ANALISEVETORIALEMFISICAKLEBERDAUMMACHADO4demar code20082Sumario1 ConceitosIniciais 51.1 VetoreseoSistemadeCoordenadasRetangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 ProdutoEscalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3 ProdutoVetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4 OutrosProdutosEnvolvendoVetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5 Aplica c oesdosConceitosIniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.1 Diagonais deumParalelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.2 MedianasdeumTri angulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.3 LeidosCossenoseLeidosSenosparaTri angulos Planos . . . . . . . . . . . . . . . 451.5.4 FormuladeHeron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.5.5 Equa c aoVetorialdaReta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.5.6 Equa c aoVetorialdoPlano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.5.7 Equa c aoGeraldaEsfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.5.8 DesigualdadesVetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.5.9 DependenciaeIndependenciaLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.5.10 BasesRecprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.5.11 Estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.6 FerramentasComputacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.7 OutrosSistemasdeCoordenadasUteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051.7.1 SistemadeCoordenadasPolares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051.7.2 SistemadeCoordenadasCilndricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.7.3 SistemadeCoordenadasEsfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304 SUMARIOCaptulo1ConceitosIniciaisNestecaptuloestabeleceremos osconceitosiniciaisnecessariosaoestudodoCalculoVetorial, notada-menteaideiadevetor,eintroduzimos alguns sistemasdecoordenadasdegrandeaplica c aoemFsica.1.1 VetoreseoSistemadeCoordenadasRetangularesConsidereasseguintessitua c oes:a) Vocemedealarguradasuarua,etemcomoresultado = 25m.b) Alguemperguntaparavoce onde caomercado. Voce responde atenciosamente que, parachegar aomercado, apessoadeveandar15mdeondeesta, emlinharetaateaesquinamaisproxima, dobrar`aesquerdana esquina,fazendo um angulo de 90com a dire c aoinicial e caminhar mais 10 m emlinha reta.As duassitua c oes acimaenvolvemgrandezas fsicasques aomedidasnamesmaunidade(emmetros,noSI), tendoportantoamesmarepresenta c aodimensional. Noentanto, h aalgoqueas diferencia. Sevocedisserapenasqueapessoadeveandar 25m, elarecebeumainforma c ao incompleta, en ao temcomochegar aomercado,pois surgem,imediatamente, algumas perguntas:25 m emque dire c aoe sentido?Numa unicadire c aoe sentido ou os 25 m devem ser parcelados em mais de uma direc ao? J a se voce falar para ela que a rua tem 25m delargura, ainforma c ao e completa, eela entendeperfeitamenteo quevoce quer dizer.Ent ao,para algumasgrandezas,informar apenasovalor numericoeaunidadedemedidan aobastaparaespecicarcompletamenteasitua c aofsica.Eprecisoespecicartambemaorienta c aoqueagrandezatememrela c aoaalgumpontodereferencia, ouorigem. Nocasodomercado, voceseorientacomrela c aoaolugaremquevoceesta, quefazopapeldeorigem.Tomandoporbaseesseexemplo,vejamoscomopodemostornarnossasindica c oesdedire c aoesentidomais geraiseformais.Paratentar resolver onossoproblemadecomodenir umaorienta c ao, aprimeiraideiaquesurgeeconsiderarumareta,comalgum pontomarcadoparaseraorigem,comonagura1.1abaixo.Figura1.1: Uma reta orientada com uma origem, para umsistemadeorientacaounidimensional.Aretaacimadeneumadire c aox, orientadadeformaqueosvaloresdexcrescemparaadireita. Osvalores `adireitadaorigems aopositivos,enquantoque`aesquerdaeless aonegativos. Aorigemcorrespondeao6 1. CONCEITOSINICIAISvalor nulodex.Estaretapoderepresentaranossarua,eosn umerosestaoassociados`ascasasdarua.Assim,considerandoqueanossacasaestasituada naorigem, emx = 0, sealguem perguntaronde caacasadeJoao,diremos que caemx = 10. Maria mora emx = 30, e as esquinas cam emx = 35 ex = 151. Istoresolve onossoproblemade orienta c ao,desdequen os s oandemos pelanossarua.Este e,basicamente,um problemaemuma dimensao. Noentanto, parair aomercadonossareta e insuciente.Uma ideia pararesolver esteproblemaecolocarumaoutrareta,perpendicular`aprimeira,comonagura1.2.Figura1.2: Duasretasorientadascomumaorigem, paraumsistemadeorientacaoemumplano.Agora temos duas dire c oes possveis,x e y. Observe que os valores de y crescempara cima, e s ao positivosacima da origem, e negativos abaixo dela. Para ir ao mercado, dizemos para a pessoa: va ate x = 15, e, depois, atey = 10. No nosso sistema de eixos formado pelas duas retas orientadas, os lugares importantes s ao representadosporpontos,naforma P(x, y).O mercadocorrespondeaP(15,10), eanossacasa,aP(0,0). Aretax echamadaeixodasabcissas, enquantoaretayeoeixodasordenadas. OsvaloresdexeyparaumcertopontoPs aoascoordenadasdeP.Paraomercado,suascoordenadass aox = 15ey= 10.Temos agoraumproblemaemduasdimensoese,emprincpio,nossoproblemadeorienta c aoestaresolvido,seconsiderarmosessesdois eixos.Osistemadeeixosapresentadonagura1.2chama-sesistemadecoordenadas cartesianasortogonais,pois e um sistema de coordenadas baseado em retas ortogonais entresi, ou seja, h a um angulo de 90entre elas,eoprimeiroaproporumsistemadestetipofoiolosofoReneDescartes. Essesisteman aoserestringeaduasdimensoes.Paranossasnecessidadesusuais,precisamosincluirumeixoquerepresenteumaterceiradimensao.Omercado, porexemplo, poderiaterdoisandarese, considerandoquease c aodelaticneoscanosegundoandar, teramosqueinformaressefato`apessoa, paradarmosaindica c aocompletadadire c aoaseguir. Parafazer isso, acrescentamosmais umeixo, emgeral representadopor z,que deve serortogonal aos dois anteriores,comomostraagura1.3. Esteeixo echamado cota,eent aoestamosagora noespa cofsicotridimensional, queeaqueleemqueamaioria dosfenomenosfsicosocorre.Figura1.3: Sistemadecoordenadascartesianasortogonaisnoespacotridimendional.1Notequen ao necessariamente nossa casaest a exatamente ameiocaminhoentre asduasesquinas.1.1. VETORESEOSISTEMADECOORDENADASRETANGULARES 7Notequen aonecessariamenteoseixosdosistemadecoordenadas temqueserortogonais. Quandos ao,algumasoperacoes tornam-semaissimples, conformeveremosmaistarde, mascadaproblemafsicotemsuascaractersticasespeccaseaideiaesempreadaptarosistemadecoordenadas aoproblema, en aoocontr ario.Outraquest aorefere-se` adimensionalidadedoespaco.PodemosdenirsistemasdecoordenadasemespacosdeNdimens oes, ouseja, n aoestamoslimitadosaN=3, eumexemplosimples dizrespeito` aRelatividade, emquetemosN=4(tresdimens oesespaciaiseumatemporal). Entretanto, obviamenten aopodemosrepresentargracamenteessesistemadecoordenadas.Osistemadecoordenadascartesianas ortogonaistambemeconhecidoporsistemadecoordenadas re-tangulares. EleeumdosmaisimportantessistemasdecoordenadasutilizadoemFsica. Inicialmente, vamosconcentrar nossaaten c aonele, mas outros sistemas existem, e oportunamenteintroduziremos tais sistemasduranteotexto.Voltandoaonossoproblemaanterior, podemosrepresentardiagramaticamenteocaminhoqueapessoadevefazerateomercadodaseguinteforma:Figura1.4: Representacaodocaminhopercorridopelapessoaateomercado.Os segmentosde retaorientados que aparecemna gura1.4 s ao chamados vetores, e s aouma constru c aomatematicamuitoimportante.Adeni c aodevetor easeguinte:Deni c ao1.1. Umvetoreumsegmentoderetaorientadoporumaecha, quepossui umtamanhoeumaorienta c aoespacial. Representamosumvetorporumaletracomumaechaemcima, comoema, ou

B, porexemplo.Emcertoscasos, tambempodemserusadasletrasemnegrito, comoaouB.Alemdisso, osvetorestem algumas propriedades bastante interessantes.O tamanho ou modulo do segmento esta relacionado ao valornumericodagrandezaque elerepresenta.Nagura1.4, ovetor horizontal, que vamos chamar de

A, e 1,5 vezesmaior queovetorvertical,que eo

B,pararepresentarque apessoaandanadire c aoxumadistancia1,5 vezesmaior doqueaqueelaandanadire c aoy.Aorienta c aodelesetalqueapessoavaidaorigematex = 15(comy = 0) e,depois, vai de (x = 15, y = 0) ate o ponto P, em (x = 15, y = 10). Estaorienta c ao e dada pela dire c aoesentido dosvetores. A dire c aoeespecicadapelareta-suportequedeneosegmentoderetaquerepresentaovetor. Istopermitedoissentidospossveisparaovetor.Osentidodesejadoeobtidoatravesdacoloca c aodaechanapontadovetor, queindicaosentidocorretoparaagrandezaemquestao. Assim, paraovetor

A, adire c aoeadire c aox, eosentidoeparaadireita. J aparaovetor

B, adire c aoeadire c aoy, eosentidoeparacima. Alemdisso, considerandoumdadovetor

V , quetemumcertotamanho, umacertadire c aoeumcertosentido,todos os segmentos de retaparalelos `a

V ,de mesmo tamanho eorientados nomesmo sentidoque

V , s aocompletamenteequivalentesaovetor

V . Emoutraspalavras, osvetorespodemsertransportadospeloespa coparaaposi c aoqueformaisconveniente, desdequesuascaractersticas(m odulo, dire c aoesentido)semantenhamintactas.Outrapropriedadedosvetoresequeaordemdelesnumasomapodeserinvertidasemproblemas, eoresultadonal dasomaeomesmo.Porexemplo, ocaminhoateomercadotambempoderiaserrepresentadopelagura1.522Abstraindo apresen ca depossveis casas, obviamente.8 1. CONCEITOSINICIAISFigura1.5: Outrarepresentacaodocaminhopercorridopelapessoaateomercado.Assim, asomadevetoreseumaopera c aocomutativa(comoetambemasomaden umeros), ouseja,

A+

B=

B +

A.Comoserepresenta asomadedoisvetores?Esimples: por umoutrovetor, chamadodevetor-somaouvetorresultante, ousimplesmenteresultante. Ovetorresultanteeobtidotomandoaorigemdoprimeiro,etra candoum segmentode retaate a extremidade dosegundo.Assim, no nossocaso,ovetor-soma

Ce dadopor

C=

A+

B=

B +

A,comomostraagura1.6.Figura1.6: Representacaodasomadosvetores

Ae

Bpelometododopolgono.Este mododeefetivar asomade vetores e chamadametododopolgono. Este metodoe ummetodogeometrico, pois envolve apenasGeometria. Observeque elen aopermiteque omodulo dovetor resultantesejaconhecido, amenosqueogracosejafeitoemescalaempapel milimetrado, porexemplo,edepois,utilizandoumaregua, vericamosotamanhodovetor. Alemdometodogeometricodopolgonodenidoacima, existeometododoparalelogramo, quetambemebaseadoemGeometria. Nestemetodo, paraencontrarasomadedois vetores,primeiro as origens deambos devemcoincidir. Issopode serfeitotransportandoos vetores,masmantendoadire c ao, osentidoeomodulo(tamanho)intactos. Depois, construimosumparalelogramo, cujoslados s aoos vetores, comonagura1.7. Adiagonal maior desteparalelogramo eovetor-soma,cujoincio estanaorigemdosvetoresqueestaosendosomados.Figura1.7: Somadosvetores

Ae

Bpelometododoparalelogramo.Para conhecermos o valor numerico do tamanho do vetor podemos usar um metodo analtico. O tamanho,ou m odulo, do vetor

A, e representadopor |

A|, por |A| ou simplesmente por A, sema echa. Note que o modulodeumvetoresempren ao-negativo,pordeni c ao. Paraocasodagura1.6,osvetoresformamumtriangulo1.1. VETORESEOSISTEMADECOORDENADASRETANGULARES 9retangulo, sendoqueoscatetos(

Ae

B)s aoosvetoresqueestaosendosomados, eahipotenusa

Ceovetorresultante.Assim,doTeoremadePit agoras,temosque|

C|2= |

A|2+ |

B|2ouseja,|

C| =_|

A|2+|

B|2|

C| =_152+ 102=225 + 100|

C| =325 = 513 mQuando os vetores formam um triangulo que n ao e retangulo, n ao e possvel usar o Teorema de Pit agorasparaencontraromodulodovetor.Nestecaso,usamosaleidoscossenos, que ea2= b2+ c2 2bc cos (1.1)ondea=

b +c, a= |a|, b= |

b|ec= |c |, eoanguloentreosvetoresquandoestaodispostoscomomostraagura1.8, lembrandoque0.Figura1.8: Denicaodostermosparaaleidoscossenos.Observe que, nalei dos cossenos, estamos utilizandooprimeirometodogeometricoquefoi denido,ometododopolgono, queeaqueleemquecolocamosoinciodosegundovetor napontadoprimeiro. Seutilizarmos ometododoparalelogramo, oangulotorna-seoutro,comovemosnagura1.9.Figura1.9: Denicaodoanguloentreosvetoresnasomapelometododoparalelogramo.Nestagura, vemosqueoanguloentreosvetores, quandoeless aocolocadosnamesmaorigem,e.Seeles fossem colocados um na ponta do outro, o angulo seria o angulo da lei dos cossenos 1.1 vista anteriormente.Entretanto,estesangulos n ao s aoindependentesum dooutro,j a que,da gura, ef acil perceberque + = ,ou = . Colocandoesteangulo naexpressao1.1, obtemos,paraomodulo dovetor aresultanteda gura,10 1. CONCEITOSINICIAISa2= b2+ c22bc cos = b2+ c22bc cos( )= b2+ c22bc(1 .. cos cos +0 .. sen sen )a2= b2+ c2+ 2bc cos (1.2)Quandoometododoparalelogramoeutilizado,osinal dotermoqueenvolveocossenodoanguloepositivo,enquantoquenalei doscossenosdadapelaequa c ao1.1,eleenegativo.Aexpressao1.2ederivadadalei doscossenos, maselan ao eestalei.Aquitambemtemos0.Exemplo1.1. Nagura1.10,osvetores ae

bfazemum anguloentresi. Qualom odulodovetorresultantec,paraascondi c oesdadasabaixo?Figura1.10: Vetoresae bparaoexemplo1.1.a)a = 3, b = 4, =2rad(ou90).Nestecaso,aleidoscossenosmodicada 1.2torna-sec2= a2+b2+ 2ab cos 2c2= a2+b2queeoteoremadePit agoras.Assim, oteoremadePit agoras eumcasoparticulardalei doscossenosmodi-cada1.2, que ocorrequandooangulo entreos vetoresque estaosendosomados,quando utilizamos ometododoparalelogramos, eigual a2radianos.Ovalor numericodomodulode cec2= a2+b2c2= 32+ 42c2= 25c = 5b)a = 6, b = 1, = 0.Quando = 0,aleidoscossenos1.2 cac2= a2+ b2+ 2ab cos 0= a2+ b2+ 2abc2= (a +b)2c = a + b1.1. VETORESEOSISTEMADECOORDENADASRETANGULARES 11eassim, quando=0, osvetoress aoparalelos, etemomesmosentido, eovetorresultantepossui omaiormodulopossvel,dadopelasomaescalarsimplesdosmodulos dosvetores.Nonossocaso,estevalor ec = a +bc = 7c)a = 2, b = 8, = rad.Seoangulovale radianos, ent aoosvetorestemamesmadire c ao,mas temsentidos contrarios,es aochamados anti-paralelos.Nestecaso,aleidoscossenos1.2torna-sec2= a2+b2+ 2ab cos = a2+b2 2abc2= (a b)2A expressao acima pode ser simplicada, mas devemos lembrar que o modulo de um vetor e sempre n ao-negativopordeni c ao.Assim,temosqueutilizar omodulodosn umeros,ouseja,c = |a b|deformaquec =_a b, abb a, baAssim,comoa = 2eb = 8,temosc = |a b|= |2 8|c = 6O vetor c temmodulo 6, e seusentido e o mesmo que o do vetor

b, j a que este temmodulo maior do que o vetora.d)a = b = 5, =23rad.Nestecaso,osdoisvetorestemmesmomodulo, ealeidoscossenos1.2fornecec2= a2+a2+ 2a.a cos 23= 2a2 2a212= 2a2 a2c2= a2c = aouseja, omodulodovetorcresultanteeigual aomodulodosvetoresqueestaosendosomados. Istoocorreapenasparaocasodevetoresdemodulos iguais, comumangulode23radianos entresi.

12 1. CONCEITOSINICIAISFigura1.11: Representacaode

D =

A +

B +

C.Quandoexistemmaisdedoisvetores, asomapelometodogeometricodopolgonoeidentica, comonagura1.11.Exemplo1.2. Consideretresvetores a, bec.Dadasasseguintescondi c oes,responda:a)a = b = 4, c = 3.Qualeovetorresultantedemaiorm odulo,ecomoeleocorre?A resultante de maior modulo ocorre quando os vetores s ao todos paralelos e orientados no mesmo sentido,demodoqueasomadelestorna-seumasomaescalar,eassim,ovetorresultante

dtemmodulod = a +b + c= 4 + 4 + 3d = 11b)a = b = 6, c = 2.Qualeovetorresultantedemenorm odulo,ecomoeleocorre?Esteproblema eum poucomais sutil. Comotemos tresvetores,podemos fazervarias combina c oesentreeles,demodoaobterdiversosvetoresresultantes.Entretanto,comoqueremosobterovetordemenormodulo,podemos tentar combinar os vetores de modoaformar umpolgonofechado. Se isso for possvel, ovetorresultanteseraovetornulo,demodulozero, queeomenormodulopossvel paraumvetor.Nopresentecaso,temosdoisvetoresdemodulos iguais,demodoqueostresvetorespodemformarumtriangulois osceles, comomostraagura1.12.Figura1.12: Trianguloisoscelesformadoportresvetoresa, bec.Paraqueotriangulo sejaformado,oangulodevesertalqueocorrac2= a2+ b2 2ab cos sendoque, agora,devemosutilizaralei doscossenos1.1,j aqueometododopolgonofoiempregado. Assim,temos1.1. VETORESEOSISTEMADECOORDENADASRETANGULARES 13c2= a2+ a2 2a2cos 2a2cos = 2a2c2cos =2a2c22a2 = arccos 2a2c22a2ou,utilizandoosvalores numericos, = arccos 2,36 42,36 0,335 rad

Continuandocomnossoestudodaspropriedadesdevetores,partimosagoraparaamultiplica c ao deumvetorporumn umero. Oresultadodessamultiplica c ao eumoutrovetor, cujotamanhoeotamanhodovetorinicial,multiplicadopelon umeroreal3. Assim, ovetor

B=k

Apodesermaiordoque

A, se |k| >1; iguala

A, sek=1; emenordoque

A, se |k| ), enquanto as linhas quecorrespondem`asadadoMaples aocentralizadasen aoh aosinal demaior. Paradenirmosxcomosendoon umero2, utilizamososinal deigual (=) precedidopelosdoispontos(:), ouseja, :=. Alemdisso, alinhatermina com um ponto-e-vrgula (;), que e o que indica ao Maple que essalinha de comando terminou. Podemosconferirsexefetivamentevale 2digitando> x;2Conformeesperado, asadadoMapleconrmaquenossavariavel xvale2.Sequisermosliberaravariaveldeseuvalor, usamosocomandounassign, comoabaixo> unassign(x);Notequeavariavelecolocadaentreapostrofos()e, nessecaso, oMaplen aogeranenhumasada, oumaisprecisamente, geraumasadanula16.Podemosconferirseavariavel foiliberadamediante> x;15Exceto, eclaro, no c oes elementares, comoligar ocomputador eexecutar oprogramaMaple.16N aoconfundir comumresultado quevale0(zero). Numasadanula,oMapleexecuta ocomando,masn aoapresenta nadanatelacomoresposta.92 1. CONCEITOSINICIAISxNo Maple, as variaveis podem ter nomes como equacao, soma_parcial, joao, xy10, xy_10, nome_muito_longo,etc. Entretanto, algumas formas n ao podem ser usadas, como palavras com hfen (nome-separado, por exemplo),enomesdevariaveispre-denidas, comoPi(queeon umero), I(queeon umerocomplexoi =1), enomesdefun c oes,comoexp,que eafun c aoexponencial ex.`Amedidaqueformosavan cando, apresentaremosmais fun c oesimportantesedeusocomum.OproximopassoconsisteemdenirumvetornoMaple.OMaplepossui bibliotecasqueacrescentamfun c oes extras `as suas fun c oes b asicas, e os comandos associados a c alculos vetoriais estao denidos numa dessasbibliotecas, chamadadeVectorCalculus.Assim, inicialmenteprecisamoscarregaressabiblioteca, oqueefeitocomocomando> with(VectorCalculus);oqueproduzasadaWarning,theassignednames and nowhavea globalbindingWarning,theseprotectednameshavebeenredefinedandunprotected:*,+, -, ., D, Vector,diff,int,limit,series[&x, ,+, , .,,< | >,AddCoordinates,ArcLength,BasisFormat ,Binormal ,CrossProd,CrossProduct ,Curl ,Curvature,D,Del ,DirectionalDi ,Divergence,DotProd,DotProduct ,Flux,GetCoordinateParameters,GetCoordinates,Gradient ,Hessian,Jacobian,Laplacian,LineInt ,MapToBasis,Nabla,Norm,Normalize,PathInt ,PrincipalNormal ,RadiusOfCurvature,ScalarPotential ,SetCoordinateParameters,SetCoordinates,SurfaceInt ,TNBFrame,Tangent ,TangentLine,TangentPlane,TangentVector,Torsion,Vector,VectorField,VectorPotential ,Wronskian,di ,evalVF,int ,limit,series]A biblioteca VectorCalculus dene (em alguns casos, ela redene) os varios comandos que estao listados acima,eques aoutilizados parac alculosvetoriais.Veremosvariosdelesoportunamente.Noteque,seutilizarmos doispontos(:) aoinvesdoponto-e-vrgula(;) nocomando, asadadocomandoseranula, en aohaveraasadamostradaacima,maseleseraexecutado.`Amedidaquenosfamiliarizarmos comoscomandos, vamospreferirusar os dois pontos, para produzir uma sada mais clara. Quando a biblioteca VectorCalculus e carregada pelaprimeira vez, ela dene, por padr ao, o sistema de coordenadas como sendo o sistema de coordenadas cartesianas,de modo que, se formos realizar c alculos envolvendo esse sistema de coordenadas, n ao e precisodenir o sistemadecoordenadas. Podemosdeniragoraumvetortridimensional a = axi +ayj +az kpormeiode> a:= ;a := ax ex + ay ey+ az ezNotequeovetoredenidodeformaquesuascomponentescartesianass aolistadasentreossinaisdemenorque(), separadasporvrgulas.OMaplemostraoresultadousandoversoresei,ondeipodeserx,youz,correspondendo, respectivamente, ai,jek.Porexemplo,ovetorv =i + 2j + kcaria> v:=;v:= ex + 2 ey + ezVamos deniragoraumvetor

b = bxi + byj + bz k,mediante> b:= ;b := bx ex + by ey + bz ezPodemosagorasomaressesdois vetores, pormeiode> a+b;(ax+ bx) ex + (ay + by) ey + (az+ bz ) ez1.6. FERRAMENTASCOMPUTACIONAIS 93oqueconcordacomaexpressao1.4. Amultiplica c ao porumescalarpodeserescritacomo> lambda*a;ax ex +ay ey +az ezeomodulo deumvetorusaafun c aoNorm, comoseveem> Norm(a);_ax2+ ay2+ az2quereproduzaequa c ao1.5.AquieinteressanteobservarqueoMaplefornecedadossobreassuasfun c oesseusarmosocomandohelp. Porexemplo,> help(Norm);fornecer aumadescri c aodocomandoNorm, incluindoalgunsexemplosdeuso. Podeserusado, tambem, umpontodeinterroga c ao(?) antesdocomando,ouseja,> ?Norm;Podemosagorapassaraoutrocomandoimportantenoquedizrespeitoavetores. J avimos queumaopera c aoimportanteenvolve oprodutoescalardedoisvetores, denidoemgeralpelaequa c ao1.13,

A

B= |

A||

B| cos = ABcos ou,emcoordenadasretangulares,pelaequa c ao1.15,a

b = axbx +ayby + azbzNoMaple, podemos efetuar produtos escalares usandoafun c aoDotProd. Comoexemplo, temos, fazendooprodutoescalar a

b,> DotProd(a,b);ax bx+ ay by + az bzque reproduz a expressao1.15, lembrando que estamos usando o sistema de coordenadas retangulares tridimen-sionais. Dois outros comandos podem serusados para produtos escalares.O comandoDotProduct e o comandoponto(.) calculamprodutosescalares, assimcomoDotProd. Exemplicandoesse ultimo, temos> a.b;ax bx+ ay by + az bzOutroprodutoimportante,conformej avimos, eoprodutovetorial,cujomodulo edadopor1.24,|

C| = |

A

B| = |

A||

B| sen eque,emcoordenadasretangulares,podeserexpressoatravesdaequa c ao1.27,a

b = (aybz azby)i + (azbxaxbz)j + (axbyaybx)kNoMaple,podemosefetuaroprodutovetorialatravesdocomandoCrossProd, ouseja,> CrossProd(a,b);(ay bz az by) ex + (az bx ax bz) ey + (ax by ay bx) ezquereproduzaequa c ao1.27. Outrosdois comandospodemserusados, CrossProduct ouent ao&x.Exempli-candoesse ultimo,> a &x b;94 1. CONCEITOSINICIAIS(ay bz az by) ex + (az bx ax bz) ey + (ax by ay bx) ezOprodutomisto, dadopelaexpressao 1.36, podeser rapidamenteobtido. Iniciamosdenindoovetorc =cxi + cyj + cz k,ouseja,> c:=;c := cx ex + cy ey + cz ezEmseguida,calculamos> a.(b &x c);ax (by cz bz cy) + ay (bz cx bx cz) + az (bx cy by cx)quereproduz aequa c ao1.36. Notequeoc alculodeopera c oes envolvendovetores torna-semuitosimpleser apidocomousodesoftwarescomooMaple.Vejamos umexemplosimplesdeaplica c ao.Exemplo1.25. Determinarumvetorunitarioortogonalaovetor a = 2i +j.VamosutilizaroMaplepararesolveresseproblemaemcoordenadasretangularesbidimensionais.Nestecaso,denimos inicialmente ovetor a,mediante> with(VectorCalculus):a:=;a := 2 ex +eyA primeira coisaanotar e que,aoutilizar o Maplenos exemplos,supomos que nenhumc alculo foi previamenteexecutado,ou seja, ele foi recemabertoe n ao foi ainda usado. Assim, carregamos a biblioteca VectorCalculus,e agora utilizamos dois pontos (:), ao inves de ponto-e-vrgula (;),de modo que sua execu c aon ao seramostradanatela.Logoemseguida,namesmalinha, denimosovetor a.Emseguida,denimosumvetor

b = bxi +byj,isto e,> b:=;b := bx ex + by eyAgora,calculamos oprodutoescalarentreeles,ouseja,> pe:=a.b;pe:= 2 bx+ byondepeeumavariavel querepresentaoprodutoescalara

b. Esseprodutoescalardeveseanular, ouseja,devemos terpe=0. Ent ao, introduzimos um novo comando, solve, de modo a achar a componentebyem termosdacomponentebx.Assim,temos> b_y:=solve(pe=0,b_y);oqueproduz,comoresultado,by:= 2 bxOcomandosolvetemaseguinte forma: solve(equac~ao,vari avel). Assim, ele manipulaaequa c ao(ouequa c oes, quepodeminclusiveserinequa c oes) deformaadeterminarovalordavariavel (ouvariaveis)queresolveaequa c ao(ouequa c oes). Noexemploacima,aequa c aoerape=0,ouseja,oprodutoescalardeveriaseanular, e com isso achamos quanto deveria valer byem termos de bx, o que, nesse caso, corresponde a by= 2bx.Continuando, podemosvericarquebyfoisubstitudopelovalor achadoacima,fazendo> b;bx ex2 bx eyVamos agoracalcularomodulode b,mediante> modulob:=Norm(b);1.6. FERRAMENTASCOMPUTACIONAIS 95oqueresultaemmodulob:=5bx2Vamos agoradenirumavariavel auxiliar bxrtalqueomodulode bseja1,ouseja,> b_xr:=solve(modulob=1,b_x);Assim,ocomandosolve achaovalor debxquefazcomqueaequa c aomodulob = 1sejavericada,ecolocaoresultadoembxr,conformevemosabaixo.bxr:=55, 55O motivo de usarmos uma variavel auxiliar bxre que existem dois possveis valores para a solu c ao, ou seja, parabx,quefazemcomque |

b| = 1.Oprimeiropodeservisualizadoatravesde> b_xr[1];55onde acrescentamos ao nome da variavel, bxr, o n umero 1 entre colchetes,ou seja,bxr[1], para indicar a primeirasolu c ao.Asegundasolu c ao,demaneiraanaloga, eobtidaatravesde> b_xr[2];55Podemosagoraselecionaraprimeiraraiz parabx,fazendo> b_x:=b_xr[1];bx:=55demodoque

bsetorna> b;55ex255eyPodemosconferiromodulode

batravesde> Norm(b);1evericamosqueobtivemosumversorunitarioortogonal aovetora, conformepretendamosinicialmente. Oleitordeveagorautilizarasegundaraizparaobterooutroversorunitarioortogonal aa. Vejamosagoraumoutroexemplomuitointeressante.

Exemplo1.26. UmaprateleiraretangularABCDparacoloca c aodevasosdeoresfoi presaaumaparedecomomostraagura1.37.A prateleira retangular est a suspensa pormeio de dois cabosEG e CH e duasdobradicasI e J. Os cabos,ques aoinextensveis, forampresosaganchos GeH, ques aoiguaisecujaalturapodeserdesprezadacomrela c ao` asoutrasdimens oesdoproblema.Asdobradicastambemtemdimens oesmuitomenoresqueasoutrasdimens oesrelevantes, podendoserdesprezadas, esabe-sequeasdobradicasn aoproduzemforcasnadirec aoxindicadanagura(direc aoaxial dasdobradicas). Achapaeuniformeepossui umamassaM=2kg.Sabe-se96 1. CONCEITOSINICIAISFigura1.37: Umprateleiraparavasosdeores.queoscabossuportamtens oesm aximasde250Ncadaum. Alemdisso, asdobradicas, ques aoiguais, foramprojetadaspara tens oesm aximasde400N. Umvasode oresdemassam = 6kg foicolocadosobre a prateleiraem F, conforme indicado. Verique se, nessas condi c oes, o sistema satisfaz os requisitos de seguranca. Considerequeom odulodaacelera c aodagravidadevaleg= 9, 8m/s2.Pararesponderaperguntafeita, ouseja,seovaso deores colocadoultrapassaas normas de seguran ca,vamossuporqueumvasodemassamsejacolocadonaposi c aoconsideradaevamosdeterminarqualomaiorvalorpossvel seguroparaessamassa. Paratanto, precisamosinicialmenteconsiderartodasasfor casagindonosistema, queeaprateleiraretangular. Aqui precisamoslembrarquecabos, os, cordas, etc, s opodemsersubmetidosafor casdetra c ao, poiseles n aooferecemresistenciaafor cascompressivas. Alemdisso, afor cadeveestarparalelaaesteselementos.Comrela c aoaopesodaprateleira,eledeveagir noseucentro,poisela ehomogenea.Ent ao,considerandonovamenteagura1.37,s oqueagoradesenhandoapenasasfor cas, temosagura1.38 abaixo.Figura1.38: Forcasagindonaprateleiraparavasosdeores.Na gura,

Prepresentao peso da prateleira, e

Pv, o pesodo vaso. Ambos s ao verticais. As dobradi cas produzemfor casnasdire c oesyez,dadaspor

FIye

FIz,paraadobradi caI,e

FJye

FJz,paraadobradi caJ,eoscabosproduzemfor cas

FCe

FE.VamosusaroMaplepararesolveresseproblema.Iniciamos carregandoopacotedec alculovetorial,ouseja,1.6. FERRAMENTASCOMPUTACIONAIS 97> with(VectorCalculus):Notequeasadan aoseramostradanatela.Emseguida,denimosopesodaprateleiramediante> P:=;Observequeusamosvaloresnaformadefra c oesaoinvesden umerosdecimais, parafavoreceravisualiza c aodosresultados.Comosada,temosP:= (985) ezDenimos tambemopesodovasodemassampormeiode> Pv:=;Pv:= mg ezPodemosescreverafor caproduzidapeladobradi caIcomo

FI= FIyj + FIzk (1.220)ou,noMaple,> FI:=;FI := FIy ey + FIz ezParaadobradi caJ,temos

FJ= FJyj +FJzk (1.221)ou> FJ:=;FJ:= FJy ey + FJz ezPara os cabos, vamos precisar primeiro dos versores de dire c ao que estao associados `as retas paralelas aos cabos.ParaocaboCH, aretapassapelospontos17C(0; 1,5; 0) eH(0,05; 0; 0,4).Ent ao,> rC:=;rC:=32 eye> rH:=;rH:=120 ex +25 ezdemodoque> rHC:= rH-rC;rHC:=120 ex32 ey +25 ezEsseeumvetorparalelo`aretaCH. Assim, umversorparalelo`aretaCH, queapontadeCparaH,edadopor> versorHC:=rHC/Norm(rHC);versorHC:=965965ex6965193ey +8965965ez17J afazendo asdevidas convers oes para unidades doSI.98 1. CONCEITOSINICIAISsendoquedevemoslembrar queafun c aoNormforneceomodulo dovetor.Agora,podemosescreverafor ca

FCdaseguinteforma

FC= FCm nConde nCeumversorparalelo`aretaCH,queapontadeCparaH,eFCmeomodulode

FC.Portanto,> FC:= simplify(FCm* versorHC);FC:=FCm965965ex6 FCm965193ey +8 FCm965965ezAqui usamosumanovafun c aodoMaple, afun c aosimplify(), queexecutasimplica c oesnaexpressaoquecaentreparentenses, demodoasimplicarasadadocomando.Continuando,procedemosdomesmomodoparaacharafor caproduzidapelocaboEG.TemosospontosE(1,2; 1,0; 0) eG(1,15; 0; 0,3),ouseja,> rE:=;rE:=65 ex +eye> rG:=;rG:=2320 ex +310 ezdemodoqueumvetorparalelo`aretaEGe> rGE:=rG-rE;rGE:= (120 ) ex ey +310 ezeassim,oversor EGca> versorGE:=rGE/Norm(rGE);versorGE:= 437437ex20437437ey +6437437ezAgora,afor ca

FEpodeserescritacomo

FE= FEm nEondeFEmeomodulo de

FEe nEeoversordadire c aoEG.Assim,temos> FE:=simplify(FEm*versorGE);FE:= FEm437437ex20 FEm437437ey+6 FEm437437ezAgora temos todas as for cas relevantes escritas em termos de componentes cartesianas. O proximo passo consisteem obter rela c oes envolvendo essas grandezas, visando determinar as inc ognitas. A primeira equa c ao a considerareacondi c aodefor caresultantenula, ouseja,devemoster

FC+

FE +

FI+

FJ+

P+

Pv= 0ou,usandooMaple,> F:=P+Pv+FI+FJ+FE+FC;1.6. FERRAMENTASCOMPUTACIONAIS 99F:= (FEm437437+FCm965965) ex+(FIy+ FJy 20 FEm4374376 FCm965193) ey+(985mg + FIz+ FJz+6 FEm437437+8 FCm965965) ezoqueresultaemtresequa c oes, umaparacadacomponente. Aprimeiraequa c aoforneceFEmemtermosdeFCm,ouseja,considerandoocomandosolve, temos> solve(F[1]=0,FEm);FCm965437965Note que cada componente da for ca resultante deve ser nula, por isso usamos o comandosolve na forma acima.Para selecionar a componente x da for ca resultante, usamos F[1], pois a componente x e a primeira componentedo vetor for ca resultante.O resultado acima e o valor de FEm, obtido em termos de FCm. Podemos denir agoraFEmemtermosdesseresultado,oque efeitomediante> FEm:=%;FEm:=FCm965437965Aqui usamos maisumcomandodoMaple, ocomando%. Esse comandoequivale`asadado ultimoc alculoefetuadopeloMaple, sejaelequal for. Ocomando%%equivale`asadadopen ultimoc alculoefetuadopeloMaple, eocomando%%%forneceasadadoantepen ultimocomandoexecutado. Apartirdeagora, ovalordeFEmseraFEm=FCm965437965Em seguida, achamos uma rela c ao que envolve FIye FJy, conforme se ve se considerarmos a segunda componentedafor caresultante, ouseja,> F[2];FIy + FJy 10 FCm965193Essacomponente, queeacomponenteemy, devesernula,oquepermiteencontrarFIyemtermosdeFJyeFCm,isto e,> solve(F[2]=0,FIy);FJy +10 FCm965193> FIy:=%;FIy:= FJy +10 FCm965193Portanto,agoratemosFIy= FJy+10 FCm965193Efetuamosomesmoprocessoparaacomponenteemzdafor caresultante,que e> F[3];100 1. CONCEITOSINICIAIS985mg + FIz+ FJz+14 FCm965965ElaforneceFIzemtermosdeFJzeFCm,ouseja,> solve(F[3]=0,FIz);985+mg FJz 14 FCm965965> FIz:=%;FIz:=985+mg FJz 14 FCm965965Portanto,agoratemosFIz=985+ mg FJz 14 FCm965965Precisamosdeterminaraindaoutrasequa c oes, eparaissodevemosconsiderarrela c oesenvolvendotorques, oque necessita da deni c ao de origens apropriadas para os c alculos. Podemos obter algumas rela c oes interessantesusandocomoorigemparaoc alculodetorquesopontoJ.Nessecaso,precisamosdenir> rI:=;rI :=2120 exe> rJ:=;rJ:=110 exdemodoque,emrela c aoaopontoJ,opontoIcaem> rIJ:=rI-rJ;rIJ:=1920 exPortanto,otorquegeradopelasfor casemI emrela c aoaJ e,lembrandoqueocomandoparaprodutovetorialnoMaple e&x,> TIJ:=rIJ&x FI;TIJ:= (9315019 mg20+19 FJz20+133 FCm9659650) ey+(19 FJy20+19 FCm965386) ezEmrela c aoaJ,opontoEcaem> rEJ:= rE-rJ;rEJ:=1110 ex +eyOtorquegeradopor

FEemrela c aoaJca,ent ao,> TEJ:=rEJ&x FE;TEJ:=6 FCm965965ex33 FCm9654825ey21 FCm965965ezOpontoC,emrela c aoaJcaem1.6. FERRAMENTASCOMPUTACIONAIS 101> rCJ:=rC-rJ;rCJ:= (110 ) ex +32 eyComisso,otorquegeradopor

FCemrela c aoaJtorna-se> TCJ:=rCJ&x FC;TCJ:=12 FCm965965ex +4 FCm9654825ey +3 FCm9651930ezPrecisamosagoradotorquegeradopelopesodaprateleiraetambemdotorquegeradopelopesodovaso. OpontoF,ondecaovaso,estaem> rF:=;rF:=920 ex +65 eye,emrela c aoaJ,estepontocaem> rFJ:=rF-rJ;rFJ:=720 ex +65 eyEnt ao,otorquegeradopelovasovale> TFJ:=rFJ&x Pv;TFJ:= 6 mg5ex +7 mg20eyPorm,ocentrodapraleteiracaem> rP:=;rP:=35 ex +34 eye,emrela c aoaJ,essepontocaem> rPJ:=rP-rJ;rPJ:=12 ex +34 eyPortanto,otorquegeradopelopesodaprateleira,emrela c aoaJ,ca> TPJ:=rPJ&x P;TPJ:= (14710) ex +495eyAgora,somandoostorquesexercidoporcadafor caemrela c aoaJ,temosotorqueresultanteemrela c aoaJ,ouseja,> TJ:=TIJ+ TEJ + TCJ + TPJ + TFJ;TJ:= (18 FCm965965147106 mg5) ex+(441503 mg5+19 FJz20+3 FCm965386) ey+(19 FJy20+28 FCm965965) ezCadacomponentedessetorqueresultantedeveseanular.Come candocomacomponentex,que e102 1. CONCEITOSINICIAIS> TJ[1];18 FCm965965147106 mg5vemosquepodemosdeterminarFCmemtermosdem,ouseja,> simplify(solve(TJ[1]=0,FCm));(49 + 4 mg)96560> FCm:=simplify(%);FCm:=(49 + 4 mg)96560demodoqueachamosFCm=(49 + 4mg)96560Asegundacomponentedotorqueresultantee> TJ[2];539200 mg10+19 FJz20e,apartirdela,podemosacharFJz,ouseja,> solve(TJ[2]=0,FJz);539190+2 mg19> FJz:=%;FJz:=539190+2 mg19Porm,aterceiracomponentede

TJe> TJ[3];19 FJy20+34315+28 mg15oquefazcomqueachemosFJy,pormeiode> solve(TJ[3]=0,FJy);137257+112 mg57> FJy:=%;FJy:=137257+112 mg57Comisso,todasasfor casestaoemfun c aodem,amassadovaso, conformepodemosverconsiderando> FE;(4960 mg15) ex + (4934 mg3) ey + (4910+2 mg5) ez> FI;(63738+26 mg19) ey + (151928511 mg285) ez> FJ;1.6. FERRAMENTASCOMPUTACIONAIS 103(137257+112 mg57) ey + (539190+2 mg19) ez> FC;(4960+mg15) ex + (492 2 mg) ey + (9815+8 mg15) ezouseja,

FE= _4960+mg15_i _493+4mg3_j +_4910+2mg5_k

FI=_63738+26mg19_j +_151928511mg285_k

FJ=_137257+112mg57_j +_539190+2mg19_k

FC=_4960+mg15_i _492+ 2mg_j +_9815+8mg15_kAgoraquetemosasequa c oes paraasfor cas, podemosdeterminarovalordemquefazcomquecadafor caatinjaovalor maximo. Primeiro,vamos calcular omodulo dafor ca

FE,isto e,> moduloFE:=subs(g=9.8,Norm(FE));moduloFE:=437_(49 + 39.2 m)260Notequeusamosocomandosubsparasubstituirovalor degnaexpressaoparaomodulode

FEobtidopelocomandoNorm. A tens aomaxima nocabopresoemEvale 250N, demodo quepodemos obterovalor maximodempormeiode> solve(moduloFE=250,m);17.05477831, 19.55477831Apenasa raiz positiva faz sentido,ent aoa massamaxima parao vaso, paraessecabo, caemtornodem = 17kg.Considereagoraomodulo dafor canadobradi caI,> moduloFI:=subs(g=9.8,Norm(FI));moduloFI :=100527469 + 0.1447668544 109m + 0.5847721936 108m2570Essadobradi casuportaumafor camaxima deintensidade400N,portanto,> solve(moduloFI=400,m);28.57451794, 31.05012906emassamaxima paraessadobradi caedem = 28, 6kg.Entretanto,ocaboEGlimita amassamaxima em17kg,demodoqueseestecaboestiveremseguran ca,adobradicatambemestara.Vamos vericaragoraaoutradobradi ca,emJ.Omodulode

FJe> moduloFJ:=subs(g=9.8,Norm(FJ));moduloFJ:=190853089 + 0.3030830320 109m + 0.1208183200 109m2570eassim,amassamaxima vale> solve(moduloFJ=400,m);19.48840385, 21.99698891Essadobradi caresisteaumamassamaximam = 19, 5kg,masocaboEGarestringeam = 17kg,portantoquemgoverna a seguran caate agora e ocabo EG. Por m, podemos ver o que ocorrecom o outrocabo, ocaboCH.Omodulode

FCe104 1. CONCEITOSINICIAIS> moduloFC:=subs(g=9.8,Norm(FC));moduloFC:=965_(49 + 39.2 m)260Lembrandoqueoscabossuportamapenas250N,temosumamassamaxima de> solve(moduloFC=250,m);11.06803788, 13.56803788ouseja,ocaboCHresisteaumamassamaxima devalorm = 11kg.Esseeovalor maximo permitidoparaovaso colocado na plataforma, de modo a seguir as especica c oesdela e garantindo a sua seguran ca. Considerandoamassaefetivamentecolocada,ouseja, m = 6kg,alemdovalor deg,> m:= 6;m := 6> g:=98/10;g:=495temosasfor cas> FE;(1421300) ex142115ey +142150ez> FI;18473190ey+43611425 ez> FJ;39788285ey +34338ez> FC;1421300ex142110ey +284275ezcujosmodulos s ao> evalf(moduloFE);99.01786130> evalf(moduloFI);97.27446853> evalf(moduloFJ);139.8985122> evalf(moduloFC);147.1419407onde usamos afun c aoevalf(), queavaliaovalor emn umeros decimais (pontoutuante) dotermoentreparenteses. Resumindotudo,temos

FE= 1421300i 142115j +142150k FE= 99 N

FI=18473190j +43611425k FI= 97 N

FJ=39788285j +34338k FE= 140 N

FC=1421300i 142110j +284275k FC= 147 N1.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 105e assim, resolvemos o problema completamente, utilizando uma ferramenta bastante util, o Maple, e o resultadoequeovasocolocadon aocausaraproblemas `aseguran cadaprateleira.

1.7 OutrosSistemasdeCoordenadasUteisConforme dissemos anteriormente,alem dosistemade coordenadas retangulares,ou cartesianas,existemvarios outros sistemas de coordenadas quetemusomaisoumenos freq uente emaplica c oes cientcas. Emparticular,tressistemasdecoordenadas,umemduasdimensoesedoisemtres, temlargaaplica c aoemFsicaeMatem atica. Nossoobjetivoaquieintroduziressessistemas, suasbasesesuasrela c oescomossistemasdecoordenadascartesianasbi e tridimensionais.E interessantenotar que todos os tress aosistemas quetembasesortogonais normalizadas, ou seja, s ao ortonormais. Vamos come car com o sistema bidimensional de coordenadaspolares.1.7.1 SistemadeCoordenadasPolaresOsistemade coordenadas polares e umsistemade coordenadas bidimensional bastante utilizado, eumexemplodeaplica c aoenoestudodomovimentodeplanetasemtornodeumaestrela, ondeousodestesistemadecoordenadasfacilitamuitoodesenvolvimentodosc alculos. Aideiaportrasdosistemaesimples.EmcoordenadasretangularesusamosascoordenadasxeypararepresentarumdadopontoP(x, y)noplano.Assim,opontoPsitua-senaposi c aor= xi +yjAdistanciadopontoP`aorigem edadapelomodulo der,quevamos representarpor,ouseja, = |r | =_x2+ y2(1.222)Podemosusaressadistanciaparaespecicar opontoPnoplano. Aquestaoeque, sefornecermosapenasadistancia, especicaremosumconjuntodepontosqueestaoaessadistanciadaorigem, oqueresultanumacircunferenciaderaio.ParadenircompletamenteopontoPprecisamosdemais algumacoordenada,eessacoordenadacorrespondeaoanguloqueaparecenagura1.39 abaixo.xyr t ( )P P ( , )= ( , ) xy r qqOrFigura1.39: Coordenadasdosistemadecoordenadaspolares.OanguloeoanguloentreosegmentoderetaOPeoeixox,sendoqueosentidoanti-horario econsiderado106 1. CONCEITOSINICIAIScomo sendo positivo18. Assim, um ponto, em coordenadas polares, e representadopor P(, ). Da gura, vemosqueasrela c oesentreascoordenadaspolareseascartesianass aodadaspor =_x2+y2(1.223a) = arctgyx(1.223b)Podemos obter tambem as rela c oes inversas entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares, mediantex = cos (1.224a)y= sen (1.224b)Comousodasequa c oes1.223e1.224podemosexpressarumpontoqualquerdadonumadascoordenadasemtermosdaoutra.Exemplo1.27. Os pontos abaixos aodados emcoordenadas retangulares. Transforme-os paracoordenadaspolares.1. A(2, 2).2. B(4, 0).3. C(1,3).4. D(3, 1).5. E(2,3).Paraconverterospontos acimaparacoordenadaspolares,usamos asequa c oes1.223. Come camos comopontoA.Nessecaso,temosA=4 + 4 = 22 A= arctg 22=4Portanto,opontocaA(22,4).Vejamos agoraopontoB.Nessecaso,temosB=16 + 0 = 4 A= arctg04= e o ponto se torna B(4, ). Para o proximo ponto, podemos utilizar o Maple, como forma de ilustrar seu uso. Nessecaso, precisaremos do comando MapToBasis(V,coordenadas), o qual faz parte da biblioteca VectorCalculus.Assim,oprimeiropassoecarregaressabiblioteca,ouseja,> with(VectorCalculus):Warning,theassignednames and nowhavea globalbindingWarning,theseprotectednameshavebeenredefinedandunprotected:*,+, -, ., D, Vector,diff,int,limit,series18Nocasodo angulo sernegativo, ainterpreta c ao edequeeleest asendomedidonosentido hor arioapartirdosentidopositivodoeixox.Nessecaso,para ilustrar umexemplo, um angulo= 2corresponde ao angulo=32.1.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 107Emseguida, usamos o comandoMapToBasis(V,coordenadas). Essecomando pode serusadode duas formas.SeVcorresponder`ascoordenadasde umdadoponto,estascoordenadasseraotransformadas paraosistemadecoordenadas dado pela op c ao coordenadas. Se V for um campo vetorial, ou seja,

Ve uma fun c ao das coordenadasatuais, oresultadodocomandoMapToBasis seraocampo vetorial escritonosistemadecoordenadas dadopelaop c aocoordenadas.NotequeascoordenadasparaVs aocartesianasporpadr ao, masissopodeseralteradousando-seocomandoSetCoordinates, queseradescritoposteriormente.Assim,paraopontoCtemos> MapToBasis(,polar);4 er +2 3eou,efetuandoumasimplica c ao,> simplify(%);2 er +2 3edemodoque,empolares,obtemosC(2,23).Continuando, temos,paraD,> MapToBasis(,polar);4 er6eou> simplify(%);2 er6eouseja,achamosD(2, 6),oqueequivale aD(2, 2 6)=D(2,116).Porm,paraEtemos> MapToBasis(,polar);ou5 er + arctan(322) eetemosE(5, arctg62).

Alemdetransformarumconjuntodecoordenadasnooutro,eimportantetambempodermosrelacionaras bases dos doissistemas decoordenadas. Osistemadecoordenadas retangulares temabase R2= {i,j},formada por dois versoresortogonaisi ej. O sistemadecoordenadaspolares tambemprecisadeuma basecomdois vetores,e tanto melhor se ela for ortonormal. Vamos escolher um dos versores de modo que ele seja paraleloaosegmentoderetaOPqueuneaorigemaopontoPconsiderado,comsentidodeOparaP,comomostraagura1.40 abaixo. O outroversorseraortogonal aeste,orientadode forma aseguir ocrescimentodoangulo,comomostraagura.Temos, ent ao, os versores e, e precisamos agora expressa-los em termos da baseR2. Para isso, vamos utilizaraequa c ao1.22, queestabelececomoescreverumvetorqualquer

V emtermosdosseuscossenosdiretores, istoe,

V= Vcos i + Vcos j +Vcos kRelembrandoagura1.19quemostraosangulos diretores, vemosque,paraumvetorqueestejanoplanoxy,oangulovale2rad,de modoque cos = 0. Esse eocasodosversores e.Alemdisso,temos tambem que| | = || = 1.Ent ao,para podemosescrever108 1. CONCEITOSINICIAISOyxr^q^qq^i^j^P( , ) rqbr bqFigura1.40: Basedosistemadecoordenadaspolares. = cos i + cos j (1.225)ondees aoosangulosentre eoseixosxey, respectivamente, medidosapartirdoladopositivodoeixos.Agora,relembramosque,pelaequa c ao1.21, ocorrecos2 + cos2 + cos2= 1ou,nonossocaso,cos2 + cos2= 1demodoquecos2= 1 cos2ou| cos | = | sen |Agora, daguravemosque, quando [0, ], =, e [0,2], demodoquecos =sen =sen .Quando [, 2],=2 , oquefazcomque [0, ].Alemdisso, [2, ].Nessecaso, tambemocorrecos = sen ,poisambos s aonegativos.Ent ao,podemosescrever, paraqualquere,cos = sen eaequa c ao1.225 ca = cos i + sen j (1.226)issoporquecos = cos(2 ) = cos Paraoversor,escrevemos= cos i + cos j (1.227)onde e s ao os angulos diretores do versor, os quais correspondemaos angulos entre e os lados positivosdoseixosxey,respectivamente. Utilizandonovamente aequa c ao1.21, camoscomcos2 + cos2= 11.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 109oucos2= 1 cos2ouainda,| cos | = | sen | (1.228)Agoratemosqueanalisar ocomportamentodessesangulos.Quando [0,2],= +2,demodoquecos = cos( +2) = sen esen = sen( +2) = cos Como [0,2], temoscos = cos .Passandoaoproximo intervalo, onde [2, ], temos que [2, ] e=32,demodoque [2, ].Nessecaso,cos = cos(32) = sen esen = sen(32 ) = cos Comonesseintervalocos enegativo,achamos,daequa c ao1.228,cos = cos Ointervaloseguinteocorrequando [,32]. Nessecaso, =32 , demodoque [0,2]. Para,temos [2, ].Portanto,temososmesmosresultadosdointervaloanterior,ouseja,cos = sen ecos = cos Porm, parao ultimointervalo, istoe, para [32, 2], temos = 32, demodoque [0,2], e [0,2].Ent ao,cos = cos( 32) = sen esen = sen( 32) = cos e,novamente,podemosescrever,cos = cos Ent ao,nalmentepodemosescrevercomo = sen i + cos j (1.229)110 1. CONCEITOSINICIAISdemodoqueabasedosistemadecoordenadaspolarescasendo = cos i + sen j (1.230a) = sen i + cos j (1.230b)E importante notar que os versores e dependem do angulo considerado, de modo que a base de coordenadaspolaresn ao eumabasexa,comoabaseretangular.Paracadah aumconjuntodeversores eassociado,eissotemqueserlevadoemcontaquandoprecisarmosefetuarderivadasdessesversores, porexemplo.Podemosescreveressaequa c aodeumaformamaisinteressante, naformadeumprodutodematrizes,ouseja,_ _ =_cos sen sen cos _ _ij_(1.231)Esquematicamente,podemosrepresentaressaequa c aomedianteP =TR2PR2(1.232)ondeP =_ _TR2P=_cos sen sen cos _R2=_ij_(1.233)s aomatrizes querepresentam, respectivamente, abasepolar, amatrizdetransforma c aodabaseretangularparaabasepolar,eabaseretangular. Notequeasduasbasess aoortogonais,eodeterminantedamatrizdetransforma c aovaledetTR2P=cos sen sen cos = 1Assim, amatrizTR2Peumamatrizortogonal. Matrizes ortogonaistemumapropriedadeimportante, querelacionasuatranspostacomsuainversa,istoe,paraumamatriz ortogonalvaleA-1=AT(1.234)Dessemodo,aomultiplicarmos aequa c ao1.232 porT1R2P,obtemosT-1R2PP =T-1R2PTR2PR2ouT-1R2PP =IR2ondeIeamatrizidentidade.Ent ao,achamosR2=T-1R2PP (1.235)e,utilizandoasequa c oes1.233 e1.234, obtemos_ij_ =_cos sen sen cos _ _ _(1.236)demodoquepodemosexpressarabaseretangularemtermosdabasepolar,porintermediode1.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 111i = cos sen (1.237a)j = sen + cos (1.237b)Podemos agora escrevera posi c ao de um ponto P no sistema de coordenadas polares. Observando as guras 1.39e1.40,elembrandoqueacoordenadaeadistanciaentreopontoPeaorigem,vemosqueaposi c aodeumpontoemcoordenadaspolares edada,simplesmente,porr= (1.238)Esseresultadopodeserobtidoformalmente seconsiderarmosasequa c oes1.224e1.237, lembrandoquer= xi +yjFazendoasdevidassubstitui c oes, temosr = cos (cos sen ) + sen (sen + cos )our= cos2 cos sen + sen2 + sen cos ouainda,r= que eaequa c ao1.238. Note queaescritadovetor posi c aotorna-sesimples,mas existeumpre coapagar. Essaquestaoseravistanase c ao??.Vejamos agoraumexerccioqueforneceumresultadointeressante.Exemplo1.28. Consideredoispontosnoplano, descritospelasposi c oesr1er2. Obtenhaoprodutoescalarr1 r2emcoordenadaspolares.Esse exemploe importante porque mostraquee preciso ter umcerto cuidadoaorealizar opera c oesvetoriais quando n ao estamos usando o sistema de coordenadas cartesianas. As posi c oes dos pontos s ao mostradasnagura1.41.112 1. CONCEITOSINICIAISOyxP1P2q1q2r1r1 r2r2^^Figura1.41: Posicoesdedoispontosquaisqueremcoordenadaspolares.Note,nagura,quecadapontopossui seuversor correspondente. Asposi c oespodemserescritasmedianter1= 1 1r2= 2 2Queremoscalcularr1 r2= 1 1 2 2our1 r2= 12 1 2(1.239)Para efetuar o produto escalar,vamos escreveros versoresem termos da baseR2, usandoa equa c ao1.230a, istoe, 1 2= (cos 1i + sen 2j) (cos 2i + sen 2j)ou 1 2= cos 1 cos 2 + sen 2 sen 2ouent ao, 1 2= cos(1 2) = cos(2 1) (1.240)Notequeesseeumresultadoesperado, pois,dadeni c aodeprodutoescalardadaem1.13, temos 1 2= | 1|| 2| cos ondeeoangulo entreosdoisversores, demodoque = 2 1.Ent ao, 1 2= cos(2 1)Retornando`aequa c ao1.239, eusandoaequa c ao1.240, achamosr1 r2= 12 cos(2 1) (1.241)

Vejamos agoraumsistemadecoordenadastridimensionalimportante relacionadoaosistemadecoorde-nadaspolares.1.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 1131.7.2 SistemadeCoordenadasCilndricasO sistema tridimensional de coordenadas cilndricas faz uso de trescoordenadas para descrevera posi c aode umpontonoespa co. Duas dessas coordenadas s aoidenticas `as coordenadas polares e , e aterceiracorresponde`acoordenadazdosistemadecoordenadasretangularesemtresdimensoes.Agura1.42ilustraosistemadecoordenadascilndricas.OyxrqzzP P ( , , )= ( , , ) xyz z rqrQFigura1.42: Coordenadasdosistemadecoordenadascilndricas.Eimportantenotar queacoordenada n aoe maisomodulodovetor posi c aor. OsegmentoOP,quandoprojetadonoplanoxy,d aorigemaosegmentoOQ.Ocomprimentodessesegmentoeacoordenada,e oangulo eo angulo queessesegmentofaz comosentidopositivo doeixox,medido nosentidoanti-horario.AcoordenadazeaalturadopontoPemrela c aoaoplanoxy. Assim, ascoordenadascilndricas, emtermosdascoordenadasretangulares,s aodadaspor =_x2+y2(1.242a) = arctgyx(1.242b)z= z (1.242c)Comastransforma c oesinversasx = cos (1.243a)y= sen (1.243b)z= z (1.243c)Precisamostambemdabasedecoordenadascilndricas. Doisversores dabases aoosmesmosdabasedecoordenadaspolares, eoterceiroversorvemdecoordenadasretangulares. Agura1.43ilustraabasedecoordenadascilndricas.Como os versores es aoos mesmos da basepolarP,temos,usandoas equa c oes1.230, as seguintesequa c oesdetransforma c aoentreabasecilndricaeabaseretangular: = cos i + sen j (1.244a) = sen i + cos j (1.244b)k = k (1.244c)114 1. CONCEITOSINICIAISyxr^q^q i^j^k^zFigura1.43: Basedosistemadecoordenadascildricas.Einteressantevericarmosqueosversorestemmodulos unitarios,ouseja, = (cos i + sen j) (cos i + sen j)| |2= cos2 + sen2| |2= 1e = (sen i + cos j) (sen i + cos j)||2= sen2 + cos2||2= 1Alemdisso,vamos vericaraortogonalidade, come candocom e,istoe, = (cos i + sen j) (sen i + cos j) = cos sen + sen cos = 0demodoque .Considerandoagorak,temos k = (cos i + sen j) k k = 0e k = (sen i + cos j) k k = 0eassim, ke k.Portanto,resumindo,temos = 1 = 0 k = 0 = 0 = 1 k = 0 (1.245)k = 0k = 0k k = 11.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 115Precisamosefetuaragoraosprodutosvetoriais entreosversoresdabase.Oprimeiroresultadoimediato eque = 0 = 0k k = 0j aqueumdadovetoreparaleloasi proprio. Vamoscalcularagora, usandoasequa c oes 1.244ae1.244b, oproduto = (cos i + sen j) (sen i + cos j)ou,lembrandodasequa c oes1.26, = cos2k + sen2k = kOproximoprodutousaasequa c oes1.244a e1.244c,isto e, k = (cos i + sen j) kou k = cos j + sen i = e,porm,o ultimo produtoimportanteutiliza asequa c oes1.244be1.244c,eca k = (sen i + cos j) kou k = sen j + cos i = Reunindotudo,temos = 0 = k k = (1.246a) = k = 0 k = (1.246b)k =k = k k = 0 (1.246c)Voltando`asequa c oes1.244, podemosescreve-lasnaformamatricial, isto e,__ k__ =__cos sen 0sen cos 00 0 1____ijk__(1.247)Esquematicamente,podemosrepresentaressaequa c aomedianteC =TR3CR3(1.248)ondeC =__ k__ TR3C=__cos sen 0sen cos 00 0 1__ R3=__ijk__(1.249)116 1. CONCEITOSINICIAISs ao matrizesque representam, respectivamente,a base cilndrica, a matriz de transforma c ao dabase retangularparaabasecilndrica,eabaseretangular.Notequeasduasbasess aoortogonais,eodeterminantedamatrizdetransforma c aovaledetTR3C=cos sen 0sen cos 00 0 1= 1demodoqueTR3Ceumamatrizortogonal. Comisso, podemos obter asrela c oes inversas entre asbases,multiplicandoT-1R3Cpelaequa c ao1.248, ouseja,T-1R3CC =T-1R3CTR3CR3ou,usandoapropriedade1.234,TTR3CC =IR3demodoqueR3=TTR3CCe,utilizandoasrela c oes1.249__ijk__ =__cos sen 0sen cos 00 0 1____ k__(1.250)Explicitandoostermos,achamosi = cos sen (1.251a)j = sen + cos (1.251b)k = k (1.251c)De posse das equa c oes 1.243 e 1.251 podemos escrevera posi c ao de um ponto em coordenadas cilndricas,lembrandoque,emretangulares,r= xi +yj +z kDasguras1.42 e1.43, ef acilverquer= +z k (1.252)Esseresultadopode serobtidoformalmente deforma analoga `aquelautilizada paracoordenadaspolares.Veja-mosagoraumexemploimportante.Exemplo1.29. Obtenhaoprodutoescalar entre as posi c oes r1e r2de dois pontos quaisquer escritas emcoordenadascildricas,comomostraagura1.44.Dagura,vemos queasposi c oess aodadasporr1= 1 1 + z1k r2= 2 2 + z2kEnt ao,fazendooprodutoescalar,temos1.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 117Oyxr1r2 q1q2zz1z2P1P2r1r2Figura1.44: Posicoesdedoispontosquaisqueremcoordenadascilndricas.r1 r2= (1 1 + z1k) (2 2 + z2k)our1 r2= 12 1 2 + z1z2Utilizandoaequa c ao1.240, obtemosr1 r2= 12 cos(21) +z1z2(1.253)que eoresultadoprocurado.

Partimos agoraparaoproximosistemadecoordenadastridimensional degrandeaplica c aoemFsica.1.7.3 SistemadeCoordenadasEsfericasOsistemadecoordenadaspolaresutiliza, comoumadesuascoordenadas, adistanciaentreumpontoqualquerPdoplanoeaorigem. Osistemadecoordenadasesfericassegueomesmoprincpio, s oqueagoraestamos no espa co. Assim, e necessario mais duas coordenadas, que s ao dadas na forma de angulos. A gura 1.45mostraascoordenadasesfericas.Da gura vemos que uma das coordenadas e dada pelomodulo do vetor posi c aodo ponto P considerado,ouseja, r= |r |.Aoespecicaressacoordenada, restringimosopontoaestarsobreasuperfciedeumaesferaderaior. AsegundacoordenadacorrespondeaoanguloentreosentidopositivodoeixozeosegmentoOP,medido apartir doeixoz. Essacoordenada eequivalente ao angulo diretorda gura1.19 e,por conven c ao, erepresentadapor,e echamada decolatitute ouangulo polar. Essacoordenadarestringeoponto Paestarnasuperfcie de um cone de angulo de abertura e, se r tambem for especicado, P pode estar numa circunferenciaderaior sen . AoprojetaropontoPnoplanoxy, temosopontoQ, eoanguloentreosentidopositivodoeixoxeosegmentoOQcorresponde`aterceiracoordenadanecessariaparaespecicarcompletamenteopontoP,representadapor,quee echamadadeazimuteouanguloazimutal.Esseanguloemedidonoplanoxy, erestringeopontoPaestarnumsemi-plano perpendicularaoplanoxyelimitado peloeixoz.Comrelac ao` ascoordenadasesfericas, eimportanteressaltaralgunspontos. Primeiro, aconvenc aodeseadotaros angulosecomoaparecemnagura1.45eamplamenteutilizadaemFsica, masemMatem atica, emalgunscasos, podeocorrerumainvers aoentre118 1. CONCEITOSINICIAISOyxr|r| sen qqzP( , , )=P( , , ) xyz r qffQFigura1.45: Coordenadasdosistemadecoordenadasesfericas.esses dois angulos,demodo quepassa aser e passaa ser. Segundo,deacordo com nossaconvenc ao, o anguloazimultal correspondeao angulodosistemadecoordenadaspolaresecilndricas. Terceiro, osdomnios dascoordenadass aor0, 0e02.Como ultimaobservac ao, oMaplesegueaconvenc aomatem aticaparaosistemadecoordenadasesfericaspredenidonele, ouseja, umpontoem coordenadas esfericas erepresentado,noMaple, por P(r, , ).Assim,aousarmosessesistema,podemos procederdedoismodos.Seguimosaconvenc aodoMapleoucriamosumsistemadecoordenadasesfericasquesigaaconvenc aofsica.Veremoscomofazerissologoemseguida.Precisamosagoradasequa c oesdeconversaoentreosistemadecoordenadasesfericaseretangulares.Dagura1.45, vemosquer=_x2+y2+z2(1.254a) = arctg_x2+ y2z(1.254b) = arctgyx(1.254c)Asrela c oesinversas,quetransformamcoordenadasretangularesemcoordenadasesfericas, s aodadasporx = r sen cos (1.255a)y = r sen sen (1.255b)z = r cos (1.255c)Podemosagoraaplicar essasrela c oesemalgunsexemplos.Exemplo1.30. Os pontos abaixo est ao escritos em coordenadasretangulares. Obtenha as coordenadasesfericascorrespondentes.1. A(1, 1,2).2. B(3, 0, 3).3. C(3, 4, 0).4. D(0, 1, 0).1.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 1195. E(2, 4, 5).Vamos iniciar comopontoA.Nessecaso,utilizando asequa c oes1.254, obtemosrA=1 + 1 + 2 = 2 A= arctg1 + 12=4A= arctg11=4de modoqueA(2,4,4). Naseq uencia, vamosutilizaroMapleparaefetuar as transforma c oes. Nesse caso,temosquedenirumsistemadecoordenadasesfericasqueuseanossaconven c aodeangulos, lembrandoquenoMapleaordeme(r, , ), en ao(r, , ).Podemos, ent ao, introduzirdoiscomandos. OprimeirocomandoeSetCoordinates(sistema[coordenada1,coordenada2,...]), quemudaosistemadecoordenadasemusoparaosistemadenidoemsistema, sendoque alguns tipos comuns pre-denidoss aocartesian (retangularesemduas outres dimensoes), polar(polares), cylindrical(cilndricas) e spherical(esfericas, naordemP(r, , )),ecoordenada1, coordenada2, etc,s aoascoordenadasdecadasistema.Porexemplo,paradenirosistemadecoordenadasretangularesemtresdimensoes,executamos> SetCoordinates(cartesian[x,y,z]);oqueresultaemcartesianx, y, zPodemosconferirosistemaemusomedianteocomandoGetCoordinates(), isto e,> GetCoordinates();oquefornececartesianx, y, zComrelac aoaocomandoSetCoordinateseaos sistemasdecoordenadas, eimportantedestacarmos queessecomandoapenasmudadeumsistemadecoordenadasparaoutro, doatualemusoparaonovo,chamadodesistema, oqual podeserumsistemadecoordenadaspreviamentedenidopeloMapleoucriadopelousu ario. Quandoosistemaeumpre-denido, n aoenecess arioutilizarascoordenadasdosistemaentrecolchetes,excetoquandosetratadosistemadecoordenadas retangulares,poisonomedosistema(cartesian)eomesmoemduasoutresdimens oes. Assim, paradenirosistemadecoordenadascilndricas, esucienteexecutar> SetCoordinates(cylindrical);oqued aorigemacylindricalr, , zOoutrocomandorelevantee ocomandoque permite denir umsistemade coordenadas de acordocomanecessidade. Emparticular, podemosdenirumsistemadecoordenadasesfericasdeacordocomnos-saconven c aousual, utilizando, paraisso, ocomandoAddCoordinates.Essecomandotemaseguinteforma:AddCoordinates(sistema[coordenada1,coordenada2,etc...],[equa c~ao1,equa c~ ao2,etc...], opc~ao), on-desistemaeonomequeseradadoaosistemadecoordenadas, coordenada1, coordenada2, etc, s aoasco-ordenadas dosistemaemquestaoe equa c~ao1, equa c~ao2, etc, s aoas equa c oes quedenemas coordenadasretangularesx,yezemtermosdas coordenadasdosistemade coordenadasqueestasendocriado.Sesistemaforonomedealgumsistemaj apre-denido,ent ao,paraqueelesejaredenidoeprecisoqueavariavelopc~aosejadenidacomotrue,casocontrarioocorreraumamensagemdeerro.Seosistemativerumnomediferentedosj aexistentes, ent aoacoloca c aodavariavel opc~aoedesnecessaria. Considereent aoquevamosdenirumsistemadecoordenadasesfericasdomodocomoestamosacostumados.Nessecaso,oprimeiropassoecarregarabibliotecaVectorCalculus, ouseja,> with(VectorCalculus):120 1. CONCEITOSINICIAISWarning,theassignednamesand now havea globalbindingWarning,theseprotectednameshavebeenredefinedandunprotected:*,+,-,., D,Vector,diff,int,limit,seriesAgora, comosabemosquerdevesern ao-negativo,0e02, podemosdenirestasfaixasdevaloresparaascoordenadas,medianteocomandoassume, istoe,> assume(r>=0, 0 GetCoordinates();oqueresultaemesfericasr, , Notequeas coordenadas aparecemcomumtil () aoladoporquesobre elas foramfeitasas considera c oesdenidas nocomandoassume. Passandoagora `aescritados pontos emcoordenadas esfericas,temos,utilizandoopontoB,> simplify(MapToBasis(,esfericas));32 er +4eouseja,Bemcoordenadasesfericastorna-seB(32,4, 0).Oproximopontoca> simplify(MapToBasis(,esfericas));5 er +2e arctan(43) edemodoquetemosC(5,2, arctg43).Emseguida,obtemos> simplify(MapToBasis(,esfericas));er +2e2eisto e,D(1,2, 2)=D(1,2,32).Porm,temos> simplify(MapToBasis(,esfericas));35 er + (arctan(255) + ) e + (arctan(2) ) eUsandoocomandoevalfparasimplicar aexpressao, temos> evalf(%);6.708203931 er + 2.411864998 e 2.034443936 e1.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 121ouseja,aproximadamente temosE(6,7; 2,4; 2,0).

Devemos considerar agora a base para o sistema de coordenadas esfericas.Como o angulo e equivalenteaodecoordenadas polares, umversor dabasedecoordenadas esfericas corresponde aodecoordenadaspolares, lembrandoqueesseversorpertence aoplanoxy. Outraescolhanatural consisteemconsideraralgoequivalente ao versor empolares, ouseja, umversor orientado daorigem parao pontoP, representadopor r.O terceiroversor deve serortogonal aos dois primeiros. A gura 1.46 apresentaabase de coordenadas esfericas.Oyxqzfk^j^i^r^q^ff^^Figura1.46: Basedosistemadecoordenadasesfericas.Osversoreseorientam-senosentidodocrescimentodosangulose,respectivamente. Precisamosagoraescreve-losemtermosdabaseretangular.Oversorj a econhecidodasequa c oes1.230b ou1.244b, eelevale = sen i + cos j (1.256)Paraobteroversor r,lembramos aequa c ao1.22,

V= Vcos i + Vcos j +Vcos keconsideramosagura1.47 abaixo.Oyxqzfrrxyryrxrz^^^^^brarFigura1.47: Versor rdosistemadecoordenadasesfericas.Dagura,vemos quer= para

V=r,epodemosescrevertambem122 1. CONCEITOSINICIAIScos r= |rx||r|onde rxeovetorcomponentede rnadire c aox.Podemosreescreveressaequa c aocomocos r=|rx||rxy||rxy||r|sendoque rxyeovetorcomponentede rnoplanoxy.Dagura1.47, vemosquecos =|rx||rxy|sen = |rxy||r|demodoquecos r= sen cos Procedendodemodosimilar paraoangulor,obtemoscos r= sen sen oquefazcomque rtorne-ser = sen cos i + sen sen j + cos k (1.257)Podemosobteroversordeumaformasimilar. Primeiro, notamos, nagura1.48, queoangulodiretor corresponde, para,aoangulo +2,demodoqueOyxqzfqqxyqyqxqz^^^^^bqaqgqFigura1.48: Versordosistemadecoordenadasesfericas.cos = cos( +2) = sen Comrela c aoaoangulo,temoscos = |x|||sendoquexeovetorcomponentedenadire c aox.Podemosreescreveressaequa c aocomocos =|x||xy||xy|||1.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 123ondexyeovetorcomponentedenoplanoxy.Dagura1.48, achamoscos =|x||xy|cos = |xy|||oquefazcomqueobtenhamoscos = cos cos e,paraoangulo,camoscomcos = cos sen demodoqueoversorca = cos cos i + cos sen j sen k (1.258)Reunindoasequa c oes1.2561.258, temosr = sen cos i + sen sen j + cos k (1.259a)= cos cos i + cos sen j sen k (1.259b) = sen i + cos j (1.259c)ques aoasequa c oesquerelacionamabase Edecoordenadasesfericas comabaseretangular. Noteque, nosistemadecoordenadasesfericas, aposi c aodeumponto edadasimplesmenteporr= |r | r = r r (1.260)onder= |r | eadistanciadoponto`aorigemereoversorqueapontadaorigemparaopontoconsidera-do. Novamenteaqui h aumpre coapagarpelasimplicidadecomqueaposi c aoeescrita, conformeveremosoportunamente.O proximo passoconsisteemvericar anormaliza c ao dos versores,por meiodo produtoescalar,ouseja,iniciandocom r,temosr r = (sen cos i + sen sen j + cos k) (sen cos i + sen sen j + cos k)ou|r|2= sen2 cos2 + sen2 sen2 + cos2 = 1Passandoagoraa,temos,usandoaequa c ao1.259b,= (cos cos i + cos sen j sen k) (cos cos i + cos sen j sen k)ou||2= cos2 cos2 + cos2 sen2 + sen2 = 1Porm,para,temos,fazendousode1.259c, = (sen i + cos j) (sen i + cos j)ou124 1. CONCEITOSINICIAIS||2= sen2 + cos2 = 1demodoqueabaseesfericaEenormalizada.Vamosconferiragoraaortogonalidadedosversores. Iniciamoscalculandor = (sen cos i + sen sen j + cos k) (cos cos i + cos sen j sen k)oqueresultaemr = sen cos cos2 + sen cos sen2 cos sen = 0demodoque r .Calculamos agorar = (sen cos i + sen sen j + cos k) (sen i + cos j)our = sen cos sen + sen sen cos = 0oqueindicaque r .Porm,calculamos = (cos cos i + cos sen j sen k) (sen i + cos j)ou = cos cos sen + cos sen cos = 0Assim,comprovamos que abasedosistemadecoordenadasesfericasE eortogonal. Vejamos agora os produtosvetoriais entreosversoresdabase.Eimediato quer r = 0 = 0 = 0Oproximoprodutorelevante er = (sen cos i + sen sen j + cos k) (cos cos i + cos sen j sen k)ouseja,r = sen cos cos sen k + sen2 cos j sen cos sen cos ksen2 sen i + cos2 cos j cos2 sen iour = sen i + cos j =Vamos determinaragorar = (sen cos i + sen sen j + cos k) (sen i + cos j)isto e,r = sen cos2k + sen sen2k cos sen j cos cos i1.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 125eent ao,r = cos cos i cos sen j + sen k = Porm,o ultimo produtovetorialimportante e = (cos cos i + cos sen j sen k) (sen i + cos j)ou = cos cos2k + cos sen2k + sen sen j + sen cos ieent ao, = sen cos i + sen sen j + cos k =rPortanto, abasedecoordenadasesfericasE= {r, ,}formaumsistemadextrogirocomosversoresdabasedispostosnessaordem,demodoqueocorrer r = 0 r = r = (1.261a) r = = 0 = r (1.261b) r = = r = 0 (1.261c)Podemos escrever as equa c oes detransforma c ao1.259numaformamatricial, domesmomodocomozemosparaocasodecoordenadascilndricas,demodoque__r__ =__sen cos sen sen cos cos cos cos sen sen sen cos 0____ijk__(1.262)Deformaesquematica,podemosescreverE =TR3ER3(1.263)ondeE,TR3EeR3s aodadasporE =__r__ TR3E=__sen cos sen sen cos cos cos cos sen sen sen cos 0__ R3=__ijk__(1.264)ecorrespondem,respectivamente, `a matriz querepresentaabase dosistemade coordenadasesfericas,amatrizquetransformadecoordenadasretangularesparacoordenadasesfericas eamatrizquerepresentaabasedecoordenadasretangulares. Precisamosobterasrela c oesinversas, ouseja, precisamosexpressarosversoresdabase retangular em termos dos versores da base esferica. Para isso, vamos vericar se a matrizTR3E e ortogonal,o que simplica o procedimento. Para isso, vamos usar o Maple para calcular o determinante da matriz, alem desua inversa. Aqui precisamos de uma subbiblioteca de uma biblioteca muito util do Maple, voltada ao ensino doscomandos,chamadaStudent.AsubbibliotecanecessarianomomentoeaLinearAlgebra. Assim, come camoscarregandoessabibliotecamediante> with(Student[LinearAlgebra]);126 1. CONCEITOSINICIAIS[&x,.,AddRow,AddRows,Adjoint,ApplyLinearTransformPlot,BackwardSubstitute, BandMatrix,Basis,BilinearForm,CharacteristicMatrix, CharacteristicPolynomial,ColumnDimension,ColumnSpace,CompanionMatrix, ConstantMatrix,ConstantVector,CrossProductPlot, Determinant,Diagonal , DiagonalMatrix,Dimension,Dimensions, EigenPlot, EigenPlotTutor, Eigenvalues,EigenvaluesTutor,Eigenvectors,EigenvectorsTutor,Equal , GaussJordanEliminationTutor,GaussianElimination,GaussianEliminationTutor, GenerateEquations,GenerateMatrix,GramSchmidt ,HermitianTranspose,Id, IdentityMatrix,IntersectionBasis,InverseTutor,IsDenite,IsOrthogonal , IsSimilar,IsUnitary,JordanBlockMatrix,JordanForm,LUDecomposition,LeastSquares,LeastSquaresPlot ,LinearSolve,LinearSolveTutor,LinearSystemPlot,LinearSystemPlotTutor,LinearTransformPlot,LinearTransformPlotTutor,MatrixBuilder,MinimalPolynomial ,Minor,MultiplyRow,Norm,Normalize,NullSpace,Pivot ,PlanePlot ,ProjectionPlot, QRDecomposition,RandomMatrix,RandomVector ,Rank,ReducedRowEchelonForm,ReectionMatrix ,RotationMatrix,RowDimension, RowSpace,SetDefault ,SetDefaults,SumBasis,SwapRow,SwapRows,Trace, Transpose,UnitVector,VectorAngle,VectorSumPlot ,ZeroMatrix,ZeroVector]Notequevarioscomandoss aodenidosquandocarregamosessasubbiblioteca. OproximopassoconsisteemdeniramatrizTR3E,oque efeitopormeiode> T:=< ,> ,> >;oqueresultaemT:=__sin() cos() sin() sin() cos()cos() cos() cos() sin() sin()sin() cos() 0__Noteque,paradenirmos amatriz, listamos seuselementosdemodoque elementosemcolunas adjacentess aoseparados por uma barra vertical (|). Cada linha da matriz e ordenada entresinais de menor (), easlinhas s aoseparadasporvrgulas. Por m,englobandotodas aslinhas, temosoprimeirosinaldemenor ().Essan ao e a unicaforma de denirmatrizes noMaple,eeventualmente veremosoutrasmas, paraonossoc alculoatual,elaserveperfeitamente. QueremosodeterminantedamatrizT, oqueenvolve ocomandoDeterminant, ouseja,> simplify(Determinant(T));oqueresultaem1indicando que amatriz e ortogonal, de modo qusua transpostae igual a suainversa. Podemos vericarexplici-tamente que a transpostadeTR3E e igual a sua inversa calculando, por intermedio do Maple, as duas matrizes.Vamos calcularinicialmente ainversadeT,ouseja,> simplify(T^(-1));oquefornece1.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 127__sin() cos() cos() cos() sin()sin() sin() cos() sin() cos()cos() sin() 0__Vamos usaragoraocomandoTranspose paraobteramatriztransposta,isto e,> Transpose(T);Obtemos,ent ao,__sin() cos() cos() cos() sin()sin() sin() cos() sin() cos()cos() sin() 0__e vericamos que as duas matrizes s ao iguais, como deveria ser. Vamos multiplicar agoraT-1R3E pela equa c ao 1.263,ouseja,T-1R3EE =T-1R3ETR3ER3oqueresultaemR3=TTR3EEUtilizandoagoraasequa c oes1.264, temos__ijk__ =__sen cos cos cos sen sen sen cos sen cos cos sen 0____r__demodoqueobtemosi = sen cos r + cos cos sen (1.265a)j = sen sen r + cos sen + cos (1.265b)k = cos r sen (1.265c)Eimportanterelembrarqueosversoresr,en aos aoxos, aocontrariodosversoresdabaseretangular.Vejamos agoraalgunsexemplosdeaplica c ao.Exemplo1.31. Considereasfun c oesvetoriaisabaixo.1.

V= xi + yj +z k.2.

U= zi +xj +yk.Escrevaessasfun c oesemcoordenadasesfericas.Paraescreverafun c ao

V vamos precisardasequa c oes1.255e1.265, demodoquetemos

V= r sen cos (sen cos r + cos cos sen )+r sen sen (sen sen r + cos sen + cos )+ r cos (cos r sen )ou128 1. CONCEITOSINICIAIS

V= r sen2 cos2r +r sen cos cos2 r sen sen cos +r sen2 sen2r +r sen cos sen2 +r sen sen cos + r cos2r r cos sen ouainda,

V= r rPassando agora `a fun c ao

U , vamos utilizar o Maple para efetuar a conversao. Primeiro precisamos denirosistemadecoordenadasesfericas,conformemostramosnoexemplo1.30, ouseja,> with(VectorCalculus):Warning,theassignednamesand now havea globalbindingWarning,theseprotectednameshavebeenredefinedandunprotected:*,+,-,., D,Vector,diff,int,limit,series> assume(r>=0, 0 simplify(MapToBasis(U,esfericas[r,theta,phi]));r sin() (cos() cos() + sin() sin() cos() + cos() sin()) er + r(cos() cos()2+ cos() sin() sin() cos() sin() + sin() cos()2)e + r (cos() sin() + cos()2sin()) eouseja,

U= r sen (cos cos + sen sen cos + cos sen ) r+ r(cos cos2 + cos sen sen cos sen + sen cos2)+ r(cos sen + cos2sen )

Exemplo1.32. Determineoprodutoescalarentreasposi c oesr1er2dedoispontosquaisquerescritasemcoordenadasesfericas.A gura 1.49 ilustra o problema. A posi c ao dos pontos em coordenadas esfericas e obtida da equa c ao 1.260,ouseja,1.7. OUTROSSISTEMASDECOORDENADASUTEIS 129Oyxq1q2zP1P2r1r2f1f2Figura1.49: Posicoesdedoispontosquaisqueremcoordenadasesfericas.r1= r1r1r2= r2r2Ent ao,queremoscalcularr1 r2= r1r2r1 r2(1.266)Paraefetuaroprodutoescalar,vamos utilizar aequa c ao1.259a, demodo aexpressar remcoordenadasretan-gulares,ouseja,r1 r2= (sen 1 cos 1i + sen 1 sen 1j + cos 1k) (sen 2 cos 2i + sen 2 sen 2j + cos 2 k)our1 r2= sen 1 sen 2 cos 1 cos 2 + sen 1 sen 2 sen 1 sen 2 + cos 1 cos 2ouainda,r1 r2= sen 1 sen 2(cos 1 cos 2 + sen 1 sen 2) + cos 1 cos 2quecar1 r2= sen 1 sen 2 cos(12) + cos 1 cos 2(1.267)Portanto,aequa c ao1.266 torna-se,comousode1.267,r1 r2 = r1r2_sen 1 sen 2 cos(1 2) + cos 1 cos 2(1.268)Einteressantenotarque,sendooangulo entrer1er2quandotomados namesmaorigem,oprodutoescalarentreelese,formalmente, dadoporr1 r2= r1r2 cos Comparandoessaequa c aocomaexpressao1.268, obtemosoresultadocos = sen 1 sen 2 cos(1 2) + cos 1 cos 2(1.269)queexpressaoanguloentredoisvetoresquaisquer,orientados nasdire c oesdenidaspor r1e r2.130 1. CONCEITOSINICIAIS

Vimosnessecaptulovariost opicosessenciaissobrevetores, denimosalgumasopera c oes elementaresentreeles, introduzimosumaferramentacomputacional importante, oMaple, aqual serautilizadaaolongodolivroedenimostressistemasdecoordenadascurvilneasextremamenteimportantes, alemdosistemadecoordenadasretangulares. Noproximocaptulopassamosaoestudodasderivadasvetoriais, incluindosempreaplica c oes.1.8 Exerccios1.1 Sendodadososvetores

A = 2i 4j 3k,

B= 4i + 2j + 8k,

C= 2i 8j + 2ke

D = 9i +j 6k,calcule19a)Osmodulos dosvetores.b)Todasaspossveissomasutilizando doisdosvetores, eosrespectivosmodulos.c)Todas aspossveissomasutilizandotresdosvetores,eosrespectivosmodulos.d)Asomadosquatrovetores, eomodulo.e)Aspossveissubtra c oesutilizandodois dosvetores, eosmodulos.f)Aspossveissubtra c oesutilizandotresdosvetores, eosmodulos.g)Aspossveissubtra c oesutilizandoosquatrovetores,eosmodulos.1.2 Considerandoosvetoresdadosnoexerccioanterior,calculea)Ospossveisprodutosescalaresutilizandoosvetores.b)Ospossveisprodutosvetoriais utilizandodois dosvetores, eosmodulos dosvetoresresultantes.c)Ospossveisprodutosvetoriais utilizandotresdosvetores, eosmodulos dosvetoresresultantes.d)Todososprodutosmistospossveis.1.3 Utilizandoosvetoresdadosnoexerccio1.1,respondaasquestoesabaixo.a)Ache,paracadapar devetores,umvetorque sejaortogonal aambos eque tenhamodulo unitario.b) Considerandoas possveis somas dois-a-dois dos vetores,encontreumvetor ortogonal unitario paracadapardevetores-soma.c)Encontreosprodutosescalaresevetoriais dosversoresobtidos acima.1.4 Sendodados osvetoresdemodulo unitario a = cos i + sen jb = cos i + sen jmostre,utilizandoprodutosescalares, quecos( ) = cos cos + sen sen .1.5 Expresseospontosabaixo, dadosemcoordenadasretangulares,emtermosdecoordenadaspolares.19Notequevoce pode usaroMaplenaresolu c ao dosexerccios, sepreferir.1.8. EXERCICIOS 1311. A(1, 1).2. B(3, 0).3. C(0, 4).4. D(3, 4).5. E(2, 5).