1

Ruído

2

Ruído:

É definido como um sinal indesejável ou distúrbio que altera um sinal

elétrico ou degrada o comportamento de um sistema.

Algumas fontes de ruído:

• ruídos internos de componentes elétricos (térmico),

• escovas de motores, ignição, imperfeição de conexões elétricas,

• radiação eletromagnética,

• tempestades elétricas,

• radiações extraterrestres.

A principal fonte de ruído que se conhece é o ruído térmico, que está

presente nos componentes elétricos e eletrônicos.

Introdução

3

Os elétrons livres em um material condutor possuem energia cinética

devido à troca de calor entre material e meio ambiente. Assim:

Estes elétrons estão em movimento,

Devido às colisões internas este movimento é aleatório,

A densidade de elétrons através do condutor dá origem a uma tensão

de ruído em seus terminais.

Ruído térmico ou Johnson (primeiro a estudá-lo em 1928).

As seguintes propriedades são observadas:

O valor médio da tensão é nulo.

O valor quadrático médio é finito e vale:

1. Ruído Térmico

fKTRvE N 42

4

fKTRvE N 42

Em que: K = 1.3810-23 [J/ºk] ( constante de Boltzman ),

T: temperatura em graus Kelvin,

R: resistência interna do condutor em ,

f: largura de faixa do dispositivo de medida.

Potência média do ruído:

wattsfKT

R

vEP N

N 4

2

Em analogia com uma fonte elétrica, pode-se definir a “potência média de

ruído“, como a máxima potência que a fonte pode oferecer para uma

resistência de carga RL igual à resistência R da fonte:

5

~ 2NvE

R

Equivalentes de Thevenin e de Norton:

Equivalente de Thevenin:

fKTRvE N 42

6

fKTG

R

vEiE NN 4

2

22

~ 2NiE G=1/R

Em que a corrente

de ruído é dada por:

Equivalente de Northon:

7

Se tivermos M resistores em série:

22

22

1

2 4

NMNN

sN

vEvEvE

fKTRvE

em que Rs = R1 + R2 + . . . + RM

Se tivermos M resistores em paralelo:

fKTRvE pN 42

em que Rp = R1 // R2 // . . . // RM

22

22

1

2 4

NMNN

pN

iEiEiE

fKTGiE

em que Gp = 1/R1 + 1/R2 + . . . + 1/RM

8

Função densidade de probabilidade do ruído térmico:

O número de elétrons livres em um material condutor é extremamente

grande.

seus movimentos aleatórios são estatisticamente independentes.

Em concordância com o teorema do limite central:

A função densidade de probabilidade do ruído térmico é gaussiana com:

Valor médio nulo

Valor quadrático médio 2NvE variância

9

Densidade Espectral de Potência

1

2

kT

|f|hv

e

|f|RhfG

kT

|f|he kT

|f|h

1

HzV

v RkTfG2

2

Utilizando-se a mecânica quântica, determina-se a densidade espectral

de potência do ruído tal que:

Em que: h = 6.6210-34 J.s. ( constante de Plank )

T = temperatura em graus Kelvin

Admitindo f < 1012 Hz, a seguinte aproximação é válida:

substituindo esta equação na acima tem-se que:

10

HzV

v

NfG

2

2

0

HzV

v RkTfG2

2

observe que a densidade espectral de potência é independente da

frequência (plano) ==> ruído branco em analogia com a luz branca.

na literatura ele é representado da seguinte maneira:

100 105 1010 1015

0.5

1

1.5 D.E.P. do Ruído Branco

frequência em Hz

2R

kT

“ Densidade espectral de

potência bilateral “

KRTN 40

11

22

020 Ndfe

N fjx

Função de autocorrelação

Para o ruído branco, duas

amostras quaisquer

são descorrelacionadas

x

2

0N

12

Ruído Branco

Assim, define-se o ruído branco como um processo estacionário cuja função

de autocorrelação é dada por:

20

2xx

N

E cuja densidade espectral de potência é dada por:

HzV

xv

NfG

220

2

13

2. Ruído branco em sistemas lineares

Quando um ruído branco passa por um sistema linear com função

de transferência H(f) a densidade espectral de potência na saída do

sistema será dado por:

20 |fH|fGfG v

0

22020 4

2df|fH|kTRdf|fH|

NvE

Assim, a tensão quadrática média na saída será:

Escrevendo de outro modo tem-se:

NkTRBvE 420

0

2 df|fH|BN

HzV

v

NfG

2

2

0em que:

em que:

Largura de faixa equivalente de ruído

14

fRCj

fH

21

1

0

2 4

1

21

1

RCdf

fRCBN

C

kT

RCkTRvE C

4

142

Exercício 1: Cálculo da largura de faixa equivalente de ruído para uma

rede RC.

~ KTRvN 42

R

C R C

2

2

21

1

fRC|fH|

15

Observe neste exemplo que o valor quadrático médio da tensão de ruído no

capacitor independe de R.

Como:

NkTRBvE 420

0

2 df|fH|BN

Explicação:

• Conforme o resistor R aumenta a largura de faixa do circuito diminui,

mantendo a relação acima constante.

• Assim:

C

kTvE C 2

16

Exercício 2: Cálculo da largura de faixa equivalente de ruído para uma

rede RLC.

R

L

C

R L

C ~ 4kTR

QRCf

fHff

0

02

1

fQBN 2 fkTRQvE C 22 4

17

Apêndice

18

-5 0 5 0

0.1

0.5

0.7

1 PDF Gaussiana

2

2

2

2

1

mx

exp

Função Densidade de Probabilidade

1/

-/2 /2

PDF Uniforme

.c.c,

/|x|,/xp

0

21

Ruído branco gaussiano

Ruído térmico

Ruído de quantização

12

22 x

Ruído de Quantização

Quando um sinal analógico é digitalizado por um circuito ADC, o valor da

amostra é aproximado para um dos 2N valores digitais, denominados níveis

de quantização. A diferença entre o valor original da amostra e o valor

digitalizado é denominada erro de quantização. Desta forma, uma vez

digitalizado, o sinal original não pode mais ser recuperado com exatidão.

Em termos práticos, na etapa em que o sinal digitalizado é reconstruído pelo

DAC, considera-se que foram obtidos dois sinais adicionados

o sinal original sem erros de quantização

um ruído que corresponde ao erro de quantização subtraído de seu

valor médio, denominado ruído de quantização.

A excursão do ruído de quantização está compreendida no intervalo

-/2 < n(t) < +/2, onde é o valor máximo do erro de quantização

(diferença entre dois níveis consecutivos).

19

20

Estimação da Densidade Espectral

de Potência

Periodograma

21

Sinais de informação apresentam comportamento imprevisível, suas

flutuações são complexas e por isso eles são caracterizados como

processos aleatórios.

Assim, para caracterizar um sinal de informação é necessário um

tratamento estatístico.

No domínio do tempo as principais medidas são:

• Média, variância, função de autocorrelação, correlação cruzada, ...

No domínio da frequência a medida principal é o:

• Densidade espectral de potência.

Nesta parte vamos estudar como estimar a densidade espectral de potência

de um sinal aleatório utilizando a transformada discreta de Fourier.

Introdução

22

A densidade espectral de potência

Caracterização dos sinais aleatórios no domínio da frequência:

Sinais aleatórios apresentam energia infinita Não possuem

Transformada de Fourier.

Mas eles apresentam potência finita Densidade Espectral de

Potência.

Definição:

Seja x(n) um processo aleatório discreto. A sua função de

autocorrelação é definida como:

)()()( * knxnxEkxx

A função de autocorrelação é uma medida no tempo que está

diretamente relacionada com as variações do sinal, assim ela contém

informações sobre o conteúdo de frequências do sinal aleatório.

23

A densidade espectral de potência é definida como a transformada de

Fourier da função de autocorrelação do sinal, isto é:

k

fkjxxxx ekf 2)()(

xx(k)

k

sinais lentos – banda estreita

sinais rápidos – banda larga

)()( fk xx

TF

xx

24

Em geral deparamos com a seguinte situação:

Tem-se disponível somente uma função amostra do processo aleatório.

Neste caso definimos a função de autocorrelação temporal:

M

MnM

xx knxnxM

kr )()(12

1lim)( *

A transformada de Fourier da equação acima fornece a densidade

espectral de potência para a função amostra que se tem disponível, isto é,

k

fkjxxxx ekrfP 2)()(

25

Se o processo aleatório é ergódico nos primeiro e segundo momentos

então as médias temporais tendem às médias estatísticas, isto é,

)()(

)()(

ffP

kkr

xxxx

xxxx

Tem-se um outro problema:

Em uma situação prática temos disponível somente um trecho finito do

sinal a ser analisado.

• Neste caso calculam-se as estimativas da função de autocorrelação

e da densidade espectral de potência.

• Para a densidade espectral de potência esta estimativa é conhecida

como periodograma, como será estudado a seguir.

Nesta situação a densidade espectral de potência pode ser calculado a

partir da função de autocorrelação rx(k).

26

O periodograma

Resumindo:

Na prática encontramos dois problemas na determinação da função de

autocorrelação e da densidade espectral de potência:

Temos disponível somente uma realização do processo aleatório:

• portanto, é necessário a suposição de ergodicidade do processo.

A duração do sinal é finita:

• portanto tem-se que fazer uma estimativa da função de

autocorrelação.

Tem-se dois tipos de estimativas:

• A estimativa não polarizada,

• E a estimativa polarizada.

27

Admitindo 0 n N-1 como o intervalo de observação do sinal:

A estimativa não polarizada da função de autocorrelação é dada por:

1,,2,1,)()(1

1,,1,0,)()(1

)(ˆ1

*

1

0

*

NkknxnxkN

NkknxnxkN

krN

kn

kN

n

xx

O fator 1/(N-|k|) fornece uma estimativa consistente da fac.

Problema na estimativa:

Para valores grandes no atraso k (próximos de N) ela apresenta

variância muito grande.

Razão: Poucas amostras do processo x(n) entram no cálculo.

28

1,,2,1,)()(1

1,,1,0,)()(1

)(ˆ1

*

1

0

*

NkknxnxN

NkknxnxN

krN

kn

kN

n

xx

Fórmula mais apropriada para a estimativa polarizada da função de

autocorrelação:

A equação acima apresenta vantagens:

Fornece uma variância menor que a anterior para valores grandes de k.

Mantém a consistência e por isso é mais utilizada.

• Veja o exemplo a seguir.

29

-200 -100 0 100 200 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 50 100 150 200 250 -3

-2

-1

0

1

2

3

EXEMPLO 1: Função de autocorrelação do ruído branco gaussiano com

variância igual a 1.

)()( 2 kk xx

-200 -100 0 100 200 -0.5

0

0.5

1

Polarizada 1/N Não-polarizada (1/N-k)

Função de autocorrelação

teórica do ruído branco:

30

Estimativa da densidade espectral de potência

1

1

2)(ˆ)(ˆN

Nk

fkjxxxx ekrfP

Substituindo a equação anterior na equação acima obtém-se:

2

21

0

2 )(1

)(1

)(ˆ fXN

enxN

fP

N

n

fnjxx

Este resultado é conhecido como PERIODOGRAMA.

Observações importantes:

Não há necessidade de se estimar a função de autocorrelação.

• A d.e.p. pode ser estimada diretamente a partir da transformada de

Fourier do sinal.

Para frequências discretas [ fk ] podemos utilizar a TDF.

31

Utilização da TDF

Admitindo que se tem disponível N amostras { x(0), x(1), ..., x(N-1)}:

21

0

2

)(1

)(ˆ)(ˆ

N

n

nN

kj

xxkxx enxN

kPfP

1,,1,0: Nkqueem

2

1

10

aMAX

aR

aakk

kk

FF

N

Fou

Nf

FN

kFfF

fN

kf

Frequência digital

Frequência analógica

Resolução espectral

Máxima frequência

32

EXEMPLO 2:

0 50 100-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

nnnx 15.02sen5.01.02sen)(

Periodograma de um sinal composto de dois tons senoidais de

frequências 100 Hz e 150Hz e frequência de amostragem 1 kHz.

Sinal N = 32 N = 128

33

EXEMPLO 3: Periodograma de um ruído branco com valor médio nulo e

variância igual à unidade.

0 50 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 0.1 0.2 0.3 0.4-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10Sinal N = 128 N = 512

O aumento no número de pontos não diminui a variância do

periodograma

34

Periodograma médio

O exemplo anterior mostra que o periodograma não é consistente.

A razão para esta conclusão é a retirada do operador esperança no

cálculo da fac temporal.

Solução: utilizar o periodograma médio ou de Bartlett.

No cálculo do periodograma médio admite-se que:

Se tem disponível uma sequência relativamente grande. (N muito

grande).

Se o sinal é estacionário:

Então podemos então dividi-lo em sequências de tamanho menor.

• determina-se o periodograma de cada sequência menor.

• e faz-se a média de todos os periodogramas.

35

Primeiramente a sequência de N (N um valor grande) amostras é

subdividida em M segmentos não superpostos com L < N amostras cada

um, tais que:

L

NM

L,,,n,M,,,i:queem

)iLn(x)n(xi

110110

Para cada segmento calcula-se o periodograma: 2

1

0

2)(

1)(ˆ

L

n

nfjik

ixx

kenxL

fP

1,,1,0: LkeL

kfqueem k

Periodograma médio

36

Finalmente, calcula-se o periodograma médio utilizando a média abaixo:

1

0

)(ˆ1)(ˆ

M

i

kixxkxx fP

MfP

Este procedimento permite uma estimativa do periodograma com

variância reduzida por 1/M em relação ao anterior.

Ele só pode ser aplicado nos trechos onde os sinais são estacionários.

Veja o exemplo a seguir.

37

EXEMPLO 4: Periodograma médio de um ruído branco com valor médio nulo

e variância igual á unidade:

N = 1024 L = 128 M = 8

0 50 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 0.1 0.2 0.3 0.4-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10Sinal Periodograma P. Médio

38

Uso de janelas

Na formulação anterior o sinal foi considerado de tamanho finito. Na

realidade estamos utilizando uma janela retangular para limitar o tamanho

do sinal. Na maioria dos casos o uso de uma janela retangular pode

mascarar algumas componentes de frequência de um sinal.

Por exemplo:

Considerando sinais compostos de tons senoidais embebidos em ruído

pode ocorrer uma situação na qual a componente de menor amplitude

fica mascarada pelos lóbulos laterais da janela retangular.

Nestes casos é recomendável o uso de uma janela de dados diferente

da retangular.

A janela deve ser tal que não exista transições abruptas, como é o caso

da janela retangular.

39

em que w(n) é uma janela do tipo:

• Hamming, hanning, blackman, kaiser, etc.

nxnw .

No caso de uma janela diferente da retangular, os lóbulos laterais no

domínio da frequência, são bem menores, minimizando os efeitos de

mascaramento das componentes senoidais.

Assim, antes de se calcular o períodograma, o sinal é multiplicado por uma

janela de dados tal que:

21

0

2)()(

1)(ˆ

N

n

nfjkxx

kenxnwN

fP

Neste caso o periodograma será dado por:

40

Observe que temos um produto no tempo, isto é,

wX*wWwX w

A convolução tende a “manchar” o espectro:

• portanto deve-se tomar muito cuidado com a escolha da janela e

também com a escolha do seu tamanho:

Como regra prática:

• a janela deve conter de 2,5 a três “períodos” do sinal.

nxnw

Portanto, no domínio da frequência teremos a convolução:

41

Algumas das janelas mais utilizadas:

10

1

4080

1

250420

1

2460540

1

25050

Nn:queem

N

ncos.

N

ncos..)n(w

N

ncos..)n(w

N

ncos..)n(wHanning

Hamming

Blackman

42

Janela Retangular

Nn,

N...,,,n,nw

0

12101

domínio do tempo domínio da frequência

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Frequência em rad/s

Am

plit

ude

em

dB

0 10 20 30 40 50 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

43

Janela de Hanning

.c.c,

Nn,N

ncos..

nw

0

101

25050

domínio do tempo domínio da frequência

0 10 20 30 40 50 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Frequência em rad/s

Am

plit

ude e

m d

B

44

Janela de Hamming

.c.c,

Nn,N

ncos..

nw

0

101

2460540

domínio do tempo domínio da frequência

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Frequência em rad/s

Am

plit

ude

em

dB

0 10 20 30 40 50 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

45

EXEMPLO 5:

nnnx 15.02sen5.01.02sen)(

Periodograma de um sinal composto de dois tons senoidais de

frequências 100 Hz e 150Hz e freqüência de amostragem 1 kHz,

utilizando janela de hamming e N =128.

Sinal retangular hamming

46

Método de Welch

Este método faz duas modificações no periodograma médio:

Os segmentos são permitidos se superporem.

Utiliza janelas diferentes da retangular.

Ele consiste de três passos:

O sinal é segmentado de tal forma que os segmentos permitam uma

superposição de D amostras (em geral 50%).

alsindotamanho:N,L

NM

L,,,n,L

D:queem

)iDn(x)n(xi

1102

Neste caso tem-se 2M-1 segmentos de tamanho L.

47

Finalmente, calcula-se o periodograma médio:

22

0

)(ˆ12

1)(ˆ

M

i

kixxkxx fP

MfP

Cada segmento é multiplicado por uma janela w(n), diferente da

retangular e calcula-se o periodograma:

21

0

2)()(

1)(ˆ

L

n

nfjik

ixx

kenwnxUL

fP

110 L,,,keL

kf:queem k

ãonormalizaçdefatornwL

U

L

n

:)(1

1

0

2

48

EXEMPLO 6:

nnnx 15.02sen5.01.02sen)(

Periodograma de Welch de um sinal do exemplo anterior,

admitindo: N = 1024 e L =128 pontos, janela de hamming e 50%

de sobreposição, dando um total de 16 segmentos.

Sinal Um segmento Welch

49

Melhora na Visualização Gráfica

Pode ser utilização quando o conjunto de dados é pequeno e a resolução

de frequências é baixa.

Neste acrescenta-se zeros ao sinal antes de calcular o periodograma:

1,,1,,0

1,,1,0),()(,

LNNn

Nnnxnx

Em seguida calcula-se o periodograma:

21

0

2, )(1

)(ˆ

L

n

nfjkxx

kenxN

fP

110 L,,,keL

kf:queem k

O acréscimo de zeros não melhora a resolução do periodograma, mas

somente a visualização gráfica.

50

EXEMPLO 7:

nnnx 15.02sen5.01.02sen)(

Aumento da resolução gráfica de um periodograma de um sinal

composto de dois tons senoidais de frequências 100 Hz e 150Hz

e freqüência de amostragem 1 kHz.

Sinal N = 24 L = 512

51

Apêndices

52

Seja um estimador de um parâmetro .

O valor deste estimador varia com as diferentes realizações do processo

aleatório.

Portanto este estimador é uma variável aleatória:

Define-se:

Polarização do estimador: ]ˆ[)( EB

Variância do estimador:

]ˆ[0)ˆ( B

2]ˆ[ˆ)ˆvar( EE

Estimador não polarizado:

Estimador consistente: 0)ˆvar(0)ˆ( eB

A1 - Consistência de um estimador

Erro Quadrático Médio

)ˆ(]ˆ[ˆ)ˆ( 222 BEEEEQM

53

-200 -100 0 100 200 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

polarizada

-200 -100 0 100 200 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

não polarizada

0 50 100 150 200 250 -1

-0.5

0

0.5

1

Exemplo da Função de autocorrelação de um trecho sonoro de um sinal de voz

A2

54

X(x,n)

n1 n2 nn

xn(n)

x3(n)

x2(n)

x1(n)

t

t

t

t

xn x2 x1

x(k)

k

sinais lentos

sinais rápidos

Processo Aleatório

A3

55

A4 - Sinal de Voz - sonoro

0 50 100 150 200 250 300 -1

-0.5

0

0.5

1

-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 -40

-20

0

20

56

A5 - Sinal de Voz

0 50 100 150 200 250 300 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000

-30

-20

-10

0

10

20

57

A6 - Sinal de Voz

0 50 100 150 200 250 300 -0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000

-60

-50

-40

-30

-20

-10

58

Bibliografia

Steven M. Kay, Modern Spectral Estimation: Theory and Application,

Prentice-Hall, 1988.

Proakis, J. G. and Manolakis, D. G., Digital Signal Processing: Principles,

Algorithms and Applications, MacMillan, 1992.

Openheim, A. V. and Schafer, R. W. Discrete-Time Signal Processing,

Prentice-Hall, 1989.

National Semiconductor, Power Espectra Estimation, Application Note 255,

nov. 1980.