Aula de Exercícios F 589...Exercício4 x = 2 L „ L 0 xsen2 3ˇ L x dx = L 2 2 x2 2 L „ L 0...

Aula de Exercícios F 589

Hítalo Rodrigues Mendes

Átomo de Bohr

Poço de Potencial Infinito

Átomo de Hidrogênio

12 de Novembro de 2018

H.R. Mendes (F 589) 12 de Novembro de 2018 1 / 26

Exercício 1

a) Um fóton de 10,9 eV incidindo sobre um átomo de hidrogênio que está noseu estado fundamental pode excitar o átomo? Explique sua resposta em nomáximo oito linhas.b) Um elétron de energia cinética 10,9 eV incidindo sobre um átomo dehidrogênio que está no seu estado fundamental pode excitar o átomo?


Exercício 2

Átomos de hidrogênio estão em seu terceiro estado excitado.a) Qual seria a energia mínima requerida para ionizar um desses átomos?Você pode desprezar a energia cinética de recuo do átomo no processo.

Terceiro estado excitado ? n = ?

O que é ionizar ?


Exercício 2

b) Usando o modelo de Bohr, quantas linhas espectrais poderão ser emitidasquanto esses átomos retornarem ao estado fundamental?

Estado fundamental ? n = ?c) Faça um diagrama dos níveis de energia de um átomo e mostre no seudiagrama a quais transições correspondem as linhas espectrais que você listouno item anterior.


Exercício 2

d) Encontre o menor e o maior comprimento de onda dentre os fótons quepodem ser emitidos por esses átomos.

e) Suponha que inicialmente havia 6000 átomos e que todas as transiçõesentre os estados sejam igualmente prováveis (isto NÃO é verdade, mas seráadotado aqui como argumento apenas!). Qual será o número total de fótonsemitidos depois que todos os átomos retornaram ao estado fundamental?


Exercício 3

Calcule os valores esperados⟨x⟩,⟨x2⟩, ⟨p

⟩,⟨p2⟩ para o estado n = 3 de um

poço de potencial infinito descrito por

V =

∞ x < 00 0 ≤ x ≤ L∞ x > L

ψ3(x) =

√2L

sen(3πL

x)

Lembrando que: ⟨f (x)

⟩=

∫ ∞

−∞

ψ∗(x) · f (x) · ψ(x)dx


Exercício 4

⟨x⟩=

2L

∫ L

0xsen2

(3πL

x)dx =

L2⟨

x2⟩ = 2L

∫ L

0x2sen2

(3πL

x)dx =

(6π2 − 1)L2

18π2 ≈ 0, 327L2

⟨p⟩=

∫ L

0

√2L

sen(3πL

x)pop

√2L

sen(3πL

x)dx

Lembrando, operador momento linear = −i~∂

∂x

∂

∂x

(√2L

sen(3πL

x))= 3π

√2L3 cos

(3πL

x)


Exercício 4

⟨p⟩= i~

6πL2

∫ L

0cos

(3πL

x)sen

(3πL

x)dx = 0

⟨p2⟩ = ∫ L

0

√2L

sen(3πL

x)p2op

√2L

sen(3πL

x)dx

Com,

p2op = −~

2 ∂2

∂x2

Portanto,

∂2

∂x2

(√2L

sen(3πL

x))= −

9π2√2L2 sen

(3πL

x)

⟨p2⟩ = ~2 18π2

L3

∫ L

0sen2

(3πL

x)dx =

9π2~2

L2


Exercício 4

Observação 1:A incerteza de uma medida (f(x)) pode ser obtida a partir da equação:

∆ f (x) =√⟨

f (x)2⟩−

⟨f (x)

⟩2

Para o caso de x temos que⟨

f (x)2⟩≈ 0,327L2 e

⟨f (x)

⟩2 = 0,25L2 então∆x ≈ 0, 28L.Para o caso momento ∆p =

3π~L

. Portanto:

∆x∆p ≈ 2, 63~ >~

2Obedece o princípio de incerteza de Heisenberg !!!


Exercício 4

Observação 2:E a energia média ?

Ψ(x, t) =

√2L

sen(3πL

x)e−iEn t/~

⟨E⟩=

∫ L

0Ψ ∗ (x, t)EopΨ(x, t)dx

Operador energia = i~∂

∂t

∂

∂tΨ(x, t) = −

iEn

~

√2L

sen(3πL

x)e−iEn t/~


Exercício 4

⟨E⟩=

2En

L

∫ L

0sen2

(3πL

x)dx = En

⟨E2⟩ = ∫ L

0Ψ ∗ (x, t)(Eop)

2Ψ(x, t)dx

E2op = −~

2 ∂2

∂t2

∂2

∂t2Ψ(x, t) = −E2n

~2

√2L

sen(3πL

x)e−iEn t/~

⟨E2⟩ = 2E2

n

L

∫ L

0sen2

(3πL

x)dx = E2

n


Exercício 4

Portanto a incerteza da energia é:

∆E =√

E2n − E2

n = 0


Exercício 5

Uma partícula é confinada a uma caixa tridimensional de lados Lx = L,Ly = 2L e Lz = L. Determine a função e a energia para o caso geral. E emseguida determine a função de onda para os 4 estados de menor energia ? Hádegenerescências ?

ψnx,ny,nz (x, y, z) = Asen(nxπxL

)sen

(nyπy

2L

)sen

(nzπzL

)Normalização:∫ L

z=0

∫ 2L

y=0

∫ L

x=0A2sen2

(nxπxL

)sen2

(nyπy

2L

)sen2

(nzπzL

)= 1

A2 L3

4= 1 → A =

2√

L3


Exercício 5

Enx,ny,nz =h2

8mL2

(n2x +

n2y

4+ n2

z

)

nx ny nz Enx,ny,nz

/ h2

8mL21 1 1 9/41 2 1 32 1 1 21/41 1 22 2 1 61 2 1


Exercício 6

a) Hidrogênio, deutério e hélio mono-ionizado são exemplos de átomos de umelétron. Faça uma previsão da razão entre as energias destes átomos em ummesmo estado.

En = −Z2µe4

8ε20 h2

1n2 = AnZ2µ

Estado fundamental n = 1. µ é a massa reduzida dada pela equação:

µ =mnucme

mnuc + me= me

(1 −

me

mnuc

)


Exercício 6

mH = mp

mD ≈ 2mp

mHe ≈ 4mp

ZH = 1ZD = 1ZHe = 2

Dado que me

mnuc= 1

1836

EH = Anme

(1 −

11836

)(1)2 = 0, 9995Anme

ED = Anme

(1 −

12 · 1836

)(1)2 = An0, 9997Anme

EHe = Anme

(1 −

14 · 1836

)(2)2 = 3, 9995Anme


Exercício 6

ED

EH= 1, 0002 e

EHe

EH= 4, 0015

b) Um átomo de hidrogênio muônico é um átomo que contém um múon (µ) nolugar do elétron. Qual seria o valor da razão entre a energia de um átomo dehidrogênio muônico e um eletrônico ?Dados: massa do próton: mp = 938,27 MeV/c2, massa do múon: mµ =105,7 MeV/c2.

mµ

mp= 0, 112

Eµ = Anmµ

(1 − 0, 112

)(1)2 = 0, 887mµ

EµEH= 0, 888

mµ

me= 183, 64


Exercício 7

Para o estado n =2, l = 1 e m = 0 do átomo com um elétron determine:a) A densidade de probabilidade.

ψ210 =1

4√

2π

(Za0

)3/2 Zra0

e−Zr/2a0 cosθ

Densidade de probabilidade = ψ∗210 · ψ210 = |ψ210 |2

|ψ210 |2 =

132π

(Za0

)4r2e−Zr/a0 cos2θ


Exercício 7

b) A densidade de probabilidade radial.

ψ210 =1

4√

2π

(Za0

)3/2 Zra0

e−Zr/2a0 cosθ

Densidade de probabilidade radial:

P(r) ≡ R∗(r)R(r)4πr2

P(r) = Ar4e−Zr/a0

Normalização:∫ ∞

0P(r)dr = 1∫ ∞

0Ar4e−Zr/a0 dr = 1


Exercício 7

A24a5

0Z5 = 1 ⇒ A =

Z5

24a50

Portanto,

P(r)dr =Z5

24a50

r4e−Zr/a0 dr

c) o raio em que a probabilidade é máxima.

dPdr= A

[4r3 −

Zr4

a0

]e−Zr/a0

dPdr= 0 ⇒ r3

(4 −

Zra0

)e−Zr/a0 = 0


Exercício 8r = 0, r = 4a0/Z e r→∞

Para r ≥ 0,r = 0 e r→∞ são mínimos e r = 4a0/Z é o ponto onde a densidadede probabilidade é máxima.

d) o raio médio.

⟨r⟩=

∫ ∞

∞

Z5

24a50

r5e−Zr/a0 = 120a6

0Z6

Z5

24a50=

5a0Z


Exercício 8

Substitua a autofunção ψ100, estado fundamental, na equação de Schroedingerindependente do tempo para o átomo de hidrogênio e verifique que ela resultano auto valor E1 = -13,6 eV.

ψ100 =1√π

(1a0

)3/2e−r/a0

Equação de Schroedinger para coordenadas esféricas:

−~2

2µ

[1r2

∂

∂r

(r2 ∂ψ100

∂r

)+

1r2senθ

∂

∂θ

(senθ

∂ψ100∂θ

)+

1r2sen2θ

∂2ψ100

∂φ2

]+U(r)ψ100 = Eψ100


Exercício 8

∂ψ100∂θ

= 0

∂ψ100∂φ

= 0

1r2

∂

∂r

(r2 ∂ψ100

∂r

)=

Ae−r/a0

a0

(1a0−

2r

)[−~2

2µa0

(1a0−

2r

)−

e2

4πr

]ψ100[

−~2

2µa20+

1r

(~2

µa0−

e2

4πr

)]ψ100


Exercício 8

a0 - raio de Bohr

a0 =ε0h2

πµe2[−

µe4

8ε2h2 +1r

(e2

4πε0r−

e2

4πε0r

)]ψ100 = −

µe4

8ε2h2ψ100 = −13, 6ψ100


Exercício 9

a) Calcule o valor esperado da energia potencial⟨U

⟩e da energia cinética

⟨K⟩

no estado fundamental do átomo de hidrogênio.

ψ100 =1√π

(1a0

)3/2e−r/a0


Exercício 10

Qual a probabilidade de que um elétron no estado fundamental do hidrogênioseja encontrado dentro do núcleo ?


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