Pesquisa Operacional Aula 4 – Solução Gráfica em

Programação Linear

Prof. Marcelo Musci aula@musci.info

www.musci.info

Resolução Gráfica

Aplicável para modelos com 02 variáveis de decisão

Útil para a ilustração de alguns conceitos básicos.

Caso: Tintas e Tintas S.A.

A meta do problema é achar a melhor

solução viável, ou seja, a solução ótima.

Para isso, precisamos saber quantas

soluções viáveis o problema possui.

Resposta: infinitas

Não é possível resolver o problema por

enumeração

Propriedades do Modelo de PL

No exemplo da Tintas e Tintas S.A., o objetivo e as

restrições são todos funções lineares.

Linearidade implica que a PL deve satisfazer três

propriedades básicas:

Proporcionalidade

Aditividade

Certeza

Propriedades do Modelo de PL

Proporcionalidade:

A contribuição de cada variável de decisão (p.ex. x1 e x2), tanto na

função objetivo quanto nas restrições, seja diretamente proporcional

ao valor da variável

Por exemplo, 5x1e 4x2 definem o lucro para a produção de x1e x2

toneladas de tinta para exteriores e interiores, respectivamente,

sendo que os lucros unitários por tonelada (5 e 4) darão as

constantes de proporcionalidade;

Por outro lado, se a empresa der algum desconto por quantidade

quando as vendas ultrapassarem certas quantidades, o lucro não

será mais proporcional às quantidades de produção, x1 e x2, e a

função lucro se torna não linear;

Propriedades do Modelo de PL

Aditividade:

A contribuição total de todas as variáveis da função objetivo e das

restrições é a soma direta das contribuições individuais de cada

variável

No exemplo, o lucro total é igual à soma dos dois componentes

individuais do lucro;

Por outro lado, se os dois produtos competirem por participação de

mercado, de modo que um aumento nas vendas de um deles

provoque um efeito adverso nas vendas do outro, então a

propriedade de Aditividade não é satisfeita e o modelo deixa de ser

linear;

Propriedades do Modelo de PL

Certeza:

Todos os coeficientes da função objetivo e das restrições do modelo

de PL são determinísticos, o que significa que são constantes

conhecidas

Isso raramente ocorre na vida real, sendo que o mais provável é

que os dados sejam representados por distribuições de

probabilidade;

Em essência, os coeficientes em PL são aproximações do valor

médio das distribuições de probabilidade;

Se os desvios padrão dessas distribuições forem suficientemente

pequenos, a aproximação será aceitável;

Resolução Gráfica

O procedimento gráfico inclui duas etapas:

Determinar a região de soluções viáveis;

Determinar a solução ótima entre todos os pontos

viáveis da região de soluções;

A seguir vamos resolver o modelo de

maximização do problema da Tintas e Tintas

S.A. usando a solução gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Problema de mix de Produção

Fabricação de dois modelos de brinquedos: B1 e B2.

Lucros unitários/dúzia: $8 para B1 e $5 para B2

Recursos disponíveis:

1000 kg de plástico especial.

40 horas para produção semanal.

Requisitos do Departamento de Marketing:

Produção total não pode exceder 700 dúzias;

A quantidade de dúzias de B1 não pode exceder em 350 a

quantidade de dúzias de B2.

Dados técnicos:

B1 requer 2 kg de plástico e 3 minutos por dúzia.

B2 requer 1 kg de plástico e 4 minutos por dúzia.

Resolução Gráfica

A Gerência está procurando um programa de

produção que aumente o lucro da Companhia

Variáveis de decisão:

X2: produção semanal de B2 (em dúzias).

X1: produção semanal de B1 (em dúzias).

Função Objetivo: Maximizar o Lucro semanal

Resolução Gráfica

Max 8X1 + 5X2 (Lucro semanal)

sujeito a:

2X1 + 1X2 ≤ 1000 (Plástico - Kg)

3X1 + 4X2 ≤ 2400 (Tempo de produção - minutos) (40*60)

X1 + X2 ≤ 700 (Produção total)

X1 - X2 ≤ 350 (mix)

X1 , X2 0, (Não negatividade)

Resolução Gráfica

Conceitos importantes:

Os pontos (X1, X2) que satisfazem todas as restrições do

modelo formam a Região Viável.

Esses pontos são chamados de Soluções Viáveis.

Usando a resolução gráfica pode-se representar todos as

restrições (semi-planos), a função objetivo (reta) e os

três tipos de pontos viáveis.

Resolução Gráfica

1º Passo:

Traçar eixos cartesianos, associando a cada um deles

uma variável de decisão.

No exemplo de fabricação de brinquedos: X1 para o eixo

das abscissas e X2 para o eixo das ordenadas.

As restrições de não-negatividade, X1 0 e X2 0,

implicam que os pares (X1, X2) viáveis estão no 1º

quadrante dos eixos considerados.

Resolução Gráfica 2º Passo:

Observar que a função-objetivo, ao se fixar um valor para Z,

representa uma reta. Alterações neste valor de Z gera uma família

de retas paralelas.

No exemplo dos brinquedos: considere a reta obtida fazendo Z=

2000, isto é , a reta dada por 8X1 + 5X2 = 2000. Percebe-se que ao

se traçar retas paralelas no sentido de ficar mais afastado da

origem (0, 0), o valor de Z aumenta.

De fato pode-se verificar que a reta paralela, que contém algum

ponto da região viável, no caso o ponto ótimo X* = (320, 360), e

está mais afastada da origem, corresponde a um valor ótimo da

função objetivo Z* = 4360.

Resolução Gráfica

25

Representando as condições de não

negatividade X2

X1

Resolução Gráfica

26

Observar que no exemplo dos brinquedos, as restrições correspondem a

semi-planos associados, respectivamente, às retas suportes dadas por:

2X1 + 1X2 = 1000

3X1 + 4X2 = 2400

X1 + X2 = 700

X1 - X2 = 350

X1 , X2 0

Notar que cada reta suporte define dois semi-planos no espaço (X1, X2).

Para identificar qual destes semi-planos é de interesse no caso, ou seja,

contém os pontos que satisfazem a desigualdade da restrição, basta

testar algum ponto à esquerda ou à direita (acima ou abaixo) da reta

suporte da desigualdade.

Um ponto que torna isto fácil é a origem (0, 0), mas poderia ser qualquer

outro.

Resolução Gráfica

27

1000

500

Viável

X2

Inviável

Tempo de

produção

3X1+4X2 2400

Restrição da produção total

X1+X2 700 (redundante) 500

700

Restrição do plástico

2X1+X2 1000

X1

700

Resolução Gráfica

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1000

Viável

X2

Inviável

Tempo de Produção

3X1+4X2 2400

Restrição da produção total:

X1+X2 700 (redundante) 500

Restrição do mix da produção:

X1-X2 350

Restrição do plástico

2X1+X2 1000

X1

700

Resolução Gráfica

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1000

500

Viável

X2

Inviável 500

700 X1

700

Há três tipos de pontos viáveis. Pontos interiores. Pontos na fronteira. Pontos extremos.

Resolução Gráfica

30

A busca por uma Solução Ótima:

Começar com algum valor de lucro arbitrário,

Por exemplo $2000... Depois aumentar o lucro, se possível...

...e continuar até que seja inviável

600

700

1000

500

X2

X1

X* = (320, 360)

com Z* = 4.360

31

Pontos extremos e Soluções Ótimas

Se o problema de Programação Linear tem uma

Solução Ótima, um ponto extremo é Solução Ótima.

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

O Problema do Desenhista

Um desenhista faz quadros artesanais para vender

numa feira que acontece todo dia, à noite;

Ele faz desenhos grandes e desenhos pequenos, e

vende-os por R$5,00 e R$2,00, respectivamente;

Só é possível vender 4 desenhos grandes e 3 desenhos

pequenos por noite;

O desenho grande é feito em uma hora (grosseiro) e o

pequeno é feito em duas horas (detalhado). Além disso,

o desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a

feira.

Resolução Gráfica

O que o desenhista precisa decidir?

O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua

receita?

A decisão dele é como usar as 8 horas diárias: quantos

desenhos pequenos e grandes ele deve fazer!

Chamemos de x1 e x2 as quantidades de desenhos

grandes e pequenos que ele faz, por dia,respectivamente.

Resolução Gráfica

Modelo

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

A solução ótima é um dos pontos da região

viável;

Basta procurar dentro da região viável o ponto

que dará o maior valor para Z.

Investiguemos o valor de Z em alguns pontos da

região viável:

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Exemplo 3

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Exemplo 4

Resolução Gráfica

Resolução Gráfica

Restrições Redundantes

Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão

do conjunto de restrições, de um problema, não altera o

conjunto de soluções viáveis deste;

É uma restrição que não participa da determinação do

conjunto de soluções viáveis;

Existe um outro problema sem esta restrição com a

mesma solução ótima.

Restrições Redundantes

Considere o problema:

Restrições Redundantes

Solução Múltipla

Solução Múltipla

Considere o seguinte o problema de PL

Solução Múltipla

Solução Ilimitada

Considere o seguinte o problema de PL

Solução Ilimitada

Solução Inviável

Um problema de programação linear é dito

inviável quando o conjunto de soluções viáveis

é vazio.

Considere o problema de PL

Solução Inviável

Resolução Gráfica

Resolva os exemplos dessa aula em papel

milimetrado.