MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

DEFINIÇÃO – É um movimento retilíneo em que o sentido se inverte periodicamente.

CAUSAS AS OSCILAÇÃO – DESLOCAMENTO DA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO.

- AÇÃO DE UMA FORÇA RESTAURADORA.

EXEMPLO - O tipo mais simples de oscilação ocorre quando a força restauradora diretamente proporcional ao deslocamento (x) da posição de equilíbrio. Na verdade o movimento se dá pela força de reação (-F) EXERCIDA PELA MOLA SOBRE O BLOCO.

Ex – Sistema massa – mola

F = - k x   (1)

Esta forma para a força ''e chamada  Lei de Hooke. As molas reais obedecem esta lei para pequenos deslocamentos.

APLICANDO A SEGUNDA LEI DE NEWTON AO MOVIMENTO - Suponha que a mola seja estendida por uma distância X, e seja liberada. O objeto preso à mola acelera com

a = - (k/m) x    (2)       

ANÁLISE DO MOVIMENTO

Ele ganha velocidade à medida que se move para a posição de equilíbrio, já que a aceleração é na direção de sua velocidade.  Quando a mola está na posição de equilíbrio a aceleração é zero, mas o objeto possui energia cinética. Ele passa da posição de equilíbrio e começa a desacelerar, já que a aceleração é no sentido oposto ao sentido da velocidade.  Desprezando o atrito, ele parará quando a mola estiver comprimida por uma distância d  e então se acelerará de volta para a posição de equilíbrio. Ela novamente passa pela posição de equilíbrio e pára na posição inicial quando a mola está esticada de uma distância d. O movimento se repete. O objeto oscila de um

lado para outro. Ele executa um movimento harmônico simples.

GRANDEZAS CARCTERÍSTICAS DO MHS

(MOVIMENTO OSCILATÓRIO)

FREQUÊNCIA (f) – É o número de oscilações completas efetuadas em um intervalo de tempo.

PERÍODO (T) - É o intervalo de tempo decorrente de uma oscilação completa.

AMPLITUDE (A) – De acordo com o referencial adotado, amplitude do ponto material no MHS é o módulo da abscissa de valor máximo.

FREQUÊNCIA ANGULAR (W) – É 2 vezes a freqüência.

MHS E O MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

FUNÇÕES NO MHS.

DETERMINAÇÃO DA FASE E DA AMPLITUDE A PARTIR DA POSIÇÃO INICIAL E VELOCIDADE INICIAL

(ÂNGULO DE FASE)

(AMPLITUDE NO MHS)

DEDUÇÃO MATEMÁTICA

FREQUÊNCIA E PERÍODO EM SISTEMAS OSCILANTES

SISTEMA MASSA – MOLA - Vamos considerar apenas  movimentos em uma dimensão.

Como a aceleração é a derivada temporal da velocidade, de modo que podemos escrever:

a = dv/dt

v = dx/dt

a = d2x/dt2, logo:

d2x/dt2 = - (k/m) x (3)

RESOLVENDO A EQUAÇÃO ACIMA TEMOS:

A forma mais geral da solução procurada. Por exemplo,

x(t) = a cos(wt) + b sen (wt) (4) se for derivada duas vezes teremos:

d2x/dt2 = -  wx

No nosso caso, a constante w = (k/m)1/2.

ENERGIA NO MOVIMENTO HAMÔNICO SIMPLES

A energia do sistema é dada pela soma da energia cinética e a energia potencial do sistema. A energia cinética é

Ec = mv2/2            

]A energia potencial é, por definição, o negativo do trabalho realizado pela mola, ou seja, a variação da energia potencial é dada por

dU = - F dx,    ou     F = - dU/dx         

]

Como F = - kx, temos que a solução da equação acima fica:

U(x) = kx2/2        

Logo a energia total (mecânica )é dada por:

Et = Ec + U = (m/2) d2x/dt2 + kx2/2 (constante)

Obs. A equação mostra que existe uma mudança contínua entre energia cinética e potencial. Um objeto numa mola é um exemplo de um oscilador harmônico

No ponto onde (d) é máximo a energia cinética é zero. Consequentemente, a energia total é proporcional ao quadrado da amplitude d:

Et = (1/2) k A2.

ANÁLISE GRÁFICA

               

QUADRO GERAL

EXEMPLOS DE SISTEMAS QUE EXECUTAM UM MHS

Pêndulo simples. - A maioria dos sistemas que possuem uma posição de equilíbrio, executam um movimento harmônico simples em torno desta posição quando eles são deslocados do equilíbrio, desde que os deslocamentos sejam pequenos. As forças de restituição obedecem à lei de Hooke. No entanto, para grandes acelerações os sistemas se tornam osciladores não-harmônicos, ou seja, as forças de retorno não mais são proporcionais aos deslocamentos. Neste caso, o período depende da amplitude. Um exemplo familiar é  pêndulo simples.

DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES.

O PÊNDULO FÍSICO

PÊNDULO DE TORÇÃO

VIBRAÇÕES DAS MOLÉCULAS (DEDUÇÃO EM CLASSE)

MOVIMENTO AMORTECIDO

DEDUÇÃO FÍSICA

EXEMPLO UM SISTEMA DE AMORTECEDORES.

OSCILAÇÕES FORÇADAS, RESONÂNCIA E CAOS.

- OSCILADOR AMORTECIDIO IMPULSIONADO POR UMA FORÇA EXTERNA DO TIPO F(t) = Fo sen (wt).

APLICANDO A SEGUNDA LEI DE NEWTON

RESOLVENDO A EQUAÇÃO DIFERENCIAL CHEGAMOS AO VALOR DA AMPLITUDE

SISTEMAS RESSONANTES