Resist en CIA Dos Materiais Para Entender Gostar - Manoel H. C. B - Studio Nobel

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, Manoel Henrique Campos Botelho e engenheiro civil, formacto1.n 1965pela Escola Politecnica da USP.Conhecido autor de livros ~Ie en ge nh ar ia, p ossu i me ls. d e qu ln ze t itu lo s p ub li ca do s, sendo leu maior SUC91lSO a obra "Concreto Armado EuIe Amo". Manoe'l Henrique Campos Botelho ------'""'---, Esle livro fa. dirigido a estudantes e profis$ionals dEl engenharla~~ lodes as especialldades, alunos dos cursos de arqultelura e teen :Ios em gerat. Alende os programas currlculares das escolas de jrel ecnico e superior. .I 1 , 'A disciplina Resislencia dos Materiais e consicJerada uma das m ~J\ importantp~ ~o estudo da tecnologia. Analisando 0te~a. de form,,! r dlreto e Objeliva, esta obra trata desde as estruturasmars srmplet't1t.6 as mais ~omplexas. . obra e 0 resul!ado do esforc;:oem tentor lazer do aprendizado esta materia complexa alga compreensivel e prazeroso. \' ~ .'

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,Manoel Henrique Campos Botelho e engenheiro civil, formacto1.n1965pela Escola Politecnica da USP.Conhecido autor de livros ~Ieengenharia, possui mels. de qulnze titulos publicados, sendo leumaior SUC91lSO a obra "Concreto Armado EuIe Amo".

Manoe'l HenriqueCampos Botelho

------'""'---,

Esle livro f a . dirigido a estudantes e profis$ionals dEl engenharla~~lodes as especialldades, alunos dos cursos de arqultelura e teen : I o sem gerat. Alende os programas currlculares das escolas de jrelecnico e superior.

. I1 ,

'A disciplina Resislencia dos Materiais e consicJerada uma das m ~ J \importantp~ ~o estudo da tecnologia. Analisando 0te~a. de form,,! r

dlreto e Objeliva, esta obra trata desde as estruturasmars srmplet't1t.6as mais ~omplexas. .obra e 0 resul!ado do esforc;:oem tentor lazer do aprendizado

esta materia complexa alga compreensivel e prazeroso. \ '~.'

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:oorJcJlru;:50 editorial

:aTlaMiiano

Jo rodur : ,; i 1o ed i to r i a l

Wanhll Assls de Alme ida Kuhl

Assisterne editorial

Warcia Reg ina Ioschke Machado

Preparacao I copy

Claudia Jorge Cantarin DominguesRevisao

Regina Cilia Barraza

Ma rta L uc ia T as so

Compcs icaoMeT Produc oe s G rdf ic tJ .i - __ -_ _

;;~~-.~~~Dndos dl' C ru ar og ncn o n a P ub li cn cz o ( Clf ') 1 11 1.c :r mJ ci oJ 1: a!

( Ca llla ra B ru sije lm d o Llvm, SP B(.lsll)

Botelho, Manoel Hcnnque Campos, 1942- . .. ,Rcsis t enci a cos materials para entender c g o sta : : 11m r exto ell r r i cu lu r /

M ano el He nr iqu e C ampo s B orcm o. - Sao P ao to : Stu dio No be l, 1998.

Bibliogmfia.

rSBN 85·85445·7(J·X

I. Engenharia de estruturus 2.Rcsisrencta

des matcriais r. Tltulc

97-4764

f nd lC C p am c ma to go s fs rcmauco:

I. Rcsistd ncia d es m me riru s : Engunhnr lu 62D.112

CDD-620.112

Sumario

Oferendas.

Aprescntacao

Capitulo I

o que e a Resistencia des Materiais .

Capitulo 2

o equilfbria das estruturas c asestruturas que nilo devern esrar em equ i i f b r i o .

Capitulo 3

Os tipos de e s fo f¥oS nas esuuturas .

Capitulo 4

Te nso es, co ef icien te s d e se gu ra nca e lens6es

a dm issive is - d imen sio n amcn ro d a s estruturas "

Capitulo 5

To da s a s e sr ru tu ra s se d cfo rm arn _

lei de Hooke e modulo de Poisson

Capitulo 6

Quando as cstruturas sc apoiam _

entendcndo as varios tipos de apoio ,

Capuulo 7

Estruturas isostatica, .•hiperestriticn, e hipostaticas

Capitulo 8Estu da nd o o s va rie s tipo s d e fle xile :

simples, composta, normal, oblfqua

Capitulo 9

lnr rodUl; ;ao aos co nce ico s d e m em en to estatico,

momenta de inercia, modulo resistente e faro de girll~50 ..

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Capi"'lo 10Estudando a nexao no r r n a t nas vigas Isostaticns c-

diagramaS de morncntos fietores, rorcas cortantes e forcas u orr n ais .

Capitulo 11

E xem plo s d e cr i lcu lc d e- v i ga s co m

diagramas de memento fletor e forca cortunte .

Capitulo 12

Exp licando a viga Gerber, uma viga de viio cnlibravel

Capitulo 13

Ten sccs n o rma ls em vig a s - a flexao no rma l

Capitulo 14

A flexao o blfqu a n as viga s

Capitulo 15

Tensdes tangenciais (cisalhamentc) em vigas

Capitulo 16

Como as vigas se deformam- linhus elasricas.

C apitu lo 17Estndando as vigas hiperestaticus -

cquil~ao des tres mementos e metcdo de Cross .

Capitulo 18

Flambagern ou 0mal caracreristicc das pecas comprimidas

Capitulo 19

Estruturas e materials nao resisrcntes it tra~ao .

Capitulo 20

Estruturas de resposta linear e de resposta

nao-linear. Validade do processo de superposicao ..

Capitulo 21

Em cada ponto de urna estrutum hd varies esforcos.

Capitulo 22

Ligando duas pe((as ~ calculo de rebites e soldas ... .

6

70

86

- - @ J

1 0 7

127

IJ6

14 5

15 2

_ _ _ _ _ . 1 6 1

17 1

__ 182

190

J92

Capitulo 23

A to rqa o e as c ixos

Capitulo 24

Molas e outras estruturas resilientes .

-I

___

Capitulo 25

Cabos ,

Capitulo 26

Na sce rn a s tre lica s .

Capftulo27

Arcos e vigas curvas .

Capitulo 28

T or ne mo s h ip cr cst,1 tici ls a lg u ma s d e n o ssa s e su u tu ra s

Capitulo 29

Analise de varies e interessantes casas estluturais.

Capitulo 30

Comparando0metoda das

tensoes

adrnissfveis COm0 metodo da ruptum.

Capitulo 31

Cargas e esfor~os nas estruturas - aspectos da e st ru rr ra ca o ..

Capitulo 32

Estruturas heterogeneas quanto aos rnateriaix .

Capitulo 33

Viagern dos testes de laburatorio a s cstruturasd o d ia -a -d ia - a s n o rr n a s e a s te cn ica s pITl~ls:<;ion1lis

Capitulo 34

ESlamos cncerrando a materia .

CaJJitulo 35

BibJiografia_ 0 que h.1para ler nas hibfiotecas e livrarias brasileiras .

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Anexos

os conceiros de.momento de inerCi,a . mo~cn.LO~stati~o: .,

momenta po la r, r ai o de gira<. ;50 e ~aXOSpnncipuis de 1I1erCJa.

2 A procura do centro de gravidade .

3 Cornposi9ao e decomposi~ao de [orcas

4 Estados de tensflo ~ critetios de resistencia .

A e q u G C ( 5 Q dos t r eS mementos para vigas coutlnuas

6 Glossario de primeira ajuda.

7 Resumo historico do usc de materials e de estruturas

criadas pelo hornem, com destaque para obras hrasilciras

Aq u i , 0 le ito r d ri su a o pin ia o so bre e ste li vr o .

Oferendas

265

274

282

286

291

294

Aos varies Iivros sabre "Resistencia dos Materiais" que consultei.

Quando os li pela primcira vez, aos vinte e tantos auos, tinha dele

ideia,Ao rele-Ios, no longo dos alios e a exaustao nesses rllrimos doze me

tendo agora cjllqOenta e quarro anos, descobri bclczas que a primeira le

os rneus verdes anos niio permhirarn pcrccber,

A We la sa be a

297

301Aos colegas, mesrres e an

Edson Gimenez E

Geraldo Andrade Ribei

Hcnylsio Coelho Bo

Mario Massar

Nelson Newton. F

Paulo Franco RochPaulo W

A Mauricio Campos Botelho, meu filho, hoje esruda

engenharia civil ria Unicamp, que fez boa parte da intecprc

de minha letrn no passur 0 rexto pam 0 cornput

Ao colega Fernando de Paula Sa

que cuidou da editoracao eletronica do

A todos, 0 autor agra

MOutubro,

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Capltulo Io que e a Resistencia dos Materiais

IBIS !~)T~----. .~-.

[Para poder transforrnar a Natureza 0 hornem precisa de ferramentas

tecno1ogia. Para criar tecnclogia, precisa de teorias que correspond am ii sis

matiza< ;ao de ccn h ecirn en tos e a dcscoberta de le is n atu ra is qu e orieniam s

trabalho]Depois de crier uma serie de reorias, algumas das quais superam

substituem outras, 0 homem procura sistcmatiza-las dandc-lhc nomes, delim

lando suas validades e esrubelecendo urn grau de hierarqu:u entre elas,

Do estudo das estruturas (casas, pontes, vefculos, etc.) surge a Resistc

cia dos Materiais. Vamos a cia.Vamos supor que se pretenda assen t a r urna pcs;a de grande peso sab

uma estrutura de suporte (prancha) que, por sua vez, se assenta sobre do

apoios, A e B.

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1.1 Objetivo do estudo de Resistencia dos Materials 1.2 Correlacao entre as varias ciencias

A Resistencia dos Marenais, 1I0S ionues deste livro, procurara estudar:

J. Estruturas que possam set associadas a ban-as de elxo retilfneo;

2. Estruturas que obedecam a urna lei segundo a qual se Limaberra for subme-

tida a u.na carga q ela se deformarti de x e se a carga for 2q a deforrnacao

devera ser 2x. A importdnciu dessa lei - cbamada LeJ de Hooke - serf

rnostradn ao longo do livre:

3. Situacoes de pequenas deformacoes.

Estrururas que n a o obedecarn a qualquer LIma dessas l res. condicoes

(placas, por exernplo) deverao ser estudadas par outras teorias. estruturais,

como a da Resistencin dos Materials avancada e O J da Elasricidade, que c muito

t1tilem estruturas de mais de urua dimeusao.

A Resistencia dos Materials estudada neste livro fomeccra os fundn-

me.rtos para <I compreensfio e 0 esrudo das segulntes estruturas:

• do dia-a-dia:

• da natureza;

.. de pedra, de talpa e de alvenaria:

.. de madeira;

.. de nco. de alumfnio, etc.;

.. de concreto simples e armado;

• de equipa-ne.ttos;

• on rras.

Outrosassuntos da

Resisr encindcs Mnterieis

Nota sabre 0 sistema de unidadcs

Optou-se por usar neste Iivro a expressao kg[ como unidade de peso em

vez da un.dade Newlon. Deve-se isso iluma maier fanuharidade do autor com

a unidade classica, Cremos que a maioriu dos Ieirores tarnbem prefere essa

oP'iao.

V ale a tra nsfo rm aca o pr at ica :~---------------,!O N '" 1 kgf aproximadumcnte

10kgf/cm' = 1MP.

14

Lcis natumis

Bquilrbrio das cstnnums em facde ll\-oe~.rcacces e mementos

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Capftulo 2oequilibrio das estruturas e as estruturas que

nao devem estar em equilibrio

Uma estrurura ou esrd em equi lfbr io au em movimento. No s esu~~ilre-

moS prindpalrnente as estruturus em cquilibrio. ou seja. as que estao estatrcas,

melhor dizcndo em "equilibria estarico"Para que uma estrutura es reja ern equilfbrio es tai ico deve obedecer as

seguintes leis da ESlar ica :

FH - Fo r93 ho r izo nta l

F v - Forca vertical

11T - Memento de tor~ao

MI" - Memento de flexiio

2: Fy = 0 ..

2:MF=O

As quatro [amosas condiciies dos esforcos extenlOS

Sejam as seguint.es estnuuras e vejamos as suas condicoes d~equilfbric:Urna pessoa esta apoinda no chao. Se a chao pLlde~ rc?gl r com uma

reaeao igua! ao peso, a pcssoa cstara em equilibr io. S~ D chao for urn charco,

um lodncai, ele nao reagira ao peso e a pessoa afundnra.

Ternes uma pessoa puxando urn rio. Tudo

estara em cqui hbrio se a arnarracao do fio na pare-

de e 0 proprio fie puderem reugir com lima forca F

i gu a l c co n tr ar ia a a t ; : ao .

l6

Uma pessoa ernpurra para baixo urn u-arnpolim. Segumrnenre 0 tramp

Limse deformara. mas estara em equihbrio se 0 engaste rrnmpolim-estrutu

puder reagir a forca e ao memento F X L crindo

M+MR~O

M.=FxL

M"~- M~-FxL

R=F

Tern es a g o ra u rn parafuso preso numa ma -

deira e, com urna ferramenta apoiada nessa ma-

deira. tentamos torce-lo. Sc 0 memento de: tor~ao

que causarnos for suficicnte, 0 parafuso girara, Se

for fraco, entiio as resistencias de atrito serao sufi-

cientes para. reagir com lim memento torsor rcati-

va igual e de sentico ccntrario: desse modo, 0

parafuso fica ern equilibrio e nao giru.

Notus:

LAte agora virnos cstn.tums que procuraram 0 equilibrio Hri estruturas qprocuram, dentro de cnrerios. onfio-equilfbrio. Bicicleras, patins, pranch

de windsurf. csteirus transportadoras e rodas-gigantes sa o excrnplos disso

2. Note que se obtern as condicoes de equi libr ia com acoes e reacoes extern

ao corpo. Nada falamos dos esforcos que essas fOl"93S mementos extern

causarn nos corpos, Nao rnencionamos. por exereplo. que no caso da p

soa puxando Ulna corda isso tambem so sera possfvei se a corda nguent

A cxistencia de 31fOeSextemas, mesmo que equilibradas com r e a t ;o i ! S - l a

be rn externas, g e m e sf or co s internos que serao resistidos au nao pcla con

titui9ao do ccrpo,

Nfio confunda cquilibr io com deformacoes . VITI

coqueiro que se dobra ante 0 efei ro de urn ventoesta em eq.iilfbrio enquuuro niio sair do local.

Uma estrutura em cquilfbrio podc tel 'enormes de-

forma~6es, como 0 case da arvore au .de urn tram-

poJim que sc verge ao peso e ao impulso.dinarnico

de u rn. banh is r n. " " , = : S : , , , , , , , , ,

 

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2.1 Exemplos

Urna prancha de willdsulj'desloca-se horizontal-

mente ao sabor do vente par nao ter vfnculo que se opo-

nha a isso,

A prancha de windsurf" 1150 esta em equi.Ibrio hori-

zontal

Exemplo3

Trelica

Estruiuro [trampolim} em

equilibria com deformocbes.

2.1.1 Exemplos numcricos de condicoes de equilibrio

Exemplo l

1011

V ig a c om dois upoios e uma carga conccnrrada.

Exemplo4

{2-1D~-

+-----'.6---j

Exemp/o 2

C or po se nd o co mpr im id o

18

I f = 81i

t.a

R, + RB = 10 If

VA+VB--3=0

4VB+]YO.5--3x 1=0

3--7VB =-4-=--1 If

VA=4tf

Rs x 8,6 -- lOx 6,5 = 0

Ru = 7 ,6 If

RA = 10 -- R n =2.4 If

Seja Lima viga engastada em uma paredc:

MF = M om en ta fle to r

MT = Momen t a de ton;iio

M T, M F e R no apoio A sao as rcaczcs que equilibram a for," F distante d

do apoio e DI2 do eixo ci a vigu.

~=8ti

~=8[1

R+F=O

R=--F

My=FxQ2

MA=FxL

 

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Iruervalo diddtico 2.2 Reconhecendo as estruturas do dia-a-dia

a) Usarernos as quatro famosas equacoes nas esuuturas espaciais (nile

contidas em lim piano).

Tente 0 caro leiter abnr uma garrafa de rcfrigerante (com rosen int

com uma so mao em cima d e u rn piso Iiso ,

C-- c...,. M A Ativo

i l l ( 11 J

m" ' / MT

I \. _l_fLf C-.....eenvo

_ MT

b ) Usa re rn o s a s r-ea famo sa s equ aco es na s esrruturas qu e e ste ja m co nti-

das no plano

1 Vo ce n iio va i co nsegu ir pe r fa lta d e apo io e rea cao ; o s e fe iro s d o

e sfo rc o se ra o nulos A go ra , se gu re a b a se d a ga r rn fa C0l11 uma mo o e g

tampa com a outra. Eia girad e saira. Voce sentira en tdo que foram cr

d ois momcn to s d e . to rca o , L im negative e o u tro po sir tvo . A sua ma o so

tampa gerara urn momenta de torcao sobre a esrr.rrura que nao girara,

seria uma perda do equ.lfbrio. devido ao memento terser reativo criado

Dutra mao .

Vamos agora fazer alguns excrcicios para fixar os conccitos.

rI,FH=O LFv=O LMF=O

c) Uxarernos urna ou duas Farnosas equacoes em situacoes especificas.

20

2.3 Exercicios numericos

Exercicio 1R, =F, +F2xscna

Determine as r~al(6es nil viga:

R, = F, x cos a

I, Fv =0

Caru.(!dislr.~.2lf!rn

1 1 . U , J 1 U

~,.;2=J!lf I,

4,2!f!m

F-P=O

F=P

->F,_31f - ~

J - . , r.8

 

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Pr ime ira condicjio: Exercicio 2

I. FH =0F,-Hc=O

3-Hc=0

Determine as rcacoes da viga a seguir:

Hc= 3If

1,2 1.4 O,8m

I. Fv =0

4 tf + 4,2 x 3,6 - RB - Rc =0RB+Rc = 19,12 tf

'Icrceira condicao:

Valern as ires famosas condicccs:

I) I~

~,------------~.- 0

V.1n10S aplicar esta condicno para 0 ponto C. Substituiremos a carga

distribuida pela sua resultante de intensidade 4,2 x 3,6 e situada no ponte

media entre B e C.

Para 0 ponto C:

2)

8 3 0 k Q f l 1 .2CKlkgVm

ttl} J

3) IM =0 (memento Iletor)

'"'\

~~)

rA I R D"I<-~-L--+-.2 1,4 o . a m

- 0,4 (0,8+ 3,6) + RBX 3,6 - 4,2 X 3,6 X 32 6=0

Rs = 12,5 If

Rn+IZc= 19,12tf

Rc= 19,2- 12,5 = 6,62 tf

Rc= 6,62 tf

RD = ~3(j + 1,200 X 1, 4 RD = 2. 5 10 kg f

o ponte D estarti em cquilfbrio se 0 momento fleror causado

forcas externas fo r igual ao memento fletor reativo MD . Logo:

Estao definidas[IS

r e acoes na viga. Note que pusemos no apoio C asreacoes companveis com 0 apoio. que e uma mticulacxo; portanto, as reacoessa o forcas.

Mo = 830 (1,2 + 1,4+ 0,8) + 1.200 (1,4) ( _ _ ! . L )2+0,8

MD=2.822 + 2520 =5.342 kgfrn

Mo = 5.342 kgfm

As forcas extern as causaram 110 encaixe urn momenta fletor extern

5.342 kgfm, e 0 encaixe reage COm urn momenta fletor contrario.

22

 

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Exercicio 3

IFH=O

16 x cos 45° -HA =0

HA= 16xO,7= 1I,2tf

co, 45" = 0,7

No exercfcio 2, para que a peca niio gire (ela cstri irnpedida de ginn

encaixe-enga"tamento),o apoioengasrudo possibilitc essu tendencia

rar causada pelas forcas externas. Logo, ha memento fletor cxtemo em

Como veremos ao longo destc l ivre, mesilla nao havendo rnornenros

res cxtemos. hr i em cada se~ao da viga mementos tletores intcrnos it

c a esquerda de cada ponte. mementos fletores positives e negarivos

mesrn o mod ulo qu e equ ilib ru m a se .c,: ;_;_o .pesa r d e equ ilib ra rem a

esses mementos fletores causarn tensees na viga, as quais a viga le

suporur. Chegaremos la.

c) Quando projcramos e usumos estruturas que se movimenrarn - peixos de motores, esteiras rclanrcs, navies -, esse movimento ate

determinadns restr icoes, Por exemplo, uma porta dcve se movimerua

Tar) em torno de L11lleixo. Um automovel deve se deslocar em

direcocs c scntidos. As estruturas feitus pelo homem, portanro, deverr

ou em equilibrio eSI(: i r ico (como as consuucoes fixas da construcilo

ou ern equilfbrio dinami.c() (como as.construcoes mccanicas).

Um caso muito curiosa e a bicicleta. EL1 s o udquire equilibria dinfun

olio tombar quando csni ern movimenta ( 1 1 . 1 0 equilibrio no sentido ho

ral). Basta rerornar ao equihbrio no sentido horizontal (parar) que cia

em desequilrbrio e tomba.

Calcule as reacocs da viga: l -1~ 1 " , 4"0I o .sen . .)

I"-SU ::\

8 U 1ti_c.Jb4.'j~

" : J I c - A-----coc - l j

R,

As tres famosas condicoes sao I FH=0: I Fv= 0 e I Me= 0

Convencoes:

IFv=O

16 x co s 45 ' + 8, 0 + RA - Hil = 0

R A +R R = 19,2 tf

Seja 0 ponte n

R,.x (0,6 + 0,4 + 0,4) - 16 cos 45' (0,4 +0,4) - 8 x 0,4 = 0

Ril ~ 10,'i tf

Notas didtiticas:

a) Consider-amos a espessura da viga de pequeno valor, portanto desprczamos

o momenta fletor causado pelas forcas horizontais.

b) Nos cxercfcios 1 e 3, as torcas auvas nito causaram mementos fletores

externos nus vigas

24

 

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3.1 Esforcos internes solicitantesCapit ulo 3

Os tipos de esforcos nas estruturas a) Forces normais de t r a ; ; ao e ccmpressac a uma secao,

Devido aos esforcos ativos e reativos a estrutura esta ern equilibria, ou

seja, nao se movirnenta. Apesar de a estrutura estar em equilibria, ela podeni

ate se romper se os efeitos dos esforcos ativos e reat ivos levarem a sua dcsintc-gracao material.

A desimegracao da cstrutura ocorrera se algumas partes constiruinres da

estrutura sofrerem valores extremes em face de:

te n s ao d e c om p re s s ao

tensile de Irai.;aO

tensao de cisalhamcnto

tors:fio

b) FOn;' tangencial a urna ,e9"0.

t

c) Memento fletor: as forcas atuarn no plano que contem 0 eixo de uma

que vence LIm vao (viga):

Para chegarmos a s tensocs que levam, OU nfio, ao colapso das estruturas,

rem que haver urn efeito intermediario, causado pelos esforcos mivos e reati-

vcs. Esses esforcos internes solicitnntes gerarao. no Cinar. tcnsoes de tracao,

ccmpressbo e cisalharnento.

d) Momento torsor: 0 momenta esta contido num plano ortogonal ao eix

P09U.

26 

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3.1.1 Exemplos de como as esforcos solicitantes c

resistentes atuarn em estruturas

Os esforcos internes solicirantes, gerados pclos csforcos exrernos ativos

e reativos. causarao no final a seguinte estrutura:

• tensac (pressao) de compressao:

• tensac (pressao) de tra~ao;

• tcnsno (pressao) de cisalharnento (dcslizamento).

o quadro a seguir mostm esses conceitos:

internessolicitantcs

Esforcos

i n t emus

resistentes

• Partenon: em cada coluna ha forcas ncrmais e tenxilo de comprcasac.

• Mulber no rrampclirn: h;1memento flctor no trampolim,

Perea normal de compressfio a serrfio

Porca normal de tra~jj(l il secso

Fo rcu tu ngenci .. 1 a s e ~ a o (cone) • Bexiga inflada: Miforcas normars a secao gerando tensoes de tracfio.

&~)-- '/

F "J\"0)

Mementos flerores

M em en to s d e tO f\! ilO

• Tuba enterrado, de esgoto, sern pressao internu lui forcas normals a

ponto do circulo gcrando tensoes de compressho.

Tensao de co m pres sa o

Tensao de tracbo

Tensao de cisalhamenro

Conhecidas as rcnsoes, podem-se usar os "critenos de resistencia" para

estirnar como a estrurura se comporrara (veja anexo 4. neste livro.)

28

 

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• Estrutura de madeira: a force F gcrarri forc;o normal e tangencial e haverri

rensoes de cornpressao e de cisalharncnto no trechc AB.

A L ,7 , 7 7 , l [ B I

•Viga de ponte rolunte: haverri momentos fletores intc-rnos na viga

c cr.• Eixo encravado on parede: a Iorca-peso gera memento de tafcruo no eixo,

alem de memento fletor. a s dais mementos fletores causam tensoes de

cisalhamento, tensoes de compressao e t r a ~ -a o na vigil.

.. 0 llquidificador: 0 eixo girando cria tor~ao nele proprio. A tor~ao scni

maior se houver mais material < .I ser misturado,

30

• Furador de papel: a baste vertical cisalha 0 pnpel

.. Viga L engastada: hri flexflo crescents de A para B e de B para C. H6 to

decrescente de A para B e constante de B para C.

,/1

[[~~>;-~?lr~"~~~:~'~'.~>~~]::~• Parafuso de madeira: 0 movirnentc de giro do paratuso de madeira e diftado pela coesao da madeira gerandc urn esforco de cisalharncnto no

fuse. Como 0 parafusc norrnalmente 6 metr i . ico , ~'n:aQd a para sen

cisalhamento", Se usassemos para-usc de plastico, visivelmcntede

sofo desguste do cisnlharnemo .

 

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• Mola helicoidal: a forca F e tangencial uo plano da segfio normal da rnola,Essa Iorca causa torcfio na mola devido ao brace de aluvanca 11.

• Garrata de refrigerante: a forca F e 0 esforco ativo, e 0 reativo e causado pm

algum supcrte da garrnfu. A forca F causa urn mornenro torsor que cria urna

tensao de cisalbamcruo na relacrio rnmpa-gargalo da garrafa

1~

I

I

1-

--~--)(j~\,:

' - t oF• Desliznmenro de: terrene a cunhn incicada no terrene S o ficarti esravel se acoesfio inrerna do terrene resistlr a tensile de cisalhumcnto. Terrenos argile-

sos (barrentos) tem razoavcl cocsfio interna, Terrenos alga arenosos tern

menos coesao interna. Suponha. como recurso didatico, que queiramos fa-

zer urna pilha de bolas de gude (bolas de vidro). A total falta de coesao

entre as bolinhas impede por complete a cxistcncru de uma pilha que ficasse

de pe. Hoia necessidadc de uma parede de ccntencflo.NI

~

32

vejamos as esforcos nestes desenhos de quadrlculas

Peca em comprassao

Pecaem cone

1~·;:51sojrl:lIldOIIElxA[)('Jiga8)

~3 soveroc tOfQao [elxo]

 

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Capitulo 4

'Iensoes, coeficientes de seguran<;a e tensoes

admissiveis - dimensionamento das estruturas

Imagine que temos de suspender urna peca industria: de 7,55 tf par lima

cordoalha de aco cuja resistencia media de ruptura C . de 1.490 kgricrn2, Vamos.

verificar a espessura necessaria da cordoalha

F' I I Fnnu a gem: a= S

F = 7.550 kgf 0: = J.490 kgflem'

S _!'- 7.550 _ 2_ 0: - 1.490 - 5,06 em

Vamos escolher 0 diftmetro da cordoalha que tenha essa ,lrea. Sc adotar-

mas 0 diarnetro de l ", cstarcmos atendendo ao projero, pais essa bitola de

cordoalha tern area de \06 em": todav ia:

.. COlT! 0 tempo a cordoalba pede perder resistencia, podendo desfiar;

.. em alguns casas a resistencia media da cordoalhu pode variar de lote pam

late c tulvcz tcnhamos 0 azar de ter em estoque lim mall lote;

• a cargu a suspender pode ser O l i g o maier que 7,550 kgf

Nasce iutuitivamente a no~Ii.ode cocficiente de seguranca: dotar 0 siste-

ma de lima capacidade udicional , que funcicna como reserva estratcgica e que

nao 6 para ser usuda. Essa seguranca se cspelha em om nrlmero gue rode ser

considerado um acrescirno a carga Lie7.550 kgfAdmitindo que escolhernos 0 coeficiente de segurancu k = 1,5, ternos.

Quando se aplica 0 coeficre»:c de seguranca a resistencia media tem

a resistencia (iensao) adrnisslvel.

Admitamos agora que vamos elaborar normas gerais de uso de ma

rials. Sabemos que existem rTlilteri~ismnis c()nl'iavei~, _ouseju, que apresema

grande uniformidace de rcsistencia, e outros matsrl~ls :;en~ lI,niformidade

resistencia, Tem-se como regra geral que produtos industr ializados sobre

quais se exerce controle de m~terlas-prin~a.s e de fabrici l~~~ - e o.casoa905e alumfnio ~ possuem rn.uor confiabilidade que matenars lIat~rius) co

pedras au madeiras. In:uitivalllente divide-so 0 conceito de cOctICI~Il~C de

guran~a em dois coeficientcs. urn para as cargas e Dutro para matenais, se

que esre ultimo varia de material para material, '

o dimenaionamento da pe~a ficaria aSSltTI;

~l _ _ _ _ U

Tendo dais coeficienres, podcmos dar valores diferentes a cada

conforme as caracteristicas do usn.

Va/ores de kj,' podem variar de acordo com a usc. Para esforcos bern conhe

des, como transpnrtar cxclusivamente peens prcutas nurna industria> 0 valor

kl pode ser mellor do que 0 valor utilizado para transporter congas geraisuma industria .

Valores de ka: sua variacao se da de acordo com 8 funcao do ripe de mater

aco, madeira, concreto fci to em obra all concreto feito em usmu

No mundo do concreto urmud 0 os coeficientes sric ~

forcas, k, = 1,4

materiais, k2= 1,4 para concreto e 1,15 para ace

s = 1,5 xF = 1,5 X 7.550 7,60 em"0: 1.490

crlimite FOadll1=-k-=kS

 

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4.1 Coeficientes de seguran<;ana tecnologia mecanica

Dados de urn cutalogo de urn fabricante de correntes

Corrente de ace

U (111m)cargn de t rnbalho cerga de teste cnrga de rupunu

kgf(1) kg! (2) kgf(3)

10 3.125 8.000 12.500

18 10000 25.000 40000

1 - Par experiencia do fabricante Cmcndcnco as normns, C j ixOOH;'1cnrga de t rabalho

2 - Todas as.pc~a5 sao verificadas em teste com es~acnrgn.

3- Pequena parte ciaproducao Cvcrificada em teste que leva al e a rupture.

Urna razi lo P O S S L v e i para a. utili7..a~f:io de grandes coeficientes de segu-

ranca - ~omo 4 - e 0 faro ~e. no teste, a prova ser eataticu e del no USO

diario, exisrirem fo r ca s dinftrnicas que. uumcntam momenmnenmente as ten-

soes.

Para lima visao inicial des valores uproximados das tensoes admisxfveis

dos varies materiais, vcjamos a tabela a seguir:

Tco so c s a dm l ss i ve i s

tra9.1o compressno cisal harnento

mate r i n i s kgf/cm2. kgf'lcm! kgf/cm2

O J, O J, '[

"£.0 1.500 1.500 800

ferro fundido 300 900 300

concreto S O 5

madeira f< l 80 10

gmnirn 20 20U

Refembrando:

r e ns ao a d n u ss tv e lresistenci3 media k

k .co rn x > 1,0

36

Noras d iddt icas '

Outras Areas de tecnologia fazern uso de formes numericas diversas para cxp

rnir 0 coeficien te de seguranca.

Em ctltas areas de e ng en ha ri a i nd u sL ri al_ usa-sc por vezes a exprcssao "fo

de 80%" em relacao a carga maxima prevrsta de trabalho.

Nola cr{llca:

Sao usuuis no rneio tecnico expresszcs como cargo util, carga acidental, ca

de service. ca rga nominal, carga de l l tWz,ac ;ao e carga limite. A proliferaca

desses termos, entre tanto, scm deflnicao explicita, pode Ievar a contusoes

que se iniciam no setor,

4.2 Primeiros dimensionamentos

Detc-minados os esfcrcos. conbccidos os mareriais e fixados os c

dentes de seguranca, e possivel dirnensionar csrruturas. A tenninologn

cmpregamos e :

• Dimensionamenta: dados os esforcos e as tensoes limites e os coeficie

de seguranca, deterrninarn-se as dimcnsoes das es truturas. Eo case tfpico

projeto de novas estru turas• V(~rificaf.ao:dada urna esmnura, conhecido seu material c fixados os c

dentes de seguranca, verrfica-sc D maximo esforco que a estrutura supo

1 .3 0 case, por exemplo, de identificar a carga que uma corrente pode su

tar,

4.2.1 Analise de urn caso real

o aviao Douglas DC-3, 0 aviao rnais fabricudo no mundo em todo

tempos, fai dimensionado para transportar lima certa carga a urea certa ve

dade C Om urn certo coeficiente de seguranca Durante a Segundn Guerra M

dial (1939-1945), em uma silLl l l , : (1l0 crftica, Fci necessaria verificnr 0 m axde carga que esse avico podia rransportar de urnu ilha a outra no oce

Pacifico com um coeficiente de seguranca algo menor. Os cdlculos f

refeitos e a Ireta de avioes disponiveis foi operadu nessa situacac crftica

avUio DC-3 saiu-se bern em condicocs extrernas. Foi urn case real de verif

> ; ; . 5 . 0 de esrrururas.

 

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4.3 Exercicios numericos

Exercicio 1

Uma peca que pesa 123.000 kgf apoia-se sobre quatro pecas de "90 de

baixa estaturu, como indicado no desenho ao lado. Identifique < . I S dirnensoes

que a peca devc tcr. Pccas de apoio a x Sa.

~ -c=_[a

= b _ _ - - - - = J : : : r

r

E u m pr ob le ma d e d im en sio na me nto a compressao .

Or ; ;= 1.000 kgf/cm2 = = > Tcnsno nd missfve l d o a ce Ui l in co rpo ra 0 co cf.cicn te d e

seguranca)

. - FFormula geral: (Jc =S

s = ~ = 123.000 = 123 em'<5 , 1.000

Sao quatro pc~as de apoio, portanro:

4 (5 x a'l = 123 em"

a-,fJ]3-0-- 20 =~~.Jcm

Logo, a peca de apo i a deve tel"as dimensoes mIIlIIllLlS de 2,5 x 12,5 em

o peso pr~prio da csrrurura dcvc scr ccnsioerado nCJ~cdlculos quando

seu valor for significativo, suuacao que nao occrre neste case,

38

E xe rc ic io 2

VIn peso de 8,7 tf dcvera ser sustentado por quatro pinos curtos red

dos, de ferro fundido, cruvados numa purede. Dimcns.one esses pinos.

E u m ca so d e d im en SlO nt1.rn e nto a o co rte> a u scja , ha ve ra cisalhame

em cada pi no

FrorrirlO=84 7 =2,175lf=2.l75kgl

;;= % = 300 kg!km' C ia incorpora 0 coeficientc de segurnnca)

S - .Q - 2. I75 ~ 7 ?5· 2- : r - 300 - .- em

Cabe agora detenninar 0 diamctro do pine.

n: x 02= 7 25 em!

4 '

O",]cm

E x er cic io 3

Dado urn cabo de aco de I" de diametro e 0\ =: 1.500 kgf, que

transportar cnrgas com 11 configm8.950 indicada, idenrifique o maier peso

essa estrutura de icamenro pede sus-er-ar.

 

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I"= 2,54em

r. 1tXD2 1[x2,542 _

S, =-4-=--4--=),[)6cm'

Observe 0 equilfbrio das curgas e dos cabos:

2 P, cos45"=P

F,=-_P_-_P __ . R . . .2 co, 45" - 2 x 0,7 - 1,4

Em cada cabo inclinado atua ulna forca t 4 e no cabo vertical atua a

force P . Logo. 0 cabo mais esforcado e 0 cabo' vertical. Vamos verificar 0

rr-aximo P :

- FIT = S F = " X S = 1.500 X 5,06 =7.590 kg!'

. . Note que, se 0 angulc a fosse maier que 600 (cos a> 0,5), a parte rnais

cxigida do cabo seria a sua parte inclinada: essa seria, porern, l ima r n a solucaoconstrutiva poi...os cabos n50 devem sustentar forcns com ffng.rlos muito incli-

nados, uma vez que a forca nesse cabo aumentn mui tu .

40

Atente para estes casas:

,

" t ? "Construiiio J Construci io 2

A Construcao 16 indesejavel. As forcas em CB e BD sao desneces

riamcnt:e grandes em face do grande valor do dngu!o 0:.

Quante a Construcso 2, e cor-eta. Como a distancia MN ~ gran

usou-se urna viga de a90 e suspendeu-se 0 peso usando a viga. com i

dirninui 0 Sngulo e as forcas e as tensces ern eB e BD.

 

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Capitulo 5Todas as estruturas se deformam -

lei de Hooke em6dulo de Poisson

N ora 1:Experiencir; num material que visualmente apresenta resultados

Pegue urn elastico de oorracha, desses elasticos comprados em papelaria, e.

Fe;a esta cxperiencia. Cortc-o com urn comprimento de 10 em e fuca varias

experiencias de tracfio, mas sern esforca-lo rnui:o, Depois disso meca-o ourra

vez. A nova rnedida devers ser muuo proxima dos 10 ern iniciais. lsso indica

que estivernos fazendo experiencias dentro do campo eltistico; terminrmdo 0

esforco, termina a defo-mnclto nu peca e ela volta a set 0 que ern. COlli

cuidado para nao rornpc-!o. procure. esforcl-lo mais, ate sentir que csta quase

rompcndo Meca 0 novo cornpr imen t o , Voce notara que, rnesmo nne estanco

disrendido, 0 elastico tern agora quase 1'1ern. Ocorreu urna deformaciio per-

manenre (plasticu) 11 0 va lo r de I em.

Nota 2:

Por que esrudar as deformacoes nas estruturns?

Eis i lS rJZOe8:

• Ter crirerios pam limitnr as deforrnacoes nas estrururus em trabalho. (Daria

para accirar LIma truve de gol que t ivesse flechn (barriga), no seu ponro

medio, de 20 em?)

• Desenvolver teorias que permitam resolver cstrutums: SCm esse rccurso,

seus esforcos f icnr iam desconnecidos

Ima g i n e rn o s , por e xe mp lo , lim a p ra ncha de 20 kgf colocada sabre cinco

aporos.

Como se distribuem as rea~ucs r-esses apoios?

Essa e uma estrutura hiperestatica e descobrirernos essex valores usan-

do a rcoria das defor rnacoes.

42

No/a 3:

Cada material deforma.-se de uma mnneira. ao sofrer esforcos. E sense c~om

que 6 mais facil dcformar um flo de borra~ha que urn de algo_dao. E r

confortavel dormir sobre um estrado de mad e i r a que sobrc limit laje de conc

to, pels a madeira defonna-se mais q~le0 concreto. .

~

Cada material deforma-se nuns ou menos que outre material. Podcm

assegurar 'Ill": a ?cfQrma,ao que cadu material apresenta ql1a~ldo sofre lra

au compressao e quanlltatwamente igual. Essa prem1ssn sera usada em

( cste [ivro.

Nota 4:

Quando fa.amos de corpos sofrendo compressacestarnos

nos referindo apos de pequena altura. Case ccntraric, $C fosscrn de grande altura, surgiria

"rufdo" no trabalho, uma interferencra de alta monta denominada "flam

gem", que falseia os resultados. Vaja:

P ec a c or e f la r nb a gem

 

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5.1 A lei de Hooke

5.1.1. Primeira considera,ao

. Pegue dois eldsticos, urn COm 2 em de: cornprirnento e ourro com 10 em.

e tracrone-os com a mesma forca, Para isso, basta prende-Ios nas suas e-Xtrcmi~

dudes e cclocar pcs_os iguais pendurados . v o c e pcdera medir as dcforrnacoe-, e

notar que 0 de maror compnmento terti urn alongarnento cinco vezes maierque 0 mcncr, Observe:

Se L2 ~ n x L,. en ta o L1L2= n x Ll4.Ccnclulmos que a dcfo rmacao XI nao

e caracrerfsticu do material. Para os dais ~~~"'~""'M&"

~hlS.ticOS' ~iYida agoJ(~ cada det:o!ma\ao pelo ae u compr :m en to o ng r n a l e ve r if iqu e qu e u rn LI

mesmo numero sera alcancado. Portanro, L2

pa ra l1n ~a ~ ad a fo rca F, a re la ~ff~ xjlL e u r n a 8·Lr

curacter: ~tlca do material "elastico" Chama- 6Ll

rernos xI/L de e e daremos a ele 0 nome de ts:d.ej"ormapio uniltiria.

5.1.2 Segunda considera~ao

Pegue agora do~selasticos de rnesmo ccmprirnento e mesrno material ,

mas corn espessuras diferentes: urn mais grosse (se950 S I) C outro mais fino

(se~ ao S2) e a pliqu c u ma me sma to rca F ao s d Ot!) r na te ri a is.

1l:]~/ \

44

o rnesmo material elastico sofre deformacoes difercnres LlLIe

elo faro de as espessuras serem diferentes. Assim como criumos 0 mdice

~a lcu l emO' F/ S ( te nsao o u pressao ). A ccm pu racao d a re la ca o L 1L,/L , e L1L

com FilS I C F2/S2 110S fad. vel" que tudo e proporcional .

5.1.2.1 Conclusao

Para caracrerizar urn material sof-endo deformacoes na tracao (ou

compr es s ao ) , as variaveis a cO llsi de ra r p ar a identif,car a material elastico s

I T e cr~~ E = ~ ~ ~ IE =modulo de clasticidade ou modulo de deformabilidade longitudioal

{modulo de Young) .

Elasticos de mesrna origem quimica sofrerao idenuco nUL se es

rem esforcados pela tensao cr ~ F/S.

o enunciadc da lei de Hooke na sua expressao mais singela seria

rnesmo corpo sofrendo tracao (ccmpressao) terti uma deformncao ilL e,

f o rc a d o br ar , a . d efo rm nca o d ob n a r a" .

Uma cxpressao mais elabcmda dessa rnesrna lei seria "corpos deme srno material tem uma rela~ao linear entre e Co " .

G ra fi ca me nt e, t er em os:

0= F rs

<:=~UL

 

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5.1.3 Terceiraconsideracso

Vamos ver na prance como as coisas acontecem.

Volte a fa~er a exper ienc ia com lima peca - 0 elastica - que renha

10 em de compnrnento, Fuca com que ::J forca F cresca e va rnedindo os ~L.

E~q~anl.o 0 es[or~~. c _ b~ixo, cexsada a force. a pC~3 volta ater 0 comprimento

o rig in al d e to em. Tal s nuacgo e d e n om i n a d a situacao elastica.

Aumenre agora signifrcarivameots a forca de t ra '9 no . V o ce notara que

alga co~c~a a acontecer com a pep. Elu "csgarcou", ou seja, cessada a forca,

o ccmpnmento da peca rem alga como 12em. Essa diferenca de 2 em e umadeformacao permanente. Chamarernos a essa dcformacao de deJormar;iio pltis-

tica (situacao plastica).

Veja isso para urn material num grafico. Para a esmagadora rna io r i a des

materiais, 0 grafico e i gue , l nu cornpressao e ua tracbo.

Cif - tensao limite de proporcicnaiidade

0'2 - t en sao d e escoarncnto

G3 - tensfio de rup tura

Trechos :

OB - elastica linear

Be - eldstico nao linear

CD - escoamemo (deformacao plastics)

46

EnquOlnto as tensoes variam de 0 a 0'1, a lei de deformacoes e linearsituat;ao e . elastica (trecho OR). A partir d~ C" ] a te CJ2,a curva Be nao elinear, ernbora seja ainda elastica. A partn- de 0'2, note, nil expcriencia

mantida a forca F, a deformacao cresce s egu id a r n en te . E a chamado "es

rncntc do material", no creche CD (deforrnacao plas t ic-a) . Se continuarmo

fa ze r cre sce r a fo rca F, a um en ta nd o a te nsao , crcsccra o a s d cfo rm aco es (r re

DF) e ai chegandc ao ponte F a pet;a rompe-se.

Claro que cada material da natureza tern suas proprias leis de defor

'i'ao. 0 ace segue bcm essu lei, au seja, apresenta grandcs dcformacoes per

nentes antes de romper-se {da aviso prcvic antes de se romper), pur is

chamado de material ducul. Concreto, vidro e madeira rompem-se sern a

sentar ° patamar de escoarnento. Sao chamados de materials ji'ageis,

cn tr am " em cr i sc' ' scm q ue e spe re rn os.

As vezes temos interesse so nas defcrmacoes elasticas, como no

do usa das balancns de molns. Cessada a medida (esfOI'90), cessa a defor

~ao. Se resrassem deforrnacoes residuals (plasticns), a ba.anca ticaria des

b r n d a .

Outras vezes desejamos deformacoes plasticas (permancrues). Sao

formacoes permanentes que geralTI pecas d e aco, m ad ei ra , d e m ate ria l pla s

do nosso dia-n-diu. 0 hornem desde 0 inicio da civilizacao deforma mater

para gerar utenstlios"

* 0 mais ducril de. todcs us mnteriais G 0 O"J'O. Corn urn grnma de ouro pode-se, cstirando

Inzer fios de ceruenas de metros de comprimemc scm romper 0 material. Uma cnracteristi

d e d eforma ca o p r( ix im :l da ductilidade e a maleabilidade. 0 ouro C, ourm vcz, 0 rnat

mais maleavcl. Com urn simples mar telur (ao; ~{ ) dinaml ca de comprimir) (: posstvcl

scm r omper , chnpns d e ]/lO OO mill, C) que explica, econcmicnmcnte, COmO ~ possfvel

desde 11 epoca do Brasil colonin - revesnr imagens de suntos com DUro. OllU'O LllH

c xt re ma r ne nr c d u ct it e IJ alumfnio. Sc voce analisar 0 p a pe l a l um i ni za d o qLle p r ot eg e v

c.mbatngens de niimentos, saibn que esse papel tern reduzidtssima espessura. Vcja tarnbe

tevcstimenro interne das caixus de Ieite tipo tonga vidn. S o C cconomicamenrc vidvcl

nlumlnio como barreira de protccilo contra 0 urn ldade se muiro pouco dcssc materia

empregado, 0que e ccnseguido em larninndoras que produzem fil rnes rncui liccs propici nd

pela ductilidade do alumfnio. A espessurn desses vcrdadei ros filmes de alumfnio e de

de 30 micron s

 

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5,1.4 Quarta considera~ao

. :,am~s admitir uma lei absolutarnente generica e valida para rodos os

matenars existentes no mundo, urna lei mais prat icu do que real,

o graficc a scgulr mostra a hipotese adrrutida:

A r : ; o

IT t sen»

/ /AlumniO

I Madeira

I _~__..---~---__'"OUf:J

~_.,::;:-"~'::::::-'::-------~-------£laSliCO

G""l ~L

5,1,5 Quinta con~idera,ao

Diante do expos10, cada material nas suns deforrnacoes par rracno OU

compress~~tem lim fndice que rnostra sua dcformabilidade. E 0 modulo dedcformabilidade longirudiuat (modulo de elasricidade).

Vejamos para varies rnateriais OSvalcres d e E.

2100,UOO

f~ITO I . O O O , Q O O

alumfniu 7 0 0 . ( ) O O

cordcalha de ace I , ( ) O O . O O O

madeira de 80.000 a 140 .000

madeira compensada 40,000

couro 2,000

borrucha 1 0

E.sses dado_s m~strarn que, dadas duas peens de 090 e de alurnfnioge~me.trl(';~1Il1Cl1te_lgmHS, se ,a~bas forem esforcadas com u rnesma forca F.

cntao a dcforrnacllo do alurnmio sera [res vezes maie r que J do uco.

Por razoes didaticas, 0 modulo de deformabilidade devcria chamar-sc

modulo de .nao-deformabilidadc, pais 0material de maier modulo tern mellor

delormabilidade.

48

5.2 In£orma<;6esadicionais sobre deformabilidade

I. As deforma~5es oriundas de pe~as sofrendo tra9ao au compressao

sernpre diminutas, corn excceno da borracha (elastica). S6 para esse m

rial elas s50 visfveis. Para outros materials ternos que usar instrumcntos

medida para poder rnedir as deformacoes.

Em face disso, para i lustrar deforrnacoes temos que usar urn outre esfor

que e a flexao que gem deforrnacoes visfveis. Todcs ja dcvcm ter v

d e fo n na nd o-se pa r fle xao peca s d e ma d e ira s e a te cha pa s d e a co .

2. As cintas abdominais exemplificarn a possibi lidade de uso diferente de: E mais c6modo usar cintos de elastico que de COllCO.

3. Com mareriais de alto E pcdem-se obter estrururas de menor E. Urn exe

pia disso saO os cabos ou cordoalhas de aco. Usam-sc cntao fios de uco

reduzido diarnetro, rorcidos em volta de Lim nucleo de 390, Oll de

materia! de baixo E. 0 Bde um cabo de ace pode chegar a tee metade d

d o p r6 pr io ' yO,

4. As vezes temos que estirar fios de aco - c uma tarcfa diffci l. 0 Ieigo dque e diffcil estirar <1 0 : ; 0 dada sua resistencia. Essa e uma explicacao erra

E diffcil estirar fios de <1'90 par causa de seu grande E. Se vamos faze

estirumento de fios de ace da es.rutura rnetal ica do suporte de lima ant

de radio usamos urn tipo especial de dispositivo (alavcnca) chnmndo "e

rador", a venda em lojas de ferragens, E uma pe~a com dois parafusos

s e n p ro x im a r n OU se a fa stam d e accrd o com a ro ra ca o d a pe en . A o gin

peca , o s ca bo s d e a co sa o o br i ga do s a se e sr iru r ate alcancar u r n a tensfio

que a fio fica esticado.

Veja:

/- A

I ] ~P ' 3 0 "

EstnacoEslirac'(){

Torr ,

Corle~ / y ~ , \ wCl~urnb<ldtlr,;:=fl~~fw,--y

naterra

 

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. Os estirado.rcs sao usados para fios de <1';:0 de diametro reduzido. Se

nvermos que _r r ac rona r fios de n~o de maier diametro, deve-se uti l izar urn

cquipamcnto mdustrial chamado TIFOR (guincho de alavanca).

5,3 0 modulo de Poisson

.Quan~o compril ll ir~os ou tracionamos longitudinal mente urn corpo,

suas .~lr~ensoe~ rr.nJ~si'e~·s"us~ofrcm mudancus. Na t r a cao , cada uma das di-

rnensoes transversnjs diminu] e, na cornpressao, as Olltras duns dirnenscestransversals aumentam A rclacno entre. a deformacgo longitudinal e cada di-

mensae transversal e caracter tst ica de cuda material e charna-se modulo deP o is so n ( 11 ).

o modulo de Poisson varia do Da 0,5. Para ° " , 0 , e de cerca de a 3'para 0 concreto, de cerca de 0,] 5. ' ,

o ~enomeno da diminuicao das dimcnsoes transversals de urn corpo, ao

softer esnrumenm, chuma-se "estriccao". 0 care leiter pode visualizar corn

extrema clareza esse fen6meno lazcndo uma exp~riencia com umelastico,

Veja :

• III. 1 ~ l n q l ) n n ~ l n ' r l l l " I " ' ' ' ' I " , " l " ' ' l l ' ' ' ' ' 1

Com,:lr'lffllmio

Ini ClaI; r cm

Espessur a linal: 1 mm

Comprimento

n r er za cm

50

Para passar de 7 em para 28 ern de comprimeuto, 0 elastico teve a

espessura reduzida de 2 mm para I mm.

Nota:

Por hipotese, admitimos que. cessada a [Lyao de urna forca, cessa a tensao,

verdad~. em dcterrninadas siruacocs, mesmo cessada a a9ao de urnn Io

permanece~ tens6es~ a: c~amadas te~s6es J~c.sjd~ais.U.1llexemplo visfvel

conseqilencn1s da cxrstencra das tensoes residuais censure no dobramcnto

a90 da const ruo; :ao clvil. Se pet;as dobradas de nco forem expostas ~o tem

suas partes dobradas comecarn a se oxidar antes das partes nao-deformad

como fruto das tensfes residuals.

5.3.1 Reconheca as estruturas do dia-a-dia

• Como fazer embrulhos

Por que e mais f; leil nrnanar pecas usando elasticos em vez de barb

tes de algodao?

E que, no ato de atar, procurarnos tensionar 0 elemento l igante

depois solui-lo ligando as pecas, Como a E do elastico e bem menor que

do algodao. consegunnos facilmente distender 0 elastica e, depots de solra

el e ala 0 embrulho. Com 0 barbantc e muiro mais diffc.l executar isso s6a s ma o s, d evid o a o E d o algodao,

Observe:

• Aroupade homens e de mulheres

Homens e mulhercs usum roupas de materiais como algodao, scouro e fibras sinteticas Quante rnenor 0 E do material, mais a Pe£-Umolda

ao corpo do usuario. Roupas de algoduo e lingerie moldum bem a corpo.

Roupas de couro - como os giboes nordesrinos - escondcrn as

mas do corpc. Por extreme, Ul113 arrnadura med ieval pode ficnr de pc sern

haja alguem dentro dela,

 

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No romance Grandes Sersties: veredas, de Guimarues Rosa, 0 persona-

gem Diadorim oculta por um certo tempo 0 faro de SCI' do sexo feminine. lsso

s6 foi posstvcl par usar roupa de couro. 0 leiter concordant que, se usasse

roupa com material de rnais baixo E, seria quase irnpossfve! esconder tal faro

• S in ra a d u ctilid a d e d o a 90

Le-nbre: ductilidade e a capacidade de produzir deformacoes penna-

nentes sern se romper. Pam provar isso usemos urn grarnpeador de escritorio.

Grampcic varias folhas de papei, Note que 0 grampo ameriormente de fo rmaU se d efo rm a . ve ja :

c remoo dO :: lI st Jo

o grampo. urna esnurura de aco, deformou-se permanentemente numaoutra pratica estrutum que prendc os pnpeis.

• Urn carte espau fou -s e em alta velocidade Contra urn paste de concretoarmado

Do terrfvel desastre c . possivel reconhecer 0 colapso dos varies t ipos dematerials:

a) 0 concreto, q ue c f ra gi], desintegrn-se.

b) 0 01'90 das barras do concreto armado deforrna-xc enorrnemente sern desin-tegrar-se.

o uco da chapa do carro, sendo ductil , deforma-se; cbega II rasgar mas niiose desintegr»,

c) 0 ossadomotoris-a, sendomaterial fragil, quebra-se (desinregra-se),

Capitulo 6 , .

Quando as estruturas se apOlam -

entendendo os varies tipos de apoio

Para compreeoder 0 func ion amen to das estruturas e _ muito imp?rta

conhecer 0 tipo de apoio que possuem. A estrutura de aporo nada mars

que um corpo ngido que recebe e transfere esforcos das estruturas ern ~studArvores estao apoiadas na terra; caixas d'agua podern csta~ apoiadas

1ajes; vigas estao apoiadas em colunas: navies, na agua; trampolms, em es

t u ra s d e grande rigidez, etc.

Seja urna vigu de madeira simplesmente lancada sabre dais apoios

la re te s d e madeira) A e B:

o sensa cornum indica que a viga trabalhara de uma maneira se

simplesmente apoiada e de outra rnaneira se as suas extremidades forum fdas per pregos nos pilnretes e~ainda, de urna terceira maneira se uma extre

d ad e fo r pregada e a o u tra n ao ,

6.1 Classificacao dos tipos de apoio

• Engastamento (encaixe) - esse apcio niio perrnite q~e a extremidu.de

vigu que etc suporta se afaste na horizontal c nu vertical, ou que gire

J ig ar ; ao co m pre go s cira da a ci rn a e u rn e ng a stamen to . ~

Uma peca de avo numa reentrftnciu tie uma outra pcca e tambemexcmplo.

 

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• Articulacno ( p.no) - nao permitc que os apoios se afasrern ua horizontal

tampouco na vertical. mas permite urn giro do apoio. A f1q<l dobradica de

umn porta au urmriric e om exccler.te exemplo. A rclacao biela=-maniveta

se d a a n -a ve s d e u rn pino.

Esses spo os quatro tipos principals. Hri cases misturadcs:

• Engastamento movel - perrr.ite rranslncao mas 115.0 rotacuo au ascens

ou ainda que a pcca se desfoque pam baixo,

•Nota:

Nus construcoes mecdnicas temos :A comprceusjio da imponanc.a dessas pecas levou urn famoso arquite to pau-

lista - Villanova Artigas - a criar umn frasc-sfmbolo da Rcsistencia dos

Materials, Ei-Ia: < I E necessario r a z e r cantar os apcios".• Mancal de apoio - gira e pcrmite translacflo.

• Rcrula - essencialmente 6 uma esfera que permite roracoes em quaiquer

pinna. Espelhos de autorrovcis sfiorotulados as esrruturas do carro. Ha um

prcdio industrial em Sao Paulo em que s.eutiliza 0 andar terreo para testes'

de equipamentos de vibracao. Os pilares que nascem do terreo sao dotados,

cada um, com uma esfcra nn extremidade inferior. Desse modo. por causa

dos vinculos rotulas, nan se iransportum para 0 predio as vibracoes do andur

r e r r eo .

E

• Mancal de escora - s6 permite girur.

• Carrinho (roletcs) - n50 pcrmitc que a peca suba ou desca, mas permire

translacao. Uma viga de madeira colocada scbre duas pet;as de madeira

pcrr-iite translacao e rota~ao, porem, nao perrnite lim atundamento. Patins e

bicicletas sao dotados de roletes.

/ 1

~

54

 

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Capitulo 7

Estruturas isostaticas, hiperestaticas ehipostaticas

7.1 Definicao

,Q u a n d o u rn~ ~ stru tu ra r em um numero d e vfn cu lo s ta l qu e po ssa rn scr

:esol~l~os pela Estatica - as famosas quatro condicoes _ ela Curna esuuturauostaura.

Se 0 mimcro de vfnculos de urna esrnuura cresce, entao nao bastam as

quarro equ~y5es da Estf irica. Para determinar seus esforcos, temos que usar

outras teonas (pOI e,x:emplo 0 esrudo das deforrnacoes) a fim de descobrir os

va lo re s d as r ea co es n os a po io s. Sao a s estruturas biperestaticas.

Quando 0 mimero de vinculos e insuficiente para dar estabilidade temos

a s e str utu rn s qu e se m ovim en ta m, dcnominadas hipostdsicas,

Observe:

!

1

Estruturas isosuuicas

Estruturas hiperestdticas

r

Estruturas hipos{alicaj"

56

lhi estruturas que sa o isosnincas para uns esforcos e hipostaticas par

ou t ros .Nas consuucbes pobres du periferia da cidade, par deficiencia de fixa

yao, 6 comum ver a cclocacao de pedras sabre 0 telhado. Nesse case, poderno

afurnar que telhados rnalconstrufdos sa o estruturas isostaticas para cfcito d

se n p eso e h ip ost at ic as para ventos fortes.

Para todas as esrnuuras isostaticas e hiperestaticas valem as "quatr

f am o sa s c o n d ic o es '' :

7.1.1 Outros exemplos

• Ponte rolante

Uma taiha rnove l apoiada sobre uma ponte rolante e uma estrutur

hipostatica apoiada em outra esrrutura hipostatica.

• Urn corpo na agua - e Isostritico se nao sopra-

rem ventos; hipostarico em relncilo a urn deslo [iamento honzontal se soprarem ventos; e pen- \ igosamente hipostatico se cornccar a afundar )

Urn barco - flutcn (estrutura isostatica) quando _ I IISe ll pe so e ca rg a C igual a o e rn pu xo hidrostatico ~~>_ ~ NA

E, que e reatrvo Quando 0 peso total e rnaror ~~ :::.~__ _ _ . r : - -

que E, 0 barco afunda (estrurura hipostatica) 0 ./ ......1 ' 1E'lIID: e 0 peso da agua COil espondcntc no volume ! E ' m P L J W

r rn erso d o b ar co . hldrostalic

5

 

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7.2 Casos de estruturas hiperestaticas

• Urn banco de igreja de cinco pes.

• Urna ponte rolante apoiada sabre dois apoios e uma estrutura hipostatica

apciada ern lima estrutura isostauca.

I I• Uma viga de tees apoios sendo rmnsponada em um caminhao e urna estru-tura uiperestatica sabre uma estrutura hipostatica.

As estruturus a segui r sao tambern hiperestaticas, au seja, nao podem

ser resolvidas utilizando-se somente as equacoes de cqui lfbrio da Estatica,

a) Dais corpos, A e B. de materials diferentes e com diferentes E. Quanta de

carga F vai para A e B?

58

Como a carga

1

mrll!

BIBLIOT

. . . . ' .. . ~- -,.,.-

c) Area nrticuJado com carga centrada. Quais as reacoes H A e Hr.?

Ao longo deste livre essns estruturas serao estudadas e _descobrire

as reacoes que atuam sabre elas, podendo entao calcular tensoes e defor

~Oes.

 

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Capitulo 8

~studando os varios tipos de flexao;

simples, composta, normal, obliqua

djrec;ao xx e paralclamente a dlrecao YY. Esses eixos xx e YY sao os eix

de sirnetria da s.e~au,Esse tipo de flexao e aflext10 normal, tambem conheci

como flex.ao rew.

Imagine agora urn outro npo de viga, a que recebc as cargas verticals

peso de tethas. No casu, as cnrgas (peso) s.\'Joverticais e gerarac mement

tletorcs num plano vertical que encornrara a se~ao da viga em eixos inclinad

e rn r ela ya o aos e ixo s d e sim ctr in da s eC ;ao . E a charnada flexiio obitqua

jlextio desvlada8.1 Defini<;:iio

tJJlJltHltI

A i 1 0

,f----.,---.,f

Imagine uma viga hiarticulada de te d -porta carga disl'ribufda Vi'," pOl e e e secao retangular que su-submetida. ' ejamos como atu a 0 rnornenro fletor a que ela estri

A divisao entre flcxao normal au tlexao oblfqua e cstabelecida levan

em conta a posi~5.odo plano do memento em rela~ao uos eixos de simetria

peca,

Se usassernos como vigas pecas de secao circular nao haver ia dixt

voes entre os dois tipos de flexao, uma vez que secoes circulates nao tern eix

de simetria au, se quiserrnos, iodos os eixos passando pelo centro do crrcu

sao eixos de simetria.

Ha casos de estruturas que us-ambarras e vigas cuja sccao nfio tern ei

de simetria. Para essas secoes utiliza-se urn conceito que e uma evolucaoconceito de cixos de simetria. Esses novos eixos denominarn-se eixos princ

pais de inercia; .sao dois eixos ortogonais entre si, passandc pelo centro

gravidade da figura; para um e maximo 0 rnomento de mercia da se~aa e pa

o outro, cbrigatoriamente, 0 momenta de inercia e mfnirno". Para s~oes coeixos de simerria, esses eixos coincidern com os eixos principals de inercia.

Ha casas de vigas que, alem da flexflo. sofrem a 1 . 1 1 ; 5 . 0 de torcas norma

d e tr a,;-a o e co rn pre ssjlo . Te mo s e nta o aflexiio composta.

Como e...orces ruivos e reasi I • t f .B ~ .IIos so ernos orcas, pors as articulaco Ae nao suportam momeruo, flctores. l:r es

9Oc:sd;~imo esfOf.90S intemos soficirames ocorrerao fO~iJS tangencIais a . ' \ : se-

atuu: ga e rnomeutos fletores. 0 memento fletor em cada secao Z assim

Nesse caso em que as ca - d ,viga, os moment~s flet .. r~ns estao ~slnbllfdas ao Iongo do eixo da

ores atuarao perpendlcularmente (ortogonalmente) a * 0 conccito de IMIIII'l!to d{! lnercia sera apresentado no proximo capjtulo.

60

 

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Sq'oes sem eixo de slmetria

o quadro seguinie resume os tipos de flexuo:

Flexiio se tiver f ica

f le x f io n o rm a l flexile normal composta

flexfio oblfqua ccmpostalexao cblfqua

8.1.1 Exemplo de flexaonormal

Urna viga de madeira sen/indo de suporte a urn tablado. em 111l1U estrn-

tura sobre tim rio.

A viga sofre flexiio normal cornposta. Se esse estruturn suportu 0 empu-

xo lateral do terrene, a Vigil sofre compressso.

Te rne s a i u rn ca se d e fle xao normal co r npos ta .

62

8.1.2 Exemplo de [lexao obliqua

• A tercu de urn telhado suportando sell peso proprio eo peso de telhas

Esse ium c a su d e f l ex .a o obiiqua

8.1.2.1 Exemplo de flexao oblique composta

• Mesa de quatro pe s _ nas mesas de quatro pe s chegam duas traves (vig

e a esses pe s etas sao pregadas. Cadu trava transportu ao p e da mesamomento fletor, A soma do.' ;dais mementos gera urn mornento fletor o

quo. Veja:

C]l

b : f J _ J

 

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• Pilares de predios - quando no pilar chegam duas vigils que estao nele

eugasradas, temos Hill exemplo de flexflo obliqua ccmposta, pois 0plano do

momento fletor resu ltante dos mementos de cada vigu nao coincide com O~

eixos de simetria da secao do pilar e a forca normal de corupressac atua no

pilar. .,1'1

l~o ra :

Deformabilidade na flexzo

As pecas sofrendo ffexflo podern aprescntar grandes deformacoes. A forma

deformada da viga chama-sa Iinba elastica deformada e ela sera culculada a

partir do estudo de E do material deterrninado nurn ensaio de trar;ao/compres-

sao .

Veja :

a estudo do Iinhu elastica defcrmada lcvara em conta:

• 0 tipo de flexiio;

• 0 ti po e 0 va lo r d a ca rg a:

• 0 vao :

• a forma da viga (retangular em perfil T) (Jor exernplc) e suas dimensoes

(altura, largura da secao);

• a caracterfsuca do material da vigil, au seja, 0 seu modulo de clasticidade

(E);

• os upos de apcio

Seja a vjgn a seguir:

A flecha maxima f sera dada por:

~f~ 384 E J

on d e :

_ fu n9ao d e fo rma d a ses :f io t ransversal d a vig a

p - ca rga d ist r ib u fd a

E -tipodc material

 

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C apitulo 9

Introducao aos conceitos de momenta estatico,

momento de mercia, m6dulo resistente e raio de

giracao

Digamos que tivessemos de usar lima car-olina para receber pequenos

estcrco s d e co rn pressa o e pa ra fu ncio na r como um min i pila r, To do s pe rce be rn

qu e a ca rro lin a , pe la su n fo rma lame la r e com uma espessu ra r ed u z id a , n ao

f u n c i o n a :

Se enrolassernos a cartolina em forma de cilindro. podcria entao funcic-

nar como urn pilar OLI COmO lima viga vcnccndo UITI v fie. Se dobnissemcs a

ca rtclin a , g e r a n d o u a secao tr a n sve rsa l uma fo rma d e d e n tes, a ca r to lin a tr a n s-

fo rm ad a co meca ria u tta ba lha r co mo d ese ja do .

Vc-sc que, quando afastumos areas dos eixos de - simetria, tcmos urn

ganho extruordinario de eficieucia estrutural. Observe;

P od em os co nclu ir qu e a re as lo nge d os e ixo s cen tr a ls luncionarn melbe r .D evemo s ago ra in trcd u z ir co e ficien te s nume rtco s qu e mecam essa s

a re as no q.re diz respei io a su a d ista ncia a os e ixo s d e sim err ia . V am os in tro du -

z ir cs co nce ito s d e rnomen ro e sr a t ico , memen to d e in e rciu , m6d u lo re sisten te e

raio de giracao.

Este capitulo iruroduz tais conceitos, de mnneira a perrnitir trabalhur

Com eles. Estao rna is detulhadamcnte explicndos nos anexos deste livre.

9.1 Definicoes

9.1.1 Momenta estatico

Momcnto estatico e 0 produro de urn elernento de area (ds) por

d ist lln ci a a u rn e ix o cc nsid er ad c.

Y L ~ S,

'~ /, .

• X

IMsx =J y . d s

I

9.1.1.1 Caracteristicas do momento estatico

• Sua unidnde e dirnensilo ac cubo.

• Ms =0, se x passa pe!c centro de gravidude da figura.

9.1.2 Momenta de inercia

o produto de urn elemento de area pelo quadrado de sua distancia a

eixo considerado C0 que chamamos de momento de inercia.

'tftX

 

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9.1.2.1 Caracterfsticas do momento de tnercia:

• Sua unidade e dimensflo a quarta

• E s em pr e p os it iv e.

9.1.3 Raio de gira~ao

Trata-se do r e su l ta d o do cri lculo i = " ' f e te rn como caracrertstica uma

d r me n sf ic l in e ar .

9.1.4 M6dulo resistentc

Ao l ongo do texto mostraremos 0 LIsa de modulo resistente.

68

9.2 Tabela dos valores de cada conceito

para as figuras mais comuns

MS,(I) ), (2) W,(3) i,(4)

bd bd d

12 r;-ill

t" Jl bd d

3 3 ;f3

ltD' nD 3 Q64 32 4

TI (D'-d') "(D'-d4) ,i(D'+d'--64- .-

32D--4--

o

b d '

2

o

o

Pel /is indUSl l iais

HI JC

n

Consu l t i l l " catrilogos dos fabricantes.

(1) M eme nt o e st ar ico :

(2) Memento de inercia;

(3) M6dulo resisreme:

(4) R aio d e g ira ca o.

Notes:I. Bxistc 0 conceitc de produto de inercta, importan tc

cutros estudos da Reslstencia de Mmerinis.

2. Em certns publicncoes e normes, 0 stmbolo de mome

de lilt/dOl e I, e n a o 1.

 

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Capitulo 10

Estudando a flexao normal nas vigas isostaticas

- diagramas de momentos fletores, forcas

cortantes e forcas normais

Vamos resolver varias vigas isostaticas e tracar seus diagramas de mo-mentes fletores (?v1F) , forcas tangenciais (Q) e forcas normais (N ) . detcrmi-

nando assim os csforcos internes sclicitantes ponte a ponto. Em capitulo pos-

t er io r s er ao calculados o s e sf or co s i nte rn o s r es is re nt es. 0 tr aca do d e d ia gra ma s

como mostrado aqui pode ser f eit o r am b em para cstr utu ra s hipe re sta tica s a pe s

d e te r r n in a ca o d a s rca cz cs n o s a po io s. 0 a companhamcn to d o s e x:emplo s n u -

rn e r ico s a ju da ra a entender o s c o n cc it o s,

Exercicio 1

D ete rm in e rca co cs c d ia g r a rn a s d a v ig a a seg u ir .

1 3 8 0 kgf

1--A~ ~11

" '--,---,-------- 't~-'l < 6,50 . 'k

8.'10

L . . FII =.0 n a o aplicavel, pais n ao hti forcas horizontais.

Nota: N ile a eo n-e m m om en ro s f le to re s e xte rn os.

I,Fv= 0

R,. +Rg - 380=0

RA +RH =380 kgf

70

I,M'3=0

R.• x 8,40- 380 x 2,10=0

_ 380x2,10 =95 kzfR,. - 8,40 . 0

RB= 380 - 95 =285 kgf

COl lvew; : ,ao d

mOmenl().~flet

Portanto:

RB= 285 kgf

Me =R .• x 6,30 = 95 x 6,30 = 598,50 kgfm

(memento tletor interne)

Nora :

o rnomento em C pode ser calculado vindo pela direlta. 0 valor sera 0 m

porem de sinal contrario.

Me = - RH X 2,10= -285 x 2,10 = -598,50 kgfm

Diagram!" de Q e MF (esforcos infernos)

 

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Netas:

I. A maior to-ea cortuntc na viga e de 285 kgf e nao 380 kgf, que 6 a cnrgaexterna

2. No ponto C h a duas forcas corranres, fl csquerda (95 kgf) e a direita

(285 kgf). Se~llsarrr:os a forca cortante no dimcnsionarnentn de forcas ern

C,o va lo r se r a 0 ma io r (285 - va lo r em modulo).

3. No ponto C a forca ccrtame passa de valores positives para negatives.

Nesse ponte ocorre u maior memento f1etor.

Vamos volrar a discutir 0 exerclcio 1.

Tratc-se de lima viga (vence urn

vao) de cixo rete, de sec;ao consrante, A

carga Festa aplicada normal ao BIXO IOr1-

gitudinal. As reacoes FA e Fn, para dar

equilfbrio, es!5.o no mesmo plano de .F ;

portanto, toda a estrutura pode set repre-

scn ra d a n um plan o qu e contem 0 e ixo xy

d u vi ga ,

1 ' < \ " > ' 'I ' 11113

. Notemos que, se a forca F cstivcsse aplicadn fora do ej~o de simerna du

vrga. terfamos t o rcao e a extrutura nao seria cont ida num plano, como se vBasegtnr:

72

A viga com a f o rca F na o centmda em relacao no eixo x toma-se

esl.n1tura espaciul e havera rorcrio na viga causada palo momento t

MT~Fxe .

voliemos ~ viga original, ondc a forca F esui contidu num plan

simetria xy

Como toda a estrurura esta contida num plano, vamos resolve-In a

do esquema:

o

rI f

~1C!8

F - f or ce a ti va er n C

ItA e RB - forcas reauvas

em A e B

Seja uma secno em D como indicadu. Essa secao estd em equilf

P a ra a sc~ a o e sta r em equilibria, a t re cho A D d eve e sta r em equilfbrio.

P ara e ssa s( ; !~ 50 e m D e sta r e m e qu ilfb rio c necessaria:

• Haver uma forca intemu RD, oposta em sentido a RA e com modulo

in ten s id a de i g u a l a H .A

RD e rangencial a sec;ftoem D (forca cortante).

Logo, a esquerca de 0 ternos RA e ~ldirei:a, RD.

• Para que nao haja giro em D ternos que veneer 0 momenta

RA x 2,40 = 95 X 2,40 ~ 228 kgfm

 

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Condieao de equilfbrio:

Ve-se que, iesquerda e a direita de D, ternos:

Rcsolva a viga a seguir.

R, + RD = 0

M,,+Mo=D

RD= -95 kgf

Mo= -228 kgf

Exerc{cio 2

g,611.1m

~ t l t ! ! J J ! l ! L ! ! ! L ! ! l

C IA I ? i j ~ 8

4 - 6.40 t

8,6 t 1 i m

tRA

{- ---,,-0.""1.0;----- ''1<-

MA . RD e MI) sa o esforcos i nt er im s q u e equilibrum 0 ponte D. Ape s a r

de 0 ponto D estnr em equilfbrio, ocorrern nc lc csses esforcos.

A na liscm os a go ra u ma s c - < ;; fi o e m E

RA + RB ~ 8,6 x 6, 4 = 55 If

I,MA=O

Para 0 equrlfbrio do trecho AEl

A resultante d. carga distribufda vale (8,6 x 6,40 = 55 tf) e csrrino

d o vao (C)

t5H

, 1 5 . c - " ' : c or I'

" "0

"~ 6.~,O

'k -

IME=O

9S x (6,30 + 0,40) - 3,80 X 0,40 - ME =0

ME=484,5 kgfm

I,MA=O

+55 X 3,20 - 6,4 X Rn = 0

RI)= 27,50 Ifogo , pa r a 0 t recho A E e s t a r em e qui li br ia e necessaria h aver a s rea -

90es intemns R E e M E. Os diagramas de Q e 1 1 representam os e.SfOf90S aesquerda da se,ao E.

74

Po r simetria:

RA = 27,50 If

 

Dtagramas

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Onde Q ; ;; ;; ;0 memento fletor e maximo ou mfnirr;o.

6.-40

Netas:

1. No ponte C, Q (Iorca cortanrc) e nula e, nesse pouto, MF (memento ftc-or)

c m ax ir n o .

2. Em qualquer ponto Z disran:e .c de A, 0MF vale:

Mz ~ RA X X - X x 8,G x ~

Exercicio 3

Resolva esta viga.

12 tf/m

U l l J l H 1 l 1 1 1 1 t J ' I t t,-

I

Lc

~o --i-c>o-'k.JO

76

LFv~O

LMs~O

R _ 105,5A - 4,3

Ru ~ 61,5 - 24,5

RA+RB~ 12 x 4,30 + 9 x 1,1 ~ 61,5 tf

RAx 4,3 - 12x 4,3 (2,15) + 9 x 1,10 (0,55) ~ 0

RA~ 24,5 [f

Vamos calcula- MB (mementos fletorcs intcrnos] a esquerca de B.

M8 ~ 24,5 x 4,30 - 12 x 4,30 (2, 15) ~ -5,59 tfrn

A direita de;B aconrece 0 memento tletor (interne), valendo +5,59

Para calculat T, onde Q = 0

Diagmma

Qr~ 24,5 -12, = 0

x = 24,S =2,05 m12

MF

 

RA= 36 If

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QA = 24,5 If

Qr=O

QBesquerd. = 24,5 - 12 x 4,30 = -27,1 If

QBdireita =-27, I + 37 = -9,9 If

Para calcular 0 maximo memento Iletor positive,

r-:./"! 205MFT=24,5t:,-12X2,05X2+25,Ollfm

MB= 24,5 x 4,30 -12 x 4,30 x 4 ' i O =-5,59 tfm

Notas:

1, No ponto T, onde Q = 0, 0 diagrama de M apresenta um ponto de maximopositivo.

2, A maior forca cortante da vign vale 27,1, que e o valor 11csquerda de B.

Exercicio 4

Resolve a vigu ;1 seguir

t i l381f fm

[ D2 tUm

1ilITI1I

i ~ b ± - t I e l~·~ t~01-

3 . C O -+

Trata-se de uma viga de dois tramos e dais apoios (A e D).

RA

+RB= 22x l,lO+43 + 38 x 0,40

RA + R R = 82,4 tf

LMD=O

RAx (1,10+ 0,70 + 1,20) - 22 x 1,1x (0,55 +0,70+ 1,20)-

04- 43 x 1,2 + 38 x 0,4 x : 2 = 0

78

RR= 82,4 -36

RB =46,4If

Para calculnr as forcas cortantes,

QB =36- 22 x LJ =+11,8lf

Qcesquerda = +11,8 - 43 = -31,2 If

QDdireita = -31,2+ 46,4 = +15,2 If

Diagrama

No ponte em que Q = = 0, 0 MF passa por urn maximo em mo

(pontes C e D).

Para calcular os mementos flercres.

MA=O

ME=O

MB = 36 x (1,1 +0,7) - 22 x 1,1 (0,55 + 0,70) =+34,55 tfm

Mu =36 x 3,0 - 22 x 1,1 x (0,55 + 1,90) - 43 x 1,2 = -2,89 tf m

 

Verifique que MI), vindo da direita, dave resultnr em +2,89 t 1 ' l 1 1 Para calcular 0 ponte Z, ondc Q - = 0,

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Ml)= 38X0,4 X0,2= +3,04 20,73-)1,8}( x =0

x=1,75rnA diferenca esui no anedondarnemo de valcres. T udo ok !

Para calculnr 0 momenta fletor,

Exercicio 5

_D,_

( 7 0 , r -

M,,=O MD=O

10,3 X 0,9 X 0,9 -4 1- fMB~ 2 ' It m

Me = -10,3 x 0,9 (0,45 + 3,4) + 30X 3,4 - 11,8 x 3,4 x 3

24= -1,89 tfm

Mz= -10,3 x(J,9 (0,45 + 1,75) + 30x 1,75 - 11,8 x 1,75 X 1,~5 = -14 tim

3,40 Diagrama

Re = 55,27 - 30

Rc =25,27 tf

MF

Viga biapoiada com tre~ tramos,

RI3+Rc = 10,3 X 0,9 + 11,8 x 3,4 + 8,4 x 0,7

Ril +Rc = 55,27 tf

o

LMc~O

(

0,90 ) 34 07-10,3xO,9 2+3,4 +Rnx3,4-1I,8X3,4X2+8,4XO,7x'"2=0

RB= 30 If

Para calculnr us forcas cortantes,

QA=O

Qn esquerda = -10,3 xO,9 =~9,27lf

QB direlta = -9,27 + 30=20,3 If

Qc esquerda = 20,73 - 11,8 x 3,4 = -19,39 If

Qc direira = -19,39 +25,27 = 5,88 If

to:go'1<-__j-,-----

I I

80

 

o ponte Z e 0 ponto de maior memento fie-tor positive. Em varia» Nota:

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s i tua<,roes , 0 r oomen to n os a po io s (neg a t ive ) e ma ier em modu l o qu e 0 momen -

to posirivo. Lembre-se: 0 que interessa e sempre 0 malo- memento em modulo

(valor scm sinal) e e esse rnaior modulo de momenta fletor que usnremos no

dimensionamento da viga.

Note que, nos pontes onde 0 diagrarna de Q se anula (B, Z e C), 0

memento fle ror passu per tIlll valor maximo em modulo.

o r es uh ad o MRA = 0 n iio im p lic a q u e n e ss e t ip o d e e st rn ru ra f 1UOs eja n ec e

rio haver engastarnento em A. Lernbramos que nas estruturas rea is algu

cargas - as cargas i n l" e rm i te ll t~ s - podem o~orrer O ll n a~ . No caso de

ocorrer uma das cargas, hovena momenta unvo no POnto A~ se as ca

variassem c tivessemos feiro A como articulacac, a cstrutura cairia, Oll

ficaria hipostatica. ..

Exercicio 6

Ne'''te exercfcio, alern do calculo de momenta f1etor e forces cortantes,

temos forcas normais.

Diagramas

Diagrama de NB

r ' ' " '.1611'"

A for," norm. I (0,3 tf) e constante em CB causada pela forcu de 0

De B para A a forca normal 6 causada pela forca distr ibuida

(0,4 x 1,4 = 0,56 1I)e pel. force de 0,6 tf .Obrigaronamente, A deve ser urn engastamento para garantir a estabili-

dade da estrutura.

L,FH=O

L,Fv=O

L,MA=O

=;V" - 0,4 x 1,40 - 0,60 = 0

(Considcrando 0 memento reativo e os mementos ativos.)

Diagrama de Q

" ' f i t 'e ,

O,Jti ~ _ ~ [ i ~ r-M"A + 0,4 X 1,40 X I~O + 0,6 x 1,40- 0,30 x3,70 = 0

MeA= 0,122 t f rn

82

A forca cortante de C para B e crescerue, causada pela carga distrib

da forca de 0,6 If.

A partir de 13,a forca cortante e causada pela forca de 0,3 tf.

 

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Diagrama de M

Para calculnr MF em varies pontos.

MC=O

MPB =+0,4 x J,40x 1,~0 +0,6 x 1,4- 0,3 x 3,70= +0,122 tfm

MFA =0,4 x 1,4 x 124+ 0,6 x 1,4 - 0,3 x 3,70 =+0, 122 rfm

NOla:

Como vimos, os diagramas de Q, MF e N mostrarn cs esforcos internes. Silo

calculados a partir de tim ponro extreme (C, por exemplo) e vindo para a

csquerda. Se cornecarmos pclo POIILOA, subindo e indo para a direita, encon-

trarernos em cada ponto 0 mcsmo esforco, mas com sinal contrario (equilibria

de , e<;50).

E xercicio 7

Resoiva a viga.

Esse tipo de distribuiciic de carga e muito comum no calculo de caixas

d'rigua e piscinas e rcprescnta 01 distribuicfio de pressao de agua ria parede

vertical.

84

r t - I ·

R e . med ida pela area do triangulc e

situada a I ; . , . L do upoio onde ocor

carga p.

E!oRA+ R"= 2

pLxLRAXL=2x3""

R-l'hA - 6

R _l'h l'h_E!on-2-6-3

o momento Flctor (interno) no ponte Z vale:

Resoiu9ao da viga

Equ a cao d o 3(l gparabola cubic a

 

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Capitulo 11

Exemplos de calculo de vigas com diagramas de

momento fletor e forca cortante

Exerctcio l

A ~ 1 J J 1 [ } O O "

l= J,ElO

RA= _cl. = 4,06 x 3,80 = 2 57 If6 6 '

RB=Y 4,06; 3,80 5,14 tf

Pode-se provar matematicarnerue que 0 m:iximo memento flctor ocorre

n o p on te Z = 0,577 L e vale:

_K_,0 6 X 3, 82 _ . '

Mmo> - 15,59 - 15,59 - 3,76ttm

x = 0,577 x L = 0,577 x 3,80= 2,2 m

o gratico de force cortanre e lima parabol a, code memento fletor euma parabola cubica (de terceiro grau),

Pan3oolnclo:l°greu

M '

Exercicio 2

Re so l va a v ig a em fo rm a te d e L if segi.ir.

1</l1

< 0~~::j': -'" ~--,,, --....I·----__-/ __»«:

l . . . . . - - - n ~ . >----l><~ r n'¥~" Pk

Trara-se de uma estrutura espacial engastada em C (nao plana)

formato de L, sofrerdo a930 de carga vertical P.

MTA=O

lvhB=Pxrn

Mrc >P X rn

Mo=Pxm

M e = MB+P xn

J\1c=Pm+ Px n

 

o problema agora e diferente. A carga P n ao csta com posicao deDiagramas

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Diagrama de A -!

~ l J n l @ r r I r J ~

~\_

entre A e B, 0 que significa que C uma carga desloctivel. Scndo assim,

que determinar 0 major memento que ele pode cuusar e a maier fcrca cor

e isso ncontccc em pontos dil'eremes ".

vejamos 0 tratumento matenuitico da questao.

Diagrama de Q

SOOk[Jf

~ u

~/L-, , r

y ' . 0 01 1

I II

p~ no kgf11l~ 2,.10

11 = 0;70 mMTc~ P x m ~ 720 x 2, I 0 ~ 1.512 kgfm

M " A = O

MF8 =Pxm~720x2,j()= 1.512kg[m

MFC = P x m + PX n ~ 720 x 2, I 0 + 720 x 0,70 ~ 2.016 kgfm

R T I I , I 1 I I I I [ t t n m i n ,

f '.60 'I'I I

'~'1 I

, v - x l , y1 I

Aphqucmos tudo isso num exemplo numcrico:

IExercicio 3 o rnaior valor da torcn cortantc ou eRA. au RBe vale 800 kgf

Quais as maximos estorcos que a carga P causa na vigu a seguir?

Ir = aOOkgl

';Ie 8

7\\-

IMB~O

RAx L- 800(L- x)~O

R - S O O (L - x l 0,\- L

'" Seria 0 CiI::'Ode pmjeturmcs cstrutural mente uma ponte com c:ng2 1 em nulhiplas posicoc

88

 

R'-\ e maximo quando x = 0 (carga sabre A). Analogamcnte, se a cargn P Exercida 4

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estiver sobre B terernos RB ; ;; ;; ;. Logo, a maier forca cnrtante ocorre quando a

carga esta sobre qualquer u rn dos apoios,

Ana.isemos 0 memento fletor em que seja C Urn ponto qualquer.

R"+RB=P

RAL=P (L-m)

P(L-m)RA=--L--

M P(L-m)11 1

L

Der iva r - do C i gua l amlo a z er o

0= p_ 2mPL

e dividindo-se POl' P , temos:

()= 1- 2mPL

2m LL = 1 ~ 1 1 1 = " 2

P L PLMIll~~=2x2=4

Vamos aplicar aos dados numericos:

p = S O O kgf

Om" = 800 kgfN=O

X=L

PL 800 X 4,S()M"""="'4 = --4--= 960kgfm

LX = " 2 --'> X= 2,40 m

90

Calcule C J viga a seguir, que tern urn dispositivo que causa mem

[letor sem transmitir forcu externa.F l

2,30

A viga AB tern duas hastes cujas extremidadcs sofrem as acoes de

for, as F, (binririo).

P, = 270 kgf

Me = 270 x 0,4 x 2,0 = 216 kgfmRA +Ru = 80 kgf

RA x3,JO +216- 80 x 1,10= 0

RA = - 4 1 , 3 k gf (cornu 0 valor e negative, a v ig a traciona 0 apoio

RB = 80 + 41,3 = 121,3 kgf

 

r ,MA=ORA= - 41,3 kgf

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-RB x 5,4 + 300 x (0,8) + 900 x (1,4 + 0,8) + 2.300 x (2,95 + 1,4+ 0,8) =

Rs = 2.604 kgf

RA = 3.500 - 2604 = 896 kgf

MA=OMe = 896 x 0,8 =716,8 kgfm

MD= 896 x (0,8 + 1,4) - 300 x (1,4) = 1.551 kgfm

ME= 896 x (0,8 + 1,4+ 2,79) - 300 x (1,4 + 2,70) -900 x (2,70) = 730 k

I

Diagmma I

8'J6kg1 1

RB=80+41,3= I21,3kgf

M, ,=O

Me (esqu"d'l = - 4[,3 x 0,8 =- 33 kgfm

T v r c (direun] =- 33 + 2 "j 6 ;;;;1 83 k gfm

MD=-4,13 x (0,2+ 1,2) +216 =+133,4

MH=O

Exercicio 5

Calculc as rcacoes e mementos da viga.

gOak~f

300

14,f..tf/'1l

[llJ

t!.7 0

5.10

L,FV=O

RA+ Hu = 300 + 900 + 0,5 x (4.600) + 3.500 kgf

Para c alc u la r RA C RI ,3.vamos considerar ( como t em6s feito me agora) a

re su lta nre d o, [or, a :s d o t recho EB

RF = 4.600 x D ,S = 2.300 kgf

900 kg ! 2,9~~: :! _ .J O O k g t

Q

MF

Venfiquc seMs = 0, como devc ser:

MB= 896 x (5,4) - 300 x (1,4 + 2,70 + 0,5) -900 x (2,70 +0,5)

- 0,5 +4.600 x (0,25) =0. I I B

f~-----5-'-O------4

92

 

Nota didasica: o esquema dus torcas que dao 0 eqnilfbrio no sistema sera:

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Em Esuitica procura-se .sernpre a rcsultante das forcas, E na Resistencia dos

Materials? Como vcrcmos, com as dados deste exeicicio, 3 resultante das

3yo es rem qu e esta r n a mesma ve r tica l d a re su ltn n te d a s T~a'r6c~e ser d e

mesmo valor, para que a viga esteja em equilibria. Veja:

V a mo s v er i f ica r 0 q u e a co n te ce .

Calcule a resultante

A resultante das cargus ativas (externas) do sistema tem a valor de:

R = 30 0 + 90 0 + 2.300 = 3 .5 00 k gf

Resta agora detcrminar a ponto de ap.icacao. 0 ponto de aplicacao da

resuliantc c tal que da equilibria a l~9a considcrenado-se ela e as rcacoes nos

apo i os ,

Como ja visto, as reacoes suo:

RA = 896kgfRn = 2.604 kgf

94

1R '" 3500k(r

Para determinar a posicliu do ponto T onde ntua a resultante das f

extcrnas, considereruos, por excmplo, 0 ponte B, or.de a soma t o r . a das I

deve dar morncnto nulo (case ccntraric. a pe~a giraria).Logo:

:LMu=O

Enrao ~96 X 5,4 - 3.500 a= 0

_ 4838,4 = 138a= 3.500 ' m

o calculo da distancia a poderia tambern ser fcito da seguinrc mane

L o g o :

-2.604 x 5,4 + 3.500 (5,4 - a J = 0

-14.061,6 + 18.900- 3.500 a =0

a= 1,38 m

So por enfase e clarcza, j; j que este e urn livre didritico, mostremexausrao que em uma estrumra em equilfbric a condieao L .Mr= 0 vale

qualquer ponte. Seja a condlcao calculada para 0 ponto T.

IMr=O

896 (5,4 - a) - 2.604 X " =0

4.838,4 - 896 a - 2.604 a = 0

a = 4.838,4 = 1,38 rn896+ 2.604

 

Conhecido 0 valor e a posicflo da resu ltanre das forcas extern as, a Vamos decompor a force F em duas componentes. urna ortogonal

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resultanre das forcas reativas (as forcas do s apoios) e do rnesmo valor ern

modulo (valor sem sinal algebrico), de sentido contraric e atuarue no mesmo

ponto da resulrante das torcas externas. Com isso, as duas resultantes se anu-

lam e dllo0 equilfbrio esratico a estruu.m.

Lembrete resUlnO

N este e xe rcfcio , m ostra mo s q ue :

• 0 c~lcul_odus reacocs de apoio pode ser feito usando-se a condicao de

sornatoria de mementos tletores nulos aplicado a qualquer ponte da estrutu-

ra ;

• a resultante das cargas ativas (externas) esta localizada no rnesrno ponte

onde esta aplicada a resultante das cargas reativas, dando equilibria estatico

a e st r u tu r a .

o x =32"

/1 =58'

Uma viga de peso propr io desprezfvel tern a construcao tal que, em A, e

urn pino e, em B, apoia-se numa superffcie algo esferica. A viga sofre a a~ao

da forca F. Defina as reacoes e Q e ME

Esta e a representacao da viga:

I-I ')V' n

W / ; ; : ; ; r , 1I e / - I f " ; > !(=32"

/'.X f J = 3 ~ : ~ \ ' J . J

A -- \,

/////7# '~o/v

pendicular) ao eixc da viga e Dutra paralela ao eixc.

Fu =F sen a= 680 sen 32" =680 X 0,53 =360 kgf

FT~ F cos a~680 cos 32' ~ 680 x 0,53 = 580 kgf

Logo,

F ,

B

/

A

A viga AB, pelos sells apoios A e B, reagira:

• Em B que, por ser rolete. reage perpendicularrnente a CB e RB;

• Em A a reacao esta decomposta em FJ no eixc da viga, e em F2perpendjcu

Condicoes de equilfbrio

• P e lo e ixo u :

FI =580 kgf ~ F, (PI co m scntido oposto a F,)

• Pelo eixo L:

RA + RB = Fu ~ 360 kgf

Apl i c ando L MB =0,

R" X 4,60 = Ftj X 2,70

_ 360 X 2,70 _ ~ II k fRA - 4,6 -_ g

RB = 360 - 211 ~ 149 kgf

 

HA= 4tf

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Fu - Ortogonal ao eixo longitudinal

F t - F o rc a n o rm a l a s s et ;: Oe S ra n sv er sa ls d u v ig a

Diagrama

I I

I I

I I

" . " ' ' ' '' '' '' ' '' '' ' '' '' ' '' 5 8 ' '' 0 - - :

I I I

bA~ :I ~RIJ

I I I

I I I

II~P":

: I'CO :

~1'~

Mc=FlXI,90

Mc=2Ilxl,90

Me =480,9 kgfm

Exercicio 7

Trace: a diagrama de forcas e mementos na viga.

1ltt

411

'I,Om

98

VA=VB=8,5tf

MFz= PL = 17x4 = 341fm2 2

Diagrama

I' Ie I' ."I

& 1 : :

I I I

VA ~I., Ie Iz 1 0 , 5 1 1

C I I "8 , 5 1 ' 1 I' '0

I I I II I

'iF

Para entender que so ha esforco normal de A a te C, facamos

analogia com urna mola que e comprimida em parte do scu comprimento.

 

Note que somente a parte AC sc compri.me. A parte CB fica scm defer- Capitulo 12

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macso.

Intervalo diddtico

Ale este ponte do 1ivro nos determinamos nas vigas a vanacao serrao

por secao do seu momenta fletor, a forca cortante, 0 momenta torsor e a forca

normal. Nos capitulos seguinrcs determinaremos as consequencias desses es-

fo rces, o u so ja , a s ten so es d e co mpressa o, d e tr aca o e d e cisa lha men to .

1 0 0

Explicando a viga Gerber,uma viga de vao calibravel

12.1 Definicao

Suponha que tivessemos de veneer 0 vao AB com urn perfil metalic

queremos. como e rotina economica, usar 0 menor perfil metalico Va

estudar so as mementos fletores, A S011ly80que resultar com 0 menor mom

t o f1etor sera) par hipotese, a rnais econ6mica. .

Ternos, porem, urn complicudor, Om dos apoios da viga (B) ecoluna que pede recalcar, introduzindo a charnado "recalque diferencial",

e 0 caso de um ponto recalcar e outro nao. As estruturas hiperestaticas sao,

princ tpio, nao reccmendaveis para esses casos, pois recalques dlferenciais

vocam nessas estruturas significativos aumentos de teusoes.

Este e 0 v fio a v en ee r e su a s ca ra cte rf stica s.

Ad r nita mo s qu e podcmos, se quisermos, engastar 0 perfil no apoio APara ter outras opcocs de solucao, vamos introduzir como mais u

altemariva 0 usa da solucao Gerber (vlga Gerber, dente Gerber), que nada m

e do que criar urna articulacao em uma viga hiperestarica de urn trarno. tern

d o -a iso sta tica , V eja mo s como tazer isso.

 

Allerna/iva 3 - viga hiapoiada (ver pdgina 106)

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Na prerica, a criacao da articulacao em D faz com que tenhamos funcio-

nalmente duas vigas. a viga BD upoiaca em B e, no outro extreme, apciada na

viga AD, No apoio D niio se rransmite morrenro. s6 fcrca. 0 exernplo numeri-

co a seguir torna a expllcacao extrernamente clara,

Pronto! As condicoes do problema esrflo expostas e vamos cstudar as

solucoes, tendo agora como alternau va adicional a solu~ao Gerber. Tarnbern

para facili tar a resolucao, vamos apresentar na pagina 105 uma Tabela de vigas

hiperestdticas de lim s6 trumO,Analiscmos as quatro alternativas resol vidas e vejamos suas vantagens

e desvantagens.

Alternativa 1(ver ptiglna 106)

E tuna estrutnra hipercstatica, portanto rnuito sensfvel a recalques dife-

reuciais, 0 que constitui urna desvantagem.

A vantagern dessa solucao e a transferencia de pouca carga para 0 apoio

B (8.302 kgf), pols a maior parte da carga vai para 0 apoio A. Vcja a ptigina

scguinte.

Alternativa 2 - engastamento em A, sent apoio em B (ver pdgina 106)

E uma cstrurura isostatica. E a rnais radical das nlrernarivas. Nao usn 0

apoio B. por isso 0 memento fletor em A flcou enorme, acarretendo a necessi-

dade de usar lim perfil metalico muis caro. Alern disso, na extremidade cposta

a A (0 amigo apoio B) aconrecera uma enorrne flecha,

102

Construtivamente seria:

E urna estrutura isostatica , portanto rnais adaptavel (nfio sensivel)

recalques difercnciais Tern coma desvantugerr; 0 fato de transferir metade

carga para 0 pilar B.

AltemalivQ4-vigacomapoioGerber(verpdg;I1.a 106)

E uma cstrutura isostatica. Escolhernos arbitrariamente urn ponte

para criar 0 dente Gerber, que e uma articulacao. Logo, 0 trechc DB tnlnsfer

a viga AD, no ponto D, somente carga, 0 memento maximo ocorre no ap

A. e rnaior que os mornentos da alternativa 2 e alternativa 3, mas leva men

carga pam 0 apoio B. Conforme vanamos a posicao do ponto D, dim~mlil~~

memento fletor em A e a carga no apoio B. Sendo uma esuurura isostatic

suas tensoes nao se alteram para pequeoos recalques diferenciais, puis a est

tura se adapta ao recalque,

A alternariva 4 e intermediarin entre as nlternativas 1. 2 e 3 e pode

adotada como solucao final.

Nota:

E possfvel colocar 0 dentc Gerber onde quisermos Quanto mais para a dire

o pcsermcs rnenor sera a carga em B, em compcnsacao serri maier 0 momen

em A, e vice-versa. Podernos pois afumar que a usa da soiw;ao Gerber po

calibrar (alterar) 0 vac de uma viga conforrneo nosso interesse.

 

Veja: 12.1,1 Tabela de vigas hiperestancas de um s6 tramo

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hc/----k--

x "

Nola:

Em pontes e cornurn usar-sc urna viga Gerber no caso de alguns pilares pode-

r em s of re r recalques, diferentemente do restante da estrutura.

I. 1 B

1 1 - - ' /2~l - , . ( - - - ' , - +

% . " -- - 7

q = 2.700 kgf/m

x e n ab scissa d e m eme nto ma ximo .

PLMA=MB=-g

-3MMax=MA=16PL

5MM" (+) =32 PL x =0,447

PLMMax(C)=g

PRA=RB="2

Esta tabela e util para 0 estudo de UITh1. viga Geber.

 

:E o C apitu lo 1 3

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~ 0

iii" " Tens6es normais em vigas - a flexao normal;R s 1" ! D

~ I NM

c,

x ;; :20 ~l c" '

'0

+ x ~

l0 5 S II

: < !,2 -e - 0 ~ ~ IC 'I 0 Uma estrutura sofrendo flexao se deformara e nus suas secoes tra

" " " " x ~O f

~ <O f

sais e cru cada ponto das secoes sofrera:

" :< ;1 z

s ·ensoes (pressoes) normals de compressao:

S :: i ·ensoes (pressoes) ncrmais de tracao:= " ·tensoes (pressoes) tangenciais de cisalhamento (deslizamento).. . ,

~ l" o conceito corrente de pressao - forca dividida por area ~ refe~ ~ I 000

na Iinguugem COITIUIll, a siruacoes de compressno. Vamos aqui amplia-loe

~N

:c

~ , bern para situacoes de tracao e cisalbamento.

<co

" V eja rno s esta s d ua s vi g as:" S ' : c l J ~, ,~ i J N : : : o '"

- - - - - ~ ~'~

" " " " ": -ci

< - 2'"

:; :\ '

v I

v : : : I,r- §i A E

'"s

"" ~ I ' " [J~

" ' ; ; +: g xx 0

~ ~:c As tensoes de tracao, de cornpressao e de cisalhamento variam de

'" para secao e, em uma se\-,ao, de ponto a ponto.: ; ; : ci "" < ' ~ I M Para facilitar 0 entendimento 0 estudo sera dividido em tensoes no. . ; . 0 cr

" " "e tangenciais. Neste capitulo abordarernos as tensoes normais. No pro

-e -e

capitulo, as tensoes t angenc i a i s (de cisulhamento)."; ; ; ; :: 1

~~

I iiec :J

" "co

N OJ " 13.1 Tens6es normais.de compressao e tracao0';:

~ l ~1x

~ s ~- Partindo de urn coso simples de uma viga de secao ret-angular, vE

N' "x generalizar para outras secoes,! ' " ' ~ "'Ill(]

~ " " "~ -' ~~-0

~Ioo ~I~

" " " ".' t

-c i«

:: 1 

13.1.1 Exercicios numericos Como tensoes de compressao e tracjio sfio rensaes opostns, elas dev

passar par urn ponto onde sc anulam. Tal ponto, local izado no cixo horizon

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Exercicio 1

Scja uma prancha de a~o de 10 x 30 em

apoiada sobre duas colunas e sujeita a uma

carga concentrada de 9,2 tf situada no melo

do vao. Por ser pequeno. 0 peso proprio da

viga sera desprezado,

RA = RB = 4, 6 If

F X L 9,2 X 4,8Mm"=-4-=--4--= 1I,04tfm

A na lisa n d o a d e f 'o r rn a ca o d a vig u

n u ma seca o , ve -se qu e a s pa r te s su pcr io re s d a

vig a so fre m IIm pro cesso d e en cu rtamen to

(compressac) e as partes inferiores, estira-

mento (trucionamenro).

Seja agora urna seciio transversal ao

eixo no ponto C. Nos pontos da borda supe-

rior da s~ao C acontecem as rnaximas ten-

sdes de compressao. que irao decair confor-

me nos aproximamos do eixo. Nesse eixo, as

tensdes de cornpressao deixarn de cxisr i r e

nos primeiros pontos abaixo do eixc COme-

cam a ocorrer tens6es de trat;:ao, que serao

maximas na borda inferior da secao.

108

G,

de srmctria, denomina-se linha neutra (LN).

Com base na hipotese de 0 material atender a lei de Hooke. a variade tensiio e l inear du linha ncutra para as bordas. No caso da secno retanguteremos:

__ momento de inercia

W - modulo resistente

Vamos calcular as tensoes 0" na secao em C da viga, que e 0 pc

medic o nd e o co rre rnaior m em en to f te to r:

Me = 11,04fm = 1.104.000gfcm

b X h3 10X 303J ="'l2=-1-2- = 22.500 em"

T en so es m ax im a s:

a ~ distancia ate a linha ncutru

Logo,

 

A s te nsd e s em qu a lqu e r po n to n a s re ta s pa ssan d o po r M , N , K , P eN sao : Vamos. agora refazer os crilculos e admitir que a vign antes de pe

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aM ~ 49 x a ~ 49 x 15 ~ 735 kgf/cm'

( compres s ao )

aK ~ 49 x a ~ 49 x 1.2~ 58 8 kgf/cm'

( compres s ao )

o z ~ 0 ( ne m t ra ~ 1i o n em c om pr es sn o )

ap ~ 49 x a ~ 49 x 10~ 490 kgf/cm? (1r"9'0)

aN ~ 49 x a ~ 49 x 15 = 735 kgf/cm2 (rracao)

Como sao as tcnsocs numa secao no ponto D distante 1,8 m de A?

oo = 735 kgf/c rn

1 1'5

Coror essao

15

Tr.a~1io

a~ = 735 kgf/cm

Mo =828.UUQ kg~cm

M f f iN 2

3,5

,

\

\

lE ix o d o m em en to n et or

Basta calcular inicialrnente MD.

MD =RAx 1,80 = 4,6 x 1,80 = 8,28 tfm = 828.000 kgfcm

A s ten s5 es m axim as sa o:

< J = a = M x!o ~ 828.000 x ~ ~ 552 kgf/cm2. c , .1 2 10X 30] 2

12

Para determiner as tens6es em varies pontes do eixo de tensao,

M 828.000< J, = cr , = T x a = 225,500 X" = 36,8 a

. Ponto 1 (compressao)

cr c (1) = 36,8 x 2 = 73,6 kgflcm2

c r , ( 2 ) = 36,8 x 3,5 ~ 128,8 kgf/cm?

110

dimensao na vertical) esteju agora deitada. Em situacces normals os p

preveern que as vigas fiquern de pc, mas podem acontecer situacoes em

utilizem vigas d ei ta da s. C alcu le rn os a s te nso es pa ra uma s evao em C.

M h M h 1.104,000 10cr" ," , = oc= cr t =TX '2= hh' x 2~ 30 X 101 xT =2,208 kgf/cm

Percebe-se que com a viga de p e as tensocs sfic menores do queestivesse deitada. Nessa siruacac, pode ate acontecer de ela romper.

Exercicio 2

Ca lcu lc a s te n so e s no rma is n o s po n te s Z e K d e um a pra ncha d e

ra tipo percba e verifique se esse material pode ser uceito.

'0

---'~--'I

I r: ;·)- ?;~_~:U. :. T

RA= RG= 420; 6,3 = 1323 kgf J = bh3= 20 x 40' = 106 666

12 12 '

Para calcular MK e Mz,

12MK= 1.323 x 1,2-1,2X420X2'= 1.285kgfm

pxL2 420x6,32Mz= -8- (pontemedic)~ -. -8--= 2.083kgfm

 

M h 208.300 40x x

P a ra c alc u la r 0 m em en to f le to r,

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cr ,=o '=T 2= I06666

0, = 0, =39 kgf/cm2

M~~20

oLN 2

N ~ - 3,5

1 1

·Q ccmoresesc

Se~8oemK

20 T r R o ; a o

-q

Exerdcio 3

Analise a tensac maxima em um poste de concreto simples encravado

na base e sofrendo no seu topo uma forca de 1.300 kgf.

O"Limitc = 15 kgf/cm", na tra\ao e co rn p r es sao

112

1 ,3 0 0 k g t o maior memento fletor sera em

vale MA = F x L = 1.300 x 4

611.000 kgfcm.

o calculo da tensao maxima sera no ponto A.

{'ic=('it=MxYJ z

J= 1t (D' - d4) = 3,14 x (41)4 - 3(f)

64 64

611.000 40 142 0

0, = C f, = 85.859 XT = kgf/cm-

I M,

(L"\

A ( y ) A 2+--->

T3';!lo I Com,PfIlS;;~Q

s e c a o

85,859 e rn"

AfenreJv : Essa esrrutnra e inaceitavel, pois Oli nti re "" 15 < 142 kgf/cm

s o lu l la o e aurnentar 0 D ,

 

Exercicio 4 Do ponto T ao ponte K. 0 memento flctor e negative, 0 que sign

que as flbras superiores da viga sao tracionudas e as fibrus inferiores

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Uma viga de se"93ocircular d = 40 em sera usada como estrutura de

uma viga. Analise as ccnsequencias em varies pontes da viga.

9.100 kgf/m

!!W!It!!U)j)Uj~_100 kgltm

I jW !j jjjjjjjjjj jj

I @ j A

J 0,8,r

I f f i B

k 0,6 J ; 0,5 1 6,60 ; 0,6'~ t ' , ' O / J ' J O l f

6,60

RA + Ro = 8, I IX) X (6,60 + 1,60) = 6 6 .4 20 k g !'

RA = RB (simetria) = 33,210 kgf

DiagramaMF

MT=O

08MA = 8.100x 0,8 x - - z = 2.592 kgfmI'

I I

I I. (3,30+ 0,80): : I Me = - 8,100(3,30+0,80)x 2 +

i 1 ' ' - - ; ; -O ; ; - 8 + - - - ; : ' ' ' ; ; ; ' ' : - - ' i ' ' ' ' i 33,210x 3,30

I I I Mc=41Sl3kgfm

omaior momento fletor na viga e ]v[c= 41.513 kgfrn.

Mo = MA, Mz= MT

Calculemos as tensoes ponro a ponto. Como a ses :ao e circular

(d = 40 em), a linha elastica deformada e

114

eoroprimidas. 0 mesn-e acontece com. 0 rrecho YZ. No trecho KY, as

superiores sao cornprimidas e as inferiores, tracionadas.

As tensoes sao:

w = "D3 = 3,14x 4()3 = 6,28032 32

M 2S9.200kgfcm 41? k f /cm2OA =\\1 6,280 ,- g

=_M_ = 4.151300 kgfcm = 661 k"f /em2OA 6.280 6280 b

Vamos deterrninar a coordenada do ponte K (0 ponte Y e sirnetronde M=O,

r !tHllt1JtLt

r ! i @ A f~'" Og05m

X

MK = 0 =-K 100 X x X 2 " + 33.210 x-a,S) = 0

- 4,050x2 + 33,21Ox -26.568 ~ 0

Dividindo-se por - 4,050,

x2 - 8,2x +6~6 = 0

- b ± . . J b 2 = " 4 a C 8,2 ± Y 8,22 - 4 X 6,6

2a 2+ 8,2 - 6.39 0,905m

2

 

Logo, o e.G . da flgura cornplexa (somadas as duos figures parciais) e

10em do topo.

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E x er cic io 5

Ternes que veneer uma flexiio causada pur trcs cargas P , cada uma

valendo 4 ,2 tf, igualmente espacadas a I,7 m. 0 m ate ria l da v i ga resiste rnelhor

a t ras :aa que a comprossiio. Para ccnstruir a viga temos duas pecas de s~ao

retangular d es se m ate ria l, qu e deverao se c Iigadas f ormando uma pcca unica.

Identifique qual a melhor disposicao das duas pecas e qual a tcnsao resultante.

~j:§S=16o-cm2

+--,;-+

s = ~B O cm2'

RT=Rz= 3 X24,2=6,3 If

Par simetria Mm.,(C) = 6,3 x 3,4 - 4,2 x 1,7 = 14,28 kgfcm

Como dispor as duns pecas?

Sabemos que 0material resiste melhor a tracao, Segura mente, 0 centro

de gravidade da f igura ficani na linha de simetria, entre (JA e ca. ,e mais

proximo de <JA que 06 devido a maior area de OA.

Com essa ideia, vamos construir a peca d a segui nt e f orma :

S,. , 480

s= 160

116

Para calcular 0 J da se95 .o ,

" 0 t -40

1 Q ' -r -

e t ~L - ~ - r ~ _ 1 _ X l _C,G.-

3 '0 j

Go

I 0

,,

+ a + -OJ da figura complex a pode assim scr calculado:

J = JA + SA x a2A + Js + SB x a2B

J = bill = 40 x 123= 5 760 ern"

A" 12 12 .

bh 3 8 x201 4IB" = 12 = -1-2 - = 5.333 em

J, = 5.760 + 40x 12 X 42+ 5,33 + 20x 8 X 122

J, =41.813 em"

 

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Mo=Txy

Oz =¥ x z = I :~ .~ ~ x 10 =3 4 1 k g f i' cl 112 (c ompressao )

02 = Iv !X r t= 1.428.000 x 22= 75) kof/em" (tracao)J 41.813 c .

A ccrnposicao feita com as figuras A e B fez com que O 'l > 0 ' ; : ; : , e isso

atende ao p robl ema .

Exercicio 6

Uma viga [ de 3" padrao americano esta sustentada sircplesmente em

tim vao de 9,3 m e sujcita a uma carga de 19.000 kgfhn. Verifique as tensoes

em quatro pontes.

R _£l,. 19.00Dx9,30 88.350A- 2 - 2

RB = 88350 kg f

1I8

MR = 88.350 x 1,3 - 1,3 x 19.0()0 X I:} = 98.800 kgfm

Mc= r l Z 19.0( lOx 9,32

. 8 8 205410 kgfm (max)

Ms = 88.350 x 8,7 - 8,7 x J 9.000 x 82 7 = 49590 kgfm

Consultando 0catalogo d o fo me ce do r d e m ater ia l,

A .s ten so es n uixim as n os po nte s sao:

OA= OB = 0

<J = Iv !w

<J , = <J , = 9~.~~ = 395 kgf/emZ

= 205.410 = 821 k fl 2cr , 250 g em

<J s = 49.500 = 195 k"'fcm225 0 !;'

 

13.2 Vigas compostas sofrendo flexao - casos a considcrar

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Sejam duas pranchas que va o sofrer flexile nos varies casas possivcis.

.e :== ::!: := ==llt ~ Coso 2

f T

I ! i I i I 1 - , , > , .I l i ! i J +M Caso 3

Temos dois casas a considerar, admitindo que arnbas as pranchas sejam

do rnesrno material e possuam a rnesrna altura h.

Caso I - As duas vigas sao simplesrnente jusrupostas.

Caso 2 - As duas vigas estrio solidarizadas por cola , pregos ou rebites.

Veja como trabalham esras estruturas:

{ n

~~=t="J----L---i

CaSOt-o

(d i i J ; = :

~ : : : :: : : : : : : : : : : = = . ! l ~ ~ll--~L---

ceo t - »

No Caso loa. as duas vigas trabalharn independentemente lima da ourru

e deslizam urna sabre n outra. Podemos calcular seus esforcos e de fo rmacoes

confo rme 0 d i a g r ama :

No Caso l-b, dcvido a solidariedade entre ambas, as duas pranchas n a odeslizam uma sobre a Dutra, funcionando como se fossern uma vign de altura

2h. As tens5es e deforrnacoes da viga no Coso l-b scruo menores do que-as

qu e o co rre rn n o Caso l-a.

Vamos a exemplos nurnericos para fixar conceitos,

120

F L FLMFn""'~2·2~4

F~6()()kgf

L~3,2 m

b~ 20em

h~40cm

13.3 Exemplos numericos

Coso l-a: pranchas soltus

Defonnacao:

A t IJ

C------'.I"E{ \F

G '- -~,- - -- - -

i "r

Devido a flexao,

AB<CD

AB~EF

EF<GH

Tudo se passa como rncstrado a seguir.

 

2f= 600 = 125kgf2 4

Caso 2-a: pranchas de mcsmo material e alturas diferentes

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rp , G

C~O

MMA= 600 x 3,2 =240 kgfm =24.000 kgfcm4x2

W= bxh2 = 20 x 402= 5.333 CIll'

" 6 6

i/1 o=M. = 24.000 = 45 kgf/cm?W 5.333 '

Caso lob: pranchas pregadas

Deformaoio:

AB<CD

CD=EF

EF<GH

Neste caso,

M",,, =300 x 3:} =480 kgfm = 48.000 kgfcm

w= b X (2h2) = 20 x (SO)' =21.333 em'

6 6

cr=M. = 48.000 =2 25 kaf/em;W 21.333 . b

122

Sejam duas prnnchas de meamo material (peroba-rosa) e altura

re nte s, m as na o solidarizadas, Quante vai de cargu para cada prartcha?

r N

__ j ._

l = + = ~l 'F/2

Utilizu-se como enteric a d iv i sno peJa deforrnabilidade de cada

cha, e isso seria pelo sell J . Logo , a divisao d e F sera :

P,+P;=P

h = bn'- 12

PIP = P, + P2 = 1.780 = Pj + 0,42

P, = 502

P; = p - P, = usa - 502 = 1.152 kgf

Caso 2-b: pranchas de materia is diferentes e alturas diferentes

(sem ligaciio entre eles)

Seja a meSTlJO problema, agora generalizado para duas prancha

a lt ur as d iferentes e modules de elasticidade diferentes .

 

fA ~ r 13.4 Resumindo

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£ = : ~i=~==i $ :l ' Fj' l 'FJ , B J

b

LIZ l/2

1.Material com modulo de eiasticidade E J

2. Maurinl com modulo de elasticidade E2

A drvisilo de forgo P para cada prancha deve ser feita pelo criteria de

deformabilidade. 0 fndice para medir essa deformabilidade charna-se m6dulo

de deformabilidade, calculado pelo produto E X J. Assim, neste caso, ternos

dois modules: E, X I, e E2Xh

f l ._hXEIP2 - J2 X E2

Essa formula tarnbem pede ser usada no case a seguir.

124

F le xi io n o rm a l

Numa s e - r a o qua lque r OA 7;. OB·

Se a seca o fo r retangular,

·A

8 - - - - - \0 "

M M

~""" '=w= bh 2

6

Para se~ao r e t angu la r .

Para s e . c ; a o circular,M

Omax = red)

32

 

13.5 Reconheca as estruturas do dia-a-dia )Capitu1614

A flexao obliqua nas vigas

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o habito de projetar estrururas convencionais pode levar 0iniciante no

cstudo das estruturas a considerur lei procurar sempre obter nas estruturas as

I~Cni~lastens~es e as minimas deformacoes. Ha cases, entrctanto, em que isso

nao e 0 desejado. Ao estruturar vigas de se~ao retangu lar, norrnnlmente as

coloca~?s ~e pe, ou scj~. com a maior dimensao da se~fio na vertical e, por

consequencm. a menor d i r nensao na horizontal, Isso gerara as menores tensoes

e as menores dcforrnacoes, levando a lima maximjza~aodo usa do materia].

Se, 110 entanto, formos prcjetar 11m trampolim flexfvej, desejamos urna estrutu,

ra de maxima flexibilidade para poder, sem maiores esforcos, acumular ener-gia. Neste caso, a viga sera colocada deitada. Igualrnente isso ocorre se formes

usar vigas nos esrrados das camas, on de se deseja tambem 0 maximo da

Ilexibilidade, au seja, a rnaior deforrnabilidace.

Seja estc tipo de cadeirn:

~ P . , . , pare ,,,.,~ ce encosic

'~

Note que a viga AB e colocada na posicao de maior deformabilidadepara gerar maier conforto.

. . A viga CD t apolo do assento) e colocada na posiciio de menor dcforma-bilidade e de maier resisrencia .

126

14.1 Viga com eixos de simetria

Seja a forca F que esta aplicuda no ponte Z da peca horizontal eng

da numa parede. A forca F cnusara uma flexao em urn plano que nno courn dos eixos de sirnetria da viga, Esse tipo de flexfio e charnado de fl

obliqua

f~/m

'D I T t _ _ }c "

Pelo principia da superposicao. a flexao obliqun pede se decompor

duas llexoes normals. Veja:

+--+eo

-1--1-2D

-1--120

-1-20

-J-.+" - ' " 0

Isso signifies que podernos calcular os esforcos na viga sornando:

• Efeito de urn memento fletor Pm, contido no plano que passe per y;

• Efeito de urn rnomento fletor Fn, contido no plano que passa por x:

• Efeito de uma forca F considerada ceutrada.

 

14.1.1 Exemplo de calculo de flexao obliqua Situa,ao I

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Seja a coluna de seczo rctangular (pode-se desprezar a flambagem) corn

u rna carga F que deslocarernos nonuulmente a ses;ao transversal da peca,

Para ficar bern claro 0 estudo de flexao oblfqua em secao COm eixo de

simetna, admitimos que a fcrca F esteja atuando:

• Caso a - Fora do centro mas em tim eixo de simctria

• Caso b - Fora des dois eixos de simetria

f~-'C D

-l- ----l-40

Pcsicces do forca F:

a) Compressi ia l!f lcxi lo normal

ResoluFl0 a)

IF

M <Rx n

Vamos detcrminar O 'A , ou. oc. o».

Somente para comparacao, considere-

mos duas situacoes:

• Suuacdo J : forca centrada

• Situapio 2' forca excentrica

128

r=540 u

b) Cnmpress iia ef texao obttoua

Diegrarna de tensoes

<J = I " ' = ~ = 0 45 r!icmS 30x40 '

<JA = <JB = <JC = < JD = 450 kgf/cm2

Suuaaio 2

F M<Jo=<Jo= "S+W

F M<JA=(JC="S-W

bh" 30x 402

WG=--6- = 8.000 ern'

M = F x n = 540.000 X 10- 5.400.000 kgcm = 5.400 tfcm

(JH=(JD_~+5.400= IIItI'/cm130x 40 8.000 '

540 5.400 2 (I 0 -

<J . = < JD = 30x 40 - 8.000 = -0, tr em-(trac;ao!!f'!!)

Note que ocorreu L ra~ao_Isso se ceve ao fato de ser grande a exccn

dade n. Se fosse 0 caso (mas nao c) de nao se desejar tracao. pcderi

calcular a maxima excentricidada n pela formula:

l<Jc=f-~=ol

~_540xJ1=O

30 x40 8.000

n = 8.000 -67 er n30 X 40 '

Resoluciio h)

Assim como em a), somamos tensoes provcnientes de compressao

tcnsoes de tracao, dividirernos 0 memento fletor obliquo em dais mem

normals projetados nos eixos x e y.

Scja a ponto Z onde esta aplicada a forca F.

 

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{~'sf D

+----l-'0

M~ M, +Ivly

r, _ l r B r J ; 1 "3·W+,"&

CDC u

+----l-

• •11 ~ 10, m ~ 3

-f--------+40

F ~ 5 4011"

Assirn, a tensao no ponte A s e r a :

frrz=S+ IJl\1x + aMy

o calculo de O"mx e 0 " 1 1 : > scguira a metodologia utilizada no caso a)

(flexao normal) > com dais mementos fletores.

14.1.2 ExempJo numerico de viga com eixos de simetria

M, ~ F x n ~ 54 0 x 10 = 5.400 tfem

My ~ F x m = 540 x 3 = 1.620 tfem

Ca lcu le rn os V Vn a s d ir ec oe s x e y.

w, ~ 30 ~ 41)2= 8.000 cm3

w~ bh2

6

W y = JO x ~ O" Up2 . 6 .00 0 em '

Analisar-do cada lim dos pontos A, B, C e D. ternos:

F Mv M, 540 1.620 5.400

OA=S+Wy -W, =30x40+6.000-S.000

o =E+~+ M., =~+ [,620 _ 5.400B S W) Wx 30 x 40 6.()()() 8.000

oc=I_~_ M, =~+ 1.620 _ 5.400

S Wy W, 30 x 40 6.000 8.000

130

O" A = 0 ,045 tf/cm-

Oc = 0,495 tf/cm'

o problema e s t a resolvido

O" B = 1,395tJkln'

00= 0,855 tf/crn?

14.2 Flexao obliqua em vigas sem eixos de simetria

Em 14.1 estudamos a flexao oblfqua no C3S0 de a secao transvers

viga possuir dois eixos de simetria Neste casa, estndarernos a flexao o

em vigas sem eixos de simctria.

Sejam as ~e~ae.sde vigas como a seguir.

ta n u rn B ix u d e s ime tr ii -J

S so ;a o L d e aces des igva fs

nao tem e ixo de s imeu ia

Podemos definir; para qualquer secao, 0 conceito de eixos principa

inercia (BPI). Sao cixos ortogonais entre si, que passarn pelo centro de

dade de lima area. Para esses eixos sao rr axirnos e minimos as mement

mercia da secao, Para se.~5esque tcnham eixos de sirnetria, 0eixo de sir

e u rn d o s e ixo s prin cipa is d e in e rcia , No ca so d e pe rf is me ta lico s. a s fa br

te s ja fomecem pam o s u su a no s a po sica o d es e ixo s principa ls d e m

Seja, par exe rnp lo . 0 perfil cantoneira (perfil L) de abas dcsiguais.

Ca mon e ira s d e a ba s d esig u a is - padriio amer ica

)

Elementos para projet.o

Obscrvarao: Cudu perfi l e indicndo pelus dimcesocs no

 

14.2,1Exemplo de f l exao oblique em vigas sern eixo de simetri

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1 $ : 1 • • 11,11 ",0 'U . . .' 31,1 \-l-I

'"uz

F o nt e: S ch ie l. /nrrodu-;6o.a r""i,~'II~lIcwdos maten(l1.'i.

Tomemos como exernplo urn perfil L (cantoneira), de 6"x4"x3/8",

Os eixcs x e y sao eixos passando pelo centro de gravidadc c parnlelos

as arestas da se~ao. Os eixcs 1-1 e 2-2 sao eixos principais de iccrcia. Note

que:

J, + Jy = 562 +204 = I, +J z = 649 + 117=766 em'

J, > Jy

h<Jy

Note que em qualqucr perfil :

r :1 e -, + - ,= - I ,= - J = -, + - - :J :- 2 1

J 1 - eixo do malor ] da figura passando pelo centro de gravidade

Ja - eixo do menor J da figura passando pelo centro de gravidade

tg C( - a inclinacfio do eixo 2 COm 0 CLXO x, no caso tg a "" 0,446

Uulizando-se a conceito dos eixos principals de inerciu podemos resol-

ver cases de flexilo obliqua para as secoes sem cixo de sirnetria ou pam secoes

com eixos de sirnetria cujo plano do momento n50 passe por eles. Assirn, 0

rnetodo apresentado a scguir e a mais geral deles.

132

Seja urn memento fleror cujo valor e de 190 kgfm (19.000 kgtc

iltuanda sobre urn perfil de 090 de abas desiguais de 4x3x5/16". Sabe-se q

, lane do memento fletor coincide com a dire¥ao Y paralela as nbas e passap .pelo centro de gravidade.

Vamos deterrninar as tensdes de ( r a e r n O e cornpressao maximas

ocorrem na pe~a.Vejam-se a se-rao transversal e a perspectiva da pe~a em trabalho.

\ Z l,

,' .g a=0,554

0.=29°

), = 176 c ru"

Ja = 37 e rn "

)10131 = 213 em"

Notes:

1. A par t i r do catalogo do fornecedor - que usa medidas americanas

identificar scu produto - podcrnos saber que 0 perfil de " ' ;0 4x3x5

tern seo:;ao transversal com area de '13,5 cm-, 0 peso por metro e de H

kgf/m, fcrnecendo ainda as medidas x e y da posicao do centro de grav

de e 0 valor tg a =0,554.0 Sngulo entre 0 eixo 2 eo eixo Y e , pois, deOs eixos x e y sao eixos o r t ogona i s as direcccs dns a b a s e passam

centro de gravidade da se~ao transversal.

2. 0 catalogo tambern inforrna os valores dos mementos de iner~ia er~l

~ao aos eixos x eye des eixos I e 2, que siio os eixos principals de lO

da set;uo ( ur n m ax im o e Du t r o minimo).

3. Com as dados do forneccdor fazernos 0 desenho a seguir, que sen! a

do nossa rrabalho de calculo da flexao obliqua.

 

4 Como 0 memento fletor esta colncidenre COm0 eixo y e tern urna inclirra,cao de 2~Y>em Tcl:J~lio.80eixo 2, podernos culcular .0 ungula formado pcla

Iinha neutru e a di re~ao 1.

NOfOSadicionais:1. Pam mais infonuacoes sabre 0 assuuro, consultar a "Curso de Resis

dos Materials". do Prof. Evaristc Valladares Costa e sell volume de e

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Jl 176 176tgp =1;" tgO:=T7 rg 29° =T7x 0,554= 2,6 => p= 69°

5. Conhecido 0 fingulo ~ e como a LN scmpre passa pelo centro de gravidade,

podemos tracar a LN . Para definir 0 tracado da LN, a colocacao do angu lo

segue a rcgra: "Como o memento flercr esta no seruido anri-horario em

relacao ao eixo 2, 0 mesmo acontece com a LN em rclacac ao eixo I".

V c _ j a :

Note que na flexao oblfqua (que e a casu mais gcral cia flexao normal) a

LN nao e obrigatoriamente perpendicular a d.recbo do rnomento flctor.6. Para conhecer os pontes onde deverao acontecer as mriximas tensoes de

traciin e compressao, vamos, por paralelismo grafico. determinar os pontesmais afustados da LN, S50 eles:

Ponto A, distflncia a = 3,5 em Ponto B, distancin b =4,0 em

7. Calculernos agora 0 memento de inercia da secao em reJal(ao a LN e que

vale:

hN = J rco,2 ~ +h sen' ~ ~ 176 co,, 69" + 37 sen- 69° =~ 176(0,358)2 + 37(0, 119)' ~ 54,S

leN = 54,5 em"

A s t en so es e.111 A c B va le ra o:

(J, = -Mco s (~ - 0: ) x a

. hN-19.000 cos (72" - 29°) x 3,5

54,5- 892 kgflcm'

+M c os (~ - 0:) X b +19.000 Co", (43°) x 4,0

hN 54,S1.019 kgflcl11'

134

cios.

2. Note que as tensoes resultantes do exercfcio estao ubaixo da tensjio a

stvcl do ac;o,que e de L400 kgf/cm-.3. Note que, nos cauilogos dos fubricantes de perfis, as rnedidas lineare

pe rfis sa o dadas COm p rc ci sa o de decimo OU centesimo de milfmet

a rea s com precisa o d e cen r ime rro s e 0 peso Linear S[tO expresses par

As razoes do usa de diferentes uuidades esta ligada a necessidadc d

construcces mecflnicas, as medidas lineares serem aprescnradas com

sao, 0 que nao ocorre com os dados de area e 0 peso linear,

4. As medidas de de fmi t ; ao do perfi l estao em unidade americana porq

fribricas brasileiras de perfis forarn construfdas sob ariel1t~1~noda tec

g i a am e ri ca n a .

5. Como 0 plano do memento fletor esta passando pelo centro de gravid

essa se950 n i io rem eixo d e sime tr ia , have ra to rca o e isso d evcra ser l

em conta no dimensicnnmcnto (vejn Capitulo IS).

C D

"

~I

yl

\7,9+

m P 0 1 i 1 . e uaclcnece d o p e rf il

~ P arte compnnsoa dG,l::elril

 

Capitulo 15

Tens6es tangenciais (cisalhamento) em vigas

A f6rrnula que cotrelaciona 0valor du forca cortante em uma sc<;a

ten8ao em urn ponte dessa se~50 e:

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. 1;1vimo s qu e OCQ ITem nas seco es de estrucuras que sofrern flexao ten-

SDeS de compressao e de trncao, variando de ponto a ponto de cada secao

Essas tens6es sa o maximas nus bordas c nulas na metade cia SC9ao.

Nessa estrurura que sofre flcxao ocorrern teusoes de cisalhamento, se-

C;50por 8e~50,* e os seus valores dependern da se~ao e de cada ponte ncssn

se~ao. Ta is tensoes var ia rn inversamente as de compressao e tn:u;ao. Quanto ;lS

tensbes de cisalhamento (tangenciais) sao maxirnas no centro da secfio e nulas

nas bordas da s~i.io.

r-- -,[.- _.--'\

r - - - f / r' l ~B

S8~aoQualquer

D ia gr cu na d e. t e. ns oe s

de cisalhamema

.. . As tcnsces de cisalhamcnto em vig as si lo chrunndas de rcnszes de cisalhamemc na Ilexao

para serer» difercnciadas das tensoes de cisalhamentc puro, como as tcnsocs de cisnlhamcnto

nos rcbites.

136

b ~O- -0 _o~

(YOM",

i 5~o

-s«.£oD

Q - forca cortante na se~ao

Ms - memento estatico da area

acirna de XI

b - la r g u ra d a ,o l'a o em x r

J - memento de mercia da se~a

Para a secao retangular,

~~

~p=Q(!t_ y ' JJ 4

Ms - memento estatico da parte hachumds

t - tensao de cisalhamento

Q - forca cortanrc na secfio

h - altura da se<;ao

b - Iargura d o se ,a o

 

Para as vigas de tipo I, a calcuio das t ,ensoe-s de cisalbamento pode tirarpartido da simplificacao.

d

l:Fv~() RA +R" ~420

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r I : D ' - -y ~ 0 = > tA ~ tB ~ 0

},_ll ,t _Q-_Q_-2" mnx-S-d·h

Ou seja, na prarica, 0 calculo e felto usando-se a area da parte hachura-

da da viga (alma), desprezaudo-se a contribuiciic das abas.

Nota:

S6 hi tensoes de cisalhamcnto nas s~6l:os orde ocorre forca cortante. Na v iga

a seg u ir n a o ha fo rca co rta n te 110 creche 1 vIN , p o rt a n t. o nne h. 1 tensces d e:

cisalhameuto

15,1 Exercicios numericos

Exercicio 1

F

U _ c _ _ u11

!illr0=0

Diagrama de Q

Ca lcu le a ren sa o d e cisa lhamen ro na vig a d e se cao rcrangular a seguir

na :sel ;ao Z e no ponto K

' 2 0 t f J----_!_ - : : : - - r r fl 1 . 1 ,

'-1'-

' ~ r-1''---------+-

138

~f

I f f i = rI

l:M~O l: Me ~ R" x 5 _ 420 x 2 ~ 0

R" ~ 168 kgf

RB ~252kgr

o valor de forca cortanre na se,ao Z e de 252 kgf,Conhec.da a forca ccrtanre na seclto, calcule a tensao de cisalha

I 'mpon te K dessa sc'tao.

A formula geral

e t = £Msi (P"'" a secno rerangular).

T K ~ % ( ~ _ y 2 )Q ~ 252 kg!' b ~ 30 em h ~ 50 em y ~ 15 em

J ~ ~~ ~ 3 ° 7 2 50 1 ~312.500cm4

252 (502

_ 1 5 2 J ~ 0 16k~f/cm22x312.500 4 ' ~

Exercicio 2

Estamos usando 0 perfil pma verificar a flexao, Calcule a m

tensao de cisalhamento e compare-a com a tenSao adrmssfvel

1,Ci li/ril

,II

lUUIUWWA t- C 1 , QI- V'O) LN

L='l,HO

10"_ 37,8 kgflm

d = 12,5 mm h = 254 mm

 

o m aie r m em en to flcto r 6 n o me io d o va o e seu va lo r 6:

Me= 1!£.= 1,9x4,82

= 14tfm

Nota:A subsnturcjio do funcionamenro de toda 11 :-;e~aodo pe-rfil pelo funcionar

exclu sive cia a lm a se c ia em vir tu de d e qu e n o e stu do d o cisa lham en to in te

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8 8 -,

£! 1,9x4,8 6Q= 2 =--2-=4,5 tf+4.560kgf(nosapoios)

1;=* ' onde de a espessura d. alma do perfil.

Ao usar essa f o rmu l a , estamos admitindo que 56 a alma do perfil res-

ponders como st:~ao resistente DO c i sa lhamen t o .

Intcrpreremos:

'tA "" 0 - a ten sa o d e cisa lham en to e n ula n as b ord as.

'tR = = 0 - a tensao de cisalhamcnto V'.1i crescendo de A para B e as tens5es

no trecho Sa o baixas, pois ha bastantc area (area de aba) para resistir,

"1:z - Ha urn aurncnto de tcnsao, pois diminui a area a resistir e, '

a partir d a r . a a r e a da alma e que resiste.- No eixo de simerria occrre a maior ten sa o de cisalharnenro.

Se estiverrnos usance perfil I = L a" - 37,8, a alma se-a:

S=h d=25,4·1,25=]1,7cm'

Lo g o , a tcn sa o d e cisa lham en to m a xim a se ra d e :

~ = Q = 4.560 = 143 6 kgf/crn?S 31,7 '

Como a tensao ndr- t issivel de cisalhamento do ace e 900 k g C I < . ;m 2, COIl-

clui-se que a pe'9a e adequada.

140

saber somenre 0 valor maximo du tensao, isto e, urua relacfio de forcn e

Como as tensoes maiores acontecern proximas da LN, as areas dela dis

pouco in flu cn cia m; po rta nto , a s areas q u e ; i n t cr c ss am sao a s p ro xi rn a s d

Com esse raciocfnio, podcmos considerar area resistenre urucarnente a a

alma.

Intervalo didatico

Neste ca pitu lo e sru dam os a s ten so es ta ng e ncia is e n o ca pitu lo a n

a s te ns oe s nor rnais d e t rw; :ao e co rn pre ssa o. Q ua nd o varnos d im en sio na

ve r i f ica r e st ru tu r a s pa ra qu e r e sisr am a o s e sfo rco s d evemo s no s ce r t i f ic

qu e e la s i r a o:

• r esise ir i ls te nsce s de cc .up r e ssao ;

• resistir as tensoes de t r ac ao :

• resistir a s tensoes de cisalhamento.

o exernplo a seguir consolida as t - e s criterios.

A na lise se a pr a n cha d e u m ma te r ia l com a s r e siste u cia s a se g u i r

. a s t re s e xi ge nci as.

O J '!,,!

a c = a t : : : 1]0 kgf/cm2S = 35 x 12= 420 em' L = 2,10 m

'I= 10 kgf/cm'

M - , . PL 4.600 x 2,1 ?415kgf 2415kom en ro t lct or m ax u uo =4=--4-- "".... em = , g

FQ.m~= " 2 = 2.300 kgf

( , . ) M 241.550 98 - k 1 " 1 'ere = c. maximo = w = = 2.450 = ,~'g ern-

1:= 3Q= 3 x 2.300 8,2 kgf/cm'

2S 2x 12x35

 

Quadro comparative

rcnsses que ocorrerno teusdes admissiveis

15.3 Reconhecendo as estruturas do dia-a-dia

Coloque dois livros afastados uns vintc centfmerros e rente usar

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(k,r/om') (kgf/cm2)

liD

0', = 98,5 110

10

Conclusiio: E adequada para lISO.

15.2 Picha-resume do cisalharnento na flexao

15.2.1 Formulas para cada secao

rho

' E L I ~ . . 1 , - ~ t % 1

(Jy( r - 1 " [ 1 1 5rIp ~ [E~

Formula ;~?~es J e c a n a l

J ~ ~ J i I r I Formula Gem/

14 2

soltas de papc! funcionanrlo como vigas (lajes),

Vo ce n a o ccn scg u ir a . A D tentar, essas fo lhas escorregam uma s em

'tao as outras (cisalham-se) e a estrutura desmorcna

Agora grumpeie as folhas COm varies grcmpos. Voce veni que a

estrutura (com Lima coesao intema criada pelos grampos ligando as f

conscguc. de alguma forma, trabalhnr como viga (laje).

Nas vigas de concreto armado os estribos funcionam como os gra

o grampearncnto subsrituiu ulna coesao interna dcsse material. Quando

mas u rn a pra n cha d e a co pa ra vig a o u la jc e a co e sa o in te rn a d o a co q

solidariedade a s iamelas que constituem as estruturas.

Fclhas sottas Folhas g rampeadiOS

Noia:

Quando 0 plano do memento fletor atua segundo um eixo de sirnetriu da

de urnu vigil, s6 acontece f l e x . . a o na viga. Enrreranto, se esse plano nao co

u rn e ixo d e si rn etr ia hu vcrr i to rtj:D o alen t d e flexa o. A (m ica m au ei ra d e irn

isso e Iazcr passar 0 plano do memento per um ponte charnado centr

lon;iio. Vejamos disposicoes de vigas eo ponte 0 (centro de t o r c ao ) .

 

C ap itulo 1 6

Como as vigas se deformam - linhas elasticas

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13ax

- ~ ~ - - - G - . , /l h

j

Se nfio for possfvel passar 0 rnomemo Hetor pelo centro de torcao, entao no

,dimensl0namento d a viga devem-sc levar em contaa flexile e a torciio, Haven-

do as dais esforcos, a distribuicao linear de t ate agora adrnitida ao longo da

se~5.oniin sera mar s verdadeirn.

Se ,qll iscrmos usa~-o"ye,rfi l U e para na o termos to r ca o - que diminui signifi-

~ahvamente a resrstenc.a da peca -, e necessaria fazer lima construcao auxi-li a r d e a ba x.

Ve ja :

JCom cssa cons t rw ; : a o 0 P1OlIiO do momento fletor passani pclo centro de tor9ao .

Desse modo, havera somcme flexjlo sern tor~5.o. Para determinar a posicao do

ponto 0 , centro de tOf'9a o ~ rambem charnado de centro de cisalhamento _

usarernos a cquaciio que nos dti OJ distfincia m que define 01 quesiao.

b2h2an1=--

4J

144

Os esforcos solicitantes - forces normals de comprcssao, forcns

rnais de tracilc, forcas tangenciais, momentos fletores e mementos torsor

causam deforrnacoes nas estruturas.

Devemos estudar as deformacoes por dais motives. 0 primeiro co

em aprender a limitar (ou nao) as deformacoes nas estruturas. 0 segmot ive c qu e 0 e stu co d as d efo rrn aco es pe rm ite re so lver e st ru tu ra s hipere

cas e a determi na~fio de sum reacoes, Particular interesse proporcionar

deformacoes pO T t1exUo e torcao, em geral maiores que as deformacocs

compressac e. lr:Jlffio, Vamos cstudar neste memento as de fo rmacoes

e la stica - LE) d e b ar r a :s so fre nd o ff ex fio

Sejam as vigas

C JF

~~n .

L

Figura j F ig u ra 2

Figura 4

Na Figura J , a extrernidade A e tctalmenre livre para se deformar.~ tangente ao eixo nau dcforrnado da viga. Nil Figura 2. nao ha engastarn

na extrcrnidade C, 0 apoio 6 simples (articulaczo) e a maier flecha ir a ocno meio do vilo, devido a sirnetria da carga, Na Figura 3, no ponte C, a

tern que se esforcar para que as deforrnacoes sejarr. companveis a csquerdd.reitn. Na Figura 4, a linha elastica tern que satisfazer a ., caracrertsticasSCr ar t iculacao e F, urn engastamcnto.

 

As finhas elasticns dependem, alem das caracrerfsticas des aporos, dovile. do formate, do material du viga e dos carregamentos. 0 formulano a

seguir d .5 a cqua~5.odas linhas elasncas admitindo que as vigas scjarn prisman.

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cas (secao constante ao longo do 'lao)

Conhecid a a equa~ao da LE, podemos detennina r as flcchas de lima

vrg a pcn to a ponce.

Nota: x e a ordenada horizontal, y a ordenadn vertical e f a mal or flecha.

, I PY~ _ f l l ! < _ (L' - bL x2) x .: : ; ; a

r----~¥~l6LEJ

~~(L2_b2_ 2) P(x-a)]x:;::;}

Y 6LEJ x + GE],b t 5PL'

L f~--384E1

r - · = = = 1 ; _ = r pO [, 4n ']~ T 6 E J r.:-3 L

pO+ f~ 48E1o

L

1 - - I

Y=lT(L;" - f JI-~1' PL3. ~-- f~ 3EJ

c,

p

F££±tl~J~ -Ef ( ' J ( x J ]-24EJL-2 t + L

_ 5pL'

L f- 384EJ

146

F f f u [ f - 3 ( f J + 2 ( f J ]~f ~ EJ X 0,00542 x ~ IJ ,S78L

PO [ ( X ) ' 4 ( X ) ~y~ 16EJ L -3 LJ

. PL't ~ 192EJ

Nota:

Observe nessas forrnu las que a ordenada da deformzcao y c fuucao linecarga (P ou p), Ccnclui-se que, para essas estruturas. vale 0 prindpia

superposicao, ou seja, s.etivermos LImaviga car-egada por dois tipos difcrde carregamento, a flecha resultunte podc ser calcu lada a partir da soma

a ponto das flechas da mesma viga carregada, em u rna situacao, com

ca rg n e , em ou tra situ a cao , com o ut ra ca rg a ,

No caso da procura da flecha maxima de uma viga carregadn por dais car

mentes, nao podemos sornar as flechas maximas de cada carregamento,

vcz qu e e la s na o sc lo ca liz am no mesmo po n to d a viga ,

Atenrdo:

Ca lc-r le a Hnha d efo rmad a d a viga n seg u ir :

A " r - a t l . _ u m,f"--~--o,~~9 I

A, i" 8,

f T fr----;;-t--,-, -,

 

A linha de forrnada da v iga e a soma das Iinhas e.lasticas deformadas dus

v ig as A2B2 e A~B3·

Portanro,

P icao de ne 20x503run a posrcao e pe, tem-se: ] =--1-2- ~208.333em"

. 1 7.200X(480)'

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= P L ' [ ~ _ ± ( " J ~ __rlL ( 7 2 - lO x ' 3 (, , ) 5 )y IGEl e 3 L Ir360EJ L L + L

Nao podernos calcular a flecha maxima somando as flechas maxhnas

de cada canegamento isolado, pois os pontes de flee has rnaximas sao diferen-

res. A solucao e cncontruda pelo metoda do maximo e mfnimo - achar urn

ponto X tal que y seja maximo.

o mesmo raciocfnio vale para a local iza~ao do ponto de maximo mo-

menta fletor T I, que exigira 0 tratamento maternatico da equacao que carrel a-

clone M' com a orden ada x.

16.1 Exemplos numeric os

Exemplo J

Vejamos a variacao da flecha maxima ao Inverter n posicao de umu viga

retangular.nOQ k.gl

r- t , ---1~~t

L,.,1S0 ':111

c=J 7 0 P Q s iy a n o en s ca

50

Lisa P osi< ;a Qe m p e

2Q

E ~12 U)110 kg f /c r n ?

J ~ bhl~ 50 X 20' = 3 3 . 3 3 3 e m "

12 12

Para a posi ,ao deirada, rem-se f ~ d s P~3f~_I_x 7.200x(480)l ~4,1 om

48 121000 X 208.333

148

t = 48 X 121.000 x 208.333 0,65 em

. ~omo ja era esperado, a viga de pe tern flecha menor (0,65 em)vigu deitada (4,1 em). A reiayao entre as duas flechas e de 4,110,65 = G

e na verdade a relacao dos J, ou seja, 208.333/33.333 ~ 6,25. Sf fizer

mesmo est"do para o perfil I, 20" 148,9 kgflm, tercrnos lx/Iy = 69.220/2.32, Isso significa que 0 perfil I, de pe , produz flechas 32 vezes rn eno res

perfil I deitado. Essa eficiencia enorme do I deve-se ao fato de ser const

para ter 0 maier ] em umu direcao e uma otimizacao de J c \ v . Veja cunilog

fabricarues de perfil de aco.

Exemplo 2

Para a pratica do futebol cxige-se que a truve renha LIma rlecha m

de, digamos, 2 em. Vamos cstudar a tipo de madetru e a se~ao necessaria

atcndcr a CSSil exigencia.

Peeo propr io =66 kgf im

i

 

Material: madeira, E """160,000 kgf/cm?

Y= 1.100 kgf/m?

Vcja:

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_ bh' _ 20x30' _ 4

J-12- 12 -45.000cl11

Peso linear = I m x 0,2 x 0,3 x 1.100 = 66 kgflm = 0,66 kgflcm

f 5PL4

5 x 66 X(732)4 f, =0 ,34 em" 0,2rnux = 384EJ 3114x 160.000 x 45.000

Portanto, esta tude ok,

Alguns go.eiros tern 0 mau h.lbito de se pendamr no meio da rrave.

Vamos agora calculur 0 acrescimo de Ilecha que issc propicia. Admitamos que

o goleiro pese 75 kgf.

PL1 75 x (732)3

f,m =48EJ = 48 x 160.000 x 45.000 f2 = 0,08 em

Conclusdo: f + f1 = 0,34 + 0,08 = 0,42 < 2 em. Logo, est. ok!

Nota:

Na realidada, a trave horizontal nfio esui simplesmente ape.ada nas traves

verticals. Se assim fosse, a rrave horizontal seria hrpostarica para a efeito das

boladas. Ocone: tim certo engastarnento propiciado pelos pregos (esta.nos ad-

mitindo que a trave horizontal e pregada nas travcs vcrticais). que apresen-a

como consequencias:

• urn cerro memento fletor transmltido a cada trave vertical;

• a flecha no meio do V a G e menor que a calculada com a bipotcsc de apoios

simples;

• os mementos transruiudos as (raves verticais provocarn uma deformayao

nelas.

15 0

Nota:

Os que se iniciarn na Resistencia dos Mareriais estudarn primeirame

vigas de um so vao, com dois apoios simples e com carregameruo un

Nesse caso, 0 diagrarna de mementos fletores e parabolico a com valor

mo no meio do vfio e a maxima flecha ncontece rambern no meio do 'l

fato pode levar 0 esrudante a ter a noga,o de que isso seria urna s

constante

Vejamos ourros tipos de viga onde nno h~ coincidencia:

'illOllLL~UO LC-l~ ~JJU/H~~U L(l

~ Ln I iJ~ l I----------c--- I

Para vigas em balance. note que 0 maximo memento fie-tor ac

onde a flecha e nula e onde a flecha e maxima e a rnomento fletor, nulo.

1 1 \ I s1------

L

M ' ~ P I ~ l~ _ : _ _ ' _ "". , ,~,",;m,

 

C ap itu lo 1 7Estudando as vigas hiperestaticas - equacao

17.1 Exemplos de vigas continuas

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dos tres momentos e metoda de Cross

Sejam as t res estruturas scgu i n r e s :

N.A

~~T"lI--''_ r·

~ F2-E-- F 3<

Figura l F ig ur a 2 F ig ur a 3

Na Figura / ternos uma prensa ccmpr.mindo com forca F duns pecas de

marcriais com E diferentes. Quanta vai pam cada peca? Qual a tensao em cada

peca?

A Figura 2 representa uma parede de concreto engastaca na base e

apoiada em i res outros apoios. Quanta da forca se divide por cada apoio?Na Figura J ternos urn peso suspenso por tres cabos de ace. Qual a

forca em cuda cabo?

E ss as r rd s e st ru t ur a s sao hipe re sra t ica s e pa r a e ta s va lem a s tre~ fa r nosas

condicoes - I,FH = 0, I,FV = 0 e I,MF ~ 0 -, mas a aplicacao dessas con;

di~6es nao e suficiente para levan tar os dados das reacoes nos apoios. E

necessario usaf a teoria das def 'ormacoes, que se baseia nu lei de Hooke.

Neste ca pitu lo va rn o s e stu da r a s vig a s co nt fn u as, qu e 0550[is vig a s com

r re s o u rn ais a po io s.

152

A

A

P ara re so lve r vig a s co uu nu as existcm mu ito s pro cesse s. d o s qu a is

s ao os r -m is irnportantes:

• a equaqao dos tres rnornentos (importante pelo set, aspecto ccnceitual):

• m etcd o d e C ro ss (impo rta n re po lo seu a specto pra tico ),

Ambos os precesses leva-n aos mesmos resultados. Hoje em din, c

crilculo em cornputadores, 0 usa direto desses processos perdeu importa

pa r e sse mo tive , d are r n o s u rn exe rnplo d o me to do d e C ro ss.

A equacao dos tres mementos c usada na prepa r ac ao de prograrna

computador par pcrrnitir Facil tratamento matcmatico.

17.1.2 Resolucao de uma viga continua peJa

equacao dos tres momentos

Nurmi viga continua, podc-sc provar que os valores des mementos

to re s d e t re s a po io s su cessivo s e sr a o re la cio n a d o s pa r uma equ a ca o qu e

em co n ta ta n to o s a specto s: g eomctr ico s d a vig n como 0 t ipo d a cn rg a .

equacgo tern 0 nome de t'qua~ilo dos IreS mementos au eq~ta9iiode Clapey

17.1.3 Resolucao de uma viga continua pelo metoda de Cross

o metodo de Cross, que e urn metodo de aprOXi1l1390eSsucess

iniciu-sc com a divisao de uma viga continua em n tramos {ndependen

COm 0 cdlculo de seus mementos fletores nos apoios internes. Por essn r

 

aprcscntaruos nestn pdgira umn tabc.a de mementos Iletores nos apoios, emvigas de urn so tramo

A fim de fac.litar a compreensao. estnmos unexundo a tabela de Grinrer,

17.3 Metodo de Cross

Estudaremos a resc.ucao das vigas contrnuas pelo ruetodo de Cro

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que sed usada no me rodo de Cross.

A tabela de Grinter Fornece mementos de cngastamento ja com sinal de

Grinter para vigas de urn s6 vao.

17.2 Tabela de barras prismaticas (secao constant e)Convencao de Grin ter para os sinais

Tipo de carrcgamento

t~. L/3 "/3 2PLI C==r-i M, =-MB = -9-

M'A=-M'n= Wab2L

p P 11

I L/' L/' l/1 l/< t M --M _ 5PLL r ! I,- "-16 M'A=-M'B= 15PL

32

M,,'=-M'"=~

154

viga-exemplo e m ostr ad a a se gu ir :

c

se!(6es

uareversee

rlfl\ l iOfl

20 ;2 0

irechc C n

Consrrutivarnente, a viga seria:

Esxa viga tern trcs viios c quatro apoios, A, S, C e 0< Sao dad

valores dos vaos, as se~5es da vigu nos seus tres viios e as cargas exte

Cabe ago ra d e te rm ine r a s re a co es no s apo io s e o s mornen to s t l e t o r es

apo io s, Isso se r a o b tid o a pa rt ir d a d e re .m ina ca o d o s momcn Lo s fI c to r cs

n o s nos apo io s C, pa ra . sso , u sa re mo s 0 r ne to do d e C ro ss.

Inicialment:e sera calculcdo. para caca v50, 0 seu Iodice de rigidez

quocienre entre 0 momenta de inercia e 0 ramanho do vao. Ter-se-no

mementos de inercia e tres Indices de rigidez.

 

bx h3 40' ..JI = ----u:-=20 x12 = 106.666crn4

dades. de cada umn dessas Ires vi gas, sera err-pregada a notacao de Grin

Admitlndo-se esse duplo engastamento. occrrzriio nos apoios iruemos Bee

momentos, que reremos de balancear: urn pcla dircita C outre pela esquc-d

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WI =.:!..L= 106.666 =280L, 380

b xli' 453h =-1-2-=20 x12= 151875crn4

W =~= 151.875=3612 h 420 .

bxl,' 303J) = ----u:- =20 x 12 = 45.000c",·

W =b_= 45.000 = 17"'L3 260 .,

Para balancear os mementos nos apoios intern OS, usarcmos os coefi-

dentes que resultam d a s Formulas:

~O~31 0,563

1~~'4"-"-+-"~N'~• . . i . .A W I " "'280 8 11'12=361

0,736

~BA = 4WI = 4 x 280 = 1.120 ~ 1.120 0437I l B e + i 3SA 1.120 + 1.444 '

DBC _

Be e +DOA = 1 - 0,437 = 0,)63

~ 1.444 0736

j3CB+ j 3 C D 1.444+519 '

PCD

BCB+PCD = 1 - 0,736 = 0,264

P EC=4W, = 4 x 36 1 = I A 44

PCB =4W2 =4 x 361 = 1444

PCD= 3W3 =4 x 173 =519

N o m eto da de Cross adora-se a p r e ss up o s ic a o de que ca d a va o seja d u -

p!amente engastad~ com excccjio do vao 3. que, _ j t i sabemos. tern urn apoio

simples f J ? extrem I dade. Calcularemos os mementos fletores de tres vigas

como se uvessem urn vao rinico. Para 0 sinal do momenta f1etor das extrerni-

156

esse halanceamemc de apoio por apcio e feito utilizando-se 0 metodo de Cross

Pam calcul ar os mementos fletores de angastamento perfeito co

co nve n9a o d e G nn te r,

p = 3 20 k .g Um

1=:1-.-50

M~=+E=320x3,82 =+38512 12

E 382MA=- 12 =-320Xi2=-385

JOOkgr

30 0 x 3,6 x O,{j.2

4,22

M e = P ab xl..:! :. .! :2 1 2

M no 4 1 2 2,6 + 1 ,2 340c = x I, x , 2 X 2,62 =

o metoda de Cross introduz no apoio rnais desequilibrado (no n

caso a apoio B) uma parcela de rcajus:c cuja SOma resultar.a num valor

(757 - 3g5 = 372) que da parcelas de reajustes iguais a 163 e 209, os q

par sua vet, resultam da rnultiplicacao de 372 pelos coe.icientes 0,437 e 0,

Balanceado 0 n o (apoin B) propagam-se para os apoios de cada lado as pa

l", 385 0, 757 rrulripllcadas pelo fatcr 0,5. Feito isso, 0 equilibria do nintrcduz perturbacoes nos no s A e C. Vamos agora equil ibrar 0 no interne

valor de equilibria para 0 n o C c ria ordem de 63'l kgfm. Esse valor e distrib

do a direi:a e II esquerda usundo-se os furores de distribuicao 0,736 e 0,

 

Fica agora equilibrado 0 n6 C e propagam-se os valores que equ.libratam esse

no pam os apoios da direita e da esquerda, Para a direita, a propagaclto e nula,

r---Os mementos nos apoios resultant em:

A= + 248 kgfm

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pois Delima articulacao. Pam a esquerda, a propagacao e de 50%, 0 que

acarreta nova perturbacao e perda de equilibria em B. Faz-se 0 equilfbrio em

B~ e a ss ir n s uc cs si vnm en te . Ap6s varias operacoes, todos os no s intemos (B c

C) estiio equilibrados, e conhecemos os mementos fletores em todos os apoios

J O{ l k g l

ueeemce semescse

1

72 0

",

'.0<)

2,60

VaDJ

0 30

20

secees

0 4 D 0 "ransveescts

d3vig.a

20 20

+ 385 - 385

II~

-867 + 340 0 I

IO:illl 0.563 ~ 1 1 0 , 2 6 4 1

] " n ju st e + 385 - 3R5 +757 - 867 +340 0

-81 < -- -163 -209 -- > -104 0

5 0 % SO%

2° ajuste + 232 +464 + 167 r+ 0

50%

3" ejuste - SI f-- -102 - 130 A -65

50% 50%

-24 . . . . . +48 + 17 A 0

50%

4 < > a jus r e -5 -10 - 14 -- > 7

50% +2 . . . . . +5 +2 - -> 0-I -I

+ 248 - 661 + 661 -526 + 526 -- > 0

Mementos balanccados

158

B = -661 kgfm

C = -526 kgfm

D=O

Note que agora abandonamos a convencao de Grinter para as meme

e v cl tu m o s a convencao original usada nes t e ]i\-TO.

Conhecidos os valores dos morncntos Flcrores nOS apoios, a viga n

mais hiperestarica, Caiculurernos as r e acoes nos apoios.

r; . '~B G~I:;) r; ~61 ~ 2j J. - ) r ; : . e a e

II I nCEGI21~:- ~1J -'l (-~5(OOI-§2I1 r;~2~

A I ' . " 1 5 B r . ~,2(1 I e C~D

F r f r / b Q ; l l - ~ ~Efe i to 6 D S 608 1.050 1050 332 38c"!R" 43 25 7

Efeito do

memento -lOS + 108 +32 -32 +202 -20f le to r

5 00 71 G 1.125 1175 534 18500IW 1 .8 41 k r 1 .8 09 k gf I S6

Conhecidos as mementos fletores nos apoios e as reacoes em c

apoio, podemos tracar as diagramas de mementos fletores e as d i a g r ama s

[ore;acortante ao longo da vigil.

P ara ca lcu la r o s m em en to s fletores po sinvo s n o me io d o va o :

(320 x 1,56")ZJ = 248 - 2 + 500 x 1,56 = 638 kgfm

 

Z2 =248 + 500 (3,80 +2,25) - 320 x 380 x (1,00 + 2,25) +

2 25 500 2,25 x 2,25 608 kgfrn+ L841 x, - 2

Capitulo 18

Flarnbagern ou 0mal caracteristico das pecas

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Z, = 186 xl ,4 0 = 260 kgfm

300 kgl

500

XI = 500/J,2

=1,5tJ.

Fmgar . : :or lante

-

534

Hl09 166

1\ _

\ \-\116 675

975l~ A 3 = 1,40

; :< ;; := '1 ,1 . 25 1 5 0 0 \ 1 2 75 1

=225 I

t---1BB

160

Mo rn e ra o f et or

;{:2 = 2,25< X:J, = -1,40

comprimidas

18.1 Experiencias para entender a flambagem

Experiencia 1

Pegue uma regua escolar de plasrico e pressione-a entre dois p

bern proximos, um a cinco centfrnetros do ourro

Voce esta si r nulando uma estrurura em compressjlo simples, A

pressionc dais pontes distanres quinze ccntimetros lim do Dutro. Algo cc

a aparecerE visivelmeme rnals facil cria- condicoes para a barra ccmecar

encurvar, A barra est-a ccmcca nco a sofrer 0fenOineno dajlambagem.

Ita;a agora a ccmprcsxlio nos dois pontes extrernos da regua, dista

urn do au tro cerca de tri nta centimerros. Com a forca rcduzida, a regua

perdcndo estabilidade. Force a regua e chegue ate a ru ptura. A regua se qu

Se tizermos a cxpcriencir; com rcguas de rnesmo material mas

espessuras diferentes. as reguas rnais espessas exigern mais esforccs

fla mb ar qu e a ~ m ais f in as.

Expenincia 2

Pise em cima de urna lara de refrigerante. v o c e no rma que a lata, se

quebrar, amassa, NJo quebrou porquc, ao corurario do plasrico que

material Jrtigil , 0 alurmnio e urn material ductil e se deform a bastante ante

pe-der sua unidade. A estrutura da lata, entretanto, entrou em colapso,

Experisncia 3

Seja uma plnca de madeira cornpensada de grande altum e pcqu

espessuru. DOIS carrcgadores a rransportam. Se e.les carregarern a placa s

rando-a ern dois pontos ba ixos , a placa se deforma, Se os pontes forem HI

parte alta da placz E outro na parte baixa, a place niio se deforrna. ntto flamb

 

18.2 Conclusoes

• Pecas ccmprimidas de grande altura podem flambur, fa r o que 6 scnsivcl-

Para fazer urn dlaguostico da tendenciu de lim pilar a Jlambar, OU

l1samos 0 scguinte concerto:

A . - fndicc de esbelrez

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mente reduzido sc a altura for pequena.

• Quanta mais vinculos river a extrutura em cornprcssao. menos tendencin cia

tern para f larnbnr

• Quaruo maier for a espessura, menor a tendencia n flambar.

• Quanta mais Ilexivel for 0 material (menor E), mais facil e a ocorrencia da

fJamhngem.

Deve-se a Euler a prirneira formulacno de urna quaruifrcacao do limite

de carga que se podc colocar numa pcva comprimida para que ela nao flambe.p

~,

9Formula de Euler

Essa formula leva em coma os tipos de extremidades do pilar atraves do

coeficiente k. Para cada condicao de extremidude, podemos estabelecer cacti-

cieutes que simulam as.condicocs das cxtremidades.

k = [2 k= 1 k= I 'k =0,7

D

k . . O ,f i

~ C ~ "~

LII = 2L LfI= L it: ~ L Lfl= O.7L l'l 1/2l

Ca.<;oA Caso B Caso C caso o c a s o t:

l62

ITQ

L

J - memento de inercia

Nota:

0.1 a considcrar co rnenor J da s e < ; : a ( ' 1 transversal (valido para a eixo que

menor J).

o Indicc 'A nao so faz 0 diagnostico das condicoes de flambagcrn.

iambem fomece criterios prances= para varias estruturus multiplicarern a

atuante por urn valor (J) que e funcao de A .. Logo, para nao 110S preocupu

com a flambagern, varnos rm.ltiplicnr a forca F pclo coeficiente ro,

Vamos a exercfcios numertcos que elucidarn 0 assuruo.

18.3 Exerdcios numericos

Exercicio 1

Identifique a situacno de urn pilar de concreto armado com os dad

seguir :

• apoios simples nas extremidadcs:

• se,50 de 30 x 50 em;

• comprirnen to de 4,3 rn,

Leve em conta que, no rnundo do concreto armado vulcrn as sezuil1stru~5es: ' t;.

• ()< ~ <40 - mnuma tendencia a flambar:

• 40 < A < 80 - tcndencia a flumbar:

• A . > 80 - procurar sair daqui aumcntando as dimensoes co pilar,

1c= kL=_ l < 1 _ L 3,46L3,46430J 1r -~ -h-=--3-0-=49.6

. S"I2"t,

'" A tcnuuiva de fugi r da Ilambagcm pela "majoracao" da carga atuantc esta em desuso

[~orias rnais mcdemas. que pcrntircm dimensionar a csrrutum cvitnndo II rlambagem

 

Conclusiio:

H;i risco de flambage1n- Deve-se au aumentar a menor dime~sao ~30~Cn;.),

E =2.100 tf/em2 (.,0)

1'2, 2.100x 3.5733.287 If

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au melhorar as condicccs de extremidade (engaslar~, N~te que a maror dirnensao

da ~ao transversal (50 em) niiointerfere nadetermllla~ao de A ..

Exercicio 2

. di coes de flumbazern do pilar de concreto armndoCaraClenze as CO_1lIy _0 _ ' .k _ 1

com L = 5,70 m, se(fao circular d ;::;25 ern e extrelmdades articuladas - .

1_5,10m g _- 1 o e z s c m

RecomendapJo: sair dessa regifio numentando 0

diarnetro do pilar.

Exerdcio 3Dada urna coluna de " ' ' 9 0 com l = 3m e condic;oes ,de extremidade

k = 112,se~iio 35 x 35 em, E = 2, tOOt[fern2, determine a maxima forcn F para

ru ptu ra e P"d ,, , X Gprop = 2100 kgf/cm2

F_ f_F~?D35

~ __ L= 300cm -{ a s

Cakulemos Pefit(flambagem),

n2EJ ,,28 1'2EJ

Pcn l = (In)2 = (kL)2 = ( i L Jbh' 35 x35J 4

J = 12= --12- = 3,573 ern

164

Pail = (150)2

Gli n = F ; ' s =2,683 kgf/cm2

Ternes um problema. A reoria de flarnbagerr, usou r. . hipotese de

rarmos no limite de proporcionalidade de a~ ao , e is 0 s6 e valido

G = 2.100 kgf/cm2. Portanto, esse crilculo passer, do limite

Verificando a maxima t o r ca admissfvel dentro do limite de proporc

nalidade, temos:

F~ G~opX S =2,1 x35 x 35 = 2,572 tf= P'dm

Vamos trabalhar com esse limite a fim de usar a formula de Eu

TemQ5que trabalbar com seguranca, ista e , scm ultrapassar Guam.

Normas de (Jutras parses exigerr- cnlculos da estrutura e que nos nca

Iernos contra a f la rnbagern multiplicando a carga por urn fator Ol m aier qu

e esse fator e tanto rnaior quanta mais crftica a pcssibilidade de flambagem.

Vamos a urn exemplo.

G,· =E:= 3,287 = 2,683 kgf/em2 > 2, 100 k ..../cm2rm S 35 X 35 y,

Condicoes para colunas de afG

700 90 11 00

1,54 2,39 4,29.07 1,22

Fonte: Cursa de Resissincia dos Motenais, Prof. Evaristo da Costa. p. 30 L

- ~ ..=S c r = 1.400 kgf/crn- = 1,4 [f/c m-

S = 35 x 35 = 1.225cm2

Caiculando:

_ 0 i f l "i=,fJ = - ' V 1 I ~_h_=___:ll__= 10 1em

S bh 3,46 3,46 '

 

Observe:o elasrico. ao envolver uma regua de plastlco, exerce uma co

pressao c a flecha resulrante no meio da regua e de 4 ern.7

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L og o, pe Ia tn be la , (j)= 1,07

ruxF0=--

S1.400 = I,07F

35 x35F= 1602tf

Analise dos dados

1. A conclusao I mostru que a formula de Euler naa era adequada para fixnr a

carga limite, pois a carga de 3.287 tf ultrapassu OJ ten sao de proporcionali-dade do aco, que e 2,'100 kgf/cm2, A formula de Euler .s o vale a l e cssa

condicao de proporcionalidade,

2. Atendendo as normas que incluem a flambagern e 0 coeficiente de seguran-

9 3., a ca rg u lim ite e d e 1 ..6 02 tf, q u e n fi o u lt ra pa ss a 0 lim ite d e proporciona

lid a dc c qu e nan su pe ra a le n s ao a dm issf ve l,

Noms:

1. Dudas duas colunas de dois tipos de aco, UnJ com maier G c e Dutro com

menor Oc, mas ambos com rresmo E, elas cntrarao em flambagern com (J

rnesma carga crttica, po is esta nao dcpende da ten sao adrnissfvel dos mate-riais, e sim des sens m6dulos de elasticidade,

2. P ara rn ate r ia is frfigeis C Om o 0 p la stico , a f la mb ag e-n leva f l oco rrencia ci a

ruptura do material. Perceba isso rompendo urna regua escolar de plastico

por meio de uma compressao. Para materials ductcis, antes de haver ruptu-

ra do material aconrece uma defonnccno pcrrnanente, al l seja. 0 material

amassa. Isso e percepnvel nurnu lata de refrigeran-e au I1Unl prego. Nesscs

ma te na is n ao o co rr c r up tu ra , e s im u rn ama ss umento .

3. Para visualizar a flarnbagcm e 0 modo pelo qual 0 aumemo da serrao

transversal (aurncnto do .I) diminui a possibilidade du f l ambagem, pegue

uma rcgua de pliistico escolar e a . envoi va com el~SI!CO. rill seguida, pcgucduas reguas de plasuco juntas e tambcrn as envoI va com ehlsrico

166

eltistico semelhantc cnvolvendo duns rcguas de plastico cria u

flccha de I CI11.

4. Pecas em flexao flarnbarn?

Sirn, pecas em flexao flambarr. se a parte ccmprirnida n50 esti

reforcada contra esse mal. Isso e . mu (to cornu m em estruturus

aco OU de. olumfnio. Em dccorrcncra da grande resistencia dcs

mewis, as - estruturas resulram csbeltas e podem rlambar na Su a parte comp

rnida, levando, depois, ao co.apso toda a estrutura. Esse tipo de fla-nbagem

cha.mada de flambagem local OL l perda de estabi I ldade IDeal.

4. Placa de madeira pede flambar se sells carrcgadores forern inexper ienres.

o Prof. A. Molitemo, na pagina L14 de seu livre Projetos de telhodo

estruturas de madeira, mostra que uma placa de madeira ccmpensada

posicao em pe) de alta resistencia e baixa espessura, transportada pot

operadores, pod er a flambar se [or segurn sornente em baixo. Se cadn ope

rio a segurar em dois pontes, um alto e urn baixo, ela nllo f ' l ambon i . Ecaso upicc de reducao das ccodicfes de flambagem pela mcdanru de

culacao

5. Na luta contra a flambagem, pequenas (ou aparentementc pcquenas) alre

90es na seyao transversal da peca podcm trazer significative contribuicaesse objenvo, Quando se trabalhu com perils leves de as;o e havendo

possibil.dade de ocorrencia de thmbagem local (lateral), tirnmos part

de pequenas alteracoes da ser.;flo transversal que a enrijcccrn de mane

bern interessante.

rrerfil !lao creijecido Perfil enrijecido Perfil mui to enrijecido

Ncrvuras em chapas de i1-t0 de carro tf,1ll essa funcao.

 

6. Em uma velha agancia bencdria de urna pequena cidade, havia urn andar

intermedi:irio (rnczuniuo. jirau), sustentadc pO T vigas apoiadas em pilares.

Quando a agencia foi reforrnada, decidlu-se pela supressfto desse andar C a

~ao elo com elo, 0 construtor de tal biznrra estrutura atacou 0 mal pela rai

seja. eliminou 0ponto fraco: soldou os elos e essa solda garantiu a resisten

A co rre nte , e nta o, pode sofrer co mpre ssa o, q ue r esist ir a. V eja :

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laje e as vigas de apoio foram reriradas, Do ponto de vista estrutural,

acreditava-se que a supressho das cargas do mezanino traria rnais segurau.

ca aos pilares existentes, So que , com a retirada do mezanino e de suaa

vig a s, a altura de f1ambagem do pilar aumentou e estava sem maiores

folgas. Com isso, 0 pilar flambou e rornpeu-se.

7. Pegue uma lata de aluminio - de r ef ri ge ra nte , pO Texemplo - o u u rn co pe

de plasuco. Note que nas bordas e introduzida urn acrescirno de espessurn

all e feito 11m tipo de emortamcnto, para dar maior rigidez a estrutura, NasIfuninas de aero usadas nos carros na coberiura ou em posicoes frontais e

Ia te ra is. sno cr ia da s n ervu ra s qu e dao r i g i d ez a la ta ria , Fa ca u rn a m spe cflo

n a la ta r ia d o seu ca rro e ve ri f iqu e essa s sa lie ncies e nri jece do ra s,

18.4 Reconhecendo as estruturas do dia-a-dia

• Umu corrente sofrendo compressao

Vi num jardim um pequeno vasa sustentado por urna corrente funcio-

nando como coluna e sofrendo comprcssao!l Par principia, lima corrente n50

pode sofrer cornpressao, pois a li£,::11;50lo com do niio e est.ivel para esse tipode esforco, au para qualquer tipo de corda ou recido, Como conscguir gLIB umn

correme sofra cornpressao, <lindaque pequenn? Observe: com cuidado a liga-

168

• Por vezes usamos a flumbagem par razoes estet icas. A bengal a de Car

n a o f la m ba d a, se ri a meno s be la .

18.5 Resumindo

J calculado para a se~ilo de menor J:

I ~ =~ = ~ n l

 

o quadro a seguir, de objet iva didanco, mosua, para var ias cstruturas e

materials, como 0 A . pede ser valioso instrumento para predirnensionar au

avalinr estruturas cornprimidas,

Capitulo 19

Estruturas e materiais nao resistentes a tracao

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J. . (fudice de esbeltez)

0-40 1 4 0 - 8 0A f'lambagem nao e 'Iemos de prcocupnr-nos

importante. com a flambagcm. I: > 80Esh~muitoesbelto.

P ee ns d e

concreto

armudo

Prego 8-11

30 < ),< 12 0

0 " = 1.125 - 4,91 (kgf/cm2)*

)." 83

O J ~ 3 O RO - 2 ,4 6).*Alumfnio

( ' + < ) De ncordo com as fdrmulns, n tcnsso admissrvcl dimirrct conlcrme numentn a esbeltcz da

estruturn. Os dados citados devcm ser encarndos corno infonrmcoes didaticas. pols <I S normns

b rasi le i ru s t r ntnm Q essun rode fo rma d i fc r cn re

Fon t e : CIII'SOde RCJiJ/{!m:ilJ dos Materiais. P ro f. E va rt st o V all ad a re s C o st a. p. 295-6.

Notas:

1. Sc a -lambagem e 0 ma l caracrerfstico de pega.:; comprimidas, as peens

tracionadas t e r n scu mal caracteristico? r e m . E a vibrncao, que e0

grandeobjetivo das cordas musicals, Oll na fabricacao de sinos, e aliamente Inde-

sejavel em certas cstruturas metrilicas muito delgadas,

Em estruturas rnetalicas procura-se limirar a esbeltez de pecas tracionadus;

n~o deve ultrapassar " A : ; ; ; 240 e A . S; 300 para pecas sccundar.ias (veju Ele-

mer/los das cstrutnras de a(o. Gilson Queiroz. p.150).

2. Urn prcgu dcvc ser bern esbelto e ter alto Iv para poder penetrnr na madeira.

Deve ser robusro, cntretanto, para na o entortar. Para atender a s duas cxi-

gencias:

8:;; AS)]

s er o e sc en c

r-->

L~1 \ <__ll

eemrooustc

170~\

19_1Exemplos de estruturas quenao resistern 1 1 cornpressao

Ha estruturas, como cordas, correntes tecidos, etc, que n50 resistcompressao ,

Cordas e tecidos, devido a pequena espessui a que possuern, so

flambagcm quando cornprimidos. Note que nile e a caracrcrfsrica do mat

que gem essa "nao-resistencia", e sim a sua caracteristica construtiva.

fardo de algodao, por exemplo, pode resisrir a compressao, mas 0 me

algodao ria forma (estrutura) de tccido nao reslstira a compressao.Correntes de qualqucr material nfio resistem a cornpressao pcla ins

lid a de d a r ela ca o do co m e lo ,

Assim como hi estruturas que niio resistem a ccmpressao, exisrem

que nilo resistern ,), rracao - uma pi lha de placas de, aco, par exernplo. A

de Iigat;ao entre as peens faz corn que a pilha resista a cornpressao, masresista a t racdo. A ru zi lo esra n o tipo de estrutura, c ruio no seu material.

19.2 Exemplos de estruturas que nao resistem it tracao

Alern das estrururas, exisrem materials que resistent bem it cornpress

e mal a tracao, como ° concreto e a argila. Podern-se Inzer. e com suce

piJare1) de concreto ou de tijolos de argiln, mas ninguem usana tais csm.tu

como tiruntes, ern que .0 estorco e de tracfioUrn caso de interesse pratico c o de pccas ern que, em determina

si tuar;oes, so ocorrem esforcos de compressao, mas que, em situacocs ex

mas, podem ter parte da estrutura sofrendo compressao e parte sofrendo

't a o. S e 0 e sfcrco d e l rac ;ao em cer ta s e sr ru tu ra s pa ssa r d e a lgum Iimite, oc

a colapso au a rupture. Paredes cum trincas srioboris exemplos.

 

Estudemos de forma mais global e numerica esscs casas de estruturas e

materials que niio resistern IiI.ra'iao.

Sejarn uma pe~a de madeira colada em um pisc de madeira e uma torca

Se pensarmos na area em que a forca atua, deve existir em urn

transversal ao eixo vertical uma superffcie que limite as posicoes de F ta

os extremos da zona cornprimida aJcancem toda a base da peca.

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F. Admiramos como desprezivel 0 peso proprio da peca de madeira e que a

rorca Fpossn deslocar-se na superffcie dessa pe~a.

Se a forca F estiver no centro de gruvidadc da pet;a, entao a tensiio, ern

qualquer ponto dcla, vale (J;;;;; 1 ~ 1 s . , em que Sea rirea transversal dessa peca

(si,"ariin I).

Agora a forca F corneca a se Mas-tardo eixo indo de kern direcao a B.

Alcm do efcito da forca F, teruos a efeito do sell deslocamento a, qu e

gera U rn memento Detar M. Esse memento, por sua vez, aumenta a tensao do

lado BK e diminui a rensao do lado AK (si tuQP'io 2).

Se aumentarmos 0 valor de at podemos chegar a 'Urnlimite de acabar a

compressao em A. Se aumentarmos ainda rnais 0 afastamento at cntao podere-

mos ter lima tracao no clemente colante, entre a pe9f1de madeira e 0 apoio.

Admitamos que a cob rzsista e aumentemos 0 deslocamento 3. Desse modo.

aumentara a tracnc no lade esquerdo c ainda mais a cornpressao no Indo

dire-I to.

Como c udmissfvcl que ,1 cola seja fraca, chegn um momenro em que acola se rompe. ' Ieremos, entilo, a situaciio 4, que e . tfpica de uma estrutura quen50 resiste a traciio.

Fica a pergunta: qual a posicuo Limitede F para que n50 QCOfTa tra9no

na peca, isto e . para que nao haja descolamento da estrutura da sua base, Oil

ninda que 0 trinngulo de compressrto cornece na vertical pelo ponte A?

172

Se F se afasrar dessa superflcie, entdo:

• ocorred. tracao na Iigacao das pccas;

• se nao houver liga'rao ou se 11 ligagao for fraca (n caso de a cola scr fr

haveni urn cerro descclamcnto do bloco em r e l r . H ; : n o ao apolo e terern

s itua(: ilo 4.

A area (superffcie) que garante que temos no limite a situacao de te

nu la em A e d e n omi n a d a nuctea central de inercta au area central de inercVoce pode simulur 0 fenorneno explicado usando urn encosro de

que tenha alguma rigidcz, de espumu de nailon. pOl' exernplo. Se a apertar

uma forca P , adequadarnen:e excentrica, voce percebera que a extrernidad

d o e nc os to c he ga rr i a s e a fa sr ar d o ap oio .

Veja :

Usarnos esse enccsto, pois ele e feito de espuma, material de bai(modulo de elasticidade); assim. as deformacoes ficam rnais visfveis.

Para as secoes geometricas mars corriqueiras, vejarnos a localizacao

nucleo central de inercia, que vem a ser a area da secno onde, passand

resuttaore em urn dos sells pontes internos, s o haveui compressao em to

corpo,

NUc!SDcenlral

r~

~/ 

Dadcs do nucleo central de mercia Se a fon; a F aurasse no elxo y do bloeo l, a rensno na base de asobre 0 bloco 2 seria:

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C~lNo case aprcsentudo. fizemos variar a posicao du forca externa F, anali-

s amos as co n se qu en cia s e d csp rcz am o s 0 peso proprio. Em u ma abo rd ag em

mais geral, 0 que inreressn e considerar a posicao rcsultantc do peso propr i o e

da s fo r cas ex te r nas

19.3 Exerclcios numericos

Exercicio I

E dado Limbloco (I) de 1 m de fargura soldado a outro bloco (2). Sabre

o b lo co (I) a tu a a fo r ," F = 8.300 kgf, De t e rmine as t e ns co s n a so ld a.

e s6 haveria tensoes uniformes de cornprcssao nil solda, Acontece que 11 f

F e stf l excen tn ca a ] S em d o e ixo y e isso g e ra rd u rn m emen to f

Fx 15 em, que sobrecarregara (comprimird) {1 trecho NT e descarrega

trecho TD_Calculemos as tensoes resu.tantes

+~ ~ F x a = 8.300 x 15 ~ 4 67 kgf/cm?W bh' 100x 402 '

(; 6

Logo .

F MGN=S+W=2.07+4,67=6.74 kgflcI1l2

F : t v !GD= S + W = 2.07 - 4.67 = -2,6 kgf/cm'

Este e 0 d iag r ama d e t en so cs :

)J. t.,--.-,,-.--.--?-_j_L__-t C O , , , " , . ~ a u

f'6.7'1

o problema esta resolvido. Nos pcdcrfamos rer descoberto se hav

au nfio lr;u;ao, venficando se a forca Festa fora o u d en tro d o m icleo centra

inercia Vamos a ele,