MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
CAPÍTULO 3O que um jogador de beisebol faz para saber onde deve estar para apanhar uma bola?
Posição, velocidade e aceleração:Vetores Posição e Deslocamento: O vetor posição (r) de uma partícula P é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas até a posição da partícula:
Vetores Posição e Deslocamento: O vetor posição (r) de uma partícula P é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas até a posição da partícula:
( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k
Exemplo
2 1r r r
Assim, temos:
2 (9 ) (2 ) (8 )r m i m j m k
Exemplo 1:1. O vetor posição de uma partícula é inicialmente , e depois passa a ser . Qual é o deslocamento da partícula?
1 ( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k
r
Exemplo 2Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados havia sido desenhado. As coordenadas da posição do coelho em função do tempo t são dadas por
2
2
0,31 7,2 28
0,22 9,1 30
x t t
y t t
Com t em segundos e x e y em metros. Em t=15s, qual é o vetor posição do coelho na notação de vetores unitários e na notação de módulo - ângulo?
( ) ( )r x t i y t j
t
rvméd
O vetor velocidade média e o vetor deslocamento têm a mesma orientação:
Velocidade instantânea )(v
dt
rd
t
rv
t
0
lim
jvivjdt
dyi
dt
dxv
ou
jt
yi
t
x
t
jyix
t
rv
yx
tttt
ˆˆˆˆ
ˆlimˆlimˆˆ
limlim0000
A magnitude do vetor velocidade é dada por:
E a orientação da velocidade é dada por:
O vetor velocidade instantânea é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Sua magnitude é rapidez, sua direção é a da tangente à curva e seu sentido é o do movimento da partícula.
Exemplo 3Para o coelho do exemplo anterior encontre a velocidade vetorial no tempo t = 15s, na notação de vetores unitários e na notação de módulo – ângulo.
x yv v i v j
x y
dx dyv v
dt dt
médv
at
A aceleração instantânea é o limite desta razão quando )0( t
0limt
v dva
t dt
kajaiakdt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
zyx ˆˆˆˆˆ
Para o coelho do exemplo anterior encontre a aceleração vetorial no tempo t = 15s, na notação de vetores unitários e na notação de módulo – ângulo.
x ya a i a j
yxx y
dvdva a
dt dt
Exemplo 4
Exemplo 5:
Obtenha sua velocidade e sua aceleração. Obtenha sua velocidade e sua aceleração.
Caso Especial 1: Movimento de ProjéteisO movimento de um projétil é a combinação de dois movimento: movimento uniforme (MU) na horizontal e movimento uniformemente variado (MUV) na vertical.As Equações utilizada para esta situação são as mesmas já utilizadas para estes movimentos separadamente.
O movimento de um projétil é a combinação de dois movimento: movimento uniforme (MU) na horizontal e movimento uniformemente variado (MUV) na vertical.As Equações utilizada para esta situação são as mesmas já utilizadas para estes movimentos separadamente.
0 0
0 0
cos
senx
y
v v
v v
A componente vertical da velocidade do skatista está variando, mas não a horizontal que é igual a do skate.
Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em uma superfície dura. Entre os impactos a trajetória da bola é balística.
• O fato de uma bola estar em se movendo horizontalmente enquanto está caindo não interfere o seu movimento vertical, ou seja, os movimentos horizontal e vertical são independentes.
Análise do movimento de um projétilMovimento Horizontal
2
y
gth
2
v gt
oA v .t
Movimento vertical
Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo.Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo.
gay A componente y da velocidade varia com o tempo devido a aceleração, logo:A componente y da velocidade varia com o tempo devido a aceleração, logo:
0yv v sen gt O deslocamento y será dado por:O deslocamento y será dado por:
20 0
1( )
2yy t y v t gt
Movimento vertical
Alcance horizontal (R): É a distância total na horizontal percorrida por um projétil. Se as elevações inicial e final forem iguais, pode-se obter o alcance pela expressão:
220 seng
vR
•O alcance será máximo quando θ=450;•Na altura máxima Vy=0
•Vx é constante em todo o movimento
Animação
6. Na figura um avião de salvamento voa a 198 km/h, a uma altura de 500 m, rumo a um ponto diretamente acima da vítima de um naufrágio, para deixar cair uma balsa.
a) Qual deve ser o ângulo da linha de visada do piloto para a vítima no instante em que o piloto deixa cair a balsa?
b) No momento em que a balsa atinge a água qual a sua velocidade?
11. A fig. Mostra um navio pirata a 560m de um forte que protege a entrada de um porto. Um canhão de defesa, situado ao nível do mar, dispara balas com uma velocidade de 82m/s.
a) Com que ângulo em relação a horizontal as balas devem ser disparadas para acertar o navio?
b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão?
7. Com que velocidade inicial o jogador de basquete da Figura ao lado. Deve arremessar a bola, com um ângulo de 550 acima da horizontal, para converter o lance livre?
As distancias horizontais são d1 = 1,0 ft e d2 = 14 ft
e as alturas são h1 = 7 ft e h2 = 10 ft.
8. Um helicóptero descarrega um pacote de suprimentos para as vítimas de uma inundação que estão sobre uma balsa em uma área alagada. Quando o pacote é lançado, o helicóptero está 100m acima da balsa e voando a 25m/s para cima com um ângulo em relação a horizontal.
(a)Durante quanto tempo o pacote permanece no ar? (b) A que distância da balsa cai o pacote? (c)Se o helicóptero voa com velocidade constante, onde ele estará quando o pacote atingir a água?
09,36
200 2
1)( gttvyty y
0 0( cos )xx v t v t
0 0( ) yy t y v t
Movimento Circular UniformeÉ o movimento circular com velocidade constante. A aceleração centrípeta pode ser calculada pela relação:
r
vaa c
2
Equações do Movimento
Circular Uniforme
Para uma volta completa: , em que T é o período.
Se a velocidade for variável, aparece a aceleração tangencial a trajetória, dada por:
Trv 2
dt
dvat
Transmissão de movimento
Exemplo 9:
9. Um menino gira uma bola, amarrada a uma corda, em um circulo horizontal com raio de 0,8m. A quantas voltas por minuto a bola ficará sujeita se o módulo de sua aceleração centrípeta for g (o módulo da aceleração da gravidade)?
Exemplo 10:
10. Um Menino faz uma pedra girar descrevendo uma circunferência horizontal de raio 1,5m e 2m acima do chão. A corda se parte e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal de 10m. Qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular?
Exemplo 11:11. Na figura, qual é a rapidez inicial mínima que o dardo deve ter para atingir o macaco antes que este chegue ao chão, que está a 11,2 m abaixo da posição inicial do macaco, se x = 50 m e h = 10 m? (ignore a resistência do ar)
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