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Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 1 Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar Capítulo 4 Modulação de Pulsos 4.1. Teoria da Amostragem Sob certas condições, um sinal contínuo no tempo pode ser completamente representado e recuperado através do conhecimento de suas amostras igualmente espaçadas no tempo. Ex.: Vantagens: - Sinal representado por um número finito de valores - Possibilidade de armazenamento e processamento digital Seja () ft a função a ser amostrada: A fim de obter 0 ( ) ft , amostra de () ft no instante 0 t , multiplica-se () ft por um impulso em 0 t t = e integra- se o resultado.. Assim: Propriedade da Amostragem da Função Impulso 0 0 () ( ) ( ) ft t t dt ft δ + -∞ - = 0 1 2 3 4 5 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 t Amostragem f(0) f(T) f(2T) f(3T) f(4T) f(5T) f(6T) f(7T) f(8T) f(9T) f(10T) f(t) 0 1 2 3 4 5 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 t f(t) t 0 f(t 0 )

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Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 1

Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar

Capítulo 4

Modulação de Pulsos

4.1. Teor ia da Amostragem Sob certas condições, um sinal contínuo no tempo pode ser completamente representado e recuperado através do conhecimento de suas amostras igualmente espaçadas no tempo. Ex.: Vantagens: - Sinal representado por um número finito de valores - Possibilidade de armazenamento e processamento digital Seja ( )f t a função a ser amostrada: A fim de obter 0( )f t , amostra de ( )f t no instante 0t ,

multiplica-se ( )f t por um impulso em 0t t= e integra-se o resultado.. Assim: Propriedade da Amostragem da Função Impulso

0 0( ) ( ) ( )f t t t dt f tδ+∞

−∞⋅ − =�

0 1 2 3 4 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

Amostragem

f(0)

f(T)

f(2T)

f(3T) f(4T)

f(5T)

f(6T)

f(7T)

f(8T)

f(9T)

f(10T)

f(t)

0 1 2 3 4 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

f(t)

t0

f(t0)

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4.1.1. Amostragem com Trem de Impulsos

Seja a função a ser amostrada ( )f t : Dado um período de amostragem T. Definimos ( )p t : Trem de Impulsos

( )( )n

p t t nTδ+∞

=−∞

= −�

Multiplicando ( )f t por ( )p t : O sinal ( )pf t obtido (sinal discreto no tempo) contém a informação sobre as amostras do sinal

original nos tempos nT .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

p

pn

pn

f t f t p t

f t f t t nT

f t f nT t nT

δ

δ

+∞

−∞

+∞

−∞

= ⋅

= ⋅ −

= ⋅ −

0 1 2 3 4 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

f(t)

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

X ( )f t

( )p t

( ) ( ) ( )pf t f t p t= ×

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

fp(t)

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• Análise Espectral Seja ( )f t e seu espectro: E o Trem de Impulsos:

{ } ( )( ) ( )n

P p t t nTω δ+∞

=−∞

� �= = −� �� ��� �

O Trem de Impulsos é um sinal periódico com período T, logo sua transformada pode ser calculada por:

( )0( ) 2 .nn

F F nω π δ ω ω+∞

=−∞= −�

onde: Coeficientes da Série de Fourier 0

0

0

1( ). .

t T jn tn t

F f t e dtT

ω+ −= � e 0

2

T

πω =

No caso:

2 20

2 2

01 1 1(0). . (0). .

T T

T T

jn tnF e dt e dt

T T Tωδ δ−

− −= = =� �

Logo:

{ } ( )1( ) ( ) 2 . s

n

P p t nT

ω π δ ω ω+∞

=−∞

= = −��

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

←→� ?

0 1 2 3 4 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

f(t)

←→�

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

F(ω)

ωm

-ωm

A

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onde: 2

s T

πω = : Frequência de Amostragem

Logo:

( )( )n

p t t nTδ+∞

=−∞

= −� ←→� ( )2( ) s

n

P nT

πω δ ω ω+∞

=−∞

= −�

Deste modo , teremos o espectro do sinal amostrado:

( ) ( ) ( )pf t f t p t= ⋅ ←→� { }1( ) ( ) * ( )

2pF F Pω ω ωπ

=

( )

( )

1 2( ) ( )*

2

1( ) ( )*

p sn

p sn

F F nT

F F nT

πω ω δ ω ωπ

ω ω δ ω ω

+∞

=−∞

+∞

=−∞

� �= −� �� �

= −

1( ) ( )p s

n

F F nT

ω ω ω+∞

=−∞

= −�

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

←→�

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ωs 2ω

s -ω

s -2ω

s

P(ω) 2π/T 2π/T 2π/T

ω

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

fp(t)

←→�

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

ω

Fp(ω)

ωm

-ωm

A/T

ωs 2ω

s-2ωs

-ωs

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Portanto, o espectro de um sinal amostrado é uma repetição do espectro do sinal or iginal nas frequências múltiplas da frequência de amostragem. Resumo: Para que não ocorra Superposição dos Espectros é necessário que: (pelo gráfico)

s m mω ω ω− ≥ Logo:

2s mω ω≥ ou 2s mf f≥

0 1 2 3 4 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

f(t)

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ωs 2ω

s -ω

s -2ω

s

P(ω ) 2π/T 2π/T 2π/T

ω

←→�

←→�

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

fp(t)

←→�

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

ω

Fp(ω )

ωm

-ωm

A/T

ωs 2ω

s-2ωs

-ωs

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

F(ω )

ωm

-ωm

A

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Teorema da Amostragem

Em 1928, Nyquist estudo a amostragem de sinais nas Séries de Fourier, porém apenas em 1949 com Shannon, que seu princípio foi incorporado à Teoria das Comunicações. “ Seja um sinal ( )f t limitado em frequência tal que ( ) 0F ω = para mω ω> . Então ( )f t é

unicamente determinado por suas amostras ( )f nT , 0, 1, 2,...n = ± ± se:

2s mω ω≥

onde 2

s T

πω = ”

Em outras palavras: A frequência de amostragem deve ser, no mínimo, igual ao dobro da máxima frequência existente no sinal.

A frequência 2s mω ω= é chamada Frequência de Nyquist ou Taxa de Nyquist.

É comum usarmos um filtro PB de frequência 2

sc

ωω = na entrada dos sistemas de aquisição de

dados, para garantirmos que o Teorema da Amostragem seja obedecido. O sinal contínuo ( )f t pode ser recuperado a partir do sinal amostrado ( )pf t , filtrando-se este

último através de um filtro Passa-Baixas ideal de ganho T e de frequência de corte

m c s mω ω ω ω< < − . Este filtro é chamado de Filtro PB de reconstrução.

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

ω

Fp(ω )

ωm

-ωm

A/T

ωs 2ω

s-2ωs

-ωs

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

F(ω )

ωm

-ωm

A

ω ωc -ωc

|H(ω)| T

Filtro PB

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O que ocorre caso o Teorema da Amostragem não seja cumprido? 2s mω ω<

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

ω

Fp(ω)

ωm

-ωm

A/T

ωs 2ω

s-ω

s-2ωs ω

s-ω

m

Ocorre o Recobrimento dos Espectros, também chamado de Superposição ou Efeito “Aliasing” . Devido à esta superposição dos espectros, o sinal original não pode ser mais recuperado por filtragem – Perda da Informação! Dado o sinal discreto na figura abaixo, qual é o sinal contínuo que deu origem? (desenhe as possibilidades no gráfico abaixo)

0 5 10 15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5fp(t)

t T 2T 3T

4T

Se o teorema da amostragem não for cumprido, há infinitos sinais que poderiam originar ( )pf t ,

não sendo possível recuperar o sinal contínuo original.

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Exemplos:

1) Sinal de Voz: O gráfico abaixo mostra o espectro de um sinal de voz (som “a” ).

Note que grande parte da energia deste sinal está concentrada de 15 a 10kHz.

Devido a esta característica considera-se para aplicações de telefonia (canal telefônico) que o sinal de voz esteja concentrado na faixa de 300Hz a 3400Hz. Esta faixa corresponde a 68% da Energia e 85% da inteligibilidade da voz.

A fim de processarmos digitalmente o sinal de voz, devemos amostra-lo a uma frequência de

pelo menos: 2 3400 6,8kHz× = . Na prática utiliza-se como frequência de amostragem em telefonia

8sf kHz= , a fim de evitar aliasing e facilitar a recuperação por filtragem PB.

2) Sinal de Áudio: O Sinal de Áudio possui

largura de banda maior que a voz humana, conforme pode ser visto no espectro abaixo:

Note que o sinal de áudio possui o espectro muito mais homogêneo e com maior quantidade de altas frequências que o sinal de voz. O ouvido humano é sensível até frequências próximas a 20kHz. Logo para o processamento (e armazenagem) de sinal de áudio com qualidade é necessário utilizar no mínimo 40sf kHz= . Aplicações como CD de áudio, utiliza 44,1sf kHz= .

3) Vídeo Suponha que desejamos amostrar um sinal de vídeo de modo a obter um quadro de tamanho 640×480 (VGA) e uma taxa de quadros de 30fps (frames por segundo), logo necessitaremos de uma frequência de amostragem de: 30 / 640 480 /sf quadros s amostras quadro= × × ou

9,126sf MHz=

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4.1.2. Amostragem Natural com Trem de Pulsos

Na prática é difícil obter um trem de impulsos. Logo se utiliza trem de pulsos para fazer a amostragem. Trem de Pulsos: Lembrando:

{ } ( )( ) 2 . .n sn

p t F nτ π δ ω ω+∞

=−∞= −��

2s T

πω =

Esta Série de Fourier foi calculada anteriormente: 0

0

1( ).

2s

t T jn t sn t

nAF p t e dt Sa

T Tω

τω ττ+ − = = � �

��

Usando o trem de pulsos como amostrador, temos: Calculo do Espectro

{ }1( ) ( )* ( )

2pF F Pτ τω ω ωπ

=

( )1( ) ( )* 2 .

2 2s

p sn

nAF F Sa n

Tτω ττω ω π δ ω ω

π

+∞

=−∞

� � = −� �� � �� �

( )( ) .2

sp s

n

nAF Sa F n

Tτω ττω ω ω

+∞

=−∞

= −� � �

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

t

pτ(t)

A

τ T

-10 -5 0 5 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

ω

Ptau

(ω)

ωs2ω

s-ωs

3ωs

←→�

X ( )f t

( )p tτ

( ) ( ) ( )pf t f t p tτ τ= ×

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

fpτ(t)

Constante dependente de n

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Resumo:

Logo: Teorema de Shannon continua valendo.

2s mω ω≥ para não haver recobrimento de espectros. Zoom:

←→�

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

F(ω)

ωm

-ωm

A

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

f(t)

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

t

pτ(t)

A

τ T

-10 -5 0 5 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

ω

Ptau

(ω)

ωs2ω

s-ωs

3ωs

←→�

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

fpτ(t)

←→�

-10 -5 0 5 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

Fpτ(ω)

ωs2ω

s

3ωs

-ωs

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

Fpτ

(ω)

ωs

2ωs

-ωs

ωm

-ωm

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4.1.3. Amostragem Instantânea por Trem de Pulsos

Neste tipo a amostragem ocorre em um único instante de tempo. Notação: ( )pf t Amostragem por Trem de Impulsos

( )pf tτ Amostragem Natural por Trem de Pulsos

( )pif tτ Amostragem Instantânea por Trem de Pulsos

Análise: Como podemos obter a função Trem de Pulsos a partir da Trem de Impulsos através da convolução com a Função Porta: ( ) ( )* ( )p t p t g tτ τ=

-5 0 5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

fpiτ(t)f(t)

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

-2 -1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

gτ(t)

τ/2 -τ/2

A

*

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

t

pτ(t)

A

τ T

=

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 12

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Logo podemos pensar que ( )pif tτ pode ser gerado como a convolução:

( ) ( )* ( )pi pf t f t g tτ τ=

Lembrando que a Transformada de Fourier da Função porta é a Sampling: { }( ) .2

g t A Saτωττ = � � �

E a Propriedade da Convolução no Domínio do Tempo:

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )pi p pi pf t f t g t F F Gτ τ τ τω ω ω= ←→ = ×�

Temos que:

{ } ( )1( ) .

2pi sn

f t F n A SaTτ

ωτω ω τ+∞

=−∞

= − × � � �

��

Logo: ( )( )2pi s

n

AF Sa F n

Tττ ωτω ω ω

+∞

=−∞

= −� � �

Cuidar, pois ( )piF τ ω é diferente de: ( )( ) .2

sp s

n

nAF Sa F n

Tτω ττω ω ω

+∞

=−∞

= −� � �

-2 -1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

gτ(t)

τ/2 -τ/2

A

*

-5 0 5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

fp(t)

3T 2T

T -T

-5 0 5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

fpiτ

(t)

T

2T 3T

-T τ/2 -τ/2 =

Função de ω

Constante dependente de n

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 13

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Resumo: Amostragem por Trem de Impulsos: Amostragem Natural por Trem de Pulsos: Amostragem Instantânea por Trem de Pulsos: Zoom: Note que há distorção dos espectros! Pois cada ponto do espectro fica multiplicado pela função Sampling.

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

fpτ(t)

←→�

-10 -5 0 5 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

Fpτ(ω)

ωs2ω

s

3ωs

-ωs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

fp(t)

←→�

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

ω

Fp(ω )

ωm

-ωm

A/T

ωs 2ω

s-2ωs

-ωs

-10 -5 0 5 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

Fpiτ(ω)

ωs

-ωs

2ωs

3ωs

-5 0 5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

fpiτ

(t)

T

2T 3T

-T τ/2 -τ/2 ←→�

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

Fpiτ

(ω)

ωs-ωs2ωs

ωm-ωm

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Observação: No sistema com amostragem instantânea por pulsos NUNCA se consegue reconstrução sem erro do sinal devido à distorção imposta pela Função Sampling. A esse efeito chamamos de “Distorção sen(x)/x” Ex.: Vejamos esta distorção mais claramente no exemplo onde ( ) ( )

mF gωω ω=

Formas de Minimizar a Distorção “sen(x)/x”

a) Diminuindo τ : ( )( )2pi s

n

AF Sa F n

Tττ ωτω ω ω

+∞

=−∞

= −� � �

Reduz a distorção!

-5 0 5

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

Fpiτ(ω)

-1 -0.5 0 0.5 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

F(ω)

ωm

-ωm

Distorção

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

τ1

τ2

τ2<τ1

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 15

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Problemas: - Diminui-se a energia do sinal, logo diminui a relação Sinal-Ruido. - Projeto do Filtro Passa-Baixas é mais crítico.

Para Tτ = :

- Ponto de maior distorção. - Maior energia do Sinal reconstruído. - Filtro PB mais fácil, as réplicas do espectro ficam sobre os zeros da Sampling.

Este é o tipo de amostragem mais utilizado na prática.

-5 0 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

τ2

-5 0 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

τ1

-5 0 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

τ=T

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

ω

τ=T

ωs

2ωs

-ωs

-2ωs

←→�

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 16

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b) Aumentar a Frequência de Amostragem

Para Tτ = : - Reduz a Distorção “sen(x)/x” - Reduz a complexidade do Filtro PB Problemas: - Necessita processador mais rápido. - Maior quantidade de memória para armazenamento c) Alterar a Resposta em Frequência do filtro PB de reconstrução: Filtro com reposta em frequência:

1 2( )sin

2 2

GSa

ωτ

ωωτ ωτ

= = � � � � � �

até a frequência / 2sω

-5 0 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

τ=T

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

ω

τ=T

ωs

2ωs

-ωs

-2ωs

←→�

-5 0 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

ω

ωs 2ω

s -ω

s -2ω

s

←→�

PB ( )G ω ( )pif tτ ( )f t

-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

ω

G(ω)

ωs/2-ω

s/2

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 17

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4.2. Sistemas de Modulação de Pulsos

• Modulação Contínua: Portadora é um sinal sinusoidal Ex.: AM, FM e PM

• Modulação por Pulsos Portadora é um trem de pulsos Informação a ser transmitida é composta pelas amostras obtidas pela amostragem com trem de impulsos (amostragem ideal) do sinal f(t). A informação deve modificar alguma característica da portadora:

• Modulação Analógica A informação varia alguma grandeza analógica do pulso: ex.: amplitude (PAM), largura (PWM) ou posição (PPM) do pulso.

• Modulação Digital (Codificação) A informação gera um sinal codificado digital Ex.: PCM, DPCM, DM, ADPCM,...

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

t

pτ(t)

A

τ T

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

fp(t)

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 18

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4.2.1. Modulação em Amplitude de Pulso (PAM)

A amplitude de um trem de pulsos varia linearmente com a amplitude das amostras do sinal

modulador (informação). É a aplicação direta da Amostragem por Trem de Pulsos. Lembrando: Para Amostragem Natural.

1( ) ( ). ( ) ( ) ( )* ( )

2PAM PAMt f t p t F Pτ τϕ ω ω ωπ

= ←→ Φ =�

( ) ( ). ( )PAMn

t f t g t nTτϕ+∞

=−∞= −�

( ) . ( )2

sPAM s

n

nASa F n

T

ω ττω ω ω+∞

=−∞

Φ = −� � �

Obs.: O teorema da amostragem deve ser respeitado. 2s mω ω≥

←→�

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

F(ω)

ωm -ωm

A

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

f(t)

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

t

pτ(t)

A

τ T

←→�

←→�

-10 -5 0 5 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

ω

Ptau

(ω)

ωs2ω

s-ωs

3ωs

( )Pτ ω

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

fpτ(t) ( )PAM tϕ

-10 -5 0 5 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

Fpτ

(ω)

ωs2ω

s

3ωs

-ωs

( )PAM ωΦ

B

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 19

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• Modulação em Sistemas PAM a) Amostragem Natural com Trem de Pulsos Circuito: Chave seletora. Ex.: CD4053 Obs.: Para trabalhar com multiplexadores digitais (CD4053), é necessário que o sinal f(t) nunca seja negativo, logo pode haver a necessidade de adicionarmos um nível DC ao sinal de entrada. Ex.: b) Amostragem Instantânea com Trem de Pulsos Ex.: Circuito de Sample&hold – Amostragem e Retenção

( )f t

( )p tτ

( )PAM tϕ

1 2

0

VCC

0

( )f t ( )PAM tϕ

( )p tτ

0

C

3

2

411

1

+

-

V+

V-

OUT3

2

411

1

+

-

V+

V-

OUT

0

( )f t

( )PAM tϕ t1

t2

t3

0 1 2 3 4

0

0.5

1

1.5

t

φPAM

(t)

t1 t

2 t

3

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 20

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• Demodulação em Sistemas PAM

A recuperação do sinal de informação é feita basicamente através de uma filtragem Passa-Baixas do sinal ( )PAM tϕ Filtrando PB o sinal:

( ) . ( )2

sPAM s

n

nASa F n

T

ω ττω ω ω+∞

=−∞

Φ = −� � �

com filtro de frequência de corte cω tal que m c s mω ω ω ω≤ ≤ − Apenas a réplica do espectro em n=0 passa pelo filtro, temos então o sinal reconstruído:

( ) ( )A

Y FT

τω ω=

Obs.: Se a largura dos pulsos τ for muito pequena em relação ao período T, o sinal reconstruído terá um valor médio baixo, o que gera uma baixa relação Sinal-Ruído. Obs.2: Como é impossível implementarmos um filtro PB ideal (corte abrupto), torna-se necessária a alocação de uma Banda de Guarda, isto é, devemos definir a frequência de amostragem sω um

valor MAIOR que o limite 2 mω , a fim de facilitar o projeto do filtro.

←→�

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

fpτ(t)

( )PAM tϕ

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

Fpτ(ω)

ωs 2ω

s-ω

m-ωm

( )PAMϕ ω

Banda de Guarda

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 21

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Multiplexação por Divisão em Frequência (FDM)

Podemos transmitir vários sinais simultaneamente em um canal, através da modulação de cada sinal em uma frequência diferente, desde que não haja superposição dos espectros. Transmissor : 3 sinais diferentes Para Banda de Guarda igual a zero, a largura de banda de n sinais modulados AM DSB-SC FDM será: .2. mW n ω= Receptor:

( )1F ω

( )2F ω

( )3F ω

Modulador

1cω

Modulador

2cω

Modulador

3cω

+

ω

ω

ω

1cω

2cω

3cω Banda de Guarda

( )FDM ωΦ

ω

Filtro PF

1cω

Filtro PF

2cω

Filtro PF

3cω

ω

ω

ω

1cω

2cω

3cω

Demodulador

1cω

Demodulador

2cω

Demodulador

3cω

1( )f t

3( )f t

3( )f t

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 22

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Multiplexação por Divisão no Tempo (TDM)

Através do uso da Multiplexação por Divisão no Tempo podemos transmitir vários sinais “simultaneamente”, amostrando-os intercaladamente.

Ex.: número de sinais n=3, onde cada sinal é amostrado a uma frequência 2

s T

πω =

A Frequência de amostragem do sinal ( )TDM tϕ é s snω ω′ = Obs.:

- Foi apresentado na figura o amostrador Natural mas também pode-se usar o amostrador instantâneo.

- Para facilitar a recuperação dos sinais, os pulsos são separados por um Tempo de Guarda (tg).

- Um conjunto de uma amostra de cada sinal multiplexado é chamado de quadro. - A taxa de amostragem mínima é determinada pelo sinal com maior largura de banda.

0

1

2

t

f1(t)

0

1

2

t

f2(t)

0

1

2

t

f3(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

t

φTDM

(t)

T

T'=T/3 tg

Quadro

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 23

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• Transmissor O Transmissor é formado por um circuito multiplexador, que nada mais é do que uma chave que seleciona um sinal a cada instante de tempo.

• Receptor O Receptor é composto por um circuito demultiplexador seguidos de filtros passa-baixas de reconstrução. Obs.: Os circuitos multiplexador (transmissor) e demultiplexador (receptor) necessitam estar em perfeito sincronismo. Uso de um canal de sincronismo (disperdício de canal) ou uso de sincronização por quadro, através de uma sinalização diferenciada. Exemplo Prático:

CD4051

C B AD

clockenPenT

f1(t)f2(t)f3(t)f4(t)f5(t)f6(t)f7(t)f8(t)

CBA

in0

in7

.

.

.

CD4051

out

CBA D

clock

inh

enPenT

geradorde sinais gerador

de sinais

21

Contador Contador

74LS161 74LS161

Vdd Vdd

veecanal de dados

canal de sincronismo

Transmissor Receptor

f1(t)f2(t)f3(t)f4(t)f5(t)f6(t)f7(t)f8(t)

C B A

in0

in7

.

.

.

out

inhvee

2k7

in1in2

2k7

Clear Clear

Vdd

1

2 3

n

n-1

( )TDM tϕ 1( )f t

2( )f t

( )nf t

PB

PB

PB ...

Clock

Amostragem 1

2 3

n

n-1

( )TDM tϕ 1( )f t

2( )f t

( )nf t

Clock

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 24

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Largura de Banda 1) Para Sinais PAM Idealmente a largura de faixa do sinal é infinita. Porém a informação necessária à reconstrução de

( )f t é apenas mω !

Se quisermos recuperar os pulsos, é necessária uma largura de banda muito maior que mω . 2) Para Sinais TDM Considerando o sinal ( )TDM tϕ como as amostras de um único sinal contínuo ( )h t , amostrado a

frequência s snω ω′ =

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

t

φTDM

(t)f1(t)

f2(t)

f3(t)

h(t)

Logo: Qual a largura de banda do sinal ( )h t , se cada sinal ( )nf t possui largura de banda mω ? Se estivermos amostrando à taxa de Nyquist: 2s mω ω= , como s snω ω′ = , logo: 2s mnω ω′ =

Assim a largura de banda do sinal equivalente ( )h t é : .m mnω ω′ =

←→�

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

fpτ(t) ( )PAM tϕ

-10 -5 0 5 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

Fpτ

(ω)

ωs2ω

s

3ωs

-ωs

( )PAM ωΦ

Filtro PB

( )TDM tϕ ( )h t

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 25

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Conclusões: - A Largura de Banda necessária a transmissão do sinal ( )TDM tϕ é . mW nω=

onde mω é a maior frequência dos sinais ( )nf t

Comparação: FDM versus TDM

FDM: Sinais separados em frequência e misturados no tempo TDM: Sinais separados no tempo e misturados em frequência Ex.:

a) Modulando n sinais ( )nf t de largura de banda mω , usando AM DSB-SC, qual a largura de banda do sinal FDM resultante?

Resposta: .2. mW n ω=

b) Modulando o sinal ( )TDM tϕ em AM DSB-SC, qual a largura de banda do sinal AM

resultante? Lembrando que a largura de banda de ( )h t é . mnω .

Resposta: 2. . mW nω=

Conclusão: A transmissão de n sinais usando AM em FDM, e o sinal TDM modulado em AM ocupam a mesma largura de banda!

( )PAM ωΦ

-20 -15 -10 5 0

0

ω

- ω c

5 10 15 20 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

F p τ ( ω )

ω c

/ ( )TDM AM ωΦ

ω

( )FDM ωΦ

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 26

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Vantagens do Sistema TDM

- Implementação mais simples, pois necessita de circuitos idênticos para cada canal. So sistema FDM as portadoras e os filtros PF são diferentes para cada canal, necessitando serem sintonizados independentemente.

- TDM é imune à interferência entre canais (diafonia), que surge em sistemas FDM devido

à não-linearidade dos amplificadores de transmissão. No sistema TDM os sinais dos diferentes canais não são aplicados simultaneamente ao sistema, mas sim em diferentes intervalos de tempo, reduzindo a interferência entre os canais.

Exercício: 1) 10 sinais cossenoidais, com frequências variando de 1kHz a 4kHz são amostrados por um processo TDM. Deseja-se na recepção uma banda de guarda de 10kHz para auxiliar na demodulação de cada canal. Qual deve ser a frequência da portadora responsável pela amostragem? Solução: para 1 canal temos: Logo necessitamos de uma frequência de amostragem de 2s mf f BG= + Para n canais:

( )( )

.

2

10 2 4 10 180

s s

s m

s

f n f

f n f BG

f k k kHz

′ =′ = +

′ = × + =

sf mf BG

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 27

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4.2.2. Modulação por Largura de Pulso (PWM)

A largura (duração) dos pulsos varia linearmente com a informação:

0( ) . ( )t K f tτ τ= +

( )tτ : Largura instantânea do pulso K : Constante do circuito modulador. Transforma variações de Volts em variações de segundos. Unidade: [s/V] Se: ( )( ) .cos mf t a tω=

Temos:

( )0( ) . .cos mt K a tτ τ ω= +

( )00

.( ) 1 .cos m

K at tτ τ ω

τ� �

= +� �� �

Definimos então o Índice de Modulação PWM: 0

.a Km

τ= onde 0 1m≤ ≤

( )0( ) 1 .cos mt m tτ τ ω� �= +� �

-1

0

1

t

f(t)

0

0.5

1

t

pτ(t)

0 2 4 6 8 100

0.5

1

t

φPWM

(t)

T 2T

τ(t)

τ0

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 28

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( )0( ) 1 .cos mt m tτ τ ω� �= +� �

Para:

( ) 0cos 1 ( ) .m maxt t a Kω τ τ τ= → = + =

( ) 0cos 1 ( ) .m mint t a Kω τ τ τ= − → = − =

Se permitirmos à largura d pulso uma excursão máxima total dada por:

max Tτ = e 0minτ =

Temos que 0 2

Tτ = Isto é o ciclo de trabalho ideal é de 50% (onda quadrada)

Análise Espectral Sabemos que a decomposição em Série Trigonométrica de Fourier de um Trem de Pulsos par de

largura τ e frequência 0

2

T

πω = é dada por:

( )00

1

2 1( ) sin .cos

2n

nA Ap t n t

T nτω ττ ω

π

=

= + � � �

No nosso caso, τ é função do tempo 0( ) . ( )t K f tτ τ= + Logo:

( )( )1

( )( ) 2 1( ) ( ) sin .cos

2s

t PWM sn

n tA t Ap t t n t

T nτω ττϕ ω

π

=

= = + � � �

Para sinal de informação cossenoidal: ( )( ) .cos mf t a tω=

Temos que: ( )0( ) 1 .cos mt m tτ τ ω� �= +� �

Logo:

( ) ( ) ( )0 0

1

1 .cos 1 .cos2 1( ) sin .cos

2m s m

PWM sn

A m t n m tAt n t

T n

τ ω ω τ ωϕ ω

π

=

� � � �+ +� � � �= + � �� � �

( ) ( ) ( )0 0 0 0

1

2 1( ) cos sin cos .cos

2 2s s

PWM m m sn

A mA n mnAt t t n t

T T n

τ τ ω τ ω τϕ ω ω ωπ

=

= + + +� � �

Analisando cada termo:

0A

T

τ: Valor médio do sinal (componente DC)

( )0 cos m

mAt

T

τ ω : Raia espectral correspondente à informação

( )( ) ( )1sin cos .cosm sa b t n t

nω ω+ : Função de Bessel nas frequências múltiplas de sω , Espectro

semelhante ao de um sinal FM amostrado, ponderado por 1

n.

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 29

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Logo o espectro será: Largura de Banda do Sinal PWM: Considerando que a largura de banda do trem de pulsos seja definida pela frequência do primeiro zero da sampling.

Os zeros da sampling estão localizados em: .2

kωτ π=

Logo a frequência do 1o zero (k=1) é: 2 1

W ou Bπωτ τ

= = =

Para o Sinal PWM a maior largura de faixa será definida pelo menor τ .

Isto é: 0 0. (1 )min a K mτ τ τ= − = −

Logo: 0

1

(1 )B

mτ=

Obs.: m=0, sem sinal a=0, 0

1B

τ= , onda quadrada.

m=1, 1

0B = = ∞ , sinal varia desde Tτ = a 0τ = (Impulso!)

ωsω 2 sω 3 sω

( )PWM ωΦ

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

t

pτ(t)

A

τ T

-10 -5 0 5 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

ω

Ptau

(ω)

ωs2ω

s-ωs

3ωs

←→�

W

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 30

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• Modulador PWM

-1

0

1t

f(t)

0

0.5

1

t

pτ(t)

0

1

2

t

ft(t)

-10123

t

f(t)+ft(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

t

φPWM

(t)

Vref

Circuito mais simples:

Gerador de Triangular

+

Comparador ( )f t

refV

( )PWM tϕ

0 2 4 6 8 10-1

0

1

t

f(t) e ft(t)

0 2 4 6 8 100

0.5

1

t

φPWM

(t)

( )f t

( )triangularf t

( )PWM tϕ0

LM311

7

2

3 1

84

6

5

OUT

+

- G

V+

V-

B/SB

VCCR

390

VCC

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 31

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• Demodulador PWM

- Demodulação Direta:

Observando o espctro do sinal PWM: Logo: Basta filtrar passa baixas. No entanto note que há interferências de outras raias, causando distorção do sinal reconstruído.

- Como diminuir a influência das bandas laterais superiores?

Solução: Aumentar sω Problema: Aumenta a largura de banda ocupada pelo sinal PWM !

Temos aqui um compromisso entre sω e distorção.

Existem aproximações empíricas para avaliarmos a distorção em função de sω . Para 0 1m< < e ciclo de trabalho de 50%, temos:

Distorção de 1% : ( )3.5 2.5s m mω ω≥ +

Distorção de 2% : ( )2.9 2.2s m mω ω≥ +

Distorção de 5% : ( )2.2 2s m mω ω≥ +

Distorção de 10% : ( )2s m mω ω≥ +

Obs.: Se utilizarmos a Taxa de Nyquist 2s mω ω= teremos distorção maior que 10%!

ωsω 2 sω 3 sω

( )PWM ωΦ

Filtro PB

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 32

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- Demodulação Indireta: Consiste em converter o sinal PWM em um sinal PAM através de amostragem e retenção. Gerador de Rampa: Ceifador:

Gerador de Rampa

Mono-estável com retardo

+ Ceifador Sample &

Hold Filtro PB

( )PWM tϕ

( )f t

� �

� � � �

Vref +

-

3

21

411

R

0Vin

Vo

0

C

+

-

3

21

411

RVi

T

Vo

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2

tVin

Vo

Vref

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 33

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Exercícios:

1) Um trem de pulsos, simétrico de 50kHz e amplitude 10V, é modulado em PWM por um sinal contínuo de 5V. O circuito possui a constante 1 V

sK µ= . Esboce a forma de onda do sinal modulado, cotando no tempo, considerando que a borda de subida é fixa no tempo.

2)Um sinal cossenoidal de 10kHz modula em PWM um trem de pulsos simétrico de 40kHz, em um circuito cuja constante é 2 V

sK µ= a) Determinar a largura de faixa ocupada pelo sinal modulado

b) Determinar a ordem de grandeza da distorção no sinal demodulado.

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 34

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4.2.3. Modulação por Posição de Pulso (PPM)

A informação varia a posição dos pulsos.

-1

0

1

t

f(t)

0

0.5

1

t

pτ(t)

0 2 4 6 8 100

0.5

1

t

φPPM

(t)

T 2T

δ(t)

τ0

0( ) . ( )t K f tδ δ= +

( )tδ : Posição instantânea do Pulso

0δ : Posição do pulso quando f(t)=0

K : Constante do modulador, transforma variações de volts em variações de segundos. [ ]/s V

Se: ( )( ) .cos mf t a tω=

Temos:

( )0( ) . .cos mt K a tδ δ ω= +

( )00

.( ) 1 .cos m

K at tδ δ ω

δ� �

= +� �� �

Definimos então o Índice de Modulação PPM: 0

.a Km

δ=

( )0( ) 1 .cos mt m tδ δ ω� �= +� �

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 35

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Quais os limites do índice de modulação PPM? (0,1]m∈ ? Se 0m = , isto é f(t)=0, sem sinal de informação � índice de modulação mínimo min 0m = .

Para:

( ) [ ]0 max maxcos 1 ( ) 1 .1mt t mω δ δ δ= → = + =

( ) [ ]0 max mincos 1 ( ) 1 ( 1)mt t mω δ δ δ= − → = + − =

Analisando graficamente:

0min 2

τδ =

0max 2

Tτδ = −

Logo: Pela posição mínima:

[ ] 0min 0 max1 ( 1)

2m

τδ δ= + − =

0max

0

12

mτδ

= −

Definindo a posição 0δ como o meio do período: 0 2

Tδ = Temos: 0

max 1mT

τ= −

Pela posição máxima:

[ ] 0max 0 max1 .1

2m T

τδ δ= + = − de onde se conclui que : 0

max 1mT

τ= −

Logo: o índice de modulação é restrito a 00 1mT

τ≤ ≤ −

Para m=0 � sem sinal Para m=1 � ???? 0 0τ = � Impulsos!

A fim de facilitar a recepção, costuma-se deixar um tempo de guarda nos limites de ( )tδ de 0

2

τs

Neste caso é fácil demonstrar que: 00 1 2mT

τ≤ ≤ −

τ

maxδ

minδ

T

0

2

τ

maxδ minδ T T

0

2

τ

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 36

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Análise Espectral De maneira análoga a feita para a o PWM pode-se concluir que para um sinal de informação:

( )( ) .cos mf t a tω= . O espectro do PPM é similar ao do PWM porém com a componente em mω

bastante atenuada, dificultando sua filtragem. A largura de faixa depende da largura dos pulsos 0τ e da máxima proximidade entre dois pulsos.

Para um sistema com tempo de guarda 0

2

τ, temos que a largura de banda é:

0

1B

τ=

• Modulador PPM A modulação PPM baseia-se em um modulador PWM e um mono-estável sensível a borda de descida. Para este integrado (74LS121) podemos definir a largura dos pulsos por 0 0.69RCτ =

Modulador PWM 74LS121

5 14 11 10

R C

0

VCC

6 3 4 7

( )f t ( )PPM tϕ ( )PWM tϕ

( )PPM tϕ

( )PWM tϕ

ωsω 2 sω 3 sω

( )PPM ωΦ

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 37

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• Demodulador PPM A demodulação PPM baseia-se na conversão do sinal PPM em PWM e posterior demodulação PWM. Para tanto é necessária a informação de referência (sincronismo com o transmissor).

A sincronização pode ser feita através da inserção de pulsos de referência no próprio sinal PPM, facilitando a recepção. Como conseqüência temos o aumento da potência transmitida.

d

dt

Retificador + Flip-Flop

Demodulador PWM

( )PPM tϕ

( )p tτ ( )f t

00.5

1

t

pτ(t)

00.5

1

t

φPPM

(t)

-1

0

1

00.5

1

00.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.51

d(pτ(t))/dt

retif.

soma

φPWM

(t)

( )PWM tϕ

( )PPM tϕ′

( )PWM tϕ

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 38

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Comentár ios: � Como a amplitude é constante, os sistemas PWM e PPM são mais imunes a ruídos do que os sistemas PAM, às custas de uma maior largura de banda. � Como a largura dos pulsos em sistemas PPM é menor que no sistema PWM, a potência necessária ao envio do sinal PPM é menor que a potência necessária ao PWM. � O sistema PWM em telecomunicações é utilizado apenas na geração do sistema PPM, porém a técnica PWM é muito útil no controle de velocidades de motores, tensões de fontes de alimentação, controle de potência em aquecedores e chuveiros, etc, devido ao valor médio ser facilmente controlável por um sinal digital PWM. Ex.:

VCC

Rb

0

VPWM

0

RL

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 39

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4.2.4. Modulação por Codificação de Pulsos (PCM)

- Nos sistemas anteriores, cada amostra do sinal de informação f(t), corresponde a um

pulso (modulado em amplitude, largura ou posição), isto é, modulação analógica de um pulso.

- No sistema PCM, cada amostra é quantizada (truncada ou arredondada) e transmitida

através de um código formado por um conjunto de pulsos idênticos. Esquema geral:

� O sinal de informação f(t) é amostrado � Cada amostra é quantizada para o nível de quantização mais próximo � A amostra quantizada é codificada através de um código de pulsos (representação binária) Exemplo: Amostragem 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T V. Amostrado 0.6052 0.8873 0.9384 0.7412 0.3621 -0.0715 -0.4138 -0.5498 -0.4337 -0.1046 0.3269 V. Quantizado 0.5 1 1 0.75 0.25 0 -0.5 -0.5 -0.5 0 0.25

Código 5 7 7 6 4 3 1 1 1 3 4 Binário 101 111 111 110 100 011 001 001 001 011 100

Obs.: Poderia ser usada qualquer outra representação do código, por exemplo Gray, BCD, 2 entre 5, etc... Sinal PCM:

Amostrador Quantizador Codificador ( )f t ( )PCM tϕ

T 2T 3T 4T 5T 6T

( )PCM tϕ

( )f nT ˆ ( )f nT

Faixa Dinâmica [-1 a 1]

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

t

f(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T

Amplitude[V]

0

1

2

3

4

5

6

7

Código

f(nT)

f(nT) ̂

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 40

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Seja: N = Número de Níveis de Quantização b = Número de Bits Logo podemos escrever para a codificação binária:

2bN = ou 2logb N=

Ex.: 3b = bits tem-se 32 8N = = níveis Para termos 512N = níveis é necessário 2log 512 9b = = bits

• Modulador PCM A modulação PCM é baseada na conversão Analógico-Digital e posterior transformação Paralelo em Série para transmissão. O amostrador geralmente, é constituído de um circuito de Amostragem e Retenção (Sample & Hold)

• Demodulador PCM O demodulador PCM é baseado na paralelelização dos dados de entrada de modo a serem entregues a um conversor Digital-Analógico seguido de filtragem passa-baixas. Notar que esta etapa é que ocorre a distorção sen(x)/x.

Serial/Paralelo

Conversor D/A

Filtro PB

( )PCM tϕ ( )f t

Conversor A/D

Paralelo/Serial Amostrador ( )PCM tϕ ( )f t

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 41

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Teor ia da quantização

Quantização: Nome dado ao processo pelo qual um sinal amostrado é aproximado a tensões convenientes. Etapas:

- Determinação dos níveis de quantização. (projeto) Consiste em dividir a faixa dinâmica do sinal em vários níveis.

- Arredondamento da quantização. (utilização) Consiste em atribuir a cada amostra do sinal, o nível de quantização que mais se aproxima a sua amplitude.

a) Quantização Uniforme

A faixa dinâmica é dividida em níveis de quantização igualmente espaçados.

O quantizador pode ser visto como um operador não linear: { }ˆ ( ) ( )f nT Q f nT=

Podemos definir o erro de quantização como a diferença entre a amostra real e a quantizada:

ˆ( ) ( ) ( )e nT f nT f nT= −

Assim, podemos modelar estatisticamente o erro de quantização ( )e nT , também conhecido como ruído de quantização:

Amostrador ( )f t

( )f nT ˆ ( )f nT

+

( )e nT

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 42

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Quantização Uniforme: ∆ : É denominado de passo de quantização, e ajusta a escala.

Pelo esquema acima pode-se notar que os valores do erro de quantização ( )e nT ficam limitado à:

( )2 2

e nT∆ ∆− ≤ ≤

Por estudos estatísticos deste erro, concluiu-se que o erro de quantização possui uma função distribuição de probabilidade uniforme:

ˆ ( )f nT

( )f nT 7 / 2∆ 5 / 2∆3 / 2∆ / 2∆

/ 2−∆

3 / 2− ∆ 5 / 2− ∆ 7 / 2− ∆9 / 2− ∆

2∆

3∆

4∆

−∆

2− ∆

3− ∆

4− ∆

/ 2−∆ / 2∆

1/ ∆

( )p e

e

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 43

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Logo, podemos calcular:

Valor médio (valor esperado) do Erro de Quantização: { } . ( ).E x x p x dxµ+∞

−∞= = �

{ }/ 22 2 2/ 2

1

/ 2/ 2

1 1. ( ). . 0

2 2 4 4e

eE e e p e de edeµ

∆+∞ +∆

∆−∞ −∆−∆

� � � �∆ ∆= = = = = − =� � � �∆ ∆� � � �� �

Variância do Erro de Quantização: { }2 2( )E xσ µ= −

{ }/ 23 3 3 2/ 22 2 2 1

/ 2/ 2

1 1( ) ( 0) . .

3 3 8 8 12e e

eE e e deσ µ

∆∆

∆−∆−∆

� �� � ∆ −∆ ∆= − = − = = − =� �� �� �∆ ∆� � �� ��

Analisando a expressão de cálculo do desvio padrão / 22 2

/ 2

1.e e deσ

−∆=

∆ � , pode-se perceber que é a

mesma definição do valor médio quadrático de um sinal. Logo a variância do erro de quantização pode ser vista como uma medida da potência deste erro. Isto é:

2

12eP∆=

Lembrando que a Relação Sinal-Ruído medida em dB é definida por: 10.log s

n

PSNR

P

= � �

Podemos definir a Relação Sinal-Ruído de quantização: 10.log sq

e

PSNR

P

= � �

Ex.1: Seja o sinal ( ) .cos( )mf t a tω= cuja potência pode ser calculada por: 2

2s

aP =

A faixa dinâmica deste sinal é [ -a,a] , e suponha que usemos b bits para quantizar este sinal. Logo podemos calcular o passo de quantização como:

( 1)2.2

2b

b

aa − −∆ = =

Assim, podemos calcular a relação Sinal-Ruído de Quantização para este sinal por:

( )( )

2 2

22 ( 1)

2( 1)

/ 2 610.log 10.log

/12 .2

10.log 6.2 10log(6) 20( 1).log(2)

6.02 1.76

qb

bq

q

a aSNR

a

SNR b

SNR b

− −

� �= =� � � �∆ �

= = + −

= +

Logo aumentando o número de bits aumenta a relação sinal ruído.

/ 2−∆ / 2∆

1/ ∆

( )p e

e

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 44

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Ex.2: Para sinais naturais (Voz ou Música), é difícil garantir que a faixa dinâmica projetada vai ser realmente respeitada. Logo, há a possibilidade do sinal sair fora desta faixa, saturando o quantizador. Quando a saturação acontece, a fórmula da SNRq não é mais válida. Estudos foram feitos de onde resultou que, considerando que 0.01% das amostras saiam fora dos valores máximos da faixa dinâmica, dado por 1.2b−±∆ , podemos estimar a potência do sinal de áudio como:

2

11. .2

4b

sP − = ∆� � �

Logo, nestas condições podemos calcular a SNRq como:

( )

21

2 2( 1)

2 2

2( 1)

1.2

12 .2410.log 10.log .

1612

1210.log 10.log 2 1.25 20( 1) log(2)

16

6.02 7.27

bb

q

bq

q

SNR

SNR b

SNR b

−−

� � ∆� �� � � �∆ �� �= = � �� �∆ ∆� �� �� �

= + = − + −� � �

= −

Aqui também, a cada bit adicionado aumenta-se a Relação Sinal-Ruído de quantização de 6 dB. Para uma boa definição usa-se hoje em dia:

- Sinais de voz: 8 bits - Sinais de áudio de alta qualidade (CD): 16 bits - Vídeo Monocromático: 8 bits - Vídeo colorido (RGB): 24 bits (8 bits por componente)

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 45

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Conclusões:

- O ruído de quantização depende do número de bits (ou do número de níveis de quantização). Quanto maior o número de bits melhor é a relação Sinal-Ruído de quantização, porém necessita enviar um número maior de pulsos em um mesmo intervalo de tempo T de amostragem, isto leva a um aumento da largura de banda

necessária à transmissão! Lembrando: 0

1B

τ=

Problema: Como aumentar a SNRq sem aumentar o número de bits???

b) Quantização Não-Uniforme

A quantização não-uniforme surgiu como uma solução, para o aumento da SNRq sem aumentar o número de bits, aplicada à telefonia (sinais de voz). Em sinais de voz a probabilidade de ocorrência de amostras de baixa amplitude é muito maior que a probabilidade de amostras de grande amplitude. Lembrando que se o sinal é de baixa amplitude e o ruído de amplitude constante a relação sinal ruído é baixa. Logo se quantizarmos mais precisamente as baixas amplitudes e mais grosseiramente as altas amplitudes a SNRq média do sinal irá aumentar! Este processo se baseia na redistribuição dos níveis de quantização sem alterar a quantidade de bits (não altera a largura de banda), e é chamado de compressão-expansão.

T 2T 3T 4T 5T 6T

( )PCM tϕ

T 2T 3T 4T 5T 6T

( )PCM tϕ

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 46

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Leis de Compressão

• Lei µ

É definida por: ( )( )

log 1

log 1

xY

µµ

+=

+ onde 0 1x≤ ≤

onde: Y: Amplitude do sinal de saída

X: Amplitude do sinal de entrada normalizado. max

( )

( )

f tx

f t=

O parâmetro µ determina o grau de compressão, e é ajustado para obter um bom desempenho na SNRq. Esta lei é utilizada como padrão nos EUA com µ=255.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Lei µ

µ=255

• Lei A

10

1 log( )

1 log( ) 11

1 log( )

Axx

A AY

Axx

A A

� ≤ ≤� +�= � +� ≤ ≤� +�

Nota-se que a lei é perfeitamente linear para baixos valores de 1

xA

≤ .

Esta lei é utilizada como padrão europeu e adotada pelo Brasil com A=87,6. O ITU recomenda o uso da lei A como padrão para comunicações internacionais, com o uso de conversores A/µ e µ/A para os países que adotaram a lei µ.

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 47

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Na prática não se utiliza a equação definida anteriormente, mas sim uma aproximação da mesma por 8 segmentos de reta (3 bits).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

7/8

6/8

5/8

4/8

3/8

2/8

1/8

Lei A

1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2

Cada segmento é dividido uniformemente em 16 níveis (4 bits): Usa-se ainda, 1 bit para indicar o sinal (positivo ou negativo). Logo, cada amostra é quantizada com 8 bits:

1/8 1/4

00 01 10 11

b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0

posição segmento polaridade

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 48

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TDM de sinais PCM

Objetivo: Transmissão de vários sinais PCM sobre uma mesma linha, separados no tempo. Definindo: n = número de sinais b = número de bits de quantização de cada amostra fs = frequência de amostragem de cada sinal Exemplo 1) Para n=3 sinais e b=3 bits

1

s

Tf

= : Período de amostragem de cada sinal

1o Sinal: 101 110 001 ... 2o Sinal: 110 100 ... 3o Sinal: 111 011 ... Definindo: Taxa de Bits (Bit Rate) Quantidade de bits que trafega pelo canal por unidade de tempo.

. . sBR nb f= Unidade: [bit/s] Outras unidades: 1kbps = 1k bit/s = 1.000 bit/s 1Mbps= 1M bit/s = 1.000k bits/s = 1.000.000 bits/s 1Gbps= 1 G bit/s = 1.000M bit/s=1.000.000.000 bits/s No exemplo: usando 1sf kHz= temos 3 3 1 9 /BR k kbit s= × × = Exemplo 2) Qual a taxa de bits necessária à transmissão de um sinal TDM/PCM composto por 10 canais de voz amostrados a 8kHz, quantizados a 8 bits e que utiliza um bit de sincronismo por quadro?

.10 8 1 81

nbitsbits

quadro= × + = a 8000

quadros

s

Logo: 81 8000 648.000 648bit quadros bit bit

BR kquadro s s s

= × = =

T 2T

/ ( )TDM PCM tϕ

1o Quadro 2o Quadro

1o 1o 2o 2o 3o 3o 1o

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 49

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Sistemas Utilizados PCM30: Adotado na Europa e Brasil em conjunto com a Lei A

125 8sT s f kHzµ= � = n=32 e b=8 O PCM30 permite o envio de 30 sinais telefônicos sobre 2 pares de fios (ida e volta). Sinal [0] :

- Palavra de sincronismo (alinhamento de quadro) - Palavra de serviço (indicando falhas no sistema)

Sinal[16] : - Sinalização Taxa necessária à transmissão do PCM30:

32 8 8000 2048 / 2 /BR kbit s M bit s= × × = ≅ PCM24: Adotado nos EUA, Canadá, Japão em conjunto com a Lei µ.

125 8sT s f kHzµ= � = n=24 e b=8 Mais um bit adicional por quadro para sincronismo. Taxa necessária à transmissão do PCM24:

(24 8 1) 8000 1544 /BR kbit s= × + × = Exercício: Dispondo de um canal de capacidade de 696k bit/s , calcule o maior número de bits possível à aquisição do sinal de voz, sabendo que devem trafegar 15 sinais de voz amostrados a 8kHz neste canal. 696000 15 8000b= × × logo 5.8b = bits � posso usar até 5 bits.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

T 8 bits

1 Quadro

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

T 8 bits

1 Quadro

0 1 2

1 bit

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 50

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Vantagens do Sistema PCM

- Ruídos aditivos têm pouca influência no sistema PCM, uma vez que não estamos interessados em medir alguma característica do pulso (amplitude, largura ou posição), mas sim apenas se ele está presente ou não.

- O sinal PCM pode ser transmitido a longas distâncias sem sofre influência de ruído ou distorção introduzidos pelo canal de transmissão, desde que haja regeneradores (ex. comparador com histerese) distribuídos ao longo da linha de transmissão.

0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

1.5φ

PCM(t)+ruido

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

1.5

Transmissor

Regenerador

Receptor 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Regenerador

Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 51

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- Os circuitos utilizados são todos digitais os quais são estáveis, não necessitam de ajustes,

são fáceis de integrar e de custos cada vez menores.

- Os sinais, por serem digitais, podem ser armazenados (memória) e/ou processados

digitalmente (microprocessadores).

Desvantagens do Sistema PCM - Ruído de quantização é inerente ao sistema PCM

- A cada amostra um conjunto de b pulsos (bits) necessita ser transmitido, logo necessita um tempo maior do que a transmissão de um único pulso por amostra (PAM, PPM, PWM).

- Cada pulso possui uma pequena largura, de modo que a banda necessária à transmissão

aumentará proporcionalmente ao número de bits utilizados.

Necessita largura de banda: 10

1B

τ=

Necessita largura de banda 2 10

12

/ 2B B

τ= =

T 2T 3T

1( )PCM tϕ

T 2T 3T

2( )PCM tϕ