Resist en CIA i Em Apostila 2007

8/8/2019 Resist en CIA i Em Apostila 2007

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Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini 1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE ENGENHARIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Resistência dos

Materiais I- EM

Notas de Aula

Profa. Maria Regina Costa Leggerini




CAPÍTULO I

REVISÃO DE MECÂNICA GERAL – CONCEITOS BÁSICOS

I . FORÇAA. CONCEITO:

Força é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ouprovocar deformação em um corpo. É uma grandeza vetorial cuja intensidade pode serobtida pela expressão da física:

a.mF =r

onde:

F = forçam = massa do corpo

a = aceleração provocada

Sendo força um elemento vetorial somente se caracteriza se forem conhecidos:

• direção

• sentido

• módulo ou intensidade

• ponto de aplicação

Exemplo 1: Força provocando movimento

Exemplo 2: Força provocando deformação

Fr

Fr




Exemplo 3: PESO DOS CORPOS:

O peso dos corpos é uma força de origem gravitacional que apresenta característicasespeciais:

Módulo: g.mPr

r

=

Direção: Vertical

Sentido: de cima para abaixo

Ponto de aplicação: centro de gravidade do corpo

B. UNIDADES

Existem muitas unidades representando forças sendo as mais comuns:

N - Newton kN - kiloNewton kgf - kilograma força

1 kgf = 10 N 1 kN = 103 N 1 kN = 102 kgf

C. CARACTERÍSTICAS DAS FORÇAS

1. Princípio de ação e reação:

Quando dois corpos se encontram, toda a ação exercida por um dos corpos cobre o outrocorresponde uma reação do segundo sobre o primeiro de mesmo módulo e direção, mas comsentidos contrários, que é a 3ª lei de Newton.

Pode-se observar que estas duas forças têm pontos de aplicação diferentes e, portantocausam efeitos diferentes, cada uma atuando no seu ponto de aplicação.

2. Princípio da transmissibilidade de uma força,Quando se aplica uma força em um corpo sólido a mesma se transmite com seu módulo,direção e sentido em toda a sua reta suporte ao longo deste corpo.

1 kN = 103 N = 102 kgf

P




3. Decomposição das forças.

Qualquer força no espaço pode ser decomposta segundo três direções que desejarmos.

Normalmente, usam-se como referência três direções ortogonais entre si, escolhidas deacordo com a conveniência do problema.

Nestes casos pode-se usar a resultante Fr

ou suas componentes Fx, Fy e Fz para obter oefeito desejado.

Qualquer força contida em um plano também pode ser decomposta segundo duas direções.

Normalmente são usadas duas direções perpendiculares entre si, também escolhidas deacordo com a conveniência do problema.

No caso plano que é o mais usual:

Exemplo:r

F - força a ser decomposta

x e y – direções ortogonais de referência

α - ângulo formado por F em relação à x

r

Fx,r

Fy- componentes da força nas direções x e y

A decomposição é feita por trigonometria:r

Fx =r

F. cos α r

Fy =r

F sen α r

Fy/ r

Fx = tg α

A forçar

F decomposta também pode ser chamada de resultante da soma vetorial de suascomponentes

r

Fx er

Fy.

F

Fx

Fy

x

y

α

y

FFx

Fy

Fz

=Fr

Fx

Fy

Fz




Nos problemas pode-se utilizar para cálculos apenas a força resultante, ou as suascomponentes, o que se tornar mais fácil. Isto pode se constituir em uma das ferramentasmais úteis no trabalho com as forças.

Observe que soma vetorial ou geométrica não corresponde à soma algébrica.

D. CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS

As forças podem ser classificadas de acordo com a sua origem, modo de se comportar, etc.como, por exemplo, as forças de contato (ex: locomotivas, musculares, etc..) e as de ação àdistância (ex: elétricas, gravitacionais, magnéticas, etc.)

Em análise estrutural as forças são divididas conforme esquema abaixo:

FORÇAS EXTERNAS: atuam na parte externa na estrutura, e são o motivo de suaexistência. Podem ser:

ações : São forças independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura .Correspondem às cargas as quais a estrutura está submetida, normalmente conhecidas ouavaliadas. Ex: peso do pedestre em uma passarela, peso próprio das estruturas, etc...

reações: São forças que surgem em determinados pontos de uma estrutura (vínculos ouapoios), sendo conseqüência das ações, portanto não são independentes, devendo sercalculadas para se equivalerem as ações e assim preservarem o equilíbrio do sistema.

FORÇAS INTERNAS: são aquelas que mantêm unidos os pontos materiais que formam ocorpo sólido de nossa estrutura (solicitações internas). Se o corpo é estruturalmentecomposto de diversas partes, as forças que mantém estas partes unidas também sãochamadas de forças internas (forças desenvolvidas em rótulas).

II. MOMENTO DE UMA FORÇA

A. CONCEITO:

O momento de uma força é a medida da tendência que tem a força de produzir giro em umcorpo rígido. Este giro pode se dar em torno de um ponto (momento polar ) ou em torno deum eixo (momento axial).

B. MOMENTO POLAR (momento de uma força em relação a um ponto)

Chama-se de momento de uma forçar

F em relação a um ponto "0", o produto vetorial dovetor OA

r

pela forçar

F, sendo "A" um ponto qualquer situado sobre a reta suporte da forçar

F. Logo também é um vetor, e para a sua caracterização é preciso determinar o seu módulo,

direção e sentido.Representa fisicamente a grandeza da tendência de giro em torno deste ponto que esta forçaimpõe ao corpo.




OAF=oM ∧r r

O efeito do vetor momento é o de provocar um giro com determinado sentido em relação aoponto ‘o’ considerado. O vetor momento apresenta as seguintes características:

• direção: perpendicular ao plano formado pela força e pelo vetor OA

• sentido: regra da mão direita

• módulo: produto do módulo da forçar

F pela menor distância do ponto "0" a reta suporteda força.

• ponto de aplicação: ponto "O" em relação ao qual se calculou o momento.

α sen..OAF o M r r

= ou d.FoMr r

=

A distância d que representa o módulo do vetor OA é também chamada de braço dealavanca. Ela é a menor distância entre a reta suporte da força e o ponto em relação ao qualse calcula o momento, isto é, pode ser obtida pela perpendicular à reta que passa pelo ponto.

Isto simplifica em muito o calculo do momento polar de uma força.

M = F.d

π

AF

d

Mo

O

Mo




Regra da mão direita:

A regra da mão direita consiste em se posicionar os dedos da mão direita no sentido darotação provocada pela força em torno do ponto O. Neste caso o polegar indica o sentido domomento.

Convencionam-se sinais + ou - para cada um dos sentidos, de acordo com a nossaescolha.

Exemplo 1: Determine o peso que devemos colocar na extremidade direita da gangorra a fimde que ela permaneça em equilíbrio estático.

P1 = 30 kN

a = 2 m

b = 4 m

Exemplo 2: Determine a força desenvolvida no tirante da estrutura, a fim de que elapermaneça em equilíbrio, sabendo-se que a barra pesa 5 kN. A barra é presa a uma parede

por meio de um pino O.

G = 5 kN

L = 3 m

α= 15º

T = ?




C. MOMENTO AXIAL

Momento axial é o valor algébrico da projeção ortogonal sobre o eixo do momento polarproduzido pela força em relação a um ponto qualquer do eixo. Pode ser representado poruma grandeza escalar quando se adota uma convenção para a orientação do eixo.

Exemplo 1: Força perpendicular ao plano do eixo

Mx = F . d

Exemplo 2 : Força inclinada em relação ao plano do eixo

Mx = Fz . d

Fz = F . sen α

Exemplo 3 : Força no espaço (direção qualquer)

F = F 1 + F 2 + F 3Mx = 0

F 1 My =.0Mz = -4 . F 1

Mx = 0F 2 M y = 0

Mz = - 1 . F 2

Mx = + 4 . F 3F 3 My = - 1 . F 3

Mz = 0

OBSERVAÇÃO:O momento de uma força em relação à um eixo é nulo sempre que a força e o eixo foremcoplanares (concorrentes ou paralelos).




C. UNIDADE DE MOMENTO

Sendo o momento produto de uma força por uma distância, a unidade desta grandeza é oproduto de uma unidade de força por uma unidade de distância.

Exemplos: kgf.m , kN.m , N.m , kN.cm , etc

III. SISTEMA DE FORÇAS

A. DEFINIÇÃO:

É o conjunto de forças que atuam simultaneamente em um corpo rígido ou em um pontomaterial.

B. RESULTANTE DE VÁRIAS FORÇAS CONCORRENTES:

A resultante de várias forças que concorrem em um ponto é a soma geométrica a partir doponto, de forças eqüipolentes às que constituem o sistema, formando um polígono.

Obs: Forças eqüipolentes são aquelas que têm mesmo módulo, mesma direção e mesmosentido.

Lembrando que uma força pode ser decomposta segundo eixos de referência, pode-sedeterminar a resultante de uma forma mais simples, obtendo-se cada componente pela somaalgébrica das projeções de todas as forças sobre este eixo.

Exemplo 1:

Soma geométrica

0=Rr

OBSERVAÇÃO: Se o polígono formado pelas forças for fechado a resultante é nula.




Exemplo 2:

Forças concorrentes em um ponto de um plano

A resultante de forças concorrentes em um ponto de um plano também pode ser calculadaatravés da decomposição destas forças em relação a duas direções ortogonais escolhidas.

F1x = F1 cos α F1y = F1sen α

F2x = F2 cos β

F2y = F2 sen β

Fx = F1x + F2x

Fy = F1y + F2y

2y

2x )F()F(R Σ+Σ= PITÁGORAS

IV. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS

" O efeito produzido por um conjunto de forças atuando simultaneamente em um corpo éigual à soma do efeito produzido por cada uma das forças atuando isolada"

Deve-se fazer a ressalva de que a validade deste princípio se resume a casos em que o efeitoproduzido pela força seja diretamente proporcional a mesma. Isto acontece na maioria doscasos estudados.

A partir deste princípio pode-se dizer que:

- O momento polar resultante de um sistema de forças é a soma algébrica dos momentos

polares, produzidos em relação ao mesmo ponto, por cada uma das forças atuando isolada.- O momento axial produzido por um sistema de forças atuando simultaneamente em umcorpo é igual à soma algébrica dos momentos axiais, produzidos em relação ao mesmo eixo,de cada uma das forças atuando isolada.

V. BINÁRIO OU PAR DE FORÇAS

A. CONCEITO

Denomina-se binário a um sistema constituído por um par de forças paralelas, de módulos

iguais e sentidos opostos. A resultante em termo de forças é nula, entretanto há um momentopolar resultante de módulo igual ao produto da força pela distância entre as duas direçõesparalelas.




Exemplo 1:

F =

a =b =

c =

d =

MA = MD = ME =

O binário ou momento é um vetor livre, pois seu efeito independe do ponto de aplicação,sendo que para qualquer ponto do plano o binário tem o mesmo valor.

B. SITUAÇÕES REPRESENTATIVAS




VI. TRANSLAÇÃO DE FORÇAS

Transladar uma força (como artifício de cálculo) é transportá-la de sua direção para outradireção paralela. Isto implica no acréscimo de um momento devido à translação, cujo

módulo é igual ao produto da força pela distância de translação.

VII. REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UM PONTO

Qualquer sistema de forças pode ser reduzido a um sistema vetor-par, onde o vetor é aresultante das forças, localizada a partir de um ponto arbitrariamente escolhido e o par é omomento polar resultante do sistema em relação ao mesmo ponto.

Exemplo 1: Reduzir o sistema de forças da figura ao ponto B indicado.

Exemplo 2: Reduzir o sistema acima ao ponto A.

R:




VII. EQUIVALÊNCIA DE UM SISTEMA DE FORÇAS

Dois sistemas de forças são equivalentes quando tem resultantes iguais e momentos polaresem relação ao mesmo ponto também iguais.

Exemplo:

F =

α =

Fx =

Fy =

a =

b =

F - sistema inicial

Fx, Fy - sistema equivalente

MA (sistema inicial) =

MA (sistema equivalente) =

O uso de sistemas equivalentes é um artifício de cálculo muito útil. Pode-se, de acordo coma conveniência, substituir uma força, ou um sistema de forças por sistemas equivalentes mais

adequados ao nosso uso.

VIII. EQUILÍBRIO ESTÁTICO DOS CORPOS RÍGIDOS

A. EQUILÍBRIO NO ESPAÇO.

Existem diversas possibilidades de movimento em um corpo livre no espaço.

Tomando 3 eixos ortogonais como referencia de espaço, e isto se faz necessário por umaquestão de classificação e organização de método, pode-se dizer que um corpo no espaçotem 6 possibilidades de movimento ou 6 graus de liberdade.

Nestes casos o corpo possui 6 graus de liberdade, pois pode apresentar 3 translações (nadireção dos 3 eixos) e 3 rotações (em torno dos 3 eixos).

x

z

y

Fx

Fz

Fy

Mz

Mx

My




Um corpo está em equilíbrio estático quando as forças atuantes formam entre si um sistemaequivalente a zero, isto é, sua resultante e o seu momento polar em relação a qualquer pontosão nulos.

R = 0 Mp = 0

Como se costuma trabalhar com as forças e momentos referenciados a um sistema tri-ortogonal de eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as 6 equações abaixo sãosatisfeitas:

∑ Fx = 0 ∑ Mx = 0

∑ Fy = 0 ∑ My = 0

∑ Fz = 0 ∑ Mz = 0

B. EQUILÍBRIO NO PLANO

Quando o corpo está submetido a forças atuantes em um só plano, devemos prever o seuequilíbrio neste plano.Supondo um corpo com cargas em apenas um plano, por exemplo, x, y.Neste caso o corpo possui apenas 3 graus de liberdade, pois pode apresentar 2 translações(na direção dos dois eixos) e 1 rotação(em torno do eixo perpendicular ao plano que contémas forças externas).

Exemplo:

Diante de um caso de carregamento plano, e, portanto apresentando 3 graus de liberdade, ascondições de equilíbrio se reduzem apenas às equações:

ΣΣΣΣFx = 0 ΣΣΣΣ Fy = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0

Estas equações de equilíbrio são chamadas de equações fundamentais da estática.

x

z

y

Fx

Fy

Mz




5. Suponha as estruturas planas representadas abaixo. Determine, se necessário usandosistemas equivalentes Σ Fx ,ΣFy, ΣMA, ΣMB e ΣMC

a.

R: ΣFx = 25,98 kN ΣFy =65 kN

ΣMA = 138,04 kN.m

ΣMB = 70 kN.m

ΣMC = 330 kN.m

b.

R: ΣFx =16,64 kN ΣFy = -4,96kN

ΣMA = -36 kN.m

ΣMB = -84 kN.m

ΣMC = -98,96 kN.m

6. Reduzir no ponto A o sistema de forças da figura:




CAPÍTULO II

INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS – EQUILÍBRIOEXTERNO

I. OBJETIVO PRINCIPAL DA MECÂNICA DOS SÓLIDOSO principal objetivo de um curso de mecânica dos sólidos é o desenvolvimento de relaçõesentre as cargas aplicadas a um corpo e as forças internas e deformações nele originadas.Estas relações são obtidas através de métodos matemáticos ou experimentais, que permitama análise destes fenômenos.

Normalmente buscamos a solução de três tipos de problemas:

→ Projetos – Definição de materiais, forma e dimensões da peça estudada.

→ Verificações – Diagnosticar a adequação e condições de segurança de um projetoconhecido.

→ Avaliação de capacidade – Determinação da carga máxima que pode ser suportadacom segurança.

As principais ferramentas adotadas neste processo são as equações de equilíbrio da estática,amplamente utilizadas.

II. GRAUS DE LIBERDADE (GL)

Grau de liberdade é o número de movimentos rígidos possíveis e independentes que umcorpo pode executar.

A. CASO ESPACIALCaso dos corpos submetidos a forças em todas as direções do espaço.

No espaço estas forças podem ser reduzidas a três direções ortogonais entre si (x, y, z),escolhidas como referência.

Nestes casos o corpo possui 6 graus de liberdade, pois pode apresentar três translações (nadireção dos três eixos) e três rotações (em torno dos três eixos).

Exemplo:

x

z

y

Fx

Fz

Fy

Mz

Mx

My




B. CASO PLANO

Ocorre nos corpos submetidos a forças atuantes em um só plano, por exemplo, x, y.

Neste caso possuem três graus de liberdade, pois os corpos podem apresentar duastranslações (na direção dos dois eixos) e uma rotação (em torno do eixo perpendicular ao

plano que contém as forças externas).Exemplo:

III. EQUILÍBRIO

Sempre que se deseja trabalhar com uma peça componente de uma estrutura ou máquina,devemos observar e garantir o seu equilíbrio externo e interno.

A. EQUILÍBRIO EXTERNO

Para que o equilíbrio externo seja mantido se considera a peça monolítica e indeformável.

Dize-se que um corpo está em equilíbrio estático quando as forças atuantes formam entre sium sistema equivalente à zero, isto é, sua resultante e o seu momento polar em relação aqualquer ponto são nulos.

R = 0 Mp = 0

Como se costuma trabalhar com as forças e momentos referenciados a um sistema tri-ortogonal de eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as seis equações abaixo sãosatisfeitas:

ΣFx = 0 Σ Mx = 0

Σ Fy = 0 Σ My = 0

Σ Fz = 0 Σ Mz = 0

Diante de um caso de carregamento plano, e, portanto apresentando 3 graus de liberdade, ascondições de equilíbrio se reduzem apenas às equações:

ΣFx = 0 Σ Fy = 0 Σ Mz = 0

Observe que as equações de equilíbrio adotadas devem ser apropriadas ao sistema de forçasem questão, e se constituem nas equações fundamentais da estática.

B. EQUILÍBRIO INTERNO

De uma maneira geral podemos dizer que o equilíbrio externo não leva em conta o modocomo o corpo transmite as cargas para os vínculos.

x

z

Fx

Fy

Mz




O corpo quando recebe cargas vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio,onde as deformações param de aumentar (são impedidas internamente), gerando solicitaçõesinternas. Estas solicitações internas são responsáveis pelo equilíbrio interno do corpo.

O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial(campo das pequenas deformações).

IV. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

O objetivo principal de um diagrama de corpo livre é mostrar as forças que atuam em umcorpo de forma clara, lógica e organizada.

Consiste em separar-se o nosso “corpo de interesse” de todos os corpos do sistema com oqual ele interage.

Neste corpo isolado são representadas todas as forças que nele atuam, assim como as forçasde interação ou de contato.

A palavra livre enfatiza a idéia de que todos os corpos adjacentes ao estudado são removidose substituídos pelas forças que nele que exercem.

Lembre-se que sempre que há o contato entre dois corpos surge o princípio da ação ereação.

O diagrama do corpo livre define claramente que corpo ou que parte do corpo está emestudo, assim como identifica quais as forças que devem ser incluídas nas equações deequilíbrio.

V. VÍNCULOS

A. DEFINIÇÃO

É todo o elemento de ligação entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meioexterno, cuja finalidade é restringir um ou mais graus de liberdade de um corpo.

A fim de que um vínculo possa cumprir esta função, surgem no mesmo, reaçõesexclusivamente na direção do movimento impedido.

→ Um vínculo não precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, quemo fará será o conjunto de vínculos.

→ As reações desenvolvidas pelos vínculos formam o sistema de cargas externasreativas.

→ Somente haverá reação se houver ação, sendo as cargas externas reativasdependentes das ativas, devendo ser calculadas.

B. CLASSIFICAÇÃO

Os vínculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meioexterno e, portanto, se classificam em vínculos internos e externos.

B.1 Vínculos externos:

São vínculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo e se classificamquanto ao número de graus de liberdade restringidos.

No caso espacial os vínculos externos podem restringir até 6 graus de liberdade (GL) e,portanto podem ser classificados em seis espécies.




No caso plano o vínculo pode restringir até 3 graus de liberdade (GL) e, portanto seclassifica em três espécies.

Exemplos:

B.2 Vínculos internos

São aqueles que unem partes componentes de uma estrutura.

No caso plano os vínculos podem ser de 2a e 3a espécie, como exemplificado na ligaçãode duas barras:




Vínculo de 3ª espécie ( solda )

Vínculo de 2a espécie (pinos, parafusos ou rótulas).

Vista Superior Representação estrutural

Corte Longitudinal

VI. CARGAS ATUANTES EM UMA ESTRUTURA

Quando se trabalha com uma peça de uma estrutura, devemos ter em mente a sua finalidade e,portanto, devemos avaliar a quantidade de carga que ela deve ser capaz de suportar.

Ao conjunto destas cargas damos o nome de CARGAS EXTERNAS ATIVAS.

Para que o equilíbrio desta peça seja garantido, devemos vinculá-la, ou seja, restringirmos aspossibilidades de movimento da mesma. Em cada vínculo acrescido, surgem as reações nadireção do movimento restringido. Estas reações são chamadas de CARGAS EXTERNASREATIVAS.

O conjunto destas cargas, ativas e reativas, se constitui no carregamento externo da peça emestudo.

A. CARGAS EXTERNAS ATIVAS

As cargas aplicadas em uma peça de estrutura se classificam quanto ao modo de distribuiçãoem:

Concentradas - São aquelas que atuam em áreas muito reduzidas em relação àsdimensões da estrutura. Neste caso ela é considerada concentrada no centro degravidade da área de atuação.

Cargas momento ou conjugados - momentos aplicados em determinados

pontos de uma estrutura (fixos). Podem se originar de um par de forças, cargasexcêntricas ou eixos de transmissão.




cargas distribuídas - São aquelas que atuam em uma área com dimensões namesma ordem de grandeza da estrutura.

As cargas também se classificam quanto ao tempo de duração em:

Permanentes - Atuam durante toda ou quase toda a vida útil de uma estrutura

Acidentais ou sobrecarga - Podem estar ou não atuando , sendo fornecidas pornormas (NBR - 6.120/80), catálogos ou avaliadas em cada caso.

A classificação quanto ao ponto de aplicação fica:

Fixas – atuam sempre em um ponto ou uma região.

Móveis – percorrem a estrutura podendo atuar em vários dos seus pontos.

VII - EQUILÍBRIO EXTERNO EM DUAS DIMENSÕES

Ocorre quando as cargas que atuam na estrutura estão contidas em um mesmo plano, o que

acontece na maior parte dos casos que iremos estudar.Nestes problemas, é conhecido o sistema de cargas ativas que atua na estrutura e devemoscalcular as cargas reativas capazes de manter o corpo em equilíbrio, neste plano.

Reações externas ou vinculares são os esforços que os vínculos devem desenvolver paramanter em equilíbrio estático uma estrutura, considerada como um corpo rígido eindeformável.

Os vínculos são classificados de acordo com o número de graus de liberdade restringidos esó podemos restringir um GL mediante a aplicação de um esforço (força ou momento) nadireção deste movimento.

A determinação das reações vinculares de uma estrutura é feita por intermédio de umsistema de equações algébricas.

Sendo o plano das cargas x y, e sabendo-se que a estrutura possui três graus de liberdade(translação nas direções x e y e rotação em torno do eixo z), o número de equações a seremsatisfeitas é três e o equilíbrio se dá quando:

ΣFx = 0 Σ Fy = 0 Σ Mz = 0

Convém salientar que neste caso do carregamento plano, os vínculos podem ser de trêsespécies, simbolizados por:

1a

espécie - restringe uma translação -

2a espécie - restringe duas translações -

3a espécie - restringe duas translações e uma rotação -

Desta maneira, cada movimento restringido corresponde a uma reação vincular (incógnita),que deve ser determinada.

Para serem restritos três graus de liberdade, as reações devem ser em número de três.




Como se dispõe de três equações a serem satisfeitas, a aplicação destas equações leva àdeterminação das reações (incógnitas) desejadas.

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: A eficácia vincular deve ser previamente analisada, poismuitas vezes o número de restrições é suficiente, mas a sua disposição não é eficiente.

VIII - PROCEDIMENTO DE CÁLCULO:

A. Transforma-se a estrutura dada num corpo livre, substituindo-se todos os vínculosexternos pelas reações vinculares que o mesmo pode desenvolver, arbitrando-se umsentido para cada esforço.

B. Para que o equilíbrio externo seja mantido é necessário que as três equações daestática sejam satisfeitas.

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 ΣMz = 0

C. As cargas distribuídas devem ser substituídas por suas respectivas resultantes (este

artifício é válido somente para o cálculo das reações externas).D. Como escolhemos direções de referência (x e y), as cargas que não estiverem nestas

direções devem ser decompostas, ou seja, substituídas por um sistema equivalente.

E. Resolvido o sistema de equações, reação negativa deve ter o seu sentido invertido.




EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1. Observe-se na figura abaixo, três cargas aplicadas a uma viga. A viga é apoiada em umrolete em A e em uma articulação em B. Desprezando o peso próprio da viga,determine as reações em A e B quando Q = 75 kN.

R: VA = 30 kN ( ↑ )VB = 105 kN ( ↑ )

HB = 0

2. Um vagonete está em repouso sobre os trilhos que formam um ângulo de 25º com avertical. O peso bruto do vagonete e sua carga são de 27,5 kN e está aplicado em umponto a 0,75 m dos trilhos e igual distância aos eixos das rodas. O vagonete é seguropor um cabo atado a 0,60 m dos trilhos. Determinar a tração no cabo e a reação emcada par de rodas.

R: T = 24,9 kN ( )R1 = 2,81 kN ( )R2 = 8,79 kN ( )

3. A estrutura da figura suporta parte do telhado de um pequeno edifício. Sabendo que a

tração no cabo é de 150 kN, determine a reação no extremo fixo E.

R: HE = 90 kN (←) VE = 200 kN ( ↑ ) ME = 180 kN.m ( anti-horário)




4. Uma empilhadeira de 2500 kgf é utilizada para levantar uma caixa de 1200 kgf.Determine a reação em cada par de rodas: (a) dianteiras e (b) traseiras.

R : RA = 2566 kNRB = 1134 kN

5. Um carrinho de mão é utilizado para transportar um cilindro de ar comprimido.Sabendo-se que o peso total do carrinho e do cilindro é de 900 N, determine: (a) aforça vertical P que deve ser aplicada ao braço do carrinho para manter o sistema naposição ilustrada. (b) a reação correspondente em cada umA das rodas.

R: (a ) 117 N ( ↑ )(b) 392 N ( ↑ )

6. Um guindaste montado em um caminhão é utilizado para erguer um compressor de3000 N. O peso da lança AB e do caminhão estão indicados, e o ângulo que a lança faz

com a horizontal α é de 45º. Determine a reação em cada uma das rodas: (a) traseirasC, (b) dianteiras D.

R: RC = 19645 kNRD = 9605 kN




7. Uma treliça pode ser apoiada de duas maneiras, conforme figura. Determine as reaçõesnos apoios nos dois casos.

R: (a) RA = 4,27 kN ( 20,6º) RB = 4,5 kN ( ↑ )(b) RA = 1,50 kN ( ↑ ) ; RB = 6,02 kN ( 48,4º)

8. Determine as reações em A e B quando: (a) α = 0º (b) α = 90º (c) α = 30º

9. Um homem levanta uma viga de 10 kg e 10 m de comprimento puxando uma corda.Encontrar a força de tração T na corda e a reação em A. Suponha a aceleração dagravidade igual a 9,81 m/s2.

R: T = 81,9 NR = 148 N ( 58,6 º)

10. Uma carga P á aplicada a rotula C da treliça abaixo. Determine as reações em A e Bcom: (a) α = 0º e (b) α = 45º.




R: α = 0o VA = -P HA = P VB = Pα = 45o VA = 0 HA = 0,7 P VB = 0,7 P

11. Calcule as reações externas das estruturas abaixo:

a.

R: VA = VB 27,5 KNHA = 25,98 KN

b.

VA = - 5 kNVB = 95 kN HA = 0

c.

R: VA = - 8,75 kNVB = 8,75 kNHA = 0

d.




R: VA = 60 kNVB = 0HA = 0

e.

VA = 27,5 kNVB = 62,5 kNHB = 0

f.

R : VA =40 kN

HA = 0MA = 75 kN.M (anti-horário)

g.

R: VA = 70 kNHA = 0MA = 140 kN.m (anti-horário)

h.

R: VA = 73,4 kNHA = 25 kN (←)




MA = 68,3 kN (anti-horário)i.

RA = 40,81 kNVB= 102,8 kNVC = 52,14 kN

j.

R: VA = VB = 25 kNHA = 0




CAPÍTULO III

EQUILÍBRIO INTERNO – SOLICITAÇÕES INTERNAS

I. EQUILÍBRIO INTERNO

No capítulo 3 a atenção foi centrada no equilíbrio externo dos corpos, ou seja, não foiconsiderada a possibilidade de deformação dos corpos, considerando-os como rígidos.

Nestes problemas, é conhecido o sistema de cargas ativas que atua na estrutura e deve-secalcular as cargas reativas capazes de manter o corpo em equilíbrio. As cargas reativas oureações vinculares são determinadas com a aplicação das equações fundamentais da estática.

Observe que o número de equações de equilíbrio deve ser no mínimo igual ao número dereações a serem calculadas. O estudo vai abordar os casos estaticamente determinados ouISOSTÁTICOS, estruturas em que as equações da estática são necessárias e suficientes paraa definição do equilíbrio.

Diante de uma estrutura com carregamento plano, as equações da estática se resumem em:

ΣFx = 0 ΣFy = 0 Σ Mz = 0

De uma maneira geral diz-se que:

1. O equilíbrio não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para osapoios.

2. O corpo quando recebe carregamento vai gradativamente deformando-se atéatingir o equilíbrio, onde as deformações param de aumentar (são impedidasinternamente), gerando solicitações internas.

3. O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próximada inicial (campo das pequenas deformações).

A analise será feita para a determinação de quais os efeito que a transmissão deste sistema decargas externas aos apoios provoca nas diversas seções que constituem o corpo emequilíbrio.

Para tanto, supõe-se o corpo em equilíbrio, sob efeito de um carregamento qualquer. Aocortar este corpo por um plano qualquer (a-a), rompe-se o equilíbrio, pois sua cadeiamolecular é destruida na seção "S" de interseção do plano com o corpo.




Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilíbrio, deve-se aplicar , porexemplo, sobre a parte da esquerda, a ação que a parte da direita exercia sobre ela ou seja,

resultante de força (r

R ) e resultante de momento (r

M ). O mesmo deve ser feito com a parteda esquerda cujas resultantes estão também representadas.

r

R - Resultante de forças da parte retiradar

M - Resultante de momentos da parte retirada, que surge devido a translação da forçaresultantr para o centro de gravidade da seção.

As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam asituação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio daação e reação devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.

r r

R e M são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seçãode corte da barra.

Quando se quer os esforços em uma seção S de uma peça, deve-se cortar a peça na seçãodesejada, isolar um dos lados do corte (qualquer um ). No centro de gravidade desta seçãodevem aparecer esforços internos (resultante de força e de momento) que mantém o corpoisolado em equilíbrio.

Estes esforços representam a ação da parte retirada do corpo. Em isostática a seção dereferência adotada será a seção transversal das peças em estudo e estes esforços internosdevidamente classificados se constituem nas solicitações internas.

II. CLASSIFICAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES

Para que se facilite a observação e sua determinação, os esforços internos estão associadosàs deformações que provocam e se classificam de acordo com elas.

Um vetor no espaço pode ser decomposto segundo 3 direções e adotam-se 3 direçõesperpendiculares entre si no espaço (x,y,z).

Decompondo os vetores resultantesr r

R e M segundo estas direções escolhidas, tem-se:

M

M




Observe que foram escolhidas 3 direções perpendiculares entre si com a seguintecaracterística: 2 direções contidas pela seção de corte e a terceira perpendicular à seção decorte.

As componentes são assim denominadas: N - Esforço Normal

Q - Esforço Cortante

M - (Mz e My) - Momento Fletor

Mt – (Mz) - Momento Torsor

Cada solicitação tem associada a si uma deformação:

A. ESFORÇO NORMAL (N) :

O esforço normal em uma seção de corte é a soma algébrica das componentes de todas asforças externas na direção perpendicular à referida seção (seção transversal), de um doslados isolado pelo corte na direção do eixo x.

O efeito do esforço normal será de provocar uma variação da distância que separa as seções,que permanecem planas e paralelas.

As fibras longitudinais que constituem estas seções também permanecem paralelas entre si,

porém com seus comprimentos alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos)

O esforço normal será considerado positivo quando alonga a fibra longitdinal e negativo nocaso de encurtamento.

N = Σ Fx ext

Qy

Qx NMy Mz

Mt




B. ESFORÇO CORTANTE (Q) :

O esforço cortante em uma seção de referência é a soma vetorial das componentes dosistema de forças de um dos lados do corte (referência), sobre o plano da seção considerada.

Não é usual trabalhar-se com a soma vetorial e sim com suas componentes segundo doiseixos de referência contidos pela seção. Resultam em 2 esforços (Qy e Qz) obtidos pelasoma algébrica das componentes das forças do sistema nestas direções.

O efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento linear, no sentido do esforço, deuma seção sobre a outra infinitamente próxima, acarretando o corte ou cisalhamento damesma.

Os esforços cortantes (Qy,Qz) serão positivos, quando calculados pelo somatório das forçassituadas à esquerda seguem o sentido arbitrado para os eixos e quando calculados pelosomatório das forças à direita forem contrários aos eixos.

C. MOMENTO FLETOR (M) :

O momento fletor em uma seção é a soma vetorial dos momentos provocados pelas forças

externas de um dos lados da seção (tomada como referência), em relação aos eixos nelacontidos (eixos y e z).

Não é usual entretanto trabalhar-se com a soma vetorial optando-se pelo cálculo separadodos momentos em relação aos eixos y e z, transformando a soma em algébrica.

O efeito do momento fletor é o de provocar o giro da seção, em torno de um eixo contidopela própria seção.

As fibras de uma extremidade são tracionadas enquanto que na outra são comprimidas (asseções giram em torno do eixo na qual se desenvolve o momento, mas permanecem planas).

O momento fletor Mz é considerado positivo quando traciona as fibras de baixo da estruturae My é positivo quando traciona as fibras internas (no caso da esquerda) da estrutura.

Qy = Σ Fyext Qz = ΣFzext

My = Σmyext Mz = Σ mzext




D. MOMENTO TORSOR :

O momento torsor de uma seção é a soma algébrica das componentes dos momentos dasforças externas de um dos lados da referência, em relação ao eixo longitudinal da peça (eixox).

O Momento torsor provoca o giro da seção em torno do seu baricentro, ou de todas as seçõesem torno do eixo longitudinal da peça.

A convenção de sinais adotadas para o momento torsor é análoga à do esforço normal, ouseja, o momento torsor é considerado positivo quando sua seta representativa está saindo daseção de referência (regra da mão direita).

Mt = Σ mxext

Círculos permanecemcirculares

Linhas longitudinaistransforman-se em hélices depequeníssima curvatura

(a)Antes da deformação

Linhas radiaispermanecem retas

(b) Depois da deformação




III. SOLICITAÇÕES EM ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL EPLANO.

A. ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL (caso geral).

Nestes casos as cargas estão se desenvolvendo em todas as direções do espaço, portantopode–se tem componentes de força e momento em todas as direções também.

Esforços desenvolvidos:

B. ESTRUTURA COM CARREGAMENTO PLANO

As cargas estão contidas em um único plano, por exemplo, plano x , y . É o caso maiscomum e ao qual vai-se estudar.

Esforços desenvolvidos:

N - Esforço Normal

R M - Mz – Momento FletorQ (Qy) – Esforço cortante

x

z

y

Fx

Fz

Fy

Mz

Mx

My

x

z

y

Fx

Fy

Mz




IV. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES INTERNAS EM SISTEMAS COMCARREGAMENTO PLANO – MÉTODO DAS SEÇÕES

Conforme foi visto, ao se cortar uma estrutura por uma seção, nesta seção devem apareceresforços que equilibrem o sistema isolado. Estes esforços são chamados de Solicitações

Internas.Iniciando por estruturas sujeitas à carregamento plano, onde os esforços desenvolvidos são oesforço normal N (ΣFx), o esforço cortante Qy (ΣFy) ou simplesmente Q e o momentofletor Mz ou simplesmente M. Com o fim de se uniformizar a representação são adotadasconvenções para o sentido positivo destas solicitações.

O “MÉTODO DAS SEÇÕES” consiste em:

1. Cortar a peça na seção desejada e isolar um dos lados do corte (qualquer um), comtodos os esforços externos atuando.

2. Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistemaisolado em equilíbrio. Arbitramos as solicitações possíveis de serem desenvolvidas(N, Q e M) com suas orientações positivas. Estas solicitações são os valores quedevemos determinar.

3. Aplicando as equações de equilíbrio, por exemplo, em relação à seção cortada,determinamos os valores procurados. Observe-se que as solicitações a seremdeterminadas são em número de 3 e dispomos também de 3 equações de equilíbrio,

podendo-se então formar um sistema de 3 equações com 3 incógnitas.

Exemplo:

Calcule as solicitações desenvolvidas na seção intermediária da viga abaixo.




VA = VB =2

l.q

Cortando e isolando um dos lados do corte:

Aplicando as equações de equilíbrio, teremos:

ΣFx = 0 ∴ N = 0

Σ Fy = 0 ∴ 02

l.q

2

l.qQ =+− ∴ Q = 0

Σ MS = 0 ∴ 02

l.

2

l.q

4

l.

2

l.qM =

−

+

Ms =

8

l.q 2


1. Uma barra está carregada e apoiada como mostra a figura. Determine as forças axiaistransmitidas pelas seções transversais nos intervalos AB, BC e CD da barra:

R: NAB = - 60 kN

NBC = + 60 kN

NCD = + 10 kN

2. Três cargas axiais estão aplicadas a uma barra de aço como mostra a figura.Determine os esforços normais desenvolvidos nas seções AB, BC e CD da barra.

R : NAB = - 25 kNNBC = +50 kNNCD = - 50 kN

40 kN

50 kN

10 kN

40 kN




3. Determine as solicitações internas desenvolvidas na seção a-a’ da barra da figura

abaixo:

R: N = 300 kNQ = - 500 kNM = -3600 kN.cm

4. Determine as solicitações internas na seção a-a’ da barra ABC da estrutura compostapelas 3 barras mostradas na figura:

5. Determine as solicitações na seção a-a’ da barra abaixo:

R : N = 225 NQ = -139,71 N (↓)M = + 95,91 N.m(hor)

500 kN

300 kN

8 cm

16 cm 12 cm




6. Para a viga da figura abaixo determine as reações externas de vínculo e assolicitações internas transmitidas por uma seção transversal `a 75 cm do apoio A.

7. Para a viga abaixo, determine as reações de apoio e as solicitações internas em umaseção à 2 m do apoio esquerdo.

R: VA = 21 kN (↑) VB = 9 kN (↑)

N= 0 Q = 11 kN (↑) M = 14 kN.m (anti)

8. Determine as solicitações internas transmitidas pela seção a-a da barra em Lmostrada abaixo:

32 kN10 kN/m

4 m 1,5 m




CAPÍTULO IV

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

I. DEFINIÇÃO:

Treliça ideal é um sistema reticulado indeformável cujas barras possuem todas as suasextremidades rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas.

Exemplo:

OBSERVAÇÕES:

Qualquer polígono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seusvértices é deformável (hipostático) com exceção dos casos abaixo:

As treliças surgiram como um sistema mais econômico que as vigas para venceremvãos maiores ou suportar cargas maiores.

Embora o caso mais geral seja o de treliças espaciais, o mais frequente é o de treliçasplanas, que será o estudado em nosso curso.

Imaginamos as barras rotuladas em suas extremidades (isto é, sendo livre sua rotaçãorelativa nos nós), conforme figura (a). Não é frequente, no entanto, a união destasbarras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos nós atravéz de chapasauxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as barras nelesconcorrentes (fig. b)




Estas ligações criarão sempre pequenas restrições à livre rotação relativa das barras nos nós,com o aparecimento de pequenos momentos nas barras.

Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no mesmoplano e que estes eixos se encontrem em um único ponto em cada nó, os resultados reais

diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria desenvolvida, sendo ela válida doponto de vista prático.

II. TRELIÇAS PLANAS A. SOLICITAÇÕES INTERNAS

Podemos facilmente demonstrar que as barras de uma treliça por terem suas extremidadesrotuladas (rótulas não absorvem momento), desenvolvem apenas esforços normaisconstantes ao longo de suas barras.

Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma treliça.

Sabe-se que uma rótula não transmite momento, apenas esforços na direção do eixo eperpendiculares a ele. Por outro lado, as cargas externas só estão aplicadas nos nós.

A análise do equilíbrio nos mostra que nas extremidades das barras de uma treliça sóexistem esforços na direção do eixo longitudinal da mesma e que são de mesmo módulo,porém sentidos contrários. A existência de esforços perpendiculares ao eixo da barra(esforço cortante) é descartada pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo, e temnas suas extremidades momentos nulos.

Conclusão: A única solicitação interna desenvolvida éum Esforço Normal constante ao longo da mesma.

Como o esforço normal é constante ao longo da barrapodemos calcular o seu valor em uma seção qualquer,da barra que se deseja.

B. RÓTULAS

Vínculo interno é todo o elemento que une as partes componentes de uma estrutura.No caso plano podem ser de 2a e 3a espécie.




1. Vínculo interno de 3a espécie

Sejam duas barras livres no espaço com carregamento plano:

Cada barra tem 3 GL ,portanto, juntassomam 6 GL.

Unindo-as rígidamente ,por exemplo,atravéz de uma solda, o número de GLdo conjunto passa a ser 3,portanto 3 GLrestringidos.

Se chamarmos de RT o número de movimentos restringidos de um sistema teremos nestecaso RT = 3 (vínculo de 3a espécie)

2. Vínculo de 2a espécie (PINOS OU RÓTULAS)

São vínculos que podem desenvolver reações internas verticais e horizontais podendotransmitir forças nestas direções que se anulam internamente. Permitem apenas o girorelativo entre as barras por ela unidas.

Rótulas são vínculos internos de segunda espécie

Para que as rótulas de uma estrutura estejam em equilíbrio é necessário que o momento polardas cargas externas em relação à elas seja nulo.

C. CLASSIFICAÇÃO DA ESTATICIDADE DE UMA TRELIÇASejam:

b - número de barras n - número de nós ou rótulas

r - número de reações externas

As incógnitas do problema serão em número de b + r, ou seja, o número de reações e asolicitação de esforço normal em cada barra.

O número de equações será de 2n, pois em cada nó se aplicam as equações de equilíbrio deum ponto material (Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 ).

Então, se

r + b ⟨ 2 n treliça hipostática

Representação Estrutural :




r + b = 2 n Sugere tratar- se de uma treliça isostática, o que não pode ser confirmadosem antes analisarmos os apoios externos e a lei de formação interna da treliçaem questão.

r + b > 2 n Sugere tratar- se de uma treliça hiperestática, sendo válidas as observaçõesfeitas no caso anterior.

D. CLASSIFICAÇÃO DA TRELIÇA QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO

Quanto a formação as treliças podem ser :

1. Simples :

A treliça será simples se puder ser obtida a partir de configurações indeformáveis pelaadição de duas a duas barras partindo nós já existentes para novos nós (um novo nó paracada duas novas barras).

Exemplo:

2. Composta

A treliça é isostática e composta quando for formada por duas treliças simples ligadas por 3barras não simultaneamente concorrentes ou paralelas, ou por um nó e uma barra sendo queesta barra não concorre no nó citado.

A resolução de uma treliça composta pode recair no caso de duas treliças simples, medianteo cálculo prévio dos esforços nos elementos de ligação, o que permitirá isolá-las para fins decálculo estático.

Exemplo:

3. Complexa:

Uma treliça complexa é classificada por exclusão, ou seja, quando não é simples e nemcomposta. Observe que não podemos afirmar se ela é isostática pela simples análise de b +

r = 2 n que é uma condição necessária, mas não suficiente para garantir a isostaticidade.O reconhecimento de sua real classificação é feito pelo método de Henneberg.




Exemplo:

III. MÉTODO DE RESOLUÇÃO DAS TRELIÇAS ISOSTÁTICAS SIMPLES

O cálculo dos esforços normais nas barras de uma treliça isostática simples pode ser feito devárias maneiras:

Método dos nós

Método de Ritter ou das seções

Método de Cremona

Métodos Informatizados

No curso vamos nos ater ao primeiro método , já que o método de Cremona, por ser ummétodo gráfico está em desuso com a aplicação da mecanização dos cálculos (informática).

A. MÉTODO DOS NÓS.

É o método natural de resolução que consiste em se estudar o equilíbrio de cada nó isolado.

Deve-se INICIAR E PROSSEGUIR pelos nós que possuam apenas duas incógnitas àdeterminar (esforço normal de 2 barras).

Aplicamos as equações de equilíbrio estático:

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0

Note-se que se o nó tiver mais de duas barras à serem determinadas (2 incógnitas), 2equações não bastam para a solução do sistema.

ROTEIRO:

1 - Cálculo das reações externas (se necessário)

2 - Escolha do 1º nó à ser examinado

3 - Aplicação das equações de equilíbrio no nó escolhido4 - Resolvido o primeiro nó, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se elater apenas duas incógnitas (2 barras à serem determinadas)

OBS: Este método apresenta o problema de acumular os erros de cálculos que por acasoforem cometidos.





1.

VA = - 40 kN HA = 20 kN (← ) VB = 60 kN

R:Esforços normais: NAB = 0

NAC = + 20 kN

NAD = + 28,28 kN

NBD = - 60 kN

NCD = - 20 kN

NCE = 0NCF = + 28,28 KN

NEF = - 20 kN

NDF = - 40 kN

2.




Respostas: VA = 40 kN VB = 40 kN

NAC = NCD = - 136,4 kN

NAF = 132,3 kN NFD = + 47,6 kN

NFG = + 89 kN NDG = 0

NCF = + 20 Kn

3.

4.

Respostas:

VA = 50 kN HA = 60 KN(←) VB = 50 Kn

NAH = - 70,7 kN NAC = +110 kN NIJ = - 160 kN

NID = - 10 kN NCD = +160 kN




CAPÍTULO V

SOLICITAÇÕES INTERNAS EM ESTRUTURAS DE BARRA

I.CONVENÇÕES:

Conforme foi visto, cortada uma estrutura por uma seção, nesta seção devem apareceresforços que equilibrem o sistema isolado (solicitações internas).

Em estruturas sujeitas à carregamento plano onde os esforços desenvolvidos são o esforçonormal N (ΣFx), o esforço cortante Qy (ΣFy) ou simplesmente Q e o momento fletor Mz ousimplesmente M. Com a finalidade de uniformizar a representação, serão mostradasgraficamente as convenções para o sentido positivo destas solicitações.

A. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES EM UMA SEÇÃO ARBITRÁRIA

No calculo da solicitação desenvolvida em uma seção qualquer de uma peça carregada, usa-se o método das seções:

Corta-se a peça na seção desejada, isolando um dos lados do corte (qualquer um).

Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado emequilíbrio.

Exemplo 1:

Calcule as solicitações desenvolvidas na seção intermediária da viga abaixo.

VA = VB =2

l.q

Cortando e isolando um dos lados do corte:




Aplicando as equações de equilíbrio, teremos:

ΣFx = 0 ∴ N = 0

Σ Fy = 0 ∴ 02

l.q

2

l.qQ =+− ∴ Q = 0

Σ MS = 0 ∴ 02

l.

2

l.q

4

l.

2

l.qM =

−

+

Ms =8

l.q 2

B. METODO DAS EQUAÇÕES

Supondo que se queira as solicitações desenvolvidas em diversas seções da viga, deveria serepetir o procedimento acima exemplificado, em quantas seções quantas pretendidas.

Ao se efetuar esta sucessão de cortes, observa-se que as equações de equilíbrio formadas sãoas mesmas, com mudança apenas na distancia da seção cortada a referência.

Pode-se generalizar este procedimento criando uma variável, por exemplo "x", querepresente esta distância de uma forma genérica.

onde 0 ≤ x ≤ l (limites de validade da variável x).

Então:

Σ Fx = 0 N = 0

Σ Fy = 0 0x.q2

l.qQ =+− ∴

2

l.qx.qQ +−=

Σ MS = 0 x.2

l.q

2

x.x.qM −+ x

2

x.qx.

2

l.qM

2

−=

Esta representação se constitui o que se chama de método das equações




C. PONTOS DE TRANSIÇÃO

Inicia-se com um exemplo, calculando as solicitações desenvolvidas nas seções S1 e S2 daviga abaixo:

VA = Pb/l VB = Pa/l

S1: 0 ≤ x1 ≤ a

Σ Fx = 0 N = 0

Σ Fy = 0 Q-Pb/l = 0 Q = Pb/l

Σ M = 0 M - Pb/l .x1 = 0 M = Pb/l . x1

S2 : a ≤ x2 ≤ l

Σ Fx = 0 N = 0

Σ Fy = 0 Q + P - Pb/l = 0 Q = Pb/l - P

Σ M = 0 M + P (x2 - a) - Pb/l . x

2= 0

M = Pb/l . x2

- P(x2

- a)

Constata-se que x1e x

2 nunca podem se sobrepor, pois dão origem a equações diferentes (na2ª não entra a carga P). Matematicamente pode-se chama-lo genericamente de x e trabalharno domínio da função.

1o trecho 2o trecho

0 ≤ x ≤ a a ≤ x ≤ l

equações válidas para o primeiro trecho: equações válidas para o segundo trecho:

Q(x) = Pb/l Q(x) = Pb/l - P = -Pa/l

M(x) = Pb/l.x M(x) = Pb/l.x - P(x-a)

No exemplo acima intuitivamente foi identificado um ponto de transição, que seria o pontode aplicação da carga P, a partir do qual há a mudança na equação.

Conforme foi visto há a necessidade de analisar um trecho antes e outro depois deste pontode transição.




Generalisando o acima, sempre que houver um ponto de transição deve-se proceder destamaneira.

De maneira análoga, ponto de transição é todo aquele ponto em que há alteração nocarregamento:

Ponto de força aplicada

Ponto de momento aplicado

Ponto de troca da taxa de carregamento.

De acordo com o que foi vistocalculam-se as solicitações como funções da variável x, com

trecho de validade pré-estabelecido, obtendo-se equações gerais, com validade nos diversostrechos vistos.

Quando se quer o valor da solicitação em uma seção em especial, de ordenada x conhecida,basta substituir-se nas equações o valor de x pela ordenada numérica desejada.

Em geral o valor máximo das solicitações em toda a estrutura deve ser conhecido e nãoapenas em pontos específicos da mesma. Lembrando cálculo diferencial o máximo de umafunção ocorre quando a sua primeira derivada é nula.

D. PROCEDIMENTO DE CÁLCULO

Este procedimento de cálculo poderia ser sintetizado em um roteiro simples.

Dado o esquema estrutural da peça (vínculos, cargas ativas e vãos):

1. Cálculo das reações externas

2. Identificação dos pontos de transição criando trechos pré-estabelecidos

3. Usar o método de corte de seções em cada um destes trechos, adotando como posiçãogenérica desta seção a variável x, que valerá dentro dos limites dos trechos.

4. Supõe-se em cada seção cortada o aparecimento das solicitações previstas, que devem ser

arbitradas com o sentido convencionado positivo.5. Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada um dos cortes, obtendo-se então asequações desejadas.




6. Representação destas equações sob a forma de um diagrama, conforme convenção abaixo:

OBS: As cargas distribuídas não mais podem ser substituídas por suas resultantes totais, massim por resultantes parciais nos trechos considerados.

N

x

Q

x

M

x




TRAÇADO DO DIAGRAMA DAS SOLICITAÇÕES INTERNAS

1. 2.

3.4.

.




5.

6.

7.




CAPÍTULO VI

GRELHAS ISOSTÁTICAS

I . ASPECTOS GERAIS

Um sistema de forças em equilíbrio no espaço obedece as seis equações fundamentais daestática:

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ Fz = 0

Σ Mx = 0 Σ My = 0 Σ Mz = 0

Em um caso particular de um sistema de forças no espaço paralelas entre si:

Sendo todas as forças paralelas ao eixo z,verificamos que as equações da estática :

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ Mz = 0

se transformam em meras identidades, pois setodas as forças são paralelas à z elas não terãocomponentes na direção x , y e nem formarão

momentos em torno do eixo z, por lhe seremparalelas.

Permanecerão válidas como equações de equilíbrio apenas as tres restantes, isto é:

Σ Fz = 0 Σ Mx = 0 Σ My = 0

Pode-se afirmar que um sistema de forças paralelas no espaço é regido por tres equações daestática, sendo duas de momentos nulos em relação a dois eixos situados no planoperpendicular ao das cargas e a terceira de força nula em relação ao eixo paralelo as cargas.

II . DEFINIÇÃO

Uma grelha é uma estrutura plana submetida a um carregamento perpendicular a seu plano,regida pelas equações:

Σ Fz = 0 Σ Mx = 0 Σ My = 0

Observando o funcionamento de uma grelha pode-se afirmar que suas barras, em uma seçãogenérica qualquer, podem estar sujeitas a tres esforços simples:




Esforço Cortante (Q), Momento Fletor (M) e Momento Torsor (Mt), que devem sercalculados e expressos sob a forma de um diagrama.

convenção de sinais:

O Esforço Cortante é soma de todas as cargas que atuam perpendiculares a eixo da barra emestudo.

O Momento Fletor é a soma de todos os momentos que provocam o giro da seção em torno

de um eixo contido pela seção tranversal da barra em estudo.

O Momento Torsor é o momento que provoca o giro da seção em torno do seu eixolongitudinal.

A. REAÇÕES VINCULARES

Uma grelha será isostática quando tivermos apenas tres incógnitas a serem determinadas,pois dispomos de tres equações de equilíbrio para esta determinação.

Exemplos:

1.

Neste caso, observa-se uma grelha engastada e livre, cujas reações de engaste são VD , MD e MtD , obtidas pelas equações disponíveis:

Σ Fz = 0 Σ Mx = 0 Σ My = 0

É conveninte nos casos de grelhas engastadas que se localize a referência junto ao engaste.




2.

Neste segundo caso, observa-se uma grelha triapoiada, cujas reações de apoio tambémpodem ser determinadas pelas equações da estática que regem este tipo de estrutura.

Pode-se usar o artifício de deslocar os eixos x e y de referência, fazendo-os coincidir combarras convenientes da grelha.

Neste caso pode-se iniciar fazendo a barra AB coincidir com o eixo x e dizer que:

Σ MAB = 0

Com a aplicação desta equação de equilíbrio, determinamos VD.

A seguir o eixo y será coincidente com a barras BD e aplicando a equação

Σ MBD = 0 o que nos fornecerá VA .Finalmente por Σ Fz = 0 , calculamos VB.

B. APLICAÇÕES

Para se obter os diagramas solicitantes para a grelha, cujas barras formam em todos os nósangulos retos, devem ser analizadas as barras, levando-se em consideração os seus pontos detransição. Cada nó deve ser considerado um ponto de transição e portanto a adequação dassolicitações devido a mudança de direção.

O momento fletor que atua em uma determinada barra, fará o efeito de torsor em uma barraperpendicular a citada e vice-versa.




Exemplo 1:

Em uma grelha engastada e livre, não é necessário o cálculo prévio das reações vinculares,pois os diagramas solicitantes podem ser obtidos à partir da parte livre (Balanço) até oengaste.

O estudo é feito barra por barra, iniciando-se, no caso pela barra AB que funcionará como

uma viga engastada em B e livre em A.Os demais passos serão como nos demais casos, percorrendo a estrutura toda, passando portodas as barras.

A partir dos esquemas vistos pode-se obter facilmente os diagramas dos esforçossolicitantes para a grelha.




Exemplo 2: Grelha triapoiada

Cálculo das reações de apoio:

Σ MBC = 010 x 4 + 30 x 4 + 40 x 2 - 4 VE = 0 ∴ VE = 60 kN

Σ MCE = 02 VB + 30 x 2 - 10 x 2 - 40 x 2 = 0 ∴ VB = 20 kN

ΣFV = 0VC + VB + VE - 40 - 10 - 30 = 0

VC = 80 - VB - VE ou VC = 0

Diagramas de Solicitações:




CAPÍTULO VII

PÓRTICOS PLANOS

I . ASPECTOS GERAIS

Pórtico são estruturas formadas por barras, que formam quadros entre si.

Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos, que associados entre si, damesma forma com que associamos vigas simples para formar vigas compostas (GERBER),formam os chamados quadros compostos.

São eles:

II. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES:

O estudo de suas reações externas já foi realizado anteriormente, portanto, pode-se passar aoestudo dos diagramas solicitantes.

Em estruturas lineares horizontais (vigas) foi adotada uma convenção para as solicitações,baseadas nos conceitos de à esquerda e à direita da seção em estudo.

No estudo dos pórticos, utiliza-se uma nova notação, visto a existência de barras verticais,horizontais e inclinadas, onde definem-se os lados externos e internos das barras queconstituem a estrutura.

Identifica-se os lados internos das barras com a parte inferior de uma estrutura linearhorizontal, baseados no artifício de linearizar a estrutura, ficando desta forma possívelutilizar-se as convenções já adotadas.

Costuma-se tracejar o lado interno das barras, bem como a parte inferior das vigas,identificando-se fàcilmente as convenções.




Linearizar a estrutura é apenas um artifício usado para a adaptação das convenções jáestabelecidas, porém não é válida para o cálculo das solicitações, pois estaria-se alterando,com a mudança de direção das barras, o funcionamento da estrutura.

Deve-se ressaltar o fato de que o eixo longitudinal (x) de cada barra, continua sendo o eixoque passa pelo centro de gravidade das seções transversais, e os eixos y e z, perpendicularesà este e contidos pela seção de corte (eixos principais centrais de inércia).

O método das equações torna o estudo dos pórticos muito demorado, pois além decortarmos a estrutura por uma seção antes e outra depois dos pontos de transição jádefinidos, quando há mudança de barra também deve ser interrompida a equação, pois umacarga que produz esforço normal em uma barra vertical, produz esforço cortante na barrahorizontal perpendicular e ela, e vice-versa.

Deve-se encarar esta mudança de direção como um novo ponto de transição, examinandoseções antes e depois deles.

No pórtico ao lado, existem seis seções a seremanalisadas.

Deve-se salientar o fato de que ao se considerar aseção de uma barra qualquer de um pórtico, devem serconsideradas todas as cargas externas aplicadas àdireita ou à esquerda da seção, inclusive as cargas queatuam em outras barras que não a em estudo.




EXERCÍCIOS PROPOSTOS:1.

. VA = 70 kNVB = 0HB = 10 kN (← )

DIAGRAMAS:




2.

VA = 25,13 Kn VB = 46,87 kN HB = 6 kN (←)

DIAGRAMAS:




3.




4.




5.




6.




CAPÍTULO VIII

INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

I. OBJETIVO FUNDAMENTAL

A Resistência dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento dasdiversas partes de um corpo quando sob a ação de solicitações.

Ao estudar-se o equilíbrio interno de um corpo, as solicitações internas fundamentais (M, Q,N e Mt) são determinadas. Se está penetrando no interior da estrutura, para analisar-se, emsuas diversas seções, a existência e a grandeza dos esforços que a solicitam.

A avaliação destes esforços foi objeto de estudo na disciplina de Estruturas Isostáticas quedeve preceder a Resistência dos Materiais.

Consideram-se corpos reais, isótropos e contínuos constituídos de pequenas partículasligadas entre si por forças de atração. Com a aplicação de esforços externos supõe-se que as

partículas destes corpos se desloquem e que isto prossiga até que se atinja uma situação deequilíbrio entre os esforços externos aplicados e os esforços internos resistentes. Esteequilíbrio se verifica nos diversos pontos do corpo citado e se manifesta sob a forma dedeformações (mudança da forma original), dando origem à tensões internas.

Observe-se que o equilíbrio se dá na configuração deformada do corpo, que admitiremoscomo igual a configuração inicial pois em estruturas estaremos sempre no campo daspequenas deformações.

Resumindo, em um corpo que suporta cargas ocorre:

1. Um fenômeno geométrico que é a mudança da sua forma original: Isto é deformação.

2. Um fenômeno mecânico que é a difusão dos esforços para as diversas partes do corpo:Isto é tensão.

É claro que se entende que a capacidade que um material tem de resistir as solicitações quelhe são impostas é limitada, pois pode ocorrer a ruptura do corpo quando o carregamento forexcessivo. É necessário conhecer esta capacidade para que se projete com segurança.

Pode-se resumir um problema de Resistência dos Materiais conforme fluxograma abaixo:

EstruturaCargas Externas Reativas

Cargas Externas Ativas

Solicitações

Tensões

Deformaçõe

Limite Resistentedo Material

Critério de Resistência(Coeficiente de Segurança)

PROJETO

VERIFICAÇÃO




II. TENSÕES

Conforme se citou, as tensões que se desenvolvem nas partículas de um corpo sãoconsequência dos esforços (força ou momento) desenvolvidos. Como os esforços sãoelementos vetoriais (módulo, direção e sentido) a tensão como consequência também o será.

Lembra-se do método das seções visto em Isostática:Supõe-se um corpo carregado e em equilíbrio estático. Ao se cortar este corpo por um planoqualquer e isolando-se uma das partes, pode-se dizer que na seção cortada devem sedesenvolver esforços que se equivalham aos esforços da parte retirada, para que assim osistema permaneça em equilíbrio. Estes esforços são decompostos e se constituem nassolicitações internas fundamentais. O isolamento de qualquer uma das partes deve levar aomesmo resultado.

As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam asituação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da

ação e reação devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.r r

R e M são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seçãode corte da barra.

Partindo-se deste raciocínio pode-se afirmar que em cada elemento de área que constitui aseção cortada, está sendo desenvolvido um elemento de força, cujo somatório (integral) aolongo da área mantém o equilíbrio do corpo isolado.

∫ ρ=A

dA.Rr

O Momento M resultante se deve à translação das diversas forças para o centro de gravidadeda seção.




A tensão média (r

ρm) desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que adistribuição do efeito da força pela área de atuação da mesma.

Sejam:

∆ A → Elemento genérico de área ∆Α∆

r

F → Elemento de força que atua em ∆Α r

ρm → tensão média

r

r

ρmF

A=

∆

∆

Como a tensão é um elemento vetorial se pode representá-la aplicada em um pontodeterminado, que obtem-se fazendo o elemento de área tender ao ponto (∆A→0), e então:

r

ρ = Tensão atuante em um ponto ou tensão resultante em um ponto

ou gráficamente:

Ainda por ser um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta noespaço segundo três direções ortogonais que se queira, portanto escolhe-se como referênciaduas direções contidas pelo plano da seção de referência "S" (x,y) e a terceira perpendicularà este plano (n).

∆Α ∆F

ρ

dAFd =

AF lim

0A

r r

r

∆∆=ρ

→∆




Isto permite dividir as componentes da tensão do ponto em duas categorias:

1. Tensões Tangenciais ou de Cisalhamento (τ) - contidas pela seção de referência

2. Tensão Normal (σ) - perpendicular à seção de referência

Costuma-se em Resistência dos Materiais diferenciar estas duas tensões pelos efeitosdiferentes que elas produzem (deformações) e se pode adiantar que normalmente trabalham-se com estas componentes ao invés da resultante.

Também se pode convencionar como seção de referência a seção transversal da peça emestudo. Cabe observar-se entretanto que mudada a referência mudam também ascomponentes.

S S'

σ

τ

τ

ρ

σ

τ

τ

ρ

'

y'

x'

y

x

Existem casos em que a seção transversal não é a de maior interesse, como será demonstradooportunamente nas solicitações compostas. Nestes casos o procedimento será alterado.

A. TENSÕES NORMAIS (σ)

A tensão normal tem a direção perpendicular à seção de referência e o seu efeito é o deprovocar alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo-asparalelas.

Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela deformação

específica longitudinal (ε).

z

x

y

σ

τy

τx




1. Conceito:

É a relação que existe entre a deformação medida em um corpo e o seu comprimento inicial,sendo as medidas feitas na direção da tensão.

li → comprimento inicial da barralf → comprimento final da barra∆l →deformação total

∆l = l f - l i

il

l∆=ε

Observe que no exemplo dado ∆ l > 0 portanto ε > 0 (alongamento)

Pode-se mostrar um outro exemplo onde ∆ l < 0 conseqüentemente ε < 0 (encurtamento)

Neste exemplo ∆ l ⟨ 0 portanto ε ⟨ 0

2. Sinal:

(+) alongamento→ Corresponde à uma tensão de tração que também será positiva

(-) encurtamento → Corresponde à uma tensão de compressão que também será negativa

3. Unidade:

- adimensional quando tomarmos para ∆l a mesma unidade que para li-Taxa milesimal (o / oo) - Nestes casos medimos ∆l em mm e li em m(metros).

li

lf

σσ

li

lf

σ σ




B. TENSÕES TANGENCIAIS ( τ )

É a tensão desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar corte oucisalhamento nesta seção.

1. Lei da Reciprocidade das tensões tangenciais

Esta lei representa uma propriedade especial das tensões tangenciais. Pode-se provar a suaexistência a partir das equações de equilíbrio estático. Pode-se enunciá-la de forma simples eaplicá-la.

Suponha duas seções perpendiculares entre si formando um diedro retangulo. Se em uma dasfaces deste diedro existir uma tensão tangencial normal a aresta de perpendicularidade dasfaces, então, obrigatóriamente na outra face, existirá a mesma tensão tangencial normal aaresta. Ambas terão o mesmo módulo e ambas se aproximam ou se afastam da aresta deperpendicularidade. São chamadas de tensões recíprocas."

Para facilitar a compreensão, pode-se representa-la gráficamente:

A figura (c) demonstra o desenvolvimento das tensões de cisalhamento longitudinais,recíprocas às tensões de cisalhamento desenvolvidas pelo esforço cortante.

2. Distorção Específica ( γ )

Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais.

Supõe-se um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões tangenciais em suas faces.Para melhor ser visualisar a deformação considera-se fixa a face compreendida pelas arestasA e B.

(c)




DB

'DD

CA

CC' =tg =γ

Como em estruturas trabalha-se sempre no campo das pequenas deformações e então γ <<< 1 rad, então arco e tangente se confundem :

DB'DDCACC' =≅γ

2.1 Conceito:

Distorção específica é a relação entre o deslocamento observado e a distância respectiva,medida perpendicular ao deslocamento. Representa fisicamente a variação que sofre oângulo reto de um corpo submetido a tensões de cisalhamento.

2.2 Unidade:

As observações quanto a unidade da distorção seguem as da deformação específicalongitudinal: adimensional ou taxa milesimal, ressalvando-se que quando adimensional

representa um arco expresso em radianos.

III. DEFORMAÇÕES E ELASTICIDADE

Deformação é a alteração da forma de um corpo devido ao movimentos das partículas que oconstituem.

A tendência dos corpos de voltarem a forma original devido a força de atração entre aspartículas representa a elasticidade do material. Quanto mais um corpo tende a voltar a suaforma original, mais elástico é seu material, ou seja, quanto mais ele resiste a ser deformadomaior é a sua elasticidade.

Pode-se diferenciar os tipos de deformações observando um ensaio simples, de uma molapresa a uma superfície fixa e submetida sucessivamente a cargas cada vez maiores até a suaruptura.

A. DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS

Uma deformação é elástica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta a suaforma original.

C C’ D D’

A B

τ τ

τ

ττττ

γ




Exemplo:

No exemplo acima, se medidas numéricamente as grandezas vamos ver que:

kd

P=.....

d

P

d

P

n

n

2

2

1

1 === (constante elástica da mola)

Conclui-se que as duas propriedades que caracterizam uma deformação elástica são:

1. Deformações reversíveis

2. Proporcionalidade entre carga e deformação.

B. DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS:

Se fosse aumentada a carga sobre esta mola ela chegaria a uma situação em que terminaria aproporcionalidade e apesar da tendência do corpo em assumir sua forma original, semprerestariam as chamadas deformações residuais.

Considera-se então terminado o regime elástico e o corpo passa a atuar em regime plástico.

Note-se que no regime plástico termina a proporcionalidade e a reversibilidade dasdeformações.

Se fosse aumentada ainda mais a carga, o próximo limite seria a ruptura.

IV. CORPO DE DOUTRINA DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Em Resistência dos Materiais trabalha-se com corpos que apresentam determinadascaracterísticas:

A. CONTINUIDADE:

Um corpo é considerado contínuo quando qualquer de suas amostras trabalha de maneiraidêntica as demais. Não havendo descontinuidade, as tensões e as deformações não variam

bruscamente entre dois pontos vizinhos no interior deste corpo carregado.




Nestes casos tanto as tensões como as deformações podem ser expressas por funçõescontínuas em relação as ordenadas dos pontos que constituem o corpo.

Observe-se que a continuidade não implica em homogeneidade pois podemos ter corpos commaterial não homogêneo e no entanto eles trabalham de maneira contínua (exemplo :concreto).

B. HIPÓTESE DE BERNOULLI (SEÇÕES PLANAS)

Bernoulli observou a seguinte característica no funcionamento dos corpos sujeitos àsolicitações:

"Uma seção plana e perpendicular ao eixo longitudinal de uma peça, continuará plana eperpendicular ao eixo da mesma durante e após sua deformação.

C. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS

O efeito produzido por um conjunto de cargas atuando simultaneamente em um corpo éigual a soma dos efeitos produzidos por cada uma das cargas atuando isolada.

Este princípio pode ser generalizado, mas só é válido quando causa e efeito foremdiretamente proporcionais o que se aplica a grande maioria dos casos em Resistência dosMateriais. Somente em casos de peças submetidas a flambagem (desequilíbrio elasto-geométrico do sistema) ou no Trabalho de Deformação este princípio não será válido devidoa inexistência de proporcionalidade entre causa e efeito, o que será oportunamentedemonstrado.

Observe-se que este princípio já foi utilizado em outras disciplinas, como por exemplo, nocálculo das reações de apoio em uma estrutura isostática.

Eixo longitudinal

Linha Elástica

= +




V. LEI DE HOOKE

A maioria dos projetos de peças serão tratados no regime elástico do material, sendo oscasos mais sofisticados trabalhados em regime plástico e se constituindo no que há de maismoderno e ainda em estudo no campo da Resistência dos Materiais.

Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de funcionamentodos corpos em regime elástico.

As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas consequentes são proporcionaisenquanto não se ultrapassa o limite elástico do material.

A Lei de Hooke pode ser representada pelas expressões analíticas:

al)longitudindeelasticidade.(modE=ε

σ

al)transversdeelasticidade.mod(G=γ

τ

Estes módulos de elasticidade são constantes elásticas de um material, e são determinadosexperimentalmente.

VI. LEI DE POISSON ( DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL)

notação : εt

Poisson determinou experimentalmente a deformação que as peças sofrem nas direçõesperpendiculares a da aplicação da tensão normal.

. CONCEITO:

Deformação específica transversal é a relação entre a deformação apresentada e o seucomprimento respectivo, ambos medidos em direção perpendicular à da tensão.

D

Dt

∆=ε

Os estudos de Poisson sobre a deformação transversal levam as seguintes conclusões:

1. ε e εt tem sempre sinais contrários

2. As deformações específicas longitudinais e transversais são proporcionais em um mesmomaterial

li

lf

σ σ

D

D+∆D




µ−=ε

εt

O coeficiente de Poisson é a terceira constante elástica de um material, também determinadaexperimentalmente.

3. Em uma mesma seção a deformação específica transversal é constante para qualquerdireção perpendicular ao eixo.

tetanconsb

b

a

at =ε=

∆=

∆

As constantes elásticas de um mesmo material se relacionam pela expressão:

)1(2

EG

µ+

=

Resumindo:

VII. LEI DE HOOKE GENERALIZADA

Hooke enunciou a sua lei tomando como exemplo corpos submetidos a tensão em uma só

direção. Na prática os corpos podem estar sujeitos a tensão em todas as direções, o que podeser simplificado reduzindo-as a três direções ortogonais tomadas como referência.

−µ

E

E

E

x

z

xy

xx

σ

µ−=ε

σµ−=ε

σ=ε

= Coeficiente de Poisson

li

lf

σ σ

a

a+∆a

b+∆bb




A figura a seguir mostra um prisma elementar submetido a tensões normais com resultantenas três direções tomadas como referência no espaço : x, y, e z.

Poisson observou que uma tensão provoca deformação em sua direção e em direçõesperpendiculares a sua também.

Poisson:

E- t

t σµ=ε∴µ−=

ε

ε

Hooke:

E-=

E tσ

µε∴ε=σ

O efeito da tensão σσσσx seria:

na direção x :E

xx

σ=ε

na direção y : E

x

yt

σ

µ−=ε −

na direção z:E

xzt

σµ−=ε −

Pode-se fazer este raciocínio com as demais tensões.

Para determinação da deformação resultante em uma direção, por exemplo x:

efeito de σx E

xx

σ=ε

efeito de σy Ey

xt

σ

µ−=ε −

x

y

z

σxσx

σy

σy

σz

σz




efeito de σz E

zxt

σµ−=ε −

Adotando-se o princípio da superposição de efeitos teríamos:

σµ−+

σµ−+

σ=ε

EEEzyx

x

Esta expressão simplificada algébricamente fica:

( )[ ]zyxx E

1σ+σµ−σ=ε

análogamente

( )[ ]zxyy E1 σ+σµ−σ=ε e ( )[ ]yxzz E

1 σ+σµ−σ=ε

Estas expressões se constituem na LEI DE HOOKE GENERALIZADA

Observações:

1. Tensão em uma só direção não implica em deformação em uma só direção.

2. Para a dedução das expressões anteriores as tensões normais foram representadas detração e portanto positivas. Se alguma delas for de compressão deverá figurar nasfórmulas com o sinal negativo convencionado.

3. Resultados positivos para a deformação específica indicam alongamentos enquanto queresultados negativos significarão encurtamentos.

VIII . PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS

Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais são realizados emlaboratório ensaios com amostras do material, que são chamadas de corpos de prova.

No Brasil estes ensaios são realizados empregando-se métodos padronizados eregulamentados pela ABNT.

O ensaio mais costumeiro é o de tração simples, onde determinam-se as TENSÕES

LIMITES dos diversos materiais, que indica a tensão máxima alcançada pelo material, emlaboratório, sem que se inicie o seu processo de ruptura.

Com a realização destes ensaios pode-se classificar os materiais em dois grupos:

frageis materiais

dúteismateriais




A. MATERIAIS DÚTEIS :

São considerados materiais dúteis aqueles que sofrem grandes deformações antes da ruptura.Dentre os materiais dúteis ainda temos duas categorias:

1. Dútil com escoamento real:

exemplo: aço comum

Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados atravéz de umdiagrama tensão x deformação específica (σ x ε ).

No caso de material dútil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguintemodelo:

reta OA - Indica a proporcionalidade entre σ x ε , portanto o período em que o materialtrabalha em regime elástico (lei de Hooke). Deformações reversíveis.

σp - Tensão de proporcionalidade

Representa o limite do regime elástico.

curva AB - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plásticodo material. Podemos notar que as deformações crescem mais rapidamente do que as tensõese cessado o ensaio já aparecem as deformações residuais, que graficamente podemoscalcular traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à do regime elástico. Notamosque neste trecho as deformações residuais são ainda pequenas mas irreversíveis.

σe - Tensão de escoamento

Quando é atingida a tensão de escoamento o material se desorganiza internamente (a nívelmolecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido, aumenta grandemente a

deformação que ele apresenta.trecho BC - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a aparecerfalhas no material (estricções), ficando o mesmo invalidado para a função resistente.




curva CD - Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regimeplástico, porém agora com grandes e visíveis deformações residuais. As estricções são agoraperceptíveis nítidamente. Não se admitem estruturas com esta ordem de grandeza para asdeformações residuais.

σR

- Tensão de ruptura

Conforme se pode analisar no ensaio acima, o material pode ser aproveitado até oescoamento, portanto sua TENSÃO LIMITE será a TENSÃO DE ESCOAMENTO.

2. Dútil com escoamento convencional

Exemplo: aços duros

Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas não apresenta patamar de escoamento.Como em estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona estelimite, ficando a tensão correspondente convencionada como TENSÃO DE

ESCOAMENTO, que é também a TENSÃO LIMITE do material.

OBSERVAÇÕES:

Os materiais dúteis de uma maneira geral são classificados como aqueles que apresentamgrandes deformações antes da ruptura, podendo também ser utilizados em regime plásticocom pequenas deformações residuais.

Apresentam uma propriedade importantíssima que é resistirem igualmente a tração e acompressão. Isto quer dizer que o escoamento serve como limite de tração e de compressão.

B. MATERIAIS FRÁGEIS

Exemplo : concretoSão materiais que se caracterizam por pequenas deformações anteriores a ruptura. Odiagrama σ x ε é quase linear sendo quase global a aplicação da lei de Hooke.

Nestes casos a tensão limite é a tensão de ruptura.

Ao contrário dos materiais dúteis, eles resistem diferentemente a tração e a compressão,sendo necessário ambos os ensaios e obtendo-se assim dois limites:




σT = Limite de ruptura a tração

σC = Limite ruptura a compressão

Em geral estes materiais resistem melhor a compressão do que a tração.

IX. CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA - COEFICIENTE DE SEGURANÇAEm termos gerais um projeto está sempre ligado ao binômio economia x segurança. Deve-seaotar um índice que otimize este binômio.

Pode-se dizer também que mesmo sendo determinada em laboratório a utilização da tensãolimite em projetos é arriscada, pois os valores são trabalhados com diversos fatôres deincerteza.

Em vista do que foi exposto adota-se o seguinte critério:

A tensão limite é reduzida divindo-a por um número que se chama coeficiente de segurança(s). Para que este número reduza o módulo da tensão limite, ele deve ser maior do que a

unidade. Então, para que haja segurança:1s ≥

As tensões assim reduzidas, que são as que realmente se pode utilizar. São chamadas detensões admissíveis ou tensões de projeto. Para serem diferenciadas das tensões limites sãoassinaladas com uma barra (σσσσ ).

slim

admσ

=σ

Resumindo analíticamente o critério de segurança conforme abaixo, para os diversos casos:

MATERIAIS DÚTEIS MATERIAIS FRÁGEIS

ee

máxt sσ=

σ=σ (tensão de escoamento

admissível)

TT

máxt sσ=

σ=σ (tensão de tração admissível)

ee

máxc sσ=

σ=σ (tensão de escoamento

admIssível)

cc

máxc sσ=

σ=σ (tensão de compressão

admissível)





1. Uma barra de latão de seção circular de diametro 3 cm está tracionada com uma forçaaxial de 50 kN. Determinar a diminuição de seu diametro. São dados do material omódulo de elastcidade logitudinal de 1,08 . 104 kN/cm2 e o seu coeficiente de Poisson

0,3.R: 5,89 . 10-4 cm

2. Uma barra de aço de 25 cm de comprimento e seção quadrada de lado 5 cm suporta umaforça axial de tração de 200 kN. Sendo E = 2,4 . 104 kN/cm2 e µ = 0,3 , qual a variaçãounitária do seu volume ?

R: 0,000133

3. Suponha a barra do problema anterior sumetida à uma força axial de tração.Experimentalmente determinou-se o módulo de sua deformação específica longitudinal0,001. Sabendo-se que o seu coeficiente de Poisson é de 0,33, pergunta-se qual o volume

final desta barra?R: 625,212 cm3

4. Uma barra de alumínio de seção circular de diametro 30 mm está sujeita à uma força detração de 50 kN. Determine:

a. Tensão normal.

b. Deformação específica longitudinal.

c. Alongamento em uma distância padrão de 200 mm.

d. Variação do diâmetro.

e. Variação da área da seção.

f. Variação de volume em um comprimento padrão de 200 mm.

Admite-se E = 0,8 . 106 kgf/cm2 µ = 0,25

5. A placa da figura é submetida a tensões normais de compressão na direção z de módulo10 kN/cm2 . Sabe-se que a deformação é impedida na direção x devido à presença deelementos fixos A e B. Pede-se :

a. Deformação específica na direção y

b. Deformação total na direção y

Dados do material : E = 105 kN/cm2 µ = 0.86




R: (a) 1,59 . 10-4

(b) 0,000636 cm

6. A figura abaixo mostra um prisma submetido à força P =30 kN e Q = 32 kN. As peças Ae B são fixas. Pede-se a deformação específica longitudinal na direção y e a deformaçãototal na direção z.

E = 103 kN/cm2 µ= 0,2

x

zy

σz

10 cm

z

x

z

y

6 cm

2 cm

σz

σz

σzσz

A

B




R: εy = - 4,08 . 10-3 ∆lz = 5,64 . 10-3 cm

7. Considere um ensaio cuidadosamente conduzido no qual uma barra de alumínio de 50mm de diâmetro é solicitada em uma máquina de ensaio. Em certo instante a forçaaplicada é de 100 kN e o alongamento medido na direção do eixo da barra 0,219 mm emuma distancia padrão de 300 mm. O diâmetro sofreu uma diminuição de 0,0125 mm.

Calcule o coeficiente de Poisson do material e o seu módulo de elasticidade longitudinal.

x

z

y

Q

Q

P

P

4 cm

z

x4 cm

z2 cm

P

P

x

Q

Q

A

A

B

B




CAPÍTULO VIII

TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL (SIMPLES)

I. CONCEITO:Quando um corpo que está sob ação de forças externas, na direção do seu eixo longitudinal,origina-se Esforços Normal no seu interior, mesmo sendo de equilíbrio a situação.

Assim como todo o corpo está em equilíbrio, qualquer parte sua também estará.

Adotando-se o método nas seções, e seccionando o corpo, na seção de corte de área A, deveaparecer uma força equivalente ao esforço normal N, capaz de manter o equilíbrio daspartes do corpo isoladas pelo corte (fig b e c). Observe que se as partes isoladas foremnovamente unidas, voltamos a situação precedente ao corte.

Neste caso, apenas a solicitação de esforço normal N, atuando no centro de gravidade daseção de corte é necessária para manter o equilíbrio.

Na prática, vistas isométricas do corpo são raramente empregadas, sendo a visualizaçãosimplificada por vistas laterais.




Σ FV = 0 ∴ N - P = 0

Admite-se que este esforço normal se distribui uniformemente na área em que atua (A),ficando a tensão definida pela expressão:

sendo:

N → Esforço Normal desenvolvido

A→ Área da seção transversal

A tração ou Compressão axial simples pode ser observada, por exemplo, em tirantes, pilarese treliças.

A convenção adotada para o esforço normal (N)

Nas tensões normais, adota-se a mesma convenção.

N = P

AN =σ

P

P

P

P

N

N

P

P

σ

σ

+ traçãoNormal N

- com ressão




As deformações desenvolvidas podem ser calculadas diretamente pela lei de Hooke:

ε =l

l∆

E

σ=ε

N = PAN =σ

E=

l

l σ∆ ∴∴∴∴

EA

N =

l

l∆ ou :

E.A

N.l =l∆

II. VALIDADE DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME

Ao adotar-se as equações acima, deve-se ter em mente que o comportamento do materialé idealizado, pois todas as partículas do corpo são consideradas com contribuição igualpara o equilíbrio da força N.

Pode-se calcular a resultante de força N aplicada no centróide da seção forem somadastodas as resultantes de força que atuam em todos os elementos de área que constituem aseção transversal.

∫ σ=A

dA.N

No caso de adotar-se a distribuição uniforne, em todos os elementos de área atua a mesma

tensão. Decorre daí que:

Nos materiais reais esta premissa não se verifica exatamente. Por exemplo, os metais

consistem em grande número de grãos e as madeiras são fibrosas. Sendo assim, algumaspartículas contribuirão mais para a resistência de que outras, e o diagrama verdadeiro dedistribuição de tensões varia em cada caso particular e é bastante irregular.

N A= σ.

PP

l

l + ∆l




Os métodos de obtenção desta distribuição exata de tensões são tratados na teoriamatemática da elasticidade e mesmo assim apenas casos simples podem ser resolvidos.

Exemplo:

Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a seção em estudo,maior será o pico de tensões normais.

Em termos práticos porém, os cálculos pela equação da tensão uniforme são consideradoscorretos.

Dois fatores de concentração de tensões, onde a distribuição uniforme não é válida, sãomostrados abaixo, e representam peças com variações bruscas de seção.

Deve-se ter um cuidado adicional para com as peças comprimidas, pois peças esbeltasdevem ser verificadas a flambagem.

A flambagem representa uma situação de desequilíbrio elasto-geométrico do sistema e podeprovocar o colapso sem que se atinja o esmagamento.

III. PESO PRÓPRIO DAS PEÇAS

O peso próprio das peças constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem serresistidas. Pode-se observar como se dá a ação do peso próprio:

Peças de eixo horizontal

Peças de eixo vertical

G




Nota-se que nas peças horizontais o peso próprio constitui-se em uma carga transversal aoeixo, desenvolvendo Momento Fletor e Esforço Cortante.

No caso das peças verticais o peso próprio (G), atua na direção do eixo longitudinal da peçae provoca Esforço Normal, que pode ter um efeito diferenciado dependendo da suavinculação:

Nas peças suspensas (tirantes) o efeito do peso é de tração e nas apoiadas (pilares) esteefeito é de compressão.

O peso próprio de uma peça (G) pode ser calculado, multiplicando-se o volume da mesmapelo peso específico do material:

l..AG γ =

Sendo:A - área da seção transversal da peçal - comprimentoγ γγ γ – peso específico do material

Na tração ou compressão axial a não consideração do peso próprio é o caso mais simples.

A não consideração do peso próprio se dá em peças construídas em materiais de elevadaresistência, quando a mesma é capaz de resistir a grandes esforços externos com pequenasdimensões de seção transversal, ficando portanto o seu peso próprio um valor desprezívelem presença da carga externa. Nestes casos é comum desprezar-se o peso próprio da peça.Exemplo: Treliças e tirantes.

A. ESFORÇOS, TENSÕES E DEFORMAÇÕES

Considere uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu próprio peso, conforme figuraabaixo:

Sejam:

A - área de seção transversal da peça

γ - peso específico do material

l - comprimento da peça

P - carga externa atuante na peçaPode ser feita a determinação de uma expressão genérica para o cálculo das tensões normaisdesenvolvidas ao longo da barra e a deformação total conseqüente .

P

G

pp




Usando o método das seções a barra é cortada por uma seção S qualquer e isolado um doslados do corte.

Separar-se em duas partes um corpo. Sendo uma delas extremidade livre, é conveniente queesta parte seja isolada pois evita o cálculo das reações vinculares.

Como o peso do material deve ser considerado, na seção cortada deve aparecer um esforçonormal que equilibre a carga externa e também o peso próprio do material isolado.

Isto indica que a posição da seção de corte tem agora importância, pois ela determina o pesoda peça isolado pelo corte.

De acordo com esta conclusão deve-se criar uma variável que nos indique a posição da seçãode corte desejada.

Fazendo x ser uma ordenada genérica da posição da seção à ser analizada e como a barratem um comprimento L:

0 ≤ x ≤ L

Aplica-se a equação de equilíbrio pertinente:

Σ Fy = 0 N - P - g = 0

N = P + g(x)

onde g(x) é o peso parcial da barra isolada pelo cortePara que seja avaliado o peso de um corpo, multiplica-se o seu volume por seu pesoespecífico

V = A.x ∴ gx = A . γ . x

Observe que o esforço normal varia linearmente em função da ordenada x da seção dereferência.

Como 0 ≤ x ≤ L pode-se calcular os valores extremos do esforço normal

x = 0 N = P

x = l

Chamando de G o peso total da barra

l..AG γ =

N = P + A . γ . x

Nmáx = P + A . γ . L

P

g(x) x

SN(x)




Pode-se escrever de outra forma o máximo esforço normal:

A descrição da variação do esforço normal pode ser expressa de forma gráfica:

Assim como se desenvolveram as expressões analíticas para o esforço normal, pode-sedesenvolver a expressão para as tensões normais:

Sabendo queA

N =)x(σ

Como N(x) = P + A . γ . x então:A

x.A.+P =)x(

γ σ ou

Substituindo x por seus valores extremos tem-se:

x = 0A

P =σ

x = L l.+A

P =máx γ σ

Com modificações algébricas pode-se expressar o valor da tensão máxima em função do

peso total da barra, colocando A como denominador comum às parcelas:

A

.lA.+P =máx

γ σ

ou

AG+P

=máxσ

Para a determinação da deformação total ( ∆ l ) sofrida por uma barra sujeita à uma cargaexterna (P) e ao seu peso próprio (G), e utiliza-se o método das seções. Isola-se um trechodesta barra cortando-a por duas seções transversais S e S' infinitamente próximas, formando

Nmáx = P + G

.x+

A

P =)x( γ σ




um prisma de comprimento elementar dx que se alongará apresentando um comprimento dx+ ∆dx.

dx

dx =∆

ε ∴ ∆ dx = ε . dx

E=

xσσ ∴∴∴∴ dx.

E=dx

xσ∆ (alongamento do trecho de comprimento dx)

como visto anteriormente

x.AP

x γ +=σ

então:

Como se quer o alongamento da barra toda deve-se fazer o somatório dos diversos trechosde comprimento dx que compõem a barra, ou seja:

∫

γ +

=∆

l

0

dx.Ex.

dx.EAP

l

Efetuando as integrais:

2.E

l. +

E.A

P.l =l

2γ ∆

Pode-se expressar a equação da deformação total em função do peso total G da peça,

fazendo algumas modificações algébricas:

∆dxP

EAdx

xE

dx= +γ .

l

S’

Sdx

x

dx dx +∆dx

N+∆N

N

P

S

S’




+=∆2

GP

EA

ll

Observações:

1. Nas expressões acima deduzidas a carga P das primeiras parcelas representa esforçosexternos à peça em estudo ficando as segundas parcelas com o efeito do peso próprio.

2. Tanto o esforço normal máximo como a tensão normal máxima foram expressos emduas equações, uma em função do peso específico do material e outra em função dopeso total da peça. A utilização de uma ou outra equação depende da conveniência doproblema.

3. Como foi utilizado na dedução destas expressões, um exemplo em que tanto a cargaexterna como o peso próprio são esforços de tração, ambas as parcelas são positivas.No caso de haver qualquer um destes efeitos negativo (compressão) deve-se mudar osinal da parcela correspondente.





1. Uma barra de seção transversal retangular de 3 x 1 cm tem comprimento de 3 m.Determinar o alongamento produzido por uma carga axial de tração de 60 kN,sabendo-se que o módulo de elasticidade longitudinal do material é de 2 . 104 kN/cm2.

R: 0,3 cm2. Determine as tensões normais desenvolvidas no pilar abaixo indicado nas seções de

topo, meia altura e base. O material com que ela é construída tem peso específico 30kN/m3.

3. Uma barra de aço e outra de alumínio tem as dimensões indicadas na figura.Determinea carga "P" que provocará um encurtamento total de 0,25 mm no comprimento dosistema. Admitimos que as barras são impedidas de flambar lateralmente, e despreza-seo peso próprio das barras.

Dados: Eaço = 2 . 104 kN/cm2 EAl = 0,7 . 104 kN/cm2

OBS : medidas em cm

Vista Frontal Vista Lateral

90 kN

90 kN

60 m

2 m30 m




R : P ≅ 1.900 kN

4. A treliça da figura suporta uma força de 54 tf. Determine a área das seções transversaisdas barras BD, CE e DE sabendo-se que a tensão admissível de escoamento domaterial é de l.400 Kgf/cm2. Determine também o alongamento da barra DE sendo E=2,1 . 104kN/cm2.

R: ADE = 38,57 cm2

∆lDE = 0,133 cmACE =28,92 cm2 ABD = 14,46 cm2

5. Um cilindro sólido de 50 mm de diametro e 900 mm de comprimento acha-se sujeito àuma força axial de tração de 120 kN. Uma parte deste cilindro de comprimento L1 é deaço e a outra parte unida ao aço é de alumínio e tem comprimento L2.

a. Determinar os comprimentos L1 e L2 de modo que os dois materiais apresentemo mesmo alongamento.

b. Qual o alongamento total do cilindro.

Dados: Eaço = 2 . 104 kN/cm2 EAl = 0,7 . 104 kN/cm2

300 cm

500 cm

P

AçoSeção 50 x 50

AlumínioSeção 100 x 100




R: (a) L1 = 66,5 cmL2 = 23,33

cm(b) ∆l = 0,04

cm

6. Um pilar de tijolos recebe uma carga axial de 70 kN. Dimensione-o com seção quadrada

de lado “a” levando em conta que a tensão admissível de compressão para esta alvenaria éde 0,08 kN/cm2. Dimensione também o seu bloco de fundação, com seção igualmentequadrada e lado “b”, sabendo que o solo onde o sistema assenta tem uma tensão decompressão admissível de 0,025 kN/cm2.(DICA: O peso próprio dos materiais deve ser considerado).Dados : γ alvenaria= 15 kN/m3. γ concreto= 25 kN/m3.

2 m

‘ b’‘ b’

‘ a‘ a

4 m

70 kN




7. A carga P aplicada à um pino de aço é transmitida por um suporte de madeira porintermédio de uma arruela de diametro interno 25 mm e de diametro externo "d".Sabendo-se que a tensão normal axial no pino de aço não deve ultrapassar 35 MPa e quea tensão de esmagamento média entre a peça de madeira e a arruela não deve exceder5MPa, calcule o diametro "d" necessário para a arruela.

R: 6,32 cm

8. Aplica-se à extremidade C da barrade aço ABC uma carga de 66,7 kN. Sabe-se que Eaço é de 2,1.104 kN/cm2. Determinar o diametro "d" da parte BC para a qual o deslocamentodo ponto C seja de 1,3 mm.

R: 21,8 mm

9. Usando o desenho do problema anterior, suponha as duas partes da barra de alumíniocom módulo de elasticidade longitudinal de 0,7 . 104kN/cm2. O diametro da parte BC éde 28 mm. Determinar a máxima força que pode ser aplicada na extremidade C sabendo-se que o seu deslocamento não pode ultrapassar 3,8 mm. Sabe-se que a tensão deescoamento admissível para o alumínio é de 16,5 kN/cm2.

R: P ≅ 84 kN

10. O fio de aço CD de 2 mm de diametro tem seu comprimento ajustado para que semnenhum carregamento exista uma distancia média de 1,5 mm entre a extremidade B daviga rígida ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve sercolocado o bloco de 20 kgf sobre a viga de modo a causar contato entre B e E.

Dados do aço: E = 2 . 104 kN/cm2.




R: x = 10 cm

11. Uma barra de aço tem seção transversal de 10 cm2 e está solicitada pelas forças axiaisindicadas. Determinar as tensões desenvolvidas nos diversos trechos da barra.

R: trecho 1 : 10 kN /cm2 trecho 2 : 7 kN/cm2

trecho 3 : 9 kN/cm2

12. Uma barra de aço colocada na horizontal mede 5 m. Calcular o seu alongamento quandosuspensa verticalmente por uma extremidade. Dados do aço:

E = 2,1 . 104 kN/cm2 γ = 80 kN/m3

R: 0,004763 mm

13. Um pilar de tijolos comuns deve receber uma carga oriunda de um telhado de 32 kN.Dimensione-o com seção quadrada sabendo que a alvenaria apresenta peso específico de19 kN/m3 e tem uma tensão de compressão admissível de 6 kgf/cm2.

100 kN 90 kN30 kN 20 kN

2 m 3 m 4 m




R: a ≥ 24,2 cm

14. Duas barras prismáticas rígidamente ligadas entre si suportam uma carga axial de 45 kNcomo se indica a figura. A barra superior é de aço, tem 10 m de comprimento eseçãotransversal com 65 cm2 de área; a barra inferior é de latão, tem 6 m decomprimento e seção transversal com 52 cm2de área. Pedem-se as máximas tensões decada material e o alongamento do sistema.

Dados: aço latão

E = 2,1 . 104 kN/cm2 E = 0,9 . 104 kN/cm2 γ = 78 kN/m3 γ = 83 kN/m3

R: σmáx aço =0,81 kN/cm2 σmáx latão = 0,91 kN/cm2

∆ l = 0,096 cm

10 m

6 m

aço

latão

45 kN




15. Para a peça do problema anterior, supondo toda ela de latão, qual a área necessária paraa parte de cima para que se tenha a mesma tensão máxima desenvolvida na parte debaixo.Neste caso qual é o alongamento sofrido.

R: Anec ≥ 57,54 cm2

∆ l = 0,1558 cm16. Determine as dimensões 'a', 'b' e 'c' dos pilares abaixo com seção circular que

recebemuma carga axial de 3.000 kN. Determine também a percentagem de materialeconomizado quando se adota a segunda distribuição. Dados do material:

γ = 90 kN/m3 σe = 0.5 kN/cm2

R: a ≥ 165.17 cmb ≥ 109.25 cmc ≥ 136.56 cmecon ≅ 44 %




CAPÍTULO IX

CISALHAMENTO CONVENCIONAL

I. ASPECTOS GERAIS

O cisalhamento convencional é adotado em casos especiais, que é a ligação de peças deespessura pequena.

Consida-se inicialmente um sistema formado por duas chapas de espessura "t" ligadas entresi por um pino de diametro "d", conforme esquematizado abaixo:

A largura destas chapas é representada por "l" e a ligação está sujeita à uma carga de tração"P".

t - Espessura das chapas

l - Largura das chapas

Considerando-se o método das seções, e cortando a estrutura por uma seção "S",perpendicular ao eixo do pino e justamente no encontro das duas chapas, nesta seção de pinocortada devem ser desenvolvidos esforços que equilibrem o sistema isolado pelo corte.Então:




Aplicando as equações de equilíbrio:

Σ Fx = 0

Q - P = 0 ∴

Σ MS = 0

M - P.t/2 =0 ∴ 2

t .P=M

As solicitações que se desenvolvem na seção de corte do pino são de Momento Fletor eEsforço Cortante, com os valores acima calculados.

II. CISALHAMENTO CONVENCIONALConforme os cálculos acima efetuados, pode-se notar que o valor do momento é pequeno jáque se trabalha com a união de chapas que, por definição, tem a sua espessura pequena empresença de suas demais dimensões.

Nestes casos, pode-se fazer uma aproximação, desprezando o efeito do momento fletor empresença do efeito do esforço cortante.

Isto facilitaria o desenvolvimento matemático do problema, mas teóricamente não é exatopois sabemos que momento e cortante são grandezas interligadas:

dx

dMQ =

Em casos de ligações de peças de pequena espessura, como normalmente aparecem emligações rebitadas, soldadas, parafusadas, pregadas e cavilhas, esta solução simplificada levaa resultados práticos bastante bons. É nestes casos que se adota o cisalhamento aproximado,também chamado de cisalhamento convencional.

O cisalhamento convencional é uma aproximação do cisalhamento real, onde o efeito domomento é desprezado.

Tem-se apenas uma área sujeita à uma força contida em seu plano e passando pelo seucentro de gravidade. Para o cálculo das tensões desenvolvidas é adotado o da distribuiçãouniforme, dividindo o valor da força atuante pela área de atuação da mesma. Esta seção échamada de ÁREA RESISTENTE, que deverá ser o objeto de análise.

A distribuição uniforme diz que em cada ponto desta área a tensão tangencial tem o mesmovalor dada por:

resistA

Q =τ

Q = P

Q

τ




A lei exata da distribuição de tensões deve ser posteriormente estudada para os outros casosem que o cisalhamento convencional não é adotado.

III. LIGAÇÕES SOLDADAS

A. TIPOS DE SOLDA

DE TOPO SOLDA POR CORDÕES

Pode-se observar que na solda de topo, há o desenvolvimento de tensão normal, o que já foivisto e foge do proposto neste capítulo.

B. SOLDA POR CORDÕES

Consideram-se duas chapas de espessura t1 e t2, ligadas entre si por cordões de soldaconforme a figura abaixo:

Sejam:

g - comprimento de trespasse entre aschapash - largura da chapa à ser soldadat1 - espessura da chapa à ser soldada

Pode-se, intuitivamente, notar que o efeito da força se faz sentir ao longo do comprimentodo cordão de solda, sendo lógico se atribuir uma relação direta entre a área resistente desolda e o comprimento do cordão.

Nas ligações soldadas, consideramos a área resistente de solda ao produto da menordimensão transversal do cordão por seu comprimento respectivo.

Na ligação acima e vê que a chapa de espessura t1está ligada à chapa de espessura t2 pormeio de um cordão de solda. Vamos ver ampliada uma seção transversal desta solda:




É costume desprezar-se a parte boleada da seçãode solda pois é onde prováveis falhas selocalizam(bolhas de ar, etc)

"d" é a menor dimensão da seção resistente deste cordão e quepode ser calculada como a altura do triangulo retangulo decatetos iguais à t1 .

Observação:

O diâmetro do cordão de solda é escolhido de acôrdo com a espessura da chapa à sersoldada.

d = t1 . sen 45°

cordãoresis l.t0,7A =

Observe-se que t corresponde à espessura da chapa que está sendo soldada e lcordão seria ocomprimento do cordão de solda.

Para o caso especial do exemplo citado ficaria:

lc = 2.g + h Aresist = d . lc

Aresist = 0,7 t (2.g + h)

Para calcula-se a tensão tangencial desenvolvida tem-se:

h)+(2.gt0,7

P =τ

A avaliação da área resistente deve ser estudada em cada caso, pois partindo da conclusãoque ela deva ser igual ao comprimento do cordão multiplicado pela menor dimensão daseção da solda, pode-e ter casos em que a expressão analítica aparece um tanto diferente:

Neste caso temos a chapa de cima sendo fixadana de baixo mas aproveitando o comprimentodisponível do trespasse inferior também fixamosatravéz de solda a chapa de baixo na de cima.

Aresist = 0,7 . t1(2.g + h) + 0,7 t2.h

A condição de segurança de uma ligação soldada será então:

soldadecordão

h)+(2.gt0,7

P τ≤

d = 0,7 t1




IV. LIGAÇÕES REBITADAS

A. TIPOS DE LIGAÇÕES REBITADAS

1. Superposição 2. De topo com cobrejunta simples

3. De topo com cobrejunta duplo

B. CONSIDERAÇÕES GERAISEm qualquer ligação rebitada, além de se levar em conta o cisalhamento nos rebites, outrosfatores também devem ser examinados. Sempre que se projeta ou verifica uma ligaçãorebitada deve-se analisar os seguintes itens:

1. Cisalhamento nos rebites.

2. Compressão nas paredes dos furos.

3. Tração nas chapas enfraquecidas.

4. Espaçamento mínimo entre rebites.

Para que a ligação tenha segurança todos estes fatores devem estar bem dimensionados.

C. FATÔRES A SEREM CONSIDERADOS

1 Cisalhamento dos rebites

O fator cisalhamento nos rebites previne o corte das seções dos rebites entre duas chapas.Estas seriam as seções chamadas de seções de corte ou seções resistentes.

Sendo:

n - número de rebites que resiste à carga P

m - número de seções resistentes por rebite.

d - diametro dos rebites




A força P é resistida por "n" rebites com "m" seções resistentes cada um. Então a árearesistente total nos casos de uma ligação rebitada é:

4dn..m=A

2

.resistπ

Sendo ττττreb a tensão admissível ao cisalhamento do material do rebite, a tensão tangencialdesenvolvida não pode ultrapassar a admitida.

A condição de segurança para o cisalhamneto nos rebites expressa de uma forma analíticaseria:

reb2

4d.n.m

Pτ≤

π

Observando os tipos de ligações rebitadas nos exemplos vistos anteriormante ve-se que:

Superposição Cobrej. simples Cobrej. duplo

m = 1 m = 1 m = 2

n = 4 n = 4 n = 4

2. Compressão nas paredes dos furos

A força exercida nas chapas, e estando a ligação em equilíbrio estático, cria uma zonacomprimida entre as paredes dos furos dos rebites e o próprio rebite.

Esta compressão pode ser tão grande a ponto de esmagar as paredes dos furos e colocar em

risco toda a ligação rebitada.Deve-se portanto descartar esta possibilidade.

Sejam duas chapas ligadas entre si por um rebite de diametro "d",conforme figura:

Observam-se zonas comprimidas nas duas chapas devido à ação do rebite sobre elas, sendona vista de cima, representada a ação do rebite na chapa superior.

À fim de facilitar-se o cálculo destas compressões substitui-se a àrea semi cilindrica, daparede do furo, por sua projeção, que seria uma área equivalente ou simplificada ficando:




Aresist = Asimpl = d.t

F = P

resistA

F =σ

d.t

P =Cσ

Como nos casos de ligações rebitadas existem n rebites, podemos generalizar a expressão::

n.d.tP =σ

Sendo σσσσCchapa a tensão de compressão admissível para o material da chapa ou doscobrejuntas, então para que o projeto funcione com segurança, a condição expressaanalíticamente ficaria:

Cchapan.d.t

P σ≤

As tensões de compressão não se distribuem de maneira exatamente uniforme, entretanto

assim se admite.3. Tração nas chapas enfraquecidas

Quando se perfura as chapas para a colocação de rebites elas são enfraquecidas em sua seçãotransversal. Quanto maior for o número de furos em uma mesma seção transversal, maisenfraquecida ficará a chapa nesta seção, pois sua área resistente à tração fica reduzida.

Antes da furação a seção transversal da chapa que resistia à tração era:

l.t

PT =σ

Supondo que se façam dois furos em uma mesma seção transversal de chapa para a

colocação de rebites. A nova área resistente será:




A nova tensão de tração desenvolvida será:

2.d)-t(l

P =σ

Para generalizar criamos uma grandeza, n1 que reprezenta o número de rebites colocados emuma mesma seção transversal;

.d)n-(lt

P =

1σ

A condição de segurança expressa analíticamente será:

Τσ≤ .d)n-(lt

P

1

onde σσσσΤΤΤΤ representa a tensão de tração admissível para o material das chapas oucobrejuntas

Observações:

1. Em casos de projetos de ligações rebitadas sempre interessa a pior situação do sistema,que muitas vêzes é determinada com a simples observação. Nos dois itens anteriores(compressão nos furos e tração nas chapas enfraquecidas) pode-se tirar as seguintesconclusões:

a. Nas ligações por superposição e cobrejunta simples, sempre estará em piorsituação a peça de menor espessura, pois ambas recebem a mesma carga. Resta apenas

observar que para a tração nas chapas enfraquecidas, a seção transversal com maior númerode rebites colocados é a em pior situação (n1 máximo).




b.Nas ligações com cobrejunta duplo seria conveniente a análise das chapas e doscobrejuntas já que a espessura dos mesmos é diferente e a carga ao qual eles estãosubmetidos também o é.

Cobrejunta: P/2 , t1

Chapas: P, t2

4. Espaçamento mínimo entre rebites

Com a finalidade de limitar a proximidade entre rebites e entre rebites e bordas livres, asnormas fixaram um espaçamento mínimo que deve ser preservado.

Isto evita zonas de extrema fragilidade entre dois furos em uma chapa e evita também que ofuncionamento de um rebite interfira nos rebites vizinhos, o que poderia provocar acúmulosde tensões nestas áreas comuns .

NB - 14 ( Estruturas Metálicas)

Recomendações da Norma:

3 d - distâcia mínima entre os centros de 2 rebites

2 d - distância mínima entre centro de rebite e borda livre perpendicular à ação da força

1,5 d - distância mínima entre centro de rebite e borda livre paralela à ação da força onde "d"

é o diâmetro do rebite.





1. Uma guilhotina para cortes de chapas tem mesa com 2 metros de largura de corte e 450kN de capacidade. Determinar as espessuras máximas de corte em toda a largura para aschapas :

a. Aço (τ = 220 MPa ) R: (a) 0.10 cmb. Cobre (τ = 130 MPa ) (b) 0.17 cmc. Alumínio (τ = 70 MPa) (c) 0.32 cm

2. As chapas soldadas abaixo na figura tem espessura de 5/8". Qual o valor de 'P' se nasolda usada a tensão admissível ao cisalhamento é de 8 kN/cm2. Determine também omenor trespasse possível adotando-se todas as possibilidades de solda.

R: P ≤ 356.16 kNg ≥ 14 cm

3. Considere-se o pino de 12.5 mm de diametro da junta da figura. A força "P" igual à

37.50 kN. Admita a distribuição de tensões de cisalhamento uniforme. Qual o valordestas tensões nos planos a-a' e b-b'.

R: 1.528 Kgf/cm2

4. De acôrdo com a figura, a força P tende a fazer com que a peça superior (1) deslize sobrea inferior (2). Sendo P =4.000 Kgf, qual a tensãodesenvolvida no plano decontato entre as duas peças?




R: 4,71 kgf/cm2

5. O aço de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de resistência aocisalhamento de 31 kN/cm2 . Pede-se a força P necessária para se fazer um furo de 2.5

cm de diametro, em uma chapa deste aço com 3/8" de espessura.

R: 231,91 kN

6. Considere-se o corpo de prova da figura, de seção transversal retangular 2.5 x 5 cm,usado para testar a resistência a tração da madeira. Sendo para a peroba de 1,3 kN/cm2 atensão de ruptura ao cisalhamento, pede-se determinar comprimento mínimo "a"indicado, para que a ruptura se de por tração e não por cisalhamento nos encaixes docorpo de prova. Sabe-se que a carga de ruptura do corpo por tração é de 10,4 kN.

R: a ≥ 0.8 cm

Vista LateralSeção do corpo de prova

Corpo de prova




7. Considere-se um pino de aço de 3/8" de diametro sujeito à força axial de tração de 10kN. Calcular a tensão de cisalhamento na cabeça do pino, admitindo que a superfícieresistente seja de um cilindro de mesmo diametro do pino, como se indica em tracejado.

R: 1,05 kN/cm2

8. As peças de madeira A e B são ligadas por cobrejuntas de madeira que são colados nassuperfície de contato com as peças. Deixa-se uma folga de 8 mm entre as extremidadesde A e B . Determine o valor do comprimento "L"para que a tensão de cisalhamento nassuperfícies coladas não ultrapasse 0,8 kN/cm2.

R: 308 mm

9. Ao se aplicar a força indicada, a peça de madeira se rompe por corte ao longo dasuperfície tracejada. Determine a tensão de cisalhamento média na superfície de ruptura.

R: 6 MPa

10. Sabendo que a tensão de ruptura ao cisalhamento de uma chapa de aço é de 330 MPa,determine:




a. A força necessária para produzir por punção um furo de 30 mm de diametro em umachapa com 9 mm de espessura.

b. A tensão normal correspondente no furador.

R: (a) 279,91 kN (b) 39,59 kN/cm2

11. A placa indicada na figura é presa à base por meio de 3 parafusos de aço. A tensão decisalhamento última do aço é de 331 MPa. Utilizando-se um coeficiente de segurança de3,5 determine o diametro do parafuso à ser usado.

R: 22 mm

12. A ligação AB está sujeita à uma força de tração de 27 kN. Determine:

a. O diametro "d"do pino no qual a tensão média permitida é de 100 MPa.b. A dimensão "b"da barra para a qual a máxima tensão normal será de 120 MPa.




R: (a) 1,85 cm (b) 3,75 cm

13. Quais as distancias "a" e "b" necessárias para os entalhes na peça horizontal da treliçaindicada? Todas as peças tem seção transversal de 0,20 x 0,20 m. Admitir a tensão decisalhamento da madeira de 3,5 MPa e utilizar coeficiente de segurança 5.

R : a ≅ b ≅24 cm

14. Verificar a ligação rebitada da figura, sendo dados

Rebites Chapasτ = 100 MPa σT = 150 MPad = 1/2" = 1,27 cm σC = 250 MPa




R: Não há segurança(tração nas chapas)

15. Determine a máxima carga P que se pode aplicar à ligação rebitada abaixo sendo dados:Rebites Chapas e Cobrejuntasd = 1/2" = 1.27 cm σT = 150 MPaτ = 100 MPa

OBS: medidas em mm

16. Verificar a ligação rebitada abaixo sendo dados:

Rebites Chapas e Cobrejuntasd = 1/2" = 1,27 cm σe = 220 MPaτ = 110 MPa




R: Não há segurança

17. A junta longitudinal de uma caldeira é de topo com cobrejunta duplo. O diametrointerno da caldeira é de 1,3 m , a espessura de sua chapa de 15 mm e as chapas derecobrimento (cobrejuntas) de 10 mm. Sabe-se que os rebites são colocadoslongitudinalmente a cada 8 cm. Determinar a pressão interna que esta caldeira podesuportar e também a eficiência da ligação rebitada. Os rebites usados tem 12 mm dediâmetro e são dados dos materiais:

Rebites: Chapas e Cobrejuntas:

d = 12 mm σT = 387 MPa τ = 310 MPa σC = 670 MPa

Deve-se adotar segurança 5.

R : pi ≤ 2,7 Kgf/cm2 eficiência ≅ 15%




18. Dimensionar um eixo de uma roldana fixa que deve suportar a elevação de uma carga de100 kN. Sabe-se que o material do eixo apresenta tensão admisível ao cisalhamento de120 MPa.

R: 3,25 cm




FORMULÁRIO PADRÃO

INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS:

σ ou τ = resistA

F

ε = Ε

σ

(lei deHooke) ε =

∆

µ=εε

(lei de Poisson)∆

=εt

Lei de Hooke generalizada

( )[ ]zyxx E

1σ+σµ−σ=ε ( )[ ]zxyy E

1σ+σµ−σ=ε

( )[ ]yxzz E

1σ+σµ−σ=ε

TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL SEM CONSIDERAÇÃO DO PESO PRÓPRIO

σ =A

N

A.E

L.NL =∆

TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL COM CONSIDERAÇÃO DO PESO PRÓPRIO

σ máx = γ +A

P σ máx =

A

GP +G = A.γ .l

)2GP( +∆

2γ +∆

MATERIAIS DIFERENTES

2

1

E

En = 2σσ =σ2

N1= σ1..A1 N2 = σ 2.A2 P = N1 + N2

LIGAÇÕES REBITADAS1. cisalhamento nos rebites 2. compressão nas paredes dos furos

reb2

4

d..n.m

P τ≤π

.)obrsecchapa(Ct.d.nP σ≤

3. tração nas chapas enfraquecidas 4. espaçamento mínimo entre rebites

σ≤−l(t

P



BIBLIOGRAFIA BÁSICA

HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais LTC Editora – Rio de Janeiro –3ª Edição ISBN - 85-216-1228-1

GERE, James M. Mecânica dos Materiais Pioneira Thomson Learning , 2003- São Paulo – ISBN – 85-221-0313-5ROY R. CRAIG, JR – Mecânica dos Materiais – LTC Editora – Rio de Janeiro

ISBN – 85-216-1332-6RILEY William F. STURGES Leroy D. MORRIS Don H. - LTC Editora – Rio

de Janeiro – ISBN – 85-216-1362-8

TIMOSHENKO,S,P. -Resistência dos Materiais 2 volumes. Ed. Ao LivroTécnico S.A. Rio de Janeiro.

BEER, Ferdinand P & JOHNSTON, E Russel. Resistência dos MateriaisEditora Mc Graw Hill do Brasil. São Paulo.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:

GOMES, Sérgio C. - Resistência dos Materiais - Livraria Kosmos

FEODOSSIEV, V. I. - Resistência dos Materiais - Editora Mir - Moscou

NASH, W.A. - Resistência dos Materiais - Editora Mc Graw Hill do Brasil.São Paulo

POPOV,E.P. - Resistência dos Materiais - Editora Prentice-Hall do Brasil

Resist en CIA i Em Apostila 2007

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