Trigonometria e funções trigonométricas

Resumo de

Trigonometria

HIPCAT

CAT

Parte I – No triângulo retângulo

PITÁGORAS(relação entre os ladosrelação entre os lados)

HIP² = CAT² + CAT² HIP² = CAT² + CAT²


HIP² = CAT² + CAT²

Exemplo: O perímetro de um triângulo retângulo de catetos iguais a 5cm e 12cm é igual a:

12cm

5cm

HIP HIP² = 5² + 12²HIP² = 25 + 144

HIP² = 169HIP = 13

5 + 12 +13 = 30cmPerímetro =

HIPC.O

C.A


β

α

α + β = 90ºα + β = 90ºÂngulos:

Agudos

Sen(α) = C.O

HIP

Sen(α) = C.O

HIP

Cos(α) = C.A

HIP

Cos(α) = C.A

HIP

Tan(α) = C.O

C.A

Tan(α) = C.O

C.A

Relações trigonométricas:

SO

H

CA

H

TO

A


HIP² = CAT² + CAT²

Exemplo: No triângulo retângulo abaixo o valor do Cos(α) é igual a:

X

10cm8cm 10² = 8² + x²

100 = 64 + x²36 = x²x = 6

Cos(α) =

α

HIPC.O

C.A=

HIP

C.A =10

6

5

3

0º 30º 45º 60º 90º

SEN 0 1

COS 1 0

TAN 0 1

Parte I – No triângulo retânguloArcos Notáveis

Parte I – No triângulo retânguloExemplo: Um escada de 12m de comprimento esta apoiada em um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. A altura do prédio é:

h

Sen(30º) =

30º

HIP

C.O

C.A

HIP

C.O

12

h

2

1 =

0º 30º 45º 60º 90º

SEN 0 2

1

2

2

2

3 1

COS 1 2

3

2

2

2

1 0

TAN 0 3

3 1 3 ∃

12m60º

⇒ ⇒ 2h=12 ⇒ h=6m


Logo:

Exemplo: No triângulo retângulo abaixo o valor do ângulo α é igual a:

2cm

4cm

α = 60ºcos(α) =

α

HIPC.O

C.A=

HIP

C.A =4

2

2

1

0º 30º 45º 60º 90º

SEN 0 2

1

2

2

2

3 1

COS 1 2

3

2

2

2

1 0

TAN 0 3

3 1 3 ∃

1. Introdução

A

BArco AB

O

Ângulo central

Equivalência: π rd = 180oEquivalência: π rd = 180o

ARCOS e ÂNGULOSARCOS e ÂNGULOS

• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.

• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2π.

• Forma geral:

• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.

• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2π.

• Forma geral:

2. Arcos côngruos

A

B

x = α + 2kπx = α + 2kπ

3. Circunferência trigonométrica

O xA’ A

y

B

B’

1

1

P

+

-

4. Seno e Cosseno

O xA’ A

y

B

B’

P

M

N

α

sen α

cos α

Seno:

• marcado no eixo Y

• varia de –1 até 1 -1 ≤ sen(x) ≤ 1

• sinal do seno:

Seno:

• marcado no eixo Y

• varia de –1 até 1 -1 ≤ sen(x) ≤ 1

• sinal do seno:

O xA’ A

y

B

B’

1

-1

4. Seno e Cosseno

Cosseno:

• marcado no eixo X

• varia de –1 até 1 -1 ≤ cos(x) ≤ 1

• sinal do cosseno:

Cosseno:

• marcado no eixo X

• varia de –1 até 1 -1 ≤ cos(x) ≤ 1

• sinal do cosseno:O x

A’ A

y

B

B’

-1 1

4. Seno e Cosseno

5. Tangente

O xA’ A

y

B

B’

P

t

t // yt // yM

tg α

α

O xA’ A

y

B

B’

5. TangenteSinal

O xA’ A

y

B

B’

1ºQ

P F

F

6. Redução ao 1º quadrante


a) 2o quadrante

• cos (π - x) = - cos x

• tg (π - x) = - tg x

a = (π - x)a = (π - x)

O x

y

π /2

π 0xa

3π /2

2π• sen (π - x) = sen x

b) 3o quadrante

• sen (π + x) = - sen x

a = (π + x)a = (π + x)

O x

y

π /2

π 0xa

3π /2

2π


• cos (π + x) = - cos x

• tg (π + x) = tg x

c) 4o quadrante

• sen (2π - x) = - sen x

a = (2π - x)a = (2π - x)

O x

y

π /2

π 0xa

3π /2

2π


• cos (2π - x) = cos x

• tg (2π - x) = - tg x

7. Relações fundamentais

I. sen2 x + cos2x = 1

II. tg x = xcosxsen

a) Função seno :

f : IR IR

f(x) = sen x

f : IR IR

f(x) = sen x

A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.

A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.

∀ x ∈ IR -1 ≤ sen x ≤ 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] ∀ x ∈ IR -1 ≤ sen x ≤ 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]

8. Funções trigonométricas

a) gráfico :


- -y

x0 π 3π2

2ππ2

π2

-

-

-

a) Função seno :

Periodicidade : sen x = sen ( x + 2π)Periodicidade : sen x = sen ( x + 2π)

Paridade : sen x = - sen (- x)Paridade : sen x = - sen (- x)

• A função y = sen x é ímpar.

• A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2π radianos.

• Se f(x) = a + b.sen(cx + d) período de f = c

2π


b) Função cosseno :

f : IR IR

f(x) = cos x

f : IR IR

f(x) = cos x

A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.

A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.

∀ x ∈ IR -1 ≤ cos x ≤ 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] ∀ x ∈ IR -1 ≤ cos x ≤ 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]


b) gráfico :


- -y

x0 π 3π2

2ππ2

π2

-

-

-

b) Função cosseno :

Periodicidade : cos x = cos ( x + 2π)Periodicidade : cos x = cos ( x + 2π)

Paridade : cos x = cos (- x)Paridade : cos x = cos (- x)

• A função y = cos x é par.

• A função y = cos x é periódica e tem período igual a 2π radianos.

• Se f(x) = a + b. cos(cx + d) período de f = c

2π


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