Post on 14-Dec-2018
2
2
Objetivos deste Curso1. Desenvolver modelos matemáticos
apropriados para otimização de processos 2. Entender os algoritmos de otimização3. Aplicar os algoritmos de otimização 4. Resolver problemas de otimização5. Objetivo não-prioritário:
desenvolver e/ou implementar algoritmos.
3
3
1. Experiência2. Modelos3. Métodos numéricos4. Procedimentos e informações confiáveis.
Requesitos para fazer otimização:
4
4
Programa1. Definição de um problema de otimização2. Métodos para solução de problemas sem
restrições3. Métodos para solução de problemas com
restrições4. Aplicação num problema proposto,
formulado, desenvolvido e resolvido pelas equipes (máximo de 2 alunos por equipe)
5. Estudo de casos.
5
5
ProgramaP1: Introdução e ObjetivosP2: Conceitos MatemáticosP3: Formulação Matemática: FO e FR’sP4: Otimização Unidim. Sem RestriçõesP5: Otimização Multidim. Sem RestriçõesP6: Aplicações de OMSRP7: Otimização Multivariável C/ RestriçõesP8: Aplicações OMCR ProcessosP9: Seminário com apresentação dos trabalhos
desenvolvidos.
6
6
• Maximização do lucro• Minimização dos custos• Melhoria da qualidade• Aumento da segurança
operacional • Diversificação da produção• Aumento da produção• Minimização do impacto
ambiental negativo• Maximização da
eco2-eficiência
• Troca da tecnologia• Aperfeiçoamento do
processo• Melhoria da gestão• Controle estatístico do
processo (CEP)• Controle automático do
processo (CAP)• Integração de processos:
HEN, MEN, M&HEN• Otimização das condições
operacionais
Ferramentas para aumento da Produtividade
Objetivos Ferramentas
7
7
Otimizaçãodefinição filosófica:
“A oposição dos contrários é a condição de transformação das coisas e, ao mesmo tempo, princípio e lei.
O estado de estabilidade, de concordância e de paz é apenas a confusão das coisas no abrasamento geral.
O que é contrário é útil e é daquilo que está em luta que nasce a mais bela harmonia.
Tudo se faz por discórdia.”Heráclito de Efeso
8
8
Otimizaçãooutras definições possíveis: Campo da matemática dedicado ao
desenvolvimento de métodos eficientes de determinação de máximos e mínimos de funções de uma ou mais variáveis
A ciência que determina as melhores soluções para certos problemas físicos; problemas que são descritos por modelos matemáticos.
9
9
Definição apropriada para Otimização:
Busca da melhor solução,
entre as possíveis soluções,
que atenda a um critério estabelecido previamente.
11
11
APLICAÇÕES DA OTIMIZAÇÃO
Otimização “off-line”Projeto de equipamentosSíntese de processosAmpliação de processosIntegração (retrofit) de processosAjuste/identificação de modelos estáticos ou dinâmicosReconciliação de dados
Otimização em linha (“on-line”)Identificação de modelos estáticos e/ou dinâmicosControle adaptativoControle ótimoReconciliação de dadosPontos operacionais ótimos.
12
12
Antes de otimizar a base deve estar firme
Controle Preditivo
Otimização
Instrumentação (sensores e atuadores)
ERP
Controle básico
Controle avançado no SDCD
PROCESSO
ORGANIZAÇÃO
Enterprise Resources Planning – sistemas de
gestão corporativa
13
13
OTIMIZAÇÃO DAS CONDIÇÕES OPERACIONAIS
QUALIDADE
QUANTIDADESEGURANÇA e MEIO AMBIENTE
Investimento Inicial
PID + CA +MPC +
OTIMIZAÇÃO
PID + Ctrl.Avançado +Controle Preditivo
Multivariável (MPC)
Investimento Inicial
PID + Controle Avançado (Feedforward + Inferencial + Ganho não linear + ...)
Investimento Inicial
Controladores (PID)
Investimento Inicial
14
14
Etapas p/ solução de problemas1. Definir os objetivos = formular a pergunta2. Estudo e análise qualitativa
Quais as ferramentas adequadas Nova tecnologia Seis Sigma, CEP CAP ... Otimização
3. Estudo e análise quantitativa Escolha a ferramenta técnica-econômica-ambiental adequada Avaliação técnico-econômica a priori
4. Aplicação da ferramenta escolhida5. Análise de sensibilidade e validação6. Avaliação técnico-econômica a posteriori7. Auditoria continuada ≡ manutenção continuada.
15
15
Solução geral de um problema de otimização
1. Definir os objetivos econômicos e ambientais2. Estudo e análise qualitativa3. Estudo e análise quantitativa - Modelo de otimização
a) Função Objetivob) Variáveis de decisãoc) Restrições de mercado, ambientais, técnicas e modelo matemático
4. Simplificação do problema5. Mapeamento da função objetivo (variação das VD’s)6. Aplicação dos algoritmos de otimização
a) Escolha do algoritmob) Definição dos parâmetros do método numéricoc) Normalização do modelod) Execução do algoritmo
7. Análise de sensibilidade e validação (variação dos parâmetros)8. Implantação da solução obtida9. Avaliação técnica e econômica da otimização10. Auditoria continuada = manutenção continuada.
16
16
Mapeamento da Função Objetivo
Como a Função Objetivo varia com os valores das variáveis de decisão (de projeto):1. Avaliar sensibilidade da FO às VD’s2. Definir região viável3. Definir estimativa inicial4. Detectar erros de modelagem ou outros erros5. Avaliar o valor da FO6. Conhecer melhor o problema
o MAPEAMENTO será tão extenso quanto for sua ignorância.
17
17
Mapeamento da FOExemplo: Z = sen(R)/R; R2 = X2 + Y2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Gráfico bidimensional
10-0.5
0.5
0
1
-10-5
05
10
-10-5
05
Gráfico tridimensional
18
18
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-0.2
-0.2
0
0
0
0
0
0
0.20.4
0.6
0.8
Curvas de nível
-10-5
05
10
-10-5
05
10-0.5
0
0.5
1Gráf. trid. c/ curvas de nível
Curva de nível pseudo-colorida
0 200 400 600 800 1000 1200-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Valores alinhados da função
19
19
Exemplo de otimização:Programação de produção de uma refinaria
REFINARIADE
PETRÓLEO
Petróleo 1
X1= 24 R$/t
Petróleo 2
X2= 15 R$/t
G: X3= 36 R$/t
Q: X4= 24 R$/t
O: X5= 21 R$/t
A: X6= 10 R$/t
Qual a quantidade ÓTIMA de petróleo tipo 1 e tipo 2 a ser adquirida ?
Resposta: a que der o maior LUCRO
20
20
Exemplo de otimização:Programação de produção de uma refinariaFO: maximizar o lucro = max L = Receita - Custo
Receita = ∑$j.Produçãoj = 36x3 + 24x4 + 21x5 + 10x6Custo = custo matéria-prima + custo processamentocusto matéria-prima = 24x1 + 15x2custo processamento = 0,5x1 + 1,0x2
FR’s: quanto ao rendimento de cada produtoGasolina: 0,80x1 + 0,44x2 = x3Querosene: 0,05x1 + 0,10x2 = x4Óleo combustível: 0,10x1 + 0,36x2 = x5Resíduo: 0,05x1 + 0,10x2 = x6.
21
21
FR’s: quanto à capacidade total de produçãoGasolina: x3 < 24 ou 0,80x1 + 0,44x2 < 24Querosene: x4 < 2 ou 0,05x1 + 0,10x2 < 2Óleo combustível: x5 < 6 ou 0,10x1 + 0,36x2 < 6
FR’s: quanto à natureza das variáveisxi > 0 , i = 1, 2, ..., 6
Portanto: max f(x) = 8,1x1 + 10,8x2
submetido a: xi > 0 , i = 1, 20,80x1 + 0,44x2 < 24 (A)0,05x1 + 0,10x2 < 2 (B)0,10x1 + 0,36x2 < 6 (C).
Exemplo de otimização:Programação de produção de uma refinaria
22
22
Mapeamento de uma função objetivo
Item VD1=X1 VD2=X2 FO FR1 FR2 FR3
1 5 12 10 33 15 54 25 75 30 96 35 117 40 13
max f(X) = 8,1.X1 + 10,8.X2
s. a: xi > 0 , i = 1, 20,80.X1 + 0,44.X2 < 24 (FR1)0,05.X1 + 0,10.X2 < 2 (FR2)0,10.X1 + 0,36.X2 < 6 (FR3)
23
23
Região viável:
Vamos ao EXCELL
Exemplo de otimização:Programação de produção de uma refinaria
max f(x) = 8,1x1 + 10,8x2
s.a: xi > 0 , i = 1, 20,80x1 + 0,44x2 < 24 (A)0,05x1 + 0,10x2 < 2 (B)0,10x1 + 0,36x2 < 6 (C).
24
24
Exemplo de otimização:Programação de produção de uma refinaria
REFINARIADE
PETRÓLEO
Petróleo 1
X1= 26,2 t/h
Petróleo 2
X2= 6,9 t/h
Gasolina: X3= 24,0 t/h
Querosene: X4= 2,0 t/h
Óleo comb.: X5= 5,1 t/h
Asfalto: X6= 2,0 t/h
Lucro máximo = 287 000 reais / hora
25
25
Análise de sensibilidade aos PARÂMETROS
Item p1 p2 p3 FR1 FO X1 X2
1 8,0 10,8 0,44 e 0,36 242 8,1 10,8 0,44 e 0,36 24 287 26 73 8,2 10,8 0,44 e 0,36 244 8,1 10,7 0,44 e 0,36 245 8,1 10,9 0,44 e 0,36 246 8,0 10,7 0,44 e 0,36 247 8,2 10,8 0,48 e 0,32 24
max f(X) = 8,1.X1 + 10,8.X2
s. a: xi > 0 , i = 1, 20,80.X1 + 0,44.X2 < 24 (FR1)0,05.X1 + 0,10.X2 < 2 (FR2)0,10.X1 + 0,36.X2 < 6 (FR3)
26
26
Análise de sensibilidade às RESTRIÇÕES
Item FR1 FR2 FR3 FO ∆FO X1 X2
1 23 2 62 24 2 6 287 0 26 73 25 2 64 24 1 65 24 2 66 24 3 67 24 2 7
max f(X) = 8,1.X1 + 10,8.X2
s. a: xi > 0 , i = 1, 20,80.X1 + 0,44.X2 < 24 (FR1)0,05.X1 + 0,10.X2 < 2 (FR2)0,10.X1 + 0,36.X2 < 6 (FR3)
27
27
Qual a relação custo/benefício atual e qual a esperada com a implantação
da otimização? Onde otimizar? Alto consumo de matéria-prima Alto consumo de energia Produção elevada Produtos de grande valor econômico Limites operacionais rígidos Produção diversificada e flexível Perdas elevadas.
28
28
OTIMIZAÇÃO EM-LINHA em 3 camadas ou em 2 camadas
OTIMIZADORAPC - MPC
PROCESSO
Variá
veis
Man
ipul
adas
Variá
veis
de
Proc
esso
DCS – SDCD - PLC
OTIMIZADORNÃO LINEAR
PROCESSO
CONTROLADOR APC - MPC
Setpoints
VariáveisManipuladasVa
riáve
is d
e Pr
oces
so
DCS – SDCD - PLC
29
29
Estudos de otimização Cursos de Especialização (CEASI, CECAPI,
CEEGAN 1, CICOP 1, CICOP 2 e CICOP 3), cursos e dissertações de mestrado com aplicações em 23 processos reais
DUPONT (ex-GRIFFIN) ELEKEIROZ (ex-CIQUINE) MONSANTO BRASKEM-UNIB DOW BRASKEM-PE1 (ex OPP)
30
30
Aplicação da metodologia em CONTROLE - GRIFFIN
• Coluna de destilação de isômeros da GRIFFIN• 15 anos em malha aberta
• Instrumentação - OK• Processo - OK• Estrutura de controle (PVs, MVs e PV-MV) - OK• Algoritmo de controle - OK• SINTONIA? - CAUSA RAIZ
• Resultados• Malha fechou na primeira implementação
• Ganho do controlador 10 vezes maior que o típico
• Tempo integral 20 vezes maior que o típico
• Retorno econômico –US$ 100.000/ano em vapor
31
31
Aplicação da metodologia em OTIMIZAÇÃO – BRASKEM-PE1
• Operação do reator em baixa carga• Condição operacional atípica
• Instrumentação - OK• Processo - CAUSA RAIZ• Estrutura de controle (PVs, MVs e PV-MV)• Algoritmo de controle• Sintonia
• Resultados• Mudança na política operacional• Retorno econômico R$ 410.000/ano em etileno
• Otimização das condições operacionais• Não necessita de investimento de capital• Ganho potencial R$ 1 750 000 por ano
32
32
Aplicação da metodologia em OTIMIZAÇÃO - MONSANTO
• Troca de matéria prima da MONSANTO• Duas matérias primas
• Uma mais nobre e mais cara• Outra com mais contaminantes e mais barata• Limitação quanto ao contaminante
• Resultados• Mudança na política de compra
• De 20 % do mais barato• Para 30 % do mais barato
• Retorno econômico –US$ 800.000/ano
33
33
Aplicação da metodologia em OTIMIZAÇÃO - ELEKEIROZ
• Operação ótima de colunas de destilação • Resultados
• Para cada coluna retorno econômico de R$ 600.000,00/ano US$ 170.000,00/ano
• 3 colunas:R$ 1.800.000,00/anoUS$ 510.000,00/ano
34
34
Otimização das condições operacionais de um conversor de acetileno
Caso BRASKEM - UNIB
estimativa do tempo ótimo de campanha
controlador preditivo multivariável
cálculo da condições operacionais ótimaspara os dias restantes da campanha
trocaro leito
Sim
Não
"Setpoint'
35
35
Comparação entre campanhas com tempo real e ótima
Conclusão: Sem investimento, reduzindo o tempo de campanha, ganha-se US$ 1.408.000 ano.
Item Real Ótima
Nº campanhas 1 3
Duração (dias) 231 77
Lucro diário US$/dia 6.600,00 10.500,00
Lucro em 231 dias US$ milhões 1,5 2,5
36
36
Otimização das condições operacionais de um conversor de acetileno
estimativa do tempo ótimo de campanha
controlador preditivo multivariável
cálculo da condições operacionais ótimaspara os dias restantes da campanha
trocaro leito
Sim
Não
"Setpoint'
37
37
FO: tr fixo, dia-a-dia e com FCO
f
62624242entt,entt,
2Hentt,
COf
t
0t
entt,HC
sait,HC
t2
entt,HC
sait,HC
t1fperdasfL
T,F,F,t
FFPFFPtCtCmax
f
o
62624242entt,entt,
2Hentt,
CO
t
tt
entt,HC
sait,HC
t2
entt,HC
sait,HC
t1
T,F,F
FFPFFPmax
tttt oo ,,1,para
FFPFFP entt,HC
sait,HC
t2
entt,HC
sait,HC
t1
T,F,F62624242
entt,entt,2H
entt,CO
max
38
38
FO: tr fixo, dia-a-dia e com FCO
f
62624242entt,entt,
2Hentt,
COf
t
0t
entt,HC
sait,HC
t2
entt,HC
sait,HC
t1fperdasfL
T,F,F,t
FFPFFPtCtCmax
f
o
62624242entt,entt,
2Hentt,
CO
t
tt
entt,HC
sait,HC
t2
entt,HC
sait,HC
t1
T,F,F
FFPFFPmax
39
39
Variáveis de decisão
valores iniciais das variáveis de decisãovariáveis de decisão no ponto ótimo
restrições operacionais
20 40 60 80 100 120 1400
10
20
30
CO
(kg/
h)
20 40 60 80 100 120 1400
100
200
H2
(kg/
h)
20 40 60 80 100 120 140
40
60
80
T en
trada
(ºC
)
Dias em Operação
40
40
Restrições Operacionais
valores iniciais das restriçõesvariáveis das restrições no ponto ótimo
restrições operacionais
50 100 1500
0.1
0.2
0.3
0.4C
2H2
saíd
a (%
mol
)
50 100 15
200
400
600
800
1000
H2
saíd
a (p
pm m
ol)
50 100 1501
1.2
1.4
1.6
1.8
2
H2/
C2H
2 en
trada
Dias em Operação50 100 15
70
80
90
100
110
120
T sa
ída
(ºC)
Dias em Operação
41
41
função objetivo no ponto ótimo (total = US$ 379 mil)
função objetivo no início da otimização (total = US$ 178 mil)
Diferença anual = US$ 520 mil.
20 40 60 80 100 120 140
0
1
2
3
4
5
Funç
ão O
bjet
ivo
(1e3
US
$/di
a)
Dias em Operação
Função objetivo econômica na campanha
42
42
OTIMIZAÇÃO EM LINHA DE CONVERSOR DE ACETILENO
Caso BRASKEM-UNIB Otimizando o tempo de campanha
+ US$ 1,4 milhões/ano Otimizando as condições operacionais
+ US$ 500 mil/ano Total: US$ 1,9 milhões/ano Investimento de capital = zero Investimento apenas de hh
43
43
Otimização de plantas existentescom investimento necessário apenas emm hh
Empresa Tema Receita annual US$ milhões
BRASKEM-PE 1
Otimização do reator de polietileno US$ 700 mil / ano
BRASKEM-UNIB
Otimização do conversor de acetileno
I = 2 eng x 7.680 h = 15.360 hhUS$ 1.900 mil / ano
ELEKEIROZ (ex CIQUINE)
Otimização de 3 colunas de destilação
(purificação de butanos)US$ 600 mil / ano
MONSANTO Troca de matéria prima US$ 800 mil / anoMONSANTO produção de PCl3 US$ 330 mil / anoMONSANTO produção de PIA US$ 400 mil / ano
DOW coluna de lavagem de sal (SWC)
US$ 1.800 mil / ano e diminui 130 mil t / ano de H20
44
44
Softwares para otimização de processos:
ITENS BD termo.
Mét. num. e flexib. I H M
Ass. téc. local
Recon.dados $$$ Soma
ASPEN/HYSYS 5 3 5 5 1 1 20UNISIM 5 3 5 5 1 3 22
GPROMS 5 5 5 1 3 1 20EES 3 3 3 5 1 3 18
GAMS 1 5 3 3 5 3 20LINGO 1 3 3 3 3 3 16
MATLAB 1 3 3 5 3 1 16EMSO 3 5 3 5 5 5 26
45
45
Idiossincrasias dos softwares
Max f(x) = Min -f(x) Restrições de igualdade = 0 Restrições de desigualdade < 0 Mensagens incompletas ou
incompreensíveis Manuais mal escritos Exemplos inapropriados ...
46
46
Introdução e Definições A seleção natural estimula a otimização Otimização precisa informações
confiáveis:mercado fornecedor e consumidormercado financeirorecursos naturais e humanos disponíveislimitações de natureza física, social,
temporal, psicológica, etcmodelo do processo/sistema.
47
47
Referências Bibliográficas Principais Bazaraa, Mokhtar S. Nonlinear Programming: Theory and
Algorithms. Editora Wiley. Beveridge, G. S. and Schehter, R. S.; Optimization Theory and
Practice. McGraw-Hill, 1970. Traz uma discussão mais profunda a respeito dos fundamentos matemáticos em que os métodos de otimização são baseados
Himmelblau, D. M. and Edgar, T. F. Optimization of Chemical Process. McGraw-Hill, 1989. Livro essencial para quem quer iniciar e/ou aprofundar seus estudos sobre otimização de processos químicos. Código na Biblioteca da EP: 660.28 E23D
Himmelblau, D. M.; Process Analysis by Statistical Methods. Jonh Wiley & Sons, 1970. Livro que traz os algoritmos de vários métodos de otimização e aplica esses métodos principalmente ao ajuste de modelos matemáticos a dados experimentais
Kalid, Ricardo de A., Otimização de Processos Químicos. Departamento de Engenharia de Química, Universidade Federal da Bahia, material publicado em www.LACOI.ufba.br
Reklaitis, G. V.; Ravindran, A.; Ragsdell, K. M.; Engineering Optimization: Methods and Applications. Jonh Wiley & Sons, 1983. Livro importante e complementar ao de Himmelblau e Edgar (R1).
48
48
OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS INDUSTRIAIS
muitas perguntas ... uma solução:
ABORDAGEM SISTÊMICA & SISTEMÁTICA.
50
50
Por que Otimizar?
Promover ganhos econômicos- minimizar investimento- maximizar lucro total- maximizar lucro por unidade produzida- minimizar os custos operacionais- minimizar os custos de manutenção.
51
51
Por que Otimizar? (cont.)
Aumentar vantagens técnicas e operacionais- maximizar a produção- minimizar a produção insumos indesejáveis- minimizar consumo matéria-prima/energia- minimizar o tempo de batelada- minimizar a diferença entre o SP e a PV
Promover, simultaneamente, ganhos econômicos e operacionais.
52
52
Exemplos de Aplicação• Melhor localização de uma planta• Escalonamento do parque de tancagem• Dimensionamento e layout de pipelines• Projeto de plantas e/ou de equipamentos• Escalonamento de reposição e manutenção
de equipamentos• Planejamento e escalonamento da
construção de plantas;
53
53
Exemplos de Aplicação (cont.)
Ajuste de modelos matemáticos Minimização de inventário Alocação de recursos ou serviços entre
diferentes processos Operação de equipamentos e/ou
plantas.
54
54
Definição de um problema de otimização:
Busca da melhor solução,
entre as possíveis soluções,
que atenda a um critério estabelecido previamente.
55
55
Partes de um problema de otimização:- O propósito: a Função Objetivo (FO)- As limitações: Funções de Restrição (FR)- As variáveis de decisão
A solução é um ponto que maximiza ou minimiza um certo critério e que pertença à região viável
Para otimizar é essencial que seja possível manipular as variáveis de decisão (VD), graus de liberdade > 0
variáveis de decisão = variáveis de projeto.
Partes de um problema de otimização:
56
56
A Função Objetivo (FO)
Estabelece o alvo a ser alcançado Função matemática a ser maxi/minimizada Definida a partir de:
- critérios estritamente econômicos- critérios apenas técnicos/operacionais- critérios técnico-econômicos
Para sua formulação é necessário conhecer profundamente o processo a ser otimizado.
57
57
Variáveis de Decisão (VD)
No var. de decisão = No graus de liberdade (gl)
Se gl = 0 então não há como otimizar
As VD devem ter influência sobre a FO
Se a FO é extremamente sensível a uma VD é difícil reproduzir na prática o ponto ótimo.
58
58
As Restrições Capacidade máxima de processamento Temperatura e pressão absolutas > 0 0 < frações molares < 1 Fechamento dos balanços Capacidade de absorção do mercado Preço máximo de venda ou de compra Equações algébricas ou diferenciais Inequações algébricas ou diferenciais.
59
59
A Região Viável Região ou espaço de busca ou de
pesquisa Cuidado com a escolha da região viável Exemplo
FO:
sujeita a: 10 < x < 20.
max y
y a x b x c1
12 . .
-1600
-1400
-1200
-1000
10 12 14 16 18 20
-800
-600
-400
-200FO com restrição
60
60
Obstáculos à Otimização Não disponibilidade de dados ou de um
modelo matemático confiável do sistema Descontinuidades da FO ou da FR Não-lineraridade da FO ou da FR Interação entre as variáveis de decisão FO "achatada" ou exponencial a FO é multimodal perto do ponto ótimo IGNORÂNCIA dos benefícios IGNORÂNCIA das dificuldades.
61
61
Definição do Problema:a) Qual o objetivo a alcançar? b) Qual a função objetivo ?c) Quais as variáveis de decisão? d) Quais as restrições
(técnicas e/ou operacionais, econômicas e/ou mercadológicas) ?
e) Qual o modelo do processo (balanços de massa e energia) ?.
62
62
Otimização de Processos Químicos:Capítulo 2
Conceitos Matemáticos
Notas: Ricardo de Araujo Kalid.
63
63
Conceitos Matemáticos Compreensão intuitiva dos conceitos Para implementar algoritmos temos que
conhecer profundamente:- álgebra linear- cálculo diferencial- estatística (reconciliação e estimativa de parâmetros de modelos)- cálculo numérico.
64
64
Classificações para a FO: Quanto a continuidadecontínuadiscreta
Quanto a convexidadecôncava (têm um único máximo)convexa (têm um único mínimo);
65
65
É melhor que x* esteja afastado da descontinuidade Exemplo: projeto de tubulações
- realizar otimização discreta (+ complexa)- realizar otimização contínua e aproximar (sub-ótimo).
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1x 10 4 Função descontínua
0 5 10 15 20 25
300
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Função com derivada descontínua
66
66
Funções Côncavas e Convexas
Funções convexas e côncavas são unimodais
Função côncava:
Estritamente côncava:.
Função côncava
-40 -20 0 20 40 60-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
-40 -20 0 20 40 600
500
1000
1500
2000
2500
3000Função convexa
baba xfxfxxf 11
ba xfxff 1
67
67
-100 -50 0 50 100-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5x 10
4 Função Multimodal
Quanto ao número de pontos críticos.
-100 -50 0 50 100-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5x 10
4 Função Unimodal
68
68
Funções Unimodais e Multinodais
Funções com + de 1 pto. de máximo ou de mínimo
Todo extremo global é também local
Apenas um dos extremos locais é global
Métodos numéricos detectam apenas extremos locais, a menos que o problema seja convexo.
69
69
Definições
Matriz:
Matriz Identidade:
Vetor: .
nmnn
m
m
mxn
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
100001
0000100001
nxnI
nT xxxx
xn211
70
70
Operações básicas com matrizes e vetores
Igualdade: A = B aij = bij
Adição: A + B = C cij = aij + bij
Multiplicação: Anxm x Bmxr = Cnxr
Multiplicação de matriz por escalar:
Transposta de um produto de matrizes:
c a bij ik kjk
m
1
sA B s a bij ij .
AB B AT T T
71
71
Produto interno entre dois vetores:
Se os vetores são ortogonais
Inversa de uma matriz:
por exemplo
Determinante de uma matriz:|A2x2| = a11.a22 - a12.a21 .
x y x y x yTi i
i
n
,
1
x x xTi
i
n
2
1
x yT 0
A A A A I 1 1
z Ax A z x 1
72
72
Gradiente - derivada de uma função escalar de um campo vetorial:
11
2 2
n n
f xxx
f xf x
xgrad f x f x f x f x xx x
f xx x
73
73
matriz hessiana H(x):
1
2
1 11
2
22 22
T
nn n
n
f x f xx xx
f x f xf x f x
xH x f x x xx x x xx
f x f xxx x
x
fxH x
x
2 2 2
21 2 11
2 2 2
22 1 22
1 2
2 2 2
21 2
n
nn
n n n
f x f x f xx x x xx
f x f x f xx f x f x
x x x xxx x x
f x f x f xx x x x x
74
74
Dicas:
bx
xbT
Tx Az
Azx
T
Tx Ax
Ax A xx
2
Tx AxAx
x
2
2 2 .Tx Ax
Ax
e se A for simétrica
2
2
T
Tx Ax
A Ax
Tx b bx
75
75
Independência linear, matriz singular e rank
M é singular det(M) = 0 M é singular quando todos os elementos de
uma ou mais linhas (ou colunas) são nulos M é singular quando uma ou mais linhas
(colunas) da matriz tem dependência linear com outra(s) linha(s) (colunas)
Para matrizes quadradas linhas dependentes implicam em colunas dependentes.
76
76
Operadores linha ou coluna
aumente a matriz A com a matriz identidade:
pré-multiplique a matriz aumentada por A-1
A Aaug
A A A 1 1
77
77
Solução de sist. eq. lin.
Para b 0 e se a matriz |A| 0
bxaxaxa nn 2211
a a aa a a
a a a
xx
x
bb
b
Ax b
n
n
n n nn n n
11 12 1
21 22 2
1 2
1
2
1
2
x A b 1Ax b
78
78
Para b 0- Se posto de A = n existe uma solução- Se posto de A < n existem infinitas soluções ou a solução não existe
Se b = 0 - a solução é trivial se x = 0- a solução é não-trivial se x 0 e det[A] = 0
Então o sistema é indeterminado.
x A b 1Ax b
79
79
Graus de liberdade Um sistema com n incógnitas e r
equações:n > r gl = n - r > 0 otimizaçãon = r o sistema não tem graus de
liberdade: sistema linear tem apenas uma solução sistema não-linear pode ter + de uma solução
n < r gl < 0Se o sistema é linear então o mesmo está
sobre-determinado.
80
80
Autovalores e autovetores
Uma matriz Anxn tem n auto-valores/vetores
Por definição solução trivial: v = 0solução não-trivial: v ≠ 0 =>
Se todos os autovalores de A são > 0 existe a sua inversa.
vvA 0 vIA
0det IA
81
81
Estudo de função Condição necessária (função de 1 variável): f’(x*) = 0 x* é ponto estacionário x* é ponto crítico
é máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
0 100 200 300 400 5000
500
1000
1500
2000
2500
Função monovariável
82
82
Condição suficiente (função univariável): f’(x*) = 0 e f”(x*) > 0 x* é pto mínimo f’(x*) = 0 e f”(x*) < 0 x* é pto máximo f(x) = x4/3 x* = 0 é mínimo e f’’(x*) ñ
Condição necessária (função multivariável):
f’(x*) = 0 x* é pto. crítico
Condição suficiente (função multivariável):f’(x*) = 0 e H(x*) > 0 x* é pto. de mínimof’(x*) = 0 e H(x*) < 0 x* é pto. de máximo.
f xx
0
83
83
A hessiana determina a concavidade:- Se H(x) > 0 , f(x) é estritamente convexaH(x) é positiva-definida xTH x > 0Se todos os autovalores de H(x) positivos (>0)
- Se H(x) < 0 , f(x) é estritamente côncavaH(x) é negativa-definida xTH x < 0Se todos os autovalores de H(x) negativos (<0)
- Se H(x) > 0 ou < 0 a depender de x ,f(x) não é côncava nem convexa
- Se H(x) = 0 , f(x) é côncava/convexa e linear A soma de funções côncavas (convexas) é uma
função côncava (convexa).
84
84
Continuidade de funções f(x) é continua em xo se e somente se:
(a) f(xo) existe(b) lim f(xo) existe(c) lim f(xo) = f(xo)
f(x,y) é continua em (xo,yo) se e somente se:(a) f(xo,yo) existe(b) lim f(xo,yo) existe(c) lim f(xo,yo) = f(xo,yo)
85
85
Região Convexa Região de busca na qual todas as retas entre dois
pontos interiores estão contidas na região
Se uma região é definida por gi(x) > 0 todas côncavas região convexa fechada
Se uma região é definida por gi(x) < 0 todas convexas região convexa fechada.
Regiões convexas Regiões não convexas
86
86
Se na figura (c), a procura iniciar mais à esquerda será encontrado o máximo local.
Para achar o global convertemosa região para convexa.
(a) Ponto de máximo fora da região viável
(b) Ponto de máximo dentro da região viável
(c) Região não-convexa
87
87
Sendo a região convexa então:- Se a FO é côncava existe apenas um máximo- Se a FO é côncava existem + de um mínimo- Se a FO é convexa existe apenas um mínimo- Se a FO é convexa existem + de um máximo
Se a FO e suas FR’s são bem comportadas a otimização é facilitada
PROBLEMA CONVEXO Se a FO é côncava e a região viável é convexa um ponto de
máximo local = máximo global Se a FO é convexa e a região viável é convexa um ponto de
mínimo local = mínimo global
FO lineares são convexas e côncavas tem apenas um máximo e um mínimo local (global).
88
88
Condições Necessárias e Condições Suficientes para um Extremo de uma Função Expandindo f(x) em série de Taylor:
Para x* ser pto. de mínimo => f(x) - f(x*) > 0 como é < ou > que zero e tão pequeno quanto se queira
Logo a condição necessária para que x* seja ponto de mínimo é que gradiente f(x*) = 0 .
23
12
TTf x f x f x x x f x x O x
x T f x 0
T f x 0
89
89
Condição suficiente:
Se , então para que x*seja ponto de mínimo, pois é < ou > que zero e tão pequeno quanto se queira
Resumindo, para x* seja ponto de mínimo:
CN1: f(x) seja uma vez diferenciável no pto x*
CN2: , isto é, x* seja pto. crítico
CS1: f(x) seja duas vezes diferenciável no pto x*
CS2: e .
T f x 0 2 0f xx
T f x 0
2 0f x H x T f x 0
90
90
2.14. Interpretação da Função Objetivo em Termos de uma
Aproximação QuadráticaFO = função quadrática:
Os autovalores de H(x) no ponto x*identificam a natureza deste ponto.
2 20 1 1 2 2 11 1 22 2 12 1 2f x b b x b x b x b x b x x
91
91
2.14. Interpretação da Função Objetivo em Termos de uma
Aproximação QuadráticaFO = função quadrática:
Os autovalores de H(x) no ponto x*identificam a natureza deste ponto
Os autovetores de H(x) no ponto x* são paralelos aos eixos principais dos contornos de f(x)
f x b b x b x b x b x b x x 0 1 1 2 2 11 12
22 22
12 1 2
94
94
Otimização de Processos Químicos:Capítulo 3
Formulação Matemática de um Problema de Otimização
Notas: Profe. Ricardo de Araujo Kalid
95
95
Solução geral de um problema de otimização
1. Definir os objetivos2. Estudo e análise qualitativa 3. Estudo e análise quantitativa
Modelo de otimização – estabelecer:a) Função Objetivob) Variáveis de decisãoc) Restrições
4. Simplificação do problema5. Mapeamento da função objetivo6. Aplicação dos algoritmos de otimização7. Análise de sensibilidade e validação8. Implantação da solução obtida9. Avaliação técnica e econômica10. Auditoria continuada ≡ manutenção continuada.
96
96
Mapeamento da Função Objetivo
1. Avaliar sensibilidade da FO às VD’s2. Detectar erros grosseiros3. Adquirir sensibilidade sobre o problema4. Conhecer melhor o problema5. Definir estimativa inicial6. Definir região viável7. Avaliar o valor da FO
o MAPEAMENTO será tão extenso quanto for sua ignorância
97
97
Mapeamento da Função Objetivo
Como a Função Objetivo varia com os valores das variáveis de decisão (de projeto):
1. Avaliar sensibilidade da FO às VD’s2. Definir região viável3. Definir estimativa inicial4. Conhecer melhor o problema5. Detectar erros de modelagem ou outros erros6. Avaliar o valor da FO O mapeamento será tão extenso quanto for
sua ignorância.
98
98
Expressão matemática:A Função Objetivo (FO)
Variáveis de decisão: xAs Funções de Restrição (FR):
min f xx
( )
.0 e/ou
0 a sujeito
xgxh
Problema de otimização
99
99
A Função Objetivo (FO)
Traduzir para linguagem matemática- maximização (minimização) de algo
Não empregar expressões do tipo- construir um mundo melhor- desenvolver uma sociedade mais justa
Objetivos econômicos ou operacionais.
100
100
Objetivos Econômicos Maximizar o lucro: fluxo de caixadepreciaçãovalor presente e valor futuroinflaçãovida econômicataxa de retorno de investimentotempo de retornocustos de capital e operacional.
101
101
FO: Max lucros operacionais Reator a batelada com regeneração:x1 número de dias de operaçãox2 número de dias de regeneração
Hipóteses ou premissas:H1. Partida da planta nas manhãs: x1 + x2 inteiroH2. Inventário da carga é constante (q) [=] kg/diaH3. Custo constante da matéria-prima (C1) [=] $/kgH4. Valor constante do produto (C2) [=] $/kg H5. Custo constante da regeneração (C3) [=] $/kg H6. Atividade catalítica: A = 1 - K.x1
H7. Custo de separação desprezívelH8. Custo de recirculação negligenciável.
102
102
Reator batch c/ regeneração Qual a variável de projeto/decisão (VP)?
tempo ótimo de campanha (x1 + x2) FO: maximizar o lucro diário
lucro (L) = receita (R) - custo (C)R = preço venda (C2) x produção diária (PD)PD = produção total (PT) / no total de diasPT = vazão x atividade média x no de dias operaçãoC = custo matéria-prima (CMP) + custo regeneração(CR)CMP = preço matéria-prima (C1) x consumo diário (CD) CD = consumo total (CT) / no total de diasCR = custo regeneração por ciclo (C3) / no total de dias.
103
103
no total de dias = (x1 + x2)
L = f(q,x1,x2,C1,C2,C3,A) = R - C
R = C2.PD = C2.PT / (x1 + x2) = C2.q.Amed.x1 / (x1 + x2)
C = CMP + CR
CMP = C1.CD = C1.CT / (x1 + x2) = C1.q.x1 / (x1 + x2)
CR = C3 / (x1 + x2).
1 1
1
1
2
1 1 1 10 0 1
1 11
0
12 1
2
x x
med x
xAdx Kx dx x K xA Kx x
dx
Reator batch c/ regeneração
104
104
FO: max f(q,x1,x2,C1,C2,C3,A)
Derivando f(q,x1,x2,C1,C2,C3,A) em relação a x1 e igualando a zero:
P/ x2 = 2 , K = 0,02 , q = 1000 , C1 = 0,4C2 = 1 , C3 = 1000 => x1* = 12,97 ~ 13.
f q x x C C C AC qA x C qx C
x xmed, , , , , ,1 2 1 2 3
2 1 1 1 3
1 2
x x xK
xC xC
CqC
xopt1 1 2
22
1 2
2
3
22
2
Reator batch c/ regeneração
105
105
FO: Min custos de capital
Projeto de um vaso cilíndrico de pressão:V - volume do vaso (fixo)L - altura do vasoD - diâmetro do vasoH1. Topo e fundo planosH2. Paredes de espessura (t) e massa esp. cte. H3. Iguais custos para extremidades e lateralH4. Não existe perda de material na fabricação.
106
106
Projeto de vaso de pressão
Qual a variável de projeto/decisão (VP)?L e D
FO: minimizar o custo de fabricação- custo (C) = custo por peso (S) x peso (P).
min f
onde f S t D L SD
DL t
S t D L, , , ,
, , , ,
1
1
2
24
107
107
Como S, t, e a massa esp. são ctes =>
Mas V é fixo =>
Função objetivo:
min f
onde f D L D DL
D L,
,
3
3
2
2
2
2
44D VV L L
D
.4
2
min2
4
4
DVDDfonde
fD
Projeto de vaso de pressão
108
108
Derivando f4 e igualando a zero:
Mas o critério empírico: L/Dopt = 3 1 Por que? Quem ou o que está errado?
1
sejaou
4
emconsequent e,
4
3/1
3/1
opt
opt
opt
DL
VL
VD
Projeto de vaso de pressão
109
109
Projeto do vaso com novas hipóteses:
Topo e fundo tem o formato de elipses 2:1, com uma área dada por 2(1,16D 2) = 2,32D 2
Custo de fabricação das extremidades é maior que para a lateral c/ um fator de 1,5
Custo de fabricação por unidade de peso S($/unidade de peso) e massa esp. são ctes.
P/ pressão de 250 psi (17 atm) e uma corrosão de 1/8 in: t = 0,0108D + 0,125
110
110
FO a ser expressa em $:
Substituindo t(D) em f5 e lembrando que S e a massa esp. são ctes. e que
min f
onde f S t D L S D DL t
S t D L, , , ,
, , , , , ,
5
521 5 2 32
34
2 DLDV
min f
onde f D VVD
D D
D6
62 30 0432 0 5 0 3041 0 0263 , , , ,
Novo projeto de vaso de pressão
111
111
Solução para vários níveis de pressão e V :
Cuidado! não consideramos as perdas de material durante a fabricação do vaso.
Novo projeto de vaso de pressão
Ponto ótimo: (L/D)opt
Pressão de projeto (psi)
Capacidade(galões)
100 250 400
2500 1,7 2,4 2,9
25000 2,2 2,9 4,3
112
112
FO: Max economia anual
Projeto espessura de isolamento (VP) Custo de capital x economia de energia
H1. Q perda de calor por hora:
H2. Custo de instalação por unidade de áreaCI = F0 + F1.x
H3. Tempo de vida do isolamento = 5 anosH4. Investimento será pago em 5 anos.
chkx
TAQ 1
113
113
Definiçõesr - fração do custo de instalaçãoHt - custo de reposição do calor ($/106 Btu)Y - número de horas de operação por ano
FO: maximizar L L = R - C R = economia de energia por ano C = custo do isolamento por ano
Economia de energia: Q(x = 0) - Q = Q0 - QCusto (pagamento) por ano: P = r.(F0+F1.x).A
f(hc,A,T,k,F0,F1,r,x) = (Q0 - Q).Y.Ht - r.(F0+F1.x).A.
FO: Max economia anual
114
114
FO: Max economia anual FO em $ por ano:
Diferenciando em relação a x e igualando a zero:
Se utilizar capital próprio temos que definir uma taxa mínimo de retorno.
rAxFFHYxQQxrFFkTAhf
xrFFkTAhf
tc
cx
....,,,,,,,onde
,,,,,,,min
10010
10
c
topt
hrFkTYHkx 1...10
..
16
chkx
TAxQ 1
115
115
Objetivos Operacionais Não considerar explicitamente os $ $ $ $ $ Mínimo tempo de processamento Maximizar a produção total Maximizar a produção de um componente Minimizar o consumo de utilidades Minimizar o consumo de matéria-prima Diferença entre os SP’s e o valor das PV’s.
116
116
FO: Min erros nos balanços
Reconciliação de dados de processos
H1. O processo está em estado estacionárioH2. As medições MA , MB e MC têm incertezas.
PlantaA B
CMc1 = 11,1 kg/hMc2 = 10,8 kg/hMc3 = 11,4 kg/h
MB1 = 92,4 kg/hMB2 = 94,3 kg/hMB3 = 93,8 kg/hMc1 = 80,5 kg/h
Mc2 = 82,0 kg/hMc3 = 84,8 kg/h
117
117
Balanço de massa: MA + MC = MB
FO: encontrar um valor de MA (VP) que minimize os erros nos balanços de massa
exp
exp
exp
exp
exp
exp
2
.exp 2
, , 12
2
2
12
min , ,
, ,
i
iA B C
i
i
i
i
ótimoA A
noótimo
A B C B BM M M i
ótimoC C
recA A
recA B C B B
i
recC C
M M
f M M M M M
M M
M M
ou melhor f M M M M M
M M
.expno
Reconciliação de dados
118
118
Simulação X Reconciliação Usa o dado para
melhorar o modelo Usa o modelo para
melhorar o dado Entradas e saídas
são independentes Cálcula as saídas a
partir das entradas Desempenho é
monitorado Desempenho é predito
Índices devem ser especificados Índices podem ser
corrigidos Redundância é a
fonte da informação. Redundância é
fonte de problemas
119
119
FO: Maximizar a produção Reator batch Esquema reacional:
Maximizar a concentração do produto Bmax CB(k1, k2, k3, k4, CA, CB, CC, CD , t)
Hipóteses simplificadoras:H1. O reator é fechadoH2. Operação isotérmicaH3. Equações das taxas de 1a ordemH4. Reação em fase líquida (volume constante)
A BC
D
k1
k2
k3
k4
120
120
Modelo do processo: balanço por componente:acúmulo = formado - consumido
dCdt
k C k CAB A 2 1
dCdt
k C k k k CBA B 1 2 3 4( )
dCdt
k CCB 3
dCdt
k CDB 4
A BC
D
k1
k2
k3
k4
FO: Maximizar a produção
121
121
Modelo do processo: balanço globalmassa inicial = massa final
no de moles inicial = no de moles finalconc. inicial = conc. final
CA0 + CB0 + CC0 + CD0 = CA + CB + CC + CD
Queremos maximizar CB , as condições iniciais são dadas, portanto só nos resta manipular o tempo de campanha (VP)
Resolvendo as eq. diferenciais, obtemos:CB(t) = a1.exp(b1.t) + a2.exp(b2.t)
diferenciando e derivando em relação a t :t* = 0,63 h => CB* = 23,04 g-mol/L
122
122
Ajuste de modelo matemático
Viscosidade de gases
Fonte: The Properties of Gases and Liquids, Fifth Edition. Bruce E. Poling, John M. Prausnitz, John P. O’Connell. McGraw-Hill
123
123
Viscosidade de gases
Fonte: The Properties of Gases and Liquids, Fifth Edition. Bruce E. Poling, John M. Prausnitz, John P. O’Connell. McGraw-Hill
124
124
FO: Minimizar os desvios entre SP’s e PV’s Controle Ótimo Controle Preditivo Objetivo sistema de controle: Min |SP - PV| Manipulação difícil FO: Min (SP - PV)2
ou FO: Min [E(t)]2 Min [E(t)TE(t)] Variação suave nas MV’s:FO: Min { [E(t)TW1 E(t)] + [MV(t)T W2 MV(t)]}
125
125
Combinação de Objetivos Operacionais com Objetivos
Econômicos Minimizar os erros entre SP’s e PV’s
com um mínimo consumo de utilidades
tMVtMVWtMVtEWtE
tMV 2
T1
Tmin
tMVMV
tMVWtMV
tPVtSPWtPVtSP
TR
T
T
tMV
.
min
$
2
1
126
126
Funções de Restrição FR Restrições de natureza
- operacional, p.ex. MV’s entre limites- física, p.ex. máxima capacidade do equip.- mercadológica, p.ex. máx. capac. do mercado
P.ex. controle preditivo ótimo:
tPVtSPtE
tPVtPVtPVtMVtMVtMV
tMVtMVtMV
tMVWtMVWtMVtEWtEtMV
maxmin
maxmin
maxmin
32T
1T
)(
a sujeito
.min
DEMVfPV , Modelo do processo
127
127
Exemplos de modelo de problemas de otimização do livro:”Optimization of chemical processes” do Edgar & Himmelblau
Recuperação de calor rejeitado Projeto de trocadores de calor Síntese de redes de trocadores de calor Projeto de evaporadores Sistema caldeira-turbina Extração líquido-líquido Coluna de destilação Ajuste de modelo ELV Diâmetro ótimo de tubulação Mínimo trabalho de compressão Operação econômica de um filtro Projeto de uma rede de transmissão de gás Tempo de residência ótimo em reator a batelada Otimização de um reator de craqueamento catalítico Maximização do rendimento Projeto ótimo de um reator de amônia.