Capítulo 5 - Universidade de Coimbra · Oscilador de van der Pol: modelizar a actividade...
19
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 1 Capítulo 5 COMPORTAMENTO DOS SISTEMAS NÃO LINEARES E CAÓTICOS
Transcript of Capítulo 5 - Universidade de Coimbra · Oscilador de van der Pol: modelizar a actividade...
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 1
Capítulo 5
COMPORTAMENTO DOS SISTEMAS NÃO LINEARES
E CAÓTICOS
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 2
Estados de equilíbrio de sistemas lineares
x ' = - 2 x + uy ' = - 3 y + u
u = 0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
x ' = 2 x + uy ' = 3 y + u
u = 0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
x ' = y y ' = - 3 x + y + u
u = 0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
x ' = y y ' = - 3 x + u
u = 0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
x ' = v v ' = - (k x + d v)/m
m = 1d = 1
k = 3
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
v
x ' = A x + B y + uy ' = C x + D y + u
C = - 2u = 0
B = 2D = - 3
A = 2
-6 -4 -2 0 2 4 6-6
-4
-2
0
2
4
6
x
y
Nó estável (poço-sink, attractor): Foco estável (poço-sink, atractor)
Nó instável (fonte-source, repelling) Foco instável (fonte-source, repelling): Um centro
Ponto sela
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 3
presa ' = (a - b predador) presa predador ' = (p presa - c) predador
b = 0.01p = 0.005
a = 0.4c = 0.3
0 20 40 60 80 100 120
0
10
20
30
40
50
60
70
80
presa
pred
ador
Modelo de Lotka-Volterra
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 4
torsão, nulaK=0
suporte, sem atrito, B=0
L, comprimento
θposição angular m,
massa total
m.gm.g.L.senθ
θ ' = ω ω ' = - sin(θ) - D ω
D = 0
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
θ
ω
Pêndulo rígido sem
atrito
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 5
x ' = (x - 1 ) 2 - uy ' = (y - 2 ) 2 - u
u = 1
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
•2
1 1 2•
22 2
( -1)
( - 2)
x x u y x
x x u
= − =
= −Exemplo com 4 singularidades
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 6
x ' = (x - 1 ) 2 - uy ' = (y - 2 ) 2 - u
u = 1
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
Estável ou instável ?
Estabilidade local
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 7
x ' = (x - 1)2 - uy ' = (y - 2)2 - u
u = 1
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
2.9999
2.9999
2.9999
3
3
3
3
3
3.0001
3.0001
3.0001
x
y
Incerteza nas condições iniciais …
… impossível predizer o comportamento futuro
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 8
E.N. Lorenz em 1992 :
“Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas ?”
Caos !!!!...
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 9
Oscilador de van der Pol : modelizar a actividade oscilatória do coração humano
22
2 (1 ) 0 c>0dx dxc x xdt dt
− − + =
3
3dx xc y xdtdy xdt c
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
3
31 ( 2 )
dx xc y xdtdy x Bsen ftdt c
π
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= − −
Com excitação externa:
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
x
3
3dx xc y xdtdy xdt c
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
Sem excitação externa
fn=1/T=0,11 Hertz.
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 11
Com excitação externa
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
x
excitação f=0,09 Hz resposta f ≅ 0,09 Hz
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
x
excitação f=0,13 Hz resposta f ≅ 0,13 Hz
… princípio do pacemaker
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 12
Bifurcações e caos
21 (1 ) ( ), [0,1]k k k k kx Ax x A x x x+ = − = − ∈
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Geraçao
Pop
ulaç
ao
A=2,8
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
GeraçaoP
opul
açao
A=3
A=2,8 A=3
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 13
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Geraçao
Pop
ulaç
ao
A=3,5
A=3,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Geraçao
Pop
ulaç
ao
A=3,3
A=3,3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Geraçao
Pop
ulaç
ao
A=3,55
A=3,55
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Geraçao
Pop
ulaç
ao
A=3,6
A=3,6
Período 2 Período 4
Período 8 Caos !!!
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 14
Bifurcações
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 15
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 16
O delta de Feigenbaum
1
1
n nn
n n
A AA A
δ −
+
−=
−
4,66920161...limn
nδ→∞
=
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 17
Exemplos de sistemas fisiológicos com comportamento caótico
Regulação da densidade de neutrófilos no sangue
Variabilidade cardivascular
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 18
• A representação de estado aplica-se de igual modo aos sistemas lineares e não lineares, variantes ou invariantes.
• No caso linear obtém-se uma representação matricial. As propriedades dinâmicas do sistema são dependentes dos valores próprios da matriz de estado, tal como são dependentes dos pólos da função de transferência na representação no domínio complexo
• Os sistemas não lineares podem ter zero, um ou vários estados de equilíbrio para a a mesma entrada. Alcançam um ou outro conforme as condições iniciais.
• Aproximando as funções de estado e de saída pela série de Taylor nos pontos de equilíbrio, desprezando os termos de ordem superior à primeira, obtém-se um sistema linearizado.
Conclusão
FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/2007/@ADC 19
Tudo o que estudámos é fundamental para modelizar processos fisiológicos:
• Analogias e sistemas análogos
• Obtenção das equações diferenciais
• Função de transferência
• Espaço de estados
• Curvas de fase
• Sistemas não lineares e comportamentocaótico
• Implementação em Matlab/Simulink
