Post on 30-Aug-2019
Introdução às Funções
Guilherme PradoCurso Pré-vestibular Unicentro
Plano cartesiano
O plano cartesiano é um sistema or-togonal de coordenadas utilizado parademonstrar a localização de pontos noespaço R2. É constituído por dois eixosperpendiculares.
Plano cartesiano
x
y
Abscissa e ordenada
I Abscissa: é a coordenada quecorresponde ao eixo x do sistemacartesiano.
I Ordenada: é a coordenada quecorresponde ao eixo y do sistemacartesiano.
Par ordenado
Um ponto qualquer no R2 é indicadopor um par ordenado (a, b). A letra a
representa a abscissa e a letra b repre-senta a ordenada de um ponto cartesi-ano qualquer.
Par ordenado
x
y
a
b (a, b)
Quadrantes do planocartesiano
x
y
IQIIQ
IIIQ IVQ
Plano cartesiano
1o quadrante IQ: (+, +)2o quadrante IIQ: (-, +)3o quadrante IIIQ: (-, -)4o quadrante IVQ: (+, -)
Produto cartesiano
Sejam dois conjuntos não vazios A e B ,o produto cartesiano dos dois conjun-tos é o conjunto cujos elementos sãotodos os pares ordenados (x , y), ondeo primeiro elemento pertence a A e osegundo elemento pertence a B.
A× B = {(x , y)|x ∈ A e x ∈ B}
a1
a2
a3
b1
b2
A
B
Relação binária
Sejam dois conjuntos A e B , denomina-se relação de A em B qualquer con-junto de pares ordenados (x , y) comx ∈ A e x ∈ B . O produto cartesi-ano mostra todas as relações possíveisentre um elemento de A com um ele-mento de B .
Relação binária
De�nição: R é uma relação bináriade A em B ⇔ R ⊂ A× B .
Domínio
Seja R uma relação de A em B , o do-mínio de R é o conjunto D(R) de todosos primeiros elementos dos pares orde-nados que pertencem a R .
x ∈ D(R)⇔ ∃y ∈ B|(x , y) ∈ R .
Imagem
Seja R uma relação de A em B , a ima-gem de R é o conjunto Im(R) de todosos segundos elementos dos pares orde-nados que pertencem a R .
y ∈ Im(R)⇔ ∃x ∈ A|(x , y) ∈ R .
Domínio e imagem
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
b5A
B
R
D(R) Im(R)
Função
Sejam dois conjuntos não vazios A e Btais que A,B ⊂ R, uma função f de Aem B é uma relação que associa todoelemento x ∈ A a um único elementoy ∈ B de forma que (x , y) ∈ f .
Notação: f : A→ B
Função
De�nição: f é função de A em B
⇔ ∀x ∈ A,∃y ∈ B|(x , y) ∈ f .
A função é expressa por f (x) comouma lei de associação entre os elemen-tos dos dois conjuntos da seguinte forma:
A ⊂ R→ B ⊂ Rx 7→ f (x) = y
Representação de função
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
b5Conjunto de partida
Conjunto de chegada
f (x)
Representação de função
1
2
3
4
1
4
9
16
20A
B
f (x) = x2
É uma função
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
b5A
B
Não é uma função
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
b5A
B
Não é uma função
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
b5A
B
Domínio e imagem
Seja f : A → b, o domínio de f é oconjunto D(f ) = A, o contradomíniode f é o conjunto CD(f ) = B e a ima-gem de f é o conjunto Im(f ) tal queIm(f ) ⊂ CD(f ) = B .
Domínio e imagem
a1
a2
a3
b1
b2
b3
b4A = Domínio
B = Contradomínio
f (x)
D(f ) Im(f )
Observação 1
Quando não especi�cados, o domínio eo contradomínio da função devem serconsiderados implicitamente como osmaiores conjuntos possíveis.
Grá�co de uma função
Seja a funçãoA ⊂ R→ B ⊂ R,x 7→ f (x) = y
o seu grá�co é representado no sistemacartesiano pelo conjunto de pontos{(x , y)|x ∈ A e y = f (x)}.
f (x) = x
x y0 01 12 23 3
x
y
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3−2−10
1
2
3
f (x) = x2
x y-2 4-1 10 01 12 4
x
y
−3 −2 −1 0 1 2 3−1
0
1
2
3
4
5
f (x) = 1/x
x y-2 -1/2-1 -1
-1/2 -21/2 21 12 1/2
x
y
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
Função sobrejetora
Uma função f : A → B é sobrejetoraquando todos os elementos do contra-domínio estão associados a pelo me-nos um elemento do domínio. Ou seja,CD(f ) = Im(f ).
É sobrejetora
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
A
B
Não é sobrejetora
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
b5A
B
Função injetora
Uma função f : A → B é sobrejetoraquando x1 6= x2 implica emf (x1) 6= f (x2), ou ainda:
f (x1) = f (x2)⇔ x1 = x2.
É injetora
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
b5A
B
Não é injetora
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
A B
função bijetora
Uma função f : A → B é bijetoraquando um elemento do domínio associa-se a um único elemento da imagem aomesmo tempo que o contradomínio éigual à imagem, ou seja, f é bijetoraquando é sobrejetora e injetora simul-taneamente.
É bijetora
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
A B
É bijetora
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
A B
Igualdade entre funções
Sejam duas funções f (x) e g(x) querepresentam uma mesma lei de associ-ação.f (x) = g(x)⇔ D(f ) = D(g),CD(f ) = CD(g) e Im(f ) = Im(kkg).
Funções pares e ímpares
I Função par:
f (−x) = f (x);
I função ímpar:
f (−x) = −f (x).