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Frente 1Módulos 17 e 18: Polinômios

→ Função Polinomial:• É basicamente:

• Valor numérico: Substituir o ‘x’ por um número (ou letra) e dar o valor de P.• Raiz numérico: quando ‘P(m) = 0’; ‘m’ será a raiz da função polinomial.• Grau: é o maior expoente que tem o ‘x’, entre os coeficientes diferentes de zero.• Quando a função polinomial for identicamente nula; ‘P(x)=0’; quer dizer que os coeficientes são zero (a1= a2= a3= a4=0).• Quando a função polinomial for idêntica à outra; ‘A(x)=B(x)’; quer dizer que os coeficientes serão iguais (a1=b1; a2=b2; a3=b3...).→ Divisão de Polinômios:• Dividindo a função polinomial A por B; será possível obter a função polinomial Q (quociente) e a função polinomial R (resto). O grau do resto é menor que o grau do divisor (B) ou o resto é identicamente nulo.

• A(x) é o dividendo. B(x) é o divisor. R(x) é o resto da divisão. Q(x) é o quociente.• esse teorema é conhecido como Método da Chave ou Método dos Coeficientes a Determinar (Descartes); normalmente é usado para achar o resto.• Quando o divisor for uma função polinomial de segundo, terceiro, quarto... grau; usa-se o Método da Chave. Quando o divisor for uma função polinomial de primeiro grau (a.x + b), pode-se usar o Método da Chave, o Teorema de D’Alembert e o do Briot-Ruffini.→ Teorema D’Alembert:• “O resto da divisão da função polinomial A por ‘x – alfa’ é o valor numérico de A para para ‘x = alfa’.• Teorema do resto: o resto da divisão de ‘A(x)’ por ‘a.x + b’ será ‘A(- b/a)’.

• Se ‘A(x)’ for divisível por ‘a.x + b’; quer dizer que ‘A(- b/a) = 0’.→ Dispositivo Prático de Briot-Ruffini:• simplificando: você tem um dividendo ‘5 x3−7 x2+2x−6 ‘ ; e um divisor ‘ x−2 ‘.• Desenhe uma linha na horizontal; em cima dela escreva a raiz do divisor (raiz de x – 2; ou seja o número para que x – 2 dê zero), que é 2. Em seguida escreva os coeficientes do dividendo, ou seja, o 5, -7, 2 e -6; nessa ordem. Em baixo do 5, escreve o 5 mesmo; embaixo do -7 você escreve (2.5) – 7. O dois veio da raiz do divisor; o cinco veio da diagonal, e o ‘– 7’ veio de cima. Ou seja, em baixo do ‘-7’ você escreve ‘3’. Em baixo do 2, (a mesma coisa: raiz do divisor vezes número na diagonal esquerda) + (número que está em cima); ou seja: (2.3)+(2) = 8. Agora o próximo número, o ‘-6’: (2.8)+(-6) = 10. Com isso você pode concluir que o quociente é: Q(x) = 10; e o resto é: R(x)= 5x2 + 3x + 8.

Módulo 19: Equações Algébricas – Relações de Girard→ Equação Algébrica:• É uma função polinomial que vale zero: ‘P(x) = 0’.• TFA – Teorema Fundamental da Álgebra: “Toda equação algébrica de grau estritamente positivo admite pelo menos uma raiz, e no máximo ‘n’ raízes.”

→ relações de Girard:• Para uma equação algébrica existe um conjunto-verdade; que é um conjunto de números que tornam a equação verdadeira (ou seja, os valores do ‘x’).• Sabendo disso, é possível relacionar:

Frente 2Módulo 11: Definição e Propriedades dos

determinantes→ Regras práticas para

cálculo dos determinantes:• Regra de Sarrus (para calcular determinantes de matrizes quadradas de ordem 2 e 3)

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PE.2

→ Propriedades:• O Determinante é igual a zero quando uma fila (linha ou coluna) for nula; quando duas filas paralelas forem iguais ou proporcionais; ou quando uma fila for a combinação linear de outras filas paralelas.• O determinante de uma matriz quadrada troca de sinal quando duas filas paralelas trocam de posição entre si.• O determinante de uma matriz quadrada é multiplicado pó ‘n’ quando uma fila for multiplicada por ‘n’.• O determinante de uma matriz quadrada de ordem ‘x’ será multiplicado por ‘nx’, quando a matriz inteira for multiplicada por ‘n’.• Não altera o determinante quando troca ordenadamente as linhas pelas colunas; nem quando somar a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas.

Módulo 13: Definição, Cálculo e Propriedades da Matriz Inversa

→ Regra prática:• Uma matriz (M) possui uma matriz inversa (M-1), quando o determinante de M for diferente de zero. Caso dê zero, é porque a matriz não possui uma matriz inversa.• O determinante de M é igual à um sobre (dividido por) determinante de M-1.• Primeiro você deve calcular o determinante de M; depois achar a matriz dos cofatores de M (achar o

M’); depois achar a matriz adjunta de M (achar o _ _

M); e por fim dividir a matriz adjunta pelo determinante de M.

Módulo 14: Sistemas Lineares: Regra de Cramer e escalonamento

→ Sistemas Lineares – regra de Cramer:• Um sistema linear é formado por duas ou mais equações, com ‘n’ incógnitas.• Um sistema pode ser Possível e Determinado (SPD): quando só tiver apenas um número como solução.• Um sistema pode ser Possível e Indeterminado (SPI): quando tiver vários números como solução.• Um sistema pode ser Impossível (SI): quando não possuir soluções.• Num sistema linear, é possível montar matrizes com os COEFICIENTES (números antes do ‘x’). Existe Matriz Completa e Incompleta; o determinante da Matriz Incompleta se chama Determinante do Sistema.

• Um sistema é considerado ‘normal’ quando tiver ‘n’ incógnitas com ‘n’ equações.→ Regra de Cramer:

• achar o valor da incógnita a partir do Determinante do sistema:

Frente 3Módulo 11: Alinhamento de Três Pontos – Área de

um triângulo• Existem três pontos: A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC); elas podem estar alinhadas ou podem formar um triângulo.• Com as coordenadas desses pontos é possível construir uma matriz, e com a determinante dela tirar as seguintes conclusões:

Módulo 13: Declividade – Equação Reduzida da Reta→ Coeficiente Angular (declividade):• Inclinação de uma reta é o menor ângulo entre a reta e o eixo dos ‘x’; para o sentido anti-horário. Então o coeficiente angular (declividade) é representado pela letra ‘m’.

→ Equação Reduzida da Reta:• É da equação da reta normal (ax + by + c = 0) isolar o ‘y’ (y = mx + h); onde ‘m’ é o coeficiente angular e ‘h’ é o coeficiente linear.• Ver tabela noutra página...

Módulo 14: Posição Relativa de Duas Retas – Equação do Feixe de Retas

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PE.2

→ Posição relativa de duas retas e fórmulas:

Frente 4Módulo 11: Área das figuras planas

→ Área do triângulo:

→ Área dos quadriláteros:

→ Razão entre áreas de figuras semelhantes:

Módulo 14: Pirâmides→ Definição e elementos:

→ Pirâmide Reta e Pirâmide Regular:• Pirâmide Reta é quanto a projeção ortogonal do vértice incide sobre o centro do polígono da base.• Pirâmide Regular é quando é reta e o polígono é uma base regular.

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→ Fórmulas:

OUTRAS ANOTAÇÕES: