seu momento

magneacutetico m seraacute igual a

m = i A = i π r2 (157)

Se sua velocidade eacute ve entatildeo

v ∆ ∆t (158)

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

onde ∆t eacute o tempo que o eleacutetron leva para dar uma volta em torno do nuacutecleo (distacircncia de

2πr) Por outro lado a corrente i eacute a carga (qe) pelo tempo ∆t isto eacute

∆ (159)

Substituindo (158) em (159) teremos

(160)

Das equaccedilotildees (157) e (160) podemos escrever que

m (161)

Noacutes sabemos da fiacutesica quacircntica que a quantidade de movimento angular do eleacutetron eacute

quantizada e eacute um nuacutemero inteiro de h 2π onde h eacute a constante de Plank (kg m2 s) O

momento angular (l) associado ao eleacutetron eacute a sua quantidade de movimento (P = me ve)

multiplicado pela sua distacircncia ao nuacutecleo do aacutetomo Assim

m v r v r (162)

De (161) e (162) tiramos que

m n (163)

Para n = 1 (estado fundamental) o momento magneacutetico associado ao eleacutetron eacute

denominado de magneacuteton de Bohr (mb) e eacute dado por

m 927 10 Am (164)

O eleacutetron apresenta tambeacutem um movimento de rotaccedilatildeo (movimento de spin) em

torno de seu eixo Este movimento pode ser no sentido horaacuterio ou no sentido anti-horaacuterio o

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

qual estaacute associado a um momento angular (s) que vale +12 ou -12 dependendo do seu

sentido de rotaccedilatildeo Um momento magneacutetico intriacutenseco (ou momento de spin - ms) estaacute

tambeacutem associado a este movimento de rotaccedilatildeo o qual vale

ms = 2 s mb = mb (165)

110 Estrutura eletrocircnica dos aacutetomos

Antes de vermos o comportamento magneacutetico dos materiais veremos como os

eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos no aacutetomo isto eacute a sua estrutura eletrocircnica No seacuteculo passado

Schroumldinger propocircs uma seacuterie de equaccedilotildees de onda que descrevem a probabilidade de

encontrar o eleacutetron em um ponto (r θ φ) as quais envolvem harmocircnicos esfeacutericos

Ψ r θ φ A P cos θ cos sin mφ f r (166)

- satildeo amplitudes de probabilidade

satildeo os polinocircmios de Legendre cos sen (mϕ) - satildeo funccedilotildees em cosseno e seno que variam com ϕ eacute uma fincatildeo que depende da distacircncia r do eleacutetron ao nuacutecleo Os autovalores l m n associado ao momento de spin s satildeo chamados de nuacutemeros

quacircnticos O nuacutemero quacircntico n representa a camada de energia e eacute designado por um

nuacutemero inteiro (n = 1 2 3 4 5 ) cada um correspondendo a uma letra maiuacutescula (n = K

L M N O)

O nuacutemero quacircntico l especifica o momento angular orbital total L do eleacutetron l pode

valer 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 4 (g) Para cada valor de n podemos ter valores de l

variando entre 0 le l le n-1 Portanto para n = 1 temos um uacutenico valor possiacutevel para l isto eacute

l = 0 (indicado por 1s onde 1 representa n e s representa l) Para n = 2 temos dois valores

possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p) Para n = 3 temos

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

trecircs valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (3s) l = 1 (3p) e l = 2 (3d) Para n = 4 temos

quatro valores possiacuteveis para l isto eacute l = 0 (4s) l = 1 (4p) l = 2 (4d) e l = 3 (4f) e assim por

diante

O nuacutemero quacircntico m especifica a componente do momento angular orbital Lz na

direccedilatildeo de um campo magneacutetico aplicado B = microo H (Figura 114) Para cada valor de l o

nuacutemero quacircntico m apresenta valores inteiros entre -l le m le +l Assim teremos 2l + 1

valores de m para l = 0 teremos m = 0 para l = 1 teremos m = -1 0 +1 para l = 2 teremos

m = -2 -1 0 +1 +2 para l = 3 teremos m = -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 e assim por diante

Figura 114 Orientaccedilotildees quantizadas relativas a direccedilatildeo de um campo magneacutetico B ou H

do vetor momento angular orbital para um eleacutetron da camada 3d (l = 2) Satildeo mostrados os

valores permitidos de m (-2 -1 0 +1 +2) e de s (+12 e -12)

Finalmente o nuacutemero quacircntico s especifica o momento angular de spin s na direccedilatildeo

do campo B Para cada valor de m podemos ter somente dois valores de s +12 (designado

como spin para cima) e -12 (designado como spin para baixo) Para cada valor de m

podemos ter somente dois eleacutetrons um com spin para cima e outro com spin para baixo

Assim para l = s temos m = 0 e podemos ter um maacuteximo de dois eleacutetrons na camada s

Para l = p temos trecircs valores de m (-1 0 +1) e podemos ter um maacuteximo de 6 eleacutetrons na

camada p Para l = d temos 5 valores possiacuteveis de m (-2 -1 0 +1 +2) e podemos ter um

maacuteximo de 10 eleacutetrons na camada d Para l = f temos 7 valores possiacuteveis de m (-3 -2 -1

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

0 +1 +2 +3) e podemos ter um maacuteximo de 14 eleacutetrons na camada f Assim por diante

para as demais camadas

Existem trecircs regras para o preenchimento da estrutura eletrocircnica dos eleacutetrons

1- O princiacutepio de Pauli diz que dois eleacutetrons em um aacutetomo natildeo podem ter os quatro

nuacutemeros quacircnticos iguais Assim se n l e m satildeo iguais um deles deve ter o valor de

s = +12 e o outro o valor de s = -12

2- As oacuterbitas satildeo preenchidas segundo o aumento de energia A Figura 115 mostra

como ocorre o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas indicam a

sequecircncia de aumento da energia 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 Note

que a camada 4s2 eacute preenchida antes da camada 3d10

3- A regra de Hund diz que os eleacutetrons devem ser preenchidos de tal modo que os

spins sejam tatildeo paralelos quanto possiacutevel A Figura 116 mostra a estruturaccedilatildeo

eletrocircnica de alguns elementos da tabela perioacutedica Note que ao comeccedilarmos a

preencher uma camada de energia s p d colocamos primeiramente todos os

spins para cima ateacute completar todas as subcamadas de nuacutemero quacircntico m possiacuteveis

Somente entatildeo iniciamos a colocaccedilatildeo dos spins para baixo

Note que os elementos quiacutemicos a partir do Escacircndio (Sc) (Figura 116) apresentam

eleacutetrons na camada 3d sendo que para muitos deles (incluindo o Fe) temos spins

magneacuteticos natildeo emparelhados e portanto momento magneacutetico resultante Estes elementos

satildeo chamados de elementos de transiccedilatildeo Abaixo apresentamos a estrutura eletrocircnica do

Fe26 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 Temos seis eleacutetrons na camada d e quatro spins natildeo

emparelhados isto eacute temos um momento magneacutetico resultante de 4 mb no Fe Um fato

importante eacute que quando um destes elementos torna-se um iacuteon ele perde primeiramente os

eleacutetrons da camada 4s (mais externa) para depois comeccedilar a perder os eleacutetrons da camada

3d Por exemplo o iacuteon Fe2+ perde os dois eleacutetrons da camada 4s2 e a sua estrutura

eletrocircnica seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 Deste modo o Fe2+ tem momento magneacutetico

resultante de 4 mb como no caso do aacutetomo de Fe26 Jaacute o iacuteon Fe3+ aleacutem de perder os dois

eleacutetrons da camada 4s2 perde tambeacutem um eleacutetron da camada 3d A estrutura eletrocircnica do

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Fe3+ seraacute 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 e teremos um momento magneacutetico resultante de 5 mb

Os elementos de transiccedilatildeo pelo fato de suas ligaccedilotildees com outros elementos (por exemplo o

oxigecircnio ndash O2-) acontecerem atraveacutes dos eleacutetrons da camada 4s2 mais externa possibilitam

a existecircncia de momentos magneacuteticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos

fazem parte Satildeo justamente estes minerais que apresentam propriedades magneacuteticas que os

caracterizam como paramagneacuteticos e ferromagneacuteticos como veremos mais adiante

Figura 115 Esquema mostrando o aumento de energia nas vaacuterias camadas As setas

indicam a sequecircncia desde a camada 1s

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Figura 116 Estrutura eletrocircnica dos elementos quiacutemicos desde o Na ateacute o Zn (Fonte

Tauxe 2005)

111 Propriedades magneacuteticas dos materiais

Os materiais podem ser classificados em diamagneacuteticos paramagneacuteticos ou

ferromagneacuteticos de acordo com a sua reaccedilatildeo diante da aplicaccedilatildeo de um campo magneacutetico

Estes comportamentos estatildeo associados aos movimentos orbitais e de spin dos eleacutetrons

como veremos a seguir

1111 Diamagnetismo

Em 1846 Faraday descobriu que um pequeno pedaccedilo de bismuto quando colocado

perto do poacutelo de um iacutematilde era repelido por ele Ele chamou estas substacircncias de

diamagneacuteticas Quando um eleacutetron em sua oacuterbita em torno do nuacutecleo eacute submetido a um

campo magneacutetico B ele executa um movimento de precessatildeo em torno da direccedilatildeo do

campo com a frequecircncia de Larmor

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

∆W B (167)

onde qe e me satildeo respectivamente a carga e a massa do eleacutetron

Este efeito produz uma componente de rotaccedilatildeo (e por consequecircncia de momento

angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translaccedilatildeo do eleacutetron Como

consequecircncia um fraco campo (associado a uma fraca magnetizaccedilatildeo) eacute induzido na direccedilatildeo

oposta ao campo aplicado Este fenocircmeno eacute similar ao descrito pela Lei de Lenz Quando

aproximamos uma barra de iacutematilde de uma espira surgiraacute uma corrente i na espira O sentido

de i eacute tal que o campo originado por ela se opotildee ao campo indutor produzido pela barra do

iacutematilde (Figura 117)

Figura 117 Aplicaccedilatildeo da lei de Lenz Quando um iacutematilde se aproxima da espira uma

corrente eacute induzida na espira A espira produz outro campo magneacutetico cujo momento

dipolar magneacutetico micro estaacute orientado de tal forma que se opotildee ao campo indutor do imatilde

(Fonte Halliday et al 2005)

Todos os materiais apresentam reaccedilatildeo diamagneacutetica quando submetidos a um

campo magneacutetico Entretanto este efeito eacute geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes

do paramagnetismo e do ferromagnetismo Assim a reaccedilatildeo diamagneacutetica eacute

caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos eleacutetrons estatildeo

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

emparelhados Outra caracteriacutestica dos materiais diamagneacuteticos eacute a de que a magnetizaccedilatildeo

desaparece quando o campo eacute retirado

A suscetibilidade magneacutetica dos materiais diamagneacuteticos eacute fraca e negativa (~-10-6)

(Figura 118) Exemplos de minerais diamagneacuteticos satildeo quartzo (SiO2) calcita (CaCO3)

aacutegua (H2O) halita (NaCl) silvita (KCl) grafite (C) gipsita (Ca[SO4]2H2O) e zircatildeo

(ZnSiO4) Podemos citar tambeacutem o mercuacuterio a prata o bismuto o aacutelcool etiacutelico o cobre o

dioacutexido de carbono e o nitrogecircnio

Figura 118 Variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo M em funccedilatildeo do campo aplicado H em materiais

diamagneacuteticos e paramagneacuteticos (Fonte Lowrie 1997)

1112 Paramagnetismo

Minerais que apresentam comportamento paramagneacutetico possuem momento

magneacutetico resultante devido aos spins natildeo emparelhados que seus iacuteons Entretanto devido

agrave energia teacutermica estes momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao acaso dentro do material

e a magnetizaccedilatildeo resultante eacute nula Ao aplicarmos um campo magneacutetico nos materiais

paramagneacuteticos surge uma fraca magnetizaccedilatildeo no mesmo sentido do campo aplicado A

suscetibilidade magneacutetica destes materiais eacute portanto fraca e positiva (Figura 118) Ao

retirarmos o campo externo entretanto a magnetizaccedilatildeo volta a ser zero

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Um modelo uacutetil para explicar o paramagnetismo foi apresentado por P Langevin

em 1905 Seu modelo observa as seguintes premissas

1 Cada spin natildeo emparelhado contribui com um momento de dipolo

2 Na ausecircncia de um campo aplicado os momentos magneacuteticos estatildeo orientados

ao acaso

3 Um campo aplicado age no sentido de criar um momento magneacutetico resultante

na direccedilatildeo do campo aplicado

4 Haacute uma competiccedilatildeo entre a energia teacutermica (ET = kT onde k eacute a constante de

Boltzman e T eacute a temperatura) e a energia magneacutetica Em (Figura 111)

Em = -mb B = -microo mb H = -microo mb H cos θ (168)

A mecacircnica estatiacutestica da termodinacircmica diz que a densidade de probabilidade P(E)

de algum dado momento magneacutetico ter energia Em eacute P E α exp ET (169)

Agora o nuacutemero de momentos magneacuteticos n(θ) existentes entre θ e (θ + dθ) com

respeito ao campo H eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ que vale (sin (θ) dθ)

Utilizando a funccedilatildeo densidade de probabilidade (169) podemos escrever que

exp sin (170)

A magnetizaccedilatildeo induzida eacute medida somente na direccedilatildeo do campo aplicado (Figura

119) isto eacute cos (171)

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Figura 119 Representaccedilatildeo do acircngulo soacutelido elementar subentendido pela aacuterea

dA=rsen(θ)dθdφ O momento magneacutetico total m a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao campo

magneacutetico aplicado (H) eacute representado pelo nuacutemero de momentos magneacuteticos [n(θ)]

existentes entre θ e θ + dθ multiplicado pelo momento magneacutetico associado a cada spin

(mb) n(θ) eacute proporcional a parte do acircngulo soacutelido em θ (sen (θ) dθ) Note que haacute uma

simetria rotacional do momento magneacutetico em relaccedilatildeo a H

A magnetizaccedilatildeo meacutedia (M) de uma populaccedilatildeo de partiacuteculas de um material de

volume V seraacute entatildeo igual a

M V n θ cos θ dθ (172)

Agora se o material for levado ao estado de saturaccedilatildeo isto significa que todos os

momentos magneacuteticos estaratildeo alinhados ao campo aplicado Se N eacute o nuacutemero total de

momentos entatildeo

N n θ dθ (173)

Entretanto a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) eacute dado por

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

M N V V n θ dθ (174)

De (172) e (174) podemos escrever que

MM (175)

Ainda usando a equaccedilatildeo (170) MMs fica

MM E T E T

ou ainda usando (168) podemos escrever

MM micro HT micro HT (176)

Substituindo na equaccedilatildeo (176) microombHkT = α e cos (θ) = x teremos a expressatildeo

MM (177)

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (177) eacute

MM (178)

ou ainda

MM coth α L α (179)

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Figura 120 (a) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica (obtida da funccedilatildeo de Langevin L (α)) em

funccedilatildeo de α = microombHkT (b) Magnetizaccedilatildeo paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura T

(lei de Curie)

A equaccedilatildeo (179) eacute conhecida como equaccedilatildeo de Langevin para o paramagnetismo

A Figura 120 mostra a resoluccedilatildeo graacutefica desta equaccedilatildeo (MMs versus α) Note que a

magnetizaccedilatildeo se aproxima da saturaccedilatildeo quando microombH eacute aproximadamente 10 a 20 vezes o

valor de kT Quando kT gtgtgt microombH L (α) eacute aproximadamente linear Neste caso podemos

desenvolver a coth (α) na seacuterie

coth α middotmiddotmiddot (180)

Utilizando somente os dois primeiros termos da seacuterie da equaccedilatildeo (180) teremos

MM (181)

ou

MM micro T H (182)

Podemos escrever a equaccedilatildeo (182) de outro modo

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

MH micro T M (183)

Mas da equaccedilatildeo (174)

M N V (184)

Assim substituindo Ms na equaccedilatildeo (183) e rearranjando os termos podemos

escrever

MH micro N V T χ (185)

onde χp eacute a suscetibilidade paramagneacutetica Note que o primeiro termo depois da

igualdade na equaccedilatildeo (185) eacute uma constante Assim podemos re-escrever esta equaccedilatildeo da

seguinte forma

MH CT χ (186)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (186) eacute denominada de lei de Curie para o paramagnetismo Ela mostra

que a suscetibilidade paramagneacutetica varia com o inverso da temperatura A Figura 121a

mostra o graacutefico da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura e a Figura

121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 em fincatildeo de T a qual eacute representada por uma reta

passando pela origem Alguns materiais soacute satildeo paramagneacuteticos acima de uma determinada

temperatura θ como veremos mais adiante A Figura 121b mostra a variaccedilatildeo de χp-1 para

temperaturas T gt (T - θ)

A suscetibilidade paramagneacutetica (10-5 ndash 10-4 SI) eacute duas a trecircs ordens de grandeza maior

do que a suscetibilidade de materiais diamagneacuteticos Exemplos de minerais paramagneacuteticos

satildeo Ilmenita (FeTiO3) Siderita (FeCO3) Rutilo (TiO2) Clorita (silicato de Fe Mg Al)

piroxecircnio (Mg Ca Fe) e Olivina ((MgFe)2SiO4)

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Figura 121 (a) Variaccedilatildeo da suscetibilidade paramagneacutetica com a temperatura e (b) a

variaccedilatildeo linear do inverso da suscetibilidade paramagneacutetica em funccedilatildeo da temperatura (T)

Alguns materiais apresentam comportamento paramagneacutetico somente a temperaturas

acima de uma determinada temperatura θ

1112 Ferromagnetismo

Nos materiais paramagneacuteticos e diamagneacuteticos as interaccedilotildees entre momentos

magneacuteticos atocircmicos individuais satildeo pequenas e frequentemente despreziacuteveis Entretanto

em alguns metais (Fe Ni Co) os aacutetomos ocupam posiccedilotildees na rede cristalina proacuteximas o

suficiente para permitir uma interaccedilatildeo de troca (tambeacutem chamada de energia de troca) entre

os eleacutetrons vizinhos Esta interaccedilatildeo de troca produz um forte campo molecular dentro do

metal o qual alinha os momentos magneacuteticos atocircmicos e produz uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea Estes materiais satildeo chamados coletivamente de ferromagneacuteticos e interagem

fortemente com campos magneacuteticos externos

Foi Weiss quem introduziu o conceito de campo molecular (Hw) Na sua teoria o

campo molecular eacute proporcional a magnetizaccedilatildeo M do material isto eacute

Hw = β M (187)

onde β eacute a constante de proporcionalidade

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Se aplicarmos um campo H a um material o campo total (Ht) no interior do material

seraacute

Ht = H + Hw = H + β M (188)

Por analogia com o paramagnetismo podemos substituir α na equaccedilatildeo (179) por

α micro H MT (189)

Assim podemos escrever (179) como

MM L micro H MT (190)

Quando a temperatura aumenta os cristais se expandem e as interaccedilotildees de troca

ficam mais fracas Acima de uma temperatura caracteriacutestica a energia teacutermica eacute dominante

e o mineral perde as propriedades ferromagneacuteticas A temperatura em que isto ocorre eacute

denominada de temperatura de Curie (TC) Cada mineral magneacutetico apresenta uma

temperatura de Curie caracteriacutestica Assim podemos analisar a equaccedilatildeo (190) em duas

situaccedilotildees

Situaccedilatildeo 1- Temperaturas T gt TC isto eacute (T - TC) gt 0

Neste caso o campo molecular interno eacute zero (Hw = β M = 0) Assim podemos

usar a aproximaccedilatildeo kT gtgtgt microo mb H e escrever a equaccedilatildeo (190) da seguinte forma

MH micro N V T TC χ (191) ou

MH CT TC χ (192)

onde C micro N V

A equaccedilatildeo (192) eacute conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade

ferromagneacutetica acima da temperatura de Curie (TC)

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

Situaccedilatildeo 2- Temperaturas T lt TC

Abaixo da temperatura de Curie podemos descartar o campo externo na equaccedilatildeo

(190)

MM L micro MT (193)

Sabendo que M N V podemos re-escrever a equaccedilatildeo (193) da seguinte forma

MM L micro N V T MM (194)

ou

MM L TCT MM (195)

onde TC micro N V eacute definida como sendo a temperatura de Curie

A soluccedilatildeo graacutefica da equaccedilatildeo (195) eacute apresenta na Figura 122 Podemos separar dois

intervalos de temperaturas em que o material ferromagneacutetico muda de comportamento

Acima da temperatura de Curie a energia teacutermica eacute dominante o material passa a ter um

comportamento paramagneacutetico e a magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (193) Abaixo

desta temperatura o campo molecular predomina o material eacute ferromagneacutetico e a

magnetizaccedilatildeo eacute governada pela equaccedilatildeo (195) Eacute importante salientar entretanto que a

transiccedilatildeo do comportamento ferromagneacutetico para o comportamento paramagneacutetico eacute

gradual sendo que o material se torna definitivamente paramagneacutetico somente acima de

uma temperatura θ (vide Figura 121) maior do que a temperatura de Curie (θ gt TC) A

transiccedilatildeo gradual do comportamento ferromagneacutetico para paramagnetismo eacute explicada pela

persistecircncia do campo molecular em orientar os momentos magneacuteticos a temperaturas

acima de TC

A principal diferenccedila do tratamento claacutessico mostrado acima e o da mecacircnica quacircntica

eacute o fato que na mecacircnica quacircntica somente certos acircngulos dos momentos magneacuteticos satildeo

permitidos e natildeo todos como no modelo de Langevin No final a prediccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

em funccedilatildeo da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para

entendermos o fenocircmeno do ferromagnetismo

Figura 122 Comportamento da magnetizaccedilatildeo (MMs) em funccedilatildeo da temperatura (TTC)

de um material ferromagneacutetico (Fonte Tauxe 2005)

11121 Curva de histerese

Mostramos acima que os materiais ferromagneacuteticos apresentam a caracteriacutestica de

perder as propriedades ferromagneacuteticas acima da temperatura de Curie (TC) Outra

caracteriacutestica dos materiais ferromagneacuteticos eacute a sua propriedade de produzir histerese

quando um campo magneacutetico eacute aplicado nestes materiais Mesmo quando o campo eacute

retirado o material reteacutem magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) A Figura 123 mostra uma curva

de histerese (Magnetizaccedilatildeo versus campo aplicado) obtida para um material ferromagneacutetico

com magnetizaccedilatildeo inicial nula Somente com a aplicaccedilatildeo de campos muito baixos a curva

eacute reversiacutevel (parte a da curva em vermelho) Quando aumentamos o campo aplicado (parte

b da curva em azul) a magnetizaccedilatildeo correspondente aumenta ateacute atingirmos o campo de

saturaccedilatildeo Neste ponto um aumento do campo natildeo produz mais aumento da magnetizaccedilatildeo

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

A amostra atingiu a saturaccedilatildeo e a magnetizaccedilatildeo correspondente eacute denominada

magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (Ms) Ao diminuiacutemos o campo aplicado a curva natildeo volta mais

pelo mesmo caminho (parte c da curva em amarelo) Quando o campo atinge o valor zero a

amostra reteacutem uma magnetizaccedilatildeo residual a qual eacute denominada de magnetizaccedilatildeo

remanente de saturaccedilatildeo (Mrs) pelo fato de a magnetizaccedilatildeo ter atingido anteriormente a

saturaccedilatildeo Agora se aplicarmos um campo no sentido oposto (parte d da curva em verde) a

magnetizaccedilatildeo seraacute nula com a aplicaccedilatildeo do campo Hc denominado de campo coercivo

Este campo define a coercividade associada ao material ferromagneacutetico Se neste ponto

diminuirmos o campo aplicado ateacute zero a amostra apresentaraacute magnetizaccedilatildeo remanente Na

figura o campo Hcr denominado de coercividade de remanecircncia correspondente ao campo

em que a magnetizaccedilatildeo remanente da amostra eacute nula apoacutes a retirada do campo Podemos

atingir a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo (parte e da curva em cinza) aumentando o campo ateacute o

campo de saturaccedilatildeo no sentido oposto Diminuindo o campo ateacute zero e invertendo

novamente o sentido do campo construiacutemos a parte f da curva (em preto) Deste modo

fechamos o ciclo de histerese do material ferromagneacutetico

Os paracircmetros Mrs Ms Hc e Hcr satildeo dependentes dos tamanhos dos gratildeos

ferromagneacuteticos e podem fornecer informaccedilotildees sobre as estruturas de domiacutenios magneacuteticos

1113 Tipos de Ferromagnetismo

O termo lsquomateriais ferromagneacuteticosrsquo eacute usado de uma maneira geneacuterica para

descrever as propriedades que determinados materiais apresentam que eacute a de reter

magnetizaccedilatildeo remanente Na realidade o lsquoferromagnetismo purorsquo isto eacute em que os

momentos dos spins na rede cristalina estatildeo orientados no mesmo sentido (interaccedilatildeo de

troca positiva) ao longo de determinados eixos cristalograacuteficos (Figura 124a) natildeo eacute

encontrado na natureza Alguns compostos e ligas podem ser ferromagneacuteticos Podemos

citar como exemplo o dioacutexido de cromo (CrO2) que eacute o componente da fita magneacutetica

usada para gravaccedilatildeo O ferro puro eacute outro material ferromagneacutetico o qual apresenta

temperatura de Curie de 770degC

Em certos oacutexidos de ferro a interaccedilatildeo entre os iacuteons de ferro eacute antiparalelo sendo

que os momentos magneacuteticos de iacuteons vizinhos satildeo iguais e opostos (interaccedilatildeo de troca

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

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4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

negativa) produzindo uma magnetizaccedilatildeo total nula (Figura 124b) Como resultado a

suscetibilidade de um cristal antiferromagneacutetico eacute baixa e positiva Como no caso dos

materiais ferromagneacuteticos os antiferromagneacuteticos perdem suas propriedades

intiferromagneacuteticas em uma determinada temperatura denominada de temperatura de Neacuteel

(TN) Podemos citar como exemplo de mineral antiferromagneacutetico a ilmenita (FeTiO3)

Entretanto a sua temperatura de Neacuteel eacute muito baixa (TN = 50 K) e na temperatura ambiente

a ilmenita eacute paramagneacutetica

Figura 123 O ciclo de histerese de um material ferromagneacutetico Vide a descriccedilatildeo da

curva no texto (Fonte Lowrie 1997)

Quando um mineral antiferromagneacutetico conteacutem defeitos lacunas ou impurezas na

rede cristalina alguns spins antiparalelos tornam-se desprovidos de seus pares e uma fraca

magnetizaccedilatildeo pode resultar destas imperfeiccedilotildees Os momentos associados a esta

magnetizaccedilatildeo satildeo denominados de momentos de defeito Outro efeito que ocorre em alguns

minerais antiferromagneacuteticos eacute a ligeira inclinaccedilatildeo (menor do que 1deg) dos spins tirando-os

do antiparalelismo exato Surge entatildeo uma fraca magnetizaccedilatildeo resultante na direccedilatildeo

perpendicular agrave orientaccedilatildeo dos spins e este fenocircmeno eacute chamado de ferromagnetismo

parasiacutetico (Figura 124c) Materiais que apresentam este tipo de ferromagnetismo mostram

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

caracteriacutesticas tiacutepicas de um material ferromagneacutetico incluindo histerese magnetizaccedilatildeo

espontacircnea e temperatura de Curie Podemos citar como exemplo a hematita (α-Fe2O3)

onde tanto a inclinaccedilatildeo dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito)

contribuem para as propriedades ferromagneacuteticas A hematita apresenta uma magnetizaccedilatildeo

espontacircnea fraca e variaacutevel de aproximadamente 22 kAm coercividades muito altas e

temperatura de Curie de 675degC As variaccedilotildees nas propriedades magneacuteticas da hematita

decorrem da importacircncia relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados

Figura 124 Representaccedilotildees esquemaacuteticas dos alinhamentos dos momentos magneacuteticos

atocircmicos nos minerais ferromagneacuteticos antiferromagneacuteticos ferromagnetismo parasiacutetico

(tambeacutem denominado em inglecircs de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagneacuteticos As

setas embaixo de cada representaccedilatildeo indicam a direccedilatildeo do momento magneacutetico espontacircneo

resultante

Quando o processo de interaccedilatildeo envolve momentos magneacuteticos antiparalelos e

desiguais na rede cristalina resulta em uma magnetizaccedilatildeo espontacircnea fenocircmeno este

denominado de ferrimagnetismo (Figura 124d) Acima de uma determinada temperatura

o mineral ferrimagneacutetico perde as propriedades ferrimagneacuteticas esta temperatura eacute

denominada de temperatura de Neacuteel ou muito frequentemente tambeacutem chamada de

temperatura de Curie O mineral ferrimagneacutetico mais importante eacute a magnetita (Fe3O4) o

qual apresenta temperatura de Curie de ~580degC Outro mineral de relativa importacircncia eacute a

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composiccedilatildeo Fe7S8 Sua temperatura de

Curie eacute de 320degC

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Halliday Resnick and Walker Fundamentos de Fiacutesica Volume 3

Eletromagnetismo John Wiley amp Sons Inc 2005

5 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005