1 MOVIMENTO OSCILATÓRIO Movimentos oscilatórios periódicos Movimento harmónico simples (MHS)...
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1 MOVIMENTO OSCILATÓRIO Movimentos oscilatórios periódicos Movimento harmónico simples (MHS) Sistema massa-mola Representação matemática do MHS Representação gráfica do MHS Definição de frequência e período Equações de movimento do MHS Energia no MHS Pendulo simples Oscilações amortecidas Oscilações forçadas
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MOVIMENTO OSCILATÓRIO
Movimentos oscilatórios periódicos Movimento harmónico simples (MHS) Sistema massa-mola Representação matemática do MHS Representação gráfica do MHS Definição de frequência e período Equações de movimento do MHS Energia no MHS Pendulo simples Oscilações amortecidas Oscilações forçadas
MOVIMENTO OSCILATÓRIO
Estamos familiarizados com diversos tipos de movimentos oscilatórios periódicos
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mais exemplos de movimento oscilatório
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outros exemplos de movimento oscilatório
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Eletrões vibram em torno do núcleo
frequência alta: ~1014 - 1017 Hz
Vibrações atómicas e moleculares para estados excitados
Os núcleos das moléculas vibram frequência intermediária: ~1011 - 1013 Hz
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Vibrações das moléculas de água
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Symmetricalstretching
Antisymmetricalstretching
Scissoring
Rocking Wagging Twisting
Ligações de átomos de carbono com hidrogénio são importantes na química da vida
Vibrações CH2
mais exemplos de movimento oscilatório
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Os átomos num sólido não estão completamente imóveis.
Eles vibram com uma amplitude pequena em torno da sua posição de equilíbrio
MOVIMENTO PERIÓDICO
O movimento periódico é o movimento dum corpo que se repete regularmente
O corpo volta a uma dada posição depois dum certo intervalo de tempo fixo
É um tipo especial de movimento periódico e acontece quando a força que age sobre a partícula
• e é dirigida sempre para a posição de equilíbrio
• é proporcional ao deslocamento da partícula em relação a posição de equilíbrio
O MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS)
kxFs Lei de Hooke
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MOVIMENTO DO SISTEMA MASSA-MOLA
Um bloco de massa m é ligado a uma mola
O bloco se desloca numa superfície horizontal sem atrito
Quando a mola não está esticada nem comprimida, o bloco está na posição de
equilíbrio x = 0
Vimos anteriormente que pela Lei de Hooke que
kxFs
k é a constante elástica
sF força restauradora
x deslocamento
A força restauradora está sempre dirigida para o ponto de equilíbrio é sempre oposta ao deslocamento
O movimento do sistema massa-mola é um movimento harmónico simples 9
• O bloco é deslocado para a direita de x = 0
– A posição é positiva• A força restauradora é dirigida para a
esquerda
• O bloco é deslocado para a esquerda de x = 0
– A posição é negativa• A força restauradora é dirigida para a
direita
• O bloco está na posição de equilíbrio x = 0
• A mola não está nem esticada nem comprimida
• A força é 0
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ACELERAÇÃO
De acordo com a segunda lei de Newton
xm
kama -kxmaFs
A aceleração é proporcional ao deslocamento do bloco
A aceleração não é constante
Am
ka Se o bloco é largado de uma posição x = A, então a aceleração inicial é
O bloco continua até x = - A onde a sua aceleração é
Quando o bloco passa pelo ponto de equilíbrio,
O sentido da aceleração é oposto ao sentido do deslocamento (sinal menos)
Num corpo que se mova com um movimento harmónico simples (MHS), a aceleração é proporcional ao seu deslocamento mas tem um sentido oposto ao deslocamento
as equações cinemáticas não podem ser aplicadas
Am
ka
0a11
O bloco continua a oscilar entre –A e +A
MOVIMENTO DO BLOCO
Sistemas reais estão sujeitos a atrito, portanto não oscilam indefinidamente !
A força é conservativa
Na ausência de atrito, o movimento continua para sempre
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AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SIN E COS RESPEITAM ESTES REQUISITOS !
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES
2
2
d x ka x
dt m 2 k
m
Tratamos o bloco como sendo uma partícula
Escolhemos que a oscilação ocorre ao longo do eixo x
Aceleração Definimos
xa 2 xdt
xd 2
2
2
ou
Precisamos de uma função que satisfaça a equação diferencial de segunda ordem
Procuramos uma função x(t) cuja segunda derivada é a mesma que a função original com um sinal negativo e multiplicada por
Podemos construir uma solução com uma ou ambas as funções
2
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14
Funções seno e cosseno
• A fase do movimento é a quantidade
• Se a partícula está em x = A para t = 0, então
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
tAtx cos
A seguinte função cos é uma solução da equação
onde e ,A são constantes
A é a amplitude do movimento esta é a posição máxima da partícula quer na direção positiva quer na negativa
é a fase (constante) ou o ângulo de fase inicial
é a frequência angularUnidade: rad/s
0
• x(t) é períodica e o seu valor é o mesmo cada vez que t aumenta de 2 radianos
t
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A caneta ligada ao corpo oscilante desenha uma curva sinusoidal no papel que está em movimento
EXPERIÊNCIA
Verifica-se assim a curva cosseno, considerada anteriormente16
• O período, T, é o intervalo de tempo necessário para que a partícula faça um ciclo completo do seu movimento
Os valores de x e v da partícula no instante t são iguais aos valores de x e v em t + T
2T
• O inverso do período chama-se frequência
A frequência representa o nº de oscilações executadas pela partícula por unidade de tempo
• A unidade é o ciclo por segundo = hertz (Hz)
1ƒ
2T
DEFINIÇÕES
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EQUAÇÕES DO MOVIMENTO NO MHS
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tAtx cos
tAdt
dxv sin
tAdt
xda cos2
2
2
Am
kAv max
Am
kAa 2
max
• Energia cinética
• Energia Potencial
2
212
21 sin tAmmvK
tkAK 2221 sin
2
212
21 cos tAkkxU
tkAU 2221 cos
ENERGIA NO MHS
Energia do sistema massa-mola
onde2
2
k
mm
k
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assim
tAk 222
221 sin
20
UKEM
221 kAEM
• Energia Mecânica
tkAtkA 222122
21 cossin
2212
21 kxmv
Pêndulo simples
O pêndulo simples também pode exibir um movimento harmónico simples (MHS)
O MHS acontece quando o fio faz um ângulo pequeno com a vertical
pequena oscilação
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Pêndulo simples
Forças que atuam sobre a esfera:
2
2sint
d sF mg m
dt
gmP
Peso
Tensão T
Força tangencial (força restauradora)
O comprimento, L, do pêndulo é constante
sin
2
2
L
g
dt
d
Para ângulos pequenos, sin L
g
dt
d
2
2
)( Ls
xm
k
dt
xd2
2mola-massa sistema
Este resultado confirma que o movimento é o MHS22
g
L
22
LT
g
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A função que satisfaz a equação diferencial: L
g
dt
d
2
2
é
)cos( max t
onde
é a frequencia angular
o período
)cos(
mola-massa sistema
tAx
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Exemplo 1: Considere um pêndulo de comprimento L com uma bola de massa M. A
bola está presa a uma mola de constante k. Admita que o pêndulo e a mola estão
simultaneamente em equilíbrio. Determine para pequenas oscilações.
Resolução
MgMgF sin pendulo
kLkLkxF sin molax
kLMgFFMa molapendulo
M
k
L
gMLkL
M
MMg
L
L
Força resultante que atua sobre a bola:
2
M
k
L
g 2ML onde
M
k
L
g
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
Nos sistemas realistas, estão presentes o ATRITO o movimento não oscila indefinidamente
Neste caso, a energia mecânica do sistema diminui no tempo e o movimento é conhecido como movimento amortecido
Um exemplo de movimento amortecido
A força de atrito pode ser expressa como
bvkxmaF
bvF atrito
um corpo está ligado a uma mola e submerso num líquido viscoso
dt
dxbkx
dt
xdm
2
2
A equação do movimento amortecido é
b é o coeficiente de amortecimento
v a velocidade do corpo de massa m
(no fluido o atrito é proporcional à v )
25
26
2 cos( )b
tmx Ae t
2
2
k b
m m
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
dt
dxbkx
dt
xdm
2
2
A função x que satisfaz a equação diferencial: é
onde
Exemplo
Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
OSCILAÇÕES FORÇADAS
É possível compensar a perda de energia de um sistema amortecido aplicando uma força externa
F
tFdt
dxbkx
dt
xdm fcos02
2
tFF fcos0
A equação do movimento amortecido para oscilações forçadas é
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A amplitude do movimento permanecerá constante se o aumento de energia for igual à diminuição da energia por cada ciclo.
Exemplo
Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
Quando a frequência angular da força aplicada (frequência forçada)é igual à frequência angular natural ( ) ocorre um aumento na amplitude
)0(
4
00
22220
2
0
ff
mFA
RESSONÂNCIA
0 f
máximo A
A
Chama-se RESSONÂNCIA a esse
aumento espectacular na amplitude
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onde é a frequência angular natural do oscilador
22220
2
0
4 ff
mFA
A amplitude de uma oscilação forçada é
0
onde é a frequência angular da força aplicada no oscilador
f
Foi estabelecida a condição de ressonância ( ) a ponte caiu
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Exemplo 2:Tacoma bridge
0 f
Em 1940 ventos constantes causaram vibrações na ponte de Tacoma desencadeando sua oscilação numa frequência próxima de uma das frequências naturais da estrutura da ponte.
