57382899 Apostila Resist en CIA Dos Materiais Parte II

5/12/2018 57382899 Apostila Resist en CIA Dos Materiais Parte II - slidepdf.com

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Resistência dos Materiais – Parte II

RESISTÊNCIADOS

MATERIAIS

(PARTE II)

Prof. Glauco José de Oliveira Rodrigues

CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA




i

Índice

1. TORÇÃO____________________________________________________________________________2

1.1. TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR _________________________________________________________2

1.2. TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR VAZADA _________________________________________________5 1.3. TORÇÃO EM SEÇÕES NÃO CIRCULARES __________________________________________________6 1.4. TORÇÃO EM SEÇÕES DE PAREDES FINAS _________________________________________________8

2. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO: APLICAÇÃO AO CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS________9

2.1. INTRODUÇÃO________________________________________________________________________9 2.2. TRABALHO EXTERNO DE DEFORMAÇÃO – O TEOREMA DE CLAPEYRON ______________________10 2.3. ESTADO TRIPLO DE TENSÕES _________________________________________________________12 2.4. COEFICIENTE DE POISSON ____________________________________________________________12 2.5. LEI DE HOOKE GENERALIZADA _______________________________________________________13 2.6. TRABALHO INTERNO DE DEFORMAÇÃO. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO (UI) _____________________15 2.7. TRABALHO INTERNO NA FLEXÃO (M)___________________________________________________16 2.8. TRABALHO INTERNO NA SOLICITAÇÃO AXIAL (N) ________________________________________17 2.9. TRABALHO INTERNO NO CISALHAMENTO (V) ____________________________________________18 2.10. TRABALHO INTERNO NA TORÇÃO (T)__________________________________________________19 2.11. ENERGIA INTERNA TOTAL (UI): ______________________________________________________20

3. O TEOREMA DE CASTIGLIANO _____________________________________________________30

3.1. INTRODUÇÃO_______________________________________________________________________30 3.2. COEFICIENTES DE INFLUÊNCIA ________________________________________________________30 3.3. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE CASTIGLIANO_________________________________________31 3.4. OBSERVAÇÕES _____________________________________________________________________32 3.5. EXPRESSÃO DO TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICÁVEL AOS PÓRTICOS PLANOS _______________33 3.6. DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS MÁXIMOS NAS VIGAS FUNDAMENTAIS ________________34

4. LINHA ELÁSTICA DE VIGAS FLETIDAS______________________________________________43

4.1. INTRODUÇÃO_______________________________________________________________________43 4.2. PROCESSO DA INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA __________________43 4.3. CONDIÇÕES DE CONTORNO DEVIDAS AOS APOIOS _________________________________________44 4.4. CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS ATRAVÉS DA ANALOGIA DE MOHR __________________48

Bibliografia Recomendada:

Resistência dos Materiais – Beer / Russel – 3a edição – Ed. Makron Books

Resistência dos Materiais – R. C. Hibbeler – 5a edição – Ed. Pearson / Prentice Hall




2

1. TORÇÃO

1.1. T ORÇÃO DE B ARRA C IRCULAR

Considere-se uma barra de seção transversal circular sofrendo torção por pelos momentos torçores de

módulo T, mesma direção e sentidos contrários, que atuam em suas extremidades como mostrado na figuraabaixo.

Uma barra carregada desse modo está sob torção pura. Pode-se demonstrar que as seçõestransversais da barra circular giram como corposrígidos, em torno do eixo longitudinal, cujos raiospermanecem retos e as seções continuam circularesse o ângulo total de torção for pequeno.

Considera-se ainda que nestas circunstânciasnão haverá variação do comprimento da barra.

Durante a torção, haverá rotação em torno doeixo longitudinal, de uma extremidade da barra em

relação à outra. Considera-se então que uma extremidade da barra gira num ângulo φ φφ φ em relação à outraextremidade, como na figura anterior. Ao mesmo tempo, uma linha longitudinal na superfície da barra, talcomo nn, gira num pequeno ângulo para a posição nn’. Como conseqüência, um elemento retangular nasuperfície da barra, tal como o que se vê na figura entre as duas seções transversais, na distância dx, sofreum distorção.

Na figura ao lado, esse elemento aparecenovamente sobre um disco, isolado do restante dabarra. A configuração inicial do elemento estádesignada por abdc. Durante a torção, a seçãotransversal da direita gira, e os pontos b e d movem-se para b’ e d’, respectivamente.

O comprimento do elemento não variadurante esta rotação, porém os ângulos dos vérticesnão continuam retos. Vê-se, então, que o elementoestá em estado de cisalhamento puro e que o valorda deformação de cisalhamento, γ γγ γ , é igual aodecréscimo do ângulo bab’.

Para um ângulo muito pequeno podemos escrever que: γ =bb

ab

'

A distância bb’ é o comprimento de um pequeno arco de raio r , subtendido pelo ângulo d φ , que é oângulo de rotação de uma seção transversal em relação à outra. Então bb’ = rd φ . A distância ab é igual adx, comprimento do elemento.

Com esses valores na equação anterior temos: γ φ

=rd

dx (a)




3

Quando um eixo está sujeito à torção pura, a taxa de variação d φ do ângulo de torção é constante aolongo do comprimento dx da barra. Esta constante é o ângulo de torção por unidade de comprimento queserá designado por θ. Então, θ = φ /L, onde L é o comprimento da barra.

Da Eq.(a), vem: γ θφ

= =rr

L(b)

As tensões de cisalhamento, τ, que agem nos lados do elemento têm os sentidos vistos na primeirafigura. No caso de material linearmente elástico, a intensidade da tensão de cisalhamento é pode serdefinida pela Lei de Hooke Generalizada da seguinte forma:

τ γ θ= =G Gr (c)

As Eqs. (b) e (c) relacionam as deformações e tensões na superfície do eixo com o ângulo de torçãopor unidade de comprimento.

O estado de tensão no interior do eixo pode serdeterminado de modo análogo ao que foi feito para asuperfície. Como os raios das seções transversaispermanecem retos e sem distorção durante a torção, vê-seque é válida a discussão precedente, feita para um elementoabcd da superfície lateral como, também, para um elementosemelhante, situado na superfície de um cilindro interior deraio ρρρρ, visto na figura ao lado.

Assim, este elemento está também, em torção pura etanto a deformação como a tensão de cisalhamento podemser calculadas pelas expressões seguintes:

ρθ τ ρθ γ G== ; (d)Estas equações mostram que a deformação e a tensão de cisalhamento variam linearmente com o raio

ρρρρ, tendo seus valores máximos na superfície do eixo. A distribuição da tensão está representada na anteriorpelo diagrama triangular de tensões.

As tensões de cisalhamento, dadas pela Eq. (d/2), agem no plano da seção transversal e sãoacompanhadas por tensões de cisalhamento iguais, que atuam em planos longitudinais do eixo. Isto resultado fato de sempre haver tensões de cisalhamento iguais atuando em planos ortogonais. Se o material formais fraco ao cisalhamento longitudinal do que ao lateral (por exemplo, madeira), as primeiras fissuras no

eixo aparecerão na superfície, na direção longitudinal.

O estado de cisalhamento puro na superfície do eixo é equivalente a tensões iguais de tração ecompressão em um elemento a 45º. Se um material mais fraco à tração do que ao cisalhamento for torcido,a falha ocorrerá por tração ao longo de uma hélice com inclinação de 45° em relação ao eixo. Este tipo defalha pode facilmente ser demonstrado pela torção de um pedaço de giz.




4

Será estabelecida agora a relação entre o torque (momento de torção), T , aplicado e o ângulo detorção que ele ocasiona. A resultante das tensões de cisalhamento deve ser estaticamente equivalente aotorque total, T . A força de cisalhamento que atua num elemento de área dA (hachurado na figura abaixo) éτdA, e o momento desta força em torno da linha de centro da barra é τρdA.

Substituindo o valor ρθ τ G= na equação do momento, vê-se que este momento infinitesimal

causado pela força sobre a área dA é igual a Gθ ρ 2dA.

O torque total T é dado pela integral desse momento elementar sobre toda a área da seção transversal,isto é:

T G dA G dA G J= = =θρ θ ρ θ2 2 (e)

Onde J dA= ρ2 é o momento de inércia polar da seção transversal circular. Para um círculo de

raio r e diâmetro d , o momento de inércia polar é:322

44d r

J π π

==

Rearranjando a Eq. (e) temos que: θ = TGJ

Mostrando que o ângulo de torção por unidade de comprimento, θ , é diretamente proporcional aotorque T e inversamente proporcional ao produto GJ , conhecido como módulo de rigidez à torção do eixo.

O ângulo total de torção, φ , igual a θ L, substituindo na Eq.(e) θ por φ /L temos:

φ =TL

GJ

Esta equação é de grande utilidade na verificação experimental da teoria e tem sido confirmada porinúmeras experiências, que justificam as hipóteses feitas na sua dedução. Deve-se notar também que a

torção é usada em experiências para determinação do módulo de elasticidade transversal, G, de váriosmateriais. Medindo-se o ângulo de torção produzido por um determinado torque no eixo, o valor de G podefacilmente ser calculado pela Eq. anterior

Entrando com θ , da Eq. (3.7), na Eq. (3.2), obtém-se uma expressão para o cálculo da tensão máximade cisalhamento em eixos circulares sujeitos a torção:

Entrando com θ =T

GJ na equação θ τ Gr = expressão para o cálculo da tensão máxima de

cisalhamento em eixos circulares sujeitos a torção:

τmá x

Tr

J. =

Mostrando que a tensão máxima de cisalhamento é diretamente proporcional ao torque, T , aplicado einversamente proporcional ao momento de inércia polar da seção transversal.

A tensão de cisalhamento em qualquer ponto da seção transversal, numa distância ρ do centro podeentão ser definida como:

τρ

=T

J




5

1.2. T ORÇÃO DE B ARRA C IRCULAR V AZADA

A tensão de cisalhamento numa barra de seção circular, como foi visto é máxima na superfície e nulano centro. Em conseqüência, grande parte do material trabalha com tensões bem inferiores à admissível. Sea redução de peso e a economia de material forem fatores importantes, é preferível usar eixos vazados.

A análise da torção de barras circulares vazadas baseia-se nas mesmas hipóteses levantadasanteriormente. Como os raios da seção transversal permanecem retos, as expressões para as tensões edeformações de cisalhamento deduzidas podem ser utilizadas.

É claro que a distância radial, ρ, que aparece naquelas expressões está limitada ao intervalo r 1 , r 2 onde r 1 é o raio interno e r 2, o externo, da seção transversal do tubo, conforme a figura ao lado.

r1

r2

As relações entre o torque, T , aplicado e o ângulo de torção por unidade de comprimento, θ , podemser encontradas nas, tomando-se os limites de integração como ρ = r 1 e ρ = r 2. Assim, a expressão T = Gθ J ainda é válida, sendo J agora o momento de inércia polar da área da coroa circular:

)dd(32

)rr(2

J 41

42

41

42 −

π=−

π=

As equações básicas para θ, φ e τ podem ser empregadas desde que J seja calculado pela expressãoacima.

Exemplo 1.1

Para a coluna da figura de diâmetro constante igual a 60 mm e cujos comprimentos estão em metros,pede-se:

Calcular a tensão cisalhante em um ponto da seção à meia altura dabase da coluna que dista 15 mm do centro de gravidade da seção;

Calcular a tensão cisalhante máxima atuante.

Solução:

2

304×=π

P J ∴ 403.1272345 mm J P =

1503.1272345

103 6

××

=τ ∴ MPa37.35=τ

3003.1272345

103 6

max ××

=τ MPa74.70=τ

3kN




6

Exemplo 1.2

Considere a estrutura mostrada na figura abaixo, sujeita à torção pura, onde MPa BC AB

80==τ τ :

Traçar o diagrama de momentos torçores e verificar se a estrutura atende ou falha.

Solução:

MPar J

T AB AB

P AB 64100

32200

101004

6

=∴××

×

=∴= τ π τ τ

( ) MPar

J

T BC BC BC

P

BC 1082504,924397930

10400250

32

480500

10400 6

44

6

=∴××

=∴×−

×=∴= τ τ π

τ τ

O trecho AB atende, o trecho BC falha.

1.3. T ORÇÃO EM S EÇÕES N ÃO C IRCULARES

t W

T =maxτ e

GJ

TL=θ

Onde:

W t é o módulo de seção;

J é o momento de inércia polar da seção transversal.




7

Retangular J W t

hb3 β hb2α

No caso particular da seção transversal retangular, tem-se que:

maxτ , ocorre na metade do lado maior (h).

h/b 1,0 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 ∞

α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 1/3

β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 1/3

b

h




8

1.4. T ORÇÃO EM SEÇÕES DE P AREDES F INAS

meA

T

2=τ

Onde:e = espessura da parede

Am = Área do núcleo da seção

Exemplo 1.3

Calcular a tensão cisalhante máxima (T=20kNm)

( ) MPa13,07797001002

1020 6

1 =××

=τ

( )←=

××= MPa21,0

779700602

1020 6

2τ

( ) MPa11,0

7797001202

1020 6

3 =××

=τ

( ) MPa16,0

779700802

1020 6

4 =××

=τ

120mm

60mm

100mm

80mm

2

1

3

4

Am = 779700m2




9

2. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO: APLICAÇÃO AO CÁLCULO DEDESLOCAMENTOS

2.1. I NTRODUÇÃO

Considere um corpo deformável, como por exemplo, uma barra de uma estrutura metálica,submetido à ação de uma carga externa estaticamente aplicada, isto é, com valor gradualmente crescente,sem a produção de impacto ou vibrações.

O conceito de carga estaticamente aplicada pode ser melhor entendido, se for imaginada uma vigaque servirá de suporte para uma caixa d’água. Se esta caixa d’água for colocada vazia sobre esta viga e forsendo enchida com uma mangueira, pode-se dizer que, quando cheia, esta caixa d’água será uma cargaestaticamente aplicada. Caso contrário, se a mesma for posicionada já cheia sobre a viga de suporte, não sepode dizer o mesmo, pois haverá a produção de impacto ou vibração na viga mencionada.

Durante o processo de deformação da viga, os pontos de aplicação das cargas se deslocam, à

medida que estas cargas crescem. Como existe uma força (P), bem como um deslocamento ( ∆ ) segundo alinha de ação desta força, diz-se que houve a produção de um trabalho ( ∆= PW ), denominado Trabalho

Externo (trabalho das cargas externas).

Simultaneamente à aplicação das cargas externas, e como conseqüência delas, são despertadastensões internas no material, que correspondem a forças elementares internas (produto das tensões pelasáreas elementares dos pontos em que atuam), que se deslocam em virtude das deformações que sempreacompanham as tensões. Na figura temos, por exemplo, ( )dxdydF z z σ = .

Consequentemente ocorre produção de Trabalho Interno (trabalho dos esforços internos), originadodo produto das forças elementares internas pelos deslocamentos mencionados anteriormente( z z d dF W ∆= ). Este trabalho fica armazenado sob a forma de Energia de Deformação.

Em Resistência dos Materiais, os sistemas são considerados conservativos, ou seja, são desprezadasquaisquer formas de dissipação de energia, de tal forma que a energia de deformação depende,exclusivamente, dos estados inicial e final do processo de carregamento, e não de estados intermediários.




10

Isto posto, segundo o Princípio da Conservação de Energia, podemos estabelecer que:

“Um sistema estrutural em equilíbrio conservativo está em equilíbrio, se a energia de deformação

armazenada é igual a trabalho realizado pelas cargas externas”.

ei W U =

Nos estudos que se seguem, este princípio será aplicado às estruturas de comportamento linear, istoé, aquelas para as quais seja válida a Lei de Hooke (linearidade física, tensões diretamente proporcionais àsdeformações), sendo as cargas proporcionais aos deslocamentos (linearidade geométrica), caso em que sepode aplicar o Princípio da Superposição dos Efeitos (exceção feita ao cálculo da Energia de Deformação.Conforme se verá adiante, é uma função quadrática não linear).

2.2. T RABALHO E XTERNO DE D EFORMAÇÃO – O T EOREMA DE C LAPEYRON

Conforme definido anteriormente, é o trabalho realizado pelas cargas externas no processo dedeformação. Para sua determinação, considere a viga da figura abaixo:

Conforme se pode observar, sendo as cargas proporcionais aos deslocamentos (linearidadegeométrica), pode-se escrever:

Pα =∆ , onde α é uma constante que evidencia a relação de proporcionalidade direta entre ascargas aplicadas e os respectivos deslocamentos.

dPd α =∆

Quando a carga P sofrer um acréscimo dP ao longo do seu processo de crescimento lento e gradual(carga estaticamente aplicada, vide exemplo da caixa d’água), o deslocamento a ela correspondente, aolongo da sua linha de ação, sofrerá um acréscimo ∆d , realizando-se neste instante o trabalho elementar:

( ) ( ) ( )2dPPdPdW dPdPPdW d dPPdW eee α α α +=∴+=∴∆+=

∆




11

Desprezando-se o infinitésimo de ordem superior vem:

PdPdW e α =

Logo, o trabalho das cargas externas ao final do processo de deformação será:

∫ ==P

e

PPdPW

0

2

2α α

Daí o enunciado do Teorema de Clapeyron:

“O trabalho realizado por cargas agindo estaticamente, isto é, de forma lenta e gradual, é igual àmetade da soma dos produtos dos valores finais das cargas pelos valores finais dos deslocamentos de seus

pontos de aplicação, segundo suas linhas de ação”.

Portanto:

P

∆=α

Temos:

∆= PW e 2

1

O que sugere que o trabalho total realizado durante o processo de deformação de uma estrutura, ouparte dela, corresponde à área hachurada do gráfico apresentado na figura mostrada a seguir, que,conforme se pode observar, corresponde a um triângulo.




12

2.3. E STADO T RIPLO DE T ENSÕES

O estado triplo de tensões em um ponto infinitesimal (paralelepípedo elementar), caracteriza-sepela existência de tensões (normais e cisalhantes), oriundas de esforços solicitantes (Solicitação Axial – N,Momento Fletor – M, Força Cortante – V, e Momento Torçor – T) atuantes em mais de um plano de

carregamento. Diz-se, neste caso, que qualquer ponto da seção transversal, no qual estes esforçossolicitantes estejam sendo analisados estará submetido, de forma geral, a estado triplo de tensões,conforme mostram as figuras a seguir.

Pode-se observar o surgimento de tensões normais σ (perpendiculares às facetas do paralelepípedoelementar) e tangenciais τ (paralelas, ou seja, contidas no plano das facetas do paralelepípedo elementar).

2.4. C OEFICIENTE DE P OISSON

Considerando-se o paralelepípedo elementar da figura anterior, em estado triplo de tensões. Sejam

z y x ε ε ε ,,

as deformações lineares, e xz yz xy γ γ γ ,,

as deformações angulares (também denominadasdistorções) do ponto considerado.

Ponto P

am liando




13

2 zε

x

z

dx 2 xε

2 xε

xσ xσ

2 zε

A figura anterior, que corresponde a uma vista lateral no plano xz do paralelepípedo elementar (ou dequalquer outras facetas ou planos do paralelepípedo elementar que se queira analisar), mostra a ação

individual da tensão trativa xσ , bem como as deformações correspondentes, xε (alongamento) e zε (encurtamento).

Pode-se então concluir que, para que um corpo (ou um ponto deste corpo) se deforme linearmenteem uma dada direção cartesiana, por ação de uma correspondente tensão normal, com volume (massa)constante, é necessário que haja uma “compensação ortogonal”. Em outras palavras, do alongamento nadireção x, decorre o encurtamento na direção z, que é ortogonal à anterior, e que também está contida noplano da tensão original.

Define-se então como Coeficiente de Poisson (ou Razão de Poisson) a constante que relaciona demaneira proporcional deformações lineares longitudinais, com suas deformações lineares transversais

decorrentes. Esta relação de proporcionalidade se traduz matematicamente, pelos módulos de elasticidadelongitudinal ( E ) e transversal (G), a partir da seguinte equação:

( )ν +=

12

E G

Onde ν , representa o Coeficiente de Poisson do material, que se define matematicamente comouma constante e, assim como E e G, é propriedade específica de cada material, determinada por meio deensaios de laboratório.

2.5. LEI DE H OOKE G ENERALIZADA

A partir do Coeficiente de Poisson definido anteriormente, podemos concluir que a Lei de Hooke,na sua forma mais clássica ( ε σ E = ), nada mais é que a simplificação (ou particularização) de uma leimais geral, para o caso de deformações de barras esbeltas nas seguintes condições:

Dimensões da seção transversal, insignificantes na presença do comprimento da mesma;Solicitadas exclusivamente de forma axial (força normal N de tração ou compressão).




14

Uma relação de proporcionalidade que faça a relação entre tensões e deformações, deve levar emconta os efeitos de encurtamento transversal em caso de alongamento (e vice e versa). Define-se então a

Lei de Hooke Generalizada, aplicável diretamente às vigas prismáticas (que não possuem dimensões daseção transversal, insignificantes em relação ao seu comprimento), bem como despertam tensões normaisprovocadas por Momentos Fletores ( M ), além das provocadas pela força axial ( N ):

( )[ ] z y x x

E σ σ ν σ ε +−=

1

( )[ ] z x y y


1

( )[ ] y x z z


1

Esta relação é extensiva às distorções (provocadas pelas tensões tangenciais τ ), porém de formasimplificada, uma vez que, em ensaios de laboratório, verificou-se que uma deformação angular ocorridaem um determinado plano de tensões, não influencia em distorções em planos ortogonais, tornando válidasas mesmas hipóteses simplificadoras da Lei de Hooke, em cada plano de observação ( γ τ G= ):

G

xy

xy

τ γ =

G

xz xz

τ γ =

G

yz

yz

τ γ =

Com a observação da figura anterior, percebe-se que é inteiramente válido o Princípio da

Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento, ou seja, quando atuar uma tensão cisalhante

perpendicularmente à aresta de um paralelepípedo elementar, atuará ortogonalmente à mesma aresta, emum plano ortogonal, tensão cisalhante de igual intensidade.




15

2.6. T RABALHO I NTERNO DE D EFORMAÇÃO . E NERGIA DE D EFORMAÇÃO (U I )

Considerando o paralelepípedo elementar em estado triplo de tensões, apresentado anteriormente.Baseando-se na definição de Trabalho Interno, podemos separar as parcelas deste devidas, respectivamente

às tensões normais e tangenciais:

(a) Trabalho interno correspondente às tensões normais:

( ) dxdydzdU z z y y x xi

++=

222

ε σ ε σ ε σ σ

(b) Trabalho interno correspondente às tensões tangencias:

( ) dxdydzdU yz yz xz xz xy xy

i

++=

222

γ τ γ τ γ τ τ

Observa-se que o coeficiente ½, advém do Teorema de Clapeyron, definido anteriormente.

O trabalho elementar interno total será:

( ) ( ) ( )τ σ iii dU dU dU +=

( ) ( )dxdydzdU yz yz xz xz xy xy z z y y x xi γ τ γ τ γ τ ε σ ε σ ε σ +++++=2

1

Aplicando-se a Lei de Hooke Generalizada e considerando dxdydzdv = , temos:

( ) ( ) ( ) dvG E E

dU yz xz xy z x z y y x z y xi

+++++−++= 222222

2

1

2

1τ τ τ σ σ σ σ σ σ

υ σ σ σ

( ) ( ) ( )∫ ∫

+++++−++==v

yz xz xy z x z y y x z y x

v

ii dvG E E

dU U 222222

2

1

2

1τ τ τ σ σ σ σ σ σ

υ σ σ σ

Devido à natureza extremamente particular da ação dos efeitos mecânicos (M, N, V e T) sobre oscomponentes estruturais por eles solicitados, pode-se particularizar o cálculo da Energia de Deformaçãoproduzida por tais efeitos, quantificando-os da seguinte forma:




16

2.7. T RABALHO I NTERNO NA F LEXÃO (M)

Neste caso, tem-se:

0=====

=

yz xz xy z y

x y I

M

τ τ τ σ σ

σ

Logo,

[ ] ∫ =v

x

M i dv E

U 2

2σ

[ ] ∫

=

v

M i dv I

y M

E U 2

22

2

1

[ ] ∫ ∫ =l A

M i dA ydx EI

M U

22

2

2

1

Desdobra-se a integral de volume em duas integrais, respectivamente ao longo do comprimento ( l )e da superfície da seção transversal de área ( A) e, observa-se que, no integrando ao longo de A, devem

permanecer todas as grandezas que possam variar ao longo da seção transversal.Por definição dA y I

A

∫ = 2 (momento de inércia em relação à linha neutra gerada pela flexão, ver

Mecânica);

[ ] dx EI

M U

M i ∫ =l

2

2

1




17

2.8. T RABALHO I NTERNO NA S OLICITAÇÃO AXIAL (N)

Neste caso, tem-se:

0=====

=

yz xz xy z y

x A N

τ τ τ σ σ

σ

Logo,

[ ] ∫ =v

x

N i dv E

U 2

2σ

[ ] ∫

=

v

N i dv A

N

E U

2

2

2

1

[ ] ∫ ∫ =l A

N i dAdx EA

N U

2

2

2

1

Desdobra-se a integral como no caso anterior, ou seja, mantendo na integral de comprimento asgrandezas que veriam ao longo do comprimento e, na integral de área as grandezas que veriam ao longo daárea de seção transversal.

Por definição, ∫ = A

dA A (área da seção transversal);

[ ] dx EA

N U

N i ∫ =l

2

2

1




18

2.9. T RABALHO I NTERNO NO C ISALHAMENTO (V)

Neste caso, tem-se:

0=====

=

yz xz z y x

e xy

bI Vm

τ τ σ σ σ

τ

Logo,

[ ] ∫ =v

xy

V iG

U 2

2τ

[ ] dv I b

mV

GU e

v

V i 22

22

2

1∫ =

[ ] dAb

mdx

GI

V U

A

e

V i ∫ ∫ =2

2

2

2

2

1

l

,

Mas:2

Ai I =

Onde i é o raio de giração da seção transversal, podendo-se escrever:

[ ] dAb

m

Aidx

GA

V U

A

e

V i ∫ ∫ =2

2

4

2 1

2

1

l

dAb

m

Ai f

A

ec ∫ =

2

2

4

1

Verifica-se que o fator ( f c) é uma constante que somente depende da forma da seção transversal,denominado Fator de Cisalhamento. Portanto, pode-se escrever então:

[ ] dxGA

V f U c

V i ∫ =l

2

2

Exemplos de fatores de cisalhamento:

Forma da seção transversal f c

Retangular 6/5=1,2

Circular 10/9=1,1

Perfil “I”d t

A

w d

t w




19

2.10. T RABALHO I NTERNO NA T ORÇÃO (T)

Neste caso, tem-se:

0=====

=

yz xz z y x

xy

r J

T

τ τ σ σ σ

τ

Logo,

[ ] ∫ =v

xy

T iG

U 2

2τ

[ ] dvr J

T

GU

v

T i

22

2

2

1∫ =

dAr dxGJ

T U

A

T ∫ ∫ = 22

2

21

l

Por definição,dAr J

A

∫ = 2

(momento de inércia em relação à linha neutra gerada pela flexão, verMecânica);

[ ] dxGJ

T U

T i ∫ =l

2

2

1

Exemplos de momento de inércia à torção (J) de algumas seções transversais:

Forma da seçãotransversal

J

− 4

44

132 D

d Dπ

hb3

4

052,063,0

3

1

+−λ

λ λ

b

h=λ

4

80

3a

b

h

d D

a a

a




20

2.11. E NERGIA I NTERNA T OTAL (U I ):

Para a ação simultânea de M, N, V e T, a expressão da energia interna é definida como sendo:

[ ] [ ] [ ] [ ]T iV i N i M ii U U U U U +++=

Ou seja,

dxGJ

T dx

GA

V f dx

EA

N dx

EI

M U c

i ∫ ∫ ∫ ∫ +++=2222

2

1

22

1

2

1

E Módulo de elasticidade longitudinal do material (Módulo de Young);

G Módulo de elasticidade transversal do material (Módulo de Coulomb);

I Momento de inércia da seção em relação à linha neutra da flexão;A Área da seção transversal;

J Momento de inércia à torção da seção transversal;

EI Rigidez à flexão (Rigidez flexional);

EA Rigidez axial (Rigidez longitudinal);

GA Rigidez ao cisalhamento (Rigidez transversal);

GJ Rigidez à torção (Rigidez torcional).

Em casos onde há predominância de atuação de um determinado efeito em detrimento de outro (porexemplo, em barras de treliças, o efeito predominante é a solicitação axial, seja de tração ou decompressão), a energia de deformação armazenada, será considerada de forma particular, conforme a ação,da forma mostrada na tabela a seguir:

As integrais são estendidas a todo comprimento da estrutura, podendo ser calculada membro amembro, conforme mostram os exemplos a seguir:




21

Exemplo 2.1

1. Calcular a energia de deformação armazenada na estrutura devida ao carregamento indicado nopórtico de seção constante da figura;

2. Calcular a translação vertical (flecha) da seção C, utilizando o “Princípio da Conservação da

Energia”.

Solução:

As integrais serão realizadas barra a barra, considerando-se os inícios dos intervalos de integração,conforme indicado na figura acima. Não há necessidade de se estabelecer qualquer convenção de sinais,uma vez que as funções variáveis (M, N e V), aparecem elevadas ao quadrado na expressão da energia dedeformação. Observe que não haverá o efeito da torção, uma vez que se trata de uma estrutura plana comcargas externas no seu próprio plano.

A partir da análise dos diagramas solicitantes, pode-se descrever a variação das solicitações aolongo de cada barra.

E = 2,1(108) kN/m2

3,0=ν




22

Barra M(kNm)

N(kN)

V(kN) ∫

BC 100 x 0 100 ∫ 2

0

AB 200 100 0 ∫ 4

0

dxGA

V f dx

EA

N dx

EI

M U c

i ∫ ∫ ∫ ++=222

22

1

2

1

DM DN DV




23

Barra BC:

[ ]

[ ]( )

[ ]

[ ]GA EI

U

xGA

x

EI U

dx

GA

dx x

EI

dx

GA

dx

EI

xU

dxGA

V f dx

EI

M U

BC i

BC i

BC i

c

BC i

12000

3

40000

2

100002,1

32

10000

100002

2,110000

2

1100

2

2,1100

2

1

22

1

2

0

2

0

3

2

0

22

0

2

0

22

0

2

22

+=

×+=

+=+=

+=

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Barra AB:

[ ]

[ ]( ) ( )

[ ]

[ ] EA EI

U

x EA

x EI

U

dx EA

dx EI

U

dx EA

N dx EI

M U

ABi

ABi

ABi

ABi

20000800002

10000

2

40000

100

2

1200

2

1

2

1

2

1

4

0

4

0

4

0

24

0

2

22

+=

+=

+=

+=

∫ ∫

∫ ∫

Energia total armazenada:[ ] [ ]

GA EA EI U

GA EA EI EI U

U U U

i

i

BC i ABii

1200020000

3

280000

1200020000

3

4000080000

++=

++

+=

+=

Cálculo da Rigidez:

( )

( ) ( )

( ) 3230769kN4,010,06,2

101,2

3,012

101,2

12

840000040,010,0101,2

112000kNm12

40,010,0101,2

8

8

8

23

8

=××

=

+

×=

+=

=×××=

=

×××=

GA

E G

kN EA

EI

ν

Logo;




24

839,3J0,8393kNm

0037,00023,08333,03230769

12000

8400000

20000

1120003

280000

==

++=

++×

=

i

i

i

U

U

U

Pode-se observar que as parcelas da energia de deformação devidas à solicitação axial (2,3J) e aocisalhamento (3,7J) representam, respectivamente, 0,27% e 0,44% da energia interna total armazenada noprocesso de deformação. Pode-se concluir então, que para estruturas planas em pórtico (assim como nasvigas), nas quais a solicitação predominante é a flexão, é bastante razoável que apenas a energia dedeformação a ela correspondente necessita ser considerada.

Entretanto, em barras cujas seções transversais retangulares apresentam altura maior que 20% dorespectivo vão, os efeitos de cisalhamento e de solicitação axial devem ser considerados.

Cálculo da flecha em C:

Sob a ação da carga vertical de 100kN no nó C (extremidade em balanço), espera-se que o pórticose deforme conforme indicado na figura abaixo. Será aplicado o Princípio da Conservação da Energia, emconjunto com o Teorema de Clapeyron, para a determinação da translação vertical (flecha) do ponto C(extremidade em balanço), cδ :

0,016786m

8393,01002

18393,0

2

12

1

=

=∴=∴=

=

c

ccie

ce

PU W

PW

δ

δ δ

δ

cmc 7,1≅δ

Caso se optasse por desprezar os efeitos da solicitação axial e do cisalhamento, teríamos:

cδ




25

0,016666m

8333,01002

18333,0

2

1

=

=∴=

c

ccP

δ

δ δ

cmc 7,1≅δ

O que comprova ser insignificante sobre o resultado final, a consideração ou não de outros efeitos,além dos correspondentes à flexão, no caso de pórticos planos, conforme anteriormente afirmado.

Observação:

Quando ocorrem várias cargas atuando simultaneamente na estrutura, não se pode, para fins decálculo da Energia Interna de Deformação (U i), aplicar o Princípio da Superposição de Efeitos.

Desta forma, a energia acumulada por ação simultânea das cargas não é igual à soma das energiasacumuladas por ação acumulada de cada uma das cargas.

Isto decorre do fato de a Energia Interna de Deformação, não ser uma função linear das cargas, esim uma função quadrática. Deste fato, decorre ainda que o cálculo de deslocamentos aplicando-se oPrincípio da Conservação de Energia, da forma como apresentado anteriormente, está limitado aos casosem que apenas uma força P, se encontre aplicada à estrutura. Esta limitação deixa de existir quando seaplica o Teorema de Castigliano, que será visto adiante.




26

Exemplo 2.2

Calcular a Energia de Deformação armazenada na treliça da figura, após a atuação do carregamentohorizontal de 150kN no nó B, e, em seguida, calcular a translação horizontal do nó C ,sabendo-se que:

E =200GPa A BC =ACD=1500mm2

A BD=2000mm2

Solução:

Trata-se de uma treliça, onde o único tipo de esforços que se manifesta é a solicitação axial. Destaforma, toda energia de deformação armazenada no processo, dependerá única e exclusivamente da

solicitação axial. Como a solicitação axial é constante nas barras da treliça, não haverá necessidade deintegrar como no caso anterior.

Reações de apoio:

Cálculo dos esforços nas barras pelo método dos nós:

B

C

D

α




27

N N

N sen N

H

BD

BD BD

04,163

92,0

1500150

0

=

=∴=−

=Σ

α kN N

N N N

V

BC

BC BC BD

6,63

39,05,1620cos

0

=

×=∴=−

=Σ

α

kN N CD 150=

[ ] [ ] [ ] BC i BDiCDii U U U U ++=

[ ] Nmm EA

L N U

CD

CDCD

CDi 450001500200000

1200150000

2

1

2

1 22

=×

×==

[ ] Nmm EA

L N U

BC

BC BC

BC i 4,33691500200000

50063600

2

1

2

1 22

=××

==

m L BD 3,15,02,1 22 =+=

[ ] Nmm

EA

L N U

BD

BD BD

BDi 7,431972000200000

1300163043

2

1

2

1 22

=×

×==

J NmmU

U

i

i

6,911,91567

7,431974,336945000

==

++=

Cálculo da translação horizontal do nó C :

ei W U =

C

H Pδ

2

16,91 =

P

C

H

6,912 ×=δ

( )310150

6,912×=C

H δ

mC

H 001221,0=δ

mmC

H 22,1=δ

α N BD

N BC

( ) 39,0cos92,038,674,25,0

2,1 0 =∴=∴=== α α α α sentg




28

Exemplo 2.3

Determinar a Energia de Elástica devida à flexão da viga em balanço, supondo que ela sejasubmetida a uma carga uniformemente distribuída w. Considerar EI constante.

Solução:

Determina-se o momento interno na viga, definido a coordenada x com origem no lado esquerdo,

lado este representado na figura abaixo:

2

22

wx M

xwx M

=

=

L

i

L

i

L

i

L

i

i

x

EI

wU dx x

EI

wU

dx xw

EI U dx

EI

wx

U

dx EI

M U

0

52

0

42

0

42

0

22

2

588

42

12

2

1

=∴=

=∴

=

=

∫

∫ ∫

∫

EI

LwU i 40

52

=




29

Exemplo 2.4

A barra tubular da figura abaixo, está engastada na parede e sujeita a dois momentos torçores(T), conforme mostrado abaixo. Determinar a energia de deformação nela armazenada em virtude dasolicitação atuante. Adotar G=75GPa.

Solução:

Inicialmente, deve-se determinar o valor do momento torçor (T), atuante em cada trecho. Valelembrar, que assim como a solicitação axial, o momento torçor costuma ser constante ao longo de cadatrecho das barras.

Temos:

NmT NmT BC AB 15;40 ==

( ) ( ) 44444 363001211301603232

mm J J d D J J BC AB =∴−=∴−==π π

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) J U U

U

GJ

LT

GJ

LT U

dxGJ

T U

ii

i

BC

BC BC

AB

AB AB

i

i

4-4-4-

129

32

129

32

22

2

102.327771012397,0)2,2038(10

1036300121110752

1030015

1036300121110752

1075040

22

2

1

=∴+=

××

×+

××

×=

+=

=

−

−

−

−

∫

A B

C




30

3. O Teorema de Castigliano

3.1. I NTRODUÇÃO

O teorema a seguir estudado permite que se determine o deslocamento (translação ou

rotação) de uma seção transversal de uma estrutura, em que se encontre aplicada uma cargaconcentrada (força ou momento).

Trata-se do 2º Teorema de Castigliano, a saber:

“ A derivada parcial da energia de deformação de um sistema, relativamente a uma carga P

concentrada, é igual ao deslocamento da seção de aplicação desta carga, segundo sua linha de ação.”

Para a demonstração deste teorema, considere o sistema abaixo, ao qual se aplica a

superposição de efeitos indicada.

(a) Sistema dado, sendo 1δ e 2δ os deslocamentos (translações), correspondentes às cargas P1 e P2

atuando simultaneamente;(b) Carga P1 atuando com valor unitário (P1=1), isoladamente. Nas seções 1 e 2, os deslocamentos

são 11δ e 21δ ;(c) Carga P2 atuando com valor unitário (P2=1), isoladamente. Nas seções 1 e 2, os deslocamentos

são 12δ e 22δ .

Observa-se que, a fim de que a superposição indicada recomponha o sistema dado, as cargas P1 e P2 têm que ser aplicadas com os seus verdadeiros valores. Tendo sido aplicadas com seus valoresunitários, os resultados parciais das fases (b) e (c), deverão ser multiplicados por P1 e P2 respectivamente.

Em outras palavras, aplicar uma carga de valor P tem o mesmo significado que aplicá-la com

valor 1, multiplicando-se todos os resultados (reações de apoio, esforços solicitantes e deslocamentos)por P.

Observando-se a figura anterior, pode-se concluir que:

+=

+=

2221212

2121111

PP

PP

δ δ δ

δ δ δ

3.2. C OEFICIENTES DE I NFLUÊNCIA

A partir da análise do sistema de equações apresentado anteriormente, pode-se definir ocoeficiente ijδ , denominado coeficiente de influência ou coeficiente de elasticidade, que representa o

deslocamento da seção i, devido à ação de uma carga unitária aplicada na seção j.




31

Estes coeficientes são amplamente utilizados na determinação dos esforços seccionais paratraçado de diagramas de esforços solicitantes em estruturas hiperestáticas, a partir da utilização do

Método das Forças, visto na disciplina de Hiperestática (também denominada Análise Estrutural ouTeoria da Estruturas).

O Método das Forças assim como o Princípio dos Trabalhos Virtuais, também são

fundamentados em critérios de trabalho e energia de deformação, assim como o Teorema deCastigliano.

3.3. D EMONSTRAÇÃO DO T EOREMA DE C ASTIGLIANO

Calculemos, a seguir, o trabalho realizado pelas cargas em decorrência dos deslocamentosocorridos. Para tanto, consideremos isoladamente as fases (b) e (c).

Considerando a ação isolada de P1 (fase (b)),

Sabendo-se que o deslocamento do ponto de aplicação da força será 111Pδ trabalho realizadopela carga P1=1, estaticamente aplicada (que implica na multiplicação por ½, conforme visto nademonstração do Teorema de Clapeyron) será:

( )11112

1PP δ

Aplicando-se em seguida a carga P2=1

O trabalho das cargas será constituído por:

( )2121 PP δ Parcela correspondente ao trabalho da carga P1 que já se encontrava aplicadadesde a fase (b), não mais considerada como estaticamente aplicada (portanto,não multiplicada por ½). Observa-se ainda que, ao atuar a carga P2=1, odeslocamento do ponto de aplicação de P1 será 212Pδ ;

( )22222

1PP δ Parcela correspondente ao trabalho da carga P2 =1, estaticamente aplicada.

O trabalho total das cargas externas realizado, correspondente à ação simultânea das cargas será:

( ) ( ) ( )222221211111 2

1

2

1PPPPPPW e δ δ δ ++=




32

22222112

2111 2

1

2

1PPPPW e δ δ δ ++=

( )22222112

2111 2

2

1PPPPW e δ δ δ ++=

Mas, pelo Princípio da Conservação da Energia, sabemos que ie U W = , logo pode ser escrito:

( )22222112

2111 2

2

1PPPPU i δ δ δ ++=

Derivando-se a expressão da Energia de Deformação parcialmente, em relação às cargas P1 eP2, obtém-se o seguinte:

=+=∂

∂=+=∂

∂

22221122

12121111

δ δ δ

δ δ δ

PPP

U

PPP

U

i

i

Conclui-se, portanto que, de maneira geral, tem-se que:

k

k

i

P

U δ =

∂

∂

O que constitui a expressão do 2º Teorema de Castigliano.

3.4. O BSERVAÇÕES

(a) O Teorema de Castigliano permite que se calcule o deslocamento de uma seção da estrutura,onde ocorra uma carga concentrada; o deslocamento calculado será o que ocorre na direção dalinha de ação desta carga. Quando se deseja obter o deslocamento de uma seção, em uma dada

direção, e nenhuma carga se encontre aí concentradamente aplicada, basta que se suponha aexistência de uma carga fictícia P , aplicada na direção na qual se deseja obter o valor dodeslocamento. O valor desta carga será nulo, posto que ela não existe. Porém seus efeitos sãoincluídos no cálculo de U i, após o que se calculará:

P

U i

∂

∂=δ

Nesta expressão de δ , ocorrerão termos contendo P ; substituindo-se nestes termos o valor de

P , qual seja 0=P , obter-se-á a expressão de δ em função das demais cargas realmenteexistentes.




33

(b) Para aplicação do Teorema de Castigliano, o cálculo de U i deverá ser efetuado, expressando-seliteralmente a carga P, correspondente ao deslocamento procurado. Somente após a obtençãoda derivada, é que se poderá substituir P, por seu valor numérico que, conforme visto no item(a), poderá assumir, inclusive, o valor nulo.

3.5. E XPRESSÃO DO T EOREMA DE C ASTIGLIANO APLICÁVEL AOS P ÓRTICOS P LANOS

Neste caso, sabendo-se que:

dxGJ

T dx

GA

V f dx

EA

N dx

EI

M U c

i ∫ ∫ ∫ ∫ +++=2222

2

1

22

1

2

1

Tem-se que:

∂

∂

+∂

∂

+∂

∂

+∂

∂

=∂

∂

= ∫ ∫ ∫ ∫

l l l l

0 0 0 0

2222

2

1

dxGJ

T

PdxGA

V

P X dx EA

N

Pdx EI

M

PP

U i

δ

Como os limites das integrais são constantes (integrais definidas), a operação de derivaçãopode ser aplicada sobre o integrando, ou seja:

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

= ∫ ∫ ∫ ∫ dxGJ

T

Pdx

GA

V

P f dx

EA

N

Pdx

EI

M

Pc

2222

2

1δ

Como os esforços solicitantes (M, N, V e T) são proporcionais às cargas, podendo ser escritoscomo funções lineares destas, tem-se que:

dxP

T T

GJ dx

P

V V

GA

f dx

P

N N

EAdx

P

M M

EI

c

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= ∫ ∫ ∫ ∫ 2

1

2

12

1

22

1

2

12

1

2

1δ

Ou, finalmente:

dxP

T

GJ

T dx

P

V

GA

V f dx

P

N

EA

N dx

P

M

EI

M c ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ∫ ∫ ∫ ∫ δ




34

3.6. D ETERMINAÇÃO DOS D ESLOCAMENTOS M ÁXIMOS NAS V IGAS F UNDAMENTAIS

Para determinação do deslocamento de uma seção em uma viga fundamental utilizando-se oTeorema de Castigliano, seja considerado o caso da viga com uma extremidade engastada e outralivre, com carga concentrada na extremidade livre, conforme mostra a figura a seguir, considerando-se

apenas o efeito da flexão:

Conforme visto anteriormente, podemos considerar apenas o efeito da flexão para

calcular a Energia de Deformação armazenada durante o processo de carregamento em vigas epórticos planos. Desta forma temos que:

dx EI

M U i ∫ =

2

2

1

No caso em estudo, têm-se que M=Px (lembrando-se sempre que não há necessidade de seconvencionar sinal para o momento fletor, pois o mesmo se encontra elevado ao quadrado naexpressão a utilizar no cálculo de δ ).

Logo:

EI

LP x

EI

Pdx

EI

xPU

L L

i 6322

1 32

0

32

0

22

=== ∫

Portanto, o deslocamento segundo a linha de ação de P, será:

EI

PL

P

U i

6

2 3

=∂

∂=δ

( )↓= EI

PL

3

3

δ (o sinal positivo significa que o deslocamento tem o mesmo sentido da carga

aplicada).

Determinar a flecha máxima para a viga bi – apoiada, com carregamento uniformementedistribuído ao longo de todo o vão, conforme mostra a figura abaixo, aplicando-se o Teorema de

Castigliano, considerando-se apenas o efeito da flexão:




35

Conforme mencionado anteriormente, quando se deseja obter o deslocamento de uma seção naqual não se encontra aplicada nenhuma carga concentrada, deve-se supor uma carga concentrada

fictícia P , e calcular a variação do momento fletor incluindo-se a referida carga fictícia. Em seguida,deve-se derivar este momento fletor em função da carga fictícia, para, finalmente, substituí-la pelo seuvalor real, que neste caso será nulo.

Trecho M

P

M

∂

∂

P

M M

∂

∂ ∫

AC2

222

22

xq

xP

xqL

xqx x

PqL

−+=

=−+

x2

1 322

444 x

q x

P x

qL−+ ∫

2

0

L

BC 2

222 x

q x

P x

qL−+ x

2

1 322

444 x

q x

P x

qL−+ ∫

2

0

L

Sabendo-se que 0=P , tem-se que:

32

322

4444

0

4 x

qqLx x

q x x

qL−=−+ e, pelo Teorema de Castigliano sabe-se que

dxP

M

EI

M

∂

∂= ∫ 2

1δ

dxqxqLx

EI dx x

qqLx

EI

L L L

−=

−= ∫ ∫ ∫ 2

0

2

0

322

0

32

22

1

44

2δ (onde o fator multiplicador 2, significa que

os trechos AC e BC são iguais).

−=∴

−=∴

−=384

38

12848

1

86

1 44442

0

42

0

3qLqLqLqL

EI

qxqLx

EI

L L

δ δ δ

( )↓= EI

qL

384

5 4

δ

De forma análoga, é possível determinar os deslocamentos para casos particulares decarregamentos de vigas fundamentais, apresentados na tabela a seguir:




36

Viga Deslocamento máximo

EI

PL

48

3

max −=δ

( )222max 6

ab L EILPba −−−=δ

EI

L M

243

20

max −=δ

EI

qL

384

5 4

max −=δ




37

Viga Deslocamento máximo

EI

PL

3

3

max −=δ

EI PL

485

3

max −=δ

EI

L M

2

2

0max −=δ

EI

qL

8

4

max −=δ




38

Exemplo 3.1

Determinar o deslocamento vertical do ponto C, da viga de aço mostrada na figura. AdotarE=200GPa e I=125(10-6)m4.

Solução:

Substituir a carga vertical de 5kN, por uma carga fictícia (literal) P e em seguida, calcular asreações de apoio, bem como os esforços seccionais (M1 e V1) em função desta carga P.

( )

PV P

V

PV

M

B B

B

A

6,0310

630

042

6461810

0

+=∴+

=

=××

−×−+×

=∑

( )

( ) PV PPV

PV V

V

A A

B A

4,096,0312

02

64

0

+=∴+−+=

=−×

−+

=∑

( )

( )

11

3111

112

11

4,0

9

14,09

04,0933

1

xP

M

x xP M

xP x

x M

=∂

∂−+=

=+−

+

( )

( )

22

22

22

6,0

6,0318

06,0318

xP

M

xP M

M xP

=∂

∂

++=

=−++




39

Sabendo-se que P = 5kN e, aplicando-se o Teorema de Castigliano, e, tem-se que:

( ) ( ) 3111

3111

3111 9

111

9

154,09

9

14,09 x x M x x M x xP M −=∴−×+=∴−+=

( ) ( ) 222222 61856,03186,0318 x M x M xP M +=∴×++=∴++=

dxP

M

EI

M

∂

∂= ∫ δ

( )( )( )

2

4

0

221

6

0

1311 6,0618

4,09

111

dx EI

x xdx

EI

x x x

c ∫ ∫ +

+

−

=δ

( ) ( )∴×= −66 1012510200

9,410cδ ( )↓== mmmc 4,160164,0δ




40

Exemplo 3.2

Calcular a translação do apoio D do pórtico da figura, considerando apenas o efeito da flexão.Adotar IAB=ICD=0,5(10-3)m4; IBC= (10-3)m4; E=2,1(105) MPa.

Solução:

Uma vez que não se encontra nenhuma carga concentrada em D, aí aplicaremos uma carga P

fictícia na direção da translação procurada. Observa-se que a translação horizontal é a única possívelde ocorrer, devido à natureza do apoio.

Por outro lado, como ao longo da barra AB existe uma descontinuidade no momento fletor,devida à aplicação da carga concentrada horizontal, o intervalo de integração deverá ser parcelado em

A1 e 1B. Este procedimento deverá ser adotado, sempre que ocorra, ao longo de uma barra,modificação da natureza das cargas atuantes.

A figura a seguir, indica as reações de apoio, e o início de cada intervalo de integração. Aocontrário do capítulo anterior, neste caso é necessário utilizar a convenção de sinais para consideraçãodos momentos fletores, uma vez que os termos aqui não estão elevados ao quadrado. Será adotadocomo positivo, todo momento fletor marcado na parte “interna” do pórtico.




41

Barra MP

M

∂

∂

P

M M

∂

∂

∫

A1( )

xP x

xP

+=

=+

100

100

x

2

22

100

100

x

xP x

=

=+

∫ 3

0

1B

( ) ( )

300

300100100

3100100

+=

=+−+=

=−−+

xP

x xP x

x xP

x x

x xP

300

3002

=

=+

∫ 6

3

BC

( ) ( )

3005,376

5,373006600

5,3731006100

+−=

=−−+=

=−−+

xP

xP

xP

6 x

xP

2251800

180022536

−=

+−

∫ 8

0

CD xP x 0

2

=

= xP

∫ 6

0

Sabendo-se que, 0=P e aplicando-se o Teorema de Castigliano, tem-se que:

dxP

M

EI

M

∂

∂= ∫ δ

( ) ∫ ∫ ∫ ∫ +−++=6

0

8

0

6

3

3

0

2 01

22518001

3001

1001

dx EI

dx x EI

xdx EI

dx x EI CD BC AB AB

Dδ

P H P H

H

kN V V V

V

kN V V

M

A A

A A D

D D

A

+=∴=−−

=

=∴=−

==∴=×−×

=

∑

∑

∑

1000100

0

5,370

05,37031008

0

P




42

8

0

28

0

6

3

23

0

3

2

2251800150

3

100 x

EI x

EI x

EI x

EI BC BC AB AB

D −++=δ

( ) ( ) ( )

BC BC AB AB

D

BC BC AB AB

D EI EI EI EI EI EI EI EI

7200144004050900

2

6422581800936150

3

27100−++=∴−+

−+

×= δ δ

( ) ( ) ( )( )0343,00471,0

10101,27200

105,0101,24950

3838+=+=

−− Dδ

m D 0814,0=δ

( )→= cm D 15,8δ




43

4. Linha Elástica de Vigas Fletidas

4.1. I NTRODUÇÃO

Conforme estudado nos capítulos 9 e 10 anteriores, concluímos que os elementos estruturais

planos (tais como pórticos e vigas), se deformam. Estas deformações provocam deslocamentos nasinfinitas seções que compõe as barras e, traduzindo-se para um modelo simplificado unifilar, pode-sese dizer que, determinados “pontos”, das barras sofrem translações (e/ou rotações), devidas àsdeformações estruturais, decorrentes da ação dos carregamentos.

A partir do Princípio da Conservação de Energia, generalizado pelo Teorema de Castigliano,aprendemos a quantificar numericamente os deslocamentos, dando-se ênfase às translações.

Neste capítulo, são apresentados mais dois processos destinados à determinação destesdeslocamentos. O primeiro deles, por intermédio da Integração da Equação Diferencial da Linha

Elástica, preconiza a formulação de uma função que descreva, de forma analítica, o comportamentodeformável de vigas, dadas condições de contorno, inerentes aos tipos de vínculos da estrutura

(apoios). O segundo, baseado na observação análoga de efeitos mecânicos, daí a denominação Analogia de Mohr , tem como fundamento o conceito de viga real e viga conjugada.

4.2. P ROCESSO DA INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA

A equação da linha elástica de uma viga fletida, em sua forma diferencial é dada por:

( )

EI

x M

dx

yd =

2

2

Onde M(x), corresponde à função que descreve o comportamento analítico do momento fletor,no trecho no qual se deseja escrever a equação da linha elástica. A equação da linha elástica doreferido trecho, será a função y=f(x), solução da equação diferencial apresentada anteriormente.

E corresponde ao módulo de elasticidade do material com o qual é constituída a viga, e I, omomento de inércia da seção transversal.




44

Para a determinação da função y=f(x) que traduz a estrutura deformada, ou seja, a função quedefina o deslocamento vertical de uma dada seção (ou ponto) como função de sua posição ao longo doeixo horizontal (eixo dos x), basta que se integre sucessivamente a equação diferencial de segundaordem apresentada anteriormente. Haverá que se efetuar, portanto, duas integrações:

1ª Integração:

( )

EI

x M

dx

dy

dx

d

dx

yd =

=2

2

( ) ( )dx

EI

x M

dx

dyd

EI

x M

dx

dy

dx

d =

∴=

( ) ( )11 C dx

EI

x M

dx

dyC dx

EI

x M

dx

dyd +

=∴+

=

∫ ∫ ∫

2ª Integração:

( )

( )21

1

C dxC dxdx EI

x M ydy y

dxC dxdx EI

x M dy

++

=∴=

+

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫

C1 e C2, são constantes de integração (uma vez que se trata de integração indefinida), que sãodeterminadas através das condições de contorno da viga, descritas pelos tipos de apoio da mesma.

4.3. C ONDIÇÕES DE CONTORNO DEVIDAS AOS APOIOS

Descrição Representação Condições de Contorno

Extremidade Apoiada ( )verticaltranslação y 0=

Extremidade Engastada ( )

( )rotaçãodx

dy

verticaltranslação y

0

0

=

=

Continuidade de barra

dir

S

esq

S

dir

S

esq

S

dx

dy

dx

dy

y y

=

=

esq dir

S




45

Exemplo 4.1

Determinar a equação da linha elástica da viga em balanço da figura. Em seguida, utilizando aexpressão determinada, calcule a flecha máxima na extremidade em balanço, comparando o resultadocom o obtido pela tabela de cálculo de deslocamentos nas vigas fundamentais apresentada no capítulo10.

Solução:

( ) ( )mmm

EI

PL4004,0

1025,2100,23

0,320

3 48

33

=∴=∴××××

×==

−δ δ δ

x x M 20)( −=

( ) ( )( ) x

dx

yd EI

EI

x

dx

yd

EI

x M

dx

yd 20

202

2

2

2

2

2

−=∴−

=∴=

1ª Integração: ( ) ( ) 121020 C x

dx

dy EI dx x

dx

dy EI +−=∴−= ∫ Eq.01

2ª Integração: ( )[ ] 21

3

12

31010 C xC

x EIydxC x EIy ++

−=∴+−= ∫ Eq.02

Condições de contorno:

Eq.01 (a rotação é nula no engaste)

( ) ( ) 900,31000,30 112 =∴+×−=×⇒== C C EI x

dx

dy

Eq.02 (a translação vertical é nula no engaste)

( ) 1800,3903 0,31000,30 22

3

−=∴+×+

×−=×⇒== C C EI x y

A equação da linha elástica será: EI EI

x

EI

x y x

x EIy

18090

3

10189

3

33

−+

−=∴−+

−=

Cálculo do deslocamento vertical da extremidade em balanço, utilizando-se a equação da linhaelástica:

( )( )( )↓=∴=∴

××

−=

−=∴−×

+

×−==

−mmm

EI EI EI EI y

4004,01025,2100,2

180

180180090

3

010

48

3

δ δ δ

δ δ

y

x

Dados:

E = 2,0 x 108 kN/m2

I=2,25 x 10-4m4

P=20kN

L=3,0m

y




46

Sugestão: Utilizando o processo da integração diferencial, escrever a equação da linha elástica,para os demais casos apresentados na tabela de deslocamentos de vigas fundamentais apresentados nocapítulo 10.

Exemplo 4.2

Determinar a equação da linha elástica da viga da figura e, em seguida, determinar odeslocamento vertical nas seções S1, S2 e C, a partir da equação determinada. E=2,0x107kN/m2.

Solução:

23

7 1280012

40,012,0100,2 kNm EI =

×××=

Trecho AB:

( ) x x M 4−=

( ) ( )( ) x

dx

yd EI

EI

x

dx

yd

EI

x M

dx

yd 4

42

2

2

2

2

2

−=∴−

=∴=

( ) 122 C x

dx

dy EI +−=

Eq.01

213

3

2C xC x EIy ++

−= Eq.02


Eq.02 (a translação vertical é nula no apoio A)

( ) 0003

2000 221

3 =∴+×+

×−=×⇒== C C C EI x y

Eq.02 (a translação vertical é nula no apoio B)( ) 24066

3

2060 11

3 =∴+×+

×−=×⇒== C C EI x y

y

x




47

A equação da linha elástica no trecho AB, será:

x x EIy 243

2 3 +

−=

EI

x

EI

x y

AB

24

3

2 3

+

−=

Trecho BC:

( ) 24−= x M

( ) ( )( )24

242

2

2

2

2

2

−=∴−

=∴=dx

yd EI

EI dx

yd

EI

x M

dx

yd

( ) 324 C x

dx

dy EI +−=

Eq.03

( ) 43212 C xC x EIy ++−= Eq.04


Eq.03 (O valor da rotação na seção B é o mesmo, tanto pela esquerda, quanto pela direita )

( )0,6=

=

x

dx

dy

dx

dydir esq

O lado esquerdo da seção B, corresponde ao trecho AB, portanto, a rotação é dada pela Eq.01:

( ) ( ) 2422 21

2 +−=

∴+−=

x

dxdy EI C x

dxdy EI

( ) ( ) 960,620,624242242424242 32

32

332 =∴×−×+=∴−+=∴+−=+− C C x xC C x x

Eq.04 (a translação vertical é nula no apoio B)

( ) ( ) 1440,6960,612060 442 −=∴+×+×−=×⇒== C C EI x y

A equação da linha elástica no trecho BC, será:

( ) 1449612 2 −+−= x x EIy

( ) EI

x x y BC

1449612 2 −+−=

Cálculo dos deslocamentos das seções:

( )↑==×

+

××

−== mmm yS

x 33,300333,012800

0,224

128003

0,22 31

0,2

( )↑==×

+

×

×−== mmm y

S

x 17,400417,012800

0,424

128003

0,42 32

0,4

( ) ( )↓−=−=−×+×−

== mmm yC

x 25,1101125,012800

1440,8960,812 2

0,8




48

Linha Elástica:

4.4. C ÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS ATRAVÉS DA ANALOGIA DE M OHR

Conforme sugerido pelo título, consiste em um processo de analogia (comparação), entre acondição de carregamento de uma viga e a variação do momento fletor produzido ao longo do vão daviga.

Sugere-se que a linha elástica de uma viga, seja o diagrama de momentos fletores da sua viga

conjugada, quando solicitada por um carregamento que tenha as características de seu diagrama demomentos fletores original, dividido por sua rigidez.

( ) x M Variação do momento fletor ( M ) em uma viga;

( ) ( )dx

xdM xV = Variação do esforço cortante (V ) em uma viga;

( )( ) ( )

2

2

dx

x M d

dx

xdV xq == Carregamento que ocasiona M e V .

Comparando-se:

( )2

2

dx

yd

EI

x M = (equação diferencial da linha elástica) com ( )

( )2

2

dx

x M d xq = (que descreve o

carregamento em uma viga em função da distribuição de momentos fletores), conclui-se que:

q(x) (carregamento) é análogo à( )

EI

x M , assim como d

2 M(x) (derivada segunda do momento

fletor) é análogo a d 2 y (derivada segunda do deslocamento). Ou seja, ao carregarmos uma viga,

denominada viga conjugada, com( )

EI

x M , que representa o diagrama de momentos fletores na sua

configuração original, os valores dos momentos fletores seccionais obtidos, equivalerão aosdeslocamentos seccionais desta viga, em sua configuração original.

3,33mm 4,17mm

11,25m

EI

x

EI

x y AB

24

3

2 3

+

−=

( ) EI

x x y

BC

1449612 2 −+−=

A B

C




49

Resumo:

Objetivo: Determinação de translações verticais (ou deslocamentos verticais) de determinadasseções de vigas, a partir do processo da Analogia de Mohr .

Viga Real – Traçar o diagrama de momentos fletores (DMF), considerando sua forma,como o tipo de carregamento que atuará na viga conjugada;

Viga Conjugada – Definição da Viga Conjugada em função de suas condições de apoio ouextremidade;

Viga Conjugada – Aplicar o DMF da Viga Real (incluindo seu sinal), como carregamento,dividindo os valores pela rigidez flexional ( EI ) da viga;

Para determinar o valor da translação vertical de uma determinada seção transversal daViga Real, basta que se calcule o valor do momento fletor nesta mesma seção na VigaConjugada, e se estará obtendo a translação procurada na Viga Real;

O “espelho” do diagrama de momentos fletores da Viga Conjugada representa a linhaelástica da Viga Real.

Viga Real Viga Conjugada

apoio extremo apoio extremo

extremidade em balanço engaste

engaste extremidade em balanço

rótula apoio interno

apoio interno rótula

Exemplo:

Viga Real

Viga Conjugada




50

Exemplo 4.3

Calcular a translação vertical da extremidade em balanço do Exemplo 11.1, utilizando-se oProcesso da Analogia de Mohr .

Dados:

E = 2,0 x 108 kN/m2

I=2,25 x 10-4m4

−=∴×

−

= EI

R EI

R90

2

0,360

−=∴×= EI

M R M A A

1800,2

( )( )

××−=

−48 1025,2100,2

180 A M

↓=−= mmm M A 4004,0




51

Exemplo 4.4

Determinar o deslocamento vertical nas seções S1, S2 e C, do exemplo 11.2, utilizando-se a Analogia de Mohr . E=2,0x107kN/m2.

−=

EI

q24

Determinação das reações de apoio na Viga Conjugada:

−=∴×

−

= EI

R EI

R72

2

0,624

11

−=∴×

−=

EI R

EI R

480,2

2422

( )rótula M esq

B 0=∑

−=∴=∴=×−× EI

V R

V RV A A A

24

300,20,6 1

1

∑ = 0V

−=∴=−−+ EI

V R RV V C C A

96021

0=∑ C M

00,10,40,8 21 =×−×−×+ R RV M AC

AC V R R M 84 21 −+=

( )↓=−=∴

−=∴

−= mmm M M EI

M C C C 25,1101125,012800144144




52

Determinação dos momentos nas seções S1 e S2 da Viga Conjugada (equivalentes aosdeslocamentos nas respectivas seções da Viga Real), pelo lado esquerdo:

−=×

−=

EI

EI R

8

2

0,23

24

'1

−=∴

××

−−

−=∴

××−×=

EI M

EI EI M RV M

esq

S

esq

S A

esq

S

67,420,2

3

182420,2

3

10,2 11

'11

( )↓=−=∴

−= mmm M

EI M

esq

S

esq

S 333,3003333,067,42

11 (espelho)

−=×

×−

= EI

EI R

32

2

0,43

242

"1

−=∴

××

−−

−=∴

××−×=

EI

M

EI EI

M RV M esq

S

esq

S A

esq

S

33,530,4

3

1322440,4

3

10,4 11

"12

( )↓=−=∴

−= mmm M EI

M esq

S

esq

S 167,4004167,033,53

11 (espelho)

57382899 Apostila Resist en CIA Dos Materiais Parte II

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