121

6. TÉCNICAS DE MODULAÇÃO DIGITAL

A necessidade de se modular a informação digital vem do fato que o sinal

resultante fica mais imune ao ruído aditivo e dessa forma, o sinal digital que chega na

estação receptora é mais confiável, ou seja, tem um probabilidade menor de erro. Dessa

forma o sinal digital pode ser transmitido como pulso retangular ou cossenoidal ou

gaussiano, etc., todos são chamados de transmissão em banda básica. Quando esses pulsos

são modulados em FM ou PM ou etc., eles são chamados de transmissão por modulação.

Fica claro que qualquer das duas formas anteriores (banda básica ou modulação digital) os

pulsos são posteriormente modulados em frequência muito mais alta, em FM, para serem

transmitidos, por exemplo, espaço livre.

Alguns tipo de modulação:

Amplitude-Shift Keying – ASK

Frequency-Shift Keying – FSK

Phase-Shift Keying – PSK

Dígitos binários: 0 1 1 0 1 0 0 1

122

Metas a serem atingidas:

1. Máxima taxa de dados (data rate)

2. Mínima probabilidade de erro dos símbolos

3. Mínima potência de transmissão

4. Mínima banda passante ocupada no canal

5. Máxima resistência a sinais de interferência

6. Mínima complexidade nos circuitos

Algumas dessas metas são conflitantes. Por exemplo (1) e (2) estão em conflito

com (3) e (4).

123

6.2 – Modulação e Demodulação em Sincronismo (“coherent”) ou Coerente

(1) PSK binário coerente

Transmite-se s1(t) representando o dígito 1 e s2(t) representando o dígito 0

t)fcos(2T

E2(t)s c

b

b1 π=

tfcos2T

E2-)tfcos(2

T

E2(t)s c

b

bc

b

b2 πππ =+=

Obs.: Colocou-se as amplitudes de s1(t) e s2(t) como funções de Tb para que a

probabilidade de erro só dependa da relação energia Eb versus potência de ruído.

onde 0 ≤ t < Tb; Eb – energia/bit

Neste caso a função base de energia unitária será

e b1b2

1b1 T t 0 (t) E - (t)s

(t) E (t)s<≤

==

φφ

O espaço de sinais é unidimensional (só tem φ1) e tem dois pontos de sinais

(s1 e s2): N = 1 e M = 2.

∫ +== bT0 b1111 E dt (t) (t)s s φ

bc b

1 T t 0 tf2 cosT

2(t) < ≤ = π φ

124

∫ == bT0 b1221 E - dt (t) (t)s s φ

No receptor, faz-se ∫= bT0 11 dt (t) x(t) x φ onde x(t) é o sinal que chega ao

receptor.

Caso x1 esteja em Z1, decide-se que o bit 1 foi enviado; caso x1 ∈ Z2, decide-se

pelo bit 0. Z1: x1 > 0 Z2: x1 < 0.

125

Probabilidade de erro:

Supondo um ruído aditivo n(t) AWGN de média zero e densidade espectral de

potência igual a 2

N0 , x1 será uma v.a. de média igual a + bE ou - bE e variância

2

N0 .

Caso o bit 0 tenha sido enviado, teremos

( )

= 2

21100

11 s - x N

1 -exp

N

1 /0)(xfx

π

( )

= 2

b100

E - x N

1 -exp

N

1

π

Logo:

== ∫

∞

0

b0 111e N

Eerfc

2

1 dx /0)(xfx (0)P

Similarmente obtem-se Pe(1) que é igual a Pe(0). Logo a probabilidade total de erro

será

=

0

be N

Eerfc

2

1 P .

Geração e deteção coerente de PSK:

126

A maneira de se demodular s1 ou s2 acima mostrada é chamada de demodulação

coerente (ou sincronizada) por correlação.

127

(2) FSK coerente:

Neste caso o bit 1 é representado por:

bb

c

b

b1 T t 0 t

T

1n2cos

T

E 2 (t)s ≤≤

+= π

e o bit 0 por:

bb

c

b

b2 T t 0 t

T

2n2cos

T

E 2 (t)s ≤≤

+= π

ou seja:

[ ] bib

bi T t 0 tf2cos

T

E 2 (t)s ≤≤= π

0bit para 2 i

1bit para 1 i

T

in f

b

ci =

=+=

Obs.: s1 (t) e s2 (t) iniciam e terminam com a mesma voltagem, pois o tempo de duração

do bit é um múltiplo de ambos os períodos das duas cossenoides.

Tem-se que Eb é a energia do sinal por bit. Neste caso a função base unitária será:

[ ] bib

i T t 0 tf2cos T

2 (t) ≤≤= πφ

O espaço de sinais é bidimensional (permitem-se φ1 e φ2) e com dois pontos de

mensagens (s1 e s2) N = 2 e M = 2

128

∫= bT0 jiij dt (t) (t)s s φ

≠=

=j i 0

j i E b

2

1

b~2

b

~1

E

0 s

0

E s

φφ

←←

=

=

φ1 e φ2 são ortonormais

Z1: região que se decide pela transmissão do bit 1

Z2: idem pelo bit 0

Na demodulação, calculam-se dois valores x1 e x2: ∫= bT0 11 dt (t) x(t) x φ e

∫= bT0 22 dt (t) x(t) x φ , onde x(t) é o sinal que chega ao receptor (s1 ou s2 mais ruído

AWGN).

b T

2 cos(2π fj t) dt t)f(2cosT

E 2 i

T

0 b

b b π ∫ =

Z2

Z1

φ2

φ1

129

A decisão será feita a favor do bit 1 se x1 > x2 e a favor do bit 0 caso x1 < x2.

Para se calcular a Probabilidade de erro mais facilmente, defina-se então a variável

aleatória d = x1 – x2

Caso o bit 1 tenha sido transmitido, tem-se b1 E /1)E(x += E(x2/1) = 0.

Caso o bit 0 tenha sido transmitido, tem-se: E(x1/0) = 0 E(x2/0) = bE .

Logo, tem-se que:

Como as v.as. x1 e x2 são independentes (porque o ruído somado ao bit 0 e ao bit 1

são independentes, não há nenhum relacionamento entre os dois), a variância será:

VAR(d/0) = VAR((x1-x2)/0) = VAR(x1/0) + VAR(x2/0)

VAR(d/1) = VAR[(x1-x2)/1] = VAR(x1/1) + VAR(x2/1)

Como VAR(x1/0) = VAR(x1/1) = VAR(x2/0) = VAR(x2/1) = 2

N0 tem-se que

VAR(d) = VAR(d/1) = VAR(d/0) = N0.

Prova-se também que se x(t) é uma v.a. normal então x1 e x2 também o serão e

neste caso também d será.

Então a decisão x1 > x2 ou x1 < x2 é equivalente a d > 0 ou d < 0 e como d é

gaussiana, tem-se:

b2 1 E - /0)E(x )0 /E(x E(d/0) = −=

b 2 1 E /1)E(x )1 /E(x E(d/1) + = − =

130

( )

+=

0

2b

0L N 2

E l -exp

N2

1 (l/0)f

π

( )

+=

0

2b

0L N 2

E l -exp

N2

1 (l/1)f

π

Daí, Pe(0) = P(d > 0/símbolo 0 foi transmitido) e Pe(1) = P(d < 0/símbolo 1 foi

transmitido)

be e e

0

E1P (0) P (1) P erfc2 2N

= = =

Modulação FSK:

Demodulação coerente

131

Na modulação FSK coerente, a fase varia continuamente mesmo com a variação do

pulso do bit 0 para o bit 1 ou vice-versa. Por esse motivo a modulação FSK também é

chamada de modulação FSK de fase contínua (CPFSK – Continuous Phase FSK). Pelo

fato de estarmos usando um múltiplo de período, muda-se a frequência mas a fase fica

contínua.

6.3 – Técnicas de Modulação Coerente em Quadratura

Por quadratura significa dizer que estamos enviando dois ou mais sinais ortogonais,

defasados de 90º ou seja, um cosseno e um seno de mesma freqüência e fase.

A onda s(t) = sI(t) cos2πfct – sQ(t) sen 2πfct é uma modulação em quadratura onde

sI(t) é a componente em fase e sQ(t), a componente em quadratura.

(1) QPSK – Quadriphase Shift Keying

Neste caso, a onda modulada será

para 0 ≤ t ≤ T, i = 1, 2, 3 e 4 → quatro possíveis pulsos

( )

+= 4

1 - 2itf2 cosT

2E (t)s c i

π π

132

A cada i existe um dibit (dois bits) associado

i 1 2 3 4

dibit 10 00 01 11

Codificação segundo o código de Gray

si(t) acima pode ser escrito como:

( ) tf2 cos 4

1-2icos T

2E (t)s ci ππ

=

( ) tf2sen 4

1-2isen T

2E - cππ

para 0 ≤ t ≤ T i = 1, 2, 3, e 4

Dessa última equação para si(t), observa-se que:

1. A base de vetores ortogonais é bidimensional (φ1(t) e φ2(t)) pois temos duas funções

cos 2πfct e sen 2πfct ortogonais.

2. As amplitudes nestes dois vetores φ1 e φ2 são representadas pelas coordenadas do vetor:

=

=

4 1)-sen(2i E -

4 1)-cos(2i E

s

s s

i2

i1i π

π

i = 1, 2, 3 e 4

0 ≤ t ≤ T

t) fsen(2T

2 (t) t); fcos(2

T

2 (t) c 2 c 1 π φ π φ = =

133

i Dibit de entrada

0≤t≤T

Fase do sinal QPSK Coordenadas dos pontos

de mensagem

1 10 /4π E/2 +

2 00 /4 3π E/2 −

3 01 /4 5π E/2 −

4 11 /4 7π E/2 +

Obs.: a ordem dos dibits foi arbitrária mas, seguindo o código de Gray.

Da tabela acima vê-se que os dibits são formados da seguinte maneira: se o 10. bit é

1 o cos é positivo (se for 0, o cosseno é negativo); se o 20. bit é 0 o sen é positivo (se for

1, o seno é negativo), ou seja, o cos está representado por si1 e o sen por si2.

E/2 −

E/2 −

E/2 +

E/2 +

10)

01) 11)

00)

134

Exemplo 1: Como gerar o sinal QPSK. Suponha que se deseja transmitir a seguinte

sequência binária: 1 0 1 0 0 0 1 1. Divide-se em duas sequências de pares e ímpares.

Posição ímpar = 1 cos é positivo

Posição ímpar = 0 cos é negativo

Posição par = 0 sen é negativo

Posição par = 1 sen é positivo

0 1 2-0.05

00.05

0 1 2-0.05

00.05

0 1 2-0.05

00.05

0 1 2-0.05

00.05

135

Critério de decisão do sistema QPSK:

Se o sinal de mensagem que chega ao receptor está na região Z4, diz-se que o dibit

10 foi enviado; se cai na região Z3, escolhe-se o dibit 00 ; e assim por diante.

O sinal recebido será da seguinte forma x(t) = si(t) + w(t) 0 ≤ t ≤ T i = 1, 2, 3, 4.

Onde si é o sinal transmitido e w(t) é o ruído AWGN de média zero e densidade espectral

de potência igual a 2

N0 .

Definam-se:

∫= T0 11 dt (t) x(t) x φ ,

[( ) 1 1 w

4

1 - 2i cos E x + ] =

π

( ) 2T0 22 w

4 1-2isen E - d (t) x(t) x +

== ∫πφ

que serão as coordenadas em φ1 e φ2, sendo w1 e w2 ruído AWGN de média zero e

variância 2

N0 .

Calculando-se a probabilidade de erro para a região Z4 e todas as outras serão

iguais, já que existe uma simetria geral.

Com base nos valores das coordenadas de φ1 e φ2, isto é, x1 e x2 podemos saber se o

sinal recebido (sinal transmitido + ruído) está dentro da região Z4 ou não, claro que, se o

dibit 10 foi transmitido. Então, caso o dibit 10 tenha sido transmitido e o sinal recebido

tem coordenadas fora de Z4, teremos um erro.

136

x2

Região de

decisão correta

x1

Região de

decisão errada

Calculemos a probabilidade de acerto Pc que é mais fácil.

[( ) 1 1 w

4

1 - 2i cos E x + ] =

π

Logo, a probabilidade de erro será 1 – Pc.

Para i = 1 média [ x1 ] = 1 1

π 2 Emédia [ E cos( ) + w ] = E + w =

4 2 2

Onde 1w = 0 x1 será normal de média 2

E + e variância

2

N0 ,

x2 será normal de média 2

E + e variância

2

N0 .

Logo:

( ) ( )2

0

20

01

0

10

0c dx

N

E/2 - x -exp

N

1 dx

N

E/2 - x -exp

N

1 P

= ∫∫

∞∞

ππ

137

Daí,

=

00c 2N

Eerfc

21

-12N

Eerfc

21

-1P

2

02N

E erfc

2

1 - 1 P

=

c

A probabilidade de erro será: Pe = 1 – Pc

=

0

2

0e 2N

Eerfc

4

1 -

2N

Eerfc P

Como

02N

Eercf é da ordem de 10-4 (probabilidade de erro alta) ou menos,

como por exemplo 10-10 (probabilidade de erro baixa, dependendo da aplicação) temos que

( ) 4-24-4-2 10 10 4

1 - 10 erfc

4

1 - erfc ≈= . Ou seja, podemos aproximar Pe por

A energia E carrega informação sobre dois bits (dibit). Fazendo a

energia por bit igual a Eb, temos Eb = E/2. Então:

.

≈

0 e

N

Eberfc P

≈

0 e

2N

E erfc P

+

=

0

2

0c 2N

Eerfc

4

1

2N

Eerfc - 1 P

138

Geração de QPSK:

b(t) é a onda binária NRZ polar representada por bE + para o bit 1 e bE −

para o bit 0 b(t) é dividida em bits ímpares (b1(t) para o cos) e

pares (b2(t) para o seno).

Demodulação

139

140

Figura 6.7 - geração do sinal QPSK, dada a sequência 01101000

141

142

143

Modulação em quadratura: Minimum Shift Keying – MSK

Considere na modulaçõ FSK ou também chamada de CPFSK, os sinais de

informação

[ ]

[ ]

+

+=

0 símbolo (0) t f2cos T

2E

1 símbolo (0) t f2cos T

2E

s(t)

2b

b

1b

b

θπ

θπ

0 ≤ t ≤ Tb.

θ(0) é a fase no instante t = 0.

Na forma geral de modulação por frequência, tem-se:

[ ] Tb t0(t)tf2cosT

2Es(t) c

b

b ≤≤+= θπ

( ) tT

h (0) (t) f f

2

1 f

b21c

πθθ ±=+=

onde h = Tb(f1 – f2).

( )=

0 símbolo parah -

1 símbolo parah 0 - )(Tb π

πθθ

Logo, transmitindo-se o 1 aumenta-se a fase de πh radianos e se for o 0, a fase

decresce de πh rad.

144

• Valores ímpares de múltiplos de Tb [(2n+1) Tb] tem fase em valores ímpares de

múltiplos de πh;

• Valores pares de múltiplos de Tb levam a fase em valores pares de múltiplos de πh.

Se fizermos 2

1 h = , a fase só assume 0,

2 π± ou ± π, ou seja, valores ± 2 kπ. Então

com 2

1 h = a árvore de fase se reduz a:

145

Se para 2

1 h = enviarmos a sequência 1 1 0 1 0 0 0, e sendo θ(0) = 0, a fase se

comportará como mostrado na figura acima por traço em negrito, isto é, sai-se de 0 rad

2

- 0

2

2

2 0

ππππππ →→→→→→→

e chega-se a 0 rad em 7 Tb (para esta específica sequência).

Neste caso, s(t) pode ser colocado da seguinte forma:

[ ] antes estava como (t) t f2cos T

2E s(t) c

b

b →+= θπ

logo

tfsen2 (t)sen T

2E -t fcos2 (t) cos

T

2E s(t) c

b

bc

b

b πθπθ=

146

onde bb

T t 0 t 2T

(0) (t) ≤≤±= πθθ

positivo (+) para o bit 1 e negativo (-) para o símbolo 0, ou ainda

quadraturaemcomponente

cQ

faseemcomponente

cID tfsen2(t)s-tfcos2(t)s(t)s↑↑

= ππ

Considere a componente em fase:

Como t 2T

(0) (t)b

πθθ ±=

para 0 ≤ t ≤ Tb

se fizemos - Tb ≤ t ≤ 0, teremos a fase com resultado similar, isto é,

t2T

(t) (t)b

πθθ m=

A fase θ(0) será 0 ou ± π radianos.

Logo a polaridade do cos θ(t) só depende de θ(0) no intervalo – Tb ≤ t ≤ Tb.

Dessa forma,

t2T

cos (0)cos T

2E (t)cos

T

2E (t)s

bb

b

b

bI

πθθ ==

ou seja

sendo que o sinal (+) corresponde a θ(0) = 0 e o (-) corresponde a θ(0) = π.

bbbb

bI T t T - t

2T cos

T

2E (t)s ≤≤±= π

147

De forma similar, tem-se:

t2T

sen(Tb)senT

2E(t)sen

T2E

(t)sbb

b

b

bQ

πθθ ==

bbb

bQ 2T t 0 t

2Tsen

T

2E (t)s ≤≤±= π

sendo que o sinal (+) corresponde a 2

)(Tbπθ = e o (-) a

2 - )(Tbπθ = .

Na equação h = Tb(f1 – f2), com 2

1 h = tem-se

b21 2T

1 f - f = . A diferença de

frequências é metade da taxa de bits. Isto é o mínimo espaçamento entre as frequências

no FSK para que s1(t) seja ortogonal a s2(t).

Da discussão anterior, vê-se que θ(0) = θ(Tb) podem assumir os seguintes

valores:

1. Se θ(0) = 0 e θ(Tb) = 2

π; isto corresponde a transmissão do símbolo 1.

2. Se θ(0) = π e θ(Tb) = 2

π; isto corresponde a transmissão do bit 0.

3. Se θ(0) = π e θ(Tb) = - 2

π (ou

2

3π módulo 2π); temos a transmissão do bit 1.

4. Se θ(0) = 0 e θ(Tb) = - 2

π; corresponde a transmissão do bit 0.

148

Funções ortogonais correspondentes: φ1 e φ2

T t T-t fcos2 t2T

cos T

2 (t) bc

bb1 ≤≤

= ππφ

bcbb

2 2T t 0t fsen2 t2T

sen T

2 (t) ≤≤

= ππφ

s(t) = s1 φ1(t) + s2 φ2(t) 0 ≤ t ≤ Tb

onde:

(0) cos E dt (t) s(t) s b

b

TT- b11 θφ∫ ==

)(TsenE-dt(t)s(t)s bT-

0 b22b θφ∫ ==

Como θ(0) = 0 ou π, s1 = bE ± e como 2

)(Tbπθ ±= ,

b2 E s m= .

Temos então quatro possibilidades para (s1, s2)

( )bb E - ,E ; ( )bb E - ,E− ; ( )bb E ,E e ( )bb E ,E− .

Tabela – Caracterização do espaço de sinais de MSK

Símbolo binário transmitido

bT t 0 ≤≤

Estado de fases

)(T (0) bθθ

Coordenadas dos pontos

mensagens s1 s2

1 /2 0 π+ bb E - E +

0 /2 ππ + bb E - E −

1 /2 - ππ bb E E +−

0 /2 - 0 π bb E E ++

149

Exemplo – Geração do MSK

150

Critério de decisão

Chega o sinal x(t) na entrada do demodulador e calcula-se x1 e x2.

∫ +== b

b

TT- 1111 w s dt (t) x(t) x φ

∫ +== b2T0 2222 w s dt (t) x(t) x φ

w1 e w2 são ruídos independentes, aditivos de média zero e variância 2

N0

se x1 > 0 escolhe-se θ(0) = 0

se x1 < 0 escolhe-se θ(0) = π

se x2 > 0 escolhe-se θ(Tb) = - π/2

se x2 < 0 escolhe-se θ(Tb) = π/2

Combinando-se o par (s1, s2) decide-se que o bit transmitido foi o 0 ou o 1, de

acordo com a Tabela

• Probabilidade de erro

A modulação MSK é muito parecida com a modulação QPSK. A diferença está nas

funções ortonormais φ1 e φ2 e além disso no MSK, há necessidade de se usar memória já

que s1 é calculado de – Tb a Tb. Então a probabilidade de erro do MSK é idêntica ao do

QPSK, ou seja,

=

0

b2

0

be N

Eerfc

4

1 -

N

Eerfc P

N

Eerfc P

0

be

≈

151

Geração e demodulação síncrona do MSK

Gaussian minimum-shift keying

In digital communication, Gaussian minimum shift keying or GMSK is a continuous-phase frequency-shift keying modulation scheme. It is similar to standard minimum-shift keying (MSK); however the digital data stream is first shaped with a Gaussian filter before being applied to a frequency modulator. This has the advantage of reducing sideband power, which in turn reduces out-of-band interference between signal carriers in adjacent frequency channels. However, the Gaussian filter increases the modulation memory in the system and causes intersymbol interference, making it more difficult to discriminate between different transmitted data values and requiring more complex channel equalization algorithms such as an adaptive equalizer at the receiver. GMSK has high spectral efficiency, but it needs a higher power level than QPSK, for instance, in order to reliably transmit the same amount of data.

GMSK is most notably used in the Global System for Mobile Communications (GSM).

152

6.4 – Técnicas de Modulação Binária não Coerente (não Síncrona)

O Demodulação ortogonal não coerente

Suponha que após termos modulado a onda binária, obtemos dois sinais ortogonais

s1(t) e s2(t) no intervalo 0 ≤ t ≤ T. Estes dois sinais são afetados por um deslocamento de

fase (ruido que atua alterando a fase), onde o valor desse deslocamento é aleatório. Sejam

g1(t) e g2(t) os sinais deslocados em fase provenientes respectivamente de s1(t) e s2(t).

Supomos que g1(t) e g2(t) também são ortogonais, ou seja, as alterações de fase nos dois

sinais ortogonais são iguais.

Supondo que não haja ruido na fase, no receptor chega o sinal x(t)

T t0 w(t)(t)s w(t)(t)s

x(t)2

1 ≤≤

++

=

A demodulação é feita segundo a figura abaixo caso não exista o ruido de fase:

153

Supondo agora o ruido de fase, pode-se obter l1 e l2 segundo suas componentes em φ1 e φ2

e também suas componentes defasadas de 900, isto é, 21ˆ e ˆ φφ , para tentarmos retirar o

ruido de fase (veja item 4.8 desta apostila). Estas componentes 21ˆ e ˆ φφ são as

transformadas de Hilbert de φ1 e φ2. Caso φi seja da forma φi = m(t) cos2πfit, sua

transformada de Hilbert será tf2en m(t) ˆii πφ = , desde que o espectro de m(t) não se

superponha ao do cos2πfit.

Diagrama de bloco equivalente, na suposição que si(t) tenha sido transmitido: a figura a

seguir refere-se a deteção de si(t). O mesmo se aplica para todas as outras funções da

base.

154

Se s1(t) foi enviado, e se não houvesse ruído de fase, 1I

x seria proveniente de s1(t)

e nesse caso xQ1,= xI1 = xQ2 =0. Como existe ruído de fase, esses valores serão variáveis

aleatórias.

Então:

2

N ,EN será x 0

I1,

2

N 0,N será x 0

Q1,

2N

0,Nseráx 0I 2

,

2N

0,Nseráx 0Q2

,

xxl 2Q

22 22

+= I

155

Demonstra-se que sendo 1Ixe 1

Q xv.a.s normais idênticas de média zero

e 2

N 02 =σ , l2 será uma v.a. de Rayleigh dada por

( ) 0lNl

-expN2l

lf 20

22

0

22L2

≥

=

Desejamos achar a probabilidade de erro:

( ) ( ) 122l L12 l dl lf l lP Perro1 2

∀=>= ∫∞

10

21 l

N

l -exp Perro ∀

=

156

Porém l1 também é v.a. Logo teremos que tirar a média com relação a l1

2Q

2I

21 11

x x l +=

10

2Q

2I l

x x -exp Perro 11 ∀

+=

N

( ) ( )1111Q11I

11QIQXIX-

0

2Q

2I dx dx xf xf

N

x x -exp Perro ∫ ∫

∞+∞−

∞+∞

+=

( )( )111111 QI

2Q

2I

2Q

2I

0-

0

dx dx x E - x x x N

1 -exp

N

1 Perro

+++= ∫ ∫

∞+∞ π

Argumento da exponencial:

( )2

E2x

2

E-x2 xE-x xx 2

Q

2

I2Q

2I

2Q

2I 111111

++

=+++

=

++

2E

2x2E

-x2N1

-exp 2Q

2

I0

11

=00

2Q

0

2

I

2N

E -exp .

2/N

x -exp .

2/N

2

E - x

-exp 11

157

Logo,

1

1

I0

2

I

-00

e dx2/N

2

E-x

-expN

1.

2NE

-expP

= ∫

∞+∞ π

multiplicado por

1

1Q

0

2Q

-0

dx/2N

x-exp

N

1

∫

∞+∞ π

=

=

00e 2N

E -exp

2

1

2

1 .

2

1 .

2N

E -exp P

Então a probabilidade de erro na demodulação não síncrona (não coerente) é dada

por

=

0e 2N

E -exp

2

1 P

(1) Demodulação não coerente para o sistema binário FSK:

bib

bi T t 0t fcos2

T

2E (t)S ≤≤= π

158

Esquema da demodulação não coerente:

Probabilidade de erro Pe:

=

0

be 2N

E -exp

2

1 P

(2) Modulação DPSK – Differencial Phase Shift Keying

Na demodulação DPSK, duas operações básicas são feitas: codificação diferencial

seguida da modulação PSK. Isto é feito da seguinte forma: Toda vez que o bit 1 vai ser

transmitido, deixa-se a senoide do bit anterior com a mesma fase, ou seja, transmite-se o

mesmo sinal. Caso seja desejado transmitir-se o bit 0, avança-se a fase da senoide anterior,

ou seja, transmite-se a senoide anterior com polaridade trocada.

Exemplo: Deseja-se transmitir 0 1 1 1 0 0 1, então

159

DPSK é um exemplo de modulação não coerente quando é considerado num

intervalo de dois bits. Consideremos o intervalo de dois bits 0 ≤ t ≤ 2Tb. No primeiro

intervalo estamos transmitindo a forma de onda tf2 cos /2TE cbb π em 0 ≤ t ≤ Tb.

Transmissão do bit 1:

≤≤≤≤

=bbcbb

bcbb1 2T t Tt fcos2 /2TE

T t 0t fcos2 2T/E (t)s

ππ

Transmissão do bit 0:

≤≤+≤≤

=bbcbb

bcbb2 2T t T )tfcos(2 /2TE

T t 0 t fcos2 2T/E (t)s

πππ

Vê-se que no intervalo 0 ≤ t ≤ 2Tb, s1(t) e s2(t) são ortogonais.

Fazendo-se a demodulação não síncrona, tem-se que a probabilidade de erro será

dada por

=

o

be N

E -exp

2

1 P , conforme deduzido anteriormente.

Modulação e demodulação DPSK

Modulação:

160

Demodulação não síncrona:

Geração de DPSK: Equação lógica: k1-kk1-kk b d b d d ⊕= aritmética módulo2

bk 1 0 0 1 0 0 1 1

kb 0 1 1 0 1 1 0 0

dk-1 1 1 0 1 1 0 1 1

1-kd 0 0 1 0 0 1 0 0

1-kk d b 1 0 0 1 0 0 1 1

1-kk d b 0 0 1 0 0 1 0 0

dk 1 1 0 1 1 0 1 1 1

Fase transmitida 0 0 π 0 0 π 0 0 0

161

6.5 – Comparação entre as Técnicas de Modulação Binária e Quartenária

Estabelecendo-se que Eb é a energia para se transmitir um bit e que o ruído entrante

no sistema é aditivo, branco, de média zero e autocorrelação igual a N0/2, a probabilidade

de erro Pe é dada em função da relação energia de um bit por densidade de ruído: Eb/N0.

Tabela 6.4

Sinalização binária coerente Probabilidade de erro - Pe

a PDK cerente

b deteção coerente de DPSK

c FSK coerente

( )0b/NEerfc 2

1

( )

0b

20b /NEerfc

4

1 - /NEerfc

( )0b/2NEerfc 2

1

Sinalização binária não coerente

a DPSK

b FSK não coerente

( )0b/NE -exp 2

1

( )0b 2N/E -exp 2

1

Sinalização em quadratura coerente

a QPSK

b MSK

)N/E(erfc4

1)N/E(erf 0b

20b −

)N/E(erfc4

1)N/E(erfc 0b

20b −

162

Exemplo: Com uma relação Eb/N0 igual a 7,5 dB, teremos as seguintes probabilidades de

erro Pe:

FSK não coerente: Pe =

FSK coerente: Pe =

DPSK: Pe =

QPSK ou MSK ou DPSK coerentes: Pe =

PSK coerente: Pe = 1,25 10-3

163

6.6 – Técnicas de Modulação M-ária

(1) PSK M-ário

1-M, 2, 1, 0, i M

i2 t f2cos

T

2E (t)s ci L=

+= ππ

T

n f

M

i2 c

ci == πθ si(t) tem uma componente em cosseno e outra em seno.

Funções bases:

T t 0t fsen2 T

2 (t) t fcos2

T

2 (t) c2c1 ≤≤== πφπφ

Para o caso de M = 8, teríamos a seguinte representação:

164

A região de decisão sobre um determinado si(t) é dada por cada região entre

pontilhados.

si(t) = 2 x I cos2πfct + 2 x Q sen2πfct

QcT0

T0 iIci xdtfsen2(t)s xdttfcos2(t)s ==∫ ∫ ππ

=

I

Q1-

x

x tg θ̂

Em presença de ruído, teremos:

1-M , 2 1, 0, i w M

i2cos E x II L=+

= π

wI e wQ são variáveis aleatórias guassianas de média zero e variância 2

N 02 =σ . Estas

duas variáveis aleatórias são consideradas independentes.

Demodulação de si(t)

w M

i2cos E x QQ +

= π

165

Probabilidade de erro:

Como as regiões de decisões são simétricas, as probabilidades de erro em cada si(t)

serão iguais. Então basta calcular apenas uma delas. O caso mais simples é obtido para

tfcos2 T

2E (t)s c0 π= . As coordenadas em φ1 e φ2 serão E e zero. Observa-se

que s0(t) será limitada entre M

ˆ e M

- ˆπθπθ == , abaixo e acima do eixo φ1. A

probabilidade de acerto é dada por

( ) θθππ

ˆd ˆf P /M/M- 0c ∫=

onde ( )θ̂f é a função de distribuição de θ̂ .

+=

I

Q1-

w E

w tg θ̂

( ) . ˆsen N

E -exp ˆcos

N

E

N

E -exp

2

1 ˆf 2

00

+

= θθ

ππθ

166

vezes

θ̂cos N

Eerfc

2

1 - 1 .

0

θθθπ

π/Μ

πˆdˆsen

NE

-expˆcosNE

-1P-1P 2

0/M0ee

≈= ∫

−

≈M

sen N

Eerfc P

0e

π

para PSK M-ário síncrono com M ≥ 4.

Afim de se eliminar a necessidade de sincronismo no demodulador, pode-se usar

um sistema M-ário cujas fases sejam dados pelo deslocamento de fase em relação à forma

de onda anterior como no DSPK, ou seja, é o sistema M-ário DPSK.

A probabilidade de erro para o caso de M-ário DPSK é dada por:

167

4 M para 2M

sen N

2Eerfc P

0e ≥

≈ π

(2) QAM M-ário

Neste tipo de modulação, os sinais tem fase e amplitudes diferentes. No PSK M-ário, as

fases são diferentes, mas as amplitudes são iguais. A figura 6.24 abaixo mostra a

disposição de um QAM M-ário, com M = 16.

A disposição de sinais é chamada de constelação de sinais. A enumeração dos bits

segue o código de Gray, isto é, para um determinado ponto, seu vizinho mais próximo só

difere dele de um único bit.

O sinal QAM M-ário pode ser decomposto em duas componentes ASK L-árias (no

exemplo anterior L = 4, L2 = M) corespondentes às componentes em fase (φ1) e em

quadratura (φ2).

168

O sinal QAM M-ário é definido pelo sinal transmitido:

T t 0t fsen2 b T

2E t fcos2 a

T

2E (t)s ci

0ci

0i ≤≤+= ππ

onde E0 é a energia do sinal com a menor amplitude e ai e bi são inteiros independentes de

acordo com sua posição no espaço de sinais.

As funções bases são φ1 e φ2 dadas por:

T t 0t fsen2 T

2 (t) et fcos2

T

2 (t) c2c1 ≤≤== πφπφ

As coordenadas na constelação de sinais são dadas por ( )oi0i E b ,E a ,

onde

169

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+++++

+++++

=

1L1,-L1L-3,L-1L-1,L-

3L1,-L1-L,3L-3-L1,L-

1)-L1,-L1-L3,L-1-L1,L-

b,a ii

L

MMM

L

L

onde L M=

No caso do exemplo anterior com M = 16, tem-se

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=

3- 3,3- 1,3- 1,-3- 3,-

1- 3,1- 1,1- 1,-1- 3,-

1 3,1 1,1 1,-1 3,-

3 3,3 1,3 1,-3 3,-

b ,a ii

- Probabilidade de erro do QAM M-ário

Para se calcular a probabilidade de erro da modulação QAM M-ária segue-se os

seguintes passos:

1. A probabilidade de acerto pode ser calculada por

( )( ) ( ) 2'e

'e

'ee P-1P-1.P-1P

21==

, 'e

'e

'e P P P

21==

P 'e1

= probabilidade de erro em φ1, idem φ2

onde 'eP é a probabilidade de erro numa das direções φ1 ou φ2. Isto pode ser feito

porque as componentes em fase e em quadratura são independentes (na verdade,

descorrelatadas) e por outro lado existe uma simetria total de modo que 'eP é o

mesmo em relação a φ1 e φ2.

170

2. Supondo que o sinal ASK L-ário em φ1 ou φ2 é afetado por um ruído aditivo de média

zero e densidade espectral 2

N0 , pode-se calcular a probabilidade de erro 'eP como

sendo

M L ond N

Eerfc

L

1 - 1 P

0

0'e =

=

3. A probabilidade de erro do QAM M-ário é dada por:

( )2'ece P-1-1P-1P ==

Logo a probabilidade de erro será:

≈0

0e N

Eerfc

M

1 - 12 P

A probabilidade de erro Pe pode ser colocada em função da energia média EAV dos

símbolos, ao invés da energia E0, já que essa última varia de acordo com a posição do

símbolo na constelação de sinais.

( ) ( )

3

E 1 - 2 1 - 2i

L

2E 2 E

0 L/2

1 i

2 0 AV

Μ =

= ∑ =

Obs.: AV significa “average” (média).

[ ] 22 2 ' e

' e

'e

' e

' e e 2P P - 2P P 2P - 1 - 1 P ≈ + = =

171

Logo:

( )

≈0

AVe N 1-M2

E 3erfc

M

1 - 12 P

para M = 4,

=

0

AVe 2N

Eerfc P , que é idêntica a calculada anteriormente (PSK

quaternário), onde nesse caso EAV = E, energia/símbolo

Figura – Constelação de sinais para o caso QAM quaternário (QPSK)

Modulação QAM M-ária:

172

Demodulação QAM M-ária:

Figura – Diagrama de blocos da (a)’modulação e (b) demodulação QAM M-ária

173

(3) FSK M-ário

Neste sistema o sinal transmitido é da forma

( ) T t 0 tn T

cos T

2E (t)s ci ≤≤

+= iπ

i = 1, 2, …, M; 2T

n f c

c =

e nc

é um inteiro, E é a energia do sinal transmitido.

As funções bases são em número M, dadas por

( ) T t 0 in T

cos T

2 (t) ci ≤≤

+= πφ .

O receptor ótimo consiste de M filtros correlatores. Na saida desses filtros,

amostra-se o sinal em t = kT e o receptor faz a decisão baseada no maior valor obtido.

A probabilidade de erro é dada por ( )

≤

0e 2N

Eerfc 1-M

2

1 P para a

demodulação síncrona. Na demodulação não-coerente (não-síncrona), a probabilidade de

erro é dada por

( )( )

++= ∑

=

+

o

k1-M

1-M

1k

1k

e N1kkE

-expC1k

1-P

.

Essa probabilidade de erro na demodulação não coerente pode ser aproximada por

≤

0e 2N

E -exp

2

1-M P .

174

(4) Comparação entre as técnicas de modulação M-ária

Na modulação M-ária, o que se ganha é banda-passante e em troca, deve-se

aumentar a potência de transmissão para se ter o mesmo desempenho. A tabela 6.5 abaixo

mostra a relação entre banda-passante para uma dada probabilidade de erro constante igual

a 10-4.

Tabela – PSK M-ário

Valor

de M

( )( ) binária passante banda

ária-M passante banda

( )( ) binário média potência

ário-M média potência

4 0,5 0,34 dB

8 0,333 3,91 dB

16 0,25 8,52 dB

32 0,2 13,52 dB

Obs.: A banda passante na 2ª coluna da tabela não diminui, na verdade é como se

diminuísse caso se usasse várias faixas de freqüências, já que a portadora é única fc.

6.7 – Espectro de Potência dos Sinais Modulados

Os sinais modulados são da forma s(t) = s1(t) cos2πfct – sQ(t) sen2πfct onde sI(t) é a

componente em fase e sQ(t), a componente em quadratura. sI(t) e sQ(t) são componentes de

baixa frequência e s(t) é um sinal contido numa banda de frequências em torno de fc.

Pode-se colocar s(t) na forma

( )[ ]tfj2exp (t)s~Re s(t) cπ=

onde (t)js (t)s (t)s~ QI += . (t)s~ é chamado de envoltória complexa.

Para se achar a densidade espectral de s(t), denominada de Ss(f), utilizamos a

densidade espectral de (t)s~ , a qual denominamos SB(f).

175

SS(f) é dada em função de SB(f) como:

[ ])f(fS+)f-(fS41

(f)S cBcBS +=

ou seja, desloca-se a densidade de SB(f) que é de frequência baixa, para em torno das

frequências fc e – fc, dividindo-se por 4.

(1) Espectro de potência de sinais binários PSK e FSK

Para PSK, bcb

bi T t 0t fcos2

T

2E (t)s ≤≤±= π

Então só temos a componente em fase igual a ± g(t), onde g(t) é igual a:

bb

b T t 0 T

2E g(t) ≤≤=

Logo:

( )( )2

b

b2

bB

fT

)fT(sen2EfS

ππ=

Para FSK, podemos adotar s(t) usado para deduzir a modulação MSK:

bb

cb

b T t 0 T

t f2cos

T

2E s(t) ≤≤

±= ππ

ou

176

tfsen2 T

tsen

T

2E t fcos2

T

tcos

T

2E s(t) c

bb

bc

bb

b ππππ

= m

onde o sinal (-) refere-se ao envio do bit 0 e o sinal (+) ao do bit 1.

A componente em fase bb

b

T

t cos

T

2E π não depende do bit 0 ou 1 pois não leva

em conta nenhum sinal. Logo não existe aleatoriedade nesta componente. O espectro de

potência é então formulado por dois impulsos:

+

bb

b

2T

1 f

2T

E δ e

bb

b

2T

1 - f

2T

E δ . Já a componente em quadratura leva em conta a aleatoriedade dos

bits transmitidos. Ou seja, temos a componente em quadratura como sendo

bT t 0 g(t) ≤≤± , onde

bbb

b T t 0 T

tsen

T

2E g(t) ≤≤= π

A densidade espectral da componente em quadratura será:

222b

2b

2b

b

g

1) - f(4T

f)T(cos 8E

T

(f)

ππψ

=

Juntando-se as densidades espectrais das duas componentes achamos:

( )( )222

b2

2b

bbb

bB

1-f4T

fcos8E2T1

f2T1

-fTE

(f)Sπ

πδδ bT+

++

=

177

Tendo-se SB(f) para o caso de PSK e FSK, podemos achar SS(f) para estas duas

modulações. Note-se que em FSK temos dois impulsos em ± fc. Estas componentes são

utilizadas como meio de sincronização do sistema FSK.

Calculando-se SS(f), temos o espectro de potência. A figura abaixo mostra tais

espectros para o caso de PSK e FSK.

(2) Espectro de potência dos sinais QPSK e MSK

QPSK:

O sinal QPSK é da forma

T t 0t fsen2 T

E t fcos2

T

2 (t)s cci ≤≤±= ππ m

Então as componentes em fase e em quadratura são iguais a pulsos da forma ± g(t),

onde b

b

2E E

2T T T t 0

ET g(t)

==

≤≤=

Dessa forma o espectro SB(f) é dado por:

178

( )quadraturaemcomponenteda

2

faseemcomponenteda

2B (Tf)sincETfsincE(f)S

↓↓+=

onde

2

fT

)fT(sen)x(Sinc

ππ=

MSK:

No MSK, dependendo de θ(0), a componente em quadratura é dada por ± g(t), onde

bbbb

b1 T t T -

2T

t cos

T

2E (t)g ≤≤= π

Então o espectro de g1(t) será

( ) 2

22b

b2

b

b

g

1 - f16T

fT2cos

E 16

2T

(f)1

= π

πψ

Para a componente em quadratura, dependendo de θ(Tb), está será igual a ± g2(t),

onde

bbb

b2 2T t 0

2T

tsen

T

2E (t)g ≤≤= π

Então a densidade espectral de g2(t) será

( ) 2

22b

b2

b

b

g

1 - f T 16

fT2cos

E 16

2T

(f)2

= π

πψ

Dessa forma SB(f) será a soma das duas componentes, dando então:

( ) 2

22b

b2

bB

1-fT16

fT2cosE32(f)S

= π

π

2

b

bb

2

B fT2fT2sen

4EfT

fTsen2E(f)S

=

=π

ππ

π

179

Os gráficos de SB(f) para o caso QPSK e MSK são mostrados abaixo:

(3) Espectro de potência de sinais M-ários

• PSK M-ário:

O sistema QPSK é um caso particular do PSK M-ário. Então procedendo-se como

anteriormente, o espectro de potência SB(f) do PSK M-ário é dado por:

2 b

2 b2b

2

Bsen[ log (M) π T f ]

[ log (M) π T f ]2 E log MS (f )

=

• FSK M-ário

A dedução de SB(f) para o sinal FSK M-ário é um pouco mais complicada.

É dada por:

180

( )

++

= ∑ ∑∑

= = =

M

1i

2M

1i

M

1j j

j2

i

iji2

2

i

ibB

sensencos

M

1sen2M1

4E(f)Sγ

γγ

γγγγ

γ

onde γi = ( f Tb - 4

iα ) π αi = 2i- (M+1) i=1,2,...M

181

182