2 Mhs e Estacionarias

QUESTES CORRIGIDAS PROFESSOR Rodrigo Penna

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1

QUESTES CORRIGIDAS ESTACIONRIAS E MHS

NDICE

ONDAS ESTACIONRIAS1

MHS11

Ondas Estacionrias

1. (UNIFEI 1 2006) Seja T = 4,0 s o perodo de uma onda transversal senoidal propagando-se da esquerda para a direita numa corda, como mostrado na figura abaixo no instante t = 0. Nesse caso, a representao matemtica dessa onda dada por ( )tkxsenAy = , sendo A a amplitude, a freqncia angular e k o nmero de onda.

De acordo com a figura, podemos dizer que:

A.

= t6

x12sen6y .

B.

= t6

sen3y .

C.

= t2

x6

sen6y .

D.

= t2

sen6y .

CORREO Questo mais rara, sobre ondas, que no costuma ser explorada na 1 etapa, na UFMG, por exemplo. Realmente, enquanto movimento peridico, que se repete, uma onda descrita matematicamente por uma funo que se repete, senoidal ( ou cossenoidal). A equao foi fornecida.

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 3 6 9 12 15

x (cm)

y (c

m)



2 Das definies bsicas sobre ondas: Amplitude a distncia entre o pico e o Equilbrio. No caso desta questo, visualmente, 6. Fizemos uma escolha: 6cm, ou seja, trabalharemos em cm.

Velocidade Angular (prefiro este nome Freqncia Angular!) dada por: s

radT 2= . Dos

dados, temos srad

T 2422 === .

Sobram C e D, substituindo na equao... Agora vamos a uma teoria mais chata, e mais complicada. A equao serve para descrever a posio Y de cada ponto da corda em funo do tempo t. Observe que os pontos da frente comeam atrasados em relao ao inicial (x = 0). Veja na figura o que ocorre quando a onda se move: os pontos da frente iro ocupar as posies Y antes ocupadas pelos pontos mais para trs. Esta defasagem temporal, como a onda faz um Movimento Uniforme, pode ser calculada como t - t, para um ponto frente. Os clculos levam a definir uma grandeza chamada Nmero de onda k,

2=k , onde = comprimento de onda, no caso em cm. Quem quiser saber mais, consulte Fsica, Resnick e Halliday, Vol. 2. o livro em que estudei Fsica Geral na UFMG... No olhmetro, = 12cm k = /6.

OPO: C.

2. Um movimento harmnico simples est representado abaixo. Na escala da figura, cada quadradinho representa 2 cm.



3

DETERMINE o valor da amplitude deste movimento.

CORREO

Como amplitude a distncia do equilbrio at o deslocamento mximo, contando no grfico so 3 quadradinhos, vezes 2 cm por quadradinho = 6 cm.

3. (UFJF) Uma corda (de ao) de piano tem comprimento de 1,0 m. Sua tenso ajustada at que a velocidade das ondas transversais seja de 500 m/s. Qual a freqncia fundamental desta corda?

a) 250 Hz; b) 500 Hz; c) 50 Hz; d) 25 Hz.

CORREO

1500 250

2 2.1vf Hzl

= = =

OPO: A.

4. Uma corda esticada apresenta o padro de vibrao mostrado na figura abaixo.

l



4

Sendo o comprimento l da corda igual a 60 cm e a freqncia na qual ela est vibrando 360 Hz, CALCULE a freqncia em que esta corda, sobre a mesma tenso, vibraria em seu 5 harmnico.

a) 60 Hz. b) 600 Hz. c) 1800 Hz. d) 4320 Hz.

CORREO

3 fusos 3 harmnico 31 3603ff = =

120

3120Hz= 5 15 5.120 600 .f f Hz= = =

OPO: B.

5. (UFSCAR/2001) A figura representa uma configurao de ondas estacionrias numa corda.

A extremidade A est presa a um oscilador que vibra com pequena amplitude. A extremidade B fixa e a trao na corda constante. Na situao da figura, onde aparecem trs ventres (V) e quatro ns (N), a freqncia do oscilador 360Hz. Aumentando-se gradativamente a freqncia do oscilador, observa-se que essa configurao se desfaz at aparecer, em seguida, uma nova configurao de ondas estacionrias, formada por

a) quatro ns e quatro ventres, quando a freqncia atingir 400Hz. b) quatro ns e cinco ventres, quando a freqncia atingir 440Hz. c) cinco ns e quatro ventres, quando a freqncia atingir 480Hz. d) cinco ns e cinco ventres, quando a freqncia atingir 540Hz.

CORREO

OPO: C.

6. (UFPE/2002) Um mbolo executa um movimento oscilatrio com pequena amplitude, ao longo de um tubo cilndrico fechado contendo ar presso atmosfrica. Qual deve ser a freqncia de oscilao do mbolo, em Hz, para que no haja sada ou entrada de ar, atravs de dois orifcios feitos nas posies indicadas na figura? Suponha que a posio dos orifcios coincide com ns de uma onda sonora estacionria e considere a freqncia mais baixa possvel.

Dado: V som = 340 m/s

N

V



5

CORREO

Vemos que o caso de 3 harmnico, para um tubo fechado nas duas extremidades.

1

3 1

340 1702 2.1( )3. 510

vf Hzm

f f Hz

= = = = =

l

7. (FUVEST) Considere uma corda de violo com 50 cm de comprimento, que est afinada para vibrar com uma freqncia fundamental de 500 Hz. Se o comprimento da corda for reduzido metade, qual a nova freqncia do som emitido?

a) 250 Hz. b) 750 Hz. c) 1.000 Hz. d) 2.000 Hz.

CORREO

Como 0 2

vf = l , se reduzirmos o comprimento pela metade a freqncia fundamental dobra (fica mais agudo!).

OPO: C.

8. Um tubo aberto, contendo ar, tem comprimento de 33 cm. Sendo a velocidade do som no ar igual a 330 m/s, determine a freqncia do 4 harmnico que este tubo pode emitir.



6

a) 100 Hz. b) 500 Hz. c) 1000 Hz. d) 2000 Hz.

CORREO

3304. 42 2.0,33n

f nm

= = =l

v 2 33. .102 .33 2

2000.10

Hz =

OPO: D.

9. (UFSJ) A figura abaixo representa trs tubos acsticos de comprimento D.

Com relao s freqncias de seus modos de vibrao fundamentais, CORRETO afirmar que: a) FI = FII = FIII b) FI = 2FII = 4FIII c) 2FII = FI = FIII d) FIII = 2FII = 4FI

CORREO

Como se trata de som se propagando no ar, tem todos os tubos mostrados a velocidade da onda (som) igual. Visualmente, podemos relacionar o comprimento de onda da onda sonora, em cada caso, com o desenho: I = 2D, II = 4D=2x2D e III = 2D ou I= II< III . Para a mesma velocidade, se v = f , quem tem o maior comprimento de onda tem a menor freqncia, logo 2FII = FI = FIII .

OPO: C.



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10. Uma onda sonora se propaga em um instrumento de sopro formando o padro mostrado abaixo.

Se a freqncia da nota musical tocada igual a 220 Hz, CALCULE a freqncia do 5 harmnico deste instrumento. a) 110 Hz. b) 440 Hz. c) 550 Hz. d) 1100 Hz.

CORREO

Pelo desenho, vemos que se trata do 2 harmnico. Logo, se f2 = 220 Hz f1 = 110 Hz (f2 / 2) f5 = 550 Hz (5xf1).

OPO: C.

11. (UERJ/1998) Um alto-falante (S), ligado a um gerador de tenso senoidal (G), utilizado como um vibrador que faz oscilar, com freqncia constante, uma das extremidades de uma corda (C). Esta tem comprimento de 180 cm e sua outra extremidade fixa, segundo a figura I.

Num dado instante, o perfil da corda vibrante apresenta-se como mostra a figura II.

Nesse caso, a onda estabelecida na corda possui amplitude e comprimento de onda, em centmetros, iguais a, respectivamente:

l



8

a) 2,0 e 90 b) 1,0 e 90 c) 2,0 e 180 d) 1,0 e 180

CORREO

A questo pergunta sobre duas grandezas que esto na figura... Amplitude a distncia que vai do equilbrio crista. Comprimento de onda o tamanho de um ciclo completo. Veja:

A amplitude vem da observao do desenho, 1,0 cm e o comprimento de onda veio no enunciado e fica visvel, 180 cm.

OPO: D.

12. (CESGRANRIO/91) Uma corda de violo mantida tensionada quando presa entre dois suportes fixos no laboratrio. Posta a vibrar, verifica-se que a mais baixa freqncia em que se consegue estabelecer uma onda estacionria na corda fo = 100 Hz. Assim, qual das opes a seguir apresenta a sucesso completa das quatro prximas freqncias possveis para ondas estacionrias na mesma corda?

a) 150 Hz, 200 Hz, 250 Hz, 300 Hz b) 150 Hz, 250 Hz, 350 Hz, 450 Hz c) 200 Hz, 300 Hz, 400 Hz, 500 Hz d) 200 Hz, 400 Hz, 600 Hz, 800 Hz

CORREO

Ondas estacionrias, cobradas de uma forma bem simples. A menor freqncia o primeiro harmnico. Os prximos so mltiplos inteiros do primeiro.

OPO: C.

A



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13. (PUC-Rio/2002) Uma corda de guitarra esticada do ponto A ao ponto G da figura. So marcados os pontos A, B, C, D, E, F, G em intervalos iguais. Nos pontos D, E e F, so apoiados pedacinhos de papel. A corda segurada com um dedo em C, puxada em B e solta. O que acontece? a) Todos os papis vibram. b) Nenhum papel vibra. c) O papel em E vibra. d) Os papis em D e F vibram.

CORREO

uma boa experincia inclusive para se fazer em sala, sobre Ondas Estacionrias. Note que, segurando em C, 1/3 do comprimento total, e criando um ventre em B, com o dedo, ao soltar ser criado na corda inteira o 3 harmnico. Veja a figura seguinte.... Os papis D e F, que se encontram bem nos ventres, iro vibrar...

OPO: D.



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14. (UFMG/1997) Uma onda sonora de uma determinada freqncia est se propagando dentro de um tubo com gs. A figura representa, em um dado instante, a densidade de molculas do gs dentro do tubo: regio mais escura corresponde a maior densidade.

Se a fonte sonora que emitiu esse som aumentar sua intensidade, a) a densidade do gs na regio M aumenta e a densidade em N diminui. b) a densidade do gs na regio M diminui e a densidade em N aumenta. c) a distncia entre as regies M e N aumenta. d) a distncia entre as regies M e N diminui.

CORREO

Quando uma onda se propaga em um tubo, a chamada intensidade se relaciona densidade do gs. Aumentar a intensidade seria vulgarmente aumentar o volume do som. Neste caso, veramos os auto-falantes vibrando mais. Ao se moverem para frente, empurrariam mais o gs, pressionando-o mais. Na volta (para trs) sua posio de equilbrio, eles deixariam um maior vazio atrs de si.

OPO: A.



11

MHS

15. Um relgio de pndulo, mostrado abaixo, est com um problema em seu funcionamento: est adiantando.

Voc o tcnico que ir consert-lo. Diga como possvel faz-lo alterando apenas o comprimento do pndulo.

CORREO

O perodo de oscilao, tempo que o pndulo leva para completar um ciclo, dado por 2Tg

= l , onde l o comprimento do pndulo. Ora, se o relgio est adiantando, ento ele se move mais rpido do que deveria. Para acert-lo, precisamos aumentar o tempo que ele leva para oscilar, faz-lo oscilar mais devagar, ou seja, aumentar seu perodo. E, pela frmula, v-se que basta ento aumentar o comprimento de seu pndulo.

16. (UFV) Um bloco oscila harmonicamente, livre da resistncia do ar, com uma certa amplitude, como ilustrado na figura a seguir.

Ao aumentar sua amplitude de oscilao, pode-se afirmar que: a) a constante elstica da mola no se altera, aumentando o perodo e a velocidade mxima do oscilador. b) o perodo e a constante elstica da mola no se alteram, aumentando apenas a velocidade mxima do oscilador. c) o perodo aumenta, a velocidade mxima diminui e a constante elstica da mola no se altera. d) o perodo, a velocidade mxima do oscilador e a constante elstica da mola aumentam.

CORREO



12

O perodo de oscilao depende: 2 mTk

= , da massa e da constante elstica, apenas. A amplitude no interfere. A constante caracterstica da mola, que no mudou. Porm, ao esticarmos mais a mola (aumento na amplitude) e soltarmos, mais energia potencial elstica ser convertida em cintica (velocidade).

OPO: B.

17. (PUC-Campinas/2002-modificado) A partir do instante t = 0 (figura 1), a esferinha do pndulo abaixo atinge, pela primeira vez, o ponto A, quando t for igual a aproximadamente:

a) 0,5 s. b) 1 s. c) 2 s. d) 4 s.

CORREO

O perodo de oscilao depende: 2Tg

= l , do comprimento e da gravidade. 3,1 e 10 3,1 . Finalmente, de B at A meio perodo: meio ciclo completo!

42 210

T = = 410

4s t = T/2 = 2 s.

OPO: C.



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18. (UFMG/2007) QUESTO 04 (Constituda de dois itens.) Em uma feira de cincias, Rafael apresenta um dispositivo para traar senides, como o mostrado na figura ao lado. Esse dispositivo consiste em um pequeno funil cheio de areia, que, pendurado na extremidade de um fio longo, oscila num plano perpendicular direo do movimento da esteira rolante, mostrada na figura. A areia escoa, lentamente, do funil sobre a esteira, que se move no sentido indicado pela seta. Quando a esteira se move a uma velocidade de 5,0 cm/s, observa-se que a distncia entre dois mximos sucessivos da senide de 20 cm. Considerando as informaes dadas e a situao descrita, 1. CALCULE o perodo de oscilao do funil. Em seguida, Rafael aumenta de quatro vezes o comprimento do fio que prende o funil. 2. CALCULE a distncia entre os mximos sucessivos da senide nesta nova situao.

CORREO

1. O funil com a areia realiza um famoso Movimento Harmnico Simples (MHS) cujo comportamento matemtico semelhante ao de uma onda. Temos a velocidade da esteira e a distncia entre dois mximos, que um comprimento de onda . Da equao de onda, famosa vaca lambe farinha, tiramos a freqncia, que o inverso do perodo T. At simples!

2. Temos que o perodo T de oscilao de um pndulo dado por: 2 lTg

= onde l o comprimento e g a acelerao da gravidade. Como o perodo proporcional raiz do comprimento se o comprimento quadruplica o perodo fica 4 ou duas vezes maior! Dobra!

Assim: . 5cmv ts

= = .2.4 s 40cm= . No h problemas em responder corretamente em cm, mas, se quiser, = 0,40 m. O importante nesse caso so os algarismos significativos.

1,

20

v f e f vT T

Tv

= = =

= =

4

cm

5 cm4,0s

s

=



14

19. (UFVJM/2008) Um sistema massa-mola oscila horizontalmente sobre um piso sem atrito, com o dobro da freqncia de um pndulo simples. O comprimento do pndulo de 1 m e a constante elstica da mola de 4 N/m. Considere g = 10 m/s2.

Com base nessas informaes, ASSINALE a alternativa que apresenta o valor correto da massa presa mola.

A) 0,2 kg. B) 0,4 kg. C) 0,1 kg. D) 0,8 kg.

CORREO

Outra questo que no gostei, pois cobra um contedo mais raro, o MHS. Sempre prefiro na primeira etapa o contedo mais geral. Isto praticamente exclui os estudantes das escolas pblicas, com suas j sabidas deficincias de ensino e que no costumam ver na escola o contedo absolutamente completo da Fsica do Ensino Mdio. A questo, em si, at simples, bastando conhecer as frmulas. Eu decorei as do Perodo, que o inverso da Freqncia.

122

122

pndulo pndulo

massa mola massa mola

gT fg

m kT fk m

= =

= =

ll

T a! Quem no souber, j era! Ainda, pelo enunciado:

2 2 4

44

massa mola pndulok g k gf fm m

kmg

= = =

= =l l

l .14

0,1 100.10

kg g= =

Bem, depende primeiramente de decoreba de frmulas e contas, o que no acho produtivo por si s, alm de habilidade matemtica. Sem contar que, como eu, a maioria, se decora, o faz para a frmula do perodo, e a questo pede a freqncia, e, portanto, so exigncias demais para o meu gosto! No custa lembrar que no prova do ITA, mas de uma Universidade que at relativamente pouco tempo era s faculdade, s tinha Odontologia e atende uma das regies mais pobres de Minas e do pas... Estou cada vez mais convencido de que fazer uma prova criativa, com qualidade, bem ilustrada e bem distribuda no programa, diferenciando bem a primeira da segunda etapa uma competncia de poucos, como na UFMG, UnB, Unicamp e outras escolhidas a dedo.

OPO: C.



15

vGm

A A XO

elstFJJJJG

20. Um sistema massa mola ideal executa um MHS. A figura mostra o instante que, aps atingir a amplitude mxima, o corpo retorna em direo posio de equilbrio.

Sobre esta situao, correto afirmar que no instante mostrado:

a) a velocidade mxima. b) o movimento do corpo acelerado. c) a acelerao mnima. d) a fora restauradora mxima.

CORREO

Comecemos desenhando a fora elstica que atua no sistema. No momento mostrado, h fora, que diminuiu em relao amplitude mxima, e ela atuar at a posio de equilbrio xo. Portanto, o corpo ainda est acelerando e no atingiu a velocidade mxima.

OPO: B.

21. Um corpo executa um Movimento Harmnico Simples de acordo com a seguinte equao, nas unidades do sistema internacional:

x = 4 cos [ (/2) t + )] .

a) Qual o valor da velocidade angular e da amplitude A?

b) Qual a posio do corpo quando t = 2 s?

CORREO

Por comparao, tempos: x = A cos (t + o) . Logo, = /2 rad/s e A = 4 m Substituindo t = 2s, teremos: x = 4 cos [ (/2) 2 + )] x = 4 cos ( + ) = 4.1 = 4 m.

22. Abaixo vemos o instante em que um sistema massa-mola executa um MHS. Considere o atrito desprezvel. O perodo do movimento de 2 s.

vGm

A A XO



16

Sabendo que o perodo de oscilao dado por 2mTk

= e que a massa do corpo vale 1,0 kg, CALCULE o novo perodo caso a massa aumente para 4,0 kg, mantendo a mesma mola.

CORREO

Observando a frmula do perodo, vemos que ele proporcional raiz da massa: T m . Logo, se a massa quadruplica de 1 para 4 kg, o perodo fica 2 vezes maior 2 4T m . T = 2.2 = 4 s .

23. Abaixo vemos o instante em que um pndulo executa um MHS. Considere o atrito desprezvel. O freqncia do movimento de 8 Hz na gravidade local.

Sabendo que o perodo de oscilao dado por 2T g= l , que o comprimento do corpo

vale 4,0 m e a gravidade permanece constante, CALCULE a nova freqncia caso o comprimento do pndulo se reduza para 1,0 m.

CORREO

vGm

A A XO



17

A freqncia o inverso do perodo. Assim, 12

2gT f

g = =

ll . Vemos, da

relao, que se o comprimento diminui, a freqncia varia com o inverso da raiz: Quer dizer, se o comprimento se reduz a , a freqncia dobra! f = 16 Hz.

24. (UFOP/1o 2008) Assinale a alternativa incorreta. A) O perodo de um pndulo de comprimento l menor na Lua do que na Terra. B) A fora de empuxo sobre um objeto mergulhado em um fluido menor na Lua do que na Terra. C) Os tempos de queda de uma pena e de um martelo, ambos largados em um mesmo instante, a uma mesma altura, na Lua, so iguais. D) A fora que mantm a Lua em rbita da Terra da mesma natureza da fora que mantm a Terra em rbita do Sol.

CORREO

A questo cobra vrios assuntos relacionados Gravidade.

a) ERRADA! O perodo de oscilao de um pndulo dado por: 2T g= l . A relao mostra

que ele inversamente proporcional raiz da gravidade. Assim, como a gravidade na lua menor que na Terra, o perodo l maior. Ou seja, o pndulo oscila mais devagar...

b) CERTA. O empuxo dado por : E dVg= , onde d a densidade, V o volume e g a gravidade. Como na Lua a densidade de um objeto e do fluido no qual est mergulhado so as mesmas, o volume tambm, mas a gravidade menor, ento o empuxo l menor.

c) CERTA. Na Lua, sem atmosfera e, portanto, sem atritos, os objetos caem juntos. Tenho um

vdeo, que busquei na rede, mostrando uma pena caindo junto com outro objeto, no vcuo. No deve ser difcil encontrar algo assim.

d) CERTA. Afinal, todos sabem que so foras de natureza Gravitacional.

Questozinha mais sem graa!

OPO: A.

2

4

1

1

1f f l

l



18

25. Considere um pndulo, de comprimento igual a 10 cm, oscilando com pequena amplitude e perodo T. Se aumentarmos o comprimento do pndulo para 40 cm e dobrarmos a massa que ele sustentava, o novo perodo de oscilao ser:

a) T/4 b) T/2 c) 2T d) 4T

CORREO

No Movimento Harmnico Simples de um pndulo, o perodo dado por:

2T g= l , onde l o comprimento e g a gravidade. Vemos que ele no

depende da massa! Se quadruplicarmos o comprimento de 10 para 40 cm, como

2 4T T l l .

OPO: C.

26. (Mackenzie/1997) Um corpo, preso a uma mola conforme figura a seguir, executa na Terra um M. H. S. de freqncia 30 Hz. Levando-se esse sistema Lua, onde a acelerao da gravidade 1/6 da acelerao da gravidade da Terra, a freqncia do M. H. S. descrito l :

l



19a) 5 Hz b) 30 Hz c) 60 Hz d) 180 Hz

CORREO

O perodo de um sistema massa mola dado por : 2mTk

= , onde m a massa e k a constante elstica da mola. Logo, no depende da gravidade local, e assim a freqncia ser a mesma!

OPO: B.

27. (CF-C6-H20) (UNITAU/95) Indique a alternativa que preenche corretamente as lacunas

da questo a seguir. Um pndulo simples est animado de um movimento harmnico simples. Nos pontos extremos da trajetria, a velocidade da bolinha do pndulo ________, a acelerao ________, e a energia potencial ________. medida que a bolinha se aproxima do centro da trajetria, a velocidade ________, a acelerao ________ e a energia potencial _______. a) nula, mxima, mxima, diminui, aumenta, diminui. b) mxima, nula, mxima, diminui, aumenta, diminui. c) mxima, mxima, nula, diminui, aumenta, diminui. d) nula, mxima, mxima, aumenta, diminui, diminui.

CORREO

Sempre bom imaginar o que est acontecendo... Para tanto, desenhemos um pndulo. Nas extremidades, ele instantaneamente pra, sua altura e sua energia potencial gravitacional so mximas e a cintica zero. No ponto mais baixo, a altura e a energia potencial gravitacional so mnimas, mas a velocidade e a energia cintica so mximas. O pndulo acelera mais no comeo do movimento a partir da extremidade, quanto ainda tem muita altura para cair. Na altura mnima, inclusive, no acelera nada instantaneamente.

OPO: D.

VMx

hMn

hMx

V = 0

2 Mhs e Estacionarias

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