Pequisa Operacional

PESQUISA OPERACIONAL

Mauricio Pereira dos SantosDepartamento de Matemtica AplicadaInstituto de Matemtica e Estatstica

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

ii

Copyright c2.003 por Mauricio Pereira dos Santos

Editorao: O autor, criando arquivo texto no format LaTex.Compilador LaTex: MiktexCompiladores dos programas: Turbo Pascal, Visual Basic e DelphiFluxos e figuras: Visio e SmartDraw, includos no texto como EPS (EncapsulatedPostscript File).

iii

Prefcio

O objetivo deste trabalho fornecer aos alunos da cadeira de Pesquisa Operacionalda UERJ um referencial que os auxilie no estudo e acompanhamento da matria.Os tpicos bsicos da cadeira, contemplados neste trabalho, incluem o estudo dos3 problemas clssicos de Redes quais sejam o do fluxo mximo possvel de ser le-vado entre 2 ns de uma rede, o de encontrar o menor caminho entre 2 ns de umarede e o de encontrar a rvore de tamanho mnimo em uma rede; a tcnica de con-trole de projetos, genericamente chamada de PERT/CPM, que apresentada emseus conceitos bsicos; o estudo das filas de espera e de seus modelos bsicos, cujaimportncia nos dias de hoje marcante e fundamental e por fim mas no menosimportante, a Simulao e suas aplicaes nos problemas do dia a dia.Agradecemos a todos aqueles que nos ajudaram nesta tarefa, especialmente os alu-nos que foram cobaias no uso dos rascunhos deste trabalho.Um agradecimento especial ao ex-aluno do curso de Estatstica, Leonardo BarrosoGonalves que, quando cursou a cadeira em 1993, resolveu, detalhadamente, todosos exerccios do captulo de Filas. Incorporamos suas solues neste trabalho.De antemo agradeo desde j a todos aqueles que puderem apontar imperfeiese erros que possam ser corrigidos.

O Autor

Contedo

1 Redes 11.1 O problema do Fluxo Mximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Formulao como um modelo clssico de P.Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Tcnica da Rotulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Fluxo mximo em redes com arcos no direcionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Adaptao para uso da Tcnica de Rotulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 O problema do caminho mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Formulao como um modelo clssico de P.Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Etapas do algortimo de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 rvore de Tamanho Mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7.1 Etapas do algortimo para encontrar a rvore do tamanho mnimo . . . . . . . 211.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8.1 Respostas dos exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 PERT/CPM 352.1 Construo da Rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.1 Representao grfica da Rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.2 Representao das Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.3 Complicao na Construo da Rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Determinao do Caminho Crtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 O Modelo PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.1 Problemas do modelo PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4 O Modelo CPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.1 Relao entre Duraes/Custos Normal e Acelerado . . . . . . . . . . . . . . 552.4.2 Compresso da Rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.3 Durao tima para o projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4.4 Resolvendo por Programao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5.1 Respostas dos exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Teoria das Filas 753.1 Porque as filas so estudadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2 Componentes bsicos de um processo de fila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.1 A Populao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2.2 O Processo de Chegada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2.3 A Disciplina da Fila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2.4 O Mecanismo de Servio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 O Teste de Aderncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.4 O Processo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5 Notao de Kendall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.5.1 Conveno para textos de Filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5.2 Estado transiente e de regime (ou estacionrio) . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.6 O Modelo I: M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.6.1 Sumrio das frmulas do modelo M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.7 Modelo II: M/M/s (s > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.8 Modelo III: M/M/1: Fila finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

vi CONTEDO

3.9 Modelo IV: M/M/s: Fila finita (s > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.10 Modelo V: M/M/s: Populao finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.11 Modelo VI: M/G/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.12 Modelo VII: M/Ek/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.13 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.13.1 Soluo dos exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4 Introduo Simulao 1414.1 Vantagens e Desvantagens da Simulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2 reas de aplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.3 Tipos de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.4 Modelos Discretos e Contnuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.5 Exemplos de modelos de Simulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.5.1 Quebra de rolamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.5.2 Fila com uma estao de servio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.6 A gerao de Nmeros Aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.6.1 Propriedades desejveis de um gerador de nmeros aleatrios . . . . . . . . . 153

4.7 Mtodos para a gerao de nmeros aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.7.1 Mtodo dos quadrados mdios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.7.2 Mtodos Congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.7.3 Eficincia computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.7.4 Nmeros Aleatrios uniformemente distribudos em [0,1) . . . . . . . . . . . 156

4.8 Geradores Congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.8.1 RANDU, RAND1 e RAND2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.8.2 Mtodos com perodos maiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.8.3 Geradores de nmeros aleatrios embutidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.9 Nmeros aleatrios com outras distribuies uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.9.1 Variveis aleatrias contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.9.2 Variveis aleatrias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.10 Testes estatsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.11 Alguns modelos elementares de Simulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.11.1 Jogo de Dados (Craps Game) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.11.2 Avaliao de Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.12 O Mtodo da Transformao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.12.1 A Distribuio Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.12.2 A Distribuio Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.12.3 A Distribuio de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.13 Simulao Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.13.1 A distribuio de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.13.2 A distribuio Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.14 Um software para simular filas de espera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884.14.1 Alguns exemplos usando o programa Simulao . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.15 O software ARENA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.15.1 Simulao de um pequeno posto bancrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.15.2 Simulao de um check-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.15.3 Simulao de um processo de produo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104.15.4 Consideraes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4.16 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

A Tabela Normal 225

B Tabela do 2 227

C Tabelas para modelos com populao finita 229

Captulo 1Redes

GrafoDenomina-se grafo um conjunto de pontos, chamados ns, conectados entre si porlinhas chamadas arcos, como exemplificado no desenho abaixo:

1

2

3

4

5

6

Os crculos so denominados ns e as linhas so denominadas de arcos.

Rede um grafo com algum tipo de fluxo fluindo entre os ns atravs dos arcos.Ex: Uma rede de estradas (arcos) unindo vrias cidades (ns). O conjunto de ve-culos andando nas estradas o fluxo que flui na rede.

1.1 O problema do Fluxo Mximo

Um dos problemas mais comuns a serem resolvidos em redes determinar o fluxomximo que pode fluir em determinada rede.O exemplo a seguir ilustra este tipo de problema.A rede a seguir ilustra a captao de gua de um determinado manancial at umgrande reservatrio de distribuio.

2 Redes

1

2

3

4

5

6

6

8

2

4

1

5

4

8

3

9

O n inicial 1 chamado de n origem ou n fonte. O n final 6 chamado de ndestino ou n sumidouro. Existem 10 arcos na rede sendo que podemos representaros arcos de 2 formas diferentes:

(n inicial, n final): (1, 2); (1, 3); (2, 3); etc... ou (n inicialn final): (1 2); (1 3); etc...

Os nmeros em cima de cada arco do a Capacidade do arco, ou seja, o fluxomximo que pode passar no arco. Assim, por exemplo, no arco (2 4), o no 4 a indicao de que sua capacidade de 4 litros/segundo sendo esta, a quantidademxima de gua que pode passar naquele trecho de encanamento (arco).O problema que queremos resolver achar o fluxo mximo, em litros/seg, que podeser levado do n 1 ao n 6.Antes de comearmos a ver como resolver o problema vamos estabelecer pr-requisitosque, embora normalmente no explicitados, fazem parte do problema. So eles:

Todos os arcos so direcionados, ou seja, no arco (2 3), por exemplo, o fluxos pode passar no sentido 2 3.

Assume-se conservao de fluxo, ou seja, todo fluxo que chega a um n, sairdele.

Antes de prosseguir vamos definir o que vem a ser um caminho em uma rede:Caminho uma sequncia de arcos em uma rede que vo do n origem ao ndestino. Por exemplo, na rede acima, (1 2), (2 4), (4 6) um caminho.

1.2 Formulao como um modelo clssico de P.Linear

Este tipo de problema pode ser equacionado como um modelo de Programao Li-near.Como variveis de deciso teramos:f fluxo que vai passar do n 1 ao n 6.fij fluxo que vai passar no arco (i j).

1.3 Tcnica da Rotulao 3

O modelo fica como:(MAX)Z = f

s.a.f12 + f13 = f (n 1)f46 + f56 = f (n 6)

f12 = f23 + f24 + f25 (n 2)f13 + f23 = f34 + f35 (n 3)f46 = f24 + f34 + f54 (n 4)f35 + f25 = f54 + f56 (n 5)

f12 6 f13 8f23 2 f24 4f25 1 f34 5f35 3 f46 8f54 4 f56 9

f, fij 0Poderamos usar o Simplex, mas existem algortimos mais rpidos para se resolvereste tipo de problema.

1.3 Tcnica da Rotulao

O algortimo chamado de Tcnica da Rotulao um dos mais usados para resol-ver problemas de fluxo mximo.As etapas do algortimo baseado no quadro que veremos mais adiante, so:

Seja gij a capacidade mostrada no quadro para o arco (i j). No quadro inicial gijvai ser exatamente a capacidade do arco.

1. No estgio 1, comeando pela 1a linha do quadro, ou seja a que representa o norigem, procuramos as colunas que tem gij 0. Para estas colunas fazemos,nas linhas correspondentes, j = gij e j = 1.j vai representar sempre o n de onde se veio para chegar a j.

2. Comeando pelo menor n rotulado no estgio anterior, procuramos os gij nasquais a linha j ainda no tenha sido rotulada. Fazemos ento:j = Min(gij, i)j = iAps esta etapa ter sido feita para todos os ns rotulados no estgio i 1 encer-ramos o estgio i. Passamos ento ao estgio i+ 1 e repetimos esta etapa 2.Esta etapa 2 ser encerrada por uma de 2 condies:a) ou o n destino foi rotulado.b) ou impossvel prosseguir com a etapa 2 e o n destino no foi rotulado.

3. Se impossvel prosseguir (caso b) ir para a etapa 7.

4. Se o n destino foi rotulado, existe um caminho onde possvel passar fluxo don origem ao n destino. O fluxo que possvel passar igual ao n destino .

4 Redes

5. Usando os i possvel encontrar este caminho.Para os arcos (i j) do caminho, subtrair n destino de gij .Para os arcos inversos (j i) somar n destino gij.Os gij no modificados so mantidos.

6. Com o novo quadro construdo voltar a etapa 1.

7. O fluxo mximo a soma dos gij da linha do n destino. O fluxo que passa emcada arco (i j) a diferena entre os gij dos quadros inicial e final.

Exemplo de aplicao da Tcnica de RotulaoVamos aplicar o algortimo ao nosso exemplo da rede de captao de gua.O quadro inicial construdo colocando-se em cada arco (i j) a capacidade delequando o arco existe e zero quando no existe. Temos ento:

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 6 8 0 0 0 -2 0 2 4 1 03 0 0 5 3 04 0 0 0 0 85 0 0 0 4 96 0 0 0 0 0

Na etapa 1 comeamos varrendo a linha correspondente ao n origem (1 no exem-plo) procurando gij maiores que zero. Encontramos o n 2 com g12 = 6 e o n 3 comg13 = 8. Na linha 2, correspondente ao n 2, fazemos 2 = 6 e 2 = 1. Gama ()sempre indica de onde viemos para chegar aquele n. Na linha 3, correspondenteao n 3, fazemos 3 = 8 e 3 = 1. Como varremos a linha 1 (n origem), estamosno estgio 1. O nosso quadro, fica como:

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 6 8 0 0 0 -2 0 2 4 1 0 6 1 13 0 0 5 3 0 8 1 14 0 0 0 0 85 0 0 0 4 96 0 0 0 0 0

Devemos agora passar para o estgio i + 1 ou seja para o estgio 2. Neste estgiovamos varrer todos os ns rotulados no estgio 1, ou seja as linhas 2 e 3 corres-pondentes aos ns 2 e 3.Iniciando pela linha 2, podemos observar que pode-se passar fluxo para o n 3 poisg23 = 2. No entanto o n 3 j est rotulado e no podemos rotul-lo novamente.Pode-se tambm passar fluxo para o n 4 pois g24 = 4. Para rotular a linha (n)4 temos: 4 = Min(g24, 2) = Min(4, 6) = 4. O 4 2 (n de onde vim) e oestgio igual a 2. Do n 2 podemos ainda rotular o n 5 pois g25 = 1. Temos


5 = Min(g25, 2) = Min(1, 6) = 1. O 5 2 (n de onde vim) e continuamos noestgio 2.Repare que no acabamos o estgio 2 pois ainda no varremos a linha (n) 3 quetambm foi rotulada no estgio 1. Um estgio s acaba quando todas as linhas(ns) rotuladas no estgio anterior forem varridas.Varrendo a linha 3 observamos que poderamos rotular as linhas (ns) 4 e 5 masambas j foram rotuladas. Acabamos o estgio 2 e o n destino no foi ainda rotu-lado. Temos que ir para o estgio 3 e o nosso quadro tem agora a seguinte aparn-cia:

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 6 8 0 0 0 -2 0 2 4 1 0 6 1 13 0 0 5 3 0 8 1 14 0 0 0 0 8 4 2 25 0 0 0 4 9 1 2 26 0 0 0 0 0

Comeamos o estgio 3 varrendo o n (linha) 4. Do n 4 Podemos ir para o n 6sendo que o 6 ser igual ao Min(g46, 4) ou seja o Min(8, 4) = 4. Como viemos don 4, o 6 igual a 4 e o estgio 3.Nosso quadro tem agora a seguinte forma:

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 6 8 0 0 0 -2 0 2 4 1 0 6 1 13 0 0 5 3 0 8 1 14 0 0 0 0 8 4 2 25 0 0 0 4 9 1 2 26 0 0 0 0 0 4 4 3

Como rotulamos o n destino (6), existe um caminho para passar uma quantidadede fluxo. Que quantidade esta ? o valor do 6, ou seja, do n destino.Para encontrar este caminho vamos do n destino para trs usando os i paraencontrar os arcos do caminho. Assim se 6 igual a 4, significa que chegamos aon 6 vindo do n 4. Na matriz vamos subtrair 4 (= 6) do arco (4 6) e somar estevalor ao arco inverso (6 4).Para chegar ao n 4, olhamos o 4. Como ele igual a 2 significa que viemos do n2. Subtramos ento 4 (= 6) do arco (2 4) e somamos no arco inverso (4 2).Para chegar ao n 2 viemos do n 1 (veja o 2). Subtramos 4 (= 6) do arco (1 2)e somamos este valor ao arco inverso (2 1).Os valores que sofreram alterao esto marcados e os demais ficam inalterados.Nosso quadro, pronto para comear a 2a iterao, fica como:

6 Redes

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 2 8 0 0 0 -2 4 2 0 1 03 0 0 5 3 04 0 4 0 0 45 0 0 0 4 96 0 0 0 4 0

Comeamos a 2a iterao varrendo o n origem (n 1) procurando gij maiores que0. Vemos que podemos ir para o n 2 com 2. Logo fazemos 2 = 2, 2 = 1 e estgioigual a 1.Ainda no estgio 1, podemos ir do n 1 para o n 3 e rotulamos este n fazendo3 = 8, 3 = 1 e estgio igual a 1.Como do n origem no podemos rotular mais nenhum n, acabamos o estgio 1.Nosso quadro est como:

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 2 8 0 0 0 -2 4 2 0 1 0 2 1 13 0 0 5 3 0 8 1 14 0 4 0 0 45 0 0 0 4 96 0 0 0 4 0

No estgio 2 temos que varrer os ns rotulados no estgio 1. Assim, comeamosexaminando o n 2. Deste n podemos ir para o n 1 mas ele j est rotulado ( e tambm so rtulos). Podemos ir para o n 3 mas ele tambm j est rotulado.Podemos, no entanto, ir para o n 5. Os rtulos no n 5 sero:5 = Min(g25, 2) = Min(1, 2) = 1.5 = 2 e estgio = 2.Como do n 2 no podemos ir para mais lugar algum vamos examinar o n 3 quetambm foi rotulado no estgio 1. Do n 3 podemos ir para o n 4 sendo que osrtulos dele sero:4 = Min(g34, 3) = Min(5, 8) = 5.4 = 3 e estgio = 2.Como no podemos ir para mais lugar algum encerramos o estgio 2 e vamos co-mear o estgio 3. Nosso quadro est como:

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 2 8 0 0 0 -2 4 2 0 1 0 2 1 13 0 0 5 3 0 8 1 14 0 4 0 0 4 5 3 25 0 0 0 4 9 1 2 26 0 0 0 4 0


Vamos iniciar o estgio 3 varrendo os ns rotulados no estgio 2 (ns 4 e 5). Nopasso anterior (estgio 2) o n 5 foi rotulado antes do que o n 4. Temos que manteresta sequncia na varredura deles no estgio ? No. Devemos fazer a varredurasempre na ordem numrica dos ns.Desta forma comeamos examinando o n 4. Do n 4 podemos rotular o n 2 masele j est rotulado. Podemos tambm rotular o n 6 que ter os seguintes rtulos:6 = Min(g46, 4) = Min(4, 5) = 4.6 = 4 e estgio = 3.Como rotulamos o n destino, terminamos a 2a iterao e nosso quadro se apresentacomo:

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 2 8 0 0 0 -2 4 2 0 1 0 2 1 13 0 0 5 3 0 8 1 14 0 4 0 0 4 5 3 25 0 0 0 4 9 1 2 26 0 0 0 4 0 4 4 3

Temos que achar o caminho em que foi possvel passar 4 (= 6) de fluxo. Mais umavez, usando os i podemos encontrar este caminho.Para chegar ao n 6 viemos do n 4 (= 6). Subtramos ento 4 (= 6) do arco(4 6) e somamos no arco inverso (6 4).Para chegar ao n 4 viemos do n 3 (= 4). Subtramos 4 (= 6) do arco (3 4) esomamos no arco (4 3).Para chegar ao n 3 viemos do n 1 (= 3). Subtramos 4 (= 6) do arco (1 3) esomamos no arco (3 1).Mantendo os demais valores inalterados temos o quadro pronto para comear a 3a

iterao:

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 2 4 0 0 0 -2 4 2 0 1 03 4 0 1 3 04 0 4 4 0 05 0 0 0 4 96 0 0 0 8 0

No estgio 1 podemos, do n 1, rotular os ns 2 e 3. Os rtulos ficam como:2 = 2 e 2 = 1.3 = 4 e 3 = 1.Temos ento:

8 Redes

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 2 4 0 0 0 -2 4 2 0 1 0 2 1 13 4 0 1 3 0 4 1 14 0 4 4 0 05 0 0 0 4 96 0 0 0 8 0

No estgio 2, do n 2 s podemos rotular o n 5. Seus rtulos sero:5 = Min(g25, 2) = Min(1, 2) = 1.5 = 2 e estgio = 2.Do n 3 podemos rotular o n 4 como:4 = Min(g34, 3) = Min(1, 4) = 1.4 = 3 e estgio = 2.Temos ento:

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 2 4 0 0 0 -2 4 2 0 1 0 2 1 13 4 0 1 3 0 4 1 14 0 4 4 0 0 1 3 25 0 0 0 4 9 1 2 26 0 0 0 8 0

No estgio 3, no podemos rotular ningum a partir do n 4 mas do n 5, podemosrotular o n 6. Seus rtulos so:6 = Min(g56, 5) = Min(9, 1) = 1.6 = 5 e estgio = 3.Temos:

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 2 4 0 0 0 -2 4 2 0 1 0 2 1 13 4 0 1 3 0 4 1 14 0 4 4 0 0 1 3 25 0 0 0 4 9 1 2 26 0 0 0 8 0 1 5 3

Como rotulamos o n destino, temos que encontrar o caminho onde se passou 1(= 6) de fluxo.Para chegar a 6, viemos do n 5. Subtramos 1 do arco (5 6) e somamos em(6 5). Para chegar a 5 viemos do n 2. Subtramos 1 de (2 5) e somamos em(5 2). Para chegar ao n 2 viemos do n 1, logo subtramos 1 de (1 2) e somamosa (2 1).Mantendo os demais valores, temos o quadro pronto para a 4a iterao:


1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 1 4 0 0 0 -2 5 2 0 0 03 4 0 1 3 04 0 4 4 0 05 0 1 0 4 86 0 0 0 8 1

No estgio 1, os ns 2 e 3 so rotulados ficando como:

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 1 4 0 0 0 -2 5 2 0 0 0 1 1 13 4 0 1 3 0 4 1 14 0 4 4 0 05 0 1 0 4 86 0 0 0 8 1

No estgio 2 do n 2 no podemos rotular qualquer outro n mas do n 3 podemosrotular o n 4 com:4 = Min(g34, 3) = Min(1, 4) = 1.4 = 3 e estgio = 2.Tambm do n 3 podemos rotular o n 5:5 = Min(g35, 3) = Min(3, 4) = 3.5 = 3 e estgio = 2.

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 1 4 0 0 0 -2 5 2 0 0 0 1 1 13 4 0 1 3 0 4 1 14 0 4 4 0 0 1 3 25 0 1 0 4 8 3 3 26 0 0 0 8 1

No estgio 3, do n 4 no se rotular ningum mas do n 5 podemos rotular o n 6como:6 = Min(g56, 5) = Min(8, 3) = 3.6 = 5 e estgio = 3.

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 1 4 0 0 0 -2 5 2 0 0 0 1 1 13 4 0 1 3 0 4 1 14 0 4 4 0 0 1 3 25 0 1 0 4 8 3 3 26 0 0 0 8 1 3 5 3

10 Redes

Conseguimos passar 3 de fluxo (= 6). Fazemos o procedimento mais uma vez paraencontrar o caminho. Para chegar a 6 viemos do n 5. Assim sendo, subtramos 3de (5 6) e somamos 3 a (6 5). Para chegar a 5 viemos do n 3. Subtramos 3de (3 5) e somamos a (5 3). Para chegar a 3 viemos do n 1. Subtramos 3 de(1 3) e somamos a (3 1).Mantendo inalterados os demais valores temos o quadro para comear a 5a iterao.

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 1 1 0 0 0 -2 5 2 0 0 03 7 0 1 0 04 0 4 4 0 05 0 1 3 4 56 0 0 0 8 4

No estgio 1 rotulamos os ns 2 e 3.

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 1 1 0 0 0 -2 5 2 0 0 0 1 1 13 7 0 1 0 0 1 1 14 0 4 4 0 05 0 1 3 4 56 0 0 0 8 4

No estgio 2 do n 2 no rotulamos ningum mas do n 3 podemos rotular o n 4como:4 = Min(g34, 3) = Min(1, 1) = 1.4 = 3 e estgio = 2.

1 2 3 4 5 6 Rtulos Estgio1 1 1 0 0 0 -2 5 2 0 0 0 1 1 13 7 0 1 0 0 1 1 14 0 4 4 0 0 1 3 25 0 1 3 4 56 0 0 0 8 4

No estgio 3, tenho o n 4 para varrer mas do n 4 no consigo rotular mais nin-gum. O algortimo chegou ao final pois no conseguimos em uma iterao (5a noexemplo) rotular o n destino (n 6).

Qual o fluxo mximo que pode ser levado do n 1 ao n 6 ? a soma dos valoresque aparecem no ltimo quadro na linha do n 6, ou seja 8 + 4 = 12.


A resposta acima leva, imediatamente, a outra pergunta: Como este fluxo mximose distribui pelos arcos da rede ?O fluxo que passa em cada arco igual a diferena entre o valor da capacidadedo arco (valor que aparece no quadro inicial) e o valor que aparece para o arco noltimo quadro do algortimo. Temos ento:

Arco Fluxo que passa1 2 6 1 = 51 3 8 1 = 72 4 4 0 = 42 5 1 0 = 13 4 5 1 = 43 5 3 0 = 34 6 8 0 = 85 6 9 5 = 42 3 2 2 = 05 4 4 4 = 0

Pode-se observar que nos arcos (2 3) e (5 4) no passa qualquer fluxo.O esquema da passagem do fluxo pode ser visto a seguir:

1

2

3

4

5

6

5

7

4

3

8

4

41

12

12 Redes

1.4 Fluxo mximo em redes com arcos no direcionados

Um arco (i j) dito ser no direcionado se o fluxo pode passar no sentido i j ouno sentido j i.Matematicamente, se k a capacidade do arco, temos:fij kfji kfij fji = 0 (pelo menos um dos dois zero!)

Exemplo: Achar o fluxo mximo que pode ser levado do n 1 ao n 6 na rede abaixo:

1

2

3

4

5

6

40

30

30

50

50

30

25 2515

Os arcos (2 3), (2 5) e (4 5) so no direcionados.

1.4.1 Adaptao para uso da Tcnica de RotulaoCada arco no direcionado dividido em 2, com sentidos opostos e capacidade iguala k.

1

2

3

4

5

6

40

30

30

50

50

30

2525

15 15 25 25

1.5 O problema do caminho mnimo 13

Aplica-se normalmente a tcnica da rotulao na rede modificada.No final do algortimo teremos o fluxo que passa em cada arco. Vamos supor quepara o no direcionado (2 3) tenhamos encontrado:(2 3) = 5(3 2) = 12Como o fluxo que passa no sentido 3 2 maior isto significa que o fluxo fluirneste sentido. E quanto de fluxo passar ? a diferena, 12 5 = 7.Aplica-se o mesmo raciocnio e clculo para todos os arcos no direcionados.

Em redes com arcos no direcionados, pode acontecer que a diferena entre osquadros inicial e final, ou seja no clculo do fluxo que passa no arco, d um valornegativo. Neste caso o fluxo que passa no arco igual a zero.

1.5 O problema do caminho mnimo

Um outro problema clssico de redes o de achar o menor caminho entre 2 ns darede.

Exemplo: Achar o menor caminho entre os ns 1 e 6 na rede abaixo:

1

2

3

4

5

6

3

4

7

2

9

1

3

6

3

3

O nmero que aparece no arco d o comprimento dele.

14 Redes

1.5.1 Formulao como um modelo clssico de P.LinearVariveis de deciso:xij arco (i j) presente no caminho mais curto.Se xij = 0, ele no pertence ao caminho. Se igual a 1, pertence.(MIN Z = 3x12 + 7x13 + 4x14 + 2x23 + x34 + 9x26 + 6x36 + 3x35 + 3x45 + 3x56

s.a.x12 + x13 + x14 = 1 (n origem)x26 + x36 + x56 = 1 (n destino)

x12 = x23 + x26 (n 2)x13 + x23 = x34 + x35 + x36 (n 3)

x14 + x34 = x45 (n 4)x35 + x45 = x56 (n 5)

xij = 0 ou 1

Como no problema do fluxo mximo, existem muitos algortimos para resolver estetipo de problema de uma forma mais rpida do que o Simplex.Veremos o chamado Algortimo de Dijkstra, que tambm uma tcnica de rotu-lao.

1.6 Etapas do algortimo de Dijkstra

1. Atribuir um rtulo igual a zero para o n origem. Os rtulos dos outros ns,so iguais a distncia do n origem ao n em questo. Quando no h ligao, ortulo igual a . Rotule o n origem como permanente (colocando um *).

2. Suponha que o n k foi o ltimo a receber rtulo permanente. Calcule para cadan, no rotulado permanentemente, a soma do rtulo do n k mais a distnciade k ao n em questo. O novo rtulo do n em questo, ser o mnimo entre oseu rtulo anterior e a soma acima.

3. Selecione o n com o menor rtulo no permanente. Rotule-o como permanente(colocando um *). Em caso de empate a escolha arbritria. Se o n que acaboude ser rotulado o n destino, o algortimo chegou ao fim, em caso contrriovoltar etapa 2.

Vamos aplicar o algortimo para encontrar o caminho mais curto entre os ns 1 e 6na rede acima.Vamos trabalhar com um quadro com o seguinte aspecto:

Iterao 1 2 3 4 5 6 N Rotulado012345

1.6 Etapas do algortimo de Dijkstra 15

Comeamos (iterao 0) atribuindo um rtulo igual a 0 para o n origem (n 1). Ortulo do n 2 vai ser igual a distncia do n 1 a ele, ou seja 3. Da mesma forma ortulo do n 3 ser 7 (distncia do n origem a ele). Idem para o n 4 que ter rtuloigual a 4. Os rtulos dos ns 5 e 6 ser igual a pois no h arco ligando a origem(n 1) a eles. Como todos os ns j tem rtulo, escolhemos o que tem menor rtulo eo rotulamos de forma permanente, ou seja imutvel. Nesta iterao o n rotuladovai ser o n 1 a quem atribumos um rtulo igual a 0. A marcao de permanente feita colocando-se um * no rtulo.Nosso quadro fica ento como:

Iterao 1 2 3 4 5 6 N Rotulado0 0 3 7 4 112345

Podemos comear a iterao 1. O n 1 foi o ltimo (e nico at agora) n rotuladopermanentemente. Para os outros no rotulados de forma permanente temos quecalcular o novo rtulo. Este novo rtulo ser o mnimo entre 2 valores. O primeiro a soma do rtulo do ltimo n rotulado de forma permanente com a distncia desten ao n em questo. O 2o valor o rtulo anterior do n em questo.Como nesta iterao o ltimo n rotulado foi o n 1 que tem rtulo igual a 0, a somado rtulo do n 1 com a distncia do n 1 ao n em questo dar sempre a prpriadistncia do n 1 a cada um dos ns da rede. Como o rtulo anterior j era a prpriadistncia ao n 1, teremos o mnimo entre 2 quantidades iguais, ou seja a distnciado n origem (1) a cada um dos ns.Assim sendo a linha da iterao 1 exatamente igual a linha da iterao 0. Comoo menor valor no rotulado de forma permanente 3, o n 2 recebe rtulo perma-nente e nosso quadro fica como:

Iterao 1 2 3 4 5 6 N Rotulado0 0 3 7 4 11 0 3 7 4 22345

Vamos comear a iterao 2 lembrando que o ltimo n rotulado de forma perma-nente foi o n 2 com rtulo igual a 3.Vamos calcular o novo rtulo do n 3. Inicialmente devemos calcular a soma dortulo do n 2 (= 3) mais a distncia do n 2 ao n 3 que igual 2. Logo, 3+2 = 5.O novo rtulo do n 3 ser o mnimo entre 5 e o rtulo anterior de 3 (=7). Assim onovo rtulo de 3 ser igual a 5.

16 Redes

Para o n 4 temos a soma de 3 (rtulo do n 2) mais a distncia do n 2 ao n 4 que igual a pois no existe ligao entre eles. O novo rtulo do n 4 ser o mnimoentre e o rtulo anterior de 4 (= 4). Logo o novo rtulo do n 4 4.Para o n 5 temos a soma de 3 (rtulo do n 2) mais a distncia do n 2 ao n 5 que igual a pois no existe ligao entre eles. O novo rtulo do n 5 ser o mnimoentre e o rtulo anterior de 5 (=). Logo o novo rtulo do n 5 .Para o n 6 temos a soma de 3 (rtulo do n 2) mais a distncia do n 2 ao n 6 que igual a 9, ou seja 3 + 9 = 12. O novo rtulo do n 6 ser o mnimo entre 12 e ortulo anterior de 6 (=). Logo o novo rtulo do n 6 12.O menor rtulo no permanente 4 que corresponde ao n 4 que ento rotuladode forma permanente.Nosso quadro fica como:

Iterao 1 2 3 4 5 6 N Rotulado0 0 3 7 4 11 0 3 7 4 22 0 3 5 4 12 4345

Comeamos a iterao 3 recordando que o n 4 foi o ltimo a receber rtulo perma-nente e que seu rtulo 4.Assim sendo, para o n 3 calculamos a soma entre o rtulo do n 4 (= 4) mais adistncia do n 3 ao n 4 que igual a 1. Logo a soma d 4 + 1 = 5. O novo rtulodo n 3 o mnimo entre o 5 e o rtulo anterior de 3 que tambm era 5. O rtulocontinua igual a 5.Para o n 5 temos a soma do rtulo de 4 mais a distncia do n 4 ao n 5 que igual a 3. Logo a soma d 4 + 3 = 7. O novo rtulo do n 5 ser o mnimo entre oresultado da soma (7) e o rtulo anterior do n 5 (). Logo o novo rtulo ser iguala 7.Finalmente para o n 6 temos a soma do rtulo do n 4 mais a distncia do n 4 aon 6 dando 4 + = . O novo rtulo do n 6 o mnimo entre e o seu rtuloanterior, ou seja 12.Como o menor rtulo igual a 5, o n 3 recebe rtulo permanente e o quadro tem oseguinte aspecto:

Iterao 1 2 3 4 5 6 N Rotulado0 0 3 7 4 11 0 3 7 4 22 0 3 5 4 12 43 0 3 5 4 7 12 345


Passamos para a iterao 4 guardando que o n 3 foi o ltimo a receber rtulopermanente e seu rtulo igual a 5.Para o n 5 calculamos a soma do rtulo do n 3 mais a distncia do n 3 ao n5 dando 5 + 3 = 8. O novo rtulo do n 5 o mnimo entre este 8 e o seu rtuloanterior (= 7). Assim 7 o novo rtulo do n 5.Para o n 6 calculamos a soma do rtulo do n 3 mais a distncia do n 3 ao n 6dando 5 + 6 = 11. O novo rtulo do n 6 o mnimo entre este 11 e o seu rtuloanterior (= 12). Assim 11 o novo rtulo do n 6.Como o menor rtulo 7, correspondente ao n 5, ele recebe o rtulo permanente eo quadro fica como:

Iterao 1 2 3 4 5 6 N Rotulado0 0 3 7 4 11 0 3 7 4 22 0 3 5 4 12 43 0 3 5 4 7 12 34 0 3 5 4 7 11 55

Para a iterao 5, o ltimo n rotulado de forma permanente foi o 5 e seu rtulo 7.Para o n 6, calculamos a soma do rtulo do n 5 (= 7) mais a distncia do n 5 aon 6, dando 7 + 3 = 10. O novo rtulo do n 6 o mnimo entre este 10 e o seurtulo anterior (= 11). Seu novo rtulo igual a 10. Como ele o nico ainda norotulado ele recebe o rtulo permanente e nosso quadro final como:

Iterao 1 2 3 4 5 6 N Rotulado0 0 3 7 4 11 0 3 7 4 22 0 3 5 4 12 43 0 3 5 4 7 12 34 0 3 5 4 7 11 55 0 3 5 4 7 10 6

Como o n destino (6) foi rotulado, chegamos ao final do algortimo.Qual o comprimento do menor caminho entre os ns 1 e 6 da rede ? exatamenteo rtulo do n destino, ou seja 10.Neste momento, surge imediatamente a pergunta: Qual o caminho que tem com-primento 10 ?Esta pergunta pode ser respondida atravs da seguinte propriedade: O n i pre-cede o n j se a diferena entre os rtulos permanentes dos ns j e i for igual adistncia i j.Comeando do n destino e voltando podemos, aplicando aquela propriedade, acharo caminho de comprimento igual a 10.Temos ento:

18 Redes

N 6Arco Diferena Distncia5 6 10 7 = 3 3 3 6 10 5 = 5 62 6 10 3 = 7 9

(5 6) um arco do caminho.N 5

Arco Diferena Distncia3 5 7 5 = 2 34 5 7 4 = 3 3


Arco Diferena Distncia3 4 4 5 = 1 11 4 4 0 = 4 4

(1 4) um arco do caminho.

O caminho com comprimento igual a 10 (menor caminho da rede) :(1 4), (4 5), (5 6).

Vamos ver um novo exemplo para ilustrar o caso onde existe mais de 1 caminhomnimo na rede.Seja o seguinte exemplo: Achar o menor caminho entre o n 1 e o n 6 na redeabaixo:

1

2

3

4

5

6

8

4

1

9

6

3

3

12

8

3


Aplicando o algortimo visto anteriormente, o nosso quadro final fica como:

Iterao 1 2 3 4 5 6 N Rotulado0 0 8 1 4 11 0 8 1 4 32 0 8 1 4 9 13 43 0 8 1 4 7 13 54 0 8 1 4 7 10 25 0 8 1 4 7 10 6

Para encontrar o menor caminho vamos comear do n final e voltar:N 6

Arco Diferena Distncia2 6 10 8 = 2 63 6 10 1 = 9 125 6 10 7 = 3 3

(5 6) um arco do caminho.

N 5Arco Diferena Distncia3 5 7 1 = 6 84 5 7 4 = 3 3


Arco Diferena Distncia3 4 4 1 = 3 3 1a opo1 4 4 0 = 4 4 2a opo

(3 4) e (1 4) so arcos do caminho.Temos 2 opes o que implica em termos, no mnimo, 2 caminhos timos. Temosque prosseguir, em cada opo, at encontrar a n origem.Pode ser visto acima que a 2a opo j atingiu o n origem. Temos que continuarpela outra opo.N 3

Arco Diferena Distncia1 3 1 0 = 1 1 2 3 1 8 = 7 4

(1 3) um arco do caminho e chegamos ao n origem.

Temos 2 caminhos com comprimento 10:(1 3) (3 4),(4 5), (5 6) e(1 4), (4 5), (5 6).

Uma observao importante no algortimo que ele para quando o n destinofor rotulado permanentemente mesmo que algum outro n no tenha recebidortulo permanente.

20 Redes

1.7 rvore de Tamanho Mnimo

rvore um grafo constitudo de p ns, estando todos interligados por p 1 arcos.Exemplo:

2

1

3 4 1

4

2 3

Como podemos ver, dados por exemplo 4 ns, podemos construir vrias rvores,cada uma delas com arcos diferentes.O objetivo encontrar quela cujo comprimento total seja o menor possvel.Podemos, por exemplo, querer encontrar a rvore de tamanho mnimo da rede aseguir:

1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7

14

8

10

6

7

411

9

9

67

12 10

8

7

65

5

Como a rede possui 10 ns, qualquer rvore extrada dela tem que ter 9 arcos.

1.7 rvore de Tamanho Mnimo 21

1.7.1 Etapas do algortimo para encontrar a rvore do tama-nho mnimo

1. Selecione qualquer n e identifique o n mais perto dele. Faa a ligao entreos 2 (no caso de empate, a escolha arbritria).

2. Identifique o n no ligado que esteja mais perto de um dos ligados. (Em casode empate a escolha arbritria). Faa a ligao entre os 2.

3. Repita a etapa 2 at todos os ns estarem ligados.

Aplicando o algortimo e escolhendo o n 1 para comear (poderia-se escolher qual-quer outro n da rede). Identificamos o n no ligado mais perto dele. No caso on 2 com distncia igual a 7. Ligamos os 2 ns que passam assim a ser consideradoscomo ligados. Usamos um * para marcar n ligado.

1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7

14

8

10

6

7

411

9

9

67

12 10

8

7

65

5

*

*

Temos 2 ns ligados (1 e 2). Identificamos o n no ligado que esteja mais pertodos 2 ligados. o n 5 com distncia igual a 5 para o n 2. Ligamos o n 5. Temosento:

22 Redes

1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7

14

8

10

6

7

411

9

9

67

12 10

8

7

65

5

*

*

*

Identificamos agora o n no ligado mais perto de um dos 3 ligados. o n 6 comdistncia igual a 5 para o n 5. Ligamos ele.

1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7

14

8

10

6

7

411

9

9

67

12 10

8

7

65

5

*

*

*

*

Neste instante, o n no ligado mais perto de um ligado o n 7 com distncia de 4para o n 6.


1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7

14

8

10

6

7

411

9

9

67

12 10

8

7

65

5

*

*

*

*

*

Temos agora um empate: os ns 3 e 9 esto a mesma distncia (= 6) de n ligado.A escolha arbritria. Vamos escolher o n 3 para ficar ligado. Temos ento:

1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7

14

8

10

6

7

411

9

9

67

12 10

8

7

65

5

*

*

*

*

*

*

Agora o mais perto de um ligado o n 9 que est a distncia de 6 do n 5. Ligandoo n 9, temos:

24 Redes

1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7

14

8

10

6

7

411

9

9

67

12 10

8

7

65

5

*

*

*

*

*

*

*

Neste ponto temos novamente um empate. Os ns 4 e 10 esto a mesma distncia(= 7) de ns ligados. Escolhemos, arbritariamente, o n 4 para ligar:

1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7

14

8

10

6

7

411

9

9

67

12 10

8

7

65

5

*

**

*

*

*

*

*

O no ligado mais perto de um ligado neste instante o n 10. Tornando ele ligado,temos:


1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7

14

8

10

6

7

411

9

9

67

12 10

8

7

65

5

*

**

*

*

*

*

*

*

Finalmente o ltimo no ligado o n 8 que est mais perto do n 10 com distnciaigual a 6. Temos ento:

1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7

14

8

10

6

7

411

9

9

67

12 10

8

7

65

5

*

**

*

*

*

*

*

*

*

A rvore de tamanho mnimo, com seus 9 arcos, foi encontrada:

26 Redes

1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7

6

4

67

7

65

5

Seu comprimento igual a:Z = 7 + 5 + 7 + 6 + 5 + 6 + 4 + 7 + 6 = 53

1.8 Exerccios 27

1.8 Exerccios

Para ajudar na resoluo dos exerccios a seguir, poder ser usado o programa POque pode ser encontrado na pgina www.mpsantos.com.brNa prpria pgina podem ser encontradas as explicaes de como baixar e insta-lar o aplicativo. Ele para o ambiente Windows e roda em qualquer verso a partirdo Windows 95, inclusive.Principalmente nos exerccios de fluxo mximo e caminho mnimo, a sada do pro-grama permite a comparao com o que foi feito manualmente na aplicao dosalgortimos.

1) Qual o fluxo mximo que pode ser levado do n 1 ao n 7 na rede abaixo:

1

2

3

4

5

6

7

6

1

4

23

21

3

4

4

9

4

2) Qual o fluxo mximo que pode ser levado do n 1 ao n 9 na rede abaixo:

1

2

4

7

5

3 6

8

9

8

6

5

7

4

4

7 3

65

11

12

37

43

32

28 Redes

3) Um certo produto deve ser enviado de 3 depsitos para 4 lojas. As disponibilida-des dos depsitos so 20, 20 e 100 unidades respectivamente. As necessidadesdas lojas so 20, 20, 60 e 20 unidades respectivamente. A tabela abaixo d ascapacidades das rotas entre os depsitos e as lojas:

Lojas(Depsitos) 1 2 3 4

1 30 10 0 402 0 0 10 503 20 10 40 5

Uma capacidade igual a zero indica que no existe rota entre o depsito e a loja.O problema determinar se possvel atender a todas as necessidades das lojascom o disponvel nos depsitos.

a) Mostre que o problema acima equivalente a achar o fluxo mximo de umafonte para um destino.

b) Qual a resposta para o problema ?

4) Qual o menor caminho entre os ns 1 e 7 na rede abaixo:

1

5

3

4

2

6

4

6

5

1

24

7

5

7

5

1

6

8

1.8 Exerccios 29

5) Qual o menor caminho entre os ns 1 e 11 na rede abaixo:

1 11

10

9

7

85

3

4

2

6

4

6

3

5

4

6

51 2

5

2

3 4

2

5

3

4

8

2

7

22

6) Ache a rvore de tamanho mnimo para a rede do problema 4.

7) Ache a rvore de tamanho mnimo para a rede do problema 5.

8) Uma empresa madeireira tem que ligar entre si 8 bosques em uma determinadaregio. Tem que ser construdas estradas de modo que os 8 bosques fiqueminterligados. A distncia, em kms, entre cada par de bosques est mostrado natabela abaixo:

1 2 3 4 5 6 7 81 1,3 2,1 0,9 0,7 1,8 2,0 1,52 1,3 0,9 1,8 1,2 2,6 2,3 1,13 2,1 0,9 2,6 1,7 2,5 1,9 1,04 0,9 1,8 2,6 0,7 1,6 1,5 0,95 0,7 1,2 1,7 0,7 0,9 1,1 0,86 1,8 2,6 2,5 1,6 0,9 0,6 1,07 2,0 2,3 1,9 1,5 1,1 0,6 0,58 1,5 1,1 1,0 0,9 0,8 1,0 0,5

O problema determinar entre que pares de bosques deve-se construir estradasconectando todos os bosques e fazendo-se o mnimo de kms de estrada. Encontrea resposta

30 Redes

9) A figura abaixo mostra a rede de encanamento existente entre um determinadomanancial de captao de gua e um depsito onde a gua armazenada paraser tratada. O nmero em cima de cada trecho de encanamento d a vazo m-xima, em litros por segundo, que pode passar no trecho.Qual a quantidade mxima, em litros por segundo, de gua que pode ser trans-portada entre o manancial e a estao de tratamento ? Que vazo de guapassar em cada trecho da rede ?

1

5

8

7

63

4

2

510

11

7

1

4

2

3

7 8

64

9

10) Usando a tcnica da rotulao determine o fluxo mximo que pode ser levado don 1 ao n 11 na rede abaixo:

1

107

11

9

6

5

84

3

2

4

5

15

4

5

4

5

66

7

79

3

85

7

1.8 Exerccios 31

11) Usando o algortimo de Dijkstra, encontre o menor caminho entre os ns 2 e 11na rede a seguir:

1

8

11

10

7

9

13

12

6

5

43

2

8

2

5

4

2

7

1

1 1

3

2

1

2

1

13

2

1

5 67

89

3

1

12) Encontre o menor caminho entre os ns 2 e 12 na rede a seguir:

1

7

6

5

4

3

2 8

9

10

11

12

2000

150

380

700

200

500

450

700

600

300

150

300

6000

800

100

200

400

400

1500 2000

1000

8500

270500

600

32 Redes

13) A rede abaixo a representao de um conjunto de 11 prdios residenciais cons-trudos em uma rea afastada da cidade. As linhas ligando os prdios so oscanos que foram instalados para a passagem de toda a fiao eltrica, telef-nica, etc..., sendo tambm mostrado o comprimento destes encanamentos, emmetros. O esquema de segurana a ser colocado pelo condomnio implica na co-locao de telefones interligando as portarias de todos os prdios. Como deve serinstalada a fiao destes telefones de segurana de maneira que a quantidadede fio gasto seja a mnima possvel ? Quantos metros de fio sero gastos ?

A

B

C

F

D

G

E

K

H

I

J

120

210

170

40

90

70

135

65

78

105

80

60

40

90

100

165

70

5030

30

1.8 Exerccios 33

1.8.1 Respostas dos exerccios1) Z = 9

2) Z = 19

3) Z = 110(1 1) 5(1 2) 10(1 4) 5(2 3) 10(2 4) 10(3 1) 15(3 2) 10(3 3) 40(3 4) 5

I

1

2

3

1

2

3

4

F

20

20

100

30

10

40

10

10

20

10

5

20

20

20

60

40

4) Z = 16

5) Z = 17

6) Z = 18

7) Z = 26

8) Z = 5, 2

9) Z = 18 litros/seg

10) Z = 12

11) Z = 7

12) Z = 1070

13) Z = 603

34 Redes

Captulo 2PERT/CPM

No final da dcada de 50, um dos maiores projetos realizados foi o chamado pro-jeto POLARIS. Este projeto, realizado pelos E.Unidos, consistia na fabricao do 1o

submarino com capacidade de lanar msseis estando submerso. Este projeto en-volvia a participao de 250 grandes empresas e 9.000 empresas sub-contratadasdiferentes. Alm de milhares de peas comuns j usadas em outros projetos, nadamenos que 70.000 novos tipos de peas diferentes tinham que ser fabricadas.Embora os problemas tcnicos fossem difceis, o maior de todos era controlar todoo projeto, dado o gigantesco nmero de atividades a serem realizadas, principal-mente porque havia grande presso de se fazer o projeto no menor tempo possvel.Com a finalidade de controlar o projeto que, como vimos era o maior problema aser enfrentado, foi desenvolvido por uma equipe mista da Lockheed, Booz Allen eMarinha dos E.Unidos um sistema para controle de projetos que recebeu o nomede PERT (Program Evaluation and Review Technique). Poderamos traduzir porTcnica de Avaliao e Controle de Projetos. O projeto Polaris teve sua duraoreduzida dos 5 anos previstos para apenas 3. Grande parte desta reduo foi atri-buda ao uso do PERT. importante realar os pontos bsicos que serviram de base ao desenvolvimentodo PERT:

a) Projeto pioneiro com muitas atividades de durao real desconhecida.

b) Controlar a durao do Projeto era o objetivo principal.

Na mesma poca (1957) a Dupont apresentou um sistema de controle de Projetos,similar ao PERT, mas tendo como enfoque principal o controle dos custos de umprojeto. O nome dado a este sistema era CPM (Critical Path Method) ou Mtododo Caminho Crtico em portugus.O sucesso do PERT no projeto Polaris e do CPM na Dupont, provocaram a partirde 1960, uma corrida ao uso destas ferramentas que passaram a ser conhecidaspela sigla PERT/CPM. Com o passar dos anos o nome CPM deixou de ser usado e ouso deste tipo de tcnica passou a ser conhecida como Rede PERT.Pode-se dizer, sem medo de errar, que este tipo de ferramenta usada pela maioriadas empresas de mdio e grande porte.

36 PERT/CPM

2.1 Construo da Rede

D-se o nome de Rede PERT a representao grfica de um projeto.Atravs desta representao grfica possvel visualizar a sequncia lgica do pro-jeto, com as interdependncias das atividades que compem o projeto.Posteriormente so colocadas na Rede, as duraes (custos) das atividades, permi-tindo com isto uma anlise da durao (custos) do projeto.Na terminologia usada no PERT, um projeto constitudo de atividades e eventos.ATIVIDADE: a execuo efetiva de uma operao.So consumidos tempo e recursos. Ex: Assistir aula de P.Operacional, fazer umalaje de concreto, etc...EVENTO: um marco que caracteriza um determinado instante em um projeto.No so consumidos tempo ou recursos. Ex: Incio da aula de P.Operacional, fimda aula de P.Operacional, incio de fazer a laje de concreto, etc...

Para se construir a rede PERT de um determinado projeto precisamos conhecer:

a) As atividades, ou seja, a lista de tarefas que compem o projeto.

b) A ordem das atividades, isto , quais as atividades antecedentes e quais as sub-sequentes cada atividade.

c) A durao prevista para cada atividade.

OBS: No caso do CPM, precisamos conhecer tambm o custo de cada atividade.

2.1.1 Representao grfica da Rede1. Mtodo Americano (original)

EventoInicial

EventoFinal

Identificao da Atividade

Durao da Atividade

1 2Assistir aula de PO

1 hora

As setas representam as atividades e os ns representam os eventos.

2.1 Construo da Rede 37

2. Mtodo Francs

Assistir aulade PO Intervalo

2 1

As setas representam a ordem de ligao das atividades e os blocos as atividades.

OBS: O mtodo francs mais fcil mas durante muitos anos, por tradio, o m-todo americano foi usado embora seja muito mais complicado desenhar uma redepor ele do que pelo mtodo francs.Nos ltimos anos no entanto, com o aparecimento de programas de computadorque fazem o desenho da rede, o mtodo francs passou a dominar o cenrio, j que o usado pelos pacotes de computador.ExemploVamos imaginar que a rea financeira de uma pequena empresa, que produz evende determinado produto, precisa fazer a previso oramentria para o prximoexerccio fiscal.Como a confeco deste oramento envolve reas diferentes da empresa, foi deci-dido usar o PERT para controle e acompanhamento do projeto. As atividades doprojeto bem como a interdependncia entre elas alm da suas duraes, est mos-trado na tabela a seguir:

Durao AntecessorasIdentificao Atividade em dias Imediatas

a Previso das unidades 14 a serem vendidas

b Determinar o preo de 3 avenda do produto

c Levantar material necess- 7 ario na produo

d Levantar custos 4 cde produo

e Fazer o 10 b, dOramento

Para deixar claro o conceito, vemos que a atividade b tem como antecessora imedi-ata a atividade a, ou seja ela s pode ser iniciada depois que a atividade a termine.Da mesma forma, a atividade e s pode comear aps a concluso das atividades be d.

38 PERT/CPM

No mtodo americano o desenho da rede fica como:

1 2

4

3

5a

b

c

d

e

14

3

7

4

10

No mtodo francs teramos:

7Inicio a

b

c d

e FIM14

3

7 4

10

Devemos reparar que, em ambos os casos, a interdependncia das atividades ficaclara e perfeitamente visvel.

2.1.2 Representao das AtividadesNormalmente, no mtodo americano, as atividades so representadas por:(n inicial n final)Assim no nosso projeto, teramos:a (1 2)b (2 4)c (2 3)d (3 4)e (4 5)A vantagem deste tipo de representao que no necessrio se olhar o desenhoda rede para se conhecer a interdependncia das atividades. Assim, por exemplo,as atividades que tenha n inicial igual a 2 s podem ser iniciadas depois que todasque tenham n final igual a 2 tenham terminado.


2.1.3 Complicao na Construo da RedeVamos supor que antes de se estabelecer o preo de venda do produto, seja feito umestudo do preo dos concorrentes. O quadro de atividades passaria a ser:

Durao AntecessorasIdentificao Atividade em dias Imediatas

a Previso das unidades 14 a serem vendidas

a Estudar preo 3 dos concorrentes

b Determinar o preo de 3 a, avenda do produto

c Levantar material necess- 7 ario na produo

d Levantar custos 4 cde produo

e Fazer o 10 b, dOramento

Como a atividade b depende das atividades a e a, temos dificuldade para construira rede no mtodo americano. Poderamos pensar em 2 opes:

1 2a

a

b

c

Opo 1

1 2a

a

b

c

Opo 2

3

a

Na opo 1, c no depende de a e na opo 2, temos 1 atividade aparecendo maisde 1 vez o que, em redes grandes, causaria enorme confuso.A soluo criar uma atividade, no existente, que recebe o nome Atividade Fan-tasma. Sua durao e custo so sempre iguais a zero.

40 PERT/CPM

1

2

4

3

5b

c

d

e3

7

4

10

6f

a'

a14

0

3

A atividade b depende das atividades f e a. Mas como f depende de a, a interde-pendncia fica correta.A atividade fantasma sempre representada por uma linha tracejada.

Uma das vantagens do mtodo francs o fato dele nunca precisar de atividadesfantasma, como podemos ver a seguir:

Incio

a

a

b

c d

e Fim

14

3 3

7 4

10

Temos agora a seguinte questo: Como reconhecer que o desenho da rede necessitade atividades fantasma ?H necessidade de atividades fantasma quando o projeto contm grupos de 2 oumais atividades que tem algumas, mas no todas, antecessoras imediatas comuns.No nosso exemplo, b e c tem uma antecessora comum (a), mas no todas.

Exerccio: Construir a rede PERT para o projeto abaixo:Atividade Antecessoras Imediatas

a b c d a, be b, c


Mtodo americano

1

3

4

52b

a

c

d

e

f1

f2

Mtodo francs

Incio b

a

c

d

e

Fim

Exerccio: Construir a rede PERT para o projeto abaixo:Atividade Antecessoras Imediatas

a b c d a, be a, cf a, b, c

42 PERT/CPM

Mtodo americano

1

3

4

52

b

a

c

d

e

f1

f2

6f3

f4

f5

f

Mtodo francs

Incio a

b

c

d

f

e

Fim

2.2 Determinao do Caminho Crtico

Uma vez reduzido o projeto a uma rede de atividades e eventos e estimadas asduraes das atividades, estamos em condies de determinar o tempo mnimo ne-cessrio para a execuo do projeto.Para isto preciso achar o caminho mais longo da rede. Este caminho conhecidocomo Caminho Crtico e o seu comprimento determina a durao do projeto. Paraachar o caminho crtico precisamos definir algumas variveis que sero necessrias sua determinao:

2.2 Determinao do Caminho Crtico 43

Data de Incio do projeto: a data em que o projeto inicia. Como teremos quefazer contas com datas, o que trabalhoso e enfadonho, vamos trabalhar com datasabsolutas. Desta forma, daqui para a frente, esta data ser sempre igual a 0.Data mais cedo de incio de uma atividade: a data mais cedo possvel emque uma atividade pode comear. Em ingls usada a sigla E.S, que a abreviaode Early Start.Data mais cedo de fim de uma atividade: a data mais cedo em que umaatividade pode acabar. Em ingls usada a sigla E.F, que a abreviao de EarlyFinish.

Vamos voltar ao nosso exemplo:

1

2

4

3

5b

c

d

e3

7

4

10

6f

a'

a14

0

3

Queremos encontrar a data mnima para o projeto estar pronto. Para isto neces-srio achar o maior caminho da rede.Vamos usar o chamado quadro PERT para determinar este caminho.

Data mais cedo Data mais tarde FolgaAtividade Durao Inicio Fim Inicio Fim Total

1 2 141 4 32 4 02 3 74 5 33 5 45 6 10

Para as atividades sem antecessoras, (1 2) e 1 4), a data mais cedo de incio a prpria data de incio do projeto (0).A data mais cedo de fim da atividade (1 2) igual a data do seu incio (0) mais asua durao, ou seja 14.Da mesma forma, a atividade (1 4) tem data mais cedo de incio igual a 0 e datamais cedo de fim igual a 3, como podemos ver no quadro:

44 PERT/CPM


1 2 14 0 141 4 3 0 32 4 02 3 74 5 33 5 45 6 10

A atividade (2 4) s pode comear quando a atividade (1 2) acabar. Logo suadata mais cedo de incio 14. A sua data mais cedo de fim a soma da data maiscedo de incio mais a sua durao, ou seja 14. Esta uma atividade fantasma comdurao igual a 0.De maneira anloga, a atividade (2 3) tambm s pode comear quando terminar(1 2). Sua data mais cedo de incio 14 e a de fim igual a 14 + 7 = 21.


1 2 14 0 141 4 3 0 32 4 0 14 142 3 7 14 214 5 33 5 45 6 10

A atividade (4 5) tem como antecessoras imediatas as atividades (1 4) e (2 4),ou seja ela s pode comear quando estas 2 atividades tiverem acabado. A datamais cedo que a atividade (1 4) pode acabar 3 mas o mais cedo que a atividade(2 4) pode acabar 14. Assim sendo, o mais cedo que podemos comear (4 5) 14. Como sua durao de 3 dias, a sua data mais cedo de fim 14 + 3 = 17.A atividade (3 5) s pode comear aps o fim da atividade (2 3). Sua data maiscedo de incio ser a data mais cedo de fim de (2 3), ou seja 21. Sua data maiscedo de fim ser esta data mais a sua durao (4), ou seja 25.


1 2 14 0 141 4 3 0 32 4 0 14 142 3 7 14 214 5 3 14 173 5 4 21 255 6 10


Finalmente a atividade (5 6) s pode iniciar aps o trmino das atividades (4 5)e (3 5). Como as datas mais cedo destas atividades so 17 e 25, respectivamente,a atividade (5 6) s pode comear em 25. Sua data mais cedo de fim ser igual a25 mais a sua durao, ou seja 35, como vemos a seguir.


1 2 14 0 141 4 3 0 32 4 0 14 142 3 7 14 214 5 3 14 173 5 4 21 255 6 10 25 35

A menor durao para o projeto a maior das datas mais cedo. Logo, a durao doprojeto ser de 35 dias.Para preencher as demais colunas do quadro, vamos ver novas definies:Data mais tarde de incio de uma atividade: a data mais tarde em que umaatividade pode comear sem comprometer a durao do projeto. Em ingls usadaa sigla L.S, que a abreviao de Latest Start.Data mais tarde de fim de uma atividade: a data mais tarde em que umaatividade pode acabar sem comprometer a durao do projeto. Em ingls usada asigla L.F, que a abreviao de Latest Finish.Comeamos agora das atividades terminais, ou seja sem sucessoras para trs. Anica atividade terminal neste projeto (5 6), logo a data mais cedo de fim dela a prpria durao do projeto, 35.A sua data mais tarde de incio a diferena entre a data mais tarde de fim e a suadurao. ou seja 35 10 = 25.As atividades (3 5) e (4 5) tem como sucessora (5 6). Como a data maistarde que (5 6) pode comear 25, esta ser a data mais tarde que aquelas 2atividades podero acabar. A data mais tarde de incio ser a diferena entre 25 eas respectivas duraes.O quadro, neste instante, estar como:


1 2 14 0 141 4 3 0 32 4 0 14 142 3 7 14 214 5 3 14 17 22 253 5 4 21 25 21 255 6 10 25 35 25 35

46 PERT/CPM

A Atividade (2 3) tem como sucessora a atividade (3 5) cuja data mais tardede incio 21. Logo esta ser a data mais tarde de fim da atividade (2 3). A maistarde de incio ser 21 sua durao = 14.As atividades (2 4) e (1 4) tem como sucessora a atividade (4 5) que temdata mais tarde de incio igual a 22. Logo esta ser a data mais tarde de fim das2 atividades. Para obter a data mais tarde basta subtrair de 22 as respectivasduraes. Temos ento:


1 2 14 0 141 4 3 0 3 19 222 4 0 14 14 22 222 3 7 14 21 14 214 5 3 14 17 22 253 5 4 21 25 21 255 6 10 25 35 25 35

Finalmente a atividade (1 2) tem como sucessoras as atividades (2 3) e (2 4).A data mais tarde de incio de (2 3) 14 e a da (2 4) igual a 22. Assim sendoa data mais tarde que (1 2) pode acabar 14 para que (2 3) possa ser iniciada.Como antes a data mais tarde de incio obtida subtraindo a sua durao destadata, ou seja 14 14 = 0.Temos ento:


1 2 14 0 14 0 141 4 3 0 3 19 222 4 0 14 14 22 222 3 7 14 21 14 214 5 3 14 17 22 253 5 4 21 25 21 255 6 10 25 35 25 35

Para preencher a ltima coluna (Folga Total) vamos esclarecer que Folga Total quanto uma atividade pode ser atrasada sem atrasar a data de fim do projeto.Seu clculo pode ser feito usando-se:Folga Total = Data mais tarde de fim Data mais cedo de fimouData mais tarde de incio Data mais cedo de incio.Em ingls usada a sigla T.S, que a abreviao de Total Slack.Fazendo-se as contas, temos o quadro completo:



1 2 14 0 14 0 14 01 4 3 0 3 19 22 192 4 0 14 14 22 22 82 3 7 14 21 14 21 04 5 3 14 17 22 25 83 5 4 21 25 21 25 05 6 10 25 35 25 35 0

As atividades com folga total igual a zero so as chamadas atividades crticas eformam o chamado caminho crtico.Qualquer atraso em uma dessas atividades implicar em atraso na durao doprojeto.

No nosso exemplo o caminho crtico (1 2), (2 3), (3 5) e (5 6). Qual-quer atraso em uma destas atividades atrasar o projeto.

Podemos formalizar agora os clculos que fizemos na construo do quadro:

d(a) durao da atividade a.Atividades iniciais Atividades sem antecessoras.Atividades terminais Atividades sem sucessoras.Data mais cedo de incio das atividades iniciais = Data de incio do projeto.Data mais cedo de incio da atividade a = Maior das datas mais cedo de fim detodas as antecessoras imediatas de a.Data mais cedo de fim da atividade a = Data mais cedo de incio de a+ d(a).Durao do projeto = Maior data mais cedo de fim de todas as atividades.Data mais tarde de fim das atividades terminais = Durao do projeto.Data mais tarde de fim da atividade a = Menor das datas mais tarde de incio detodas as sucessoras imediatas da atividade a.Data mais tarde de incio da atividade a = Data mais tarde de fim de a d(a).Folga total da atividade a = Data mais tarde de incio de a Data mais cedo deincio de a ou Data mais tarde de fim de a Data mais cedo de fim de a.

48 PERT/CPM

Exemplo: Construir o quadro PERT para um projeto constitudo das seguintes ati-vidades:

Atividade Durao (dias)1 2 32 3 42 5 32 4 24 5 43 5 35 6 23 6 6

Calculando-se o quadro chegamos a:


1 2 3 0 3 0 3 02 3 4 3 7 3 7 02 5 3 3 6 8 11 52 4 2 3 5 5 7 24 5 4 5 9 7 11 23 5 3 7 10 8 11 15 6 2 10 12 11 13 13 6 6 7 13 7 13 0

Caminho Crtico: (1 2), (2 3) e (3 6).

Exemplo: Construir o quadro PERT para o projeto anterior considerando que oprazo contratual para o fim do projeto a data 10.Temos ento:


1 2 3 0 3 3 0 32 3 4 3 7 0 4 32 5 3 3 6 5 8 22 4 2 3 5 2 4 14 5 4 5 9 4 8 13 5 3 7 10 5 8 25 6 2 10 12 8 10 23 6 6 7 13 4 10 3

Como temos o aparecimento de atividades com folga negativa, podemos garantirque o projeto no conseguir ser feito no prazo estipulado (10 dias). O prazo terque ser renegociado.


Exemplo: Construir o quadro PERT para um projeto com as seguintes atividades:

Atividade Durao (dias)1 2 21 3 32 5 53 5 43 4 23 6 34 6 14 7 35 8 36 7 27 8 28 9 5

Calculando-se o quadro PERT chegamos a:


1 2 2 0 2 0 2 01 3 3 0 3 0 3 02 5 5 2 7 2 7 03 5 4 3 7 3 7 03 4 2 3 5 3 5 03 6 3 3 6 3 6 04 6 1 5 6 5 6 04 7 3 5 8 5 8 05 8 3 7 10 7 10 06 7 2 6 8 6 8 07 8 2 8 10 8 10 08 9 5 10 15 10 15 0

Em um projeto, podemos ter mais de 1 caminho crtico e podemos ter at todos,como no exemplo acima.

O que vimos at agora o que se denomina Determinao do Caminho Crtico.Na prtica o que se usa em mais de 90% dos projetos que so controlados poreste tipo de ferramenta. Veremos a seguir o que vem a ser o PERT e o CPM emsi mas enfatizando que sua aplicao, principalmente o PERT, reduzida.

50 PERT/CPM

2.3 O Modelo PERT

Como vimos anteriormente, o PERT foi desenvolvido para controlar o projeto Po-laris que era um projeto possuindo inmeras atividades de durao desconhecida,simplesmente porque nunca tinham sido feitas. Em resumo havia um alto nvelde incerteza quanto a durao de muitas atividades. Para controlar este fato, osanalistas que desenvolveram o PERT, criaram um modelo probabilstico no qual adurao de cada atividade uma varivel aleatria de modo que, para cada ativi-dade, so feitas 3 estimativas de durao:

Do Durao Otimista, ou seja, a durao mais provvel se a execuo daatividade no tiver nenhum problema. Em termos estatsticos, uma estimativapara o limite inferior da distribuio de probabilidade da durao da atividade.Dp Durao Pessimista, ou seja, a durao mais provvel se a execuo daatividade tiver problemas. Em termos estatsticos, uma estimativa para o limitesuperior da distribuio probabilstica.Dm Durao Mais Provvel, ou seja, a durao provvel se a execuo da ati-vidade for realizada em condies normais. uma estimativa para a moda (pontomais alto) da distribuio de probabilidade.

Estudos realizados indicaram que a Distribuio Beta era a que melhor se adap-tava s duraes reais da maioria das atividades de um grande nmero de projetosexaminados.Podemos resumir ento a premissa bsica do modelo PERT:A durao de uma atividade uma varivel aleatria que segue a chamada Distri-buio Beta que tem os seguintes parmetros:

Mdia = Durao esperada(De) =Do + 4Dm +Dp

6

Varincia = 2 =(Dp Do

6

)2Para exemplificar, vamos usar o modelo PERT no projeto com as seguintes ati-vidades:

Durao (dias)Atividade Do Dm Dp

1 2 2 2,5 62 3 1 4 72 5 2 3 42 4 1 2 34 5 1 4 73 5 2 3 45 6 1 2 33 6 2 5 14

2.3 O Modelo PERT 51

Podemos calcular, para cada atividade, a durao esperada e o desvio padro:

Durao (dias)Atividade Do Dm Dp De 2

1 2 2 2,5 6 3 0,4442 3 1 4 7 4 12 5 2 3 4 3 0,1112 4 1 2 3 2 0,1114 5 1 4 7 4 13 5 2 3 4 3 0,1115 6 1 2 3 2 0,1113 6 2 5 14 6 4

Com a Durao Esperada (De) podemos calcular o quadro PERT:

Data mais cedo Data mais tarde FolgaAtividade De Inicio Fim Inicio Fim Total

1 2 3 0 3 0 3 02 3 4 3 7 3 7 02 5 3 3 6 8 11 52 4 2 3 5 5 7 24 5 4 5 9 7 11 23 5 3 7 10 8 11 15 6 2 10 12 11 13 13 6 6 7 13 7 13 0

Caminho Crtico (1 2), (2 3) e (3 6)Durao esperada do projeto (Dep) = 13 dias2p = varincia do projeto

= 2 das atividades do caminho crtico= 0, 444 + 1 + 4 = 5, 444

Considerando que a durao de uma atividade independente da durao de cadauma das outras atividades do projeto, ou seja, a varivel aleatria durao da ati-vidade uma varivel aleatria independente, temos que a durao esperada doprojeto (Dep) a soma das duraes das atividades do caminho crtico, ou seja asoma de variveis aleatrias independentes.Pelo teorema do Limite Central, uma varivel aleatria que a soma de variveisaleatrias, segue a Distribuio Normal.Desta forma, no modelo PERT, a durao do projeto uma varivel aleatria quesegue a Distribuio Normal com:Mdia = = DepDesvio Padro = p =

2p

52 PERT/CPM

No nosso exemplo, a durao do projeto uma varivel aleatria, normalmente dis-tribuda, com: = 13 e =

5, 444 = 2, 3333

Podemos ento responder ao seguinte tipo de perguntas:

a) Qual a probabilidade do projeto demorar mais de 14 dias ?Trabalhando com a frmula da normal padronizada, temos:

Z =X

=14 132, 333

= 0, 43

P (Durao > 14) = 1 P (Durao 14)P (Durao 14) = P (Z 0, 43) = 0, 6664 (tabela normal pg. 226)P (Durao > 14) = 1 0, 6664 = 0, 3336 = 33, 36%

b) Qual deve ser a durao do projeto para que o risco de no cumprimento doprazo seja de 5% ?Queremos X de modo que P (Durao > X) = 5% = 0, 05P (Durao X) = 1 0, 05 = 0, 95Na tabela normal (pg. 226) procuramos o valor de Z que corresponde a 0, 95 1, 64.1, 64 =

X 132, 333

X = 16, 97 dias.

Exemplo: Um pequeno projeto constitudo de 7 atividades cujas estimativas dedurao esto dadas abaixo:

Durao (dias)Atividade Do Dm Dp

1 2 1 1 71 3 1 4 71 4 2 2 82 5 1 1 13 5 2 5 144 6 2 5 85 6 3 6 15

2.3 O Modelo PERT 53

Calculando a durao esperada e a varincia:

Durao (semanas)Atividade Do Dm Dp De 2

1 2 1 1 7 2 11 3 1 4 7 4 11 4 2 2 8 3 12 5 1 1 1 1 03 5 2 5 14 6 44 6 2 5 8 5 15 6 3 6 15 7 4

Calculando o quadro PERT, temos:

Data mais cedo Data mais tarde FolgaAtividade De Inicio Fim Inicio Fim Total

1 2 2 0 2 7 9 71 3 4 0 4 0 4 01 4 3 0 3 9 12 92 5 1 2 3 9 10 73 5 6 4 10 4 10 04 6 5 3 8 12 17 95 6 7 10 17 10 17 0

Caminho Crtico: (1 3), (3 5) e (5 6)Dep = 17 semanas2p = 1 + 4 + 4 = 9 =

9 = 3

a) Qual a probabilidade de que o projeto fique pronto em 14 ou menos semanas ?

Z =14 17

3= 1

P (Durao 14) = P (Z 1) = 0, 1586 = 15, 86%

b) Se a data contratada para o fim do projeto de 18 semanas, qual a probabili-dade do projeto ultrapassar este prazo ?P (Durao > 18) = 1 P (Durao 18)Z =

18 173

= 0, 333

P (Durao 18) = P (Z 0, 333) = 0, 6293P (Durao > 18) = 1 0, 6293 = 0, 3707 = 37, 07%

c) Qual data para o fim do projeto que tem 90% de probabilidade de ser cum-prida ?P (Durao X) = 0, 90 Z para 0, 90 1, 291, 29 =

X 173

X = 20, 87 semanas

54 PERT/CPM

No caso em que se tem mais de 1 caminho crtico, a durao esperada do projeto(Dep) nica, pois os comprimentos de todos os caminhos crticos so iguais. Nocaso da varincia do projeto no to simples pois, a no ser por coincidncia,cada caminho crtico ter um somatrio de varincias diferente.Qual deve ser usada para a varincia do projeto ? A maior delas.

2.3.1 Problemas do modelo PERTO modelo PERT muito pouco utilizado na prtica e este fato deve-se aos seguintesfatores:

1) Estimar, com preciso, duraes para atividades de um projeto no , via deregra, tarefa das mais simples. Estimar 3 duraes para cada atividade , obvi-amente, uma tarefa muito mais difcil.

2) O postulado bsico no qual o modelo PERT est baseado, ou seja de que as ati-vidades de um projeto so independentes entre si, difcil de ser justificado. Omais comum em um projeto a execuo de uma atividade acabar influenciandoa execuo de outras.

3) O outro postulado do modelo PERT de que as duraes das variveis seguemuma distribuio beta tem sido contestado, com inmeros exemplos j publica-dos.

4) Pela prpria natureza do modelo PERT, um caminho crtico pode deixar de sercrtico se, por exemplo, as atividades de um outro caminho comearem, por al-gum problema, a serem executadas na durao pessimista. Como os resultados,por exemplo a durao esperada do projeto, foram calculados em cima do cami-nho crtico original, os resultados teriam que ser todos recalculados.

2.4 O Modelo CPM 55

2.4 O Modelo CPM

Como visto anteriormente, o enfoque principal do CPM controlar os custos doprojeto. Est baseado na idia de que se colocarmos mais recursos na execuode uma atividade, conseguiremos faz-la mais rapidamente, embora aumentandoo seu custo. usado em projetos onde a durao das atividades conhecida com bastante pre-ciso, como projetos de construo civil, por exemplo.No CPM, para cada atividade, so feitas 2 estimativas de durao que esto asso-ciadas a 2 custos:

Durao Normal (Dn), que tem associado o chamado Custo Normal (Cn). Durao Acelerada (Da), que tem associado o chamado Custo Acelerado

(Ca).

A Durao Acelerada a menor durao em que possvel se fazer a atividade.Devemos notar que, a partir de certo ponto, no adianta colocar mais recursos naexecuo de uma atividade que no se conseguir diminuir sua durao.

2.4.1 Relao entre Duraes/Custos Normal e AceleradoO postulado bsico do modelo CPM que a relao entre durao/custo normal edurao/custo acelerado linear.Seja, por exemplo, uma atividade cuja durao normal de 6 dias com custo nor-mal de $4.000. Vamos supor que sua durao acelerada seja de 2 dias e seu custoacelerado seja de $6.000.A representao grfica desta atividade seria:

Custo$

Durao(Dias)2 6

6.000

4.000k

56 PERT/CPM

Coeficiente Angular = tan k =Ca CnDn Da

=6000 4000

6 2 = 500

A tangente do ngulo k chamada de Custo Incremental, ou seja, o que aumenta(diminue) no custo da execuo da atividade se ela acelerada (desacelerada) de 1unidade de tempo (1 dia no nosso exemplo).

2.4.2 Compresso da RedeVamos ver o uso do modelo CPM aplicado a um projeto cujos dados esto a seguir:

Durao (semanas) Custo ($)Atividade Normal Acelerada Normal Acelerado

1 2 6 3 4.000 5.0001 3 6 2 4.000 6.0002 4 7 5 4.000 6.0003 4 5 2 4.000 6.0002 5 5 3 3.000 6.0004 5 9 6 5.000 10.0004 6 6 4 3.000 6.0005 7 4 1 2.000 5.0006 7 2 1 2.000 4.000

Podemos calcular para cada atividade o seu Custo Incremental:

Custo IncrementalAtividade (Ca Cn)/(Da Dn)

1 2 3331 3 5002 4 1.0003 4 6672 5 1.5004 5 1.6674 6 1.5005 7 1.0006 7 2.000

2.4 O Modelo CPM 57

Usando a durao/custo normal, construmos o quadro PERT:

Data mais cedo Data mais tarde FolgaAtividade Dur Inicio Fim Inicio Fim Total

1 2 6 0 6 0 6 01 3 6 0 6 2 8 22 4 7 6 13 6 13 03 4 5 6 11 8 13 22 5 5 6 11 17 22 114 5 9 13 22 13 22 04 6 6 13 19 18 24 55 7 4 22 26 22 26 06 7 2 19 21 24 26 5

Durao = 26 semanasCaminho Crtico: (1 2) (2 4) (4 5) (5 7)Custo = do custo normal de todas as atividades do projeto = $31.000

O objetivo diminuir a durao do projeto minimizando o aumento no custo.Para isto ser usada uma tcnica conhecida como Compresso da Rede.No processo precisaremos das seguintes definies:t = nmero de unidades de tempo que a atividade ainda pode ser reduzida.Folga Mnima = a menor folga diferente de zero que aparece no quadro PERT.

Como a durao do projeto o comprimento do caminho crtico, para se reduzir asua durao temos que diminuir o caminho crtico, ou seja diminuir a durao deuma das atividades que o compe.Vamos examinar as opes que temos para reduzir o caminho crtico:

Atividade Custo Incremental t1 2 333 32 4 1.0004 5 1.6675 7 1.000

Folga Mnima = 2

Como podemos observar, a atividade (1 2) a mais barata para ser acelerada.Surge ento a pergunta: Quanto podemos acelerar (1 2) ? O mximo que podeser acelerado o mnimo entre o t da atividade e a Folga Mnima.Logo o mximo que podemos acelerar (1 2) :Min(t, Folga Mnima) = Min(3, 2) = 2 semanas.

58 PERT/CPM

Porque no podemos acelerar mais que a folga mnima? Porque estara-mos correndo o risco de estar acelerando uma atividade e aumentando o custodo projeto, sem garantir que estaramos diminuindo sua durao.No exemplo, se acelerssemos a atividade (1 2) de 3 semanas poderamos es-tar acelerando 1 semana (a 3a) sem garantir que a reduo seria maior que 2semanas. Como a Folga Mnima igual a 2 provvel que exista um caminho yna rede com folga de 2, ou seja, comprimento igual a 24 . Logo se (1 2) fosse re-duzida de 3 semanas (ficando o caminho crtico original com comprimento iguala 23 semanas), o caminho y passaria a ser o crtico pois seu comprimento seriaigual a 24 semanas.

Calculando o quadro Pert com a nova durao de (1 2) temos:


1 2 4 0 4 0 4 01 3 6 0 6 0 6 02 4 7 4 11 4 11 03 4 5 6 11 6 11 02 5 5 4 9 15 20 114 5 9 11 20 11 20 04 6 6 11 17 16 22 55 7 4 20 24 20 24 06 7 2 17 19 22 24 5

Durao: 24 semanasCaminhos Crticos: (1 2) (2 4) (4 5) (5 7)

(1 3) (3 4) (4 5) (5 7)Custo = 31.000 + 2 333 = $31.666

Agora temos 2 caminhos crticos. Para diminuir a durao do projeto temos quereduzir o comprimento dos 2 caminhos crticos. As opes so aquelas que reduzemsimultaneamente uma atividade do 1o caminho e uma do 2o.

Atividade Custo Incremental t(1 2) (1 3) 333 + 500 = 833 1 e 4(1 2) (3 4) 333 + 667 = 1.000(2 4) (1 3) 1.000 + 500 = 1.500(2 4) (3 4) 1.000 + 667 = 1.667

(4 5) 1.667(5 7) 1.000

Folga Mnima = 5

A opo mais barata reduzir (1 2) e (1 3).

2.4 O Modelo CPM 59

Quanto podemos reduzir ?Min [t de (12), t de (13), Folga Mnima]= Min(1,4,5) = 1 semana.Construindo novo quadro, temos:


1 2 3 0 3 0 3 01 3 5 0 5 0 5 02 4 7 3 10 3 10 03 4 5 5 10 5 10 02 5 5 3 8 14 19 114 5 9 10 19 10 19 04 6 6 10 16 15 21 55 7 4 19 23 19 23 06 7 2 16 18 21 23 5


(1 3) (3 4) (4 5) (5 7)Custo = 31.666 + 1 833 = $32.500

Apesar dos caminhos crticos serem os mesmos do quadro anterior, as opes sodiferentes porque a atividade (1 2) j se encontra na sua durao acelerada, ouseja, no pode ser mais comprimida. Assim as opes passam a ser:

Atividade Custo Incremental t(2 4) (1 3) 1.000 + 500 = 1.500(2 4) (3 4) 1.000 + 667 = 1.667

(4 5) 1.667(5 7) 1.000 3

Folga Mnima = 5

60 PERT/CPM

A opo mais barata reduzir a atividade (5 7) de Min(3, 5) = 3 semanas. O novoquadro passa a ser:


1 2 3 0 3 0 3 01 3 5 0 5 0 5 02 4 7 3 10 3 10 03 4 5 5 10 5 10 02 5 5 3 8 14 19 114 5 9 10 19 10 19 04 6 6 10 16 12 18 25 7 1 19 20 19 20 06 7 2 16 18 18 20 2


(1 3) (3 4) (4 5) (5 7)Custo = 32.500 + 3 1.000 = $35.500

A atividade (5 7) tambm chegou na sua durao acelerada de maneira queas opes para reduzir a durao do projeto passam a ser:

Atividade Custo Incremental t(2 4) (1 3) 1.000 + 500 = 1.500 2 e 3(2 4) (3 4) 1.000 + 667 = 1.667

(4 5) 1.667

Folga Mnima = 2

A melhor opo reduzir (2 4) e (1 3) de Min(2,3,2) = 2 semanas.O novo quadro passa a ser:


1 2 3 0 3 0 3 01 3 3 0 3 0 3 02 4 5 3 8 3 8 03 4 5 3 8 3 8 02 5 5 3 8 12 17 94 5 9 8 17 8 17 04 6 6 8 14 10 16 25 7 1 17 18 17 18 06 7 2 14 16 16 18 2

2.4 O Modelo CPM 61


(1 3) (3 4) (4 5) (5 7)Custo = 35.500 + 2 1.500 = $38.500

Como as atividades (1 2), (2 4) e (5 7) j esto na durao acelerada, te-mos uma nica opo para reduzir os 2 caminhos:

Atividade Custo Incremental t(4 5) 1.667 3

Folga Mnima = 2

Reduzimos ento (4 5) de Min(3,2) = 2 semanas, obtendo:


1 2 3 0 3 0 3 01 3 3 0 3 0 3 02 4 5 3 8 3 8 03 4 5 3 8 3 8 02 5 5 3 8 10 15 74 5 7 8 15 8 15 04 6 6 8 14 8 14 05 7 1 15 16 15 16 06 7 2 14 16 14 16 0


(1 2) (2 4) (4 6) (6 7)(1 3) (3 4) (4 5) (5 7)(1 3) (3 4) (4 6) (6 7)

Custo = 38.500 + 2 1.667 = $41.833

Passamos a ter agora 4 caminhos crticos. Para se reduzir a durao do projetotemos que reduzir 1 atividade de cada um dos caminhos.Como as atividades (1 2), (2 4) e (5 7) j esto na durao acelerada nossasopes so:

Atividade Custo Incremental t(4 5) (4 6) 1.667 + 1.500 = 3.167 1 e 2(4 5) (6 7) 1.667 + 2.000 = 3.667

Folga Mnima = 7

A melhor opo reduzir (4 5) e (4 6) de Min (1,2,7) = 1 semana.O novo quadro passa a ser:

62 PERT/CPM


1 2 3 0 3 0 3 01 3 3 0 3 0 3 02 4 5 3 8 3 8 03 4 5 3 8 3 8 02 5 5 3 8 9 14 64 5 6 8 14 8 14 04 6 5 8 13 8 13 05 7 1 14 15 14 15 06 7 2 13 15 13 15 0


(1 2) (2 4) (4 6) (6 7)(1 3) (3 4) (4 5) (5 7)(1 3) (3 4) (4 6) (6 7)

Custo = 41.833 + 1 3.167 = $45.000

Neste ponto no podemos reduzir mais a durao do projeto pois o 1o caminhoj tem todas as suas atividades na durao acelerada, ou seja, impossvel redu-zir seu comprimento. No adiantaria reduzir qualquer outro caminho pois estecontinuaria a ser o crtico.

2.4.3 Durao tima para o projetoOs custos que vimos at agora so os chamados custos diretos, ou seja, os custosenvolvidos diretamente na execuo das atividades.Em um projeto, alm destes custos, temos tambm os chamados custos indiretosque afetam todas as atividades do projeto.Vamos supor que no exemplo visto at aqui, os custos indiretos sejam de $2.000 porsemana, existindo ainda uma multa contratual de $2.000 por semana que o projetopassar de 20 semanas.Qual a durao tima para o projeto ?Para responder a esta pergunta temos que construir o seguinte quadro:

Durao Custos Custo(semanas) Diretos Indiretos Multa total

26 31.000 52.000 12.000 95.00024 31.666 48.000 8.000 87.66623 32.500 46.000 6.000 84.50020 35.500 40.000 75.50018 38.500 36.000 74.50016 41.833 32.000 73.83315 45.000 30.000 75.000

2.4 O Modelo CPM 63

A curva de Custo Total tem, genericamente, a aparncia mostrada abaixo, ou sejaele comea com um determinado valor, vai diminuindo, passa pelo ponto mnimo,ou seja, de menor custo e volta a crescer.

$

t16

73.833

(semanas)

Podemos ver ento que a durao tima para o projeto de 16 semanas.

Embora o quadro s mostre as duraes encontradas no processo de compres-so da rede, temos facilmente disponvel todas as demais duraes. Assim, porexemplo, a passagem de 23 semanas para 20 semanas aconteceu porque se re-duziu a durao da atividade (5 7) de 3 semanas. Para se obter o custo de 22semanas basta reduzir (5 7) de apenas 1 semana. Para se ter o valor de 21semanas, reduz-se (5 7) de 2 semanas.No ponto onde a curva faz a sua inflexo, temos que calcular todas as duraespois uma durao no explcita pode ser a tima. No exemplo, antes de afirmarque 16 semanas a durao tima, teramos que ver o custo de fazer o projetoem 17 semanas.

2.4.4 Resolvendo por Programao LinearA compresso da rede, que acabamos de ver, pode ser equacionada e resolvida atra-vs da formulao de modelos de Programao Linear. Em projetos muito grandes,o uso da Programao Linear pode acelerar a obteno das respostas desejadas em-bora com um provvel aumento de custo pois ser necessrio o uso de um pacotepara resoluo de modelos de P.Linear alm da equipe ter que contar com especia-listas nesta tcnica.

64 PERT/CPM

Para apresentarmos como usar a P.Linear, vamos supor que temos, para um deter-minado projeto, os dados abaixo:

Durao (semanas) Custo ($)Atividade Normal Acelerada Normal Acelerado1 2 (a) 14 6 1.400 3.2001 3 (b) 12 8 1.000 4.0002 5 (c) 18 14 1.600 3.0002 4 (d) 6 4 800 4.0003 4 (e) 4 2 400 5004 5 (f) 8 6 400 9005 6 (g) 12 8 800 2.500

6.400

Calculando o Custo Incremental para cada uma das atividades, encontramos:

Atividade Custo Incremental1 2 (a) 2251 3 (b) 7502 5 (c) 3502 4 (d) 16003 4 (e) 504 5 (f) 2505 6 (g) 425

Aplicando a compresso na rede (deixado como exerccio) as duraes e custos, en-contrados nos passos do algortimo so:

Durao Custo44 (Normal) $6.400

40 $7.30036 $8.20034 $9.00032 $9.85030 $10.70028 $11.900

A menor durao possvel para se fazer o projeto 28 semanas com o custo timoigual a $11.900.Para facilitar a compreenso do modelo de P.Linear, vamos ver o desenho da rede:

2.4 O Modelo CPM 65

1

4

5

3

2

6T 1

T 2

T 3

T 4

T 5

T 6a

b

c

d

e

f

g

As variveis Ti so as datas em que ocorrem os eventos 1, 2, ..., 6. A varivel T6 da durao do projeto.Vamos definir um outro conjunto de variveis, yi, que significa o quanto a atividadei vai ser acelerada. Assim, por exemplo, Yd quanto a atividade d ou (2 4) vaiser acelerada.Um conjunto de restries aquele que mostra a acelerao mxima que cada ati-vidade pode sofrer, ou genericamente yi t.Temos ento:ya 8 yb 4yc 4 yd 2ye 2 yf 2yg 4Podemos agora construir as restries que limitam os valores (datas) que os even-tos (Ti) podem assumir.T2, que s depende da atividade a, tem que ser maior ou igual T1 mais a diferenaentre 14, que a sua durao normal, menos ya, ou seja quanto ela vai ser acele-rada. Temos ento:T2 T1 + (14 ya)Como consideramos normalmente T1 (incio do projeto) como igual a zero, a restri-o fica como:T2 + ya 14T3, que s depende da atividade b, tem que ser maior ou igual T1 mais a diferenaentre 12, que a sua durao normal, menos yb, ou seja quanto ela vai ser acele-rada. Temos ento:T3 T1 + (12 yb)Como T1 zero, temos:T3 + yb 12J o evento T4 depende das atividades d e e. Assim temos 2 restries. Na 1a,relativa a atividade d, temos:T4 T2 + (6 yd) ouT4 T2 + yd 6

66 PERT/CPM

Na 2a (atividade e) temos:T4 T3 + (4 ye) ouT4 T3 + ye 4Restries semelhantes podemos construir para o evento 5:T5 T2 + (18 yc) ouT5 T2 + yc 18 e,T5 T4 + (8 yf) ouT5 T4 + yf 8Finalmente temos a restrio para o evento 6:T6 T5 + (12 yg) ouT6 T5 + yg 12Vamos supor que queremos encontrar o melhor custo para fazer o projeto em 34semanas. Devemos colocar a restrio T6 = 34.A funo objetivo uma funo de minimizao pois queremos minimizar o valorcorrespondente as aceleraes que as atividades vo sofrer. Logo a funo objetivoser equivalente a

yi (Custo Incremental)i.

Podemos escrever o modelo completo:(Min) Z = 225ya + 750yb + 350yc + 1600yd + 50ye + 250yf + 425yg

sujeito aT2 + ya 14T3 + yb 12

T4 T2 + yd 6T4 T3 + ye 4T5 T2 + yc 18T5 T4 + yf 8T6 T5 + yg 12

T6 = 34ya 8 yb 4yc 4 yd 2ye 2 yf 2

yg 4Ti, yi 0

Usando-se o mdulo de P.Linear, do software PO, para resolver o modelo, a seguintesoluo tima encontrada:T 2 = 6 T

3 = 12 T

4 = 14 T

5 = 22 T

6 = 34

ya = 8 o que indica que a atividade a ou (1 2) foi acelerada de 8 semanas ficandocom a durao igual a 14 8 = 6 semanas.yc = 2 ou seja a atividade c ou (2 5) ficou na durao 18 2 = 16 semanas.ye = 2 indicando que a atividade e ou (3 4) ficou na durao 4 2 = 2 semanas.Os valores timos dos demais yi ficaram igual a zero indicando que as respectivasatividades ficaram na durao normal.O valor timo da funo objetivo foi igual a $2.600, logo o menor custo para se fazero projeto em 34 semanas o somatrio do custo de se fazer todas as atividades nadurao normal ($6.400) mais os $2.600, ou seja $9.000.

2.4 O Modelo CPM 67

Este resultado exatamente igual ao encontrado, para 34 semanas, quando

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