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UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAIacuteBA CENTRO DE CIEcircNCIAS E TECNOLOGIA- CCT
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA CURSO LICENCIATURA EM MATEMAacuteTICA
DJAVAN LUCENA REIS
APLICACcedilOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
CAMPINA GRANDE-PB ABRIL DE 2011
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DJAVAN LUCENA REIS
APLICACcedilOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado no Curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica da Universidade Estadual da Paraiacuteba em cumprimentos agraves exigecircncias para obtenccedilatildeo do Tiacutetulo de Licenciado em Matemaacutetica
Orientador Prof Ms Fernando Luiz Tavares da Silva
Campina GrandePB 2011
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FICHA CATALOGRAacuteFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL ndash UEPB
R277d Reis Djavan Lucena
Aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer [manuscrito] Djavan Lucena Reis ndash 2011
47 f il color Digitado Trabalho de Conclusatildeo de Curso (Graduaccedilatildeo em
Matemaacutetica) ndash Universidade Estadual da Paraiacuteba Centro de Ciecircncias Tecnoloacutegicas 2011
ldquoOrientaccedilatildeo Prof Me Fernando Luiz Tavares da Silva Departamento de Matemaacutetica e Estatiacutesticardquo
1 Geometria 2 Trigonometria 3 Matemaacutetica -
Triacircngulos I Tiacutetulo
21 ed CDD 516
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DJAVAN LUCENA REIS
APLICACcedilOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado no Curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica da Universidade Estadual da Paraiacuteba em cumprimento agraves exigecircncias para obtenccedilatildeo do Tiacutetulo de Licenciado em Matemaacutetica
BANCA EXAMINADORA FERNANDO LUIS TAVARES DA SILVA_______________________ NOTA 85 Prof ( Orientador ndash UEPB) FRANCISCO DE SAacute RIBEIRO________________________________ NOTA 85 Prof (Examinador ndash UEPB)
ONILDO DOS REIS FREIRE_________________________ NOTA 85 Prof (Examinador ndash UEPB)
MEacuteDIA 85
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Dedico este trabalho a todos os estudantes que
buscam compreender natildeo soacute a utilidade dos
triacircngulos como tambeacutem resolver problemas que
envolvem os mais diferentes tipos de triacircngulos
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AGRADECIMENTOS
Agradeccedilo a Deus por ter me dado forccedilas e graccedila para enfrentar os desafios e superaacute-
los sem ele nada do que conquistei seria possiacutevel inclusive chegar ateacute esse momento
A minha famiacutelia que sempre foi agrave base da minha formaccedilatildeo e onde encontrei os
maiores incentivadores em todas as minhas investidas nas mais diversas aacutereas
A todos os professores que fazem o curso de matemaacutetica em especial agravequeles dos
quais fui aluno e tive o privileacutegio de partilhar de seus conhecimentos e amizade
Aos meus colegas de sala que juntamente comigo vivenciaram todos esses momentos
acadecircmicos com companheirismo e a todos o meus amigos que sempre acreditaram em mim
me incentivando sempre a prosseguir em cada desafio que se apresentasse a frente dos quais
posso citar para representa-los Livacircnia que sempre foi uma incentivadora e motivadora nas
minhas investidas
Ao meu Pastor Robeacuterio Ricardo incentivador muito especial e intercessor sempre
presente
A minha namorada Raquel que carinhosamente contribuiu na apresentaccedilatildeo desse
trabalho
Ao meu orientador pelas preciosas contribuiccedilotildees para a realizaccedilatildeo de meu trabalho
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RESUMO
O presente trabalho eacute uma reflexatildeo sobre a importacircncia dos triacircngulos na vida
humana desde os tempos passados comeccedilando pela civilizaccedilatildeo egiacutepcia onde a Matemaacutetica
era essencialmente praacutetica e os triacircngulos deviam cumprir seu papel nesse contexto pelos
babilocircnicos que jaacute conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e a
civilizaccedilatildeo grega onde a matemaacutetica moderna se desenvolveu e atraveacutes de matemaacuteticos
gregos como Tales de Mileto outras propriedades dos triacircngulos ficaram conhecidas
Atualmente percebemos a importacircncia do triacircngulo em vaacuterias partes inuacutemeras construccedilotildees
levam em sua estrutura formatos de triacircngulos nos designes tudo para daacute uma maior
sustentaccedilatildeo eficiecircncia e beleza como eacute o caso dos Andaimes pontes triangulares velas de
barcos em formato triangular entre outras Embora hoje a trigonometria esteja presente em
vaacuterios ramos do conhecimento ela basicamente comeccedilou estudando as relaccedilotildees entre os
comprimentos dos lados de um triacircngulo retacircngulo e os acircngulos agudos formados por esse
triacircngulo Devido a necessidade de se estudarem triacircngulos que natildeo satildeo retacircngulos surgiram
algumas leis e teoremas que estabelecem relaccedilotildees em triacircngulos quaisquer como eacute caso da lei
dos senos e dos cossenos que nos permite calcular as medidas dos lados e acircngulos
desconhecidos O teorema da aacuterea por exemplo nos permite encontrar a aacuterea de um triacircngulo
qualquer em funccedilatildeo das medidas de dois lados desse triacircngulo e do acircngulo formado por
esses lados O conhecimento desses teoremas e leis nos proporciona desenvolver habilidades
que nos permitiraacute resolver problemas dos mais diversos que envolvam triacircngulos quaisquer e
que tenha um grau de dificuldade maior do que os que habitualmente encontramos nos livros
de ensino meacutedio e nos problemas propostos pelos professores de maneira geral
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SUMAacuteRIO
RESUMO 06 INTRODUCcedilAtildeO 09 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA 10
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO 10
12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS 12
13 A MATEMAacuteTICA GREGA 13
14 PITAacuteGORAS 14
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA 15
151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA 18
152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DOS TRIAcircNGULOS 20
153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO 21
154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO 22
155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS 22
156 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO 23
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS 24
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO24
162 PROPRIEDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO 26
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO 27
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS 28
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO 29
171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS 30
172 ESTUDO DO SINAL DO COSSENO E DO SENO 30
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER 31
21 LEI DOS SENOS 31
22 LEI DOS COSSENOS 32
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO 34
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL35
8 30 APLICACcedilOtildeES 37
31 APLICACcedilOtildeES DO SENO 37
32 APLICACcedilOtildeES DO COSSENO 39
33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA 41
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS 42
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA 43
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 49
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 50
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INTRODUCcedilAtildeO
A importacircncia dos triacircngulos na disciplina de Matemaacutetica eacute evidente isso porque
vaacuterios assuntos abordados em sala de aula podem ser explorados a partir de uma simples
observaccedilatildeo da estrutura do triacircngulo Podemos citar por exemplo acircngulos aacuterea periacutemetro e
casos de semelhanccedila que envolve a proacutepria figura A importacircncia do triacircngulo tambeacutem eacute
observaacutevel no nosso dia a dia pois devido a sua forma e equiliacutebrio que promove consistecircncia
eacute comum vermos edifiacutecios pontes paredes e estruturas quaisquer que fazem uso da forma
triangular por ela proporcionar mais seguranccedila e firmeza
A trigonometria que estuda basicamente as relaccedilotildees no triacircngulo eacute um dos assuntos
mais abordados dentro da disciplina de Matemaacutetica e muitas dessas relaccedilotildees trigonomeacutetricas
que satildeo vistas nas escolas satildeo relaccedilotildees que se datildeo principalmente no triacircngulo retacircngulo e
muitas vezes passam despercebido nas escolas outras relaccedilotildees que tambeacutem satildeo possiacuteveis de
ver em outros triacircngulos
Uma das propostas desse trabalho consiste ressaltar a importacircncia do triacircngulo
matemaacutetico com a apresentaccedilatildeo de algumas propriedades inerentes a figura e teoremas a ela
relacionados mas tambeacutem verificarmos que os triacircngulos estatildeo presentes no nosso dia a dia
sendo usados em nosso benefiacutecio
Poreacutem o objetivo maior desse trabalho eacute apresentar algumas aplicaccedilotildees
trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer e para isso faremos uso de algumas demonstraccedilotildees
de leis tais como a do seno e cosseno que satildeo aplicaacuteveis aos mais diversos tipos de
triacircngulos
10 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA
Desde a antiguidade o homem utiliza a matemaacutetica para facilitar a vida e organizar a
sociedade Na preacute-histoacuteria quando o homem era nocircmade e vivia em pequenos grupos vivendo
da caccedila e pesca esse periacuteodo foi marcado por um baixo niacutevel intelectual cientiacutefico e
matemaacutetico
Mas mesmo assim podemos citar algumas descobertas cientiacuteficas e matemaacuteticas
Neste periacuteodo houve a elaboraccedilatildeo de um processo rudimentar de contagem ranhuras em
ossos marcas em galhos desenhos em cavernas e pedras Tambeacutem podemos citar aqui o
processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades ou seja para cada unidade
obtida era colocada uma pequena pedra em um saquinho Portanto boa parte dessas
descobertas matemaacutetica mencionadas derivam de ideacuteias que originalmente estavam centradas
nos conceitos de nuacutemero grandeza e forma1
Em certa eacutepoca pensou-se que a matemaacutetica estava ocupada apenas com os nossos
sentidos com aquilo que o homem podia perceber do mundo no qual vivia e foi apenas no
seacuteculo dezenove que a matemaacutetica pura se libertou das limitaccedilotildees sugeridas por observaccedilotildees
da natureza
Ao longo do tempo o homem a medida que ia se desenvolvendo tambeacutem ia
utilizando alguns conhecimentos que iriam facilitar sua vida em sociedade e a matemaacutetica
esteve presente na organizaccedilatildeo da vida social do homem Veremos mais adiante as principais
civilizaccedilotildees antigas que contribuiacuteram para o desenvolvimento dessa ciecircncia chamada
matemaacutetica
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO
A civilizaccedilatildeo egiacutepcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra feacutertil que
margeava o rio Nilo posiccedilatildeo geograacutefica que foi propiacutecia ao desenvolvimento da agricultura
base da economia no Egito Pelo fato de que a sociedade egiacutepcia era extremamente fixa e
centrada na pessoa do Faraoacute que natildeo permitia uma maior abertura para as classes inferiores
as ciecircncias foram prejudicadas mas mesmo assim houve algumas descobertas As construccedilotildees
das piracircmides datildeo a entender que o conhecimento matemaacutetico dos egiacutepcios era muito mais
avanccedilado que o conhecido nos papiros (ducumentos egiacutepcios em forma de uma estreita tira
1Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p1)
11 escritos na forma hieraacutetica que foram descobertos em escavaccedilotildees no Egito por volta do seacuteculo
XVIII dC) Estes papiros traziam uma seacuterie de problemas e coleccedilotildees matemaacuteticas em
linguagem hieraacutetica que forma um dos pilares da matemaacutetica grega a qual foi a base para
nossa matemaacutetica moderna isto em geometria e trigonometria Do ponto de vista matemaacutetico
os mais importantes satildeo os papiros de Moscou e os papiros de Rhind Nesse uacuteltimo por
exemplo continham problemas diversos onde satildeo aplicados os meacutetodos de divisatildeo e
multiplicaccedilatildeo dos egiacutepcios mostrando tambeacutem como eles empregavam a regra da falsa
posiccedilatildeo e muitos outros problemas matemaacuteticos voltados a questotildees praacuteticas Pode-se entatildeo
perceber que mesmo com todas as dificuldades e restriccedilotildees impostas pela forma de governo
houve um grande avanccedilo matemaacutetico e cientiacutefico no Egito2
Foi tambeacutem com o egiacutepcios que Comeccedilou- se tambeacutem com uma geometria elementar
e uma trigonometria baacutesica (esticadores de corda) para facilitar a demarcaccedilatildeo de terras Com
isso utilizaram-se os caacutelculos de aacutereas raiacutezes quadradas e fraccedilotildees Tambeacutem sabemos que os
egiacutepcios conheciam as relaccedilotildees meacutetricas em um triacircngulo retacircngulo
Outro registro matemaacutetico mais antigo ainda eacute o da numeraccedilatildeo hierogliacutefica egiacutepcia
que eram inscriccedilotildees sagradas feitas em tumbas e monumentos que foram decifradas e
descobriu-se que esse sistema de numeraccedilatildeo antigo baseava-se na escala dez Essa linguagem
simples utilizava siacutembolos diferentes para representar por exemplo a primeira duacutezia de
potecircncias dez um traccedilo vertical representava uma unidade um osso de calcanhar invertido
representava o nuacutemero 10 um laccedilo como uma letra C valia 100 um dedo dobrado valia
10000 e assim os egiacutepcios podiam expressar as primeiras noccedilotildees de quantidade3
A matemaacutetica egiacutepcia sempre foi essencialmente praacutetica Quando o rio Nilo estava no
periacuteodo das cheias comeccedilavam os problemas para as pessoas Para resolver estes problemas
foram desenvolvidos vaacuterios ramos da matemaacutetica Foram construiacutedas obras hidraacuteulicas
reservatoacuterios de aacutegua e canais de irrigaccedilatildeo no rio Nilo Aleacutem disso outras aacutereas do
conhecimento foram estudadas pelos egiacutepcios com o intuito de prever as cheias do rio Nilo
como eacute o caso da Astronomia
2 httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 3 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p7)
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
1
DJAVAN LUCENA REIS
APLICACcedilOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado no Curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica da Universidade Estadual da Paraiacuteba em cumprimentos agraves exigecircncias para obtenccedilatildeo do Tiacutetulo de Licenciado em Matemaacutetica
Orientador Prof Ms Fernando Luiz Tavares da Silva
Campina GrandePB 2011
2
FICHA CATALOGRAacuteFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL ndash UEPB
R277d Reis Djavan Lucena
Aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer [manuscrito] Djavan Lucena Reis ndash 2011
47 f il color Digitado Trabalho de Conclusatildeo de Curso (Graduaccedilatildeo em
Matemaacutetica) ndash Universidade Estadual da Paraiacuteba Centro de Ciecircncias Tecnoloacutegicas 2011
ldquoOrientaccedilatildeo Prof Me Fernando Luiz Tavares da Silva Departamento de Matemaacutetica e Estatiacutesticardquo
1 Geometria 2 Trigonometria 3 Matemaacutetica -
Triacircngulos I Tiacutetulo
21 ed CDD 516
3
DJAVAN LUCENA REIS
APLICACcedilOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado no Curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica da Universidade Estadual da Paraiacuteba em cumprimento agraves exigecircncias para obtenccedilatildeo do Tiacutetulo de Licenciado em Matemaacutetica
BANCA EXAMINADORA FERNANDO LUIS TAVARES DA SILVA_______________________ NOTA 85 Prof ( Orientador ndash UEPB) FRANCISCO DE SAacute RIBEIRO________________________________ NOTA 85 Prof (Examinador ndash UEPB)
ONILDO DOS REIS FREIRE_________________________ NOTA 85 Prof (Examinador ndash UEPB)
MEacuteDIA 85
4
Dedico este trabalho a todos os estudantes que
buscam compreender natildeo soacute a utilidade dos
triacircngulos como tambeacutem resolver problemas que
envolvem os mais diferentes tipos de triacircngulos
5
AGRADECIMENTOS
Agradeccedilo a Deus por ter me dado forccedilas e graccedila para enfrentar os desafios e superaacute-
los sem ele nada do que conquistei seria possiacutevel inclusive chegar ateacute esse momento
A minha famiacutelia que sempre foi agrave base da minha formaccedilatildeo e onde encontrei os
maiores incentivadores em todas as minhas investidas nas mais diversas aacutereas
A todos os professores que fazem o curso de matemaacutetica em especial agravequeles dos
quais fui aluno e tive o privileacutegio de partilhar de seus conhecimentos e amizade
Aos meus colegas de sala que juntamente comigo vivenciaram todos esses momentos
acadecircmicos com companheirismo e a todos o meus amigos que sempre acreditaram em mim
me incentivando sempre a prosseguir em cada desafio que se apresentasse a frente dos quais
posso citar para representa-los Livacircnia que sempre foi uma incentivadora e motivadora nas
minhas investidas
Ao meu Pastor Robeacuterio Ricardo incentivador muito especial e intercessor sempre
presente
A minha namorada Raquel que carinhosamente contribuiu na apresentaccedilatildeo desse
trabalho
Ao meu orientador pelas preciosas contribuiccedilotildees para a realizaccedilatildeo de meu trabalho
6
RESUMO
O presente trabalho eacute uma reflexatildeo sobre a importacircncia dos triacircngulos na vida
humana desde os tempos passados comeccedilando pela civilizaccedilatildeo egiacutepcia onde a Matemaacutetica
era essencialmente praacutetica e os triacircngulos deviam cumprir seu papel nesse contexto pelos
babilocircnicos que jaacute conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e a
civilizaccedilatildeo grega onde a matemaacutetica moderna se desenvolveu e atraveacutes de matemaacuteticos
gregos como Tales de Mileto outras propriedades dos triacircngulos ficaram conhecidas
Atualmente percebemos a importacircncia do triacircngulo em vaacuterias partes inuacutemeras construccedilotildees
levam em sua estrutura formatos de triacircngulos nos designes tudo para daacute uma maior
sustentaccedilatildeo eficiecircncia e beleza como eacute o caso dos Andaimes pontes triangulares velas de
barcos em formato triangular entre outras Embora hoje a trigonometria esteja presente em
vaacuterios ramos do conhecimento ela basicamente comeccedilou estudando as relaccedilotildees entre os
comprimentos dos lados de um triacircngulo retacircngulo e os acircngulos agudos formados por esse
triacircngulo Devido a necessidade de se estudarem triacircngulos que natildeo satildeo retacircngulos surgiram
algumas leis e teoremas que estabelecem relaccedilotildees em triacircngulos quaisquer como eacute caso da lei
dos senos e dos cossenos que nos permite calcular as medidas dos lados e acircngulos
desconhecidos O teorema da aacuterea por exemplo nos permite encontrar a aacuterea de um triacircngulo
qualquer em funccedilatildeo das medidas de dois lados desse triacircngulo e do acircngulo formado por
esses lados O conhecimento desses teoremas e leis nos proporciona desenvolver habilidades
que nos permitiraacute resolver problemas dos mais diversos que envolvam triacircngulos quaisquer e
que tenha um grau de dificuldade maior do que os que habitualmente encontramos nos livros
de ensino meacutedio e nos problemas propostos pelos professores de maneira geral
7
SUMAacuteRIO
RESUMO 06 INTRODUCcedilAtildeO 09 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA 10
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO 10
12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS 12
13 A MATEMAacuteTICA GREGA 13
14 PITAacuteGORAS 14
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA 15
151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA 18
152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DOS TRIAcircNGULOS 20
153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO 21
154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO 22
155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS 22
156 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO 23
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS 24
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO24
162 PROPRIEDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO 26
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO 27
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS 28
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO 29
171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS 30
172 ESTUDO DO SINAL DO COSSENO E DO SENO 30
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER 31
21 LEI DOS SENOS 31
22 LEI DOS COSSENOS 32
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO 34
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL35
8 30 APLICACcedilOtildeES 37
31 APLICACcedilOtildeES DO SENO 37
32 APLICACcedilOtildeES DO COSSENO 39
33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA 41
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS 42
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA 43
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 49
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 50
9
INTRODUCcedilAtildeO
A importacircncia dos triacircngulos na disciplina de Matemaacutetica eacute evidente isso porque
vaacuterios assuntos abordados em sala de aula podem ser explorados a partir de uma simples
observaccedilatildeo da estrutura do triacircngulo Podemos citar por exemplo acircngulos aacuterea periacutemetro e
casos de semelhanccedila que envolve a proacutepria figura A importacircncia do triacircngulo tambeacutem eacute
observaacutevel no nosso dia a dia pois devido a sua forma e equiliacutebrio que promove consistecircncia
eacute comum vermos edifiacutecios pontes paredes e estruturas quaisquer que fazem uso da forma
triangular por ela proporcionar mais seguranccedila e firmeza
A trigonometria que estuda basicamente as relaccedilotildees no triacircngulo eacute um dos assuntos
mais abordados dentro da disciplina de Matemaacutetica e muitas dessas relaccedilotildees trigonomeacutetricas
que satildeo vistas nas escolas satildeo relaccedilotildees que se datildeo principalmente no triacircngulo retacircngulo e
muitas vezes passam despercebido nas escolas outras relaccedilotildees que tambeacutem satildeo possiacuteveis de
ver em outros triacircngulos
Uma das propostas desse trabalho consiste ressaltar a importacircncia do triacircngulo
matemaacutetico com a apresentaccedilatildeo de algumas propriedades inerentes a figura e teoremas a ela
relacionados mas tambeacutem verificarmos que os triacircngulos estatildeo presentes no nosso dia a dia
sendo usados em nosso benefiacutecio
Poreacutem o objetivo maior desse trabalho eacute apresentar algumas aplicaccedilotildees
trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer e para isso faremos uso de algumas demonstraccedilotildees
de leis tais como a do seno e cosseno que satildeo aplicaacuteveis aos mais diversos tipos de
triacircngulos
10 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA
Desde a antiguidade o homem utiliza a matemaacutetica para facilitar a vida e organizar a
sociedade Na preacute-histoacuteria quando o homem era nocircmade e vivia em pequenos grupos vivendo
da caccedila e pesca esse periacuteodo foi marcado por um baixo niacutevel intelectual cientiacutefico e
matemaacutetico
Mas mesmo assim podemos citar algumas descobertas cientiacuteficas e matemaacuteticas
Neste periacuteodo houve a elaboraccedilatildeo de um processo rudimentar de contagem ranhuras em
ossos marcas em galhos desenhos em cavernas e pedras Tambeacutem podemos citar aqui o
processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades ou seja para cada unidade
obtida era colocada uma pequena pedra em um saquinho Portanto boa parte dessas
descobertas matemaacutetica mencionadas derivam de ideacuteias que originalmente estavam centradas
nos conceitos de nuacutemero grandeza e forma1
Em certa eacutepoca pensou-se que a matemaacutetica estava ocupada apenas com os nossos
sentidos com aquilo que o homem podia perceber do mundo no qual vivia e foi apenas no
seacuteculo dezenove que a matemaacutetica pura se libertou das limitaccedilotildees sugeridas por observaccedilotildees
da natureza
Ao longo do tempo o homem a medida que ia se desenvolvendo tambeacutem ia
utilizando alguns conhecimentos que iriam facilitar sua vida em sociedade e a matemaacutetica
esteve presente na organizaccedilatildeo da vida social do homem Veremos mais adiante as principais
civilizaccedilotildees antigas que contribuiacuteram para o desenvolvimento dessa ciecircncia chamada
matemaacutetica
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO
A civilizaccedilatildeo egiacutepcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra feacutertil que
margeava o rio Nilo posiccedilatildeo geograacutefica que foi propiacutecia ao desenvolvimento da agricultura
base da economia no Egito Pelo fato de que a sociedade egiacutepcia era extremamente fixa e
centrada na pessoa do Faraoacute que natildeo permitia uma maior abertura para as classes inferiores
as ciecircncias foram prejudicadas mas mesmo assim houve algumas descobertas As construccedilotildees
das piracircmides datildeo a entender que o conhecimento matemaacutetico dos egiacutepcios era muito mais
avanccedilado que o conhecido nos papiros (ducumentos egiacutepcios em forma de uma estreita tira
1Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p1)
11 escritos na forma hieraacutetica que foram descobertos em escavaccedilotildees no Egito por volta do seacuteculo
XVIII dC) Estes papiros traziam uma seacuterie de problemas e coleccedilotildees matemaacuteticas em
linguagem hieraacutetica que forma um dos pilares da matemaacutetica grega a qual foi a base para
nossa matemaacutetica moderna isto em geometria e trigonometria Do ponto de vista matemaacutetico
os mais importantes satildeo os papiros de Moscou e os papiros de Rhind Nesse uacuteltimo por
exemplo continham problemas diversos onde satildeo aplicados os meacutetodos de divisatildeo e
multiplicaccedilatildeo dos egiacutepcios mostrando tambeacutem como eles empregavam a regra da falsa
posiccedilatildeo e muitos outros problemas matemaacuteticos voltados a questotildees praacuteticas Pode-se entatildeo
perceber que mesmo com todas as dificuldades e restriccedilotildees impostas pela forma de governo
houve um grande avanccedilo matemaacutetico e cientiacutefico no Egito2
Foi tambeacutem com o egiacutepcios que Comeccedilou- se tambeacutem com uma geometria elementar
e uma trigonometria baacutesica (esticadores de corda) para facilitar a demarcaccedilatildeo de terras Com
isso utilizaram-se os caacutelculos de aacutereas raiacutezes quadradas e fraccedilotildees Tambeacutem sabemos que os
egiacutepcios conheciam as relaccedilotildees meacutetricas em um triacircngulo retacircngulo
Outro registro matemaacutetico mais antigo ainda eacute o da numeraccedilatildeo hierogliacutefica egiacutepcia
que eram inscriccedilotildees sagradas feitas em tumbas e monumentos que foram decifradas e
descobriu-se que esse sistema de numeraccedilatildeo antigo baseava-se na escala dez Essa linguagem
simples utilizava siacutembolos diferentes para representar por exemplo a primeira duacutezia de
potecircncias dez um traccedilo vertical representava uma unidade um osso de calcanhar invertido
representava o nuacutemero 10 um laccedilo como uma letra C valia 100 um dedo dobrado valia
10000 e assim os egiacutepcios podiam expressar as primeiras noccedilotildees de quantidade3
A matemaacutetica egiacutepcia sempre foi essencialmente praacutetica Quando o rio Nilo estava no
periacuteodo das cheias comeccedilavam os problemas para as pessoas Para resolver estes problemas
foram desenvolvidos vaacuterios ramos da matemaacutetica Foram construiacutedas obras hidraacuteulicas
reservatoacuterios de aacutegua e canais de irrigaccedilatildeo no rio Nilo Aleacutem disso outras aacutereas do
conhecimento foram estudadas pelos egiacutepcios com o intuito de prever as cheias do rio Nilo
como eacute o caso da Astronomia
2 httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 3 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p7)
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
2
FICHA CATALOGRAacuteFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL ndash UEPB
R277d Reis Djavan Lucena
Aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer [manuscrito] Djavan Lucena Reis ndash 2011
47 f il color Digitado Trabalho de Conclusatildeo de Curso (Graduaccedilatildeo em
Matemaacutetica) ndash Universidade Estadual da Paraiacuteba Centro de Ciecircncias Tecnoloacutegicas 2011
ldquoOrientaccedilatildeo Prof Me Fernando Luiz Tavares da Silva Departamento de Matemaacutetica e Estatiacutesticardquo
1 Geometria 2 Trigonometria 3 Matemaacutetica -
Triacircngulos I Tiacutetulo
21 ed CDD 516
3
DJAVAN LUCENA REIS
APLICACcedilOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado no Curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica da Universidade Estadual da Paraiacuteba em cumprimento agraves exigecircncias para obtenccedilatildeo do Tiacutetulo de Licenciado em Matemaacutetica
BANCA EXAMINADORA FERNANDO LUIS TAVARES DA SILVA_______________________ NOTA 85 Prof ( Orientador ndash UEPB) FRANCISCO DE SAacute RIBEIRO________________________________ NOTA 85 Prof (Examinador ndash UEPB)
ONILDO DOS REIS FREIRE_________________________ NOTA 85 Prof (Examinador ndash UEPB)
MEacuteDIA 85
4
Dedico este trabalho a todos os estudantes que
buscam compreender natildeo soacute a utilidade dos
triacircngulos como tambeacutem resolver problemas que
envolvem os mais diferentes tipos de triacircngulos
5
AGRADECIMENTOS
Agradeccedilo a Deus por ter me dado forccedilas e graccedila para enfrentar os desafios e superaacute-
los sem ele nada do que conquistei seria possiacutevel inclusive chegar ateacute esse momento
A minha famiacutelia que sempre foi agrave base da minha formaccedilatildeo e onde encontrei os
maiores incentivadores em todas as minhas investidas nas mais diversas aacutereas
A todos os professores que fazem o curso de matemaacutetica em especial agravequeles dos
quais fui aluno e tive o privileacutegio de partilhar de seus conhecimentos e amizade
Aos meus colegas de sala que juntamente comigo vivenciaram todos esses momentos
acadecircmicos com companheirismo e a todos o meus amigos que sempre acreditaram em mim
me incentivando sempre a prosseguir em cada desafio que se apresentasse a frente dos quais
posso citar para representa-los Livacircnia que sempre foi uma incentivadora e motivadora nas
minhas investidas
Ao meu Pastor Robeacuterio Ricardo incentivador muito especial e intercessor sempre
presente
A minha namorada Raquel que carinhosamente contribuiu na apresentaccedilatildeo desse
trabalho
Ao meu orientador pelas preciosas contribuiccedilotildees para a realizaccedilatildeo de meu trabalho
6
RESUMO
O presente trabalho eacute uma reflexatildeo sobre a importacircncia dos triacircngulos na vida
humana desde os tempos passados comeccedilando pela civilizaccedilatildeo egiacutepcia onde a Matemaacutetica
era essencialmente praacutetica e os triacircngulos deviam cumprir seu papel nesse contexto pelos
babilocircnicos que jaacute conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e a
civilizaccedilatildeo grega onde a matemaacutetica moderna se desenvolveu e atraveacutes de matemaacuteticos
gregos como Tales de Mileto outras propriedades dos triacircngulos ficaram conhecidas
Atualmente percebemos a importacircncia do triacircngulo em vaacuterias partes inuacutemeras construccedilotildees
levam em sua estrutura formatos de triacircngulos nos designes tudo para daacute uma maior
sustentaccedilatildeo eficiecircncia e beleza como eacute o caso dos Andaimes pontes triangulares velas de
barcos em formato triangular entre outras Embora hoje a trigonometria esteja presente em
vaacuterios ramos do conhecimento ela basicamente comeccedilou estudando as relaccedilotildees entre os
comprimentos dos lados de um triacircngulo retacircngulo e os acircngulos agudos formados por esse
triacircngulo Devido a necessidade de se estudarem triacircngulos que natildeo satildeo retacircngulos surgiram
algumas leis e teoremas que estabelecem relaccedilotildees em triacircngulos quaisquer como eacute caso da lei
dos senos e dos cossenos que nos permite calcular as medidas dos lados e acircngulos
desconhecidos O teorema da aacuterea por exemplo nos permite encontrar a aacuterea de um triacircngulo
qualquer em funccedilatildeo das medidas de dois lados desse triacircngulo e do acircngulo formado por
esses lados O conhecimento desses teoremas e leis nos proporciona desenvolver habilidades
que nos permitiraacute resolver problemas dos mais diversos que envolvam triacircngulos quaisquer e
que tenha um grau de dificuldade maior do que os que habitualmente encontramos nos livros
de ensino meacutedio e nos problemas propostos pelos professores de maneira geral
7
SUMAacuteRIO
RESUMO 06 INTRODUCcedilAtildeO 09 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA 10
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO 10
12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS 12
13 A MATEMAacuteTICA GREGA 13
14 PITAacuteGORAS 14
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA 15
151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA 18
152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DOS TRIAcircNGULOS 20
153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO 21
154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO 22
155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS 22
156 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO 23
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS 24
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO24
162 PROPRIEDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO 26
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO 27
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS 28
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO 29
171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS 30
172 ESTUDO DO SINAL DO COSSENO E DO SENO 30
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER 31
21 LEI DOS SENOS 31
22 LEI DOS COSSENOS 32
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO 34
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL35
8 30 APLICACcedilOtildeES 37
31 APLICACcedilOtildeES DO SENO 37
32 APLICACcedilOtildeES DO COSSENO 39
33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA 41
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS 42
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA 43
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 49
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 50
9
INTRODUCcedilAtildeO
A importacircncia dos triacircngulos na disciplina de Matemaacutetica eacute evidente isso porque
vaacuterios assuntos abordados em sala de aula podem ser explorados a partir de uma simples
observaccedilatildeo da estrutura do triacircngulo Podemos citar por exemplo acircngulos aacuterea periacutemetro e
casos de semelhanccedila que envolve a proacutepria figura A importacircncia do triacircngulo tambeacutem eacute
observaacutevel no nosso dia a dia pois devido a sua forma e equiliacutebrio que promove consistecircncia
eacute comum vermos edifiacutecios pontes paredes e estruturas quaisquer que fazem uso da forma
triangular por ela proporcionar mais seguranccedila e firmeza
A trigonometria que estuda basicamente as relaccedilotildees no triacircngulo eacute um dos assuntos
mais abordados dentro da disciplina de Matemaacutetica e muitas dessas relaccedilotildees trigonomeacutetricas
que satildeo vistas nas escolas satildeo relaccedilotildees que se datildeo principalmente no triacircngulo retacircngulo e
muitas vezes passam despercebido nas escolas outras relaccedilotildees que tambeacutem satildeo possiacuteveis de
ver em outros triacircngulos
Uma das propostas desse trabalho consiste ressaltar a importacircncia do triacircngulo
matemaacutetico com a apresentaccedilatildeo de algumas propriedades inerentes a figura e teoremas a ela
relacionados mas tambeacutem verificarmos que os triacircngulos estatildeo presentes no nosso dia a dia
sendo usados em nosso benefiacutecio
Poreacutem o objetivo maior desse trabalho eacute apresentar algumas aplicaccedilotildees
trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer e para isso faremos uso de algumas demonstraccedilotildees
de leis tais como a do seno e cosseno que satildeo aplicaacuteveis aos mais diversos tipos de
triacircngulos
10 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA
Desde a antiguidade o homem utiliza a matemaacutetica para facilitar a vida e organizar a
sociedade Na preacute-histoacuteria quando o homem era nocircmade e vivia em pequenos grupos vivendo
da caccedila e pesca esse periacuteodo foi marcado por um baixo niacutevel intelectual cientiacutefico e
matemaacutetico
Mas mesmo assim podemos citar algumas descobertas cientiacuteficas e matemaacuteticas
Neste periacuteodo houve a elaboraccedilatildeo de um processo rudimentar de contagem ranhuras em
ossos marcas em galhos desenhos em cavernas e pedras Tambeacutem podemos citar aqui o
processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades ou seja para cada unidade
obtida era colocada uma pequena pedra em um saquinho Portanto boa parte dessas
descobertas matemaacutetica mencionadas derivam de ideacuteias que originalmente estavam centradas
nos conceitos de nuacutemero grandeza e forma1
Em certa eacutepoca pensou-se que a matemaacutetica estava ocupada apenas com os nossos
sentidos com aquilo que o homem podia perceber do mundo no qual vivia e foi apenas no
seacuteculo dezenove que a matemaacutetica pura se libertou das limitaccedilotildees sugeridas por observaccedilotildees
da natureza
Ao longo do tempo o homem a medida que ia se desenvolvendo tambeacutem ia
utilizando alguns conhecimentos que iriam facilitar sua vida em sociedade e a matemaacutetica
esteve presente na organizaccedilatildeo da vida social do homem Veremos mais adiante as principais
civilizaccedilotildees antigas que contribuiacuteram para o desenvolvimento dessa ciecircncia chamada
matemaacutetica
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO
A civilizaccedilatildeo egiacutepcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra feacutertil que
margeava o rio Nilo posiccedilatildeo geograacutefica que foi propiacutecia ao desenvolvimento da agricultura
base da economia no Egito Pelo fato de que a sociedade egiacutepcia era extremamente fixa e
centrada na pessoa do Faraoacute que natildeo permitia uma maior abertura para as classes inferiores
as ciecircncias foram prejudicadas mas mesmo assim houve algumas descobertas As construccedilotildees
das piracircmides datildeo a entender que o conhecimento matemaacutetico dos egiacutepcios era muito mais
avanccedilado que o conhecido nos papiros (ducumentos egiacutepcios em forma de uma estreita tira
1Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p1)
11 escritos na forma hieraacutetica que foram descobertos em escavaccedilotildees no Egito por volta do seacuteculo
XVIII dC) Estes papiros traziam uma seacuterie de problemas e coleccedilotildees matemaacuteticas em
linguagem hieraacutetica que forma um dos pilares da matemaacutetica grega a qual foi a base para
nossa matemaacutetica moderna isto em geometria e trigonometria Do ponto de vista matemaacutetico
os mais importantes satildeo os papiros de Moscou e os papiros de Rhind Nesse uacuteltimo por
exemplo continham problemas diversos onde satildeo aplicados os meacutetodos de divisatildeo e
multiplicaccedilatildeo dos egiacutepcios mostrando tambeacutem como eles empregavam a regra da falsa
posiccedilatildeo e muitos outros problemas matemaacuteticos voltados a questotildees praacuteticas Pode-se entatildeo
perceber que mesmo com todas as dificuldades e restriccedilotildees impostas pela forma de governo
houve um grande avanccedilo matemaacutetico e cientiacutefico no Egito2
Foi tambeacutem com o egiacutepcios que Comeccedilou- se tambeacutem com uma geometria elementar
e uma trigonometria baacutesica (esticadores de corda) para facilitar a demarcaccedilatildeo de terras Com
isso utilizaram-se os caacutelculos de aacutereas raiacutezes quadradas e fraccedilotildees Tambeacutem sabemos que os
egiacutepcios conheciam as relaccedilotildees meacutetricas em um triacircngulo retacircngulo
Outro registro matemaacutetico mais antigo ainda eacute o da numeraccedilatildeo hierogliacutefica egiacutepcia
que eram inscriccedilotildees sagradas feitas em tumbas e monumentos que foram decifradas e
descobriu-se que esse sistema de numeraccedilatildeo antigo baseava-se na escala dez Essa linguagem
simples utilizava siacutembolos diferentes para representar por exemplo a primeira duacutezia de
potecircncias dez um traccedilo vertical representava uma unidade um osso de calcanhar invertido
representava o nuacutemero 10 um laccedilo como uma letra C valia 100 um dedo dobrado valia
10000 e assim os egiacutepcios podiam expressar as primeiras noccedilotildees de quantidade3
A matemaacutetica egiacutepcia sempre foi essencialmente praacutetica Quando o rio Nilo estava no
periacuteodo das cheias comeccedilavam os problemas para as pessoas Para resolver estes problemas
foram desenvolvidos vaacuterios ramos da matemaacutetica Foram construiacutedas obras hidraacuteulicas
reservatoacuterios de aacutegua e canais de irrigaccedilatildeo no rio Nilo Aleacutem disso outras aacutereas do
conhecimento foram estudadas pelos egiacutepcios com o intuito de prever as cheias do rio Nilo
como eacute o caso da Astronomia
2 httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 3 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p7)
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
3
DJAVAN LUCENA REIS
APLICACcedilOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado no Curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica da Universidade Estadual da Paraiacuteba em cumprimento agraves exigecircncias para obtenccedilatildeo do Tiacutetulo de Licenciado em Matemaacutetica
BANCA EXAMINADORA FERNANDO LUIS TAVARES DA SILVA_______________________ NOTA 85 Prof ( Orientador ndash UEPB) FRANCISCO DE SAacute RIBEIRO________________________________ NOTA 85 Prof (Examinador ndash UEPB)
ONILDO DOS REIS FREIRE_________________________ NOTA 85 Prof (Examinador ndash UEPB)
MEacuteDIA 85
4
Dedico este trabalho a todos os estudantes que
buscam compreender natildeo soacute a utilidade dos
triacircngulos como tambeacutem resolver problemas que
envolvem os mais diferentes tipos de triacircngulos
5
AGRADECIMENTOS
Agradeccedilo a Deus por ter me dado forccedilas e graccedila para enfrentar os desafios e superaacute-
los sem ele nada do que conquistei seria possiacutevel inclusive chegar ateacute esse momento
A minha famiacutelia que sempre foi agrave base da minha formaccedilatildeo e onde encontrei os
maiores incentivadores em todas as minhas investidas nas mais diversas aacutereas
A todos os professores que fazem o curso de matemaacutetica em especial agravequeles dos
quais fui aluno e tive o privileacutegio de partilhar de seus conhecimentos e amizade
Aos meus colegas de sala que juntamente comigo vivenciaram todos esses momentos
acadecircmicos com companheirismo e a todos o meus amigos que sempre acreditaram em mim
me incentivando sempre a prosseguir em cada desafio que se apresentasse a frente dos quais
posso citar para representa-los Livacircnia que sempre foi uma incentivadora e motivadora nas
minhas investidas
Ao meu Pastor Robeacuterio Ricardo incentivador muito especial e intercessor sempre
presente
A minha namorada Raquel que carinhosamente contribuiu na apresentaccedilatildeo desse
trabalho
Ao meu orientador pelas preciosas contribuiccedilotildees para a realizaccedilatildeo de meu trabalho
6
RESUMO
O presente trabalho eacute uma reflexatildeo sobre a importacircncia dos triacircngulos na vida
humana desde os tempos passados comeccedilando pela civilizaccedilatildeo egiacutepcia onde a Matemaacutetica
era essencialmente praacutetica e os triacircngulos deviam cumprir seu papel nesse contexto pelos
babilocircnicos que jaacute conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e a
civilizaccedilatildeo grega onde a matemaacutetica moderna se desenvolveu e atraveacutes de matemaacuteticos
gregos como Tales de Mileto outras propriedades dos triacircngulos ficaram conhecidas
Atualmente percebemos a importacircncia do triacircngulo em vaacuterias partes inuacutemeras construccedilotildees
levam em sua estrutura formatos de triacircngulos nos designes tudo para daacute uma maior
sustentaccedilatildeo eficiecircncia e beleza como eacute o caso dos Andaimes pontes triangulares velas de
barcos em formato triangular entre outras Embora hoje a trigonometria esteja presente em
vaacuterios ramos do conhecimento ela basicamente comeccedilou estudando as relaccedilotildees entre os
comprimentos dos lados de um triacircngulo retacircngulo e os acircngulos agudos formados por esse
triacircngulo Devido a necessidade de se estudarem triacircngulos que natildeo satildeo retacircngulos surgiram
algumas leis e teoremas que estabelecem relaccedilotildees em triacircngulos quaisquer como eacute caso da lei
dos senos e dos cossenos que nos permite calcular as medidas dos lados e acircngulos
desconhecidos O teorema da aacuterea por exemplo nos permite encontrar a aacuterea de um triacircngulo
qualquer em funccedilatildeo das medidas de dois lados desse triacircngulo e do acircngulo formado por
esses lados O conhecimento desses teoremas e leis nos proporciona desenvolver habilidades
que nos permitiraacute resolver problemas dos mais diversos que envolvam triacircngulos quaisquer e
que tenha um grau de dificuldade maior do que os que habitualmente encontramos nos livros
de ensino meacutedio e nos problemas propostos pelos professores de maneira geral
7
SUMAacuteRIO
RESUMO 06 INTRODUCcedilAtildeO 09 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA 10
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO 10
12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS 12
13 A MATEMAacuteTICA GREGA 13
14 PITAacuteGORAS 14
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA 15
151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA 18
152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DOS TRIAcircNGULOS 20
153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO 21
154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO 22
155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS 22
156 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO 23
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS 24
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO24
162 PROPRIEDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO 26
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO 27
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS 28
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO 29
171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS 30
172 ESTUDO DO SINAL DO COSSENO E DO SENO 30
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER 31
21 LEI DOS SENOS 31
22 LEI DOS COSSENOS 32
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO 34
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL35
8 30 APLICACcedilOtildeES 37
31 APLICACcedilOtildeES DO SENO 37
32 APLICACcedilOtildeES DO COSSENO 39
33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA 41
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS 42
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA 43
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 49
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 50
9
INTRODUCcedilAtildeO
A importacircncia dos triacircngulos na disciplina de Matemaacutetica eacute evidente isso porque
vaacuterios assuntos abordados em sala de aula podem ser explorados a partir de uma simples
observaccedilatildeo da estrutura do triacircngulo Podemos citar por exemplo acircngulos aacuterea periacutemetro e
casos de semelhanccedila que envolve a proacutepria figura A importacircncia do triacircngulo tambeacutem eacute
observaacutevel no nosso dia a dia pois devido a sua forma e equiliacutebrio que promove consistecircncia
eacute comum vermos edifiacutecios pontes paredes e estruturas quaisquer que fazem uso da forma
triangular por ela proporcionar mais seguranccedila e firmeza
A trigonometria que estuda basicamente as relaccedilotildees no triacircngulo eacute um dos assuntos
mais abordados dentro da disciplina de Matemaacutetica e muitas dessas relaccedilotildees trigonomeacutetricas
que satildeo vistas nas escolas satildeo relaccedilotildees que se datildeo principalmente no triacircngulo retacircngulo e
muitas vezes passam despercebido nas escolas outras relaccedilotildees que tambeacutem satildeo possiacuteveis de
ver em outros triacircngulos
Uma das propostas desse trabalho consiste ressaltar a importacircncia do triacircngulo
matemaacutetico com a apresentaccedilatildeo de algumas propriedades inerentes a figura e teoremas a ela
relacionados mas tambeacutem verificarmos que os triacircngulos estatildeo presentes no nosso dia a dia
sendo usados em nosso benefiacutecio
Poreacutem o objetivo maior desse trabalho eacute apresentar algumas aplicaccedilotildees
trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer e para isso faremos uso de algumas demonstraccedilotildees
de leis tais como a do seno e cosseno que satildeo aplicaacuteveis aos mais diversos tipos de
triacircngulos
10 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA
Desde a antiguidade o homem utiliza a matemaacutetica para facilitar a vida e organizar a
sociedade Na preacute-histoacuteria quando o homem era nocircmade e vivia em pequenos grupos vivendo
da caccedila e pesca esse periacuteodo foi marcado por um baixo niacutevel intelectual cientiacutefico e
matemaacutetico
Mas mesmo assim podemos citar algumas descobertas cientiacuteficas e matemaacuteticas
Neste periacuteodo houve a elaboraccedilatildeo de um processo rudimentar de contagem ranhuras em
ossos marcas em galhos desenhos em cavernas e pedras Tambeacutem podemos citar aqui o
processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades ou seja para cada unidade
obtida era colocada uma pequena pedra em um saquinho Portanto boa parte dessas
descobertas matemaacutetica mencionadas derivam de ideacuteias que originalmente estavam centradas
nos conceitos de nuacutemero grandeza e forma1
Em certa eacutepoca pensou-se que a matemaacutetica estava ocupada apenas com os nossos
sentidos com aquilo que o homem podia perceber do mundo no qual vivia e foi apenas no
seacuteculo dezenove que a matemaacutetica pura se libertou das limitaccedilotildees sugeridas por observaccedilotildees
da natureza
Ao longo do tempo o homem a medida que ia se desenvolvendo tambeacutem ia
utilizando alguns conhecimentos que iriam facilitar sua vida em sociedade e a matemaacutetica
esteve presente na organizaccedilatildeo da vida social do homem Veremos mais adiante as principais
civilizaccedilotildees antigas que contribuiacuteram para o desenvolvimento dessa ciecircncia chamada
matemaacutetica
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO
A civilizaccedilatildeo egiacutepcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra feacutertil que
margeava o rio Nilo posiccedilatildeo geograacutefica que foi propiacutecia ao desenvolvimento da agricultura
base da economia no Egito Pelo fato de que a sociedade egiacutepcia era extremamente fixa e
centrada na pessoa do Faraoacute que natildeo permitia uma maior abertura para as classes inferiores
as ciecircncias foram prejudicadas mas mesmo assim houve algumas descobertas As construccedilotildees
das piracircmides datildeo a entender que o conhecimento matemaacutetico dos egiacutepcios era muito mais
avanccedilado que o conhecido nos papiros (ducumentos egiacutepcios em forma de uma estreita tira
1Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p1)
11 escritos na forma hieraacutetica que foram descobertos em escavaccedilotildees no Egito por volta do seacuteculo
XVIII dC) Estes papiros traziam uma seacuterie de problemas e coleccedilotildees matemaacuteticas em
linguagem hieraacutetica que forma um dos pilares da matemaacutetica grega a qual foi a base para
nossa matemaacutetica moderna isto em geometria e trigonometria Do ponto de vista matemaacutetico
os mais importantes satildeo os papiros de Moscou e os papiros de Rhind Nesse uacuteltimo por
exemplo continham problemas diversos onde satildeo aplicados os meacutetodos de divisatildeo e
multiplicaccedilatildeo dos egiacutepcios mostrando tambeacutem como eles empregavam a regra da falsa
posiccedilatildeo e muitos outros problemas matemaacuteticos voltados a questotildees praacuteticas Pode-se entatildeo
perceber que mesmo com todas as dificuldades e restriccedilotildees impostas pela forma de governo
houve um grande avanccedilo matemaacutetico e cientiacutefico no Egito2
Foi tambeacutem com o egiacutepcios que Comeccedilou- se tambeacutem com uma geometria elementar
e uma trigonometria baacutesica (esticadores de corda) para facilitar a demarcaccedilatildeo de terras Com
isso utilizaram-se os caacutelculos de aacutereas raiacutezes quadradas e fraccedilotildees Tambeacutem sabemos que os
egiacutepcios conheciam as relaccedilotildees meacutetricas em um triacircngulo retacircngulo
Outro registro matemaacutetico mais antigo ainda eacute o da numeraccedilatildeo hierogliacutefica egiacutepcia
que eram inscriccedilotildees sagradas feitas em tumbas e monumentos que foram decifradas e
descobriu-se que esse sistema de numeraccedilatildeo antigo baseava-se na escala dez Essa linguagem
simples utilizava siacutembolos diferentes para representar por exemplo a primeira duacutezia de
potecircncias dez um traccedilo vertical representava uma unidade um osso de calcanhar invertido
representava o nuacutemero 10 um laccedilo como uma letra C valia 100 um dedo dobrado valia
10000 e assim os egiacutepcios podiam expressar as primeiras noccedilotildees de quantidade3
A matemaacutetica egiacutepcia sempre foi essencialmente praacutetica Quando o rio Nilo estava no
periacuteodo das cheias comeccedilavam os problemas para as pessoas Para resolver estes problemas
foram desenvolvidos vaacuterios ramos da matemaacutetica Foram construiacutedas obras hidraacuteulicas
reservatoacuterios de aacutegua e canais de irrigaccedilatildeo no rio Nilo Aleacutem disso outras aacutereas do
conhecimento foram estudadas pelos egiacutepcios com o intuito de prever as cheias do rio Nilo
como eacute o caso da Astronomia
2 httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 3 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p7)
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
4
Dedico este trabalho a todos os estudantes que
buscam compreender natildeo soacute a utilidade dos
triacircngulos como tambeacutem resolver problemas que
envolvem os mais diferentes tipos de triacircngulos
5
AGRADECIMENTOS
Agradeccedilo a Deus por ter me dado forccedilas e graccedila para enfrentar os desafios e superaacute-
los sem ele nada do que conquistei seria possiacutevel inclusive chegar ateacute esse momento
A minha famiacutelia que sempre foi agrave base da minha formaccedilatildeo e onde encontrei os
maiores incentivadores em todas as minhas investidas nas mais diversas aacutereas
A todos os professores que fazem o curso de matemaacutetica em especial agravequeles dos
quais fui aluno e tive o privileacutegio de partilhar de seus conhecimentos e amizade
Aos meus colegas de sala que juntamente comigo vivenciaram todos esses momentos
acadecircmicos com companheirismo e a todos o meus amigos que sempre acreditaram em mim
me incentivando sempre a prosseguir em cada desafio que se apresentasse a frente dos quais
posso citar para representa-los Livacircnia que sempre foi uma incentivadora e motivadora nas
minhas investidas
Ao meu Pastor Robeacuterio Ricardo incentivador muito especial e intercessor sempre
presente
A minha namorada Raquel que carinhosamente contribuiu na apresentaccedilatildeo desse
trabalho
Ao meu orientador pelas preciosas contribuiccedilotildees para a realizaccedilatildeo de meu trabalho
6
RESUMO
O presente trabalho eacute uma reflexatildeo sobre a importacircncia dos triacircngulos na vida
humana desde os tempos passados comeccedilando pela civilizaccedilatildeo egiacutepcia onde a Matemaacutetica
era essencialmente praacutetica e os triacircngulos deviam cumprir seu papel nesse contexto pelos
babilocircnicos que jaacute conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e a
civilizaccedilatildeo grega onde a matemaacutetica moderna se desenvolveu e atraveacutes de matemaacuteticos
gregos como Tales de Mileto outras propriedades dos triacircngulos ficaram conhecidas
Atualmente percebemos a importacircncia do triacircngulo em vaacuterias partes inuacutemeras construccedilotildees
levam em sua estrutura formatos de triacircngulos nos designes tudo para daacute uma maior
sustentaccedilatildeo eficiecircncia e beleza como eacute o caso dos Andaimes pontes triangulares velas de
barcos em formato triangular entre outras Embora hoje a trigonometria esteja presente em
vaacuterios ramos do conhecimento ela basicamente comeccedilou estudando as relaccedilotildees entre os
comprimentos dos lados de um triacircngulo retacircngulo e os acircngulos agudos formados por esse
triacircngulo Devido a necessidade de se estudarem triacircngulos que natildeo satildeo retacircngulos surgiram
algumas leis e teoremas que estabelecem relaccedilotildees em triacircngulos quaisquer como eacute caso da lei
dos senos e dos cossenos que nos permite calcular as medidas dos lados e acircngulos
desconhecidos O teorema da aacuterea por exemplo nos permite encontrar a aacuterea de um triacircngulo
qualquer em funccedilatildeo das medidas de dois lados desse triacircngulo e do acircngulo formado por
esses lados O conhecimento desses teoremas e leis nos proporciona desenvolver habilidades
que nos permitiraacute resolver problemas dos mais diversos que envolvam triacircngulos quaisquer e
que tenha um grau de dificuldade maior do que os que habitualmente encontramos nos livros
de ensino meacutedio e nos problemas propostos pelos professores de maneira geral
7
SUMAacuteRIO
RESUMO 06 INTRODUCcedilAtildeO 09 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA 10
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO 10
12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS 12
13 A MATEMAacuteTICA GREGA 13
14 PITAacuteGORAS 14
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA 15
151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA 18
152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DOS TRIAcircNGULOS 20
153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO 21
154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO 22
155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS 22
156 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO 23
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS 24
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO24
162 PROPRIEDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO 26
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO 27
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS 28
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO 29
171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS 30
172 ESTUDO DO SINAL DO COSSENO E DO SENO 30
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER 31
21 LEI DOS SENOS 31
22 LEI DOS COSSENOS 32
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO 34
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL35
8 30 APLICACcedilOtildeES 37
31 APLICACcedilOtildeES DO SENO 37
32 APLICACcedilOtildeES DO COSSENO 39
33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA 41
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS 42
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA 43
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 49
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 50
9
INTRODUCcedilAtildeO
A importacircncia dos triacircngulos na disciplina de Matemaacutetica eacute evidente isso porque
vaacuterios assuntos abordados em sala de aula podem ser explorados a partir de uma simples
observaccedilatildeo da estrutura do triacircngulo Podemos citar por exemplo acircngulos aacuterea periacutemetro e
casos de semelhanccedila que envolve a proacutepria figura A importacircncia do triacircngulo tambeacutem eacute
observaacutevel no nosso dia a dia pois devido a sua forma e equiliacutebrio que promove consistecircncia
eacute comum vermos edifiacutecios pontes paredes e estruturas quaisquer que fazem uso da forma
triangular por ela proporcionar mais seguranccedila e firmeza
A trigonometria que estuda basicamente as relaccedilotildees no triacircngulo eacute um dos assuntos
mais abordados dentro da disciplina de Matemaacutetica e muitas dessas relaccedilotildees trigonomeacutetricas
que satildeo vistas nas escolas satildeo relaccedilotildees que se datildeo principalmente no triacircngulo retacircngulo e
muitas vezes passam despercebido nas escolas outras relaccedilotildees que tambeacutem satildeo possiacuteveis de
ver em outros triacircngulos
Uma das propostas desse trabalho consiste ressaltar a importacircncia do triacircngulo
matemaacutetico com a apresentaccedilatildeo de algumas propriedades inerentes a figura e teoremas a ela
relacionados mas tambeacutem verificarmos que os triacircngulos estatildeo presentes no nosso dia a dia
sendo usados em nosso benefiacutecio
Poreacutem o objetivo maior desse trabalho eacute apresentar algumas aplicaccedilotildees
trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer e para isso faremos uso de algumas demonstraccedilotildees
de leis tais como a do seno e cosseno que satildeo aplicaacuteveis aos mais diversos tipos de
triacircngulos
10 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA
Desde a antiguidade o homem utiliza a matemaacutetica para facilitar a vida e organizar a
sociedade Na preacute-histoacuteria quando o homem era nocircmade e vivia em pequenos grupos vivendo
da caccedila e pesca esse periacuteodo foi marcado por um baixo niacutevel intelectual cientiacutefico e
matemaacutetico
Mas mesmo assim podemos citar algumas descobertas cientiacuteficas e matemaacuteticas
Neste periacuteodo houve a elaboraccedilatildeo de um processo rudimentar de contagem ranhuras em
ossos marcas em galhos desenhos em cavernas e pedras Tambeacutem podemos citar aqui o
processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades ou seja para cada unidade
obtida era colocada uma pequena pedra em um saquinho Portanto boa parte dessas
descobertas matemaacutetica mencionadas derivam de ideacuteias que originalmente estavam centradas
nos conceitos de nuacutemero grandeza e forma1
Em certa eacutepoca pensou-se que a matemaacutetica estava ocupada apenas com os nossos
sentidos com aquilo que o homem podia perceber do mundo no qual vivia e foi apenas no
seacuteculo dezenove que a matemaacutetica pura se libertou das limitaccedilotildees sugeridas por observaccedilotildees
da natureza
Ao longo do tempo o homem a medida que ia se desenvolvendo tambeacutem ia
utilizando alguns conhecimentos que iriam facilitar sua vida em sociedade e a matemaacutetica
esteve presente na organizaccedilatildeo da vida social do homem Veremos mais adiante as principais
civilizaccedilotildees antigas que contribuiacuteram para o desenvolvimento dessa ciecircncia chamada
matemaacutetica
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO
A civilizaccedilatildeo egiacutepcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra feacutertil que
margeava o rio Nilo posiccedilatildeo geograacutefica que foi propiacutecia ao desenvolvimento da agricultura
base da economia no Egito Pelo fato de que a sociedade egiacutepcia era extremamente fixa e
centrada na pessoa do Faraoacute que natildeo permitia uma maior abertura para as classes inferiores
as ciecircncias foram prejudicadas mas mesmo assim houve algumas descobertas As construccedilotildees
das piracircmides datildeo a entender que o conhecimento matemaacutetico dos egiacutepcios era muito mais
avanccedilado que o conhecido nos papiros (ducumentos egiacutepcios em forma de uma estreita tira
1Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p1)
11 escritos na forma hieraacutetica que foram descobertos em escavaccedilotildees no Egito por volta do seacuteculo
XVIII dC) Estes papiros traziam uma seacuterie de problemas e coleccedilotildees matemaacuteticas em
linguagem hieraacutetica que forma um dos pilares da matemaacutetica grega a qual foi a base para
nossa matemaacutetica moderna isto em geometria e trigonometria Do ponto de vista matemaacutetico
os mais importantes satildeo os papiros de Moscou e os papiros de Rhind Nesse uacuteltimo por
exemplo continham problemas diversos onde satildeo aplicados os meacutetodos de divisatildeo e
multiplicaccedilatildeo dos egiacutepcios mostrando tambeacutem como eles empregavam a regra da falsa
posiccedilatildeo e muitos outros problemas matemaacuteticos voltados a questotildees praacuteticas Pode-se entatildeo
perceber que mesmo com todas as dificuldades e restriccedilotildees impostas pela forma de governo
houve um grande avanccedilo matemaacutetico e cientiacutefico no Egito2
Foi tambeacutem com o egiacutepcios que Comeccedilou- se tambeacutem com uma geometria elementar
e uma trigonometria baacutesica (esticadores de corda) para facilitar a demarcaccedilatildeo de terras Com
isso utilizaram-se os caacutelculos de aacutereas raiacutezes quadradas e fraccedilotildees Tambeacutem sabemos que os
egiacutepcios conheciam as relaccedilotildees meacutetricas em um triacircngulo retacircngulo
Outro registro matemaacutetico mais antigo ainda eacute o da numeraccedilatildeo hierogliacutefica egiacutepcia
que eram inscriccedilotildees sagradas feitas em tumbas e monumentos que foram decifradas e
descobriu-se que esse sistema de numeraccedilatildeo antigo baseava-se na escala dez Essa linguagem
simples utilizava siacutembolos diferentes para representar por exemplo a primeira duacutezia de
potecircncias dez um traccedilo vertical representava uma unidade um osso de calcanhar invertido
representava o nuacutemero 10 um laccedilo como uma letra C valia 100 um dedo dobrado valia
10000 e assim os egiacutepcios podiam expressar as primeiras noccedilotildees de quantidade3
A matemaacutetica egiacutepcia sempre foi essencialmente praacutetica Quando o rio Nilo estava no
periacuteodo das cheias comeccedilavam os problemas para as pessoas Para resolver estes problemas
foram desenvolvidos vaacuterios ramos da matemaacutetica Foram construiacutedas obras hidraacuteulicas
reservatoacuterios de aacutegua e canais de irrigaccedilatildeo no rio Nilo Aleacutem disso outras aacutereas do
conhecimento foram estudadas pelos egiacutepcios com o intuito de prever as cheias do rio Nilo
como eacute o caso da Astronomia
2 httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 3 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p7)
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
5
AGRADECIMENTOS
Agradeccedilo a Deus por ter me dado forccedilas e graccedila para enfrentar os desafios e superaacute-
los sem ele nada do que conquistei seria possiacutevel inclusive chegar ateacute esse momento
A minha famiacutelia que sempre foi agrave base da minha formaccedilatildeo e onde encontrei os
maiores incentivadores em todas as minhas investidas nas mais diversas aacutereas
A todos os professores que fazem o curso de matemaacutetica em especial agravequeles dos
quais fui aluno e tive o privileacutegio de partilhar de seus conhecimentos e amizade
Aos meus colegas de sala que juntamente comigo vivenciaram todos esses momentos
acadecircmicos com companheirismo e a todos o meus amigos que sempre acreditaram em mim
me incentivando sempre a prosseguir em cada desafio que se apresentasse a frente dos quais
posso citar para representa-los Livacircnia que sempre foi uma incentivadora e motivadora nas
minhas investidas
Ao meu Pastor Robeacuterio Ricardo incentivador muito especial e intercessor sempre
presente
A minha namorada Raquel que carinhosamente contribuiu na apresentaccedilatildeo desse
trabalho
Ao meu orientador pelas preciosas contribuiccedilotildees para a realizaccedilatildeo de meu trabalho
6
RESUMO
O presente trabalho eacute uma reflexatildeo sobre a importacircncia dos triacircngulos na vida
humana desde os tempos passados comeccedilando pela civilizaccedilatildeo egiacutepcia onde a Matemaacutetica
era essencialmente praacutetica e os triacircngulos deviam cumprir seu papel nesse contexto pelos
babilocircnicos que jaacute conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e a
civilizaccedilatildeo grega onde a matemaacutetica moderna se desenvolveu e atraveacutes de matemaacuteticos
gregos como Tales de Mileto outras propriedades dos triacircngulos ficaram conhecidas
Atualmente percebemos a importacircncia do triacircngulo em vaacuterias partes inuacutemeras construccedilotildees
levam em sua estrutura formatos de triacircngulos nos designes tudo para daacute uma maior
sustentaccedilatildeo eficiecircncia e beleza como eacute o caso dos Andaimes pontes triangulares velas de
barcos em formato triangular entre outras Embora hoje a trigonometria esteja presente em
vaacuterios ramos do conhecimento ela basicamente comeccedilou estudando as relaccedilotildees entre os
comprimentos dos lados de um triacircngulo retacircngulo e os acircngulos agudos formados por esse
triacircngulo Devido a necessidade de se estudarem triacircngulos que natildeo satildeo retacircngulos surgiram
algumas leis e teoremas que estabelecem relaccedilotildees em triacircngulos quaisquer como eacute caso da lei
dos senos e dos cossenos que nos permite calcular as medidas dos lados e acircngulos
desconhecidos O teorema da aacuterea por exemplo nos permite encontrar a aacuterea de um triacircngulo
qualquer em funccedilatildeo das medidas de dois lados desse triacircngulo e do acircngulo formado por
esses lados O conhecimento desses teoremas e leis nos proporciona desenvolver habilidades
que nos permitiraacute resolver problemas dos mais diversos que envolvam triacircngulos quaisquer e
que tenha um grau de dificuldade maior do que os que habitualmente encontramos nos livros
de ensino meacutedio e nos problemas propostos pelos professores de maneira geral
7
SUMAacuteRIO
RESUMO 06 INTRODUCcedilAtildeO 09 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA 10
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO 10
12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS 12
13 A MATEMAacuteTICA GREGA 13
14 PITAacuteGORAS 14
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA 15
151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA 18
152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DOS TRIAcircNGULOS 20
153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO 21
154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO 22
155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS 22
156 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO 23
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS 24
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO24
162 PROPRIEDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO 26
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO 27
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS 28
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO 29
171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS 30
172 ESTUDO DO SINAL DO COSSENO E DO SENO 30
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER 31
21 LEI DOS SENOS 31
22 LEI DOS COSSENOS 32
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO 34
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL35
8 30 APLICACcedilOtildeES 37
31 APLICACcedilOtildeES DO SENO 37
32 APLICACcedilOtildeES DO COSSENO 39
33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA 41
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS 42
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA 43
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 49
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 50
9
INTRODUCcedilAtildeO
A importacircncia dos triacircngulos na disciplina de Matemaacutetica eacute evidente isso porque
vaacuterios assuntos abordados em sala de aula podem ser explorados a partir de uma simples
observaccedilatildeo da estrutura do triacircngulo Podemos citar por exemplo acircngulos aacuterea periacutemetro e
casos de semelhanccedila que envolve a proacutepria figura A importacircncia do triacircngulo tambeacutem eacute
observaacutevel no nosso dia a dia pois devido a sua forma e equiliacutebrio que promove consistecircncia
eacute comum vermos edifiacutecios pontes paredes e estruturas quaisquer que fazem uso da forma
triangular por ela proporcionar mais seguranccedila e firmeza
A trigonometria que estuda basicamente as relaccedilotildees no triacircngulo eacute um dos assuntos
mais abordados dentro da disciplina de Matemaacutetica e muitas dessas relaccedilotildees trigonomeacutetricas
que satildeo vistas nas escolas satildeo relaccedilotildees que se datildeo principalmente no triacircngulo retacircngulo e
muitas vezes passam despercebido nas escolas outras relaccedilotildees que tambeacutem satildeo possiacuteveis de
ver em outros triacircngulos
Uma das propostas desse trabalho consiste ressaltar a importacircncia do triacircngulo
matemaacutetico com a apresentaccedilatildeo de algumas propriedades inerentes a figura e teoremas a ela
relacionados mas tambeacutem verificarmos que os triacircngulos estatildeo presentes no nosso dia a dia
sendo usados em nosso benefiacutecio
Poreacutem o objetivo maior desse trabalho eacute apresentar algumas aplicaccedilotildees
trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer e para isso faremos uso de algumas demonstraccedilotildees
de leis tais como a do seno e cosseno que satildeo aplicaacuteveis aos mais diversos tipos de
triacircngulos
10 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA
Desde a antiguidade o homem utiliza a matemaacutetica para facilitar a vida e organizar a
sociedade Na preacute-histoacuteria quando o homem era nocircmade e vivia em pequenos grupos vivendo
da caccedila e pesca esse periacuteodo foi marcado por um baixo niacutevel intelectual cientiacutefico e
matemaacutetico
Mas mesmo assim podemos citar algumas descobertas cientiacuteficas e matemaacuteticas
Neste periacuteodo houve a elaboraccedilatildeo de um processo rudimentar de contagem ranhuras em
ossos marcas em galhos desenhos em cavernas e pedras Tambeacutem podemos citar aqui o
processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades ou seja para cada unidade
obtida era colocada uma pequena pedra em um saquinho Portanto boa parte dessas
descobertas matemaacutetica mencionadas derivam de ideacuteias que originalmente estavam centradas
nos conceitos de nuacutemero grandeza e forma1
Em certa eacutepoca pensou-se que a matemaacutetica estava ocupada apenas com os nossos
sentidos com aquilo que o homem podia perceber do mundo no qual vivia e foi apenas no
seacuteculo dezenove que a matemaacutetica pura se libertou das limitaccedilotildees sugeridas por observaccedilotildees
da natureza
Ao longo do tempo o homem a medida que ia se desenvolvendo tambeacutem ia
utilizando alguns conhecimentos que iriam facilitar sua vida em sociedade e a matemaacutetica
esteve presente na organizaccedilatildeo da vida social do homem Veremos mais adiante as principais
civilizaccedilotildees antigas que contribuiacuteram para o desenvolvimento dessa ciecircncia chamada
matemaacutetica
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO
A civilizaccedilatildeo egiacutepcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra feacutertil que
margeava o rio Nilo posiccedilatildeo geograacutefica que foi propiacutecia ao desenvolvimento da agricultura
base da economia no Egito Pelo fato de que a sociedade egiacutepcia era extremamente fixa e
centrada na pessoa do Faraoacute que natildeo permitia uma maior abertura para as classes inferiores
as ciecircncias foram prejudicadas mas mesmo assim houve algumas descobertas As construccedilotildees
das piracircmides datildeo a entender que o conhecimento matemaacutetico dos egiacutepcios era muito mais
avanccedilado que o conhecido nos papiros (ducumentos egiacutepcios em forma de uma estreita tira
1Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p1)
11 escritos na forma hieraacutetica que foram descobertos em escavaccedilotildees no Egito por volta do seacuteculo
XVIII dC) Estes papiros traziam uma seacuterie de problemas e coleccedilotildees matemaacuteticas em
linguagem hieraacutetica que forma um dos pilares da matemaacutetica grega a qual foi a base para
nossa matemaacutetica moderna isto em geometria e trigonometria Do ponto de vista matemaacutetico
os mais importantes satildeo os papiros de Moscou e os papiros de Rhind Nesse uacuteltimo por
exemplo continham problemas diversos onde satildeo aplicados os meacutetodos de divisatildeo e
multiplicaccedilatildeo dos egiacutepcios mostrando tambeacutem como eles empregavam a regra da falsa
posiccedilatildeo e muitos outros problemas matemaacuteticos voltados a questotildees praacuteticas Pode-se entatildeo
perceber que mesmo com todas as dificuldades e restriccedilotildees impostas pela forma de governo
houve um grande avanccedilo matemaacutetico e cientiacutefico no Egito2
Foi tambeacutem com o egiacutepcios que Comeccedilou- se tambeacutem com uma geometria elementar
e uma trigonometria baacutesica (esticadores de corda) para facilitar a demarcaccedilatildeo de terras Com
isso utilizaram-se os caacutelculos de aacutereas raiacutezes quadradas e fraccedilotildees Tambeacutem sabemos que os
egiacutepcios conheciam as relaccedilotildees meacutetricas em um triacircngulo retacircngulo
Outro registro matemaacutetico mais antigo ainda eacute o da numeraccedilatildeo hierogliacutefica egiacutepcia
que eram inscriccedilotildees sagradas feitas em tumbas e monumentos que foram decifradas e
descobriu-se que esse sistema de numeraccedilatildeo antigo baseava-se na escala dez Essa linguagem
simples utilizava siacutembolos diferentes para representar por exemplo a primeira duacutezia de
potecircncias dez um traccedilo vertical representava uma unidade um osso de calcanhar invertido
representava o nuacutemero 10 um laccedilo como uma letra C valia 100 um dedo dobrado valia
10000 e assim os egiacutepcios podiam expressar as primeiras noccedilotildees de quantidade3
A matemaacutetica egiacutepcia sempre foi essencialmente praacutetica Quando o rio Nilo estava no
periacuteodo das cheias comeccedilavam os problemas para as pessoas Para resolver estes problemas
foram desenvolvidos vaacuterios ramos da matemaacutetica Foram construiacutedas obras hidraacuteulicas
reservatoacuterios de aacutegua e canais de irrigaccedilatildeo no rio Nilo Aleacutem disso outras aacutereas do
conhecimento foram estudadas pelos egiacutepcios com o intuito de prever as cheias do rio Nilo
como eacute o caso da Astronomia
2 httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 3 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p7)
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
6
RESUMO
O presente trabalho eacute uma reflexatildeo sobre a importacircncia dos triacircngulos na vida
humana desde os tempos passados comeccedilando pela civilizaccedilatildeo egiacutepcia onde a Matemaacutetica
era essencialmente praacutetica e os triacircngulos deviam cumprir seu papel nesse contexto pelos
babilocircnicos que jaacute conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e a
civilizaccedilatildeo grega onde a matemaacutetica moderna se desenvolveu e atraveacutes de matemaacuteticos
gregos como Tales de Mileto outras propriedades dos triacircngulos ficaram conhecidas
Atualmente percebemos a importacircncia do triacircngulo em vaacuterias partes inuacutemeras construccedilotildees
levam em sua estrutura formatos de triacircngulos nos designes tudo para daacute uma maior
sustentaccedilatildeo eficiecircncia e beleza como eacute o caso dos Andaimes pontes triangulares velas de
barcos em formato triangular entre outras Embora hoje a trigonometria esteja presente em
vaacuterios ramos do conhecimento ela basicamente comeccedilou estudando as relaccedilotildees entre os
comprimentos dos lados de um triacircngulo retacircngulo e os acircngulos agudos formados por esse
triacircngulo Devido a necessidade de se estudarem triacircngulos que natildeo satildeo retacircngulos surgiram
algumas leis e teoremas que estabelecem relaccedilotildees em triacircngulos quaisquer como eacute caso da lei
dos senos e dos cossenos que nos permite calcular as medidas dos lados e acircngulos
desconhecidos O teorema da aacuterea por exemplo nos permite encontrar a aacuterea de um triacircngulo
qualquer em funccedilatildeo das medidas de dois lados desse triacircngulo e do acircngulo formado por
esses lados O conhecimento desses teoremas e leis nos proporciona desenvolver habilidades
que nos permitiraacute resolver problemas dos mais diversos que envolvam triacircngulos quaisquer e
que tenha um grau de dificuldade maior do que os que habitualmente encontramos nos livros
de ensino meacutedio e nos problemas propostos pelos professores de maneira geral
7
SUMAacuteRIO
RESUMO 06 INTRODUCcedilAtildeO 09 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA 10
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO 10
12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS 12
13 A MATEMAacuteTICA GREGA 13
14 PITAacuteGORAS 14
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA 15
151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA 18
152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DOS TRIAcircNGULOS 20
153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO 21
154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO 22
155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS 22
156 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO 23
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS 24
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO24
162 PROPRIEDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO 26
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO 27
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS 28
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO 29
171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS 30
172 ESTUDO DO SINAL DO COSSENO E DO SENO 30
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER 31
21 LEI DOS SENOS 31
22 LEI DOS COSSENOS 32
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO 34
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL35
8 30 APLICACcedilOtildeES 37
31 APLICACcedilOtildeES DO SENO 37
32 APLICACcedilOtildeES DO COSSENO 39
33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA 41
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS 42
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA 43
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 49
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 50
9
INTRODUCcedilAtildeO
A importacircncia dos triacircngulos na disciplina de Matemaacutetica eacute evidente isso porque
vaacuterios assuntos abordados em sala de aula podem ser explorados a partir de uma simples
observaccedilatildeo da estrutura do triacircngulo Podemos citar por exemplo acircngulos aacuterea periacutemetro e
casos de semelhanccedila que envolve a proacutepria figura A importacircncia do triacircngulo tambeacutem eacute
observaacutevel no nosso dia a dia pois devido a sua forma e equiliacutebrio que promove consistecircncia
eacute comum vermos edifiacutecios pontes paredes e estruturas quaisquer que fazem uso da forma
triangular por ela proporcionar mais seguranccedila e firmeza
A trigonometria que estuda basicamente as relaccedilotildees no triacircngulo eacute um dos assuntos
mais abordados dentro da disciplina de Matemaacutetica e muitas dessas relaccedilotildees trigonomeacutetricas
que satildeo vistas nas escolas satildeo relaccedilotildees que se datildeo principalmente no triacircngulo retacircngulo e
muitas vezes passam despercebido nas escolas outras relaccedilotildees que tambeacutem satildeo possiacuteveis de
ver em outros triacircngulos
Uma das propostas desse trabalho consiste ressaltar a importacircncia do triacircngulo
matemaacutetico com a apresentaccedilatildeo de algumas propriedades inerentes a figura e teoremas a ela
relacionados mas tambeacutem verificarmos que os triacircngulos estatildeo presentes no nosso dia a dia
sendo usados em nosso benefiacutecio
Poreacutem o objetivo maior desse trabalho eacute apresentar algumas aplicaccedilotildees
trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer e para isso faremos uso de algumas demonstraccedilotildees
de leis tais como a do seno e cosseno que satildeo aplicaacuteveis aos mais diversos tipos de
triacircngulos
10 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA
Desde a antiguidade o homem utiliza a matemaacutetica para facilitar a vida e organizar a
sociedade Na preacute-histoacuteria quando o homem era nocircmade e vivia em pequenos grupos vivendo
da caccedila e pesca esse periacuteodo foi marcado por um baixo niacutevel intelectual cientiacutefico e
matemaacutetico
Mas mesmo assim podemos citar algumas descobertas cientiacuteficas e matemaacuteticas
Neste periacuteodo houve a elaboraccedilatildeo de um processo rudimentar de contagem ranhuras em
ossos marcas em galhos desenhos em cavernas e pedras Tambeacutem podemos citar aqui o
processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades ou seja para cada unidade
obtida era colocada uma pequena pedra em um saquinho Portanto boa parte dessas
descobertas matemaacutetica mencionadas derivam de ideacuteias que originalmente estavam centradas
nos conceitos de nuacutemero grandeza e forma1
Em certa eacutepoca pensou-se que a matemaacutetica estava ocupada apenas com os nossos
sentidos com aquilo que o homem podia perceber do mundo no qual vivia e foi apenas no
seacuteculo dezenove que a matemaacutetica pura se libertou das limitaccedilotildees sugeridas por observaccedilotildees
da natureza
Ao longo do tempo o homem a medida que ia se desenvolvendo tambeacutem ia
utilizando alguns conhecimentos que iriam facilitar sua vida em sociedade e a matemaacutetica
esteve presente na organizaccedilatildeo da vida social do homem Veremos mais adiante as principais
civilizaccedilotildees antigas que contribuiacuteram para o desenvolvimento dessa ciecircncia chamada
matemaacutetica
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO
A civilizaccedilatildeo egiacutepcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra feacutertil que
margeava o rio Nilo posiccedilatildeo geograacutefica que foi propiacutecia ao desenvolvimento da agricultura
base da economia no Egito Pelo fato de que a sociedade egiacutepcia era extremamente fixa e
centrada na pessoa do Faraoacute que natildeo permitia uma maior abertura para as classes inferiores
as ciecircncias foram prejudicadas mas mesmo assim houve algumas descobertas As construccedilotildees
das piracircmides datildeo a entender que o conhecimento matemaacutetico dos egiacutepcios era muito mais
avanccedilado que o conhecido nos papiros (ducumentos egiacutepcios em forma de uma estreita tira
1Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p1)
11 escritos na forma hieraacutetica que foram descobertos em escavaccedilotildees no Egito por volta do seacuteculo
XVIII dC) Estes papiros traziam uma seacuterie de problemas e coleccedilotildees matemaacuteticas em
linguagem hieraacutetica que forma um dos pilares da matemaacutetica grega a qual foi a base para
nossa matemaacutetica moderna isto em geometria e trigonometria Do ponto de vista matemaacutetico
os mais importantes satildeo os papiros de Moscou e os papiros de Rhind Nesse uacuteltimo por
exemplo continham problemas diversos onde satildeo aplicados os meacutetodos de divisatildeo e
multiplicaccedilatildeo dos egiacutepcios mostrando tambeacutem como eles empregavam a regra da falsa
posiccedilatildeo e muitos outros problemas matemaacuteticos voltados a questotildees praacuteticas Pode-se entatildeo
perceber que mesmo com todas as dificuldades e restriccedilotildees impostas pela forma de governo
houve um grande avanccedilo matemaacutetico e cientiacutefico no Egito2
Foi tambeacutem com o egiacutepcios que Comeccedilou- se tambeacutem com uma geometria elementar
e uma trigonometria baacutesica (esticadores de corda) para facilitar a demarcaccedilatildeo de terras Com
isso utilizaram-se os caacutelculos de aacutereas raiacutezes quadradas e fraccedilotildees Tambeacutem sabemos que os
egiacutepcios conheciam as relaccedilotildees meacutetricas em um triacircngulo retacircngulo
Outro registro matemaacutetico mais antigo ainda eacute o da numeraccedilatildeo hierogliacutefica egiacutepcia
que eram inscriccedilotildees sagradas feitas em tumbas e monumentos que foram decifradas e
descobriu-se que esse sistema de numeraccedilatildeo antigo baseava-se na escala dez Essa linguagem
simples utilizava siacutembolos diferentes para representar por exemplo a primeira duacutezia de
potecircncias dez um traccedilo vertical representava uma unidade um osso de calcanhar invertido
representava o nuacutemero 10 um laccedilo como uma letra C valia 100 um dedo dobrado valia
10000 e assim os egiacutepcios podiam expressar as primeiras noccedilotildees de quantidade3
A matemaacutetica egiacutepcia sempre foi essencialmente praacutetica Quando o rio Nilo estava no
periacuteodo das cheias comeccedilavam os problemas para as pessoas Para resolver estes problemas
foram desenvolvidos vaacuterios ramos da matemaacutetica Foram construiacutedas obras hidraacuteulicas
reservatoacuterios de aacutegua e canais de irrigaccedilatildeo no rio Nilo Aleacutem disso outras aacutereas do
conhecimento foram estudadas pelos egiacutepcios com o intuito de prever as cheias do rio Nilo
como eacute o caso da Astronomia
2 httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 3 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p7)
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
7
SUMAacuteRIO
RESUMO 06 INTRODUCcedilAtildeO 09 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA 10
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO 10
12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS 12
13 A MATEMAacuteTICA GREGA 13
14 PITAacuteGORAS 14
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA 15
151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA 18
152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DOS TRIAcircNGULOS 20
153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO 21
154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO 22
155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS 22
156 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO 23
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS 24
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO24
162 PROPRIEDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO 26
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO 27
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS 28
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO 29
171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS 30
172 ESTUDO DO SINAL DO COSSENO E DO SENO 30
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER 31
21 LEI DOS SENOS 31
22 LEI DOS COSSENOS 32
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO 34
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL35
8 30 APLICACcedilOtildeES 37
31 APLICACcedilOtildeES DO SENO 37
32 APLICACcedilOtildeES DO COSSENO 39
33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA 41
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS 42
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA 43
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 49
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 50
9
INTRODUCcedilAtildeO
A importacircncia dos triacircngulos na disciplina de Matemaacutetica eacute evidente isso porque
vaacuterios assuntos abordados em sala de aula podem ser explorados a partir de uma simples
observaccedilatildeo da estrutura do triacircngulo Podemos citar por exemplo acircngulos aacuterea periacutemetro e
casos de semelhanccedila que envolve a proacutepria figura A importacircncia do triacircngulo tambeacutem eacute
observaacutevel no nosso dia a dia pois devido a sua forma e equiliacutebrio que promove consistecircncia
eacute comum vermos edifiacutecios pontes paredes e estruturas quaisquer que fazem uso da forma
triangular por ela proporcionar mais seguranccedila e firmeza
A trigonometria que estuda basicamente as relaccedilotildees no triacircngulo eacute um dos assuntos
mais abordados dentro da disciplina de Matemaacutetica e muitas dessas relaccedilotildees trigonomeacutetricas
que satildeo vistas nas escolas satildeo relaccedilotildees que se datildeo principalmente no triacircngulo retacircngulo e
muitas vezes passam despercebido nas escolas outras relaccedilotildees que tambeacutem satildeo possiacuteveis de
ver em outros triacircngulos
Uma das propostas desse trabalho consiste ressaltar a importacircncia do triacircngulo
matemaacutetico com a apresentaccedilatildeo de algumas propriedades inerentes a figura e teoremas a ela
relacionados mas tambeacutem verificarmos que os triacircngulos estatildeo presentes no nosso dia a dia
sendo usados em nosso benefiacutecio
Poreacutem o objetivo maior desse trabalho eacute apresentar algumas aplicaccedilotildees
trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer e para isso faremos uso de algumas demonstraccedilotildees
de leis tais como a do seno e cosseno que satildeo aplicaacuteveis aos mais diversos tipos de
triacircngulos
10 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA
Desde a antiguidade o homem utiliza a matemaacutetica para facilitar a vida e organizar a
sociedade Na preacute-histoacuteria quando o homem era nocircmade e vivia em pequenos grupos vivendo
da caccedila e pesca esse periacuteodo foi marcado por um baixo niacutevel intelectual cientiacutefico e
matemaacutetico
Mas mesmo assim podemos citar algumas descobertas cientiacuteficas e matemaacuteticas
Neste periacuteodo houve a elaboraccedilatildeo de um processo rudimentar de contagem ranhuras em
ossos marcas em galhos desenhos em cavernas e pedras Tambeacutem podemos citar aqui o
processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades ou seja para cada unidade
obtida era colocada uma pequena pedra em um saquinho Portanto boa parte dessas
descobertas matemaacutetica mencionadas derivam de ideacuteias que originalmente estavam centradas
nos conceitos de nuacutemero grandeza e forma1
Em certa eacutepoca pensou-se que a matemaacutetica estava ocupada apenas com os nossos
sentidos com aquilo que o homem podia perceber do mundo no qual vivia e foi apenas no
seacuteculo dezenove que a matemaacutetica pura se libertou das limitaccedilotildees sugeridas por observaccedilotildees
da natureza
Ao longo do tempo o homem a medida que ia se desenvolvendo tambeacutem ia
utilizando alguns conhecimentos que iriam facilitar sua vida em sociedade e a matemaacutetica
esteve presente na organizaccedilatildeo da vida social do homem Veremos mais adiante as principais
civilizaccedilotildees antigas que contribuiacuteram para o desenvolvimento dessa ciecircncia chamada
matemaacutetica
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO
A civilizaccedilatildeo egiacutepcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra feacutertil que
margeava o rio Nilo posiccedilatildeo geograacutefica que foi propiacutecia ao desenvolvimento da agricultura
base da economia no Egito Pelo fato de que a sociedade egiacutepcia era extremamente fixa e
centrada na pessoa do Faraoacute que natildeo permitia uma maior abertura para as classes inferiores
as ciecircncias foram prejudicadas mas mesmo assim houve algumas descobertas As construccedilotildees
das piracircmides datildeo a entender que o conhecimento matemaacutetico dos egiacutepcios era muito mais
avanccedilado que o conhecido nos papiros (ducumentos egiacutepcios em forma de uma estreita tira
1Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p1)
11 escritos na forma hieraacutetica que foram descobertos em escavaccedilotildees no Egito por volta do seacuteculo
XVIII dC) Estes papiros traziam uma seacuterie de problemas e coleccedilotildees matemaacuteticas em
linguagem hieraacutetica que forma um dos pilares da matemaacutetica grega a qual foi a base para
nossa matemaacutetica moderna isto em geometria e trigonometria Do ponto de vista matemaacutetico
os mais importantes satildeo os papiros de Moscou e os papiros de Rhind Nesse uacuteltimo por
exemplo continham problemas diversos onde satildeo aplicados os meacutetodos de divisatildeo e
multiplicaccedilatildeo dos egiacutepcios mostrando tambeacutem como eles empregavam a regra da falsa
posiccedilatildeo e muitos outros problemas matemaacuteticos voltados a questotildees praacuteticas Pode-se entatildeo
perceber que mesmo com todas as dificuldades e restriccedilotildees impostas pela forma de governo
houve um grande avanccedilo matemaacutetico e cientiacutefico no Egito2
Foi tambeacutem com o egiacutepcios que Comeccedilou- se tambeacutem com uma geometria elementar
e uma trigonometria baacutesica (esticadores de corda) para facilitar a demarcaccedilatildeo de terras Com
isso utilizaram-se os caacutelculos de aacutereas raiacutezes quadradas e fraccedilotildees Tambeacutem sabemos que os
egiacutepcios conheciam as relaccedilotildees meacutetricas em um triacircngulo retacircngulo
Outro registro matemaacutetico mais antigo ainda eacute o da numeraccedilatildeo hierogliacutefica egiacutepcia
que eram inscriccedilotildees sagradas feitas em tumbas e monumentos que foram decifradas e
descobriu-se que esse sistema de numeraccedilatildeo antigo baseava-se na escala dez Essa linguagem
simples utilizava siacutembolos diferentes para representar por exemplo a primeira duacutezia de
potecircncias dez um traccedilo vertical representava uma unidade um osso de calcanhar invertido
representava o nuacutemero 10 um laccedilo como uma letra C valia 100 um dedo dobrado valia
10000 e assim os egiacutepcios podiam expressar as primeiras noccedilotildees de quantidade3
A matemaacutetica egiacutepcia sempre foi essencialmente praacutetica Quando o rio Nilo estava no
periacuteodo das cheias comeccedilavam os problemas para as pessoas Para resolver estes problemas
foram desenvolvidos vaacuterios ramos da matemaacutetica Foram construiacutedas obras hidraacuteulicas
reservatoacuterios de aacutegua e canais de irrigaccedilatildeo no rio Nilo Aleacutem disso outras aacutereas do
conhecimento foram estudadas pelos egiacutepcios com o intuito de prever as cheias do rio Nilo
como eacute o caso da Astronomia
2 httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 3 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p7)
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
8 30 APLICACcedilOtildeES 37
31 APLICACcedilOtildeES DO SENO 37
32 APLICACcedilOtildeES DO COSSENO 39
33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA 41
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS 42
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA 43
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 49
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 50
9
INTRODUCcedilAtildeO
A importacircncia dos triacircngulos na disciplina de Matemaacutetica eacute evidente isso porque
vaacuterios assuntos abordados em sala de aula podem ser explorados a partir de uma simples
observaccedilatildeo da estrutura do triacircngulo Podemos citar por exemplo acircngulos aacuterea periacutemetro e
casos de semelhanccedila que envolve a proacutepria figura A importacircncia do triacircngulo tambeacutem eacute
observaacutevel no nosso dia a dia pois devido a sua forma e equiliacutebrio que promove consistecircncia
eacute comum vermos edifiacutecios pontes paredes e estruturas quaisquer que fazem uso da forma
triangular por ela proporcionar mais seguranccedila e firmeza
A trigonometria que estuda basicamente as relaccedilotildees no triacircngulo eacute um dos assuntos
mais abordados dentro da disciplina de Matemaacutetica e muitas dessas relaccedilotildees trigonomeacutetricas
que satildeo vistas nas escolas satildeo relaccedilotildees que se datildeo principalmente no triacircngulo retacircngulo e
muitas vezes passam despercebido nas escolas outras relaccedilotildees que tambeacutem satildeo possiacuteveis de
ver em outros triacircngulos
Uma das propostas desse trabalho consiste ressaltar a importacircncia do triacircngulo
matemaacutetico com a apresentaccedilatildeo de algumas propriedades inerentes a figura e teoremas a ela
relacionados mas tambeacutem verificarmos que os triacircngulos estatildeo presentes no nosso dia a dia
sendo usados em nosso benefiacutecio
Poreacutem o objetivo maior desse trabalho eacute apresentar algumas aplicaccedilotildees
trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer e para isso faremos uso de algumas demonstraccedilotildees
de leis tais como a do seno e cosseno que satildeo aplicaacuteveis aos mais diversos tipos de
triacircngulos
10 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA
Desde a antiguidade o homem utiliza a matemaacutetica para facilitar a vida e organizar a
sociedade Na preacute-histoacuteria quando o homem era nocircmade e vivia em pequenos grupos vivendo
da caccedila e pesca esse periacuteodo foi marcado por um baixo niacutevel intelectual cientiacutefico e
matemaacutetico
Mas mesmo assim podemos citar algumas descobertas cientiacuteficas e matemaacuteticas
Neste periacuteodo houve a elaboraccedilatildeo de um processo rudimentar de contagem ranhuras em
ossos marcas em galhos desenhos em cavernas e pedras Tambeacutem podemos citar aqui o
processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades ou seja para cada unidade
obtida era colocada uma pequena pedra em um saquinho Portanto boa parte dessas
descobertas matemaacutetica mencionadas derivam de ideacuteias que originalmente estavam centradas
nos conceitos de nuacutemero grandeza e forma1
Em certa eacutepoca pensou-se que a matemaacutetica estava ocupada apenas com os nossos
sentidos com aquilo que o homem podia perceber do mundo no qual vivia e foi apenas no
seacuteculo dezenove que a matemaacutetica pura se libertou das limitaccedilotildees sugeridas por observaccedilotildees
da natureza
Ao longo do tempo o homem a medida que ia se desenvolvendo tambeacutem ia
utilizando alguns conhecimentos que iriam facilitar sua vida em sociedade e a matemaacutetica
esteve presente na organizaccedilatildeo da vida social do homem Veremos mais adiante as principais
civilizaccedilotildees antigas que contribuiacuteram para o desenvolvimento dessa ciecircncia chamada
matemaacutetica
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO
A civilizaccedilatildeo egiacutepcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra feacutertil que
margeava o rio Nilo posiccedilatildeo geograacutefica que foi propiacutecia ao desenvolvimento da agricultura
base da economia no Egito Pelo fato de que a sociedade egiacutepcia era extremamente fixa e
centrada na pessoa do Faraoacute que natildeo permitia uma maior abertura para as classes inferiores
as ciecircncias foram prejudicadas mas mesmo assim houve algumas descobertas As construccedilotildees
das piracircmides datildeo a entender que o conhecimento matemaacutetico dos egiacutepcios era muito mais
avanccedilado que o conhecido nos papiros (ducumentos egiacutepcios em forma de uma estreita tira
1Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p1)
11 escritos na forma hieraacutetica que foram descobertos em escavaccedilotildees no Egito por volta do seacuteculo
XVIII dC) Estes papiros traziam uma seacuterie de problemas e coleccedilotildees matemaacuteticas em
linguagem hieraacutetica que forma um dos pilares da matemaacutetica grega a qual foi a base para
nossa matemaacutetica moderna isto em geometria e trigonometria Do ponto de vista matemaacutetico
os mais importantes satildeo os papiros de Moscou e os papiros de Rhind Nesse uacuteltimo por
exemplo continham problemas diversos onde satildeo aplicados os meacutetodos de divisatildeo e
multiplicaccedilatildeo dos egiacutepcios mostrando tambeacutem como eles empregavam a regra da falsa
posiccedilatildeo e muitos outros problemas matemaacuteticos voltados a questotildees praacuteticas Pode-se entatildeo
perceber que mesmo com todas as dificuldades e restriccedilotildees impostas pela forma de governo
houve um grande avanccedilo matemaacutetico e cientiacutefico no Egito2
Foi tambeacutem com o egiacutepcios que Comeccedilou- se tambeacutem com uma geometria elementar
e uma trigonometria baacutesica (esticadores de corda) para facilitar a demarcaccedilatildeo de terras Com
isso utilizaram-se os caacutelculos de aacutereas raiacutezes quadradas e fraccedilotildees Tambeacutem sabemos que os
egiacutepcios conheciam as relaccedilotildees meacutetricas em um triacircngulo retacircngulo
Outro registro matemaacutetico mais antigo ainda eacute o da numeraccedilatildeo hierogliacutefica egiacutepcia
que eram inscriccedilotildees sagradas feitas em tumbas e monumentos que foram decifradas e
descobriu-se que esse sistema de numeraccedilatildeo antigo baseava-se na escala dez Essa linguagem
simples utilizava siacutembolos diferentes para representar por exemplo a primeira duacutezia de
potecircncias dez um traccedilo vertical representava uma unidade um osso de calcanhar invertido
representava o nuacutemero 10 um laccedilo como uma letra C valia 100 um dedo dobrado valia
10000 e assim os egiacutepcios podiam expressar as primeiras noccedilotildees de quantidade3
A matemaacutetica egiacutepcia sempre foi essencialmente praacutetica Quando o rio Nilo estava no
periacuteodo das cheias comeccedilavam os problemas para as pessoas Para resolver estes problemas
foram desenvolvidos vaacuterios ramos da matemaacutetica Foram construiacutedas obras hidraacuteulicas
reservatoacuterios de aacutegua e canais de irrigaccedilatildeo no rio Nilo Aleacutem disso outras aacutereas do
conhecimento foram estudadas pelos egiacutepcios com o intuito de prever as cheias do rio Nilo
como eacute o caso da Astronomia
2 httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 3 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p7)
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
9
INTRODUCcedilAtildeO
A importacircncia dos triacircngulos na disciplina de Matemaacutetica eacute evidente isso porque
vaacuterios assuntos abordados em sala de aula podem ser explorados a partir de uma simples
observaccedilatildeo da estrutura do triacircngulo Podemos citar por exemplo acircngulos aacuterea periacutemetro e
casos de semelhanccedila que envolve a proacutepria figura A importacircncia do triacircngulo tambeacutem eacute
observaacutevel no nosso dia a dia pois devido a sua forma e equiliacutebrio que promove consistecircncia
eacute comum vermos edifiacutecios pontes paredes e estruturas quaisquer que fazem uso da forma
triangular por ela proporcionar mais seguranccedila e firmeza
A trigonometria que estuda basicamente as relaccedilotildees no triacircngulo eacute um dos assuntos
mais abordados dentro da disciplina de Matemaacutetica e muitas dessas relaccedilotildees trigonomeacutetricas
que satildeo vistas nas escolas satildeo relaccedilotildees que se datildeo principalmente no triacircngulo retacircngulo e
muitas vezes passam despercebido nas escolas outras relaccedilotildees que tambeacutem satildeo possiacuteveis de
ver em outros triacircngulos
Uma das propostas desse trabalho consiste ressaltar a importacircncia do triacircngulo
matemaacutetico com a apresentaccedilatildeo de algumas propriedades inerentes a figura e teoremas a ela
relacionados mas tambeacutem verificarmos que os triacircngulos estatildeo presentes no nosso dia a dia
sendo usados em nosso benefiacutecio
Poreacutem o objetivo maior desse trabalho eacute apresentar algumas aplicaccedilotildees
trigonomeacutetricas em triacircngulos quaisquer e para isso faremos uso de algumas demonstraccedilotildees
de leis tais como a do seno e cosseno que satildeo aplicaacuteveis aos mais diversos tipos de
triacircngulos
10 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA
Desde a antiguidade o homem utiliza a matemaacutetica para facilitar a vida e organizar a
sociedade Na preacute-histoacuteria quando o homem era nocircmade e vivia em pequenos grupos vivendo
da caccedila e pesca esse periacuteodo foi marcado por um baixo niacutevel intelectual cientiacutefico e
matemaacutetico
Mas mesmo assim podemos citar algumas descobertas cientiacuteficas e matemaacuteticas
Neste periacuteodo houve a elaboraccedilatildeo de um processo rudimentar de contagem ranhuras em
ossos marcas em galhos desenhos em cavernas e pedras Tambeacutem podemos citar aqui o
processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades ou seja para cada unidade
obtida era colocada uma pequena pedra em um saquinho Portanto boa parte dessas
descobertas matemaacutetica mencionadas derivam de ideacuteias que originalmente estavam centradas
nos conceitos de nuacutemero grandeza e forma1
Em certa eacutepoca pensou-se que a matemaacutetica estava ocupada apenas com os nossos
sentidos com aquilo que o homem podia perceber do mundo no qual vivia e foi apenas no
seacuteculo dezenove que a matemaacutetica pura se libertou das limitaccedilotildees sugeridas por observaccedilotildees
da natureza
Ao longo do tempo o homem a medida que ia se desenvolvendo tambeacutem ia
utilizando alguns conhecimentos que iriam facilitar sua vida em sociedade e a matemaacutetica
esteve presente na organizaccedilatildeo da vida social do homem Veremos mais adiante as principais
civilizaccedilotildees antigas que contribuiacuteram para o desenvolvimento dessa ciecircncia chamada
matemaacutetica
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO
A civilizaccedilatildeo egiacutepcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra feacutertil que
margeava o rio Nilo posiccedilatildeo geograacutefica que foi propiacutecia ao desenvolvimento da agricultura
base da economia no Egito Pelo fato de que a sociedade egiacutepcia era extremamente fixa e
centrada na pessoa do Faraoacute que natildeo permitia uma maior abertura para as classes inferiores
as ciecircncias foram prejudicadas mas mesmo assim houve algumas descobertas As construccedilotildees
das piracircmides datildeo a entender que o conhecimento matemaacutetico dos egiacutepcios era muito mais
avanccedilado que o conhecido nos papiros (ducumentos egiacutepcios em forma de uma estreita tira
1Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p1)
11 escritos na forma hieraacutetica que foram descobertos em escavaccedilotildees no Egito por volta do seacuteculo
XVIII dC) Estes papiros traziam uma seacuterie de problemas e coleccedilotildees matemaacuteticas em
linguagem hieraacutetica que forma um dos pilares da matemaacutetica grega a qual foi a base para
nossa matemaacutetica moderna isto em geometria e trigonometria Do ponto de vista matemaacutetico
os mais importantes satildeo os papiros de Moscou e os papiros de Rhind Nesse uacuteltimo por
exemplo continham problemas diversos onde satildeo aplicados os meacutetodos de divisatildeo e
multiplicaccedilatildeo dos egiacutepcios mostrando tambeacutem como eles empregavam a regra da falsa
posiccedilatildeo e muitos outros problemas matemaacuteticos voltados a questotildees praacuteticas Pode-se entatildeo
perceber que mesmo com todas as dificuldades e restriccedilotildees impostas pela forma de governo
houve um grande avanccedilo matemaacutetico e cientiacutefico no Egito2
Foi tambeacutem com o egiacutepcios que Comeccedilou- se tambeacutem com uma geometria elementar
e uma trigonometria baacutesica (esticadores de corda) para facilitar a demarcaccedilatildeo de terras Com
isso utilizaram-se os caacutelculos de aacutereas raiacutezes quadradas e fraccedilotildees Tambeacutem sabemos que os
egiacutepcios conheciam as relaccedilotildees meacutetricas em um triacircngulo retacircngulo
Outro registro matemaacutetico mais antigo ainda eacute o da numeraccedilatildeo hierogliacutefica egiacutepcia
que eram inscriccedilotildees sagradas feitas em tumbas e monumentos que foram decifradas e
descobriu-se que esse sistema de numeraccedilatildeo antigo baseava-se na escala dez Essa linguagem
simples utilizava siacutembolos diferentes para representar por exemplo a primeira duacutezia de
potecircncias dez um traccedilo vertical representava uma unidade um osso de calcanhar invertido
representava o nuacutemero 10 um laccedilo como uma letra C valia 100 um dedo dobrado valia
10000 e assim os egiacutepcios podiam expressar as primeiras noccedilotildees de quantidade3
A matemaacutetica egiacutepcia sempre foi essencialmente praacutetica Quando o rio Nilo estava no
periacuteodo das cheias comeccedilavam os problemas para as pessoas Para resolver estes problemas
foram desenvolvidos vaacuterios ramos da matemaacutetica Foram construiacutedas obras hidraacuteulicas
reservatoacuterios de aacutegua e canais de irrigaccedilatildeo no rio Nilo Aleacutem disso outras aacutereas do
conhecimento foram estudadas pelos egiacutepcios com o intuito de prever as cheias do rio Nilo
como eacute o caso da Astronomia
2 httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 3 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p7)
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
10 10 NOTAS HISTOacuteRICAS DA MATEMAacuteTICA
Desde a antiguidade o homem utiliza a matemaacutetica para facilitar a vida e organizar a
sociedade Na preacute-histoacuteria quando o homem era nocircmade e vivia em pequenos grupos vivendo
da caccedila e pesca esse periacuteodo foi marcado por um baixo niacutevel intelectual cientiacutefico e
matemaacutetico
Mas mesmo assim podemos citar algumas descobertas cientiacuteficas e matemaacuteticas
Neste periacuteodo houve a elaboraccedilatildeo de um processo rudimentar de contagem ranhuras em
ossos marcas em galhos desenhos em cavernas e pedras Tambeacutem podemos citar aqui o
processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades ou seja para cada unidade
obtida era colocada uma pequena pedra em um saquinho Portanto boa parte dessas
descobertas matemaacutetica mencionadas derivam de ideacuteias que originalmente estavam centradas
nos conceitos de nuacutemero grandeza e forma1
Em certa eacutepoca pensou-se que a matemaacutetica estava ocupada apenas com os nossos
sentidos com aquilo que o homem podia perceber do mundo no qual vivia e foi apenas no
seacuteculo dezenove que a matemaacutetica pura se libertou das limitaccedilotildees sugeridas por observaccedilotildees
da natureza
Ao longo do tempo o homem a medida que ia se desenvolvendo tambeacutem ia
utilizando alguns conhecimentos que iriam facilitar sua vida em sociedade e a matemaacutetica
esteve presente na organizaccedilatildeo da vida social do homem Veremos mais adiante as principais
civilizaccedilotildees antigas que contribuiacuteram para o desenvolvimento dessa ciecircncia chamada
matemaacutetica
11 A MATEMAacuteTICA NO EGITO
A civilizaccedilatildeo egiacutepcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra feacutertil que
margeava o rio Nilo posiccedilatildeo geograacutefica que foi propiacutecia ao desenvolvimento da agricultura
base da economia no Egito Pelo fato de que a sociedade egiacutepcia era extremamente fixa e
centrada na pessoa do Faraoacute que natildeo permitia uma maior abertura para as classes inferiores
as ciecircncias foram prejudicadas mas mesmo assim houve algumas descobertas As construccedilotildees
das piracircmides datildeo a entender que o conhecimento matemaacutetico dos egiacutepcios era muito mais
avanccedilado que o conhecido nos papiros (ducumentos egiacutepcios em forma de uma estreita tira
1Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p1)
11 escritos na forma hieraacutetica que foram descobertos em escavaccedilotildees no Egito por volta do seacuteculo
XVIII dC) Estes papiros traziam uma seacuterie de problemas e coleccedilotildees matemaacuteticas em
linguagem hieraacutetica que forma um dos pilares da matemaacutetica grega a qual foi a base para
nossa matemaacutetica moderna isto em geometria e trigonometria Do ponto de vista matemaacutetico
os mais importantes satildeo os papiros de Moscou e os papiros de Rhind Nesse uacuteltimo por
exemplo continham problemas diversos onde satildeo aplicados os meacutetodos de divisatildeo e
multiplicaccedilatildeo dos egiacutepcios mostrando tambeacutem como eles empregavam a regra da falsa
posiccedilatildeo e muitos outros problemas matemaacuteticos voltados a questotildees praacuteticas Pode-se entatildeo
perceber que mesmo com todas as dificuldades e restriccedilotildees impostas pela forma de governo
houve um grande avanccedilo matemaacutetico e cientiacutefico no Egito2
Foi tambeacutem com o egiacutepcios que Comeccedilou- se tambeacutem com uma geometria elementar
e uma trigonometria baacutesica (esticadores de corda) para facilitar a demarcaccedilatildeo de terras Com
isso utilizaram-se os caacutelculos de aacutereas raiacutezes quadradas e fraccedilotildees Tambeacutem sabemos que os
egiacutepcios conheciam as relaccedilotildees meacutetricas em um triacircngulo retacircngulo
Outro registro matemaacutetico mais antigo ainda eacute o da numeraccedilatildeo hierogliacutefica egiacutepcia
que eram inscriccedilotildees sagradas feitas em tumbas e monumentos que foram decifradas e
descobriu-se que esse sistema de numeraccedilatildeo antigo baseava-se na escala dez Essa linguagem
simples utilizava siacutembolos diferentes para representar por exemplo a primeira duacutezia de
potecircncias dez um traccedilo vertical representava uma unidade um osso de calcanhar invertido
representava o nuacutemero 10 um laccedilo como uma letra C valia 100 um dedo dobrado valia
10000 e assim os egiacutepcios podiam expressar as primeiras noccedilotildees de quantidade3
A matemaacutetica egiacutepcia sempre foi essencialmente praacutetica Quando o rio Nilo estava no
periacuteodo das cheias comeccedilavam os problemas para as pessoas Para resolver estes problemas
foram desenvolvidos vaacuterios ramos da matemaacutetica Foram construiacutedas obras hidraacuteulicas
reservatoacuterios de aacutegua e canais de irrigaccedilatildeo no rio Nilo Aleacutem disso outras aacutereas do
conhecimento foram estudadas pelos egiacutepcios com o intuito de prever as cheias do rio Nilo
como eacute o caso da Astronomia
2 httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 3 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p7)
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
11 escritos na forma hieraacutetica que foram descobertos em escavaccedilotildees no Egito por volta do seacuteculo
XVIII dC) Estes papiros traziam uma seacuterie de problemas e coleccedilotildees matemaacuteticas em
linguagem hieraacutetica que forma um dos pilares da matemaacutetica grega a qual foi a base para
nossa matemaacutetica moderna isto em geometria e trigonometria Do ponto de vista matemaacutetico
os mais importantes satildeo os papiros de Moscou e os papiros de Rhind Nesse uacuteltimo por
exemplo continham problemas diversos onde satildeo aplicados os meacutetodos de divisatildeo e
multiplicaccedilatildeo dos egiacutepcios mostrando tambeacutem como eles empregavam a regra da falsa
posiccedilatildeo e muitos outros problemas matemaacuteticos voltados a questotildees praacuteticas Pode-se entatildeo
perceber que mesmo com todas as dificuldades e restriccedilotildees impostas pela forma de governo
houve um grande avanccedilo matemaacutetico e cientiacutefico no Egito2
Foi tambeacutem com o egiacutepcios que Comeccedilou- se tambeacutem com uma geometria elementar
e uma trigonometria baacutesica (esticadores de corda) para facilitar a demarcaccedilatildeo de terras Com
isso utilizaram-se os caacutelculos de aacutereas raiacutezes quadradas e fraccedilotildees Tambeacutem sabemos que os
egiacutepcios conheciam as relaccedilotildees meacutetricas em um triacircngulo retacircngulo
Outro registro matemaacutetico mais antigo ainda eacute o da numeraccedilatildeo hierogliacutefica egiacutepcia
que eram inscriccedilotildees sagradas feitas em tumbas e monumentos que foram decifradas e
descobriu-se que esse sistema de numeraccedilatildeo antigo baseava-se na escala dez Essa linguagem
simples utilizava siacutembolos diferentes para representar por exemplo a primeira duacutezia de
potecircncias dez um traccedilo vertical representava uma unidade um osso de calcanhar invertido
representava o nuacutemero 10 um laccedilo como uma letra C valia 100 um dedo dobrado valia
10000 e assim os egiacutepcios podiam expressar as primeiras noccedilotildees de quantidade3
A matemaacutetica egiacutepcia sempre foi essencialmente praacutetica Quando o rio Nilo estava no
periacuteodo das cheias comeccedilavam os problemas para as pessoas Para resolver estes problemas
foram desenvolvidos vaacuterios ramos da matemaacutetica Foram construiacutedas obras hidraacuteulicas
reservatoacuterios de aacutegua e canais de irrigaccedilatildeo no rio Nilo Aleacutem disso outras aacutereas do
conhecimento foram estudadas pelos egiacutepcios com o intuito de prever as cheias do rio Nilo
como eacute o caso da Astronomia
2 httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 3 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p7)
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
12 12 A MATEMAacuteTICA DOS BABILOcircNICOS
A Mesopotacircmia como tambeacutem eacute conhecida a Babilocircnia situava-se no oriente meacutedio
entre os rios Tigre e Eufrates onde hoje estaacute situado o Iraque e a Siacuteria principalmente Os
povos que formavam a Babilocircnia eram os Sumeacuterios Acaacutedios Amonitas Caldeus e Hititas A
ciecircncia e por conseguinte a matemaacutetica babilocircnica teve um grande desenvolvimento por parte
dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilizaccedilatildeo A exemplo dos egiacutepcios os
babilocircnicos tinham uma ciecircncia e matemaacutetica extremamente praacutetica com o objetivo de
facilitar o caacutelculo do calendaacuterio a administraccedilatildeo das colheitas organizaccedilatildeo de obras puacuteblicas
e a cobranccedila de impostos bem como seus registros4
Os babilocircnicos tinham uma maior habilidade e facilidade de efetuar caacutelculos talvez
em virtude de sua linguagem ser mais acessiacutevel que a egiacutepcia Eles tinham teacutecnicas para
equaccedilotildees quadraacuteticas e bi ndash quadraacuteticas aleacutem de possuiacuterem foacutermulas para aacutereas de figuras
retiliacuteneas simples e foacutermulas para o caacutelculo de volume de soacutelidos simples Tambeacutem
conheciam as relaccedilotildees entre os lados de um triacircngulo retacircngulo e trigonometria baacutesica
conforme descrito na taacutebua ldquoPlimpton 322rdquo A numeraccedilatildeo posicional babilocircnica era
semelhante agrave egiacutepcia seguindo praticamente agraves mesmas regras para escrever os nuacutemeros
fazendo uso de repeticcedilotildees dos siacutembolos para representar unidades e dezenas poreacutem os
babilocircnicos perceberam que seus dois siacutembolos para unidades e dezenas bastavam para
representar qualquer inteiro por maior que fosse sem necessitar de uma excessiva repeticcedilatildeo
fazendo uso da notaccedilatildeo posicional isto eacute os babilocircnicos viram que seus siacutembolos podiam ter
funccedilatildeo dupla tripla ou em qualquer grau simplesmente recebendo valores que iam depender
somente de suas posiccedilotildees relativas na representaccedilatildeo de um nuacutemero Nosso nuacutemero 222 por
exemplo usa o algarismo 2 trecircs vezes com significados diferentes cada uma uma vez o 2
vale duas unidades depois vale 2 dezenas e por fim vale 2 centenas de modo anaacutelogo os
babilocircnicos fizeram uso muacuteltiplo de seus siacutembolos separando claramente os trecircs grupos de
duas cunhas cada e ai entendiam que o grupo da direita representava duas unidades o
segundo o dobro de sua base que era sessenta e o da esquerda o dobro do quadrado da base
esse numeral indicava 2(60)sup2 + 2(60) + 2 (ou 7322 em nossa notaccedilatildeo)5 Portanto esse sistema
posicional de base sexagesimal bem desenvolvido facilitava os caacutelculos e o trabalho com
4 wwwsomatematicacom acesso em 20042011 5 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p18)
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
13 fraccedilotildees Por tudo isto que foi descrito a matemaacutetica babilocircnica eacute considerada mais
desenvolvida que a matemaacutetica egiacutepcia
13 A MATEMAacuteTICA GREGA
A civilizaccedilatildeo grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa e da
Aacutesia e eacute considerada por muitos o berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental A Greacutecia deu grande
contribuiccedilatildeo para a formaccedilatildeo da sociedade moderna em vaacuterias aacutereas tais como poliacutetica
avanccedilo comercial economia e claro contribuiccedilotildees dentro da ciecircncia e matemaacutetica A base da
revoluccedilatildeo matemaacutetica ocorrida na Greacutecia consistia basicamente na investigaccedilatildeo dos conceitos
matemaacuteticos isto eacute o porquecirc Enquanto a matemaacutetica egiacutepcia e babilocircnica se resumia em
saber como Com os gregos a matemaacutetica passou a ser voltada a conceituaccedilatildeo teoremas e
axiomas A matemaacutetica moderna teve origem no racionalismo grego e teve como principal
estimulador Tales de Mileto considerado o pai da matemaacutetica moderna Esse racionalismo
objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais compreensatildeo do lugar do homem no
universo encontrar a ordem no caos ordenar as ideacuteias em sequecircncias loacutegicas e obtenccedilatildeo de
princiacutepios fundamentais
Com relaccedilatildeo a Tales de Mileto pouco se sabe sobre sua obra poreacutem segundo a
tradiccedilatildeo foi Tales quem primeiro explicou o eclipse solar ao verificar que a lua eacute iluminada
por esse astro Por esse e outros motivos Tales eacute considerado o primeiro dos Sete Saacutebios
Segundo a tradiccedilatildeo a proposiccedilatildeo conhecida como o teorema de Tales que diz que um acircngulo
inscrito num semiciacuterculo eacute um acircngulo reto pode ter sido aprendido por Tales em suas viagens
agrave Babilocircnia poreacutem a tradiccedilatildeo grega lhe atribui a demonstraccedilatildeo do teorema6 Outros quatro
teoremas tambeacutem tecircm suas demonstraccedilotildees atribuiacutedas a Tales satildeo eles
Um ciacuterculo eacute bissectado por um diacircmetro
Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
Os pares de acircngulos opostos formados por duas retas que se cortam satildeo iguais
Se dois triacircngulos satildeo tais que dois acircngulos e um lado satildeo iguais respectivamente a
dois acircngulos e um lado de outro entatildeo os triacircngulos satildeo iguais
6 Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996(p32)
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
14 14 PITAacuteGORAS
Quando se trata de matemaacutetica natildeo poderiacuteamos deixar de mencionar outro grande
matemaacutetico grego da mesma eacutepoca de Tales de Mileto o famoso Pitaacutegoras matemaacutetico e
filoacutesofo grego nascido por volta de 570 aC na ilha de Samos na Greacutecia
Pitaacutegoras com 18 anos de idade jaacute dominava e conhecia vaacuterios ramos do
conhecimento matemaacutetico e filosoacutefico e foi estudando astronomia por exemplo que
Pitaacutegoras afirmou que o planeta terra era esfeacuterico e suspenso no espaccedilo Em umas de suas
visitas ao Egito desenvolveu o seu teorema mais famoso denominado Teorema de Pitaacutegoras
atraveacutes do qual pode-se encontrar a medida de qualquer lado de um triacircngulo retacircngulo
conhecendo-se os valores dos outros dois Acredita-se que ele desenvolveu esse teorema
depois que ficou encantado com as piracircmides do Egito
Pitaacutegoras fundou uma escola miacutestica voltada para a evoluccedilatildeo da matemaacutetica e
filosofia tendo como principais temas a harmonia matemaacutetica a doutrina dos nuacutemeros e o
dualismo coacutesmico O Siacutembolo da escola era um pentagrama que segundo Pitaacutegoras possuiacutea
algumas propriedades interessantes Podia se obter um pentagrama traccedilando as diagonais de
um pentaacutegono regular
Figura 1- Pitaacutegoras
Figura 2- pentagrama siacutembolo da escola Pitagoacuterica
Alguns estudiosos afirmam que Pitaacutegoras foi disciacutepulo de Tales mas isso eacute pouco
provaacutevel devido a diferenccedila de mais de um seacuteculo entre suas idades Embora eles tenham tido
algumas semelhanccedilas entre seus interesses de estudos Pitaacutegoras abordou a matemaacutetica de
forma diferente em seus estudos como o escritor Proclo afirma em sua obra geomeacutetrica de
Tales
Pitaacutegoras que veio depois dele transformou essa ciecircncia numa forma
liberal de instruccedilatildeo examinando seus princiacutepios desde o iniacutecio e investigando os
teoremas de modo imaterial e intelectual Descobriu a teoria das proporcionais e a
contruccedilatildeo de figuras coacutesmicas [Thomas 1939p149]
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
15
FIGURA 3 - Teorema mais famoso de Pitaacutegoras
15 NOTAS HISTOacuteRICAS DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria eacute incerta entretanto sabemos que o desenvolvimento da
mesma se deu principalmente devido aos problemas que ficaram sem soluccedilatildeo dentro da
astronomia geografia e navegaccedilatildeo Problemas esses que os egiacutepcios e babilocircnicos
procuraram solucionar aplicando conhecimentos da relaccedilatildeo entre os acircngulos e os lados de um
triacircngulo No antigo Egito eacute possiacutevel encontrar problemas relacionados com a construccedilatildeo das
piracircmides e que envolvem a cotangente referida no papiro de Rhind Podemos encontrar
tambeacutem uma taacutebua de secantes na taacutebua cuneiforme babilocircnica Plimpton 322
Um matemaacutetico que deu uma contribuiccedilatildeo significativa para a trigonometria foi
Ptolomeu (seacuteculo II) Na sua obra Almagesto composta de 13 livros conteacutem uma tabela de
cordas correspondentes a diversos acircngulos por ordem crescente de 0deg a 90deg com incremento
de 15rsquo e em funccedilatildeo da metade do acircngulo o que eacute equivalente a uma tabela de senos Contudo
foi Euller (seacutec XVIII) que ao usar invariavelmente o ciacuterculo de raio um introduziu o
conceito de seno de co-seno e de tangente como nuacutemeros bem como as notaccedilotildees atualmente
utilizadas7
7 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
16
Outros matemaacuteticos aleacutem desses jaacute citados deram uma grande contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento da trigonometria Exemplos que podemos citar Menelau de Alexandria
(responsaacutevel pelo teorema que diz que dois triacircngulos esfeacutericos satildeo congruentes se acircngulos
correspondentes satildeo iguais) Hiparco de Niceacuteia (responsaacutevel pela compilaccedilatildeo da primeira
tabela trigonomeacutetrica) Eratoacutestenes de Cirene (muito conhecido por precisar o tamanho da
terra atraveacutes de uma simples observaccedilatildeo solar em sua cidade) Aleacutem desses muitos outros
introduziram conhecimentos relacionados a trigonometria
Coube ao matemaacutetico Ptolomeu criar o ciacuterculo trigonomeacutetrico de 360 graus na
tentativa de associar valores numeacutericos agraves cordas num ciacuterculo que era a forma utilizada pelos
aacuterabes isto eacute os aacuterabes usaram linhas trigonomeacutetricas que funcionavam como cordas no
ciacuterculo Mas para Ptolomeu realizar tal proeza era preciso criar um esquema para subdividir
a circunferecircncia de um ciacuterculo e tambeacutem criar uma regra para subdividir o diacircmetro Sem
duacutevida foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diacircmetro do ciacuterculo
trigonomeacutetrico em 120 partes cada uma dessas partes ele subdividiu de novo em sessenta
minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos Vejamos a figura abaixo
figura 4 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
ArsquoA = eixo dos cossenos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
BrsquoB = eixo dos senos ( variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ( variando no intervalo de menos infinito a mais infinito)
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
17
Atualmente a trigonometria natildeo se limita a estudar triacircngulos Encontramos aplicaccedilotildees
na mecacircnica eletricidade acuacutestica muacutesica astronomia engenharia medicina e etc Muitas
dessas aplicaccedilotildees envolvem conceitos que dificilmente lembram os triacircngulos que deram
origem agrave trigonometria como por exemplo
Haacute meacutetodos atuais de anaacutelise de medicina onde satildeo enviadas ondas ao coraccedilatildeo de
forma que efetuem interaccedilotildees seletivas com os tecidos a observar
Geodeacutesia estudo da forma e dimensatildeo da terra
Estudo da intensidade luminosa calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma
fonte luminosa para uma determinada regiatildeo
Em Geografia a trigonometria eacute usada para estimar distacircncias entre divisas8
Na Astronomia conhecimentos trigonomeacutetricos satildeo utilizados para calcular
aproximadamente as distacircncias entre as estrelas mais proacuteximas
Enfim vaacuterias ciecircncias aplicam conhecimentos trigonomeacutetricos para se desenvolver e
alcanccedilar resultados praacuteticos e precisos
Devemos reconhecer que os conhecimentos trigonomeacutetricos expandiram-se para as
mais diversas aacutereas do conhecimento dando sua devida contribuiccedilatildeo mas para fins de
estudos devemos retornar agrave origem da palavra trigonometria que significa medidas de
triacircngulo ou seja palavra originada do grego trigocircnom = triacircngulo + metron = medidas que
significa literalmente medidas de triacircngulo8
Como o proacuteprio significado da palavra trigonometria jaacute nos informa esse ramo da
matemaacutetica estuda os triacircngulos pode estudar particularmente os triacircngulos em um plano
onde um dos acircngulos eacute de 90deg isto eacute o triacircngulo retacircngulo Estuda tambeacutem as relaccedilotildees entre
os lados e os acircngulos dos triacircngulos Por isso eacute inegaacutevel a importacircncia dos triacircngulos natildeo
apenas para o estudo da trigonometria mas tambeacutem para os tempos atuais A seguir veremos
como o triacircngulo estaacute presente na nossa realidade e sua devida importacircncia para nossos dias
8httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
18 151 A IMPORTAcircNCIA DOS TRIAcircNGULOS NA VIDA HUMANA
Natildeo se pode afirmar com certeza quem inventou o triacircngulo ou como isso ocorreu
mas no passado algumas civilizaccedilotildees inventaram construccedilotildees que tinham a forma estrutural
de um triacircngulo Um exemplo que podemos citar eacute o caso da civilizaccedilatildeo grega nos seus
tempos primitivos usaram o triacircngulo de descarga construccedilatildeo que permitia descarregar
as pressotildees exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos tuacutemulos
e das cidadelas Devido ao peso as portas podiam abater mas com o triacircngulo o peso era
suportado por postes laterais que eram maciccedilos9
Na Idade Meacutedia surgiu tambeacutem uma vela triangular alinhada com o eixo longitudinal
do casco O uso dessa vela facilitou a navegaccedilatildeo pois anteriormente era usada uma vela
perpendicular ao eixo e de formato quadrado o que tornava a navegaccedilatildeo lenta
Figura 5 - Embarcaccedilatildeo usando vela de estrutura triangular
Na atualidade podemos identificar muitas situaccedilotildees em que se recorre a forma
triangular Muitos engenheiros usam com frequumlecircncia formas triangulares em suas construccedilotildees
para daacute estabilidade e seguranccedila as mesmas Observemos abaixo algumas situaccedilotildees em que
formas triangulares satildeo usadas
Figura 6 - Cobertura de Estaacutedio triangular
9 httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
19
Figura 7 - Ponte de ferro onde satildeo utilizadas formas
triangulares para daacute sustentaccedilatildeo a toda estrutura
Figura 8 - Para daacute mais sustentaccedilatildeo aos andaimes eles satildeo
triangularizados o que proporciona mais seguranccedila diminuindo os riscos de acidentes durante as construccedilotildees
Figura 9 - Passagens aeacutereas de estrutura triangular
Como podemos verificar estruturas triangulares estatildeo espalhadas ao nosso redor
dando formas a coisas que nos satildeo uacuteteis no dia a dia facilitando nossa vida A importacircncia
dos triacircngulos eacute evidente natildeo apenas nos estudos de mateacuterias que fazem uso dessa figura em
suas pesquisas mas tambeacutem porque os triacircngulos satildeo fundamentais para organizaccedilatildeo
estrutural de nossa sociedade no que diz respeito ao aspecto fiacutesico
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
20 152 INFORMACcedilOtildeES BAacuteSICAS A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Como jaacute foi dito anteriormente a palavra trigonometria significa medida dos lados de
um triacircngulo e atraveacutes do estudo da trigonometria podemos encontrar as medidas dos
elementos de um triacircngulo que satildeo os lados e os acircngulos Vale tambeacutem considerar que pelo
fato do estudo da trigonometria no seu iniacutecio se resumir ao estudo do triacircngulo eacute importante
termos conhecimentos baacutesicos sobre os triacircngulos conhecimentos esses que satildeo fundamentais
no estudo da trigonometria e que facilitam a resoluccedilatildeo de problemas do dia a dia
Na sequecircncia iremos apresentar algumas informaccedilotildees sobre os triacircngulos que satildeo
necessaacuterias para a introduccedilatildeo ao estudo da trigonometria
O triacircngulo eacute o uacutenico poliacutegono que natildeo possui diagonais
Cada um de seus acircngulos externos eacute suplementar do acircngulo externo adjacente
O periacutemetro de um triacircngulo eacute a soma das medidas de seus lados
A regiatildeo interna de um triacircngulo eacute chamada de regiatildeo convexa e a regiatildeo externa
chamada de regiatildeo cocircncava
A seguir veremos as condiccedilotildees necessaacuterias para que determinada figura seja
considerada um triacircngulo em seguida seratildeo apresentados os elementos de um triacircngulo e sua
classificaccedilatildeo tanto em relaccedilatildeo agraves medidas dos lados quantos as medidas dos acircngulos Outras
informaccedilotildees baacutesicas acerca dos triacircngulos aleacutem dessas citadas acima tambeacutem seratildeo
apresentadas tudo isso para facilitar o entendimento de algumas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas
nos triacircngulos diversos que seratildeo mostradas mais a frente
Vale considerar tambeacutem que tudo que seraacute informado sobre os triacircngulos sua
estrutura sua classificaccedilatildeo seus elementos e curiosidades natildeo satildeo apenas importantes para
compreensatildeo das demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees que seratildeo apresentadas nesse trabalho mas
tambeacutem satildeo essenciais para o aprendizado de conteuacutedos tanto na educaccedilatildeo baacutesica meacutedia
quanto na superior
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
21 153 CONDICcedilAtildeO DE EXISTEcircNCIA DE UM TRIAcircNGULO
Na construccedilatildeo de um triacircngulo observamos que a medida de qualquer um dos lados
do triacircngulo eacute menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da
diferenccedila entre essas medidas Tal condiccedilatildeo eacute conhecida como Condiccedilatildeo de Existecircncia de um
Triacircngulo
Figura 10 - triacircngulo
| b - c | lt a lt b + c | a - c | lt b lt a + c | a - b | lt c lt a + b
Exemplo
Figura 11 ndash triacircngulo retacircngulo usado como exemplo
14 ndash 8 lt 10 lt 14 + 10 14 ndash 10 lt 8 lt 14 + 10 10 ndash 8 lt 14 lt 10 + 8
Podemos constatar no exemplo acima que todas as condiccedilotildees foram satisfeitas e
portanto podemos concluir que a figura acima eacute de fato um triacircngulo
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
22 154 CONCEITO DE TRIAcircNGULO
Triacircngulo eacute uma figura geomeacutetrica formada por trecircs retas que se encontram duas a
duas e natildeo passam pelo mesmo ponto formando trecircs lados e trecircs acircngulos
Observando o triacircngulo abaixo podemos identificar alguns de seus elementos
A B e C satildeo os veacutertices do triacircngulo
Os lados dos triacircngulos satildeo simbolizados pelos encontros dos veacutertices (pontos de
encontro) AB BC AC segmentos de retas
Os acircngulos tecircm duas formas de representaacute-los no caso do triacircngulo ele tem 3 lados
consequentemente 3 acircngulos Acirc B e Ĉ ou CBA BĈA BAcircC 155 TIPOS DE TRIAcircNGULOS
Com relaccedilatildeo aos lados os triacircngulos podem ser classificados em
Equumlilaacutetero Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados iguais
Isoacutesceles Satildeo os triacircngulos que possuem dois lados iguais
Escaleno Satildeo os triacircngulos que possuem os trecircs lados diferentes
Com relaccedilatildeo aos acircngulos internos os triacircngulos satildeo classificados em
Retacircngulo Satildeo aqueles que possuem um de seus acircngulos internos igual a 90deg
Obtusacircngulo Satildeo aqueles que possuem dois acircngulos agudos (menores que 90deg) e um acircngulo
obtuso (maior que 90deg)
Acutacircngulo Satildeo aqueles que possuem apenas acircngulos internos agudos (menores que 90deg)
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
23 155 CURIOSIDADES A RESPEITO DO TRIAcircNGULO
Fatos elementares sobre triacircngulos foram apresentados por Euclides em sua obra
denominada Os Elementos por volta de 300 aC Abaixo estatildeo algumas conclusotildees baacutesicas a
respeito do triacircngulo
O triacircngulo eacute um poliacutegono de trecircs lados
Dois triacircngulos satildeo ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme
do outro Este eacute o caso se e somente se seus acircngulos correspondentes satildeo iguais e isso
ocorre por exemplo quando dois triacircngulos compartilham um acircngulo e os lados opostos a
esse acircngulo O fato crucial sobre triacircngulos similares eacute que os comprimentos de seus lados satildeo
proporcionais Isto eacute se o maior lado de um triacircngulo eacute duas vezes o maior lado do triacircngulo
similar diz-se entatildeo que o menor lado seraacute tambeacutem duas vezes maior que o menor lado do
outro triacircngulo e o comprimento do lado meacutedio seraacute duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triacircngulo Assim a razatildeo do maior lado e o menor lado do primeiro
triacircngulo seraacute a mesma razatildeo do maior lado e o menor lado do outro triacircngulo10
De acordo com o teorema angular de Tales a soma dos acircngulos internos de um
triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos (180deg ou ππππradianos) que nos permite
encontrar a medida do terceiro acircngulo uma vez conhecidas as medidas dos outros dois
acircngulos
Exemplo
Segundo um corolaacuterio do Teorema de Tales a medida de um acircngulo externo de um
triacircngulo eacute igual agrave soma das medidas dos acircngulos internos natildeo adjacentes
Outro teorema importante eacute o de Pitaacutegoras que afirma que em qualquer triacircngulo
retacircngulo o quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados Atraveacutes desse teorema podemos encontrar a medida de um dos lados do
triacircngulo desde que conheccedilamos a medida de dois de seus lados11
Figura 12 ndash triacircngulo Pitagoacuterico
10httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml acesso em 06052011 11 idem
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
24
16 GENERALIZACcedilAtildeO DO TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras pode ser generalizado pela Lei dos Cossenos
csup2 = asup2 + bsup2 - 2 middot a middot b middot cos αααα
B
a c
C α b A
A lei dos cossenos pode ser aplicada a todos os triacircngulos mesmo se α natildeo for um
acircngulo reto Ele pode ser usado para ajudar a encontrar a medida dos lados e acircngulos de um
triacircngulo desde que as medidas de pelo menos dois lados e de um acircngulo interno sejam
conhecidas
161 FOacuteRMULAS E FORMAS DE SE OBTER A AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO A aacuterea de um triacircngulo eacute a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base Veja
A= 2
h) - b( onde
h eacute a altura do triacircngulo e ldquobrdquo e a medida da base Se o triacircngulo for equilaacutetero de lado ldquolrdquo sua aacuterea pode ser obtida pela foacutermula abaixo
A= 4
3lsup2
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
25
Podemos encontrar a aacuterea de um triacircngulo usando tambeacutem o Teorema de Heratildeo
atraveacutes da foacutermula do semi-periacutemetro a qual eacute
A = c) - (s b) - (s a) - (s s sdotsdotsdot onde 2
c b a s
++= eacute o semi-periacutemetro
Vejamos a demonstraccedilatildeo
Seja b a base do triacircngulo e h sua altura A aacuterea do triacircngulo eacute A = 2
h b
Pelo teorema dos cossenos sabemos que
csup2 = asup2 + bsup2 - 2abcos C = asup2 + bsup2 - 2b hsup2 - asup2 rArr hsup2 = asup2 - sup22b
csup2- bsup2 asup2
+ Assim
Asup2 = 4
hsup2bsup2 sdot=
4
sup22b
csup2 - bsup2 asup2 - asup2 bsup2
+
= 16
csup2)sup2- bsup2 (asup2 - 2ab)sup2( + rArr
= 16
csup2))- bsup2 (asup2 csup2))(2ab- bsup2 (asup2 - (2ab +++=
16
csup2) - b)sup2 b)sup2)((a -(a - csup2( + rArr
= 16
c) b c)(a - b b)(a -a b)(c a - c( +++++= sc) - (sb) - (sa) - (s sdotsdotsdot
Portanto a aacuterea do triacircngulo pode ser dada pela seguinte foacutermula
A= c)-(sb) - (sa) - (ss sdotsdotsdot
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
26
Podemos achar a medida da aacuterea de um triacircngulo em funccedilatildeo da medida de dois lados
que conhecemos e do seno do acircngulo formado entre eles atraveacutes da foacutermula abaixo
A= 2
Acirc sen b c sdotsdot
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute dada por
A= 2
alturax base
rArrA = 2
h c sdot ( I )
Como o triacircngulo ACH eacute retacircngulo temos que
SenAcirc = b
hrArr senAcirc b h sdot= (II)
Substituindo (II) em (I) obtemos
A= 2
senAcirc b c sdotsdot
162 PROPREIDADE DOS AcircNGULOS INTERNOS DO TRIAcircNGULO
Essa propriedade afirma que a soma das amplitudes dos acircngulos internos de um
triacircngulo eacute igual a 180deg
Demonstraccedilatildeo Consideremos o triacircngulo abaixo
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
27
Se construirmos mais 2 triacircngulos idecircnticos a o primeiro e giramos esses triacircngulos e
unindo-os de maneira que os acircngulos e θβα tornem-se dois a dois adjacentes como na
figura abaixo perceberemos que seraacute formado um acircngulo raso Observaccedilatildeo O acircngulo se torna
raso quando seus lados satildeo semi ndash retas opostas e a medida for de dois retos de 180deg
De onde concluiacutemos que deg=++ 180θβα 12
163 PROPRIEDADE DO AcircNGULO EXTERNO DE UM TRIAcircNGULO
Todo acircngulo externo de um triacircngulo eacute igual agrave soma das amplitudes dos dois acircngulos
internos natildeo adjacentes a ele Observe o triacircngulo e a consequente demonstraccedilatildeo
=α Acirc+ B
Demonstraccedilatildeo Da propriedade dos acircngulos internos sabemos que CBA ++ = 180deg No
entanto observe que α + C = 180degpois α e C satildeo acircngulos suplementares
Daiacute segue que
CBA ++ = C+α
Portanto
α=+ BA
12 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm acesso em 10052011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
28
164 CRITEacuteRIOS DE CONGRUEcircNCIA DE TRIAcircNGULOS
Para que dois triacircngulos sejam considerados congruentes eles devem obedecer alguns
criteacuterios Observe abaixo alguns casos de congruecircncia entre dois triacircngulos
1deg CASO Dois triacircngulos satildeo ditos congruentes se os trecircs lados de um for igual aos
trecircs lados do outro triacircngulo Esse caso eacute conhecido como LLL (lado lado lado)
TRIAcircNGULOS SEMELHANTES DO 1deg CASO
2deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais quando possuem dois lados iguais e o acircngulo
formado por eles satildeo iguais Caso conhecido como LAL (lado acircngulo lado)
TRIAcircNGULOS DO 2deg CASO DE SEMELHANCcedilA
3deg CASO Dois triacircngulos satildeo iguais se tecircm um lado igual e os dois acircngulos
adjacentes a esse lado satildeo iguais Esse eacute o caso LAA (ladoacircnguloacircngulo)
TRIAcircNGULOS DO 3deg CASO DE SEMELHANCcedilA
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
29
17 CIacuteRCULO TRIGONOMEacuteTRICO
Antes de iniciarmos qualquer demonstraccedilatildeo referente as leis do seno e cosseno ou
qualquer outro teorema relacionado a trigonometria faz-se necessaacuterio o estudo do ciacuterculo
trigonomeacutetrico Para entendermos as projeccedilotildees de um ponto qualquer pertencente ao ciacuterculo
nas coordenadas dos eixos sobre o qual a circunferecircncia encontra-se sobreposta dando
origem aos senos e cossenos de um acircngulo qualquer
O Ciacuterculo trigonomeacutetrico eacute um ciacuterculo de raio unitaacuterio cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano
Figura 13 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
Se considerarmos dois pontos A e B sobre o ciacuterculo trigonomeacutetrico de centro O e ligarmos a
esses dois pontos o centro O obteremos dois segmentos de reta OA e OB por sua vez o
par AO( OB ) define um acircngulo como podemos observar na figura abaixo
Figura 14 ndash ciacuterculo trigonomeacutetrico
O ponto O eacute o veacutertice do acircngulo e os segmentos de retas OA e OB satildeo
respectivamente o lado origem e o lado extremidade
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
30 171 LINHAS TRIGONOMEacuteTRICAS
P eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o arco que limita o
ciacuterculo trigonomeacutetrico
O co-seno de αααα eacute a abcissa do ponto P
O seno de αααα eacute a ordenada do ponto P
C eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das tangentes
A tangente de αααα eacute a ordenada do ponto C
D eacute o ponto de intersecccedilatildeo do lado extremidade do acircngulo com o eixo das co-
tangentes
A cotg αααα eacute a abcissa do ponto C13
172 ESTUDO DO SINAL DO CO-SENO E DO SENO
Atraveacutes dos quadrantes abaixo veremos onde o cosseno e o seno de um acircngulo
assume valores positivos e negativos
-1 le sen α le 1 -1 le cos α le 1
13 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 20052011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
31
Como podemos verificar nos ciacuterculos trigonomeacutetricos acima o seno de um acircngulo
assume valores positivos no 1deg e 2deg quadrantes e negativos nos 3deg e 4deg quadrantes Jaacute o co-
seno assume valores positivos no 1deg e 4deg quadrantes e negativos no 2deg e 3deg quadrantes
Todas as informaccedilotildees jaacute mencionadas nesse trabalho sobre os triacircngulos seus
componentes sobre o seno e o cosseno e o ciacuterculo trigonomeacutetrico seratildeo importantes no
decorrer desse trabalho nas demonstraccedilotildees que se seguiratildeo para uma maior compreensatildeo das
leis a serem vistas e de suas aplicaccedilotildees nos triacircngulos quaisquer que eacute nosso objetivo
principal
20 TRIGONOMETRIA EM TRIAcircNGULOS QUAISQUER
A partir de agora iremos tratar de algumas leis e teoremas matemaacuteticos que nos
ajudam a resolver problemas envolvendo triacircngulos quaisquer o que eacute justamente a proposta
desse trabalho Na sequumlecircncia traremos o enunciado das leis e teoremas com suas respectivas
demonstraccedilotildees e aplicaccedilotildees no sentido de alcanccedilar o objetivo de aplicar os conhecimentos
adquiridos com essas leis nos problemas que surgirem atingindo suas resoluccedilotildees
21 LEI DOS SENOS
Em qualquer triacircngulo o quociente entre cada lado e o seno do acircngulo eacute
constante e igual agrave medida do diacircmetro da circunferecircncia circunscrita ao triacircngulo
Demonstraccedilatildeo
Seja ABC um triacircngulo qualquer inscrito em uma circunferecircncia de raio R Por um
dos veacutertices do triacircngulo no caso o veacutertice B portanto de B trace um ponto diametralmente
oposto que chamaremos de D como podemos ver na figura a cima Em seguida ligando o
ponto C ao ponto D formando assim um novo triacircngulo BCD retacircngulo em C Observando a
figura gerada e sabendo que um acircngulo θ inscrito em uma circunferecircncia tem a metade do
valor do acircngulo central que subtende o mesmo arco na circunferecircncia (teorema do acircngulo
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
32
inscrito) podemos concluir que =Acirc D porque determinam na circunferecircncia uma
mesma corda BC
Temos entatildeo
2rsenAcirc
asenAcirc 2ra
2r
aDSen =rArrsdot=rArr=
De forma anaacuteloga se realizarmos esse mesmo processo para os acircngulos B e C
tambeacutem teremos as seguintes relaccedilotildees Bsen
b e
Csen
c= 2r onde b eacute a medida do lado AC
oposto a B c eacute a medida do lado AB oposto a C e 2r eacute uma constante Portanto podemos
concluir que
22 LEI DOS COSSENOS
Em qualquer triacircngulo o quadrado de um dos lados eacute igual agrave soma dos
quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo
cosseno do acircngulo formado entre eles
1deg CASO ndash Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
Figura 16 ndash triacircngulo acutacircngulo
Considerando a figura acima podemos observar trecircs triacircngulos ABC BCD e BAD
Do triacircngulo BCD que eacute retacircngulo podemos extrair a seguinte relaccedilatildeo
asup2 = nsup2 + hsup2 ( I )
Do triacircngulo BAD que eacute retacircngulo temos
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a===
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
33
hsup2 = csup2 - msup2 ( II )
Ainda temos a seguinte relaccedilatildeo
n = b ndash m ( III )
substituindo as relaccedilotildees ( III ) e ( II ) em ( I ) temos
asup2 = (b ndash m)sup2 + csup2 - msup2 rarr asup2 = bsup2 + csup2 - 2bm
mas como no triacircngulo BAD m = c cos Acirc logo
Teremos que asup2 = bsup2 + csup2 -2bc cosAcirc
Da mesma forma pode-se demonstrar as demais relaccedilotildees
Bcos c a 2 - csup2 asup2 bsup2 sdotsdotsdot+=
Ccos b a 2 - bsup2 asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
2deg CASO) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
Figura 17 ndash triacircngulo obtusacircngulo
No triacircngulo BCH que eacute retacircngulo temos a seguinte relaccedilatildeo apoacutes aplicar o
teorema de Pitaacutegoras
asup2 = hsup2 + (x + c)sup2 = hsup2 + (csup2 + 2cx + xsup2) = (hsup2 + xsup2) + csup2 + 2cx ( I )
No triacircngulo AHC temos que bsup2 = hsup2 + xsup2 (II)
Temos tambeacutem que cos ( D ) = xb = cos (180deg- A) = -cos Acirc entatildeo x = - b cos Acirc (III)
Daiacute substituindo III e II em I e o valor de x teremos
asup2 = bsup2 + csup2 - 2bc cos Acirc
E estaacute demonstrada a lei do cosseno14
De forma anaacuteloga podemos provar as seguintes relaccedilotildees 14 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 227)
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
34
Bcos c a 2 - csup2asup2bsup2 sdotsdotsdot+= e Ccos b a 2 - bsup2asup2 csup2 sdotsdotsdot+=
A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triacircngulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do acircngulo oposto a esse lado Essa
lei tambeacutem nos permite calcular a medida de todos os acircngulos de um triacircngulo desde que se
saiba o comprimento de todos os lados
23 TEOREMA DA AacuteREA DE UM TRIAcircNGULO
Teorema Em qualquer triacircngulo a aacuterea eacute igual ao semi-produto de dois lados
multiplicado pelo seno do acircngulo que eles formam
Demonstraccedilatildeo
1deg caso) Seja ABC um triacircngulo com Acirc lt 90deg
C D ǀ-----------------------------------------------------------ǀ b
Vimos nas paacuteginas anteriores que a lei do Seno eacute expressa pelas seguintes expressotildees
2rCsen
c
Bsen
b
Asen
a=== essa lei nos permite deduzir uma foacutermula para aacuterea de um
triacircngulo qualquer
Sabemos que a aacuterea de um triacircngulo eacute igual ao produto da base pela altura dividido por
dois Entatildeo
At = 2
1middot basemiddot altura =
2
1middot a middot h
Perceba poreacutem que no triacircngulo retacircngulo ABD podemos escrever
SenAcirc = c
DB ou ainda DB = senAcirc middot c
Fazendo a substituiccedilatildeo dessa expressatildeo na foacutermula da aacuterea teremos
B c
A
a
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
35
At = 2
1 middot AC middot DB rArr At =
2
senAcirccb sdotsdot
2deg caso) Seja ABC um triacircngulo com 90deg lt Acirc lt 180deg
No triacircngulo AHC que eacute retacircngulo temos
CH = b sen (180deg - Acirc ) = b sen Acirc entatildeo
At = CH2
ABsdot =
2
senAcirc b c sdotsdot
E estaacute concluiacuteda a demonstraccedilatildeo desse Segundo caso15
De maneira anaacuteloga provamos tambeacutem que
At =2
Csenba sdotsdot ou At
2
Bsenca sdotsdot=
24 PROJECcedilAtildeO ORTOGONAL 1deg CASO TRIAcircNGULO ACUTAcircNGULO A c b B C ǀ -------------- a -----------------------ǀ
15 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 ( p 233)
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
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REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
36 Demonstraccedilatildeo
a = BD + DC
Cos B = c
BDrArr BD = c cos B
Cos C = b
DCrArr DC = b cos C
Daiacute temos
a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga segue que
b = acos C + ccos Acirc
c = bcos A + acos B
2deg CASO) TRIAcircNGULO OBTUSAcircNGULO A c b a D B C
DC = DB+ a
a = DC - DB
daiacute cos C = b
DC rArr DC = b cos C logo
Cos (180deg- B ) = c
DBrArr - cos B =
c
DBrArr DB= - cos B
Temos entatildeo que
a = bcos C - (- ccos )B rArr a = bcos C + ccos B
De maneira anaacuteloga obtemos
b = acos C + ccos B
e
c= acos B + bcos A
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
37 30 APLICACcedilOtildeES
Iremos a partir de agora vermos algumas aplicaccedilotildees do conteuacutedo visto neste trabalho
na resoluccedilatildeo de alguns problemas que envolvem triacircngulos quaisquer De preferecircncia
faremos uso da lei do seno lei do cosseno do teorema da aacuterea de um triacircngulo qualquer e da
projeccedilatildeo ortogonal com a finalidade de aprimorarmos o conhecimento acerca do assunto
mostrando aos leitores que eacute viaacutevel resolver problemas em triacircngulos que natildeo satildeo
retacircngulos o que eacute em suma a proposta desse trabalho
31 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO SENO
Jaacute vimos anteriormente nas paacuteginas 32 e 33 deste trabalho a demonstraccedilatildeo da lei do
seno Veremos agora algumas situaccedilotildees problemas em que a aplicaccedilatildeo dessa lei nos
permitiraacute chega a sua soluccedilatildeo No entanto eacute importante sabermos quando eacute que devemos usar
a lei do seno para resolver determinada questatildeo Portanto devemos utilizar essa lei nas
situaccedilotildees em que temos um triacircngulo onde satildeo conhecidas as medidas de um lado e dois
acircngulos
1deg Aplicaccedilatildeo) Quais as medidas dos lados b e c na figura abaixo
A
C 45deg 15deg B
18
Soluccedilatildeo observando a figura percebemos que nos falta agrave medida de um dos acircngulos internos
do triacircngulo mas como jaacute sabemos pelo teorema dos 180deg que a soma dos acircngulos internos
de um triacircngulo eacute 180deg podemos facilmente encontrar a medida do acircngulo Acirc da seguinte
forma
deg=++ 180 C B A = deg=rArrdegdeg==deg=deg+deg+ 120A60 -180A1804515A
Podemos aplicar agora a lei dos senos que nos diz que
Csen
c
Bsen
b
Asen
a==
deg=
deg 15 sen
b
120 sen
18 degsdot=degsdotrArr 15 sen 18 120 sen b = 537b
120 sen
15 sen18b congrArr
deg
degsdot=
Da mesma forma temos
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
38
15 sen
45 sen537c45 sen37515 senc
45 sen
c
45 sen
b
deg
degsdot==degsdot=degsdot=
deg=
degrArr
rArr 6914c86600
70710537c =rArr
sdot= E estaacute resolvido o problema
2deg Aplicaccedilatildeo) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incecircndio florestal no
ponto F Conhecendo os acircngulos FAcircB = 45deg e ABF = 30deg e a distacircncia AB = 15 km
Determine AF e BF
B
15km 105deg a
A 45deg 30deg F
b
Soluccedilatildeo como e exerciacutecio nos daacute apenas dois acircngulos e a medida de apenas um lado iremos
usar nesse caso a lei do seno
Temos entatildeo a seguinte relaccedilatildeo
F sen
f
B sen
b
Acirc sen
a== =
deg=
deg=
deg sen30
15
sen105
b
sen45
a
Teremos entatildeo
2
115
sen105
b
sen45
a=
deg=
deg= 30
sen105
b
45 sen
a=
deg=
deg
Da igualdade iremos descobrir o valor do lado BF que chamaremos de ldquoardquo
30sen45
a=
deg= km 215a30
2
2a30
2
2
a=rArrsdot=rArr=
Agora vamos descobrir o valor do lado ldquobrdquo Da igualdade anterior temos que
30sen105
b=
deg
Como natildeo temos o valor do seno de 105deg iremos decompor esse valor em dois
acircngulos cuja soma daacute 105deg satildeo eles os acircngulos 60deg e 45deg Daiacute usando uma foacutermula jaacute
conhecida iremos calcular o valor do seno de 105deg Vejamos
Sen (60deg + 45deg) = sen60deg cos45deg + sen45deg cos60deg
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
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2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
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1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
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2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
39
Sen (105deg) = 2
3
2
1
2
2
2
2sdot+sdot
Sen (105deg) = 4
26
4
2
4
6 +=+
Como jaacute temos o valor do seno de 105deg substituiacutemos na relaccedilatildeo abaixo
30sen105
b=
deg= 30
4
26
b=
+=
4
2630b
+sdot=
+sdot==
2
2615b
Portanto
( )2675b +sdot= km
32 APLICACcedilOtildeES DA LEI DO COSSENO
Essa lei do cosseno nos permite encontrar as medidas de todos os acircngulos desde que
Se saiba o comprimento de todos os lados do triacircngulo como jaacute pudemos ver na paacutegina 34
deste trabalho Veremos agora dois problemas envolvendo triacircngulos quaisquer que satildeo
facilmente resolvidos aplicando a lei do cosseno
1deg Aplicaccedilatildeo) Determine os acircngulos do triacircngulo abaixo cujos os lados medem 3 10 e 8
α 8 10 β γ 3 Soluccedilatildeo Aplicando a lei dos cossenos temos
3sup2 = 10sup2 + 8sup2 - 2108 cosα
9 = 100 + 64 ndash 160 cosα
cosα = 160
155
minus
minuscong 0968
40
Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
27
minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
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1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
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REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
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Seguindo o mesmo raciociacutenio segue que
10sup2 = 3sup2 + 8sup2 -238cos β
100 = 9 + 64 -48cos β
-48cos β = 100 - 73
cos48
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minus=β 5620minusasymp
Para finalizar
8sup2 = 3sup2 + 10sup2 -2310cosγ
64 = 9 + 100 ndash 60cosγ
- 60cosγ 45minus=
cos 75060
45cong
minus
minus=γ
Portanto as medidas dos acircngulos seratildeo degcong 514α degcong 8123β e degcong 541γ
2deg Aplicaccedilatildeo) Os lados de um triacircngulo valem 3 4 e 6 Respectivamente o cosseno do maior
acircngulo interno desse triacircngulo vale
a) 24
11 b)
24
11minus c)
8
3 d)
8
3minus e)
10
3minus
soluccedilatildeo Sabemos que num triacircngulo o maior lado fica oposto ao maior acircngulo Portanto
maior acircngulo seraacute oposto ao lado de medida 6 Sendo B e aplicando a lei do cosseno teremos
6sup2 = 3sup2 + 4sup2 -234cos B
36 = 9 + 16 -24cos B
-24cos B = 36 ndash 25
Portanto
cos B24
11minus= ( alternativa b )
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
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Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
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1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
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2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
41 33 APLICACcedilOtildeES DO TEOREMA DA AacuteREA
Sempre eacute comum encontrarmos nos livros de matemaacutetica do ensino fundamental ou do
meacutedio questotildees que pedem para achar a aacuterea de um triacircngulo e sempre que aparece a
medida de um acircngulo nesse triacircngulo os alunos sentem um pouco de dificuldade em saber
que foacutermula usar para resolver o problema No entanto o teorema da aacuterea demonstrado nas
paacuteginas 35 e 36 desse trabalho nos permite encontrar a aacuterea de qualquer triacircngulo
conhecendo dois lados de um triacircngulo e o acircngulo formado por eles Vejamos algumas
aplicaccedilotildees desse teorema
1degAplicaccedilatildeo) Dois lados de um triacircngulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um acircngulo
de 30deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
10 30deg
20
B
C
Soluccedilatildeo Perceba que a questatildeo nos daacute a medida de dois lados e esses lados formam
um acircngulo de 30deg o que corresponde ao primeiro caso do teorema da aacuterea que eacute quando o
acircngulo formado pelos lados eacute menor que 90deg Portanto ao aplicarmos na foacutermula teremos
At = senAcirccb2
1sdotsdotsdot degsdotsdotsdot= sen301020
2
1
At 5010202
1sdotsdotsdot= rArrAt = 50cmsup2
Logo a aacuterea desse triacircngulo eacute 50cmsup2
2degAplicaccedilatildeo) Um triacircngulo possui dois lados de medidas 20cm e 30cm que formam entre si
um acircngulo de 120deg Qual a aacuterea desse triacircngulo
A
20 c
D 120deg
H C 30 B
42
Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
44
1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
45
2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
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REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
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Soluccedilatildeo Perceba que o lado oposto ao acircngulo B eacute 20 logo b=20 e o lado oposto ao acircngulo
Acirc eacute 30 logo a=30
Notemos que o triacircngulo AHC eacute retacircngulo o que nos permite tirar a seguinte
conclusatildeo AH = b )C-sen(180 = b sen C entatildeo substituindo esta expressatildeo na foacutermula da
aacuterea de um triacircngulo obtemos
At = CsenAH2
CBsdotsdot =
2
sen1202030 degsdotsdot=
22
3600 sdot
= 150 3 cmsup2
Perceba que nesse problema tivemos que prolongar o lado CB para encontrarmos a
altura do triacircngulo e substituirmos posteriormente seu valor na foacutermula da aacuterea
34 APLICACcedilOtildeES DAS PROJECcedilOtildeES ORTOGONAIS
1deg Aplicaccedilatildeo) Encontre a medida do lado a do triacircngulo abaixo
A
30deg
10 20
30deg C
B a
Soluccedilatildeo Nesse triacircngulo note que temos a medida de um dos acircngulos internos maior que
90deg isto eacute o acircngulo B gt 90deg Como a questatildeo nos daacute a medida dos outros dois acircngulos
podemos encontrar a medida do acircngulo B pelo fato da medida dos acircngulos internos de um
triacircngulo ser 180deg De onde obtemos
deg=deg+deg+ 1803030B rArr B = 180deg - 60deg deg=rArr 120B
Como jaacute temos as medidas dos lados b e c e de seus respectivos acircngulos podemos
substituir seus valores na foacutermula abaixo para encontrarmos o lado que falta do triacircngulo
BccosCbcosa += degsdot+degsdot= cos12030cos3020 lembremos que o cos120deg eacute igual ao
cos60deg soacute que no segundo quadrante onde ele fica negativo o que nos daraacute
degsdotdegsdot= cos6030-cos3020a2
130
2
320 sdotminussdot= Portanto
15310a minus= cm
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2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
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1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
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2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
46
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
47
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
43
2degAplicaccedilatildeo) Dado o triacircngulo abaixo encontre a medida do lado b
B
8 10
45deg 30deg
A b C
Soluccedilatildeo Como conhecemos as medidas dos lados c e a e de seus respectivos acircngulos
podemos substituir seus valores diretamente na foacutermula das projeccedilotildees ortogonais do triacircngulo
ccosAcircCacosb += degsdot+degsdot= 45cos830cos102
28
2
310 sdot+sdot=
Portanto
2435b += cm
35 APLICACcedilOtildeES Agrave TOPOGRAFIA
A topografia eacute uma ciecircncia que estuda todos os acidentes geograacuteficos definindo a
situaccedilatildeo e a localizaccedilatildeo deles que podem ficar em qualquer lugar A topografia realiza a
anaacutelise das medidas de aacutereas e periacutemetros localizaccedilatildeo orientaccedilatildeo e analisa tambeacutem as
variaccedilotildees no relevo o que faz dessa ciecircncia um instrumento muito importante para a
implantaccedilatildeo e acompanhamento de obras como edificaccedilotildees urbanizaccedilatildeo e etc
Podemos portanto aplicar conhecimentos trigonomeacutetricos agrave topografia uma vez que
essa ciecircncia eacute aplicada em aacutereas pequenas da terra o que possibilita uma maior precisatildeo e
utilidade dessas aplicaccedilotildees A topografia portanto realiza tambeacutem caacutelculos de distacircncias que
natildeo podem ser medidas diretamente e o caacutelculo de distacircncias inacessiacuteveis onde satildeo aplicados
meacutetodos que utilizam conceitos de trigonometria A aplicaccedilatildeo desses meacutetodos necessita de um
instrumento capaz de medir acircngulos e que eacute muito utilizado por agrimensores topoacutegrafos e
engenheiros chamado de teodolito16 Esse aparelho nos mede acircngulos horizontais e verticais
com suas duas escalas circulares Com essas duas utilizaccedilotildees do teodolito podemos calcular
distacircncias inacessiacuteveis Vejamos a seguir duas aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas agrave topografia
16 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28102011
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1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
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2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
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CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
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REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
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1degAplicaccedilatildeo ) Realizar o Caacutelculo da distacircncia de um ponto acessiacutevel a um inacessiacutevel
Suponhamos que um observador situado num ponto A necessite medir a distacircncia desse
ponto a um ponto inacessiacutevel B poreacutem visiacutevel de A
Considere que o terreno seja plano nas imediaccedilotildees de A e que o observador adotaraacute o
seguinte procedimento
1deg) Escolheraacute um ponto C visiacutevel de A e de onde possa avistar B
2deg) Mediraacute entatildeo agrave distacircncia d entre os pontos A e C
3deg) Com um aparelho adequado colocado em a visaraacute os pontos B e C
4deg) Em seguida colocado em A visaraacute os pontos A e B determinando a medida do
acircngulo B
5deg) Com esses elementos calcularaacute AB
B
A α d β C
Em virtude da proporcionalidade entre os lados de um triacircngulo vista na lei do seno
podemos afirmar que
CBA sen
d
sen
AB=
β
Como CBA = 180deg - ( βα + ) temos )sen(
d
B sen
AB
βα +=
AB =)sen(
sen d
βα
β
+
sdot
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2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
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CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
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REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
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2degAplicaccedilatildeo) Caacutelculo da distacircncia de dois pontos inacessiacuteveis
Considere que um observador queira calcular a distacircncia de dois pontos A e B inacessiacuteveis
a ele Para isso adotaraacute o seguinte procedimento
1deg) O observador escolheraacute entatildeo dois pontos C e D dos quais possa avistar A e B
2deg) Mediraacute a distacircncia d entre esses pontos
3deg) Com um aparelho adequado colocado em C e posteriormente em D mediraacute os
acircngulos γβα e δ
Desta forma ficam determinados os triacircngulos ACD e BCD
A
B α δ D β γ C
Os lados AB e CD satildeo facilmente calculados pelas foacutermulas abaixo
AC)sen(
)sen(d
δβα
βα
++
+sdot= e BC =
)sen(
)sen(d
δγβ
βα
++
+sdot
Conhecidos os lados AD e BD do triacircngulo ABD e o acircngulo δ pode-se determinar
AB atraveacutes da Lei dos Senos
Podemos verificar nessas aplicaccedilotildees que eacute muito comum o uso de expressotildees
trigonomeacutetricas para realizar caacutelculos de medidas distacircncias entre pontos acessiacuteveis ou natildeo
caacutelculo de aacutereas ou periacutemetros entre outras mediccedilotildees o que deixa claro a importacircncia da
trigonometria em nossos dias e o quanto as aplicaccedilotildees de seus conceitos e relaccedilotildees satildeo
essenciais para nossos dias sendo possiacutevel portanto verificar seus benefiacutecios
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CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
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REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
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CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Na atualidade a figura do triacircngulo assume um papel muito importante na vida da
populaccedilatildeo e essa importacircncia natildeo estaacute restrita apenas agrave sala de aula onde conhecimentos satildeo
adquiridos atraveacutes da abordagem de assuntos que envolvem triacircngulos assuntos esses que
satildeo vistos desde o ensino fundamental ateacute o ensino superior Hoje eacute comum engenheiros
recorrerem agraves formas triangulares para daacute maior seguranccedila as suas construccedilotildees podemos ver
constantemente andaimes triangularizados sendo usados nas construccedilotildees civis postes de alta
tensatildeo e guindastes que usam formas triangulares tudo para proporcionar seguranccedila e
eficiecircncia nas construccedilotildees
Verdade tambeacutem que falar de triacircngulos e natildeo falar de trigonometria consistiria em
um grande erro uma vez que esse conhecimento matemaacutetico estuda as relaccedilotildees existentes em
um triacircngulo Hoje a trigonometria tem muitas aplicaccedilotildees tanto na matemaacutetica pura quanto
na matemaacutetica aplicada e consequentemente nas ciecircncias naturais o que vem apenas
confirmar o quanto esse ramo do conhecimento eacute importante
Como pudemos ver nesse trabalho as relaccedilotildees trigonomeacutetricas nos triacircngulos sejam
eles quais forem nos permite obter foacutermulas que iraacute nos auxiliar na resoluccedilatildeo de questotildees que
envolvem triacircngulos pois essas foacutermulas obtidas lei do seno lei do cosseno aleacutem do
teorema da aacuterea e as projeccedilotildees ortogonais no triacircngulo tem por finalidade relacionar os
acircngulos do triacircngulo com as medidas dos lados o que nos ajuda a resolver problemas diversos
em triacircngulos quaisquer
Podemos perceber que as relaccedilotildees existentes no triacircngulo podem ser de faacutecil
compreensatildeo e aplicaccedilatildeo se forem bem trabalhadas em sala de aula e exploradas com
dedicaccedilatildeo o que possibilitaraacute ao estudante perceber quando e em que situaccedilatildeo deve-se
aplicar cada relaccedilatildeo vista neste trabalho como eacute o caso da lei do cosseno onde podemos
encontrar a medida de um dos lados dos triacircngulo em funccedilatildeo dos outros dois e do acircngulo
formado entre eles e assim por diante
Quando trabalhamos com triacircngulo retacircngulo os alunos tem grande facilidade de
entender as relaccedilotildees existentes achar medidas dos lados e dos acircngulos desse triacircngulo e etc
graccedilas ao teorema do grande Pitaacutegoras mas quando passamos a trabalhar com triacircngulos
quaisquer a facilidade jaacute natildeo eacute a mesma por isso procuramos ver e estabelecer novas relaccedilotildees
que podem ser obtidas de qualquer triacircngulo o que pode ser uma ferramenta a mais para o
aluno que deseja melhorar seus conhecimentos em trigonometria e saber aplicar esses
conhecimentos em outras aacutereas como por exemplo na topografia encontrando distacircncias
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REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011
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REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS Boyer Carl B Histoacuteria da MatemaacuteticaRevista por Uta C Merzbach traduccedilatildeo Elza F GomideEdiccedilatildeo 2 editora Edgard blucher Satildeo Paulo1996 Iezzi Gelson fundamentos de matemaacutetica elementar 3 trigonometria Ed Atual Editora LTDA Satildeo Paulo1996 Monteiro H Jacy Boulos Paulo Watanabe Renate Matemaacutetica 1 para os cursos de 2deg grau Editora Nacional S A Satildeo Paulo1975
SITES CITADOS httpwwwsomatematicacombrhistoriaphp Acesso em 18042011 wwwsomatematicacom Acesso em 20042011 httpwwwslidesharenetrobesulhistria-da-matemtica-2532508 Acesso em 24042011 httpptwikipediaorgwikiTrigonometria Acesso em 27042011
httpwwwprof2000ptuserssecjestemodtri01Pg000650htm Acesso em 29042011 httprelebrandoamatematicablogspotcom201009calculo-da-area-do-triangulohtml Acesso em 06052011 httpeducacaouolcombrmatematicasoma-angulos-internos-triangulojhtm Acesso em 10052011 httpwwweducfculpticmicm2000icm22circulo_trigonometricohtm Acesso em 25072011 httpwwwcienciamaouspbrdadost2k_matematica_mat2g44arquivopdf Acesso em 28112011