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Revisão de Pré-Cálculo

PLANO COORDENADO

Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni

Departamento de Matemática, FEG, UNESP

Lc. Ismael Soares Madureira Júnior

Guaratinguetá, SP, Março, 2018

Direitos reservados. Reprodução autorizada desde que citada a fonte.

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PLANO CARTESIANO

Sistema de Coordenadas Retangulares: dois eixos perpendiculares, o ponto de interseção é a origem. Os pontos no plano cartesiano são identificados com pares ordenados de números reais: (x, y).

|x| é a distância do ponto ao eixo y

|y| é a altura em relação ao eixo x

Linhas coordenadas (malha)são retas paralelas aos eixos.Ajudam na localizaçãodos pontos.

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REGIÕES NO PLANO - SEMIPLANOS

Toda reta divide o plano em 2 partes (além da própria reta).

Semiplano superior, coordenada y > 0.                 Semiplano à direita, x > 0.

Em alguns casos, consideramos ≥ ao invés de apenas >. De maneira similar se definem o semiplano inferior (y < 0) e o semiplano à esquerda (x < 0).

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REGIÕES NO PLANO - QUADRANTES

  

● 2º Quadrante: 1º Quadrante:

x<0 e y>0. x>0 e y>0.

  3º Quadrante: 4º Quadrante:

x<0 e y<0. x>0 e y<0.

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SIMETRIAS DE PONTO - REFLEXÕES

● Reflexão no eixo x:  

(a, b)    (a, ­ b).→

● Reflexão no eixo y:  

(a, b)    (­ a, b).→

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SIMETRIAS DE PONTO - REFLEXÕES

● Reflexão na origem:  

(a, b)    (­ a, ­ b).→

Dupla reflexão.

● Reflexão na reta y = x:  

(a, b)    (b, a).→

Troca os eixos.

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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

A distância entre os pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) é                  (Teorema de Pitágoras)    

22 )( ABAB yyxxd

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PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

Se A(xa, ya) e B(xb, yb) então o ponto médio do segmento AB é M = ((xa+xb)/2, (ya+yb)/2).

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EXERCÍCIOS

1)  O ponto P(x, y) está sobre a mesma horizontal que o ponto A(a, b)  e sobre a mesma vertical que o ponto C(c, d).  Determine as coordenadas de P em função das coordenadas de A e de C.

2) Os pontos O(0, 0), A(a, 0), B(b, h) e P(x, y) formam um paralelogramo, com lados OA // BP e OB // AP. Determine as coordenadas do ponto P em função de a, b e h (considere que todas as coordenadas são positivas).

3) Os pontos A e B são simétricos em relação ao eixo y (simetria de reflexão). Se A=(1, 3) determine B.

4) Considere o quadrado OABC (vértices consecutivos). Sabendo que as coordenadas dos pontos O e A são O(0, 0) e A(a, b),  determine as coordenadas dos pontos B e C em função das coordenadas de A.

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EXERCÍCIOS Simmons, cap. 1, seção 3

4) Os pontos (­2, 1), (2, 2) e (10, 4) estão sobre uma mesma reta?

5) O ponto (6, 5) pertence a mediatriz do segmento que une os pontos (­2, 1) e (2, ­3)?

6) Os pontos (2, ­2) e (­6, 5) são as extremidades de um diâmetro de uma circunferência. Ache o centro e o raio da circunferência.

7) Determine o ponto equidistante dos pontos (­9, 0), (6, 3) e (­5, 6).

8) Adaptado do exercício 11, Simmons, cap 4, seção 3. Ao meio dia, o  barco A está a 50 km ao norte do barco B, se movendo para o sul a  16km/h. O barco B está indo para oeste a 12 km/h. Determine a distância entre eles em função do tempo. 

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EXERCÍCIOS

Faça um esboço sombreando as regiões do plano correspondentes as desigualdades abaixo

a) x < 2. b) 0 < y < 1.

c) - 1 < x < 2 e 2 < y < 3. d) y ≥ x.

e) x ≥ 0, y ≤ 1 e y ≤ - x + 2.

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OBSERVAÇÃO

Estes slides são uma versão reduzida dos slides apresentados em aula (para caber na página).

Foram excluídos 4 slides:

● Retas horizontais e verticais,

● Simetria de Translação,

● Diagonais dos Quadrantes,

● Rotação.