Estratégias de Integração

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Estratégias de Integração

1.Introdução

2.Resolução de exemplos

3.Observações

3

1. Introdução

A integração é mais desafiante que adiferenciação. Para determinar a derivada de umafunção é óbvio qual fórmula de diferenciaçãodevemos aplicar. Porém não é necessariamenteóbvio qual técnica devemos aplicar para integraruma dada função

4

1. Introdução

Até agora aplicamos algumas técnicasindividuais, tais como a integração por partes e asfrações parciais. Nesta aula iremos apresentaruma coleção de integrais misturadas aleatoria-mente, sendo que o principal desafio será oreconhecimento da técnica ou fórmula que devemser usadas

5

1. Introdução

As regras fáceis e rápidas para a aplicaçãode um dado método em uma determinada situaçãonão são fornecidas. Contudo, serão dados algunsconselhos sobre estratégias que você poderá acharútil.

6

1. Introdução

Um pré-requisito para a seleção daestratégia é o conhecimento das fórmulas básicasde integração. Na tabela seguinte apresentamosintegrais já conhecidas em aulas anteriores comvárias fórmulas adicionais

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1. Introdução

Tabela de Fórmulas de Integração(As constantes de integração foram omitidas)

1

1. ( 1)1

nn x

x dx nn

+

= ≠ −+∫

12. lndx x

x=∫

3. x xe dx e=∫ 4. ln

xx a

a dxa

=∫

5. sen cosx dx x= −∫ 6. cos senx dx x=∫27. sec tgx dx x=∫

28. cossec cotgx dx x= −∫

9. sec tg secx x dx x=∫ 10. cosec cotg cossecx x dx x= −∫

8

1. Introdução

Tabela de Fórmulas de Integração(As constantes de integração foram omitidas)

11. sec ln sec tgx dx x x= +∫ 12. cossec ln cossec cotgx dx x x= −∫

13. tg ln secx dx x=∫ 14. cotg ln senx dx x=∫

15. senh coshx dx x=∫ 16. cosh senhx dx x=∫

12 2

117. tg

dx xx a a a

− = + ∫

1

2 218. sen

dx xaa x

− = −∫

2 2

119. ln

2dx x a

x a a x a−=

− +∫2 2

2 220. ln

dxx x a

x a= + ±

±∫

9

1. Introdução

Uma vez familiarizado com essas fórmulasbásicas de integração, se não virmos imediata-mente como atacar uma dada integral, poderemostentar a seguinte estratégia de quatro etapas.

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1. Introdução

1. Se possível, simplifique o integrando

Algumas vezes o uso de manipulação algébricaou identidades trigonométricas simplifica o integrandoe torna o método de integração óbvio.

11

1. Introdução

Exemplos:

( ) ( )1x x dx x x dx+ = +∫ ∫

22

tg sencos

sec cosd dx=∫ ∫

θ θθ θθ θ

1sen cos sen2

2dx dx= =∫ ∫θ θ θ

( ) ( )2 2 2sen cos sen 2sen cos cosx x dx x x x x dx+ = + +∫ ∫( )1 2sen cosx x dx= +∫

12

1. Introdução

2. Procure por uma substituição óbvia

Tente encontrar alguma função u = g (x) nointegrando cuja diferencial du = g ’(x) também ocorra,separadamente da constante.

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1. Introdução

Por exemplo, na integral

2 1x

dxx −∫

notamos que, se u = x 2 – 1, então du = 2xdx.Portanto, usamos a substituição u = x 2 – 1 em vezdo método das frações parciais.

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1. Introdução

3. Classifique o integrando de acordo com sua forma

Se as etapas 1 e 2 não levaram a uma solução,então olhamos para a forma do integrando f (x).

a) Funções trigonométricas: Se f (x) é um produto depotências de sen x e cos x, de tg x e sec x ou decotg x e cossec x, então utilizaremos assubstituições trigonométricas (Aula 50).

b) Funções racionais: Se f é uma função racional,usamos o procedimento da aula 46, envolvendo asfrações parciais.

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1. Introdução

c) Integração por partes: Se f (x) é um produto deuma potência de x (ou um polinômio) e uma funçãotranscendental (como uma função trigonométrica,exponencial ou logarítmica), então tentamos aintegração por partes, escolhendo u e du de acordocom a Aula 45.

d) Radicais: Tipos particulares de substituição sãorecomendados quando certos radicais aparecem.

(i) Se ocorre, utilizamos a substituiçãotrigonométrica de acordo com a tabela apresentadanesta aula.

(ii) Se ocorre, usamos a substituiçãoracionalizante . Isso funciona mais comu-mente para .

2 2x a± ±

n ax b+nu ax b= +

( )n g x

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1. Introdução

4. Tente novamente

Se as três etapas anteriores não deremresultado, lembre-se que existem basicamente apenasdois métodos de integração: substituição e por partes.

a) Tente a substituição: Mesmo que nenhumasubstituição seja óbvia (Etapa no 2), algumainspiração ou engenhosidade pode sugerir umasubstituição apropriada.

b) Tente por partes: Embora a integração por partesseja usada na maioria das vezes nos produtos daforma descrita na Etapa no 3(c), algumas vezes éeficaz em funções simples, como em tg-1x, sen-1x eln x. Todas são funções inversas.

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1. Introdução

c) Manipule o integrando: As manipulações algébricas(talvez racionalizando o denominador ou usando asidentidades trigonomátricas) podem ser úteis natransformação da integral em uma forma maisfácil. Essas manipulações podem ser mais subs-tanciais que na Etapa no 1 e podem envolver algumaengenhosidade.

2

1 cos 1 cos1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

dx dx x xdx

x x x x+ += ⋅ =

− − + −∫ ∫ ∫

22 2

1 cos coscossec

sen senx x

dx x dxx x

+= = +

∫ ∫

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1. Introdução

d) Relacione o problema àqueles anteriores: Quandotiver adquirido alguma experiência em integração,você poderá usar um método em uma dada integralssimilar o método já usado em uma integralanteriormente. Ou até será capaz de expressar aintegral dada em termos de uma integral anterior.

( ) ( )2 2 3tg sec sec 1 sec sec secx x dx x x dx x x dx= − = −∫ ∫ ∫

OBS: Veja o Exemplo 17 da Aula 50.

19

1. Introdução

e) Use vários métodos: Algumas vezes dois ou trêsmétodos são necessários para se avaliar umaintegral. A avaliação pode envolver váriassubstituições sucessivas ou diferentes tipos ou atécombinar a integração por partes com uma ou maissubstituições.

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1. Introdução

Nos exemplos a seguir indicamos o método deataque, mas não trabalhamos totalmente as integrais.

21

2. Resolução de exemplos

Exemplo 1: Calcule a integral

3

3

tgcos

xdx

x∫

22

2. Resolução de exemplos

Solução: Na Etapa no 1 reescrevemos a integral

33 3

3

tgtg sec

cosx

dx x x dxx

= ⋅∫ ∫

A integral é agora da forma

tg secm nx x dx⋅∫

comm ímpar; então usamos a dica dada na Aula no 50.

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2. Resolução de exemplos

Alternativamente, se na Etapa no 1 tivés-semos escrito

3 3 3

3 3 3 6

tg sen 1 sencos cos cos cos

x x xdx dx dx

x x x x= ⋅ =∫ ∫ ∫

então poderíamos ter continuado como se seguecom a substituição u = cos x.

3 2 2

6 6 6

sen sen 1 cossen sen

cos cos cosx x x

dx x dx x dxx x x

−= =∫ ∫ ∫

( )2 2

4 66 6

1 1( )

u uu u

du du u u du− −− −= − = = −∫ ∫ ∫

24

2. Resolução de exemplos

Exemplo 2: Calcule a integral

xe dx∫

25

2. Resolução de exemplos

Solução: De acordo com a Etapa no 3(d)(ii)substituímos

u x=

Então x = u 2, assim dx = 2du e

2x ue dx ue du=∫ ∫

O integrando é agora um produto de u e dafunção transcendental eu e, dessa forma, pode serintegrado por partes.

26

2. Resolução de exemplos

Exemplo 3: Calcule a integral

5

3 2

13 10x

dxx x x

+− −∫

27

2. Resolução de exemplos

Solução: Nenhuma simplificação algébrica ousubstituição é óbvia, por isso as Etapas no 1 e no 2não se aplicam aqui. O integrando é uma funçãoracional, então aplicamos o procedimento da Aulano 46, lembrando que a primeira etapa é dividir.

28

2. Resolução de exemplos

Exemplo 4: Calcule a integral

ln

dx

x x∫

29

2. Resolução de exemplos

Solução: Aqui a Etapa no 2 é tudo o que énecessário. Substituímos u = ln x porque suadiferencial é du = dx/x, que ocorre na integral.

30

2. Resolução de exemplos

Exemplo 5: Calcule a integral

11

xdx

x−+∫

31

2. Resolução de exemplos

Solução: Embora a substituição racionalizante

11

xu

x−=+

funcione aqui [Etapa no 3(d)(ii)], isso leva a umafunção racional muito complicada. Um método maisfácil é fazer alguma manipulação algébrica [comona Etapa no 1 ou na Etapa no 4(c)].

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2. Resolução de exemplos

Multiplicando o numerador e o denominador por

1 ,x−

temos

2 2 2

1 1 11 1 1 1

x x xdx dx dx dx

x x x x

− −= = −+ − − −∫ ∫ ∫ ∫

1 2

2 2

1sen 1

1 1

xdx dx x x C

x x−= − = + − +

− −∫ ∫

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3. Observações

A questão surge: nossa estratégia deintegração nos permitirá encontrar a integral paratoda função contínua? Por exemplo, podemos usarnossa estratégia para avaliar

2

?xe dx∫

A resposta é não, ao menos não em termosdas funções que nos são familiares.

34

3. Observações

As funções com as quais temos lidado atéagora são chamadas funções elementares. Essassão as funções polinomiais, as racionais, as depotência (xn), as exponenciais (ax), as logarítmicas,as trigonométricas e suas inversas e todas aquelasque podem ser obtidas pelas operações de adição,subtração, multiplicação, divisão e composição. Porexemplo, a função

( )2

sen23

1( ) ln cosh

2 1xx

f x x xex x

−= + −+ −

é uma função elementar.

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3. Observações

Se f é uma função elementar, então f ’ éuma função elementar, mas

não é necessariamente uma função elementar.Considere

( )f x dx∫

2

( ) .xf x e=Como f é contínua, sua integral existe e definimosa função F por

2

0

( )x

xF x e dx= ∫

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3. Observações

Então sabemos pelo Teorema do Cálculo que

Então

tem uma antiderivada F, mas pode-se provar que Fnão é uma função elementar.

2

( ) .xF x e′ =

2

( ) xf x e=

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3. Observações

Isso significa que não importa o quantotentamos, nunca teremos sucesso em avaliar

em termos das funções que conhecemos. Contudo,no estudo das séries, veremos como expressar aintegral acima como uma série infinita.

2xe dx∫

38

3. Observações

O mesmo pode ser dito das integrais aseguir:

xedx

x∫

3 1x dx+∫

( )2sen x dx∫

1ln

dxx∫

( )cos xe dx∫

senxdx

x∫