Introdução às Funções

Guilherme PradoCurso Pré-vestibular Unicentro

Plano cartesiano

O plano cartesiano é um sistema or-togonal de coordenadas utilizado parademonstrar a localização de pontos noespaço R2. É constituído por dois eixosperpendiculares.

Plano cartesiano

x

y

Abscissa e ordenada

I Abscissa: é a coordenada quecorresponde ao eixo x do sistemacartesiano.

I Ordenada: é a coordenada quecorresponde ao eixo y do sistemacartesiano.

Par ordenado

Um ponto qualquer no R2 é indicadopor um par ordenado (a, b). A letra a

representa a abscissa e a letra b repre-senta a ordenada de um ponto cartesi-ano qualquer.

Par ordenado

x

y

a

b (a, b)

Quadrantes do planocartesiano

x

y

IQIIQ

IIIQ IVQ

Plano cartesiano

1o quadrante IQ: (+, +)2o quadrante IIQ: (-, +)3o quadrante IIIQ: (-, -)4o quadrante IVQ: (+, -)

Produto cartesiano

Sejam dois conjuntos não vazios A e B ,o produto cartesiano dos dois conjun-tos é o conjunto cujos elementos sãotodos os pares ordenados (x , y), ondeo primeiro elemento pertence a A e osegundo elemento pertence a B.

A× B = {(x , y)|x ∈ A e x ∈ B}

a1

a2

a3

b1

b2

A

B

Relação binária

Sejam dois conjuntos A e B , denomina-se relação de A em B qualquer con-junto de pares ordenados (x , y) comx ∈ A e x ∈ B . O produto cartesi-ano mostra todas as relações possíveisentre um elemento de A com um ele-mento de B .

Relação binária

De�nição: R é uma relação bináriade A em B ⇔ R ⊂ A× B .

Domínio

Seja R uma relação de A em B , o do-mínio de R é o conjunto D(R) de todosos primeiros elementos dos pares orde-nados que pertencem a R .

x ∈ D(R)⇔ ∃y ∈ B|(x , y) ∈ R .

Imagem

Seja R uma relação de A em B , a ima-gem de R é o conjunto Im(R) de todosos segundos elementos dos pares orde-nados que pertencem a R .

y ∈ Im(R)⇔ ∃x ∈ A|(x , y) ∈ R .

Domínio e imagem

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

b5A

B

R

D(R) Im(R)

Função

Sejam dois conjuntos não vazios A e Btais que A,B ⊂ R, uma função f de Aem B é uma relação que associa todoelemento x ∈ A a um único elementoy ∈ B de forma que (x , y) ∈ f .

Notação: f : A→ B

Função

De�nição: f é função de A em B

⇔ ∀x ∈ A,∃y ∈ B|(x , y) ∈ f .

A função é expressa por f (x) comouma lei de associação entre os elemen-tos dos dois conjuntos da seguinte forma:

A ⊂ R→ B ⊂ Rx 7→ f (x) = y

Representação de função

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

b5Conjunto de partida

Conjunto de chegada

f (x)

Representação de função

1

2

3

4

1

4

9

16

20A

B

f (x) = x2

É uma função

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

b5A

B

Não é uma função

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

b5A

B

Não é uma função

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

b5A

B

Domínio e imagem

Seja f : A → b, o domínio de f é oconjunto D(f ) = A, o contradomíniode f é o conjunto CD(f ) = B e a ima-gem de f é o conjunto Im(f ) tal queIm(f ) ⊂ CD(f ) = B .

Domínio e imagem

a1

a2

a3

b1

b2

b3

b4A = Domínio

B = Contradomínio

f (x)

D(f ) Im(f )

Observação 1

Quando não especi�cados, o domínio eo contradomínio da função devem serconsiderados implicitamente como osmaiores conjuntos possíveis.

Grá�co de uma função

Seja a funçãoA ⊂ R→ B ⊂ R,x 7→ f (x) = y

o seu grá�co é representado no sistemacartesiano pelo conjunto de pontos{(x , y)|x ∈ A e y = f (x)}.

f (x) = x

x y0 01 12 23 3

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3−2−10

1

2

3

f (x) = x2

x y-2 4-1 10 01 12 4

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3−1

0

1

2

3

4

5

f (x) = 1/x

x y-2 -1/2-1 -1

-1/2 -21/2 21 12 1/2

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

Função sobrejetora

Uma função f : A → B é sobrejetoraquando todos os elementos do contra-domínio estão associados a pelo me-nos um elemento do domínio. Ou seja,CD(f ) = Im(f ).

É sobrejetora

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

A

B

Não é sobrejetora

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

b5A

B

Função injetora

Uma função f : A → B é sobrejetoraquando x1 6= x2 implica emf (x1) 6= f (x2), ou ainda:

f (x1) = f (x2)⇔ x1 = x2.

É injetora

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

b5A

B

Não é injetora

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

A B

função bijetora

Uma função f : A → B é bijetoraquando um elemento do domínio associa-se a um único elemento da imagem aomesmo tempo que o contradomínio éigual à imagem, ou seja, f é bijetoraquando é sobrejetora e injetora simul-taneamente.

É bijetora

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

A B

É bijetora

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

A B

Igualdade entre funções

Sejam duas funções f (x) e g(x) querepresentam uma mesma lei de associ-ação.f (x) = g(x)⇔ D(f ) = D(g),CD(f ) = CD(g) e Im(f ) = Im(kkg).

Funções pares e ímpares

I Função par:

f (−x) = f (x);

I função ímpar:

f (−x) = −f (x).